appunti di geometria solida - Liceo Statale Aprosio

APPUNTI DI GEOMETRIA SOLIDA
Geometria piana: (planimetria) studio delle figure i cui punti stanno tutti su un piano
Geometria solida: (stereometria) studio delle figure i cui punti non giacciono tutti su uno
stesso piano (figure solide)
Spazio: insieme costituito da infiniti elementi detti punti: è dotato di sottoinsiemi propri
(rette e piani)
Spazio piano e retta sono gli elementi primitivi della geometria.
RETTE (assiomi)
A1 ogni retta è un sottoinsieme proprio infinito dello spazio, individuato da una coppia di
punti distinti
A2 ogni retta è dotata di due versi, uno opposto all’altro rispetto ai quali è aperta, densa e
illimitata
A3 ogni piano è sottoinsieme proprio infinito dello spazio individuato da tre punti non
allineati. Se una retta ha due punti in comune con un piano essa è inclusa nel piano
Conseguenze dei tre assiomi:
C1 per una retta r e per un punto P non appartenente a r passa uno e un solo piano cui
entrambi appartengono
C2 Per due rette incidenti passa uno e un solo piano
A4 (assioma di partizione del piano) Ogni retta r di un piano divide l’insieme degli ulteriori
suoi punti in due parti non vuote, tali che:
• Se i punti A e B appartengono a parti diverse il segmento AB taglia la retta r in un
punto
• Se i punti C e D appartengono alla stessa parte, allora anche il segmento CD è
incluso in questa
RETTE (nello spazio)
RETTE INCIDENTI: hanno un solo punto in comune (giacciono sullo stesso piano)
RETTE PARALLELE : o sono coincidenti o giacciono sullo stesso piano e non hanno punti
in comune (individuano un piano)
RETTE SGHEMBE : non giacciono sullo stesso piano (non hanno quindi alcun punto in
comune e non esiste un piano che le contenga entrambe)
SPAZIO (assiomi)
A5 (assioma di partizione dello spazio): Ogni piano α dello spazio lo divide in due parti non
vuote tali che:
• Se i punti A e B appartengono a parti opposte, allora il segmento AB taglia il piano
α in un punto
• Se i punti C e D appartengono alla stessa parte, allora anche il segmento CD è
tutto incluso in questa parte
Definizione: si chiama semispazio la figura costituita da una di queste due parti e dal piano
α che si dice bordo (o confine o frontiera) dei due semispazi
PIANI (nello spazio)
Nello spazio un piano è individuato da:
• Tre punti non allineati
• Due rette incidenti
1

• Una retta e un punto che non appartiene alla retta
• Due rette parallele e distinte
Teorema: se due piani distinti hanno in comune due punti A e B, allora hanno in comune
tutta la retta AB e solo questa retta
Definizione: si dicono incidenti (o secanti) due piani che hanno in comune una (sola) retta
Teorema: due piani distinti aventi in comune un punto, sono incidenti lungo una retta che
passa per quel punto
Definizione due piani si dicono paralleli quando non hanno alcun punto in comune, oppure
quando sono coincidenti.
Proprietà
P1 per un punto dello spazio si può condurre uno e un solo piano parallelo ad un
piano dato
P2 due piani paralleli ad un terzo piano sono paralleli tra loro
P3 Se due piani sono paralleli ogni piano che taglia l’uno taglia anche l’altro e le
due rette di intersezione sono parallele
P4 (teorema di Talete nello spazio) Tre o più piani paralleli determinano su due
trasversali qualunque due classi di segmenti direttamente proporzionali
RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
Caso 1: se una retta ha in comune due punti con un piano allora giace completamente sul
piano
Caso 2: se una retta ha in comune un solo punto con un piano si dice che è incidente al
piano
Caso 3: esistono rette che non hanno alcun punto in comune con un piano.
Teorema: Una retta parallela ad una retta di un piano e passante per un punto esterno ad
esso non ha alcun punto in comune con il piano.
Definizione: una retta si dice parallela ad un piano se giace sul piano o non ha alcun punto
in comune con il piano
Proprietà:
P1: date due rette parallele ogni piano passante per una di esse è parallelo all’altra
P2: dati una retta e un piano paralleli che non si appartengono, ogni piano passante
per la retta e incontrante il piano dato, taglia questo secondo una retta parallela
alla data
P3: dati una retta s e un piano α paralleli la parallela ad s condotta da un punto P
del piano α giace su questo
P4: se due piani sono paralleli ogni retta parallela all’uno è parallela anche all’altro,
mentre ogni retta che ne incontra uno incontra anche l’altro
P5: Se ad un piano, per un punto esterno, si conducono due parallele, il piano
formato da queste due rette non ha punti in comune con il piano dato
Teorema: se ad una retta r per un suo punto P si conducono due perpendicolari a e b,
allora risulta perpendicolare ad r anche ogni altra retta che passi per P e giaccia sul piano
2

α individuato dalle rette a e b; Inoltre le infinite perpendicolari ad una retta r, in un suo
punto P, giacciono tutte in uno stesso piano.
Definizione: una retta r e un piano α aventi un punto P in comune si dicono tra loro
perpendicolari quando la retta r è perpendicolare a tutte le rette del piano α passanti per P;
il punto P si dice piede della perpendicolare sul piano.
Osservazione: dal precedente teorema discende che una retta è perpendicolare ad un
piano se lo incontra e se è perpendicolare a due rette del piano passanti per loro punto
comune e viceversa
Teorema delle tre perpendicolari: Se dal piede di una perpendicolare ad una piano α si
conduce la perpendicolare a una qualsiasi retta r del piano α, quest’ultima retta risulta
perpendicolare al piano individuato dalle prime due rette.
Dimostrazione: sia a la perpendicolare al piano α; Dal suo piede Q si conduca la retta c
perpendicolare alla retta r di α. Si vuole dimostrare che la retta r è perpendicolare al piano
β individuato da a e da c. Se la retta r passa per il punto Q il teorema è dimostrato perché
il piano β contenendo le rette a e c entrambe perpendicolari in Q alla retta r, è
perpendicolare a questa retta. Se invece r non passa per Q sia C il punto di intersezione di
r con c e prendiamo su r due punti A e B da parti opposte di C e tali che C sia il punto
medio del segmento AB; si congiungano tali punti con Q e con un altro punto P qualunque
della retta a. Nel piano α la retta c è asse del segmento AB perciò QA e QB sono
congruenti. Allora i triangoli rettangoli PQA e PQB sono congruenti avendo i cateti
rispettivamente congruenti. Allora PA è congruente a PB e nel triangolo isoscele ABP la
retta PC (del piano β), che è mediana della base, è anche altezza, quindi è perpendicolare
alla retta AB. Dunque la retta r, essendo perpendicolare alle rette c e CP di β è
perpendicolare a β. C.v.d.
Teorema: Per ogni punto P dello spazio passa:
• Una e una sola perpendicolare ad un dato piano α
• Uno e un solo piano perpendicolare a una retta data
Teorema: due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono tra loro parallele.
3

DIEDRI E PIANI PERPENDICOLARI
Definizione: Si chiama diedro ciascuna delle due parti in cui lo spazio è diviso da due
semipiani aventi lo stesso bordo, inclusi i due semipiani.
I due semipiani si chiamano facce del diedro, le due facce costituiscono il contorno (o la
superficie) del diedro; la retta comune alle due facce si chiama costola (o spigolo) del
diedro.
Definizione: Si chiama sezione normale di un diedro l’angolo che risulta dall’intersezione
del diedro con un piano perpendicolare allo spigolo.
Proprietà:
P1: due sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti
P2: diedri congruenti hanno sezioni normali congruenti e viceversa.
Definizione: un diedro si dice retto, acuto, ottuso, se tale è la sua sezione normale; un
diedro si dice piatto, giro, nullo, convesso, concavo se tale è la sua sezione normale.
Definizione: due piani incidenti si dicono tra loro perpendicolari quando formano quattro
diedri retti.
Proprietà:
P1: Se una retta r e un piano α sono perpendicolari, ogni piano passante per r è
perpendicolare ad α.
P2: Se due piani α e β sono tra loro perpendicolari, la perpendicolare condotta da
un punto P di β alla retta r (intersezione tra α e β), è perpendicolare al piano α e
appartiene a β
P3: se due piani incidenti α e β sono perpendicolari al piano γ, allora anche la retta r
di intersezione tra questi due piani è perpendicolare a γ
P4: Se r è una retta non perpendicolare al piano α esiste uno ed un solo piano
passante per r e perpendicolare ad α
Definizione: nello spazio due punti A e A’ si dicono simmetrici rispetto ad un piano α,
quando il segmento AA’ è perpendicolare al piano α e il suo punto medio O sta su α
Definizione: due figure dello spazio si dicono simmetriche rispetto a un piano, quando i
punti dell’una sono i simmetrici dei punti dell’altra
Definizione: si chiama similitudine dello spazio ogni corrispondenza biunivoca fra i punti
dello spazio che trasforma segmenti in segmenti proporzionali.
POLIEDRI
Definizione: dati un poligono convesso con n lati (n≥3) e un punto V esterno al suo piano,
si chiama angoloide (o piramide indefinita) di vertice V la figura formata da tutte le
semirette di origine V che passano per i diversi punti del dato poligono
Osservazioni:
• Se n = 3 l’angoloide si chiama triedro
4

• Le semirette VA, VB, VC,… si dicono spigoli dell’angoloide, gli angoli AVB,
BVC,…si chiamano facce dell’angoloide
• L’insieme di tutte le facce si chiama contorno o superficie dell’angoloide
• Un angoloide è una figura convessa e illimitata
Proprietà:
P1: in un angoloide ogni faccia è minore della somma delle altre.
P2: In un angoloide la somma di tutte le facce è minore di una angolo giro
Teorema (delle sezioni piane): Le sezioni di un angoloide con due piani parallele non
passanti per il vertice sono due poligono simili che hanno i perimetri proporzionali alle
distanze dai piani dal vertice e le aree proporzionali ai quadrati delle stesse distanze.
Definizione: dati un poligono convesso di un numero qualsiasi di lati (n) e una retta r
incidente il suo piano, si chiama prisma indefinito la figura formata da tutte le rette
parallele ad r che passano per i punti del dato poligono.
Osservazioni:
• Le rette che passano per i vertici del poligono si dicono spigoli del prisma indefinito
e sono tutte parallele tra loro
• Se un piano taglia uno spigolo allora taglia anche tutti gli altri e il poligono che si
ottiene si chiama sezione del prisma
Teorema: Due sezioni parallele qualsiasi, in particolare due sezioni normali di un
medesimo prisma indefinito sono congruenti.
Definizione: si dice prisma finito (o semplicemente prisma) la parte di un prisma indefinito
compresa tra due sezioni parallele
Osservazioni:
• Le sezioni parallele si dicono basi del prisma e sono congruenti
• I lati delle sezioni si dicono spigoli di base e i vertici di essi si dicono vertici del
prisma
• I parallelogrammi secondo cui i piani delle due basi tagliano le facce del prisma
indefinito si dicono facce laterali del prisma; gli spigoli comuni a due facce laterali si
dicono spigoli laterali del prisma
• L’insieme di tutte le facce laterali si dice superficie laterale del prisma; la superficie
laterale e le due basi si dicono superficie totale del prisma
• La distanza tra i piani delle due basi si dice altezza
• Un prisma si dice triangolare, quadrangolare, pentagonale, ecc.. a seconda che le
sue basi siano triangoli, quadrilateri, pentagoni, ecc…
• Si dice diagonale del prisma un segmento congiungente due vertici non
appartenenti ad una stessa faccia
• Un prisma si dice retto quando gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle
due basi
• Un prisma retto si dice regolare quando le basi sono poligoni regolari; in questo
caso le facce laterali sono tutte rettangoli congruenti.
5

Definizione: si chiama parallelepipedo un prisma le cui basi sono parallelogrammi; si dice
retto quando gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi, obliquo in caso
contrario.
Definizione: si chiama parallelepipedo rettangolo un parallelepipedo retto le cui basi sono
rettangoli
Teorema: in un parallelepipedo rettangolo la misura della diagonale vale
dove a, b, c sono le misure delle sue dimensioni.
2 2 2
d = a + b + c
Definizione: si dice cubo (o esaedro) un parallelepipedo rettangolo nel quale siano
congruenti i tre spigoli che concorrono in uno stesso vertice. In tal caso d = l 3 dove l è la
lunghezza dello spigolo.
AREA DELLA SUPERFICIE DI UN PRISMA RETTO
Area laterale: A = 2 ph (dove h è l’altezza e 2p il perimetro di base)
l
Area totale: A = A + 2A
(dove Ab è l’area di una base)
t l b
AREA DELLA SUPERFICIE DI UN PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO
A = 2 ab + ac + bc (dove a, b, c sono le dimensioni)
Area totale: ( )
t
AREA DELLA SUPERFICIE DI UN CUBO
2
Area totale: A = 6l
(dove l è la lunghezza dello spigolo)
t
VOLUME DI UN PRISMA V = Ab ⋅ h
VOLUME DI UN PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO V = a ⋅b ⋅ c
VOLUME DI UN CUBO
3
V =
l
6

Definizione: si chiama piramide la parte di angoloide situata in un semispazio che ne
contenga il vertice e il cui bordo incontri tutti gli spigoli.
Osservazioni:
• Il poligono dato si dice base della piramide e il punto V si dice vertice della
piramide; i vertici e i lati della base si dicono vertici e spigoli di base.
• I segmenti che congiungono il vertice della piramide con i vertici della base si
dicono spigoli laterali della piramide
• I triangoli che hanno come base uno spigolo di base e come vertice il vertice della
piramide si dicono facce laterali; la loro unione si dice superficie laterale della
piramide; l’insieme di tutte le facce della piramide (laterali + base) si dice superficie
totale.
• Si chiama altezza della piramide la distanza del vertice dal piano della base.
• Una piramide si dice triangolare, quadrangolare, pentagonale, ecc.. se la sua base
è rispettivamente un triangolo, un quadrilatero, un pentagono, ecc.
Definizione: una piramide si dice retta quando nella sua base si può inscrivere una
circonferenza il cui centro è il piede dell’altezza della piramide.
Proprietà: tutte le facce laterali di una piramide hanno altezze congruenti che prendono il
nome di apotema della piramide.
Definizione: una piramide si dice regolare se è retta e ha per base un poligono regolare.
Proprietà:
P1: in una piramide regolare gli spigoli laterali sono congruenti tra loro
P2: in una piramide regolare le facce laterali sono triangoli isosceli fra loro
congruenti
P3: in una piramide regolare i diedri laterali sono congruenti tra loro; anche i diedri
della base sono congruenti tra loro
un piano parallelo al piano della base B di una piramide che non passa per il suo vertice
ne incontra tutti gli spigoli laterali e divide la piramide in due parti: la parte che contiene il
vertice è una nuova piramide di base B’ simile alla base B (teorema delle sezioni piane); la
parte che contiene la base B prende il nome di tronco di piramide di basi B e B’; la
distanza tra le due basi si chiama altezza del tronco di piramide
osservazione: se la piramide da cui si ottiene il tronco è retta o regolare, tale sarà anche il
tronco; se il tronco è regolare le sue facce laterali sono trapezi isosceli tutti congruenti e la
loro altezza si dice apotema del tronco.
AREA DELLA SUPERFICIE DI UNA PIRAMIDE RETTA
2 p ⋅a
Area laterale: Al
= (dove a è l’apotema e 2p il perimetro di base)
2
A = A + A (dove Ab è l’area di base)
Area totale: t l b
AREA DELLA SUPERFICIE DI UN TRONCO DI PIRAMIDE REGOLARE
2 p + 2 p '
Area laterale: Al = ⋅ a (dove a è l’apotema e 2p e 2p’ i perimetri delle basi)
2
Area totale: At = Al + Ab + Ab
' (dove Ab e Ab’ sono le aree delle basi)
7

VOLUME DI UNA PIRAMIDE
1
3 b V = A ⋅ h
1
VOLUME DI UN TRONCO DI PIRAMIDE V = h( Ab + Ab ' + Ab ⋅ Ab
' )
Dimostrazione: Consideriamo la piramide di base Ab e altezza (h+x); a distanza x dal
vertice si tracci il piano parallelo al piano di base ottenendo quindi la sezione Ab’ e pertanto
il tronco di piramide di basi Ab e Ab’ e altezza h. Determiniamo il volume del tronco come
differenza tra il volume della piramide di altezza (h+x) e quella di altezza x:
1 1
V = Ab ( h + x) − Ab 'x
3 3
1 1
da cui : V = Abh + ( Ab − Ab ')
x (**)
3 3
Per il teorema delle sezioni piane ( ) 2 2
A : A x h : x
h⋅ algebrici si ottiene x =
A ⋅ A + hA
Ab − Ab
'
1 1
V = Abh + ( h
3 3
Ab Ab ' + hAb
' )
b b' b'
b b'
3
= + da cui con diversi passaggi
che sostituito nella (**) fornisce
Da cui raccogliendo 1
h a fattor comune si ottiene la formula data. Cvd.
3
Relazione di Eulero: tra il numero delle facce (F) quello dei vertici (V) e quello degli spigoli
di un poliedro qualunque sussiste la seguente relazione :
F + V = S + 2
Definizione: un poliedro si dice regolare se le sue facce sono poligoni regolari congruenti e
i suoi diedri sono tutti congruenti
Osservazione: esistono soltanto cinque tipi di poliedri regolari:
• TETRAEDRO REGOLARE: è una piramide regolare a base triangolare le cui facce
sono quattro triangoli equilateri, ha 6 spigoli e 4 vertici.
• ESAEDRO REGOLARE o CUBO: ha per facce 6 quadrati 8 vertici e 12 spigoli
• OTTAEDRO REGOLARE: è l’insieme di due piramidi quadrangolari regolari con la
base coincidente; ha per facce 8 tringoli equilateri, ha 6 vertici e 12 spigoli
• ICOSAEDRO REGOLARE: ha per facce 20 triangoli equailteri, ha 12 vertici e 30
spigoli
• DODECAEDRO REGOLARE: ha per facce 12 pentagoni regolari, ha 20 vertici e 30
spigoli
8

SOLIDI DI ROTAZIONE
Definizione: si chiama superficie cilindrica indefinita l’insieme dei punti dello spazio
equidistanti da una retta fissa detta asse; la comune distanza si dice raggio.
Osservazioni:
• Si chiama generatrice ciascuna delle rette parallele all’asse che dista da questo
come il raggio
• Un piano α perpendicolare all’asse taglia la superficie cilindrica secondo una
circonferenza di raggio r
• Un piano parallelo all’asse può avere in comune con la superficie due generatrici
(piano secante), oppure una generatrice (piano tangente) o nessuna (piano
esterno)
• Si chiama cilindro indefinito la figura costituita da una superficie cilindrica e dai suoi
punti interni
• L’intersezione con un piano perpendicolare all’asse di un cilindro indefinito è un
cerchio di raggio r e si dice sezione normale
Definizione: si chiama cilindro circolare retto finito (cilindro) la parte di un cilindro indefinito
compresa tra due sezioni normali.
Proprietà
P1: il cilindro si ottiene anche come rotazione completa (angolo giro) di un
rettangolo attorno a uno dei suoi lati
P2: le sezioni normali si dicono basi del cilindro
P3: la distanza dei piani delle due basi si dice altezza del cilindro
P4: un prisma retto le cui basi siano inscritte nelle basi di un cilindro si dice inscritto
nel cilindro
P5: un prisma retto le cui basi siano circoscritte alle basi di un cilindro si dice
circoscritto al cilindro
P6: un cilindro si dice equilatero se la sua altezza è congruente al diametro della
base (la sezione è un quadrato)
AREA DELLA SUPERFICIE DI UN CILINDRO
Area laterale: = 2 π ⋅ r ⋅ h (dove r è il raggio di base e h è l’altezza del cilindro)
A l
Area totale:
2 2
At = Al
+ 2π ⋅ r ( π ⋅ r è l’area di base)
VOLUME DI UN CILINDRO V Ab
h ⋅
= (dove Ab è l’area di base)
Definizione: si chiama superficie conica indefinita l’insieme delle semirette dello spazio
che, avendo la stessa origini V di una data semiretta a, formano con essa angoli
congruenti ad un dato angolo acuto.
Osservazioni:
• Si chiama asse la semiretta a
• Si chiama vertice il punto V
• Si chiama generatrice ciascuna delle semirette di origine V
• Si chiama angolo di apertura ciascuno degli angoli (fra loro congruenti) che l’asse
forma con ciascuna generatrice
9

• Si chiama cono indefinito la figura costituita da una superficie conica e dai suoi
punti interni
• L’intersezione con un piano perpendicolare all’asse di un cono indefinito è un
cerchio di raggio r e si dice sezione normale
• Un piano che passa per il vertice di una superficie conica contiene due generatrici,
o una sola , o nessuna, a seconda che l’angolo che essa forma con l’asse sia
minore, uguale o maggiore dell’angolo di apertura (piano secante o tangente o
esterno)
Definizione: si chiama cono circolare retto finito (cono) la parte di un cono indefinito che
giace rispetto al piano di una sezione normale dalla parte del vertice.
Proprietà
P1: il cono si ottiene anche come rotazione completa (angolo giro) di un
triangolo rettangolo attorno a uno dei suoi cateti
P2: la sezione normale si dice base del cono
P3: la distanza del vertice dal piano della base si dice altezza del cono
P4: i segmenti delle generatrici della superficie conica compresi tra il vertice e la
base sono congruenti e si dicono apotemi del cono
P5: una piramide il cui vertice sia il vertice di un cono e la cui base sia inscritta
nella base di un cono si dice inscritta nel cono
P6: una piramide il cui vertice sia il vertice di un cono e la cui base sia circoscritta
alla base di un cono si dice circoscritta al cono
P7: un cono si dice equilatero se il suo apotema è congruente al diametro della
base (la sezione è un triangolo equilatero)
P8: vale l’analogo del teorema delle sezioni piane per la piramide
Definizione: si chiama tronco di cono circolare retto (tronco di cono) la parte di cono
compresa tra il piano di base e un piano ad esso parallelo secante il cono e non passante
per il vertice
Osservazione: i segmenti di generatrici comprese tra le due basi si chiamano apotemi del
tronco
Osservazione: un tronco di cono può essere generato dalla rotazione completa (angolo
giro) di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi
AREA DELLA SUPERFICIE DI UN CONO
Area laterale: = π ⋅ r ⋅ a (dove r è il raggio di base e a è l’apotema del cono)
A l
Area totale:
2 2
At = Al
+ π ⋅ r ( π ⋅ r è l’area di base)
AREA DELLA SUPERFICIE DI UN TRONCO DI CONO
Area laterale: Al = π ⋅ a ⋅ ( r + r')
(dove r ed r’ sono i raggi delle basi e a è l’apotema del
tronco di cono)
2
2 2
2
Area totale: = A + π ⋅ r + π ⋅ r'
( π ⋅ r e π ⋅ r'
sono le aree delle basi)
At l
VOLUME DI UN CONO V Ab
h ⋅ = 1
3
(dove Ab è l’area di base)
10

1 2 2
VOLUME DI UN TRONCO DI CONO V = π ⋅ h(
r + r'
+ r ⋅ r')
3
Osservazione: la dimostrazione è analoga a quella già vista per il volume del tronco di
piramide
Definizione Si chiama superficie sferica l’insieme dei punti dello spazio aventi una distanza
prefissata r da un punto fisso O.
Osservazione:
La distanza r si chiama raggio della superficie sferica e il punto O ne è il centro
Definizione: Si chiama sfera la figura formata da una superficie sferica e da tutti i punti ad
essa interni
Osservazioni:
• La superficie sferica si ottiene come rotazione completa di una semicirconferenza
attorno al suo diametro; la sfera si ottiene come rotazione completa di una
semicerchio attorno al suo diametro
• La superficie sferica si dice contorno della sfera
• Il centro O e il raggio r della superficie sferica sono centro e raggio della sfera
• Si dice corda di una superficie sferica ogni segmento che abbia gli estremi sulla
superficie stessa
• Si chiama diametro di una superficie sferica ogni corda passante per il centro
• Tutti i diametri di una superficie sferica sono congruenti
• Se un piano ha dal centro di una superficie sferica una distanza minore del raggio
esso è secante la superficie sferica
• Se un piano ha dal centro di una superficie sferica una distanza uguale al raggio,
esso tocca la superficie sferica in un solo punto ed è perpendicolare al raggio
passante per quel punto (piano tangente)
• Se un piano ha dal centro di una superficie sferica una distanza maggiore del
raggio esso è esterno alla superficie sferica
• Un piano secante la superficie sferica la divide in due parti ciascuna delle quali si
chiama calotta sferica; il piano secante la sfera la divide in due parti che si
chiamano segmento sferico a una base
• Se due piani paralleli secano una superficie sferica la parte di piano compresa tra
essi si chiama zona sferica, mentre la parte di sfera compresa tra gli stessi due
piani si chiama segmento sferico a due basi
• La parte di superficie sferica compresa tra due semipiani aventi per origine comune
la retta di un diametro si dice fuso sferico, mentre la parte di sfera si dice spicchio
sferico
• Si chiama settore sferico la parte di sfera delimitata da una calotta sferica e dal
cono che ha vertice nel centro della sfera e base in comune con la calotta
AREA DELLA SUPERFICIE SFERICA :
2
A = 4πr Proprietà:
P1: una superficie sferica è equivalente alla superficie laterale del cilindro ad essa
circoscritto
P2: (teorema di Archimede) Il rapporto della superficie sferica e della superficie
totale del cilindro ad essa circoscritto è come il rapporto dei corrispondenti volumi
11

AREA DI UNA ZONA SFERICA E DI UNA CALOTTA SFERICA : A = 2πrh
(dove h è l’altezza della calotta e r è il raggio della sfera cui appartiene)
2
πr α
AREA DEL FUSO SFERICO: A =
90
(dove α è l’ampiezza del diedro del fuso)
2 ⎛ h ⎞
VOLUME DEL SEGMENTO SFERICO A UNA BASE: V = π h ⎜r
− ⎟
⎝ 3 ⎠
(dove h è l’altezza della calotta e r è il raggio della sfera cui appartiene)
2
1 2
3
πh
+
6
(dove h è La distanza tra le due basi e r1 e r 2 sono i raggi dei cerchi sezione)
πh
2 2
VOLUME DEL SEGMENTO SFERICO A DUE BASI: V = ( r + r )
3
πr α
VOLUME DELLO SPICCHIO SFERICO: V =
270
(dove α è l’ampiezza del diedro dello spicchio)
PRINCIPIO DI CAVALIERI: due solidi che si possono collocare in modo che siano
equivalenti le loro sezioni ottenute con un qualsiasi piano parallelo ad una piano fisso sono
equivalenti
4 3
VOLUME DELLA SFERA: V = πr
3
Dimostrazione: Si considerino una semisfera di raggio r, un cono e un cilindro entrambi di
raggio di base r e di altezza r , disposti come in figura sullo stesso piano α .
Si conduca il piano β parallelo ad α a distanza r da quest’ultimo: in tale modo i tre solidi
risultano compresi nella parte di spazio tra i due piani. Si consideri ora un qualunque piano
γ parallelo ai precedenti, che intersechi tutti e tre i solidi, e disti x dal piano α , con x < r .
Esaminiamo le sezioni dei tre solidi: la sezione del cilindro (S3) è ancora un cerchio di
2
raggio r come la base, area S1 = π r ; la sezione del cono (S2) è un cerchio di raggio di
raggio x (per il teorema delle sezioni piane si ha la proporzione r : r’ = r : x, da cui r’ = x),
2 2
r − x (teorema di
2
area S2 = π x ; la sezione della semisfera (S1) è un cerchio di raggio
2 2
Pitagora), area S3 = π ( r − x ) . Ora si vede facilmente che Area S3 = Area S1 + Area S2
Ciò significa, data l’arbitrarietà del piano γ , che per il principio di Cavalieri il cilindro è
equivalente alla somma della semisfera e del cono, ovvero che
Volume cilindro = Volume semisfera + Volume cono
In formula
3
1 3
π r = Volume semisfera + πr
3
2 3
da cui Volume semisfera = π r
3
e finalmente Volume sfera =
4
r
3
3
π Cvd
12