Modellizzazione e Controllo Predittivo Ibrido di un ... - Ingegneria

Università degli Studi di Siena
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
Modellizzazione e Controllo
Predittivo Ibrido di un Motore ad
Iniezione Diretta a Carica
Stratificata
Tesi di Laurea di
Giulio Ripaccioli
Relatore:
Chiar.mo Prof. Ing. A.Bemporad
Correlatori:
Dr. Ing. N. Giorgetti
Dr. Ing. D. Hrovat
Dr. Ing. I. Kolmanovski
Anno Accademico 2005/2006
SESSIONE del 25 SETTEMBRE 2006

Ai miei genitori,
Siena, 25 Settembre 2006

Indice
Introduzione 2
1 Sistemi ibridi 8
1.1 I modelli ibridi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 DHA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Proprietà dei DHA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Sistemi MLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Calcolo proposizionale e programmazione mista intera . 19
1.3.2 Sistemi MLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3 Proprietà dei sistemi MLD . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Sistemi PWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 Equivalenza fra DHA, Sistemi PWA e MLD . . . . . . 29
1.4.2 Analisi di raggiungibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Controllo predittivo e forma esplicita 33
2.1 Controllo predittivo in-linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 MPC per sistemi ibridi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Convergenza ad anello chiuso . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.3 Risolutori di problemi misti interi . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Forma esplicita del controllore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Indice iii
3 Meccanica del motore ad iniezione diretta a benzina 44
3.1 Motore a combustione interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Schema di funzionamento e definizioni . . . . . . . . . 45
3.1.2 Alcuni approfondimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Il Motore DISC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Sistema di combustione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Sistema post-trattamento . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.3 Sensori ed attuatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.4 I nuovi traguardi per i motori DISC . . . . . . . . . . . 55
4 Modello ibrido per il controllo 58
4.1 Modello non lineare del motore DISC . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.1 Modello della valvola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Modello ibrido per il controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 Linearizzazione e discretizzazione . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.3 Il modello MLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Progetto del controllore 77
5.1 La strategia di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.1 Generazione dei riferimenti . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.2 Controllo MPC ibrido in-linea del motore DISC . . . . 80
5.2 Risultati del controllo in simulazione . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.1 Carico computazionale MPC in-linea . . . . . . . . . . 93
5.3 Controllo ibrido MPC esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.1 Carico computazionale per controllo MPC in forma
esplicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Conclusioni 98

Indice iv
A HYSDEL 101
A.1 Il linguaggio Hysdel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.1.1 Sezioni AD e DA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.1.2 Sezione LOGIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.1.3 Sezione CONTINUOUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.1.4 Sezione AUTOMATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.1.5 Sezione MUST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.2 Listato HYSDEL del motore DISC . . . . . . . . . . . . . . . 104
Bibliografia 108
Indice analitico 112

Elenco delle figure
1.1 Modello di un sistema ibrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Schema di un discrete hybrid automata (DHA) . . . . . . . . . 12
1.3 Esempio di macchina a stati finiti (FSM) . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Partizione poliedrica dello spazio degli stati . . . . . . . . . . 28
2.1 Schema di controllo retroazionato . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Filosofia orizzonte recessivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1 Schema pistone biella-manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Ciclo di funzionamento di un motore a 4 tempi . . . . . . . . . 47
3.3 Diagramma di anticipo/ritardo valvole . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Motore ad iniezione diretta a benzina . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Immissione del carburante nel cilindro tramite iniettore . . . . 51
3.6 Flusso della miscela aria-carburante in a) Modo Omogeneo, b)
Modo Stratificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7 Sistema di post-trattamento degli scarichi . . . . . . . . . . . 54
4.1 Andamento del rapporto aria-carburante . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Andamento della coppia in funzione di δ . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Blocco simulink del motore DISC . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Blocco simulink del motore DISC con dinamica della valvola . 66
4.5 Rapporto fra Ath e angolo della valvola . . . . . . . . . . . . . 67

Elenco delle figure vi
5.1 Coppia del motore τ(t) (linea tratteggiata: valore desiderato,
linea continua: risposta del modello non-lineare) . . . . . . . . 84
5.2 Modo di combustione ρ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 rapporto aria-carburante λ(t) (linea tratteggiata rossa: valore
desiderato, linea continua: risposta del modello non-lineare,
linea tratteggiata nera: vincolo su λ) . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4 Deviazione anticipo accensione candela da MBT δmbt − δ . . . 87
5.5 Flusso d’aria attraverso la farfalla Wth(t) (linea tratteggiata:
valore desiderato, linea continua: risposta del modello non-
lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6 Pressione nel collettore di aspirazione pm(t) (linea tratteggia-
ta: valore desiderato, linea continua: risposta del modello
non-lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.7 Flusso di carburante nei cilindri Wf(t) (linea tratteggiata: val-
ore desiderato, linea continua: risposta del modello non-lineare 89
5.8 Velocità di rotazione del motore ω . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.9 Coppia del motore τ(t) (linea tratteggiata: valore desiderato,
linea continua: risposta del modello non-lineare) . . . . . . . . 90
5.10 Modo di combustione ρ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.11 rapporto aria-carburante λ(t) (linea tratteggiata rossa: valore
desiderato, linea continua: risposta del modello non-lineare,
linea tratteggiata nera: vincolo su λ) . . . . . . . . . . . . . . 91
5.12 Flusso d’aria attraverso la farfalla Wth(t) (linea tratteggiata:
valore desiderato, linea continua: risposta del modello non-
lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Elenco delle figure vii
5.13 Pressione nel collettore di aspirazione pm(t) (linea tratteggia-
ta: valore desiderato, linea continua: risposta del modello
non-lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.14 Flusso di carburante nei cilindri Wf(t) (linea tratteggiata: val-
ore desiderato, linea continua: risposta del modello non-lineare 93
5.15 Deviazione anticipo accensione candela da MBT δmbt − δ . . . 94
5.16 Cross-section sul pm-λref e traiettoria simulata in anello chiu-
so. figura in alto: ρ = 1, figura in basso: ρ = 0 . . . . . . . . . 96
5.17 Simulazione di controllo con orizzonte di controllo N = 2 . . . 97

Elenco delle tabelle
1.1 Proposizioni logiche e forme equivalenti . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Trasformazione prop. logiche in disuguaglianze intere . . . . . 21
3.1 Sensori ed Attuatori motori DISC . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 Punti di lavoro per il modello linearizzato . . . . . . . . . . . 69

Introduzione
L’evoluzione del mercato automobilistico di questi ultimi anni ha determina-
to lo sviluppo di continue innovazioni tecnologiche orientate principalmente
al contenimento dei consumi, incrementrando al contempo le caratteristiche
prestazionali, con una crescente attenzione alla sostenibilità ambientale. I
protocolli sulle emissioni ratificati negli ultimi anni dai paesi industrializzati
impongono politiche sempre più stringenti nei confronti delle emissioni dei
gas di scarico. Per far fronte a tali esigenze i centri di ricerca automobilistici
hanno focalizzato l’attenzione sulle tecnologie motoristiche, sia nelle compo-
nenti meccaniche che di gestione elettronica.
I motori ad iniezione diretta a benzina si inseriscono in questo contesto con
l’intenzione di garantire una netta riduzione dei consumi e parallelamente un
controllo più deciso sulle emissioni dei gas di scarico. Autoveicoli con tali
tipi di motori sono ormai diffusi nei mercati giapponese ed europeo e, più
recentemente, anche in quello statiunitense.
Questi motori hanno la capacità di garantire un miglioramento dei consu-
mi di carburante fino al 15% superiore rispetto ai motori tradizionali e una
maggiore riduzione delle emissioni di CO2 grazie ad un sofisticato sistema
di post-trattamento dei gas di scarico. Queste caratteristiche possono es-
sere ottenute perchè il carburante viene iniettato direttamente all’interno del

Introduzione 3
cilindro. Questo aggiunge un grado di libertà all’intero sistema in quanto
consente di decidere quando iniettare il carburante durante le fasi di fun-
zionamento del motore. Come più recente evoluzione, il sistema preso in
esame in questo lavoro è un motore di ultima generazione a iniezione diretta
a carica stratificata DISC (Direct Injection Stratified Charge), del quale è
stato fornito un complesso modello numerico proprietario dal Ford Research
Laboratory. Se il carburante viene iniettato all’interno del cilindro durante
la fase di aspirazione c’è tempo sufficiente per generare un miscela omogenea
di aria-carburante e il motore si comporta come i tradizionali motori a carbu-
razione. Tale modo di funzionamento viene indicato come regime omogeneo.
Se il carburante è iniettato all’interno del cilindro durante la fase di compres-
sione non c’è tempo sufficiente affinché la benzina si mescoli perfettamente
con l’aria e si genera una miscela ricca di benzina vicino alla candela ma
povera nel resto del cilindro. Tale modo di funzionamento viene denominato
regime stratificato del motore. Quest’ultimo modo di funzionamento con-
sente di ottenere quei miglioramenti sui consumi, ai quali precedentemente
si è fatto riferimento, in quanto si possono iniettare quantità di carburante
inferiori a quelle di un tradizionale motore a carburazione. La possibilità di
far funzionare il motore con meno benzina se da un lato comporta il grande
beneficio di una riduzione dei consumi dall’altro determina un aumento non
accettabile di elementi nocivi nei gas di scarico. Per tale motivo, a valle del
sistema di combustione viene introdotto un sistema di post-trattamento che
cattura le emissioni di CO, HC e NOx. I catalizzatori che costituiscono il
sistema di post-trattamento hanno una grande capacità di acquisizione ma
si saturano molto velocemente. Per poter rigenerare la loro capacità di ac-
quisizione è necessario alternare al funzionamento in regime stratificato fasi
in cui il motore lavora in regime omogeneo.

Introduzione 4
Risulta evidente come sia fondamentale gestire il passaggio dall’uno all’altro
regime in modo da permettere sia una riduzione dei consumi che delle emis-
sioni dei gas di scarico. Tale gestione deve essere compiuta da un sistema di
controllo il quale a partire da misurazioni provenienti dai diversi sensori pre-
senti nel motore deve coordinare opportunamente gli elementi di attuazione
della legge di comando. Il controllore diventa quindi l’elemento chiave per
ottenere i suddetti benefici. L’obiettivo del controllo sviluppato nel lavoro di
tesi è stato quello di soddisfare la richiesta di coppia del guidatore, espressa
dal pedale dell’acceleratore, minimizzando il consumo di carburante e rispet-
tando il corretto funzionamento del catalizzatore con il conseguente rispetto
delle normative sulle emissioni. Le variabili di controllo su cui la centralina
agisce i modo coordinato sono: la selezione della modalità di funzionamento
(segnale logico), il tempo di accensione della candela, l’apertura della valvola
dell’aria e l’iniezione di carburante (segnali continui).
La duplice natura del motore ed i molteplici obiettivi di controllo, assieme
a vincoli sullo stato di funzionamento, hanno determinato la necessità di
modellare il sistema secondo la teoria dei sistemi ibridi. Tale teoria con-
sente di descrivere in un modo compatto elementi di natura diversa: par-
ti continue, come ad esempio le dinamiche del motore, parti discrete, ad
esempio la centralina elettronica, e le interfacce fra queste due. Questi tipi
di sistemi si presentano in molte situazioni di interesse pratico, dal controllo
di processo [BTM01], ad applicazioni automobilistiche [BBFH01, GBTH06].
Per i sistemi ibridi sono state descritte diverse tecniche di modellizzazione
tra le quali ci sono i Discrete Hybrid Automata (DHA) [TB04], i sistemi
Mixed Logical Dynamical (MLD) [BM99, BM01b], ed i sistemi Piecewise
Affine (PWA) [Son81, HDB01]. Grazie alla proprietà di equivalenza tra
le suddette classi di modelli ibridi si possono utilizzare indistintamente la

Introduzione 5
rappresentazione MLD, PWA, DHA e gli strumenti teorici sviluppati per
l’una o l’altra rappresentazione.
I sistemi MLD risultano di particolare interesse per la sintesi di leggi di
controllo. In particolare ai sistemi ibridi è stato esteso il controllo predit-
tivo, il quale si basa sulla ben nota filosofia ad orizzonte recessivo. Questa
consiste nel risolvere ad ogni istante di campionamento un problema di min-
imizzazione soggetto a vincoli su un orizzonte di predizione futuro. Della
sequenza di ingressi ottima trovata viene applicato al sistema soltanto il pri-
mo elemento e scartato tutto il resto. Il processo viene reiterato a tutti gli
istanti successivi. Questa strategia se da un lato garantisce l’asintotica sta-
bilità ad anello chiuso dall’altro non è adatta per l’applicazione su sistemi
con tempo di campionamento molto ridotti, come ad esempio nelle appli-
cazioni automobilistiche. Per tale motivo sono state sviluppate tecniche che
consentono di spostare fuori linea la procedura di ottimizzazione, determi-
nando la forma esplicita della legge di controllo [BBM00], che risulta essere
una funzione PWA dello stato del sistema. Se da un lato l’azione di controllo
compiuta dalla forma esplicita è esattamente identica a quella del controllo
con ottimizzazione in linea, dall’altro il carico computazionale si riduce ad
una valutazione di funzioni lineari affini piuttosto che alla soluzione di un
problema di minimizzazione.
Questa tesi ha l’obiettivo di mostrare come la teoria ibrida precedentemente
indicata risulti un ottimo strumento per la modellizzazione ed il controllo
dei moderni motori ad iniezione diretta a carica straificata. In particolare
si è voluto dimostrare come il modello ibrido riesca a rappresentare com-
piutamente la duplice natura del motore e come tale modello possa essere
utilizzato per lo sviluppo di un efficace controllore. Si vedrà infine come la
strategia di controllo, articolata in due fasi, riesca a soddisfare le specifiche

Introduzione 6
imposte e gli obiettivi desiderati e come sia possibile ridurre il carico computazionale
al fine di implementare la legge di controllo in una centralina elettronica
automibilistica standard.
Organizzazione della tesi
La tesi è organizzata come segue.
• Nel capitolo 1 introdurremo la teoria dei sistemi ibridi, descrivendo
diversi modelli.
• Nel capitolo 2 si evidenzierà come i modelli matematici introdotti nel
capitolo 1 possano essere utilizzati per derivare il controllore. Una volta
descritto il controllo in linea analizzeremo la sua traduzione in forma
esplicita.
• Nel capitolo 3 descriveremo i principi di funzionamento di base dei
motori a combustione interna e le caratteristiche dei motori ad iniezione
diretta a carica stratificata.
• Nel capitolo 4 descriveremo il modello non lineare del motore ad iniezione
diretta e come tale descrizione venga tradotta nell’opportuna forma
MLD. Nel capitolo 5 presenteremo la doppia strategia di controllo
sviluppata e riporteremo diverse prove di simulazione mettendo in
evidenza i risultati raggiunti.
• In appendice A riporteremo una descrizione del linguaggio HYSDEL
(HYbrid Systems DEscription Language) [TB04], utilizzato per la
modellizzazione ibrida del motore, e mostreremo con quale eleganza e
pulizia viene scritto un listato HYSDEL.

Introduzione 7
Riferimenti
I risultati di questa tesi sono stati pubblicati nell’articolo:
• Hybrid Model Predictive Control of Direct Injection Stratified Charge
Engines, N.Giorgetti, G.Ripaccioli, A.Bemporad, I.V. Kolmanovsky,
D.Hrovat. Accettato per la pubblicazione in “IEEE/ASME Transac-
tion on Mechatronics”. Vol.11, no. 5, August 2006
Il lavoro si è basato in gran parte sui contenuti apparsi in [GBKH05] e [Gio01].
Ringraziamenti
Un particolare ringraziamento va al Dr. Ing. Ilya Kolmanovsky e al Dr. Ing.
Davor Hrovat dei Laboratori di Ricerca Ford per il supporto fornito durante
tutto il lavoro di tesi. Al professor Alberto Bemporad, che mi ha seguito in
questi mesi correggendo gli errori e dando sempre nuovi spunti e obiettivi, ma
soprattutto per l’opportunità che mi ha dato di compiere questo lavoro. Un
grazie anche ai ragazzi del Laboratorio di Automatica (Fabio, Alessandro,
Stefano, Marcello) per i consigli utili così come per i momenti di svago.
In ultimo un sentito ringraziamento va all’ Dr. Ing. Giorgetti che mi ha
puntualmente seguito, ma soprattutto all’amico Nicolò che è sempre stato
disponibile per ogni tipo di aiuto e chiarimento, per le lunghe conversazioni
telefoniche, le frequenti e-mail inviate e ricevute negli orari più improbabili.

Capitolo 1
Sistemi ibridi
L’analisi accurata di un qualunque fenomeno o sistema fisico passa attraverso
una sua descrizione mediante il linguaggio matematico. L’individuazione del
sistema fisico presenta larghi margini di arbitrarietà, si intuisce infatti che
le interazioni fra le parti di un sistema possono essere un numero molto ele-
vato, e non è detto che sia ottimale cercare di rappresentarle tutte. Cercare
di modellare tutte le dinamiche porta a livelli di complessità alti, di difficile
gestione. Per descrivere un sistema bisogna, dunque, definire innanzitutto
gli aspetti che ci interessano del suo comportamento complessivo e valutare
l’equilibrio ottimale, in relazione agli scopi dell’analisi, tra accuratezza della
rappresentazione e semplicità di funzionamento. Negli ultimi anni è cresciu-
ta in molti campi di ricerca, dall’informatica, all’elettronica, al controllo di
processi, la necessità di integrare i classici modelli matematici, in grado di
descrivere le dinamiche continue dei sistemi, con componenti logiche, descriv-
ibili con macchine a stati finiti o regole if-then-else. Tali sistemi descritti
da interconnessioni di sistemi dinamici e dispositivi logici vengono definiti
con il termine sistemi ibridi.

1.1 I modelli ibridi 9
In questo capitolo verranno inquadrati teoricamente i sistemi ibridi, ap-
profondendone le tematiche di modellistica e di analisi. Saranno presentate
le diverse rappresentazioni matematiche necessarie per formalizzare modelli
matematici di sistemi ibridi e saranno introdotti gli strumenti teorici, algorit-
mici e di supporto che verranno utilizzati nei capitoli successivi per la sintesi
del controllore di coppia per un motore ad iniezione diretta a benzina a carica
stratificata.
1.1 I modelli ibridi
Il concetto di modello di un sistema è tradizionalmente associato a equazioni
differenziali ed alle differenze, tipicamente derivate da leggi fisiche che gov-
ernano le dinamiche del sistema sotto studio, e la teoria e gli strumenti di
controllo sono stati sviluppati per questo tipo di sistemi. D’altra parte in
molte applicazioni il sistema che deve essere controllato è costituito da com-
ponenti logiche, come ad esempio valvole, interruttori, selettori di velocità.
Spesso per questi tipi di sistemi la progettazione del controllo è basata su
regole euristiche derivanti dalla conoscenza pratica del sistema da controllare.
Recentemente i ricercatori hanno iniziato a trattare i sistemi ibridi, ovvero
processi che evolvono secondo dinamiche continue e regole logiche, in par-
ticolare sistemi costituiti da dinamiche discrete, in genere a più alto livello,
come ad esempio dispositivi elettronici, e da parti continue, in genere a più
basso livello, come ad esempio motori, vedi Figura 1.1.
L’importanza e l’utilità dei modelli ibridi è legata al crescente impiego
di controllori logici che interagiscono con dinamiche continue, in campi che
variano dall’automobilistico [BBFH01, GBTH06] alle applicazioni domestiche,
e alla conseguente necessità di realizzare modelli adeguati che ne permettano

1.1 I modelli ibridi 10
discrete
inputs
A/D
continuous
variables
exogenous
inputs
discrete
outputs
Logic
Interface
Dynamics
exogenous
inputs
D/A
command
inputs
Figura 1.1: Modello di un sistema ibrido
lo studio. Inoltre molti sistemi fisici hanno intrinsecamente una natura ibri-
da, o ben descrivibile come tale, un esempio sono i circuiti elettrici con diodi,
così come le reti biomolecolari [ABI + 01] o le reti idriche [OMPQI06].
Diverse classi di modelli ibridi sono state presentate in letteratura, tipica-
mente sviluppate ad hoc per il sistema in esame. In questo lavoro abbiamo
rappresentato il sistema ibrido tramite la classe degli automi ibridi discreti,
discrete hybrid automata (DHA), introdotta in [TB04]. I modelli DHA sono
una rappresentazione matematica astratta che integra una macchina a stati
finiti, che descrive la parte logica, con uno switched affine system, che ne
rappresenta le dinamiche continue, e due elementi di interconnessione fra le
parti. Per lo studio ed il controllo del sistema saranno utilizzate le classi
di sistemi ibridi piecewise affine (PWA) e mixed logical dynamical systems
(MLD) che maggiormente si prestano ai metodi numerici ricorsivi e speci-
ficamente indirizzate al dominio ibrido. Le suddette classi di modelli ibridi
sono equivalenti, sotto alcune ipotesi, ed è quindi possibile rappresentare
lo stesso sistema con modelli di ogni classe. In particolare le classi piece-
wise affine e mixed logical dynamical systems permettono di effettuare analisi

1.2 DHA 11
di osservabilità, di sviluppare controllori predittivi ibridi come problemi di
minimizzazione mista intera.
1.2 DHA
Sistemi il cui comportamento dinamico è dettato dall’interazione di dinamiche
continue con dinamiche discrete sono stati studiati nell’ambito di teoria dei
sistemi fin dagli anni 60. Sono presenti in letteratura vari articoli di quel
periodo in cui si propongono e si studiano sistemi a dinamiche miste; an-
che ricercatori come Kalman hanno cercato di definire una struttura formale
matematica per sistemi di questo tipo [KFA69, Wit66]. Negli anni sono stati
poi proposti diverse classi di modelli per sistemi ibridi sviluppati spesso ad
hoc, quindi privi di generalità. A partire dagli anni 90 assistiamo ad un
moltiplicarsi di pubblicazioni in merito a questa classe di sistemi per lungo
tempo trascurata, ed è poco più di un decennio che sono stati introdotti gli
hybrid automata (si veda ad esempio [GNRR93]), i quali hanno fornito un
concreto approccio formale, utile in primo luogo per l’analisi e la verifica dei
sistemi ibridi.
In questa tesi ci siamo concentrati sulla rappresentazione discrete hybrid
automata. I DHA sono costituiti dalla connessione di una macchina a stati
finiti, finite state machine (FSM) , che raccoglie le dinamiche discrete del
sistema ibrido, con uno switched affine system (SAS) , che rappresenta la
parte continua delle dinamiche ibride (vedi Figura 1.2).
L’interazione fra le due parti è affidata a due elementi di connessione: il gener-
atore di eventi, event generator (EG) e il selettore di modo, mode selector (MS).
L’event generator prende i segnali continui della parte continua e genera dei
segnali discreti. Tali segnali discreti poi, insieme ad altri ingressi discreti

1.2 DHA 12
δe(k)
ub(k)
(FSM)
Finite
State Machine
C
xb(k)
ub(k)
δe(k)
(EG)
Event xr(k)
Generator
ur(k)
B
D
ur(k)
(MS)
Mode
Selector
i(k)
(SAS)
Switched
Affine
System
Figura 1.2: Schema di un discrete hybrid automata (DHA)
esterni, attivano il cambiamento di stato della macchina a stati finiti, finite
state machine. Il mode selector combina tutte le varie componenti discrete
per selezionare il modo operativo, ossia le dinamiche continue, del sistema
switched affine.
Di seguito, ponendo che ogni variabile discreta che può assumere j possibili
valori α ∈ {α1,...,αj} ammette una codifica binaria del tipo α ∈ {0, 1} d(j)
dove d(j) è il numero di bit usato per rappresentare i possibili valori di α, ci
riferiremo a una variabile o alla sua codifica binaria indistintamente.
1
s-1
s
A

1.2 DHA 13
A. Swiched Affine System
Lo switched affine system è costituito da una collezione di dinamiche
continue. Tra tali dinamiche viene selezionata dal MS quella che rap-
presenta l’evoluzione del sistema rispetto al modo attuale. Definiamo
più formalmente il SAS come un insieme di sistemi lineari affini del
tipo:
x ′ r(k) = Ai(k)xr(k) + Bi(k)ur(k) + fi(k)
yr(k) = Ci(k)xr(k) + Di(k)ur(k) + gi(k)
dove k è un numero intero e rappresenta il tempo e
x ′ r(k) = xr(k + 1).
(1.1a)
(1.1b)
Inoltre si indica con xr ∈ X ⊆r R nr il vettore degli stati continui,
con ur ∈ U ⊆r R mr il vettore degli ingressi continui esogeni e con
yr ∈ Y ⊆r R pr il vettore delle uscite continue; mentre {Ai,Bi,fi,Ci,Di,gi}i∈I
è un insieme di matrici di opportune dimensioni.
i(k) rappresenta invece il modo del sistema, i(k) ∈ I {1,...,s}) è
il segnale che il SAS riceve in ingresso dal mode selector che seleziona
una delle s dinamiche affini del sistema.
Un SAS può essere equivalentemente espresso come una combinazione
di equazioni lineari con regole del tipo if-then-else, in questo modo
la 1.1a si può riscrivere come:

1.2 DHA 14
z1(k) =
.
zs(k) =
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
x ′ r(k) = s
zi(k)
i=1
A1xr(k) + B1ur(k) + f1, if (i(k) = 1)
0, altrimenti
Asxr(k) + Bsur(k) + fs, if (i(k) = s)
0, altrimenti
(1.2)
dove zi(k) ∈ R nr con i = {1,...,s}, e analogamente può essere trasfor-
mata l’equazione di uscita (1.1b).
B. Event Generator
Il generatore di eventi è l’elemento di interconnessione fra la parte
continua e la parte logica rappresentata dalla macchina a stati finiti;
ha come ingressi i segnali continui xr(k) e ur(k), rispettivamente il
vettore di stati continui prodotto in uscita dal SAS e il vettore di
ingressi continui esogeni. L’EG genera un segnale logico in modo che
vengano soddisfatti i vincoli lineari affini:
δe(k) = fH(xr(k),ur(k),k), (1.3)
dove fH è un vettore di funzioni che descrivono un iperpiano lineare:
fH : Xr × Ur × Z + → D ⊆ {0, 1} ne . (1.4)
Nei sistemi ibridi i cambiamenti di stato logico possono avvenire in
conseguenza dell’evoluzione temporale o in seguito al superamento di
valori di soglia fissati. In particolare gli eventi temporali (time events),

1.2 DHA 15
ossia gli eventi legati al tempo, sono modellati come in (1.5a), dove Ts
è il tempo di campionamento e t0 è un determinato istante. Mentre
i cambiamenti legati al superamento di soglie (threshold events) sono
modellati come in (1.5b), dove ∗ i rappresenta l’ i-esima componente
del vettore di funzioni.
C. Finite State Machine
δ i e = 1 −→[kTs ≥ t0], (1.5a)
δ i e = 1 −→[a T xr(k) + b t ur(k) ≤ c] (1.5b)
Una macchina a stati finiti rappresenta un processo a dinamiche dis-
crete che evolve secondo una funzione logica di aggiornamento dello
stato (1.6a) e a cui può essere associata una uscita boolena (1.6b)
x ′ b(k) = fB(xb(k),ub(k),δe(k)) (1.6a)
yb(k) = gB(xb(k),ub(k),δe(k)) (1.6b)
Dove le variabili indicate con il pedice ∗b sono booleane, xb variabile di
stato e ub ingresso esogeno. δe(k) è l’ingresso proveniente dal generatore
di eventi EG e
fB : Xb × Ub × D → Xb
è una funzione logica così come gB.
Una macchina a stati finiti trova nei grafi la sua rappresentazione più
intuitiva, vedi Figura 1.3, gli stati logici costituiscono i nodi, mentre
gli archi sono rappresentati dalle condizioni di cambiamento di stato
legate agli ingressi esogeni (ub(k)) ed endogeni (δb(k)).

1.2 DHA 16
¬δ2 ∨ ub1
¬δ1 ∨ ¬ub2
xb2
¬δ1
xb1
¬δ2
¬δ1
ub1 ∧ ¬δ3
ub1 ∧ δ2
xb3
¬ub2 ∧ δ1
Figura 1.3: Esempio di macchina a stati finiti (FSM)
D. Mode Selector
Il blocco di interconnessione fra la macchina a stati finiti e la parte a
dinamiche continue ha come ingressi lo stato logico attuale dell’FSM
xb(k), l’input logico esogeno ub(k) e il segnale logico δe(k) generato
dall’EG tramite i quali seleziona la dinamica da attivare nel SAS.
L’uscita i(k) della funzione booleana fM
i(k) = fM(xb(k),ub(k),δe(k)), (1.7)
è definita modo attivo. Il cambiamento di modo avviene al tempo di
campionamento k se i(k) = i(k − 1). Diversamente dai modelli ibridi
a tempo continuo negli automi discreti ibridi il cambiamento di modo
può avvenire solo in corrispondenza degli istanti di campionamento.
Nei sistemi DHA è inoltre possibile definire delle dinamiche speciali che ven-
gono attivate per un singolo tempo di campionamento in corrispondenza del
cambio di modo. Tali dinamiche sono chiamate mappe di reset (reset maps) 1 .
1 Per una trattazione in merito estesa si veda [TB04].

1.2 DHA 17
1.2.1 Proprietà dei DHA
Date le condizioni iniziali del sistema
gli ingressi
⎡
⎡
⎣ xr(0)
xb(0)
⎣ ur(k)
ub(k)
⎤
⎤
⎦ ∈ Xr × Xb, (1.8)
⎦ ∈ Ur × Ub ∈ Z + , (1.9)
lo stato del sistema x(k), k ∈ Z + , viene calcolato ricorsivamente:
Passo 1): Inizializzazione
Passo 2): Parte ricorsiva
Ben Postezza
x(0) =
⎡
⎣ xr(0)
xb(0)
⎤
⎦ ;
δe(k) = fH(xr(k),ur(k),k);
i(k) = fM(xb(k),ub(k),δe(k));
yr(k) = Ci(k)xr(k) + Di(k)ur(k) + gi(k);
yb(k) = gB(xb(k),ub(k),δe(k));
x ′ r(k) = Ai(k)xr(k) + Bi(k)ur(k) + fi(k);
x ′ b (k) = fB(xb(k),ub(k),δe(k));
E’ opportuno adesso introdurre la definizione di ben-postezza di un DHA.
Definizione 1.1. Un DHA è ben⎡posto su Xr × Xb, Ur × Ub, Yr × Yb se per
tutte le condizioni iniziali x(0) = ⎣ xr(0)
⎤
⎦ ∈ Yr × Yb, e per tutti i k ∈ Z
xb(0)
+ ,

1.3 Sistemi MLD 18
l’evoluzione dello stato x(k) =
y(k) =
⎡
⎣ yr(k)
yb(k)
⎤
⎡
⎣ xr(k)
xb(k)
⎤
⎦ ∈ Xr × Xb e la traiettoria di uscita
⎦ ∈ Yr × Yb sono univocamente definite.
In generale non è detto che un modello ibrido sia ben posto secondo la
definizione (1.1), poichè le traiettorie potrebbero interrompersi dopo un tem-
po finito (ad esempio nel caso in cui il vettore di stato x(k) esca dall’insieme
Xr ×Xb), oppure a causa di non-determinismo (l’evoluzione dello stato x ′ r(k),
x ′ b (k) potrebbe essere non unicamente definito).
I DHA, per come sono definiti, sono deterministici e non ammettono tran-
sizioni di modo istantanee, poichè tempo-discreti. In conseguenza di ciò
i DHA non ammettono fenomeni di live-locks (transizioni infinite in tempo
nullo), nè i comportamenti di Zeno [JELS99] (transizioni infinite in un tempo
finito).
1.3 Sistemi MLD
I DHA sono una astrazione matematica dei modelli ibridi molto intuitiva
e rappresentativa del funzionamento e dell’interazione fra la componente a
dinamiche discrete e quella a dinamiche continue. Inoltre è il formalismo
che viene impiegato in HYSDEL (HYbrid Systems DEscription Language) 2
[TB04], un linguaggio ad alto livello che consente di descrivere i DHA e
di inserire ulteriori vincoli sulle variabili caratterizzanti il sistema ibrido.
Il compilatore di HYSDEL consente di tradurre la descrizione del sistema
ibrido in altre classi di sistemi. In particolare il nostro interesse è rivolto
2 vedi Appendice A

1.3 Sistemi MLD 19
verso modelli maggiormente orientati al calcolo numerico e allo sviluppo di
strategie di controllo basate su tecniche predittive. Queste richieste sono
soddisfatte dai sistemi MLD [BM99] (Mixed Logical Dynamical) descritti da
equazioni dinamiche lineari soggette a disuguaglianze lineari miste intere, cioè
disuguaglianze che coinvolgono sia variabili intere che binarie. I sistemi MLD
generalizzano un ampio insieme di modelli, tra i quali ci sono i sistemi ibridi,
le macchine a stati finiti, alcune classi di sistemi ad eventi discreti, sistemi
lineari vincolati, e sistemi non lineari le cui non linearità possono essere
descritte da funzioni lineari a tratti. In questo capitolo focalizzeremo anche
l’attenzione sull’equivalenza fra DHA e sistemi MLD e su come sia possibile
passare da una descrizione all’altra [TB04, BM99, MLMH94, RG91].
1.3.1 Calcolo proposizionale e programmazione mista
intera
La traduzione di proposizioni logiche in un problema di ottimizzazione a vari-
abili intere si basa sulla possibilità di trasformare una proposizione logica in
un sistema di vincoli lineari interi tali che sia mantenuta l’equivalenza logica
delle espressioni tradotte [BM99, MLMH94, Mig01]. Il sistema risultante di
vincoli deve avere la stessa tabella di verità della proposizione originale, cioè,
la verità o la falsità della proposizione è rappresentata dal soddisfacimento o
meno del corrispondente insieme di disuguaglianze lineari.
Indichiamo con Pj la j-esima variabile logica che assume i valori “T” (true)
o “F” (false) e rappresenta una proposizione atomica descrivente un’azione
o una decisione. Associamo una variabile intera con ogni tipo di azione (o
decisione). Questa variabile, a cui ci si riferisce con il termine variabile
binaria, è indicata con δj e può assumere solo due valori: 1 o 0.

1.3 Sistemi MLD 20
La connessione di questa variabile con la variabile Pj è definita da
⎧
⎨ 1 se Pj = T
δj =
⎩ 0 se Pj = F .
Le variabili logiche possono essere unite in modo da formare proposizioni
più complesse tramite connettivi logici : “∧” (and), “∨” (or), “∼” (not),
“→” (implica), “↔” (se e solo se), “⊕”(or esclusivo) (un trattamento più
completo del calcolo booleano può essere trovato nei testi di progetto di cir-
cuiti digitali, ad esempio [Kat93]). Semplici proposizioni logiche e loro forme
equivalenti sono indicate in Tabella 1.1. E’ noto che tutti i connettivi pos-
sono essere definiti in termini di un loro sottoinsieme, ad esempio {∨, ∼}, il
quale è detto essere un insieme completo di connettivi.
Proposizione Forma equivalente
∼∼ P P
(P ⊕ Q) (∼ P ∧ Q) ∨ (P ∧ ∼ Q) Esclusione
∼ (P ∨ Q) ∼ P ∧ ∼ Q Leggi di De Morgan
∼ (P ∧ Q) ∼ P ∨ ∼ Q
P → Q ∼ P ∨ Q Implicazione
Tabella 1.1: Proposizioni logiche e forme equivalenti
Le proposizioni logiche elementari possono essere tradotte in disuguaglianze
intere, come illustrato in Tabella 1.2, per un elenco più dettagliato vedere
[MLMH94, Mig01].
In generale una proposizione logica può essere definita come una funzione logica
quando è utilizzata per definire una variabile logica Pn come una funzione di
P1,. . . ,Pn−1,
Pn = f(P1,...,Pn−1) . (1.10)

1.3 Sistemi MLD 21
Proposizione Vincolo
∼ P δ1 = 0
P1 ∨ P2
P1 ∧ P2
P1 → P2
P1 ↔ P2
δ1 + δ2 ≥ 1
δ1 = 1, δ2 = 1
δ1 − δ2 ≤ 0
δ1 − δ2 = 0
Tabella 1.2: Trasformazione prop. logiche in disuguaglianze intere
L’equazione (1.10) può essere tradotta in forma normale congiuntiva (CNF)
⎛
k
⎝
j=1
i∈Pj
δi
i∈Nj
∼ δi
⎞
⎠ ,Nj,Pj ⊆ {1,...,n} (1.11)
e successivamente in un insieme di disuguaglianze lineari intere [RG91] 3
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1 ≤
.
1 ≤
i∈P1 δi +
i∈Pk δi +
i∈N1
(1 − δi)
i∈Nk (1 − δi) .
(1.12)
Una variabile binaria può essere definita in funzione di una condizione del
tipo
[δ = 1] ←→ [f(x) ≤ 0] (1.13)
dove f(x) : R n → R è una funzione lineare e x ∈ X, dove X è un insieme
3 Un metodo alternativo di traduzione delle funzioni logiche in disuguaglianze lineari
intere è dato in [MBM99] e si basa su una descrizione geometrica della tabella di verità.

1.3 Sistemi MLD 22
limitato. Per tradurre la precedente equivalenza in disuguaglianze lineari
miste intere è necessario conoscere un limite superiore ed uno inferiore della
funzione f(x)
L’equivalenza (1.13) si traduce in
⎧
⎨ f(x) ≤ M(1 − δ)
⎩
M ≥ maxf(x)
(1.14a)
x∈X
m ≤ min f(x) . (1.14b)
x∈X
f(x) ≥ ɛ + (m − ɛ)δ
dove ɛ è una piccola tolleranza (tipicamente la precisione di macchina).
(1.15)
Un’altra possibile descrizione di proposizioni logiche è il vincolo logico nella
forma di implicazione, LCIF (Logic Constraint Implication Form), ovvero
una combinazione logica di semplici vincoli, definito come
if antecedente then conseguente1
else conseguente2
dove antecedente è una variabile binaria e conseguente1 \ conseguente2 è
un vincolo lineare. Un tale vincolo logico può essere sempre tradotto in un
problema misto intero. Consideriamo ad esempio il seguente vincolo LCIF
if δ then z = a ′ 1x − b1
else z = a ′ 2x − b2
dove δ ∈ {0, 1}, z ∈ R, x ∈ X. Il vincolo può essere tradotto come
(m2 − M1)δ + z ≤ a ′ 2x − b2
(m1 − M2)δ − z ≤ −a ′ 2x + b2
(m1 − M2)(1 − δ) + z ≤ a ′ 1x − b1
(m2 − M1)(1 − δ) − z ≤ −a ′ 1x + b1 ,
(1.16)

1.3 Sistemi MLD 23
dove
Mi ≥ sup(a
x∈X
′ ix − bi), mi ≤ inf
x∈X (a′ ix − bi), i = 1, 2
sono i limiti superiori ed inferiori, rispettivamente, di (a ′ ix − bi). Ulteriori
esempi di traduzione di proposizioni logiche in problemi misti interi possono
essere trovati in [BM99].
1.3.2 Sistemi MLD
Le traduzioni illustrate nella sezione precedente sono alla base per la de-
scrizione delle varie parti che compongono un sistema ibrido, riportato in
Figura 1.1.
Le parti logiche del sistema, automa ed eventuali proposizioni logiche, pos-
sono essere tradotte in un insieme di vincoli lineari interi della forma (1.12).
La legge di aggiornamento degli stati dell’automa può essere infatti descritta
da proposizioni logiche comprendenti stati binari, i loro aggiornamenti tem-
porali e segnali binari esterni, sotto l’ipotesi che le transizioni da uno stato
all’altro siano sincronizzate con il tempo di campionamento delle equazioni
dinamiche continue:
xl(k + 1) = F(xl(k),ul(k)),
xl ∈ {0, 1} nl,ul ∈ {0, 1} ml, dove ul è l’insieme di ingressi che comandano la
transizione da uno stato all’altro dell’automa.
L’interfaccia che collega segnali continui a eventi discreti (A/D) può essere
descritta tramite relazioni del tipo (1.13) e tradotta nell’insieme di vincoli
lineari misti interi (1.15).
L’interfaccia che collega eventi discreti a variabili continue (D/A) può es-
sere descritta tramite la forma LCIF e viene tradotta nell’insieme dei vincoli
lineari misti interi del tipo (1.16).

1.3 Sistemi MLD 24
Infine, la dinamica continua viene descritta da equazioni alle differenze, del
tipo:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) (1.17a)
y(k) = Cx(k) + Du(k) . (1.17b)
Se da un lato la modellizzazione tempo-discreto non consente di catturare
fenomeni che avvengono solo nei sistemi ibridi tempo-continuo, come i com-
portamenti di Zeno [JELS99], dall’altro essa consente di sviluppare schemi
numericamente trattabili per risolvere problemi complessi di analisi e sintesi.
E’ da osservare inoltre che la trattazione lineare non è limitativa dato che
sistemi non lineari possono essere ricondotti a funzioni lineari a tratti secon-
do tecniche derivanti dalla letteratura dei circuiti digitali [CD88, JJD98].
Raccogliendo le uguaglianze e le disuguaglianze derivanti dalle rappresen-
tazioni delle varie componenti del sistema ibrido si ottiene la forma generale
di un sistema MLD [BM99, BM01b]
x(k + 1) = Ax(k) + B1u(k) + B2δ(k) + B3z(k) (1.18a)
y(k) = Cx(k) + D1u(k) + D2δ(k) + D3z(k) (1.18b)
E2δ(k)+E3z(k) ≤ E1u(k) + E4x(k) + E5
(1.18c)
dove x ∈ R nc ×{0, 1} nℓ è un vettore di stati continui e binari, u ∈ R mc × {0, 1} mℓ
sono gli ingressi, y ∈ R pc × {0, 1} pℓ le uscite, δ ∈ {0, 1} rℓ, z ∈ R rc rappre-
sentano rispettivamente variabili ausiliarie binarie e continue, che sono in-
trodotte nella trasformazione delle relazioni logiche in disuguaglianze lineari
miste intere, e A, B1−3, C, D1−3, E1−5 sono matrici di dimensioni compatibili.

1.3 Sistemi MLD 25
In appendice A è descritto il linguaggio HYSDEL (HYbrid Systems DE-
scription Language) che consente di generare automaticamente modelli MLD
in Matlab a partire da una descrizione in forma DHA.
1.3.3 Proprietà dei sistemi MLD
Ben Postezza
In linea teorica i vincoli (4.18c) possono essere soddisfatti per molteplici
valori di δ(k) e z(k); d’altra parte per garantire l’unicità delle traiettorie
è necessario che una volta fissati x(k) e u(k) possano essere determinati
univocamente δ(k) e z(k), i quali sostituiti in (4.18a) e (4.18b) permettono
di ricavare un unico valore per x(k + 1) e y(k). Per tale scopo si fornisce la
seguente:
Definizione 1.2. Sia IB l’insieme degli indici i ∈ {1,...,rl} tali che [B2] i = 0.
([B2] i denota la i-esima colonna di B2). Siano ID, JB e JD definiti in mo-
do analogo, raccogliendo gli indici delle colonne non nulle di D2, B3 e D3
rispettivamente. Sia I = IB ID e J = JB JD. Un sistema MLD (4.18)
è detto ben posto se:
• x(k) e u(k) soddisfano le (4.18c) per qualche δ(k) ∈ {0, 1} rl, z(k) ∈ R rc
e xl(k + 1) ∈ {0, 1} nl, yl(k) ∈ {0, 1} pl;
• ∀i ∈ I e ∀j ∈ J la i-esima componente δi(k) e la j-esima componente
zj(k) sono univocamente determinate da x(k) e u(k).
Definizione 1.3. Un sistema è completamente ben posto se è ben posto e se
I = {1,...,rl} e J = {1,...,rc}.
Da ora in poi si assumerà che il sistema (4.18) sia ben posto 4 nel senso
4 In [BM99] è descritto un semplice algoritmo per testare se un sistema è ben posto.

1.3 Sistemi MLD 26
che una volta assegnate x(k) e u(k), x(k + 1) e y(k) saranno univocamente
definite. In particolare sarà indicato con x(k,k0,x0,u k−1
) la traiettoria gen-
k0
erata da (4.18) applicando la sequenza d’ingressi u(k0), u(k0+1), . . . , u(k−1)
a partire dallo stato iniziale x(k0) = x0.
Stabilità dei sistemi MLD
Se si assume che
xu
xu n+m
∈ C ∈ R : Fx + Gu ≤ H
(1.19)
con C insieme limitato 5 si possono estendere tutte le definizioni di stabilità
standard ai sistemi MLD.
Definizione 1.4. Un vettore xe ∈ R nc × {0, 1} nℓ è detto stato di equilibrio
per (4.18) e l’ingresso ue ∈ R mc ×{0, 1} mℓ se [x ′ e u ′ e] ′ ∈ C e x(k,k0,xe,ue) = xe,
∀k ≥ k0, ∀k0 ∈ Z. La coppia (xe,ue) è detta coppia di equilibrio.
Definizione 1.5. Data una coppia di equilibrio (xe,ue), xe ∈ R nc × {0, 1} nℓ
si dice stabile se, dato k0 ∈ Z, ∀ɛ > 0 ∃δ(ɛ,k0) tale che
x0 − xe ≤ δ ⇒ x(k,k0,x0,ue) − xe ≤ ɛ, ∀k ≥ k0.
Definizione 1.6. Data una coppia di equilibrio (xe,ue), xe ∈ R nc × {0, 1} nℓ
si dice asintoticamente stabile se xe è stabile e ∃r > 0 tale che ∀x0 ∈ B(xe,r)
e ∀ɛ > 0 ∃T(ɛ,k0) tale che x(k,k0,x0,ue) − xe ≤ ɛ, ∀k ≥ T.
Definizione 1.7. Data una coppia di equilibrio (xe,ue), xe ∈ R nc ×{0, 1} nℓ si
dice esponenzialmente stabile se xe è asintoticamente stabile e in più ∃δ > 0,
α > 0, 0 ≤ β < 1 tale che ∀x0 ∈ B(xe,δ) e x(k,k0,x0,ue) − xe ≤
αβ k−k0 x0 − xe.
5 Considerare un insieme limitato non è un’ipotesi restrittiva dato che spesso per ragioni
fisiche le componenti continue dello stato e dell’ingresso sono limitate e le componenti
discrete lo sono per loro natura.

1.3 Sistemi MLD 27
Osservabilità e Controllabilità
Le definizioni di osservabilità e controllabilità possono essere estese ai sistemi
MLD (4.18). Indichiamo con y(k,x,u) l’evoluzione dell’uscita all’istante k
a partire dalla condizione iniziale x(0) = x sotto l’azione dell’ingresso u(k),
k = 0, 1, · · · ,k.
Definizione 1.8. Sia X(0) ⊆ R nc × {0, 1} nl un insieme di stati iniziali,
e sia U ⊆ R mc × {0, 1} ml un insieme d’ingressi. Il sistema MLD (4.18) è
incrementalmente osservabile in T passi su X(0) uniformemente rispetto a
U o semplicemte incrementalmente osservabile se esistono due norme · a
(su R nc+nl) e ·b (su R pc+pl) ed uno scalare positivo w tale che ∀x1,x2 ∈ X(0)
T −1
e per ogni sequenza d’ingresso {u(k)} k=0 ⊆ U:
T
−1
y(k,x1,u) − y(k,x2,u)b ≥ wx1 − x2a . (1.20)
k=0
Definizione 1.9. Siano X(0) e Xf, rispettivamente, insiemi non vuoti di
stati iniziali e finali. Il sistema MLD (4.18) è controllabile in T passi da X(0)
T −1
a Xf se, ∀x0 ∈ X(0), esiste una sequenza d’ingresso ammissibile {u(k)} k=0
tale che
x(T) ∈ Xf . (1.21)
In [BFM00] è descritto un algoritmo per testare l’osservabilità di sistemi
ibridi basato sulla programmazione lineare mista intera.

1.4 Sistemi PWA 28
1.4 Sistemi PWA
Un’altra classe importante di modelli matematici che descrivono sistemi ib-
ridi sono i sistemi PWA (Piecewise Affine) 6 . L’obiettivo di questo paragrafo
è mostrare la relazione fra i sistemi MLD, i DHA e la classe di sistemi PWA
[Son81].
I sistemi PWA sono definiti partizionando lo spazio degli stati in regioni
poliedrali, e associando ad ognuna di esse una diversa funzione affine di
aggiornamento dello stato del tipo:
x(k + 1) = Ai(k)x(k) + Bi(k)u(k) + fi(k)
y(k) = Ci(k)x(k) + Di(k)u(k) + gi(k)
se x(k) ∈ Ci(k) (1.22)
dove Ci = {x : H i x ≤ K i }, i = 1, · · · ,s è la partizione poliedrica dello spazio
degli stati, vedere Figura 1.4.
Figura 1.4: Partizione poliedrica dello spazio degli stati
6 Esistono comunque altri modelli ibridi di interesse scientifico come sistemi lineari
complementari (LC), sistemi LC estesi (ELC) e sistemi Min-Max-Plus Scaling (MMPS).
L’equivalenza tra questi sistemi ed i sistemi MLD e PWA è fornita in [HDB01].

1.4 Sistemi PWA 29
1.4.1 Equivalenza fra DHA, Sistemi PWA e MLD
Le classi di sistemi DHA, PWA e MLD sono equivalenti rappresentazioni
di uno stesso sistema ibrido, ognuna delle quali finalizzata ad un differente
scopo, sia esso la compattezza e chiarezza di rappresentazione, l’analisi di
sistema, lo sviluppo di controllori. Introduciamo dunque la definizione di
equivalenza fra modelli ibridi.
Definizione 1.10. Siano Σ1 e Σ2 modelli ibridi i cui ingressi sono rispetti-
vamente:
le cui uscite sono
e siano gli stati
u1(k) ∈ U1 ⊆ U e u2(k) ∈ U2 ⊆ U,
y1(k) ∈ Y1 ⊆ Y e y2(k) ∈ Y2 ⊆ Y,
x1(k) ∈ X1 ⊆ X e x2(k) ∈ X2 ⊆ X,
con k ∈ Z + . I modelli ibridi Σ1 e Σ2 sono equivalenti su
X, U, Y ⊆ X1 ∩ X2, U ⊆ U1 ∩ U2, Y ⊆ Y1 ∩ Y2
se per tutte le condizioni iniziali x1(0) = x2(0) ∈ X, e per tutti gli ingressi
u1(k) = u2(k) ∈ U le traiettorie di uscita ed evoluzione dello stato coincidono,
ossia
y1(k) = y2(k) e x1(k) = x2(k) ∀k ∈ Z + .

1.4 Sistemi PWA 30
Teorema 1.1. I DHA e sistemi PWA sono equivalenti.
Dimostrazione. Sia ΣPWA un modello PWA ben posto 7 . definito sull’insieme
di stati X ⊆ R n , sull’insieme di ingressi U ⊆ R m , e sull’insieme di uscite
Y ⊆ R p . Tale modello ΣPWA può essere riscritto come un equivalente modello
DHA, ΣPWA, ben posto e definito su U, X, Y.
Le equazioni (1.22) sono i modi dello switched affine system SAS (1.1). I
vincoli H i x ≤ K i , i = 1, · · · ,s definiscono l’iperpiano lineare (1.4) dell’event
generator EG, mentre l’uscita della funzione booleana (1.7) del mode selector
MS è definita come i(k) = H i x ≤ K i , dove se gli eventi associati all’iperpiano
di H j x ≤ K j sono soddisfatti allora i(k) = j .
I sistemi PWA possono modellare un vasto numero di processi fisici,
come i sistemi non lineari linearizzati su differenti punti di lavoro. Oltre
all’equivalenza con gli automi ibridi vale anche il seguente risultato:
Teorema 1.2. I sistemi MLD e sistemi PWA sono equivalenti.
Dimostrazione. Proviamo che i sistemi MLD possono essere tradotti in forma
PWA. Dall’ipotesi di ben postezza del sistema MLD, fissati x(k) e u(k), δ(k)
e z(k) sono univocamente definiti, dunque
δ(k) = F(x(k),u(k)) ∀(x(k),u(k)) .
Dato che δ ∈ {0, 1} rl si potranno avere al più 2 rl possibili combinazioni δ i .
Si può pensare dunque di partizionare lo spazio degli stati+ingressi in X i
regioni tali che
δ i = F(x(k),u(k)) ∀(x(k),u(k)) ∈ X i .
7 Per i sistemi PWA la ben-postezza è definita in modo analogo alla Definizione(1.2.1);
una definizione esatta è riportata in [HDB01]

1.4 Sistemi PWA 31
Fissato δ(k) = δ i i vincoli (4.18c) definiscono un poliedro P ⊆ R n+m+rc .
Dalla linearità dei vincoli MLD (4.18c) e dalla ben postezza di z(k), possiamo
scrivere
z(k) = K i 4x(k) + K i 1u(k) + K i 5 ∀(x(k),u(k)) : F(x(k),u(k)) = δ i . (1.23)
Sostituendo la (1.23) in (4.18a) e (4.18b) si ottiene la forma PWA (1.22)
definita nel poliedro
F i x(k) + G i u(k) ≤ h i .
Per la dimostrazione che i sistemi PWA possono essere riscritti come sistemi
MLD si rimanda a [BM99].
Ulteriori conferme di questa equivalenza possono essere trovate in [Son96].
La conseguenza applicativa dei precedenti teoremi è la rilevante oppor-
tunità di poter utilizzare indistintamente gli strumenti teorici sviluppati per
l’uno o l’altro modello, dato che in ogni momento sarà possibile passare
dall’una all’altra rappresentazione 8 .
1.4.2 Analisi di raggiungibilità
L’analisi di raggiungibilità dei sistemi ibridi permette di effettuare analisi di
sicurezza, verificando che un dato sistema non raggiunga situazioni ritenute
“pericolose”. A partire da un insieme di condizioni iniziali e di segnali d’in-
gresso, si vuole verificare che gli stati non sicuri non siano raggiunti oppure
fornire un controesempio. Si definisce il seguente
8 Il linguaggio HYSDEL permette di descrivere i modelli ibridi come DHA e di tradurli
sia in sistemi MLD che PWA.

1.4 Sistemi PWA 32
Problema di analisi di raggiungibilità. Dato un sistema ibrido Σ in for-
ma PWA (1.22), un insieme di condizioni iniziali X(0), un gruppo di insiemi
obiettivo disgiunti Z1, Z2, ..., ZL, un insieme limitato di ingressi U, ed un
orizzonte temporale k ≤ Tmax, determinare (i) se Zj è raggiungibile da X(0)
in k ≤ Tmax passi per qualche sequenza {u(0), ..., u(k −1)} ⊆ U di ingressi;
(ii) se si, il sottoinsieme di condizioni iniziali XZj (0) di X(0) dal quale Zj
può essere raggiunto in Tmax passi; (iii) per qualsiasi x1 ∈ XZj (0) e x2 ∈ Zj,
la sequenza d’ingresso {u(0), ..., u(k−1)} ⊆ U, k ≤ Tmax, che porta x1 in x2.
Il precedente problema può essere risolto analizzando tutte le sequenze di
commutazione I(T) {i(0),...,i(T − 1)}, ∀T ≤ Tmax che portano a Z1, o
Z2, . . . , o ZL a partire da X(0), dove i(k) è l’indice della partizione poliedri-
ca in cui si trova il sistema PWA all’istante k. Indicando con X(k, X(0))
l’insieme raggiungibile all’istante k a partire da qualsiasi x ∈ X(0) ed appli-
cando qualsiasi ingresso u(k) ∈ U, 0 ≤ k ≤ k − 1, è sufficiente verificare che
l’insieme raggiunto all’istante T soddisfi X(T, X(0)) ∩ Zj = ∅ per tutte le
sequenze ammissibili I(T).
Per poter determinare tutte le sequenze I(T) è necessario analizzare la strut-
tura dei sistemi PWA (1.22). Infatti tale struttura consente di calcolare in
modo semplice l’insieme raggiunto fino a che l’evoluzione rimane all’interno
di una singola regione Ci della partizione poliedrale. Quando l’insieme rag-
giunto attraversa il limite della regione ed entra in una nuova regione Cj,
il calcolo del nuovo insieme raggiunto si basa sulle dinamiche della j-esima
regione.
In [BTM00] è descritto un algoritmo che risolve il problema precedente-
mente posto in maniera efficiente, evitando l’enumerazione di tutte le possibili
sequenze I(T).

Capitolo 2
Controllo predittivo e forma
esplicita
Nel capitolo 1 abbiamo mostrato come sia possibile descrivere un sistema
ibrido in forma DHA, MLD o PWA. Se ne sono inoltre osservate le proprietà
e la loro equivalenza. In questo capitolo mostreremo come i sistemi MLD
vengono utilizzati per derivare leggi di controllo. In particolare descrivere-
mo la strategia del controllo predittivo ed i limiti che la soluzione in-linea
comporta. Sarà approfondito l’aspetto computazionale mettendo in evidenza
come la stessa azione compiuta dal controllore in linea possa essere tradotta
in un forma esplicita computazionalmente più efficiente.

2.1 Controllo predittivo in-linea 34
2.1 Controllo predittivo in-linea
L’idea di base nella teoria del controllo è la progettazione di un dispositivo
automatico (il controllore) che consenta di garantire l’inseguimento di deter-
minati riferimenti ed il soddisfacimento di determinati vincoli, utilizzando i
segnali provenienti dall’impianto stesso, in uno schema retroazionato, come
descritto in Figura 2.1.
RIFERIMENTI COMANDI
CONTROLLORE IMPIANTO
GRANDEZZE MISURATE
Figura 2.1: Schema di controllo retroazionato
GRANDEZZE
NON MISURATE
Una tecnica molto diffusa per la progettazione di controllori si basa sul
concetto di Controllo Predittivo, MPC (Model Predictive Control), tecnica
ampiamente utilizzata nell’industria di processo per problemi di inseguimento
di sistemi soggetti a vincoli.
La tecnica MPC 1 , [BRM04], [BRO04] si basa sull’ottimizzazione in linea
di un funzionale di costo soggetto a vincoli dettati dalla dinamica del sistema.
Essa offre, a differenza di altre tecniche, la possibilità di includere vincoli sia
sugli ingressi che sulle uscite del sistema in fase di progetto del controllore.
La sigla MPC è acronimo di Model Predictive Control dove
• Model: indica il modello (in genere tempo-discreto 2 ) del sistema sul
quale implementare il controllo.
1 Per ulteriori informazioni consultare il sito internet: www.dii.unisi.it \˜ bemporad
2 nel caso in cui sia tempo continuo viene effettuato un campionamento interno con
intervallo Ts proprio del controllore

2.1 Controllo predittivo in-linea 35
• Predictive: l’ottimizzazione è basata sull’evoluzione predetta del sistema.
• Control: vengono considerati i vincoli imposti in fase di dichiarazione
e ricavata la legge di controllo in rispetto degli stessi.
Questa tecnica di controllo è basata sulla filosofia ad orizzonte recessivo,
vedi Figura 2.2, secondo la quale ad ogni istante di campionamento, a partire
dallo stato corrente del sistema, si determina, secondo un qualche criterio di
ottimalità, una sequenza di comandi da applicarsi su un orizzonte temporale
futuro T passi. Di questa sequenza verrà applicato al sistema soltanto il pri-
mo campione, scartando tutto il resto. Questa procedura viene ripetuta per
tutti gli istanti successivi del controllo. La soluzione ottimale viene ottenuta
a partire da una descrizione matematica del sistema considerando i vincoli
sugli ingressi e sulle uscite e minimizzando un indice di prestazione. Tale in-
dice di prestazione in genere è di tipo lineare o quadratico e per tale motivo
ci si riferisce al problema di controllo come ad un problema quadratico (QP)
o lineare (LP).
2.1.1 MPC per sistemi ibridi
Sia t l’istante di campionamento attuale, x(t) lo stato corrente del sistema,
xe, ue una coppia di equilibrio e δe, ze i corrispondenti equilibri delle variabili
ausiliarie, suppondendo che y(t) debba inseguire il riferimento ye il problema

2.1 Controllo predittivo in-linea 36
PASSATO FUTURO
riferimento
riferimento
K
USCITE PREDETTE
K+1
K+1
INGRESSI
Figura 2.2: Filosofia orizzonte recessivo
di controllo ottimo può essere formulato nel seguente modo:
min
T −1
{v,δ,z} 0
soggetto a
T −1
T −1
J({v, δ, z} 0 , x(t))
K+T
K+1+T
Q1(v(k) − ue)p + Q2(δ(k|t) − δe)p+
k=0
Q3(z(k|t) − ze)p + Q4(x(k|t) − xe)p + Q5(y(k|t) − ye)p
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x(T |t) = xe
x(k + 1|t) = Ax(k|t) + B1v(k) + B2δ(k|t)+
B3z(k|t)
y(k|t) = Cx(k|t) + D1v(k) + D2δ(k|t)+
D3z(k|t)
E2δ(k|t) + E3z(k|t) ≤ E1v(k)+
E4x(k|t) + E5
umin ≤ v(t + k) ≤ umax,
k = 0, 1, . . .,T − 1
xmin ≤ x(t + k|t) ≤ xmax, k = 1, . . .,Nc ,
(2.1a)
(2.1b)
(2.1c)

2.1 Controllo predittivo in-linea 37
dove T e Nc ≤ T sono, rispettivamente, gli orizzonti di predizione e di vincolo
sullo stato, x(k|t) è lo stato predetto all’istante t + k risultante dall’ingresso
u(t + k) = v(k) applicato a (4.18) a partire da x(0|t) = x(t), umin, umax e
xmin, xmax sono, rispettivamente, vincoli sugli ingressi e sullo stato. In (2.1a)
si ha che Qxp = x ′ Qx quando p = 2, Qxp = Qx∞ (Qx1) quando
p = ∞ (p = 1) e
Q1,4 = Q ′ 1,4 ≻ 0, Q2,3,5 = Q ′ 2,3,5 0 (p = 2)
Q1−5 non singolari (p = ∞, 1).
Se esiste la soluzione ottima
{v ∗ t (0),...,v ∗ t (T − 1),δ ∗ t (0),...,δ ∗ t (T − 1),z ∗ t (0),...,z ∗ t (T − 1)}
(2.2)
secondo la filosofia ad orizzonte recessivo si applica al sistema reale soltanto
u(t) = v ∗ t (0), (2.3)
si scarta tutta la sequenza d’ingressi v ∗ t (1),...,v ∗ t (T − 1), e si ripete l’intera
procedura all’istante t + 1. La legge di controllo (2.1)–(2.3) risulta essere
un’estensione del controllo predittivo ai sistemi ibridi. Le proprietà del con-
trollo predittivo classico possono essere estese, con opportune modifiche, an-
che al controllo MPC per sistemi ibridi. In [BM01b] sono presentati alcuni
esempi di queste estensioni.
Come si può notare dalla (2.1c), le equazioni che descrivono il modello MLD
del sistema compaiono come vincoli nel problema di controllo ottimo. Dato
che nel modello MLD ci sono variabili discrete il problema (2.1) risulta essere
un problema misto intero. Se si utilizza la norma Euclidea, p = 2, il proble-
ma è risolubile mediante programmazione quadratica mista intera, (MIQP),

2.1 Controllo predittivo in-linea 38
altrimenti, se p = ∞ o p = 1, mediante programmazione lineare mista intera
(MILP) . La soluzione di questi problemi si determina mediante risolutori
misti interi (vedi paragrafo 2.1.3).
2.1.2 Convergenza ad anello chiuso
Il seguente teorema dimostra che l’anello di retroazione formato dal sistema e
dal controllore MPC ottenuto da (2.1)–(2.3) risulta essere stabile [BM99, BM01b].
Teorema 2.1. Siano (xe,ue) una coppia di equilibrio e (δe,ze) la corrispon-
dente coppia di equilibrio delle variabili ausiliarie. Assumiamo che lo stato
iniziale x(0) sia tale che esista all’istante t = 0 una soluzione ammissibile
del problema (2.1). Allora per tutte le matrici Q1−5 che soddisfano (5.3) la
legge MPC (2.1)–(2.3) stabilizza il sistema in quanto
lim x(t) = xe
t→∞
lim u(t) = ue
t→∞
lim
t→∞ Q2(δ(t) − δe)p = 0
lim
t→∞ Q3(z(t) − ze)p = 0
lim
t→∞ Q5(y(t) − ye)p = 0
e sono soddisfatti i vincoli (4.18c) ed i vincoli dell’ingresso e dello stato
umin ≤ u(t) ≤ umax, xmin ≤ x(t) ≤ xmax.
Dimostrazione. Si tratta di dimostrare che una funzione di Lyapunov è de-
crescente ed inferiormente limitata. Sia U ∗ t la sequenza di controllo ottimale
{v ∗ t (0),...,v ∗ t (T − 1)}, sia
V (t) J(U ∗ t ,x(t))
il corrispondente valore ottenuto dall’indice di prestazione, e sia U1 la sequen-
za {v ∗ t (1),...,v ∗ t (T −2),ue}. Allora, U1 è ammissibile all’istante t+1, assieme

2.1 Controllo predittivo in-linea 39
con i vettori δ(k|t + 1) = δ(k + 1|t), z(k|t + 1) = z(k + 1|t), k = 0,...,T − 2,
δ(T −1|t+1) = δe, z(T −1|t+1) = ze, dato che x(T −1|t+1) = x(T |t) = xe.
Risulta che,
V (t + 1) ≤ J(U1,x(t + 1)) =
V (t) − Q4(x(t) − xe)p +
−Q1(u(t) − ue)p − Q2(δ(t) − δe)p +
−Q3(z(t) − ze)p − Q5(y(t) − ye)p
(2.4)
e quindi che V (t) è decrescente. Dato che V (t) è inferiormente limitato da
0, allora esiste V∞ = limt→∞ V (t), che implica V (t + 1) − V (t) → 0. Inoltre,
ogni termine della somma
Q4(x(t) − xe)p + Q1(u(t) − ue)p +
Q2(δ(t) − δe)p + Q3(z(t) − ze)p +
converge a zero, e questo prova il teorema.
Q5(y(t) − ye)p ≤ (2.5)
V (t) − V (t + 1)
Osservazione 1. Si può osservare che se Q2 (o Q3, Q5) è non singolare, si
garantisce la convergenza di δ(t) (o z(t), y(t)).
Osservazione 2. Il teorema (2.1) assicura stabilità assunto che il proble-
ma (2.1) sia ammissibile all’istante t = 0. L’insieme delle condizioni iniziali
x(0) per le quali il problema (2.1) è ammissibile verrà caratterizzato nel
paragrafo 2.2.

2.1 Controllo predittivo in-linea 40
2.1.3 Risolutori di problemi misti interi
Rimane da chiarire come possa essere determinata una soluzione ottima del
problema (2.1). Richiamiamo brevemente la forma generale di un problema
misto intero
min
q
l(qc,qd)
soggetto a Gcqc + Gdqd ≤ S + Fx(t)
(2.6)
dove l(qc,qd) è il funzionale di costo, qc, qd rappresentano, rispettivamente,
le componenti continue e discrete del vettore di ottimizzazione q. x(t) è lo
stato del sistema all’istante t che assumiamo come noto; mentre Gc,Gd,S,F
sono matrici di dimensioni compatibili. Se il funzionale di costo è del tipo
l(qc,qd) = f T c qc + f T d qd
il problema è detto lineare misto intero (MILP), mentre se è del tipo
l(q) = 1
2 qT Hq + c T q
si parla di problema quadratico misto intero (MIQP).
A parte particolari strutture, i problemi misti interi sono classificati come
problemi NP-hard per i quali non è possibile trovare un algoritmo che li
risolva in tempo polinomiale rispetto alla dimensione del problema 3 . Sebbene
i problemi misti interi abbiano questa particolare natura, esistono diversi
metodi per risolvere problemi misti interi:
• Metodi basati su tagli, in cui nuovi vincoli sono aggiunti al proble-
ma misto intero in modo da ridurre il dominio ammissibile finchè la
soluzione intera non viene trovata.
3 Tale risultato, sebbene fortemente sospettato, non è ancora formalmente dimostrato.

2.1 Controllo predittivo in-linea 41
• Metodi di decomposizione, dove la struttura del problema viene inves-
tigata tramite metodi di rilassamento e dualità.
• Metodi basati su logica, dove sono utilizzate tecniche basate su inferenze
e programmazione logica per esprimere le variabili binarie.
• Metodi Branch and Cut e Branch and Bound, dove le combinazioni
binarie sono esplorate attraverso un albero binario.
Tra quelli precedentemente indicati i metodi Branch and Bound risultano es-
sere i più efficienti, come indicato in [FL98], e sono tipicamente usati nei riso-
lutori. Alcuni esempi di risolutori possono essere [ILO01, FL98, BM01a] per
risolvere problemi MIQP, e [ILO01, Mak02, BM01a] per risolvere problemi
MILP. In questo lavoro è stato sviluppato il controllo ottimo (2.1) in norma
Euclidea, in particolare per risolvere il problema MIQP abbiamo utilizzato il
risolutore CPLEX ([ILO01]).
Un algoritmo Branch and Bound per problemi MILP/MIQP risolve e genera
nuovi problemi LP/QP in accordo a tecniche di esplorazione di un albero di
ricerca, dove i nodi dell’albero corrispondono a sottoproblemi LP/QP. Inizial-
mente viene risolto il problema radice in cui sono rilassate tutte le variabili
binarie, δ ∈ {0, 1} → δ ∈ [0, 1], ed il valore del funzionale di costo rappresen-
ta un limite inferiore al valore ottimo. L’algoritmo procede generando i nodi
figli fissando di volta in volta una variabile discreta ad uno dei possibili valori
(operazione di branch). Nel passaggio da un problema ai sottoproblemi figli
il valore dell’ottimo non può diminuire. Ne segue che se ad una iterazione il
valore del problema LP/QP è peggiore del valore di una soluzione ammissibile
(che costituisce un limite superiore all’ottimo), nessuna eventuale soluzione
mista intera che può essere trovata nel sottoalbero avente come radice il

2.2 Forma esplicita del controllore 42
nodo corrente potrà essere migliore della soluzione ammissibile, pertanto il
sottoalbero non verrà esplorato (operazione di bounding).
2.2 Forma esplicita del controllore
Nella sezione 2.1.1 abbiamo mostrato come il controllo predittivo, noto lo
stato del sistema x(t), richieda la risoluzione di un problema di program-
mazione MILP o MIQP ad ogni istante di campionamento t. Da un punto
di vista computazionale questa tecnica di controllo risulta adatta per sistemi
con tempi di campionamento sufficientemente lunghi, ad esempio dell’ordine
di decine di secondi, nei quali in genere è presente un hardware adatto a sup-
portare la pesantezza computazionale richiesta. Tuttavia non è adeguato per
sistemi con tempi di campionamento veloci, dell’ordine dei 10 millisecondi,
nei quali in genere è addirittura presente un dispositivo embedded, come ad
esempio nelle applicazioni automotive. La ricerca di una strategia di con-
trollo predittiva ibrida che fosse però implementabile su hardware semplici,
come le centraline automobilistiche standard, ha portato allo sviluppo di una
legge di controllo che dipende esplicitamente dallo stato e che debba essere
calcolata ad ogni iterazione.
L’idea alla base della forma esplicita, come indicato in [BMDP01], è quella di
gestire il vettore di stato x(t), che appare nel lato destro dei vincoli, come un
vettore di parametri. Se nel funzionale di costo si adotta la norma-∞ il prob-
lema di ottimizzazione diventa un problema MILP multiparametrico (mp-
MILP) , altrimenti se si adotta la norma-2 si parla di problema di ottimiz-
zazione MIQP multiparametrico . Risolvere un problema mp-MILP/MIQP
consiste nell’esprimere la soluzione del problema MILP/MIQP come funzione
dei parametri. Una volta che la soluzione del problema multiparametrico è

2.2 Forma esplicita del controllore 43
stata trovata, U ∗ t = f(x(t)), il controllore predittivo è disponibile esplicita-
mente. La legge di controllo MPC può dunque essere espressa esplicitamente
come un insieme di regioni nello spazio degli stati (funzione piecewise affine);
ad ogni regione è associata una legge affine di retroazione dello stato. E’
necessario sottolineare che la forma piecewise affine ed il controllore MPC-
ibrido predittivo (2.1) sono uguali, nel senso che entrambi producono la stessa
azione di controllo, ed inoltre condividono le stesse proprietà di ottimalità e
stabilità. La sola differenza sta nell’implentazione del controllore: in forma
esplicita il calcolo in linea si riduce ad una valutazione di una funzione PWA.
Risulta quindi evidente come la forma esplicita sia interessante da un pun-
to di vista implementativo. Oltre alla semplicità indotta dal metodo che la
rende adatta per sistemi con tempo di campionamento veloci e con hardware
economico, permette di comprendere la struttura matematica della legge di
controllo, altrimenti nascosta dal formalismo di ottimizzazione. Oltretut-
to il fatto di poter rappresentare l’anello chiuso in forma PWA ci consente
di riutilizzare gli strumenti per l’analisi di prestazione basati sull’analisi di
raggiungibilità, come richiamato nel paragrafo 1.4.2, pagina 31.

Capitolo 3
Meccanica del motore ad
iniezione diretta a benzina
Motivata dalla necessità di soddisfare sia le regolamentazioni sulle emissioni
dei gas di scarico che per venire incontro a nuove e crescenti richieste da parte
del guidatore, la tecnologia dei motori ha raggiunto un grado elevato di com-
plessità sia in termini di meccanica che di elettronica di controllo. I moderni
motori a combustione interna contengono sofisticati sensori ed attuatori che
offrono forti potenzialità per il miglioramento del consumo di carburante e
per un maggiore controllo delle emissioni dei gas nocivi.
In questo capitolo verrà descritto in modo generale il funzionamento di un
motore a combustione interna e successivamente si analizzerà in dettaglio
il motore ad iniezione diretta ad accensione comandata sottolineando le
particolarità meccaniche e gli obiettivi che si sono posti in questo lavoro.

3.1 Motore a combustione interna 45
3.1 Motore a combustione interna
3.1.1 Schema di funzionamento e definizioni
I motori a combustione interna (MCI) [Bos97, Hey88], sono composti
da uno o più cilindri in cui scorrono i pistoni, collegati tramite un sistema
biella-manovella ad un albero motore, vedi Figura 3.1. Ciclicamente all’in-
terno dei cilindri viene immesso del fluido e tramite un ciclo termico si ot-
tiene un moto rotatorio all’albero motore. L’energia chimica del fluido viene
trasformata in lavoro al pistone per mezzo di un processo di combustione
all’interno del cilindro. Il lavoro che viene compiuto sul pistone viene poi
trasformato in moto rotatorio uniforme applicato all’albero motore tramite
il sistema biella-manovella. L’immissione del fluido all’interno del cilindro
alberi
a camme
condotto
aspirazione
manovella
albero motore
candela
valvole
biella
condotto
scarico
Figura 3.1: Schema pistone biella-manovella

3.1 Motore a combustione interna 46
e la successiva fuoriuscita dei gas combusti avvengono grazie ad opportune
valvole, dette di aspirazione e scarico, poste in testa al cilindro, che sono
comandate dall’albero a camme a sua volta mosso dall’albero motore (vedi
Figura 3.1).
I motori MCI possono distinguersi in motori MCI ad accensione coman-
data e MCI ad accensione spontanea. Nel primo caso il fluido, general-
mente una miscela di aria (il comburente) e benzina (il combustibile), viene
incendiata per mezzo di una scintilla fatta scoccare tra i due elettrodi di una
candela che si affaccia all’interno del cilindro. Nel secondo caso, invece, il
fluido, generalmente il gasolio, si incendia autonomamente a causa dell’alta
temperatura raggiunta dall’aria a seguito della compressione. La miscela può
essere ottenuta o direttamente all’interno del cilindro, nel qual caso si parla
di MCI ad iniezione diretta, o all’esterno del cilindro, riferendosi così a
MCI a carburazione. Nei motori ad iniezione diretta si riempie il cilin-
dro con l’aria e successivamente si immette la benzina (così come accade nei
motori ad accensione spontanea con il gasolio). Nei motori a carburazione la
miscela viene ottenuta all’esterno dei cilindri e poi immessa tramite l’aper-
tura della valvola di aspirazione.
La trasformazione dell’energia termica dei prodotti della combustione in la-
voro meccanico utile avviene mediante una successione di fasi che formano il
cosiddetto ciclo di funzionamento. In generale, il ciclo di funzionamento di
un motore a combustione interna si svolge in quattro fasi, vedi Figura 3.2:
- Fase di aspirazione. In questa fase la miscela (motore a carburazione)
o l’aria (motore ad iniezione) viene immessa nel cilindro. Il pistone
si muove dall’estremo superiore, detto Punto Morto Superiore (PMS),
all’estremo inferiore, detto Punto Morto Inferiore (PMI). La manovella
ruota di 180 ◦ e la valvola di aspirazione rimane aperta;

3.1 Motore a combustione interna 47
- Fase di compressione. La miscela o l’aria viene compressa ed il pis-
tone passa dal PMI al PMS. L’albero motore compie un’altra rotazione
di 180 ◦ e le valvole sono entrambe chiuse;
- Fase di combustione ed espansione. La combustione può avvenire
in modo più o meno rapido e a questa segue l’espansione dei gas com-
busti. Il pistone passa dal PMS al PMI e l’albero motore compie ancora
mezzo giro. Le valvole sono ancora chiuse;
- Fase di scarico. Si apre la valvola di scarico ed il pistone passa dal
PMI al PMS svuotando il cilindro dai gas combusti. Si è pronti così
alla fase di aspirazione del ciclo successivo.
Il motore a combustione che impiega due giri dell’albero motore per com-
piere il ciclo di funzionamento è detto motore a 4 tempi, come riportato in
Figura 3.2. Se l’intero ciclo di funzionamento è realizzato in un solo giro
dell’albero motore, cioè in due corse del pistone, si parla di motore a 2 tempi
(compressione-aspirazione, combustione-scarico).
Aria
Valvola
di aspirazione
Combustibile
Valvola
di scarico
Aspirazione Compressione Espansione Scarico
Figura 3.2: Ciclo di funzionamento di un motore a 4 tempi

3.1 Motore a combustione interna 48
3.1.2 Alcuni approfondimenti
Il ciclo di funzionamento precedentemente indicato è una rappresentazione
ideale del funzionamento del motore. E’ da osservare, ad esempio, che du-
rante la fase di aspirazione, il fluido d’ingresso incontra nei canali e nelle valv-
ole delle resistenze passive che ostacolano l’afflusso verso il cilindro. Risulta
quindi evidente che è conveniente effettuare in pratica un anticipo nell’aper-
tura della valvola di aspirazione ed un posticipo nella chiusura della valvola
di scarico, vedi schema anticipo/ritardo Figura 3.3. La prima operazione
permette di avere la valvola di aspirazione già aperta quando il pistone inizia
la fase di aspirazione, mentre la seconda consente alla valvola di scarico di es-
sere aperta quando il pistone conclude la fase di espulsione dei gas di scarico.
Per favorire il riempimento del cilindro la valvola di aspirazione non si chiude
quando il pistone raggiunge il PMI, ma dopo un ritardo di (30 ◦ −40 ◦ ). Questo
fatto corrisponde ad una perdita di una parte della fase di compressione. Tale
perdita risulta comunque molto limitata. Per quanto riguarda la fase di es-
pansione non si può garantire che possa usufruire della rimanente parte della
corsa dato che la valvola di scarico si deve aprire per dar luogo al cosiddetto
scarico spontaneo e per evitare che il pistone compia un eccessivo lavoro pas-
sivo, indicato come scarico forzato. Rimane da chiarire un’aspetto sulla fase
di combustione. Il combustibile per poter bruciare deve venire a contatto con
una opportuna quantità di comburente e affinchè la combustione sia comple-
ta, cioè tutto il carburante sia utilizzato per la combustione, quest’ultimo
deve trovarsi in un determinato rapporto stechiometrico, anche detto rap-
porto aria-carburante, determinabile in base alla composizione chimica del
combustibile stesso. Nel caso della benzina il rapporto stechiometrico aria-
combustibile vale 14.64. Nei motori ad iniezione diretta, come ad esempio
il Diesel, la miscela aria-carburante si forma in un secondo tempo a seguito

3.1 Motore a combustione interna 49
Figura 3.3: Diagramma di anticipo/ritardo valvole
dell’iniezione e può differire anche di molto dal valore stechiometrico ideale,
al contrario dei motori a carburazione in cui la miscela è già formata all’ester-
no del cilindro e risulta molto prossima alle condizioni stechiometriche. Se
il rapporto stechiometrico è alto, la quantità d’aria è molto maggiore rispet-
to al carburante e ci si riferisce a questo come ad una combustione magra.
Nelle situazioni in cui la miscela non è al rapporto stechiometrico si possono
verificare situazioni in cui la combustione non avviene in modo regolare. In
questi casi si possono verificare condizioni di malfunzionamento come ad es-
empio fenomeni di preaccensione o fenomeni di mancata accensione: i primi
corrispondono ad accensioni non temporizzate della miscela che avvengono
anche nel pieno della fase di compressione dovute a quantità elevate di car-
burante e alle alte pressioni all’interno del cilindro; i secondi sono dovuti
a quantità troppo ridotte di carburante che non consentono alla miscela di
incendiarsi. Risulta quindi evidente come il rapporto stechiometrico abbia
un ruolo fondamentale per il corretto funzionamento del motore.

3.2 Il Motore DISC 50
3.2 Il Motore DISC
Il motore su cui è stato svolto questo studio può essere classificato come un
motore a benzina ad iniezione diretta a carica stratificata, o brevemente mo-
tore DISC (Direct Injection Stratified Charge).
Throttle
MAF
EGR Valve
W th
W egr
UEGO
Intake Manifold
TEMP
MAP
TEMP
TWC LNT
HEGO
Swirl Control
Spark plug
Fuel Injector
To Tailpipe
Figura 3.4: Motore ad iniezione diretta a benzina
Come mostrato in Figura 3.4 il motore DISC è caratterizzato da un sofisticato
sistema di combustione, un sistema di post-trattamento dei gas combusti
particolarmente adatto per motori a combustione magra, e particolari sensori
ed attuatori. Ogni elemento in Figura 3.4 è critico per il funzionamento del
sistema DISC.

3.2 Il Motore DISC 51
3.2.1 Sistema di combustione
La caratteristica principale del motore DISC, come il nome suggerisce, è che
il carburante viene iniettato direttamente all’interno del cilindro invece che
all’esterno di questo, tramite l’iniettore (vedi Figura 3.5) 1 . Ciò è reso pos-
Figura 3.5: Immissione del carburante nel cilindro tramite iniettore
sibile da un sistema di iniezione del carburante ad alta pressione il quale
oltre ad essere una tecnologia critica per l’iniezione diretta consente di de-
cidere quando iniettare il carburante (a differenza dei motori tradizionali)
acquisendo così un ulteriore grado di libertà. In base ai tempi di iniezione
del carburante il motore può funzionare in due regimi distinti. Se il car-
burante viene iniettato in ritardo ovvero quando la fase di compressione ha
luogo, il tempo disponibile al carburante per mescolarsi con l’aria è breve e si
forma una miscela stratificata di aria-carburante (cioè non omogenea in tut-
to il cilindro). In questo regime stratificato, la combustione può avvenire in
una regione vicina alla candela mentre allo stesso tempo nel resto del cilindro
1 Figure 3.5 - 3.7 per gentile concessione Audi

3.2 Il Motore DISC 52
a) b)
Figura 3.6: Flusso della miscela aria-carburante in a) Modo Omogeneo, b) Modo
Stratificato
il rapporto di aria-carburante può essere estremamente elevato (fino 50:1).
Questa non omogeneità della miscela è accentuata da uno speciale disegno
del cilindro e dalla testa non piatta del pistone la quale durante la fase di
compressione induce moti vorticosi nel fluido rendendo la miscela più ric-
ca di benzina intorno alla candela, si parla per questo di carica stratificata,
vedi Figura 3.6b. Con un tempo di iniezione anticipato, ovvero durante la
fase di aspirazione, la benzina ha tempo sufficiente per mescolarsi bene con
l’aria, in modo da formare una miscela omogenea di aria-carburante in tutto
il cilindro, vedi Figura 3.6a. Nel regime di combustione omogeneo è possibile
il funzionamento del motore con rapporti aria-carburante più magri ma il
range è limitato a rapporti aria-carburante fino a circa 23:1 a causa di vin-
coli sulla rigidità del motore e a mancate accensioni. Il funzionamento magro
è benefico per l’economia del carburante poichè a più alte pressioni nel col-
lettore di aspirazione a parità di coppia di uscita comporta minori perdite di
pompaggio.

3.2 Il Motore DISC 53
L’ottimizzazione dell’economia del carburante e delle emissioni suggerisce che
il regime di combustione stratificato sia utilizzato per bassi carichi e basse ve-
locità del motore mentre a più alte velocità e carichi il regime di combustione
omogeneo risulta vantaggioso.
3.2.2 Sistema post-trattamento
Le potenzialità dei motori DISC si basano sulla loro capacità di funzionare
con quantità magre di benzina. Se da un lato questa capacità consente una
maggiore economia del carburante dall’altro determina una quantità di gas
nocivi molto superiore rispetto a quella dei tradizionali motori a carburazione
(dove, si ricorda, il motore è fatto funzionare molto prossimo alla stechiome-
tria). A causa di questa condizione a valle del motore sono posti in serie due
catalizzatori a tre vie (TWC), di cui il primo serve per catturare prodotti di
scarico quali HC e CO, mentre il secondo, comunemente riferito come cataliz-
zatore LNT (Lean NOx Trap), serve per assorbire gli ossidi di azoto presenti
nei gas di scarico, vedi Figura 3.7. Ci sono diversi aspetti importanti legati
a quest’ultimo catalizzatore. Primo, la capacità di pulizia del catalizzatore:
l’LNT deve essere periodicamente ripulito per rigenerare la sua capacità di
catturare gli ossidi di azoto e questo può essere fatto facendo funzionare il
motore a valori di rapporto aria-carburante che sono generalmente di poco
meno inferiori a quelli della stechiometria, in genere a 14, dopo che ha fun-
zionato per un certo tempo in modalità magra. Secondo, i depositi sulfurei:
l’LNT, a causa della sua composizione chimica, risulta molto propenso a de-
positi sulfurei. Un processo di pulizia di tali depositi deve essere effettuato
di tanto in tanto per mantenere l’efficienza del catalizzatore (anche in questo
caso facendo funzionare il motore per un breve tempo al ricco di stechiome-
tria). Terzo, la sensibilità alla temperatura: i catalizzatori LNT attualmente

3.2 Il Motore DISC 54
Sonda lambda
Catalizzatore
a 3 vie
Sonda lambda
Modo Stratificato
Sensore di temperatura
Catalizzatore LNT
Figura 3.7: Sistema di post-trattamento degli scarichi
Centralina
Sensore NOx
in produzione hanno una finestra di funzionamento di temperatura molto
stretta oltre la quale sia l’efficienza che la capacità di assorbimento vengono
ridotte drasticamente. Per tale motivo alla struttura del motore è stato
aggiunto un sensore, TEMP, come descritto in Figura 3.7.
3.2.3 Sensori ed attuatori
I sensori e gli attuatori comunemente impiegati nei motori DISC sono quelli
mostrati in Tabella 3.1. Oltre alle variabili di controllo tradizionali (farfal-
la, anticipo accensione candela) utilizzate anche nei motori a carburazione,
vengono introdotti nuovi attuatori per ottimizzare il funzionamento del mo-
tore in differenti condizioni.
È stato introdotto il sensore MAF (Manifold
Air Flow) per poter misurare la portata di aria che entra all’interno del col-
lettore di aspirazione dalla farfalla, il sensore MAP (Manifold Air Pressure)

3.2 Il Motore DISC 55
Attuatori Sensori
Farfalla elettronica Sensore di posizione farfalla
Pressione collettore aspirazione MAP
Anticipo accensione candela Velocità del motore
Valvole elettroniche MAF
Tempo iniezione carburante Temperatura LNT
Quantità di carburante UEGO e/o HEGO
Tabella 3.1: Sensori ed Attuatori motori DISC
per misurare la pressione all’interno del collettore di aspirazione, nel quale
oltretutto si può misurare la temperatura tramite il sensore TEMP. Dato
che nelle combustioni magre non tutta l’aria viene utilizzata per le reazioni
chimiche una parte se ne può trovare anche nei gas di scarico. Per tale mo-
tivo questi motori includono un nuovo sistema di ricircolo dei gas combusti,
denominato EGR, in cui è presente un attuatore che regola la quantità di
gas esausti che ritornano nel collettore di aspirazione. La quantità d’aria non
combusta viene misurata dal sensore UEGO (Universal Exhaust Gas Oxy-
gen), mentre la quantità di gas combusti dal sensore HEGO (Heated Exhaust
Gas Oxygen).
3.2.4 I nuovi traguardi per i motori DISC
La particolare struttura dei motori DISC ha posto nuove esigenze di con-
trollo. I cambiamenti delle richieste del controllo sono dovuti essenzialmente
a due fatti: i nuovi sensori ed attuatori aggiungono più gradi di libertà al
sistema da controllare e aumentano significativamente la complessità stessa
del sistema; i sottosistemi che compongono il motore sono altamente interat-

3.2 Il Motore DISC 56
tivi e non possono essere disaccoppiati senza sostanziale degradazione delle
prestazioni. La duplice natura dei motori a carica stratificata ha introdotto
nuovi obiettivi che complicano ulteriormente il sistema di controllo. Primo, la
gestione della coppia: la coppia è una variabile chiave per catturare la richies-
ta del guidatore in un motore a combustione magra come il DISC. In assenza
di un sensore di coppia, il controllo di coppia dipende principalmente dalla
predizione del modello. Secondo, le prestazioni in transitorio: per effettuare
la pulizia dell’ LNT efficacemente, con la massima economia di carburante e
la minima penalizzazione delle prestazioni di guida, le transizioni tra il modo
di funzionamento omogeneo e stratificato dovrebbero essere essere eseguite il
più velocemente possibile ma evitando transizioni troppo brusche e discon-
tinue.
Possono essere identificati due obiettivi principali che devono essere garantiti
dal sistema di controllo:
- il soddisfacimento della richiesta di coppia, in modo da garantire le
richieste da parte del guidatore.
- la gestione del rapporto aria-carburante per definire lo stato di funzion-
amento del motore e garantire il corretto funzionamento del sistema di
post-trattamento dei gas di scarico.
Più precisamente il sistema di controllo dovrà garantire l’inseguimento di de-
terminati riferimenti per la coppia e per il rapporto aria-carburante. Garan-
tire la richiesta di coppia, determinata dal guidatore tramite il pedale del-
l’acceleratore, è comunque la priorità più importante per la sicurezza degli
occupanti l’autoveicolo. Il sistema di controllo deve assicurare che la coppia
τ generata dal motore insegua la coppia richiesta τref sia in transitorio che in
regime stazionario. In particolare è stato esplicitamente richiesto di garantire

3.2 Il Motore DISC 57
che la coppia durante la transizione di modo possa temporaneamente scor-
tarsi dal riferimento ma rimanendo all’interno di un determinato intervallo
specificato dal seguente vincolo
∆τ = ± min{5 Nm, 5% di τref} . (3.1)
Allo stesso tempo si accettano escursioni transitorie del rapporto aria-
carburante dal riferimento purchè i vincoli sul rapporto aria-carburante e
l’anticipo accensione candela non siano violati. In stato stazionario il rap-
porto aria-carburante, indicato con λ, deve inseguire il valore desiderato λd.
Lo sviluppo di una adeguata tecnica di controllo per questi motori è quindi
complessa a causa sia della sua duplice natura ibrida, legata ai due pos-
sibili regimi di combustione (stratificato ed omogeneo), sia dei vincoli di
stato e di controllo tempo varianti sugli intervalli di variabilità del rapporto
aria-carburante e dell’anticipo accensione candela in modo che il motore pos-
sa essere fatto funzionare senza percepibili variazione di guidabilità, senza
mancate accensioni e senza violazioni dei limiti sulle emissioni.

Capitolo 4
Modello ibrido per il controllo
Nel capitolo 3 è stato descritto in dettaglio il funzionamento di un motore
ad iniezione diretta a benzina evidenziando il ruolo delle varie parti che lo
compongono e sottolineando i possibili vantaggi che si possono ottenere da
un tale tipo di motore.
È stato osservato che l’elemento chiave per questo
sistema diventa il controllore, che coordina le sue varie componenti e garan-
tisce determinate specifiche.
In questo capitolo verrà introdotto il modello matematico del motore DISC
e verrà spiegato come la teoria dei sistemi ibridi presentata nei capitoli 1 e 2
fornisca ottimi strumenti per caratterizzare i modi di funzionamento multi-
pli del motore, consentendo di includere ulteriori specifiche non strettamente
legate alla meccanica del motore.

4.1 Modello non lineare del motore DISC 59
4.1 Modello non lineare del motore DISC
La modellizzazione e la validazione del motore DISC, ampiamente illustrate
in [JKB + 99, KDS00], è stata ottenuta su un motore DISC di produzione. Il
motore è stato accoppiato ad un dinamometro con cella di carico per misurare
la coppia. In uno dei cilindri è stato inserito un trasduttore di pressione ed
il segnale di pressione è stato campionato ad ogni angolo del sistema biella
manovella. L’informazione della pressione è stata poi utilizzata per calcolare
la pressione media di pompaggio ed altri parametri di combustione. Il motore
è dotato oltre ai tradizionali sensori di un sensore UEGO (Universal Exhaust
Gas Oxigen Sensor) capace di misurare rapporti aria-carburante fino a 60:1.
In questo lavoro di tesi, grazie al supporto del Ford Research and Ad-
vanced Engineering, si è potuto sviluppare l’analisi e il controllo su di un
modello numerico avanzato proprietario Ford. Il modello a nostra dispo-
sizione ha dinamiche evolutive più prossime al motore reale rispetto ai modelli
di simulazione precedentemente utilizzati [GBKH05]. Poichè il nostro inter-
esse è incentrato sul controllo di coppia e rapporto aria-carburante, nonchè
sul controllo del modo operativo, si considera la valvola EGR (Exhaust Gas
Recirculation) chiusa (vedi Figura 3.4), o, equivalentemente, si assume di
avere un motore senza condotto di ricircolo dei gas.
La dinamica del collettore di aspirazione che descrive l’evoluzione tem-
porale dell’aria all’interno del motore si ottiene differenziando la legge dei
gas ideali sotto l’assunzione di condizioni isotermiche. I valori medi per ciclo
della pressione nel collettore di aspirazione e le portate d’aria all’interno del

4.1 Modello non lineare del motore DISC 60
collettore sono legati dalla seguente equazione:
dove
˙pm = cm (Wth − Wcyl),
Wcyl = kcyl,0 + kcyl,1 · pmω,
(4.1)
• ω è la velocità di rotazione del motore, espressa in giri al minuto [rpm];
• pm rappresenta la pressione all’interno del collettore di aspirazione,
espressa in [kPa];
• cm = RTm
Vm dove Tm, in gradi Kelvin [K], è la temperatura nel collettore,
R è la costante universale dei gas, e Vm è il volume del collettore di
aspirazione;
• Wth [g/s] è la portata di aria che passa attraverso la farfalla elettroni-
ca. Tale grandezza risulta una funzione non lineare di pm descritta in
seguito in (4.6);
• Wcyl è la portata di aria che entra all’interno dei cilindri, e kcyl,0, kcyl,1
sono dei coefficienti che dipendono dalla velocità del motore ω e dalla
temperatura nel collettore di aspirazione Tm. La rappresentazione di
Wcyl ed il valore dei coefficienti kcyl,0, kcyl,1 sono derivate dalle osser-
vazioni dei dati di vari tipi di motori, compresi i motori DISC, come
descritto in [JKB + 99].
Il rapporto aria-carburante è definito come
λ = Wcyl
, (4.2)
Wf

4.1 Modello non lineare del motore DISC 61
dove Wf [g/s ] è la portata di carburante all’interno dei cilindri. Il ritardo del-
l’iniezione del carburante rispetto alla fase di aspirazione, o di compressione,
del motore è considerato implicitamente assumendo che il valore desiderato
di Wf sia ritardato di una fase del motore. In Figura 5.11 è riportato l’an-
damento di λ in funzione della pressione pm e della portata di carburante Wf.
λ
120
100
80
60
40
20
0
120
100
80
60
Rapporto aria−carburante
40
p m [kPa]
Figura 4.1: Andamento del rapporto aria-carburante
Data l’inerzia media rotazionale Je, che include l’albero a camme ed il
volano, la dinamica rotazionale del motore segue la seguente equazione:
20
0
2
1.5
π
30 Je ˙ω = τ − τl , (4.3)
dove τ [Nm], τl [Nm] sono la coppia del motore e la coppia di carico, ω il
numero di giri per minuto [rpm], ed il fattore π
30
tra rpm e rad/sec.
1
Wf
0.5
è dovuto alla conversione
0

4.1 Modello non lineare del motore DISC 62
La coppia è definita come una somma di tre componenti
τ = τmfr + τpump + τind, (4.4)
τmfr [Nm] e τpump [Nm] sono, rispettivamente, la coppia di frizione mecca-
nica e la coppia di pompaggio, misurate in Nm. La coppia di pompaggio
corrisponde alle perdite durante le fasi di aspirazione e scarico mentre la
coppia di frizione corrisponde alla frizione meccanica necessaria per superare
gli attriti delle parti in movimento del motore. Queste due coppie sono state
modellate come funzioni affini della pressione pm al collettore di aspirazione
che dipendono inoltre della velocità ω del motore, secondo equazioni del tipo:
τmfr = f 0 m + f 1 mpm + f 2 mω + f 3 mpmω + f 4 mω 2
τpump = f 0 p + f 1 ppm + f 2 pω + f 3 ppmω + f 4 pω 2 ,
dove f j
i , con i = m,p e j = 0...4, sono opportuni coefficienti.
Le coppie τmfr e τpump sono negative dato che corrispondono a perdite. Può
essere verificato che l’aumento della pressione nel collettore di aspirazione
riduce l’ampiezza delle perdite di pompaggio ma aumenta l’ampiezza delle
perdite di frizione. Oltretutto, ad una stessa pressione di collettore, la cop-
pia generata dal motore nel regime di combustione omogeneo è più grande di
quella generata nel regime di combustione stratificato. Comunque, il funzion-
amento a bassi carichi con una maggiore pressione di collettore nel regime
stratificato rispetto al regime omogeneo riduce le perdite di pompaggio suf-
ficientemente da bilanciare l’aumento degli attriti e qualche perdita in effi-
cienza.
τind [Nm] è la coppia indicata. La coppia indicata è una misura dell’efficienza
termica nel convertire l’energia chimica del carburante in lavoro sul pistone
durante il processo di combustione.

4.1 Modello non lineare del motore DISC 63
In [JKB + 99] è proposta la seguente equazione per i motori DISC:
τind = (θa + θb(δ − δmbt) 2 )Wf, (4.5)
dove (δ − δmbt) è la deviazione dell’anticipo accensione candela dal valore di
efficienza massimo, δmbt, e θa, θb sono coefficienti che saranno descritti con
maggiore dettaglio successivamente.
In Figura 4.2 si riporta l’andamento della coppia in funzione dell’anticipo
accensione candela sia nel regime stratificato che nel regime omogeneo. Ad
una data condizione di funzionamento, esiste un anticipo ottimale, δmbt, che
corrisponde alla massima coppia (MBT) e da qui la miglior economia del
carburante. L’anticipo δmbt dipende dalle variabili di funzionamento del mo-
tore come velocità del motore, carico, rapporto aria-carburante e tempo di
iniezione. L’anticipo δmbt è utilizzato nell’equazione (4.5) per normalizzare
gli effetti dell’anticipo accensione candela sulla coppia. Il modello di curva
in Figura 4.2 si ottiene prendendo ∂τ
∂δ
= 0 e risolvendo poi per δ.
Figura 4.2: Andamento della coppia in funzione di δ

4.1 Modello non lineare del motore DISC 64
I coefficienti nell’equazione della coppia indicata θa, θb e δmbt sono fun-
zioni del rapporto aria-carburante λ che dipendono dall’anticipo accensione
candela δ, espresso in gradi di rotazione della manovella (vedi Figura 3.1),
del regime di rotazione del motore ω e del modo operativo ρ.
In particolare ρ = 0 corrisponde al regime stratificato, mentre ρ = 1 al
regime omogeneo. Una tale natura binaria di ρ determina una risposta di
coppia completamente diversa nei due distinti regimi di funzionamento del
motore, ciò comporta l’ibridezza del modello e da qui la necessità di una
opportuna descrizione.
In sintesi il modello utilizzato per lo sviluppo del controllore ha dunque i
seguenti ingressi e uscite:
ω pm
pm
Wth
Wf
ρ
δ
motore DISC
.
Wcyl
τ
λ
Ath
δmbt
Figura 4.3: Blocco simulink del motore DISC

4.1 Modello non lineare del motore DISC 65
4.1.1 Modello della valvola
Tenuto conto della natura meccanica della valvola, si introduce l’equazione
standard del flusso di un fluido attraverso un orifizio [Hey88] per rappre-
sentare le dinamiche del flusso d’aria attraverso la valvola del collettore di
aspirazione :
dove
Wth = AthPamb
√
Tamb
pm
· φ , (4.6)
Pamb
Ath = Ath · Cd
√R , (4.7)
• Pamb [kPa] è la pressione ambientale, considerata costante.
• Tamb [K] è la temperatura ambientale, considerata costante.
• Ath [m 2 ] è l’area effettiva di aperura della valvola.
• R è la costante universale dei gas.
• Cd è un coefficiente che tiene conto della differenza fra flusso ideale e
flusso reale attraverso la valvola.
• pm rappresenta la pressione all’interno del collettore di aspirazione,
espressa in [kPa].
La funzione φ è definita come:
⎧
⎪⎨
φ(x) =
⎪⎩
γ 1
γ+1
2 2(γ−1)
2
γ+1
x 1
γ 2γ
γ−1
1 − x γ−1
γ
1
2
if x ≤ ( 2
γ
) γ−1
γ+1
if x > ( 2
γ
) γ−1
γ+1
, (4.8)

4.1 Modello non lineare del motore DISC 66
dove γ = 1.4 è il rapporto dei calori specifici per l’aria ed è considerata
costante.
Nel modello ibrido utilizzato poi per lo sviluppo del controllore MPC ibrido,
che introdurremo nella sezione seguente, le dinamiche di flusso dell’aria (4.6)-
(4.8) non vengono considerate; cioè il flusso viene interpretato come una
variabile direttamente manipolabile. Tali dinamiche sono invece considerate
nel modello di simulazione come segue, vedi Figura 4.4.
ω pm
pm
Wth
Wf
ρ
δ
Wth
Valvola
motore DISC
Wthcontr
pm
.
Wcyl
τ
λ
Ath
δmbt
Figura 4.4: Blocco simulink del motore DISC con dinamica della valvola
pm

4.1 Modello non lineare del motore DISC 67
Generata dal controllore la richiesta di flusso attraverso la farfalla (per chiarez-
za di rappresentazione indicato solo in Figura 4.4 con Wthcontr), il riferimento
per pm e note Pamb, Tamb, l’equazione (4.6) viene dapprima invertita per cal-
colare il valore di Ath richiesto. Il segnale uscente è quindi filtrato da un filtro
passa basso del primo ordine, poi passato attraverso un blocco di saturazione
per evitare che si producano valori fuori dai limiti fisici. Infine questo segnale
Ath richiesto, entra nella dinamica (4.6) per poter calcolare Wth che andrà in
ingresso al modello del motore.
E’ inoltre da osservare che nei sistemi reali il controllore non può agire
direttamente sul flusso, ma solo sull’angolo di inclinazione della valvola. In
Figura 4.5 è rappresentata la relazione, mappata come tabella in centralina,
tra Ath e l’angolo di inclinazione della valvola. Nei motori reali, una volta
determinata l’area della valvola, la mappa non-lineare viene invertita per
calcolare l’angolo di inclinazione che viene attuato dalla valvola.
Figura 4.5: Rapporto fra Ath e angolo della valvola

4.2 Modello ibrido per il controllo 68
4.2 Modello ibrido per il controllo
La natura binaria dell’ingresso ρ, strettamente correlato con le dinamiche
continue del motore, impone un approccio alla modellizzazione e al controllo
di tipo ibrido. La teoria dei sistemi ibridi permette di sviluppare modelli
unificati che racchiudono dinamiche continue, dinamiche discrete e relazioni
logiche (vedi Capitolo 1).
4.2.1 Linearizzazione e discretizzazione
Il modello matematico descritto dalle formule (4.1), (4.2) e (4.4) è un modello
non lineare tempo continuo. Per poterlo descrivere secondo le tecniche de-
scritte nel capitolo 1 è necessario effettuare prima una linearizzazione a tratti
delle parti non lineari e successivamente una discretizzazione nel tempo delle
equazioni continue linearizzate.
Si assumono come ingressi manipolabili i segnali Wth, Wf, δ, ρ e come segnali
di uscita pm, τ, ∆δ = δmbt − δ e λ. Il numero di giri del motore ω è una
variabile misurabile, ma non controllabile; Ath è utilizzata per calcolare il
flusso attraverso la farfalla.
Per generare il modello linearizzato ed in seguito il modello MLD (sezione
4.2.3), si è considerato il motore ad un numero di giri costante, in particolare
ω = 2000 [rpm]. La ragione di questa assunzione è motivata dal fatto che
2000 rpm è la velocità del motore nell’intorno della quale si effettuano le tran-
sizioni di modo; per regimi inferiori a 1500 rpm il motore non è in condizioni
di sovraccarico e il controllore tenderà ad operare in modo stratificato costan-
temente, eccezion fatta per la periodica pulizia del filtro NOx. In regimi di
rotazione superiori il guidatore richiede prestazioni superiori al motore, ed il

4.2 Modello ibrido per il controllo 69
controllore, per garantire l’inseguimento del riferimento di coppia, opera in
modo omogeneo 1 . Inoltre la strategia di controllo, presentata nel capitolo 5,
utilizza comunque l’informazione sulla velocità attuale del motore e permette
di ottenere buoni risultati anche in condizione diversi da quelle nominali.
Per linearizzare il modello del DISC sono stati definiti due punti di lavoro,
uno per ogni modo operativo, alla velocità nominale (vedi tabella 4.1) 2 .
Modo Stratificato (ρ = 0) Modo Omogeneo (ρ = 1)
Coppia [Nm] τ d (0) = 40 τ d (1) = 40
Rapporto aria-carburante λ d (0) = 30 λ d (1) = 14
Anticipo candela [gradi] δ d (0) = 16 δ d (1) = 16
Tabella 4.1: Punti di lavoro per il modello linearizzato
Grazie alla collaborazione con il laboratorio di ricerca Ford, è stato pos-
sibile utilizzare un accurato modello di motore DISC il quale, benchè basato
sulle equazioni presentate, è di natura prettamente numerica. Ciò ha com-
portato uno sviluppo dei modelli lineari, uno per ogni modo operativo, e una
successiva discretizzazione tramite routine numeriche standard implementate
in ambiente MATLAB . In particolare, una volta definiti i punti di lavoro,
i valori di W d
th (ρ), W d f (ρ) e pd m(ρ) sono stati calcolati in modo che siano con-
sistenti con il modo operativo e corrispondano in stato stazionario ai valori
di coppia, rapporto aria-carburante e anticipo accensione candela definiti in
tabella 4.1. Una volta ottenuti i due insiemi di punti di lavoro, costituiti
1 Queste valutazioni sono di carattere generale. Per una analisi accurata devono es-
sere considerati numerosi fattori, tra i quali, in primo luogo, la tipologia di veicolo, la
rapportatura del cambio e la pendenza della strada.
2 [·] d rappresenta il punto di lavoro per la variabile [·].

4.2 Modello ibrido per il controllo 70
in ultimo da τ d (ρ), λ d (ρ), δ d (ρ), W d
th (ρ), W d f (ρ) e pd m(ρ), si sono linearizzati
e discretizzati numericamente i due modelli del motore DISC con tempo di
campionamento T = 10 ms.
In riferimento alle equazioni (4.1), (4.2) e (4.4) si riporta la linearizzazione
analitica delle dinamiche di coppia, rapporto aria-carburante e pressione.
L’equazione (4.1) risulta essere già un’equazione differenziale lineare per la
quale è sufficiente effettuare una discretizzazione nel tempo. Applicando la
trasformata di Laplace a pm (uscita) e Wth (ingresso):
sPm(s) = cmWth(s) − cmkcylPm(s)
⇐⇒ Pm(s) [s + cmkcyl] = cmWth(s)
⇐⇒ Pm(s)
Wth(s)
= G(s) =
cm
cmkcyl + s
si ottiene una funzione di trasferimento tra pm and Wth. Introduciamo un
mantenitore di ordine zero (Zero-Order Holder, ZOH) per determinare la
funzione di trasferimento G(z) nel dominio della variabile complessa z.
con
G(z) = Pm(z)
Wth(z)
−sT 1 − e
= Z · G(s)
s
= (1 − z −1
cm
)Z
(cmkcyl + s)s
= (1 − z −1
1
1
) R0Z + R1Z
s s + cmkcyl
= R0(1 − e−Tcmkcyl)z −1
1 − z−1e−Tcmkcyl R0 = −R1 = 1
kcyl

4.2 Modello ibrido per il controllo 71
termini residuali. Ritorniamo nel dominio del tempo:
Z −1 (1 − z −1 e −Tcmkcyl )Pm(z) = Z −1 R0(1 − e −Tcmkcyl )z −1 Wth(z)
=⇒ pm(t) − e −Tcmkcyl pm(t − 1) = R0(1 − e −Tcmkcyl )Wth(t − 1)
da cui otteniamo
pm(t + 1) = e −Tcmkcyl pm(t) + 1
kcyl
(1 − e −Tcmkcyl )Wth(t) (4.9)
Per le altre due equazioni, (4.2) e (4.4), è necessario definire due punti di
lavoro, uno per il regime stratificato e l’altro per il regime omogeneo. Infatti,
a causa della natura ibrida del motore non è sufficiente un’unica lineariz-
zazione per caratterizzare le dinamiche del rapporto aria-carburante e della
coppia. In particolare l’equazione (4.2) diventa
mentre la (4.4) diventa
τ(t) = τ d (ρ) + ∂τ
∂pm
λ(t) = λ d (ρ) + kcyl
W d f (ρ)pm(t) − kcylp d m(ρ)
W d f (ρ)2 Wf(t), (4.10)
d(ρ)
˜pm + ∂τ
∂Wf
d(ρ)
˜Wf + ∂τ
∂δ
d(ρ)
˜δ + ∂τ
∂λ
d(ρ)
˜λ, (4.11)
dove [·] d indica il punto di lavoro per la variabile [·], ˜
[·] = [·] − [·] d , (ρ) indica
la dipendenza dal regime ρ del motore, e la notazione d(ρ) indica le seguenti
uguaglianze

4.2 Modello ibrido per il controllo 72
∂τ
∂pm
∂τ
∂Wf
∂τ
∂δ
∂τ
∂λ
d(ρ)
d(ρ)
d(ρ)
d(ρ)
= d(τmfr
+ τpump)
= f
dpm
d(ρ)
b m + f b p
= ∂τind
= θ
∂Wf
d(ρ)
d a + θ d b(δ d − δ d mbt) 2
= ∂τind
= 2W
∂δ
d(ρ)
d f θ d b(δ d − δ d mbt)
= ∂τind
∂λ
d(ρ)
= W d ⎧
⎨
dθa
f + (δ
⎩ dλ
d − δ d mbt) 2dθb
dλ
d(ρ)
d(ρ)
− 2θ d b(δ d − δ d mbt) dδmbt
dλ
d(ρ)
Per quanto riguarda il rapporto aria-carburante è da osservare che la
dipendenza di λ da ρ non è così evidente come nella coppia τ. Nei motori
reali, però, il rapporto deve rimanere limitato all’interno di un determinato
intervallo e ci sono due intervalli distinti per i due regimi di funzionamento
del motore.
Al modello sono stati aggiunti due integratori per ottenere offset nulli in
condizioni di regime stazionario
⎫
⎬
⎭ .
ɛτ(t + 1) = ɛτ(t) + T · (τref − τ) (4.12a)
ɛλ(t + 1) = ɛλ(t) + T · (λref − λ), (4.12b)
dove [·]ref rappresenta il valore di riferimento per la variabile [·]. L’aggiunta
di questi integratori assicura che τ e λ del modello non lineare inseguano
τref e λref con offset nullo.
È stato necessario effettuare questa aggiunta in
quanto i segnali d’ingresso che vengono generati dal controllore dovrebbero
portare il sistema non lineare verso i valori di riferimento. In realtà, dato che

4.2 Modello ibrido per il controllo 73
il controllore basa le proprie scelte in funzione del modello lineare e quest’ul-
timo introduce intrinsecamente un errore rispetto al modello non lineare, è
risultato necessario aggiungere al modello MLD due integratori che consen-
tano di tenere traccia della “distanza” dei segnali del modello non lineare dai
riferimenti.
Inoltre abbiamo aggiunto come uscita aggiuntiva del modello MLD la de-
viazione dell’anticipo accensione candela dal valore di efficienza massimo,
∆δ = δmbt −δ, poichè viene richiesto che insegua un determinato riferimento.
4.2.2 Vincoli
Il modello ibrido sarebbe già sufficiente per simulare il comportamento del
motore. In realtà, ci sono alcune condizioni di funzionamento, già descritte
nel capitolo 3, che devono essere rispettate:
Vincolo sul rapporto aria-carburante.
È necessario rimanere al di sotto di un
limite superiore del rapporto aria-carburante in quanto è necessario limitare
rapporti troppo magri che determinerebbero rigidità del motore e possibili
mancate accensioni.
È anche necessario porre un limite inferiore in quanto
per rapporti troppo ricchi si produrrebbe un eccessivo aumento delle emis-
sioni di gas di scarico e fenomeni di preaccensione. Il vincolo prende la
forma
λmin(ρ) ≤ λ(t) ≤ λmax(ρ). (4.13)
Si noti che λmin(ρ), λmax(ρ) dipendono dal regime di combustione ρ.

4.2 Modello ibrido per il controllo 74
I limiti adottati in tutte le simulazioni sono stati:
⎧
⎨ 12 nel regime omogeneo (ρ = 1),
λmin =
⎩ 19 nel regime stratificato (ρ = 0),
⎧
⎨ 21 nel regime omogeneo (ρ = 1),
λmax =
⎩ 38 nel regime stratificato (ρ = 0).
Vincolo sulla portata di aria attraverso la farfalla elettronica. Si impone il
seguente vincolo
0 ≤ Wth ≤ K , (4.14)
dove K è una costante 3 . Questo vincolo rappresenta in sostanza la capacità
della farfalla di variare la superficie di apertura del condotto da un mini-
mo che corrisponde alla chiusura della farfalla, fino ad un massimo che cor-
risponde alla sua completa apertura.
Vincolo sull’anticipo accensione candela δ(t). Questo vincolo è necessario
per evitare eccessive rigidità del motore e mantenere stabile la combustione
nel cilindro:
dove
0 ≤ δ ≤ δmbt(ρ,pm,Wth,Wf,δ), (4.15)
δmbt(ρ,pm,Wth,Wf,δ) = ℓ δ 1(ρ)pm +ℓ δ 2(ρ)Wth +ℓ δ 3(ρ)Wf +ℓ δ 4(ρ)δ +ℓ δ 5ρ (4.16)
è modellata come una funzione switched affine.
3 Un approccio molto più elaborato richiederebbe che K venisse rappresentata come
una funzione PWA della pressione del collettore di aspirazione.

4.2 Modello ibrido per il controllo 75
Vincolo sulla variazione della portata d’aria attraverso la farfalla. Questo
vincolo è necessario poichè nel modello ibrido realizzato per lo sviluppo del
controllore MPC ibrido le dinamiche del flusso attraverso la farfalla (4.6)-
(4.8) non vengono considerate, mentre sono presenti in simulazione. Si in-
serisce quindi un vincolo su ˙ Wth per modellare il filtraggio operato dalla
dinamica della farfalla sul comando del controllore.
˙W min
th ≤ Wth(t) − Wth(t − 1)
T
dove ˙ W min
th , ˙ W max
th sono costanti di valore adeguato.
4.2.3 Il modello MLD
≤ ˙ W max
th , (4.17)
I modelli linearizzati e discretizzati ed i vincoli (4.13)-(4.17) sono modellati
in HYSDEL ed il listato è riportato in Appendice A.2.
Il compilatore HYSDEL traduce l’equazioni alle differenze ed i vincoli nel
sistema MLD
x(t + 1) = Ax(t) + B1u(t) + B2γ(t) + B3z(t), (4.18a)
y(t) = Cx(t) + D1u(t) + D2γ(t) + D3z(t), (4.18b)
E2γ(t) + E3z(t) ≤ E1u(t) + E4x(t) + E5. (4.18c)
Nel nostro caso,
x = [pm ɛτ ɛλ Wth(t − 1) τref λref] ∈ R 6 ,
y = [τ − τref λ − λref δmbt − δ] ′ ∈ R 3 ,
u = [Wth Wf δ ρ] ′ ∈ R 3 × {0, 1},
(4.19)
dove Wth, Wf, δ, ρ sono le variabili manipolabili, i comandi di riferimento
τref, λref sono modellati come stati (costanti) che consentano la predizione (e
l’integrazione) degli errori di inseguimento futuri. γ, z sono, rispettivamente,

4.2 Modello ibrido per il controllo 76
un vettore ausiliario binario e reale il cui valore è determinato unicamente
dalle disuguaglianze (4.18c) una volta che x(t) e u(t) sono fissate, secondo la
definizione di ben postezza data nel paragrafo 1.3.3 a pagina 25. Nel nostro ca-
so il vettore binario γ è vuoto, dato che nessuna variabile booleana aggiuntiva
è necessaria per descrivere le dinamiche del motore DISC, e z ∈ R 5 .

Capitolo 5
Progetto del controllore
Nel capitolo precedente è stata descritta la dinamica non lineare del motore
DISC ed è stato dimostrato come tale modello sia riconducibile ad una forma
adatta alla descrizione ibrida. Alla descrizione ibrida del motore sono stati
aggiunti dei vincoli necessari per garantire un corretto funzionamento del
motore. Il tutto poi è stato descritto in HYSDEL e tradotto, tramite il
compilatore HYSDEL, in un modello MLD.
In questo capitolo sarà mostrata la strategia di controllo adottata basata su
due passi, la generazione dei riferimenti e il controllo predittivo ibrido. Si
vedrà come il modello MLD precedentemente ricavato possa essere utilizzato
per progettare il controllore, secondo quanto è stato descritto nel capitolo 2.
Sarà descritta la sintonizzazione in linea e saranno mostrati i risultati tramite
simulazioni dimostrando come il controllore progettato riesca a garantire i
vincoli e gli obiettivi posti nel capitolo 3. Infine si descriveranno i passi per
ottenere la forma esplicita.

5.1 La strategia di controllo 78
5.1 La strategia di controllo
L’obiettivo di questo capitolo è la progettazione di una legge di controllo che
generi gli input Wth, Wf, δ, ρ come funzione delle misure (o delle stime) di
pm, τ, ω e λ in modo che i riferimenti desiderati per τ, λ, ∆δ = δmbt − δ e ρ,
ossia (τref, λref, ∆δref e ρref), siano accuratamente inseguiti e i vincoli (vedi
Capitolo 4) siano soddisfatti, in modo da mantenere il motore all’interno di
un intervallo operativo ammissibile.
La strategia di controllo adottata per raggiungere tale obiettivo si basa su
due passi distinti: la generazione dei riferimenti e il controllo predittivo.
5.1.1 Generazione dei riferimenti
Il primo passo della strategia di controllo sviluppata si basa sulla generazione
ad ogni tempo di campionamento delle traiettorie delle variabili controllate
del motore, in modo che siano consistenti con il regime attuale e corrispon-
dano in stato stazionario ai valori di coppia e di rapporto aria-carburante
richiesti, fornendo così un controllo in avanti (feedforward) del sistema.
L’obiettivo di questa prima fase di controllo è la generazione dei riferimenti
τref, λref, ∆δref e ρref basata sulle condizioni operative del veicolo, compre-
so il regime di rotazione del motore, la posizione del pedale dell’acceleratore
e lo stato del catalizzatore LNT. Questi riferimenti vengono indicati come
riferimenti indipendenti poichè non dipendono da scelte del controllore, ma
da specifiche da rispettare o direttamente dal giudatore. E’ importante no-
tare che nell’insieme di riferimenti definiti come indipendenti sia stata in-
clusa la variabile logica ρ sulla quale è incentrato il controllo del sistema.
Tale apparente incongruenza è giustificata dal fatto che la traiettoria del mo-
do operativo, inclusa in modo fittizio, sarà utilizzata nella seconda fase di

5.1 La strategia di controllo 79
controllo (vedi paragrafo 5.1.2) per prevenire fenomeni di cambiamento con-
tinuo di modo operativo (chattering) che possono verificarsi in quei tempi
di campionamento in cui lo stato del sistema è in condizioni limite fra i due
regimi, ossia nelle condizioni in cui sia il funzionamento in regime stratificato
che omogeneo possono garantire le prestazioni richieste. I riferimenti indipen-
denti vengono generati come segue: la coppia τref è impostata dal guidatore
tramite il pedale dell’acceleratore, il rapporto aria-carburante è funzione del
numero di giri e della coppia, ∆δref è fissato ad un valore costante e ρref è
scelto in base ad un valore di soglia su λref.
Una volta che questi riferimenti indipendenti sono stati determinati è possi-
bile calcolare i riferimenti dipendenti. I riferimenti sulle variabili controllate
del motore, cioè la pressione nel collettore di aspirazione, la portata d’aria
attraverso la valvola a farfalla e la portata di carburante all’interno dei cilin-
dri (Wth,ref, Wf,ref e pm,ref) sono riferimenti la cui traiettoria viene generata
dalla centralina e dipende da altre variabili. I riferimenti su Wth, Wf e pm,
possono essere ottenuti numericamente cercando fra l’insieme delle possibili
condizioni operative i valori tali per cui la variazione di pressione nel collet-
tore di aspirazione ˙pm, così come determinata nel Capitolo 4, sia nulla o più
vicina possibile a zero. Ciò significa che ad ogni tempo di campionamento
vengono calcolati i valori di Wth,ref, Wf,ref e pm,ref che corrispondano in sta-
to stabile ( ˙pm = 0) alle uscite del sistema (τref, λref, ∆δref) richieste e che
siano consistenti con il numero di giri attuale. Il primo passo di controllo
non è basato sulla retroazione dello stato (feedback), ma è in-avanti (feed-
forward) ed è fondamentale in quanto metterà a disposizione del controllore
MPC strumenti per prevenire effetti indesiderati, come il chattering, e so-
prattutto riferimenti sulle variabili di controllo che dipendono dal regime di
rotazione del motore ω.

5.1 La strategia di controllo 80
La generazione di Wth,ref, Wf,ref e pm,ref può essere effettuata sia in-linea,
calcolando numericamente i valori ad ogni tempo di campionamento, sia
fuori-linea (off-line), pre-calcolandoli e inserendo i valori in tabelle. La
soluzione off-line è particolarmente indicata per l’implementazione su cen-
tralina automobilistiche standard in quanto richiede requisiti hardware e
software limitati e garantisce tempi di calcolo ridotti.
5.1.2 Controllo MPC ibrido in-linea del motore DISC
In questa sezione viene mostrato come sia possibile derivare un controllore
MPC per il motore DISC. Secondo quanto è stato descritto nel capitolo 2,
l’idea base del controllo predittivo è di utilizzare il modello dell’impianto per
predire l’evoluzione futura del sistema. Nella strategia di controllo predittivo,
ad ogni istante di campionamento viene risolto un problema di ottimizzazione
vincolata misto-intero a orizzonte finito, assumendo come condizione iniziale
del problema lo stato attuale. L’ottimizzazione fornisce una sequenza di
controllo ottima, ma solo il primo campione è applicato al sistema ibrido:
questo processo è ripetuto iterativamente ad ogni istante di tempo successivo.

5.1 La strategia di controllo 81
Il problema di controllo ottimo è definito come segue:
N−1
min J(ξ,x(t)) (uk − uref)
ξ
k=0
T R(uk − uref)
+(yk − yref) T N
Q(yk − yref) + (xk − xref)S(xk − xref),
subj. to
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x0 = x(t),
k=1
xk+1 = Axk + B1uk + B2γk + B3zk,
yk
= Cxk + D1uk + D2γk + D3zk,
E2γk + E3zk ≤ E1uk + E4xk + E5,
(5.1a)
(5.1b)
dove N è l’orizzonte di controllo, x(t) è lo stato del sistema MLD all’istante
t, ξ [u ′ 0,γ ′ 0,z ′ 0,..., u ′ N−1 ,γ′ N−1 ,z′ N−1 ]′ è il vettore di ottimizzazione, Q, R e
S sono matrici di peso sullo scarto tra valore attuale e valore di riferimento
rispettivamente sulle uscite, sugli ingressi e sugli stati.
Secondo la definizione del problema (5.1), nel sistema in esame abbiamo
yref [0 0 ∆δref] ′ , (5.2a)
uref [Wth,ref Wf,ref δref ρref] ′ , (5.2b)
xref [pm,ref 0 0 0 0 0] ′ , (5.2c)
dove ∆δref è il riferimento per δmbt − δ, e

5.1 La strategia di controllo 82
⎡
⎤
⎡ ⎤ rWth 0 0 0
qτ 0 0 ⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢ 0 rWf 0 0 ⎥
Q = ⎢ 0 qλ 0 ⎥,
R = ⎢
⎥
⎣ ⎦ ⎢
⎥
⎢ 0 0 rδ 0 ⎥
0 0 ⎣
⎦
q∆δ
0 0 0 rρ
S =
(5.3a)
⎡
⎤
spm ⎢ 0
⎢ 0
⎢ 0
⎢ 0
⎣
0
sɛτ
0
0
0
0
0
sɛλ
0
0
0 0 0
⎥
0 0 0 ⎥
0 0 0 ⎥
⎥.
0 0 0 ⎥
0 0 0 ⎥
⎦
(5.3b)
0 0 0 0 0 0
I riferimenti (5.2) e i relativi pesi (5.3) hanno valori coerenti con la
definizione del sistema MLD (vedi 4.2.3).
L’ultimo elemento sulla diagonale della matrice R, è il peso sull’insegui-
mento di ρref. Tale peso, generato come descritto nel paragrafo 5.1.1, costi-
tuisce una penalità sulla commutazione del regime di combustione ed è molto
utile per evitare possibili fenomeni di chattering.
Il problema (5.1) può essere tradotto in un problema di programmazione
quadratica mista intera (MIQP), cioè nella minimizzazione di una funzione
di costo soggetta a vincoli, dove alcune variabili sono vincolate ad essere
binarie.

5.2 Risultati del controllo in simulazione 83
5.2 Risultati del controllo in simulazione
Le dinamiche del motore DISC in anello chiuso con il controllore MPC sono
state ottenute in simulazione utilizzando il modello non lineare presentato nel
Capitolo 4. In questa sezione saranno presentati due scenari di simulazione,
il primo orientato alla valutazione del controllore nelle transizioni di modo
operativo ed un secondo scenario più realistico.
La strategia di controllo sviluppata si basa sulle due fasi descritte nei para-
grafi precedenti. In primo luogo si determinano i riferimenti indipendenti e
dipendenti in modo che siano consistenti con la velocità di rotazione del mo-
tore ω. In seguito tali riferimenti sono passati al controllore MPC descritto
in 5.1.2.
Per il progetto del controllore MPC in-linea abbiamo scelto un orizzonte di
controllo N = 1. Le matrici dei pesi Q, R, S sono state scelte in seguito a
numerose prove su diversi scenari in quanto sono i parametri fondamentali
di sintonizzazione del controllore. Devono garantire le prestazioni desiderate
in ogni condizione operativa, devono essere raggiunti valori di compromesso
fra l’aggressività del controllore sullo scenario che si intende simulare e la
validità di prestazioni anche in condizioni diverse. I pesi utilizzati sono:
qτ = 1, qλ = 10 −3 , q∆δ = 0.01
rWth = 0.01, rWf = 10−3 , rδ = 0, rρ = 1,
spm = 0.04, sɛτ = 1.5 · 10 3 , sɛλ = 0.01.
Si noti che il peso sull’uscita τ − τref, qτ, è maggiore di qλ, così come il
peso su ɛτ è molto maggiore di sɛλ , per enfatizzare l’inseguimento di coppia
sia nei transitori che a regime come obiettivo principale del controllo. Molto
importanti sono anche i pesi su rWth
e rWf i quali devono essere consistenti
con il peso sul riferimento del rapporto aria-carburante, in quanto sono gli

5.2 Risultati del controllo in simulazione 84
ingressi che più direttamente influenzano λ. Il valore di rρ è abbastanza
piccolo da lasciare al controllore MPC la libertà di scegliere il modo operativo
ad ogni istante di campionamento, ma sufficientemente grande da impedire
le indesiderate oscillazioni di modo, fenomeno già definito come chattering.
Il primo scenario che andiamo a considerare è molto interessante dal punto
di vista dello sviluppo del controllore in quanto ci permette di osservare in
modo isolato il comportamento del sistema motore-centralina nelle transizioni
di modo. Si considera infatti il motore alla velocità nominale di 2000 rpm,
regime al quale è stato linearizzato il modello, a richiesta di coppia costante
(vedi Figure 5.1-5.7).
41
40.8
40.6
40.4
40.2
40
39.8
39.6
39.4
39.2
0 1 2 3 4 5
Figura 5.1: Coppia del motore τ(t) (linea tratteggiata: valore desiderato, linea
continua: risposta del modello non-lineare)
.

5.2 Risultati del controllo in simulazione 85
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
ρ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Figura 5.2: Modo di combustione ρ(t)
.
E’ proprio lavorando in queste condizioni a regime e coppia costante che il pi-
lota più facilmente può avvertire i cambi di modo operativo e percepirli come
disturbi. Al tempo di campionamento t = 1 viene richiesta una transizione
da modo omogeneo (ρ = 1) a modo stratificato (ρ = 0) e al tempo t = 4
è richiesta la trasizione inversa. Il controllore realizzato coordina l’azione
della valvola a farfalla, dell’iniettore, della candela e della selezione di modo
con ottimi risultati. La variazione di coppia è inferiore ad 1 Nm, è quindi
ampiamente compresa nella finestra ammissibile presentata in (3.1) e asso-
lutamente non percepibile dal guidatore. Si noti inoltre come al contempo
vengano rispettati i vincoli definiti nel Capitolo 4 su ∆δ (4.15), λ (4.13) e
Wth (4.14), (4.17)

5.2 Risultati del controllo in simulazione 86
40
35
30
25
20
15
10
0 1 2 3 4 5
Figura 5.3: rapporto aria-carburante λ(t) (linea tratteggiata rossa: valore desiderato,
linea continua: risposta del modello non-lineare, linea tratteggiata nera: vincolo
su λ)
.
Il secondo scenario è mirato alla valutazione della strategia di controllo
in regime di rotazione variabile. Tale scenario si basa su una porzione di 20
secondi, in particolare sul segmento di tempo che va da 965 s a 985 s, del
ciclo di guida europeo, new european driving cycle (NEDC). Il NEDC è un
ciclo di guida standard che prevede diverse condizioni operative del veicolo
utilizzato per testarne consumi, emissioni nocive, ecc. Partendo dal profilo
di guida imposto dal ciclo NEDC le traiettorie di τref e ω sono state generate
in base a uno specifico veicolo e alle relative rapportature di cambio. Il
modo stratificato viene attivato per regimi di rotazione inferiori a 2000 rpm
e valori di coppia minori di 50 Nm. Per ρ = 0 il rapporto aria-carburante
λref è pari a 30, o comunque più alto possibile. Invece in modo omogeneo il

5.2 Risultati del controllo in simulazione 87
16
14
12
10
8
6
4
2
δ mbt−δ
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Figura 5.4: Deviazione anticipo accensione candela da MBT δmbt − δ
35
30
25
20
15
10
5
0
.
Wth
−5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Figura 5.5: Flusso d’aria attraverso la farfalla Wth(t) (linea tratteggiata: valore
desiderato, linea continua: risposta del modello non-lineare
.

5.2 Risultati del controllo in simulazione 88
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Figura 5.6: Pressione nel collettore di aspirazione pm(t) (linea tratteggiata: valore
desiderato, linea continua: risposta del modello non-lineare
.
valore di riferimento per il rapporto aria-carburante è fissato a 14.64, rapporto
stechiometrico standard per motori a benzina (vedi Capitolo 3). Il riferimento
sulla deviazione dell’anticipo accensione candela da MBT ∆δref = δmbt − δ è
fissato a 5 gradi. I risultati ottenuti in simulazione sono mostrati nelle figure
(5.8)-(5.14)
p m
La simulazione inizia in regime stratificato ρ = 0, il riferimento per la cop-
pia è basso 21 Nm e la velocità del motore inferiore ai 1800 giri al minuto.
A t = 5 il guidatore richiede un incremento di coppia in risposta del quale
il controllore effettua una transizione da stratificato a omogeneo sinergica-
mente con la variazione delle traiettorie del flusso d’aria attraverso la valvola,
della pressione nel collettore, dell’anticipo accensione candela e del flusso di
carburante per inseguire i nuovi riferimenti su τ e λ. Da t = 5 s a t = 16 s

5.2 Risultati del controllo in simulazione 89
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
Wf
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Figura 5.7: Flusso di carburante nei cilindri Wf(t) (linea tratteggiata: valore
desiderato, linea continua: risposta del modello non-lineare
.
la coppia richiesta e la velocità del motore aumentano progressivamente, con
alcune piccole variazioni di τ, finchè i valori massimi di 70 Nm e 2450 rpm
vengono raggiunti a t = 15 secondi. A T = 16 s τref diminuisce a 40 Nm,
mentre la velocità del motore oltre i 2000 rpm. In risposta a ciò il control-
lore non cambia il modo operativo e il rapporto aria-carburante, ma riduce
il flusso d’aria e benzina per inseguire la coppia. Successivamente la coppia
richiesta e la velocità del motore scendono sotto 50 Nm e 1900 rpm cosicchè
il controllore può tornare ad operare in modo stratificato.
E’ importante sottolineare che, nonostante il motore lavori a velocità variabile
in un ampio intervallo di giri, il controllore non ha come ingresso il numero di
giri ω e la dipendenza dal regime di rotazione attuale è inclusa implicitamente
nel controllo attraverso la generazione dinamica dei riferimenti.

5.2 Risultati del controllo in simulazione 90
2500
2400
2300
2200
2100
2000
1900
1800
1700
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
70
60
50
40
30
20
rpm
Figura 5.8: Velocità di rotazione del motore ω
.
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Figura 5.9: Coppia del motore τ(t) (linea tratteggiata: valore desiderato, linea
continua: risposta del modello non-lineare)
.
τ

5.2 Risultati del controllo in simulazione 91
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
40
35
30
25
20
15
ρ
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Figura 5.10: Modo di combustione ρ(t)
.
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Figura 5.11: rapporto aria-carburante λ(t) (linea tratteggiata rossa: valore desiderato,
linea continua: risposta del modello non-lineare, linea tratteggiata nera:
vincolo su λ)
.
λ

5.2 Risultati del controllo in simulazione 92
25
20
15
10
5
Wth
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Figura 5.12: Flusso d’aria attraverso la farfalla Wth(t) (linea tratteggiata: valore
desiderato, linea continua: risposta del modello non-lineare
62
60
58
56
54
52
50
48
46
.
p m
44
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Figura 5.13: Pressione nel collettore di aspirazione pm(t) (linea tratteggiata: valore
desiderato, linea continua: risposta del modello non-lineare
.

5.2 Risultati del controllo in simulazione 93
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Figura 5.14: Flusso di carburante nei cilindri Wf(t) (linea tratteggiata: valore
desiderato, linea continua: risposta del modello non-lineare
5.2.1 Carico computazionale MPC in-linea
.
Sono necessari circa 2.3 secondi per calcolare i riferimenti dipendenti (precal-
colati fuori linea) e ulteriori 9.4 secondi per simulare il sistema in anello chiuso
su un PC Intel Xeon 2.8 GHz che supporta l’Hybrid Toolbox [Bem04] imple-
mentato in ambiente Matlab e il risolutore di programmazione quadratica
mista-intera CPLEX [ILO01]. Di quei 9.4 s, 6.1 s sono utilizzati da CPLEX,
con una media di circa 3 ms per tempo di campionamento. Risulta evi-
dente che il controllore MPC non è direttamente implementabile, dato che
richiederebbe la risoluzione di un MIQP in linea per ogni istante di campi-
onamento, ed è chiaramente proibitivo nei sistemi di controllo automobilis-
tici standard. Per superare tali problemi di implementazione nel prossimo
paragrafo verrà sviluppata la versione esplicita del controllore MPC che non
richiede ottimizzaziona mista-intera in linea.
Wf

5.3 Controllo ibrido MPC esplicito 94
35
30
25
20
15
10
5
0
−5
0 5 10 15 20
Figura 5.15: Deviazione anticipo accensione candela da MBT δmbt − δ
5.3 Controllo ibrido MPC esplicito
.
Una volta che il controllore MPC è stato sintonizzato in linea è possibile
utilizzare i risolutori multiparametrici (mp-MIQP) per ottenere la forma
esplicita.
L’azione di controllo derivante dall’impiego della forma esplicita è del tutto
equivalente a quella del controllo in linea con l’importante differenza però
che il controllo si riduce alla valutazioni di regioni nello spazio degli stati
rispetto alla risoluzione di problemi di programmazione mista intera.
Lo sviluppo del controllore esplicito avviene in due passi distinti: prima il
controllore MPC ibrido viene sintonizzato in linea, fino al raggiungimen-
to delle prestazioni desiderate. In seguito la forma esplicita equivalente
è calcolata fuori-linea usando una combinazione di programmazione mul-

5.3 Controllo ibrido MPC esplicito 95
tiparametrica quadratica e programmazione dinamica, come presentato in
[AB06], implementata nell’Hybrid Toolbox. La rappresentazione esplicita
u(t) = f(θ(t)) della legge di controllo (5.1), con u = [Wth Wf δ ρ] ′ , è rap-
presentata da un insieme di guadagni affini di controllo in retroazione dello
stato e da una corrispondente partizione poliedrica nello spazio degli stati
θ = [pm ɛτ ɛλ Wf τref λref pm,ref Wth,ref Wf,ref δref] ′ , nella quale è possibile si
verifichino sovrapposizioni (il riferimento di ∆δref su δmbt −δ nel nostro caso
è fissato a 5 gradi).
Considerando un orizzonte di controllo pari a N = 1 otteniamo una funzione
PWA definita su 96 regioni poliedriche. Il numero di regioni può essere ridot-
to a 42 se il vincolo (4.17) viene rimosso; il numero può essere ulteriormente
ridotto rimuovendo i vicoli che tendono a non essere attivati in condizioni
operative realistiche.
In Figura 5.16 si riporta una sezione bidimensionale (cross-section) della
partizione poliedrica che, nel nostro caso, ha dimensione 10. In partico-
lare in figura è riportata la cross-section della legge di controllo PWA sul
piano pm-λref assumendo che ɛτ = 0, ɛλ = 0, Wf(t − 1) = 0, τref = 60 Nm,
Wf,ref = 1, pm,ref = 55 kPa, Wth,ref = 20, δref = 16.
In Figura 5.16 è inoltre riportata l’evoluzione di pm e λref con contrassegnati
gli istanti di campionamento di inizio, fine e transizione di stato. Si noti che
al cambiamento di ρ la traiettoria passa dal grafico inferiore a quello superi-
ore e viceversa, rispettivamente a t = 5 e t = 17.
Se consideriamo un orizzonte di controllo N = 2 il numero di regioni sale a
3435 riducibili a 747 rimuovendo il vincolo (4.17). In Figura 5.17 si riportano
le traiettorie di coppia e rapporto aria-carburante per tale orizzonte di con-
trollo. Le dinamiche del motore DISC in anello con il controllore per N = 2
e N = 1 sono molto simili. Altre simulazioni con N superiore non migliorano

5.3 Controllo ibrido MPC esplicito 96
lambda ref
lambda ref
40
30
20
10
ρ=1
0
30 35 40 45 50 55
pm
60 65 70 75 80
40
30
20
10
t=17s
t=20s
t=17.01s
t=5.01s
ρ=0
0
30 35 40 45 50 55
pm
60 65 70 75 80
Figura 5.16: Cross-section sul pm-λref e traiettoria simulata in anello chiuso. figura
in alto: ρ = 1, figura in basso: ρ = 0
.
le prestazioni, ciò sembra suggerire che l’orizzonte di controllo N = 1 è la
scelta più opportuna per il nostro sistema centralina-motore DISC.
5.3.1 Carico computazionale per controllo MPC in for-
ma esplicita
Mentre il controllo del sistema con l’MPC ibrido in-linea o con la sua forma
esplicita equivalente produce gli stessi risultati, il controllore esplicito richiede
un carico computazionale molto minore. Infatti il tempo di simulazione si
riduce a soli 3.9 secondi sullo stesso calcolatore utilizzato per valutare i tempi
t=5s
t=0s

5.3 Controllo ibrido MPC esplicito 97
Figura 5.17: Simulazione di controllo con orizzonte di controllo N = 2
di calcolo del controllore MPC. Tuttavia il dato più significativo è il tempo
di calcolo della legge di controllo esplicita per tempo di campionamento che
è di circa 8 µs; da notare che il tempo di campionamento è pari a T = 10 ms.
τ
λ

Conclusioni
In questa tesi è stato affrontato lo studio e lo sviluppo di un controllore pred-
ittivo ibrido di un motore ad iniezione diretta a carica stratificata. Questa
tipologia di motori è un esempio perfetto di sistema ibrido soggetto a vincoli,
poichè alle dinamiche continue dei motori a combustione interna si aggiunge
una modalità di combustione binaria: il modo omogeneo e il modo stratificato.
Il duplice modo di funzionamento ha determinato la necessità di studi-
are e sviluppare un modello del motore che fosse in grado di caratterizzare
in modo semplice e completo questi due modi di funzionamento e che fosse
inoltre orientato al controllo, al fine di progettare un controllore in grado di
coordinare in modo opportuno gli attuatori presenti nel sistema che garantis-
cano determinate specifiche e obiettivi di prestazione. A partire dal modello
non lineare del motore, derivato da uno studio dei laboratori di ricerca Ford,
si è presentato il processo di modellizzazione ibrida del motore a carica strat-
ificata. Il modello ibrido è stato descritto tramite il linguaggio HYSDEL,
il quale è risultato particolarmente idoneo per la definizione di strategie di
controllo ottimo basato su tecniche predittive.
L’obiettivo del controllo sviluppato nel lavoro di tesi è stato quello di soddis-
fare la richiesta di coppia del guidatore, espressa dal pedale dell’acceleratore,
minimizzando il consumo di carburante e rispettando il corretto funziona-
mento del catalizzatore con il conseguente rispetto delle normative sulle emis-

Conclusioni 99
sioni. Le variabili di controllo su cui la centralina agisce i modo coordinato
sono: la selezione della modalità di funzionamento (segnale logico), il tempo
di accensione della candela, l’apertura della valvola dell’aria e l’iniezione di
carburante (segnali continui).
La strategia di controllo è stata poi definita tramite i seguenti passi:
- Generazione dei riferimenti. Ad ogni istante di campionamento ven-
gono calcolate le traiettorie delle variabili controllate del motore (quali
pressione nel collettore di aspirazione, portata d’aria attraverso la far-
falla e la portata di benzina all’interno del cilindro), in modo che siano
consistenti con il regime attuale e corrispondano in stato stazionario ai
valori di coppia e di rapporto aria-carburante richiesti.
- Controllo predittivo in linea. La strategia di controllo predittiva basa-
ta su modello (model predictive control, MPC), che si basa sulla filosofia
ad orizzonte recedente, ad ogni istante di campionamento risolve un
problema di ottimizzazione misto-intero vincolato ad orizzonte finito,
assumendo lo stato attuale come condizione iniziale. Ottenuta la se-
quenza di controllo solo il primo campione viene applicato al sistema
ibrido e l’intero processo viene nuovamente applicato all’istante suc-
cessivo. Il controllore MPC è ottenuto considerando il modello MLD
generato a numero di giri costante come parte dei vincoli del proble-
ma di ottimizzazione. Il controllo MPC raggiunge buone prestazioni di
inseguimento su coppia e rapporto aria-carburante anche in condizioni
diverse da quelle nominali.
- Controllo MPC esplicito. Il controllo predittivo in linea, pur fornen-
do ottime prestazioni, è tuttavia inapplicabile in centralina motore, a
causa delle ridotte risorse hardware e software. Il controllo ottimo,
sintonizzato in linea al passo precedente, viene allora tradotto nella
sua forma esplicita con l’ausilio di un risolutore multi-parametrico. La
forma esplicita consiste concretamente in una tabella di regioni nello

Conclusioni 100
spazio degli stati a cui ad ogni regione è associato un legge affine di
retroazione dello stato. Tale legge, del tutto equivalente alla strategia
in linea, si riduce quindi alla valutazione di una tabella e può pertanto
essere introdotta in hardware con risorse limitate, come la centralina
motore.
Il lavoro presentato, sebbene abbia mostrato come la teoria dei sistemi ib-
ridi sia molto utile e possa fornire buoni risultati in un applicazione reale,
ha delle limitazioni e si ritengono necessari ulteriori sviluppi di ricerca. La
strategia di controllo adottata non è in grado di catturare completamente il
comportamento del modello non lineare e di controllarlo in maniera perfor-
mante su l’intero arco di regime di rotazione. Un possibile miglioramento
potrebbe prevedere l’implementazione di una cascata di controllori predittivi
ibridi ciascuno attivabile in un range di giri del motore limitato.
Inoltre si osserva che la forma esplicita genera molte regioni nello spazio di
stato ma solo un sottoinsieme di queste è attivabile durante le condizioni di
funzionamento reale. Un obiettivo da porsi è lo studio sistematico di tecniche
per la riduzione delle regioni. Questo ovviamente avrebbe una ricaduta molto
positiva nell’implementazione in centralina.
Un ulteriore vasto argomento da approfondire appare indubbiamente la stima
dello stato, soprattutto se si intende implementare il controllore su modelli
ancora più complessi o addirittura su sistemi motori-centralina reali. Infatti
questo tema è fondamentale in quanto nei sistemi reali le misure sono af-
flitte da rumore e alcune componenti dello stato non sono accessibili, come
la coppia (non esiste attualmente nessun sensore di coppia nelle auto in
produzione), nonostante che il modello considerato sia stato assunto senza
incertezza e con la conoscenza totale dello stato.

Appendice A
HYSDEL
La possibilità di poter generare in modo automatico la descrizione MLD di
un sistema ibrido, a partire da una descrizione più orientata alla program-
mazione, risulta essere un’aspetto fondamentale per l’utilizzo dei sistemi ib-
ridi. Il linguaggio HYSDEL si prefigge proprio questo obiettivo, in modo
tale da rendere più intuitivo, facile e generale il processo di generazione delle
matrici del sistema MLD.
In questa appendice verrà fatta una panoramica sui costrutti del linguaggio
e verrà portato come esempio proprio il modello del motore DISC per far
vedere con quale semplicità si può descrivere un problema reale come quello
in esame.

A.1 Il linguaggio Hysdel 102
A.1 Il linguaggio Hysdel
Il cuore del linguaggio HYSDEL (HYbrid Systems Description Language) è
una procedura di traduzione di un sistema dinamico ibrido in forma di dis-
uguaglianze miste intere che genera automaticamente una descrizione MLD,
come quella descritta nel paragrafo 1.3.2 a pagina 23, a partire da una
descrizione ad alto livello. Questo linguaggio di programmazione è stato
sviluppato presso il Laboratorio di Controlli Automatici (IfA), ETH, Zurigo.
Una descrizione completa del linguaggio è riportata in [TB04]. Il compila-
tore è integrato nell’Hybrid Toolbox [Bem04] rispettivamente disponibili agli
indirizzi:
http://control.ethz.ch/ hybrid/hysdel
http://www.dii.unisi.it/hybrid/toolbox
Data una descrizione testuale delle parti logiche e dinamiche del sistema
ibrido, HYSDEL restituisce le matrici A, B1−3, C, D1−3, E1−5 della cor-
rispondente forma MLD (4.18).
Un programma HYSDEL è composto di due parti. La prima, dettaINTERFACE,
contiene la dichiarazione di tutti gli stati continui e binari, le variabili d’in-
gresso e di uscita, ed i parametri utilizzati nel programma. La seconda parte,
detta IMPLEMENTATION, è composta da sei sezioni specializzate dove sono
descritte le relazioni tra le variabili, come indicato di seguito.
A.1.1 Sezioni AD e DA
Queste due sezioni definiscono le interazioni di interfaccia tra variabili con-
tinue e discrete. La sezione AD definisce le variabili binarie da condizioni di
soglia lineare su variabili continue. Per esempio, [d = 1] ↔ [a1x1 + a2x2 ≤ b],
x1,x2,a1,a2 ∈ R n , b ∈ R, d ∈ {0, 1}, con (a1x1 + a2x2 − b) ∈ [min, max]. In
HYSDEL questa condizione è rappresentata come:
AD { d = a1*x1+a2*x2-b

A.1 Il linguaggio Hysdel 103
HYSDEL traduce la sezione AD in accordo all’equivalenza (1.13)→(1.15).
La sezione DA specifica condizioni che accoppiano variabili continue con vari-
abili binarie, ma al contrario della sezione AD, i segnali analogici sono definiti
sul valore delle variabili Booleane, ad esempio condizioni del tipo, “if [d = 1]
then z = a1x + b1 else z = a2x + b2”, dove (a1x + b1) ∈ [min1, max1] e
(a2x + b2) ∈ [min2, max2]:
DA { z = {IF d THEN a1*x-b1
ELSE a2*x-b2};}
HYSDEL traduce la sezioneDA in disuguaglianze lineari intere come in (1.16).
A.1.2 Sezione LOGIC
La sezione LOGIC è rivolta a specificare funzioni di variabili binarie come
(1.10). Ad esempio, la formula d1 = d2 ∨ (∼ d3 ∧ d4) è rappresentata in
HYSDEL come
LOGIC { d1 = d2 | (~d3 & d4); }
e tradotta in disuguaglianze miste intere calcolando prima la CNF relativa e
poi utilizzando le (1.12)
A.1.3 Sezione CONTINUOUS
Questa sezione descrive le dinamiche lineari come equazioni alle differen-
ze. Ad esempio l’equazione della tensione di un condensatore ideale, i(t) =
C d u(t), è convertita in tempo-discreto, applicando la regola delle differenze
dt
in avanti, nella forma u(k + 1) = u(k) + T i(k). In HYSDEL la precedente si
C
riscrive come:
CONTINUOUS { u = u + T/C*i; }

A.2 Listato HYSDEL del motore DISC 104
A.1.4 Sezione AUTOMATA
Questa sezione specifica le equazioni di transizioni di stato dell’automa, sotto
l’ipotesi che le transizioni siano sincronizzate con il tempo di campionamento
delle equazioni dinamiche continue.
A.1.5 Sezione MUST
Questa sezione permette di specificare vincoli su variabili continue e binarie,
come ad esempio, vincoli lineari o funzioni logiche. Ad esempio se la variabile
x deve rimanere limitata nell’intervallo [xmin,xmax], in HYSDEL si traduce:
MUST{ x - xmax

A.2 Listato HYSDEL del motore DISC 105
}
}
REAL xtau [-1e3, 1e3];
REAL xlam [-1e3, 1e3];
REAL taud [0, 100];
REAL lamd [10, 60];
OUTPUT {
}
REAL lambda; /* [10, 50]; */
REAL tau; /* [0, 100]; */
REAL ddelta;
INPUT{
}
REAL Wth [0,38.5218];
REAL Wf [0, 2];
REAL delta [0, 40];
BOOL rho;
PARAMETER{
}
REAL Ts; /* Tempo di campionamento */
REAL pm1, pm2;
REAL l01, l02,l03,l04, l0c;
REAL l11,l12,l13,l14, l1c;
REAL tau01,tau02,tau03,tau04,tau0c;
REAL tau11,tau12,tau13,tau14,tau1c;
REAL dmbt01, dmbt02, dmbt03,dmbt04, dmbt0c;
REAL dmbt11, dmbt12, dmbt13,dmbt14, dmbt1c;

A.2 Listato HYSDEL del motore DISC 106
IMPLEMENTATION{
AUX{
}
DA{
REAL lam;
REAL taul;
REAL lmin,lmax;
REAL dmbtl;
lam={IF rho THEN l11*pm+l12*Wth+l13*Wf+l14*delta+l1c
ELSE l01*pm+l02*Wth+l03*Wf+l04*delta+l0c};
taul={IF rho THEN tau11*pm+tau12*Wth+tau13*Wf+tau14*delta+tau1c
ELSE tau01*pm+tau02*Wth+tau03*Wf+tau04*delta+tau0c };
dmbtl={IF rho THEN dmbt11*pm+dmbt12*Wth+dmbt13*Wf+dmbt14*delta+dmbt1c+7
ELSE dmbt01*pm+dmbt02*Wth+dmbt03*Wf+dmbt04*delta+dmbt0c-1};
lmin ={IF rho THEN 13 ELSE 19};
lmax ={IF rho THEN 21 ELSE 38};
}
CONTINUOUS{
}
pm=pm1*pm+pm2*Wth;
xtau=xtau+Ts*(taud-taul);
xlam=xlam+Ts*(lamd-lam);
taud=taud;
lamd=lamd;
OUTPUT {
}
lambda=lam-lamd;
tau=taul-taud;
ddelta=dmbtl-delta;

A.2 Listato HYSDEL del motore DISC 107
}
}
MUST{
}
lmin-lam

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Indice analitico
analisi di raggiungibilità, 31
carica stratificata, 52
ciclo
funzionamento, 46
CNF, 21
connettivi logici, 20
controllo predittivo, 5, 33, 34, 37,
42, 77, 78, 80
discrete hybrid automata (DHA), 4,
10, 11, 17, 18, 29, 33
event generator (EG), 11, 14
finite state machine (FSM), 11,
15
mode selector (MS), 11, 16
reset maps, 16
switched affine system (SAS), 11,
13, 30
equilibrio, 26
fase
coppia di, 26
asintoticamente stabile, 26
esponenzialmente stabile, 26
stabile, 26
stato di, 26
113
aspirazione, 46
combustione, 47
compressione, 47
scarico, 47
fenomeni
mancata accensione, 49
preaccensione, 49
forma normale congiuntiva, 21
funzione logica, 20
HYSDEL, 18, 75, 77, 80, 101
metodi
Branch & Bound, 41
Branch & Cut, 41
decomposizione, 41
logici, 41
tagli, 40
modello
non lineare, 6, 59, 68, 72, 77, 83
modello di un sistema, 9
modo
omogeneo, 52, 56, 62, 64, 71, 79,
85, 88
stratificato, 51, 56, 57, 62–64,
68, 71, 79, 85, 86, 88

INDICE ANALITICO 114
motore
transizioni di, 18, 56, 57, 68, 83–
85, 88
a 2 tempi, 47
a 4 tempi, 47
accensione comandata, 46
accensione spontanea, 46
carburazione, 46
combustione interna, 45
DISC, 50, 58, 60, 69, 76, 77, 80,
96
iniezione diretta, 46
MCI, 45
MPC, 34, 36, 43, 66, 75, 79, 83, 93,
96
esplicito, 42, 94, 96, 99
orizzonte recessivo, 5, 35, 37
problema
lineare, 35
MILP, 38, 40
MIQP, 37, 40–42, 82
misto intero, 37
mpMILP, 42
mpMIQP, 42
multiparametrico, 42
quadratico, 35
proprietà DHA
ben postezza, 17
proprietà MLD
ben postezza, 25
stabilità, 26
rapporto aria-carburante, 48, 53, 56,
59, 63, 69, 71, 73, 78, 79, 89
rapporto stechiometrico, 48, 88
sistemi, 8
valvola
equivalenza tra, 30
ibridi, 9
MLD, 10, 18, 19, 25, 26, 28, 29,
33, 37, 68, 73, 75, 77, 81,
101
PWA, 4, 10, 28, 30–33, 43, 95
switched affine, 11
aspirazione, 46
scarico, 46
variabile
binaria, 19
logica, 19
vincoli LCIF, 22
vincolo
accensione candela, 74
farfalla, 74
rapporto AF, 73, 86
variazione portata, 75, 95, 104