Esercizi Economia Industriale

ESERCIZI SVOLTI DI TEORIA DEI GIOCHI ED ECONOMIA INDUSTRIALE
Esercizio 1
Due imprese concorrenti fissano simultaneamente il prezzo di vendita del bene omogeneo da
loro prodotto. I possibili prezzi sono “A” alto, “M” medio, “B” basso. L’impresa che fisserà
il prezzo più basso conquisterà l’intero mercato, ottenendo il profitto massimo di 100. In caso
di parità le imprese si dividono il mercato equamente.
Rappresenta il gioco in forma strategica e in forma matriciale, quindi determina l’equilibrio di
Nash in strategie pure e miste. Inoltre stabilisci se esiste una strategia strettamente dominante.
Forma strategica
{ } 2
S G ; { } B M A,
,
= i , i i=
1 u Si i ( pi
, p j ) = 100
= ∀ i ;
u se p i < p j ;
u i ( pi
, p j ) = 50 se p i = p j ;
u i ( pi
, p j ) = 0 se p i > p j .
Matrice del gioco
Equilibrio di Nash
Svolgimento
G1 \ G2
A M B
A 50,50 0,100 0,100
M 100,0 50,50 0,100
B 100,0 100,0 50,50
- L’unico equilibrio di Nash in strategie pure è dato dalla combinazione ( B)
B, ; entrambe le
imprese praticano il prezzo più basso ottenendo metà del mercato.
- L’equilibrio di Nash in strategie miste (se esiste) si determina risolvendo i seguenti sistemi:
⎧50q
A = 100q
A + 50qM
⎧50
p A = 100 p A + 50 pM
⎪
⎪
G 1⎨50q
A = 100q
A + 100qM
+ 50qB
G 2 ⎨50
p A = 100 p A + 100 pM
+ 50 pB
⎪
⎩q
A + qM
+ qB
= 1
⎪
⎩ p A + pM
+ pB
= 1
Strategie strettamente dominate
Non esiste una strategia strettamente dominante; infatti per ogni giocatore i vale la relazione
u i ( B,
p j ) ≥ ui
( pi
, p j ) con pi ≠ B . La disuguaglianza è stretta solo se pi = A,
cioè la
strategia A è strettamente dominata dalla strategia B. La strategia M è invece debolmente
dominata da B.

Esercizio 2
−ε
In un monopolio la funzione di domanda ha elasticità costante: q = D(
p)
= p dove ε > 1 è
l’elasticità della domanda. Il costo marginale è costante e uguale a c. Determina il benessere
totale in concorrenza perfetta e in monopolio, quindi calcola la perdita secca di benessere.
Svolgimento
c
Indichiamo con W il benessere totale in concorrenza perfetta; questo è dato dalla somma tra
c −ε
surplus del consumatore e del profitto: W = x dx + ( p − c)
∞
∞
∫
p
p
−ε
. In concorrenza perfetta
c −ε
1−ε
c
p = c ; quindi l’integrale diventa W = ∫ x dx = . ε −1
c
Il benessere in caso di monopolio si calcola utilizzando la stessa formula di partenza, ma
considerando il prezzo di monopolio =
1
1−
ε
c
p m
∞
−ε
m −ε
⎛ ⎞
c c
. Quindi W = ∫ x dx + ( − ) ⎜ ⎟
1 c − ⎜ ⎟
.
1
ε
1
m
⎝1
−
p
ε ⎠
1−ε
−ε
⎡
⎤
c m ⎛ c ⎞ ⎛ 2ε
−1
⎞⎛
ε ⎞
Una volta risolto questo integrale otteniamo W −W
= ⎜
⎟
⎟⎢1
− ⎜ ⎟⎜
⎟ ⎥
⎝ ε −1
⎠⎢⎣
⎝ ε −1
⎠⎝
ε −1
⎠ ⎥⎦
Esercizio 3 (monopolio con avviamento – Tirole pag. 117)
Si consideri un monopolista che produca un singolo bene venduto in due periodi consecutivi.
Nel periodo 1 la domanda è q 1 = D1(
p1)
e il costo di produzione è C 1( q1)
; nel periodo 2 la
domanda è q 2 = D2
( p2
, p1)
e il costo di produzione è C 2 ( q2
) . Esiste un effetto di avviamento
nella misura in cui un basso prezzo iniziale faccia aumentare sia la domanda del periodo 1 sia
quella del periodo 2: ∂D 2 / ∂p1
< 0.
Determinare l’espressione del profitto del monopolista e le
condizioni del primo ordine. Inoltre determinare l’indice di Lerner nei due periodi.
Svolgimento
L’espressione del profitto è la seguente:
1
1
1
1
( D ( p ) ) + [ p D ( p , p ) C ( D ( p , ) ) ]
π = p D ( p ) − C δ
− p
Le condizioni del primo ordine sono
∂π
/ ∂p
1
∂π
/ ∂p
2
→ D + p D′
− C′
D′
+ δp
D′
−δC
′ D′
= 0
1
→ D
2
1
2
1
+ p D′
− C′
D′
= 0
Dalla prima condizione otteniamo
mentre dalla seconda si ha
2
1
2
1
2
2
p − C′
p
2
1
2 2 =
2
1
1
2
2
2
2
2
1
[ p − C′
]
p1
− C′
1 1 δD′
2 2
= −
p ε p D′
1
.
ε
Nel primo periodo il monopolista fissa un prezzo inferiore a quello che normalmente avrebbe
fissato; lo si capisce dal fatto che l’indice di Lerner è inferiore al reciproco dell’elasticità. Con
1
1
2
2
2
2
1

questo comportamento il monopolista vuole aumentare la domanda del secondo periodo, dato
l’effetto di avviamento. Seguendo lo stesso argomento, nel secondo periodo il monopolista
pratica il prezzo pieno di monopolio.
Esercizio 4 (monopolio e learning by doing – Tirole pag. 119)
Si consideri un monopolista che produca un singolo bene su due periodi. Nel primo periodo la
domanda è q 1 = D1(
p1)
e il costo di produzione è C 1( q1)
; nel periodo 2 la domanda è
q 2 = D2
( p2
) e il costo di produzione è C 2 ( q2
, q1)
con ∂C 2 / ∂q1
< 0 . Stiamo dunque
ipotizzando che una maggiore produzione iniziale riduca in seguito il costo di produzione –
cioè che “la pratica perfezioni”. Determinare l’espressione del profitto, le condizioni del
primo ordine e l’indice di Lerner in ogni periodo.
Svolgimento
π = p D ( p ) − C D p + δ p D p − C D p , D p
Espressione del profitto: ( ( ) ) [ ( ) ( ( ) ( ) ) ]
Condizioni del primo ordine:
∂π
/ ∂p
1
∂π
/ ∂p
2
→ D + p D′
− C′
D′
− δC′
D′
= 0
1
→ D
2
1
2
1
+ p D′
− C′
D′
= 0
Dalla prima condizione otteniamo
mentre dalla seconda condizione otteniamo
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
p 1 − C′
1 1 δC′
2
= +
p ε p
1
2
1
p − C′
p
1
2 2 =
2
2
δC′
2
dove < 0 ;
p
Quindi il monopolista nel primo periodo impone un prezzo inferiore a quello di monopolio;
questa politica gli permette di vendere di più, il che fa aumentare la produzione e l’esperienza.
Esercizio 5 (La condizione di Dorfman-Steiner)
In un monopolio la domanda è q = D(
p,
s)
dove con s sono indicate le spese di pubblicità; la
funzione di costo è C (q)
. Determina l’espressione del profitto, le condizioni del primo ordine
e la condizione di Dorfman-Steiner.
Svolgimento
Il profitto di monopolio può essere scritto come π ( p, s)
= pD(
p,
s)
− C D(
p,
s)
−
Le condizioni del primo ordine per la massimizzazione rispetto a p e ad s sono
⎧D(
p,
s)
+ pD ( ) ′
p p,
s = C ( D(
p,
s)
) D p ( p,
s)
⎨
⎩ pD ( p,
s)
− C′
s ( D(
p,
s)
) Ds
( p,
s)
= 1
Che possono essere riscritte nel seguente modo
⎧ − D
( )
( p,
s)
⎪ p − C′
=
⎪ D p ( p,
s)
⎨
⎪
1
( p − C′
) =
⎪
⎩ Ds
( p,
s)
1
.
ε
1
2
2
2
2
( ) s
1
1

Dividendo i membri della prima equazione per p e moltiplicando i membri della seconda
equazione per q / s otteniamo
⎧(
p − C′
) 1
⎪ =
⎪ p ε p
⎨
⎪q
1
( p − C′
) =
⎪
⎩ s ε s
Dividendo tra loro i membri delle due equazioni si ottiene la condizione di Dorfam-Steiner
s ε s
= :
pq ε p
il rapporto pubblicità/vendite ottimale per il monopolista è uguale al rapporto delle elasticità
della domanda rispetto alla pubblicità e al prezzo.
Esercizio 6
−α
β
Dimostrate che se la domanda è del tipo Cobb-Douglass, q = p s , dove α e β sono
positivi, il rapporto pubblicità/vendite è costante (in particolare, mostrare che esso non
dipende dalla struttura dei costi).
−α
β −1
p βs
s
Dato che ε s = = β
−α
β
p s
s β
Allora = .
pq α
Svolgimento
−α
−1
β
αp
s
e ε p = p = α .
−α
β
p s
Esercizio 7 (acquisti ripetuti e ritorsione del consumatore)
Un consumatore ed un monopolista sono i giocatori del seguente gioco, ripetuto due volte:
1 2 /G G s = 1
s = 0
c 2; 1,5 0;2
nc 0;-1 0;0
Il monopolista può scegliere una qualità alta (s=1) o una bassa (s=0); il consumatore deve
decidere se comprare (c) o no (nc). Stabilisci se esiste un equilibrio di Nash prefetto nei
sottogiochi che garantisca al consumatore che il bene acquistato nel primo periodo sia di alta
qualità.
Svolgimento
Il gioco ha due equilibri di Nash in strategie pure; precisamente ( c , s = 0)
e ( nc , s = 0)
.
Per il monopolista produrre bassa qualità è una strategia strettamente dominante; tuttavia il
fatto che esistano due equilibri di Nash, permette al consumatore di punire il monopolista
qualora questi fornisca nel primo periodo un bene di bassa qualità.
Il consumatore può promettere al monopolista di comprare il bene anche nel secondo periodo
se quello acquistato nel primo periodo è di alta qualità; in caso contrario rinuncia all’acquisto
nel secondo periodo.
Quindi uno dei possibili equilibri prefetti nei sottogiochi è formato dalle seguenti strategie:

-giocare l’equilibrio di Nash ( , s = 0)
( c , s = 1)
;
-giocare l’equilibrio di Nash ( , s = 0)
una combinazione di strategie diversa da ( , s = 1)
c nel secondo periodo se nel primo periodo si è giocato
nc nel secondo periodo se nel primo periodo si è giocato
c .
(Prova che questa strategia è un equilibrio dell’intero gioco ripetuto e di ogni sottogioco –
cioè dimostra che è un equilibrio perfetto nei sottogiochi).
Esercizio 8
Sviluppa analiticamente la massimizzazione del profitto nel caso di monopolio.
Soluzione
Indichiamo con p ( y)
la domanda inversa (prezzo) e con c ( y)
il costo; quindi si tratta di
risolvere il seguente problema:
max p( y)
y − c(
y)
{ y
Condizione del primo ordine: p ( y)
+ p′
( y)
y = c′
( y)
Condizione del secondo ordine: ′ ( y)
+ p′
′ ( y)
y + p′
( y)
− c′
′ ( y)
< 0
p .
Assumiamo che la condizione del secondo ordine sia sempre soddisfatta.
⎡ ∂p
Dalla condizione del primo ordine otteniamo ( )
( y)
y ⎤
p y ⎢1
+ ⋅ = c′
( y)
y p(
y)
⎥ .
⎣ ∂ ⎦
( )
Sappiamo che
( ) ( ) ⎥ ⎡ ∂p
y y ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎢1
+ ⋅ ⎥ = ⎢1
+ dove ( y)
⎣ ∂y
p y ⎦ ⎣ ε y ⎦
⎡ 1
La condizione di ottimo finale è dunque ( y)
⎢ +
ε ( y)
marginale devono essere uguali.
ε è l’elasticità della domanda al prezzo.
⎤
p 1 ⎥ = c′
( y)
; cioè, ricavo marginale e costo
⎣ ⎦
Esercizio 9
−b
Si consideri la seguente funzione di domanda: y = Ap . Il costo totale è dato da cy .
Dimostra che l’elasticità della domanda al prezzo è costante e determina il prezzo di
equilibrio del monopolista.
Soluzione
∂y
p
−b−1
p
ε p = ⋅ quindi ε p = −bAp
⋅ con opportune semplificazioni si ottiene
−b
∂p
y
Ap
ε p = −b
cioè l’elasticità è costante.
Per trovare il prezzo di equilibrio del monopolista basterà utilizzare la condizione di ottimo
⎡ ⎤
trovata nell’esercizio precedente. Avremo quindi p ( y)
⎢ + = c
b⎥
⎣ − ⎦
1
1 dove c è il costo
c
marginale. Da questa condizione otteniamo che p(
y)
= . Il prezzo è superiore al costo
1 1 − b
marginale. C’è un mark-up costante sul costo marginale che dipende dall’elasticità della
1
domanda. Chiaramente deve essere che 1 − > 0 altrimenti il prezzo sarebbe negativo. Da
b

quest’ultima disuguaglianza otteniamo che b > 1,
cioè l’elasticità della domanda, “nel punto di
ottimo”, deve essere maggiore di 1.
Esercizio 10
Dalla condizione di ottima in monopolio si ottiene la seguente relazione:
Commenta utilizzando anche i grafici.
p 1
=
c′
1
1 +
ε
Soluzione
Sappiamo che in monopolio il prezzo è superiore al costo marginale. La relazione indicata
nell’esercizio indica che il prezzo sarà tanto più grande del costo marginale quanto più la
domanda è rigida (elasticità bassa). Questo fatto può essere mostrato graficamente
considerando prima una domanda molto elastica e poi, a parità di costi, una domanda rigida.
p
c′
Il grafico di destra mostra una domanda più rigida rispetto a quella riportata nel grafico di
sinistra; è evidente come la distanza tra prezzo e costo marginale sia più grande nel secondo
caso. (N.B.: all’esame occorre precisare il significato di tutte le curve presenti nel grafico!!).
Esercizio 11
Si considerino le seguenti stime dell’elasticità della domanda al prezzo relativamente a
mercato delle sigarette e del petrolio (gli autori di queste stime sono indicati di seguito – per il
mercato del petrolio abbiamo tre stime differenti)
mercato delle sigarette Becker (1991) da ε = −0,
7 a ε = −0,
8 ;
mercato del petrolio (1) Mc Avoy (1982) - ε = −0,
29
(2) Griffin (1979) - da ε = −0,
71a
ε = −0,
85
p
y y
p
.

(3) Marquez (1984) - ε = −0,
25
Commenta le stime e stabilisci se, come è ritenuto da molti, i mercati esaminati possono
essere considerati monopolistici.
Svolgimento
In base alle stime si può affermare che la domanda relativa ai due mercati si presenta
anelastica (elasticità bassa); quindi un aumento del prezzo di una certa percentuale
comporterà una riduzione della quantità domandata di una percentuale inferiore. Questa
situazione non è assolutamente riconducibile a mercati monopolistici ; abbiamo infatti
verificato negli esercizi precedenti che i monopolisti effettuano le loro scelte (prezzo e
quantità) lungo il tratto elastico della curva di domanda. Nel tratto anelastico, infatti, i ricavi
marginali sono negativi per cui il monopolista trova conveniente ridurre la produzione fino a
che il ricavo marginale è almeno nullo 1 .
Esercizio 12 (monopolio e beni durevoli)
Un individuo è l’unico possessore di 80 unità di un bene durevole (esempio: 80 lotti di terreno
che affacciano su una costa molto rinomata). Lui vuole massimizzare i propri profitti
vendendo i lotti. I costi di vendita sono nulli. La domanda inversa di lotti è
P$ = 1.
000.
000 −10.
000q
.
a) Determina la quantità di lotti che l’individuo deve vendere per massimizzare i profitti;
b) Spiega perché il monopolista non riuscirà a vendere al prezzo di monopolio.
Svolgimento
2
I costi sono nulli, per cui i profitti coincidono con i ricavi: RT = 1. 000.
000q
−10.
000q
.
Derivando i ricavi (profitti) otteniamo RT′ = 1. 000.
000 − 20.
000q
che uguagliata a zero ci
permette di ottenere la quantità di lotti da vendere per massimizzare il profitto:
* 1.
000.
000
q = = 50 .
20.
000
*
Il prezzo di vendita sarà p = 500.
000 per ognuno dei 50 lotti venduti.
Tuttavia all’individuo rimangono ancora 30 lotti che se venduti potrebbero fruttare ulteriori
ricavi (cioè ulteriori profitti). Purtroppo chi era disposto a pagare 500.000 ha già comprato il
proprio lotto. Rimangono gli acquirenti disposti a pagare cifre inferiori. A questo punto, se il
monopolista vuole vendere tutti i lotti rimasti potrà farlo se praticherà un prezzo di
concorrenza. Questo prezzo è quello che consentirebbe di “pulire” il mercato, cioè di vendere
tutto; per trovarlo basta sostituire 80 nella funzione di domanda. Tale prezzo di concorrenza è
quindi p c = 200.
000 .
A questo punto, però, si pone un problema: i primi acquirenti che hanno pagato 500.000 $ per
un lotto sono dei soggetti razionali, e quindi possono anticipare la mossa del monopolista; per
questo motivo non accetteranno mai di pagare 500.000$ se sanno che successivamente il
prezzo scenderà a 200.000. Quindi il monopolista non vendere nessun lotto al prezzo di
500.000$. L’unico prezzo che gli permetterà di vendere i lotti sarà quello di concorrenza, cioè
200.000 $ al lotto.
In definitiva possiamo riassumere quanto detto nella seguente proposizione (tale proposizione
si deve al premio nobel Ronald Coase) : “Con beni durevoli il prezzo di mercato è
1 Per concludere sarebbe opportuno mostrare l’equilibrio del monopolista, evidenziando i tratti elastici e
anelastici della domanda – in questo esercizio non viene presentato questo grafico perché è stato più volte
affrontato durante il corso di istituzioni di economia. Per chi avesse problemi si consiglia di andare a rivedere il
monopolio sul testo di Garofalo.

indipendente dal numero di venditori presenti nel mercato. Un monopolista può vendere un
bene durevole solo al prezzo di concorrenza perfetta”.
Graficamente:
500.000
200.000
50 80 q
Esercizio 13
Rappresenta graficamente una situazione di monopolio naturale e spiega le caratteristiche di
questa particolare forma di mercato.
Svolgimento
La critica che viene mossa al monopolio è che in questa forma di mercato si produce poco ad
un prezzo più alto di quello di concorrenza perfetta. Per eliminare questo problema le autorità
potrebbero imporre un prezzo uguale al costo marginale (come in concorrenza perfetta),
garantendo così un livello efficiente di produzione. A questo punto, però, il monopolista
potrebbe cominciare ad avere perdite consistenti qualora il prezzo di concorrenza imposto non
gli consenta di coprire i propri costi medi. La situazione è rappresentata nel seguente grafico:
p AC
AC
p
c
D
Il grafico rappresenta la classica situazione di monopolio naturale; si può infatti vedere che
imporre un prezzo di concorrenza perfetta p c spingerebbe il monopolista ad avere perdite
pari all’area tratteggiata. In pratica la struttura dei costi non permette la realizzazione di
concorrenza perfetta dato che questo provocherebbe il fallimento del monopolista a causa
dell’accumulo di perdite. Il mercato è per sua natura (per questo si dice monopolio naturale)
gestibile da un unico operatore (monopolista). Questa situazione si verifica in quei mercati in
cui all’impresa è richiesto un notevole investimento fisso (costo fisso) al quale seguono costi
marginali contenuti; per cui il monopolista può godere di notevoli economie di scala (prova a
spiegare perché). Con forti economie di scala, il punto minimo del costo medio si troverà a
MC
AC
q AC q C q

destra della curva di domanda (come evidenziato nel grafico); a questo si aggiunge il fatto che
l’intersezione tra prezzo e costo marginale si verifica sotto il costo medio, per cui il prezzo di
concorrenza è inferiore al costo medio stesso (vedi il grafico). Dato che un prezzo di
concorrenza perfetta non è sostenibile, l’unica soluzione è quella di garantire al monopolista
almeno il recupero dei costi ; questo è possibile se si impone un prezzo p AC uguale al costo
medio.
Esercizio 14
Basandoti sul concetto di scala minima efficiente, spiega sotto quali condizioni un mercato
tenderà al monopolio piuttosto che alla concorrenza.
Svolgimento
La scala minima efficiente è il “livello di output che minimizza il costo medio, relativamente
alle dimensioni della domanda”. Possiamo dimostrare graficamente che se la scala minima
efficiente è piuttosto bassa rispetto alla domanda, allora il mercato tenderà ad essere di
concorrenza. Se invece non c’è una significativa differenza tra domanda e scala minima
efficiente, il mercato tenderà ad essere di monopolio.
p
q
D
q D
q′ q′ D
È evidente dai grafici che nel primo caso la struttura dei costi lascia spazio a molte altre
imprese che possono produrre e vendere una quantità pari alla parte di domanda non coperta
dall’impresa riportata nel grafico. Dato il prezzo p che coincide con il costo medio minimo, la
quantità prodotta dalla singola impresa è q (scala minima efficiente); ma la domanda è di
molto superiore ( q D ). Questa maggiore domanda sarà soddisfatta da altre imprese. Questo
primo mercato tende alla concorrenza.
Nel secondo grafico, invece, non c’è spazio per altre imprese; data la struttura dei costi
l’impresa rappresentata nel grafico copre quasi tutta la domanda (la differenza tra q′ e q′ D è
piccola). Questo secondo mercato tende al monopolio.
Esercizio 15
Si consideri un monopolista che suddivide la propria clientela in due gruppi (discriminazione
*
di terzo grado). Supponiamo che abbia già prodotto una quantità Q . Il monopolista vuole
vendere il prodotto ai due gruppi (mercati) in modo da massimizzare i profitti. Le funzioni di
domanda dei due gruppi sono P 1 = D1(
Q1)
e P 2 = D2
( Q2
) . Determina la condizione di
ottimo.
p
D

Soluzione
*
Sappiamo che Q 1 + Q2
= Q . L’impresa vuole massimizzare i ricavi totali (non consideriamo i
costi perché abbiamo supposto che la quantità sia stata già prodotta; quindi i costi sono
*
irrecuperabili) R = Q1D1
( Q1)
+ Q2D
2 ( Q2
) data la condizione Q 1 + Q2
= Q .
Dato il vincolo, possiamo riscrivere i ricavi totali come segue:
*
*
R = Q1D1
( Q1
) + ( Q − Q1
) D2
( Q − Q1
) . A questo punto i ricavi sono semplicemente una
funzione di Q 1 .
Derivando tale funzione rispetto a Q 1 e uguagliando a zero otteniamo la seguente condizione
del primo ordine:
∂R
∂Q
1
∂D1
= Q1
+ D1
∂Q
1
*
2 2
( Q ) + ( Q − Q ) ⋅ − D ( Q ) = 0
1
1
∂D
∂Q
2
∂Q
∂Q
*
∂Q2
Dato che Q2 = Q − Q1
e = −1
∂Q
∂D
∂D
2
( Q ) = Q D ( Q )
1
Q 1 + D1
1 2 +
∂Q1
∂Q2
2
2
;
1
2
2
1
possiamo scrivere
I primi due termini del lato sinistro rappresentano i ricavi marginali nel primo mercato; i due
termini di destra rappresentano i ricavi marginali del secondo mercato. Possiamo concludere
che un’impresa massimizza i ricavi totali (vendendo una quantità fissa di prodotto)
uguagliando i ricavi marginali nei due mercati.
Esercizio 16
Se il monopolista colloca la quantità fissa
marginali, quale mercato avrà il prezzo più basso?
*
Q In modo tale da uguagliare tra loro i ricavi
Soluzione
⎛ 1 ⎞
Sappiamo che in monopolio il ricavo marginale è dato da P ⎜1+
⎟ ;
⎝ ε ⎠
Con riferimento ai due mercati possiamo scrivere ⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
P ⎜
⎟ = ⎜
1 1+
P2
1+
.
⎝ ε1
⎠ ⎝ ε 2 ⎠
Da tale uguaglianza otteniamo la seguente condizione:
P1
ε1ε
2 + ε1
= .
P ε ε + ε
2 1 2 2
Se ε 1 > ε 2 allora il numeratore è più grande del denominatore e quindi 1 2 P
P > . Praticamente,
il monopolista pratica un prezzo più alto nel mercato caratterizzato da una minore elasticità
della domanda al prezzo (non dimenticare che l’elasticità è negativa). Cosa succede se le due
elasticità sono uguali?
Esercizio 17
Si consideri un monopolista che suddivide la propria clientela in due gruppi (discriminazione
di terzo grado). Il monopolista deve decidere quanto produrre e quanto vendere nei due
mercati in modo da massimizzare i profitti. Le funzioni di domanda dei due gruppi sono
P = D Q ) e P = D Q ) .
1
1(
1
2
2 ( 2

Soluzione
Scriviamo la funzione dei profitti: Π = D1 ( Q1
) Q1
+ D2
( Q2
) Q2
− C(
Q)
;
il vincolo è dato da Q 1 + Q2
= Q . Sostituendo il vincolo nella funzione dei profitti e
derivando rispetto alle due quantità otteniamo le seguenti condizioni:
∂Π
∂D1
∂C
( )
( Q)
∂Q
= D1
Q1
+ Q1
− ⋅ = 0
∂Q
∂Q
∂Q
∂Q
1
∂Π
∂Q
2
= D
2
( Q )
2
+ Q
2
1
∂D
∂Q
2
2
( Q)
∂C
−
∂Q
1
∂Q
⋅
∂Q
2
= 0
∂Q
∂Q
Sappiamo che = = 1;
quindi le due condizioni del primo ordine diventano
∂Q
∂Q
MR
MR
1
2
1
( Q ) = D ( Q )
1
( Q ) = D ( Q )
2
1
2
1
2
2
( Q)
∂D1
∂C
+ Q1
=
∂Q1
∂Q
∂D2
∂C
+ Q2
=
∂Q
∂Q
2
( Q)
I ricavi marginali nei due mercati uguagliano il costo marginale. Quindi vale anche la
condizione 1 2 MR MR = .
In pratica il monopolista produce fino a che i ricavi marginali nei due mercati sono
contemporaneamente uguali tra loro e al costo marginale.
Esercizio 18
Un monopolista ha diviso i suoi clienti in due gruppi. La domanda del primo gruppo è
p1 = 100 − 2q1
mentre la domanda del secondo gruppo è p2 = 100 − 5q2
. Il costo è dato da
C = 2Q
. Quanto produrrà il monopolista? Come suddividerà le quantità tra i due gruppi? Che
prezzo praticherà?
Il problema del monopolista è
max
{
q1
, q2
Π =
Soluzione
( − 2q
) q + ( 100 − 5q
) q − 2(
Q)
100 1 1
2 2
s.t. Q = q1
+ q2
Risolvilo seguendo lo schema dell’esercizio precedente (risultato:
q = , 5;
q = 9,
8;
p = 51;
p = 51).
1
24 2
1 2
Esercizio 19
Discriminazione attraverso prezzi non lineari - si veda l’esercizio svolto sul Tirole pag.259.

Esercizio 20
Con riferimento al grafico di pag. 250 del Tirole (discriminazione dei prezzi) dimostra che nel
punto 2 C la quantità acquistata dai consumatori di tipo θ 2 è quella socialmente ottimale (cioè
2
1−
quella che si otterrebbe con un prezzo concorrenziale p = c ). N.B.: ( )
( 1−
q)
V q =
2
Soluzione
Nel punto C 2 la retta di isoprofitto è tangente alla curva di indifferenza; quindi le due
funzioni hanno la stessa pendenza. La curva di isoprofitto è data da T = cq + π mentre quella
di indifferenza da T = θ 2V
( q2
) −U
. La pendenza dell’isoprofitto è c mentre quella della
curva di indifferenza è 2 ( 1 q2
) − θ . Uguagliando le due pendenze (derivate prime)
c
θ q = si ottiene q −
θ quando il
( ) c
2 1−
2
2 = 1 che è la domanda dei consumatori di tipo 2
θ 2
prezzo è uguale al costo marginale c, proprio come in concorrenza perfetta.
Esercizio 21
Dimostra che nella relazione verticale tra un monopolista (impresa a monte) e un dettagliante
(impresa a valle) che opera in concorrenza perfetta, non si genera il fenomeno della doppia
marginalizzazione; D( p)
= 1−
p.
Soluzione
Basterà dimostrare che il profitto del sistema verticale è lo stesso sia che si realizzi
integrazione verticale sia nel caso in cui ognuno massimizzi i propri profitti individualmente
(assenza di integrazione verticale).
iv
Profitti con integrazione verticale: Π ⇒ max [ ( p − c)(
1−
p)
] ; da tale massimizzazione si
1+ c
ottiene il prezzo finale scelto nel caso di integrazione verticale p = ; quindi
2
2
iv ⎡⎛1
+ c ⎞⎛
1+
c ⎞⎤
( 1−
c)
Π = ⎢⎜
− c⎟⎜1
− ⎟ =
2 2
⎥ .
⎣⎝
⎠⎝
⎠⎦
4
Profitti senza integrazione verticale: il rivenditore a valle opera in concorrenza perfetta,
quindi praticherà un prezza pari al costo marginale; ma il suo costo marginale è rappresentato
dal prezzo del prodotto intermedio venduto dal monopolista. Quindi il prezzo finale è dato da
p = p w dove p w è il prezzo praticato dal monopolista per la vendita dei propri prodotti al
rivenditore.
Il prezzo p w è il risultato della massimizzazione dei profitti del monopolista
ni
1+ c
Π ⇒ max [ ( pw − c)(
1−
pw
) ] da cui si ottiene pw = . Come abbiamo detto, questo è
2
anche il prezzo finale, dato che p = p w : con o senza integrazione verticale, il prezzo finale è
lo stesso.
Anche il profitto totale non cambia: infatti il rivenditore ha profitto pari a zero (dato che opera
in concorrenza perfetta) mentre il monopolista ottiene
2
ni ⎡⎛1
+ c ⎞⎛
1+
c ⎞⎤
( 1−
c)
Π = ⎢⎜
− c⎟⎜1
− ⎟ =
2 2
⎥ proprio come nel caso di integrazione verticale.
⎣⎝
⎠⎝
⎠⎦
4

Esercizio 22 (Tirole pag. 305)
Per incoraggiare un maggiore sforzo promozionale e ottenere un profitto integrato
verticalmente, il produttore può decidere di praticare un prezzo all’ingrosso pari al costo
pw = c e una tassa fissa di franchising A. Dimostra questa affermazione.
marginale ( )
Soluzione
Nel caso di integrazione verticale il problema di massimizzazione è il seguente:
max [ p − c − Φ(
s)
] D(
p,
s)
{
p, s
Derivando rispetto allo sforzo promozionale otteniamo la seguente condizione del primo
ordine:
Φ′
() s D(
p,
s)
= [ p − c − Φ(
s)
] D′
( p,
s)
Senza integrazione verticale e con tassa di franchising ( pw = c)
, l’impresa a valle massimizza
la seguente funzione di profitto:
max [ p − c − Φ(
s)
] D(
p,
s)
− A
{
p, s
Derivando rispetto allo sforzo promozionale si raggiunge lo stesso risultato dell’integrazione
verticale (la condizione del primo ordine è la stessa); quindi franchising e integrazione
m
verticale producono lo stesso risultato in termini di sforzo promozionale. N.B. : A ≤ Π dove
m
con Π è indicato il profitto che l’impresa a valle ottiene con un prezzo all’ingrosso pari al
m
costo marginale (quindi se A = Π , i profitto che rimangono dopo aver pagato la tassa di
franchising sono pari a zero).
Esercizio 23(Tirole pag. 305)
Con riferimento all’esercizio precedente, dimostra che il prezzo imposto non produce uno
sforzo promozionale efficiente (come quello ottenuto con l’integrazione verticale).
Soluzione
Con integrazione verticale la condizione per l’ottenimento dello sforzo promozionale ottimo è
m
m
m
Φ′ int () s D(
p , s)
= [ p − c − Φ(
s)
] D′
( p , s)
m
dalla quale è possibile ottenere lo sforzo promozionale ottimo s > 0 .
Diversamente, se il produttore imponesse un prezzo di vendita m
p (sia al dettaglio che
all’ingrosso – ricorda che m
p è il prezzo che si avrebbe con integrazione verticale) il
rivenditore si troverebbe a massimizzare la seguente funzione del profitto:
m m
m
[ p − p − Φ s ] D p , s
max ( ) ( )
s
Non è necessario risolvere la massimizzazione; infatti si può osservare che con il prezzo
m
imposto l’impresa a valle ottiene perdite pari a Φ ( s)
D(
p , s)
se decidesse di esercitare uno
sforzo promozionale positivo; quindi è per lei ottimale non realizzare nessuno sforzo
promozionale, cioè s = 0 .

Esercizio 24 (Tirole pag. 305 – la soluzione è riportata nel libro)
Dimostra che la quantità imposta è sufficiente a produrre i risultati di un’integrazione
verticale.
Esercizio 25
Rappresenta in forma estesa il seguente gioco e determina gli equilibri.
G / G
a b
1
2
A 2,2 2,2
B 0,0 3,1
C 1,1 0,0
Esercizio 26
Rappresenta in forma estesa il seguente gioco e determina gli equilibri.
G 1 / G2
a b
A 8,8 8,8
(B,C) 2,1 0,0
(B,D) 0,0 10,1
Esercizio 27
Determina gli equilibri del seguente gioco, e definisci analiticamente gli elementi che
compongono il gioco:
0,0
1,0
0,1
1,1
0,0
1,0
a
b
c
a
b
c
A 1 B
A B
t
t
2
0,1
0,9
Nat
a
a
b
b
2,1
1,2
1,1
0,0

Esercizio 28
Considera il seguente gioco:
G 1 / G2
a b
A 2+t,1 0,0
B 0,0 1,2
Il parametro t assume valore 1 con probabilità 0,2 e valore 0 con probabilità 0,8. dopo aver
chiarito di che tipo di gioco si tratta, determina l’equilibrio. Decidi tu quale giocatore ha
informazione completa.
Esercizio 29
Si consideri un duopolio a la Bertrand con i seguenti prezzi p 1 = p2
> c ;
a) determina la soluzione;
b) indica con D ( p)
la funzione di domanda e determina i profitti di ogni impresa.
Esercizio 30
Chiarisci se i prezzi p 1 > p2
= c rappresentano un equilibrio di Nash del duopolio a la
Bertrand.
Esercizio 31
Si consideri un duopolio a la Bertrand con c 1 < c2
; determinare i prezzi di equilibrio e i
profitti delle due imprese.
Esercizio 32 (Bertrand con prodotti differenziati)
Risolvere il duopolio a la Bertrand con prodotti differenziati riportato a pag. 31 del testo
“Teoria dei giochi” – Gibbons -. Sviluppare tutti i passaggi algebrici e chiarire le differenze
con il dupolio a la Bertrand con prodotti omogenei.
Esercizio 33 (Cournot e Bertrand)
Svolgere gli esercizi 1.4-1.5-1.6-1.7 a pag. 57 del testo “Teoria dei giochi” – Gibbons -.
Esercizio 33 (Bertrand con costi marginali crescenti - da Tirole, pag. 368)
Si consideri un duopolio a la Bertrand con costi marginali crescenti e identici per le due
*
imprese. Mostrare che il prezzo concorrenziale p = C′
con le imprese che si dividono in
*
parti uguali la quantità di concorrenza (ogni impresa produce q , per una quantità totale pari a
*
2q ), non è un equilibrio del gioco (come invece avviene nel duopolio di Bertrand con costi
marginali costanti), e che ad ogni impresa conviene praticare un prezzo più alto. Indicare con
D ( p)
la domanda globale e con C1[ D(
p)
− q2
] la funzione di costo dell’impresa 1 (lo stesso
vale per l’impresa 2).
Soluzione
Matematicamente, il profitto di un’impresa per il prezzo
il prezzo di concorrenza
*
p e produce
*
q è
*
*
[ D(
p)
− q ] − C(
D(
p)
q )
p −
*
p ≥ p , quando l’altra impresa fissa
La derivata di questo profitto rispetto a p , calcolata nel punto
*
p = p , è
* * * *
* *
D ( p ) − q + p D′
( p ) − C′
D(
p ) − q
*
D′
( p ; considerando che
* *
D ( p ) = 2q
e
( ) )

* * ′ ( D(
p ) − ) = 0
*
p − C q (ricorda che in concorrenza prezzo e costo marginale sono uguali)
*
*
tale derivata diventa pari a q , cioè la derivata nel punto p = p è positiva. Questo significa
che se aumento il prezzo i profitti aumentano; è cioè conveniente scegliere un prezzo
superiore a quello di concorrenza. Quindi in corrispondenza del prezzo concorrenziale, il
profitto è localmente crescente rispetto al proprio prezzo.
[alcuni di voi potrebbero obbiettare che un aumento del prezzo spingerebbe l’impresa che lo
pratica fuori dal mercato. Tuttavia questo non avviene; l’intuizione economica sottostante
questo risultato è molto semplice. Nel punto di equilibrio concorrenziale, ciascuna impresa
è sulla propria curva di offerta, che corrisponde al costo marginale (che, ricorda, è
*
crescente), quindi una non può fornire più di q se l’altra aumenta il prezzo – nel duopolio a
la Bertrand tradizionale,invece, se una impresa aumenta il prezzo, si vedrà soffiare tutti i
clienti dall’altra impresa che è in grado di coprire tutta la domanda dato che la funzione dei
costi marginali (cioè la sua offerta) è piatta].
Esercizio 34 (da Tirole pag. 379)
Ci sono tre imprese identiche nel settore industriale: la domanda è 1 − Q dove
Q = q1
+ q2
+ q3
. Il costo marginale è zero.
a) si calcoli l’equilibrio di Cournot;
b) Si dimostri che se due delle imprese si fondono (trasformando il settore in un
duopolio), il profitto di queste imprese diminuisce. Spiegate perché.
Esercizio 35 (da Tirole pag. 380)
Si consideri un duopolio che produce un prodotto omogeneo. L’impresa 1 produce una unità
di prodotto con una unità di lavoro e una unità di materia prima. L’impresa 2 produce una
unità del prodotto con due unità di lavoro e una unità di materia prima. I costi unitari del
lavoro e delle materie prime sono w e r. La domanda è p = 1− q1
− q2
.
Si calcoli l’equilibrio di Cournot. (N.B.: l’unica “difficoltà” sta nel determinare la formula del
costo totale).
Esercizio 36
- Svolgere i passaggi algebrici dell’esercizio a pag. 67 sezione 1.2 del Gibbons (si tratta
del duopolio di Stakelberg);
- Svolgere i passaggi algebrici dell’esercizio a pag. 148 sezione 1.1 del Gibbons (si
tratta di un duopolio a la Cournot con informazione asimmetrica (gioco bayesiano).
Esercizio 37 (oligopolio a la Cournot con n imprese)
Determina le quantità di equilibrio in un oligopolio alla Cournot con n imprese tutte uguali.
La quantità totale è data da Q = q1
+ q 2+
..... + qn
;
La domanda inversa è p( Q)
= a − bQ .
Dimostra che se il numero delle imprese aumenta all’infinito, la quantità prodotta converge a
quella che si produce in concorrenza perfetta.
Svolgimento
Il profitto della generica impresa ammonta a Π ( qi ) = ( a − bQ)
qi
− cqi
; riscritta in forma estesa
l’equazione del profitto diventa Π ( qi ) = ( a − bq1
− bq2
− ....... − bqn
) qi
− cqi
.
Deriviamo la funzione del profitto rispetto alla quantità q i :
∂Π
= ( a − bq1
− .... − 2bqi
∂q
− .... − bqn
) − c = 0 .
i

Riscriviamo la derivata in forma compatta, isolando la variabile decisionale :
n
∑
≠
q j
a − c j i
q i = − .
2b
2
Siccome le quantità sono tutte uguali (dato che le imprese sono tutte identiche) atteniamo
a − c ( n −1)
qi
a − c
qi
= − e quindi qi = .
2b
2
b(
n + 1)
n a − c
La quantità totale è data da Q = ⋅ .
n + 1 b
È interessante confrontare la quantità totale di oligopolio con quella di monopolio e di
concorrenza perfetta.
a c
In monopolio la quantità prodotta dall’impresa è data da q
b
m −
= (basta risolvere il
2
problema del monopolista basandosi sulla domanda inversa proposta nell’esercizio). La
a c
quantità in concorrenza perfetta è data da q
b
cp −
= (basta porre la domanda inversa uguale
al costo marginale).
Si nota subito che se il numero delle imprese oligopolistiche tende ad aumentare, la quantità
totale di oligopolio tende alla quantità di concorrenza perfetta (che è maggiore): infatti
n
lim = 1.
Chiaramente si nota anche che la quantità di monopolio è inferiore a quella di
n→∞
n + 1
oligopolio.
Esercizio 38
Determina l’indice di Lerner per una generica impresa in un oligopolio a la Cournot.
(suggerimento: parti dalla formula del profitto e fai la derivata; quindi arriva con i passaggi
algebrici ad ottenere l’indice di Lerner).
Esercizio 38 (Concentrazione di mercato e collusione – Tirole, pag. 428)
Si consideri un settore nel quale n imprese producono beni omogenei ad un costo marginale
uguale e costante, e si guardi al risultato di collusione completa, in cui tutte le imprese fissano
il prezzo di monopolio e si dividono i profitti in modo equo.
Svolgimento
m
Il profitto per periodo e per impresa è Π n , una funzione decrescente di n. un numero
grande di imprese riduce il profitto per impresa e di conseguenza il costo della punizione per
aver ridotto i prezzi (cioè per aver deviato).
In termini algebrici la condizione per avere cooperazione è
∑
t
∞
=0
t ⎛ Π
δ ⎜
⎝ n
m
⎞
⎟ ≥ Π
⎠
m
1 Π m
Che diventa ≥ Π ; da questa espressione otteniamo che δ ≥ 1− 1 n .
1−
δ n
Il fattore di sconto deve superare 1− 1 n perché la collusione sia sostenibile: in questo senso,
la concentrazione del mercato facilita la collusione tacita.
m

Esercizio 39 (Ritardi di informazione e collusione – Tirole, pag. 429 )
La minaccia di punizione opera solo se questa arriva poco dopo la riduzione di prezzo.
Supponiamo che la deviazione sarà scoperta dalla rivale solo dopo due periodi. Determina la
condizione per avere cooperazione. Supponi che in caso di cooperazione le imprese si
dividano in parti uguali i profitti di monopolio.
Svolgimento
In termini algebrici la condizione per avere cooperazione è
∑ ∞
t=
0
m
t ⎛ Π ⎞ m
δ ⎜
⎟ ≥ Π +
⎝ 2 ⎠
( 1 δ )
Da cui otteniamo la condizione cercata: δ ≥
1
.
2
⎛ 1 ⎞
Quindi la condizione è più rigida di quella del modello classico ⎜δ
≥ ⎟ , poiché
⎝ 2 ⎠
1 1
≥ . In
2 2
questo senso anche i ritardi di informazione possono causare la fine della collusione.
Esercizio 40 (imprese aventi contatti in più mercati – Tirole, pag. 434)
Se le imprese operano in più mercati è più facile che si verifichi collusione. Infatti una guerra
dei prezzi scatenata in un mercato si trasmetterebbe ben presto agli altri mercati, con un
amplificazione delle perdite. Dimostra questa affermazione svolgendo il seguente esercizio: si
ipotizzino due mercati identici e indipendenti, nei quali entrambe le imprese operino, e nei
quali le imprese sono tacitamente accordate sulla spartizione equa dei profitti di monopolio.
Ipotizza anche che il mercato 1 operi in ogni periodo, mentre il mercato 2 ogni due periodi.
Svolgimento
In termini algebrici la condizione per avere cooperazione in entrambi i mercati è
m
2 3 Π
2 4 6
m
( 1+
δ + δ + δ + ..... ) + ( 1+
δ + δ + δ ..... ) ≥ 2Π
m
Π
2
2
Da cui otteniamo 4 2 0
2
δ +δ − ≥ cioè ( δ ≥ 0,
593)
.
L’idea di base di un simile risultato è che la perdita di collusione sul mercato 1 può essere
tanto grande da dissuadere le deviazioni non solo sul mercato 1 ma anche sul 2. Tieni conto
che sul mercato 2 l’incentivo a deviare è molto più forte di quanto non sia sul mercato 1 (se
non sei convinto/a calcola il δ separatamente sul primo e sul secondo mercato).
Esercizio 41 (imprese aventi contatti in più mercati e con ritardi di informazione –
Tirole, pag. 435)
Si considerino due imprese che interagiscono in due mercati identici e indipendenti. I mercati
sono diversi nella misura in cui sul mercato 1 il prezzo di un’impresa al tempo t è osservato al
tempo t + 1,
mentre sul mercato 2 diventa noto solo al tempo t + 2 . Dunque, anche se
entrambi i mercati operano in ogni periodo, il mercato 2 ha ritardi di informazione più lunghi.
1) mostrate che, in assenza di contatti su entrambi i mercati, la collusione sul mercato 2
sarebbe sostenibile se e solo se δ ≥ 1 2 ≈ 0,
71;
(è come nell’esercizio 39).
2) dimostrate che, quando i contatti avvengono su entrambi i mercati, la collusione in
entrambi i mercati è sostenibile se e solo se δ ≥ δ con δ ≈ 0,
64 .

Svolgimento
Il primo punto riprende quanto fatto nell’esercizio 39.
Sviluppiamo il secondo punto; la condizione per la cooperazione in tutti i mercati è la
seguente:
m
m
m
Π 1 Π 1 ⎛ Π m ⎞ m
⋅ + ⋅ ≥ ⎜ + Π ⎟ + 2δΠ
2 1−
δ 2 1−
δ ⎝ 2 ⎠
1 1
Manipolando la formula otteniamo 2 0
2 2
2
δ − δ − ≥ da cui δ ≥ 0,
64 .
Esercizio 42
Si consideri un oligopolio formato da tre imprese identiche. L’unica differenza è nei rispettivi
δ 1 δ 1
fattori di sconto: δ 1 , δ 2 = , δ 3 = con 0 1 1
2 3
≤ ≤ δ . Stabilisci se esiste la possibilità che le
tre imprese colludano tra loro producendo ognuna un terzo della quantità di monopolio.
Soluzione
In generale l’impresa collude se i profitti derivanti dalla collusione superano quelli derivanti
1 m 1 m 2 1 m
m
dalla defezione; cioè se π + δ π + δ π + ........ ≥ π . Si ricordi che se l’impresa
3 3 3
defeziona ottiene nel periodo corrente tutto il profitto di monopolio ma poi, nei periodi
successivi, ottiene profitti nulli.
2
Rielaborando la disuguaglianza otteniamo la condizione δ ≥ .
3
2
δ 1 2
L’impresa 1 collude se δ 1 ≥ ; allo stesso modo l’impresa 2 collude se ≥ cioè se
3
2 3
4
δ 1 ≥ . Ma questa condizione è impossibile visto che 0 < δ < 1 (negli esercizi successivi
3
vedremo che in casi più complicati questa condizione potrebbe non essere così rigida). Quindi
l’impresa 2 non accetterà mai la collusione. Lo stesso vale per l’impresa 3.
Esercizio 43
Considera i dati dell’esercizio precedente: che succede se la domanda cresce ogni periodo ad
un tasso esogeno g ?
Soluzione
1+
g
Il fattore di sconto diventa δ 1 = ; quindi le condizioni per la collusione sono:
1+
r
1+
g
impresa 1 :
1+
r
1+
g
impresa 2:
1+
r
≥
≥
2
3
4
3
1+
g
impresa 3: ≥ 2
1+
r
;
Concentriamo l’attenzione sull’impresa 3 dato che questa ha il δ più basso e quindi è la meno
“propensa” alla collusione. Se lei decide di colludere allora lo faranno anche le altre.

1+
g
Consideriamo ≥ 2 da cui otteniamo g ≥ 1+ 2r
. Quindi se la domanda cresce ad un
1+
r
tasso sufficientemente alto, la terza impresa deciderà di colludere e così faranno le altre due.
Graficamente:
g
1
g = 1+ 2r
L’area tratteggiata rappresenta la “zona” in cui g > 1+ 2r
.
Esercizio 44
Si faccia riferimento ai dati dell’esercizio precedente. Che succede se ad ogni periodo la
domanda si riduce ad un tasso pari a g?
Soluzione
1 1−
g
Adesso il fattore di sconto è dato da δ = ⋅ ;
3 1+
r
1 1−
g 2
Facciamo sempre riferimento alla terza impresa; quindi ⋅ ≥ da cui otteniamo
3 1+
r 3
g ≤ −1−
2r
. Dato che g ed r sono positivi, la disuguaglianza non è mai verificata. Possiamo
dire che la terza impresa non collude mai; ne segue che neanche le altre colluderanno.
Esercizio 45
Si consideri l’esercizio precedente ma con le imprese aventi gli stessi fattori di sconto.
Soluzione
1−
g 2
1 2
In generale possiamo scrivere ≥ da cui otteniamo g ≤ − r . Adesso la collusione è
1+
r 3
3 3
possibile se il tasso di decremento della domanda è sufficientemente piccolo. Graficamente:
g
1
3
r
1
2
r

1 2
L’area tratteggiata indica la “zona” in cui è rispettata la condizione g ≤ − r .
3 3
Esercizio 46
Due imprese identiche (con gli stessi fattori di sconto) devono decidere se colludere o no. Se
colludono si dividono i profitti del monopolio. Se non colludono ottengono profitti nulli. Con
probabilità p la domanda relativa al periodo successivo crescerà ad un tasso g, mentre con
probabilità 1 − p la domanda diminuirà ad un tasso h. Determina il valore critico del fattore di
sconto al di sopra del quale le due imprese decidono di colludere. Chiarisci l’effetto di p su
tale valore critico.
Soluzione
Il fattore di sconto deve tener conto dei tassi di crescita e delle probabilità legate alle
1
1
variazioni della domanda: δ = ( 1+
g)
p + ( 1−
h)(
1−
p)
.
1+
r 1+
r
La collusione è conveniente se il flusso scontato dei profitti derivanti dalla collusione è
maggiore dei profitti derivanti dalla rinuncia alla collusione.
In generale, per ogni impresa deve valere la seguente
1 m 1 m 1 m 2
m
relazione: π + π δ + π δ + ...... ≥ π .
2 2 2
Ricorda che se l’impresa decide di deviare dalla collusione ottiene subito la totalità dei profitti
di monopolio, ma poi profitti nulli in tutti i periodi successivi. (L’ipotesi forte che noi
facciamo è che, pur variando la domanda, i profitti di monopolio non variano – lo stesso vale
anche per gli esercizi precedenti che considerano variazioni della domanda).
1
1
1
Risolvendo la condizione otteniamo δ ≥ che diventa ( 1+
p(
g + h)
− h)
≥ ; si vede
2
1+
r
2
subito che un p più alto produce un aumento del fattore di sconto rendendo più probabile la
collusione tra le due imprese.
Esercizio 47
Si consideri il seguente gioco (dilemma del prigioniero):
a b
A 1,1 5,0
B 0,5 4,4
Dopo aver determinato l’equilibrio di Nash determina la condizione necessaria affinché i due
giocatori cooperino.
Soluzione
L’equilibrio di Nash è la combinazione di strategie ( A, a)
; tuttavia se i due giocatori
cooperassero potrebbero accordarsi per giocare la combinazione ( B, b)
. Sappiamo che questa
seconda combinazione non costituisce equilibrio perché ogni giocatore ha forti incentivi a
deviare.
Ripetendo il gioco un numero infinito di volte è possibile stabilire la condizione necessaria
affinché i giocatori cooperino tra di loro. Come abbiamo già analizzato negli esercizi
precedenti, la cooperazione sarà praticata se vale la seguente condizione:
2
2
4 + δ
⋅ 4 + δ ⋅ 4 + ...... ≥ 5 + δ ⋅1
+ δ ⋅1
+ ......

4 δ
1
cioè ≥ 5 + da cui si ottiene la condizione cercata: δ ≥ .
1−
δ 1−
δ
4
La conclusione è che i due giocatori trovano conveniente cooperare (cioè giocare la “trigger
1
strategy” o strategia del grilletto) se δ ≥ .
4
Esercizio (+ considerazioni) 48
Due imprese identiche devono decidere se colludere o no. In ogni periodo il gioco tra le due
imprese potrebbe terminare con probabilità p.
Determina la condizione necessaria per la cooperazione.
Soluzione
Il meccanismo è quello visto negli esercizi precedenti. Il fattore di sconto è dato da
m 1−
p
1 m 1 m 1 2 m
m
δ = π . Quindi la condizione π + δπ + δ π + ..... ≥ π considera sia il
1+
r
2 2 2
valore scontato dei profitti futuri che la probabilità che il gioco possa finire in uno qualsiasi
dei periodi futuri.
(N.B. in tutti gli esercizi svolti fino ad ora abbiamo sempre considerato imprese che si
dividono i profitti di monopolio; ci potrebbero essere casi in cui i profitti cambiano da periodo
a periodo……ad esempio, quando abbiamo considerato la domanda che cresceva/diminuiva
nei periodi successivi, dovevamo anche considerare un cambiamento nei livelli dei profitti di
monopolio; per semplicità abbiamo continuato a tenere fisso il profitto ad uno stesso livello
m
π ).
Esercizio 49 (modello di Hotelling – esercizio estratto da – “Games and Information – di
Eric rasmusen)
Si considerino due imprese identiche ( a, b)
posizionate rispettivamente in x a e x b . I
consumatori si distribuiscono in modo uniforme tra 0 e 1. I costi di trasporto sono pari a θ . Si
determini:
a) la condizione sotto la quale il mercato è interamente catturato dall’impresa b;
b) la condizione sotto la quale il mercato è catturato dall’impresa a;
c) le domande relative alle due imprese e i prezzi praticati.
Soluzione
La situazione può essere rappresentata come segue:
x a x
b
0 1
L’impresa b conquisterà l’intero mercato se anche il consumatore 0 sceglierà di acquistare da
b pur essendo più vicino ad a.
N.B. ogni punto lungo l’asse rappresenta un consumatore che dovrà acquistare una unità del
bene da una delle due imprese.
Il giocatore 0 acquisterà da b se i costi che sostiene acquistando da b sono inferiori a quelli
che sosterrebbe se acquistasse da a: cioè se θ x b + pb
< θxa
+ pa
da cui otteniamo
pa − pb
> θ ( xb
− xa
) .
Allo stesso modo ricaviamo la condizione in base alla quale tutto il mercato è conquistato
dall’impresa a. in tale caso deve valere la condizione per cui anche il giocatore 1 preferisca

acquistare da a. Cioè deve essere valida la seguente condizione:
θ 1− x + p > θ 1−
x + p . Tale condizione può essere riscritta nel seguente modo:
( b ) b ( a ) a
− p > θ ( x x ) .
p −
b
a
b
a
Per calcolare la domanda relativa alle due imprese si deve individuare il consumatore che è
indifferente rispetto all’acquisto da una delle due imprese. Una volta individuato sapremo che
tutti i consumatori alla sua sinistra compreranno dall’impresa a mentre gli altri compreranno
dall’impresa b (sempre che una delle due non catturi l’intero mercato).
Per il consumatore indifferente (che indichiamo con *
x - si può dimostrare che tale
consumatore è posizionato tra le due imprese) deve valere la seguente condizione:
*
*
θ x − x + p = θ x − x + p .
( a ) a ( b ) b
1
2θ
b a
rappresenta la domanda per l’impresa a mentre
*
Rielaborandola otteniamo x = [ ( p − p ) + θ ( x + x ) ]
a
b
. È facilmente intuibile che *
x
*
1− x è la domanda relativa all’impresa b.
Per ricavare i prezzi praticati dalle due imprese si deve procedere con una normale
massimizzazione dei profitti. L’impresa a deve massimizzare i seguenti profitti (i costi non
sono considerati): a x pa
*
Π = ; mentre l’impresa b massimizza b ( x ) pb
*
Π = 1− .
Cominciamo con la prima impresa:
1
Π a =
θ
2θ
[ ( p b − pa
) + ( xa
+ xb
) ] pa
∂Π
a 1
1 1
⇒ b a
a b
∂p
2θ
2 2θ
a
( p − p ) + ( x + x ) − p = 0
da cui otteniamo p = p + ( x + x )
Consideriamo l’impresa b.
a
1 θ
2
b
2
1
Π b = p b −
θ +
2θ
[ ( pb
− pa
) + ( xa
xb
) ] pb
∂Π
b 1
1 1
⇒ 1 − b a
a b
b =
∂p
2θ
2 2θ
b
( p − p ) + ( x + x ) − p 0
da cui otteniamo p = + p + ( x + x )
b
1 θ
θ a a b .
2 2
a
b
a
.
Adesso basterà mettere a sistema le due equazioni dei prezzi per ottenere i seguenti valori:
p
a
= θ
( 2 + xa
+ xb
)
;
3
p
b
( − x − x )
4 a b
=
3
θ
.

Esercizio 50
Studia l’equilibrio del modello di Hotelling considerando costi lineari e le imprese collocate
negli estremi.
Soluzione
Per determinare la domanda per l’impresa 1 dobbiamo porre la seguente uguaglianza:
p2
− p1
+ t
p1 + tx = p2
+ t(
1−
x)
da cui otteniamo x = D1
= . La domanda per l’impresa 2 è
2t
p2
− p1
+ t
data da 1 − x ; quindi 1−
x = D2
=
(noterai che le funzioni di domanda sono
2t
uguali a quelle trovate nel caso di costi quadratici – vedi esercizio svolto in classe). La
soluzione quindi è identica a quella dell’esercizio svolto in classe. I prezzi di equilibrio
saranno pari a p 1 = p2
= c + t e le imprese si divideranno il mercato a metà. I profitti sono
Π 1 = Π 2 = t 2 .
N.B.: la presenza di costi lineari non crea problemi se le imprese sono situate agli estremi;
vedremo negli esercizi successivi (esercizio 52) che se le imprese si posizionano all’interno
dell’intervallo allora è conveniente scegliere costi quadratici onde evitare problemi con la
funzione di domanda..
Esercizio 51
Studia l’equilibrio del modello di Hotelling con le imprese collocate nello stesso punto.
Soluzione
Fino ad ora abbiamo considerato il caso limite in cui le imprese si trovino il più lontano
possibile l’una dall’altra. L’altro caso limite è quello in cui esse producano lo stesso bene,
cioè siano situate nello stesso punto (chiamiamolo x 0 ) e i loro beni siano perfetti sostituti.
Quindi, la domanda per l’impresa 1 è ottenuta dalla seguente uguaglianza (ma lo stesso vale
per l’impresa 2): p1 + t x − x0
= p2
+ t x − x0
; il valore assoluto della differenza tra la
posizione del consumatore generico e quella dell’impresa significa che tale differenza viene
considerata sempre con il segno positivo anche se x > x . Si poteva anche utilizzare la
seguente uguaglianza: ( ) ( ) 2
2
p t x − x = p + t x − x
1
0
2
0
0
+ . Comunque tale uguaglianza diventa
p 1 = p2
, cioè i costi legati alla distanza sono irrilevanti dato che le imprese sono nello stesso
punto. Quindi siamo tornato alla concorrenza a la Bertrand; l’equilibrio sarà p 1 = p2
= c e
Π = Π = 0 .
1
2
Esercizio 52 (Hotelling con scelta del posizionamento)
Supponiamo che le due imprese debbano prima decidere dove posizionarsi e poi scegliere i
prezzi. Indichiamo con a > 0 la posizione scelta dall’impresa 1 e con 1 − b con b > 0 quella
scelta dall’impresa 2 (senza perdere di generalità, 1 − a − b > 0 - l’impresa 1 è alla sinistra
dell’impresa 2). Considera costi quadratici. Determina: 1) la domanda per ogni impresa; 2) le
funzioni dei prezzi ottimi; 3) chiarisci la procedura per determinare il posizionamento ottimo.
Soluzione
Il modello è un gioco dinamico che può essere risolto con l’induzione all’indietro. Quindi
prima calcoliamo le funzioni (strategie) che rappresentano la scelta del prezzo ottimo; e poi
determiniamo la posizione ottima delle imprese, in base alle funzioni dei prezzi ottimi appena
trovate.

Consideriamo l’impresa 1: la sua domanda si calcola partendo dall’uguaglianza
( ) ( ( ) ) 2
2
1+ a − b p2
− p1
p1 + t x − a = p2
+ x − 1− b . Otteniamo x = D1
= +
. La domanda
2 2t(
1−
a − b)
1−
a + b p1
− p2
per l’impresa 2 è data 1−
x = D2
= +
.
2 2t(
1−
a − b)
Ora si deve massimizzare il profitto di ogni impresa, derivando rispetto il prezzo e tenendo
conto della funzione di domanda (ricorda che stiamo applicando l’induzione all’indietro).
Le funzioni dei profitti sono
( )
( ) ⎟
⎛1
+ a − b p2
− p1
⎞
Π1
= p1
− c ⎜ +
e ( )
⎝ 2 2t
1−
a − b ⎠
( ) ⎟
⎛1
− a + b p1
− p2
⎞
Π 2 = p2
− c ⎜ +
; derivando
⎝ 2 2t
1−
a − b ⎠
i profitti rispetto ai rispettivi prezzi e mettendo a sistema tali derivate si ottengono i prezzi di
equilibrio (ricorda che sono delle funzioni, dato che tali prezzi ottimi varieranno al variare del
posizionamento che ogni impresa sceglie nel primo stadio del gioco).
I prezzi di equilibrio sono:
*
⎛ a − b ⎞
p1
( a,
b)
= c + t(
1−
a − b)
⎜1+
⎟
⎝ 3 ⎠
*
⎛ b − a ⎞
p2
( a,
b)
= c + t(
1−
a − b)
⎜1+
⎟
⎝ 3 ⎠
A questo punto rimane da determinare la collocazione ottima per ogni impresa; il
posizionamento ottimo viene determinato massimizzando i profitti rispetto alla rispettiva
collocazione.
Limitandoci solo all’impresa 1:
*
*
*
Π 1(
a, b)
= ( p1
( a,
b)
− c)
D1[
a,
b,
p1
( a,
b)
, p2
( a,
b)]
dove D 1 è la domanda che abbiamo trovato all’inizio dell’esercizio, con la differenza che al
posto dei prezzi abbiamo sostituito i prezzi di equilibrio. Per trovare il posizionamento di
equilibrio “basterà” derivare il profitto rispetto ad a.
La soluzione di questa massimizzazione è lasciata come esercizio algebrico (non è difficile
ma abbastanza lunga) - (non sarà richiesta all’esame – comunque D’Aspremont (1979)
dimostra che il posizionamento ottimo sarà agli estremi della “città lineare”, cioè a = 0 e
1 − b = 1 - massima differenziazione).
Esercizio 53 (applicazione del teorema dell’inviluppo - rientra nella parte d’esame
facoltativa)
Applicando il teorema dell’inviluppo ricava “l’effetto domanda” e “l’effetto strategico”
derivanti da variazioni del posizionamento.
Soluzione
Il teorema dell’inviluppo ci permette di calcolare Π ∂a
⎛
⎜
*
Quindi ( ) ⎜ ∂D1
∂Π1
∂a
= p1
− c
⎜ { ∂a
⎜ effetto
⎝
domanda
⎞
* ⎟
∂D1
∂p2
+ ⎟
∂p
∂ ⎟
2 a
14243 ⎟
effetto strategico⎠
∂ 1 senza calcolare la derivata ∂ p ∂a
*
1
.

Dai dati dell’esercizio precedente si ottiene:
∂D
∂a
1
3 − 5a
− b
=
6
( 1−
a − b)
*
∂D1
∂p2
− 2 + a
= .
∂p2
a 3(
1−
a − b)
Sostituendo queste espressioni nella derivata del profitto si dimostra che ∂Π1 ∂a
< 0 , cioè
l’impresa 1 tende ad allontanarsi dall’impresa 2 (e viceversa)….l’effetto strategico prevale
sull’effetto domanda.
Esercizio 54
Si consideri un’industria che produca un solo bene, con curva di costo medio ad U.
Supponiamo che la curva di domanda intersechi la curva del costo medio leggermente a destra
della scala minima efficiente. Con un grafico mostrate che non esiste una allocazione
sostenibile.
Soluzione
La situazione è rappresentata nella figura seguente:
Sia { } c c C p , q
*
= il punto in cui la curva dei costi medi interseca la curva di domanda, sia q
*
la scala più efficiente e p il costo medio minimo. Un’allocazione che eguagli domanda e
offerta e permetta di ottenere profitti deve stare sulla curva di domanda a nord-ovest di C. in
c
particolare il prezzo di mercato deve essere (debolmente) superiore a p . Supponiamo ora
e
* c
*
che una nuova impresa entri con un prezzo p compreso tra p e p , e produca q q
e = .
e
Cioè la nuova impresa raziona i consumatori in corrispondenza del p . Dato che il prezzo
fissato dalla nuova impresa è strettamente superiore al suo costo medio (che è *
p ), essa
ottiene profitti strettamente positivi e l’allocazione iniziale non è sostenibile. Quindi non
esiste allocazione sostenibile.
Esercizio 55 (Barriere all’entrata e scelta di capitale)
Si consideri un settore con due imprese. L’impresa 1 (impresa operante sul mercato) sceglie
un livello di capitale 1 K che è fisso. L’impresa 2 (la potenziale entrante) osserva K 1 e poi
sceglie il proprio livello di capitale K 2 che è anch’esso fisso. I profitti delle imprese sono
specificati da Π 1(
K1, K 2 ) = K1(
1−
K1
− K 2 ) e Π 2 ( K1, K 2 ) = K 2 ( 1−
K1
− K 2 ) . Determina i
valori di equilibrio di K 1,
2 .
p
c
p
e
p
*
p
*
q q
e =
c
q
C
q
e

Soluzione
Il gioco fra le due imprese è un gioco a due stadi. L’impresa 1 deve anticipare la reazione
dell’impresa 2 al livello di capitale K 1 . La massimizzazione del profitto da parte dell’impresa
1− K1
2 richiede che K 2 = . L’impresa 1 massimizza dunque Π1
2
⎛ 1−
K1
⎞
= K 1⎜1
− K1
− ⎟ da
⎝ 2 ⎠
cui possiamo determinare l’equilibrio perfetto di Nash:
K = 2;
K = 1 4;
Π = 1 8;
Π = 1 16
1
1 2
1
2
Esercizio 56
Riprendi l’esercizio precedente e invece di far muovere le imprese in sequenza sviluppa il
modello considerando mosse simultanee. Confronta la soluzione con quella ottenuta nel caso
di mosse sequenziali.
Esercizio 57
Con riferimento all’esercizio precedente, per quale valore di K 1 l’impresa due deciderà di
non entrare nel mercato?
Esercizio 58
Supponiamo che le imprese debbano costruire un numero intero di impianti: 0,1,2,….
Costruire n impianti costa 3 , 5n
. Ciascun impianto produce una unità di prodotto, non ci sono
costi variabili ed il prezzo di mercato è p = 6 − K , dove K è la capacità totale dell’industria
(numero di impianti). A) dimostrate che un monopolista installerà un solo impianto. B)
Considerate due duopolisti che scelgano simultaneamente il numero di impianti, 1 K e K 2 .
Sia p = 6 − K1
− K 2 . Dimostrate che, nell’equilibrio di Cournot, ciascuna impresa costruisce
un solo impianto.