appunti di geometria solida - Liceo Statale Aprosio

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Definizione: si chiama parallelepipedo un prisma le cui basi sono parallelogrammi; si dice retto quando gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi, obliquo in caso contrario. Definizione: si chiama parallelepipedo rettangolo un parallelepipedo retto le cui basi sono rettangoli Teorema: in un parallelepipedo rettangolo la misura della diagonale vale dove a, b, c sono le misure delle sue dimensioni. 2 2 2 d = a + b + c Definizione: si dice cubo (o esaedro) un parallelepipedo rettangolo nel quale siano congruenti i tre spigoli che concorrono in uno stesso vertice. In tal caso d = l 3 dove l è la lunghezza dello spigolo. AREA DELLA SUPERFICIE DI UN PRISMA RETTO Area laterale: A = 2 ph (dove h è l’altezza e 2p il perimetro di base) l Area totale: A = A + 2A (dove Ab è l’area di una base) t l b AREA DELLA SUPERFICIE DI UN PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO A = 2 ab + ac + bc (dove a, b, c sono le dimensioni) Area totale: ( ) t AREA DELLA SUPERFICIE DI UN CUBO 2 Area totale: A = 6l (dove l è la lunghezza dello spigolo) t VOLUME DI UN PRISMA V = Ab ⋅ h VOLUME DI UN PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO V = a ⋅b ⋅ c VOLUME DI UN CUBO 3 V = l 6
Definizione: si chiama piramide la parte di angoloide situata in un semispazio che ne contenga il vertice e il cui bordo incontri tutti gli spigoli. Osservazioni: • Il poligono dato si dice base della piramide e il punto V si dice vertice della piramide; i vertici e i lati della base si dicono vertici e spigoli di base. • I segmenti che congiungono il vertice della piramide con i vertici della base si dicono spigoli laterali della piramide • I triangoli che hanno come base uno spigolo di base e come vertice il vertice della piramide si dicono facce laterali; la loro unione si dice superficie laterale della piramide; l’insieme di tutte le facce della piramide (laterali + base) si dice superficie totale. • Si chiama altezza della piramide la distanza del vertice dal piano della base. • Una piramide si dice triangolare, quadrangolare, pentagonale, ecc.. se la sua base è rispettivamente un triangolo, un quadrilatero, un pentagono, ecc. Definizione: una piramide si dice retta quando nella sua base si può inscrivere una circonferenza il cui centro è il piede dell’altezza della piramide. Proprietà: tutte le facce laterali di una piramide hanno altezze congruenti che prendono il nome di apotema della piramide. Definizione: una piramide si dice regolare se è retta e ha per base un poligono regolare. Proprietà: P1: in una piramide regolare gli spigoli laterali sono congruenti tra loro P2: in una piramide regolare le facce laterali sono triangoli isosceli fra loro congruenti P3: in una piramide regolare i diedri laterali sono congruenti tra loro; anche i diedri della base sono congruenti tra loro un piano parallelo al piano della base B di una piramide che non passa per il suo vertice ne incontra tutti gli spigoli laterali e divide la piramide in due parti: la parte che contiene il vertice è una nuova piramide di base B’ simile alla base B (teorema delle sezioni piane); la parte che contiene la base B prende il nome di tronco di piramide di basi B e B’; la distanza tra le due basi si chiama altezza del tronco di piramide osservazione: se la piramide da cui si ottiene il tronco è retta o regolare, tale sarà anche il tronco; se il tronco è regolare le sue facce laterali sono trapezi isosceli tutti congruenti e la loro altezza si dice apotema del tronco. AREA DELLA SUPERFICIE DI UNA PIRAMIDE RETTA 2 p ⋅a Area laterale: Al = (dove a è l’apotema e 2p il perimetro di base) 2 A = A + A (dove Ab è l’area di base) Area totale: t l b AREA DELLA SUPERFICIE DI UN TRONCO DI PIRAMIDE REGOLARE 2 p + 2 p ' Area laterale: Al = ⋅ a (dove a è l’apotema e 2p e 2p’ i perimetri delle basi) 2 Area totale: At = Al + Ab + Ab ' (dove Ab e Ab’ sono le aree delle basi) 7
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