Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...
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Università degli Studi di Siena<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong><br />
<strong>Dispense</strong><br />
<strong>del</strong> Corso di<br />
Comunicazioni Elettriche<br />
Prof. Giuliano Benelli<br />
Ing. Filippo Nencini
Indice<br />
1 Richiami sui Segnali Deterministici ed Aleatori 1<br />
1.1 Requisiti trigonometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.1.1 Numeri Complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.1.2 Formule di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.1.3 Fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.2 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.2.1 Proprietà <strong>del</strong>la serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.3 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.3.1 Teorema di Parseval per segnali ad energia finita . . . . 5<br />
1.3.2 Proprietà <strong>del</strong>la Trasformata di Fourier . . . . . . . . . 5<br />
1.3.3 Teorema di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.4 Processi casuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.4.1 Teoria <strong>del</strong>la probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.4.2 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.4.3 Segnali Aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
1.4.4 Segnali aleatori Gaussiani e Bianchi . . . . . . . . . . . 18<br />
1.4.5 Rumore AWGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
1.4.6 Banda equivalente e Banda a −3dB . . . . . . . . . . . 19<br />
2 Prestazioni di un collegamento 21<br />
3 Rumore Introdotto dai Dispositivi Elettronici 22<br />
3.1 Rumore Termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
3.1.1 Temperatura Equivalente di rumore per dispositivi due<br />
porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.1.2 Figura di rumore per dispositivi due porte . . . . . . . 25<br />
3.1.3 Rete Attiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
3.1.4 Rete Passiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
3.1.5 Formule di Friis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
3.1.6 Temperatura di Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3.1.7 Rumore nei Ripetitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
i
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> ii<br />
3.2 Rumore Shot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.3 Rumore Flicker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
4 Modulazioni di Ampiezza 33<br />
4.1 Modulazione AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
4.1.1 Caratteristiche <strong>del</strong> segnale AM . . . . . . . . . . . . . 34<br />
4.1.2 Spettro <strong>del</strong> segnale AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
4.1.3 Potenza <strong>del</strong> segnale modulato AM . . . . . . . . . . . . 36<br />
4.1.4 Modulatori AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
4.1.5 Demodulatori AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
4.1.6 Rapporto segnale-rumore nella modulazione AM . . . . 40<br />
4.2 Modulazione DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.2.1 Caratteristiche <strong>del</strong> segnale DSB . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.2.2 Spettro <strong>del</strong> segnale DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
4.2.3 Potenza di un segnale DSB . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.2.4 Modulatore DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
4.2.5 Demodulatore DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
4.2.6 Rapporto Segnale/Rumore in una modulazione DSB . 47<br />
4.3 Modulazione SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
4.3.1 Caratteristiche <strong>del</strong> segnale SSB . . . . . . . . . . . . . 48<br />
4.3.2 Modulatori SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
4.3.3 Demodulatori SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
4.3.4 Rapporto Segnale/Rumore per una modulazione SSB . 54<br />
4.4 Modulazione vestigiale VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
4.4.1 Caratteristiche <strong>del</strong> segnale VSB . . . . . . . . . . . . . 55<br />
4.4.2 Modulatore VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
4.4.3 Demodulatore VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
4.5 Circuiti per il recupero <strong>del</strong>la portante . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
5 Modulazioni Angolari 62<br />
5.1 Modulazione di fase e di frequenza . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
5.2 Spettro di un segnale FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
5.2.1 Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale modulante<br />
sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
5.2.2 Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale modulante<br />
multitono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
5.2.3 Banda di trasmissione di un segnale FM (Banda di<br />
Carson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
5.3 Modulatori di frequenza e di fase . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
5.3.1 Modulatori FM Diretti (Modulatore di Hartley) . . . . 71<br />
5.3.2 Modulatori FM Indiretti (Modulatore di Armstrong) . 72
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> iii<br />
5.4 Demodulatori FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
5.4.1 Demodulatore FM con discriminatore di frequenza bilanciato<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
5.4.2 Demodulatore FM con rivelatore di zero-crossing . . . 78<br />
5.4.3 Demodulatore FM con PLL . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
5.5 Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione FM . . . . . . . 82<br />
5.6 Effetto Soglia nella modulazione FM . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
5.7 Pre-enfasi e De-enfasi nella modulazione FM . . . . . . . . . . 87<br />
5.8 Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione PM . . . . . . . 90<br />
5.9 Schema di Ricevitore Supereterodina per trasmissione FM radio<br />
broadcasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
5.10 Schema di un modulatore ed un demodulatore FM stereo . . . 92<br />
6 Modulazioni Digitali 95<br />
6.1 Rappresentazione vettoriale dei segnali . . . . . . . . . . . . . 96<br />
6.2 Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt . . . . . 97<br />
6.3 Trasmissione su canali vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
6.4 Ricevitore ottimo a massima verosimiglianza . . . . . . . . . . 103<br />
6.5 Criterio Maximum A Posteriori (MAP) . . . . . . . . . . . . . 105<br />
6.6 Limite superiore <strong>del</strong>la probabilità di errore (Union Bound) . . 109<br />
6.7 Valutazione <strong>del</strong>le prestazioni nelle modulazioni digitali . . . . 110<br />
6.8 Modulazione On-Off Keying (OOK) . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
6.8.1 Demodulazione coerente di un segnale OOK e probabilità<br />
di errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
6.9 Modulazioni Phase Shift Keying (PSK) . . . . . . . . . . . . . 114<br />
6.9.1 Modulazione BPSK e probabilità di errore . . . . . . . 114<br />
6.9.2 Modulazione QPSK e probabilità di errore . . . . . . . 116<br />
6.10 Modulazioni Frequency Shift Keying (FSK) . . . . . . . . . . 119<br />
6.10.1 Caratteristiche <strong>del</strong>la modulazione FSK . . . . . . . . . 119<br />
6.10.2 Modulazione BFSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
6.10.3 Demodulazione coerente di un segnale FSK e probabilità<br />
di errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
6.11 Modulazione Differential Phase Shift Keying (DPSK) . . . . . 124<br />
6.11.1 Probabilità di errore di un segnale DPSK . . . . . . . . 126
Capitolo 1<br />
Richiami sui Segnali<br />
Deterministici ed Aleatori<br />
In questo capitolo sono descritte alcune relazioni fondamentali di trigonometria,<br />
la rappresentazione di segnali periodici in serie di Fourier, la trasformata<br />
di Fourier e la caratterizzazione di segnali aleatori. Tali argomenti saranno<br />
trattati menzionando soltanto gli aspetti che serviranno per la trattazione<br />
<strong>del</strong>le modulazioni analogiche e digitali. Maggiori approfondimenti e relative<br />
dimostrazioni saranno affrontati in altri corsi di studio.<br />
1.1 Requisiti trigonometrici<br />
1.1.1 Numeri Complessi<br />
Si definisce un numero complesso<br />
z = a + j · b = |z|e j z<br />
(1.1)<br />
dove a e b rappresentano rispettivamente la parte reale ed immaginaria di<br />
z mentre |z| e z il modulo e la fase di z. Nel piano complesso il numero<br />
complesso z può essere rappresentato come un vettore mostrato in figura 1.1.<br />
Il complesso coniugato di un numero complesso è così definito<br />
z ∗ = a − j · b = |z|e −j z<br />
(1.2)<br />
inoltre la parte reale e la parte immaginaria possono essere ottenute da<br />
modulo e fase e viceversa<br />
<br />
a = |z|cos( z)<br />
(1.3)<br />
b = |z|sen( z)<br />
1
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 2<br />
Figura 1.1: Rappresentazione di un numero complesso sul piano x − y<br />
1.1.2 Formule di Eulero<br />
Valgono le seguenti equazioni<br />
e <br />
1.1.3 Fasori<br />
√<br />
|z| = a2 + b2 z = arctan <br />
b<br />
(1.4)<br />
a<br />
e ±jφ = cosφ ± j · senφ (1.5)<br />
cosφ = ejφ +e −jφ<br />
2<br />
senφ = ejφ −e −jφ<br />
2j<br />
(1.6)<br />
Dato un segnale sinusoidale x(t) = Acos(2πf0t + φ) si indica il fasore <strong>del</strong><br />
segnale x(t)<br />
z = Ae jφ . (1.7)<br />
Il segnale x(t) può essere recuperato dal suo fasore mediante la seguente<br />
relazione<br />
x(t) = Re{z · e j2πf0t }. (1.8)<br />
1.2 Serie di Fourier<br />
Un segnale periodico x(t) di periodo T = 1 , come mostrato in figura 1.2,<br />
f0<br />
può essere rappresentato mediante una serie di Fourier<br />
x(t) =<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
n<br />
j2π<br />
Xne T t<br />
(1.9)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 3<br />
in cui Xn sono i coefficienti trasformati <strong>del</strong>la serie di Fourier, ottenuti dal<br />
segnale x(t) dalla seguente relazione<br />
Xn = 1<br />
T<br />
T<br />
2<br />
− T<br />
2<br />
n<br />
−j2π<br />
x(t)e T t dt. (1.10)<br />
Figura 1.2: Segnale periodico x(t)<br />
Dalle due precedenti equazioni si osserva che:<br />
• è possibile calcolare Xn da x(t) e viceversa;<br />
n<br />
j2π • il segnale x(t) è esprimibile mediante una base di funzioni e T t . La<br />
proiezione di x(t) su ogni versore <strong>del</strong>la base è Xn;<br />
• le componenti Xn sono generalmente a valori complessi;<br />
• la componente X0 = 1<br />
T<br />
T<br />
2<br />
− T<br />
2<br />
x(t)dt corrisponde al valor medio di x(t);<br />
• i valori Xn corrispondono alle proiezioni <strong>del</strong> segnale x(t) su una base<br />
= nf0.<br />
con versori a frequenze multiple <strong>del</strong>la fondamentale fn = n<br />
T<br />
1.2.1 Proprietà <strong>del</strong>la serie di Fourier<br />
Sono elencate in questo paragrafo le principali proprietà <strong>del</strong>la serie di Fourier:<br />
• Condizione Hermitiana.<br />
Dato un segnale reale, x(t) = x ∗ (t), è verificata la condizione Xn =<br />
X ∗ −n. Questo comporta che la parte reale ed il modulo <strong>del</strong>la sequenza<br />
dei coefficienti trasformati sono sequenze pari, mentre la parte immaginaria<br />
e la fase sono sequenze dispari<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
Re{Xn} = Re{X−n}<br />
Im{Xn} = −Im{X−n}<br />
|Xn| = |X−n|<br />
Xn = − X−n<br />
(1.11)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 4<br />
In più se il segnale nel tempo è reale e pari, x(t) = x(−t), allora Xn<br />
è reale e pari; al contrario se il segnale nel tempo è reale e dispari,<br />
x(t) = −x(−t), allora Xn è immaginario e dispari.<br />
Esempio. Calcolo dei coefficienti trasformati di un’onda rettangolare<br />
Dato il segnale x(t) = +∞<br />
−∞ A rectτ(t − nT ) con τ < T e rectτ(t) = 1<br />
se |t| ≤ τ e 0 altrove, si vuole calcolare Xn. Applicando la definizione<br />
Xn = 1<br />
T<br />
T<br />
2<br />
+∞<br />
−∞ A rectτ(t<br />
n<br />
−j2π − nT )e T tdt =<br />
− T<br />
2<br />
= 1<br />
τ<br />
2<br />
T − τ<br />
n<br />
−j2π Ae T<br />
2<br />
tdt =<br />
= A<br />
πn · ej2π n T τ 2 −e j2π n T τ 2<br />
=<br />
2j<br />
= A τn sen(π ) =<br />
πn T<br />
) .<br />
= A τ<br />
T<br />
sinc( τn<br />
T<br />
(1.12)<br />
• Teorema di Parseval per segnali periodici<br />
La potenza di un segnale periodico può essere calcolata sia nel dominio<br />
<strong>del</strong> tempo che nel dominio <strong>del</strong>la frequenza<br />
Px = 1<br />
T<br />
T<br />
2<br />
− T<br />
2<br />
|x(t)| 2 dt =<br />
1.3 Trasformata di Fourier<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
|Xn| 2<br />
(1.13)<br />
Per segnali ad energia finita si definisce la trasformata di Fourier di un segnale<br />
a tempo continuo<br />
X(f) =<br />
+∞<br />
−∞<br />
e la rispettiva antitrasformata di Fourier<br />
x(t) =<br />
+∞<br />
−∞<br />
Esempio<br />
La trasformata di Fourier di un rect, x(t) = A rectτ(t), è<br />
X(f) = +∞<br />
= τ<br />
2<br />
− τ<br />
2<br />
x(t)e −j2πft dt (1.14)<br />
X(f)e j2πft dt. (1.15)<br />
−∞ A rectτ(t)e −j2πft dt =<br />
Ae −j2πft dt =<br />
= A<br />
πf · ej2πf τ 2 −e j2πf τ 2<br />
=<br />
2j<br />
= Aτ sen(πτf) =<br />
πfτ<br />
= Aτsinc(τf) .<br />
(1.16)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 5<br />
1.3.1 Teorema di Parseval per segnali ad energia finita<br />
L’energia di un segnale puè essere calcolata sia nel dominio <strong>del</strong> tempo che<br />
nel dominio <strong>del</strong>la frequenza<br />
εx =<br />
+∞<br />
−∞<br />
|x(t)| 2 dt =<br />
+∞<br />
−∞<br />
|X(f)| 2 df (1.17)<br />
dove |X(f)| 2 è la densità spettrale di energia <strong>del</strong> segnale x(t).<br />
1.3.2 Proprietà <strong>del</strong>la Trasformata di Fourier<br />
In questo paragrafo sono elencate le principali proprietà <strong>del</strong>la trasformata di<br />
Fourier:<br />
• Condizione Hermitiana.<br />
Dato un segnale reale, x(t) = x ∗ (t), è verificata la condizione X(f) =<br />
X ∗ (−f). Questo comporta che la parte reale ed il modulo <strong>del</strong>la trasformata<br />
di Fourier sono funzioni pari, mentre la parte immaginaria e<br />
la fase sono funzioni dispari<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
Re{X(f)} = Re{X(−f)}<br />
Im{X(f)} = −Im{X(−f)}<br />
|X(f)| = |X(−f)|<br />
X(f) = − X(−f)<br />
(1.18)<br />
In più se il segnale nel tempo è reale e pari, x(t) = x(−t), allora X(f)<br />
è reale e pari; al contrario se il segnale nel tempo è reale e dispari,<br />
x(t) = −x(−t), allora X(f) è immaginario e dispari.<br />
• Dualità<br />
Trasformata ed antitrasformta differiscono soltanto per un segno:<br />
F T<br />
x(t) −→ X(f) t=f F T<br />
=⇒ X(t) −→ x(−f) (1.19)<br />
nel dominio <strong>del</strong> tempo, mentre nel dominio <strong>del</strong>la frequenza<br />
IF T<br />
X(f) −→ x(t) t=f IF T<br />
=⇒ x(f) −→ X(−t). (1.20)<br />
Esempio. Calcolo <strong>del</strong>l’Energia.<br />
Si vuole calcolare l’energia <strong>del</strong> segnale x(t) = Aτsinc(τt). Per la prima<br />
proprietà <strong>del</strong>la dualità è noto che x(t) = A rectτ(t) ha come trasformata<br />
di Fourier X(f) = Aτsinc(τf) da cui X(t) = Aτsinc(τt) ha come
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 6<br />
trasformata x(−f) = A rectτ(−f) = A rectτ(f) essendo il rect una<br />
funzione pari.<br />
Sfruttando il teorema di parseval si ottiene che<br />
εx =<br />
+∞<br />
−∞<br />
|X(f)| 2 df =<br />
+ τ<br />
2<br />
− τ<br />
2<br />
A 2 df = A 2 τ (1.21)<br />
• Linearità<br />
La trasformata <strong>del</strong>la somma di due o più segnali è uguale alla somma<br />
di ogni singola trasformata<br />
F T {a · x1(t) + b · x2(t)} = a · X1(f) + b · X2(f) (1.22)<br />
• Valore medio e valore iniziale<br />
Il valor medio <strong>del</strong> segnale x(t) è uguale al valore <strong>del</strong>la trasformata in<br />
f = 0<br />
mx =<br />
+∞<br />
−∞<br />
x(t)dt = X(f = 0) (1.23)<br />
il valore <strong>del</strong> segnale in t = 0 corrisponde alla media nel dominio <strong>del</strong>la<br />
frequenza<br />
• Traslazione nel tempo<br />
• Traslazione in frequenza<br />
x(t = 0) =<br />
F T<br />
+∞<br />
−∞<br />
X(f)df (1.24)<br />
z(t) = x(t − T ) −→ Z(f) = X(f)e −j2πfT<br />
IF T<br />
Z(f) = X(f − f0) −→ z(t) = x(t)e j2πf0t<br />
(1.25)<br />
(1.26)<br />
Esempio<br />
Si vuole calcolare l’antitrasformata di Fourier per il seguente segnale<br />
X(f − f0) + X(f + f0). Applicando la proprietà <strong>del</strong>la traslazione in<br />
frequenza si ottiene:<br />
X(f − f0) + X(f + f0)<br />
• Cambiamento di scala<br />
IF T<br />
−→ x(t)e j2πf0t −j2πf0t<br />
+ x(t)e = 2x(t)cos(2πf0t)<br />
(1.27)<br />
F T {x(at)} = 1<br />
|a| X<br />
<br />
f<br />
<br />
|a|<br />
(1.28)
• Trasformate di:<br />
– <strong>del</strong>ta di dirac.<br />
Introducendo la definizione di <strong>del</strong>ta di dirac<br />
<br />
∞ t = 0<br />
δ(t) =<br />
0 altrimenti<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 7<br />
(1.29)<br />
e +∞<br />
δ(t)dt = 1 (1.30)<br />
−∞<br />
la trasformata di Fourier <strong>del</strong>la <strong>del</strong>ta è uguale ad una costante<br />
– costante.<br />
Per la proprietà duale<br />
F T {Aδ(t)} = A (1.31)<br />
F T {A} = Aδ(f). (1.32)<br />
Esempio<br />
Si vuole calcolare la trasformata di Fourier di x(t) = A cos(2πf0t+<br />
φ):<br />
x(t) = A<br />
<br />
e<br />
2<br />
j(2πf0t+φ)<br />
<br />
−j(2πf0t+φ) F T A<br />
+e −→ X(f) =<br />
2 (ejφδ(f−f0)+e −jφ δ(f+f0))<br />
(1.33)<br />
• Risposta impulsiva e convoluzione<br />
In un sistema lineare tempo-invariante (LTI) che caratterizza un sistema<br />
fisico come ad esempio un mezzo trasmissivo (cavo elettrico, fibra<br />
ottica, ecc...) può essere calcolata la risposta impulsiva<br />
h(t) = y(t)|x(t)=δ(t)<br />
(1.34)<br />
l’uscita per un generico segnale in ingresso è data dal prodotto di<br />
convoluzione tra la risposta impulsiva ed il segnale in ingresso<br />
y(t) = h(t) ⊗ x(t) =<br />
+∞<br />
−∞<br />
• Moltiplicazione in frequenza e nel tempo<br />
h(t − τ)x(τ)dτ (1.35)
– Moltiplicazione in frequenza<br />
F T<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 8<br />
x1(t) ⊗ x2(t) −→ X1(f) · X2(f) (1.36)<br />
Esempio<br />
Si vuole calcolare la trasformata di Fourier <strong>del</strong>la funzione triangolo:<br />
|f|<br />
1 − |f| ≤ T<br />
x(t) = trianT (t) =<br />
T<br />
(1.37)<br />
0 altrove<br />
La funzione triangolo può essere espressa come un prodotto di con-<br />
voluzione tra due funzioni rect <strong>del</strong>la stessa durata T<br />
2 , trianT (t) =<br />
1<br />
T rectT (t) ⊗ rectT (t). Applicando la proprietà <strong>del</strong> prodotto in<br />
frequenza si ottiene<br />
X(f) = 1<br />
T T sinc(T f) · T sinc(T f) = T sinc2 (T f) (1.38)<br />
– Moltiplicazione nel tempo<br />
IF T<br />
X1(f) ⊗ X2(f) −→ x1(t) · x2(t) (1.39)<br />
Esempio<br />
Sono noti i segnali x1(t) = A rectT (t) e x2(t) = cos(2πf0t), si vuole<br />
calcolare la trasformata di Fourier <strong>del</strong> segnale z(t) = x1(t) · x2(t).<br />
Sfruttando la proprietà <strong>del</strong>la moltiplicazione nel tempo si ottiene<br />
Z(f) = X1(f) ⊗ X2(f) =<br />
= T sinc(T f) ⊗ 1<br />
2 (δ(f − f0) + δ(f + f0)) =<br />
= T<br />
2 sinc(T (f − f0) + T<br />
2 sinc(T (f + f0)) .<br />
• Derivazione ed integrazione nel tempo<br />
– Derivata<br />
d x(t)<br />
dt<br />
(1.40)<br />
F T<br />
−→ j2πf X(f) (1.41)<br />
Esempio<br />
Si vuole verificare la proprietà <strong>del</strong>la derivata per x(t) = cos(2πf0t).<br />
La derivata <strong>del</strong> segnale è uguale a −2πf0 sen(2πf0t), nel dominio<br />
spettrale invece la trasformata <strong>del</strong>la derivata <strong>del</strong> coseno vale<br />
j2πf · 1<br />
2 (δ(f − f0) + δ(f + f0)) =<br />
= j2πf0 · 1<br />
2 (δ(f − f0) − δ(f + f0)) =<br />
= −2πf0 · 1<br />
2j (δ(f − f0) − δ(f + f0)) =
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 9<br />
Il risultato ottenuto antitrasformando l’ultima espressione è uguale<br />
alla funzione coseno derivata nel tempo.<br />
– Integrale<br />
t<br />
−∞<br />
1.3.3 Teorema di Poisson<br />
x(τ)dτ<br />
F T<br />
−→ X(f)<br />
j2πf<br />
(1.42)<br />
Un segnale periodico x(t) con periodo T ha la seguente trasformata di Fourier<br />
X(f) = 1<br />
T<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
<br />
n<br />
<br />
G δ f −<br />
T<br />
n<br />
<br />
T<br />
(1.43)<br />
dove G(f) è la trasformata di Fourier <strong>del</strong> segnale g(t) corrispondente al segnale<br />
x(t) su un solo periodo T .<br />
Il risultato <strong>del</strong>l’eq.(1.43) si ottiene dal teorema di Poisson di cui non viene<br />
svolta la dimostrazione. Tale teorema afferma che la trasformata di un serie<br />
infinita di <strong>del</strong>ta è ancora nel dominio trasformata una serie infinita di <strong>del</strong>ta<br />
ΠT (t) =<br />
+∞<br />
−∞<br />
F T<br />
δ(t − nT ) ←→ 1<br />
T<br />
1.4 Processi casuali<br />
1.4.1 Teoria <strong>del</strong>la probabilità<br />
· Π 1 (f) =<br />
T<br />
1<br />
T ·<br />
+∞ <br />
δ<br />
−∞<br />
f − n<br />
T<br />
<br />
(1.44)<br />
Il concetto di probabilità è legato al concetto di esperimento casuale in cui<br />
il valore di uscita non può essere definito con certezza ed in cui eventi elementari<br />
sono ritenuti equiprobabili. La probabilità di un evento, secondo la<br />
definizione classica, è il rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero<br />
di casi possibili, purchè questi ultimi siano ugualmente possibili:<br />
PA = nA<br />
ntot<br />
. (1.45)<br />
Alcuni esperimenti casuali legati al concetto di probabilità sono ad esempio il<br />
lancio di una moneta per testa o croce, il lancio di un dado a sei facce oppure<br />
la scelta di una carta da un mazzo di carte. In ognuno dei tre esperimenti<br />
elencati non è possibile stabilire quale sarà l’esito esatto <strong>del</strong>l’esperimento.<br />
Lo spazio Ω <strong>del</strong>le possibili uscite Ω = N i=1 ωi può essere a valori discreti<br />
quando il numero <strong>del</strong>le possibili uscite è finito, mentre è a valori continui
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 10<br />
quando il numero di uscite è infinito.<br />
Con E inoltre viene indicato un evento di un sottoinsieme di Ω, in modo da<br />
poter definire la probabilità di quell’evento, P (E).<br />
Consideriamo adesso le proprietà principali <strong>del</strong>la probabilità:<br />
• La probabilità di un evento è sempre compresa tra 0 ed 1<br />
• La probabilità di un evento nullo è 0<br />
0 ≤ P (E) ≤ 1; (1.46)<br />
P (E = null) = 0; (1.47)<br />
• La probabilità di un evento che contiene tutte le possibili uscite è uguale<br />
ad 1<br />
P (E = Ω) = 1; (1.48)<br />
• La probabilità di un evento complementare è uguale ad 1 meno la<br />
probabilità <strong>del</strong>l’evento stesso<br />
P (E) = 1 − P (E); (1.49)<br />
• La probabilità <strong>del</strong>l’unione di due eventi è uguale alla somma <strong>del</strong>le<br />
probabilità dei due eventi meno la probabilità <strong>del</strong>l’intersezione<br />
• Se E1 ⊂ E2 allora<br />
P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2) − P (E1 ∩ E2); (1.50)<br />
P (E1) ≤ P (E2) (1.51)<br />
• La Probabilità condizionata di due eventi E1 e E2 con rispettive<br />
probabilità P (E1) e P (E2) è definita come<br />
P (E1|E2) =<br />
P (E1∩E2)<br />
P (E2)<br />
P (E2) = 0<br />
0 altrimenti<br />
(1.52)<br />
se i due eventi sono statisticamente indipendenti allora P (E1|E2) =<br />
P (E1) e P (E1 ∩ E2) = P (E1) · P (E2);<br />
• Teorema <strong>del</strong>la Probabilità Totale<br />
Dato un insieme N di eventi {Ei} N i=1 con N i=1 Ei = Ω e Ei ∩ Ej = null<br />
∀ i, j con i = j, la probabilità di un evento generico A è calcolata come<br />
somma pesata <strong>del</strong>le probabilità condizionate agli eventi Ei:<br />
N<br />
P (A) = P (A|Ei) · P (Ei) (1.53)<br />
i=1
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 11<br />
• Teorema di Bayes<br />
Dati due eventi A e B il Teorema di Bayes consente di scambiare i<br />
termini sulle probabilità condizionate<br />
P (B|A) =<br />
1.4.2 Variabili aleatorie<br />
P (A|B) · P (B)<br />
P (A)<br />
(1.54)<br />
Una variabile aleatoria x è il risultato numerico di un esperimento quando<br />
questo non è deterministico. Ad esempio il risultato <strong>del</strong> lancio di un dado<br />
a sei facce può essere matematicamente mo<strong>del</strong>lizzato come una variabile casuale<br />
che può assumere uno dei sei possibili valori 1, 2, 3, 4, 5, 6.<br />
Più formalmente dato Ω, la variabile aleatoria x è una funzione misurabile<br />
dallo spazio Ω allo spazio Euclideo.<br />
Ad ogni variabile aleatoria X è associata la sua funzione distribuzione cumulativa,<br />
Fx(x), che assegna ad ogni sottoinsieme, <strong>del</strong>l’insieme dei possibili<br />
valori di x, la rispettiva probabilità:<br />
Fx(x) = P (x ≤ x). (1.55)<br />
Sono elencate di seguito alcune proprietà <strong>del</strong>la Fx(x):<br />
• 0 ≤ Fx(x) ≤ 1;<br />
• Fx(x) non è una funzione decrescente;<br />
• lim<br />
n→−∞ Fx(x) = 0 e lim<br />
n→+∞ Fx(x) = 1;<br />
• P (a ≤ x ≤ b) = Fx(b) − Fx(a).<br />
Si definisce inoltre la funzione densità di probabilità:<br />
fx(x) =<br />
d Fx(x)<br />
dx<br />
Alcune proprietà <strong>del</strong>la funzione densità di probabilità:<br />
• fx(x) ≥ 0 ∀ x;<br />
• +∞<br />
−∞ fX(x)dx = 1;<br />
• b<br />
a fx(x)dx = P (a ≤ x ≤ b);<br />
• Fx(x) = x<br />
−∞ fx(x)dx.<br />
(1.56)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 12<br />
Esempio (Variabile aleatoria uniforme)<br />
Una variabile aleatoria uniforme ha la seguente funzione densità di<br />
probabilità<br />
fx(x) =<br />
1<br />
(b−a)<br />
a < x < b<br />
0 altrimenti<br />
(1.57)<br />
come mostrato in figura 1.3(a), e la seguente funzione distribuzione<br />
⎧<br />
⎨<br />
Fx(x) =<br />
⎩<br />
0<br />
(x−a)<br />
(b−a)<br />
1<br />
x < a<br />
a < x < b<br />
x > b<br />
(1.58)<br />
Esempio (Variabile aleatoria gaussiana)<br />
Una variabile aleatoria gaussiana ha la seguente funzione densità di<br />
probabilità<br />
fx(x) =<br />
1 (x−m)2<br />
√ e− 2σ<br />
2πσ2 2 (1.59)<br />
come mostrato in figura 1.3(b), e la seguente funzione distribuzione<br />
Fx(x) =<br />
x<br />
−∞<br />
1 (x−m)2<br />
√ e− 2σ<br />
2πσ2 2 dx. (1.60)<br />
I termini m e σ determinano la posizione e l’allargamento <strong>del</strong>l’andamento<br />
a campana <strong>del</strong>la funzione. Per caratterizzare una variabile aleatoria<br />
gaussiana spesso si indica N(m, σ), cioè si specificano i due termini m<br />
e σ.<br />
L’espressione <strong>del</strong>la FX(x) può essere scritta anche nella forma:<br />
dove<br />
Fx(x) = 1 −<br />
+∞<br />
x<br />
1 (x−m)2<br />
√ e− 2σ<br />
2πσ2 2 dx = 1 − Q<br />
Q(x) =<br />
+∞<br />
x<br />
<br />
x − m<br />
<br />
σ<br />
(1.61)<br />
1 t2<br />
− √ e 2 dt. (1.62)<br />
2π<br />
Nel caso in cui si abbiano funzioni di variabili aleatorie y = g(x), la densità<br />
di probabilità di y può essere determinata dalla densità di probabilità di x<br />
mediante la seguente equazione:<br />
fy(y) = fx(xi)<br />
|g ′ <br />
<br />
(1.63)<br />
(x)|<br />
i<br />
x=xi<br />
dove gli zeri di xi = g −1 (yi) si ottengono invertendo la relazione y = g(x).
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 13<br />
Figura 1.3: Variabile aleatoria con: a) densità di probabilità uniforme; b) densità di<br />
probabilità gaussiana<br />
Esempio<br />
Si consideri la seguente variabile aleatoria composta y = a x + b, la<br />
densità di probabilità di X è N(0, 1), si vuole determinare la densità di<br />
probabilità di Y.<br />
Noto che |g ′ (xi)| = |a| e che xi = y−b<br />
quindi fy(y) = N(b, a).<br />
a , si ottiene fy(y) = fx<br />
<br />
y−b<br />
a<br />
Sono elencate adesso le principali statistiche che possono essere calcolate su<br />
una variabile aleatoria:<br />
• Media d’insieme<br />
mx = E[x] =<br />
+∞<br />
−∞<br />
|a|<br />
x · fx(x)dx (1.64)<br />
e
dove il termine E[·] è indicato come il valore aspettato.<br />
Se la variabile aleatoria è una funzione composta allora<br />
my = E[y = g(x)] =<br />
+∞<br />
−∞<br />
• Valore Quadratico Medio (V.Q.M.)<br />
V.Q.M. = E[x 2 ] =<br />
e nel caso di funzione composta<br />
• Varianza<br />
V.Q.M. = E[y 2 ] =<br />
e nel caso di funzione composta<br />
1.4.3 Segnali Aleatori<br />
+∞<br />
−∞<br />
+∞<br />
−∞<br />
σ 2 x = E[(x − mx) 2 ] = V.Q.M(x) − m 2 x<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 14<br />
g(x) · fx(x)dx; (1.65)<br />
x 2 · fx(x)dx (1.66)<br />
g 2 (x) · fx(x)dx; (1.67)<br />
(1.68)<br />
σ 2 y = E[(y − my) 2 ] = V.Q.M(y) − m 2 y. (1.69)<br />
Un segnale aleatorio, indicato con il termine x(t), può avere le due seguenti<br />
definizioni:<br />
1. una collezione infinita di segnali deterministici ottenuti fissando, per<br />
ogni realizzazione, il termine aleatorio;<br />
2. una serie infinita ed ordinata nel tempo di variabili aleatorie.<br />
Per caratterizzare completamente un segnale aleatorio è necessario fornire<br />
la densità di probabilità congiunta su ogni possibile combinazione di istanti<br />
temporali:<br />
(t1, t2, ..., tn) ←→ fx(t1),x(t2),...,x(tn)(x1, x2, ..., xn) (1.70)<br />
valido ∀ t1, ..., tn.<br />
Un segnale aleatorio è descritto dalle sue statistiche di ordine M quando<br />
l’eq.(1.70) vale ∀ n ≤ M. Nei sistemi di telecomunicazioni si richiede tipicamente<br />
M = 2, in modo da conoscere fx(x) e fx(t1),x(t2)(x1, x2).<br />
Sono riportate adesso le principali misure statistiche di un segnale aleatorio:
• Media d’insieme<br />
mx(t) = E[x(t)] =<br />
e per segnali aleatori composti<br />
my(t) = E[y(t) = g(x(t))] =<br />
+∞<br />
−∞<br />
+∞<br />
−∞<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 15<br />
x · fx(t)(x)dx (1.71)<br />
g(x)fx(t)(x)dx (1.72)<br />
Esempio<br />
Si consideri il seguente segnale aleatorio y(t) = A cos(2πf0t + θ) di cui<br />
si conosce le densità di probabilità <strong>del</strong>la variabile aleatoria θ<br />
fθ(θ) =<br />
<br />
1<br />
2π<br />
0 ≤ θ ≤ 2π<br />
0 altrimenti<br />
Si vuole calcolare la media d’insieme. Applicando la definizione si<br />
ottiene<br />
my(t) = E[y(t)] =<br />
2π<br />
• Funzione di Autocorrelazione<br />
0<br />
A cos(2πf0t+θ)· 1 A<br />
2π<br />
dθ = sen(2πf0t+θ)| 0 = 0<br />
2π 2π<br />
(1.73)<br />
Rx(t1),x(t2)(t1, t2) = E[x(t1) · x(t2)] =<br />
= +∞<br />
−∞<br />
e per segnali aleatori composti<br />
+∞<br />
−∞ x1x2 · fx(t1),x(t2)(x1, x2)dx1dx2<br />
Ry(t1),y(t2)(t1, t2) = E[y(t1) · y(t2)]<br />
= +∞<br />
−∞<br />
+∞<br />
−∞ g(x1)g(x2) · fx(t1),x(t2)(x1, x2)dx1dx2<br />
Si elencano alcune proprietà <strong>del</strong>la funzione di autocorrelazione:<br />
– La funzione di autocorrelazione è una funzione pari<br />
(1.74)<br />
(1.75)<br />
Rx(t1),x(t2)(t1, t2) = Rx,x(τ = t2 − t1) = Rx,x(−τ); (1.76)<br />
– Il massimo <strong>del</strong>la funzione di autocorrelazione è in τ = 0<br />
|Rx,x(τ)| ≤ Rx,x(0); (1.77)<br />
– Se si verifica che ∃ T0 tale che Rx,x(T0) = Rx,x(0) allora ∀ k vale<br />
che Rx,x(T0) = Rx,x(0).
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 16<br />
Esempio<br />
Si vuole calcolare la funzione di autocorrelazione <strong>del</strong>l’esercizio precedente:<br />
Ry(t1),y(t2)(t1, t2) = E[A cos(2πf0t1 + θ) · A cos(2πf0t2 + θ)] =<br />
= A2<br />
2 E[cos(2πf0(t2 − t1)) + cos(2πf0(t1 + t2) + 2θ)] =<br />
= A2<br />
2 cos(2πf0(t2 − t1)) = A2<br />
2 cos(2πf0τ).<br />
• Valore Quadratico medio (V.Q.M.)<br />
(1.78)<br />
V.Q.M. = E[x 2 (t)] = Rx,x(t1, t1). (1.79)<br />
Il V.Q.M di un segnale aleatorio corrisponde alla potenza media <strong>del</strong><br />
processo.<br />
• Varianza<br />
σ 2 x(t) = E[(x(t) − mx(t)) 2 ] = E[x(t) 2 ] − m 2 x(t); (1.80)<br />
• Funzione di Crosscorrelazione<br />
• Funzione di Covarianza<br />
Rx,y(t1, t2) = E[x(t1)y(t2)]; (1.81)<br />
Cx,x(t1, t2) = E[(x(t1) − mx(t1)) · (x(t2) − mx(t2))]; (1.82)<br />
• Funzione di Crosscovarianza<br />
Cx,y(t1, t2) = E[(x(t1) − mx(t1)) · (y(t2) − my(t2))]. (1.83)<br />
Sono elencate adesso le principali proprietà dei segnali aleatori:<br />
• Stazionarietà di un processo.<br />
Un processo si dice stazionario in senso stretto quando si verifica che la<br />
densità di probabilità congiunta su n istanti temporali dipende soltanto<br />
dalla posizione relativa degli istanti temporali e non dai valori stessi<br />
fx(t1),x(t2),...,x(tn)(x1, x2, ..., xn) =<br />
= fx(t1+∆),x(t2+∆),...,x(tn+∆)(x1, x2, ..., xn)<br />
(1.84)<br />
valido ∀ t1, t2, ..., tn. Un processo si dice stazionario in senso lato<br />
quando si verificano le due condizioni:
1. la media d’insieme non dipende dal tempo<br />
mx(t) = mx<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 17<br />
(1.85)<br />
2. la funzione di autocorrelazione dipende soltanto dalla distanza<br />
relativa tra t2 e t1 e non dai valori stessi<br />
Rx(t1),x(t2)(t1, t2) = Rx(t1),x(t2)(t2 − t1 = τ) (1.86)<br />
• Densità spettrale di potenza media di un segnale aleatorio<br />
Per un segnale aleatorio la Trasformata di Fourier non può essere calcolata.<br />
Per avere quindi una rappresentazione spettrale si valuta la densità<br />
spettrale di potenza media ottenuta dalla trasformata di Fourier<br />
<strong>del</strong>la funzione di autocorrelazione:<br />
Px,x(f) =<br />
+∞<br />
−∞<br />
Rx,x(τ)e −j2πfτ dτ. (1.87)<br />
E’ definita anche l’antitrasformata di Fourier <strong>del</strong>la densità spettrale di<br />
potenza media<br />
Rx,x(τ) =<br />
+∞<br />
−∞<br />
Px,x(f)e j2πfτ df. (1.88)<br />
Per la densità spettrale di potenza media è sempre verificato che:<br />
– Px,x(f) ≥ 0 ∀ f;<br />
– Px,x(f) = Px,x(−f);<br />
– Px = Rx,x(τ = 0) = +∞<br />
−∞ Px,x(f)df corrispondente alla potenza<br />
media <strong>del</strong> processo.<br />
Esempio<br />
La densità spettrale di potenza media di un segnale aleatorio la cui<br />
funzione di autocorrelazione è Rx,x(τ) = A2<br />
2 cos(2πf0τ) vale<br />
Px,x(f) = A2<br />
4 (δ(f − f0) + δ(f + f0))<br />
• Segnali aleatori in ingresso a sistemi lineari tempo-invarianti<br />
Un segnale aleatorio x(t) stazionario in senso lato in ingresso ad un<br />
sistema LTI caratterizzato dalla risposta impulsiva h(t) genera in uscita<br />
al sistema un segnale, y(t), anch’esso stazionario in senso lato in cui la<br />
media, la funzione di crosscorrelazione e la funzione di autocorrelazione<br />
valgono:
– Media<br />
– Crosscorrelazione<br />
+∞<br />
my = mx ·<br />
−∞<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 18<br />
h(t)dt = mx · H(f = 0) (1.89)<br />
F T<br />
Rx,y(τ) = Rx,x(τ) ⊗ h(−τ) → Px,y(f) = Px,x(f) · H ∗ (f) (1.90)<br />
– Autocorrelazione<br />
F T<br />
Ry,y(τ) = Rx,x(τ) ⊗ h(−τ) ⊗ h(τ) → Px,y(f) = Px,x(f) · |H(f)| 2<br />
(1.91)<br />
Esempio<br />
Un segnale aleatorio la cui funzione di autocorrelazione è y(t) = A cos(2πf0t+<br />
θ) viene posto in ingresso ad un sistema derivatore. Si vuole calcolare<br />
la funzione di autocorrelazione <strong>del</strong> segnale aleatorio all’uscita <strong>del</strong> sistema.<br />
La trasformata di Fourier di un sistema derivatore è H(f) = j2πf,<br />
sfruttando l’eq.(1.91) si ottiene<br />
Px,x(f) = |H(f)| 2 · Px,x(f) =<br />
= 4π 2 f 2 · A2<br />
4 (δ(f − f0) + δ(f + f0)) = 4π 2 f 2 0 · A2<br />
4 (δ(f − f0) + δ(f + f0))<br />
da cui antitrasformando<br />
Ry,y(τ) = 2π 2 f 2 0 A 2 cos(2πf0τ)<br />
1.4.4 Segnali aleatori Gaussiani e Bianchi<br />
Un segnale aleatorio si definisce gaussiano e bianco quando la densità di<br />
probabilità congiunta per ogni ordine n è gaussiana e quando la densità<br />
spettrale di potenza media è costante ∀ f, Px,x(f) = C.<br />
Il rumore termico, trattato nel capitolo 3, è un esempio di segnale aleatorio<br />
gaussiano e bianco.<br />
1.4.5 Rumore AWGN<br />
Il rumore AWGN, n(t), è un segnale aleatorio che soddisfa le seguenti condizioni:<br />
• rumore stazionario in senso lato;<br />
• segnale aleatorio additivo sul segnale utile;
• segnale aleatorio gaussiano e bianco;<br />
• segnale aleatorio con media d’insieme nulla.<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 19<br />
La costante <strong>del</strong>la densità spettrale di potenza media viene indicata con il<br />
termine N0<br />
2 se viene fatto riferimento alla densità bilatera, altrimenti N0 se<br />
viene fatto riferimento alla densità monolatera.<br />
1.4.6 Banda equivalente e Banda a −3dB<br />
• Banda equivalente<br />
La definizione di Banda equivalente per un sistema LTI con risposta<br />
impulsiva h(t) è la seguente:<br />
Beq =<br />
+∞<br />
|H(f)| 0<br />
2df max|H(f)| 2 . (1.92)<br />
Il significato di banda equivalente è quello di avere un sistema LTI equivalente<br />
in cui Heq(f) ha un andamento passa-basso ideale con banda<br />
(−Beq, Beq) ed ampiezza max|H(f)| 2 ed in cui, se in ingresso è posto<br />
un segnale aleatorio bianco, la potenza media dei due sistemi (reale ed<br />
equivalente) è uguale:<br />
Py = N0<br />
2<br />
+∞<br />
−∞<br />
|H(f)| 2 df ↔ N0<br />
2 · max|H(f)|2 · 2Beq<br />
(1.93)<br />
• Banda a −3dB<br />
E’ definita come la frequenza <strong>del</strong> filtro H(f) di un sistema LTI che<br />
verifica la condizione:<br />
|H(f−3dB)| 2 = 1<br />
2<br />
(1.94)<br />
Esempio<br />
Sia h(n) la risposta impulsiva di un sistema LTI la cui risposta in frequenza<br />
è<br />
1<br />
H(f) =<br />
1 + j f . (1.95)<br />
fc<br />
Si richiede di calcolare la banda equivalente e la banda a −3dB.<br />
Per quanto riguarda la banda equivalente:<br />
|H(f)| 2 =<br />
1 +<br />
1<br />
2 f<br />
fc
con<br />
e<br />
+∞<br />
0<br />
1 +<br />
1<br />
f<br />
fc<br />
max|H(f)| 2 = 1 in f = 0<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 20<br />
+∞<br />
1<br />
2 df = fc ·<br />
f<br />
v= fc 0 1 + v2 dv = fc · atan(v)| +∞<br />
0 = fc · π<br />
2 .<br />
La banda equivalente è quindi uguale a Beq = π<br />
2 fc.<br />
Per quanto riguarda invece la banda a −3dB si ottiene<br />
1 +<br />
1<br />
f<br />
fc<br />
2 = 1<br />
2<br />
da cui B−3dB = fc. Da cui si osserva che in questo esempio la Beq > B−3dB
Capitolo 2<br />
Prestazioni di un collegamento<br />
Si faccia riferimento alle slides “Prestazioni di un collegamento” consultabili<br />
alla “Home Page” <strong>del</strong> <strong>corso</strong>.<br />
21
Capitolo 3<br />
Rumore Introdotto dai<br />
Dispositivi Elettronici<br />
In questo capitolo sono descritte le principali fonti <strong>del</strong> processo di rumore<br />
presenti nei sistemi di telecomunicazione, e di come ne venga tenuto in<br />
considerazione in fase progettuale. Vedremo che il rumore è mo<strong>del</strong>lato matematicamente<br />
come un segnale aleatorio, da cui è possibile calcolare la potenza<br />
media, utile nel calcolo <strong>del</strong> rapporto segnale-rumore caratterizzante il sistema<br />
di trasmissione. Principalmente tratteremo il rumore termico in quanto<br />
in ogni collegamento tra modulatore e demodulatore avremo sempre a che<br />
fare con questa forma di rumore.<br />
3.1 Rumore Termico<br />
Ogni elemento conduttore è caratterizzato da perdite resistive, che circuitalmente<br />
indichiamo con R. Un resistore che si trova ad una temperatura<br />
superiore allo zero Kelvin (0 ◦ K) produce ai suoi capi una tensione rumorosa<br />
misurabile a circuito aperto. Tale tensione rumorosa è dovuta all’agitazione<br />
termica degli elettroni che si muovono in modo caotico all’interno <strong>del</strong>la<br />
resistenza. La resistenza rumorosa, Rn, è possibile rappresentarla equivalentemente<br />
come un resistore non rumoroso in serie ad un generatore di tensione,<br />
figura 3.1. Il generatore produce un segnale aleatorio di tensione, v(t), la cui<br />
densità spettrale di potenza media è<br />
Pv,v(f) = 2Rh|f|<br />
e h|f|<br />
kT − 1<br />
(3.1)<br />
dove h è la costante di Plank, uguale a 6.63 · 10 −34 , T è la temperatura <strong>del</strong><br />
resistore espressa in gradi Kelvin e k è la costante di Boltzmann, uguale a<br />
22
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 23<br />
1.38 · 10 −23 .<br />
La trasformazione che consente di esprimere una temperatura da gradi centigradi<br />
a gradi kelvin è la seguente<br />
T◦ k = T◦ C + 273. (3.2)<br />
Inoltre la temperatura T = 17 ◦ C corrispondente a T = 290K è indicata come<br />
temperatura ambiente T0.<br />
Se si considera a temperatura ambiente la condizione h|f|<br />
kT0<br />
Figura 3.1: Resistenza rumorosa e rappresentazione equivalente<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 24<br />
Se la densità spettrale di potenza media <strong>del</strong> rumore termico è calcolata sulla<br />
banda <strong>del</strong> segnale utile modulante (cioè il segnale informativo che deve essere<br />
trasmesso), si ottiene<br />
Pc =<br />
dove il termine kT<br />
2<br />
bilatera).<br />
B<br />
−B Pv,v(f)df<br />
4R<br />
= 2RkT · (2B)<br />
4R<br />
viene indicato con N0<br />
2<br />
= kT<br />
2<br />
· (2B) = kT B (3.5)<br />
(densità spettrale di potenza media<br />
Figura 3.2: Trasferimento di potenza <strong>del</strong>la resistenza rumorosa ad un carico Zc<br />
3.1.1 Temperatura Equivalente di rumore per dispositivi<br />
due porte<br />
Si consideri una rete due porte mostrata in figura 3.3 in cui sono note le<br />
tensioni e le correnti in ingresso ed in uscita, Vi, Vu, Ii e Iu. Per tale dispositivo<br />
può essere definito il guadagno in tensione, in corrente o in potenza <strong>del</strong><br />
dispositivo:<br />
GV = Vu<br />
Vi<br />
GI = Iu<br />
Ii<br />
GP = Pu<br />
(3.6)<br />
Pi<br />
Nella trattazione successiva faremo sempre riferimento al guadagno in potenza,<br />
GP = G.<br />
Per definire la temperatura equivalente consideriamo quindi di avere un
Figura 3.3: Dispositivo due porte<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 25<br />
dispositivo due porte al cui ingresso è posta una resistenza rumorosa e che le<br />
impedenze viste dalla porta di ingresso e di uscita siano poste in condizione<br />
di massimo trasferimento di potenza, figura 3.4(a). Per tale dispositivo la<br />
potenza media in uscita è uguale a<br />
Pu = G · Pi + Pd = GkTiB + Pd<br />
(3.7)<br />
dove Pd è la potenza media di rumore, di cui non ne conosciamo la natura,<br />
introdotta dal dispositivo.<br />
La temperatura equivalente rappresenta l’incremento di temperatura che deve<br />
essere fornita al resistore di ingresso in modo tale da ottenere la stessa<br />
potenza media di rumore in uscita al dispositivo supposto non rumoroso,<br />
3.4(b),:<br />
Il termine<br />
Pu = Gk(Ti + Teq)B = GkTiB + GkTeqB = GkTiB + Pd. (3.8)<br />
Tu = G · (Ti + Teq) (3.9)<br />
prende il nome di temperatura di uscita <strong>del</strong> dispositivo due porte.<br />
3.1.2 Figura di rumore per dispositivi due porte<br />
La figura di rumore serve per avere una misura di rumorosità <strong>del</strong> dispositivo<br />
due porte. E’ definita come il rapporto tra la potenza media di rumore<br />
all’uscita <strong>del</strong> dispositivo due porte e la potenza media di rumore all’uscita<br />
<strong>del</strong> dispositivo supponendo che la rete due porte non introduca rumore:<br />
F = Pu<br />
G · Pi<br />
(3.10)<br />
Esprimendo con Si ed Su le potenze medie in ingresso ed uscita al dispositivo<br />
<strong>del</strong> segnale utile, l’eq.(3.10) può essere scritta anche come<br />
F = Si<br />
Si<br />
· Pu<br />
G · Pi<br />
= Pu<br />
·<br />
G · Si<br />
Si<br />
Pi<br />
= SNRi<br />
. (3.11)<br />
SNRu
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 26<br />
Figura 3.4: Temperatura equivalente: a) dispositivo rumoroso; b) rappresentazione<br />
equivalente con dispositivo due porte non rumoroso ed incremento <strong>del</strong>la temperatura di<br />
ingresso di Teq<br />
L’eq.(3.10) è sempre maggiore o uguale ad 1 visto che la potenza media di<br />
rumore in uscita potrà essere uguale al limite alla potenza media di rumore<br />
in ingresso amplificata in potenza.<br />
3.1.3 Rete Attiva<br />
Il guadagno in potenza può essere maggiore di 1, in quel caso si parla di rete<br />
attiva o di amplificatore figura 3.5(a), mentre quando è minore di 1 si ha una<br />
rete passiva (attenuatore) figura 3.5(b). Una rete attiva è costituita circuitalmente<br />
da resistenze, condensatori e induttanze mentre una rete passiva da<br />
sole resistenze. Svolgendo l’eq.(3.10) relativa alla figura di rumore si ottiene:<br />
F = Gk(Ti + Teq)B<br />
GkTiB<br />
= 1 + Teq<br />
. (3.12)<br />
Poichè in tale espressione la figura di rumore, che rappresenta una misura<br />
di rumorosità <strong>del</strong> solo dispostivo, dipende anche dalla temperatura <strong>del</strong>la resistenza<br />
in ingresso, si fissa la Ti alla temperatura ambiente, ottenendo così<br />
l’espressione <strong>del</strong>la figura di rumore e <strong>del</strong>la temperatura equivalente per una<br />
rete attiva:<br />
F = 1 + Teq<br />
(3.13)<br />
T0<br />
Ti<br />
Teq = T0 · (F − 1). (3.14)<br />
Se si vuole calcolare il SNRu noto il SNRi e la figura di rumore è necessario<br />
utilizzare la seguente equazione<br />
SNRu = SNRi<br />
1 + Teq<br />
Ti<br />
= SNRi<br />
1 + Teq<br />
T0<br />
· T0<br />
Ti<br />
=<br />
1 + T0<br />
Ti<br />
SNRi<br />
· (F − 1)<br />
(3.15)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 27<br />
Figura 3.5: Rappresentazione a blocchi di: a) un amplificatore; b) un attenuatore<br />
3.1.4 Rete Passiva<br />
In una rete passiva il guadagno è minore di 1 e quindi esprimibile anche come<br />
G = 1<br />
A<br />
(3.16)<br />
dove A è indicata con il termine di attenuazione.<br />
Supponiamo ora tutti i componenti alla stessa temperatura e quindi Ti = Tu,<br />
si ottiene<br />
Tu = G · (Ti + Teq) = Ti<br />
(3.17)<br />
e quindi le espressioni <strong>del</strong>la temperatura equivalente e <strong>del</strong>la figura di rumore<br />
di una rete passiva valgono<br />
Teq = Ti ·<br />
F = 1 + Teq<br />
3.1.5 Formule di Friis<br />
<br />
1 − G<br />
<br />
= Ti · (A − 1) (3.18)<br />
G<br />
Ti<br />
= 1 + A − 1 = A (3.19)<br />
Se più dispositivi due porte sono posti in cascata, figura 3.6, è noto che il<br />
guadagno in potenza complessivo è dato da<br />
G =<br />
N<br />
Gi. (3.20)<br />
i=1<br />
Si vuole determinare anche la temperatura equivalente e la figura di rumore<br />
complessiva di tutte rle reti due porte.
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 28<br />
Consideriamo per il momento di avere soltanto due dispositivi e di estendere<br />
successivamente i risultati ottenuti ad N dispostivi. Con due dispositivi,<br />
figura 3.6, vale ⎧ ⎨<br />
da cui<br />
⎩<br />
Tu1 = G1 · (Ti + Teq1)<br />
Tu2 = G2 · (Tu1 + Teq2)<br />
Tu2 = G1G2 · (Ti + Teq)<br />
Figura 3.6: Due dispositivi due porte in cascata<br />
(3.21)<br />
Tu2 = G2(G1(Ti+Teq1)+Teq2) = G1G2Ti+G1G2Teq1+G2Teq2 = G1G2(Ti+Teq)<br />
(3.22)<br />
e quindi<br />
con la figura di rumore complessiva<br />
Teq = Teq1 + Teq2<br />
G1<br />
(3.23)<br />
F = F1 + F2 − 1<br />
. (3.24)<br />
Dalle due equazioni determinate si osserva che se il dispositivo a monte è<br />
una rete passiva, G = 1/A < 1, il secondo termine <strong>del</strong>la somma può crescere<br />
proporzionalmente in funzione di A. Per limitarne gli effetti viene posto a<br />
monte di un attenuatore, se possibile, un amplificatore a basso rumore (LNA)<br />
in modo da ridurre la rumorosità complessiva <strong>del</strong> sistema.<br />
Estendendo i risultati ad N dispositivi, figura 3.7 , si ottengono le formule<br />
di Friis<br />
Teq = Teq1 +<br />
F = F1 +<br />
N<br />
i=2<br />
N<br />
i=2<br />
Teqi<br />
i−1<br />
j=1 Gj<br />
Fi − 1<br />
i−1<br />
j=1 Gj<br />
G1<br />
= Teq1 + Teq2<br />
G1<br />
= F1 + F2 − 1<br />
G1<br />
+ Teq3<br />
+ ... (3.25)<br />
G1G2<br />
+ F3 − 1<br />
G1G2<br />
+ .... (3.26)
Figura 3.7: N dispositivi due porte in cascata<br />
3.1.6 Temperatura di Sistema<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 29<br />
In un sistema con N dispositivi due porte la temperatura di sistema è definita<br />
all’ingresso <strong>del</strong> primo dispositivo come<br />
Tsist1 = Ti + Teq<br />
mentre all’ingresso <strong>del</strong> secondo dispositivo<br />
all’ingresso <strong>del</strong> terzo dispositivo<br />
Tsist2 = G1 · Tsist1<br />
Tsist3 = G2 · Tsist2 = G2G1 · Tsist1<br />
(3.27)<br />
(3.28)<br />
(3.29)<br />
e così via...<br />
La temperatura di sistema è utile nel calcolo <strong>del</strong> rapporto segnale rumore in<br />
uscita a tutti i dispositivi in quanto<br />
SNRu = SNRi|Ti=Tsist 1<br />
(3.30)<br />
cioè utilizzando la temperatura di sistema il SNR si mantiene costante ed<br />
uguale a quello di uscita.<br />
3.1.7 Rumore nei Ripetitori<br />
Analizziamo il problema con riferimento ad un collegamento radio, anche se la<br />
trattazione può essere estesa ad altre tecniche trasmissive. Supponiamo che il<br />
collegamento da effettuare tra la stazione trasmittente e la stazione ricevente<br />
sia molto lungo, tanto da impedirne la realizzazione mediante un’unica tratta,<br />
o a causa <strong>del</strong>l’eccessiva attenuazione disponibile, oppure per la mancanza di<br />
condizioni di visibilità. In questo caso è necessario suddividere il collegamento<br />
in più tratte (consideriamo M tratte). Tra ogni coppia di tratte si trova un<br />
ripetitore,che può essere non rigenerativo oppure rigenerativo.
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 30<br />
• Ripetitori non rigenerativi<br />
Nel caso di ripetitori non rigenerativi il segnale tra una tratta ed un’altra<br />
viene semplicemente amplificato. Di solito l’amplificatore ha un<br />
guadagno tale da compensare le perdite <strong>del</strong>l’attenuatore, Gamp = Aatt.<br />
Nel caso in cui si utilizzi per la trasmissione una modulazione analogica,<br />
il SNR complessivo è il seguente<br />
SNR =<br />
1<br />
N 1<br />
i=1 SNRi<br />
(3.31)<br />
dove SNRi è il rapporto segnale-rumore ottenuto su ogni singola tratta.<br />
Per le modulazioni digitali invece il rapporto energia per bit su densità<br />
spettrale di potenza media monolatera è<br />
Eb<br />
N0<br />
=<br />
1<br />
N<br />
i=1<br />
1<br />
E b<br />
N 0 |i<br />
(3.32)<br />
• Ripetitori rigenerativi<br />
Nei ripetitori rigenerativi il segnale non soltanto viene amplificato,<br />
ma anche demodulato. In particolare vengono eseguite le seguenti<br />
operazioni:<br />
1. Il segnale è amplificato con un amplificatore a basso rumore;<br />
2. Successivamente è demodulato;<br />
3. Elaborato e rimodulato ad una frequenza f2 diversa dalla frequenza<br />
di arrivo f1 per non generare interferenza;<br />
4. Amplificato con un amplificatore ad elevato guadagno in potenza.<br />
Nel caso di modulazioni digitali la probabilità di errore può essere<br />
approssimata con la seguente espressione<br />
dove Pei<br />
Pe ∼ =<br />
N<br />
i=1<br />
Pei<br />
sono le probabilità di errore calcolate su singola tratta.<br />
3.2 Rumore Shot<br />
(3.33)<br />
Il rumore shot è causato da dispositivi elettronici o fotoelettronici quali diodi<br />
o fotodiodi; l’effetto che si ottiene da un punto di vista circuitale è che la
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 31<br />
corrente non ha un andamento deterministico ma è soggetta anche ad una<br />
componente aleatoria<br />
iN(t) = I0 + i(t) (3.34)<br />
Tale rumore si presenta quando la corrente che fluisce in un determinato<br />
dispositivo è costituita da portatori discreti, che vengono emessi in istanti<br />
casuali e si muovono liberamente per un certo tratto prima di essere raccolti.<br />
La condizione, in sostanza, è che ciascun elettrone, sotto l’azione di un<br />
campo elettrico, attraversi lo spazio compreso fra gli elettrodi conservando<br />
la sua individualità, senza cioè che avvengano collisioni o ricombinazioni con<br />
altri portatori di carica. Il caso tipico che illustra questo comportamento è<br />
quello di un diodo a vuoto: gli elettroni vengono emessi dall’anodo per effetto<br />
termoionico in istanti casuali, si muovono nello spazio fra gli elettrodi con un<br />
moto di deriva uniformemente accelerato e poi vengono raccolti al catodo.<br />
Questo meccanismo shot viene definito di tipo macroscopico, poichè è possibile<br />
separare nettamente l’emissione dei portatori ed il moto libero. Anche il<br />
rumore che ha origine nella zona di giunzione in un diodo a semiconduttore<br />
è <strong>del</strong>lo stesso tipo.<br />
La densità spettrale di potenza media di tale corrente rumorosa detta granulare<br />
è<br />
Pi,i(f) = qI0<br />
(3.35)<br />
dove q è la carica di Coloumb, q = 1.59 10 19 .<br />
La potenza media di rumore è quindi Pi = qI0 · 2B<br />
3.3 Rumore Flicker<br />
E’ un rumore presente nei semiconduttori e in alcuni tipi di resistori. A<br />
differenza <strong>del</strong> rumore termico e <strong>del</strong> rumore shot che sono rumori bianchi, il<br />
rumore flicker presenta la seguente densità spettrale di potenza media<br />
Pi,i(f) = aI2 0<br />
|f| γ<br />
(3.36)<br />
Esso compare in modo significativo a frequenze molto basse (al di sotto <strong>del</strong>la<br />
decina di hertz) e la sua densità spettrale cresce al diminuire <strong>del</strong>la frequenza.<br />
Il rumore flicker è legato a fenomeni provvisti di un certo grado di memoria.<br />
Infatti, l’andamento <strong>del</strong>lo spettro, che cresce andando verso le basse<br />
frequenze, ci dice che due misure successive di una grandezza affetta da rumore<br />
flicker sono fra loro correlate. In sostanza, anche se in modo piuttosto<br />
approssimativo, possiamo dire che la frequenza dei disturbi di questo tipo è<br />
inversamente proporzionale alla loro intensità. Questo fatto, d’altra parte,
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 32<br />
non è certo sorprendente se si suppone che il sistema sia dotato di una certa<br />
memoria, infatti, un disturbo più intenso lascia una traccia più duratura.<br />
Il rumore flicker, inoltre, è estremamente dannoso per le misure di precisione.<br />
Infatti, se non esistesse il rumore flicker, sarebbe possibile ottenere misure<br />
accurate a proprio piacimento semplicemente allungando il tempo di osservazione.<br />
Vale la pena ricordare che questo rumore compare in una serie di fenomeni<br />
estremamente disparati: non solo le fluttuazioni di resistenza nei materiali<br />
semiconduttori, ma anche il battito cardiaco, il flusso <strong>del</strong>le correnti oceaniche,<br />
le oscillazioni <strong>del</strong>l’asse terrestre, il flusso <strong>del</strong>la sabbia che scende in una<br />
clessidra, ecc...
Capitolo 4<br />
Modulazioni di Ampiezza<br />
L’operazione di modulazione viene generalmente effettuata sul segnale informativo<br />
prima di trasmetterlo nel canale di comunicazione e ha lo scopo di<br />
trasformare il segnale stesso in una forma più adatta per la sua trasmissione<br />
a distanza.<br />
La modulazione consiste nel far variare le caratteristiche di un segnale sinusoidale,<br />
detto portante, in funzione <strong>del</strong> segnale informativo s(t), detto segnale<br />
modulante. Le modulazioni si distinguono in modulazioni analogiche e modulazioni<br />
digitali; le prime sono utilizzate per trasmettere segnali analogici,<br />
mentre le seconde segnali digitali. In questo capitolo e nel prossimo saranno<br />
descritte le principali tecniche di modulazione per i segnali analogici, mentre<br />
nel capitolo 6 saranno descritte le modulazioni digitali.<br />
Indichiamo con s(t) il segnale informativo da trasmettere; s(t) prende il nome<br />
di segnale modulante. Consideriamo quindi un segnale sinusoidale v(t) con<br />
ampiezza V0, frequenza f0 e fase Φ0, cioè:<br />
c(t) = V0cos(2πf0t + Φ0) (4.1)<br />
Il segnale c(t) rappresenta la portante ed il processo di modulazione consiste<br />
nel far variare l’ampiezza V0, la frequenza f0 e la fase <strong>del</strong>la portante in funzione<br />
<strong>del</strong> segnale modulante s(t).<br />
In questo capitolo sono descritti diversi tipi di modulazione di ampiezza,<br />
in cui cioè l’ampiezza <strong>del</strong> segnale trasmesso varia in modo proporzionale al<br />
segnale modulante, mentre la frequenza e la fase rimangono costanti. Per<br />
semplicità consideriamo successivamente Φ0 = 0. Nel capitolo 5 saranno invece<br />
descritte le modulazioni di frequenza e di fase, in cui la frequenza o la<br />
fase <strong>del</strong> segnale trasmesso variano proporzionalmente al segnale modulante,<br />
mentre l’ampiezza rimane costante.<br />
33
4.1 Modulazione AM<br />
4.1.1 Caratteristiche <strong>del</strong> segnale AM<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 34<br />
Una tecnica di modulazione di ampiezza molto utilizzata nelle applicazioni<br />
pratiche è quella indicata con il termine AM (Amplitude Modulation). Dato<br />
il segnale modulante s(t), il segnale modulato AM può essere espresso nella<br />
seguente forma:<br />
y(t) = V0[1 + k · s(t)]cos(2πf0t) (4.2)<br />
dove k è una costante tale che<br />
|k · s(t)| ≤ 1 (4.3)<br />
Con m viene indicato l’indice di modulazione AM ed è così definito<br />
m = k · max|s(t)|. (4.4)<br />
Nel caso in cui m ≤ 1, il termine V0[1 + k · s(t)] è sempre positivo. Si definisce<br />
inviluppo superiore <strong>del</strong> segnale y(t) la curva che unisce i valori assunti<br />
dal segnale y(t) in corrispondenza degli istanti in cui c(t) = V0, mentre si<br />
definisce inviluppo inferiore la curva che unisce i valori <strong>del</strong> segnale y(t) in<br />
corrispondenza agli istanti in cui c(t) = −V0. Nel caso in cui m ≤ 1 l’inviluppo<br />
superiore è sempre positivo, mentre l’inviluppo inferiore risulta sempre<br />
negativo o uguale a 0. Il motivo per cui m deve essere minore o uguale a 1<br />
risulta chiaro anche dei segnali rappresentati nella figura 4.1. La portante<br />
(4.1) è mostrata nella figura 4.1(a) ed il segnale modulante s(t), supposto<br />
di tipo sinusoidale, è mostrato nella figura 4.1(b). Nella figura 4.1(c) viene<br />
rappresentato il segnale modulato y(t) nel caso in cui m = 0.7, mentre il caso<br />
m = 1 è rappresentato in figura 4.1(d). Come si può osservare da queste<br />
figure l’inviluppo superiore ed inferiore <strong>del</strong> segnale modulato sono proporzionali<br />
al segnale modulante, per cui s(t) può essere correttamente recuperato<br />
dall’inviluppo. Questa proprietà sarà particolarmente utile per effettuare la<br />
demodulazione di y(t) e quindi per il recupero <strong>del</strong> segnale modulante. Nella<br />
figura 4.1(e) è mostrato il caso in cui m = 1.3. L’inviluppo superiore e quello<br />
superiore interferiscono l’uno con l’altro ed in questo caso non è più possibile<br />
recuperare il segnale modulante dall’inviluppo (condizione valida per tutti i<br />
valori di m > 1). Nel caso in cui m = 1 si dice che il segnale è modulato al<br />
100% mentre quando m > 1 si ha sovramodulazione.<br />
4.1.2 Spettro <strong>del</strong> segnale AM<br />
Lo spettro di un segnale modulato AM può essere facilmente calcolato in<br />
funzione di quello <strong>del</strong> segnale modulante s(t). Supponiamo che s(t) abbia
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 35<br />
Figura 4.1: Modulazione AM: a) portante; b) segnale modulante; c) segnale AM con<br />
m = 0.7; d) segnale AM con m = 1; e) segnale m = 1.3
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 36<br />
uno spettro S(f) tra (−B, B), come è schematicamente mostrato in figura<br />
4.2(a). Essendo s(t) un segnale reale, si ha:<br />
s(t) = 2<br />
B<br />
0<br />
|S(f)|cos(2πf0t − Θ(f))df (4.5)<br />
dove S(f) e Θ(f) rappresentano rispettivamente lo spettro di ampiezza e di<br />
fase di S(f). Il segnale modulato AM, y(t), può essere scritto nella forma:<br />
y(t) = V0cos(2πf0t)+k·V0<br />
B<br />
0<br />
<br />
<br />
|S(f)| cos(2π(f+f0)t−Θ(f))+cos(2π(f−f0)t−Θ(f)) df.<br />
(4.6)<br />
Lo spettro <strong>del</strong> segnale AM è quindi costituito (analizzando le sole frequenze<br />
positive) da una <strong>del</strong>ta di dirac a frequenza f0 con un valore pari a V0 e da 2<br />
due bande laterali, superiore ed inferiore, come mostrato schematicamente in<br />
figura 4.2(b). La banda di tramissione necessaria a trasmettere un segnale<br />
AM è quindi 2B, essendo B la massima frequenza <strong>del</strong> segnale s(t).<br />
Figura 4.2: Spettro <strong>del</strong> segnale AM: a) spettro <strong>del</strong> segnale modulante; b) spettro <strong>del</strong><br />
segnale AM<br />
4.1.3 Potenza <strong>del</strong> segnale modulato AM<br />
La potenza media, Ptx, necessaria per trasmettere un segnale modulato AM<br />
dipende dal segnale modulante. Applicando la definizione di potenza di un
segnale, si ha:<br />
Ptx =<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 37<br />
2 V<br />
<br />
0<br />
1 + k<br />
2<br />
2 · s2 <br />
(t) + 2k · s(t) . (4.7)<br />
purchè f0 >> 2B.<br />
In molte applicazioni il valor medio s(t), cioè s(t), è uguale a 0, per cui:<br />
<br />
Ptx = 1 + k 2 <br />
· Pm<br />
(4.8)<br />
V 2<br />
0<br />
2<br />
dove Pm = s 2 (t) rappresenta la potenza <strong>del</strong> segnale modulante s(t). Essendo<br />
m ≤ 1, il termine k 2 · Pm risulta minore o uguale ad 1, per cui la potenza<br />
spesa per trasmettere la portante risulta maggiore di quella utilizzata per<br />
trasmettere le due bande laterali, che rappresentano il segnale informativo<br />
utile per l’utente.<br />
Esempio<br />
Se il segnale modulante è sinusoidale s(t) = Vmcos(2πfmt) allora la potenza<br />
<strong>del</strong> segnale trasmesso in AM è uguale a<br />
essendo Pm = V 2 m<br />
2 .<br />
Ptx =<br />
4.1.4 Modulatori AM<br />
V 2<br />
0<br />
2 + k2V 2 mV 2<br />
0<br />
4<br />
(4.9)<br />
Lo schema di principio di un modulatore AM è mostrato nella figura 4.3(a) e<br />
prende il nome di modulatore quadratico, cioè un dispositivo in cui il segnale<br />
di uscita v2(t) può essere rappresentato in funzione di quello di ingresso v1(t)<br />
nella seguente forma:<br />
v2(t) = a1v1(t) + a2v 2 1(t) (4.10)<br />
dove a1 e a2 sono due costanti: la caratteristica <strong>del</strong> dispositivo quadratico è<br />
mostrata nella figura 4.3(b). Nel nostro caso si ha:<br />
v1(t) = V0cos(2πf0t) + s(t). (4.11)<br />
Il segnale all’uscita <strong>del</strong> dispositivo quadratico può essere scritto nella forma:<br />
<br />
v2(t) = a1s(t)+a2s 2 2 a2V<br />
<br />
0<br />
(t)+ +<br />
2<br />
a2V 2<br />
0<br />
2 cos(4πf0t)+a1V0<br />
<br />
1+ 2a2<br />
<br />
·s(t) cos(2πf0t)<br />
a1<br />
(4.12)<br />
Se B è la massima frequenza contenuta in s(t), s2 (t) occupa una banda tra<br />
(−2B, 2B), per cui il segnale all’uscita <strong>del</strong> filtro passa-banda centrato su f0<br />
risulta:<br />
<br />
y(t) = a1V0 1 + 2a1<br />
<br />
· s(t) cos(2πf0t) (4.13)<br />
a2<br />
da cui si ottiene l’espressione <strong>del</strong> segnale modulato in AM posto k = 2a2<br />
a1 .
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 38<br />
Figura 4.3: Modulatore AM: a) schema a blocchi <strong>del</strong> modulatore; b) caratteristica <strong>del</strong><br />
dispositivo non lineare<br />
4.1.5 Demodulatori AM<br />
L’operazione di demodulazione viene generalmente effettuata al ricevitore<br />
per recuperare dal segnale ricevuto il segnale informativo s(t). La modulazione<br />
AM presenta il vantaggio di richiedere circuiti di demodulazione molto<br />
semplici. Esistono due tipi di demodulatori:<br />
• Con recupero <strong>del</strong>la portante (f0)<br />
Lo schema di demodulazione è riportato in figura 4.4. Com è si osserva<br />
per demodulare correttamente il segnale è necessario conoscere<br />
esattamente la frequenza e la fase <strong>del</strong>la portante c(t). Una volta nota<br />
il segnale ricevuto è moltiplicato per cos(2πf0t) così da ottenere:<br />
v(t) = cos(2πf0t) · y(t) = V0<br />
2 (1 + k · s(t))(1 + cos(4πf0t)) (4.14)<br />
Il segnale v(t) è successivamente filtrato passa-basso e dal segnale filtrato<br />
è sottratto il termine V0 in modo da ottenere il segnale modulante:<br />
2<br />
u(t) = (v(t) hlp(t)) − V0<br />
2<br />
V0<br />
V0<br />
= (1 + k · s(t)) −<br />
2 2<br />
V0<br />
= k · s(t) (4.15)<br />
2<br />
• Senza recupero <strong>del</strong>la portante (f0)<br />
Il circuito più utilizzato per demodulare un segnale AM è quello mostrato<br />
nella figura 4.5(a), che prende il nome di rivelatore di inviluppo.<br />
Tale circuito è formato da un diodo, che viene polarizzato in modo da<br />
lasciar passare soltanto le semionde positive (oppure quelle negative)
Figura 4.4: Demodulatore AM con recupero <strong>del</strong>la portante<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 39<br />
<strong>del</strong> segnale modulato. La capacità <strong>del</strong> condensatore, C, si carica seguendo<br />
l’andamento <strong>del</strong>le semionde positive; quando l’ampiezza <strong>del</strong>la<br />
semionda diminuisce, il condensatore tende a scaricarsi sulla resistenza<br />
R, per cui anche la tensione ai capi di C tende a diminuire. Tuttavia,<br />
scegliendo opportunamente il valore <strong>del</strong>la costante di tempo RC,<br />
si può fare in modo che la capacità si scarichi lentamente. Quando la<br />
successiva semionda <strong>del</strong> segnale torna a crescere, la tensione ai capi <strong>del</strong><br />
condensatore è diminuita di poco. In questo modo la tensione ai capi<br />
<strong>del</strong> condensatore segue approssimativamente l’andamento <strong>del</strong>l’inviluppo<br />
<strong>del</strong> segnale modulato. Alcuni esempi sono mostrati nella figura 4.5.<br />
Il segnale ricostruito mediante il rivelatore di inviluppo è distorto rispetto<br />
al segnale s(t). La distorsione dipende dalla scelta <strong>del</strong>la costante<br />
di tempo RC. Se RC è troppo grande, il demodulatore non riesce a<br />
riprodurre in modo corretto rapide variazioni presenti nel segnale modulante;<br />
al contrario se è troppo piccolo, il condensatore si scarica rapidamente<br />
durante i periodi di semionda negativi ed il segnale riprodotto<br />
presenta forti distorsioni. In generale occorre scegliere RC in modo tale<br />
che:<br />
1<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 40<br />
Figura 4.5: Demodulatore AM: a) demodulatore AM di inviluppo; b), c) e d) esempi di<br />
segnali modulati per diversi valori di RC<br />
Per il segnale modulato AM, il rivelatore di inviluppo quindi recupera, se<br />
ben progettato, il segnale<br />
R(t) = |V0(1 + k · s(t))|. (4.19)<br />
4.1.6 Rapporto segnale-rumore nella modulazione AM<br />
L’operazione di demodulazione influenza il rapporto segnale/rumore, SNR,<br />
il quale caratterizza la qualità <strong>del</strong> segnale ricevuto e quindi <strong>del</strong> sistema di comunicazione.<br />
Il calcolo di SNR è spesso difficile da effettuare in modo esatto:<br />
per questo motivo sarà considerato un rumore AWGN visto che rappresenta<br />
il tipo di rumore più semplice da analizzare. Infatti, come noto, i valori di<br />
rumore in istanti temporali diversi risultano essere incorrelati.<br />
Consideriamo il segnale modulato AM secondo l’eq.(4.2). Il segnale ricevuto<br />
può essere così scritto:<br />
r(t) = y(t) + n(t) (4.20)<br />
dove n(t) rappresenta il rumore introdotto dal sistema di comunicazione che<br />
supporremo AWGN con densità spettrale di potenza media bilatera uguale
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 41<br />
a N0 . Il rumore all’ingresso <strong>del</strong> demodulatore risulta essere limitato in ban-<br />
2<br />
da dopo aver attraversato numerosi stadi di amplificazione e conversione di<br />
frequenza. Nel seguito si suppone che la banda occupata dal segnale ricevuto<br />
r(t) sia coincidente con quella <strong>del</strong> segnale modulato. Lo schema <strong>del</strong><br />
ricevitore può quindi essere considerato quello mostrato nella figura 4.6(a).<br />
Il filtro passa-banda, supposto ideale, serve per limitare lo spettro <strong>del</strong> se<br />
gnale ricevuto e quindi anche <strong>del</strong> rumore nella banda<br />
,<br />
f0 − Btx<br />
2 , f0 + Btx<br />
2<br />
dove Btx rappresenta la banda <strong>del</strong> ricevitore, figura 4.6(b). Utilizzando la<br />
Figura 4.6: Circuito di demodulazione AM considerato per il calcolo <strong>del</strong> rapporto<br />
segnale-rumore: a) schema <strong>del</strong> ricevitore; b) funzione caratteristica <strong>del</strong> filtro passa-banda<br />
rappresentazione a banda stretta <strong>del</strong> rumore, è possibile scrivere:<br />
<br />
<br />
r(t) = V0(1 + k · s(t)) + a(t) cos(2πf0t) − b(t)sen(2πf0t) (4.21)<br />
dove a(t) e b(t) sono le componenti in fase e quadratura <strong>del</strong> rumore (due segnali<br />
aleatori scorrelati, a media nulla, con densità di probabilità gaussiana<br />
e densità spettrale di potenza media uguale ad N0 nella banda (−B, B).<br />
Per valutare l’effetto <strong>del</strong>l’operazione di demodulazione sulla qualità <strong>del</strong> segnale,<br />
conviene confrontare il SNR all’uscita <strong>del</strong> demodulatore con quello<br />
all’ingresso <strong>del</strong> demodulatore. Tale rapporto prende il nome di fattore di<br />
merito:<br />
Fm = SNRu<br />
SNRi<br />
(4.22)<br />
e misura quanto il rapporto SNR all’uscita <strong>del</strong> demodulatore migliora o peggiora<br />
rispetto al SNR all’ingresso <strong>del</strong> demodulatore.
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 42<br />
Il calcolo <strong>del</strong>la potenza <strong>del</strong> segnale nell’eq.(4.21) non è semplice a causa dei<br />
termini misti in cui compare sia il segnale che il rumore. Per questo motivo<br />
il SNR viene determinato considerando le seguenti ipotesi:<br />
1. la potenza <strong>del</strong> segnale utile è calcolata in assenza di rumore, cioè n(t) =<br />
0;<br />
2. la potenza <strong>del</strong> rumore è calcolata in assenza di segnale utile, cioè y(t) =<br />
0;<br />
3. La potenza media <strong>del</strong> rumore all’ingresso <strong>del</strong> demodulatore è calcolata<br />
nella banda <strong>del</strong> segnale modulante (−B, B) in modo tale da ottenere<br />
una misura indipendente dalla banda di trasmissione.<br />
In queste ipotesi la potenza <strong>del</strong> segnale utile, per la modulazione AM, all’ingresso<br />
<strong>del</strong> demodulatore risulta, come determinato già nell’eq.(4.8)<br />
Si =<br />
2 V<br />
<br />
0<br />
1 + k<br />
2<br />
2 <br />
· Pm<br />
(4.23)<br />
La potenza media <strong>del</strong> rumore all’ingresso <strong>del</strong> demodulatore AM risulta uguale<br />
a<br />
B<br />
B<br />
Ni = Pn,n(f)df =<br />
N0<br />
2 df = N0B (4.24)<br />
−B<br />
Il SNR all’ingresso <strong>del</strong> demodulatore AM risulta così uguale a<br />
SNRi =<br />
V 2<br />
<br />
0 1 + k2 <br />
· Pm<br />
2N0B<br />
−B<br />
(4.25)<br />
Un demodulatore AM ideale recupera il segnale k·s(t). In presenza di rumore,<br />
il segnale all’uscita di un demodulatore AM ideale risulta uguale a:<br />
r ′<br />
(t) = V0k · s(t) + a(t). (4.26)<br />
In assenza di rumore il segnale r ′<br />
(t) ha una potenza uguale a<br />
Su = V 2<br />
0 k 2 s 2 (t) (4.27)<br />
mentre per la potenza media di rumore, annullando il segnale utile, si ottiene<br />
Nu =<br />
B<br />
−B<br />
Pa,a(f)df =<br />
B<br />
−B<br />
N0df = 2N0B (4.28)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 43<br />
considerando la densità spettrale di potenza media <strong>del</strong>la componente<br />
in fase<br />
f<br />
(e quadratura) uguale a Pa,a(f) = Pb,b(f) = N0rect . 2B<br />
Il SNR all’uscita <strong>del</strong> demodulatore è così uguale a<br />
SNRu =<br />
V 2<br />
0 k 2 s 2 (t)<br />
2N0B<br />
. (4.29)<br />
Combinando le eq.(4.25) e (4.29), la Fm <strong>del</strong> demodulatore AM risulta uguale<br />
a<br />
Fm = SNRu<br />
SNRi<br />
= k2 s 2 (t)<br />
1 + k 2 s 2 (t) = k2 Pm<br />
1 + k 2 Pm<br />
(4.30)<br />
per cui Fm < 1 e quindi il SNRu è sempre minore all’SNRi. Si può concludere<br />
quindi affermando che il processo di demodulazione AM degrada la<br />
qualità <strong>del</strong> segnale ricevuto.<br />
Esempio<br />
Si consideri il segnale modulante sinusoidale. Dato m = k · Vm e la potenza<br />
Pm = V 2 m<br />
2<br />
, si ottiene<br />
Fm = m2<br />
. (4.31)<br />
2 + m2 Considerando che 0 ≤ m ≤ 1, il massimo valore di Fm per un segnale sinusoidale<br />
in una modulazione AM si verifica quando m = 1 e risulta uguale a<br />
Fm = 1<br />
3 .<br />
4.2 Modulazione DSB<br />
4.2.1 Caratteristiche <strong>del</strong> segnale DSB<br />
Come abbiamo visto in precedenza, nella modulazione AM classica una notevole<br />
parte <strong>del</strong>la potenza generata dal trasmettitore viene utilizzata per<br />
trasmettere la portante a frequenza f0. Tuttavia, tale portante non contiene<br />
nessuna informazione relativa al segnale modulante, per cui si può evitare di<br />
trasmetterla. In queto caso si ottiene una modulazione di ampiezza a doppia<br />
banda laterale con la portante soppressa, indicata generalmente con la sigla<br />
DSB (Double Side Band).<br />
Dato il segnale modulante, il segnale modulato DSB è:<br />
y(t) = V0s(t)cos(2πf0t) (4.32)<br />
Nella figura 4.7(a) viene mostrata la portante e nella figura 4.7(b) un segnale<br />
modulante di tipo sinusoidale. Il segnale modulato DSB corrispondente è
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 44<br />
mostrato nella figura 4.7(c). Come si può notare l’inviluppo superiore <strong>del</strong><br />
segnale non è più distinto da quello inferiore, per cui non sarà possibile<br />
recuperare correttamente il segnale <strong>del</strong>l’inviluppo <strong>del</strong> segnale modulato, al<br />
contrario di quanto non accade nella modulazione AM classica.<br />
Figura 4.7: Segnale DSB: a) portante; b) segnale modulante; c) segnale modulato<br />
4.2.2 Spettro <strong>del</strong> segnale DSB<br />
Lo spettro Y (f) <strong>del</strong> segnale DSB può essere calcolato facilmente utilizzando<br />
alcune proprietà <strong>del</strong>la trasformata di Fourier. Dall’eq.(4.32) si ottiene:<br />
Y (f) = V0<br />
2 [S(f − f0) + S(f + f0)] (4.33)<br />
dove S(f) è lo spettro <strong>del</strong> segnale modulante. Come esempio, lo spettro<br />
S(f) <strong>del</strong> segnale modulante è mostrato nella figura 4.8(a), mentre lo spettro
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 45<br />
Y (f) <strong>del</strong> segnale DSB corrispondente è rappresentato nella figura 4.8(b). Lo<br />
spettro Y (f) di un segnale DSB differisce da quello di un segnale AM per la<br />
mancanza <strong>del</strong>le due <strong>del</strong>ta di dirac centrate a frequenza f0 e −f0. La banda<br />
di trasmissione di un segnale DSB è uguale alla banda di trasmissione di un<br />
segnale AM, cioè Btx = 2B.<br />
Figura 4.8: Spettro di un segnale DSB: a) spettro <strong>del</strong> segnale modulante; b) spettro <strong>del</strong><br />
segnale DSB<br />
4.2.3 Potenza di un segnale DSB<br />
La potenza di un segnale DSB può essere calcolata facilmente dall’eq.(4.32)<br />
e risulta uguale a :<br />
Ptx =<br />
V 2<br />
0 s 2 (t)<br />
2<br />
= V 2<br />
0 Pm<br />
2<br />
(4.34)<br />
Tutta la potenza Ptx viene utilizzata per trasmettere le due bande laterali.<br />
Esempio<br />
Dato un segnale modulante sinusoidale, il segnale DSB risulta:<br />
y(t) = V0Vmcos(2πfmt)cos(2πf0t) = V0Vm<br />
V0Vm<br />
cos(2π(f0−fm)t)+<br />
2 2 cos(2π(f0+fm)t).<br />
(4.35)<br />
La potenza richiesta a trasmettere questo segnale è:<br />
Ptx =<br />
2 V<br />
V0 2 m<br />
2<br />
2<br />
= V 2<br />
0 V 2 m<br />
4<br />
. (4.36)
4.2.4 Modulatore DSB<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 46<br />
La modulazione DSB è ottenuta effettuando semplicemente il prodotto tra il<br />
segnale modulante s(t) e la portante. Lo schema <strong>del</strong> modulatore prodotto è<br />
mostrato nella figura 4.9.<br />
Figura 4.9: Modulatori DSB: a) modulatore prodotto; b) modulatore bilanciato<br />
4.2.5 Demodulatore DSB<br />
Il segnale DSB non può essere demodulato mediante circuiti a rivelazione<br />
di inviluppo, come nel caso <strong>del</strong> segnale AM. In questo caso è necessario<br />
rigenerare al ricevitore la portante utilizzata dal trasmettitore, ricostruendo<br />
in modo esatto sia la fase, sia la frequenza (demodulazione coerente).<br />
Lo schema generale di un demodulatore DSB è mostrato nella figura 4.10.<br />
Il segnale ricevuto viene moltiplicato per la portante ricostruita al ricevitore<br />
e filtrato mediante un filtro passa-basso. Nel caso in cui la frequenza e la<br />
fase <strong>del</strong> segnale generato in ricezione dall’oscillatore locale sia uguale a quella<br />
generata dal trasmettitore, il segnale z(t) dopo il moltiplicatore risulta:<br />
z(t) = V0<br />
2 s(t)[1 + cos(4πf0t)] (4.37)<br />
per cui il segnale z ′<br />
(t) dopo l’operazione di filtraggio passa-basso è<br />
z ′<br />
(t) = V0<br />
s(t) (4.38)<br />
2<br />
che risulta proporzionale al segnale modulante s(t). Il precedente demodulatore<br />
funziona correttamente nel caso in cui il ricevitore ricostruisce perfettamente<br />
la fase e la frequenza <strong>del</strong>la portante. Nel caso in cui questa condizione
Figura 4.10: Demodulatore DSB<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 47<br />
non sia verificata, il segnale recuperato z ′<br />
(t) risulta distorto. Supponiamo ad<br />
esempio che la portante ricostruita c ′ (t) ricostruita al ricevitore sia<br />
c ′ (t) = cos(2π(f0 + ∆f)t + θ) (4.39)<br />
dove ∆f e θ rappresentano rispettivamente la differenza di frequenza e di<br />
fase tra la portante generata al trasmettitore e quella al ricevitore. In questo<br />
caso si ottiene<br />
z(t) = V0<br />
s(t)cos(2π∆ft + θ) (4.40)<br />
2<br />
per cui il segnale modulante non è recuperato correttamente. Ad esempio<br />
se 2π∆ft + θ = π<br />
2<br />
il segnale all’uscita <strong>del</strong> demodulatore risulterà nullo indi-<br />
pendentemente dal segnale trasmesso. Per eliminare questi inconvenienti si<br />
possono utilizzare opportuni circuiti per il recupero <strong>del</strong>la portante.<br />
4.2.6 Rapporto Segnale/Rumore in una modulazione<br />
DSB<br />
Nel caso di una modulazione DSB, il segnale ricevuto in presenza di rumore<br />
può essere scritto nella forma:<br />
r(t) = V0s(t)cos(2πf0t) + n(t). (4.41)<br />
Rappresentando il rumore nella sua forma a banda stretta si ottiene:<br />
<br />
<br />
r(t) = V0s(t) + a(t) cos(2πf0t) − b(t)sen(2πf0t). (4.42)
La potenza Si <strong>del</strong> segnale all’ingresso <strong>del</strong> demodulatore risulta:<br />
Si =<br />
V 2<br />
0 s 2 (t)<br />
2<br />
= V 2<br />
0<br />
2 Pm<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 48<br />
(4.43)<br />
La potenza di rumore Ni è ancora determinata dall’eq(4.24), per cui il SNRi<br />
è uguale a<br />
2 V0 s<br />
SNRi = 2 2 (t) V0 Pm<br />
= . (4.44)<br />
2N0B 2N0B<br />
La demodulazione viene effettuata mediante il circuito <strong>del</strong>la figura 4.10. Il<br />
segnale ricevuto è moltiplicato per la portante rigenerata al ricevitore e filtrato<br />
mediante un filtro passa-basso. Il segnale all’uscita <strong>del</strong> demodulatore<br />
z ′<br />
(t) risulta:<br />
z ′<br />
(t) = V0s(t) a(t)<br />
+ . (4.45)<br />
2 2<br />
Per cui la potenza <strong>del</strong> segnale in assenza di rumore è<br />
Su =<br />
V 2<br />
0 s 2 (t)<br />
4<br />
mentre la potenza media di rumore è<br />
da cui il SNRu è uguale a<br />
Nu =<br />
B<br />
SNRu =<br />
−B<br />
= V 2<br />
0 Pm<br />
4<br />
(4.46)<br />
N0 1<br />
df =<br />
4 2 N0B (4.47)<br />
V 2<br />
0 Pm<br />
4<br />
1<br />
2<br />
2 V0 Pm<br />
= . (4.48)<br />
N0B 2N0B<br />
Si osserva che SNRu = SNRi quindi per la modulazione DSB la figura di<br />
merito vale<br />
Fm = 1 (4.49)<br />
cioè l’operazione di demodulazione non cambia il SNR.<br />
4.3 Modulazione SSB<br />
4.3.1 Caratteristiche <strong>del</strong> segnale SSB<br />
Nella modulazione AM come in quella DSB sono trasmesse ambedue le bande<br />
laterali. Queste tecniche richiedono una banda di trasmissione doppia<br />
rispetto a quella <strong>del</strong> segnale modulante.
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 49<br />
La modulazione a singola banda laterale, indicata brevemente con la sigla<br />
SSB (Single Side Band), richiede per la trasmissione <strong>del</strong> segnale s(t) una<br />
banda B, cioè uguale a quella <strong>del</strong> segnale modulante s(t) stesso e rappresenta,<br />
da questo punto di vista la modulazione ottima. Un segnale SSB può<br />
Figura 4.11: Spettro di un segnale SSB: a) spettro <strong>del</strong> segnale modulante; b) spettro <strong>del</strong><br />
segnale SSB nel caso in cui venga scelta la banda laterale superiore; c) spettro <strong>del</strong><br />
segnale SSB nel caso in cui venga scelta la banda laterale inferiore<br />
essere rappresentato nella forma:<br />
y(t) = V0s(t)cos(2πf0t) ± V0s(t)sen(2πf0t) (4.50)<br />
dove s(t) rappresenta la trasformata di Hilbert di s(t). Scegliendo il segno −<br />
si ottiene la sola banda superiore, mentre con il segno + viene selezionata la<br />
banda inferiore. Nel calcolo <strong>del</strong>lo spettro <strong>del</strong> segnale SSB con soppressione
<strong>del</strong>la banda inferiore, si può facilmente dimostrare che:<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 50<br />
Y (f) = V0<br />
2 S(f +f0)[1+segn(f +f0)]+ V0<br />
2 S(f −f0)[1+segn(f −f0)] (4.51)<br />
ponendo F{s(t)} = −jsegn(f) · S(f). Per cui si ha<br />
⎧<br />
⎨ V0S(f + f0) per f < −f0<br />
Y (f) =<br />
0<br />
⎩<br />
V0S(f − f0)<br />
per<br />
per<br />
−f0 < f < f0<br />
f > f0<br />
(4.52)<br />
Dato un segnale modulato con lo spettro uguale a quello mostrato nella figura<br />
4.11(a), lo spettro <strong>del</strong> segnale y(t) è rappresentato nella figura 4.11(b) nel<br />
caso in cui si sopprime la banda inferiore, nel caso invece <strong>del</strong>la soppressione<br />
<strong>del</strong>la banda superiore si ottiene lo spettro <strong>del</strong>la figura 4.11(c).<br />
Esempio<br />
Nel caso di un segnale modulante sinusoidale, l’espressione <strong>del</strong> segnale SSB<br />
con banda laterale inferiore soppressa è<br />
y(t) = V0Vmcos(2πfmt)cos(2πf0t)−V0Vmsin(2πfmt)sen(2πf0t) = V0Vm<br />
2 cos(2π(f0+fm)t)<br />
(4.53)<br />
4.3.2 Modulatori SSB<br />
Un segnale SSB può essere generato utilizzando due diversi schemi che sono<br />
basati sulla descrizione in frequenza o nel tempo dei segnali SSB. Questi schemi<br />
sono indicati con il nome di discriminatori di frequenza e discriminatori<br />
di fase. In questo paragrafo saranno descritte brevemente le caratteristiche<br />
principali di tali modulatori.<br />
• Il modo più ovvio da un punto di vista concettuale di generare un segnale<br />
SSB è quello ottenuto partendo da un segnale DSB in cui viene<br />
eliminata una banda laterale, inferiore o superiore, mediante un’operazione<br />
di filtraggio passa-banda. In questo caso lo schema <strong>del</strong> demodulatore<br />
SSB è quello mostrato in figura 4.12. In linea di principio questo<br />
schema di modulazione SSB è molto semplice. Tuttavia, la realizzazione<br />
<strong>del</strong> filtro passa-banda, richiesto per eliminare una <strong>del</strong>le due bande<br />
laterali, può porre notevoli problemi da un punto di vista pratico. Il<br />
filtro passa-banda deve avere una banda di transizione minore o uguale<br />
a 2fm, cioè uguale al doppio <strong>del</strong>la minima frequenza contenuta nel segnale<br />
modulante 4.13(b). Questo modulatore richiede perciò in molti
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 51<br />
Figura 4.12: Modulatore SSB ottenuto da un modulatore DSB<br />
casi l’utilizzo di filtri notevolmente selettivi, che possono essere difficili<br />
o costosi da realizzare. Per facilitare l’oprazione di filtraggio passabanda<br />
nel caso in cui fm sia piccola, si preferisce spesso effettuare la<br />
modulazione SSB mediante due o più operazioni successive di modulazione,<br />
come mostrato schematicamente nella figura 4.13(a). In questo<br />
caso il segnale s(t), il cui spettro è mostrato nella figura 4.13(b), subisce<br />
una prima operazione di modulazione DSB a frequenza intermedia<br />
f1 0. Le<br />
due bande laterali sono separate da una banda di transizione uguale<br />
a 2(f1 + fm) e quindi sufficientemente grande da poter utilizzare filtri<br />
reali per eliminare una <strong>del</strong>le due bande laterali. Lo spettro <strong>del</strong> segnale<br />
SSB, supponendo di utilizzare la banda laterale superiore in ambedue<br />
le operazioni di conversione di frequenza, è mostrato nella figura 4.13(e)<br />
per f > 0.<br />
• Un altro possibile schema di un modulatore SSB può essere ottenuto<br />
considerando l’espressione <strong>del</strong>l’eq.(4.50) e viene mostrato in figura<br />
4.14. Tale modulatore, detto modulatore di Hartley, consente di ottenere<br />
direttamente il segnale SSB senza richiedere nessuna operazione<br />
di filtraggio passa-banda. Esso risulta composto da due modulatori<br />
prodotto, che operano in parallelo su s(t) e sulla trasformata di Hilbert
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 52<br />
Figura 4.13: Modulatore SSB mediante due operazioni di modulazione DSB: a) schema<br />
<strong>del</strong> demodulatore; b) spettro <strong>del</strong> segnale modulante; c) spettro <strong>del</strong> segnale modulato<br />
dopo la prima operazione di modulazione; d) spettro <strong>del</strong> segnale DSB dopo la seconda<br />
operazione di modulazione; spettro <strong>del</strong> segnale SSB; e) spettro <strong>del</strong> segnale SSB sulle sole<br />
frequenze positive<br />
di s(t), s(t). Il precedente circuito può essere utilizzato per qualunque<br />
segnale s(t) e quindi anche segnali con componente continua o vicina<br />
alla continua, che invece non possono essere modulati SSB mediante lo<br />
schema precedente a causa <strong>del</strong>l’operazione di filtraggio passa-banda.<br />
Da un punto di vista pratico l’elemento più critico nel modulatore di
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 53<br />
Hartley è rappresentato dal blocco che determina s(t). Effettuare la<br />
trasformata di Hilbert significa sfasare di π tutte le frequenze positive<br />
2<br />
di s(t) e contemporaneamente non introdurre distorsioni di ampiezza.<br />
Poichè lo spettro di s(t) è spesso ampio, può non essere semplice<br />
realizzare un dispositivo che soddisfi queste condizioni.<br />
4.3.3 Demodulatori SSB<br />
Figura 4.14: Modulatore di Hartley<br />
La demodulazione di un segnale SSB può essere effettuata mediante il circuito<br />
di figura 4.10, già utilizzato per la demodulazione di segnali DSB. Il<br />
segnale z(t) dopo l’operazione di moltiplicazione con la portante rigenerata<br />
al ricevitore può essere scritto<br />
z(t) = V0 V0<br />
s(t) +<br />
2 2 [s(t)cos(4πf0t) + s(t)sen(4πf0t)] (4.54)<br />
per cui il segnale z ′<br />
(t) dopo l’operazione di filtraggio passa-basso risulta<br />
z ′<br />
(t) = V0<br />
s(t). (4.55)<br />
2<br />
Il segnale z ′<br />
(t) è quindi proporzionale al segnale modulante s(t).<br />
Come nel caso <strong>del</strong>la demodulazione DSB, occorre che la portante ricostruita<br />
al ricevitore abbia la stessa fase e frequenza di quella <strong>del</strong> trasmettitore per<br />
evitare l’introduzione di distorsioni. Supponiamo ad esempio che il ricevitore<br />
ricostruisca la portante v ′<br />
(t) data nell’eq.(4.39). In questo caso si ha:<br />
z(t) = V0<br />
[s(t)cos(2π∆ft + θ) + s(t)sen(2π∆f + θ)] (4.56)<br />
4
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 54<br />
per cui il segnale di uscita è una combinazione <strong>del</strong> segnale informativo s(t)<br />
e <strong>del</strong>la sua trasformata di Hilbert s(t). Per ovviare a questo inconveniente<br />
si utilizza generalmente un circuito per il recupero <strong>del</strong>la portante, che sarà<br />
descritto successivamente.<br />
4.3.4 Rapporto Segnale/Rumore per una modulazione<br />
SSB<br />
Un segnale modulato SSB, y(t), può essere scritto nella forma <strong>del</strong>l’eq.(4.50).<br />
La trasformata di Hilbert s(t) <strong>del</strong> segnale s(t) ha una densità spettrale di<br />
potenza uguale a quella di s(t), come si dimostra utilizzando la definizione<br />
di densità spettrale di potenza Pbs,bs(f) = | − j · segn(f)| 2 Ps,s(f) = Ps,s(f).<br />
Inoltre i segnali s(t) e s(t) sono scorrelati.<br />
Consideriamo il caso <strong>del</strong> segnale SSB con soppressione <strong>del</strong>la banda inferiore.<br />
La potenza <strong>del</strong> segnale all’ingresso <strong>del</strong> demodulatore SSB, in assenza di<br />
rumore risulta<br />
Si =<br />
V 2<br />
0<br />
2 s2 (t) +<br />
V 2<br />
0<br />
2 s2 (t) =<br />
V 2<br />
0<br />
2 s2 (t) +<br />
V 2<br />
0<br />
2 s2 (t) = V 2<br />
0 s 2 (t) = V 2<br />
0 Pm. (4.57)<br />
La potenza <strong>del</strong> rumore all’ingresso è ancora esprimibile mediante l’eq.(4.24).<br />
Il SNRi risulta così<br />
2 V0 s<br />
SNRi = 2 (t)<br />
. (4.58)<br />
N0B<br />
Valutiamo adesso il SNRu. La banda <strong>del</strong> segnale modulato SSB è uguale<br />
a B, per cui la banda risulta centrata sulla frequenza f0 + B , avendo sup-<br />
2<br />
posto di trasmettere la banda laterale superiore; il rumore n(t) nella sua<br />
rappresentazione a banda stretta può essere così scritto<br />
<br />
n(t) = a(t)cos 2π f0 + B<br />
<br />
t − b(t)sin 2π f0 +<br />
2<br />
B<br />
<br />
t (4.59)<br />
2<br />
La demodulazione <strong>del</strong> segnale viene effettuata mediante il demodulatore prodotto<br />
di figura 4.10. Il segnale z ′ (t) dopo il moltiplicatore per cos(2πf0t) e il<br />
filtraggio passa-basso risulta:<br />
z ′ (t) = V0<br />
2<br />
s(t) + a(t)<br />
2<br />
b(t)<br />
cos(πBt) + sen(πBt). (4.60)<br />
2<br />
La componente s(t) viene eliminata dal demodulatore; tuttavia si può notare<br />
una differenza rispetto ai demodulatori AM e DSB: ambedue le componenti<br />
<strong>del</strong> rumore, quella in fase e quella in quadratura, influenzano il segnale demodulato,<br />
contrariamente ai casi precedenti in cui soltanto la componente in
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 55<br />
fase a(t) contribuiva al segnale di uscita.<br />
In assenza <strong>del</strong> rumore, la potenza <strong>del</strong> segnale demodulato risulta<br />
Su =<br />
V 2<br />
0 s 2 (t)<br />
4<br />
. (4.61)<br />
Valutiamo la potenza <strong>del</strong> rumore in assenza <strong>del</strong> segnale. Posto:<br />
x(t) = a(t)cos(πBt) (4.62)<br />
la densità spettrale di potenza media Px,x(f) risulta uguale a<br />
Px,x(f) = 1<br />
<br />
4<br />
Pa,a f − B<br />
<br />
2<br />
+ Pa,a f + B<br />
<br />
2<br />
da cui si ottiene, come rappresentato in figura ??(c),<br />
<br />
N0<br />
Px,x(f) = 4<br />
0<br />
per −B ≤ f ≤ B<br />
altrimenti<br />
La potenza media di rumore di x(t) è uguale a Px = N0<br />
4<br />
la potenza media <strong>del</strong> rumore all’uscita <strong>del</strong> demodulatore<br />
da cui SNRu<br />
Nu = 1<br />
4 Px + 1<br />
4 Px = 1<br />
2 Px = N0B<br />
4<br />
SNRu =<br />
V 2<br />
0 s2 (t)<br />
4<br />
N0B<br />
4<br />
= V 2<br />
2B = N0B<br />
2<br />
(4.63)<br />
(4.64)<br />
e quindi<br />
(4.65)<br />
0 s 2 (t)<br />
N0B = SNRi (4.66)<br />
La figura di merito, Fm, è uguale a 1 come nella modulazione DSB.<br />
4.4 Modulazione vestigiale VSB<br />
4.4.1 Caratteristiche <strong>del</strong> segnale VSB<br />
La modulazione SSB richiede una banda di trasmissione uguale a quella <strong>del</strong><br />
segnale informativo. Tuttavia, come abbiamo visto in precedenza, la sua<br />
realizzazione può risultare alquanto critica. Il modulatore SSB richiede ad<br />
esempio l’uso di filtri passa-banda notevolmente selettivi o di trasformatori<br />
di Hilbert. Per ovviare a questi inconvenienti senza aumentare in modo significativo<br />
la banda di trasmissione si può utilizzare la modulazione con banda<br />
laterale residua, VSB (Vestigial Side Band).
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 56<br />
Consideriamo il caso in cui il segnale modulante s(t) abbia uno spettro di frequenze<br />
diverso da 0 nella regione (−B, B), come mostrato in figura 4.15(a).<br />
Nella modulazione VSB una banda laterale (superiore o inferiore) viene trasmessa<br />
completamente mentre l’altra viene trasmessa soltanto in piccola parte.<br />
Nella figura 4.15(b) viene mostrato lo spettro di un segnale VSB. La<br />
larghezza <strong>del</strong>la banda di trasmissione, Btx, in questo caso risulta<br />
Btx = B + fv<br />
(4.67)<br />
dove fv rappresenta la larghezza <strong>del</strong>la banda residua, che generalmente viene<br />
scelta molto minore di B.<br />
Figura 4.15: Spettro di un segnale VSB: a) spettro <strong>del</strong> segnale modulante; b) spettro <strong>del</strong><br />
segnale VSB<br />
4.4.2 Modulatore VSB<br />
Un segnale VSB può essere ottenuto da un segnale DSB mediante un’opportuna<br />
operazione di filtraggio passa-banda. Lo schema di un modulatore VSB
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 57<br />
è quindi quello mostrato nella figura 4.16. Indicando con H(f) la funzione<br />
Figura 4.16: Schema di un modulatore VSB<br />
di trasferimento <strong>del</strong> filtro passa-banda, lo spettro Y (f) <strong>del</strong> segnale all’uscita<br />
<strong>del</strong> modulatore è<br />
Y (f) = V0<br />
2 [S(f − f0) + S(f + f0)]H(f). (4.68)<br />
La funzione di trasferimento H(f) deve essere scelta in modo opportuno per<br />
poter recuperare in ricezione il segnale s(t) senza distorsione. Le caratteristiche<br />
di tale filtro sono illustrate nel successivo paragrafo.<br />
4.4.3 Demodulatore VSB<br />
Lo schema generale di un demodulatore VSB è mostrato nella figura 4.17.<br />
Supponendo di effettuare una demodulazione coerente, il segnale all’uscita<br />
<strong>del</strong> modulatore prodotto risulta uguale a<br />
e il suo spettro è<br />
v(t) = y(t)cos(2πf0t) (4.69)<br />
V (f) = 1<br />
2 [Y (f + f0) + Y (f − f0)]. (4.70)<br />
Sostituendo nell’equazione precedente il risultato <strong>del</strong>l’eq.(4.68), si ottiene:<br />
V (f) = V0<br />
4 {S(f)[H(f−f0)+H(f+f0)]+S(f−2f0)H(f−f0)+S(f+2f0)H(f+f0)}.<br />
Dopo il filtro passa-basso lo spettro V ′<br />
(f) è uguale a<br />
(4.71)<br />
V ′<br />
(f) = V0<br />
4 {S(f)[H(f − f0) + H(f + f0)]}. (4.72)
Figura 4.17: Schema di un demodulatore VSB<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 58<br />
Per avere una riproduzione esatta <strong>del</strong> segnale s(t) occorre che V ′<br />
(f) sia uguale<br />
a S(f) a parte una costante moltiplicativa e quindi deve risultare<br />
H(f − f0) + H(f + f0) = 2H(f0) = c per − B ≤ f ≤ B (4.73)<br />
dove c è una costante. Un esempio di filtro passa-banda che soddisfa la precedente<br />
condizione è mostrato nella figura 4.18. La funzione di trasferimento<br />
di tale filtro ha una simmetria dispari intorno a f0.<br />
Figura 4.18: Caratteristica H(f) di un filtro passa-banda utilizzato per la modulazione<br />
VSB<br />
4.5 Circuiti per il recupero <strong>del</strong>la portante<br />
Come è stato visto in precedenza per la demodulazione dei segnali DSB o<br />
SSB è necessario ricostruire al ricevitore la portante e quindi conoscere la sua<br />
fase e la sua frequenza con esattezza. Queste informazioni sono generalmente<br />
estratte dallo stesso segnale modulato ricevuto mediante un opportuno circuito,<br />
detto circuito per il recupero <strong>del</strong>la portante. In questo paragrafo sono<br />
descritti i due schemi più utilizzati per questo scopo.<br />
• Ricevitore di Costas<br />
Lo schema generale di un ricevitore di Costas viene mostrato nella figura<br />
4.19. Il segnale ricevuto y(t) viene inviato a due canali, che operano
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 59<br />
in parallelo. Il primo canale, detto canale in fase, moltiplica y(t) per<br />
un segnale sinusoidale generato da un opportuno oscillatore locale <strong>del</strong><br />
tipo V0cos(2πf0t + θ), che risulta sfasato di un angolo θ rispetto alla<br />
portante generata al trasmettitore. Ovviamente θ rappresenta sia una<br />
differenza di fase, sia una differenza di frequenza tra le portanti generate<br />
al trasmettitore e al ricevitore. Nell’altro ramo, detto canale in<br />
quadratura, il segnale y(t) viene moltiplicato per V0sen(2πf0t + θ). I<br />
segnali dopo la moltiplicazione e dopo il filtraggio passa-basso sono:<br />
<br />
z1(t) = V0<br />
2 s(t)cos(θ)<br />
z2(t) = V0<br />
. (4.74)<br />
s(t)sen(θ) 2<br />
Il segnale v(t) dopo il moltiplicatore risulta:<br />
v(t) =<br />
V 2<br />
0<br />
4 s2 (t)sen(2θ). (4.75)<br />
Il filtro di loop è un filtro passa-basso con frequenza di taglio molto<br />
vicina a 0, per cui il segnale di uscita contiene soltanto la componente<br />
continua e frequenze molto vicine allo 0. Pertanto il termine s 2 (t) può<br />
ritenersi costante dopo il filtro e quindi il valore <strong>del</strong>l’uscita dipende<br />
sostanzialmente soltanto dal valore <strong>del</strong>la fase θ. Il segnale all’uscita <strong>del</strong><br />
filtro di loop viene inviato all’ingresso di un oscillatore che genera una<br />
frequenza determinata dall’ampiezza <strong>del</strong> segnale al suo ingresso. Tale<br />
oscillatore, indicato con la sigla VCO (Voltage Controlled Oscillator),<br />
genera la portante da moltiplicare per il segnale ricevuto, sia sul canale<br />
in fase che su quello in quadratura.<br />
Figura 4.19: Ricevitore di Costas per il recupero <strong>del</strong>la portante
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 60<br />
• Ricevitore Quadratico<br />
Un altro schema che può essere utilizzato per recuperare la portante<br />
<strong>del</strong> segnale ricevuto è quello che prende il nome di ricevitore a loop<br />
quadratico, mostrato nella figura 4.20. Il segnale ricevuto y(t) viene<br />
Figura 4.20: Ricevitore a loop quadratico per il recupero <strong>del</strong>la portante<br />
prima di tutto inviato ad un dispositivo quadratico e successivamente<br />
ad un filtro passa-banda centrato sulla frequenza 2f0 con una banda<br />
passante molto stretta in modo da far passare soltanto la frequenza<br />
2f0 e quelle vicine. Il segnale z(t) all’uscita <strong>del</strong>l’elemento quadratico<br />
risulta:<br />
z(t) =<br />
V 2<br />
0<br />
2 s2 (t)[1 + cos(4πf0t)]. (4.76)<br />
Se indichiamo con ∆f la banda <strong>del</strong> filtro, il segnale s 2 (t) può ritenersi<br />
costante in tale banda, per cui<br />
2f0+ ∆f<br />
2<br />
2f0− ∆f<br />
2<br />
s 2 (t)dt ∼ = E∆f (4.77)<br />
dove E rappresenta l’energia <strong>del</strong> segnale modulante s(t). Il segnale<br />
all’uscita <strong>del</strong> filtro è quindi<br />
z ′<br />
(t) ∼ =<br />
V 2<br />
0<br />
2 E∆f · cos(4πf0t). (4.78)<br />
Il segnale z ′<br />
(t) ha una frequenza doppia rispetto a quella <strong>del</strong>la portante,<br />
a causa <strong>del</strong>l’operazione di elevazione a quadrato. Questo segnale
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 61<br />
viene inviato all’ingresso di un circuito PLL (Phase Locked Loop), che<br />
è formato da un moltiplicatore, un filtro passa-basso ed un VCO. Il segnale<br />
z ′<br />
(t) viene moltiplicato per un segnale a frequenza 2f0 generata<br />
localmente dal VCO, cioè per un segnale<br />
Il segnale dopo il filtro passa-basso risulta<br />
w(t) = sen(4πf0t). (4.79)<br />
e(t) ∼ =<br />
2 V0 ∆f · sen(θ). (4.80)<br />
4<br />
Questo segnale pilota il VCO, genera w(t) e viene inviato al moltiplicatore<br />
<strong>del</strong> PLL ed a un blocco che divide la frequenza per 2. La<br />
frequenza recuperata in questo modo è quella utilizzata per effettuare<br />
la demodulazione coerente <strong>del</strong> segnale ricevuto.
Capitolo 5<br />
Modulazioni Angolari<br />
5.1 Modulazione di fase e di frequenza<br />
La modulazione angolare consiste nel far variare la fase o la frequenza <strong>del</strong>la<br />
portante proporzionalmente al segnale modulante s(t). In questo caso l’ampiezza<br />
<strong>del</strong>la portante viene mantenuta costante. Le modulazioni angolari<br />
presentano caratteristiche molto interessanti, soprattutto perchè consentono<br />
di ottenere migliori prestazioni in presenza di rumore rispetto alle modulazioni<br />
di ampiezza viste nel capitolo precedente.<br />
Consideriamo il segnale y(t)<br />
y(t) = V0cos(θi(t)) (5.1)<br />
dove θi(t) è la fase istantanea. Si definisce pulsazione istantanea, ωi(t), la<br />
grandezza<br />
ωi(t) = dθi(t)<br />
(5.2)<br />
dt<br />
e la frequenza istantanea, fi(t),<br />
fi(t) = 1<br />
2π<br />
dθi(t)<br />
· . (5.3)<br />
dt<br />
Le modulazioni angolari possono essere divise in due classi:<br />
• Modulazione di Fase (PM)<br />
Nella modulazione PM la fase istantanea θi(t) viene fatta variare proporzionalmente<br />
al segnale modulante s(t), per cui<br />
θi(t) = 2πf0t + k · s(t) (5.4)<br />
62
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 63<br />
dove k rappresenta l’indice di sensitività in fase. Il segnale modulato<br />
può quindi essere scritto nella forma<br />
y(t) = V0cos(2πf0t + k · s(t)). (5.5)<br />
Un esempio di segnale modulato in fase, ottenuto modulando la portante,<br />
è mostrato nella figura 5.1(a) con il segnale modulante sinusoidale<br />
mostrato nella figura 5.1(b), è mostrato nella figura 5.1(c).<br />
La massima deviazione di fase, ∆θmax, è il max|k · s(t)| = k · max|s(t)|<br />
e prende anche il nome di indice di modulazione di fase.<br />
• Modulazione di Frequenza (FM)<br />
Nella modulazione FM la frequenza <strong>del</strong>la portante viene fatta variare<br />
proporzionalmente al segnale modulante, per cui<br />
fi(t) = f0 + kf · s(t) (5.6)<br />
essendo kf l’indice di sensitività in frequenza. In questo caso la fase<br />
istantanea risulta<br />
θi(t) = 2π<br />
per cui<br />
t<br />
0<br />
fi(t)dt = 2πf0t + 2πkf<br />
t<br />
<br />
y(t) = V0cos 2πf0t + 2πkf<br />
0<br />
s(t)dt = 2πf0t + α(t) (5.7)<br />
t<br />
0<br />
<br />
s(t)dt . (5.8)<br />
Il segnale modulato FM nel caso in cui la portante ed il segnale modulante<br />
siano quelli nelle figure 5.1(a) e 5.1(b) rispettivamente, è mostrato<br />
in figura 5.1(d). La massima deviazione di fase è uguale al massimo<br />
valore di α(t). Si definisce massima deviazione di frequenza, ∆fmax, il<br />
massimo valore <strong>del</strong>la derivata α(t). L’indice di modulazione <strong>del</strong>la FM<br />
è definito come<br />
m = ∆fmax<br />
. (5.9)<br />
B<br />
Esempio<br />
Consideriamo il caso in cui il segnale modulante è sinusoidale, cioè<br />
s(t) = Vmcos(2πfmt). In questo caso il segnale trasmesso in PM è<br />
y(t) = V0cos(2πf0t + k · Vmcos(2πfmt)). (5.10)<br />
La massima deviazione di fase è quindi uguale a k · Vm e rappresenta<br />
l’indice di modulazione di fase.<br />
Il segnale modulato in FM risulta<br />
<br />
y(t) = V0cos 2πf0t + kfVm<br />
<br />
sen(2πfmt) . (5.11)<br />
fm
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 64<br />
Figura 5.1: Esempi di segnali modulati in fase ed in frequenza: a) portante; b) segnale<br />
modulante; c) segnale modulato in fase; d) segnale modulato in frequenza<br />
La massima deviazione di frequenza è<br />
∆fmax = kfVm<br />
per cui l’indice di modulazione in frequenza risulta:<br />
(5.12)<br />
m = ∆fmax<br />
. (5.13)<br />
fm<br />
Le modulazioni PM e FM sono strettamente legate tra di loro. Infatti, dalle<br />
precedenti relazioni, un segnale modulato FM può essere ottenuto da un modulatore<br />
di fase aggiungendo al suo ingresso un integratore, come mostrato
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 65<br />
nella figura 5.2(a). Analogamente un segnale modulato in fase può essere<br />
generato da un modulatore di frequenza inserendo al suo ingresso un derivatore,<br />
come mostrato in figura 5.2(b). Per questo motivo le due modulazioni<br />
presentano aspetti molto simili e quindi saranno analizzate insieme. Nel seguito<br />
si parlerà <strong>del</strong>la modulazione FM, che risulta maggiormente utilizzata<br />
nelle applicazioni pratiche. Tuttavia, le proprietà <strong>del</strong>la modulazione, salvo<br />
non sia detto esplicitamente in modo contrario, possono considerarsi estese<br />
al caso <strong>del</strong>la modulazione PM.<br />
Figura 5.2: Modulatori di fase e di frequenza: a) uso di un modulatore PM come<br />
modulatore FM; b) uso di un modulatore FM come modulatore PM<br />
5.2 Spettro di un segnale FM<br />
Lo spettro di un segnale modulato in fase o in frequenza ha un’estensione<br />
infinita e risulta generalmente molto complesso da calcolare anche nel caso in<br />
cui s(t) sia un semplice segnale. In questo paragrafo consideriamo in primo<br />
luogo alcuni esempi di segnali molto semplici e valutiamo l’estensione <strong>del</strong>lo<br />
spettro <strong>del</strong> segnale FM (o PM) in funzione <strong>del</strong>le caratteristiche <strong>del</strong>la modulazione.<br />
Successivamente viene fornita un’espressione empirica per calcolare<br />
in modo approssimato la banda di trasmissione di segnali FM o PM per un<br />
qualsiasi segnale modulante.<br />
5.2.1 Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale<br />
modulante sinusoidale<br />
Consideriamo il caso più semplice in cui il segnale modulante sia sinusoidale,<br />
s(t) = Vmcos(2πfmt). Il segnale modulato FM può quindi essere scritto nella<br />
forma<br />
y(t) = V0cos(2πf0t + m · sen(2πfmt)). (5.14)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 66<br />
A seconda <strong>del</strong> valore <strong>del</strong>l’indice di modulazione lo spettro può assumere forme<br />
molto diverse. Vediamo i due casi:<br />
• Spettro di un segnale a banda stretta (m 1)<br />
La modulazione di frequenza viene generalmente utilizzata con alti valori<br />
<strong>del</strong>l’indice di modulazione, quindi le considerazioni precedenti hanno<br />
un interesse limitato. Il calcolo <strong>del</strong>lo spettro di un segnale FM<br />
per un qualsiasi valore di m risulta molto più complesso. Per questo<br />
consideriamo<br />
<br />
y(t) = Re V0e j·[2πf0t+m·sen(2πfmt)]<br />
<br />
. (5.19)<br />
Posto<br />
y ′<br />
(t) = V0e j·[m·sen(2πfmt)]<br />
(5.20)<br />
si può facilmente osservare che y ′<br />
(t), detto inviluppo complesso di y(t),<br />
è un segnale periodico di periodo T = 1 , per cui può essere sviluppato<br />
fm<br />
in serie di Fourier, cioè<br />
y ′<br />
(t) =<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
Y ′<br />
2πnt<br />
j T ne (5.21)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 67<br />
Figura 5.3: Segnale FM a banda stretta nel caso di segnale modulante sinusoidale: a)<br />
spettro <strong>del</strong> segnale FM; b) rappresentazione vettoriale <strong>del</strong> segnale FM<br />
dove<br />
Y ′<br />
1<br />
n = V0fm<br />
2fm<br />
− 1<br />
2fm<br />
e j·[m·sen(2πfmt)−n2πfmt] dt. (5.22)<br />
Il precedente integrale non può essere calcolato in forma chiusa. Si<br />
definisce funzione di Bessel di prima specie e di ordine n la funzione<br />
Jn(m) = 1<br />
2π<br />
Posto x = 2πfmt si ottiene:<br />
per cui<br />
y ′<br />
(t) = V0<br />
pi<br />
−π<br />
e j·[m·sen(x)−nx] dx. (5.23)<br />
Y ′<br />
n = V0Jn(m) (5.24)<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
Jn(m)e jn2πfmt . (5.25)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 68<br />
Il segnale modulato FM può quindi essere scritto per qualsiasi valore<br />
di m<br />
y(t) = V0<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
Jn(m)cos[2π(f0 + n · fm)t]. (5.26)<br />
Lo spettro di un segnale FM viene quindi a dipendere dalle funzioni di<br />
Bessel; tali funzioni godono <strong>del</strong>le seguenti proprietà<br />
<br />
Jn(m) = (−1) nJ−n(m) +∞<br />
n=−∞ J 2 (5.27)<br />
n(m) = 1<br />
Nella figura 5.4 sono mostrate alcune funzioni di Bessel al variare di<br />
m. Lo spettro <strong>del</strong> segnale FM a larga banda nel caso di un segnale<br />
Figura 5.4: Funzioni di Bessel di prima specie<br />
modulante sinusoidale è composto da infinite <strong>del</strong>ta di dirac a frequenza<br />
f0 + n · fm con n intero ed ampiezza V0Jn(m)<br />
. Lo spettro dipende<br />
2<br />
in modo significativo dall’indice di modulazione. Nelle figure 5.5(a),<br />
5.5(b), 5.5(c) e 5.5(d) sono mostrati gli spettri di ampiezza <strong>del</strong> segnale<br />
FM per m = 0.25, m = 1, m = 2 e m = 5 rispettivamente, supponendo<br />
V0 = Vm = 1. Come si può notare nel caso di indice di modulazione<br />
piccolo (m = 0.25) sono presenti soltanto tre <strong>del</strong>ta significative: una<br />
<strong>del</strong>ta a frequenza f0 e due <strong>del</strong>ta a frequenza f0 −fm e f0 +fm; lo spettro<br />
è simile a quello di un segnale AM. Nel caso m = 1 si hanno oltre alla<br />
portante quattro <strong>del</strong>ta con ampiezza non trascurabile rispetto a quella<br />
<strong>del</strong>la portante, per cui lo spettro <strong>del</strong> segnale FM è praticamente raddoppiato<br />
rispetto al caso AM. All’aumentare di m lo spettro aumenta
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 69<br />
in modo significativo. Per certi valori <strong>del</strong>l’indice di modulazione si ha<br />
J0(m) = 0, per cui lo spettro non presenta nessuna componente alla<br />
frequenza <strong>del</strong>la portante.<br />
La potenza necessaria per trasmettere il segnale modulato FM risulta:<br />
Ptx =<br />
V 2<br />
0<br />
2 ·<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
J 2 n(m) =<br />
V 2<br />
0<br />
2<br />
(5.28)<br />
Figura 5.5: Spettri di segnali FM nel caso di segnale modulante sinusoidale: a) m = 0.25;<br />
b) m = 1; c) m = 2; d) m = 5
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 70<br />
5.2.2 Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale<br />
modulante multitono<br />
Consideriamo il caso in cui il segnale modulante sia formato dalla somma di<br />
N sinusoidi, cioè:<br />
N<br />
s(t) = Vicos(2πfit). (5.29)<br />
Il segnale FM risulta<br />
essendo<br />
i=1<br />
<br />
y(t) = V0cos 2πf0t +<br />
N<br />
i=1<br />
mi = kfVi<br />
fi<br />
<br />
mi · cos(2πfit)<br />
(5.30)<br />
(5.31)<br />
l’indice di modulazione relativo all’i-esimo segnale sinusoidale contenuto in<br />
s(t). Utilizzando le precedenti considerazioni si ottiene<br />
+∞<br />
n1=−∞<br />
y(t) = V0<br />
+∞<br />
n2=−∞ . . . +∞<br />
nN =−∞ Jn1(m1)Jn2(m2) . . . JnN (mN)·<br />
<br />
<br />
·cos 2π(f0 + n1f1 + n2f2 + . . . + nNfN)t<br />
(5.32)<br />
Per cui lo spettro contiene tutte le possibili combinazioni tra le frequenze<br />
f1, f2, ..., fN.<br />
5.2.3 Banda di trasmissione di un segnale FM (Banda<br />
di Carson)<br />
La banda di trasmissione di un segnale FM è teoricamente infinita. Tuttavia<br />
le ampiezze <strong>del</strong>le <strong>del</strong>ta tendono generalmente a 0 quando si è sufficientemente<br />
lontani dalla portante. Queste frequenze sono perciò insignificanti e possono<br />
essere trascurate. La larghezza di banda, Btx, necessaria per trasmettere un<br />
segnale FM è tuttavia difficile da definire in modo univoco.<br />
Nelle applicazioni pratiche si utilizza generalmente le seguente formula empirica<br />
ricavata da Carson corrispondente alla banda minima necessaria a<br />
trasmettere almeno il 98% <strong>del</strong>la potenza di y(t)<br />
Btx = BCarson = 2(∆fmax + fm) = 2(m + 1)fm<br />
(5.33)<br />
dove fm rappresenta la massima frequenza contenuta nel segnale modulante.<br />
Esempio
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 71<br />
Nelle radio commerciali operanti nella banda FM le norme internazionali<br />
impongono che ∆fmax = 75kHz e fm = 15kHz, per cui m = 5. Con questi<br />
valori si ottiene una banda di trasmissione per ciascuna stazione uguale a<br />
Btx = 180kHz.<br />
5.3 Modulatori di frequenza e di fase<br />
La modulazione di frequenza può essere effettuata con due metodi diversi:<br />
1. Modulatore Diretto;<br />
2. Modulatore Indiretto.<br />
Nel metodo diretto la frequenza <strong>del</strong>la portante viene fatta variare direttamente<br />
dal circuito in funzione <strong>del</strong> segnale modulante. Nel metodo indiretto<br />
il segnale modulante viene prima inviato a un modulatore FM o PM a banda<br />
stretta e successivamente viene trasformato in modo da ottenere indici di<br />
modulazione elevati.<br />
5.3.1 Modulatori FM Diretti (Modulatore di Hartley)<br />
I modulatori FM diretti sono costituiti sostanzialmente da un oscillatore<br />
controllato in voltaggio, in cui la frequenza generata varia proporzionalmente<br />
al segnale modulante. Il Modulatore di Hartley, figura 5.6(a), è composto da<br />
un condensatore con capacità fissa C ′ , da un’induttanza L e da un diodo<br />
varicap, in polarizzazione inversa, la cui capacità C ′′ varia con la tensione<br />
applicata al suo ingresso.<br />
Il valore definito dalla capacità C di figura 5.6(c) si ottiene dal parallelo dei<br />
due condensatori di figura 5.6(b) ed è uguale a<br />
C = C ′ + C ′′ = C ′ + k0s(t). (5.34)<br />
Il circuito di figura 5.6(c) è un circuito risonante LC <strong>del</strong> secondo ordine la<br />
cui frequenza istantanea vale<br />
fi(t) =<br />
1<br />
2π √ LC =<br />
1<br />
2π L(C ′ + k0s(t)) =<br />
1<br />
2π √ ·<br />
LC ′<br />
1<br />
<br />
1 + k0<br />
C ′ s(t)<br />
(5.35)<br />
se | k0<br />
C ′ s(t)|
posto kf = − k0f0<br />
2C ′ si ottiene l’espressione <strong>del</strong> segnale trasmesso<br />
<br />
su(t) = s0cos(2π<br />
fi(t)dt) = s0cos(2πf0t + 2πkf<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 72<br />
<br />
s(t)dt) (5.37)<br />
Figura 5.6: a) Modulatore di Hartley; b) rappresentazione equivalente con capacità C ′′<br />
funzione <strong>del</strong> segnale informativo; c) rappresentazione equivalente con un’unica capacità C<br />
5.3.2 Modulatori FM Indiretti (Modulatore di Armstrong)<br />
Un circuito molto utilizzato nelle applicazioni pratiche è rappresentato dal<br />
Modulatore di Armstrong, mostrato schematicamente nella figura 5.7(a). Questo<br />
modulatore, che effettua una modulazione di fase, può operare correttamente<br />
soltanto per bassi valori <strong>del</strong>l’indice di modulazione. Tuttavia, attraverso<br />
opportuni accorgimenti, si può togliere questa restrizione. Il circuito<br />
di figura 5.7(a) utilizza un modulatore prodotto ed il segnale y(t) all’uscita<br />
<strong>del</strong> sommatore risulta:<br />
y(t) = V0cos(2πf0t) + V0k · s(t)sen(2πf0t). (5.38)<br />
La rappresentazione grafica <strong>del</strong> segnale y(t) è mostrata nella figura 5.7(b). Il<br />
segnale y(t) può essere espresso nella forma<br />
y(t) = R(t)cos(2πf0t − Ψ(t)). (5.39)<br />
dove <br />
R(t) = V0 1 + k2 · s2 (t)<br />
Ψ(t) = atan(k · s(t))<br />
(5.40)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 73<br />
Il segnale y(t) risulta perciò modulato sia in ampiezza sia in fase. Nel caso<br />
in cui |k · s(t)|
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 74<br />
Il moltiplicatore di frequenza è un dispositivo che moltiplica la frequenza<br />
<strong>del</strong> suo ingresso per n. Se il segnale y(t) all’ingresso <strong>del</strong> moltiplicatore è un<br />
segnale FM o PM, cioè:<br />
la sua frequenza istantanea risulta<br />
y(t) = V0cos(2πf0t + Ψ(t)) (5.42)<br />
fi(t) = f0 + 1 dΨ(t)<br />
2π dt<br />
(5.43)<br />
Il segnale y ′ (t) all’uscita <strong>del</strong> moltiplicatore di frequenza ha una frequenza<br />
f1 = nf0, per cui<br />
y ′ (t) = V0cos(2πnf0t + nΨ(t)). (5.44)<br />
La massima deviazione di frequenza <strong>del</strong> segnale e l’indice di modulazione<br />
risultano moltiplicati per n. Attraverso un’opportuna scelta di n, è possibile<br />
ottenere un qualunque valore <strong>del</strong>l’indice di modulazione.<br />
5.4 Demodulatori FM<br />
Ci sono vari metodi per demodulare un segnale FM e vengono generalmente<br />
raggruppati in due categorie:<br />
• Diretti<br />
Si ottengono andando a recuperare la frequenza istantanea <strong>del</strong> segnale<br />
trasmesso FM. Nel seguito sono considerati due diversi demodulatori:<br />
– Discriminatore di frequenza bilanciato;<br />
– Rivelatore di zero-crossing.<br />
• Indiretti<br />
Il segnale modulante viene recuperato mediante l’utilizzo di retroazioni<br />
all’interno <strong>del</strong> circuito utilizzato. Nel seguito sarà descritto il<br />
demodulatore PLL <strong>del</strong> 1 ◦ e <strong>del</strong> 2 ◦ ordine.<br />
5.4.1 Demodulatore FM con discriminatore di frequenza<br />
bilanciato<br />
Si consideri un sistema LTI al cui ingresso si trova il segnale modulato FM,<br />
yF M(t). Tale sistema ha la seguente funzione di trasferimento<br />
⎧ <br />
⎪⎨ j2πa f − f0 +<br />
H1(f) =<br />
⎪⎩<br />
Btx<br />
<br />
f0 − 2<br />
Btx<br />
2 ≤ f ≤ f0 + Btx<br />
2<br />
<br />
j2πa f + f0 − Btx<br />
<br />
−f0 − 2<br />
Btx<br />
2 ≤ f ≤ −f0 + Btx (5.45)<br />
2<br />
0 altrimenti
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 75<br />
con a costante e Btx la banda di Carson, come mostrato in figura 5.8. Per<br />
Figura 5.8: Funzione di trasferimento <strong>del</strong> filtro H1(f)<br />
determinare l’uscita <strong>del</strong> sistema consideriamo gli inviluppi complessi <strong>del</strong> segnale<br />
di ingresso e <strong>del</strong>la risposta impulsiva. Per quanto riguarda il filtro,<br />
l’inviluppo complesso, H1(f), è determinato dal pre-inviluppo complesso<br />
e quindi<br />
H1(f) = 2H1(f) ∀f > 0 (5.46)<br />
H1(f) = H1(f + f0) (5.47)<br />
<br />
H1(f) =<br />
2 · jπa f + Btx<br />
<br />
2 |f| ≤ Btx<br />
0<br />
2<br />
altrimenti<br />
(5.48)<br />
come mostrato in figura 5.9. Per il segnale FM, essendo un segnale sinusoidale,<br />
l’inviluppo complesso, yF M(t), è determinato come<br />
yF M(t) = V0e j[2πf0t+2πkf<br />
yF M(t) = V0e j2πkf<br />
R t<br />
0 s(τ)dτ]<br />
R t<br />
0 s(τ)dτ<br />
(5.49)<br />
(5.50)<br />
purchè il segnale modulante sia un segnale a banda stretta.<br />
Il segnale trasmesso FM può quindi essere determinato dall’inviluppo complesso<br />
con la seguente equazione<br />
<br />
yF M(t) = Re yF M(t)e j2πf0t<br />
<br />
. (5.51)
Figura 5.9: Funzione di trasferimento <strong>del</strong> filtro H1(f)<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 76<br />
L’uscita <strong>del</strong> sistema, z(t), può quindi determinata dal suo inviluppo complesso,<br />
z(t). La trasformata di fourier <strong>del</strong>l’inviluppo complesso <strong>del</strong>l’uscita<br />
è<br />
Z(f) = 1<br />
2 H1(f) YF M(f) = j2πaf YF M(f) + jπaBtx YF M(f) (5.52)<br />
la sua antitrasformata<br />
z(t) = a · d eyF M (t)<br />
dt + jπaBtxyF M(t) =<br />
= aj2πV0kfs(t)e j2πkf<br />
R T<br />
0 s(t)dt + ajπBtxV0ej2πkf R T<br />
0 s(t)dt <br />
=<br />
= jaπBtxV0 1 + 2kf<br />
<br />
· s(t) e Btx j2πkf<br />
R T<br />
0 s(t)dt<br />
e quindi l’uscita <strong>del</strong> sistema LTI<br />
z(t) = −aπBtxV0<br />
<br />
1 + 2kf<br />
Btx<br />
(5.53)<br />
<br />
T <br />
· s(t) sen 2πf0t + 2πkf s(t)dt . (5.54)<br />
0<br />
Valutiamo il modulo <strong>del</strong> seguente termine:<br />
<br />
2kf<br />
<br />
<br />
· s(t) <br />
Btx<br />
=<br />
2kf<br />
|s(t)| ≤<br />
2(m + 1)fm<br />
kfmax|s(t)| 1<br />
·<br />
fm (m + 1)<br />
= m<br />
m + 1 (5.55)<br />
possiamo affermare quindi che per ogni segnale modulante e per ogni m il<br />
modulo <strong>del</strong> termine <strong>del</strong>l’eq.(5.55) è sempre minore o uguale ad 1. L’eq.(5.54)<br />
ci mostra come a partire dall’informazione <strong>del</strong> segnale modulante contenuta<br />
nelle variazioni di frequenza <strong>del</strong> segnale FM si sia ottenuto un’espressione in<br />
cui tale informazione è contenuta anche nelle variazioni di ampiezza. Per recuperare<br />
completamente il segnale s(t) può quindi essere utilizzato in cascata
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 77<br />
al sistema LTI un rivelatore di inviluppo che produrrà in uscita il seguente<br />
segnale<br />
<br />
v1(t) = aπBtxV0 1 + 2kf<br />
Btx<br />
<br />
· s(t) . (5.56)<br />
Per eliminare il termine in continua <strong>del</strong>l’eq.(5.56) si utilizza una struttura<br />
bilanciata <strong>del</strong> demodulatore, come mostrato in figura 5.10. Il filtro H2(f) ha<br />
Figura 5.10: Rappresentazione a blocchi <strong>del</strong> demodulatore FM bilanciato<br />
il seguente inviluppo complesso<br />
<br />
H2(f) =<br />
j2πa − f + Btx<br />
<br />
2 |f| ≤ Btx<br />
0<br />
2<br />
altrimenti<br />
(5.57)<br />
vedi figura 5.11 ed il corrispondente inviluppo complesso, H2(f), figura 5.12.<br />
Il segnale v2(t) ha quindi la seguente espressione,<br />
Figura 5.11: Funzione di trasferimento <strong>del</strong> filtro H2(f)<br />
v2(t) = aπBtxV0<br />
<br />
1 − 2kf<br />
Btx<br />
<br />
· s(t)<br />
(5.58)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 78<br />
da cui si ottiene il segnale v(t) proporzionale al segnale modulante s(t)<br />
2kf<br />
v(t) = v1(t) − v2(t) = 2aπBtxV0 · s(t). (5.59)<br />
Btx<br />
Il circuito di Foster-Sealy rappresenta un’implementazione pratica <strong>del</strong> di-<br />
Figura 5.12: Funzione di trasferimento <strong>del</strong> filtro H2(f)<br />
scriminatore di frequenza bilanciato, figura 5.13. Tale circuito è formato da<br />
due circuiti risonanti, accordati sulla frequenza f0 <strong>del</strong>la portante e da due<br />
rivelatori di inviluppo. Il funzionamento di questo discriminatore dipende<br />
dalla differenza di fase tra le tensioni ai capi dei due circuiti rivelatori di inviluppo:<br />
questa differenza di fase varia con la frequenza <strong>del</strong> segnale ricevuto.<br />
Alla frequenza f0 le tensioni presenti ai capi dei due rivelatori di inviluppo<br />
hanno la stessa ampiezza e quindi il segnale di uscita, rappresentato dalla<br />
differenza <strong>del</strong>le tensioni ai capi dei due circuiti, è uguale a 0; al contrario si<br />
avrà una tensione di uscita non nulla. Le variazioni di frequenza <strong>del</strong> segnale<br />
di ingresso sono convertite in tale circuito in variazioni di ampiezza e la curva<br />
di trasferimento è lineare attorno a f0, figura 5.14.<br />
5.4.2 Demodulatore FM con rivelatore di zero-crossing<br />
La frequenza istantanea di un segnale modulato FM risulta uguale a<br />
fi(t) = f0 + kfs(t) (5.60)<br />
da cui si osserva che il segnale modulante può essere ricostruito a meno di<br />
una costante uguale alla portante f0.<br />
Poichè il segnale trasmesso con una modulazione FM risulta sinusoidale, supponiamo<br />
di poter approssimare la frequenza istantanea <strong>del</strong> segnale con la<br />
seguente espressione<br />
fi(t) ∼ = 1<br />
(5.61)<br />
2∆t
Figura 5.13: Circuito di Foster-Sealy<br />
Figura 5.14: Funzione di trasferimento <strong>del</strong> discriminatore<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 79<br />
dove ∆t è l’intervallo presente tra due nulli <strong>del</strong>la sinusoide.<br />
Il demodulatore funziona ricostruendo il segnale modulante s(t) su intervalli<br />
T in cui tale valore è scelto opportunamente in modo che:<br />
• T
considerare costante;<br />
• T >> 1<br />
f0<br />
portante.<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 80<br />
in modo che nel periodo T sono contenuti molti cicli <strong>del</strong>la<br />
Per sempllicità poniamo T = n0 · ∆t da cui si ottiene<br />
fi(t) ∼ = 1<br />
2∆t<br />
n0<br />
= . (5.62)<br />
2T<br />
Il circuito demodulatore deve quindi contare il numero di attraversi negli zeri<br />
<strong>del</strong> segnale modulato, figura 5.15. Una volta che il segnale modulato è stato<br />
Figura 5.15: Rappresentazione a blocchi <strong>del</strong> demodulatore FM con rivelatore di<br />
zero-crossing<br />
limitato in ampiezza entra nel blocco indicato con il termine generatore di<br />
impulsi il quale produce in uscita un impulso ogni volta che il segnale ingresso<br />
ha un attraversamento sullo 0. Infine l’integratore somma nell’intervallo T il<br />
numero di impulsi in modo da ottenere alla fine <strong>del</strong> periodo n0.<br />
5.4.3 Demodulatore FM con PLL<br />
Il funzionamento <strong>del</strong> demodulatore a PLL si basa su una retroazione come<br />
mostrato in figura 5.16. Se indichiamo con v(t) il segnale in ingresso al<br />
Voltage Controller Oscillator (VCO), in uscita si ottiene<br />
r(t) = −VBsen 2πf0t + 2πkv<br />
t<br />
0<br />
v(t)dt <br />
(5.63)
con<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 81<br />
Figura 5.16: Rappresentazione a blocchi <strong>del</strong> demodulatore FM con PLL<br />
φ2(t) = 2πkv<br />
t<br />
mentre φ1(t) è la fase <strong>del</strong> segnale yF M(t) con<br />
φ1(t) = 2πkf<br />
0<br />
t<br />
0<br />
v(t)dt (5.64)<br />
m(t)dt (5.65)<br />
<strong>del</strong> segnale modulato in ingresso al demodulatore.<br />
Il filtro di anello è un filtro passa-basso a banda stretta con risposta impulsiva<br />
H(f).<br />
La fase errore viene così indicata φe(t) = φ1(t) − φ2(t) ed il segnale e(t) in<br />
ingresso al filtro d’anello<br />
e(t) = V0VB<br />
2 sen(φ1(t) − φ2(t)) − V0VB<br />
2 sen(2π(2f0)t + φ1(t) + φ2(t)) (5.66)<br />
da cui<br />
v(t) = V0VB<br />
2 h(t) ⊗ sen(φe(t)) (5.67)<br />
essendo la componente <strong>del</strong> segnale errore in alta frequenza filtrata dal filtro<br />
passa-basso.<br />
Si vuole esprimere adesso la fase errore in funzione <strong>del</strong> segnale modulante<br />
m(t) e successivamente il segnale demodulato v(t) in funzione di m(t). Per<br />
questo motivo la derivata <strong>del</strong>la fase errore vale<br />
dφe(t)<br />
dt<br />
= dφ1(t)<br />
dt −2πkv<br />
+∞<br />
−∞<br />
h(t−τ)·e(τ)dτ = dφ1(t)<br />
dt −2πk0<br />
+∞<br />
−∞<br />
h(t−τ)·sen(φe(τ))dτ<br />
(5.68)<br />
posto k0 = kvV0VB . Con l’ipotesi φe(t) −→ 0 si sviluppa con Taylor fino al<br />
2<br />
primo ordine l’espressione di sen(φe(t)) ∼ = φe(t). L’eq.(5.68) è un’equazione<br />
integro-differenziale e dato che non è semplice da risolvere direttamente nel<br />
tempo si calcola la soluzione nel dominio <strong>del</strong>la frequenza<br />
j2πfΦ1(f) = j2πfΦe(f) + 2πk0 · Φe(f)H(f) (5.69)
da cui si ottiene<br />
Φe(f) =<br />
1<br />
1 + k0 H(f)<br />
jf<br />
Φ1(f) =<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 82<br />
1<br />
1 + L(f) Φ1(f) (5.70)<br />
posto L(f) = k0 H(f)<br />
jf la funzione di trasferimento ad anello aperto.<br />
Sostituendo l’eq.(5.70) nell’eq.(5.67) trasformata in frequenza, si ottiene<br />
V (f) = k0<br />
H(f) · Φe(t) = jf<br />
L(f) · Φe(f) = jf<br />
kv<br />
kv<br />
kv<br />
· L(f)<br />
1 + L(f) Φ1(f). (5.71)<br />
Se sulla banda <strong>del</strong> segnale modulante |L(f)| >> 1 allora Φe −→ 0 e V (f) −→<br />
jf<br />
kv Φ1(f). Antitrasformando l’ultima espressione si ottiene<br />
v(t) = 1<br />
2πkv<br />
dφ1(t)<br />
dt<br />
= kf<br />
kv<br />
· m(t) (5.72)<br />
e quindi il segnale risulta demodulato correttamente.<br />
La progettazione <strong>del</strong> filtro ad anello semplice, L(f), determina quindi la<br />
corretta demodulazione <strong>del</strong> segnale. Tipicamente L(f) è scelta in modo da<br />
P (f)<br />
essere espresso come L(f) = dove P (f) e Q(f) sono due polinomi. Il<br />
Q(f)<br />
grado <strong>del</strong> polinomio di Q(f) determina il grado <strong>del</strong> demodulatore PLL. Si<br />
indica così una PLL <strong>del</strong> primo ordine se il polinomio Q(f) = b0 + b1f, PLL<br />
<strong>del</strong> secondo ordine se Q(f) = b0 + b1f + b2f 2 , ecc.... Mediante opportuni<br />
calcoli che in queste dispense non sono considerati è possibile dimostrare che<br />
per demodulare correttamente il segnale non è sufficiente un circuito PLL <strong>del</strong><br />
primo ordine, ma è necessario utilizzare almeno un PLL <strong>del</strong> secondo ordine.<br />
5.5 Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione<br />
FM<br />
Lo schema di principio <strong>del</strong> demodulatore FM che consideriamo per valutare<br />
il SNR è mostrato nella figura 5.17. Il filtro passa-banda, centrato su f0,<br />
serve a limitare la banda <strong>del</strong> rumore e ha una banda passante uguale a Btx.<br />
Il limitatore di ampiezza viene introdotto per rendere costante l’ampiezza<br />
<strong>del</strong> segnale da demodulare, mentre il discriminatore produce un segnale in<br />
uscita proporzionale alla deviazione di frequenza <strong>del</strong> segnale al suo ingresso.<br />
Il filtro passa-basso ha una banda B uguale a quella <strong>del</strong> segnale modulante.<br />
Il segnale ricevuto r(t) può essere scritto:<br />
r(t) = V0cos(2πf0t + θ(t)) + n(t) (5.73)
con<br />
Figura 5.17: Schema di principio <strong>del</strong> demodulatore FM<br />
θ(t) = 2πkf<br />
t<br />
All’ingresso <strong>del</strong> demodulatore la potenza Si <strong>del</strong> segnale è<br />
mentre la potenza <strong>del</strong> rumore è<br />
Il SNRi è quindi<br />
Ni =<br />
B<br />
Si =<br />
−B<br />
SNRi =<br />
0<br />
V 2<br />
0<br />
2<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 83<br />
s(t)dt. (5.74)<br />
(5.75)<br />
N0<br />
2 df = N0B. (5.76)<br />
2 V0 . (5.77)<br />
2N0B<br />
Il rumore può essere espresso mediante la forma a banda stretta per cui<br />
r(t) = [V0cos(θ(t))+a(t)]cos(2πf0t)−[V0sen(θ(t))+b(t)]sen(2πf0t). (5.78)<br />
Il segnale ricevuto r(t) può essere rappresentato mediante il suo inviluppo<br />
R(t) e la fase Ψ(t), cioè<br />
r(t) = R(t)cos(2πf0t + Ψ(t)) (5.79)<br />
essendo<br />
<br />
R(t) = (V0cos(θ(t)) + a(t)) 2 + (V0sen(θ(t)) + b(t)) 2<br />
<br />
V0sen(θ(t))+b(t)<br />
Ψ(t) = atan<br />
V0cos(θ(t))+a(t)<br />
(5.80)<br />
Il discriminatore di frequenza produce un segnale in uscita, v(t), proporzionale<br />
alla derivata <strong>del</strong>la fase Ψ(t), cioè<br />
v(t) = c Ψ(t)<br />
dt<br />
(5.81)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 84<br />
essendo c una costante di proporzionalità.<br />
Calcoliamo prima di tutto la potenza Su <strong>del</strong> segnale utile all’uscita <strong>del</strong><br />
discriminatore in assenza di rumore. In questo caso si ottiene<br />
e quindi<br />
Ψ(t) = θ(t) = 2πkf<br />
t<br />
0<br />
s(t)dt (5.82)<br />
v(t) = c2πkfs(t) (5.83)<br />
La potenza media <strong>del</strong> segnale utile in uscita al demodulatore è<br />
Su = c 2 4π 2 k 2 fs 2 (t) (5.84)<br />
Nel caso in cui si consideri presente soltanto il rumore, si ottiene<br />
Ψ(t) = b(t)<br />
V0 + a(t)<br />
(5.85)<br />
Per ottenere il calcolo <strong>del</strong>la potenza media di rumore supponiamo di trattare<br />
situazioni con alti SNR, in modo tale che sia valida la condizione V0 >><br />
a(t), b(t). Si ottiene così<br />
Ψ(t) ∼ = b(t)<br />
. (5.86)<br />
Come abbiamo detto in precedenza, il discriminatore effettua la derivata <strong>del</strong>la<br />
fase Ψ(t), per cui il derivatore può essere schematizzato come un sistema<br />
lineare con funzione di trasferimento H(f) uguale a<br />
V0<br />
H(f) = j2πf · c. (5.87)<br />
La densità spettrale di potenza media <strong>del</strong> segnale di rumore all’uscita <strong>del</strong><br />
discriminatore risulta<br />
Pv,v(f) = 4π2c2f 2 <br />
f<br />
<br />
N0rect . (5.88)<br />
Btx<br />
V 2<br />
0<br />
Tale densità spettrale è mostrata in figura 5.18. Il filtro passa-basso a valle <strong>del</strong><br />
discriminatore di frequenza ha una banda (−B, B), per cui l’espressione <strong>del</strong>la<br />
densità spettrale di potenza media dopo l’operazione di filtraggio diventa<br />
Pu,u(f) = 4π2 c 2 f 2<br />
da cui la potenza media di rumore<br />
Nu =<br />
B<br />
−B<br />
V 2<br />
0<br />
<br />
f<br />
<br />
N0rect<br />
2B<br />
Pu,u(f)df = 8π2 c 2 N0B 3<br />
3V 2<br />
0<br />
(5.89)<br />
(5.90)
Figura 5.18: Schema di principio <strong>del</strong> demodulatore FM<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 85<br />
La potenza di rumore è direttamente proporzionale a B 3 e inversamente<br />
proporzionale a V 2<br />
0 e quindi alla potenza <strong>del</strong>la portante. In una modulazione<br />
FM l’aumento <strong>del</strong>la potenza <strong>del</strong>la portante riduce la potenza <strong>del</strong> rumore.<br />
Questo risultato non trova analogie nelle modulazioni di ampiezza e risulta<br />
legato alla struttura <strong>del</strong> rivelatore FM. Il SNRu vale quindi<br />
SNRu =<br />
3V 2<br />
0 k 2 f s2 (t)<br />
2N0B 3<br />
La figura di merito, Fm, nella modulazione FM risulta così<br />
Fm =<br />
3V 2<br />
0 k2 f s2 (t)<br />
2N0B3 V 2<br />
0<br />
2N0B<br />
(5.91)<br />
= 3k2 f s2 (t)<br />
B 2 . (5.92)<br />
Esempio<br />
Dato un segnale modulante sinusoidale, s(t) = Vmcos(2πfmt), l’indice di<br />
modulazione FM risulta essere, m = kf Vm<br />
, e la potenza media <strong>del</strong> segnale<br />
modulante Pm = s 2 (t) = V 2 m<br />
2<br />
fm<br />
. La figura di merito <strong>del</strong> demodulatore FM vale<br />
Fm = 3k2 f s2 (t)<br />
B 2<br />
= 3k2 fV 2 m 3<br />
=<br />
2B2 2 m2<br />
(5.93)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 86<br />
Mentre nel caso <strong>del</strong>la modulazione AM si ottiene al massimo Fm = 1/3,<br />
la figura di merito nella modulazione FM può essere anche maggiore di 1 e<br />
comunque risulta migliore di quella di un segnale modulato AM.<br />
5.6 Effetto Soglia nella modulazione FM<br />
L’eq.(5.91) risulta valida soltanto nei casi con alto SNR. Quando la potenza<br />
<strong>del</strong> rumore all’ingresso <strong>del</strong> demodulatore diviene comparabile con la potenza<br />
<strong>del</strong> segnale utile, non sono più valide le approssimazioni per il calcolo di<br />
SNRu. In particolare, quando SNR diviene piccolo, a(t) e b(t) non risultano<br />
trascurabili rispetto a V0.<br />
Per una descrizione qualitativa definiamo in primo luogo il rapporto C<br />
NIF tra<br />
la potenza <strong>del</strong>la portante e la potenza effettiva <strong>del</strong> rumore all’ingresso <strong>del</strong><br />
demodulatore (a Frequenza Intermedia) sulla banda di trasmissione, Btx. Si<br />
ha<br />
C<br />
NIF<br />
= V 2<br />
0<br />
2N0Btx<br />
(5.94)<br />
Analisi teoriche e misure sperimentali hanno mostrato che generalmente la<br />
formula <strong>del</strong> SNRu in funzione di SNRi ricavate precedentemente sono valide<br />
se il rapporto C è maggiore di 10dB. Per valori superiori a 10dB,<br />
NIF<br />
SNRu aumenta linearmente con C , mentre per valori inferiori diminuisce<br />
NIF<br />
rapidamente con C<br />
C<br />
. Il rapporto NIF NIF è collegato con SNRi all’ingresso <strong>del</strong><br />
rivelatore FM dalla relazione<br />
C<br />
NIF<br />
= Si<br />
·<br />
Ni<br />
B<br />
Btx<br />
(5.95)<br />
dove B rappresenta la banda <strong>del</strong> segnale modulante. Indicando con ρ la<br />
soglia sopra la quale il ricevitore funziona correttamente, si ottiene<br />
Si<br />
Ni<br />
≥ ρ · Btx<br />
B<br />
Utilizzando la formula di Carson per la banda di trasmissione si ottiene<br />
Si<br />
Ni<br />
(5.96)<br />
≥ 2ρ(m + 1) (5.97)<br />
Nel caso in cui ρ = 10dB, il ricevitore opera sopra la soglia se<br />
<br />
<br />
Si<br />
<br />
Ni dB<br />
≥ 13 + 10log10(m + 1) (5.98)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 87<br />
Quando il ricevitore opera sopra la soglia il SNRu aumenta linearmente con<br />
C<br />
NIF , mentre per valori inferiori alla soglia SNRu decresce rapidamente con<br />
C<br />
NIF . Alcuni esempi <strong>del</strong>la variazione di SNRu in funzione di C<br />
NIF<br />
valori di m sono mostrati nella figura 5.19.<br />
Figura 5.19: Rapporto segnale-rumore nella modulazione di frequenza<br />
per diversi<br />
5.7 Pre-enfasi e De-enfasi nella modulazione<br />
FM<br />
Come abbiamo visto in precedenza, la densità spettrale di potenza media<br />
all’uscita <strong>del</strong> demodulatore FM, Pu,u(f), <strong>del</strong>l’eq.(5.89) cresce con il quadrato<br />
<strong>del</strong>la frequenza. A causa di questo fatto, durante la demodulazione le frequenze<br />
più elevate contenute nel segnale modulante sono affette da un rumore
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 88<br />
con una densità spettrale di potenza media maggiore rispetto a quello che<br />
altera le componenti a bassa frequenza. Le componenti in frequenza più alte<br />
presenti nel segnale utile demodulato sono perciò maggiormente degradate<br />
dal rumore. Questo inconveniente, tipico <strong>del</strong>le modulazione FM, può essere<br />
eliminato modificando in modo opportuno lo spettro <strong>del</strong> segnale modulante<br />
prima che questo venga trasmesso. Questa operazione, che prende il nome di<br />
pre-enfasi, consiste nell’esaltare la potenza <strong>del</strong>le componenti di frequenza più<br />
alte contenute nel segnale modulante. Al ricevitore viene ripristinato, dopo<br />
l’operazione di demodulazione, lo spettro <strong>del</strong> segnale modulante mediante<br />
l’operazione inversa, detta de-enfasi. Lo schema di principio di un sistema<br />
FM è mostrato nella figura 5.20. I circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi han-<br />
Figura 5.20: Rapporto segnale-rumore nella modulazione di frequenza<br />
no le seguenti funzioni di trasferimento Hp(f) e Hd(f). Tali circuiti devono<br />
essere tali che, in assenza di rumore, il segnale utile dopo l’operazione di<br />
de-enfasi risulti uguale a s(t) e quindi<br />
Hp(f) · Hd(f) = c (5.99)<br />
con c costante per −B ≤ f ≤ B.<br />
La funzione Hp(f) viene generalmente scelta imponendo che la potenza media<br />
<strong>del</strong> segnale dopo il circuito di pre-enfasi risulti uguale a quella <strong>del</strong> segnale<br />
modulante s(t), per cui la Btx <strong>del</strong> segnale FM risulti la stessa sia in presenza<br />
che in assenza di pre-enfasi. La funzione di trasferimento <strong>del</strong> circuito di preenfasi<br />
deve variare così in modo proporzionale a f 2 , come la densità spettrale<br />
di Pu,u(f). Una funzione che soddisfa la seguente condizione è<br />
Hp(f) = j2πf (5.100)<br />
cioè un derivatore. In questo caso, facendo precedere al circuito di modulazione<br />
FM un derivatore, si ottiene una modulazione PM. Tuttavia la scelta<br />
<strong>del</strong>la modulazione PM nella sua versione classica pone numerosi problemi<br />
da un punto di vista realizzativo; perciò si preferisce utilizzare una tecnica<br />
che può considerarsi un’opportuna combinazione <strong>del</strong>le due modulazioni. Un<br />
dispositivo adatto per realizzare l’operazione di pre-enfasi e di de-enfasi ha<br />
quindi una funzione di trasferimento uguale ad una costante per basse frequenze<br />
e si comporta come un derivatore per le alte frequenze. Un esempio
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 89<br />
Figura 5.21: Funzioni caratteristiche dei circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi: a) funzione<br />
caratteristica <strong>del</strong> circuito di pre-enfasi; b) funzione caratteristica <strong>del</strong> circuito di de-enfasi<br />
tipico <strong>del</strong>la caratteristica Hp(f) è mostrato nella figura 5.21(a) in cui |Hp(f)|<br />
è costante fino ad una certa frequenza f1 ed aumenta linearmente tra f1 e la<br />
massima frequenza B <strong>del</strong> segnale modulante. La frequenza f1 viene generalmente<br />
scelta come la frequenza per cui la densità spettrale di s(t) è inferiore<br />
a 3dB rispetto al massimo valore (f = 0). Il corrispondente circuito di deenfasi<br />
deve avere la funzione di trasferimento Hd(f) mostrata nella figura<br />
5.21(b).<br />
L’introduzione dei circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi influenza il SNRu. Per<br />
determinare in modo qualitativo l’effetto, calcoliamo la potenza media Nu(d)<br />
<strong>del</strong> rumore in presenza <strong>del</strong> circuito di de-enfasi. Si ottiene quindi<br />
Nu(d) =<br />
B<br />
−B<br />
|Hd(f)| 2 Pu,u(f)df = 4π2 c 2 N0<br />
V 2<br />
0<br />
B<br />
f<br />
−B<br />
2 |Hd(f)| 2 df. (5.101)<br />
Nel caso ideale, le operazioni di pre-enfasi e di de-enfasi per l’eq.(5.99) non<br />
alterano la potenza <strong>del</strong> segnale modulante. Il SNR vien quindi migliorato<br />
da un fattore di miglioramento <strong>del</strong> SNR<br />
γ = SNRu(d)<br />
SNRu<br />
=<br />
S u(d)<br />
N u(d)<br />
Su<br />
Nu<br />
=<br />
Su<br />
N u(d)<br />
Su<br />
Nu<br />
= Nu<br />
Nu(d)<br />
=<br />
B<br />
−B f 2 df<br />
4π2c2N0 V 2<br />
0<br />
4π2c2N0 V 2<br />
B<br />
0 −B f 2 |Hd(f)| 2df =<br />
Esempio<br />
Un esempio di circuito utilizzato per effettuare la pre-enfasi è mostrato nella<br />
figura 5.22(a); la sua funzione di trasferimento è<br />
Hp(f) = R2(1 + j2πfCR1)<br />
. (5.103)<br />
R1 + R2 + j2πfCR1R2<br />
Nel caso in cui R2
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 90<br />
dove fc = 1<br />
2πCR1 .<br />
Il circuito corrispondente di de-enfasi è mostrato nella figura 5.22(b); la sua<br />
funzione di trasferimento risulta<br />
per cui si ottiene<br />
ed il γ <strong>del</strong>l’eq.(5.102) vale<br />
γ =<br />
B<br />
−B<br />
2<br />
3 B3<br />
1+<br />
f 2<br />
2 df<br />
f<br />
=<br />
fc<br />
Hd(f) =<br />
Hp(f) · Hd(f) ∼ = R2<br />
1<br />
<br />
1 + j f<br />
(5.105)<br />
fc<br />
2<br />
3 B3<br />
R1<br />
<br />
<br />
f 2 c (v − atan(v)) B/fc<br />
−B/fc<br />
= k (5.106)<br />
= 1<br />
3 ·<br />
B<br />
<br />
B 3<br />
fc<br />
fc − atan . B<br />
fc<br />
(5.107)<br />
Figura 5.22: Esempi di circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi: a) circuito di pre-enfasi; b)<br />
circuito di de-enfasi<br />
5.8 Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione<br />
PM<br />
Il calcolo <strong>del</strong> SNR per la modulazione PM è analogo al procedimento utilizzato<br />
per la modulazione FM. Il segnale in ingresso al demodulatore può<br />
essere scritto secondo l’eq.(5.78). Il ricevitore produce un segnale proporzionale<br />
a Ψ(t), cioè z(t) = c · Ψ(t) con c una costante di proporzionalità. In
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 91<br />
assenza di rumore, si ha che z(t) = cks(t) e quindi la potenza <strong>del</strong> segnale<br />
utile all’uscita <strong>del</strong> demodulatore è<br />
Su = c 2 k 2 s 2 (t). (5.108)<br />
Consideriamo adesso il caso in cui sia assente il segnale e si abbiano alti<br />
SNR, per cui all’uscita <strong>del</strong> demodulatore si ottiene<br />
Ψ(t) ∼ = c b(t)<br />
. (5.109)<br />
La densità spettrale di potenza media all’uscita <strong>del</strong> demodulatore è così<br />
espressa<br />
Pu,u(f) = c2N0 V 2<br />
<br />
f<br />
<br />
rect<br />
(5.110)<br />
0 2B<br />
e la potenza media di rumore ottenuta in uscita è<br />
Nu =<br />
+∞<br />
−∞<br />
V0<br />
Pu,udf = c2N0 V 2 2B. (5.111)<br />
0<br />
Il SNRu vale quindi<br />
2 V0 k<br />
SNRu = 2s2 (t)<br />
. (5.112)<br />
2N0B<br />
e, dato che SNRi è uguale a SNRi <strong>del</strong>la modulazione FM, si ottiene la<br />
seguente figura di merito<br />
Fm =<br />
V 2<br />
0 k2s2 (t)<br />
2N0B<br />
V 2<br />
0<br />
2N0B<br />
= k 2 s 2 (t). (5.113)<br />
Esempio<br />
Nel caso in cui il segnale modulante sia sinusoidale, il SNRu <strong>del</strong>l’eq.(5.113)<br />
risulta<br />
2 V0 k<br />
SNRu = 2V 2 m<br />
. (5.114)<br />
4N0B<br />
Posto l’indice di modulazione <strong>del</strong>le modulazione PM, m = kVm, si ottiene<br />
Fm = k2 V 2 m<br />
2<br />
m2<br />
= . (5.115)<br />
2<br />
Confrontando con il risultato ottenuto nella modulazione FM (Fm = 3<br />
2 m2 ),<br />
a parità di SNRi e di m (e quindi di banda occupata), la modulazione FM<br />
presenta un SNRu tre volte superiore rispetto alla modulazione PM. Per<br />
questo motivo la modulazione FM è più utilizzata nelle applicazioni pratiche.
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 92<br />
5.9 Schema di Ricevitore Supereterodina per<br />
trasmissione FM radio broadcasting<br />
In un sistema di trasmissione FM radio broadcasting più stazioni radio modulate<br />
singolarmente in FM sono trasmesse con portanti distinte in modo da non<br />
generare interferenza. La banda complessiva di tutte le stazioni radio è tra<br />
88MHz e 108MHz. Le portanti di ogni segnale modulato FM sono separate<br />
di 200kHz, la ∆fmax = 75kHz e la banda utile di ogni segnale modulante (se-<br />
gnali audio per trasmissioni radio) è 15kHz. Si ottiene quindi che ogni segna-<br />
= 5<br />
le modulato FM ha un indice di modulazione uguale a m = ∆fmax<br />
fmax<br />
= 75k<br />
15k<br />
e la banda di trasmissione è Bc = 2(m + 1)fmax = 180kHz.<br />
Considerando che le portanti sono spaziate di 200kHz e che ogni banda di<br />
trasmissione vale 180kHz, non viene generata interferenza dato che tra ogni<br />
trasmissione è presente un margine di banda pari a 20kHz.<br />
Nel sistema trasmissione/ricezione sono utilizzati i circuiti di pre-enfasi e di<br />
de-enfasi in modo tale da incrementare le prestazioni <strong>del</strong> demodulatore in<br />
termini di SNR.<br />
Lo schema <strong>del</strong> demodulatore è mostrato in figura 5.23. Si osserva che è<br />
costituito principalmente da:<br />
• Un circuito a super-eterodina;<br />
• Un demodulatore FM a discriminatore di frequenza;<br />
• Un circuito di de-enfasi ed un amplificatore audio.<br />
Il circuito a super-eterodina consente di selezionare tra tutte le stazioni radio<br />
quella desiderata e portarla, variando la frequenza fx <strong>del</strong>l’oscillatore locale,<br />
a frequenza intermedia la cui frequenza fI è uguale a 10.7MHz, vedi figura<br />
5.24. Il filtro corrispondente all’amplificatore a frequenza intermedia elimina<br />
tutte le altre stazioni radio.<br />
5.10 Schema di un modulatore ed un demodulatore<br />
FM stereo<br />
Un sistema di trasmissione stereo consente di trasmettere due segnali generati<br />
da due sorgenti distinte senza che si generi interferenza tra i due segnali<br />
ed in modo che la compatibilità con i sistemi di trasmissione ad un solo segnale<br />
siano garantiti. Nel caso di segnali audio le bande dei due segnali sono<br />
rispettivamente (−15kHz, 15kHz) e fanno riferimento tipicamente al canale
Figura 5.23: Ricevitore FM radio broadcasting<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 93<br />
Figura 5.24: Funzione di trasferimento <strong>del</strong> filtro a frequenza intermedia<br />
destro (dx) ed al canale sinistro (sx). Lo schema <strong>del</strong> modulatore e <strong>del</strong> demodulatore<br />
sono riportati nelle figure 5.25 e 5.27.<br />
Nel modulatore FM i due segnali sono combinati insieme in modo da generare<br />
due nuovi segnali corrispondenti alla somma ed alla differenza, successivamente<br />
si utilizzano i circuiti di pre-enfasi ed infine il segnale w(t) che viene<br />
inviato all’ingresso <strong>del</strong> modulatore FM classico è ottenuto come<br />
w(t) = (mr(t) + ml(t))|pre + (mr(t) − ml(t))|precos(2π38k t) + cos(2π19k t)<br />
(5.116)<br />
Lo spettro <strong>del</strong> segnale w(t) è mostrato in figura 5.26.<br />
Per recuperare i due segnali, dopo la demodulazione FM classica, sul ramo
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 94<br />
superiore si filtra tra (−15kHz, 15kHz) e successivamente si utilizza un filtro<br />
di de-enfasi, sul ramo inferiore invece si filtra tra (−53kHz, −23kHz) e<br />
(23kHz, 53kHz), successivamente si demodula DSB il segnale con frequenza<br />
<strong>del</strong>la portante recuperata dal filtro a banda stretta a 19kHz ed infine<br />
si utilizza il circuito di de-enfasi. I due segnali sono di nuovo combinati in<br />
modo da ottenere mr(t) e ml(t). Nel caso di segnali monofonici invece di segnali<br />
stereofonici la compatibilità viene garantita in quanto viene recuperato<br />
soltanto la somma <strong>del</strong>le due sorgenti audio.<br />
Figura 5.25: Schema di modulatore FM stereo<br />
Figura 5.26: Spettro di ampiezza, W (f), <strong>del</strong> segnale FM stereo<br />
Figura 5.27: Schema di demodulatore FM stereo
Capitolo 6<br />
Modulazioni Digitali<br />
Il principale problema nel progetto di un sistema di comunicazione è quello<br />
di individuare strutture ottime dei segnali e dei ricevitori, che minimizzano<br />
la probabilità di errore al ricevitore in presenza di rumore e di distorsioni nel<br />
canale di comunicazione.<br />
La struttura generale di un sistema di comunicazione numerico è mostrata<br />
nella figura 6.1. La sorgente genera simboli appartenenti a un alfabeto discreto<br />
A di dimensione M, avente cioè M simboli diversi, che saranno indicati<br />
con 0, 1, ..., M − 1. Ad esempio, nel caso binario si ha M = 2 e quindi i<br />
simboli sono 0 e 1, mentre nel caso M = 4 i simboli sono 0, 1, 2, 3. Nel seguito<br />
con ai sarà indicato il simbolo i-esimo generato dalla sorgente. I simboli<br />
ai possono rappresentare i dati generati da una sorgente discreta oppure i<br />
simboli corrispondenti ai campioni di un segnale analogico discretizzato. I<br />
Figura 6.1: Schema generale di un sistema di comunicazione digitale<br />
simboli ai vengono inviati a un modulatore digitale, che ha lo scopo di convertirli<br />
in forme d’onda continue nel tempo adatte alla loro trasmissione su<br />
95
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 96<br />
un canale di comunicazione. La scelta <strong>del</strong>la forma d’onda si(t) utilizzata per<br />
la trasmissione <strong>del</strong> simbolo ai è un problema molto importante, perchè può<br />
influenzare diversi parametri, quali la banda, la complessità <strong>del</strong> sistema di<br />
comunicazione e la probabilità di errore.<br />
Supporremo, come per le modulazioni analogiche, che il rumore introdotto<br />
dal canale sia AW GN.<br />
6.1 Rappresentazione vettoriale dei segnali<br />
Consideriamo un segnale si(t) definito sull’intervallo [0, T ], essendo T il tempo<br />
richiesto per trasmettere un simbolo. Il segnale si(t) viene utilizzato<br />
per trasmettere nel canale di comunicazione il simbolo ai. L’energia Ei <strong>del</strong><br />
segnale si(t) è definita come<br />
Ei = si(t) 2 T<br />
=<br />
0<br />
s 2 i (t)dt. (6.1)<br />
Nel seguito saranno considerati segnali ad energia finita, cioè tali che Ei < ∞.<br />
Due funzioni ψm(t) e ψn(t) definite sull’intervallo [0, T ] si dicono ortogonali<br />
se T<br />
ψm(t)ψn(t)dt = 0 (6.2)<br />
Un insieme di funzioni {ψm} +∞<br />
m=1 si dice ortonormale se<br />
< ψm(t), ψn(t) >=<br />
0<br />
T<br />
0<br />
ψm(t) · ψn(t)dt = δm,n<br />
(6.3)<br />
dove δm,n, rappresenta la <strong>del</strong>ta di Kronecher, cioè<br />
<br />
1<br />
δm,n =<br />
0<br />
se<br />
se<br />
m = n<br />
.<br />
m = n<br />
(6.4)<br />
Un insieme di funzioni ortonormali è quindi costituito da segnali ortogonali<br />
tra loro e con energia unitaria.<br />
Un qualunque segnale si(t) può essere espresso in modo univoco mediante<br />
un insieme di funzioni ortonormali. In particolare si può sviluppare si(t) in<br />
serie di Fourier generalizzata mediante le funzioni ψm(t), cioè:<br />
si(t) =<br />
+∞<br />
m=1<br />
si,mψm(t) (6.5)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 97<br />
dove si,m rappresenta la componente di si(t) proiettata sulla funzione ψm(t),<br />
cioè:<br />
si,m =< si(t), ψm(t) >=<br />
T<br />
0<br />
si(t) · ψm(t)dt. (6.6)<br />
Come conseguenza <strong>del</strong>lo sviluppo in serie di Fourier generalizzato, un segnale<br />
si(t) può essere rappresentato in modo univoco mediante le componenti<br />
si,m e quindi ad esso si può considerare associato un vettore s i con infinite<br />
componenti definito come<br />
Valutiamo la quantità < si(t), sj(t) >:<br />
< si(t), sj(t) >=<br />
s i = (si,1, si,2, si,3, si,4, ...) (6.7)<br />
T<br />
0<br />
si(t) · sj(t)dt =<br />
+∞<br />
si,msj,m<br />
m=1<br />
(6.8)<br />
per cui essa è equivalente al prodotto scalare tra i vettori s i e s j e viene perciò<br />
anche indicata con il nome di prodotto scalare tra i due segnali si(t) e sj(t).<br />
6.2 Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-<br />
Schmidt<br />
Il procedimento di Gram-Schmidt consente di costruire un insieme di funzioni<br />
ortonormali partendo da un insieme qualsiasi di funzioni si(t) e quindi sarà<br />
utilizzato nel seguito per costruire una base di funzioni ortonormali adatta<br />
per descrivere le forme d’onda utilizzate per trasmettere i simboli <strong>del</strong>l’alfabeto<br />
A.<br />
Si considerino M segnali {si(t)} M i=1 definiti sull’intervallo [0, T ] e nulli al di<br />
fuori di tale intervallo. Si vuole determinare un insieme di N funzioni ortonormali<br />
definite sull’intervallo [0, T ], tali che un qualunque segnale si(t)<br />
possa essere espresso come combinazione lineare di tali funzioni. La cardinalità<br />
di tali funzioni ortonormali sarà inferiore o uguale alla cardinalità dei<br />
possibili segnali trasmessi, N ≤ M.<br />
Il procedimento di Gram-Schmidt opera nel seguente modo:<br />
• Si pone v1(t) = s1(t) e successivamente si determina la prima funzione<br />
ortonormale:<br />
ψ1(t) = v1(t)<br />
<br />
Ev1<br />
(6.9)<br />
dove Ev1 è determinata secondo l’eq.(6.1);
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 98<br />
• Si calcola la seconda funzione ortonormale, ψ2(t), definendo la funzione<br />
v2(t) nel seguente modo<br />
v2(t) = s2(t)− < s2(t), ψ1(t) > ψ1(t) (6.10)<br />
cioè si sottrae a s2(t) la sua componente lungo la funzione ψ1(t). La<br />
funzione ψ2(t) è così ottenuta<br />
ψ2(t) = v2(t)<br />
Ev2<br />
(6.11)<br />
• Si continuano a calcolare i segnali vi(t) per ogni segnale si(t) <strong>del</strong>la<br />
costellazione degli M segnali<br />
vi(t) = si(t) −<br />
i−1<br />
j=1<br />
< si(t), ψj(t) > ψj(t) (6.12)<br />
e successivamente si determinano le restanti funzioni ortonormali<br />
ψi(t) = vi(t)<br />
Evi<br />
(6.13)<br />
Può accadere che per una o più funzioni si verifichi la condizione vi(t) =<br />
0. In questo caso il segnale si(t) viene descritto dalle funzioni <strong>del</strong>la base<br />
precedentemente costruite e quindi non è necessario utilizzare la funzione<br />
ψi(t). In questo caso si ottiene che N < M.<br />
Esempio. Segnali Antipodali<br />
Due segnali s1(t) e s2(t) si dicono antipodali se s1(t) = −s2(t). In questo<br />
caso per descrivere i due segnali è sufficiente una sola funzione ψ1(t), per cui<br />
M = 2 e N = 1. Nel caso in cui i due segnali abbiano la stessa energia E, si<br />
ottiene la seguente rappresentazione grafica, figura 6.2. La rappresentazione<br />
dei due segnali è quindi s1(t) = √ Eψ1(t) (s1 = √ E) e s2(t) = − √ Eψ1(t)<br />
(s2 = − √ E)<br />
Esempio. Segnali Ortogonali<br />
Gli M segnali s1(t), s2(t), ..., sM(t) sono detti ortogonali se < si(t), sj(t) >=<br />
0 ∀ i j con i = j. In questo caso occorre utilizzare N = M funzioni ortonormali<br />
per descrivere i segnali. La funzione ψi(t) per 1 ≤ i ≤ M ` definita<br />
come<br />
ψi(t) = si(t)<br />
. (6.14)<br />
Esi<br />
Se tutti gli M segnali si(t) hanno la stessa energia E, il vettore corrispondente<br />
a si(t) risulta<br />
si(t) = (0, 0, ..., 0, si,i = √ E, 0, ..., 0). (6.15)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 99<br />
Figura 6.2: Segnali antipodali: a) rappresentazione vettoriale; b) esempio di segnali<br />
antipodali<br />
Figura 6.3: Esempio di funzioni ortogonali e corrispondente rappresentazione vettoriale.<br />
si veda figura 6.3.<br />
Esempio. Segnali Biortogonali<br />
Si considerino quattro segnali che soddisfano le seguenti condizioni:<br />
s1(t) = −s3(t)<br />
s2(t) = −s4(t)<br />
(6.16)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 100<br />
Questi segnali, detti segnali biortogonali, possono essere descritti mediante<br />
una base di due funzioni ortonormali ψ1(t) e ψ2(t) definite nel seguente modo<br />
ψi(t) = si(t)<br />
Esi<br />
(6.17)<br />
per i = 1 e i = 2. Nel caso in cui i quattro segnali abbiano la stessa energia<br />
E, possono essere rappresentati nello spazio bidimensionale come<br />
si veda figura 6.4.<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
s 1 = ( √ E, 0)<br />
s 2 = (0, √ E)<br />
s 3 = (− √ E, 0)<br />
s 4 = (0, − √ E)<br />
6.3 Trasmissione su canali vettoriali<br />
(6.18)<br />
Si consideri il caso in cui M segnali diversi sono trasmessi. Questi segnali<br />
possono essere descritti mediante N funzioni ortonormali con N ≤ M. Ad<br />
ogni segnale si(t) può essere associato un vettore s i = (si,1, si,2, ..., si,N) dove<br />
si,m rappresenta la proiezione <strong>del</strong> segnale sulla funzione ortonormale ψm(t).<br />
Si supponga inoltre che il canale di trasmissione introduca un rumore AWGN<br />
così che il segnale ricevuto, trasmesso il simbolo ai,:<br />
r(t) = si(t) + n(t) (6.19)<br />
dove n(t) è il rumore. I due segnali r(t) e n(t) possono essere rappresentati<br />
mediante una serie generalizzata di Fourier utilizzando un insieme di funzione<br />
ortonormali, che indichiamo con φm(t). In questo caso sono necessarie infinite<br />
funzioni ortonormali per descrivere i due segnali r(t) e n(t). Definendo<br />
<br />
rm = T<br />
r(t) · φm(t)dt<br />
0<br />
nm = T<br />
(6.20)<br />
n(t) · φm(t)dt<br />
0<br />
r(t) e n(t) possono essere descritti mediante i due vettori r = (r1, r2, r3...) e<br />
n = (n1, n2, n3...), rispettivamente.<br />
Le funzioni φm(t) possono essere qualsiasi, tuttavia una scelta ovvia è quella<br />
di considerare φm(t) = ψm(t) per 1 ≤ i ≤ N e ψm(t) per m > N un insieme<br />
qualsiasi di funzioni ortonormali. In queste ipotesi si può scrivere<br />
<br />
rm = si,m + nm per 1 ≤ m ≤ N<br />
(6.21)<br />
rm = nm per m > N
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 101<br />
Figura 6.4: Segnali biortogonali: a) rappresentazione vettoriale dei segnali biortogonali;<br />
b) esempio di segnali biortogonali<br />
Nell’ipotesi di canale AWGN, le varie componenti di rumore nm sono scorrelate<br />
tra di loro, per cui dall’osservazione <strong>del</strong>la componente nm non si nessuna<br />
informazione sulle altre componenti. Pertanto, le componenti rm = nm per<br />
m > N non forniscono informazioni sulle prime N componenti e quindi sulla
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 102<br />
scelta <strong>del</strong> segnale trasmesso. In questo caso si dice che le prime N componenti<br />
costituiscono una statistica sufficiente per la scelta <strong>del</strong> segnale. Naturalmente,<br />
questa ipotesi non risulta più valida quando cambia il tipo di rumore<br />
introdotto dal canale di comunicazione. Definiamo i seguenti due vettori r e<br />
n: <br />
r = (r1, r2, r3, ..., rN)<br />
(6.22)<br />
n = (n1, n2, n3, ..., nN)<br />
l’eq.(6.19) può essere scritta in forma vettoriale<br />
r = s i + n (6.23)<br />
sulle prime N componenti. Di conseguenza si può supporre di trasmettere<br />
segnali vettoriali e quindi che il ricevitore operi su vettori. Questa rappresentazione<br />
è molto utile sia per valutare le prestazioni dei segnali in presenza<br />
di rumore, sia per individuare la struttura ottima <strong>del</strong> ricevitore.<br />
Consideriamo adesso le statistiche <strong>del</strong>le componenti ni <strong>del</strong> rumore nel caso<br />
in cui il canale di comunicazione introduca un rumore AWGN a media nulla<br />
e varianza N0<br />
2 . La componente ni, ottenuta dall’eq.(6.22), è una variabile<br />
aleatoria di tipo gaussiano e risulta perciò completamente definita una volta<br />
noto il suo valor medio e la sua varianza.<br />
Il valor medio di ni risulta uguale a<br />
mni = E[ni]<br />
<br />
= E<br />
T<br />
T<br />
n(t) · ψi(t)dt = E[n(t)] · ψi(t)dt = 0 (6.24)<br />
0<br />
essendo E[n(t)] = 0 per ipotesi. La varianza di ni è<br />
0<br />
σ 2 ni = E[n2 i ] − m 2 ni = E[n2 i ] (6.25)<br />
per cui<br />
σ 2 <br />
ni = E<br />
T<br />
T<br />
<br />
0<br />
n(t1) · ψi(t1)dt1<br />
0<br />
n(t2) · ψi(t2)dt2 (6.26)<br />
Scambiando l’operazione di integrazione con l’operatore di media, si ottiene<br />
σ 2 ni =<br />
T T<br />
0<br />
0<br />
E[n(t1) · n(t2)]ψi(t1)ψi(t2)dt1dt2. (6.27)<br />
La funzione di autocorrelazione <strong>del</strong> rumore AWGN risulta uguale a Rn,n(t1, t2) =<br />
E[n(t1) · n(t2)] = N0<br />
2 δ(t1 − t2), quindi l’eq.(6.27) può essere scritta come<br />
σ 2 ni<br />
= N0<br />
2<br />
T T<br />
0<br />
0<br />
δ(t1 − t2)ψi(t1)ψi(t2)dt1dt2 = N0<br />
2<br />
T<br />
0<br />
ψ 2 i (t1)dt1 = N0<br />
2<br />
(6.28)<br />
essendo le funzioni ortonormali, ψi(t), ad energia unitaria. Le componenti ni<br />
mantengono la stessa media e varianza di n(t).
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 103<br />
6.4 Ricevitore ottimo a massima verosimiglianza<br />
Il ricevitore deve decidere quale simbolo è stato trasmesso osservando il segnale<br />
ricevuto r(t) o il corrispondente vettore r. Supponiamo che il simbolo<br />
trasmesso sia ai e che il canale sia di tipo AWGN. Il ricevitore ottimo è quello<br />
che minimizza la probabilità di errore. Pertanto si vuole determinare il<br />
criterio da seguire per decidere sul simbolo ricevuto in modo da minimizzare<br />
la probabilità di errore. Per questo definiamo<br />
P (s i|r) = P (ai|r) (6.29)<br />
la probabilità che sia stato trasmesso il simbolo ai condizionata al fatto che<br />
sia stato ricevuto il segnale r.<br />
Il ricevitore effettua una decisione non corretta se sceglie il simbolo aj con<br />
j = i come simbolo trasmesso. Indicando con Pe|r la probabilità di errore<br />
condizionata ad aver ricevuto r, si ha<br />
Pe|r = 1 − Pc|r<br />
(6.30)<br />
dove Pc|r rappresenta la probabilità di corretta ricezione supponendo di aver<br />
ricevuto r. La probabilità di errore risulta quindi uguale a<br />
<br />
Pe = Pe|rp(r)dr (6.31)<br />
r<br />
dove p(r) rappresenta la densità di probabilità di r e l’integrale si intende<br />
esteso a tutto lo spazio a N dimensioni di r.<br />
Poichè p(r) risulta non negativa, la probabilità di errore Pe è minimizzata<br />
se per ogni valore di r il ricevitore sceglie il simbolo aj per cui P (aj|r) è<br />
massima. La regola ottima di decisione sceglie il simbolo aj per cui<br />
P (aj|r) = max<br />
1≤k≤M P (ak|r). (6.32)<br />
Se esistono uno o più simboli aj, che hanno lo stesso valore massimo P (aj|r),<br />
si può scegliere in modo arbitrario uno qualsiasi di questi simboli.<br />
Per poter applicare la regola di decisione ottima, occorre conoscere P (aj|r)<br />
per tutti i simboli aj e i segnali r. Spesso risulta più semplice valutare la<br />
densità di probabilità p(r|aj). Utilizzando la formula di Bayes, eq.(1.54), la<br />
regola ottima di decisione <strong>del</strong>l’eq.(6.32) risulta uguale a<br />
p(r|aj) · P (aj)<br />
p(r)<br />
p(r|ak) · P (ak)<br />
= max<br />
1≤k≤M p(r)<br />
(6.33)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 104<br />
dove P (aj) rappresenta la probabilità a priori <strong>del</strong> simbolo aj. Essendo r e n<br />
indipendenti tra di loro, dall’eq.(1.63), si ha<br />
p(r|aj) = p(r|s j) = pn(r − s j) = pn(n) (6.34)<br />
dove pn(n) rappresenta la densità di probabilità di n. Pertanto la regola di<br />
decisione ottima risulta<br />
pn(r − s j)P (aj) = max<br />
1≤k≤M pn(r − s k) · P (ak) (6.35)<br />
Un ricevitore che utilizza la precedente regola di decisione minimizza la probabilità<br />
di errore e prende il nome di ricevitore a massima verosimiglianza.<br />
Consideriamo il caso in cui n(t) è AWGN a media nulla e varianza N0 . In que-<br />
2<br />
sto caso, dato che le componenti sono scorrelate tra di loro e gaussiane, quindi<br />
indipendenti, la densità di probabilità congiunta di tutte le componenti è<br />
espressa dal prodotto <strong>del</strong>la densità di probabilità di ogni componente:<br />
N<br />
<br />
1<br />
pn(n) = pn(r−sj) = pn(rk−sj,k) =<br />
2π<br />
k=1<br />
N0<br />
N<br />
2<br />
e<br />
2<br />
−<br />
PNk=1 (rk−sj,k ) 2<br />
2 N <br />
0 1<br />
2 =<br />
πN0<br />
(6.36)<br />
Tenendo presente che ln(x) è una funzione monotona crescente di x si può<br />
considerare il logaritmo naturale di ambedue i membri nell’eq.(6.34) e cambiando<br />
di segno si ottiene<br />
<br />
r − sj2<br />
− N0 · ln[P (aj)] = min<br />
1≤k≤M {r − sk 2 − N0 · ln[P (ak)]}. (6.37)<br />
Definendo<br />
Cj = r · s j =<br />
T<br />
0<br />
r(t) · sjdt (6.38)<br />
tenendo presente che Esi = si(t) 2 e sviluppando i termini quadratici <strong>del</strong>l’eq.(6.37)<br />
la regola di decisione ottima può essere alternativamente scritta<br />
come<br />
r · s j − Esj<br />
2<br />
N0<br />
+<br />
2 · ln[P (aj)] = max<br />
1≤k≤M {r · sk − Esk<br />
2<br />
+ N0<br />
2 · ln[P (ak)]}. (6.39)<br />
Le due regole (eq.(6.37) e eq.(6.39)) rappresentano due metodi equivalenti<br />
per effettuare la decisione ottima e quindi possono essere utilizzate per la<br />
realizzazione <strong>del</strong> ricevitore ottimo.<br />
Si definisce distanza euclidea tra due segnali r e sj la grandezza<br />
De = <br />
r − sj<br />
=<br />
<br />
T<br />
[r(t) − sj(t)] 2dt. (6.40)<br />
0<br />
N<br />
2<br />
e −r−s j 2<br />
N 0 .
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 105<br />
Nei casi di segnali con la stessa energia, di definisce la distanza euclidea<br />
normalizzata<br />
de = De<br />
√2E . (6.41)<br />
La struttura ottima <strong>del</strong> ricevitore è quella mostrata nella figura 6.5(a) nel<br />
caso in cui si utilizza la regola di decisione <strong>del</strong>l’eq.(6.37). Tale ricevitore<br />
viene detto ricevitore a distanza minima. Analogamente, poichè l’eq.(6.38)<br />
corrisponde al prodotto di correlazione tra i segnali r(t) e sj(t), il ricevitore<br />
<strong>del</strong>l’eq.(6.39) prende il nome di ricevitore a massima correlazione, come<br />
mostrato in figura 6.5(b). Le due strutture sono equivalenti da un punto di<br />
vista <strong>del</strong>le prestazioni.<br />
Nel caso in cui i segnali abbiano la stessa energia e la stessa probabilità a<br />
priori, la regola di decisione <strong>del</strong>l’eq.(6.37) diventa<br />
<br />
r − sj2<br />
= min<br />
1≤k≤M {r − sk 2 } (6.42)<br />
come mostrato in figura 6.6(a), mentre per l’eq.(6.39) diventa<br />
come mostrato in figura 6.6(b).<br />
r · s j = max<br />
1≤k≤M {r · s k} (6.43)<br />
6.5 Criterio Maximum A Posteriori (MAP)<br />
In molti casi può risultare conveniente visualizzare i diversi segnali e le regioni<br />
di decisione utilizzate per la scelta dei diversi simboli. Per questo motivo<br />
introduciamo alcune definizioni, che sono particolarmente utili per il calcolo<br />
<strong>del</strong>la probabilità di errore e per la realizzazione di strutture ottime di ricezione.<br />
Il criterio MAP permette di determinare nello spazio vettoriale ottenuto con<br />
il procedimento di Gram-Schmidt, paragrafo 6.2, le regioni di decisione. Si<br />
definisce regione di decisione relativa al simbolo i-esimo (1 ≤ i ≤ M), indicata<br />
con Ii, l’insieme di tutti i vettori r che sono demodulati nel simbolo<br />
ai in modo tale da massimizzare la probabilità di corretta ricezione, come<br />
nell’eq.(6.32):<br />
Ii = {r ∈ S : p(r|s i)P (s i) = max<br />
1≤k≤M P (ak|r) ∀ j = 1, ..., M} =<br />
= {r ∈ S : p(r|s i)P (s i) ≥ p(r|s j)P (s j) ∀ j = 1, ..., M}<br />
(6.44)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 106<br />
Figura 6.5: Ricevitore Ottimo: a) ricevitore a distanza minima; b) ricevitore a<br />
correlazione<br />
La regione di decisione Ii può essere alternativamente calcolata come l’intersezione<br />
di più regioni di decisione calcolate tra coppie di segnali secondo la<br />
relazione<br />
M<br />
Ii =<br />
(6.45)<br />
j=1 (j=i)<br />
Ii,j
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 107<br />
Figura 6.6: Ricevitore ottimi per segnali iso-energetici ed equiprobabili: a) ricevitore a<br />
distanza minima; b) ricevitore a correlazione<br />
con<br />
Ii,j = {r ∈ S : p(r|s i)P (s i) ≥ p(r|s j)P (s j)}. (6.46)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 108<br />
Supponendo il rumore AWGN e sfruttando i risultati <strong>del</strong>le eq.(6.35) e (6.36),<br />
si ottiene<br />
{p(r/s i)P (s i) ≥ p(r/s j)P (s j)} =<br />
1<br />
πN0<br />
N<br />
2<br />
e − r−s i 2<br />
N 0 P (s i) ≥<br />
1<br />
πN0<br />
N<br />
2<br />
e −r−s j 2<br />
N 0 P (s j)<br />
=<br />
=<br />
= {− r − si 2 + N0 · ln[P (ai)] ≥ − <br />
r − sj2<br />
+ N0 · ln[P (aj)]} =<br />
= {−Esi + 2r · si + N0 · ln[P (ai)] ≥ −Esj + 2r · sj + N0 <br />
· ln[P (aj)]} =<br />
= r · (si − sj) ≥ N0<br />
<br />
P (aj) Esi −Esj · ln +<br />
2 P (ai)<br />
2<br />
<br />
e quindi<br />
<br />
Ii,j =<br />
r ∈ S : r · (s i − s j) ≥ N0<br />
2<br />
<br />
· ln<br />
P (aj)<br />
P (ai)<br />
+<br />
<br />
Esi<br />
− Esj<br />
2<br />
<br />
(6.47)<br />
. (6.48)<br />
Osservazione: Proprietà geometriche <strong>del</strong>le regioni di decisione<br />
Le regioni di decisione sono molto utili nell’analisi di un sistema di segnali,<br />
sia per caratterizzare le proprietà di essi, sia nel definire la struttura <strong>del</strong><br />
ricevitore ottimo. In vari casi non sono facilmente definibili ed utilizzabili;<br />
tuttavia, esse godono di alcune proprietà che consentono di semplificare la<br />
loro struttura<br />
• Proprietà 1<br />
L’insieme <strong>del</strong>le probabilità condizionate, p(r ∈ Ii/aj), dipende esclusivamente<br />
dall’insieme dei vettori si(t) e dalle probabilità a priori P (aj),<br />
ma non dalla scelta <strong>del</strong>le funzioni ortonormali, ψj(t).<br />
• Proprietà 2<br />
Dato un arbitrario insieme di segnali, l’insieme <strong>del</strong>le probabilità condizionate<br />
è uguale a quello di un qualunque altro insieme di segnali<br />
ottenuto dal precedente mediante un moto rigido. In altre parole, una<br />
trasformazione che lasci inalterate le posizione relative dei segnali non<br />
modifica la probabilità di errore. Pertanto traslazioni rigide o rotazioni<br />
rigide non influenzano la probabilità di errore.
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 109<br />
6.6 Limite superiore <strong>del</strong>la probabilità di errore<br />
(Union Bound)<br />
In molti casi il calcolo esatto <strong>del</strong>la probabilità di errore può risultare impossibile<br />
o molto complesso da effettuare. In questi casi si preferisce spesso fornire<br />
limiti inferiori e superiori sulla probabilità di errore. In questo paragrafo descriviamo<br />
un limite superiore sulla probabilità di errore, detto Union Bound,<br />
che risulta generalmente semplice da calcolare e che perciò viene spesso utilizzato<br />
nelle applicazioni pratiche. Questo limite risulta stretto (cioè fornisce<br />
un’indicazione <strong>del</strong>la probabilità di errore vicina a quella reale) soltanto per<br />
alti rapporti segnale rumore, mentre per bassi rapporti segnale rumore il limite<br />
è spesso inutilizzabile.<br />
Indichiamo con Ii la regione complementare <strong>del</strong>la regione di decisione Ii<br />
relativa al simbolo ai<br />
Ii = {r ∈ S : p(r|s i)P (s i) ≤ p(r|s j)P (s j) ∀ j = 1, ..., M} (6.49)<br />
con Ii = S − Ii. Tale regione può essere espressa anche come<br />
dove<br />
Ii =<br />
M<br />
j=1 (j=i)<br />
Ii,j<br />
(6.50)<br />
Ii,j = {r ∈ S : p(r|s i)P (s i) ≤ p(r|s j)P (s j)}. (6.51)<br />
Dal teorema <strong>del</strong>la probabilità totale (eq.(1.53)), la probabilità di errore può<br />
essere espressa come<br />
M<br />
Pe = Pe|s P (s i i) (6.52)<br />
supponendo i simboli emessi dalla sorgente in modo equiprobabile<br />
da cui<br />
Pe = 1<br />
M<br />
M<br />
i=1<br />
Pe|s i = 1<br />
M<br />
i=1<br />
P (s i) = 1<br />
M<br />
M<br />
i=1<br />
∀ i = 1, ..., M (6.53)<br />
P (r ∈ Ii/s i) = 1<br />
M<br />
M<br />
<br />
P r ∈<br />
i=1<br />
M<br />
j=1 (j=i)<br />
Ii,j|s i<br />
<br />
(6.54)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 110<br />
e considerando che la probabilità <strong>del</strong>l’unione di più eventi può essere maggiorata<br />
con la somma <strong>del</strong>le probabilità dei singoli eventi, eq.(1.50),<br />
Pe = 1<br />
M<br />
M<br />
<br />
P r ∈<br />
i=1<br />
M<br />
j=1 (j=i)<br />
Ii,j|s i<br />
<br />
≤ 1<br />
M<br />
M<br />
M<br />
i=1 j=1 (j=i)<br />
P (r ∈ Ii,j|s i) (6.55)<br />
Il calcolo di P (r ∈ Ii,j/s i) è molto semplice una volta nota la distanza<br />
euclidea, De(i,j), tra i due segnale s i e s j. Infatti si ottiene<br />
P (r ∈ Ii,j/s i) = Q<br />
L’espressione <strong>del</strong>l’Union Bound è quindi<br />
UB = 1<br />
M<br />
M<br />
M<br />
i=1 j=1 (j=i)<br />
<br />
Q<br />
<br />
D 2 e(i,j)<br />
2N0<br />
<br />
D 2 e(i,j)<br />
2N0<br />
<br />
(6.56)<br />
. (6.57)<br />
L’eq.(6.57) può essere approssimata anche con la seguente espressione<br />
UB ∼ = 2α<br />
M Q<br />
<br />
D2 <br />
e,min<br />
(6.58)<br />
2N0<br />
dove De,min è la distanza euclidea minima tra tutte le possibile coppie di<br />
segnali e α è il numero di coppie di segnali a distanza euclidea minima.<br />
6.7 Valutazione <strong>del</strong>le prestazioni nelle modulazioni<br />
digitali<br />
La trasmissione di segnali numerici (dati o segnali campionati) richiede lo<br />
sviluppo di tecniche di modulazioni diverse rispetto a quelle utilizzate per<br />
segnali analogici. Anche in questo caso il segnale informativo modula una<br />
portante generalmente di tipo sinusoidale analoga a quella utilizzata nelle<br />
modulazioni analogiche. Tuttavia, esistono numerose differenze tra modulazioni<br />
analogiche e digitali, per cui è necessario trattare separatamente i due<br />
tipi di tecniche.<br />
I principali parametri che caratterizzano una modulazione digitale sono la<br />
probabilità di errore, il tipo di demodulatore richiesto e la banda occupata.<br />
Questi parametri possono variare in modo significativo a secondo <strong>del</strong> tipo di
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 111<br />
modulazione utilizzata.<br />
Il simbolo informativo trasmesso nell’i-esimo intervallo può assumere un valore<br />
tra gli M simboli <strong>del</strong>l’alfabeto A. Naturalmente se M = 2 si ha una<br />
trasmissione binaria, che rappresenta il caso più frequente. I sistemi non binari<br />
consentono in generale di ottenere maggiori velocità di trasmissione (bit<br />
rate)<br />
Rb/s = ⌈log2(M)⌉<br />
(6.59)<br />
Tsimb<br />
(Tsimb durata <strong>del</strong> simbolo), ma tipicamente presentano probabilità di errore<br />
più elevate rispetto ai sistemi binari. In particolare la probabilità di errore<br />
può essere espressa in funzione <strong>del</strong> rapporto energia per bit/densità spettrale<br />
di potenza media di rumore, Eb<br />
). L’espressione esatta <strong>del</strong>la<br />
N0 , cioè Pe = f( Eb<br />
N0<br />
funzione <strong>del</strong>la Pe dipende dal tipo di modulazione utilizzata. Il termine Eb<br />
N0<br />
può essere calcolato nel sistema di trasmissione numerico di figura 6.7 nel<br />
seguente modo<br />
Eb<br />
N0<br />
=<br />
PtxGtxGrx<br />
Lfs<br />
N0Rb/s<br />
= PtxGtxGrx<br />
LfsN0Rb/s<br />
(6.60)<br />
dove N0 = k · Tsistema (Tsistema relativa ai quadripoli dopo l’antenna ricevente<br />
(se presenti)) ed in scala logaritmica<br />
<br />
<br />
Eb <br />
= Ptx (dB)+Gtx (dB)+Grx (dB)−Lfs (dB)−10·log10(N0)−10·log10(Rb/s).<br />
N0 <br />
dB<br />
Figura 6.7: Trasmissione e ricezione in un sistema digitale<br />
6.8 Modulazione On-Off Keying (OOK)<br />
(6.61)<br />
Come nel caso dei segnali analogici, le modulazioni che consideriamo consistono<br />
nella variazione <strong>del</strong>l’ampiezza o <strong>del</strong>la fase o <strong>del</strong>la frequenza <strong>del</strong>la portante<br />
in funzione <strong>del</strong> segnale informativo. Data quindi una portante sinusoidale, la<br />
modulazione OOK consiste nel far variare l’ampiezza <strong>del</strong>la portante in funzione<br />
<strong>del</strong> segnale informativo. Indicando con Tsimb la durata <strong>del</strong> simbolo, il
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 112<br />
segnale s1(t) corrisponde al simbolo 0, mentre il segnale s2(t) corrisponde al<br />
simbolo 1: <br />
s1(t) =<br />
<br />
0 [0, Tsimb]<br />
2E<br />
s2(t) = Tsimb cos(2πf0t) [0, Tsimb]<br />
(6.62)<br />
Un esempio di segnale OOK è mostrato nella figura 6.8, in cui si suppone<br />
di trasmettere la sequenza 0, 1, 0, 1, 1. Se ai = 0 non viene trasmesso alcun<br />
segnale, mentre per ai = 1 viene trasmessa una sinusoide a frequenza<br />
f0 per una durata Tsimb. Un segnale OOK può essere demodulato sia con<br />
Figura 6.8: Segnale Modulato OOK<br />
una tecnica coerente (cioè con il recupero <strong>del</strong>la portante), sia mediante una<br />
tecnica incoerente (senza recupero <strong>del</strong>la portante). Valuteremo soltanto il<br />
primo caso.<br />
6.8.1 Demodulazione coerente di un segnale OOK e<br />
probabilità di errore<br />
I due segnali corrispondenti s1(t) e s2(t) possono essere descritti mediante<br />
una sola funzione ortonormale ψ1(t) definita come<br />
<br />
2<br />
ψ1(t) = cos(2πf0t) [0, Tsimb]. (6.63)<br />
Tsimb<br />
La rappresentazione vettoriale di questi segnali è mostrata nella figura 6.9(a).<br />
La distanza euclidea normalizzata tra i due segnali è uguale ad 1. La demodu-
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 113<br />
lazione coerente di un segnale OOK può essere effettuata mediante il circuito<br />
mostrato nella figura 6.9(b). Il segnale ricevuto r(t) viene moltiplicato per il<br />
segnale ψ1(t). Se indichiamo z il segnale all’uscita <strong>del</strong> filtro passa-basso, in<br />
assenza di rumore si ottiene<br />
z =<br />
0 se ai = 0<br />
√ E se ai = 1<br />
(6.64)<br />
posto f0 = 1<br />
Tsimb .<br />
Come stabilito nel criterio MAP, nel caso di segnali equiprobabili (P (a1) =<br />
P (a2) = 0.5) il ricevitore sceglie il simbolo 1 se z > √ E , mentre nel caso<br />
2<br />
opposto sceglie il simbolo 0. Supponiamo che il simbolo da trasmettere sia<br />
Figura 6.9: Modulazione OOK: a) rappresentazione vettoriale dei segnali; b)<br />
demodulatore OOK<br />
1 e quindi venga trasmesso il segnale s2(t). Nel caso di canale AWGN, il<br />
segnale ricevuto è uguale a r(t) = s2(t) + n(t). Il ricevitore effettua una<br />
decisione errata se z < √ E , per cui la probabilità di errore condizionata alla<br />
2<br />
trasmissione <strong>del</strong> bit 1 risulta<br />
√E √ <br />
E<br />
Pe|s2 = P + n < = P n < − √ <br />
E =<br />
= √<br />
E<br />
− 2<br />
−∞<br />
= Q<br />
E<br />
q 1<br />
2π N0 2<br />
2N0<br />
<br />
e<br />
2<br />
2<br />
n2<br />
−<br />
2· N q<br />
E −<br />
0<br />
2N0 1 v2<br />
2 dn = √ −<br />
−∞ e 2 dv =<br />
2π<br />
posto nel cambio di variabile <strong>del</strong>l’integrale v =<br />
(6.65)<br />
e considerando che<br />
√N0/2<br />
n<br />
<br />
E<br />
l’integrale <strong>del</strong>la gaussiana da [−∞, − ] è uguale all’integrale <strong>del</strong>la guas-<br />
2N0 <br />
E<br />
siana da [ , +∞] poichè la funzione è pari. Dato che i simboli sono<br />
2N0<br />
equiprobabili e che Pe|s1 = Pe|s2, per il teorema <strong>del</strong>la probabilità totale vale<br />
che Pe = 0.5 · Pe|s1 + 0.5 · Pe|s2 = Pe|s1.<br />
L’energia media per bit Eb nel caso <strong>del</strong>la modulazione OOK risulta uguale a<br />
Eb = Es1 + Es2<br />
2<br />
= 0 + E<br />
2<br />
= E<br />
2<br />
(6.66)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 114<br />
per cui l’espressione <strong>del</strong>la probabilità di errore in funzione <strong>del</strong> rapporto Eb<br />
N0<br />
può essere scritta come<br />
<br />
Eb<br />
Pe = Q<br />
N0<br />
(6.67)<br />
6.9 Modulazioni Phase Shift Keying (PSK)<br />
Una tecnica di modulazione digitale molto utilizzata nelle applicazioni pratiche<br />
è la modulazione di fase, in cui la fase <strong>del</strong>la portante assume valori diversi<br />
a seconda <strong>del</strong> simbolo da trasmettere. Questa modulazione viene spesso indicata<br />
con la sigla PSK e nel caso in cui l’alfabeto di sorgente sia costituito<br />
da M simboli si usa spesso la notazione M-PSK. Quando M = 2 si ottiene<br />
la modulazione BPSK e per M = 4 la modulazione QPSK. Tali modulazioni<br />
presentano spesso buone prestazioni per la trasmissione dati.<br />
In una modulazione M-PSK si hanno M differenti fasi, ciascuna <strong>del</strong>le quali<br />
viene associata ad un diverso simbolo. Il segnale si(t) corrispondente al<br />
simbolo ai = (i − 1) per 1 ≤ i ≤ M, può essere scritto<br />
si(t) =<br />
2E<br />
cos<br />
Tsimb<br />
<br />
2πf0t +<br />
(i − 1)π<br />
<br />
M<br />
[0, Tsimb] (6.68)<br />
il segnale si(t) può essere scritto anche come<br />
<br />
2E<br />
<br />
(i − 1)π<br />
<br />
<br />
2E<br />
<br />
(i − 1)π<br />
<br />
si(t) = cos cos 2πf0t − sen sen 2πf0t<br />
Tsimb M<br />
Tsimb M<br />
(6.69)<br />
I segnali M-PSK con M > 2 possono essere descritti mediante le due funzioni<br />
[0, Tsimb]<br />
ortonormali ⎧ <br />
⎨<br />
2<br />
ψ1(t) = Tsimb<br />
⎩<br />
cos(2πf0t)<br />
<br />
2<br />
ψ2(t) = Tsimb<br />
[0, Tsimb]<br />
sen(2πf0t) [0, Tsimb]<br />
. (6.70)<br />
La demodulazione di un segnale PSK può essere effettuata soltanto in modo<br />
coerente, cioè ricostruendo la fase e la frequenza <strong>del</strong>la portante.<br />
6.9.1 Modulazione BPSK e probabilità di errore<br />
Nel caso in cui M = 2, i somboli informativi possono assumere soltanto due<br />
valori, 0 e 1. I segnali modulati risultano perciò<br />
⎧ <br />
⎨<br />
2E<br />
s1(t) = Tsimb<br />
⎩<br />
cos(2πf0t) [0, Tsimb]<br />
<br />
2E<br />
s2(t) = Tsimb cos(2πf0t<br />
<br />
2E<br />
+ π) = − Tsimb cos(2πf0t)<br />
(6.71)<br />
[0, Tsimb]
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 115<br />
Un esempio di segnale modulato è mostrato in figura 6.10(a), in cui si suppone<br />
di trasmettere la sequenza 0, 1, 0, 1, 1. Come si può osservare tutte le volte<br />
che il simbolo informativo cambia, la fase <strong>del</strong> segnale modulato presenta una<br />
variazione di π. In questi istanti il segnale modulato ha forti discontinuità,<br />
per cui la banda necessaria alla trasmissione di un segnale BPSK risulta<br />
elevata.<br />
Essendo s1(t) = −s2(t), i due segnali sono antipodali e possono essere scritti<br />
Figura 6.10: Modulazione BPSK: a) segnale modulato BPSK; b) rappresentazione<br />
vettoriale di un segnale BPSK<br />
mediante un’unica funzione ortonormale<br />
<br />
2<br />
ψ1(t) = cos(2πf0t) (6.72)<br />
Tsimb<br />
La rappresentazione grafica dei due segnali nello spazio S è mostrata nella<br />
figura 6.10(b). I due segnali hanno la stessa energia E, per cui la distanza<br />
euclidea normalizzata tra i due segnali risulta d 2 1,2 = 2.<br />
La probabilità di errore per i due segnali risulta Pe = 0.5 · Pe|s1 + 0.5 · Pe|s2<br />
considerando i due segnali equiprobabili. Come stabilito dal criterio MAP,<br />
l’errore in ricezione è commesso se il segnale è minore di 0 se è stato trasmesso<br />
s1(t) mentre maggiore di 0 se è stato trasmesso s2(t). Si ottiene quindi<br />
Pe|s1 = P ( √ E + n < 0) = P (n < − √ E) =<br />
= − √ E<br />
q 1<br />
−∞<br />
<br />
<br />
2E<br />
= Q<br />
N0<br />
2π N0 2<br />
e<br />
n2<br />
−<br />
2· N q<br />
2E −<br />
0<br />
N0 2 dn = −∞<br />
√1 v2<br />
− e 2 dv =<br />
2π<br />
(6.73)
Lo stesso risultato si ottiene considerando Pe/s2 e così<br />
<br />
2E 2Eb<br />
Pe = Q = Q<br />
N0<br />
N0<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 116<br />
(6.74)<br />
dato che Eb = E. L’andamento <strong>del</strong>la probabilità di errore è mostrato in<br />
figura 6.11 (curva a) in funzione di Eb<br />
N0 .<br />
Figura 6.11: Probabilità di errore di alcune modulazioni binarie<br />
6.9.2 Modulazione QPSK e probabilità di errore<br />
La modulazione QPSK utilizza 4 fasi diverse per trasmettere 4 possibili valori<br />
per ogni intervallo di simbolo, Tsimb, e quindi è una modulazione PSK con<br />
M = 4. I quattro segnali risultano sfasati di π l’uno rispetto all’altro. Nella<br />
2<br />
figura 6.12(a) viene rappresentato un esempio di segnale modulato QPSK<br />
nel caso in cui la sequenza informativa sia {0, 2, 1, 0, 3, 1}; sono visibili le<br />
discontinuità di fase presenti all’inizio <strong>del</strong>l’intervallo di simbolo. I segnali<br />
trasmessi possono essere rappresentati con due funzioni ortonormali, per cui<br />
possiedono una componente in fase e una componente in quadratura. La<br />
rappresentazione vettoriale per i quattro segnali corrispondenti ai simboli
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 117<br />
<strong>del</strong>l’alfabeto A sono mostrati nella figura 6.12(b). Questi segnali soddisfano<br />
le seguenti condizioni: <br />
s1(t) = −s3(t)<br />
s2(t) = −s4(t)<br />
(6.75)<br />
e quindi sono segnali bi-ortogonali. La loro rappresentazione vettoriale coincide<br />
con quella mostrata nella figura 6.12(b).<br />
La distanza euclidea normalizzata tra due segnali si(t) e sj(t) dipende da i<br />
e j. In particolare, si ha d 2 1,2 = d 2 1,4 = 1, mentre d 2 1,3 = 2. Le distanze tra gli<br />
altri segnali sono analoghe alle precedenti. Lo schema per la demodulazione<br />
di un segnale QPSK è mostrato nella figura 6.12(c) e risulta formato da quattro<br />
rami paralleli, in ciascuno dei quali si valuta la correlazione tra il segnale<br />
ricevuto ed uno dei possibili segnali trasmessi. Uno schema alternativo per la<br />
demodulazione di un segnale QPSK è mostrato nella figura 6.12(d), in cui si<br />
hanno due rami paralleli. Il primo ramo consente di valutare la componente<br />
in fase, mentre sul secondo ramo la componente in quadratura. Il circuito di<br />
decisione ha lo scopo di individuare il simbolo trasmesso.<br />
La probabilità di errore <strong>del</strong>la modulazione QPSK è uguale a<br />
Pe = 1 −<br />
<br />
1 − Q<br />
E<br />
N0<br />
2<br />
(6.76)<br />
dove E rappresenta l’energia per simbolo. Per confrontare il risultato ottenuto<br />
con la BPSK, conviene esprimere E in funzione di Eb. Poichè l’alfabeto<br />
è composto da 4 simboli, la trasmissione di un simbolo nella modulazione<br />
QPSK è equivalente alla trasmissione di due simboli binari, per cui Eb = E<br />
2 ,<br />
quindi<br />
Pe = 1 −<br />
<br />
1 − Q<br />
2Eb<br />
N0<br />
2<br />
∼ = 2 ·<br />
<br />
2Eb<br />
N0<br />
(6.77)<br />
La probabilità di errore di una modulazione QPSK in funzione di Eb è mo-<br />
N0<br />
strata nella figura 6.13; per completezza nella figura viene riportata anche<br />
la probabilità di errore di una modulazione BPSK. Si può notare che per<br />
un fissato valore di Eb , una modulazione QPSK presenta una probabilità di<br />
N0<br />
errore Pe leggermente superiore a quella <strong>del</strong>la BPSK (Pe QP SK = 2·Pe BP SK).
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 118<br />
Figura 6.12: Modulazione QPSK: a) esempio di segnale modulato QPSK; b)<br />
rappresentazione vettoriale dei segnali; c) demodulatore QPSK con quattro rami<br />
paralleli; d) demodulatore QPSK con due rami paralleli
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 119<br />
Figura 6.13: Probabilità di errore di una modulazione QPSK<br />
6.10 Modulazioni Frequency Shift Keying (FSK)<br />
6.10.1 Caratteristiche <strong>del</strong>la modulazione FSK<br />
Come nel caso analogico si può utilizzare una modulazione di frequenza per<br />
trasmettere segnali digitali. La modulazione FSK utilizza M frequenze diverse<br />
per trasmettere gli M simboli <strong>del</strong>l’alfabeto A, per cui il segnale modulato<br />
può essere scritto<br />
<br />
2E<br />
si(t) = cos(2πfit) [0, Tsimb] (6.78)<br />
Tsimb<br />
dove fi per 1 ≤ i ≤ M rappresenta la frequenza utilizzata per trasmettere<br />
l’i-esimo simbolo. La scelta <strong>del</strong>le frequenze fi è molto importante, in quanto<br />
influenza sia la banda di trasmissione, sia la probabilità di errore.
6.10.2 Modulazione BFSK<br />
Nel caso binario (M = 2) i due segnali s1(t) e s2(t) risultano<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
s1(t) =<br />
s2(t) =<br />
2E<br />
2E<br />
Tsimb cos(2πf2t) [0, Tsimb]<br />
Tsimb cos(2πf1t) [0, Tsimb]<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 120<br />
(6.79)<br />
Generalmente si sceglie f1 = f0−∆f e f2 = f0+∆f, dove f0 prende il nome di<br />
frequenza <strong>del</strong>la portante. Un esempio di segnale modulato FSK è mostrato<br />
nella figura 6.14, supponendo di trasmettere la sequenza {0, 1, 0, 1, 1} (nel<br />
disegno si è supposto f2 = 4f1 per evidenziare la differenza tra il segnale<br />
corrispondente al simbolo 0 e quello corrispondente al simbolo 1). Valutiamo<br />
Figura 6.14: Esempio di segnale modulato FSK<br />
adesso le caratteristiche di un segnale BFSK al variare di ∆f. Per questo si<br />
definisce coefficiente di autocorrelazione, ρ, tra i due segnali s1(t) e s2(t) il<br />
parametro<br />
ρ = 1<br />
E<br />
Tsimb<br />
0<br />
s1(t) · s2(t)dt. (6.80)<br />
La correlazione è legata alla distanza euclidea normalizzata tra i due segnali<br />
dalla seguente relazione<br />
d 2 1,2 = 1 − ρ. (6.81)
Per un segnale BFSK si ha<br />
Es1 =<br />
Tsimb<br />
0<br />
s 2 1(t)dt = 2E<br />
Tsimb<br />
Tsimb<br />
posto 4πf1Tsimb = k1π vale Es1 = E e<br />
Es2 =<br />
Tsimb<br />
0<br />
s 2 2(t)dt = 2E<br />
Tsimb<br />
0<br />
Tsimb<br />
0<br />
cos 2 (2πf1t)dt = 2E<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 121<br />
Tsimb<br />
cos 2 (2πf2t)dt = 2E<br />
posto 4πf2Tsimb = k2π vale Es2 = E; mentre ρ<br />
ρ = 2<br />
=<br />
Tsimb<br />
2<br />
Tsimb<br />
Essendo f0 = f1+f2<br />
2<br />
Tsimb<br />
Tsimb<br />
cos(2πf1t) · cos(2πf2t)dt =<br />
0 <br />
Tsimb <br />
sen(4π(f2−f1)t)<br />
4π(f2−f1)<br />
sen(4π(f2+f1)t)<br />
+ 4π(f2+f1)<br />
e 2πf0Tsimb = kπ, si ottiene<br />
Si definisce indice di modulazione h<br />
per cui<br />
ρ = sen(2π(f2 − f1)Tsimb)<br />
2π(f2 − f1)Tsimb<br />
h = (f2 − f1)Tsimb<br />
0<br />
<br />
t<br />
2 +sen(4πf1t)<br />
Tsimb <br />
4πf1<br />
0<br />
(6.82)<br />
<br />
t<br />
2 +sen(4πf2t)<br />
Tsimb <br />
4πf2<br />
0<br />
(6.83)<br />
(6.84)<br />
(6.85)<br />
(6.86)<br />
ρ = sen(2πh)<br />
. (6.87)<br />
2πh<br />
La correlazione ρ è mostrata nella figura 6.15 in funzione <strong>del</strong>l’indice di mo-<br />
dulazione h. La correlazione assume il valore minimo uguale a − 2<br />
3π per<br />
h = 0.715. Si può notare che ρ = 0 per h = 0.5 e h = 1, per h ≤ 1. Per<br />
questi due valori di h i due segnali s1(t) e s2(t) sono ortogonali tra di loro.<br />
Definendo ψ1(t) e ψ2(t) le due seguenti funzioni ortonormali<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
ψ1(t) =<br />
ψ2(t) =<br />
2<br />
2<br />
Tsimb cos(2πf2t) [0, Tsimb]<br />
Tsimb cos(2πf1t) [0, Tsimb]<br />
(6.88)<br />
Per h = 0.5 e h = 1 si ha che la distanza euclidea normalizzata è uguale<br />
a 1. Le modulazioni FSK con h = 0.5 e h = 1 hanno la stessa probabilità<br />
di errore; tuttavia il caso h = 0.5 è di particolare interesse perchè la banda<br />
di trasmissione risulta minore rispetto al caso h = 1. Quando h = 0.5 la<br />
modulazione viene indicata con la sigla FFSK (Fast FSK) e la distanza tra<br />
le due frequenze è uguale a f2 − f1 = 1 , mentre nel caso h = 1 si ha<br />
2Tsimb<br />
f2 − f1 = 1<br />
Tsimb .
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 122<br />
Figura 6.15: Correlazione tra i segnali FSK in funzione <strong>del</strong>l’indice di modulazione<br />
6.10.3 Demodulazione coerente di un segnale FSK e<br />
probabilità di errore<br />
Il valore di h influenza la banda di trasmissione, poichè all’aumentare di h<br />
le due frequenze h1 e h2 sono maggiormente distanti, allo stesso tempo h<br />
influenza la probabilità di errore. Valutiamo quindi la proabilità di errore<br />
nel caso di canale AWGN. Lo schema <strong>del</strong> ricevitore ottimo è quello mostrato<br />
nella figura 6.16 considerando i segnali equiprobabili. Supponiamo di aver<br />
trasmesso il segnale s1(t) e di aver ricevuto r(t) = s1(t) + n(t), dove n(t)<br />
rappresenta il rumore gaussiano introdotto dal canale di comunicazione, che<br />
per le ipotesi fatte risulta a valor medio nullo e densità spettrale di potenza<br />
media pari a N0/2. Indichiamo con u1 e u2 le variabili aleatorie all’uscita <strong>del</strong><br />
primo e <strong>del</strong> secondo ramo dopo i due integratori, si ha:<br />
<br />
u1 = Tsimb<br />
0<br />
u2 = Tsimb<br />
0<br />
Per cui D = u1 − u2 risulta<br />
s2 1(t)dt + Tsimb<br />
s1(t)n(t)dt<br />
0<br />
s1(t) · s2(t)dt + Tsimb<br />
s2(t)n(t)dt<br />
0<br />
(6.89)<br />
D = E(1 − ρ) + N (6.90)
dove N è la variabile aleatoria<br />
N =<br />
a media nulla<br />
<br />
mN = E[N] = E<br />
Tsimb<br />
e varianza σ 2 N<br />
0<br />
uguale a<br />
Tsimb<br />
0<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 123<br />
n(t) · [s1(t) − s2(t)]dt (6.91)<br />
Tsimb<br />
n(t)[s1(t)−s2(t)]dt = E[n(t)]·[s1(t)−s2(t)]dt = 0<br />
0<br />
(6.92)<br />
σ2 N = E[N2 ] =<br />
Tsimb<br />
= Tsimb<br />
E[n(t1)n(t2)][s1(t1) − s2(t1)][s1(t2) − s2(t2)]dt1dt2 =<br />
0 0<br />
= Tsimb N0<br />
0 2 [s1(t1) − s2(t1)] 2dt1 =<br />
= N0 · 2E(1 − ρ) =<br />
2<br />
= N0E(1 − ρ)<br />
(6.93)<br />
Poichè n(t) è un segnale aleatorio con densità di proabbilità gaussiana, a<br />
media nulla e varianza N0 , la variabile aleatoria D ha una densità di proba-<br />
2<br />
bilità, pD(D), gaussiana con media E(1 − ρ) e varianza σ2 N . L’errore viene<br />
commesso quando u1 < u2, cioè D < 0, per cui la probabilità di errore Pe/s1<br />
risulta<br />
Pe/s1 = P (D < 0) =<br />
0<br />
−∞<br />
q<br />
E(1−ρ)<br />
1<br />
[D−E(1−ρ)]2<br />
− N<br />
− 0<br />
2E(1−ρ)N e 0 dD =<br />
2πE(1 − ρ)N0<br />
−∞<br />
con il seguente cambio di variabili v = D−E(1−ρ) √ .<br />
E(1−ρ)N0<br />
1 v2<br />
− √ e 2 dv<br />
2π<br />
(6.94)<br />
Si ottiene quindi<br />
<br />
Pe = 0.5 · Pe|s1 + 0.5 · Pe|s2 = Pe|s1 = Q<br />
Eb(1 − ρ)<br />
. (6.95)<br />
considerando che Eb = E. La minima probabilità di errore si ottiene per<br />
segnali antipodali (BPSK) con ρ = −1, mentre nel caso di FSK la minima<br />
probabilità di errore si ottiene quando h = 0.715 con ρ = −0.212. Le precedenti<br />
considerazioni si riferiscono allo schema di demodulazione mostrato<br />
nella figura 6.16, che rappresenta uno schema di demodulazione coerente. La<br />
probabilità di errore di un segnale FSK ortogonale (ρ = 0) vale<br />
<br />
Pe = Q<br />
Eb<br />
N0<br />
N0<br />
(6.96)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 124<br />
Figura 6.16: Schema ottimo per la demodulazione coerente di un segnale FSK binario<br />
ed è riportata nella figura 6.11(curva d). Si può osservare che la modulazione<br />
FSK ortogonale ha sempre prestazioni inferiori rispetto a quelle di una<br />
modulazione BPSK; in particolare per ottenere la stessa probabilità di errore<br />
una modulazione FSK ortogonale richiede un valore di Eb superiore di 3dB<br />
N0<br />
rispetto alla modulazione BPSK. Nella figura 6.17 è mostrata la probabilità<br />
di errore di un sistema FSK per diversi valori <strong>del</strong>la correlazione ρ. La minima<br />
probabilità di errore si ottiene per h = 0.715; tuttavia la riduzione <strong>del</strong>la<br />
probabilità di errore rispetto al caso h = 0.5 è compensato dal fatto che per<br />
h = 0.5 lo spettro <strong>del</strong> segnale modulato risulta più compatto.<br />
6.11 Modulazione Differential Phase Shift Keying<br />
(DPSK)<br />
La modulazione PSK richiede il recupero <strong>del</strong>la fase e <strong>del</strong>la frequenza <strong>del</strong>la<br />
portante, poichè l’informazione è contenuta nel valore assoluto <strong>del</strong>la fase <strong>del</strong>la<br />
portante. Tuttavia, in diversi sistemi di comunicazione, il recupero <strong>del</strong>la<br />
portante con la richiesta precisione può risultare difficile a causa di disturbi o<br />
<strong>del</strong>le caratteristiche <strong>del</strong> canale di comunicazione. In questo caso le prestazioni<br />
di una modulazione PSK possono degradare facilmente a valori intollerabili e<br />
può risultare conveniente o necessario utilizzare modulazioni che non richiedono<br />
il recupero <strong>del</strong>la portante. Un esempio di questo tipo di modulazione è<br />
rappresentato dalla DPSK. In un segnale DPSK l’informazione da trasmettere<br />
è contenuta nelle variazioni di fase da un intervallo al successivo, per cui<br />
non risulta necessario ricostruire il valore assoluto <strong>del</strong>la fase <strong>del</strong>la portante.
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 125<br />
Figura 6.17: Probabilità di errore di un segnale FSK demodulato in modo coerente in<br />
per diversi valori <strong>del</strong>l’indice di modulazione h<br />
funzione di Eb<br />
N0<br />
Il segnale modulato DPSK può essere scritto nella forma<br />
<br />
2E<br />
si(t) = cos(2πf0t + ϕi)<br />
Tsimb<br />
[0, Tsimb] (6.97)<br />
dove ϕi rappresenta la fase utilizzata per trasmettere il simbolo ci nell’i-esimo<br />
intervallo. Anche in questo caso, come nella modulazione BPSK, il simbolo<br />
0 è sempre associato alla fase 0 ed il simbolo 1 alla fase π, nella modulazione<br />
DPSK però il valore <strong>del</strong>la fase ϕi dipende dal valore ci e da ϕi−1 secondo la<br />
seguente regola <br />
ϕi = ϕi−1 se ci = 0<br />
(6.98)<br />
ϕi = ϕi−1 + π se ci = 1<br />
In questo modo il simbolo 0 corrisponde ad una fase costante da un intervallo<br />
a quello successivo, mentre il simbolo 1 corrisponde ad una variazione di π.<br />
Un esempio <strong>del</strong>la codifica <strong>del</strong>le fase ϕi in un segnale DPSK è mostrato nella<br />
figura 6.18(a), in cui sono riportate la sequenza informativa e la corrispondente<br />
sequenza di fasi ad essa associata. Lo schema di demodulazione di un<br />
segnale DPSK è mostrato nella figura 6.18(b). Il segnale ricevuto r(t) viene<br />
moltiplicato per una versione ritardata di Tsimb <strong>del</strong>lo stesso segnale. Dopo<br />
l’integrazione ed il filtraggio passa-basso si ha<br />
z = E · cos(ϕi − ϕi−1) (6.99)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 126<br />
Figura 6.18: Modulazione DPSK: a) sequenza di simboli e corrispondenti fasi <strong>del</strong> segnale<br />
modulato; b) demodulatore DPSK<br />
per cui in assenza di rumore risulta<br />
z = E se ci = 0<br />
z = −E se ci = 1<br />
(6.100)<br />
La decisione sul simbolo trasmesso viene perciò effettuata mediante una soglia<br />
centrata sullo 0.<br />
La demodulazione di un segnale DPSK non richiede la ricostruzione <strong>del</strong>la<br />
portante e quindi il circuito di demodulazione risulta semplificato. Tuttavia,<br />
le prestazioni di una modulazione DPSK sono inferiori rispetto a quelle di<br />
un segnale BPSK con recupero <strong>del</strong>la portante. Prima di determinare la probabilità<br />
di errore di un segnale DPSK, evidenziamo un inconveniente <strong>del</strong>la<br />
demodulazione differenziale. Consideriamo il caso in cui la sequenza trasmessa<br />
sia quella mostrata nella figura 6.18(a) e supponiamo che le differenze di<br />
fase ricevute siano {0, π, π, 0, π, 0, π, 0} per cui si è verificato un errore sulla<br />
sesta fase; il demodulatore sceglie come sequenza trasmessa la seguente<br />
{0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1}; dal confronto con la sequenza trasmessa, si osserva che<br />
la sequenza demodulata contiene due errori, mentre il canale ha introdotto<br />
soltanto un errore. Questa propagazione <strong>del</strong>l’errore è tipica <strong>del</strong>la demodulazione<br />
differenziale ed è dovuta al processo di memoria introdotto durante<br />
l’operazione di scelta <strong>del</strong>le fasi rappresentato dall’eq .(6.98).<br />
6.11.1 Probabilità di errore di un segnale DPSK<br />
Valutiamo adesso la probabilità di errore di un segnale DPSK nel caso di<br />
canale AWGN. Senza perdita di generalità si può supporre che l’(i−1)-esimo
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 127<br />
e l’i-esimo simbolo trasmesso sia uguale a 0, per cui ϕi−1 = ϕi. Inoltre<br />
se ni−1(t) e ni(t) rappresentano il rumore introdotto nell’(i − 1)-esimo e<br />
nell’i-esimo intervallo, si:<br />
<br />
ni(t) = aicos(2πf0t) − bisen(2πf0t)<br />
ni−1(t) = ai−1cos(2πf0t) − bi−1sen(2πf0t)<br />
(6.101)<br />
Posto<br />
Ac =<br />
2E<br />
Tsimb<br />
e xj = Ac + aj<br />
y j = bj<br />
(6.102)<br />
(6.103)<br />
con j = i − 1 o j = i, il segnale z all’uscita <strong>del</strong> filtro passa basso di figura<br />
6.18(b) è<br />
z = 1<br />
2 (xi · xi−1 + y i · y i−1) (6.104)<br />
Il demodulatore commette un errore se z < 0, avendo supposto di trasmettere<br />
il simbolo c1 = 0. Si può facilmente osservare che<br />
xi·xi−1+yi·yi−1 = 1<br />
<br />
(xi+xi−1)<br />
4<br />
2 +(yi+yi−1) 2<br />
<br />
−<br />
Posto u1 = xi + xi−1 ; u2 = xi − xi−1<br />
v1 = y i + y i−1 ; v2 = y i − y i−1<br />
(xi−xi−1) 2 +(y i−y i−1) 2<br />
<br />
(6.105)<br />
(6.106)<br />
le variabili u1, u2, v1 e v2 sono gaussiane con varianza 2σ2 , inoltre u1 ha valor<br />
medio uguale a 2Ac, mentre le altre tre variabili aleatorie hanno un valor<br />
medio uguale a 0. La covarianza <strong>del</strong>le quattro variabili aleatorie è uguale a 0<br />
dato che tali variabili sono statisticamente indipendenti. Possiamo indicare<br />
con i termini aleatori R1 e R2 le seguenti espressioni<br />
<br />
R1 = u2 1 + v2 1<br />
R2 = u2 2 + v2 (6.107)<br />
2<br />
La variabile aleatoria R1 ha una densità di probabilità di Rice, mentre R2<br />
ha una densità di probabilità di Rayleigh. La probabilità di errore quindi è<br />
Pe = P (z < 0) =<br />
= P ( R2 1−R2 =<br />
=<br />
2 < 0) 4<br />
P (R1 < R2)<br />
=<br />
=<br />
<br />
+∞ +∞<br />
pR1(R1)<br />
0<br />
R1 pR2(R2)dR2<br />
<br />
dR1<br />
(6.108)
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 128<br />
avendo considerato che R1 e R2 sono maggiori o uguali a 0 per definizione.<br />
Poichè<br />
e<br />
con +∞<br />
si ha<br />
Pe =<br />
pR1(R1) = R1<br />
2σ 2 e− A2 c<br />
σ 2 I0<br />
R1<br />
+∞<br />
0<br />
Pe = 1<br />
2 e− A2c σ2 +∞<br />
0<br />
<br />
Ac · R1<br />
σ 2<br />
<br />
(6.109)<br />
pR2(R2) = R1<br />
2σ 2 e− R2 2<br />
4σ 2 (6.110)<br />
R1<br />
2σ 2 e− R2 2<br />
4σ 2 dR2 = e − R2 1<br />
4σ 2 (6.111)<br />
R1<br />
2σ 2 e− R2 1 +4A2 c<br />
4σ 2 I0<br />
<br />
Ac · R1<br />
σ 2<br />
<br />
dR1. (6.112)<br />
Effettuando il cambiamento di variabile t = √ 2R1<br />
t<br />
2 √ t2<br />
e− 4σ<br />
2σ2 2 <br />
I0<br />
Ac · t<br />
√<br />
2σ2 dt (6.113)<br />
e posto A1 = 2Ac<br />
√2 , si ha<br />
Pe = 1<br />
2 e− A2c σ2 e A2 1<br />
4σ2 +∞<br />
t<br />
0 2σ2 e− t2 +A 2 1<br />
4σ2 <br />
Ac · t<br />
I0<br />
2σ2 <br />
dt. (6.114)<br />
Il termine dentro l’integrale rappresenta una distribuzione di Rice e quindi,<br />
integrando su tutti i valori di t, risulta uguale ad 1, per cui<br />
Pe = 1<br />
2 e− A2 c<br />
2σ 2 . (6.115)<br />
Essendo σ2 la varianza e quindi la potenza media di rumore all’uscita <strong>del</strong><br />
filtro passa-basso con banda (−B, B), si ottiene che σ2 = N0<br />
2 · 2B = N0B. La<br />
probabilità di errore può quindi essere scritta come<br />
Pe = 1<br />
2 e− A2 c<br />
2N 0 B . (6.116)<br />
Come si può osservare da questa relazione, la probabilità di errore dipende<br />
dalla banda B <strong>del</strong> filtro ed al diminuire di B diminuisce anche la probabilità<br />
di errore. Il valore minimo <strong>del</strong>la banda ncessario a non avere interferenza<br />
inter-simbolica è B = 1 , per cui<br />
Tsimb<br />
Pe = 1 E<br />
N e− 0 (6.117)<br />
2
ed essendo E = Eb si ha<br />
Pe = 1<br />
Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 129<br />
2 e− Eb N0 . (6.118)<br />
La probabilità di errore <strong>del</strong>la modulazione DPSK è mostrata nella figura<br />
6.11(curva b). Come si può notare la modulazione DPSK presenta una<br />
probabilità maggiore rispetto alla modulazione BPSK demodulata in modo<br />
coerente; tuttavia si avvicina ad essa per alti rapporti di Eb<br />
N0 .