1. DISCUSSIONE DI WEIERSTRASS Si considera un punto ...

Università degli studi di Trento Corso di Meccanica razionale 2
(v) per E = W − is ha equilibrio nel punto x = x−, diminimo relativo di W (x). Esiste
infine una regione accessibile superiormente illimitata con punto di inversione
nell’estremo inferiore, il punto materiale raggiungendo x =+∞ in un intervallo di
tempo finito, come in precedenza.
(6) Potenziale del tipo U(x) =xs ,cons>0 e x>0
Dimostrare che:
(i) ∀ E2;
(ii) se E =0si ha un’unica regione accessibile in x>0. Per quest’ultima x =0èmeta
asintotica se s ≥ 2. L’integrale di W. diviene infatti:
m
t = ±
2
x(t)
x(0)
x −s/2 dx .
Se s0sidetermina un’unica regione accessibile in x>0eper ilmoto all’infinito
valgono i risultati di cui al capo i). Nel caso retrogrado il punto materiale tende a
x =0in un intervallo di tempo finito. Come nel precedente capo ii) non si verifica
inversione, poiché lasoluzione non risulta ulteriormente prolungabile.
(7) Esempio di potenziale quadratico a tratti:
U(x) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−a + b x2
2
−a − b x2
2
per x ≤ 0
per x ≥ 0
a ∈ R,b>0.
Si verifichi che:
(i) U(x) è una funzione derivabile in R, conderivataivi continua;
(ii) tutti i valori dell’energia E sono consentiti;
(iii) ∀ E = a èdefinita una sola regione accessibile, con punto di inversione in xinv =
2|E − a|/b per E>a,inxinv = − 2|E − a|/b per E