CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti ...

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI
Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica (punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza
delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e sistemi di grado non superiore al secondo.
Determinante e rango di matrici di dimensioni massime 3 × 3.
Una conica reale è l’insieme dei punti (x, y) ∈ R 2 in cui si annulla un polinomio di secondo grado in x e
y. Poniamo
F (x, y) = a11x 2 + 2a12xy + a22y 2 + 2a13x + 2a23y + a33.
Quindi l’equazione cartesiana di una generica conica in R 2 si può scrivere nella forma
(1) a11x 2 + 2a12xy + a22y 2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
dove i vari aij
simmetrica
sono numeri reali assegnati. Alla conica (1) si associa in modo naturale la matrice
⎡
⎤
A =
⎣ a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
con le due sotto-matrici
e
A2 =
a11 a12
A1 =
a12 a22
a13
a23
⎦ matrice completa associata alla conica di equazione (1)
matrice dei coefficienti dei termini di secondo grado
matrice dei coefficienti dei termini di primo grado
e, per non cadere in casi banali, supporremo sempre che la matrice A2 abbia almeno un coefficiente
diverso da zero, cioè rank(A2) ≥ 1.
In base al fatto che A abbia rango massimo (cioè 3) o meno le coniche si distinguono in non degeneri
e degeneri:
coniche DEGENERI ⇐⇒ det(A) = 0 ⇐⇒ rank(A) < 3
coniche NON DEGENERI ⇐⇒ det(A) = 0 ⇐⇒ rank(A) = 3
Nel caso in cui A2 sia invertibile il punto C = −A −1
2 A1 sarà il centro di simmetria della conica. Tale
punto si può determinare sia calcolando direttamente il prodotto −A −1
2 A1, sia risolvendo il sistema
lineare A2C = −A1, ovvero
(2)
Esempio 1 Le matrici associate alla conica
sono
⎡
A = ⎣
1 2 −1/2
2 −1 1
−1/2 1 1
a11c1 + a12c2 + a13 = 0
a12c1 + a22c2 + a23 = 0
x 2 − y 2 + 4xy − x + 2y + 1 = 0
⎤
⎦ A2 =
1 2
2 −1
A =
−1/2
1
Illustreremo in modo sintetico come classificare la conica (1) in base alle proprietà delle matrici A, A2
e A1.
CASO 1: rank(A) = 1. L’equazione (1) rappresenta un’unica retta “contata due volte”, cioè il polinomio
F (x, y) è (a meno di un segno) il quadrato di un polinomio reale di primo grado che si annulla
1

proprio lungo la retta in questione. In particolare, i coefficienti a11, a22 e a33 hanno lo stesso segno e si
può sempre supporre che siano positivi (altrimenti, basta moltiplicare l’equazione (1) per −1); è quindi
facile determinare α, β e γ in modo che
a11x 2 + 2a12xy + a22y 2 + 2a13x + 2a23y + a33 = (αx + βy + γ) 2 .
Risulta allora che i punti che soddisfano (1) sono quelli della retta αx + βy + γ = 0. Alternativamente,
si può determinare l’equazione della retta doppia cercando di risolvere l’equazione (1) rispetto a x o y.
Esempio 2 La conica 4x 2 − 12xy + 9y 2 + 4x − 6y + 1 = 0 ha la matrice completa tale che
⎡
rank(A) = rank ⎣
4 −6 2
−6 9 −3
2 −3 1
⎤
⎦ = 1
quindi rappresenta una retta doppia. Se ne riscriviamo l’equazione vedendola come equazione nell’incognita
y e trattando x come un parametro, si ottiene
9y 2 − 6(2x + 1)y + 4x 2 + 4x + 1 = 0 =⇒ 9y 2 − 6(2x + 1)y + (2x + 1) 2 = 0.
Provando a risolvere quest’ultima equazione rispetto a y, si osserva che ∆/4 = [9(2x+1)] 2 −9(2x+1) 2 = 0
e, quindi, l’equazioni ha un’unica soluzione doppia
y =
3(2x + 1)
9
=⇒ 2x − 3y + 1 = 0
che è l’equazione della retta doppia rappresentata dalla conica di partenza.
CASO 2: rank(A) = 2 e det(A2) < 0. La (1) rappresenta l’unione di due rette che si intersecano nel
punto C, cioè il polinomio F (x, y) è il prodotto di due polinomi reali di primo grado che rappresentano
le due rette incidenti della conica. Un modo di procedere in questo caso può essere quello di risolvere
l’equazione (1) della conica rispetto a x o y, come illustrato nel caso precedente, in quanto il ∆ di
tale equazione dovrà necessariamente venire pari al quadrato di un binomio di primo grado nell’altra
variabile. Altrimenti, si può determinare C tramite (2) e poi scrivere le equazioni delle due rette usando
le seguenti formule
a12 +
− det(A2) (x − c1) + a22(y − c2) = 0
a12 −
− det(A2) (x − c1) + a22(y − c2) = 0
dove (c1, c2) sono le coordinate di C.
Esempio 3 La conica 3x 2 + 14xy − 5y 2 − 10x + 14y − 8 = 0 ha matrici tali che
⎡
rank(A) = rank ⎣
3 7 −5
7 −5 7
−5 7 −8
⎤
⎦ = 2 e det(A2) = det
3 7
7 −5
= −64 < 0,
per cui rappresenta l’unione di due rette incidenti nel centro di simmetria C. Scrivendo l’equazione della
conica come equazione nell’incognita x, si ottiene 3x 2 +2(7y −5)x−5y 2 +14y −8 = 0 il cui discriminante
è ∆/4 = (7y − 5) 2 + 3(5y 2 − 14y + 8) = 64y 2 − 112y + 49 = (8y − 7) 2 . Pertanto le soluzioni rispetto a x
sono
−(7y − 5) − (8y − 7)
x = = −5y + 4
3
e
−(7y − 5) + (8y − 7)
x = =
3
1
(y − 2),
3
ovvero la conica è l’unione delle due rette x + 5y − 4 = 0 e 3x − y + 2 = 0. Intersecando queste due rette,
ovvero risolvendo il sistema
x + 5y − 4 = 0
3x − y + 2 = 0
Si ottengono le coordinate del centro di simmetria C = − 3
7
, .
8 8
2

CASO 3: rank(A) = 2 e det(A2) > 0. La (1) è soddisfatta dall’unico punto C di R 2 che si ottiene
risolvendo il sistema (2). In questo caso il polinomio F (x, y) si può scrivere solo come prodotto di due
polinomi di primo grado a coefficienti complessi.
Esempio 4 La conica 2x 2 − 4xy + 4y 2 + 2x + 1 = 0 ha matrici tali che
⎡
rank(A) = rank ⎣
2 −2 1
−2 4 0
1 0 1
⎤
⎦ = 2 e det(A2) = det
2 −2
−2 4
= 4 > 0,
quindi è l’unione di due rette complesse coniugate il cui punto di intersezione è l’unico punto reale della
conica e si ottiene risolvendo
2x − 2y + 1 = 0
=⇒ C = −1, −
−2x + 4y = 0
1
.
2
Con un procedimento analogo a quello visto negli esempi precedenti su potrebbe anche trovare le
equazioni delle due rette che avranno però coefficienti complessi.
CASO 4: rank(A) = 2 e det(A2) = 0. La conica rappresenta due rette parallele che, però, potrebbero
anche essere complesse coniugate ed in tal caso la conica non avrebbe punti reali. Si può comunque
procedere, come illustrato nei casi precedenti, cercando di risolvere l’equazione (1) rispetto a x o a
y : in questo caso il discriminante ∆ viene necessariamente una costante che sarà positiva, se la conica
rappresenta due rette parallele reali, oppure negativa, se la conica rappresenta due rette parallele
complesse.
Esempio 5 La conica 4x 2 − 4xy + y 2 + 6x − 3y + 2 = 0 ha matrici tali che
⎡
rank(A) = rank ⎣
4 −2 3
−2 1 −3/2
3 −3/2 2
⎤
⎦ = 2 e det(A2) = det
4 −2
−2 1
= 0,
quindi è l’unione di due rette parallele reali o complesse. Guardando l’equazione della conica come
un’equazione in y, si ottiene y 2 − (4x + 3)y + 4x 2 + 6x + 2 = 0 che ha discriminante ∆ = (4x + 3) 2 −
4(4x 2 + 6x + 2) = 1 > 0 e, quindi, ha soluzioni reali
y =
4x + 3 ± 1
,
2
ovvero la conica è l’unione delle due rette reali e parallele y = 2x + 2 e y = 2x + 1.
Esempio 6 La conica x 2 + 6xy + 9y 2 + 4x + 12y + 5 = 0 ha matrici tali che
⎡
rank(A) = rank ⎣
1 3 2
3 9 6
2 6 5
⎤
⎦ = 2 e det(A2) = det
1 3
3 9
= 0,
quindi è l’unione di due rette parallele reali o complesse. Guardando l’equazione della conica come
un’equazione in x, si ottiene x 2 + 2(3y + 2)x + 9y 2 + 12y + 5 = 0 che ha discriminante ∆/4 = (3y +
2) 2 − (9y 2 + 12y + 5) = −1 < 0 e, quindi, non ha soluzioni reali, per cui la conica non ha punti reali ma
è l’unione di due rette parallele complesse coniugate.
CASO 5: rank(A) = 3 e det(A2) < 0. La (1) rappresenta un’iperbole il cui centro di simmetria C =
(c1, c2) si ottiene risolvendo (2). Gli assi di simmetria dell’iperbole sono le due rette passanti per C e
parallele agli autovettori di A2 ed hanno equazione α(x − c1) − β(y − c2) = 0 e β(x − c1) + α(y − c2) = 0,
dove si può scegliere
(3) α = 2a12 e β = a11 − a22 + (a11 − a22) 2 + 4a2 12 .
3

Gli asintoti dell’iperbole hanno le seguenti equazioni
a12 +
− det(A2) (x − c1) + a22(y − c2)
a12 −
= 0
− det(A2) (x − c1) + a22(y − c2) = 0.
In particolare, nel caso in cui a11 = −a22 l’iperbole è equilatera, cioè i suoi due asintoti sono perpendicolari.
Una volta tracciati gli asintoti, generalmente basta trovare le intersezioni della conica con gli assi
cartesiani per capire in quali spicchi opposti giacciono i due rami dell’iperbole. In questo modo si capisce
anche quale dei due assi di simmetria interseca i due rami dell’iperbole e, intersecandolo effettivamente
con la conica, se ne determinano i due vertici.
Esempio 7 La conica 11x 2 − 24xy + 4y 2 + 94x − 48y + 99 = 0 ha matrici tali che
⎡
rank(A) = rank ⎣
11 −12 47
−12 4 −24
47 −24 99
⎤
⎦ = 3 e det(A2) = det
11 −12
−12 4
= −100 < 0,
quindi è un’iperbole (non equilatera perché a11 = 11 = 4 = a22). Il centro di simmetria si determina
tramite il sistema (2)
11x − 12y + 47 = 0
−12x + 4y − 24 = 0
=⇒ C = (−1, 3).
Usando le formule (3) si ottengono α = 24 e β = 32 per cui gli assi di simmetria dell’iperbole hanno
equazioni
−24(x + 1) − 32(y − 3) = 0 e 32(x + 1) − 24(y − 3) = 0,
cioè sono le rette 3x + 4y − 9 = 0 e 4x − 3y + 13 = 0. Gli asintoti invece hanno equazioni
(−12 ± 10) (x + 1) + 4(y − 3) = 0
ovvero sono le rette x − 2y + 7 = 0 e 11x − 2y + 17 = 0. Intersecando l’iperbole con gli assi cartesiani si
ottengono i seguenti punti
11x2
+ 94x + 99 = 0
−47 − 4
=⇒ P1 =
y = 0
√
70
−47 + 4
, 0 , P2 =
11
√
70
, 0
11
4y2
− 48y + 99 = 0
=⇒ P3 = 0, 4 −
x = 0
3
√
5 , P4 = 0, 4 +
2
3
√
5 .
2
Disegnando questi punti ed i due asintoti si vede subito che i due rami dell’iperbole devono essere
contenuti nei due spicchi più larghi formati dagli asintoti e se ne deduce che, tra i due assi di simmetria,
quello che interseca l’iperbole è quello con coefficiente angolare negativo, cioè 3x+4y−9 = 0. Calcolando
quest’ultima intersezione,
11x 2 − 24xy + 4y 2 + 94x − 48y + 99 = 0
4x + 3y − 5 = 0
=⇒ V1 = − 9
18
, , V2 = −
5 5
1
12
, .
5 5
si ottengono le coordinate dei vertici dell’iperbole.
CASO 6: rank(A) = 3 e det(A2) > 0. Bisogna distinguere due sotto-casi. Calcolato il centro C =
(c1, c2) tramite (2), se tr(A2) · F (c1, c2) > 0, la conica descritta da (1) non ha punti reali, ma solo punti
complessi, cioè la (1) non è soddisfatta da alcun punto di R 2 e non c’è altro da fare. Consideriamo
invece il caso in cui tr(A2) · F (c1, c2) < 0. Allora la (1) descrive un’ellisse con centro di simmetria in C.
Se a12 = 0 e a11 = a22, in realtà l’equazione può essere scritta nel modo seguente
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
4

e quindi rappresenta una circonferenza di centro C e raggio r = (a/2) 2 + (b/2) 2 − c. Se invece a12 = 0
oppure a11 = a22, si tratta di un’ellisse vera e propria i cui assi di simmetria sono le rette passanti per
C e ortogonali ai due autovettori di A2. In particolare tali assi si determinano nello stesso modo che nel
caso dell’iperbole, cioè sono le rette di equazioni α(x − c1) − β(y − c2) = 0 e β(x − c1) + α(y − c2) = 0,
dove si può scegliere
(4) α = 2a12 e β = a11 − a22 + (a11 − a22) 2 + 4a2 12 .
Intersecando gli assi di simmetria con l’ellisse si determinano le coordinate dei vertici.
Esempio 8 La conica 2x 2 + 2y 2 + 12x − 28y + 66 = 0 rappresenta una circonferenza, il che si vede
ancora meglio dopo aver diviso l’equazione per 2 ottenendo
x 2 + y 2 + 6x − 14y + 33 = 0.
Quindi il centro ha coordinate C = (−6/2, 14/2) = (−3, 7) e raggio r = √ 9 + 49 − 33 = 5.
Esempio 9 La conica F (x, y) = 17x 2 − 12xy + 8y 2 − 44x − 8y + 152 = 0 ha matrici tali che
⎡
rank(A) = rank ⎣
17 −6 −22
−6 8 −4
−22 −4 152
⎤
⎦ = 3 e det(A2) = det
17 −6
−6 8
= 100 > 0,
quindi o non ha punti reali o è un’ellisse (non può comunque essere una circonferenza). Si determina il
centro di simmetria tramite (2):
17x − 6y − 22 = 0
=⇒ C = (2, 2).
−6x + 8y − 4 = 0
Poiché tr(A2) = 17 + 8 = 25 > 0 e F (2, 2) = 100 > 0, la conica non ha punti reali.
Esempio 10 Modificando solo il termine noto della conica dell’esempio precedente, si ottiene la conica
F (x, y) = 17x 2 − 12xy + 8y 2 − 44x − 8y − 48 = 0 con le seguenti matrici
⎡
rank(A) = rank ⎣
17 −6 −22
−6 8 −4
−22 −4 −48
⎤
⎦ = 3 e det(A2) = det
17 −6
−6 8
= 100 > 0,
quindi, di nuovo, la conica o non ha punti reali o è un’ellisse. Il centro di simmetria è lo stesso dell’esempio
precedente C = (2, 2) (il sistema che lo determina non cambia), ma stavolta tr(A2) = 25 > 0 e F (2, 2) =
−100 < 0 per cui si tratta effettivamente di un ellisse con centro in C = (2, 2). Usando le formule (4) si
ottengono α = −12 e β = 24 per cui gli assi di simmetria dell’ellisse hanno equazioni
−12(x − 2) − 24(y − 2) = 0 e 24(x − 2) − 12(y − 2) = 0,
cioè sono le rette x + 2y − 6 = 0 e 2x − y − 2 = 0. Intersecando queste rette con la conica si ottengono
le coordinate dei quattro vertici dell’ellisse:
17x 2 − 12xy + 8y 2 − 44x − 8y + 152 = 0
x + 2y − 6 = 0
17x2 − 12xy + 8y2 − 44x − 8y + 152 = 0
2x − y − 2 = 0
=⇒ V1 = (0, 3), V2 = (4, 1);
=⇒ V3 = (0, −2), V4 = (4, 6).
Calcolando le semi-distanze tra vertici opposti, si determinano le lunghezze dei semi-assi dell’ellisse, cioè
il semi-asse staccato su 2x − y − 2 = 0 è lungo V3V4/2 = 2 √ 5 mentre quello staccato su x + 2y − 6 = 0
è lungo V1V2/2 = √ 5.
5

CASO 7: rank(A) = 3 e det(A2) = 0. La (1) rappresenta una parabola. In questo caso è possibile
determinare a, b ∈ R tali che a11x 2 + 2a12xy + a22y 2 = (ax + by) 2 (di fatto si può scegliere a = |a11| e
|b| = |a22|, con b avente lo stesso segno di a12). Allora l’asse di simmetria della parabola ha equazione
(5) a(a11x + a12y + a13) + b(a12x + a22y + a23) = 0
e le coordinate del vertice si trovano facendo l’intersezione fra questo asse e la parabola. Per stabilire
poi da che parte guarda la concavità della parabola, conviene semplicemente trovare le intersezioni della
parabola con gli assi cartesiani.
Esempio 11 La conica 9x 2 + 6xy + y 2 − 4x − 8y − 13 = 0 ha matrici tali che
⎡
rank(A) = rank ⎣
9 3 −2
3 1 −4
−2 −4 −13
⎤
⎦ = 3 e det(A2) = det
9 3
3 1
= 0,
quindi si tratta di una parabola. Si osserva che, come previsto, la parte di secondo grado forma un
quadrato perfetto
9x 2 + 6xy + y 2 = (3x + y) 2 ,
per cui nella formula (5) si può scegliere a = 3 e b = 1 ottenendo che l’equazione dell’asse della parabola
è
3(9x + 3y − 2) + (3x + y − 4) = 0 =⇒ 3x + y − 1 = 0.
Intersecando l’asse con la parabola si trova il vertice
9x 2 + 6xy + y 2 − 4x − 8y − 13 = 0
3x + y − 1 = 0
=⇒ V = (1, −2),
mentre intersecando la parabola con gli assi cartesiani si trovano i seguenti punti
9x2 − 4x − 13 = 0
y = 0
y
=⇒ P1 = (−1, 0) ,
13
P2 = , 0 ,
9 2 − 8y − 13 = 0
x = 0
=⇒ P3 = 0, 4 − √ 29 , P4 = 0, 4 + √ 29 ,
per cui, facendo un disegno, se ne deduce che la concavità della parabola è rivolta verso il semiasse
superiore.
6