CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti ...

CASO 7: rank(A) = 3 e det(A2) = 0. La (1) rappresenta una parabola. In questo caso è possibile
determinare a, b ∈ R tali che a11x 2 + 2a12xy + a22y 2 = (ax + by) 2 (di fatto si può scegliere a = |a11| e
|b| = |a22|, con b avente lo stesso segno di a12). Allora l’asse di simmetria della parabola ha equazione
(5) a(a11x + a12y + a13) + b(a12x + a22y + a23) = 0
e le coordinate del vertice si trovano facendo l’intersezione fra questo asse e la parabola. Per stabilire
poi da che parte guarda la concavità della parabola, conviene semplicemente trovare le intersezioni della
parabola con gli assi cartesiani.
Esempio 11 La conica 9x 2 + 6xy + y 2 − 4x − 8y − 13 = 0 ha matrici tali che
⎡
rank(A) = rank ⎣
9 3 −2
3 1 −4
−2 −4 −13
⎤
⎦ = 3 e det(A2) = det
9 3
3 1
= 0,
quindi si tratta di una parabola. Si osserva che, come previsto, la parte di secondo grado forma un
quadrato perfetto
9x 2 + 6xy + y 2 = (3x + y) 2 ,
per cui nella formula (5) si può scegliere a = 3 e b = 1 ottenendo che l’equazione dell’asse della parabola
è
3(9x + 3y − 2) + (3x + y − 4) = 0 =⇒ 3x + y − 1 = 0.
Intersecando l’asse con la parabola si trova il vertice
9x 2 + 6xy + y 2 − 4x − 8y − 13 = 0
3x + y − 1 = 0
=⇒ V = (1, −2),
mentre intersecando la parabola con gli assi cartesiani si trovano i seguenti punti
9x2 − 4x − 13 = 0
y = 0
y
=⇒ P1 = (−1, 0) ,
13
P2 = , 0 ,
9 2 − 8y − 13 = 0
x = 0
=⇒ P3 = 0, 4 − √ 29 , P4 = 0, 4 + √ 29 ,
per cui, facendo un disegno, se ne deduce che la concavità della parabola è rivolta verso il semiasse
superiore.
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