appunti di geometria solida - Liceo Statale Aprosio

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• Una retta e un punto che non appartiene alla retta • Due rette parallele e distinte Teorema: se due piani distinti hanno in comune due punti A e B, allora hanno in comune tutta la retta AB e solo questa retta Definizione: si dicono incidenti (o secanti) due piani che hanno in comune una (sola) retta Teorema: due piani distinti aventi in comune un punto, sono incidenti lungo una retta che passa per quel punto Definizione due piani si dicono paralleli quando non hanno alcun punto in comune, oppure quando sono coincidenti. Proprietà P1 per un punto dello spazio si può condurre uno e un solo piano parallelo ad un piano dato P2 due piani paralleli ad un terzo piano sono paralleli tra loro P3 Se due piani sono paralleli ogni piano che taglia l’uno taglia anche l’altro e le due rette di intersezione sono parallele P4 (teorema di Talete nello spazio) Tre o più piani paralleli determinano su due trasversali qualunque due classi di segmenti direttamente proporzionali RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Caso 1: se una retta ha in comune due punti con un piano allora giace completamente sul piano Caso 2: se una retta ha in comune un solo punto con un piano si dice che è incidente al piano Caso 3: esistono rette che non hanno alcun punto in comune con un piano. Teorema: Una retta parallela ad una retta di un piano e passante per un punto esterno ad esso non ha alcun punto in comune con il piano. Definizione: una retta si dice parallela ad un piano se giace sul piano o non ha alcun punto in comune con il piano Proprietà: P1: date due rette parallele ogni piano passante per una di esse è parallelo all’altra P2: dati una retta e un piano paralleli che non si appartengono, ogni piano passante per la retta e incontrante il piano dato, taglia questo secondo una retta parallela alla data P3: dati una retta s e un piano α paralleli la parallela ad s condotta da un punto P del piano α giace su questo P4: se due piani sono paralleli ogni retta parallela all’uno è parallela anche all’altro, mentre ogni retta che ne incontra uno incontra anche l’altro P5: Se ad un piano, per un punto esterno, si conducono due parallele, il piano formato da queste due rette non ha punti in comune con il piano dato Teorema: se ad una retta r per un suo punto P si conducono due perpendicolari a e b, allora risulta perpendicolare ad r anche ogni altra retta che passi per P e giaccia sul piano 2
α individuato dalle rette a e b; Inoltre le infinite perpendicolari ad una retta r, in un suo punto P, giacciono tutte in uno stesso piano. Definizione: una retta r e un piano α aventi un punto P in comune si dicono tra loro perpendicolari quando la retta r è perpendicolare a tutte le rette del piano α passanti per P; il punto P si dice piede della perpendicolare sul piano. Osservazione: dal precedente teorema discende che una retta è perpendicolare ad un piano se lo incontra e se è perpendicolare a due rette del piano passanti per loro punto comune e viceversa Teorema delle tre perpendicolari: Se dal piede di una perpendicolare ad una piano α si conduce la perpendicolare a una qualsiasi retta r del piano α, quest’ultima retta risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due rette. Dimostrazione: sia a la perpendicolare al piano α; Dal suo piede Q si conduca la retta c perpendicolare alla retta r di α. Si vuole dimostrare che la retta r è perpendicolare al piano β individuato da a e da c. Se la retta r passa per il punto Q il teorema è dimostrato perché il piano β contenendo le rette a e c entrambe perpendicolari in Q alla retta r, è perpendicolare a questa retta. Se invece r non passa per Q sia C il punto di intersezione di r con c e prendiamo su r due punti A e B da parti opposte di C e tali che C sia il punto medio del segmento AB; si congiungano tali punti con Q e con un altro punto P qualunque della retta a. Nel piano α la retta c è asse del segmento AB perciò QA e QB sono congruenti. Allora i triangoli rettangoli PQA e PQB sono congruenti avendo i cateti rispettivamente congruenti. Allora PA è congruente a PB e nel triangolo isoscele ABP la retta PC (del piano β), che è mediana della base, è anche altezza, quindi è perpendicolare alla retta AB. Dunque la retta r, essendo perpendicolare alle rette c e CP di β è perpendicolare a β. C.v.d. Teorema: Per ogni punto P dello spazio passa: • Una e una sola perpendicolare ad un dato piano α • Uno e un solo piano perpendicolare a una retta data Teorema: due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono tra loro parallele. 3
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