Esercizi Economia Industriale

Esercizio 50
Studia l’equilibrio del modello di Hotelling considerando costi lineari e le imprese collocate
negli estremi.
Soluzione
Per determinare la domanda per l’impresa 1 dobbiamo porre la seguente uguaglianza:
p2
− p1
+ t
p1 + tx = p2
+ t(
1−
x)
da cui otteniamo x = D1
= . La domanda per l’impresa 2 è
2t
p2
− p1
+ t
data da 1 − x ; quindi 1−
x = D2
=
(noterai che le funzioni di domanda sono
2t
uguali a quelle trovate nel caso di costi quadratici – vedi esercizio svolto in classe). La
soluzione quindi è identica a quella dell’esercizio svolto in classe. I prezzi di equilibrio
saranno pari a p 1 = p2
= c + t e le imprese si divideranno il mercato a metà. I profitti sono
Π 1 = Π 2 = t 2 .
N.B.: la presenza di costi lineari non crea problemi se le imprese sono situate agli estremi;
vedremo negli esercizi successivi (esercizio 52) che se le imprese si posizionano all’interno
dell’intervallo allora è conveniente scegliere costi quadratici onde evitare problemi con la
funzione di domanda..
Esercizio 51
Studia l’equilibrio del modello di Hotelling con le imprese collocate nello stesso punto.
Soluzione
Fino ad ora abbiamo considerato il caso limite in cui le imprese si trovino il più lontano
possibile l’una dall’altra. L’altro caso limite è quello in cui esse producano lo stesso bene,
cioè siano situate nello stesso punto (chiamiamolo x 0 ) e i loro beni siano perfetti sostituti.
Quindi, la domanda per l’impresa 1 è ottenuta dalla seguente uguaglianza (ma lo stesso vale
per l’impresa 2): p1 + t x − x0
= p2
+ t x − x0
; il valore assoluto della differenza tra la
posizione del consumatore generico e quella dell’impresa significa che tale differenza viene
considerata sempre con il segno positivo anche se x > x . Si poteva anche utilizzare la
seguente uguaglianza: ( ) ( ) 2
2
p t x − x = p + t x − x
1
0
2
0
0
+ . Comunque tale uguaglianza diventa
p 1 = p2
, cioè i costi legati alla distanza sono irrilevanti dato che le imprese sono nello stesso
punto. Quindi siamo tornato alla concorrenza a la Bertrand; l’equilibrio sarà p 1 = p2
= c e
Π = Π = 0 .
1
2
Esercizio 52 (Hotelling con scelta del posizionamento)
Supponiamo che le due imprese debbano prima decidere dove posizionarsi e poi scegliere i
prezzi. Indichiamo con a > 0 la posizione scelta dall’impresa 1 e con 1 − b con b > 0 quella
scelta dall’impresa 2 (senza perdere di generalità, 1 − a − b > 0 - l’impresa 1 è alla sinistra
dell’impresa 2). Considera costi quadratici. Determina: 1) la domanda per ogni impresa; 2) le
funzioni dei prezzi ottimi; 3) chiarisci la procedura per determinare il posizionamento ottimo.
Soluzione
Il modello è un gioco dinamico che può essere risolto con l’induzione all’indietro. Quindi
prima calcoliamo le funzioni (strategie) che rappresentano la scelta del prezzo ottimo; e poi
determiniamo la posizione ottima delle imprese, in base alle funzioni dei prezzi ottimi appena
trovate.