Modelli Matematici per l'Ingegneria
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Dispense del corso di<br />
<strong>Modelli</strong> <strong>Matematici</strong> <strong>per</strong> l’Ingegneria<br />
Facoltà di Ingegneria – Università degli studi dell’Aquila<br />
Anno Accademico 2007-2008<br />
Marco Di Francesco
Indice<br />
1 Introduzione alle equazioni alle derivate parziali 9<br />
1.1 PDE del primo ordine semilineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.2 Equazioni semilineari del secondo ordine in due variabili . . . . . . . . . . 15<br />
1.2.1 Problemi ben posti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2 <strong>Modelli</strong> di diffusione 19<br />
2.1 L’equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.1.1 Un modello di propagazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.1.2 Problemi ben posti <strong>per</strong> l’equazione del calore . . . . . . . . . . . . . 21<br />
2.1.3 Evoluzione della tem<strong>per</strong>atura in una sbarra omogenea. Tendenza<br />
all’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
2.1.4 Il metodo dell’energia. Unicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
2.1.5 La soluzione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
2.1.6 Il problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
2.2 Diffusione e probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
2.3 Diffusione non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
2.3.1 Conducibilità termica nei gas diluiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
2.3.2 Le soluzioni di Barenblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
2.3.3 Diffusione veloce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
3 Problemi stazionari. Equazioni di Laplace e di Poisson 37<br />
3.1 La soluzione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
3.2 Problema al bordo sul cerchio <strong>per</strong> l’equazione di Laplace. . . . . . . . . . . 38<br />
3.3 Il metodo della funzione di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
3.4 Tendenza all’equilibrio <strong>per</strong> l’equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
4 <strong>Modelli</strong> di convezione e di convezione–diffusione 45<br />
4.1 Un modello di traffico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.2 Equazione del trasporto lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
4.3 Un modello cinematico di traffico non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
4.4 Due modelli semplificati di trasporto nonlineare . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
4.4.1 Un modello di scambio chimico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
4.4.2 Moto di particelle in un letto fluidizzato . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
3
4 INDICE<br />
4.5 La legge di conservazione scalare nonlineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
4.6 Rarefazione e shock nel modello di Whitham . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
4.7 Onde smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
4.8 Modello di inquinante in un fiume (drift-diffusion) . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
4.9 L’equazione di Burgers viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
4.10 Viscosità evanescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
4.10.1 Onde viaggianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
4.10.2 N-Waves viscose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
5 Fenomeni vibratori: l’equazione delle onde 75<br />
5.1 Onde trasversali in una corda: derivazione del modello . . . . . . . . . . . 75<br />
5.2 L’equazione delle onde in elettromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
5.3 Conservazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
5.4 Unicità della soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
5.5 La formula di d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
5.6 Soluzione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
5.6.1 L’equazione non omogenea. Metodo di Duhamel . . . . . . . . . . . 83<br />
5.7 Effetti di dis<strong>per</strong>sione e dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
5.7.1 Dissipazione esogena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
5.7.2 Dissipazione interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
5.7.3 Dis<strong>per</strong>sione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
5.8 Piccole vibrazioni di una membrana elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
5.8.1 Membrana quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
5.9 Un metodo di riflessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
5.10 Soluzione in dimensione tre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
5.11 Soluzione in dimensione due . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
6 Moto di un sistema continuo 95<br />
6.1 Nozione di sistema continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95<br />
6.2 Teorema del trasporto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
6.3 Conservazione della massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
6.4 Bilancio dell’impulso (equazione di Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
6.5 Bilancio del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
6.6 Bilancio dell’energia (prima legge della Termodinamica) . . . . . . . . . . . 105<br />
7 Equazioni di Eulero e Navier–Stokes 109<br />
7.1 Fluidi ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
7.2 Fluidi <strong>per</strong>fetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
7.3 Fluido viscoso di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
7.4 Fluido incompressibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8 Fluidi ideali 121<br />
8.1 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
8.2 Conservazione dell’energia totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124<br />
8.3 Teoremi di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br />
8.4 Teorema di Kelvin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br />
8.5 Flussi bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130<br />
8.6 Equazione della vorticità in dimensione 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131<br />
9 Cenni di teoria cinetica: l’equazione di Boltzmann 133<br />
9.1 Funzioni di distribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
9.2 L’equazione di Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134<br />
9.3 La distribuzione di Maxwell–Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136<br />
9.4 Pressione e tem<strong>per</strong>atura assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
9.5 Il ‘teorema H’ di Boltzmann. Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
10 Alcuni limiti idrodinamici 141<br />
10.1 Equazione delle onde con dissipazione esogena . . . . . . . . . . . . . . . . 141<br />
10.1.1 Primo metodo: separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . 142<br />
10.1.2 Secondo metodo: stima dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143<br />
10.2 Approssimazione acustica <strong>per</strong> un flusso isoentropico . . . . . . . . . . . . . 145<br />
10.3 Limite incompressibile <strong>per</strong> il flusso isoentropico . . . . . . . . . . . . . . . 146<br />
10.4 Limite diffusivo in un mezzo poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148<br />
11 Fenomeni di radiazione termica in un gas 151<br />
11.1 Concetti introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br />
11.2 L’equazione del ‘radiative transfer’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152<br />
11.3 Approssimazione diffusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155<br />
A Alcuni richiami di analisi e di geometria. 159<br />
A.1 Distanze, norme e topologia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159<br />
A.2 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161<br />
A.3 Calcolo differenziale in più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<br />
A.4 Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165<br />
A.5 Serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166<br />
A.6 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168<br />
A.7 Equazioni differenziali ordinarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6 INDICE
Introduzione<br />
Questo libro raccoglie gli argomenti dell’omonimo corso di <strong>Modelli</strong> matematici <strong>per</strong> l’Ingegneria,<br />
previsto <strong>per</strong> l’Anno Accademico 2007–2008, alla Facoltà di Ingegneria dell’Università<br />
degli Studi dell’Aquila. Lo scopo di base di questo corso è duplice: in primo luogo trattare<br />
alcuni metodi standard <strong>per</strong> ricavare modelli di equazioni alle derivate parziali applicati ad<br />
alcuni semplici problemi di fisica e di ingegneria; in secondo luogo e compatibilmente con<br />
il background matematico degli studenti, fornire loro gli strumenti analitici <strong>per</strong> risolvere o<br />
<strong>per</strong> studiare qualitativamente i problemi posti.<br />
Riguardo al primo aspetto, verranno ad esempio studiati modelli di trasporto, convezione,<br />
diffusione (o dis<strong>per</strong>sione), reazione e dissipazione, con applicazioni alla dinamica<br />
dei fluidi, ai modelli di traffico, alla propagazione di onde elastiche lineari, ad alcune dinamiche<br />
particellari. Per la maggior parte di questi modelli si fornirà una descrizione di<br />
tipo ‘cinematico’, ovvero in cui vengono trascurati gli effetti dinamici (o inerziali) causati<br />
dalla relazione tra le accelerazioni e le forze in gioco. Sono questi i modelli <strong>per</strong> cui verranno<br />
forniti maggiori strumenti dell’analisi matematica, data anche la loro relativa semplicità.<br />
Verranno anche introdotti modelli dinamici (idrodinamici nel caso dei modelli di fluido–<br />
dinamica) <strong>per</strong> cui è assai difficile trattare una teoria matematica adattata alle conoscenze<br />
matema- tiche degli studenti. In questo caso si studierà soprattutto il comportamento di<br />
tali modelli mandando certi parametri al limite.<br />
Riguardo ai metodi matematici usati nel corso, nel caso di modelli lineari (ed anche in<br />
qualche model- lo nonlineare, come ad esempio l’equazione viscosa di Burgers) verranno<br />
forniti metodi <strong>per</strong> la risoluzione analitica esplicita. La teoria nonlineare ha nello studio<br />
delle onde di shock <strong>per</strong> le leggi di conservazione nonlineari il suo argomento principale. Per<br />
il resto, nel caso di modelli nonlineari si cercherà di analizzare le soluzioni da un punto di<br />
vista qualitativo.<br />
Il corso è organizzato distribuendo gli argomenti dal punto di vista dei modelli matematici<br />
piuttosto che delle aree di applicazione. Ad esempio, il capitolo sui modelli di trasporto<br />
conterrà sia modelli di traffico che modelli di scambio chimico. Ci sembra questo un modo<br />
<strong>per</strong> abituare lo studente a riconoscere la matematica che c’è dietro un problema al di là<br />
della branca specifica di applicazione.<br />
Per quanto riguarda i prerequisiti matematici, si considerano note la teoria delle<br />
funzioni reali ed il calcolo differenziale in una e più variabili, il calcolo integrale multiplo e<br />
la teoria di base delle equazioni differenziali ordinarie. Alcuni concetti sono richiamati <strong>per</strong><br />
comodità in Appendice. Per quanto concerne l’introduzione alle derivate parziali ed alcuni<br />
7
8 INDICE<br />
semplici metodi di risoluzione, si è ritenuto opportuno richiamarle nel primo capitolo del<br />
testo (parte del quale è stata curata da Corrado Lattanzio).
Capitolo 1<br />
Introduzione alle equazioni alle<br />
derivate parziali<br />
Lo studente che si accinge ad affrontare il presente corso si è già imbattuto nel concetto di<br />
equazione differenziale ordinaria 1 . Risolvere un’equazione differenziale ordinaria consiste<br />
nel determinare una funzione incognita t ↦→ u(t) dipendente da una sola variabile. Nel caso<br />
in cui la funzione incognita sia a valori vettoriali t ↦→ X(t) ∈ R n , allora si parla di sistema<br />
di equazioni ordinarie.<br />
Nel nostro corso ci occu<strong>per</strong>emo invece di equazioni differenziali alle derivate parziali,<br />
ovvero di equazioni differenziali la cui incognita è una funzione (spesso scalare) dipendente<br />
da più di una variabile. Nelle applicazioni descritte in questo corso, le variabili indipendenti<br />
saranno sempre costituite da una variabile temporale t ≥ 0 e da una variabile spaziale<br />
x ∈ R n . Molto spesso considereremo il caso unidimensionale x ∈ R, ovvero n = 1. Se<br />
un’equazione differenziale ordinaria era una relazione algebrica tra la variabile t, l’incognita<br />
X(t) e le sue derivate rispetto al tempo, un’equazione alle derivate parziali sarà una<br />
relazione algebrica tra le variabili indipendenti x e t, l’incognita u(x, t) e le sue derivate<br />
parziali ut, ux, utt, uxx, etc. . . . In situazioni più generali, le variabili spaziali saranno più<br />
di una (fino, ovviamente, ad un massimo di tre!), nel qual caso saranno indicate con (x, y)<br />
nel caso bidimensionale e (x, y, z) nel caso tridimensionale 2 . Riportiamo qui una lista di<br />
equazioni alle derivate parziali che incontreremo nel seguito del corso.<br />
Esempi di equazioni alle derivate parziali: 3<br />
(a) L’equazione del calore ut = uxx<br />
(b) L’equazione del trasporto lineare ut + cux = 0, c ∈ R<br />
1 Per un breve richiamo sulle equazioni differenziali ordinarie, si veda la sezione A.7 dell’Appendice.<br />
2 In generale i modelli che consideriamo sono ‘ambientati’ in R 3 , ed il vettore spaziale di riferimento<br />
è (x, y, z). In alcune situazioni particolari, si può supporre che variazioni significative delle grandezze in<br />
esame avvengano soltanto lungo una direzione, nel qual caso la variabile spaziale di riferimento è uno<br />
scalare x. In altre situazioni ancora, si suppone che non avvengano variazioni lungo una direzione di<br />
riferimento z, nel qual caso la variabile spaziale di riferimento è un vettore bidimensionale (x, y).<br />
3 u = u(x, t) è la funzione incognita. Per semplicità consideriamo solo esempi in cui x ∈ R.<br />
9
10CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI<br />
(c) L’equazione delle onde utt + c 2 uxx = 0, c > 0<br />
(d) L’equazione di Burgers ut + uux = 0<br />
(e) L’equazione viscosa di Burgers ut + uux = uxx<br />
(f) L’equazione di Laplace uxx + uyy + uzz = 0<br />
Nel seguito useremo l’abbreviazione PDE ad indicare un’equazione alle derivate parziali<br />
(dall’inglese Partial Differential Equation), mentre una equazione differenziale ordinaria è<br />
comunemente detta una ODE (Ordinary Differential Equation). Una categoria importante<br />
di PDE è costituita dalle PDE lineari, ovvero da quelle equazioni in cui la dipendenza<br />
dall’incognita u e dalle sue derivate è lineare. Nell’elenco precedente, le uniche equazioni<br />
non lineari sono la (d) e la (e). Per le PDE lineari vale il seguente<br />
Teorema 1.0.1 (Principio di sovrapposizione) Siano u1 ed u2 soluzioni di una data<br />
equazione alle derivate parziali lineare. Siano inoltre λ, µ due costanti reali. Allora<br />
λu1 + µu2<br />
è anch’essa una soluzione della stessa equazione.<br />
Analogamente alle ODE, si definisce ordine di una PDE come l’ordine massimo di<br />
derivazione che compare nell’ equazione. Una PDE di ordine n si dice semilineare se essa<br />
è lineare nelle derivate di ordine n. In particolare, le uniche equazioni nonlineari nella lista<br />
precedente (ovvero la (d) e la (e)) sono semilineari.<br />
Richiamiamo ora alcuni metodi analitici <strong>per</strong> alcune semplici PDE del primo e del<br />
secondo ordine.<br />
1.1 PDE del primo ordine semilineari<br />
Per equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine semilineare nelle variabili<br />
indipendenti (x, t) ∈ R 2 si intende un’equazione della forma:<br />
a(x, t)ut + b(x, t)ux = f(x, t, u), (1.1)<br />
dove la funzione incognita u = u(x, t) è una funzione a valori reali. Le funzioni a, b, f sono<br />
funzioni regolari, ad esempio a, b ∈ C1 (Ω) e f ∈ C1 (Ω × R), dove Ω ⊂ R2 è un a<strong>per</strong>to del<br />
piano (x, t). Una funzione u è soluzione dell’equazione (1.1) in un a<strong>per</strong>to U ⊂ Ω se verifica<br />
tale equazione <strong>per</strong> ogni (x, t) ∈ U.<br />
Definiamo ora il problema di Cauchy <strong>per</strong> l’equazione (1.1). Sia C una curva regolare<br />
contenuta in Ω di equazioni parametriche x = x0(σ), t = t0(σ). Definiamo problema di<br />
Cauchy il seguente sistema:<br />
<br />
a(x, t)ut + b(x, t)ux = f(x, t, u)<br />
(1.2)<br />
u(x0(σ), t0(σ)) = u0(σ)
1.1. PDE DEL PRIMO ORDINE SEMILINEARI 11<br />
e u è soluzione di (1.2) se verifica sia l’equazione differenziale che il dato iniziale (ovvero<br />
la seconda condizione in (1.2)) in ogni punto della curva C. Prima di discutere l’esistenza<br />
e l’unicità delle soluzioni di (1.2), vediamo come determinare tale soluzione in un esempio<br />
concreto.<br />
Esempio 1.1.1 Consideriamo l’equazione differenziale alle derivate parziali<br />
ut + vux = 0, (1.3)<br />
dove v > 0 è una costante, a cui aggiungiamo una condizione iniziale<br />
u(x, 0) = u0(x), (1.4)<br />
con u0 funzione regolare. Associamo all’equazione differenziale (1.3) il seguente sistema di<br />
equazioni differenziali ordinarie (che è anche un sistema dinamico):<br />
<br />
˙x(s) = v<br />
(1.5)<br />
˙t(s) = 1,<br />
dove con “ ˙ ” indichiamo la derivata rispetto al parametro s. Le curve soluzioni di (1.5)<br />
sono dette curve caratteristiche <strong>per</strong> (1.3). Esse sono curve del piano (x, t), che è detto<br />
piano delle fasi. Imponendo le condizioni iniziali in s = 0<br />
<br />
x(0) = x0<br />
,<br />
t(0) = t0<br />
si determina un’unica soluzione <strong>per</strong> (1.5) fornita chiaramente da:<br />
<br />
x(s) = vs + x0<br />
t(s) = s + t0.<br />
Dato che la condizione iniziale (1.4) è assegnata sulla curva di equazione t = 0, imponiamo<br />
che (x0, t0) sia un punto di tale curva. Ciò comporta t0 = 0. Quindi la curva caratteristica<br />
si può riscrivere, eliminando il parametro s, come<br />
x(t) = vt + x0. (1.6)<br />
La (1.6) rappresenta <strong>per</strong>tanto la curva caratteristica che interseca in x0 la curva {t = 0}<br />
del dato iniziale. Tale curva risulta essere nel piano (x, t) una retta di pendenza 1<br />
v o,<br />
equivalentemente, di velocità v (vedere Figura 1.1). Sia ora φ(t) = u(x(t), t) la soluzione<br />
di (1.3) calcolata lungo le caratteristiche (1.6). Dalla definizie di caratteristica (sistema<br />
(1.5)), si ha:<br />
˙φ(t) = ˙x(t)ux(x(t), t) + ut(x(t), t) = vux(x(t), t) + ut(x(t), t) = 0,
12CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI<br />
t<br />
x 0<br />
Figura 1.1: caratteristiche <strong>per</strong> l’equazione (1.3)<br />
vale a dire, la soluzione di (1.3) è costante lungo le caratteristiche (1.6). Quindi, si può<br />
risolvere l’equazione differenziale ordinaria <strong>per</strong> φ e si ha:<br />
vale a dire<br />
φ(t) = φ(0),<br />
u(vt + x0, t) = u(x(t), t) = u(x(0), 0) = u0(x0),<br />
utilizzando la (1.6) e la condizione iniziale (1.4). Per determinare ora il valore della<br />
soluzione u in un punto generico (x, t) del piano, basta determinare il punto x0 di intersezione<br />
tra la caratteristica passante <strong>per</strong> (x, t) e l’asse {t = 0}, cioè basta invertire la<br />
relazione x = vt + x0 ottenendo<br />
x0 = x − vt.<br />
In definitiva, la soluzione di (1.3)–(1.4) è data da<br />
u(x, t) = u0(x − vt),<br />
come è a questo punto facile convincersi anche <strong>per</strong> verifica diretta. La soluzione al tempo<br />
t è <strong>per</strong>tanto ottenuta traslando il grafico della condizione iniziale u0 della quantità vt:<br />
questa proprietà giustifica la definizione di velocità data alla quantità v. In altre parole, le<br />
caratteristiche trasportano le informazioni dal dato iniziale e le fanno viaggiare con velocità<br />
v (vedere Figura 1.2).<br />
Nell’Esempio 1.1.1 abbiamo visto come è utile introdurre una opportuna famiglia di curve<br />
(le curve caratteristiche), che nel caso specifico risultano essere rette, lungo le quali l’equazione<br />
differenziale ha una formulazione più semplice, formulazione che <strong>per</strong>mette di<br />
risolvere esplicitamente il problema di Cauchy (1.3)–(1.4) (nel caso esaminato, la soluzione<br />
x
1.1. PDE DEL PRIMO ORDINE SEMILINEARI 13<br />
t<br />
grafico della soluzione <strong>per</strong> t=0<br />
t<br />
v<br />
grafico della soluzione <strong>per</strong> t=1<br />
Figura 1.2: la soluzione di (1.3)–(1.4) “viaggia” con velocità v<br />
risultava costante lungo le caratteristiche!!). In realtà, l’utilizzo delle curve caratteristiche<br />
<strong>per</strong>mette, anche nel caso generale (1.2), di arrivare ad un teorema di esistenza e unicità<br />
delle soluzioni <strong>per</strong> tale problema di Cauchy. Definiamo allora curve caratteristiche <strong>per</strong><br />
l’equazione<br />
a(x, t)ut + b(x, t)ux = f(x, t, u) (1.7)<br />
le soluzioni del seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie:<br />
<br />
˙x(s) = b(x(s), t(s))<br />
˙t(s) = a(x(s), t(s)).<br />
v<br />
x<br />
x<br />
(1.8)<br />
Se calcoliamo la soluzione u di (1.7) lungo le soluzioni di (1.8), ossia consideriamo la<br />
funzione φ(s) = u(x(s), t(s)), si ha:<br />
˙φ(s) = ˙x(s)ux(x(s), t(s)) + ˙t(s)ut(x(s), t(s))<br />
= a(x(s), t(s))ut(x(s), t(s)) + b(x(s), t(s))ux(x(s), t(s))<br />
= f(x(s), t(s), u(x(s), t(s)))<br />
= ψ(s, φ(s)).
14CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI<br />
Pertanto, lungo le caratteristiche, l’equazione alle derivate parziali (1.7) si riscrive come<br />
un’equazione differenziale ordinaria: le caratteristiche sono definite proprio in modo che il<br />
termine a sinistra in (1.7) diventi una derivata totale rispetto al parametro che descrive le<br />
caratteristiche stesse. Abbiamo quindi ridotto lo studio un’equazione alle derivate parziali<br />
allo studio di equazioni differenziali ordinarie e, mediante questo metodo, siamo in grado<br />
di determinare la soluzione dell’equazione (1.7), con dato iniziale<br />
u(x0(σ), t0(σ)) = u0(σ) (1.9)<br />
assegnato lungo una curva C (di equazioni parametriche (x0(σ), t0(σ))) regolare contenuta<br />
nel dominio Ω ⊂ R 2 di definizione del problema di Cauchy preso in considerazione. Come<br />
già osservato nell’Esempio 1.1.1, <strong>per</strong> far sì che questo metodo sia efficace, le caratteristiche<br />
devono poter “pescare” informazioni dalla curva del dato iniziale C e trasportarle in un<br />
a<strong>per</strong>to U ⊂ Ω, nel quale otterremo la soluzione cercata. Pertanto, nel teorema di esistenza<br />
e unicità locali <strong>per</strong> (1.7)–(1.9), ci aspettiamo una condizione di compatibilità tra le caratteristiche<br />
dell’equazione (1.7) e la scelta della curva del dato iniziale C. Più precisamente, è<br />
naturale richiedere che, in ogni punto della curva C nel quale vogliamo costruire la soluzione<br />
locale del problema di Cauchy, la curva caratteristica e la curva C siano trasversali, cioè<br />
non abbiano la stessa tangente. Questo risultato è stabilito dal teorema seguente.<br />
Teorema 1.1.2 Sia dato il problema di Cauchy (1.7)–(1.9) <strong>per</strong> (x, t) ∈ Ω ⊂ R2 , dove la<br />
curva iniziale C ⊂ Ω è regolare e le funzioni a, b, f sono funzioni regolari delle loro variabili<br />
e tali che a(x, t) 2 + b(x, t) 2 = 0 <strong>per</strong> ogni (x, t) ∈ Ω. Sia (x0, t0) = (x0(σ0), t0(σ0)) ∈ C un<br />
punto della curva iniziale tale che C non sia caratteristica in (x0, t0) rispetto all’equazione,<br />
vale a dire:<br />
<br />
<br />
a(x0, t0) dx0<br />
dσ<br />
<br />
<br />
σ=σ0<br />
− b(x0, t0) dt0<br />
dσ<br />
<br />
<br />
σ=σ0<br />
= 0. (1.10)<br />
Allora esiste un a<strong>per</strong>to U ⊂ Ω, con (x0, t0) ∈ U, e un’unica soluzione u = u(x, t) di<br />
(1.7)–(1.9), che verifica (1.7) in ogni (x, t) ∈ U e (1.9) in ogni punto di C contenuto in U.<br />
Osservazione 1.1.3 Come abbiamo anticipato, <strong>per</strong> poter avere un risultato di esistenza<br />
e unicità <strong>per</strong> (1.7)–(1.9), è necessario avere una condizione di trasversalità tra le caratteristiche<br />
stesse e la curva del dato iniziale C. Tale trasversalità è garantita dalla condizione<br />
(1.10) del Teorema 1.1.2. Infatti, il vettore τ = (b(x0, t0), a(x0, t0)) rappresenta il vettore<br />
tangente alla caratteristica nel punto (x0, t0) (si veda<br />
la definizione delle caratteristiche<br />
tramite il sistema (1.8)), mentre il vettore ν0 = − dt0<br />
<br />
<br />
<br />
dσ ,<br />
σ=σ0<br />
dx0<br />
<br />
<br />
<br />
dσ è il vettore nor-<br />
σ=σ0<br />
male alla curva iniziale C nel punto (x0, t0), essendo ortogonale al vettore tangente a tale<br />
<br />
dx0 <br />
curva, vale a dire il vettore T0 = <br />
dσ ,<br />
σ=σ0<br />
dt0<br />
<br />
<br />
<br />
dσ . Pertanto, la condizione (1.10) in<br />
σ=σ0<br />
termini di tali vettori diventa 〈τ, ν0〉 = 0. In altre parole, il vettore tangente alla caratteristica<br />
non è ortogonale alla normale alla curva del dato iniziale C in (x0, t0), cioè la<br />
caratteristica e la curva del dato iniziale C non hanno la stessa tangente in (x0, t0) (vedere<br />
la Figura 1.3).
1.2. EQUAZIONI SEMILINEARI DEL SECONDO ORDINE IN DUE VARIABILI 15<br />
ν 0<br />
τ<br />
T 0<br />
caratteristica<br />
curva iniziale C<br />
Figura 1.3: interpretazione geometrica della condizione (1.10)<br />
Esempio 1.1.4 Una classe di esempi fisicamente importanti è fornito dal seguente problema<br />
di Cauchy: <br />
ut + b(x, t)ux = f(x, t, u)<br />
u(x, 0) = u0(x),<br />
(1.11)<br />
cioè problemi di Cauchy con dato assegnato lungo la curva {t = 0} <strong>per</strong> equazioni della<br />
forma (1.7) con a(x, t) = 1. In questo caso, l’asse delle x non è caratteristico rispetto<br />
all’equazione considerata in ogni punto (x0, 0). Infatti, il vettore normale a tale curva è<br />
dato, in ogni punto, da (0, 1) e <strong>per</strong>tanto la condizione (1.10) diventa:<br />
1 · 1 + b(x0, 0) · 0 = 1 = 0.<br />
Osserviamo che lo stesso risultato si ottiene <strong>per</strong> equazioni con coefficiente a(x, t) = 0 (e<br />
non necessariamente uguale a 1), in quanto in questo caso (1.10) diventa:<br />
a(x0, 0) · 1 + b(x0, 0) · 0 = a(x0, 0) = 0,<br />
ma, d’altra parte, tali equazioni si possono ricondurre alla forma (1.11) semplicemente<br />
dividendo <strong>per</strong> a(x, t).<br />
1.2 Equazioni semilineari del secondo ordine in due<br />
variabili<br />
Consideriamo la PDE semilineare del secondo ordine<br />
a(x, y)uxx + 2buxy + c(x, y)uyy = F (x, y, u, ux, uy), (1.12)
16CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI<br />
ove F è supposta analitica nelle sue componenti <strong>per</strong> semplicità. Supponiamo anche che a, b<br />
e c siano analitiche nelle loro componenti. Non esiste un metodo generale <strong>per</strong> la risoluzione<br />
dell’equazione (1.12) senza ulteriori ipotesi sui coefficienti a, b e c. Una equazione della<br />
forma (1.12) viene classificata a seconda del segno del determinante<br />
<br />
<br />
<br />
d := detA = a(x, y) b(x, y) <br />
<br />
= a(x, y)c(x, y) − b<br />
b(x, y) c(x, y)<br />
2 (x, y). (1.13)<br />
Si distinguono i seguenti casi:<br />
• Se d > 0 l’equazione (1.12) si dice ellittica. Esempio tipico di equazione ellittica è<br />
l’equazione di Laplace<br />
uxx + uyy = 0,<br />
ove d = 1.<br />
• Se d < 0 l’equazione (1.12) si dice i<strong>per</strong>bolica. Esempio tipico di equazione i<strong>per</strong>bolica<br />
è l’equazione delle onde<br />
utt − c 2 uxx = 0, c > 0,<br />
ove d = −c 2 .<br />
• Se d = 0 e la suddetta matrice A non è identicamente nulla, l’equazione (1.12) si dice<br />
parabolica. Esempio tipico di equazione parabolica è l’equazione del calore<br />
ut − αuyy = 0, α > 0.<br />
Durante il corso incontreremo equazioni di tutti e tre i tipi sopra elencati. Si tratta di<br />
equazioni <strong>per</strong> le quali è spesso possibile determinare esplicitamente le soluzioni. Analogamente<br />
ad una ODE, anche una PDE può avere infinite soluzioni a meno che non si imponga<br />
il valore della soluzione su un dato insieme. Nella sezione A.7 è richiamato un risultato<br />
di esistenza ed unicità <strong>per</strong> sistemi di ODE nel caso in cui si imponga il dato iniziale su<br />
un punto (ad esempio t = 0). Dato che nelle PDE la variabile indipendente è un vettore<br />
multidimensionale, appare naturale che il dato debba essere imposto su un insieme di dimensione<br />
maggiore di un semplice punto. In particolare, vedremo come nel caso in cui la<br />
variabile indipendente è un vettore bidimensionale, il dato debba essere assegnato su una<br />
curva del piano. Prima di anticipare un risultato di esistenza <strong>per</strong> PDE del secondo ordine,<br />
è necessario introdurre – anche qui come nella sezione precedente – un concetto di curva<br />
caratteristica.<br />
Definizione 1.2.1 Una curva γ in forma implicita Φ(x, y) = 0 del piano R 2 si dice una<br />
curva caratteristica <strong>per</strong> l’equazione (1.12) nel punto (x, y) ∈ R 2 se valgono le seguenti<br />
condizioni<br />
• La curva γ è regolare,
1.2. EQUAZIONI SEMILINEARI DEL SECONDO ORDINE IN DUE VARIABILI 17<br />
• Nel punto (x, y) vale la relazione<br />
a(x, y)Φ 2 x + 2b(x, y)ΦxΦy + c(x, y)Φ 2 y = 0.<br />
Nel seguente teorema diamo un risultato generale di esistenza locale di soluzioni. L’unicità<br />
della soluzione è un problema spesso complicato, che tratteremo in alcuni casi<br />
particolari.<br />
Teorema 1.2.2 (Teorema di Cauchy–Kovalevsky) Sia data una curva γ che non sia<br />
una curva caratteristica <strong>per</strong> l’equazione (1.12) in nessun punto del suo supporto. Supponiamo<br />
che le funzioni a, b, c, F nella (1.12) siano analitiche. Supponiamo assegnati i dati al<br />
bordo<br />
∂u<br />
u(x, y) = φ(x, y) (x, y) = ψ(x, y), <strong>per</strong> ogni (x, y) ∈ γ, (1.14)<br />
∂n<br />
ove il simbolo ∂u (x, y) indica la derivata di u lungo la direzione normale a γ. Supponiamo<br />
∂n<br />
anche che i dati φ e ψ siano analitici. Allora esiste una soluzione u dell’equazione (1.12)<br />
accoppiata con i dati al bordo (1.14) definita in un intorno piano della curva γ.<br />
1.2.1 Problemi ben posti<br />
Così come le equazioni differenziali ordinarie, anche le equazioni alle derivate parziali possono<br />
essere risolte in domini diversi, con condizioni al bordo di diversa natura. Iniziamo<br />
questo paragrafo trattando il caso delle PDE evolutive (ovvero in cui una delle variabili<br />
scalari indipendenti rappresenta il tempo t) di tipo parabolico ed i<strong>per</strong>bolico (avendo in<br />
mente come esempi tipici l’equazione del calore e l’equazione delle onde). Cominciamo<br />
con il caso semplice in cui la variabile spaziale ha dimensione uno, ovvero l’incognita u è<br />
del tipo u = u(x, t). Supponiamo che la variabile x varia in un segmento [0, L] sull’asse<br />
reale e che il tempo t varia in un intervallo [0, T ]. Se vogliamo studiare l’evoluzione di u<br />
è ragionevole precisare anzitutto il suo valore iniziale al tempo t = 0. Occorre dunque<br />
assegnare un dato iniziale u(x, 0) = u0(x). Ciò sufficiente nel caso in cui l’ordine massimo<br />
di derivazione rispetto a t sia 1, ad esempio nel caso dell’equazione del calore. In generale<br />
(anche qui in analogia alle ODE) occorre imporre al tempo t = 0 un numero di dati pari<br />
all’ordine massimo di derivazione rispetto al tempo t. Quindi, nel caso dell’equazione delle<br />
onde occorre imporre due dati, ovvero<br />
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x).<br />
L’insieme dei dati iniziali di un’equazione è detto dato di Cauchy.<br />
Molto spesso il dato di Cauchy non è sufficiente a determinare la soluzione in modo<br />
unico, in quanto occorre anche tenere conto di come u varia agli estremi dell’intervallo,<br />
assegnando dei dati al bordo. Ad esempio, potremmo assegnare i dati u(0, t) e u(L, t)<br />
<strong>per</strong> t ≥ 0, che sono detti dati di Dirichlet. In altri casi possiamo assegnare i valori delle<br />
derivate spaziali ux(0, t) e ux(L, t), che sono detti dati di Neumann. In alcune applicazioni<br />
ha senso studiare il problema su tutta la retta reale senza condizioni al bordo. Quando ciò
18CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI<br />
accade, il problema dato dalla PDE accoppiata con il suo dato iniziale è detto problema di<br />
Cauchy. Se il dato iniziale è accompagnato da dati di Dirichlet su un intervallo, il problema<br />
è detto di Cauchy–Dirichlet, mentre se il dato iniziale è accompagnato da dati di Neumann<br />
il problema è detto di Cauchy–Neumann.<br />
Si può dimostrare che tutti questi problemi sono ben posti, ovvero esiste sempre una<br />
soluzione unica e vi è continuità rispetto ai dati iniziali e alle condizioni al bordo. Quest’ultima<br />
affermazione rimarrà un po’ oscura, in quanto in questo corso non sempre (quasi mai)<br />
ci occu<strong>per</strong>emo continuità rispetto ai dati. Interpretiamola nel senso seguente: se variamo<br />
‘di poco’ i dati iniziali ed i dati al bordo, allora la soluzione varia ‘di poco’.<br />
Le definizioni appena date si generalizzano in modo naturale al caso n > 1, in cui la<br />
variabile spaziale vive in una regione V limitata del piano o dello spazio tridimensionale.<br />
Per ottenere una soluzione è necessario anche qui assegnare condizioni iniziali e condizioni<br />
al bordo. Nel caso delle condizioni di Dirichlet assegneremo in valore di u in ogni punto<br />
del bordo ∂V . Le condizioni di Neumann corrispondono all’assegnazione della derivata<br />
direzionale di u nella direzione normale uscente dal bordo ν. Si possono assegnare anche<br />
condizioni al bordo miste, ovvero fissare i valori di u in alcuni punti di ∂V ed i valori di<br />
∂νθ negli altri punti. Un’altra possibilità è quella di assegnare in un punto del bordo un<br />
valore corrispondente ad una particolare combinazione lineare di u e ∂νu, ovvero<br />
∂νu + αu = β<br />
con α > 0 e β una funzione data. In tal caso si parla di condizione di radiazione (o di<br />
Robin). Infine, anche in dimensione maggiore di uno ha senso risolvere il problema di<br />
Cauchy su tutto lo spazio. In tutti questi casi i problemi sono ben posti nel senso sopra<br />
specificato. Dimostreremo tale asserto solo in parte e solo in alcuni casi.<br />
Infine consideriamo il caso delle equazioni ellittiche. Esse modellano spesso un problema<br />
in cui non vi sia dipendenza dal tempo, quindi le variabili spaziali vivono in una regione<br />
V ⊂ R n con n = 2 o n = 3 4 . Allora si parlerà semplicemente di problema di Dirichlet o<br />
di Neumann o misto o di Robin se i dati assegnati su ∂V corrispondono a quelli descritti<br />
precedentemente nei rispettivi casi.<br />
4Il concetto di equazione ellittica in più di due variabili non è stato introdotto <strong>per</strong> semplicità. Lo<br />
facciamo ora: Un’equazione semilineare del secondo ordine <br />
i,j ai,j(x1, x2, x3)uxixj = F (x1, x2, x3, u, ∇u)<br />
si dice ellittica in (x1, x2, x3) se gli autovalori della matrice simmetrica (ai,j)(x1, x2, x3) sono non nulli e<br />
hanno tutti lo stesso segno.
Capitolo 2<br />
<strong>Modelli</strong> di diffusione<br />
2.1 L’equazione del calore<br />
L’equazione del calore (o equazione di diffusione lineare) <strong>per</strong> una funzione u(x, t), x ∈ R n<br />
variabile spaziale, t > 0 variabile temporale, ha la forma<br />
ove ∆ indica l’o<strong>per</strong>atore di derivazione di Laplace<br />
∂tu = µ∆u + f(x, t), (2.1)<br />
∆u =<br />
n<br />
i=1<br />
∂2u ∂x2 ,<br />
i<br />
µ è una costante positiva e f è una funzione nota. Nel caso in cui f ≡ 0, l’equazione di dice<br />
omogenea. Come abbiamo visto nel paragrafo 1.2, l’equazione del calore è un’equazione<br />
parabolica. Nel paragrafo seguente ricaveremo l’equazione (2.1) come modello di trasporto<br />
di energia termica a densità costante. Nella sezione 4.8 vedremo che un’equazione analoga<br />
si può ricavare da modelli dis<strong>per</strong>sivi di trasporto di materia.<br />
2.1.1 Un modello di propagazione del calore<br />
La denominazione dell’equazione (2.1) è dovuta al fatto che essa descrive l’evoluzione della<br />
tem<strong>per</strong>atura in un mezzo omogeneo ed isotropo, con densità costante ρ, che può ricevere<br />
calore da una sorgente. Indichiamo con r il tasso di calore <strong>per</strong> unità di massa fornito al<br />
corpo dall’esterno, e consideriamo un volume V all’interno del corpo. La legge di bilancio<br />
dell’energia richiede che il tasso di variazione dell’energia interna in V eguagli il flusso di<br />
calore attraverso il bordo ∂V di V , dovuto alla conduzione, più quello dovuto alla sorgente<br />
esterna. Sia e l’energia interna <strong>per</strong> unità di massa (densità di energia interna), la quantità<br />
totale di energia interna in V è data da<br />
<br />
eρdx.<br />
V<br />
19
20 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE<br />
Indichiamo con −→ q il vettore flusso di calore, ovvero, data una su<strong>per</strong>ficie infinitesima dσ<br />
del bordo di V centrata in x ∈ ∂V con versore normale esterno −→ ν , ( −→ q , −→ ν )dσ esprime la<br />
quantità di energia che fluisce attraverso dσ nell’unità di tempo. L’uso del prodotto scalare<br />
è coerente con l’osservazione che non c’è alcun flusso di energia se il vettore −→ q è parallelo<br />
alla su<strong>per</strong>ficie del bordo (e quindi normale a −→ ν ). Il flusso di calore entrante attraverso<br />
l’intera su<strong>per</strong>ficie ∂V è dato da<br />
<br />
−<br />
∂V<br />
( −→ q , −→ <br />
ν )dσ = − div<br />
V<br />
−→ q dx,<br />
ove abbiamo usato il teorema di Gauss (vedi teorema A.4.3). Infine, il contributo dovuto<br />
alla sorgente di calore esterna è dato da<br />
<br />
rρdx.<br />
V<br />
Il bilancio dell’energia, dunque, richiede la seguente relazione:<br />
<br />
d<br />
dt<br />
<br />
eρdx = − div −→ <br />
q dx + rρdx. (2.2)<br />
V<br />
V<br />
Assumiamo ora due relazioni costitutive. La prima è la legge di Fourier <strong>per</strong> la conduzione<br />
del calore, secondo cui il flusso di calore è proporzionale al gradiente della tem<strong>per</strong>atura<br />
secondo la relazione<br />
−→ q = −κ∇θ, (2.3)<br />
dove θ è la tem<strong>per</strong>atura assoluta e κ > 0 è una costante legata alle proprietà del materiale<br />
detta conducibilità termica 1 . Il segno meno nella (2.3) è dovuto al fatto che il calore fluisce<br />
da zone ad alta tem<strong>per</strong>atura a zone a bassa tem<strong>per</strong>atura. La seconda equazione costitutiva<br />
mette in relazione energia interna e tem<strong>per</strong>atura secondo la legge<br />
e = cvθ,<br />
ove cv è il calore specifico a volume costante del materiale. La relazione precedente, le (2.3)<br />
ed il bilancio energetico (2.2) implicano<br />
<br />
[cvρθt − κ∆θ − rρ] dx = 0.<br />
V<br />
Poichè tale relazione è vera <strong>per</strong> ogni volume V , l’integranda deve essere identicamente nulla<br />
(vedi teorema A.4.1). Otteniamo dunque l’equazione<br />
ove µ = κ/cvρ e f = r/cv.<br />
V<br />
θt = µ∆θ + f, (2.4)<br />
1 In talune applicazioni, la conducibilità termica non può essere considerata costante, ma dipendente da<br />
θ. Ci occu<strong>per</strong>emo di tale eventualità nella sezione 2.3
2.1. L’EQUAZIONE DEL CALORE 21<br />
2.1.2 Problemi ben posti <strong>per</strong> l’equazione del calore<br />
Supponiamo che la soluzione u della equazione (2.1) rappresenti la tem<strong>per</strong>atura di una<br />
sbarra di sezione trascurabile. Possiamo pensare alla sbarra come al segmento [0, L] sull’asse<br />
reale. La posizione sulla sbarra è detta x. Il tempo t varia in un intervallo [0, T ].<br />
Se vogliamo studiare l’evoluzione della tem<strong>per</strong>atura è ragionevole precisare la sua distribuzione<br />
iniziale. Occorre dunque assegnare un dato iniziale u(x, 0) = u0(x) di Cauchy.<br />
D’altra parte, occorre anche tenere conto di come la sbarra interagisce con l’ambiente<br />
circostante. Ad esempio, potremmo tenere la tem<strong>per</strong>atura ad un livello desiderato agli<br />
estremi delle sbarre. Ciò equivale ad assegnare i dati di Dirichlet u(0, t) e u(L, t) <strong>per</strong> t ≥ 0.<br />
Anziché la tem<strong>per</strong>atura, si potrebbe controllare il flusso di calore agli estremi, che sappiamo<br />
essere proporzionale a ux <strong>per</strong> la legge di Fourier. Dunque, possiamo assegnare ux(0, t)<br />
e ux(L, t), assegnando così dei dati di Neumann. In alcune applicazioni ha senso studiare<br />
il problema di Cauchy su tutta la retta reale senza condizioni al bordo.<br />
Nel caso multidimensionale pensiamo ad un corpo conduttore di calore che occupi una<br />
regione V limitata del piano o dello spazio tridimensionale. Nel caso delle condizioni<br />
di Dirichlet assegneremo la tem<strong>per</strong>atura in ogni punto del bordo ∂V . Le condizioni di<br />
Neumann corrispondono all’assegnazione del flusso di calore al bordo, ovvero q = −κ∇u<br />
secondo la legge di Fourier. Siccome ci interessa il flusso entrante, assegneremo al bordo i<br />
valori di −q · ν = κ∂νu, ovvero la derivata direzionale di θ nella direzione normale uscente<br />
dal bordo ν. Anche qui può avere senso assegnare condizioni miste o di Robin 2 .<br />
Per concludere questa sezione, consideriamo una soluzione non negativa ρ(x, t) del<br />
problema di Cauchy relativo all’equazione del calore tale che la massa totale 3 della soluzione<br />
ρ(x, t)dx sia finita ad ogni tempo t. Allora, integrando l’equazione del calore su tutto lo<br />
spazio R n e derivando rispetto al tempo otteniamo<br />
<br />
d<br />
dt Rn <br />
ρ(x, t)dx = D<br />
Rn ∆ρ(x, t)dx.<br />
Ora, dato che la soluzione ha massa finita, essa è essenzialmente nulla <strong>per</strong> |x| → +∞. 4<br />
Supponendo <strong>per</strong> semplicità che ρ(·, t) sia identicamente uguale a zero al di fuori della sfera<br />
B(0, R) con R grande, usando il teorema di Gauss A.4.3, l’integrale a secondo membro<br />
nella relazione precedente si riduce all’integrale su<strong>per</strong>ficiale<br />
<br />
∂ρ<br />
D<br />
dσ = 0,<br />
∂B(0,2R) ∂ν<br />
che implica che l’integrale ρ(x, t)dx si conserva nel tempo. Tale fenomeno è matematicamente<br />
detto conservazione della massa.<br />
2 vedi paragrafo 1.2.1<br />
3 Il termine ‘massa’ è fisicamente inappropriato, visto che l’incognita rappresenta una tem<strong>per</strong>atura. Tale<br />
termine viene usato <strong>per</strong> analogia con altri modelli, in particolare quelli trattati nel capitolo 6.<br />
4 Si pensi ad esempio al caso in cui ρ ammette limite l <strong>per</strong> x → +∞. Se l fosse diverso da zero, l’integrale<br />
di ρ su tutto R dovrebbe essere necessariamente infinito.
22 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE<br />
2.1.3 Evoluzione della tem<strong>per</strong>atura in una sbarra omogenea. Tendenza<br />
all’equilibrio<br />
Vediamo nel seguito un semplice esempio di problema di Cauchy–Dirichlet risolto mediante<br />
il cosiddetto metodo della separazione delle variabili. Lo scopo è quello di constatare che<br />
l’evoluzione del modello corrisponde alla previsione suggerita dalla fisica. Una sbarra di<br />
lunghezza L è tenuta inizialmente a tem<strong>per</strong>atura θ0. Successivamente, l’estremo x = 0<br />
è mantenuto alla stessa tem<strong>per</strong>atura, mentre l’estremo x = L viene mantenuto ad una<br />
tem<strong>per</strong>atura costante θ1 > θ0. Vogliamo sa<strong>per</strong>e come evolve la tem<strong>per</strong>atura.<br />
Prima di fare calcoli, proviamo a congetturare che cosa può succedere. Dato che θ1 ><br />
θ0, dall’estremo caldo comincerà a fluire calore causando un aumento della tem<strong>per</strong>atura<br />
all’interno e una fuoruscita di calore dall’estremo freddo. All’inizio, il flusso entrante sarà<br />
su<strong>per</strong>iore al flusso uscente, ma col tempo, con l’aumento della tem<strong>per</strong>atura all’interno, esso<br />
comincerà a diminuire, mentre il flusso uscente aumenterà. Ci si aspetta che prima o poi i<br />
due flussi si bilancino e si assestino su una situazione stazionaria. Sarebbe poi interessante<br />
avere informazioni sul tempo di assestamento.<br />
Cerchiamo ora di dimostrare che questo è esattamente il comportamento che il nostro<br />
modello matematico riproduce. Il problema è:<br />
con le condizioni<br />
θt − Dθxx = 0 t > 0, 0 < x < L<br />
θ(x, 0) = θ0<br />
0 ≤ x ≤ L<br />
θ(0, t) = θ0 θ(L, t) = θ1 t > 0.<br />
Non lasciamoci impressionare dal fatto che il dato iniziale non si raccordi con continuità<br />
con quello laterale all’estremo x = L; vedremo dopo che cosa ciò comporti. Conviene<br />
riformulare il problema passando a variabili adimensionali, riducendo i dati a 0 e a 1. Per<br />
passare a variabili adimensionali occorre riscalare tutte le variabili rispetto a grandezze<br />
caratteristiche del sistema. Ad esempio, la lunghezza della sbarra è una caratteristica che<br />
possiamo usare <strong>per</strong> riscalare la variabile spaziale. Poniamo dunque<br />
y = x<br />
L<br />
che è ovviamente una grandezza adimensionale essendo rapporto tra lunghezze. Notiamo<br />
poi che 0 ≤ y ≤ 1. Osserviamo poi che la costante D ha come dimensione<br />
[lunghezza] 2 × [tempo] −1 .<br />
La costante τ = L2 ha dunque le dimensioni di un tempo, ed è legata alle caratteristiche<br />
D<br />
del problema. Poniamo dunque<br />
s = t<br />
τ
2.1. L’EQUAZIONE DEL CALORE 23<br />
che è anche essa una quandità adimensionale. Poniamo infine<br />
Risulta<br />
u(y, s) =<br />
θ(Ly, τs) − θ0<br />
.<br />
θ1 − θ0<br />
u(y, 0) = 0 0 ≤ y ≤ 1<br />
u(0, s) = 0 u(1, s) = 1 s > 0.<br />
Inoltre, semplici calcoli <strong>per</strong>mettono di ricavare l’equazione derivate parziali soddisfatta da<br />
u, ovvero<br />
us − uyy = 0.<br />
Abbiamo così riformulato il nostro problema di Cauchy–Dirichlet in variabili adimensionali.<br />
Cominciamo con il determinare la soluzione stazionaria u S del problema, ovvero quella<br />
soluzione che si ottiene dimenticandoci della condizione iniziale, tenendo conto delle condizioni<br />
al bordo e richiedendo che la soluzione non dipenda dal tempo. Stiamo cercando<br />
quindi una funzione u = u(y), 0 ≤ y ≤ 1, tale che uyy = 0, u(0) = 0 e u(1) = 1. Si trova<br />
facilmente la funzione lineare u S (y) = y, che nelle variabili originali è data da<br />
che corrisponde ad un flusso di calore<br />
θ S (x) = θ0 + (θ1 − θ0) x<br />
L ,<br />
∂θS ∂x ≡ −κθ1 − θ0<br />
L<br />
uniforme lungo la sbarra.<br />
Dalle considerazioni precedenti, la soluzione stazionaria è <strong>per</strong> noi un punto di riferimento,<br />
dato che ci aspettiamo che l’evoluzione di u sia molto vicina ad essa <strong>per</strong> tempi s<br />
molto grandi. Conviene dunque considerare l’incognita<br />
U(y, s) = u S (y) − u(y, s) = y − u(y, s),<br />
detta regime transitorio. Ci aspettiamo dunque che U tenda a zero <strong>per</strong> s → +∞. Osserviamo<br />
che U soddisfa Us − Uyy = 0 con dato iniziale U(y, 0) = y e dati al bordo<br />
U(0, s) = U(1, s) = 0. L’introduzione del regime transitorio ha apportato un vantaggio: i<br />
dati al bordo di Dirichlet sono diventati omogenei, ovvero nulli.<br />
Cerchiamo ora una formula esplicita <strong>per</strong> la soluzione U usando il metodo della separazione<br />
delle variabili. Poniamo<br />
U(y, s) = w(s)v(y),<br />
<strong>per</strong> cui l’equazione differenziale <strong>per</strong> U diventa<br />
0 = w ′ (s)v(y) − w(s)v ′′ (y),
24 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE<br />
da cui, separando le variabili,<br />
w ′ (s)<br />
w(s) = v′′ (y)<br />
v(y) .<br />
Come sempre avviene usando tale metodo, il primo membro dipende solo da s, il secondo<br />
dipende solo da y, <strong>per</strong> cui l’unica possibilità è che siano entrambi uguali ad una costante<br />
λ, il che conduce alle due equazioni<br />
v ′′ (y) = λv(y) (2.5)<br />
w ′ (s) = λw(s). (2.6)<br />
Usiamo l’equazione (2.5) con le condizioni al bordo v(0) = v(1) = 0 <strong>per</strong> determinare λ. Vi<br />
sono tre casi.<br />
• Se λ = 0 si ha v(y) = A + By, il che porta a v(y) ≡ 0 in virtù delle condizioni al<br />
bordo.<br />
• Se λ = µ 2 > 0, allora v(y) = Ae −µy + Be µy , ed ancora una volta le condizioni al<br />
bordo implicano v(y) ≡ 0.<br />
• Se infine λ = −µ 2 < 0, allora si ha v(y) = A sin µy + B cos µy. Imponendo le<br />
condizioni al bordo si trova<br />
v(0) = B = 0<br />
v(1) = A sin µ + B cos µ = 0<br />
da cui A è una costante arbitraria, B = 0 e µ = mπ, con m = 1, 2, 3, . . ..<br />
Dunque solo il terzo caso produce delle soluzioni non nulle, cioè<br />
vm(y) = A sin mπy, m ∈ N.<br />
Sostituendo i valori λ = −m 2 π 2 alla (2.6) otteniamo le soluzioni<br />
wm(s) = Ce −m2 π 2 s ,<br />
che portano alla seguente famiglia di soluzioni <strong>per</strong> U<br />
Um(y, s) = Ame −m2 π 2 s sin mπy, m ∈ N.<br />
Ricordiamo che <strong>per</strong> le equazioni alle derivate parziali lineari omogenee vale il principio<br />
di sovrapposizione 5 , <strong>per</strong> cui la somma di soluzioni è ancora una soluzione. Formalmente,<br />
dunque, la somma infinita<br />
5 Vedi il teorema 1.0.1<br />
U(y, s) =<br />
∞<br />
Ame −m2π2s sin mπy (2.7)<br />
m=1
2.1. L’EQUAZIONE DEL CALORE 25<br />
costituisce la forma più generale della soluzione del problema con i dati al bordo. La<br />
condizione iniziale determinerà i coefficienti Am, dandoci una soluzione unica. Per determinare<br />
tali coefficienti usiamo lo sviluppo in serie di Fourier6 del dato iniziale (il cui calcolo<br />
è lasciato <strong>per</strong> esercizio)<br />
y =<br />
∞<br />
m=1<br />
m+1 2<br />
(−1)<br />
mπ<br />
Imponendo U(y, 0) = y otteniamo dunque la soluzione<br />
U(y, s) =<br />
∞<br />
m=1<br />
sin mπy.<br />
m+1 2<br />
(−1)<br />
mπ e−m2 π2s sin mπy.<br />
Osservando l’espressione di U si osserva immediatamente che <strong>per</strong> s molto grande l’ampiezza<br />
delle oscillazioni delle componenti sinuisoidali diminuisce esponenzialmente. Si può dire di<br />
più: la soluzione U(y, s) tende a zero uniformemente <strong>per</strong> s → +∞, ovvero<br />
sup<br />
y∈[0,1]<br />
|U(y, s)| → 0, <strong>per</strong> s → +∞.<br />
Dimostriamo tale affermazione. Dalla disuguaglianzza triangolare e dalla formula esplicita<br />
<strong>per</strong> la serie geometrica 7 abbiamo<br />
sup |U(y, s)| ≤<br />
y∈[0,1]<br />
= 2<br />
π<br />
<br />
m=1<br />
1<br />
1 − e−π2 − 1<br />
s<br />
∞ 2<br />
mπ e−m2 π2s 2<br />
≤<br />
π<br />
<br />
= 2<br />
π<br />
e −π2 s<br />
1 − e −π2 s .<br />
∞<br />
m=1<br />
e −mπ2 s<br />
Scegliendo ad esempio s > 1 (siamo interessati al limite <strong>per</strong> s → +∞) abbiamo<br />
sup |U(y, s)| ≤<br />
y∈[0,1]<br />
2<br />
π(1 − e −π2 ) e−π2 s ,<br />
il che dimostra la tesi e ci dice che il decadimento a zero avviene in modo esponenziale. Ciò<br />
prova dunque in modo rigoroso che il regime transitorio tende a zero, e che la tem<strong>per</strong>atura<br />
della sbarra tende a distrubuirsi in modo stazionario <strong>per</strong> tempi grandi.<br />
Esercizio 2.1.1 Riportare tutti i risultati e le formule precedenti nelle variabili originarie<br />
θ(x, t) e stabilire da quali quantità dipende il tasso di decadimento esponenziale di θ(t).<br />
6 Un breve richiamo sulle serie di Fourier è contenuto nella sezione A.6 in appendice<br />
7 Dato un numero reale a tale che 0 < a < 1, si ha ∞<br />
n=0 an = 1<br />
1−a .
26 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE<br />
2.1.4 Il metodo dell’energia. Unicità<br />
Consideriamo due soluzioni u e v dell’equazione del calore ut = D∆u su un dominio V ⊂<br />
Rn , n > 1. Supponiamo che u e v assumano lo stesso dato iniziale u(x, 0) = v(x, 0) = g(x)<br />
<strong>per</strong> ogni x ∈ V . Supponiamo inoltre che <strong>per</strong> u e v valgano le stesse condizioni al bordo,<br />
siano esse di Dirichlet, di Neumann, miste, di Robin. Consideriamo ora la differenza tra le<br />
due soluzioni w = u − v. Ovviamente si ha wt = D∆w <strong>per</strong> il principio di sovrapposizione.<br />
Inoltre w(x, 0) ≡ 0. A seconda dei diversi tipi di dati al bordo, w soddisfa una delle seguenti<br />
condizioni: w = 0 nel caso di condizioni di Dirichlet, ∂νw = 0 nel caso di condizioni di<br />
Neumann, ∂νw + αw = 0 con α > 0 nel caso di condizioni di Robin, w = 0 su A ⊂ ∂V e<br />
∂νw = 0 su ∂V \ A nel caso di problema misto.<br />
Moltiplichiamo l’equazione di diffusione <strong>per</strong> w ed integriamo sul dominio V . Otteniamo<br />
<br />
<br />
wwtdx = D w∆wdx. (2.8)<br />
V<br />
Ora, passando la derivata temporale sotto il segno di integrale (possiamo farlo <strong>per</strong>chè<br />
l’integrale è rispetto ad x), otteniamo<br />
<br />
2 w<br />
wwtdx = D dx =<br />
2<br />
1<br />
<br />
d<br />
w<br />
2 dt<br />
2 dx.<br />
V<br />
V<br />
Inoltre, dal teorema di Gauss A.4.3 e dalla regola di derivazione del prodotto abbiamo<br />
<br />
<br />
<br />
w∆wdx = div(w∇w)dx − |∇w| 2 <br />
<br />
dx = w∂νwdσ − |∇w| 2 dx.<br />
V<br />
V<br />
Sostituendo le ultime due identità nella (2.8), ponendo<br />
<br />
E(t) := w 2 dx,<br />
otteniamo<br />
V<br />
<br />
<br />
1 d<br />
E(t) = D w∂νwdσ − D |∇w|<br />
2 dt ∂V<br />
V<br />
2 <br />
dx ≤ D w∂νwdσ.<br />
∂V<br />
Se vale la condizione di Robin<br />
<br />
∂V<br />
In tutti gli altri casi <br />
Di conseguenza si ha<br />
V<br />
t<br />
V<br />
∂V<br />
<br />
w∂νwdσ = −α w<br />
∂V<br />
2 dx ≤ 0.<br />
∂V<br />
w∂νwdx = 0.<br />
d<br />
E(t) ≤ 0.<br />
dt<br />
V<br />
V
2.1. L’EQUAZIONE DEL CALORE 27<br />
Il funzionale non negativo t → E(t) è detto energia. Esso decresce nel tempo, <strong>per</strong> cui si ha<br />
<br />
E(t) ≤ E(0) = w(x, 0) 2 dx = 0,<br />
V<br />
da cui segue che E(t) ≡ 0 <strong>per</strong> ogni t ≥ 0. Dato che l’integranda in E(t) è non negativa,<br />
ciò implica che essa deve essere identicamente nulla, ovvero w(x, t) ≡ 0 <strong>per</strong> ogni x ∈ V ,<br />
t ≥ 0, ovvero u ≡ v. Quanto appena mostrato si può dunque sintetizzare nel seguente<br />
Teorema 2.1.2 I problemi di Cauchy–Dirichlet, Cauchy–Neumann, Cauchy–Robin e misto<br />
<strong>per</strong> l’equazione del calore (2.1) hanno al più una soluzione.<br />
2.1.5 La soluzione fondamentale<br />
Abbiamo già osservato che, grazie al principio di sovrapposizione, è possibile costruire<br />
soluzioni dell’equazione del calore a partire da altre soluzioni. Ciò è possibile anche usando<br />
la proprietà di invarianza di scala che ci accingiamo a mostrare. Data una soluzione<br />
u(x, t) dell’equazione del calore su R n × [0, +∞) tale che il suo integrale su tutto R n è<br />
finito, vogliamo costruire un’altra soluzione v definita come<br />
v(x, t) = cu(ax, bt),<br />
con costanti positive a, b, c da determinare, tale che<br />
<br />
<br />
u(x, t)dx = v(x, t)dx.<br />
Stiamo dunque cercando una soluzione v costruita a partire dalla soluzione mediante<br />
omotetie sulle variabili dipendenti ed indipendenti (tale o<strong>per</strong>azione è detta scaling, o riscalamento<br />
delle variabili) in modo tale che la massa totale udx sia conservata. Sostituendo<br />
l’espressione <strong>per</strong> v nell’equazione del calore soddisfatta da u, ponendo τ = bt e y = ax,<br />
otteniamo<br />
0 = uτ − D∆yu = 1<br />
cb vτ − 1<br />
D∆xv.<br />
ca2 Dunque v soddisfa ancora l’equazione del calore se b = a2 . Per la conservazione della massa<br />
occorre inoltre che c = an , come appare evidente dal calcolo<br />
<br />
<br />
v(x, t)dx = cu(ax, bt)dx = ca −n<br />
<br />
u(y, τ)dy.<br />
In conclusione, in corrispondenza di una soluzione u e di un parametro arbitrario positivo<br />
a abbiamo costruito una nuova soluzione ua(x, t) = a n u(ax, a 2 t). Appare naturale, a questo<br />
punto, cercare delle soluzioni che rimangano invariate a seguito dello scaling precedente,<br />
cioè tali che u = ua <strong>per</strong> ogni a. Affermiamo che ciò è possibile solo scegliendo u(x, t) nel<br />
modo seguente:<br />
n<br />
1<br />
− −<br />
u(x, t) = G(x, t) := t 2 U(ξ), ξ = xt 2 . (2.9)
28 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE<br />
Mostriamo che una u siffatta è invariante rispetto all’o<strong>per</strong>azione u ↦→ ua <strong>per</strong> ogni a > 0:<br />
ua(x, t) = a n G(ax, a 2 t) = a n (a 2 <br />
n<br />
−<br />
t) 2 U ax(a 2 <br />
1<br />
n<br />
1<br />
− − −<br />
t) 2 = t 2 U xt 2 = G(x, t).<br />
Per ragioni che risulteranno chiare tra pochissimo, trovare una soluzione della forma (2.9)<br />
ci interessa moltissimo. Ovviamente, il lavoro ancora da fare consiste nel determinare U<br />
nella formula (2.9). Imponendo che G(x, t) soddisfi l’equazione del calore, otteniamo<br />
n<br />
−<br />
0 = Ut − D∆xU = t 2 −1<br />
<br />
che possiamo riscrivere come<br />
− n<br />
2<br />
<br />
1<br />
n<br />
−<br />
U − ξ · ∇ξU − t 2<br />
2 −1 D∆ξU,<br />
<br />
div D∇U + 1<br />
2 ξU<br />
<br />
= 0.<br />
Ricordiamo che la nostra funzione U : R n → R dovrà essere integrabile su tutto R n . Per<br />
semplificare la situazione, imponiamo anche che essa sia sempre diversa da zero. Possiamo<br />
quindi dividere e moltiplicare <strong>per</strong> U all’interno dell’o<strong>per</strong>atore di divergenza ottenendo<br />
<br />
0 = div U D ∇U<br />
<br />
ξ<br />
+ = div U∇ D log U +<br />
U 2<br />
|ξ|2<br />
<br />
.<br />
4<br />
L’equazione precedente è soddisfatta ad esempio se<br />
D log U + |ξ|2<br />
4<br />
= costante.<br />
In realtà, dal fatto che U deve essere integrabile segue che non vi possono essere soluzioni<br />
diverse. Abbiamo quindi ottenuto l’espressione<br />
ovvero<br />
|ξ|2<br />
−<br />
U(ξ) = Ce 4D ,<br />
G(x, t) = Ct −n/2 |x|2<br />
−<br />
e 4Dt .<br />
La funzione G è detta soluzione fondamentale (o soluzione Gaussiana) dell’equazione del<br />
calore in R n . La costante C è scelta in base alla massa totale. Osserviamo che la soluzione<br />
trovata è compatibile con l’assunzione fatta in precedenza che essa debba essere sempre<br />
diversa da zero a condizione che t > 0. Dunque, la soluzione fondamentale è una soluzione<br />
solo <strong>per</strong> tempi strettamente positivi. Essa, in effetti, non ammette un dato iniziale ben<br />
definito, in quanto il suo valore in x = 0 esplode quando t → 0. Cerchiamo di chiarire<br />
meglio questo aspetto. Osserviamo anzitutto che, <strong>per</strong> ogni x = 0, si ha<br />
lim G(x, t) = 0.<br />
t↘0
2.1. L’EQUAZIONE DEL CALORE 29<br />
Come osservato in precedenza, in x = 0 si ha invece<br />
lim G(x, t) = +∞.<br />
t↘0<br />
Questo suggerisce che, a meno di un insieme di misura nulla (ovvero l’unico punto x = 0),<br />
il dato iniziale della soluzione fondamentale sia identicamente zero. Tale affermazione è in<br />
un certo senso vera. D’altra parte, <strong>per</strong>ò, abbiamo<br />
<br />
lim G(x, t)dx = costante > 0,<br />
t↘0<br />
R n<br />
dato che la massa totale di G(·, t) è la stessa <strong>per</strong> ogni t > 0. Intuitivamente, questo ci<br />
dice che la massa di G tende a concerntrarsi tutta nell’origine quando t tende a zero. Il<br />
dato iniziale, dunque, dovrebbe essere uguale a zero quasi ovunque ed avere una massa<br />
totale non nulla. Questo è incompatibile con il concetto classico di funzione, visto che<br />
una funzione nulla quasi ovunque deve avere necessariamente integrale nullo (esercizio).<br />
In questo caso, il concetto di funzione lascia spazio a quello più generale di distribuzione.<br />
Non è interesse di questo corso definire rigorosamente il concetto di distribuzione. Qui ci<br />
limitiamo a dire che il dato iniziale della soluzione fondamentale è una distribuzione detta<br />
delta di Dirac, indicata con δ, che soddisfa<br />
<br />
δ(0) = ∞, δ(x) = 0, <strong>per</strong> ogni x = 0 δ(x)dx = 1.<br />
2.1.6 Il problema di Cauchy<br />
Passiamo ora alla soluzione del problema di Cauchy<br />
<br />
ut = D∆u D > 0<br />
u(x, 0) = f(x)<br />
ove f : R n → R è il dato iniziale. Applichiamo la trasformata di Fourier rispetto alla<br />
variabile x all’equazione del calore ed otteniamo<br />
dove<br />
ût = −D|ξ| 2 û,<br />
<br />
Fu(ξ, t) = û(ξ, t) =<br />
R n<br />
e −2πiξ·x u(x, t)dx<br />
è la trasformata di Fourier di u(·, t) e dove abbiamo usato la proprietà ∂xk u = −iξkû. Detta<br />
ˆf la trasformata di f, possiamo risolvere l’equazione (ordinaria) <strong>per</strong> û come segue<br />
û(ξ, t) = ˆ f(ξ)e −D|ξ|2 t .
30 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE<br />
Da un’altra nota proprietà della trasformata di Fourier, abbiamo<br />
e<br />
Le due formule precedenti ci danno<br />
F −1 e −D|ξ|2 t =<br />
u(x, t) =<br />
1<br />
|x|2<br />
e− 4Dt<br />
(2Dπt) n/2<br />
F −1 ( ˆ f ˆg) = f ∗ g.<br />
1<br />
|·|2<br />
e− 4Dt ∗ f.<br />
(2Dπt) n/2<br />
Dunque la soluzione del problema di Cauchy è data dalla convoluzione della soluzione<br />
fondamentale G (moltiplicata <strong>per</strong> una costante tale da avere massa unitaria) con il dato<br />
iniziale f.<br />
Concludiamo questa sezione con un’osservazione importante. La formula precedente si<br />
può scrivere come<br />
<br />
u(x, t) = G(x − y, t)f(y)dy.<br />
R n<br />
Supponiamo ora che il dato iniziale f sia non negativo ed a supporto 8 compatto. Scegliamo<br />
un qualsiasi punto x ∈ R n ed un qualsiasi istante t > 0 ed osserviamo che u(x, t) è<br />
strettamente positivo, in quanto dato dall’integrale della funzione y → G(x − y, t)f(y)<br />
non negativa e diversa da zero su un insieme di misura non nulla (il supporto di f, <strong>per</strong><br />
l’esattezza). In consequenza di ciò, il supporto della funzione u(·, t) ad un tempo t > 0<br />
è dato da tutto lo spazio R n . Da compatto (e quindi limitato) che era <strong>per</strong> t = 0, esso è<br />
diventato un insieme illimitato <strong>per</strong> t > 0. Quando ciò accade si dice che si ha una velocità<br />
infinita di propagazione.<br />
2.2 Diffusione e probabilità<br />
In questo capitolo diamo un cenno sulla relazione esistente tra equazione di diffusione<br />
lineare ed i processi di diffusione del calcolo delle probabilità. La trattazione, tuttavia, non<br />
richiede alcun prerequisito di calcolo delle probabilità. Il modello che segue ha numerose<br />
applicazioni (tra le altre) in modelli particellari di biomatematica quale ad esempio il<br />
moto di cellule in un tessuto. L’unica causa che determina il moto, qui, è la casualità nel<br />
movimento delle particelle 9 .<br />
Per semplificare la trattazione supporremo che una particella si muova lungo una direzione<br />
fissata x. Supponiamo che la particella parta dall’origine x = 0 e si muova a caso<br />
8 Il supporto di una funzione f : Ω ⊂ R n → R è la chiusura dell’insieme A = {x ∈ Ω | f(x) = 0}, ovvero<br />
il più piccolo insieme chiuso che contiene A, ovvero A ∪ ∂A.<br />
9 In diverse situazioni si osserva un moto delle particelle molto ‘irregolare’, dovuto ad esempio a fenomeni<br />
di collisione. Opportunamente giustificato e definito mediante gli strumenti del calcolo stocastico, tale<br />
fenomeno prende il nome di ‘moto browniano’
2.2. DIFFUSIONE E PROBABILITÀ 31<br />
lungo tale retta, occupando solo posizioni multiple intere di un passo fissato ∆x. Supponiamo<br />
inoltre che i cambiamenti di posizione avvengano sempre e solo ogni intervallo di<br />
tempo fissato ∆t. Se il moto non è influenzato da nessuna causa esterna, la particella ad<br />
ogni istante k∆t ha una probabilità pari ad 1/2 di muoversi verso destra ed una probabilità<br />
pari ad 1/2 di muoversi verso sinistra. Dopo un tempo N∆t la particella può trovarsi<br />
dovunque tra −N∆x e N∆x. Chiaramente, dopo un tempo grande N∆t la probabilità che<br />
essa si trovi nelle vicinanze di x = 0 sarà maggiore della probabilità che vi si trovi molto<br />
lontana.<br />
Vogliamo ora stabilire la probabilità p(m, n) che la particella si trovi in m∆x all’istante<br />
n∆t. Supponendo m ed n fissati (ovviamente n ≥ m, altrimenti la probabilità è zero!),<br />
e supponendo che la particella si sia mossa a volte verso destra e b volte verso sinistra,<br />
otteniamo<br />
m = a − b, a + b = n, ⇒ a =<br />
n + m<br />
, b = n − a =<br />
2<br />
n − m<br />
.<br />
2<br />
Si osservi che a è univocamente determinato da n ed m e che n + m è sempre un numero<br />
pari. Per determinare il numero totale di cammini che la particella ha potuto <strong>per</strong>correre<br />
<strong>per</strong> raggiongere m∆x in un tempo n∆t osserviamo che un cammino è univocamente determinato<br />
dall’insieme dei punti del reticolo {0, ∆x, . . . , (m − 1)∆x, m∆x} in cui la particella<br />
si è mossa verso destra. Pertanto, vi è una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei<br />
cammini voluto e le combinazioni di a elementi in un insieme di n elementi. Pertanto il<br />
numero di cammini desiderato è<br />
n!<br />
a!b! =<br />
n!<br />
a!(n − a)! =<br />
<br />
n<br />
.<br />
a<br />
Dato che il numero totale di cammini ad n passi è 2 n , la probabilità p(m, n) sarà data dal<br />
numero di cammini ‘favorevoli’ diviso il numero totale di cammini, ovvero<br />
p(m.n) = 1<br />
2n n!<br />
a!(n − a)! .<br />
Ora vogliamo considerare un numero molto grande di passi n e studiare il comportamento<br />
della particella <strong>per</strong> tempi grandi. Supponiamo dunque che n sia molto grande e che<br />
lo stesso valga <strong>per</strong> n ± m. Utilizziamo la formula di Stirling 10<br />
n! ∼ (2πn) 1/2 n n e −n , n ≪ 1,<br />
che sostituita nell’espressione precedente ci fornisce l’espression asintotica<br />
p(m, n) ∼<br />
1<br />
(2π) 1/2<br />
<br />
n<br />
a(n − a)<br />
1/2 <br />
n<br />
<br />
a<br />
2a<br />
n<br />
2(n − a)<br />
n−a<br />
.<br />
10 Si veda ad esempio il libro Esercizi e Complementi di Analisi Matematica 1 di E. Giusti.
32 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE<br />
Sapendo che a = (n + m)/2 otteniamo<br />
p(m, n) ∼<br />
1/2 <br />
2<br />
π<br />
Per n → +∞ è immediato vedere che<br />
n<br />
n 2 − m 2<br />
1/2 <br />
2 n<br />
π n2 − m2 1/2 n+m<br />
n<br />
2<br />
n + m<br />
n−m<br />
n<br />
2<br />
.<br />
n − m<br />
1/2<br />
∼<br />
1/2 2<br />
.<br />
πn<br />
Inoltre, calcolando il logaritmo dei restanti fattori di p(m, n) ed utilizzando lo sviluppo di<br />
Taylor al secondo ordine della funzione x ↦→ log(1 + x) centrato in x = 0 otteniamo<br />
Pertanto,<br />
<br />
n<br />
log<br />
n+m<br />
2 n<br />
n−m<br />
2<br />
n + m n − m<br />
<br />
n + m<br />
= log 1 −<br />
2<br />
m<br />
<br />
n − m<br />
+ log 1 +<br />
n + m 2<br />
m<br />
<br />
n − m<br />
= − m<br />
2 −<br />
m2 m<br />
+<br />
4(n + m) 2 −<br />
m2<br />
+ o(1/n) = −m2 + o(1/n).<br />
4(n − m) 2n<br />
p(m, n) ∼<br />
1/2 2<br />
m2<br />
−<br />
e 2n .<br />
πn<br />
Ora poniamo m∆x = x e n∆t = t. Effettuiamo un cosiddetto passaggio dal discreto al<br />
continuo, in cui m, n → +∞ e ∆x, ∆t → 0, in modo che x e t siano finiti. D’altra parte, se<br />
effettuiamo tale o<strong>per</strong>azione du p(m, n otteniamo il limite banale 0. Il numero di punti sta<br />
tendendo all’infinito, e l’ampiezza ∆x sta tendendo a zero, <strong>per</strong> cui è ragionevole analizzare<br />
il comportamento della quantità u = p/2∆x. Otteniamo quindi<br />
Se supponiamo che<br />
otteniamo<br />
p<br />
u(x, t) = lim<br />
∆x→0,∆t→0<br />
<br />
x t , δx δt<br />
2∆x<br />
<br />
= lim<br />
∆x→0,∆t→0<br />
(∆x)<br />
lim<br />
∆x→0,∆t→0<br />
2<br />
2∆t<br />
u(x, t) =<br />
= D > 0,<br />
1/2 1<br />
x2<br />
−<br />
e 4Dt ,<br />
4πDt<br />
δt<br />
2πt(∆x) 2<br />
1/2 x2<br />
− 2t e<br />
∆t<br />
(∆x) 2 .<br />
che coincide esattamente con la soluzione fondamentale dell’equazione del calore. Il coefficiente<br />
D è detto anche in questo caso coefficiente di diffusione.
2.3. DIFFUSIONE NON LINEARE 33<br />
2.3 Diffusione non lineare<br />
2.3.1 Conducibilità termica nei gas diluiti<br />
In questa sezione riconsideriamo il modello di propagazione del calore trattato nella sezione<br />
2.1.1. Richiamiamo l’equazione ivi ottenuta (2.4), ovvero<br />
θt = µ∆θ + f,<br />
con µ = κ/cvρ e f = r/cv. Ricordiamo che κ > 0 rappresenta la conducibilità termica del<br />
mezzo. L’equazione precedente è stata ottenuta supponendo che κ sia costante. Tale ipotesi<br />
è sensata qualora le variazioni di tem<strong>per</strong>atura siano relativamente contenute. Tuttavia si<br />
può verificare s<strong>per</strong>imentalmente che in generale la conducibilità termica κ dipende dalla<br />
tem<strong>per</strong>atura. Conviene dunque introdurre una funzione θ → φ(θ) tale che<br />
κ = φ(θ).<br />
Nel caso omogeneo (ovvero con r = 0) otteniamo dunque la seguente equazione <strong>per</strong> θ<br />
<br />
1<br />
θt = div<br />
cvρ φ(θ)∇θ<br />
<br />
.<br />
Ponendo<br />
otteniamo la seguente equazione<br />
Φ(θ) := 1<br />
θ<br />
φ(s)ds,<br />
cvρ 0<br />
θt = ∆Φ(θ) (2.10)<br />
detta equazione di diffusione nonlineare.<br />
Una situazione interessante è ad esempio quella di un gas a bassa densità. In questo<br />
caso tipicamente la conducibilità termica aumenta all’aumentare della tem<strong>per</strong>atura. Tale<br />
fenomeno può essere spiegato mediante argomenti di teoria cinetica11 che portano a ricavare<br />
la seguente formula (<strong>per</strong> un gas monoatomico)<br />
k = 1<br />
d2 <br />
κ3θ π3m ,<br />
dove κ è la costante di Boltzmann, m è la massa molecolare e d è il diametro medio<br />
delle particelle di gas. Un fenomeno analogo avviene in casi di radiazione termica in gas<br />
ionizzati quando le variazioni di tem<strong>per</strong>atura sono molto alte. 12 Situazioni del genere sono<br />
ben modellate dalla dipendenza polinomiale<br />
κ = φ(θ) = Cθ n ,<br />
11 Vedi Paragrafo 8.3 del libro ‘Fenomeni di trasporto’ di Bird, Stewart e Lightfoot<br />
12 Vedi Capitolo 10 del libro ‘Physics of Shock Waves and High–Tem<strong>per</strong>ature Hydrodynamic Phenomena’<br />
di Zel’dovich e Yu. P. Raizer.
34 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE<br />
con n > 1 e C > 0 costante. Vedremo nel capitolo 11 come tale modello si applichi anche<br />
ad un gas di fotoni ad altissime tem<strong>per</strong>ature. In tal caso avremo n = 5. L’equazione (2.10)<br />
diventa quindi<br />
θt = C<br />
mcvρ ∆θm , m = n + 1.<br />
Adimensionalizzando le variabili come nel paragrafo 2.1.3, possiamo semplificare l’equazione<br />
precedente eliminando le costanti. In virtù di ciò, concentriamo la nostra attenzione sulla<br />
seguente equazione<br />
ut = ∆u m , m > 2, (2.11)<br />
detta anche equazione dei mezzi porosi. La motivazione di tale nome è dovuta al fatto che<br />
la (2.11) è maggiormente nota in letteratura come derivante da un modello di filtrazione<br />
in mezzi porosi, come vedremo nel paragrafo 10.4 più avanti.<br />
2.3.2 Le soluzioni di Barenblatt<br />
Limitando il nostro studio al solo problema di Cauchy su tutto lo spazio, costruiremo ora<br />
un analogo della soluzione fondamentale dell’equazione del calore. Per farlo, cerchiamo<br />
prima la giusta trasformazione che lascia invariate le soluzioni del problema di Cauchy.<br />
Data una soluzione u(x, t), ne cerchiamo un’altra data da<br />
Posto y = bx e s = ct, abbiamo<br />
v(x, t) = au(bx, ct).<br />
vt = acus ∆xv m = a m b 2 ∆yu.<br />
Dunque v soddisfa la stessa equazione se e solo se<br />
c = a m−1 b 2 .<br />
Imponiamo, come nel caso dell’equazione del calore (sezione 2.1.5), che la massa totale sia<br />
conservata. Questo implica la condizione<br />
Dunque abbiamo<br />
a = b n .<br />
v(x, t) = b n u(bx, b n(m−1)+2 t).<br />
Ragionamenti analoghi a quelli nella sezione 2.1.5 ci inducono a cercare soluzioni della<br />
forma<br />
u(x, t) = t −nλ U(ξ), ξ = xt −λ ,<br />
1<br />
λ =<br />
n(m − 1) + 2 .<br />
Usando la formula di derivazione di una funzione composta abbiamo<br />
ut = −λt −nλ−1 [nU + ξ · ∇U] = −λt −nλ−1 div(ξU)<br />
∆xu m = t −mnλ−2λ ∆ξU m .
2.3. DIFFUSIONE NON LINEARE 35<br />
Dalla definizione di λ segue che i due termini t −nλ−1 e t −mnλ−2λ sono uguali. Dunque, u<br />
soddisfa l’equazione dei mezzi porosi se e solo se U soddisfa la seguente equazione<br />
0 = ∆U m + λdiv(ξU) = div (∇U m + λξU) .<br />
Come nella sezione 2.1.5, richiediamo <strong>per</strong> il momento che U = 0. Questo ci <strong>per</strong>mette di<br />
adottare un trucco analogo al caso dell’equazione del calore, ovvero<br />
<br />
m ∇U<br />
0 = div U + λξ =<br />
U U mU m−2 ∇U + λξ <br />
m<br />
= U∇<br />
m − 1 U m−1 + λ |ξ|2<br />
<br />
.<br />
2<br />
Dal fatto che U sia integrabile su tutto R n segue che l’equazione precedente ha come uniche<br />
soluzioni quelle che soddisfano<br />
m<br />
m − 1 U m−1 + λ |ξ|2<br />
2<br />
Questo porta alla seguente formula <strong>per</strong> U<br />
U(ξ) =<br />
= costante.<br />
<br />
λ(m − 1)<br />
C −<br />
2m |ξ|2<br />
1<br />
m−1<br />
,<br />
+<br />
ove il pedice + indica la parte positiva 13 e dove la costante C < 0 dipende dalla massa<br />
totale. Nelle coordinate originarie otteniamo la soluzione<br />
u(x, t) = t −nλ<br />
<br />
C −<br />
λ(m − 1)<br />
2m<br />
|x| 2<br />
t2λ 1<br />
m−1<br />
.<br />
+<br />
La necessità di prendere la parte positiva nella formula precedente è dovuta al fatto<br />
che il termine tra parentesi quadre non è positivo ovunque su Rn <br />
, ma solo nella sfera<br />
B 0, mC<br />
λ(m−1) tλ<br />
<br />
. Al di fuori di tale sfera fissiamo U uguale a zero, il che è compatibile<br />
con l’equazione (2.11), dato che la funzione identicamente nulla è ovviamente soluzione.<br />
Tale soluzione è detta soluzione di Barenblatt (o soluzione auto–similare, o soluzione di<br />
tipo sorgente). Il supporto di U(·, t) è dunque compatto <strong>per</strong> ogni t > 0. L’insieme<br />
∂B 0, mC<br />
λ(m−1) tλ<br />
<br />
, ovvero la frontiera del supporto di U(·, t), è detto frontiera libera. Esso<br />
si espande al crescere di t con velocità tλ . Osserviamo che la velocità di espansione del<br />
supporto diminuisce con l’aumentare dell’esponente m. Da quanto appena detto si evince<br />
che la velocità di propagazione del supporto è in questo caso finita. L’introduzione della<br />
non linearità nell’equazione di diffusione ha dunque prodotto come conseguenza l’esistenza<br />
di una soluzione con supporto compatto ad ogni istante t > 0, cosa che non avviene<br />
nel caso di diffusione lineare. La soluzione di Barenblatt è l’equivalente non lineare della<br />
soluzione fondamentale del caso lineare (anche <strong>per</strong> quanto riguarda il dato iniziale, che è<br />
13 x+ = max{x, 0}
36 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE<br />
dato dalla delta di Dirac). Tuttavia, la non linearità non <strong>per</strong>mette in questo caso di scrivere<br />
una formula di convoluzione come nel caso lineare. Si può comunque dimostrare (non lo<br />
faremo) che la velocità finita di propagazione caratterizza ogni soluzione della (2.11) con<br />
dato iniziale a supporto compatto. Come conseguenza delle osservazioni appena esposte,<br />
la diffusione lineare rientra nei cosiddetti casi di diffusione veloce, mentre la diffusione<br />
nonlineare presente nell’equazione dei mezzi porosi è anche detta diffusione lenta.<br />
2.3.3 Diffusione veloce<br />
Casi di diffusione veloce possono verificarsi anche in fenomeni di diffusione nonlineare, quali<br />
ad esempio la conduzione termica in un liquido, dove tipicamente la conducibilità termica<br />
diminuisce all’aumentare della tem<strong>per</strong>atura. Supponendo anche qui che la dipendenza tra<br />
k e θ sia data in termini di una potenza, abbiamo<br />
κ = φ(θ) = Cθ −n ,<br />
con C > 0 e 0 < n < 1. Possiamo quindi ripetere il procedimento descritto in precedenza<br />
<strong>per</strong> ricavare soluzioni autosimilari <strong>per</strong> la corrispondente equazione di diffusione (ottenuta,<br />
al solito, eliminando le costanti)<br />
Il risultato saranno dei profili del tipo<br />
ut = ∆u m , 0 < m < 1.<br />
<br />
Ct<br />
u(x, t) =<br />
|x| 2 + At2/λ 1/(1−m) ,<br />
con λ = 2 − n(1 − m). Come si vede, si tratta di funzioni aventi <strong>per</strong> supporto tutto lo<br />
spazio R n , con delle code all’infinito che hanno un decadimento più lento di quello delle<br />
soluzioni Gaussiane dell’equazione del calore.
Capitolo 3<br />
Problemi stazionari. Equazioni di<br />
Laplace e di Poisson<br />
Tra le più importanti equazioni alle derivate parziali ci sono senza dubbio l’equazione di<br />
Laplace<br />
∆u(x) = 0, x ∈ Ω ⊂ R n , n = 2, 3. (3.1)<br />
e di Poisson<br />
∆u(x) = f(x), x ∈ Ω ⊂ R n , n = 2, 3, f data (3.2)<br />
Esse possono essere ricavate ad esempio come modello stazionario di diffusione, ma vedremo<br />
nel capitolo 8 come esse siano importanti anche in idrostatica. Una funzione u : Ω → R<br />
tale che ∆u = 0 <strong>per</strong> ogni x ∈ Ω si dice armonica su Ω.<br />
3.1 La soluzione fondamentale<br />
Tentiamo di ricavare una soluzione radiale dell’equazione di Laplace (3.1), ovvero<br />
u(x) = v(r), r = |x|.<br />
Per calcolare ∆u in questo caso occorre scrivere l’o<strong>per</strong>atore Laplaciano in coordinate polari.<br />
Fissato i ∈ {1, . . . , n}, si ha<br />
Sommando su i si ha<br />
Se v ′ = 0 si deduce<br />
uxi = v′ (r)rxi = v′ (r) xi<br />
r , uxixi = v′′ (r) x2i r2 + v′ <br />
1<br />
(r)<br />
r − x2i r3 <br />
.<br />
∆u = v ′′ (r) +<br />
n − 1<br />
v<br />
r<br />
′ (r) = 0.<br />
(log(v ′ )) ′ = v′′ 1 − n<br />
=<br />
v ′ r<br />
37
38CAPITOLO 3. PROBLEMI STAZIONARI. EQUAZIONI DI LAPLACE E DI POISSON<br />
da cui segue v ′ (r) = a<br />
r n−1 <strong>per</strong> qualche costante a. Di conseguenza, poiché r > 0, si ha<br />
v(r) =<br />
<br />
b log r + c se n = 2<br />
b<br />
rn−2 + c se n = 3,<br />
con a, b costanti. Abbiamo così ricavato (con una scelta particolare delle costanti), la<br />
seguente soluzione fondamentale dell’equazione di Laplace<br />
Φ(x) =<br />
− 1<br />
log |x| se n = 2<br />
2π<br />
1 1<br />
n(n−2)α(n) |x| n−2 se n = 3,<br />
dove α(n) indice il volume della sfera unitaria in R n .<br />
La soluzione fondamentale si utilizza <strong>per</strong> risolvere l’equazione di Poisson<br />
(3.3)<br />
∆u = f (3.4)<br />
su tutto lo spazio Rn . Più precisamente, affermiamo che se fè una funzione continua su<br />
Rn , allora<br />
<br />
u(x) = −<br />
Rn Φ(x − y)f(y)dy (3.5)<br />
soddisfa (3.4). Non dimostreremo tale affermazione 1 .<br />
3.2 Problema al bordo sul cerchio <strong>per</strong> l’equazione di<br />
Laplace.<br />
Studiamo ora il problema di Dirichlet sul cerchio unitario di R 2 <strong>per</strong> l’equazione di Laplace<br />
<br />
∆u(x, y) = 0 se x 2 + y 2 < 1<br />
u(x, y) = f(x, t) se x 2 + y 2 = 1.<br />
(3.6)<br />
Data la geometria del dominio, conviene usare le coordinate polari ρ = x 2 + y 2 , x =<br />
ρ cos θ, y = ρ sin θ. Poniamo, con abuso di notazione, u(x, y) = u(ρ, θ).<br />
Esercizio 3.2.1 (Laplaciano in coordinate polari) Dimostrare che in coordinate polari<br />
si ha<br />
∆u(x, y) = 1<br />
ρ ∂ρ (ρ∂ρu) + 1<br />
ρ2 ∂2 θu.<br />
1 La dimostrazione è alquanto laboriosa. Rimandiamo al testo Partial Differential Equations di L.C.<br />
Evans, pagina 23.
3.2. PROBLEMA AL BORDO SUL CERCHIO PER L’EQUAZIONE DI LAPLACE. 39<br />
In virtù dell’esercizio precedente, il problema al bordo (3.6) diventa<br />
<br />
1<br />
ρ∂ρ (ρ∂ρu) + 1<br />
ρ2 ∂2 θu = 0 se ρ < 1<br />
u(1, θ) = f(θ).<br />
(3.7)<br />
Usiamo il metodo della separazione delle variabili, già visto in precedenza, <strong>per</strong> cui cerchiamo<br />
una soluzione del tipo<br />
u(ρ, θ) = g(ρ)v(θ),<br />
che sostituita nella (3.7) dà l’equazione<br />
v(θ) 1<br />
ρ (ρg′ (ρ))ρ + g(ρ)<br />
ρ 2 v′′ (θ) = 0.<br />
Separando le variabili otteniamo le due equazioni<br />
ρ(ρg ′ (ρ))ρ = λg(ρ)<br />
v ′′ (θ) + λv(θ) = 0,<br />
con λ ∈ R costante. Studiamo prima la seconda equazione, condizioni al bordo di <strong>per</strong>iodicità<br />
v(0) = v(2π). Gli unici valori di λ <strong>per</strong> cui si hanno soluzioni sono quelli nonnegativi.<br />
Imponendo le condizioni al bordo abbiamo le autofunzioni<br />
vn(θ) = an cos(nθ) + bn sin(nθ), n ∈ N,<br />
corrispondenti agli autovalori λn = n 2 . Discutiamo ora la prima equazione. Sostituendo<br />
λ = n 2 otteniamo<br />
ρg ′ (ρ) + ρ 2 g ′′ (ρ) − n 2 g(ρ) = 0,<br />
equazione che ammette soluzioni del tipo g(ρ) = Cρ −n + Dρ n . Ma dato che ρ −n è singolare<br />
nell’origine, essa non può risolvere l’equazione di Laplace. Pertanto le uniche soluzioni<br />
sono gn = cnr n . In conclusione, otteniamo la famiglia di soluzioni<br />
un(ρ, θ) = r n (an cos(nθ) + bn sin(nθ)), n ∈ N.<br />
Per imporre le condizioni al bordo consideriamo la serie delle un (che soddisfa ancora<br />
l’equazione di Laplace <strong>per</strong> il principio di sovrapposizione) e poniamo r = 1. Otteniamo<br />
+∞<br />
n=1<br />
(an cos(nθ) + bn sin(nθ)) = f(θ).<br />
Usiamo il Teorema di Fourier, richiamato nella sezione A.6. Esso ci dice che<br />
f(θ) = a0<br />
2 +<br />
+∞<br />
[An cos(nθ) + Bn sin(nθ)] ,<br />
n=1
40CAPITOLO 3. PROBLEMI STAZIONARI. EQUAZIONI DI LAPLACE E DI POISSON<br />
con<br />
An = 1<br />
2π<br />
f(θ) cos(nθ)dθ,<br />
π 0<br />
Bn = 1<br />
2π<br />
f(θ) sin(nθ)dθ.<br />
π 0<br />
Questo implica che an = An <strong>per</strong> ogni n ≥ 0 e bn = Bn <strong>per</strong> ogni n > 0. Per cui otteniamo<br />
2π<br />
u(ρ, θ) = 1<br />
f(φ)dφ +<br />
2π 0<br />
= 1<br />
<br />
2π<br />
f(φ) 1 + 2<br />
2π 0<br />
+∞<br />
n=1<br />
+∞<br />
n=1<br />
2π<br />
n 1<br />
r f(φ)[cos(nθ) cos(nφ) + sin(nθ) sin(nφ)]dφ<br />
π 0<br />
<br />
r n cos(n(θ − φ))<br />
dφ.<br />
Per semplificare l’espressione precedente, osserviamo che<br />
1 + 2<br />
=<br />
=<br />
+∞<br />
n=1<br />
r n cos(n(θ − φ)) = 1 +<br />
+∞<br />
n=1<br />
ρe i(θ−φ) n +<br />
1<br />
1<br />
+<br />
− 1<br />
1 − ρei(θ−φ) 1 − ρe−i(θ−φ) 1 − ρ2 1 + ρ2 =: 2πG(ρ, θ − φ).<br />
− 2ρ cos(θ − φ)<br />
+∞<br />
n=1<br />
ρe −i(θ−φ) n<br />
La funzione G(ρ, θ) sopra definita si dice funzione di Green sul cerchio unitario dell’o<strong>per</strong>atore<br />
Laplaciano. Possiamo allora scrivere la soluzione u nel modo seguente<br />
u(ρ, θ) =<br />
2π<br />
0<br />
f(φ)G(ρ, θ − φ)dφ.<br />
3.3 Il metodo della funzione di Green<br />
Il metodo della funzione di Green serve a risolvere problemi al bordo del tipo<br />
<br />
−∆u(x) = f(x) x ∈ Ω ⊂ R n<br />
u(x) = g(x) x ∈ ∂Ω,<br />
(3.8)<br />
dove Ω è un dominio limitato con frontiera regolare con normale n. Prima di procedere,<br />
richiamiamo la seguente identità di Green<br />
<br />
<br />
(u∆v − v∆u)dx = u ∂v<br />
<br />
∂u<br />
− v dσ. (3.9)<br />
∂n ∂n<br />
∂Ω<br />
Ω<br />
Fissando x ∈ Ω, ponendo v(·) = Φ(x − ·) nella (3.9), integrando in y ad applicando<br />
l’o<strong>per</strong>atore Laplaciano alla (3.5) otteniamo<br />
<br />
u(x) = Φ(x − y) ∂u<br />
<br />
(y) − u(y)∂Φ (x − y) dσy − Φ(x − y)∆u(y)dy. (3.10)<br />
∂n ∂n<br />
∂Ω<br />
Ω
3.3. IL METODO DELLA FUNZIONE DI GREEN 41<br />
È chiaro che la convoluzione con la soluzione fondamentale Φ non si applica a questo caso,<br />
<strong>per</strong> via delle condizioni al bordo. L’idea <strong>per</strong> risolvere tale problema è di introdurre un<br />
correttore φx(y) tale che<br />
e<br />
∆φx(y) = 0, y ∈ Ω<br />
φx(y) = Φ(x − y), y ∈ ∂Ω.<br />
Applichiamo ora la (3.9) con v(y) = φx(y) e otteniamo<br />
<br />
<br />
− φx(y)∆u(y)dy = u(y)<br />
Ω<br />
∂Ω<br />
∂φx<br />
∂u<br />
(y) − φx(y)<br />
∂n ∂n (u)<br />
<br />
dσy<br />
<br />
= u(y) ∂φx<br />
(y) − Φ(x − y)∂u<br />
∂n ∂n (u)<br />
<br />
dσy.<br />
∂Ω<br />
Introduciamo ora la funzione di Green <strong>per</strong> il dominio Ω<br />
G(x, y) := Φ(x − y) − φx(y), x, y ∈ Ω, x = y.<br />
Usando di nuovo l’identità di Green (3.10) otteniamo<br />
<br />
u(x) = − u(y)<br />
Ω<br />
∂G<br />
∂n (x, y)dσy<br />
<br />
+ G(x, y)f(y)dy,<br />
Ω<br />
che è la soluzione desiderata. È chiaro che il tutto sta nel trovare il correttore φx(y) della<br />
funzione di Green. Questo procedimento dipende fortemente dalla geometria del dominio.<br />
Esempio 3.3.1 (Metodo delle cariche immagini) Supponiamo che Ω ⊂ R2 sia il semipiano<br />
{(x1, x2) ∈ R2 , x1 > 0. Usiamo la notazione x = (x1, x2), y = (y1, y2). Per determinare<br />
φx(y) occorre scegliere una funzione che sia armonica su Ω e tale che φx(y1, y2) =<br />
Φ(x − y) <strong>per</strong> y1 = 0. L’idea di questo metodo consiste nello scegliere la soluzione fondamentale<br />
centrata in un punto che sia esterno al dominio, in modo da evitare la singolarità<br />
in x = y. In questo caso conviene scegliere φx(y) = Φ(x − y) con x(−x1, x2).<br />
È chiaro che<br />
Φ è amonica su Ω. Inoltre, <strong>per</strong> un vettore y = (0, y2) è ovvio che x − y = x − y, e dato<br />
che Φ è una funzione radiale, si ha<br />
φx(y) = Φ(x − y) = Φ(x − y), y = (0, y2).<br />
Dunque, la funzione di Green <strong>per</strong> il semipiano Ω è<br />
G(x, t) = Φ(x − y) − Φ(x − y).
42CAPITOLO 3. PROBLEMI STAZIONARI. EQUAZIONI DI LAPLACE E DI POISSON<br />
3.4 Tendenza all’equilibrio <strong>per</strong> l’equazione del calore<br />
In questo capitolo riconsideriamo un problema al bordo <strong>per</strong> l’equazione del calore, ad esempio<br />
con condizioni di Dirichlet (il presente argomento può essere riprodotto in maniera simile<br />
nel caso delle condizioni di Neumann). Supponiamo che il dato al bordo sia indipendente<br />
dal tempo, ovvero<br />
⎧<br />
⎪⎨ ut = ∆u x ∈ Ω, t ≥ 0<br />
u(x, t) = g(x)<br />
⎪⎩<br />
u(x, 0) = u0(x)<br />
x ∈ ∂Ω,<br />
x ∈ Ω.<br />
t ≥ 0<br />
(3.11)<br />
Ci proponiamo di mostrare che, sotto opportune ipotesi sui dati g ed u0, la soluzione<br />
u(x, t) del problema (3.11) converge (in qualche senso) <strong>per</strong> tempi grandi verso la soluzione<br />
del problema stazionario <br />
vt = ∆v<br />
v(x) = g(x)<br />
x ∈ Ω, t ≥ 0<br />
x ∈ ∂Ω, t ≥ 0.<br />
(3.12)<br />
Abbiamo visto in precedenza alcuni metodi <strong>per</strong> dimostrare l’esistenza di una soluzione <strong>per</strong><br />
il problema (3.12). Qui supporremo che il dominio Ω sia tale che la soluzione v esiste, è<br />
unica ed è di classe C 2 (Ω).<br />
Il metodo che usiamo è quello dell’energia, visto in precedenza <strong>per</strong> mostrare l’unicità<br />
delle soluzioni della stessa equazione del calore. Osserviamo che abbiamo già riportato un<br />
fenomeno analogo nel paragrafo (2.1.3) in dimensione uno. Consideriamo<br />
w := u − v.<br />
Dato che le condizioni al bordo <strong>per</strong> u e v sono le stesse, possiamo affermare che w soddisfa<br />
il problema<br />
⎧<br />
⎪⎨ wt = ∆u x ∈ Ω, t ≥ 0<br />
w(x, t) ≡ 0<br />
⎪⎩<br />
w(x, 0) = u0(x) − v(x)<br />
x ∈ ∂Ω,<br />
x ∈ Ω.<br />
t ≥ 0<br />
(3.13)<br />
Moltiplichiamo l’equazione in (3.13) <strong>per</strong> w ed integriamo su Ω. Otteniamo come di<br />
consueto<br />
<br />
1 d<br />
2 dt<br />
w(x, t) 2 <br />
dx = w(x, t)∆w(x, t)dx.<br />
Ω<br />
Usando la regola di derivazione del prodotto, il Teorema di Gauss A.4.3 e le condizioni al<br />
bordo, otteniamo<br />
<br />
1 d<br />
w(x, t)<br />
2 dt Ω<br />
2 <br />
dx = − |∇w(x, t)|<br />
Ω<br />
2 dx.<br />
Ora utilizziamo un lemma tecnico di Analisi Funzionale:<br />
Lemma 3.4.1 (Disuguaglianza di Poincaré) Sia Ω ⊂ R d un dominio limitato. Sia<br />
data una funzione f : Ω → R tale che f ∈ C 1 (Ω) e tale che f(x) = 0 <strong>per</strong> ogni x ∈ ∂Ω.<br />
Ω
3.4. TENDENZA ALL’EQUILIBRIO PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 43<br />
Allora vale la disuguaglianza<br />
<br />
Ω<br />
f(x) 2 <br />
dx ≤ C(Ω) |∇f(x)|<br />
Ω<br />
2 dx,<br />
dove C(Ω) è una costante dipendente solo dal dominio Ω.<br />
Dal lemma precedente segue dunque<br />
<br />
d<br />
w(x, t)<br />
dt<br />
2 dx ≤ − 2<br />
<br />
C(Ω)<br />
Quindi<br />
Ω<br />
Ω<br />
w(x, t) 2 dx.<br />
<br />
d<br />
e<br />
dt<br />
2<br />
C(Ω) t<br />
<br />
w(x, t)<br />
Ω<br />
2 <br />
dx = 2 2<br />
e C(Ω)<br />
C(Ω) t + e 2<br />
C(Ω) t <br />
d<br />
w(x, t)<br />
dt Ω<br />
2 dx ≤ 0.<br />
Integrando la precedente disuguaglianza nel tempo in [0, T ] otteniamo<br />
e 2<br />
C(Ω) T<br />
<br />
w(x, T ) 2 <br />
dx ≤ w(x, 0) 2 <br />
dx = [u0(x) − v(x)] 2 dx<br />
Ω<br />
Ω<br />
e di conseguenza <br />
w(x, T )<br />
Ω<br />
2 2<br />
−<br />
dx ≤ e C(Ω) T<br />
<br />
[u0(x) − v(x)]<br />
Ω<br />
2 dx.<br />
Supponendo ora che il dato iniziale u0 sia continuo, dato che la soluzione stazionaria v è<br />
di classe C2 e quindi continua, possiamo certamente affermare che l’integrale a secondo<br />
membro è finito. Pertanto <br />
w(x, T )<br />
Ω<br />
2 2<br />
−<br />
dx ≤ Ae C(Ω) T ,<br />
<strong>per</strong> qualche numero A > 0. Mandando T → +∞ vediamo che l’integrale<br />
<br />
w(x, T ) 2 dx<br />
Ω<br />
converge a zero esponenzialmente. Abbiamo così dimostrato che, data u soluzione di (3.11)<br />
e detta v la soluzione stazionaria di (3.12), si ha<br />
<br />
lim [u(x, t) − v(x)]<br />
t→+∞<br />
2 dx = 0,<br />
ovvero la differenza u(t) − v tende a zero nel senso della norma L 2<br />
Ω<br />
<br />
fL2 (Ω) = f(x)<br />
Ω<br />
2 dx<br />
Ω<br />
1/2<br />
.
44CAPITOLO 3. PROBLEMI STAZIONARI. EQUAZIONI DI LAPLACE E DI POISSON
Capitolo 4<br />
<strong>Modelli</strong> di convezione e di<br />
convezione–diffusione<br />
In questo capitolo tratteremo modelli di onde cinematiche di trasporto (o convezione) lineare<br />
e non lineare. Per motivi legati alla sua estrema semplicità, sceglieremo come esempio<br />
di riferimento iniziale un modello di traffico stradale. 1 Descriveremo quindi delle applicazioni<br />
a modelli di scambio chimico, letti fuidizzati e reattori chimici. Il modello tipico<br />
di trasporto nonlineare è l’equazione di Burgers, che costituisce la base <strong>per</strong> una descrizione<br />
semplificata della dinamica di un gas <strong>per</strong>fetto, che tratteremo più dettagliatamente nel<br />
seguito del corso. Per semplificare la trattazione di questo capitolo, trascureremo gli effetti<br />
delle condizioni al bordo e considereremo problemi posti sull’intero spazio (problemi di<br />
Cauchy).<br />
4.1 Un modello di traffico<br />
Iniziamo con un esempio tratto dalla vita reale: il traffico dei veicoli su un’autostrada.<br />
Possiamo pensare alla posizione di un determinato punto dell’autostrada come ad una coordinata<br />
unidimensionale reale (supponiamo fissato un determinato punto dell’autostrada<br />
come l’origine) e chiamiamo tale coordinata x ∈ R. Pensiamo al <strong>per</strong>corso compreso tra due<br />
caselli a, b ∈ R, a < b, e supponiamo ovviamente che i veicoli possono solo entrare in a e<br />
possono solo uscire in b. Nei punti dell’intervallo a<strong>per</strong>to (a, b) i veicoli non possono entrare<br />
nè uscire. Inoltre (conformemente a quanto accade nella carreggiata di un’autostrada),<br />
essi viaggiano tutti nella stessa direzione, che supponiamo essere la direzione positiva del<br />
nostro asse di riferimento. Vogliamo ora descrivere la quantità di veicoli nel tratto [a, b].<br />
Ovviamente, la prima informazione che ci interessa sa<strong>per</strong>e è il numero totale di veicoli in<br />
1 Tale scelta può sembrare incoerente con il target ingegneristico di questo corso, ma ci sembra appropriata<br />
almeno <strong>per</strong> tre motivi: (i) semplifica didatticamente la trattazione (in quanto le leggi empiriche<br />
riguardano la nostra vita di tutti i giorni), (ii) è il modello che meglio <strong>per</strong>mette di comprendere il passaggio<br />
da trasporto lineare a trasporto nonlineare e (iii, ma decisamente non meno importante) i modelli<br />
nonlineari di traffico costituiscono la base <strong>per</strong> la teoria matematica del traffico sulle reti, che sta muovendo<br />
in questi anni i suoi primi passi.<br />
45
46 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
[a, b] ad un determinato istante t. Chiamiamo tale numero M(t) ≥ 0. Escludendo gli effetti<br />
causati dall’ingresso o dall’uscita dei veicoli in a e in b rispettivamente, ci aspettiamo che<br />
M(t) sia costante nel tempo, dato che il numero totale di veicoli si conserva. Vedremo in<br />
seguito come tale proprietà risulterà conseguenza del modello che avremo ricavato. Oltre<br />
al numero totale di veicoli, ci interessa avere anche un’informazione localizzata del traffico,<br />
ovvero, vogliamo sa<strong>per</strong>e quanti veicoli ci sono in un determinato punto x ∈ [a, b] ad<br />
un determinato istante t. Chiamiamo tale numero g(x, t) ≥ 0. Le due quantità M(t) e<br />
g(x, t) sono ovviamente in relazione tra loro. Intuitivamente, M(t) deve essere ottenuto<br />
‘sommando’ tutti valori di g(x, t) al variare di x. Dato che x varia ‘nel continuo’ (ovvero<br />
è descritto da una variabile reale), la relazione tra M e g sarà di tipo integrale, ovvero<br />
M(t) =<br />
b<br />
a<br />
g(x, t)dx. (4.1)<br />
La quantità g è dunque la densità di veicoli al tempo t nel punto x. Essa esprime la quantità<br />
di veicoli nell’unità di lunghezza. Supporremo che la densità g sia continua rispetto a x, <strong>per</strong><br />
cui possiamo intendere l’integrale (4.1) nel senso di Riemann. Tale ipotesi di continuità,<br />
ovviamente, non è realistica, dato che il numero di veicoli in un dato punto può assumere<br />
solo valori interi. Tale inconveniente, tuttavia, non crea grossi problemi di interpretazione.<br />
Passiamo ora a descrivere l’evoluzione della densità g. Per semplificare momentaneamente<br />
la trattazione, immaginiamo che il casello a venga chiuso all’istante t = 0. In tale<br />
modo, l’evoluzione è determinata da due fattori:<br />
• la distribuzione iniziale di veicoli g(x, 0),<br />
• la velocità dei veicoli.<br />
Dato che il nostro modello non ‘segue’ il <strong>per</strong>corso dei singoli veicoli uno <strong>per</strong> uno, ma<br />
descrive la loro quantità in un determinato punto dell’autostrada, la velocità dei veicoli<br />
non dipenderà dalla volontà del singolo guidatore, ma da altri fattori quali ad esempio la<br />
posizione del veicolo o la densità di veicoli in quella stessa posizione 2 . A tale proposito,<br />
è conveniente introdurre il concetto di flusso di veicoli nell’unità di tempo, nel punto x e<br />
all’istante t, che chiameremo f(x, t). Tale quantità descrive il numero di veicoli nell’unità di<br />
tempo che transitano in x al tempo t (ovvero che attraversano il punto x nell’unica direzione<br />
possibile). Intuitivamente, il numero di macchine passanti nell’intervallo infinitesimo dx<br />
nell’intervallo infinitesimo di tempo dt è dato da g(x, t)dx. Dunque, la quantità f(x, t) è<br />
data da<br />
f(x, t) =<br />
g(x, t)dx<br />
.<br />
dt<br />
Dato che il rapporto tra infinitesimi dx non è altro che la velocità istantanea, possiamo<br />
dt<br />
stabilire la seguente relazione costitutiva <strong>per</strong> il flusso f<br />
f(x, t) = V (x, t)g(x, t), (4.2)<br />
2 Confrontare tale distinzione con la differenza tra descrizione euleriana e lagrangiana nel capitolo 6
4.1. UN MODELLO DI TRAFFICO 47<br />
ove V (x, t) è la velocità di un veicolo presente in x al tempo t. Consideriamo ora un<br />
qualunque sottointervallo [c, d] ⊂ [a, b], e fissiamo un tempo t > 0 ed un numero ɛ > 0.<br />
Ci chiediamo di quanto varia la quantità di veicoli nel tratto [c, d] nell’intervallo di tempo<br />
[t, t + ɛ]. Tale variazione è evidentemente espressa dalla quantità<br />
Q(ɛ) =<br />
d<br />
c<br />
g(t + ɛ, x)dx −<br />
d<br />
c<br />
g(t, x)dx =<br />
d<br />
c<br />
[g(t + ɛ, x)dx − g(t, x)] dx. (4.3)<br />
Il limite<br />
Q(ɛ)<br />
l = lim<br />
(4.4)<br />
ɛ→0 ɛ<br />
ci fornisce la variazione istantanea del numero di veicoli nell’unità di tempo nel tratto<br />
[c, d] all’istante t. Dalla definizione di flusso data in precedenza segue anche che l equivale<br />
alla differenza tra il flusso di veicoli passanti <strong>per</strong> c (veicoli in più) ed il flusso di veicoli<br />
passanti <strong>per</strong> d (veicoli in meno), entrambi al tempo t. Quanto appena detto è riassunto<br />
nella relazione<br />
l = f(c, t) − f(d, t),<br />
che, insieme a (4.3) e (4.4), implica<br />
1<br />
lim<br />
ɛ→0 ɛ<br />
d<br />
c<br />
[g(t + ɛ, x)dx − g(t, x)] dx = f(c, t) − f(d, t).<br />
Passando il limite sotto il segno di integrale (vedi il teorema A.5.3) otteniamo<br />
d<br />
c<br />
c<br />
∂g<br />
(x, t)dx = f(c, t) − f(d, t). (4.5)<br />
∂t<br />
Usando note proprietà degli integrali (tra cui il teorema fondamentale del calcolo) otteniamo<br />
la formula d <br />
∂g ∂f<br />
(x, t) − (x, t) dx = 0.<br />
∂t ∂x<br />
(4.6)<br />
Dato che (4.6) è vera <strong>per</strong> ogni sottointervallo [c, d] ⊂ [a, b], l’integranda deve essere<br />
identicamente nulla (vedi teorema A.4.1). Abbiamo così ottenuto l’equazione di continuità<br />
che, in virtù della (4.2), diventa<br />
∂g<br />
∂t<br />
∂f<br />
(x, t) + (x, t) = 0, (4.7)<br />
∂x<br />
∂ ∂<br />
g(x, t) + (V (x, t)g(x, t)) = 0. (4.8)<br />
∂t ∂x<br />
L’equazione di continuità (4.7) ottenuta in precedenza è un oggetto ben noto in fisica<br />
matematica. Essa modella l’evoluzione di quelle quantità che possono essere descritte<br />
localmente da una densità secondo una relazione analoga alla (4.1), e tali che la quantità
48 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
totale all’interno di un determinato dominio (un volume o un intervallo) varia solo in virtù<br />
del flusso attraverso il bordo del dominio stesso, ovvero non vi è un guadagno (o una<br />
<strong>per</strong>dita) di quantità dovuto a fattori esterni. 3 Qualora volessimo tenere in considerazione<br />
fattori addizionali, quali ad esempio l’ingresso di veicoli dal casello a secondo una legge<br />
prescritta che dipenda dal tempo, si può aggiungere un termine forzante nell’equazione di<br />
continuità (4.7), ottenendo la sua versione non omogenea<br />
∂g<br />
∂t<br />
∂f<br />
(x, t) + (x, t) = F (x, t).<br />
∂x<br />
L’equazione (4.8) si accoppia in genere con la condizione iniziale<br />
g(x, 0) = g0(x). (4.9)<br />
Inoltre, dato che non siamo interessati agli effetti di bordo (ovveri al flusso di veicoli<br />
ai caselli), possiamo immaginare che il moto avvenga su una retta infinita anziché su<br />
un intervallo. Nelle prossime sezioni analizzeremo il comportamento della soluzione del<br />
problema di Cauchy (4.8)–(4.9) a seconda della forma che assume la legge costitutiva <strong>per</strong><br />
la velocità V . Nel caso in cui V dipende solo da x e t diremo che g è descritta da una<br />
equazione di trasporto lineare. Qualora V dipenda anche da g stessa, il trasporto è non<br />
lineare.<br />
4.2 Equazione del trasporto lineare<br />
L’equazione (4.8) si può riformulare come<br />
∂g<br />
∂t<br />
+ V (x, t) ∂g<br />
∂x<br />
= −∂V (x, t)g<br />
∂x<br />
sotto l’ipotesi che la soluzione g sia di classe C1 rispetto ad x. Ammettendo anche la<br />
presenza di termini forzanti (sempre nell’ipotesi che il trasporto sia lineare), studieremo<br />
nel dettaglio il problema di Cauchy<br />
⎧<br />
⎨∂g<br />
∂g<br />
+ V (x, t) = d(x, t)g + F (x, t)<br />
∂t ∂x (4.10)<br />
⎩<br />
g(x, 0) = g0(x).<br />
Iniziamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui V ≡ c, c costante, e d = F = 0. In<br />
questo caso, l’equazione<br />
∂g ∂g<br />
+ c = 0 (4.11)<br />
∂t ∂x<br />
3 Nel capitolo 6 ricaveremo rigorosamente l’equazione di continuità in un contesto multidimensionale<br />
più generale.
4.2. EQUAZIONE DEL TRASPORTO LINEARE 49<br />
ci dice che la soluzione g è costante lungo le rette del piano (x, t) di equazione (x(s), t(s)) =<br />
(x0 + cs, s), con x0 ∈ R. Per verificare tale affermazione calcoliamo<br />
d<br />
ds<br />
g(x(s), t(s)) = c ∂g<br />
∂x<br />
∂g<br />
(x(s), t(s)) + (x(s), t(s)) = 0.<br />
∂t<br />
In particolare, poiché deve essere soddisfatta la condizione iniziale, deve valere<br />
g(x, t) = g(x − ct, 0) = g0(x − ct).<br />
D’altra parte, si verifica direttamente che la funzione g0(x−ct) risolve il problema in esame.<br />
Dunque essa è l’unica soluzione.<br />
Il metodo appena utilizzato è un caso particolare del cosiddetto metodo delle caratteristiche<br />
descritto nella sezione 1.1. Tale metodo ci <strong>per</strong>mette di calcolare esplicitamente la<br />
soluzione anche nel caso generale (4.10) con F = 0. Le curve caratteristiche (x(s), t(s), g(s))<br />
sono in questo caso definite dal sistema di equazioni ordinarie<br />
˙x(t) = V (x, t) x(0) = x0<br />
˙g(t) = d(x, t)g g(0) = g0(x0).<br />
La soluzione g(x, t) si ottiene nel modo seguente: si considerano la soluzioni (locali) del<br />
sistema di caratteristiche x = x(x0, t), g = g(x0, t). Si determina poi la corrispondenza<br />
x0 = x0(x, t) invertendo le relazioni precedenti, cosa che è possibile in generale solo in un<br />
sottinsieme del piano R 2 contenente l’asse t = 0. A questo punto la soluzione si ottiene<br />
come<br />
g(x, t) = g(x0(x, t), t). (4.12)<br />
Un’ulteriore osservazione riguarda la regione di spazio su cui avviene il moto. Assumendo<br />
che il dato iniziale g0 abbia supporto compatto, il metodo delle caratteristiche ci dice<br />
indubitabilmente che il supporto della soluzione g(·, t) rimarrà compatto ad un qualunque<br />
istante t > 0. Quando ciò accade in generale si dice che vi è una velocità di propagazione<br />
finita del supporto, un fenomeno che non accade, ad esempio, nei modelli di diffusione<br />
lineare, ma che è tipico della diffusione lenta, come abbiamo visto nel capitolo precedente.<br />
Dato che il supporto di g(·, t) è sempre compatto, possiamo ricavare la conservazione del<br />
numero totale di veicoli nell’equazione di continuità (4.8) calcolando<br />
d<br />
dt<br />
<br />
R<br />
<br />
g(x, t)dx =<br />
R<br />
∂g<br />
(x, t)dx = −<br />
∂t<br />
<br />
R<br />
∂g(x, t)V (x, t)<br />
dx = 0<br />
∂x<br />
ove l’ultimo passaggio è giustificato dal teorema fondamentale del calcolo integrale. La<br />
proprietà appena dimostrata viene spesso chiamata conservazione della massa totale, ed<br />
è soddisfatta tutte le volte che l’evoluzione del modello è descritta da un’equazione di<br />
continuità.<br />
Nel caso in cui il termine forzante F in (4.10) non sia identicamente nullo (caso non<br />
omogeneo) si ricorre al seguente metodo di Duhamel. Per semplicità consideriamo il caso<br />
lineare<br />
∂g<br />
∂t<br />
+ c ∂g<br />
∂x<br />
= F (x, t). (4.13)
50 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
Fissato un punto (x, t) ∈ R × [0, +∞), consideriamo la caratteristica passante <strong>per</strong> tale<br />
punto, ovvero la retta s ↦→ (x + sc, t + s). La soluzione g calcolata lungo tale retta è data<br />
dalla funzione z(s) = g(x + sc, t + s), s ∈ R. Calcoliamo<br />
˙z(s) = gxc + gt = f(x + sc, t + s).<br />
Integrando tale relazione in ds tra −t e 0 si ha<br />
g(x, t) − g(x − ct, 0) = z(0) − z(−t) =<br />
=<br />
0<br />
−t<br />
f(x + sc, t + s)ds =<br />
t<br />
0<br />
0<br />
−t<br />
˙z(s)ds<br />
f(x + (σ − t)c, σ)dσ,<br />
dove abbiamo effettuato il cambio di variabile s = σ − t all’interno dell’integrale. Dunque,<br />
in definitiva la soluzione è data da<br />
g(x, t) = g0(x − ct) +<br />
t<br />
0<br />
f(x + (s − t)c, s)ds. (4.14)<br />
4.3 Un modello cinematico di traffico non lineare<br />
Nella sezione precedente, un modello di traffico in cui la velocità dei veicoli era supposta<br />
indipendente dalla loro densità è servito come pretesto <strong>per</strong> introdurre un modello estremamente<br />
semplificato di trasporto. In questa sezione ricaviamo una legge costitutiva <strong>per</strong> la<br />
velocità basata su valutazioni decisamente più realistiche. Supponendo <strong>per</strong> semplicità che<br />
la velocità non dipenda dall’ascissa x né dal tempo t, è ragionevole aspettarsi che la velocità<br />
del veicolo sia massima laddove non ci sono altri veicoli, mentre ci aspettiamo che gli<br />
stessi veicoli riducano sempre di più la velocità qualora la densità dei veicoli circostanti sia<br />
sempre maggiore. Detta vmax la velocità massima possibile (velocità in assenza di veicoli)<br />
e detta gmax la densità massima dei veicoli (ovvero la densità dei veicoli in coda), poniamo<br />
V (g) = vmax<br />
<br />
1 − g<br />
In questo modo, V (gmax) = 0 e V (g) ≤ vmax <strong>per</strong> ogni g ∈ [0, gmax]. In alcuni casi<br />
l’osservazione dei dati relativi a flussi di traffico reali ha suggerito l’utilizzo di altre formule<br />
<strong>per</strong> la velocità, quali ad esempio V (g) = a log g<br />
. In generale, posto f(g) = gV (g), si<br />
gmax<br />
considerano funzioni f(g) soddisfacenti alle seguenti proprietà<br />
• f(0) = f(gmax) = 0,<br />
gmax<br />
• f nonnegativa e concava sull’intervallo [0, gmax],<br />
• f avente un unico valore massimo fm = f(gm).<br />
<br />
.
4.4. DUE MODELLI SEMPLIFICATI DI TRASPORTO NONLINEARE 51<br />
In particolare, esiste una densità intermedia gm <strong>per</strong> cui di realizza il flusso massimo di<br />
veicoli (ricordiamo che il flusso è dato dal prodotto di g <strong>per</strong> V ). Qualora valgano le ipotesi<br />
sul flusso f(g) sopra elencate, la corrispondente equazione di trasporto <strong>per</strong> il flusso di<br />
traffico<br />
∂g ∂f(g)<br />
+ = 0 (4.15)<br />
∂t ∂x<br />
è detta equazione di Whitham–Lighthill.<br />
Nelle prossime sezioni analizzeremo da un punto di vista puramente matematico le<br />
proprietà di una equazione di trasporto nonlineare generale del tipo<br />
∂ρ<br />
∂t<br />
+ ∂f(ρ)<br />
∂x<br />
= 0 (4.16)<br />
con f una generica funzione nonlineare di classe C 1 . La (4.16) è detta legge di conservazione<br />
nonlineare scalare.<br />
4.4 Due modelli semplificati di trasporto nonlineare<br />
4.4.1 Un modello di scambio chimico<br />
Descriviamo ora un altro modello in cui l’equazione (4.16) ammette una applicazione significativa.<br />
Si tratta di un modello (semplificato) che descrive un processo di scambio chimico<br />
che ha applicazioni in cromatografia. Si considera un fluido che trasporta una certa sostanza<br />
dissolta (o delle particelle o degli ioni) attraverso un fondo costituito da un materiale<br />
solido. La sostanza trasportata dal fluido è parzialmente assorbita dal materiale, il quale a<br />
sua volta può restiruirne una parte al fluido. Supponiamo che la dinamica si svolga essenzialmente<br />
in una direzione. Introduciamo quindi di nuovo una variabile spaziale x ed un<br />
tempo t. La sostanza avrà una massa totale M ed una corrispondente densità ρ(x, t) tale<br />
che M = ρ(x, t)dx, come nel modello di traffico precedente. In ogni punto x avremo una<br />
certa quantità di sostanza dissolta nel fluido, la cui densità indicheremo con ρf, ed una certa<br />
quantità di sostanza depositata sul solido, la cui densità verrà indicata con ρs = ρ − ρf.<br />
Supponendo che la velocità delle particelle dissolte nella sostanza sia costante e pari a V ,<br />
usando un procedimento analogo a quello della sezione 4.1 (introducendo nel bilancio (4.5)<br />
anche la <strong>per</strong>dita di sostanza accumulatasi sul materiale), otteniamo la seguente equazione<br />
di continuità non omogenea<br />
∂<br />
∂t ρf + ∂<br />
∂x (V ρf) = − ∂<br />
∂t ρs. (4.17)<br />
Una seconda relazione riguarda il tasso di deposito della sostanza sul fondo solido. Dato<br />
che le particelle sul fondo sono ferme, nello scrivere il bilancio dobbiamo tenere in considerazione<br />
solo i termini non omogenei dovuti allo scambio solido–fluido. È ragionevole<br />
supporre che il tasso di deposito di sostanza sul fondo materiale sia direttamente proporzionale<br />
a ρf, limitato d’altra parte dalla eventuale quantità di sostanza già presente sul
52 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
solido stesso, fino ad una capacità di soglia A. Un processo analogo avviene <strong>per</strong> la sostanza<br />
passante dal materiale al fluido, secondo una capacità massima B. Detti k1 e k2 i tassi di<br />
reazione (tutte le costanti in gioco sono naturalmente positive), otteniamo<br />
∂<br />
∂t ρs = k1(A − ρs)ρf − k2ρs(B − ρf). (4.18)<br />
In condizioni di equilibrio, ovvero in assenza di scambio, il secondo membro della (4.18)<br />
sarebbe nullo, e questo implicherebbe una relazione algebrica tra ρf e ρs, cioè<br />
k1ρf<br />
ρs = A<br />
=: R(ρf). (4.19)<br />
k2B + (k1 − k2)ρf<br />
In un regime quasi statico, cioè nel caso in cui lo scambio di sostanza sia relativamente lento<br />
rispetto alle costanti di reazione k1 e k2, possiamo accettare in buona approssimazione la<br />
relazione (4.19), che sostituita nella (4.17) implica la seguente equazione <strong>per</strong> ρf<br />
Si può verificare che<br />
∂<br />
∂t ρf +<br />
R ′ (ρf) =<br />
V<br />
1 + R ′ ∂<br />
(ρf) ∂x ρf = 0. (4.20)<br />
k1k2AB<br />
> 0.<br />
[k2B + (k1 − k2)ρf] 2<br />
Dunque<br />
<br />
l’equazione appena ricavata rientra nel model- lo generale (4.16) con f(ρ) =<br />
ρ V<br />
0 1+R ′ dξ. Osserviamo che, contrariamente al caso del modello di traffico di Whitham–<br />
(ξ)<br />
Lighthill, qui f è una funzione monotona. La velocità di propagazione dell’onda dipende<br />
dai tassi di reazione delle sostanze.<br />
4.4.2 Moto di particelle in un letto fluidizzato<br />
Consideriamo ora un modello semplificato che descrive il moto di certe particelle in un<br />
fluido. Il caso speficico che consideriamo è quello della fluidizzazione, un fenomeno in<br />
cui la forza di gravità esercitata su un sistema di particelle è bilanciata dalla velocità<br />
verticale del fluido, che è diretta verso l’altro e che supporremmo inizialmente costante<br />
e pari a U0. Supporremmo di essere in una situazione tale <strong>per</strong> cui l’insieme di particelle<br />
possa essere considerato alla stregua di un mezzo continuo, ovvero è possibile esprimere<br />
la quantità totale di particelle mediante una densità ρp 4 . Con buona approssimazione<br />
possiamo considerare l’insieme fluido + particelle come un fluido incompressibile 5 a densità<br />
costante. Supponiamo che la densità del fluido ρf sia anche essa costante. Definiamo<br />
la frazione di vuoto ε in modo che (1 − ε) esprima localmente il volume occupato dalle<br />
particelle diviso il volume occupato da fluido e particelle. Un modello del genere può essere<br />
applicato a diversi modelli in cui si debba descrivere una evoluzione a più fasi. Infatti<br />
4 Come all’inizio della sezione 4.1.<br />
5 Si veda più avanti nel capitolo 7 sul significato matematico del termine.
4.4. DUE MODELLI SEMPLIFICATI DI TRASPORTO NONLINEARE 53<br />
la parte occupata dalle particelle è di fatto trattata come un fluido, quindi il problema<br />
è analogo a quello del moto di due fluidi in un letto. Per scrivere la legge di bilancio<br />
della massa di particelle usiamo lo stesso procedimento visto nei paragrafi precedenti.<br />
Supponendo che il moto avvenga in direzione verticale z, e supponendo che non vi siano<br />
variazioni apprezzabili lungo le altre direzioni, scriviamo la legge di bilancio <strong>per</strong> la fase<br />
fluida. Dato che la quantità infinitesima di fluido <strong>per</strong> unità di volume è pari a dzερf, detta<br />
uf la velocità del fluido otteniamo l’equazione di continuità (avendo diviso <strong>per</strong> ρf)<br />
∂ε ∂<br />
+<br />
∂t ∂z (εuf) = 0.<br />
Analogamente, <strong>per</strong> la fase particellare otteniamo<br />
Sommando le due equazioni precedenti otteniamo<br />
ovvero<br />
− ∂ε ∂<br />
+<br />
∂t ∂z ((1 − ε)up) = 0. (4.21)<br />
∂<br />
∂z (εuf + (1 − ε)up) = 0,<br />
εuf + (1 − ε)up ≡ U0,<br />
il che è una conseguenza del fatto che l’insieme fluido + particelle sia incomprimibile.<br />
La relazione precedente dice che la velocità del fluido e quella delle particelle non sono<br />
indipendenti. La velocità relativa uf − up dipende solo dalla velocità delle particelle,<br />
mediante la formula<br />
uf − up = U0 − up<br />
.<br />
Scriviamo ora la legge di bilancio della quantità di modo <strong>per</strong> l’insieme di particelle. Come<br />
ricavare in maniera rigorosa una legge di bilancio della quantità di moto, tenendo in considerazione<br />
le forze di volume e le forze di pressione, sarà argomento del capitolo 6. Qui<br />
diamo <strong>per</strong> scontato che l’equazione è la seguente<br />
(1 − ɛ)ρp<br />
∂up<br />
∂t<br />
+ up<br />
ε<br />
<br />
∂up<br />
= F, (4.22)<br />
∂z<br />
dove F è la risultante di tutte le forze agenti sulle particelle. La prima forza da considerare<br />
è la forza di gravità FG, che è pari a FG = −(1 − ε)ρpg, il segno meno è dovuto al fatto che<br />
la direzione z punta verso l’alto. La seconda forza da considerare è la forza di interazione<br />
FI tra il fluido e le particelle. Mediante considerazioni empiriche, essa si può quantificare<br />
in<br />
γ U0 − up<br />
FI = (1 − ε)(ρp − ρf)g<br />
ε −β ,<br />
dove i coefficienti γ e β hanno valori vicini rispettivamente a 4.8 e 3.8 e dove ut è un<br />
parametro detto velocità di caduta. 6 . Supponiamo ora di osservare il comportamento di<br />
6 Per maggiori precisazioni si veda il libro Fluidization Dynamics di L.A. Gibilaro.<br />
ut
54 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
questo sistema <strong>per</strong> tempi molto grandi. A tale proposito riscaliamo il tempo nel modo<br />
seguente<br />
t = τ<br />
, δ ≪ 1.<br />
δ<br />
Coerentemente, riscaliamo anche le velocità in gioco<br />
L’equazione (4.21) diventa<br />
L’equazione (4.22) diventa<br />
vp := up<br />
δ , vt := ut<br />
δ , V0 := U0<br />
δ .<br />
− ∂ε<br />
∂τ<br />
δ 2<br />
<br />
∂vp ∂vp<br />
+ vp = g −1 +<br />
∂τ ∂z<br />
ρp − ρf<br />
ρp<br />
Formalmente, mandando δ → 0, si ottiene la relazione<br />
vp = V0 − vt<br />
+ ∂<br />
∂z ((1 − ε)vp) = 0. (4.23)<br />
ρp<br />
ρp − ρf<br />
1/γ<br />
V0 − vp<br />
vt<br />
ε β/γ ,<br />
γ<br />
ε −β<br />
<br />
.<br />
nota anche come legge di Richardson–Zaki, che sostituita nella (4.23) dà come risultato<br />
l’equazione<br />
<br />
1/γ ∂ε ∂<br />
ρp<br />
+ −V0(1 − ε) + vt<br />
(1 − ε)ε<br />
∂τ ∂z<br />
ρp − ρf<br />
β/γ<br />
<br />
= 0,<br />
che è un altro esempio di legge di conservazione nonlineare. A questo punto abbiamo un<br />
numero sufficiente di esempi che attestino l’importanza di modelli di trasporto nonlineare.<br />
Introduciamone ancora uno, il più semplice di tutti, ovvero l’equazione di Burgers<br />
∂u<br />
∂t<br />
+ ∂<br />
∂x<br />
2 u<br />
= 0, (4.24)<br />
2<br />
in cui f(u) = u 2 /2. L’equazione (4.24) in forma non conservativa si scrive<br />
ut + uux = 0.<br />
Non ci soffermeremo sulla motivazione di tale equazione, accennando solo al fatto che essa<br />
può essere considerato il modello più semplice (unidimensionale) <strong>per</strong> la velocità euleriana<br />
di un fluido incomprimibile in cui la pressione viene trascurata (vedi capitolo 7). Data la<br />
sua estrema semplicità, l’equazione di Burgers viene spesso usata come propotipo di una<br />
legge di conservazione nonlineare. Essa è certamente il modello più semplice di convezione<br />
non lineare.
4.5. LA LEGGE DI CONSERVAZIONE SCALARE NONLINEARE 55<br />
4.5 La legge di conservazione scalare nonlineare<br />
Passiamo ora alla trattazione della teoria matematica della legge di conservazione scalare<br />
nonlineare. Studieremo il problema di Cauchy<br />
⎧<br />
⎨∂ρ<br />
∂<br />
+ f(ρ) = 0,<br />
∂t ∂x (4.25)<br />
⎩<br />
ρ(x, 0) = ρ0(x).<br />
L’equazione (4.25) può essere riscritta nella forma non conservativa<br />
ρt + f ′ (ρ)ρx = 0. (4.26)<br />
Scrivendo l’equazione in questo modo appare chiaro come essa rappresenti un trasporto<br />
nonlineare. Appare comunque conveniente, data l’analogia con le equazioni di trasporto<br />
lineari, tentare di risolvere la (4.26) usando il metodo delle caratteristiche. Come nel caso<br />
delle equazioni di trasporto lineari, anche qui supponiamo a priori di avere una soluzione<br />
ρ(x, t), e tentiamone una rappresentazione. Fissato un punto x0 ∈ R, la caratteristica<br />
t ↦→ x(x0, t) risolve l’equazione ordinaria<br />
˙x(t) = f ′ (ρ(x(x0, t), t))<br />
con condizione iniziale x(x0, 0) = x0. D’altra parte, la soluzione ρ è costante lungo una<br />
caratteristica. Infatti<br />
Dunque,<br />
d<br />
dt ρ(x(x0, t), t) = (ρx ˙x + ρt) |x=x(x0,t) = (ρxf ′ (ρ) + ρt) |x=x(x0,t) = 0.<br />
ρ(x(x0, t), t) = ρ(x(x0, 0), 0) = ρ(x0, 0) = ρ0(x0),<br />
e l’equazione differenziale <strong>per</strong> la caratteristica si può riscrivere come ˙x(t) = f ′ (ρ0(x0)), che<br />
dà come soluzione<br />
x(x0, t) = f ′ (ρ0(x0))t + x0, (4.27)<br />
ovvero, le caratteristiche sono delle linee rette. Fino a questo punto sembra che la nonlinearità<br />
non abbia apportato difficoltà significative alla soluzione del problema. Se da un<br />
lato infatti la soluzione dell’equazione caratteristica può essere risolta solo conoscendo a<br />
priori la soluzione, d’altra parte siamo stati capaci ugualmente di ottenere una espressione<br />
esplicita (e semplice, visto che si tratta di rette) delle caratteristiche stesse, ed anche in<br />
questo caso (come nel caso lineare senza termini forzanti) sappiamo che la soluzione è<br />
costante lungo le caratteristiche.<br />
Nel caso lineare poi, il problema era quello di esplicitare l’equazione della caratteristica<br />
rispetto ad x0, ovvero passare dalla funzione x = x(x0, t) alla funzione x0 = x0(x, t). Qui<br />
ci imbattiamo in un fenomeno che non avveniva nel caso non lineare: due rette caratteristiche<br />
aventi come dati inziali due punti diversi dell’asse t = 0 possono intersecarsi ad<br />
un certo istante t finito. Quando ciò accade non è più possibile stabilire una relazione
56 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
x0 = x0(x, t) senza incorrere in ambiguità. Per capire meglio la situazione, tentiamo di<br />
visulizzare il problema da un punto di vista geometrico, scegliendo il caso particolare di<br />
Burgers f ′ (ρ) = ρ. Consideriamo due rette caratteristiche uscenti dall’asse iniziale nei<br />
punti x0 ed x1, con x0 < x1. Supponiamo inoltre che ρ0(x0) > ρ0(x1). Da quest’ultima<br />
condizione e dall’equazione (4.27) si evince che la caratteristica uscente da x0 ha una pendenza<br />
tale da intersecare la caratteristica uscente da x1 in un certo punto (x ∗ , t ∗ ). Dato<br />
che la soluzione è costante lungo le caratteristiche, i due valori ρ0(x0) e ρ0(x1) vengono<br />
trasportati lungo le rispettive rette catatteristiche, fino al punto di intersezione (x ∗ , t ∗ ).<br />
Visualizzando l’evoluzione nel tempo del profilo della soluzione ρ(·, t), appare chiaro che al<br />
tempo t ∗ viene a formarsi una discontinuità di salto tra i valori ρ0(x0) e ρ0(x1) nel punto<br />
x ∗ . Nel linguaggio delle leggi di conservazione, tale fenomeno è noto come formazione di<br />
shock in un tempo finito.<br />
Tentiamo ora di risolvere rigorosamente il problema partendo da un dato iniziale ρ0<br />
qualsiasi. Se da un lato, infatti, è vero che si possono verificare shock in tempo finito, è<br />
pur vero che ci si può aspettare che questo non avvenga <strong>per</strong> tempi sufficientemente piccoli.<br />
Come nel caso lineare, lo scopo è quello di esplicitare la variabile x0 dalla relazione (4.27).<br />
Si tratta di uno di quei problemi in cui conviene ricorrere al teorema della funzione implicita<br />
(vedi il teorema A.3.2). Posto F (x, x0, t) = f ′ (ρ0(x0))t + x0 − x, cerchiamo una funzione<br />
x0 = x0(x, t) tale che F (x, x0(x, t), t) = 0. Dal teorema A.3.2, ciò è possibile se la derivata<br />
di F rispetto a x0 è diversa da zero, ovvero se<br />
f ′′ (ρ0(x0))ρ ′ 0(x0)t + 1 = 0. (4.28)<br />
La condizione (4.28) è ovviamente soddisfatta <strong>per</strong> t = 0. Quando ci stacchiamo dall’asse<br />
t = 0, il termine f ′′ (ρ0(x0))ρ ′ 0(x0)t + 1 potrebbe degenerare (azzerarsi), negandoci dunque<br />
la possibilità di applicare il teorema della funzione implicita. Certamente ciò non accade<br />
se il dato iniziale ρ0 è tale che la funzione x0 ↦→ f ′ (ρ0(x0)) è monotona crescente. In tal<br />
caso infatti f ′′ (ρ0(x0))ρ ′ 0(x0)t > 0 e la condizione (4.28) è sempre soddisfatta, e la soluzione<br />
ρ(x, t) al problema (4.25) è definita su tutto il semipiano R × [0, +∞). In caso contrario,<br />
supponendo che esista un valore x0 <strong>per</strong> cui f ′′ (ρ0)ρ ′ (x0) < 0, la condizione (4.28) cessa di<br />
1<br />
essere verificata al tempo t = −<br />
f ′′ (ρ0(x0))ρ ′ 0<br />
(x0) > 0. Volendo determinare un intervallo di<br />
tempo in cui la soluzione resta definita indipendemente dal comportamento delle singole<br />
caratteristiche, possiamo affermare che ρ(x, t) è definita sulla striscia R × [0, t ∗ ), ove<br />
t ∗ = −<br />
1<br />
inf f ′′ (ρ0(x0))ρ ′ (x0) .<br />
Il nostro scopo a questo punto è di dare un senso alla soluzione ρ(x, t) dopo l’istante t ∗<br />
in cui essa è divenuta discontinua.<br />
Esercizio 4.5.1 Dimostrare che l’equazione (4.26) gode della seguente proprietà di semigruppo.<br />
Sia ρ(·, ·) è la soluzione di (4.26) con dato iniziale ρ0. Fissati t, s > 0, definiamo<br />
ρ(x, t) = ρ(x, s + t). Allora ρ(x, t) risolve la stessa (4.26) con dato iniziale ρ(x, s).
4.5. LA LEGGE DI CONSERVAZIONE SCALARE NONLINEARE 57<br />
Grazie alla proprietà precedente, il problema di prolungare una soluzione dopo la formazione<br />
di uno shock si riduce al problema di definire (in qualche senso) una soluzione<br />
avente un dato iniziale ρ0 discontinuo. Il primo problema che ci poniamo è se sia possibile<br />
ammettere che la discontinuità del dato iniziale in un punto x0 si propaghi nel tempo.<br />
Supponiamo dunque che la soluzione ρ(x, t) sia discontinua sulla curva x = s(t). Ad un<br />
tempo fissato t scegliamo due valori x1 ed x1 tali che x1 < s(t) < x2. Supponiamo inoltre<br />
che la soluzione sia continua con derivate continue negli intervalli [x1, s(t)) e (s(t), x2].<br />
Data la discontinuità della soluzione, la formulazione (4.25) non è accettabile, poiché essa<br />
coinvolge le derivate di ρ che ovviamente non sono definite nei punti di discontinuità. In<br />
generale, un modo ragiovevole <strong>per</strong> generalizzare il concetto di soluzione senza <strong>per</strong>dere di<br />
vista il modello originale è ricavare una relazione integrale analoga alla (4.5). Ricordiamo<br />
infatti che abbia- mo ricavato le equazioni di continuità del tipo (4.7) da un bilancio tra<br />
quantità integrali, in cui la discontinuità delle grandezze integrate è ammissibile. Nel caso<br />
della legge di conservazione nonlineare, la corrispondente equazione di bilancio integrale<br />
(relativa all’intervallo [x1, x2] al tempo t) è la seguente<br />
d<br />
dt<br />
x2<br />
Da proprietà elementari dell’integrale segue<br />
x1<br />
ρ(x, t)dx + f(ρ((x1, t))) − f(ρ((x2, t))) = 0. (4.29)<br />
f(ρ((x2, t))) − f(ρ((x1, t))) = d<br />
dt<br />
s(t)<br />
x1<br />
ρ(x, t)dx + d<br />
x2<br />
ρ(x, t)dx.<br />
dt s(t)<br />
Usando la regola della derivazione di una funzione composta, otteniamo<br />
f(ρ((x2, t)))−f(ρ((x1, t))) = ρ(s − , t) ˙s−ρ(s + s(t)<br />
x2<br />
, t) ˙s+ ρt(x, t)dx+ ρt(x, t)dx, (4.30)<br />
s(t)<br />
dove ρ(s − , t) e ρ(s + , t) indicano rispettivamente i limiti sinistro e destro di ρ(x, t) <strong>per</strong> x<br />
che tende ad s(t). Vogliamo ora mandare al limite x1 → s(t) da sinistra e x2 → s(t) da<br />
destra nella relazione (4.30). Dato che ρt è limitata negli intervalli di integrazione, i due<br />
integrali a secondo membro si annullano al limite. Otteniamo quindi<br />
x1<br />
f(ρ((s − , t))) − f(ρ((s + , t))) = [ρ(s − , t) − ρ(s + , t)] ˙s(t), (4.31)<br />
ovvero, posto ρl = ρ(s − , t) e ρr = ρ(s + , t), 7<br />
˙s(t) = f(ρl) − f(ρr)<br />
. (4.32)<br />
ρl − ρr<br />
Abbiamo dunque ottenuto una condizione di salto che coinvolge la velocità della curva<br />
di propagazione della discontinuità ˙s(t) e i limiti destro e sinistro della soluzione lungo<br />
tale curva. In particolare, la velocità della curva è data dal rapporto incrementale del<br />
7 Si osservi che in generale i valori ρl e ρr possono dipendere dal tempo t.
58 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
flusso tra i due valori limite ρl e ρr. La condizione (4.31) è detta condizione di salto di<br />
Rankine–Hugoniot.<br />
Una funzione ρ(x, t) con derivate parziali continue su<br />
L = R × [0, +∞) \ Γ, Γ = {x = s(t)},<br />
tale che ρ risolve l’equazione (4.25) su L e tale che ρ soddisfa alla condizione di salto (4.32)<br />
lungo Γ, è detta una soluzione debole dell’equazione (4.25).<br />
La relazione (4.32) è una condizione necessaria <strong>per</strong> la propagazione di una discontinuità.<br />
Al momento non abbiamo ancora gli elementi <strong>per</strong> capire se una data discontinuità iniziale<br />
si propaghi o meno. Semplifichiamo la trattazione del problema con i seguenti esempi,<br />
tutti riferiti al caso particolare f(ρ) = ρ 2 /2, ossia all’equazione di Burgers.<br />
Esempio 4.5.2 (Onda di Shock) Consideriamo il dato iniziale<br />
<br />
1 se x ≤ 0<br />
ρ0(x) =<br />
0 se x > 0.<br />
(4.33)<br />
Il dato iniziale è evidentemente discontinuo. Scriviamo le equazioni delle rette caratteristiche.<br />
Si verifica facilmente che esse sono date dalle rette x(t) ≡ x0 se il punto iniziale x0 è<br />
positivo, mentre si ha x(t) = x0+t nel caso il punto iniziale x0 sia negativo. Dunque vi è un<br />
dominio del semipiano R × [0, +∞) in cui le caratteristiche si intersecano, ovvero la fascia<br />
F = {(x, t) | 0 ≤ x ≤ t}. Cerchiamo una soluzione discontinua mediante la condizione di<br />
salto (4.32). In questo caso, ρl = 1 e ρr = 0. Dunque si ha s(t) ˙ = 1/2, con condizione<br />
iniziale s(0) = 0. Otteniamo quindi la seguente retta di propagazione dello shock<br />
x = s(t) = t/2.<br />
La soluzione vale 1 a sinistra di s(t), e vale 0 a destra di s(t), ovvero<br />
<br />
1 se x ≤ t/2<br />
ρ(x, t) =<br />
0 se x > t/2.<br />
Una soluzione siffatta è detta onda di shock.<br />
Esempio 4.5.3 (Onda di rarefazione) Consideriamo il dato iniziale<br />
<br />
0 se x ≤ 0<br />
ρ0(x) =<br />
1 se x > 0.<br />
(4.34)<br />
Anche qui il dato iniziale è evidentemente discontinuo in x = 0. Scriviamo le equazioni<br />
delle rette caratteristiche. Si verifica facilmente che esse sono date dalle rette x(t) = x0 + t<br />
se il punto iniziale x0 è positivo, mentre si ha x(t) ≡ x0 nel caso il punto iniziale x0 sia<br />
negativo. Si ha dunque un dominio del semipiano R × [0, +∞) che non è raggiunto dalle
4.5. LA LEGGE DI CONSERVAZIONE SCALARE NONLINEARE 59<br />
caratteristiche, segnatamente la fascia F = {(x, t) | 0 ≤ x ≤ t}. Una possibilità è quella<br />
che la discontinuità presente inizialmente nel punto x = 0 ‘viaggi’ secondo la condizione<br />
di salto (4.32) lungo una curva x = s(t). Dato che in questo caso ρl = 0 e ρr = 1, si<br />
avrebbe s(t) ˙ = 1/2 con s(0) = 0. Dunque, la curva di discontinuità sarebbe data da<br />
x = s(t) = t/2, e la soluzione ρ assumerebbe il valore 0 a sinistra di s(t) ed il valore 1 a<br />
destra di s(t). Un’altra possibilità è quella di ‘riempire’ la fascia F mediante l’uso di una<br />
soluzione autosimilare, ovvero una soluzione ρ che sia funzione della variabile x/t. Poniamo<br />
dunque ρ(x, t) = R(ξ), ξ = x/t, e sostituiamo tale posizione nella (4.26). Otteniamo<br />
ovvero<br />
− x<br />
t 2 R′ + 1<br />
t RR′ = 0,<br />
R ′ (R(ξ) − ξ) = 0.<br />
Supponendo che R non sia costante, otteniamo R(ξ) = ξ, ovvero ρ(x, t) = x/t sul dominio<br />
F . Estendendo tale soluzione al resto del semipiano secondo l’evoluzione delle caratteristiche<br />
(questa volta non abbiamo problemi di ambiguità), abbiamo ottenuto la seguente<br />
soluzione<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0 se x ≤ 0<br />
ρ(x, t) = x/t<br />
⎪⎩<br />
1<br />
se 0 ≤ x ≤ t<br />
se x ≥ t.<br />
Osservando l’evoluzione del profilo ρ(·, t), si deduce che la soluzione è continua in ogni<br />
istante t > 0. I due stati ρl = 0 e ρr = 1 sono uniti da un segmento la cui pendenza<br />
diminuisce nel tempo. Una soluzione di questo tipo è detta onda di rarefazione.<br />
Dal punto di vista matematico, un’onda di rarefazione è una soluzione ammissibile in<br />
quanto risolve l’equazione (4.26) in ogni punto del semipiano tranne le rette x = 0 e x = t,<br />
ed in tali rette la funzione è continua, e dunque soddisfa banalmente la condizione (4.31).<br />
D’altra parte, si potrebbe determinare una soluzione debole nell’esempio (4.5.3) mediante<br />
la condizione di salto in modo analogo all’esempio (4.5.2), ottenendo la soluzione<br />
<br />
0 se x ≤ t/2<br />
ρ(x, t) =<br />
1 se x > t/2.<br />
Dunque, si pone un problema di unicità della soluzione debole <strong>per</strong> l’equazione di Burgers.<br />
Tale problema non riguarda solo l’esempio trattato, ma si può presentare anche trattando<br />
esempi diversi. Esso può essere posto in termini di ammissibilità dell’onda di shock. Il<br />
criterio <strong>per</strong> cui una onda di shock è ammissibile o meno ha una giustificazione di tipo fisico,<br />
che chiariremo nella sezione 4.10. Per completezza, provvediamo comunque ad enunciarlo<br />
in questa sezione.<br />
Definizione 4.5.4 Uno shock tra due stati ρl e ρr <strong>per</strong> una legge di conservazione scalare<br />
nonlineare è ammissibile se f ′ (ρl) > f ′ (ρr).
60 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
Il precedente criterio è senz’altro un modo chiaro <strong>per</strong> selezionare uno shock o una<br />
rarefazione. Tuttavia è molto più pratico in certi casi (ad esempio nel caso del traffico, dove<br />
la monotonia di f ′ non è sempre la stessa) utilizzare la seguente regola: scegliere uno shock<br />
quando le caratteristiche sono tutte entranti’ nella curva di shock. Altrimenti scegliere la<br />
rarefazione, dato che in questo caso si crea una zona non raggiunta dalle caratteristiche.<br />
Concludiamo questa sezione con un ultimo esempio, sempre relativo all’equazione di<br />
Burgers, in cui mettiamo in pratica la scelta dell’ammissibilità degli shock secondo la<br />
precedente definizione.<br />
Esempio 4.5.5 (N–wave) Consideriamo il dato iniziale<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0 se x ≤ 0<br />
ρ0(x) = 1<br />
⎪⎩<br />
0<br />
se 0 ≤ x ≤ 1<br />
se x ≥ 1.<br />
(4.35)<br />
Abbiamo, in questo caso, due punti di discontinuità, in x = 0 ed in x = 1. Seguendo il<br />
criterio precedente, abbiamo uno shock solo nel punto x = 1. Esso si propaga lungo la<br />
curva x = 1 + t/2. In x = 0 la discontinuità scompare, e si origina una onda di rarefazione<br />
ρ(x, t) = x/t nel dominio F = {0 ≤ x ≤ t}. Osserviamo <strong>per</strong>ò che all’istante t = 2 la retta<br />
di propagazione dello shock irrompe nella fascia di rarefazione F nel punto (2, 2). Quando<br />
ciò accade, vi è di nuovo una discontinuità tra gli stati ρl = x/t e ρr = 0. Dunque si ha<br />
ancora uno shock, poiché ρl > ρr. La condizione di salto è data in questo caso da<br />
˙x(t) = x<br />
, (4.36)<br />
2t<br />
con x(2) = 2. Integrando l’equazione ordinaria (4.36) mediante separazione delle variabili<br />
otteniamo<br />
x(t) t<br />
dy 1 ds<br />
=<br />
2 y 2 2 s ,<br />
ovvero<br />
x(t) = √ 2t.<br />
La discontinuità tra i due stati x/t e 0 viaggia dunque lungo una parabola con asse parallelo<br />
all’asse t = 0. In particolare, il valore ρl è pari a 2/t. Tale valore è evidentemente il<br />
massimo valore assunto dal profilo ρ(·, t), che dunque assume la forma di un segmento di<br />
pendenza sempre minore, fissato a sinistra sul punto x = 0, con l’estremo detro che assume<br />
un valore che diminuisce nel tempo. In particolare, si ha che<br />
<br />
lim sup |ρ(x, t)|<br />
t→+∞ x∈R<br />
= 0,<br />
ovvero la soluzione decade uniformemente a zero <strong>per</strong> tempi lunghi.
4.6. RAREFAZIONE E SHOCK NEL MODELLO DI WHITHAM 61<br />
Il decadimento <strong>per</strong> tempi lunghi della solutione dell’esempio precedente svela una differenza<br />
sostanziale tra il trasporto lineare ed il trasporto non lineare. Nel modello lineare<br />
(4.11), la soluzione assume tutti e soli i valori assunti dal dato iniziale. Dunque l’estremo su<strong>per</strong>iore<br />
del profilo g(·, t) rimane invariato nel tempo, contrariamente al caso dell’equazione<br />
di Burgers, dove abbiamo visto che è possibile che l’estremo su<strong>per</strong>iore della soluzione decada<br />
a zero nel tempo. Ciò si esprime spesso dicendo che il trasporto nonlineare genera una<br />
dissipazione di energia, ad intendere che il funzionale quadratico<br />
<br />
ρ(x, t) 2 dx<br />
R<br />
decade nel tempo. La dimostrazione di tale affermazione è lasciata <strong>per</strong> esercizio.<br />
Esercizio 4.5.6 Dimostrare che, nel caso dell’esempio 4.5.5 si ha<br />
<br />
lim ρ(x, t)<br />
t→+∞<br />
2 dx → 0.<br />
Suggerimenti: dimostrare prima la disuguaglianza<br />
<br />
ρ 2 <br />
(x, t)dx ≤ sup |ρ(x, t)|<br />
x∈R<br />
R<br />
ρ(x, t)dx,<br />
usando il fatto che la soluzione è nonnegativa. Infine calcolare la massa totale del dato<br />
iniziale ed usare la conservazione della massa totale.<br />
4.6 Rarefazione e shock nel modello di Whitham<br />
Consideriamo il problema di Cauchy <strong>per</strong> il modello di traffico di Whitham<br />
⎧<br />
⎨∂ρ<br />
∂<br />
+ f(ρ) = 0,<br />
∂t ∂x<br />
⎩<br />
ρ(x, 0) = ρ0(x),<br />
(4.37)<br />
dove f(ρ) = ρ(1 − ρ). Abbiamo semplificato il modello ponendo la velocità massima e la<br />
densità massima entrambi uguali ad uno. Ci proponiamo di risolvere il problema (4.37)<br />
con dati iniziali particolari, in parallelo a quanto fatto <strong>per</strong> l’equazione di Burgers.<br />
Esempio 4.6.1 Si consideri il dato iniziale<br />
<br />
ρ0(x) =<br />
1<br />
0<br />
se x ≤ 0<br />
se x > 0.<br />
(4.38)<br />
Studiare un tale esempio corrisponde nel modello di traffico a studiare l’evoluzione di<br />
una fila di veicoli a densità massima che si interrompe ad un certo punto (ad esempio in
62 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
corrispondenza di un semaforo). La fila è supposta, quindi, non avere fine (il che, in certi<br />
contesti, può <strong>per</strong>fino essere realistico). Usando il metodo delle caratteristiche appare chiaro<br />
che si crea una regione che non è raggiunta da caratteristiche, ovvero la regione −t < x < t.<br />
Occorre dunque ‘riempirla’ con un’onda di rarefazione. Imponendo ρ(x, t) = R(ξ), ξ(x/t,<br />
nell’equazione (4.37) si ottiene facilmente<br />
ρ(x, t) = 1 x<br />
−<br />
2 2t .<br />
Si può verificare graficamente che il profilo è costituito da una zona lineare intermedia tra<br />
i valori 0 ed 1, che si propaga in entrambe le direzioni, come è coerente con la situazione<br />
pratica descritta dal modello.<br />
Esempio 4.6.2 Si consideri il dato iniziale<br />
<br />
ρ0(x) =<br />
0<br />
1<br />
se x ≤ 0<br />
se x > 0.<br />
(4.39)<br />
Studiare un tale esempio corrisponde stavolta a studiare l’evoluzione in coda ad una fila di<br />
veicoli a densità massima (ad esempio, una fila che si sta formando in corrispondenza di un<br />
incidente). In questo caso stiamo supponendo che la fila di auto davanti a noi non ha fine.<br />
Usando il metodo delle caratteristiche, in questo caso avviene chiaramente una situazione<br />
da onda di shock, dato che le caratteristiche sono tutte entranti nello shock. Calcolando<br />
la velocità della curva di shock, otteniamo s = 0, ovvero la curva è x(t) ≡ 0, ed il profilo<br />
del dato iniziale è chiaramente invariato nel tempo.<br />
Esempio 4.6.3 (Traffic light problem) Si consideri il dato iniziale<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0 se x ≤ 0<br />
ρ0(x) = 1<br />
⎪⎩<br />
0<br />
se 0 < x ≤ 1<br />
se x > 1.<br />
(4.40)<br />
Il presente esempio corrisponde stavolta a studiare l’evoluzione in coda ad una fila di veicoli<br />
ferma ad un semaforo, combinando stavolta gli effetti delle due discontinuità all’inizio ed<br />
alla fine della fila. Usando il metodo delle caratteristiche, in questo caso avviene chiaramente<br />
una situazione da onda di shock nel punto x = 0, dato che le caratteristiche sono<br />
tutte entranti nello shock. Calcolando la velocità della curva di shock, otteniamo s = 0,<br />
ovvero la curva è x(t) ≡ 0, il che significa che in coda alla fila di veicoli il profilo rimane<br />
invariato, come ci si aspettava. Nel punto x = 1, invece, si ha una tipica situazione da<br />
onda di rarefazione, <strong>per</strong> cui bisogna riempire la zona non raggiunta da caratteristiche con<br />
una funzione del tipo ρ(x, t) = U(ξ), ξ = (x − 1)/t. Svolgendo i dovuti calcoli si ottiene<br />
l’espressione ρ(x, t) = 1 x−1 − . Analogamente ai casi precedenti, abbiamo che la soluzione<br />
2 2t<br />
sarà costante lungo rette costituenti un fascio centrato in (1, 0). Queste rette possono essere<br />
a tutti gli effetti considerate delle rette caratteristiche. Esse si intersecano inevitabilmente
4.7. ONDE SMORZATE 63<br />
con le rette di pendenza 1 provenienti dalla semiretta x0 < 0, a partire dall’istante t = 1.<br />
A questo punto, dunque, occorre risolvere un nuovo problema di shock (come nel caso<br />
delle N–waves), tra gli stati ρl = 0 e ρr = 1 x−1 − , con condizione iniziale s(1) = 0. La<br />
2 2t<br />
condizione di Rankine Hugoniot implica<br />
˙s(t) = 1<br />
2<br />
Svolgendo i dovuti calcoli si ottiene la soluzione<br />
s(t) − 1<br />
+ .<br />
2t<br />
s(t) = t + 1 − 2 √ t.<br />
La curva appena definita parte dal punto (0, 1) con pendenza parallela all’asse t e descrive<br />
una traiettoria contenuta nel quadrante delle x positive, tendendo all’infinito <strong>per</strong> t → +∞.<br />
Si noti che nonostante la derivata prima di s(t) tenda ad uno <strong>per</strong> t → +∞, la curva non<br />
ha asintoti obliqui. In particolare, tale curva interseca tutte le caratteristiche provenienti<br />
da x0 < 0 e tutte le caratteristiche provenienti dall’onda di rarefazione. Disegnando il<br />
profilo della densità di veicoli, si osserva che prima dell’istante t = 1 il profilo è costituito<br />
da una parte stazionaria in coda alla fila e da una parte in movimento provocata dall’onda<br />
di rarefazione, che disegna un profilo obliquo lineare che raggiunge la coda dei veicoli al<br />
tempo t = 1, azzerando l’intervallo dei veicoli fermi. Dopo l’istante t = 1 i veicoli in coda<br />
iniziano a muoversi, ed il profilo è costituito solo dalla parte obliqua lineare. Analogamente<br />
a quanto avviene <strong>per</strong> la N–wave, la densità massima di veicoli decade nel tempo.<br />
4.7 Onde smorzate<br />
In alcuni casi, la presenza di un termine ‘non omogeneo’ al secondo membro di una legge<br />
di conservazione può modificare profondamente la struttura del modello. Consideriamo il<br />
caso dell’equazione di Burgers con un termine di assorbimento del tipo<br />
ut + uux = −au, u(x, 0) = u0(x), a > 0. (4.41)<br />
La presenza del termine di assorbimento −au può essere originata da una dissipazione di<br />
una sostanza o di un materiale, o da fenomeni di attrito o di frizione. Un tipico esempio<br />
riguarda il moto di un fluido in presenza di un mezzo poroso, di cui ci occu<strong>per</strong>emo più<br />
avanti. Tentiamo di risolvere (4.41) mediante caratteristiche. L’equazione delle curve<br />
caratteristiche è sempre la stessa,<br />
˙x(x0, t) = u(x(x0, t), t), x(x0, 0) = x0.<br />
La soluzione lungo le curve caratteristiche soddisfa<br />
d<br />
dt u(x(x0, t), t) = −au(x(x0, t), t), u(x(x0, 0), 0) = u0(x0),
64 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
<strong>per</strong> cui si ha<br />
u(x(x0, t), t) = e −at u0(x0).<br />
Dunque, le curve caratteristiche sono date esplicitamente dalle equazioni<br />
x(x0, t) = x0 +<br />
1 − e−at<br />
u0(x0). (4.42)<br />
a<br />
Da (4.27) appare chiaro che le caratteristiche tendono a ‘raddrizzarsi’ <strong>per</strong> tempi lunghi,<br />
ovvero, la caratteristica x = x(x0, t) ammette come asintoto <strong>per</strong> t → +∞ la retta verticale<br />
x ≡ x0 + u0(x0)<br />
a . Come nel caso omogeneo, la risolubilità in senso classico dell’equazione<br />
risiede nella possibilità di esplicitare x0 nella relazione (4.27). Dal teorema A.3.2 segue che<br />
ciò è possibile se vale la condizione<br />
0 = 1 +<br />
1 − e−at<br />
u<br />
a<br />
′ 0(x0). (4.43)<br />
Ancora una volta, (4.43) è soddisfatta <strong>per</strong> t = 0. Una condizione sufficiente <strong>per</strong> cui (4.43)<br />
sia soddisfatta <strong>per</strong> tutti i tempi t > 0 è<br />
u ′ 0(x0) > −a. (4.44)<br />
Ricordando che nel caso omogeneo l’invertibilità delle caratteristiche <strong>per</strong> ogni tempo (insieme<br />
con la conseguente esistenza globale della soluzione) era garantita <strong>per</strong> u ′ 0 > 0, osserviamo<br />
che in presenza del termine di assorbimento l’esistenza globale sussiste anche nel<br />
caso di dati iniziali decrescenti, purchè la loro derivata prima non violi la condizione di<br />
soglia (4.44). Tale fenomeno è un esempio di come la presenza di termini di attrito possa<br />
(non sempre) prevenire la formazione di shock.<br />
4.8 Modello di inquinante in un fiume (drift-diffusion)<br />
In questa sezione e nella prossima ci occu<strong>per</strong>emo dell’interazione tra i fenomeni tipici<br />
del trasporto (lineare e non lineare) con gli effetti della diffusione. Iniziamo esaminando<br />
un semplice modello di trasporto e diffusione di una sostanza inquinante lungo un corso<br />
d’acqua con corrente che si muova con velocità v lungo la direzione positiva dell’asse<br />
x. Implicitamente stiamo trascurando la profondità (pensando che l’inquinante galleggi)<br />
e la dimensione trasversale del corso d’acqua (pensando ad un canale molto stretto).<br />
Indichiamo con c = c(x, t) la concentrazione della sostanza, nel senso che la quantità<br />
c(x, t)dx rappresenta la massa presente al tempo t nell’intervallo [x, x + dx] (di lunghezza<br />
infinitesima). Coerentemente,<br />
x+∆x<br />
x<br />
c(y, t)dy<br />
rappresenta la massa di inquinante presente al tempo t nell’intervallo [x, x + ∆x]. In<br />
modo analogo al modello di traffico studiato in precedenza, possiamo definire il flusso di
4.8. MODELLO DI INQUINANTE IN UN FIUME (DRIFT-DIFFUSION) 65<br />
concentrazione nell’unità di tempo q(x, t) e scrivere la legge di bilancio <strong>per</strong> c ricavando<br />
l’equazione di continuità<br />
ct + qx = 0.<br />
Dato che la velocità dell’inquinante è costante e pari a v, da considerazioni analoghe al<br />
caso del traffico e trascurando qualsiasi altro effetto abbiamo<br />
q(x, t) = vc(x, t),<br />
che porta alla seguente equazione di trasporto lineare <strong>per</strong> c,<br />
ct + vcx = 0.<br />
Introduciamo a questo punto un cosiddetto ‘effetto di ordine su<strong>per</strong>iore’, ovvero teniamo<br />
in considerazione fenomeni diffusivi (o di viscosità). Più precisamente, l’osservazione ci<br />
suggerisce che la sostanza inquinante si espanda in zone da alta a bassa concentrazione, il<br />
che può essere formalizzato (in forma semplice) nella seguente legge di Fick<br />
q(x, t) = −Dcx(x, t), 8 (4.45)<br />
dove D > 0 dipende dalla sostanza (ovviamente la formula precedente è vera quando v = 0).<br />
Un fenomeno governato dalla (4.45) è diffusivo, in quanto la legge di Fick è identica alla<br />
legge di Fourier <strong>per</strong> la propagazione del calore. Se, dunque, teniamo in considerazione sia<br />
il trasporto lineare che la diffusione, avremo la seguente formula <strong>per</strong> il flusso<br />
q(x, t) = vc(x, t) − Dcx(x, t),<br />
che implica che c soddisfa la seguente equazione di deriva–diffusione (drift–diffusion)<br />
ct = Dcxx − vcx. (4.46)<br />
Per risolvere tale equazione sotto la condizione iniziale c(x, 0) = C(x), ricorriamo al<br />
seguente trucco <strong>per</strong> eliminare il termine di trasporto. Poniamo<br />
w(x, t) = c(x, t)e hx+kt<br />
con h e k da determinarsi in modo opportuno. Si ha (svolgendo tutti i calcoli)<br />
Quindi, se scegliamo<br />
wt − Dwxx = e hx+kt [ct − Dcxx − 2Dhcx + (k − Dh 2 )c]<br />
= e hx+kt [(−v − 2Dh)cx + (k − Dh 2 )c].<br />
h = − v<br />
v2<br />
, k =<br />
2D 4D<br />
8 Si noti come la (4.45) è formalmente identica alla legge di Fourier (2.3) che abbiamo trattato nel<br />
capitolo 2
66 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
la funzione w è soluzione dell’equazione del calore<br />
con la condizione iniziale<br />
wt − D∆w = 0,<br />
vx<br />
−<br />
w(x, 0) = C(x)e 2D .<br />
Ricordando quanto detto nel paragrafo 2.1.6, w è data da<br />
vx<br />
−<br />
w(x, t) = G(x, t) ∗ C(x)e 2D ,<br />
dove G è la soluzione fondamentale dell’equazione del calore; la concentrazione c è data<br />
quindi dalla convoluzione<br />
c(x, t) = e v<br />
2D(x− v<br />
2 t)<br />
+∞<br />
−∞<br />
vy<br />
−<br />
G(x − y, t)C(y)e 2D dy.<br />
Nella formula precedente, l’effetto provocato dal trasporto è dato dalla presenza della<br />
variabile x − v<br />
2t (che indica un ‘fronte’ che avanza con velocità v/2), mentre l’effetto della<br />
diffusione si esprime con la presenza del termine di convoluzione, che provoca una velocità<br />
infinita di propagazione, cosa che non avveniva nel caso di trasporto semplice.<br />
Concludiamo questa sezione modificando il modello in esame mediante l’aggiunta di un<br />
termine di reazione o di assorbimento. Dal punto di vista fisico stiamo supponendo che la<br />
quantità totale della sostanza in oggetto (l’inquinante) non si conservi nel tempo, ma sia<br />
soggetta ad estinguersi, ad esempio <strong>per</strong> decomposizione batteriologica. Quando ciò accade,<br />
nella legge di bilancio dobbiamo inserire anche un termine di ordine zero, che supporremo<br />
lineare <strong>per</strong> semplicità. Otteniamo dunque l’equazione<br />
ct + vcx = Dcxx − γc,<br />
con γ > 0 costante. In questo semplice caso, l’equazione precedente (detta equazione di<br />
trasporto–diffusione–assorbimento) si può ricondurre a quella senza termine di reazione<br />
mediante la trasformazione<br />
u(x, t) := e γt c(x, t).<br />
La nuova variabile u infatti soddisfa l’equazione<br />
che può essere risolta come sopra.<br />
ut + vux = Duxx,<br />
4.9 L’equazione di Burgers viscosa<br />
In questa sezione facciamo un ulteriore passo in avanti nello studio dei problemi di convezione–diffusione:<br />
combiniamo la diffusione lineare con un termine di trasporto nonlineare.
4.9. L’EQUAZIONE DI BURGERS VISCOSA 67<br />
Torniamo al modello di traffico introdotto nel paragrafo 4.1. Nel paragrafo 4.3 abbiamo<br />
ricavato una legge costitutiva <strong>per</strong> la velocità dei veicoli<br />
<br />
V (g) = vmax 1 − g<br />
<br />
.<br />
Tale espressione tiene conto solo del fatto che la velocità di un veicolo è influenzata dalla<br />
presenza o meno di altri veicoli nei dintorni. In questo paragrafo introduciamo un effetto di<br />
ordine su<strong>per</strong>iore che esprima (in modo semplificato) la consapevolezza da parte del guidatore<br />
delle condizioni del traffico dei veicoli che lo precedono. Ovviamente, il guidatore tende<br />
a rallentare se si accorge che la densità dei veicoli che lo precedono sta aumentando, mentre<br />
esso tende ad accelleare se la densità dei veicoli che lo precedono sta diminuendo. Anche<br />
in questo caso, dunque, come nel paragrafo precedente, introduciamo una dipendenza del<br />
flusso di veicoli f dalla derivata spaziale di ρ, ovvero<br />
<br />
f(g) = gvmax 1 − g<br />
<br />
− νgx,<br />
gmax<br />
gmax<br />
ove ν > 0 è una costante. L’equazione di Whitham–Lighthill (4.15) diventa<br />
gt + f(g)x = νgxx. (4.47)<br />
Come osservato nel paragrafo 4.3, l’equazione precedente può essere un interessante oggetto<br />
di studio con condizioni piuttosto generali riguardo alla funzione f. La differenza<br />
sostanziale tra l’equazione (4.47) e l’equazione di deriva diffusione (4.46) è che il termine<br />
di trasporto f(g) è in questo caso nonlineare. Per semplificare la trattazione, esamineremo<br />
anche qui il caso in cui f(g) = g 2 /2. Cambiando nome alla variabile dipendente,<br />
concentriamo dunque la nostra attenzione sulla seguente equazione di Burgers viscosa<br />
ρt + ρρx = νρxx. (4.48)<br />
L’equazione (4.48) riveste un’importanza notevole in fisica matematica, in quanto è il<br />
modello più semplice in cui interagiscono fenomeni di diffusione lineare e di convezione<br />
nonlineare.<br />
Studieremo il problema si Cauchy <strong>per</strong> tale equazione, accoppiandola quindi con un dato<br />
inziale ρ(x, 0) = ρ0(x). Per risolvere l’equazione (4.48) usiamo un procedimento sviluppato<br />
indipendentemente da Cole (1951) e Hopf(1950). Iniziamo ponendo<br />
ψ(x) =<br />
x<br />
ρ(y)dy,<br />
−∞<br />
9<br />
il che implica la seguente equazione <strong>per</strong> ψ ottenuta integrando la (4.48) nel tempo in<br />
(−∞, t) e supponendo (ragionevolmente) che ρ tenda a zero <strong>per</strong> x → −∞,<br />
ψt + 1<br />
2 ψ2 x = νψxx. (4.49)<br />
9 Stiamo ovviamente sottintendendo che ρ abbia integrale finito sulla retta reale.
68 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
L’equazione (4.49) è detta equazione di Hamilton–Jacobi viscosa. Poniamo quindi<br />
Abbiamo<br />
ψ = −2ν log φ.<br />
ψt = −2ν φt<br />
φ<br />
ψx = −2ν φx<br />
φ<br />
ψxx = −2ν φxx<br />
φ + 2ν φ2x φ<br />
Sostituendo tali espressioni nell’equazione (4.49) otteniamo<br />
ovvero φ soddisfa l’equazione del calore<br />
con dato iniziale<br />
0 = ψt + 1<br />
2 ψ2 x − νψxx = − 2ν<br />
φ (φt − νφxx) ,<br />
φt = νφxx<br />
2 .<br />
1 x<br />
−<br />
φ(x, 0) = φ0(x) = e 2ν 0 ρ0(y)dy<br />
.<br />
Usando il procedimento esposto nella sezione 2.1.6, abbiamo la seguente formula <strong>per</strong> φ<br />
φ(x, t) =<br />
1<br />
√ 4πνt<br />
+∞<br />
−∞<br />
Usando le definizioni di ψ e φ otteniamo la relazione<br />
Dunque, la soluzione nella variabile ρ è data da<br />
ρ(x, t) =<br />
(x−y)2<br />
−<br />
φ0(y)e 4νt dy.<br />
ρ = −2ν φx<br />
. (4.50)<br />
φ<br />
+∞<br />
G(y, x, t) =<br />
−∞<br />
+∞<br />
−∞<br />
y<br />
0<br />
x − y<br />
e<br />
t<br />
−G(y,x,t)/2ν dy<br />
e −G(y,x,t)/2ν ,<br />
dy<br />
ρ0(z)dz +<br />
(x − y)2<br />
.<br />
2t<br />
Chiudiamo questo paragrafo osservando che il termine di diffusione aggiunto all’equazione<br />
non dà alcun contributo alla massa totale della soluzione (vedi il calcolo al termine<br />
della sezione 2.1.2).
4.10. VISCOSITÀ EVANESCENTE 69<br />
4.10 Viscosità evanescente<br />
In questa sezione consideriamo due particolari soluzioni della (4.48), o più in generale della<br />
legge di conservazione viscosa<br />
ut + f(u)x = νuxx<br />
<strong>per</strong> un dato valore di ν > 0 ed esamineremo il comportamento di tale soluzione al tendere<br />
di ν a zero. Un tale procedimento è detto limite di viscosità evanescente <strong>per</strong> una legge di<br />
conservazione viscosa.<br />
4.10.1 Onde viaggianti<br />
Si dice onda viaggiante una funzione dipendente da x e t nel modo seguente<br />
u(x, t) = U(x − σt), σ ∈ R. (4.51)<br />
Abbiamo già incontrato funzioni del genere come soluzioni dell’equazione di trasporto<br />
lineare ut + σux = 0. Ora ci poniamo il problema di vedere se esistono soluzioni del<br />
genere anche in un contesto nonlineare quale quello della legge di conservazione viscosa<br />
ut + f(u)x = νuxx. (4.52)<br />
Supponendo di avere una soluzione del tipo (4.51) della (4.52), chiamando ξ = x − σt<br />
otteniamo l’equazione differenziale <strong>per</strong> U = U(ξ)<br />
−σU ′ + f(U) ′ = νU ′′ . (4.53)<br />
Ora supponiamo che la soluzione u(x, t) abbia degli stati limite fissati all’infinito, ovvero<br />
u(−∞, t) = U − , u(+∞, t) = U + .<br />
Stiamo dunque pensando ad una soluzione che congiunge i due stati U − e U + ed abbia un<br />
profilo che viaggia nel tempo a velocità σ. Nel caso dei modelli di traffico questo può significare<br />
che abbiamo due densità di veicoli fissate molto distanti dal punto di osservazione.<br />
Oppure, nel caso del modello di cromatografia precedente questa situazione può rappresentare<br />
il caso in cui si voglia congiungere due zone di fluido a grande distanza tra loro con<br />
due concentrazioni diverse di sostanza disciolta. Vedremo che la velocità di propagazione<br />
σ dipende dai due stati che stiamo considerando e dalla funzione f. Questo risultato rappresenta<br />
l’applicazione più diretta ai problemi di cromatografia, in quanto la nonlinearità<br />
f, che dipende dalla sostanza disciolta, determina la velocità di propagazione dell’onda, e<br />
quindi <strong>per</strong>mette di ‘riconoscere’ la sostanza stessa.<br />
Integrando l’equazione (4.53) tra −∞ e ξ otteniamo<br />
−σ(U − U − ) + f(U) − f(U − ) = νU ′ . (4.54)<br />
Chiaramente U ≡ U − è una soluzione stazionaria della (4.54). Dato che ci aspettiamo<br />
che U abbia l’asintoto orizzontale U ≡ U + a +∞, il che implica che U ′ tenda a zero
70 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
<strong>per</strong> ξ → +∞, bisogna imporre che anche U + sia soluzione stazionaria della (4.54). Ciò<br />
comporta una condizione su σ, ovvero<br />
σ = f(U + ) − f(U − )<br />
U + − U − ,<br />
che è identica alla condizione di Rankine–Hugoniot (4.31) vista in precedenza <strong>per</strong> la legge<br />
di conservazione scalare. Una volta fissata σ, non solo U + è anch’essa una soluzione<br />
stazionaria, ma è possibile provare l’esistenza del profilo cercato U, e quindi dell’onda<br />
viaggiante. Per farlo, riscriviamo la (4.54) come<br />
U ′ = 1<br />
ν (U − U − − f(U) − f(U )<br />
)<br />
U − U − − f(U + ) − f(U − )<br />
U + − U −<br />
<br />
. (4.55)<br />
Per semplificare la trattazione, supponiamo ora che f sia di classe C 1 e convessa (una<br />
trattazione simile si può effettuare nel caso in cui f sia concava). Non avendo ancora<br />
imposto alcuna condizione su U − ed U + , supponiamo dapprima che sia U − < U + . È<br />
allora evidente che U(ξ) − U − > 0, dato che la soluzione non può mai attraversare gli stati<br />
stazionari <strong>per</strong> ragioni di unicità. Inoltre, i rapporti incrementali f(U)−f(U − )<br />
sono crescenti<br />
U−U −<br />
al crescere di U <strong>per</strong> via della convessità, ragion <strong>per</strong> cui tutto il secondo membro della (4.55)<br />
è negativo. Ma ciò contraddice il fatto che U sia crescente (dato che U(−∞) < U(+∞)).<br />
Per cui nessun profilo esiste nel caso U − < U + . Supponiamo invece ora che U − > U + .<br />
Si verifica facilmente che anche in questo caso il secondo membro della (4.55) è negativo,<br />
quindi non vi è nessun ostacolo all’esistenza del profilo U.<br />
Calcoliamo ora esplicitamente la soluzione nel caso particolare f(u) = u2 /2. Essendo<br />
f convessa, occorre scegliere U + < U − . Per semplificare i calcoli, scegliamo U + = 0 e<br />
U − = 1, il che implica σ = 1/2. La (4.55) diventa<br />
U ′ = 1<br />
(U − 1)U (4.56)<br />
2ν<br />
Separando le variabili nell’equazione differenziale precedente, imponendo la condizione<br />
U(0) = U 0 ∈ (0, 1), si ottiene la soluzione<br />
da cui segue l’onda viaggiante<br />
U(ξ) =<br />
u(x, t) =<br />
U 0<br />
U 0 + (1 − U 0 )e ξ<br />
2ν<br />
U 0<br />
U 0 + (1 − U 0 )e 2x−t<br />
4ν<br />
,<br />
(4.57)<br />
Analizziamo ora il comportamento della u al tendere di ν a zero. Si vede subito che nel<br />
caso in cui 2x > t il termine esponenziale tende a +∞, e dunque tutta la frazione tende
4.10. VISCOSITÀ EVANESCENTE 71<br />
a zero. D’altra parte, se supponiamo 2x < t, si vede come il termine esponenziale tenda a<br />
zero, mandando la frazione ad uno al limite. Riassumendo,<br />
<br />
1 if 2x < t<br />
lim u(x, t) =<br />
ν↘0 0 if 2x > t .<br />
Abbiamo dunque ottenuto la soluzione di tipo onda di shock trattata nel esempio 4.5.2,<br />
che risolve in senso debole l’equazione di Burgers ut + uux = 0. Come spiegheremo nel<br />
prossimo paragrafo, ciò costituisce una giustificazione della nozione di ammissibilità degli<br />
shock data nella sezione 4.5.<br />
4.10.2 N-Waves viscose<br />
In questa sezione consideriamo una particolare soluzione non negativa ed integrabile della<br />
(4.48) <strong>per</strong> un dato valore di ν > 0 ed esamineremo il comportamento di tale soluzione al<br />
tendere di ν a zero. Costruiremo la nostra soluzione particolare usando la trasformazione<br />
(4.50). Consideriamo la funzione<br />
φ(x, t) = 1 − C<br />
√ 4νπt<br />
x<br />
−∞<br />
y2<br />
−<br />
e 4νt dy,<br />
con C > 0 costante da determinare. Dato che φ è data da una costante sommata ad una<br />
primitiva della soluzione fondamentale dell’equazione del calore, è chiaro che φ soddisfa la<br />
stessa equazione φt = νφxx. Dunque, possiamo inserire φ nella formula (4.50) ed ottenere<br />
una soluzione dell’equazione di Burgers viscosa. Per prima cosa fissiamo la massa totale<br />
di ρ<br />
+∞<br />
−∞<br />
ρ(x, t) = M.<br />
Integrando la trasformazione (4.50) su tutto R otteniamo la seguente espressione <strong>per</strong> C<br />
M<br />
−<br />
C = 1 − e 2ν .<br />
La dimostrazione della formula precedente è lasciata <strong>per</strong> esercizio. Abbiamo così ottenuto<br />
la seguente formula <strong>per</strong> ρ,<br />
ρ(x, t) =<br />
Cambiando variabile dentro l’integrale abbiamo<br />
ρ(x, t) =<br />
√<br />
νC x2<br />
√ − e 4νt<br />
tπ<br />
1 − C<br />
.<br />
x y2<br />
√ dy<br />
e− 4νt<br />
4νπt −∞<br />
√<br />
νC x2<br />
√ − e 4νt<br />
tπ<br />
1 − C √<br />
x/ 4νt<br />
√ e π −∞<br />
−y2dy .
72 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE<br />
Ponendo<br />
z = x<br />
2 √ 1<br />
, R =<br />
t ν<br />
e moltiplicando numeratore e denominatore <strong>per</strong> e MR/2 , otteniamo<br />
ρ =<br />
√ tR<br />
(eMR/2 − 1)e−Rz2 √πe √<br />
MR/2 + (1 − eMR/2 z R<br />
) −∞ e−y2dy Usando le proprietà di additività dell’integrale, ed usando il fatto che l’integrale della<br />
funzione e −y2<br />
su tutto R è uguale a √ π, otteniamo<br />
ρ =<br />
√ tR<br />
(e MR/2 − 1)e −Rz2<br />
√π <br />
+ (eMR/2 +∞<br />
− 1) z √ R e−y2 .<br />
dy<br />
Dell’espressione precedente vogliamo prendere il limite <strong>per</strong> R → +∞ (ricordiamo che a<br />
noi interessa sa<strong>per</strong>e cosa succede quando ν → 0 + ). In virtù di ciò, possiamo semplificare<br />
l’espressione precedente e calcolare il limite<br />
lim<br />
R→+∞<br />
M<br />
e<br />
R( 2 −z2 )<br />
√ √π tR + eMR/2 +∞<br />
z √ R e−y2 .<br />
dy<br />
Consideriamo anzitutto il caso z < 0. Sotto questa condizione, l’integrale a denominatore<br />
tende a √ π, cosicché l’intera frazione è maggiorata definitivamente da<br />
e MR/2<br />
3 √ =<br />
tRπ eMR/2 2<br />
2<br />
3 √ tRπ<br />
→ 0.<br />
Abbiamo dunque mostrato che il limite in questione è nullo sotto la condizione z < 0, che<br />
è equivalente ad x < 0. Prima di analizzare il caso z > 0 risolviamo il seguente esercizio.<br />
Esercizio 4.10.1 Dimostrare il seguente limite<br />
lim<br />
η→+∞<br />
2η +∞<br />
e η<br />
−y2dy<br />
e−η2 In virtù del risultato nell’esercizio precedente, possiamo affermare che nel caso in cui<br />
z > 0 il limite in questione è equivalente al seguente<br />
lim<br />
R→+∞<br />
= 1.<br />
M<br />
e<br />
R( 2 −z2 )<br />
<br />
√ √π e tR + R( M 2 −z2 .<br />
)<br />
2z √ R<br />
.
4.10. VISCOSITÀ EVANESCENTE 73<br />
<br />
M<br />
Nel caso in cui z > , il numeratore tende a zero mentre il denominatore tende a +∞.<br />
2<br />
Di conseguenza, sotto la condizione<br />
x > √ 2Mt<br />
il limite è ancora nullo. Il caso più interessante è quello in cui 0 < z <<br />
0 < x < √ 2Mt.<br />
<br />
M , ovvero<br />
2<br />
In questo caso il termine esponenziale diverge, e diventa predominante a denominatore. Il<br />
risultato del limite è dunque<br />
2z<br />
√ =<br />
t x<br />
t .<br />
La funzione ottenuta al limite <strong>per</strong> ν → 0 è dunque<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0 se x ≤ 0<br />
x<br />
ρ(x, t) = se 0 < x <<br />
⎪⎩<br />
t<br />
√ 2Mt .<br />
0 se x ≥ 0<br />
La funzione appena scritta è uguale a quella determinata nell’esempio 4.5.5, ovvero la<br />
soluzione di tipo N–wave dell’equazione di Burgers non viscosa. Commentiamo dunque<br />
il risultato appena ottenuto. Da un lato, esso non ci sorprende più di tanto: abbiamo<br />
mandato la viscosità a zero, ed è quindi naturale aspettarsi al limite una soluzione della<br />
stessa equazione con viscosità nulla. Da un altro punto di vista, <strong>per</strong>ò, questo risultato<br />
riveste una importanza non indifferente. Ricordiamo che nell’esempio 4.5.3 avevamo un<br />
problema di unicità della soluzione. Abbiamo infatti determinato due soluzioni deboli<br />
dell’equazione di Burgers a partire dallo stesso dato iniziale. Abbiamo poi stabilito che la<br />
soluzione ‘giusta’ era quella data da un’onda di rarefazione, dato che lo shock in questo<br />
caso non era ammissibile in quanto lo stato di sinistra era minore dello stato di destra.<br />
Ebbene, la soluzione limite che abbiamo qui ottenuto è costituita da un’onda di rarefazione<br />
che interagisce con un’onda di shock, secondo i canoni stabiliti dal criterio di selezione delle<br />
onde di shock precedentemente definito. Per gli scopi di questo corso, ciò costituisce una<br />
motivazione sufficiente <strong>per</strong> selezionare l’onda di rarefazione nell’esempio 4.5.3 sopracitato.<br />
Il motivo <strong>per</strong> cui stiamo dando alla soluzione limite appena ottenuta una certa importanza<br />
è il seguente: una soluzione ottenuta come limite di viscosità evanescente è fisicamente<br />
sensata, in quanto è realistico supporre che la viscosità, <strong>per</strong> quanto piccola, non sia mai<br />
nulla. Un’ultimo commento riguarda il profilo della soluzione. Nel caso viscoso, ρ(·, t) è<br />
una funzione di classe C ∞ , la cui forma approssima sempre di più quella della N–wave. Nel<br />
caso ν = 0 otteniamo una funzione discontinua nel punto x = √ 2Mt, in cui vi è uno shock.<br />
Questo è coerente con l’idea intuitiva che la diffusione ‘regolarizza’ l’evoluzione del modello.<br />
Nel caso del traffico, infatti, le nuove ipotesi fatte sul flusso dei veicoli suggeriscono l’idea<br />
che la densità sia distribuita in modo più regolare, senza variazioni brusche.
74 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
Capitolo 5<br />
Fenomeni vibratori: l’equazione delle<br />
onde<br />
5.1 Onde trasversali in una corda: derivazione del<br />
modello<br />
Vogliamo ricavare un modello <strong>per</strong> le piccole vibrazioni trasversali di una corda, come può<br />
essere quella di un violino. Assumiamo le seguenti ipotesi.<br />
1. Le vibrazioni della corda sono piccole. Ciò significa che abbiamo piccoli cambiamenti<br />
nella forma della corda rispetto all’orizzontale.<br />
2. Lo spostamento di un punto della corda è considerato verticale. Vibrazioni orizzontali<br />
sono trascurate, coerentemente con 1.<br />
3. Lo spostamento verticale di un punto dipende dal tempo e dalla sua posizione sulla<br />
corda. Se si indica con u lo spostamento verticale di un punto che si trova in posizione<br />
x quando la corda è a riposo, abbiamo dunque u = u(x, t).<br />
4. La corda è <strong>per</strong>fettamente flessibile. Essa non offre cioè nessuna resistenza alla flessione.<br />
In particolare, lo sforzo può essere modellato con una forza diretta tangenzialmente<br />
alla corda, di intensità T , detta tensione.<br />
5. Trascuriamo gli attriti.<br />
L’equazione può essere dedotta dalla legge di conservazione della massa e da quella del<br />
bilancio del momento lineare che, date le ipotesi semplificatrici fatte, ricaviamo con un<br />
ragionamento diretto. Sia ρ0 = ρ0(x) la densità lineare di massa della corda in posizione di<br />
equilibrio e ρ = ρ(x, t) la densità al tempo t. Consideriamo il tratto di corda corrispondente<br />
ad un arbitrario intervallo [x, x + ∆x] e indichiamone con<br />
ds = 1 + u 2 x(x, t) dx<br />
75
76 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE<br />
l’elemento di lunghezza. Allora la conservazione della massa implica che<br />
<br />
x+∆x<br />
x<br />
ρ0(x) dx =<br />
e dall’arbitrarietà dell’intervallo si deduce<br />
<br />
x+∆x<br />
x<br />
ρ(x, t) 1 + u 2 x(x, t) dx<br />
ρ0 = ρ 1 + u 2 x<br />
(5.1)<br />
L’equazione del bilancio del momento si ricava uguagliando la forza totale agente sul generico<br />
tratto considerato al tasso di variazione del momento lineare. Poiché il moto è verticale,<br />
le componenti orizzontali delle forze devono bilanciarsi. Se T (x) indica la tensione in x,<br />
deve essere<br />
T (x + ∆x) cos α(x + ∆x) − T (x) cos α(x) = 0<br />
Dividendo <strong>per</strong> ∆x e passando al limite <strong>per</strong> ∆x → 0, si ha<br />
da cui<br />
∂<br />
[T (x) cos α(x)] = 0<br />
∂x<br />
T (x) cos α(x) = τ (5.2)<br />
dove τ non dipende da x (potrebbe dipendere da t) ed è positiva, essendo l’intensità della<br />
componente orizzontale della tensione. Calcoliamo le componenti verticali delle forze agenti<br />
sul tratto in esame. Per la tensione si ha, usando la (5.2):<br />
T (x + ∆x) sin α(x + ∆x) − T (x) sin α(x) =<br />
<br />
sin α(x + ∆x) sin α(x<br />
τ<br />
− = τ(tan α(x + ∆x) − tan α(x)) =<br />
cos α(x + ∆x) cos α(x)<br />
τ[ux(x + ∆x, t) − ux(x, t)].<br />
Possiamo poi considerare il peso ed eventuali carichi esterni. Usando la (5.1) il peso è dato<br />
da:<br />
x+∆x <br />
x+∆x <br />
− ρg ds = ρg 1 + u2 x+∆x <br />
x dx = − ρ0g dx<br />
x<br />
x<br />
La componente dovuta ad un carico esterno <strong>per</strong> unità di massa, la cui risultante si può<br />
descrivere mediante una funzione F = F (x, t), data da:<br />
<br />
x+∆x<br />
x<br />
ρF ds =<br />
<br />
x+∆x<br />
x<br />
ρ0F dx<br />
x
5.2. L’EQUAZIONE DELLE ONDE IN ELETTROMAGNETISMO 77<br />
Il momento lineare (impulso) del tratto di corda è:<br />
x+∆x <br />
x<br />
ρut ds =<br />
<strong>per</strong> cui il tasso di variazione è:<br />
d<br />
dt<br />
x+∆x <br />
x<br />
x+∆x <br />
x<br />
<br />
ρut 1 + u2 x dx =<br />
ρ0ut dx =<br />
x+∆x <br />
x<br />
x+∆x <br />
x<br />
ρ0utt dx<br />
ρ0ut dx<br />
Si può ora scrivere la legge di bilancio del momento lineare, coerentemente con la legge di<br />
Newton della meccanica:<br />
x+∆x <br />
x<br />
ρ0utt dx = τ[ux(x + ∆x) − ux(x)] +<br />
<br />
x+∆x<br />
Dividendo <strong>per</strong> ∆x e passando al limite <strong>per</strong> ∆x → 0, si ha infine:<br />
dove c 2 = τ<br />
ρ0<br />
x<br />
ρ0(F − g) dx<br />
utt − c 2 uxx = f (5.3)<br />
e f = F − g. La (5.3) è detta equazione delle onde monodimensionale.<br />
5.2 L’equazione delle onde in elettromagnetismo<br />
L’equazione delle onde si può ricavare anche nel contesto della propagazione delle onde<br />
elettromagnetiche 1 . Consideriamo un mezzo dielettrico illimitato, isotropo ed omogeneo.<br />
In assenza di cariche localizzate, e nel caso in cui il dielettrico è isolante (il che implica<br />
assenza di correnti macroscopiche), le equazioni di Maxwell <strong>per</strong> il campo elettromagnetico<br />
divengono<br />
(I) ∇ · −→ E = 0 (II) ∇ · −→ B = 0<br />
(III) ∇ × −→ E = − ∂−→ B<br />
∂t<br />
(IV) ∇ × −→ B = −εµ ∂−→ E<br />
∂t ,<br />
dove ε e µ sono rispettivamente la costante dielettrica e la <strong>per</strong>meabilità magnetica del<br />
mezzo. Applicando il rotore alla terza equazione, ed utilizzando l’identità<br />
si ottiene<br />
∇ × ∇ −→ E = −∆ −→ E + ∇(∇ · −→ E )<br />
−∆ −→ E = −∇ × ∂−→ B<br />
∂t<br />
= − ∂<br />
∂t (∇ × −→ B ),<br />
1 Si veda ad esempio il libro di Mencuccini e Silvestrini Fisica II, Capitolo 9.
78 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE<br />
ed usando la quarta equazione sopra otteniamo<br />
∆ −→ E = εµ ∂2−→ E<br />
.<br />
∂t2 Analogamente si prova che B soddisfa la stessa equazione<br />
∆ −→ B = εµ ∂2−→ B<br />
.<br />
∂t2 5.3 Conservazione dell’energia<br />
Supponiamo che la corda occupi a riposo il segmento [0, L] dell’asse x. Poiché ut(x, t) è la<br />
velocità di vibrazione verticale della particella di corda localizzata in x, l’espressione<br />
Ecin(t) = 1<br />
2<br />
L<br />
0<br />
ρ0u 2 t dx<br />
rappresenta l’ energia cinetica totale. La corda immagazzina anche energia potenziale<br />
dovuta al lavoro delle forze elastiche. Poiché stiamo trattando piccole vibrazioni, abbiamo<br />
visto che la tensione τ non dipende da x. In un elemento di corda con lunghezza a riposo<br />
∆x, questa forza provoca un allungamento pari a<br />
<br />
x+∆x<br />
x<br />
1 + u 2 x dx =<br />
<br />
x+∆x<br />
x<br />
( 1 + u 2 x − 1) dx ≈ 1<br />
2 u2 x∆x,<br />
ove l’ultima relazione sta ad indicare l’equivalenza tra i due infinitesimi (ux è piccolo<br />
<strong>per</strong> ∆x piccolo). Essa si ricava facilmente usando lo sviluppo di Taylor centrato in zero<br />
dell’integranda. Pertanto, il lavoro compiuto dalle forze elastiche su questo elemento di<br />
corda è<br />
dW = 1<br />
2 τu2 xdx<br />
Sommando i contributi di tutti gli elementi di corda si ottiene <strong>per</strong> l’energia potenziale<br />
totale l’espressione<br />
Epot(t) = 1<br />
2<br />
In conclusione, l’energia totale della corda è<br />
E(t) = 1<br />
2<br />
L<br />
0<br />
L<br />
0<br />
τu 2 x dx<br />
[ρ0u 2 t + τu 2 x] dx
5.4. UNICITÀ DELLA SOLUZIONE 79<br />
Calcoliamo la variazione di energia. Si ha, derivando sotto il segno di integrale (ricordando<br />
che ρ0 = ρ0(x)),<br />
E ′ (t) =<br />
L<br />
Integrando <strong>per</strong> parti il secondo termine si trova:<br />
<strong>per</strong> cui<br />
L<br />
0<br />
0<br />
[ρ0ututt + τuxuxt] dx<br />
τuxuxt dx = τ[ux(L, t)ut(L, t) − ux(0, t)ut(0, t)] − τ<br />
E ′ (t) =<br />
L<br />
Usando l’equazione (5.3), si ha infine:<br />
0<br />
E ′ (t) =<br />
L<br />
0<br />
utuxx dx<br />
[ρ0utt − τuxx]ut dx + τ[ux(L, t)ut(L, t) − ux(0, t)ut(0, t)].<br />
L<br />
0<br />
ρ0fut dx + τ[ux(L, t)ut(L, t) − ux(0, t)ut(0, t)]. (5.4)<br />
In particolare, se f = 0 e agli estremi u è costante (quindi ut(L, t) = ut(0, t) = 0) si deduce<br />
che E ′ (t) = 0 da cui<br />
E(t) = E(0)<br />
che esprime la conservazione dell’energia.<br />
5.4 Unicità della soluzione<br />
Per mostrare che (5.3 ha un’unica soluzione si utilizza la formula dell’energia (5.4) (analogamente<br />
a quanto avviene <strong>per</strong> l’equazione del calore, vedi sezione 2.1.4). Si ricordi che<br />
l’energia meccanica totale è data dalla formula<br />
E(t) = Ecin(t) + Epot(t) = 1<br />
2<br />
Poiché f = 0 e ut(L, t) = ut(0, t) = 0, si ha<br />
e cioè l’energia totale si conserva:<br />
E ′ (t) = 0<br />
L<br />
0<br />
[ρ0u 2 t + τu 2 x] dx<br />
E(t) = E(0) (5.5)
80 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE<br />
<strong>per</strong> ogni t ≥ 0. Siano ora u e v soluzioni del nostro problema di Cauchy-Dirichlet, con gli<br />
stessi dati iniziali e al bordo. La differenza w = u − v soddisfa lo stesso problema con dati<br />
iniziali e al bordo nulli, come conseguenza del principio di sovrapposizione (l’equazione<br />
delle onde è lineare). In particolare, wt(x, 0) = wx(x, 0) = 0 <strong>per</strong> cui, applicando la (5.5) a<br />
w, si trova<br />
E(t) = E(0) = 0<br />
<strong>per</strong> ogni t > 0. Essendo Ecin(t) ≥ 0, Epot(t) ≥ 0, deve essere<br />
Ecin(t) = 0, Epot(t) = 0<br />
che implicano wt = wx = 0 e cioè w è costante. Essendo w(x, 0) = 0, deve essere w(x, t) = 0<br />
<strong>per</strong> ogni t > 0, che significa u = v. La soluzione trovata è quindi l’unica.<br />
5.5 La formula di d’Alembert<br />
Consideriamo il problema di Cauchy globale<br />
⎧<br />
⎪⎨ utt − c<br />
⎪⎩<br />
2uxx = 0 x ∈ R, t > 0<br />
u(x, 0) = g(x)<br />
ut(x, 0) = h(x)<br />
x ∈ R<br />
x ∈ R<br />
La soluzione di questo problema si può esprimere mediante una celebre formula che dimostriamo<br />
subito. L’equazione delle onde si può fattorizzare nel modo seguente:<br />
(∂t − c∂x)(∂t + c∂x)u = 0<br />
Poniamo<br />
v = ut + cux<br />
Allora v soddisfa l’equazione del trasporto lineare<br />
e quindi (vedi sezione 4.2)<br />
con ψ arbitraria, differenziabile. Da (5.6)<br />
vt − cvx = 0<br />
v(x, t) = ψ(x + ct)<br />
ut + cux = ψ(x + ct)<br />
la cui soluzione generale è (vedi ancora sezione 4.2)<br />
u(x, t) =<br />
t<br />
0<br />
ψ(x − c(t − s) + cs) ds + ϕ(x − ct) =<br />
= 1<br />
<br />
2c<br />
x+ct<br />
x−ct<br />
[y = x − ct + 2cs]<br />
(5.6)<br />
ψ(y) dy + ϕ(x − ct) (5.7)
5.6. SOLUZIONE FONDAMENTALE 81<br />
con ψ, ϕ da scegliere mediante le condizioni iniziali.<br />
Si ha:<br />
u(x, 0) = ϕ(x) = g(x)<br />
da cui<br />
Sostituendo nella (5.7) si trova:<br />
= 1<br />
<br />
2c<br />
x+ct<br />
x−ct<br />
ut(x, 0) = ψ(x) − cϕ ′ (x) = h(x)<br />
u(x, t) = 1<br />
<br />
2c<br />
ψ(x) = h(x) + cg ′ (x)<br />
x+ct<br />
x−ct<br />
ed infine l’importante formula di D’Alembert<br />
[h(y) + cg ′ (y)] dy + g(x − ct) =<br />
h(y) dy + 1<br />
[g(x + ct) − g(x − ct)] + g(x − ct)<br />
2c<br />
u(x, t) = 1<br />
1<br />
[g(x + ct) − g(x − ct)] +<br />
2 2c<br />
<br />
x+ct<br />
x−ct<br />
h(y) dy (5.8)<br />
5.6 Domini di dipendenza, di influenza. Soluzione<br />
fondamentale<br />
Dalla formula di D’Alembert, il valore di u nel punto (x, t) è determinato dai valori di h<br />
nell’intervallo [x − ct, x + ct] e da quelli di g agli estremi x − ct e x + ct. Questo intervallo<br />
prende il nome di dominio di dipendenza del punto (x, t).<br />
Da un altro punto di vista, i valori di g e h nel punto (ξ, 0) sull’asse x influenzano il<br />
valore di u nei punti (x, t) del settore<br />
ξ − ct ≤ x ≤ ξ + ct<br />
che si chiama dominio di influenza di ξ. Dal punto di vista fisico, ciò significa che il il<br />
segnale viaggia con velocità c lungo le caratteristiche γ +<br />
ξ , di equazione x + ct = ξ e γ−<br />
ξ , di<br />
equazione x − ct = ξ: una <strong>per</strong>turbazione inizialmente localizzata in ξ non viene avvertita<br />
nel punto x fino al tempo<br />
|x − ξ|<br />
t = .<br />
c<br />
E’ piuttosto istruttivo risolvere il problema di Cauchy con g ≡ 0 ed un dato h molto<br />
particolare: la delta di Dirac nel punto ξ e cioè h(x) = δ(x − ξ). In pratica, stiamo<br />
considerando le vibrazioni di una corda generate da un impulso unitario localizzato nel
82 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE<br />
punto ξ. La soluzione corrispondente si chiama soluzione fondamentale e svolge un ruolo<br />
analogo a quella dell’equazione di diffusione. Scegliere come dato la delta di Dirac non<br />
rientra certo nella teoria svolta finora, ma non è il caso di preoccuparsi troppo: si procederà<br />
formalmente, rendendo i calcoli rigorosi in seguito.<br />
Si indichi la soluzione con K = K(x, ξ, t) e applicando la formula di d’Alembert, si<br />
trova<br />
K(x, ξ, t) = 1<br />
x+ct <br />
δ(y − ξ) dy. (5.9)<br />
2c<br />
x−ct<br />
Per ricavarne un’espressione esplicita, si comincia col calcolare x<br />
ricordi che se:<br />
<br />
H(x) =<br />
1<br />
0<br />
x ≥ 0<br />
x < 0<br />
è la funzione di Heaviside e<br />
Iε(x) =<br />
H(x + ε) − H(x − ε)<br />
2ε<br />
=<br />
1<br />
2ε<br />
−∞<br />
−ε ≤ x ≤ ε<br />
0 altrove<br />
δ(y) dy. Per farlo, si<br />
(5.10)<br />
è un impulso unitario di durata ε, allora limε→0 Iε(x) = δ(x). Sembra allora coerente<br />
calcolare x<br />
δ(y) dy mediante la formula<br />
−∞<br />
x<br />
−∞<br />
δ(y) dy = lim<br />
x<br />
ε→0<br />
−∞<br />
Iε(y) dy<br />
che ha un’aria innocua. Infatti, se x < −ε, x<br />
−∞ Iε(y) dy = 0 mentre se x > ε, x<br />
−∞ Iε(y) dy =<br />
1. Se facciamo tendere ε a zero si ottiene 0 se x < 0 e 1 se x ≥ 0, che è la funzione di<br />
Heaviside. Il risultato è dunque:<br />
x<br />
−∞<br />
δ(y) dy = H(x) (5.11)<br />
neppure tanto sorprendente, se si ricorda che H ′ = δ. Tutto quadra. Si può quindi scrivere:<br />
<br />
x+ct<br />
x−ct<br />
da cui usando (5.9) e (5.11):<br />
δ(y − ξ) dy =<br />
<br />
x+ct<br />
−∞<br />
δ(y − ξ) dy −<br />
<br />
x−ct<br />
−∞<br />
δ(y − ξ) dy (5.12)<br />
K(x, ξ, t) = 1<br />
[H(x − ξ + ct) − H(x − ξ − ct)] (5.13)<br />
2c
5.7. EFFETTI DI DISPERSIONE E DISSIPAZIONE 83<br />
La funzione K prende il nome di soluzione fondamentale dell’equazione delle onde unidimensionale.<br />
Si può notare come la discontinuità iniziale (t = 0) in x = ξ si trasporti lungo<br />
le caratteristiche x = ξ ± ct.<br />
Per ricavare la (5.13) è stata utilizzata la formula di D’Alembert. Ma la procedura<br />
si può rovesciare: dalla conoscenza della soluzione fondamentale si potrebbe ricavare la<br />
formula di D’Alembert.<br />
5.6.1 L’equazione non omogenea. Metodo di Duhamel<br />
Consideriamo ora il problema non omogeneo<br />
⎧<br />
⎪⎨ utt − c<br />
⎪⎩<br />
2uxx = f(x, t) x ∈ R, t > 0<br />
u(x, 0) = 0<br />
ut(x, 0) = 0<br />
x ∈ R<br />
x ∈ R<br />
(5.14)<br />
Per risolverlo usiamo il metodo di Duhamel. Per s fissato, sia w = w(x, t; s) soluzione del<br />
problema<br />
⎧<br />
⎪⎨ wtt − c<br />
⎪⎩<br />
2wxx = 0 x ∈ R, t > 0<br />
w(x, s; s) = 0<br />
wt(x, s; s) = f(x, s)<br />
x ∈ R<br />
x ∈ R<br />
Dalla formula di D’Alembert (5.8),<br />
La soluzione della (5.14) è<br />
u(x, t) =<br />
t<br />
w(x, t; s) = 1<br />
2c<br />
0<br />
<br />
x+c(t−s)<br />
x−c(t−s)<br />
w(x, t; s) ds = 1<br />
t<br />
2c 0<br />
f(y, s) dy<br />
ds<br />
<br />
x+c(t−s)<br />
x−c(t−s)<br />
f(y, s) dy<br />
La formula mostra come il valore di u nel punto (x, t) dipenda dai valori della forzante<br />
esterna in tutto il settore triangolare Sx,t.<br />
5.7 Effetti di dis<strong>per</strong>sione e dissipazione<br />
Nei fenomeni di propagazione ondosa sono importanti gli effetti di dissipazione e dis<strong>per</strong>sione.<br />
Ritorniamo al modello della corda vibrante, assumendo che il suo peso sia<br />
trascurabile e che non vi siano carichi esterni.
84 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE<br />
5.7.1 Dissipazione esogena<br />
Forze dissipative (esogene) quali l’attrito esterno possono benissimo essere incluse nel modello.<br />
La loro espressione analitica è determinata s<strong>per</strong>imentalmente. Se, <strong>per</strong> esempio, si<br />
ritiene ragionevole una resistenza proporzionale alla velocità, sul tratto di corda tra x e<br />
x + ∆x agisce una forza del tipo<br />
−<br />
x+∆x<br />
e l’equazione finale prende la forma<br />
Se la corda fissata agli estremi si trova:<br />
x<br />
E ′ (t) = −<br />
kρut ds = −<br />
x+∆x<br />
ρ0utt − τuxx + kρ0ut = 0<br />
L<br />
0<br />
x<br />
kρ0ut dx<br />
ku 2 t = −kEcin(t) ≤ 0<br />
che mostra una velocità di dissipazione dell’energia proporzionale all’energia cinetica. Il<br />
corrispondente problema ai valori iniziali è ancora ben posto, sotto ragionevoli ipotesi sui<br />
dati. In particolare, l’unicità della soluzione segue ancora dal fatto che, se E(0) = 0,<br />
essendo E(t) decrescente e non negativa, deve essere nulla <strong>per</strong> ogni t > 0.<br />
5.7.2 Dissipazione interna<br />
La derivazione dell’equazione della corda conduce all’equazione<br />
ρ0utt = (Tvert)x<br />
dove Tvert è la componente verticale della tensione. L’ipotesi di piccola ampiezza delle<br />
vibrazioni corrisponde sostanzialmente ad assumere che<br />
Tvert = τux<br />
(5.15)<br />
dove τ è la componente orizzontale (costante) della tensione. In altri termini, si è assunto<br />
che le forze verticali agenti agli estremi di un elemento di corda fossero proporzionali allo<br />
spostamento relativo delle particelle componenti la corda. D’altra parte queste particelle<br />
sono costantemente in frizione tra loro quando la corda vibra, convertendo energia cinetica<br />
in calore. Più rapida la vibrazione (quindi più rapido è lo spostamento relativo tra le particelle)<br />
più calore generato. Ciò implica una diminuzione della tensione e uno smorzamento<br />
della vibrazione. La tensione verticale nella corda dipende dunque anche dalla velocità di<br />
variazione di ux e siamo portati a modificare la (5.15) inserendo un termine proporzionale<br />
a uxt:<br />
Tvert = τux + γuxt
5.7. EFFETTI DI DISPERSIONE E DISSIPAZIONE 85<br />
La costante γ è da ritenersi non negativa: infatti se in un punto si ha, <strong>per</strong> esempio ux > 0 e<br />
l’energia decresce, ci aspettiamo che la pendenza della corda decresca nel tempo e cioè che<br />
(ux)t < 0. Poiché anche la tensione decresce, coerentemente deve essere γ ≥ 0. Si ottiene<br />
allora l’equazione del terzo ordine<br />
ρ0utt − τuxx + γuxxt = 0 (5.16)<br />
Nonostante la presenza del termine uxxt, i problemi ben posti <strong>per</strong> l’equazione della corda<br />
continuano ad essere ben posti <strong>per</strong> la (5.16). In particolare, i problemi di Cauchy-Dirichlet<br />
e di Cauchy-Neumann sono ben posti sotto ragionevoli condizioni sui dati. L’unicitá della<br />
soluzione segue ancora una volta dal fatto che l’energia meccanica totale decresce; infatti,<br />
con i soliti calcoli si trova<br />
5.7.3 Dis<strong>per</strong>sione<br />
E ′ (t) = −<br />
L<br />
0<br />
γρ0u 2 xt ≤ 0<br />
Se la corda è sottoposta ad una forza elastica di richiamo proporzionale ad u, l’equazione<br />
diventa<br />
utt − c 2 uxx + λu = 0 (λ > 0)<br />
rilevante anche in meccanica quantistica relativistica, dove prende il nome di equazione<br />
di Klein-Gordon linearizzata. Per sottolineare meglio l’effetto del termine λu si cercano<br />
soluzioni che siano onde armoniche del tipo<br />
u(x, t) = Ae i(kx−wt)<br />
Sostituendo nell’equazione differenziale si trova la relazione di dis<strong>per</strong>sione<br />
w 2 − c 2 k 2 = λ ⇒ w(k) = ± √ c 2 k 2 + λ<br />
Abbiamo dunque onde che si propagano verso destra e verso sinistra con velocitá di fase2 cp(k) = √ c2k2 +λ e velocitá di gruppo cg = |k|<br />
dw<br />
dk = c2 |k|<br />
√<br />
c2k2 . Si osservi che cg < cp.<br />
+λ<br />
Si puó ottenere un treno discreto di onde sovrapponendo onde dis<strong>per</strong>sive con diverso<br />
numero d’onde:<br />
N<br />
u(x, t) = Aje i(kjx−wjt)<br />
j=1<br />
<br />
mantenendo valida la relazione wj = ± c2k2 j + λ. Le onde corrispondenti a numeri d’onda<br />
diversi si propagano a velocitá diverse. Si puó generalizzare sovrapponendo infinite<br />
armoniche purché le ampiezze Aj si smorzino con sufficiente rapiditá <strong>per</strong> j → ∞ ed infine<br />
si puó pensare di ottenere soluzioni corrispondenti ad un pacchetto d’onde della forma<br />
u(x, t) =<br />
<br />
+∞<br />
−∞<br />
2 Ricordiamo che la velocità di fase è il rapporto w/k.<br />
A(k)e i[kx−w(k)t] dk (5.17)
86 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE<br />
con un integrazione su tutti i possibili numeri d’onda. Si noti che in tal caso<br />
u(x, 0) = 1<br />
<br />
2π<br />
+∞<br />
−∞<br />
A(k)e ikx dk<br />
e cioé A(k) è la trasformata di Fourier della condizione iniziale:<br />
A(k) =<br />
<br />
+∞<br />
−∞<br />
u(x, 0)e −ikx dx<br />
Ciò significa che, anche se la condizione iniziale é localizzata in un intervallo molto piccolo,<br />
tutte le lunghezze d’onda contribuiscono al valore della soluzione. Si noti che la dis<strong>per</strong>sione<br />
non comporta effetti di dissipazione di energia. Per esempio, nel caso della corda fissata<br />
agli estremi, l’energia meccanica totale è data da<br />
E(t) = ρ0<br />
2<br />
ed è facile verificare che E ′ (t) = 0, t > 0.<br />
L<br />
(u<br />
0<br />
2 t + c 2 u 2 x + λu 2 ) dx<br />
5.8 Piccole vibrazioni di una membrana elastica<br />
Le piccole vibrazioni trasversali di una membrana la cui posizione a riposo è orizzontale,<br />
come nel caso di un tamburo, possono essere descritte in modo analogo a quelle della corda,<br />
assumendo le seguenti ipotesi.<br />
1. Le vibrazioni della membrana sono piccole. Ciò significa che abbiamo piccoli cambiamenti<br />
nella forma della membrana rispetto al piano orizzontale.<br />
2. Lo spostamento di un punto della membrana è considerato verticale. Vibrazioni<br />
orizzontali sono trascurate, coerentemente con 1.<br />
3. Lo spostamento verticale di un punto dipende dal tempo e dalla sua posizione sulla<br />
membrana. Se si indica con u lo spostamento verticale di un punto che si trova in<br />
posizione (x, y) quando la membrana a riposo, abbiamo u = u(x, y, t).<br />
4. La membrana è <strong>per</strong>fettamente flessibile. Non offre cioè nessuna resistenza alla flessione.<br />
In particolare, lo sforzo può essere modellato con una forza diretta tangenzialmente<br />
alla membrana, di intensità T , detta tensione.<br />
5. Trascuriamo gli attriti.<br />
Sia ρ0 = ρ0(x, y) la densità su<strong>per</strong>ficiale di massa della corda in posizione di equilibrio.<br />
Ragionamenti analoghi a quelli fatti <strong>per</strong> la corda vibrante, conducono all’equazione<br />
dove c 2 = T<br />
ρ0<br />
utt − c 2 ∆u = f<br />
e f è la risultante del peso e di eventuali carichi esterni <strong>per</strong> unità di massa.
5.8. PICCOLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA ELASTICA 87<br />
5.8.1 Membrana quadrata<br />
Si prenda in esame una membrana quadrata di lato a, fissata al bordo. Studiamone le<br />
vibrazioni quando la membrana, inizialmente nella sua posizione di riposo (orizzontale), è<br />
sollecitata in modo che la sua velocità iniziale sia h = h(x, y). Se il peso della membrana è<br />
trascurabile e non vi sono carichi esterni, le vibrazioni della membrana sono descritte dal<br />
seguente problema<br />
⎧<br />
utt − c2∆u = 0 0 < x < a, 0 < y < a, t > 0<br />
⎪⎨ u(x, y, 0) = 0 0 < x < a, 0 < y < a<br />
ut(x, y, 0) = h(x, y) 0 < x < a, 0 < y < a<br />
u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0 0 < y < a, t ≥ 0<br />
⎪⎩<br />
u(x, 0, t) = u(x, a, t) = 0 0 < x < a, t ≥ 0<br />
Come nel caso della corda vibrante si utilizza il metodo di separazione delle variabili,<br />
cercando prima soluzioni della forma<br />
u(x, y, t) = v(x, y)q(t).<br />
Sostituendo nell’equazione delle onde si trova<br />
ossia, separando le variabili<br />
da cui<br />
e<br />
q ′′ (t)v(x, y) − c 2 q(t)∆v(x, y) = 0<br />
q ′′ (t)<br />
c 2 q(t)<br />
= ∆v(x, y)<br />
v(x, y)<br />
= −λ2<br />
∆v + λ 2 v = 0 (5.18)<br />
q ′′ (t) + c 2 λ 2 q(t) = 0 (5.19)<br />
Ci si occupa prima della (5.18) cercando soluzioni v nulle al bordo del rettangolo.<br />
Si separano ancora le variabili ponendo v(x, y) = X(x)Y (y), con le condizioni<br />
Sostituendo nella (5.18), si trova che deve essere:<br />
X(0) = X(a) = 0, Y (0) = Y (a) = 0. (5.20)<br />
Y (y)<br />
Y (y) + λ2 = X(x)<br />
X(x)<br />
= µ2<br />
dove µ è una nuova costante. Ponendo ν 2 = λ 2 − µ 2 , occorre risolvere i due sottoproblemi<br />
seguenti, in 0 < x < a e 0 < y < a, rispettivamente:<br />
<br />
X ′′ (x) + µ 2 X(x) = 0<br />
X(0) = X(a) = 0
88 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE<br />
e <br />
Y ′′ (y) + ν 2 Y (y) = 0<br />
Le cui soluzioni risultano essere:<br />
Y (0) = Y (a) = 0<br />
X(x) = Am sin(µmx), µm = mπ<br />
a<br />
Y (y) = Bn sin(νny), νn = nπ<br />
a<br />
con m, n = 1, 2, .... Poiché λ 2 = ν 2 + µ 2 , si ha<br />
corrispondenti alle soluzioni<br />
λ 2 mn = π2<br />
a 2 (m2 + n 2 ), m, n = 1, 2... (5.21)<br />
vmn(x, y) = Cmn sin(µmx) sin(νny).<br />
Quando λ è uno dei valori λmn, l’integrale generale della (5.19) è<br />
qmn = a ∗mn cos(cλmnt) + b ∗mn sin(cλmnt)<br />
Si è così trovata la seguente successione doppia di soluzioni che si annullano al bordo:<br />
umn = (amn cos(cλmnt) + bmn sin(cλmnt)) sin(µmx) sin(νny)<br />
Ciascuna delle umn corrisponde ad un particolare modo di vibrazione della membrana. La<br />
frequenza fondamentale di vibrazione è f11 = c√2, corrispondente a m = n = 1, mentre<br />
2a<br />
le frequenze degli altri modi di vibrazione sono fmn = c√m2 +n2 . Quando un tamburo è<br />
2a<br />
sollecitato in maniera arbitraria, molti modi di vibrazione sono simultaneamente presenti<br />
e il fatto che le frequenze di tali modi non siano multipli interi di quella fondamentale<br />
produce una bassa qualità musicale dei toni emessi.<br />
Tornando al problema di partenza, <strong>per</strong> trovare la soluzione che soddisfi anche i dati<br />
iniziali sovrapponiamo le umn, definendo:<br />
∞<br />
u(x, y, t) =<br />
m,n=1<br />
(amn cos(cλmnt) + bmn sin(cλmnt)) sin(µmx) sin(νny)<br />
da u(x, y, 0) = 0 si deduce amn = 0 <strong>per</strong> ogni m, n ≥ 1. Da ut(x, y, 0) = h(x, y) si deduce<br />
∞<br />
(cbmnλmn) sin(µmx) sin(νny) = h(x, y) (5.22)<br />
m,n=1<br />
Se, quindi, h è sviluppabile nella serie doppia di Fourier:<br />
∞<br />
h(x, y) = hmn sin(µmx) sin(νny)<br />
m,n=1
5.9. UN METODO DI RIFLESSIONE 89<br />
dove i coefficienti hmn sono dati da:<br />
hmn = 4<br />
a2 <br />
<br />
mπ<br />
h(x, y) sin<br />
a x<br />
<br />
nπ<br />
sin<br />
a y<br />
<br />
basterà scegliere bmn = hmn<br />
cλmn<br />
soluzione è<br />
u(x, y, t) =<br />
Q<br />
dxdy<br />
affinché la (5.22) sia soddisfatta. In conclusione, la candidata<br />
∞<br />
hmn<br />
cλmn<br />
m,n=1<br />
sin(cλmnt)sin(µmx) sin(νny) (5.23)<br />
Se poi i coefficienti hmn tendono a zero abbastanza rapidamente, si può provare che la<br />
cλmn<br />
(5.23) è effettivamente l’unica soluzione.<br />
5.9 Un metodo di riflessione<br />
Per mostrare un’ulteriore applicazione della formula di D’Alembert, si consideri il seguente<br />
problema di Cauchy-Dirichlet sulla semiretta R+ = x > 0:<br />
⎧<br />
utt − uxx = 0 in R+ × (0, ∞)<br />
⎪⎨<br />
u = g su R+ × t = 0<br />
(5.24)<br />
ut ⎪⎩<br />
= h su R+ × t = 0<br />
u = 0 su x = 0 × (0, ∞)<br />
con g, h fissati e g(0) = h(0) = 0.<br />
Mediante un’estensione dispari a tutto R delle funzioni u, g, h, si ottiene:<br />
<br />
ũ(x, t) :=<br />
u(x, t)<br />
−u(−x, t)<br />
<br />
(x ≥ 0, t ≥ 0)<br />
(x ≤ 0, t ≥ 0)<br />
˜g(x) :=<br />
g(x)<br />
−g(−x)<br />
<br />
(x ≥ 0)<br />
(x ≤ 0)<br />
˜h(x) :=<br />
h(x)<br />
−h(−x)<br />
(x ≥ 0)<br />
(x ≤ 0)<br />
Allora la (5.24) diviene<br />
Da cui la formula di D’Alembert diventa<br />
⎧<br />
⎪⎨ ũtt = ũxx in R × (0, ∞)<br />
ũ = ˜g<br />
⎪⎩<br />
ũt =<br />
su R × t = 0<br />
˜ h su R × t = 0<br />
ũ(x, t) = 1<br />
1<br />
[˜g(x + t) + ˜g(x − t)] +<br />
2 2<br />
<br />
x+t<br />
x−t<br />
˜h(y) dy
90 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE<br />
Ricordando la definizione data sopra <strong>per</strong> le tre grandezze ũ, ˜g, ˜ h l’espressione precedente<br />
nella zona (x ≥ 0, t ≥ 0) può essere espressa come:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
u(x, t) =<br />
⎪⎩<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
[g(x + t) + g(x − t)] + 1<br />
[g(x + t) − g(t − x)] + 1<br />
x+t <br />
2<br />
x−t<br />
x+t<br />
<br />
2<br />
t−x<br />
h(y) dy (x ≥ t ≥ 0)<br />
h(y) dy (0 ≤ x ≤ t)<br />
(5.25)<br />
Se h ≡ 0 si può comprendere il significato dell’espressione (5.25): uno spostamento iniziale<br />
g si divide in due parti, una diretta verso destra con velocità unitaria e l’altra verso sinistra<br />
con la stessa velocità. La seconda parte dell’espressione mostra inoltre come il punto x = 0<br />
della corda vibrante sia mantenuto fisso.<br />
5.10 Soluzione in dimensione tre<br />
Si supponga ora di avere n ≥ 2, m ≥ 2 ed u ∈ C m (R n × [0, ∞) che risolve il problema ai<br />
valori iniziali ⎧<br />
⎪⎨ utt − ∆u = 0 in Rn × (0, ∞)<br />
u = g su R<br />
⎪⎩<br />
n × (t = 0)<br />
ut = h su Rn × (t = 0)<br />
(5.26)<br />
Si vuole ottenere una formula esplicita <strong>per</strong> u, in termini di g, h. Il metodo sarà quello<br />
di studiare prima la media di u su determinate sfere. Tali medie, espresse in funzione del<br />
tempo t e del raggio r, <strong>per</strong>mettono di risolvere l’equazione di Eulero-Poisson-Darboux, una<br />
PDE che può essere trasformata in un’ equazione delle onde ordinaria <strong>per</strong> valori dispari di n.<br />
Tale formula risolutiva si ottiene applicando la variante (5.25) della formula di D’Alembert.<br />
Sia x ∈ Rn , t > 0, r > 0. Si definisce<br />
<br />
U(x; r, t) := u(y, t) dS(y) (5.27)<br />
∂B(x,r)<br />
la media di u(·, t) sulla sfera ∂B(x, r). Allo stesso modo siano definite:<br />
<br />
G(x; r) := <br />
g(y) dS(y)H(x; r) := <br />
h(y) dS(y) (5.28)<br />
∂B(x,r)<br />
∂B(x,r)<br />
Per x fissato d’ora innanzi si intenderà U come funzione di r e t, ed essa risolve l’equazione<br />
di Eulero-Poisson-Darboux: Lemma Sia fissato x ∈ R n , e sia u soluzione di (5.26). Allora<br />
u ∈ C m (R + × [0, ∞)) e<br />
⎧<br />
⎪⎨ Utt − Urr −<br />
⎪⎩<br />
n−1<br />
r Ur = 0 in R+ × (0, ∞)<br />
U = G<br />
Ut = H<br />
su<br />
su<br />
R+ × (t = 0)<br />
R+ × (t = 0)<br />
(5.29)
5.10. SOLUZIONE IN DIMENSIONE TRE 91<br />
L’equazione differenziale alle derivate parziali che compare in (5.29) ,è, come detto, l’e-<br />
quazione di Eulero-Poisson-Darboux. (Si noti che il termine Urr + n−1<br />
r Ur è la parte radiale<br />
del Laplaciano ∆ espresso in coordinate polari.<br />
Si consideri il caso n = 3 e si ipotizzi che u ∈ C 2 (R 3 × [0, ∞)) risolva il problema ai<br />
valori iniziali (5.26). Richiamando le definizioni (5.27) e (5.28) di U, G, H e ponendo poi:<br />
Ũ := rU (5.30)<br />
˜G := rG<br />
˜H := rH<br />
Ora si mostrerà che Ũ risolve:<br />
⎧<br />
Ũtt −<br />
⎪⎨<br />
Ũrr = 0 in R+ × (0, ∞)<br />
Ũ = ˜ G su R+ × t = 0<br />
Ũt ⎪⎩<br />
= ˜ H su R+ × t = 0<br />
Ũ = 0 su r = 0 × (0, ∞)<br />
Infatti si ha,considerando l’equazione (5.29) con n = 3:<br />
Ũ := rUtt = r[Urr + 2<br />
r Ur] = rUrr + 2Ur = (U + rUr)r = Ũrr<br />
Applicando la formula (5.25) alla (5.32), si trova <strong>per</strong> 0 ≤ r ≤ t<br />
Ũ(x; r, t) = 1<br />
2 [ ˜ G(r + t) − ˜ G(t − r)] + 1<br />
2<br />
r+t<br />
−r+t<br />
(5.31)<br />
(5.32)<br />
˜H(y) dy (5.33)<br />
Poichè la (5.27) implica u(x, t) = limr→0 +U(x; r, t), tenendo conto delle (5.30),(5.31),(5.33)<br />
si ottiene:<br />
u(x, t) = lim<br />
r→0 +<br />
Ũ(x; r, t)<br />
r<br />
= lim<br />
r→0 +<br />
In virtù della (5.28), si ottiene:<br />
Ma <br />
⎡<br />
u(x, t) = ∂ ⎜<br />
⎝t<br />
∂t<br />
∂B(x,t)<br />
⎣ ˜ G(t + r) − ˜ G(t − r)<br />
2r<br />
⎛<br />
<br />
∂B(x,t)<br />
g(y) dS(y) =<br />
⎞<br />
⎟<br />
g dS⎠<br />
+ t<br />
<br />
∂B(0,1)<br />
+ 1<br />
2r<br />
<br />
∂B(x,t)<br />
t+r<br />
t−r<br />
g(x + tz) dS(z)<br />
⎤<br />
˜H(y) dy⎦<br />
= ˜ G ′ (t) + ˜ H(t)<br />
h dS. (5.34)
92 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE<br />
E così:<br />
∂<br />
∂t<br />
<br />
<br />
g dS<br />
∂B(x,t)<br />
=<br />
<br />
∂B(0,1)<br />
Dg(x + tz)z dS(z) =<br />
<br />
∂B(x,t)<br />
<br />
y − x<br />
Dg(y) dS(y)<br />
t<br />
Tornando all’equazione (5.34) si conclude infine:<br />
<br />
u(x, t) = [th(y) + g(y) + Dg(y)(y − x)] dS(y) (x ∈ R 3 , t > 0) (5.35)<br />
∂B(x,t)<br />
Quella appena mostrata (5.35) è la formula di Kirchhoff <strong>per</strong> la soluzione del problema ai<br />
valori iniziali in tre dimensioni (5.26).<br />
5.11 Soluzione in dimensione due<br />
Nel caso bidimensionale non è disponibile una trasformazione simile alla (5.30) <strong>per</strong> ottenere<br />
un’espressione monodimensionale dell’equazione di Eulero-Poisson-Darboux. Il metodo che<br />
si utilizzerà sarà quello di considerare il solito problema (5.26) <strong>per</strong> n = 3, in cui <strong>per</strong>ò la<br />
terza variabile spaziale non compare.<br />
Infatti, assumendo u ∈ C 2 (R 2 × [0, ∞)) tale da risolvere il problema ai valori iniziali<br />
(5.26) <strong>per</strong> n = 2, si può scrivere:<br />
Allora la (5.26) diventa:<br />
<strong>per</strong><br />
ū(x1, x2, x3, t) := u(x1, x2, t) (5.36)<br />
⎧<br />
⎪⎨ ūtt − ∆ū = 0 in R<br />
⎪⎩<br />
3 × (0, ∞)<br />
ū = ¯g su R3 ūt =<br />
× (t = 0)<br />
¯ h su R3 × (t = 0)<br />
¯g(x1, x2, x3) := g(x1, x2)<br />
¯h(x1, x2, x3) := h(x1, x2)<br />
(5.37)<br />
Scrivendo x = (x1, x2) ∈ R2 e ¯x = (x1, x2, 0) ∈ R3 , allora la (5.37) e la formula di Kirchhoff<br />
espressa nella forma (5.34), implicano:<br />
u(x, t) = ū(¯x, t) = ∂<br />
<br />
t<br />
∂t ∂ ¯ ¯g d<br />
B(¯x,t)<br />
¯ <br />
S + t ¯h d ¯ S, (5.38)<br />
∂ ¯ B(¯x,t)<br />
∂B(x,t)<br />
dove ¯ B(¯x, t) rappresenta la sfera in R3 con centro ¯x, raggio t > 0, e d ¯ S rappresenta la<br />
su<strong>per</strong>ficie bidimensionale sul bordo ∂ ¯ B(¯x, t). La (5.38) può essere semplificata osservando<br />
che <br />
¯g d ¯ S = 1<br />
4πt2 <br />
¯g d ¯ S = 2<br />
4πt2 <br />
g(y)(1 + |Dγ(y)| 2 ) 1<br />
2 dy<br />
∂ ¯ B(¯x,t)<br />
B(x,t)
5.11. SOLUZIONE IN DIMENSIONE DUE 93<br />
dove γ(y) = (t 2 −|y−x| 2 ) 1<br />
2 <strong>per</strong> y ∈ B(x, t). Il fattore 2 compare in quanto ∂ ¯ B(¯x, t) consiste<br />
di due semisfere.<br />
Si osservi che (1 + |Dγ| 2 ) 1<br />
2 = t(t2 − |y − x| 2 1<br />
− ) 2 , da cui:<br />
<br />
∂ ¯ B(¯x,t)<br />
¯g d ¯ S = 1<br />
<br />
2πt B(x,t)<br />
Di conseguenza la (5.38) diviene:<br />
u(x, t) = 1<br />
<br />
∂<br />
2 ∂t<br />
Ma essendo:<br />
E quindi<br />
<br />
∂<br />
t<br />
∂t<br />
2<br />
<br />
B(x,t)<br />
t 2<br />
<br />
B(x,t)<br />
g(y)<br />
(t 2 − |y − x| 2 ) 1<br />
2<br />
g(y)<br />
(t 2 − |y − x| 2 ) 1<br />
2<br />
g(y)<br />
t 2<br />
<br />
B(x,t)<br />
t 2<br />
2<br />
(t 2 − |y − x| 2 ) 1<br />
2<br />
<br />
dy =<br />
<br />
= t<br />
B(x,t)<br />
<br />
B(0,1)<br />
dy = t<br />
<br />
2 B(x,t)<br />
g(y)<br />
(t 2 − |y − x| 2 ) 1<br />
2<br />
B(x,t)<br />
h(y)<br />
dy<br />
(t 2 − |y − x| 2 ) 1<br />
2<br />
<br />
dy = t<br />
B(0,1)<br />
g(x + tz)<br />
(1 − |z| 2 ) 1<br />
2<br />
g(y)<br />
(t 2 − |y − x| 2 ) 1<br />
2<br />
g(y)<br />
(t 2 − |y − x| 2 ) 1<br />
2<br />
<br />
g(x + tz)<br />
+<br />
dy<br />
(1 − |z| 2 ) 1<br />
2<br />
<br />
dz + t<br />
B(0,1)<br />
<br />
dy + t<br />
B(x,t)<br />
Da cui si ottiene in definitiva la relazione:<br />
u(x, t) = 1<br />
<br />
tg(y) + t<br />
2<br />
2h(y) + tDg(y)(y − z)<br />
dy<br />
B(x,t)<br />
(t 2 − |y − x| 2 ) 1<br />
2<br />
dz<br />
dy<br />
Dg(x + tz)z<br />
(1 − |z| 2 ) 1<br />
2<br />
Dg(y)(y − x)<br />
(t 2 − |y − x| 2 ) 1<br />
2<br />
dz =<br />
<strong>per</strong> x ∈ R 2 , t > 0.<br />
Questa è la formula di Poisson <strong>per</strong> la soluzione del problema ai valori iniziali in due<br />
dimensioni (5.26)<br />
dy
94 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE
Capitolo 6<br />
Moto di un sistema continuo<br />
Questo capitolo è dedicato alla formulazione su base fenomenologica delle equazioni macroscopiche<br />
del moto di un mezzo continuo.<br />
6.1 Nozione di sistema continuo<br />
Supponiamo assegnato una volta <strong>per</strong> tutte un sistema di riferimento inerziale spaziotemporale.<br />
Supporremo inoltre fissate delle unità di misura macroscopiche (ad esempio<br />
i centimetri ed i secondi). Questa assunzione è coerente con la necessità di caratterizzare<br />
la nostra descrizione in modo tale che in ogni volume macroscopico, <strong>per</strong> quanto piccolo,<br />
sia contenuto un numero enorme di molecole. Stiamo dunque assumendo un punto di vista<br />
macroscopico. In tal modo osservazioni condotte su questa scala non riescono a distinguere<br />
l’individualità delle singole molecole ma <strong>per</strong>cepiscono la distribuzione di materia come continua.<br />
Per questa ragione diremo sistema continuo una distribuzione continua di massa in<br />
R3 , ovvero una distribuzione di massa tale che <strong>per</strong> ogni insieme A ⊂ R3 , detta mt(A) ≥ 0<br />
la massa contenuta nell’insieme A al tempo t, sia soddisfatta la seguente relazione<br />
<br />
mt(A) = ρ(x, t)dx,<br />
A<br />
<strong>per</strong> una certa funzione ρ(x, t) detta densità (di massa). In altre parole, in ogni volume<br />
elementare dx centrato in un generico punto x ∈ R 3 è contenuta una massa ρ(x, t)dx, corrispondente<br />
alla presenza di un enorme numero di molecole nell’elemento di volume dx. Il<br />
punto di vista continuo ignora l’individualità di tali particelle e studia il comportamento di<br />
questo elemento macroscopico nel suo insieme. Una parte del sistema continuo, contenuta<br />
in un volume dx centrato intorno al punto x al tempo t sarà detta elemento materiale o<br />
particella del sistema continuo e x sarà detta posizione della particella al tempo t. Sottolineamo<br />
ancora una volta che una particella del continuo non deve essere confusa con una<br />
molecola, rappresentando invece un agglomerato di un numero molto grande di molecole.<br />
La posizione di ciascuna particella del sistema continuo varia nel tempo. Per individuare<br />
in modo univoco ciascuna particella del sistema continuo utilizzeremo ad esempio le<br />
95
96 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO<br />
coordinate X ∈ R 3 della posizione occupata dalla particella al tempo t = 0. Al variare del<br />
tempo t, x = Φ(X, t) denoterà la posizione al tempo t della particella che al tempo t = 0<br />
si trovava in X. La funzione X → Φ(X, t) è quindi tale che<br />
Φ(X, 0) = X. (6.1)<br />
Assumeremo che la funzione Φ sia differenziabile rispetto ad X e t e che, <strong>per</strong> ogni t, sia<br />
invertibile come funzione di X. Esiste cioè una funzione x → Φ −1 (x, t) tale che<br />
Φ(Φ −1 (x, t), t) = x x ∈ R 3 .<br />
Questa assunzione, che implica che ciascuna particella (macroscopica) mantiene la sua<br />
individualità nel corso del tempo, traduce il fatto che due distinti elementi materiali non<br />
possono mai occupare la stessa posizione (impenetrabilità dei corpi). Le condizioni di<br />
regolarità sono essenziali agli sviluppi futuri e il loro venir meno corrisponde al verificarsi<br />
di fenomeni <strong>per</strong> i quali il modello che ci accingiamo a formulare diviene inadeguato. La<br />
funzione (X, t) → Φ(X, t) è detta moto o flusso del sistema continuo. L’invertibilità<br />
di Φ mostra che possiamo indifferentemente individuare la generica particella del sistema<br />
continuo mediante le sue coordinate X all’istante iniziale oppure mediante le sue coordinate<br />
x al tempo t. La descrizione in termini delle X è detta descrizione Lagrangiana mentre<br />
quella in termini delle x è detta descrizione Euleriana.<br />
Si consideri ora la matrice F = ∇XΦ di componenti<br />
Fi,j(X, t) = ∂Φi(X, t)<br />
, i, j = 1, . . . , 3. (6.2)<br />
∂Xj<br />
La matrice F, che prende il nome di gradiente di deformazione, si riduce all’identità <strong>per</strong><br />
t = 0 in conseguenza di (6.1). Si assumerà, conformemente all’ipotesi di invertibilità di Φ,<br />
che F sia continuo in ogni (X, t) e che<br />
det F (X, t) = 0 <strong>per</strong> ogni (X, t).<br />
Per ogni X fissato, la curva t → Φ(X, t) si dice traiettoria della particella X. La velocità<br />
e l’accelerazione della particella X al tempo t sono date ovviamente dalle espressioni<br />
u(X, t) =<br />
∂Φ(X, t)<br />
, a(X, t) =<br />
∂t<br />
∂2Φ(X, t)<br />
∂t2 . (6.3)<br />
I campi vettoriali X → u(X, t) e X → a(X, t) sono detti rispettivamente campo di velocità<br />
Lagrangiano e campo di accelerazione Lagrangiano al tempo t. Si supponga ora fissato il<br />
punto x e si denotino con u(x, t) ed a(x, t) la velocità e l’accelerazione della particella che<br />
transita <strong>per</strong> x al tempo t:<br />
u(x, t) = u(Φ −1 (x, t), t), a(x, t) = a(Φ −1 (x, t), t). (6.4)
6.2. TEOREMA DEL TRASPORTO. 97<br />
I campi vettoriali x → u(x, t) ed x → a(x, t) sono detti rispettivamente campo di velocità<br />
Euleriano (o semplicemente campo di velocità) e campo di accelerazione Euleriano (o<br />
semplicemente campo di accelerazione) al tempo t. Dalle definizioni suddette segue che<br />
∂<br />
Φ(X, t) = u(Φ(X, t), t). (6.5)<br />
∂t<br />
Quando il campo di velocità Euleriano u(x, t) è noto, questa equazione, insieme alla condizione<br />
(6.1), può essere interpretata come un problema di Cauchy <strong>per</strong> un sistema dinamico<br />
avente <strong>per</strong> flusso integrale X → Φ(X, t).<br />
La relazione tra i campi di velocità ed accelerazione Lagrangiani ed Euleriani vale più<br />
in generale <strong>per</strong> una qualunque osservabile ‘Euleriana’ g(x, t), (cioè una quantità osservabile<br />
misurata nell’ambito di una descrizione Euleriana) e la sua corrispondente osservabile ‘Lagrangiana’<br />
g(X, t) (cioè la medesima osservabile misurata nella descrizione Lagrangiana).<br />
Essa è data da<br />
g(X, t) = g(Φ(X, t), t), g(x, t) = g(Φ −1 (x, t), t), (6.6)<br />
che estende in modo ovvio la (6.4). Notiamo che tra le derivate temporali di un’osservabile<br />
Lagrangiana ed Euleriana sussiste la seguente relazione:<br />
∂ ∂<br />
g(X, t) =<br />
∂t ∂t g(x, t) + u(x, t) · ∇xg(x, t) (6.7)<br />
quando x ed X sono legati dalla relazione x = Φ(X, t). Per ottenere la relazione (6.7)<br />
basta differenziare la prima delle (6.6) con la regola di derivazione delle funzioni composte,<br />
∂ ∂g(Φ(X, t), t)<br />
g(X, t) =<br />
∂t ∂t<br />
= ∂g(x, t)<br />
∂t + ∇xg(x, t) ·<br />
∂Φ(X, t)<br />
,<br />
∂t<br />
e usare la (6.5). La combinazione di derivate che appare nel membro destro della relazione<br />
precedente rappresenta la derivazione lungo la traiettoria di una fissata particella<br />
del sistema e prende il nome di derivata sostanziale. Per indicarla si usa il simbolo<br />
D<br />
Dt<br />
In particolare, <strong>per</strong> g(x, t) = u(x, t) si ottiene<br />
a(x, t) =<br />
6.2 Teorema del trasporto.<br />
∂<br />
= + u(x, t) · ∇x.<br />
∂t<br />
∂u(x, t)<br />
∂t + u(x, t) · ∇xu(x, t) = Du<br />
(x, t).<br />
Dt<br />
Una famiglia {At ⊂ R 3 |t ∈ [0, t]} di sottoinsiemi di R 3 si dice volume materiale se <strong>per</strong><br />
ogni t ∈ [0, t], <strong>per</strong> ogni x ∈ At risulta x = Φ(X, t) <strong>per</strong> qualche X ∈ A0. In altri termini,<br />
un volume materiale è un volume che si muove insieme con il sistema continuo. Nella
98 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO<br />
formulazione delle equazioni del moto <strong>per</strong> i sistemi continui saremo interessati a considerare<br />
quantità che si esprimono come integrali di osservabili su volumi materiali, della forma<br />
<br />
g(x, t)dx<br />
e a valutarne la loro derivata temporale. Proviamo a questo scopo il seguente<br />
At<br />
Teorema 6.2.1 (Teorema del trasporto) Se g ed u sono differenziabili in At, <strong>per</strong> t ∈<br />
[0, t], allora<br />
<br />
<br />
d<br />
Dg<br />
g(x, t)dx = + gdivu (x, t)dx.<br />
dt At<br />
At Dt<br />
(6.8)<br />
Dimostrazione. La dimostrazione si basa sul passaggio da variabili Euleriane a variabili<br />
Lagrangiane. Usando il teorema A.4.2 otteniamo<br />
<br />
<br />
g(x, t)dx = g(X, t)J(X, t)dX,<br />
ove<br />
At<br />
A0<br />
A0<br />
J(X, t) = | det F (X, t)|.<br />
Differenziando tale relazione rispetto al tempo ed usando la (6.6) si ottiene<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
∂J<br />
g(x, t)dx = (X, t)g(X, t)dX + J(X, t)<br />
dt At<br />
A0 ∂t A0<br />
∂g<br />
(X, t)dX<br />
∂t<br />
<br />
<br />
∂J<br />
Dg<br />
= (X, t)g(X, t)dX + (x, t)dx.<br />
∂t Dt<br />
Per concludere la prova basta far vedere che risulta<br />
At<br />
∂J<br />
(X, t) = J(X, t)(divu)(Φ(X, t), t). (6.9)<br />
∂t<br />
Per provare la (6.9), osserviamo anzitutto che, poiché det F (X, 0) = 1 e la matrice F è<br />
invertibile <strong>per</strong> ogni t, <strong>per</strong> continuità detF > 0 e quindi il valore assoluto è irrilevante.<br />
D’altra parte, <strong>per</strong> la (6.5)<br />
Φ(X, t) = X +<br />
Differenziando rispetto ad X si ottiene<br />
F (X, t) = I +<br />
t<br />
0<br />
t<br />
0<br />
u(Φ(X, s), s)ds.<br />
[(∇xu)(Φ(X, s), s)][F (X, s)]ds,<br />
ove il prodotto tra le due parentesi quadre sopra è da intendere come prodotto tra due<br />
matrici quadrate. Pertanto<br />
∂F (X, t)<br />
∂t<br />
= [(∇xu)(Φ(X, t), t)][F (X, t)]. (6.10)
6.3. CONSERVAZIONE DELLA MASSA 99<br />
Esercizio 6.2.2 Dimostrare che, data una matrice quadrata n × n A(t) dipendente da un<br />
parametro reale t, la derivata<br />
d<br />
[det A(t)]<br />
dt<br />
è uguale alla somma<br />
det A1(t) + . . . + det An(t),<br />
dove le matrici Aj(t) sono ottenute sostituendo alla riga j–esima la sua derivata rispetto a<br />
t.<br />
Grazie al risultato dell’esercizio precedente applicato a F (X, t) otteniamo<br />
∂J<br />
(X, t) =<br />
∂t<br />
3<br />
det Fi(X, t),<br />
i=1<br />
ove Fi sono ottenute come suggerito nell’esercizio precedente. Dall’espressione della derivata<br />
temporale di F si ottiene allora<br />
det Fi(X, t) = ∂ui<br />
det F.<br />
∂xi<br />
Per dimostrare la formula precedente scrivere gli elementi della colonna i–esima di Fi come<br />
termini di un prodotto righe <strong>per</strong> colonne usando l’espressione della derivata temporale di<br />
F . Osservare quindi che i contributi con k = i annullano i rispettivi determinanti. La (6.9)<br />
è allora dimostrata e con essa il teorema del trasporto. <br />
Passeremo ora a formulare le leggi fondamentali della Meccanica dei sistemi continui.<br />
6.3 Conservazione della massa<br />
Ricordiamo che la distribuzione di massa è caratterizzata dalla densità ρ(x, t) ≥ 0 e che<br />
<strong>per</strong> ogni insieme misurabile A la quantità<br />
<br />
mt(A) = ρ(x, t)dx<br />
rappresenta la massa contenuta nell’insieme A. La legge di conservazione della massa<br />
stabilisce che non vi è creazione o distruzione di massa e, in altri termini, in un volume<br />
materiale {At|t ∈ [0, t]} la massa è costante. Si assume quindi<br />
A<br />
d<br />
dt mt(At) = 0 (6.11)<br />
<strong>per</strong> ogni t e <strong>per</strong> ogni volume materiale. Poiché la funzione ρ è assunta differenziabile,<br />
utilizzando il teorema del trasporto, otteniamo<br />
0 = d<br />
<br />
dt<br />
<br />
ρ(x, t)dx =<br />
<br />
D<br />
ρ(x, t) + ρ(x, t)divu(x, t) dx.<br />
Dt<br />
At<br />
At
100 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO<br />
Questa equazione è valida qualunque sia il volume materiale. Dall’invertibilità del flusso,<br />
ogni sottinsieme limitato di R n è immagine ad un certo tempo t di un volume materiale.<br />
Dunque l’integrale precedente è zero su ogni sottinsieme di R n . Quindi, <strong>per</strong> il teorema<br />
A.4.1, l’integranda deve essere identicamente nulla, ovvero<br />
D<br />
ρ(x, t) + ρ(x, t)divu(x, t) = 0.<br />
Dt<br />
Ricordando la definizione di derivata sostanziale, la precedente equazione si scrive anche<br />
∂<br />
ρ + div[ρu] = 0. (6.12)<br />
∂t<br />
Analogamente all’equazione (4.7) ricavata nel capitolo precedente, anche l’equazione (6.12)<br />
è detta equazione di continuità. In questo capitolo essa è stata ricavata in modo matematicamente<br />
rigoroso. Il termine ρu presente sotto il segno di divergenza è detto corrente di<br />
massa.<br />
Esercizio 6.3.1 Dato un volume materiale t → At, considerare la legge di conservazione<br />
della massa mt(At) = m0(A0) e cambiare variabile x = Φ(X, t) all’interno dell’integrale in<br />
mt(At). Dimostrare quindi la seguente forma Lagrangiana dell’equazione di continuità<br />
d<br />
[J(X, t)ρ(Φ(X, t), t)] = 0.<br />
dt<br />
6.4 Bilancio dell’impulso (equazione di Newton)<br />
La massa ρ(x, t)dx contenuta al tempo t in un volumetto dx centrato nel punto x si muove<br />
con velocità u(x, t). L’impulso (o quantità di moto) ad essa associato è ρ(x, t)u(x, t)dx.<br />
Per questa ragione, <strong>per</strong> ogni A ⊂ R3 si dice impulso di A al tempo t il vettore<br />
<br />
Pt(A) = ρ(x, t)u(x, t)dx.<br />
A<br />
Denoteremo inoltre con Ft(A) il risultante di tutte le forze agenti su A al tempo t. In<br />
analogia con la legge di Newton, si assume la seguente legge di bilancio dell’impulso: <strong>per</strong><br />
ogni volume materiale {At|t ∈ [0, t]}, la derivata temporale dell’impulso Pt(At) è pari al<br />
risultante Ft(At) delle forze agenti su At. In formule:<br />
d<br />
dt Pt(At) = Ft(At) (6.13)<br />
<strong>per</strong> ogni volume materiale.<br />
Occorre ora formulare delle assunzioni sulla natura delle forze agenti su ciascuna parte<br />
A del sistema continuo. Si assume che le forze agenti su A siano di due tipi: un primo<br />
tipo, il cui risultante si denota con F V<br />
t (A), rappresenta le azioni che vengono esercitate
6.4. BILANCIO DELL’IMPULSO (EQUAZIONE DI NEWTON) 101<br />
dall’esterno su tutte le particelle di A. Un esempio di forza di questo tipo è l’attrazione di<br />
gravità. La forza F V<br />
t (A) è detta forza di volume. Si assume su essa una relazione analoga<br />
a quella che ci ha <strong>per</strong>messo di definire la densità di massa. Si suppone, cioè, che esista un<br />
campo vettoriale b(x, t) regolare, detto forza specifica (o forza <strong>per</strong> unità di massa) tale che<br />
<br />
ρ(x, t)b(x, t)dx.<br />
F V<br />
t (A) =<br />
A<br />
La funzione b(x, t), rappresentando le forze agenti dall’esterno, si supporrà nota ed in<br />
particolare, sarà nulla <strong>per</strong> i sistemi isolati. Le forze del secondo tipo, il cui risultante<br />
si denota con F S<br />
t (A), rappresenta l’azione delle altre parti del sistema sulla parte A. Si<br />
suppone che queste forze siano a corto raggio e che si esplichino soltanto sulla frontiera ∂A<br />
di A. In modo analogo al caso delle forze di volume, anche nel caso delle forze di su<strong>per</strong>ficie<br />
si suppone che esista una funzione vettoriale regolare φ(x, n, t), detta sforzo specifico agente<br />
in x al tempo t su una su<strong>per</strong>ficie unitaria di normale n = n(x), tale che<br />
<br />
φ(x, t, n(x))dσ(x). (6.14)<br />
At<br />
F S<br />
t (A) =<br />
∂A<br />
L’ipotesi (6.14) è nota come ipotesi di Eulero-Cauchy sugli sforzi. In conseguenza di queste<br />
assunzioni, ricordando inoltre il teorema del trasporto 6.2.1, la legge di bilancio dell’impulso<br />
si scrive<br />
<br />
<br />
ρ(x, t)b(x, t)dx + φ(x, t, n(x))dσ(x) =<br />
A<br />
∂A<br />
d<br />
<br />
ρudx<br />
dt At<br />
<br />
D<br />
(ρu) + ρudivu dx = ρ<br />
Dt D<br />
<br />
D<br />
u + u ρ + ρdivu dx.<br />
Dt Dt<br />
At<br />
Ricordando l’equazione di continuità, il termine tra parentesi tonde nell’ultima riga si<br />
annulla. Otteniamo dunque<br />
<br />
ρ D<br />
<br />
<br />
udx = ρ(x, t)b(x, t)dx + φ(x, t, n(x))dσ(x). (6.15)<br />
Dt<br />
At<br />
At<br />
Una prima conseguenza della (6.15) è il seguente teorema di Cauchy sugli sforzi che<br />
stabilisce che la dipendenza dello sforzo specifico φ dalla direzione n è necessariamente<br />
lineare.<br />
Teorema 6.4.1 (Teorema di Cauchy) Esiste un campo di matrici S(x, t) ∈ M(3 × 3)<br />
tale che<br />
φ(x, t, n) = S(x, t)n,<br />
e in termini di componenti,<br />
φi(x, t, n) =<br />
∂At<br />
3<br />
Si,j(x, t)nj.<br />
j=1
102 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO<br />
Il campo di matrici S è detto tensore degli sforzi.<br />
Dimostrazione. Per dimostrare il teorema di Cauchy, costruiamo la regione T , detta tetraedro<br />
di Cauchy, nel modo seguente. Supponiamo che il vettore normale n non sia parallelo<br />
a nessun piano coordinato. Consideriamo il piano ortogonale ad n posto a distanza ɛ da x<br />
(ce ne sono due, scegliamo quello posto nella regione verso cui è diretto n). Questo piano<br />
interseca le rette parallele agli assi coordinati e passanti <strong>per</strong> x in tre punti, che chiamiamo<br />
x1, x2 e x3 (rispettivamente intersezioni del piano con le rette parallele all’asse delle x,<br />
delle y e delle z). Chiamiamo T il tetraedro di vertici x, x1, x2 e x3. Chiamiamo inoltre<br />
Σ0 la faccia del tetraedro ortogonale ad n. Denotiamo inoltre con Σx, Σy e Σz le facce<br />
del tetraedro la cui normale è parallela agli assi x, y e z rispettivamente. Mostriamo che<br />
valgono la seguenti relazioni<br />
|Σx| = |n1||Σ0|, |Σy| = |n2||Σ0|, |Σz| = |n3||Σ0|, (6.16)<br />
ove il simbolo |Σi| indica l’area di Σi, i = 0, 1, 2, 3, e dove n1, n2, n3 sono le componenti<br />
del versore normale. Per mostrare (6.16) poniamo rj = −→<br />
xxj, j = 1, 2, 3. Mostriamo solo la<br />
prima delle tre relazioni precedenti, le altre due si dimostrano analoamente. Dalle proprietà<br />
del prodotto vettoriale segue che<br />
( −−→<br />
x2x3 ∧ −−→<br />
x2x1) = 2|Σ0|n,<br />
ricordando anche che n è ortogonale ai vettori −−→<br />
x2x3 e −−→<br />
x2x1 ed ha modulo unitario. Ora, la<br />
prima componente di n sarà pari a (n, e1), dove e1 è il primo versore coordinato. Quindi,<br />
applicando il prodotto scalare <strong>per</strong> e1 alla relazione precedente si ha<br />
( −−→<br />
x2x3 ∧ −−→<br />
x2x1, e1) = 2|Σ0|n1.<br />
Usando il fatto che −−→<br />
x2x3 = r3 − r2 e −−→<br />
x2x1 = r1 − r2, e ricordando che il prodotto vettoriale<br />
di due vettori paralleli è nullo, otteniamo<br />
(r2 ∧ r3, e1) = 2|Σ0|n1.<br />
Infine, dato che i due fattori del precedente prodotto vettoriale sono ortogonali, si ha che<br />
il modulo del vettore a sinistra è pari a r2 ∧ r3, ovvero 2|Σx|, e questo prova la (6.16).<br />
Consideriamo ora la relazione (6.15) sul volume T , dividendo la relazione <strong>per</strong> l’area<br />
della su<strong>per</strong>ficie di T e mandando ɛ a zero. I due termini che coinvolgono integrali di<br />
volume danno un contributo nullo al limite <strong>per</strong> ɛ → 0. Ad esempio, <strong>per</strong> il termine forzante<br />
si ha <br />
Otteniamo dunque<br />
1<br />
|∂T |<br />
<br />
T<br />
<br />
<br />
ρbdx<br />
<br />
|T |<br />
≤ sup |ρb| → 0 <strong>per</strong> ɛ → 0.<br />
|∂T |<br />
<br />
1<br />
lim φ(x, t, n(x))dσ(s) = 0.<br />
ɛ→0 |∂T | ∂T
6.4. BILANCIO DELL’IMPULSO (EQUAZIONE DI NEWTON) 103<br />
Dato che, <strong>per</strong> ɛ molto piccolo, ciascun integrale sulle facce di T è pari al prodotto della<br />
su<strong>per</strong>ficie della faccia <strong>per</strong> φ(x, t, m(x)), dove m(x) è il versore normale corrispondente alla<br />
faccia, dalla relazione precedente e dalla (6.16) otteniamo<br />
φ(x, t, n) +<br />
3<br />
φ(x, t, −ej)|nj| = 0,<br />
j=1<br />
ove ej è il j–esimo versore coordinato. Per scrivere la relazione precedente si osservi che le<br />
normali alle facce Σx, Σy e Σz sono paralleli ai versori coordinati. La relazione precedente<br />
implica<br />
φ(x, t)n =<br />
3<br />
φ(x, t, ej)nj,<br />
j=1<br />
che coincide con la tesi. <br />
Il teorema di Cauchy consente di esprimere le forze di su<strong>per</strong>ficie in termini di un integrale<br />
di volume mediante il teorema di Gauss:<br />
<br />
<br />
<br />
ove<br />
F S<br />
t (A) =<br />
∂A<br />
φ(x, t, n(x))dσ(x) =<br />
Il bilancio dell’impulso diviene così<br />
<br />
ρ D<br />
<br />
udx =<br />
Dt<br />
At<br />
[divS(x, t)]i =<br />
e l’arbitrarietà della regione At comporta<br />
At<br />
∂A<br />
S(x, t)n(x)dσ(x) =<br />
3<br />
j=1<br />
∂Si,j<br />
∂xj<br />
<br />
ρ(x, t)b(x, t)dx +<br />
ρ D<br />
u = divS + ρb,<br />
Dt<br />
(x, t).<br />
At<br />
A<br />
divS(x, t)dx,<br />
divS(x, t)dx. (6.17)<br />
che è detta legge di bilancio locale dell’impulso. Ricordando la definizione di Du,<br />
l’equazione<br />
Dt<br />
precente si scrive anche<br />
ρut + ρ(u · ∇u) = divS + ρb.<br />
Ricordando anche l’equazione di continuità, il bilancio dell’impulso si scrive come<br />
∂t(ρui) +<br />
3<br />
k=1<br />
Introducendo poi la matrice u ⊗ u di componenti<br />
∂xk [ρuiuk − Si,k] = ρbi, i = 1, 2, 3.<br />
(u ⊗ u)i,j = uiuj, i, j = 1, 2, 3,<br />
che si legge ‘u tensore u’, la relazione vettoriale precedente può essere scritta più brevemente<br />
∂t(ρu) + div[ρu ⊗ u − S] = ρb. (6.18)
104 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO<br />
6.5 Bilancio del momento angolare<br />
Come in Meccanica, anche in Dinamica dei fluidi, a fianco della prima equazione cardinale,<br />
che traduce il bilancio dell’impulso, vi è una seconda equazione che traduce il bilancio del<br />
momento angolare. Per stabilirla definiamo momento angolare di A al tempo t la quantità<br />
<br />
Kt(A) =<br />
A<br />
ρ(x, t)[x ∧ u(x, t)]dx,<br />
avendo fissato una volta <strong>per</strong> tutte il polo nell’origine. Definiamo inoltre momento delle<br />
forze di su<strong>per</strong>ficie la quantità<br />
M S t (A) =<br />
e momento delle forze di volume la quantità<br />
<br />
M V t (A) =<br />
∂A<br />
<br />
A<br />
[x ∧ φ(x, t, n(x))]dσ(x)<br />
ρ(x, t)[x ∧ b(x, t)]dx.<br />
La legge di bilancio del momento angolare stabilisce che <strong>per</strong> ogni volume materiale At<br />
risulta<br />
d<br />
dt Kt(At) = M S t (A) + M V t (A).<br />
Usando il teorema del trasporto e l’equazione di continuità, e ricordando che Dx/Dt = u<br />
e che u ∧ u = 0, otteniamo grazie al teorema di Cauchy<br />
<br />
At<br />
ρx ∧ D<br />
<br />
<br />
u(x, t)dx = [x ∧ (S(x, t)n(x))]dσ(x) + ρ(x, t)[x ∧ b(x, t)]dx. (6.19)<br />
Dt ∂At<br />
At<br />
Il teorema di Gauss implica<br />
<br />
∂At<br />
<br />
[x ∧ (S(x, t)n(x))]dσ(x) =<br />
At<br />
div[x ∧ S(x, t)]dx.<br />
Sostituendo queste relazioni nella (6.19), la legge locale di bilancio dell’impulso implica,<br />
<strong>per</strong> l’arbitrarietà di At,<br />
x ∧ divS = div(x ∧ S),<br />
relazione che, scritta <strong>per</strong> componenti risulta verificata se e solo se S T = S. In conclusione,<br />
se vale il bilancio dell’impulso in forma locale, il bilancio del momento angolare è equivalente<br />
all’assunzione che il tensore degli sforzi è una matrice simmetrica. Tralasciamo i dettagli<br />
più delicati del conto precedente, ricordando solo che l’o<strong>per</strong>atore di divergenza agisce in<br />
questo caso su una matrice, e dà come risultato un vettore.
6.6. BILANCIO DELL’ENERGIA (PRIMA LEGGE DELLA TERMODINAMICA) 105<br />
6.6 Bilancio dell’energia (prima legge della Termodinamica)<br />
Come in Meccanica, il bilancio dell’energia gioca un ruolo fondamentale nella Dinamica<br />
dei fluidi. Poiché un sistema continuo è soggetto, oltre che a fenomeni meccanici, anche<br />
a fenomeni termici, la formulazione della legge di bilancio dell’energia va generalizzata in<br />
analogia a quanto si fa in Termodinamica. Definiamo energia cinetica di A al tempo t la<br />
quantità<br />
E (cin)<br />
<br />
1<br />
t (A) =<br />
A 2 ρ(x, t)|u(x, t)|2dx. Si definisce potenza delle forze su<strong>per</strong>ficiali agenti su A al tempo t la quantità<br />
<br />
u(x, t)S(x, t)n(x)dσ(x).<br />
P S t (A) =<br />
∂A<br />
Si definisce potenza delle forze di volume agenti su A al tempo t la quantità<br />
<br />
ρ(x, t)u(x, t)b(x, t)dx.<br />
P V t (A) =<br />
A<br />
In assenza di fenomeni termici il bilancio dell’energia stabilirebbe l’uguaglianza<br />
d<br />
dt E(cin) t (At) = P S t (At) + P V t (At).<br />
Tuttavia, quando i fenomeni termici sono rilevanti, la relazione precedente è falsa. La<br />
Termodinamica suggerisce l’introduzione, a fianco dell’energia cinetica, di un’altra forma<br />
di energia, detta energia interna, che verrà denotata con E (int)<br />
t (A). Per l’energia interna<br />
vale un’assunzione analoga a quella fatta <strong>per</strong> la massa totale del mezzo, che si può esprimere<br />
in modo localizzato mediante l’elemento infinitesimo di massa ρdx. Anche <strong>per</strong> l’energia<br />
interna si ottiene mediante l’integrale di un termine localizzato su un elemento infinitesimo<br />
di massa, nel senso che esiste una funzione regolare e(x, t) detta energia interna specifica,<br />
tale che<br />
E (int)<br />
<br />
t (A) = ρ(x, t)e(x, t)dx.<br />
A<br />
Occorre introdurre inoltre la potenza termica fornita ad A al tempo t, che si denota con<br />
Qt(A). In analogia a quanto fatto <strong>per</strong> la forza, si suppone che la potenza termica derivi<br />
da due tipi di contributi: uno, Q V t (A) esprimibile attraverso un integrale di volume (che<br />
dunque ammette un corrispondente termine localizzato su una particella elementare del<br />
mezzo), che tiene conto di eventuali trasferimenti di calore <strong>per</strong> irraggiamento. In base a<br />
tali ipotesi, esiste una funzione r(x, t) regolare, detta potenza termica specifica in modo<br />
che<br />
<br />
ρ(x, t)r(x, t)dx.<br />
Q V t (A) =<br />
A
106 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO<br />
L’altro contributo, Q S t (A) che tiene conto di fenomeni di conduzione termica, è ottenuto<br />
mediante integrazione sulla su<strong>per</strong>ficie di A e quindi esiste una funzione regolare h(x, t, n)<br />
detta flusso termico attraverso una su<strong>per</strong>ficie unitaria passante <strong>per</strong> x di normale n tale che<br />
<br />
h(x, t, n(x))dσ(x).<br />
Q S t (A) =<br />
∂A<br />
Il principio di bilancio dell’energia o prima legge della Termodinamica stabilisce allora che<br />
<strong>per</strong> ogni volume materiale At risulta<br />
d<br />
dt (E(cin) t<br />
(At) + E (int)<br />
t (At)) = P S t (At) + Q S t (At) + P V t (At) + Q V t (At). (6.20)<br />
Usando il teorema del trasporto e l’equazione di continuità, possiamo riscrivere il primo<br />
membro della (6.20) come<br />
d<br />
dt (E(cin) t<br />
<br />
=<br />
At<br />
(At) + E (int)<br />
<br />
t (At)) =<br />
ρ D<br />
2 <br />
|u|<br />
+ e dx +<br />
Dt 2<br />
At<br />
<br />
2 ∂ |u|<br />
ρ + e dx<br />
∂t 2<br />
<br />
2<br />
<br />
|u| Dρ<br />
+ e + ρdivu dx =<br />
2 Dt<br />
Dunque il bilancio dell’energia si riscrive come<br />
<br />
ρ D<br />
2 <br />
|u|<br />
+ e dx =<br />
Dt 2<br />
<br />
(u · Sn + h)dσ(x) +<br />
At<br />
At<br />
∂At<br />
At<br />
At<br />
ρ D<br />
2 |u|<br />
+ e dx.<br />
Dt 2<br />
ρ(u · b + r)dx (6.21)<br />
La prima conseguenza della (6.21) è l’analogo del teorema di Cauchy <strong>per</strong> il flusso termico<br />
(la dimostrazione è identica a quella del teorema di Cauchy): esiste un campo vettoriale<br />
regolare q(x, t) detto vettore flusso di calore, tale che<br />
h(x, t, n) = −q(x, t)n.<br />
Il segno nella precedente relazione è fissato in modo che, quando q forma un angolo acuto<br />
con la normale esterna, l’energia del sistema diminuisca e cioè vi sia un flusso di energia<br />
termica da A verso l’esterno. In tal modo q è effettivamente diretto concordemente al verso<br />
in cui fluisce l’energia.<br />
Ricordando la definizione di D/Dt, il teorema di Gauss, ed usando l’arbitrarietà di At,<br />
la (6.21) implica<br />
<br />
2<br />
2<br />
|u| |u|<br />
ρ∂t + e + ρu · ∇ + e = div[u · S − q] + ρ[u · b + r], (6.22)<br />
2 2<br />
ove<br />
div[u · S] =<br />
3<br />
i,k=1<br />
∂xk uiSi,k = u · divS + Tr(∇uS),
6.6. BILANCIO DELL’ENERGIA (PRIMA LEGGE DELLA TERMODINAMICA) 107<br />
e Tr(∇uS) è la traccia del prodotto tra le matrici ∇u ed S. Si noti che, <strong>per</strong> la simmetria di<br />
S l’ordine degli indici nella matrice ∇u è irrilevante. Usando il bilancio locale dell’impulso,<br />
possiamo riscrivere la (6.22) come<br />
ρ De<br />
Dt<br />
= Tr(∇uS) − divq + ρr. (6.23)<br />
Un’altra utile forma dell’equazione di bilancio dell’energia si ottiene dalla (6.22) utilizzando<br />
l’equazione di continuità, ovvero<br />
<br />
2<br />
2<br />
|u| |u|<br />
∂t ρ + e + div ρu + e − Su + q = ρ(u · b + r). (6.24)<br />
2 2<br />
Riassumendo, i moti di un sistema continuo soddisfano un sistema di equazioni locali<br />
della forma ⎧⎪<br />
∂ρ<br />
+ u · ∇ρ + ρdivu = 0<br />
⎨<br />
∂t <br />
∂<br />
ρ u + u · ∇u = divS + ρb<br />
∂t <br />
⎪⎩<br />
∂e<br />
ρ + u · ∇e = Tr(∇uS) − divq + ρr,<br />
∂t<br />
(6.25)<br />
che rappresentano le leggi di bilancio di massa, impulso ed energia. Una forma alternativa<br />
di tale sistema, detta forma conserativa, è la seguente<br />
⎧<br />
∂<br />
ρ + div[ρu] = 0<br />
⎪⎨ ∂t<br />
∂<br />
(ρu) + div[ρu ⊗ u − S] = ρb<br />
(6.26)<br />
∂t <br />
2<br />
2<br />
⎪⎩<br />
∂ |u| |u|<br />
ρ + e + div ρu + e − Su + q = ρ(u · b + r).<br />
∂t 2 2<br />
Per sistemi isolati, ovvero con b = 0 e r = 0, si ha<br />
⎧<br />
∂<br />
ρ + div[ρu] = 0<br />
⎪⎨ ∂t<br />
∂<br />
(ρu) + div[ρu ⊗ u − S] = 0<br />
∂t 2<br />
2<br />
⎪⎩<br />
∂ |u| |u|<br />
ρ + e + div ρu<br />
∂t 2 2<br />
<br />
+ e − Su + q = 0.<br />
(6.27)<br />
Le (6.27) rappresentano un sistema di 5 leggi di conservazione scalari.<br />
È opportuno notare che le equazioni ottenute in una delle forme precedenti, sono valide<br />
<strong>per</strong> un qualsiasi sistema continuo, ma contengono un numero eccessivo di funzioni incognite<br />
<strong>per</strong> poter essere effettivamente sufficienti alla determinazione dell’evoluzione del sistema.<br />
In esse infatti appaiono le funzioni ρ, u, e, S e q, <strong>per</strong> un totale di 1 + 3 + 1 + 6 + 3 = 14<br />
funzioni incognite, avendo supposto dati b e r. La discussione precedente infatti si limita
108 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO<br />
a stabilire l’esistenza di tali funzioni ma non fornisce nessun metodo <strong>per</strong> determinarle.<br />
È evidente che occorre stabilire delle relazioni tra le incognite in modo da ridurre il loro<br />
numero a cinque, quante sono le equazioni. Queste relazioni, dette equazioni costitutive,<br />
a differenza dalle equazioni di bilancio, non sono di validità generale, ma dipendono dal<br />
modello di sistema continuo che si intende studiare.
Capitolo 7<br />
Equazioni di Eulero e Navier–Stokes<br />
In questo capitolo ricaveremo sistemi di equazioni <strong>per</strong> il moto di certi tipi di fluidi (a<br />
seconda delle leggi costitutive considerate) partendo dal contenuto del capitolo precedente.<br />
7.1 Fluidi ideali<br />
I modelli di sistema continuo di cui ci occu<strong>per</strong>emo saranno esclusivamente i fluidi. La<br />
nozione intuitiva di fluido è evidente. Non forniremo qui definizioni generali di fluidi ma<br />
ci limiteremo a dare una caratterizzazione sufficiente <strong>per</strong> i nostri propositi. Cominciamo<br />
con il definire stato di equilibrio di un sistema continuo uno stato del sistema che, assunto<br />
inizialmente, <strong>per</strong>siste indefinitamente nel tempo. Uno stato di equilibrio è necessariamente<br />
uno stato in cui non vi è moto (u = 0), non vi è flusso di calore (q = 0) e tutte le altre<br />
quantit’a (ρ, e ed S) non dipendono dal tempo. Lo studio di questi stati è usualmente<br />
detto Idrostatica. Diremo poi che il sistema non esplica sforzi di taglio se lo sforzo specifico<br />
φ(x, t, n) esercitato dal sistema sulla su<strong>per</strong>ficie Σ di normale n non ha componenti<br />
tangenziali a Σ (sforzi di taglio) e cioè è puramente normale. Quando ciò si verifica, <strong>per</strong> il<br />
teorema di Cauchy, esiste una funzione reale regolare p(x, t) tale che<br />
φ(x, t, n) = −p(x, t)n.<br />
La funzione p(x, t) è detta pressione. Diremo che un sistema continuo è un fluido quando<br />
all’ equilibrio esso non esplica sforzi di taglio. Questa definizione traduce la nota proprietà<br />
idrostatica dei fluidi di non essere in grado di conservare la forma. Infatti, <strong>per</strong> alterare<br />
localmente la forma di un corpo supponiamo di applicare una forza non normale alla<br />
su<strong>per</strong>ficie del corpo. A tale forza un fluido in equilibrio non è in grado di reagire <strong>per</strong><br />
definizione di fluido e quindi la forma del fluido può essere alterata arbitrariamente.<br />
Denotata con S (e) la determinazione del tensore degli sforzi all’equilibrio, in modo che<br />
in ogni altro stato risulti<br />
S = S (e) + N,<br />
109
110 CAPITOLO 7. EQUAZIONI DI EULERO E NAVIER–STOKES<br />
ove N rappresenta la deviazione del tensore degli sforzi dalla sua determinazione idrostatica,<br />
in un fluido risulta allora<br />
= −pδi,j,<br />
S (e)<br />
i,j<br />
ove il simbolo δi,j rappresenta il Delta di Kronecker<br />
<br />
δi,j =<br />
1<br />
0<br />
se i = j<br />
se i = j .<br />
In forma matriciale,<br />
S (e) = −pId,<br />
ove Id è la matrice identica in R d . La definizione data di fluido stabilisce in sostanza<br />
che un fluido in condizioni idrostatiche può esplicare soltanto pressioni. Il fluido ideale è<br />
caratterizzato dalle seguenti proprietà<br />
(i) il fluido ideale non è in grado di esplicare sforzi di taglio;<br />
(ii) il fluido ideale non è conduttore di calore<br />
La condizione (i) vuol dire che l’assenza di sforzi di taglio non è ristretta soltanto alle<br />
situazioni idrostatiche ma si presenta in tutti gli stati del fluido ideale. Pertanto <strong>per</strong> un<br />
fluido ideale<br />
N = 0, Si,j = −pδi,j.<br />
La condizione (ii) equivale ad assumere che non vi sia flusso di calore anche fuori dall’equilibrio<br />
(fluido termicamente isolante), ovvero q = 0. Le assunzioni (i) e (ii) riducono le<br />
incognite <strong>per</strong> un fluido ideale a ρ, u, p ed e <strong>per</strong> un totale di 1 + 3 + 1 + 1 = 6, e cioè una<br />
in più rispetto alle equazioni disponibili. Questa indeterminazione residua non è sorprendente<br />
in quanto, come sappiamo dalla Termodinamica, la natura di uno specifico fluido<br />
è determinata quando sia assegnata la sua equazione di stato, cioè una funzione regolare<br />
ˆp(ρ, e) tale che <strong>per</strong> ogni x e t la pressione sia data dalla relazione<br />
p = ˆp(ρ, e).<br />
In realtà spesso risulta conveniente utilizzare, in luogo della variabile indipendente e<br />
un’altra variabile di più immediata interpretazione empirica, cioè la tem<strong>per</strong>atura assoluta<br />
T (x, t) > 0. In tal caso, la Termodinamica fornisce due funzioni regolari ˜p(ρ, T ) e<br />
˜e(ρ, T ) in modo che <strong>per</strong> ogni x e t l’energia interna specifica e la pressione p siano date<br />
dalle relazioni<br />
e(x, t) = ˜e(ρ(x, t), T (x, t)), p(x, t) = ˜p(ρ(x, t), T (x, t)). (7.1)<br />
Utilizzando le precedenti assunzioni nelle (6.25) e nelle (6.26), si ottengono le equazioni<br />
⎧<br />
∂ρ<br />
+ u · ∇ρ + ρdivu = 0<br />
⎪⎨<br />
∂t <br />
∂<br />
ρ u + u · ∇u + ∇˜p(ρ, T ) = ρb<br />
(7.2)<br />
∂t <br />
⎪⎩<br />
∂˜e(ρ, T )<br />
ρ + u · ∇˜e(ρ, T ) + ˜p(ρ, T )divu = ρr.<br />
∂t
7.2. FLUIDI PERFETTI 111<br />
Equivalentemente<br />
⎧<br />
∂<br />
ρ + div[ρu] = 0<br />
⎪⎨ ∂t<br />
∂<br />
∂t<br />
⎪⎩<br />
(ρu) + div[ρu ⊗ u − ˜p(ρ, T )Id] = ρb<br />
<br />
2<br />
2<br />
∂ |u| |u|<br />
ρ + ˜e(ρ, T ) + div ρu + ˜e(ρ, T ) + u˜p(ρ, T ) = ρ(u · b + r).<br />
∂t 2 2<br />
(7.3)<br />
Le equazioni (7.3) appaiono come un sistema di cinque equazioni differenziali alle derivate<br />
parziali nelle cinque funzioni incognite ρ, u e T . Nel caso r = 0 e b = 0 esse rappresentano<br />
un sistema di cinque leggi di conservazione. Ai due precedenti sistemi di equazioni viene<br />
dato il nome di equazioni di Eulero <strong>per</strong> un fluido ideale. Nel seguito ometteremo la tilde<br />
usata <strong>per</strong> distinguere le funzioni che esprimono le equazioni di stato dai corrispondenti<br />
valori.<br />
7.2 Fluidi <strong>per</strong>fetti<br />
Come in Termodinamica il gas <strong>per</strong>fetto gioca un ruolo privilegiato <strong>per</strong> la sua semplicità,<br />
così in Dinamica dei fluidi un ruolo privilegiato è giocato dal fluido <strong>per</strong>fetto, caratterizzato<br />
dall’equazione di stato dei gas <strong>per</strong>fetti e dalla linearità della funzione che esprime l’energia<br />
interna specifica in termini della tem<strong>per</strong>atura. Infatti, diremo fluido <strong>per</strong>fetto un fluido<br />
ideale tale che<br />
p = RρT, e = cvT.<br />
La costante R prende il nome di costante dei gas <strong>per</strong>fetti mentre<br />
cv = 3<br />
2 R<br />
è il cosiddetto calore specifico a volume costante. Con un’opportuna scelta delle unità di<br />
misura ci si può sempre ridurre al caso R = 1, in corrispondenza del quale cv = 3/2. Nel<br />
seguito supporremo di aver fissato unit’a di misura tali che la costante dei gas <strong>per</strong>fetti si<br />
riduce all’unità. Le equazioni di Eulero <strong>per</strong> un fluido <strong>per</strong>fetto si scrivono<br />
⎧<br />
∂ρ<br />
+ u · ∇ρ + ρdivu = 0<br />
⎪⎨<br />
∂t <br />
∂<br />
ρ u + u · ∇u + ∇p = ρb<br />
∂t<br />
⎪⎩<br />
3<br />
2 ρ<br />
<br />
∂T<br />
+ u · ∇T + pdivu = ρr.<br />
∂t<br />
(7.4)
112 CAPITOLO 7. EQUAZIONI DI EULERO E NAVIER–STOKES<br />
Equivalentemente<br />
⎧<br />
∂<br />
ρ + div[ρu] = 0<br />
⎪⎨ ∂t<br />
∂<br />
∂t<br />
⎪⎩<br />
(ρu) + div[ρu ⊗ u − pId] = ρb<br />
2 ∂ |u| 3<br />
ρ +<br />
∂t 2 2 T<br />
2 |u|<br />
+ div ρu<br />
2<br />
con<br />
p = ρT.<br />
5<br />
+<br />
2 T<br />
<br />
= ρ(u · b + r),<br />
(7.5)<br />
Una notevole proprietà del fluido <strong>per</strong>fetto, che segue dalle (7.4) è la seguente: si ponga<br />
<br />
ρ<br />
s(ρ, T ) = − log<br />
T 3/2<br />
<br />
. (7.6)<br />
Risulta allora<br />
Ds<br />
Dt =<br />
<br />
− 1<br />
<br />
3 DT<br />
+ =<br />
ρ 2T Dt<br />
1<br />
T<br />
<br />
p De<br />
divu + =<br />
ρ Dt<br />
r<br />
T ,<br />
ove abbiamo usato l’equazione di continuità e le espressioni <strong>per</strong> p ed e in un fluido <strong>per</strong>fetto.<br />
La quantità s è denominata entropia specifica (termodinamica). La relazione precedente<br />
può sostituire la terza delle equazioni (7.4), in quanto è ad essa equivalente. In tal modo<br />
si ottiene il sistema ⎧⎪<br />
∂<br />
ρ + div[ρu] = 0<br />
⎨∂t<br />
∂<br />
∂t<br />
⎪⎩<br />
(ρu) + div[ρu ⊗ u + pId] = ρb<br />
∂s<br />
r<br />
(ρ, T ) + u · ∇s(ρ, T ) =<br />
∂t T .<br />
(7.7)<br />
In particolare, nel caso di sistemi in cui r = 0 (assenza di irraggiamento), ne consegue<br />
che l’entropia specifica è costante lungo le traiettorie delle particelle di un fluido <strong>per</strong>fetto.<br />
Inoltre, se i dati iniziali sono tali che l’entropia al tempo t = 0 è costante (s(X, 0) =<br />
s0(X) = s0), allora tale è anche l’entropia specifica all’istante generico t. In conseguenza<br />
di ciò si ottiene la relazione<br />
T 3/2<br />
ρ = es0 ,<br />
che <strong>per</strong>mette di esprimere T in funzione di ρ:<br />
T = ρ 2/3 e ( 2s 0<br />
3 ) .<br />
Utilizzando questa relazione nell’equazione di stato si ottiene allora<br />
con<br />
p = Bρ γ ,<br />
γ = 5<br />
3 , B = e( 2s 0<br />
3 ) .
7.3. FLUIDO VISCOSO DI NAVIER-STOKES 113<br />
In queste condizioni le prime due equazioni (7.7) diventano un sistema di quattro equazioni<br />
nelle quattro incognite ρ ed u completamente disaccoppiato dall’equazione <strong>per</strong> l’energia o<br />
da quella <strong>per</strong> l’entropia. Esse si scrivono<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
∂<br />
ρ + div[ρu] = 0<br />
∂t<br />
⎪⎩<br />
∂<br />
(7.8)<br />
(ρu) + div[ρu ⊗ u] + ∇p(ρ) = ρb,<br />
∂t<br />
con<br />
p(ρ) = Bρ γ . (7.9)<br />
I flussi del fluido <strong>per</strong>fetto che soddisfano le equazioni (7.8) sono detti flussi isoentropici.<br />
7.3 Fluido viscoso di Navier-Stokes<br />
L’incapacità del fluido ideale di esercitare sforzi di taglio porta spesso a dei paradossi, quali<br />
ad esempio il fatto che uno strato del fluido che si muove a velocità u(x, t) possa scivolare<br />
su uno strato adiacente che si muove a velocità u(x + ∆x, t) senza nessuna resistenza a<br />
tale moto. In Meccanica sappiamo che, ad esempio una particella che si muove su una<br />
su<strong>per</strong>ficie, subisce una forza di attrito che può essere trascurata in situazioni idealizzate,<br />
ma invece produce effetti significativi in molte situazioni concrete. Un fenomeno simile<br />
si presenta nei fluidi reali, nei quali lo scivolamento di uno strato di fluido su un altro è<br />
contrastato da una resistenza viscosa.<br />
È questa uno sforzo di taglio che si manifesta nel<br />
fluido in condizioni non idrostatiche. La necessità di includere fenomeni di questo tipo<br />
nel modello di fluido ha portato alla formulazione di numerosi modelli, tra i quali quello<br />
di gran lunga più utilizzato e più famoso è quello del fluido viscoso di Navier-Stokes che<br />
descriviamo qui di seguito. Rinunceremo ad assumere N = 0, in quanto il modello deve<br />
esercitare sforzi di taglio. Pertanto <strong>per</strong> il fluido di Navier-Stokes si assumerà<br />
S = −pId + N.<br />
La pressione p e l’energia interna specifica e saranno assunte ancora legate alla densità ρ<br />
ed alla tem<strong>per</strong>atura T dalle relazioni (7.1) assunte <strong>per</strong> il fluido ideale, in quanto esse sono<br />
basate su considerazioni all’equilibrio. Invece non assumeremo più q = 0 in quanto, in<br />
presenza di attrito, si ha conversione di energia meccanica in calore che ha la tendenza<br />
a spostarsi verso le regioni a tem<strong>per</strong>atura più bassa. Per caratterizzare completamente<br />
il modello, occorre fornire delle espressioni <strong>per</strong> N e q. Esse saranno dedotte da alcune<br />
assunzioni ‘naturali’, che illustreremo nel seguito. Cominciamo con l’osservare che, se il<br />
campo di velocità u fosse spazialmente omogeneo, non vi sarebbero fenomeni di attrito.<br />
In conseguenza, la quantità rilevante <strong>per</strong> la determinazione della presenza di attrito è la<br />
matrice ∇u. In realtà non tutta la matrice ∇u, ma solo la sua parte simmetrica ha un<br />
ruolo nel fenomeno di slittamento tra strati di fluido. Infatti, si decomponga<br />
∇u = D + Ω
114 CAPITOLO 7. EQUAZIONI DI EULERO E NAVIER–STOKES<br />
ove D = 1<br />
2 (∇u + (∇u)T ) ed Ω = 1<br />
2 ((∇u) − (∇u)T ) denotano rispettivamente la parte<br />
simmetrica ed antisimmetrica1 di ∇u. Per componenti,<br />
Di,j = 1<br />
<br />
∂ui<br />
+<br />
2 ∂xj<br />
∂uj<br />
<br />
, Ωi,j =<br />
∂xi<br />
1<br />
<br />
∂ui<br />
−<br />
2 ∂xj<br />
∂uj<br />
<br />
.<br />
∂xi<br />
Se x ed x ′ sono punti sufficientemente prossimi (x − x ′ < δ), si ha<br />
Ponendo<br />
u(x ′ ) = u(x) + D(x)(x ′ − x) + Ω(x)(x ′ − x) + O(δ 2 ).<br />
ω = rotu<br />
si ha (facendo i calcoli, utilizzando la definizione di rotore)<br />
u(x ′ ) = u(x) + D(x)(x ′ − x) + 1<br />
2 ω(x) ∧ (x′ − x) + O(δ 2 ). (7.10)<br />
La relazione precedente mostra che, se D = 0, il moto è localmente coincidente con un<br />
moto rigido e ω/2 rappresenta la velocità angolare di tale moto rigido. Il campo vettoriale<br />
ω = rotu è detto campo di vorticità a causa di questa interpretazione. Poiché in un moto<br />
rigido le distanze tra i punti sono costanti, se D = 0 non vi sono moti relativi tra strati<br />
vicini del fluido. Siano X ed X ′ le posizioni al tempo t = 0 delle particelle che sono<br />
rispettivamente in x ed x ′ al tempo t. Posto h(t) = Φ(X ′ , t) − Φ(X, t), si ha<br />
d<br />
dt h(t)2 = 2h(t)[u(Φ(X ′ , t), t) − u(Φ(X, t), t)] = 2h(t) · (∇u)h(t) + O(δ 2 ).<br />
Usando la decomposizione di ∇u in parte simmetrica ed antisimmetrica e ricordando le<br />
proprietà del prodotto vettoriale, otteniamo<br />
d<br />
dt h(t)2 = 2h(t) · D(x, t)h(t) + O(δ 2 ).<br />
La precedente relazione mostra che D misura la velocità con cui variano le distanze tra<br />
i punti, ed è detto <strong>per</strong> questo velocità di deformazione. In base alla relazione (7.10), il<br />
moto si decompone localmente in una rotazione con velocità angolare ω/2 ed in una deformazione<br />
con velocità D. Le considerazioni precedenti portano ad assumere che N è una<br />
funzione esclusivamente di D nulla <strong>per</strong> D = 0. Per D piccoli, N(D) sarà ragionevolmente<br />
approssimata da una funzione lineare.<br />
È <strong>per</strong>tanto ‘naturale’ assumere N = N(D) funzione<br />
lineare di D. D’altra parte, le matrici N e D dipendono dal riferimento prescelto, mentre è<br />
naturale presumere che la relazione che le lega sia indipendente dalla scelta del riferimento.<br />
Poiché un cambiamento di riferimento è indotto da una matrice ortogonale Q, si assume<br />
che<br />
N(QDQ −1 ) = QN(D)Q −1<br />
1 Ricordiamo che una matrice quadrata A si dice antisimmetrica se A T = −A
7.3. FLUIDO VISCOSO DI NAVIER-STOKES 115<br />
<strong>per</strong> ogni matrice ortogonale Q 2 . Ricordando poi che N e D sono entrambe matrici<br />
simmetriche, si dimostra che esistono λ e µ reali, tali che<br />
N = 2µD + λdivuI3. (7.11)<br />
Dimostriamo la (7.11). Poiché N è funzione lineare di D, N e D commutano 3 . D’altra parte<br />
sono simmetriche e <strong>per</strong>tanto possono essere diagonalizzate simultaneamente 4 . Fissiamo la<br />
base comune di autovettori, visto che <strong>per</strong> le ipotesi precedenti la relazione che dedurremo<br />
sarà valida poi in ogni base. Denotiamo poi con ni e di, i = 1, 2, 3 i rispettivi autovalori.<br />
Ovviamente, qli ni sono lineari nei di. Inoltre ancora le ipotesi precedenti assicurano che<br />
la relazione tra loro è invariante <strong>per</strong> <strong>per</strong>mutazioni degli assi (una <strong>per</strong>mutazione può essere<br />
ottenuta combinando rotazioni e riflessioni). L’unica funzione lineare che soddisfa queste<br />
relazioni ha la forma<br />
ni = λ(d1 + d2 + d3) + 2µdi,<br />
<strong>per</strong> λ e µ reali. Poiché d1 + d2 + d3 = TrD = divu, ritornando alla base originaria, la (7.11)<br />
è provata.<br />
Il segno dei coefficienti λ e µ è di importanza fondamentale. Per fissarlo ricordiamo<br />
che N rappresenta degli sforzi di tipo viscoso, in corrispondenza dei quali vi è <strong>per</strong>dita di<br />
energia meccanica ed aumento di energia interna. Dalla (6.23), usando che TrΩ = 0 e<br />
TrD = divu ed usando anche che<br />
si ha<br />
Tr(ΩD) = Tr<br />
<br />
1<br />
<br />
(∇u)<br />
4<br />
2 − (∇u) T 2 <br />
= 0,<br />
Tr(∇uS) = Tr(DS + ΩS) = Tr(DS) − pTrΩ + Tr(ΩN)<br />
= Tr(D(−pI + N)) + Tr(Ω(2µD + λdivuI))<br />
= −pdivu + Tr(DN) + 2µTr(ΩD) + λdivuTrΩ<br />
= −pdivu + Tr(D(2µD + λdivu))<br />
= −pdivu + 2µTr(D 2 ) + λ(divu) 2 .<br />
Dunque, integrando la legge di bilancio dell’energia su tutto lo spazio, si rileva che il<br />
contributo alla variazione di energia interna dato dai termini riguardanti λ e µ è dato da<br />
Tr(DN) = 2µTr(D 2 ) + λ(divu) 2 .<br />
Questa quantità è positiva <strong>per</strong> ogni scelta di u non costante se µ > 0 e λ > 0. Si osservi<br />
inoltre che µ e λ, negli argomenti su esposti, potrebbero dipendere da ρ e T . Ma nei sistemi<br />
2Tale relazione esprime la legge N = N(D) nella base ottenuta dal cambiamento di coordinate<br />
rappresentato da Q.<br />
3È una proprietà che segue da un semplice calcolo matriciale che omettiamo.<br />
4Anche questa è una conseguenza di un teorema sulle matrici: due matrici quadrate che commutano<br />
ammettono una base diagonalizzante comune.
116 CAPITOLO 7. EQUAZIONI DI EULERO E NAVIER–STOKES<br />
concreti tali dipendenze sono piuttosto deboli. È <strong>per</strong> questo motivo che nel seguito li<br />
assumeremo costanti. I coefficienti λ e µ sono detti rispettivamente coefficiente di viscosità<br />
di volume (bulk viscosity) e coefficiente di viscosità di slittamento (shear viscosity).<br />
Per completare il modello occorre fornire l’espressione di q. Osserviamo che, quando la<br />
tem<strong>per</strong>atura è costante, non vi è flusso di calore, in quanto il calore fluisce dalle parti del<br />
sistema a tem<strong>per</strong>atura più alta a quelle a tem<strong>per</strong>atura più bassa, mentre non vi è flusso<br />
di calore tra parti alla stessa tem<strong>per</strong>atura (in equilibrio termico). In conseguenza di ciò<br />
assumeremo che q sia una funzione esclusivamente di ∇T , nulla <strong>per</strong> ∇T = 0. Per piccoli<br />
gradienti di tem<strong>per</strong>atura la funzione q = q(∇T ) sarà bene approssimata da una funzione<br />
lineare e l’indipendenza dal riferimento implica che esista un numero reale κ tale che<br />
q = −κ∇T. (7.12)<br />
Il fatto che il calore fluisce nel verso opposto al gradiente di tem<strong>per</strong>atura implica poi κ > 0.<br />
Anche κ è assunta costante ed è detta coefficiente di conduzione termica. La relazione (7.12)<br />
è stata già incontrata nel capitolo 2, ed è nota come legge di Fourier. Usando le precedenti<br />
relazioni nelle equazioni di bilancio (6.25), otteniamo le equazioni<br />
⎧<br />
∂ρ<br />
+ u · ∇ρ + ρdivu = 0<br />
⎪⎨<br />
∂t <br />
∂<br />
ρ u + u · ∇u + ∇p(ρ, T ) = µ∆u + (λ + µ)∇divu + ρb<br />
∂t <br />
⎪⎩<br />
∂e<br />
ρ + u · ∇e + p(ρ, T )divu = κ∆T + 2µTr(D<br />
∂t 2 ) + λ(divu) 2 (7.13)<br />
+ ρr.<br />
Per arrivare alle equazioni (7.13), si utilizzano i seguenti calcoli<br />
divS = div(−pI3 + N) = −∇p + div(2µD + λ(divu)I3)<br />
= −∇p + µdiv ∇u + (∇u) T + λ∇divu = −∇p + µ∆u + µdiv(∇u) T + λ∇divu.<br />
T<br />
div(∇u) <br />
i =<br />
3 ∂<br />
<br />
T<br />
(∇u)<br />
∂xj<br />
i,j<br />
3 ∂ ∂uj<br />
=<br />
∂xj ∂xi<br />
= ∂<br />
3 ∂uj<br />
=<br />
∂xi ∂xj<br />
∂<br />
divu.<br />
∂xi<br />
j=1<br />
j=1<br />
Mettendo insieme le due relazioni precedenti si ha<br />
j=1<br />
divS = −∇p + µ∆u + (λ + µ)div(∇u) T ,<br />
che dimostra la seconda delle (7.13). Per mostrare la terza equazione, riutilizzare il conto<br />
precedente relativo allo sviluppo di ∇uS. Le precedenti equazioni (7.13) sono dette<br />
equazioni di Navier-Stokes. Se le relazioni tra p, e, ρ e T sono quelle del fluido <strong>per</strong>fetto<br />
allora le equazioni di Navier-Stokes divengono<br />
⎧<br />
∂ρ<br />
+ u · ∇ρ + ρdivu = 0<br />
⎪⎨<br />
∂t <br />
∂<br />
ρ u + u · ∇u + ∇p = µ∆u + (λ + µ)∇divu + ρb<br />
∂t<br />
⎪⎩<br />
3<br />
2 ρ<br />
<br />
∂T<br />
+ u · ∇T + pdivu = κ∆T + 2µTr(D<br />
∂t 2 ) + λ(divu) 2 (7.14)<br />
+ ρr,
7.4. FLUIDO INCOMPRESSIBILE 117<br />
con<br />
p = ρT.<br />
Valutiamo la derivata temporale dell’entropia specifica in corrispondenza di tali equazioni.<br />
Differenziando la (7.6) ed usando le (7.14), si ottiene<br />
ρ Ds<br />
Dt<br />
<br />
q<br />
<br />
= −div +<br />
T<br />
ρr<br />
+ π<br />
T<br />
con<br />
π = 1<br />
<br />
4κ(∇<br />
T<br />
√ T ) 2 + λ(divu) 2 + 2µTr(D 2 <br />
) .<br />
La quantità π è detta produzione di entropia. Essa è non negativa, come segue dall’esame<br />
della sua espressione esplicita. In conseguenza, il fluido <strong>per</strong>fetto di Navier-Stokes soddisfa<br />
la disuguaglianza di Clausius-Duhem<br />
ρ Ds<br />
Dt<br />
<br />
q<br />
<br />
≥ −div +<br />
T<br />
ρr<br />
T ,<br />
che esprime la seconda legge della Termodinamica <strong>per</strong> i sistemi non reversibili.<br />
7.4 Fluido incompressibile<br />
Nella pratica spesso si considerano situazioni nelle quali si possono trascurare le variazioni<br />
locali di volume. Quando ciò si verifica si parla di fluido incompressibile. Si denoti con<br />
<br />
V(At) = dx<br />
la misura del volume materiale {At}, detta anche volume di At. Ricordando il teorema del<br />
trasporto, si ha<br />
d<br />
dt V(At)<br />
<br />
= divu(x, t)dx.<br />
At<br />
Pertanto il volume di ogni parte del fluido è costante nel tempo se e solo se divu = 0. La<br />
condizione<br />
divu = 0 (7.15)<br />
è detta condizione di incompressibilità. Accanto ad essa, sebbene ciò non sia strettamente<br />
indispensabile, assumeremo anche che la densità di massa sia costante nello spazio e nel<br />
tempo:<br />
ρ(x, t) = ρ.<br />
Con tali assunzioni, evidentemente l’equazione di continuità è automaticamente soddisfatta<br />
dai fluidi incompressibili. Tuttavia, le altre equazioni <strong>per</strong> il fluido, siano esse le (7.2)<br />
o le (7.13), con p data dall’equazione di stato p = p(ρ, T ) non sono in generale compatibili<br />
con tali assunzioni, essendo la (7.15), l’equazione di bilancio dell’impulso e l’equazione<br />
At
118 CAPITOLO 7. EQUAZIONI DI EULERO E NAVIER–STOKES<br />
di bilancio dell’energia un sistema di cinque equazioni nelle quattro incognite residue u e<br />
T . Per tale motivo si interpreta la condizione di incompressibilità (7.15) come un vincolo<br />
sui moti possibili del sistema ed in conseguenza si rinuncia all’equazione di stato <strong>per</strong> la<br />
pressione. Infatti la pressione viene considerata come una nuova incognita da interpretarsi<br />
come la reazione vincolare al vincolo di incompressibilità. In conseguenza di tale assunzione,<br />
l’equazione di bilancio dell’energia risulta disaccoppiata da quella dell’impulso (usare<br />
divu = 0 nell’equazione di bilancio dell’energia, sia nelle (7.4) che nelle (7.13)) e <strong>per</strong>tanto<br />
le equazioni del fluido incompressibile divengono5 <br />
divu = 0<br />
nel caso di fluido <strong>per</strong>fetto e<br />
<br />
divu = 0<br />
ut + u · ∇u + 1∇p<br />
= b,<br />
ρ<br />
ut + u · ∇u + 1<br />
ρ<br />
µ<br />
∇p = ∆u + b,<br />
ρ<br />
(7.16)<br />
(7.17)<br />
nel caso di fluido viscoso. Nelle (7.16) scompare ogni traccia della densità costante ρ, in<br />
quanto p è ora un’incognita e nel seguito denoteremo con p quello che in effetti è il rapporto<br />
p/ρ, continuando a chiamarlo pressione. Infatti la densità risulta un parametro irrilevante<br />
nel moto di un fluido <strong>per</strong>fetto incompressibile. Nella (7.17) invece la densità ρ è presente<br />
anche nel rapporto µ/ρ. Per tale motivo si introduce la quantità<br />
ν = µ<br />
ρ<br />
che prende il nome di coefficiente di viscosità cinematica e le equazioni di (7.17) si scrivono,<br />
senza far apparire esplicitamente la densità, come<br />
<br />
divu = 0<br />
(7.18)<br />
ut + u · ∇u + ∇p = ν∆u + b,<br />
Le (7.16) sono dette equazioni di Eulero incompressibili mentre le (7.18) sono dette equazioni<br />
di Navier-Stokes incompressibili.<br />
La precedente discussione è puramente formale, non essendo a priori giustificata la rimozione<br />
dell’equazione di stato <strong>per</strong> la pressione e l’introduzione del vincolo di incompressibilità.<br />
Si può <strong>per</strong>ò mostrare che le equazioni (7.16) e (7.18) possono essere giustificate<br />
in un opportuno regime di approssimazione, che corrisponde alla maggior parte dei liquidi<br />
in condizioni normali. 6 Tuttavia, sebbene ciò possa apparire strano, anche l’aria in condizioni<br />
normali è ben approssimata dalle equazioni del fluido incompressibile, quando si<br />
considerano velocità piccole rispetto a quella del suono, mentre i liquidi, in condizioni di<br />
5 L’equazione di bilancio dell’energia è si può risolvere separatamente come un’equazione scalare una<br />
volta nota u dalle prime due equazioni.<br />
6 Vedi paragrafo 10.3.
7.4. FLUIDO INCOMPRESSIBILE 119<br />
pressione estreme, possono comportarsi come fluidi comprimibili. In conclusione la proprietà<br />
di incompressibilità non deve essere considerata come una proprietà assoluta di uno<br />
specifico fluido, ma come una proprietà dei flussi di tale fluido nelle condizioni specificate.<br />
Ciononostante, in conformità con l’uso corrente, ci riferiremo alle equazioni precedenti<br />
come equazioni del fluido incompressibile.
120 CAPITOLO 7. EQUAZIONI DI EULERO E NAVIER–STOKES
Capitolo 8<br />
Fluidi ideali<br />
In questo capitolo studieremo le principali proprietà dei fluidi ideali. Restringeremo la<br />
nostra attenzione ai fluidi ideali isoentropici ed ai fluidi ideali incompressibili. Ricordiamo<br />
le equazioni ottenute nel capitolo 7. Per il fluido isoentropico si ha<br />
<br />
ρt + div(ρu) = 0<br />
(8.1)<br />
ρ(ut + u · ∇u) + ∇p = ρb,<br />
dove p = p(ρ) è l’equazione di stato <strong>per</strong> il fluido. Sia w(z) la primitiva di p ′ (z)/z:<br />
w(z) =<br />
z<br />
1<br />
p ′ (ζ)<br />
ζ dζ,<br />
ove l’estremo inferiore dell’integrale è stato posto in z = 1 <strong>per</strong> fissare le idee. In particolare,<br />
se il fluido isoentropico è ideale, p(z) = Bz γ con γ = 5/3. Pertanto p ′ (z) = γBz γ−1 ,<br />
p ′ (z)/z = γBz γ−2 e<br />
w(z) = γ<br />
γ − 1 Bzγ−1 + cost.<br />
Utilizzando la funzione w, le (8.1) si scrivono anche<br />
<br />
ρt + div(ρu) = 0<br />
ut + u · ∇u + ∇w(ρ) = b.<br />
La funzione w è detta a volte potenziale di pressione.<br />
Le equazioni <strong>per</strong> il fluido ideale incompressibile si scrivono<br />
<br />
divu = 0<br />
ut + u · ∇u + ∇p = b.<br />
(8.2)<br />
(8.3)<br />
L’analogia tra l’equazione di bilancio dell’impulso <strong>per</strong> il fluido isoentropico e <strong>per</strong> quello<br />
incompressibile è evidente: basta sostituire il potenziale di pressione w(ρ) con la pressione<br />
incognita <strong>per</strong> ottenere l’una dall’altra. Naturalmente le prime equazioni dei due sistemi<br />
sono molto diverse e molto diversa è la loro interpretazione. Tuttavia l’analogia formale<br />
consente di discutere alcune delle proprietà che seguono congiuntamente <strong>per</strong> i due sistemi<br />
(8.2) e (8.3).<br />
121
122 CAPITOLO 8. FLUIDI IDEALI<br />
8.1 Condizioni al contorno<br />
Le equazioni <strong>per</strong> il fluido ideale, così come quelle <strong>per</strong> gli altri casi considerati nel capitolo<br />
precedente, sono state ottenute avendo in mente una situazione in cui il fluido riempie<br />
tutto lo spazio. Nella pratica il fluido occupa una regione dello spazio. Denoteremo con<br />
Ωt la chiusura dell’insieme dei punti di R3 occupati dal fluido al tempo t. In generale tale<br />
regione può essere un’incognita del problema, come accade ad esempio se si studia il moto<br />
dell’acqua in un bicchiere o le onde del mare, dove il pelo libero dell’acqua è incognito.<br />
Problemi di questo tipo sono detti problemi di frontiera libera e la loro analisi matematica è<br />
piuttosto difficile. Pertanto ci limiteremo a considerare situazioni, come quella di un gas in<br />
un contenitore, in cui il dominio Ωt è assegnato a priori, e più in particolare, supporremo<br />
che esso non dipenda dal tempo, e cioè il contenitore sia rigido. Nel seguito Ω denota<br />
il dominio contenente il fluido e ∂Ω la sua frontiera, che si supporrà regolare (cioè con<br />
normale infinitamente differenziabile in ogni punto). Un dominio particolarmente studiato<br />
sarà il toro tridimensionale di lato L > 0 T3 L , ciò che equivale ad assumere che i campi<br />
associati al fluido siano funzioni <strong>per</strong>iodiche delle variabili spaziali x o X con di <strong>per</strong>iodo<br />
L nelle tre coordinate. Naturalmente si potrebbero considerare senza particolari difficoltà<br />
<strong>per</strong>iodi diversi in ciascuna coordinata, ma ci limiteremo a considerare un solo <strong>per</strong>iodo. Con<br />
T3 intenderemo il toro di lato 2π.<br />
Il caso Ω = T 3 è molto studiato in quanto si tratta di un dominio compatto ma privo di<br />
frontiera, in modo da poter trarre vantaggio dalla limitatezza del dominio senza dover analizzare<br />
il comportamento del fluido vicino alla frontiera, problema che può a volte risultare<br />
arduo. Quando il dominio non è un toro occorre specificare delle condizioni al contorno che<br />
completano le equazioni stabilite in precedenza <strong>per</strong> i punti interni al dominio. La natura<br />
fisica delle interazioni del fluido con il contenitore è complessa, ma noi ci limiteremo alla<br />
schematizzazione che segue, che risulta in molti casi adeguata. Supporremo i campi ρ ed u<br />
prolungati fino alla frontiera ∂Ω. Per determinare i valori da assegnare a ρ ed u sul bordo,<br />
osserviamo innanzitutto che, se {Aɛ} è una famiglia di parti di Ω con frontiera regolare e<br />
tale che |Aɛ|/|∂Aɛ| → 0, e se i campi coinvolti e le loro derivate sono limitati in Aɛ, allora,<br />
con un argomento simile a quello usato nel capitolo 6 <strong>per</strong> ridurre le equazioni di bilancio<br />
alla loro forma locale, si ottiene, <strong>per</strong> un qualsiasi sistema continuo<br />
<br />
1<br />
lim<br />
ɛ→0 |∂Aɛ|<br />
<br />
1<br />
lim<br />
ɛ→0 |∂Aɛ|<br />
<br />
1<br />
lim<br />
ɛ→0 |∂Aɛ|<br />
∂Aɛ<br />
∂Aɛ<br />
∂Aɛ<br />
ρu · ndσ(x) = 0,<br />
Sndσ(x) = 0,<br />
[u · Sn − q · n]dσ(x) = 0.
8.1. CONDIZIONI AL CONTORNO 123<br />
Se il fluido è ideale, tali condizioni divengono poi<br />
<br />
1<br />
lim<br />
ɛ→0 |∂Aɛ|<br />
<br />
1<br />
lim<br />
ɛ→0 |∂Aɛ|<br />
<br />
1<br />
lim<br />
ɛ→0 |∂Aɛ|<br />
∂Aɛ<br />
∂Aɛ<br />
∂Aɛ<br />
ρu · ndσ(x) = 0,<br />
pndσ(x) = 0,<br />
pu · n]dσ(x) = 0. (8.4)<br />
Ammettiamo ora che i campi ρ ed u e le loro derivate siano limitate fino al bordo. Per<br />
ogni x ∈ ∂Ω si può allora considerare la famiglia {Aɛ} costituita da cilindri di generatrice<br />
n(x) avente <strong>per</strong> base cerchi di centro x, raggio ɛ e altezza ɛ 2 . Applicando le (8.4) a tale<br />
famiglia, con argomenti simili a quelli visti nel capitolo (6) si ottiene che le quantità ρu · n,<br />
p e pu · n sono continue in x ∈ ∂Ω. La continuità di p implica ovviamente la continuità di<br />
ρ, poichè p ′ (ρ) = 0. In conseguenza u · n è anche continuo. L’ultima delle condizioni (8.4)<br />
non aggiunge informazioni.<br />
La discussione precedente mostra che vicino al bordo è naturale prescrivere la pressione<br />
e la componente normale della velocità. D’altra parte, in una situazione s<strong>per</strong>imentale<br />
standard, la pressione al bordo è una costante pe e il contenitore a riposo. Pertanto le<br />
equazioni (8.1) (8.3) vengono completate dalle condizioni al bordo<br />
p(x, t) = pe, u(x, t) · n(x) = 0, x ∈ ∂Ω.<br />
Che tali condizioni siano anche sufficienti a determinare in modo unico le soluzioni non<br />
è evidente. Si rinvia <strong>per</strong> tale questione al teorema di unicità <strong>per</strong> i fluidi ideali, che come<br />
vedremo sarà legato al teorema di unicità <strong>per</strong> l’equazione di Laplace.<br />
Osserviamo che la condizione u·n = 0 sul bordo può essere interpretata come condizione<br />
di im<strong>per</strong>meabilità del contenitore. Infatti, ricordando che la corrente di massa jρ = ρu, ne<br />
segue che non vi è flusso di massa attraverso ∂Ω e quindi la massa totale del sistema si<br />
conserva, ovvero<br />
<br />
d<br />
ρ(x, t)dx = 0.<br />
dt Ω<br />
Nulla è specificato <strong>per</strong> la componente tangenziale di u, che può essere non nulla: il fluido<br />
ideale può infatti scivolare sulle pareti del contenitore. Questa è una differenza fondamentale<br />
rispetto alle proprietà del fluido viscoso <strong>per</strong> il quale anche la componente tangenziale<br />
della velocità deve annullarsi al bordo, cioè il fluido aderisce alle pareti.
124 CAPITOLO 8. FLUIDI IDEALI<br />
8.2 Conservazione dell’energia totale<br />
Assumiamo le equazioni del fluido isoentropico. Consideriamo la variazione dell’energia<br />
cinetica totale del sistema, Kt(Ω) nel tempo.<br />
d<br />
dt Kt(Ω)<br />
<br />
|u|<br />
= ρt<br />
Ω<br />
2 <br />
+ ρu · ut dx<br />
2<br />
<br />
= −div[ρu] |u|2<br />
<br />
− ρ(u · ∇u) · u − ρu · ∇w(ρ) + ρu · b dx.<br />
2<br />
Ω<br />
Scrivendo (grazie alla formula (8.5) che dimostreremo più avanti)<br />
ρ(u · ∇u) · u = ρu · ∇ |u|2<br />
<br />
= div ρu<br />
2 |u|2<br />
<br />
−<br />
2<br />
|u|2<br />
2 div(ρu)<br />
ed usando la definizione di w, cioè ∇w = ρ−1∇p, si ha allora<br />
d<br />
dt Kt(Ω)<br />
<br />
= −div ρu |u|2<br />
<br />
<br />
− u · ∇p + ρu · b dx.<br />
2<br />
Ω<br />
Usando il teorema di Gauss e la condizione al bordo u · n = 0, questa diviene poi<br />
d<br />
dt Kt(Ω)<br />
<br />
= [−u · ∇p + ρu · b] dx.<br />
D’altra parte, poichè <strong>per</strong> le condizioni al bordo<br />
<br />
pu · ndσ = 0,<br />
introdotta la funzione W (z) tale che W ′ (z) = p(z)/z2 , si ha<br />
<br />
<br />
<br />
p Dρ<br />
− u · ∇pdx = pdivudx = −<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω ρ Dt dx<br />
<br />
= − ρW ′ (ρ) Dρ<br />
<br />
DW (ρ)<br />
dx = − ρ dx.<br />
Dt Dt<br />
Ω<br />
∂Ω<br />
Usando il teorema del trasporto si ha<br />
<br />
<br />
DW (ρ)<br />
− ρ dx = −<br />
Ω Dt<br />
<br />
<br />
DρW (ρ)<br />
= −<br />
dx +<br />
Dt<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
<br />
DρW (ρ)<br />
dx + W (ρ)<br />
Dt<br />
Ω<br />
Dρ<br />
Dt dx<br />
W (ρ)ρdivudx = − d<br />
<br />
ρW (ρ)dx.<br />
dt<br />
Pertanto la funzione W (ρ) si interpreta come energia interna specifica e la quantità<br />
<br />
2 |u|<br />
E = ρ + W (ρ) dx,<br />
2<br />
Ω<br />
Ω
8.3. TEOREMI DI BERNOULLI 125<br />
detta energia totale soddisfa la relazione<br />
d<br />
E =<br />
dt<br />
Se b = 0 allora l’energia totale è conservata:<br />
<br />
Ω<br />
d<br />
E = 0.<br />
dt<br />
ρu · bdx.<br />
Se b non è nulla ma è una forza conservativa (b(x) = −∇U(x)), allora analogamente a<br />
prima si ha<br />
<br />
<br />
<br />
ρu · bdx = − ρu · ∇Udx = − ρ<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
Dρ<br />
<br />
d<br />
dx = − ρUdx.<br />
Dt dt Ω<br />
In tal caso la grandezza conservata è E + <br />
Ω ρU.<br />
Le considerazioni precedenti si applicano (più semplicemente) al caso del fluido ideale<br />
incompressibile: si consideri di nuovo la variazione temporale dell’energia cinetica totale.<br />
Procedendo come in precedenza, ma tenendo conto che ρ(x, t) = ρ, e divu = 0, si ha<br />
d<br />
dt Kt(Ω) = d<br />
<br />
|u|<br />
dt Ω<br />
2 <br />
dx = u ·<br />
2 Ω<br />
Du<br />
Dt dx<br />
<br />
[−u · ∇p + u · b]dx.<br />
Ω<br />
Usando il teorema di Gauss e la condizione al bordo u · n = 0, si ha quindi<br />
d<br />
dt Kt(Ω)<br />
<br />
= u · bdx.<br />
Pertanto, se b = 0 oppure deriva da un potenziale, a causa della condizione divu = 0,<br />
l’energia cinetica totale<br />
<br />
Kt =<br />
|u| 2<br />
2 dx,<br />
è conservata.<br />
8.3 Teoremi di Bernoulli<br />
Ω<br />
Diremo linea di flusso passante <strong>per</strong> x al tempo t la traiettoria <strong>per</strong>corsa dall’elemento<br />
materiale che transita <strong>per</strong> x al tempo t, cioè la soluzione dell’equazione<br />
Ω<br />
˙γ(τ) = u(γ(τ), τ)<br />
soddisfacente la condizione ‘iniziale’ γ(t) = x. Con le notazioni del capitolo 6, γ(τ) =<br />
Φ(Φ −1 (x, t), t). Accanto alle linee di flusso si introducono anche le linee di corrente al
126 CAPITOLO 8. FLUIDI IDEALI<br />
tempo t. Si dice linea di corrente al tempo t passante <strong>per</strong> x la curva passante <strong>per</strong> x,<br />
tangente in ogni suo punto il campo di velocità al tempo fissato t, cioèla funzione s ↦→ y(s)<br />
soluzione dell’equazione differenziale<br />
soddisfacente la condizione iniziale<br />
d<br />
y(s) = u(y(s), t),<br />
ds<br />
y(t) = x.<br />
Evidentemente le due nozioni coincidono se il campo di velocità u(x, t) non dipende dal<br />
tempo, caso nel quale il flusso si dice stazionario. In questo caso vale il teorema di Bernoulli,<br />
che rappresenta una condizione puntuale sull’energia.<br />
Teorema 8.3.1 (Primo teorema di Bernoulli) Si consideri un flusso stazionario <strong>per</strong><br />
un fluido isoentropico, soggetto ad un campo di forze esterne b di potenziale U. Allora, <strong>per</strong><br />
ogni x la quantità<br />
E := |u|2<br />
+ w + U<br />
2<br />
è costante lungo le linee di corrente. Se il invece del fluido isoentropico si considera il fluido<br />
incompressibile, la stessa conclusione vale <strong>per</strong><br />
E := |u|2<br />
2<br />
+ p + U.<br />
Dimostrazione. Analizziamo solo il caso del flusso isoentropico. Il caso incompressibile<br />
segue analogamente. Si noti l’identità<br />
1<br />
2 ∇|u|2 = (u · ∇)u + u × (∇ × u). (8.5)<br />
Per provarla osserviamo che<br />
1<br />
2 ∂i<br />
<br />
<br />
u 2 <br />
j = <br />
uj∂iuj = <br />
uj∂jui + uj(∂iuj − ∂jui)<br />
j<br />
= (u · ∇)ui + [u × (∇ × u)]i.<br />
j<br />
Poichè il flusso è stazionario, u soddisfa l’equazione di Eulero stazionaria<br />
(u · ∇)u + ∇(w + U) = 0.<br />
Usando l’identità (8.5) risulta allora<br />
<br />
1<br />
∇<br />
2 |u|2 <br />
+ w + U = u × (∇ × u).<br />
j
8.4. TEOREMA DI KELVIN. 127<br />
Sia s ↦→ y(s) una linea di corrente, in modo che y ′ (s) = u(y(s)). Si ha<br />
<br />
d 1<br />
ds 2 u(y(s))2 <br />
<br />
1<br />
+ w(ρ(y(s))) + U(y(s)) = u(y(s)) · ∇<br />
2 |u|2 <br />
+ w(ρ) + U (y(s))<br />
= u(y(s)) · u(y(s)) × (∇ × u(y(s))) = 0,<br />
in quanto u × (∇ × u) è ortogonale ad u. <br />
Ricordiamo che il campo vettoriale w = rotu introdotto nel capitolo 7 e detto vorticità,<br />
rappresenta la velocità di rotazione locale del flusso. Pertanto un flusso è detto irrotazionale<br />
se e solo se rotu = 0.<br />
Gli argomenti precedenti forniscono informazioni ancora più accurate nel caso di flussi<br />
irrotazionali. La quantità E che è costante lungo le linee di corrente di un flusso stazionario,<br />
può variare da linea di corrente a linea di corrente. Se il flusso è irrotazionale, ciò non<br />
accade. Questo è il contenuto del seguente<br />
Teorema 8.3.2 (Secondo teorema di Bernoulli) In ogni flusso stazionario ed irrotazionale<br />
di un fluido ideale isoentropico o incompressibile la quantità E è una costante:<br />
∇E = 0.<br />
Dimostrazione. Usando la precedente identità (8.5), nel caso di fluido isoentropico si ha<br />
∇E = (u · ∇)u + ∇(w + U) + u × w = (u · ∇)u + ∇(w + U) = 0.<br />
Nel secondo passo si è usato w = 0 e nel terzo l’equazione di Eulero. <br />
Osserviamo che in assenza di forze esterne, in un flusso stazionario irrotazionale, la<br />
pressione è maggiore quando la velocità è minore e viceversa.<br />
In idrostatica, ovvero quando u = 0, <strong>per</strong> un fluido incompressibile risulta<br />
∇(p + U) = 0.<br />
Se U = −gx3 (potenziale della gravità), allora<br />
che è nota come legge di Stevino.<br />
8.4 Teorema di Kelvin.<br />
p = −gx3,<br />
L’assenza di sforzi di taglio, che caratterizza il fluido ideale, induce a ritenere che non si<br />
possano mettere in rotazione elementi di fluido che non ruotino inizialmente. Il teorema di<br />
Kelvin e le sue conseguenze rappresentano la dimostrazione di tale congettura.<br />
Sia C0 una qualsiasi curva regolare chiusa<br />
C0 = {X = γ(λ), λ ∈ [0, 1], γ(0) = γ(1)}
128 CAPITOLO 8. FLUIDI IDEALI<br />
e λ ↦→ γ(λ) una sua rappresentazione parametrica. Fissato il flusso (X, t) ↦→ Φ(X, t), <strong>per</strong><br />
ogni t si denoti con X ↦→ Φt(X) = Φ(X, t) la funzione che trasforma le posizioni iniziali<br />
delle particelle nelle posizioni attuali. Sia inoltre Ct = Φt(C0), di equazione parametrica<br />
λ ↦→ γt(λ) = (Φt◦γ)(λ). La famiglia {Ct, t ∈ [0, T ]} si dice curva materiale. Analogamente,<br />
se Σ è una su<strong>per</strong>ficie e Σt = Φt(Σ), diremo che la famiglia {Σt, t ∈ [0, T ]} è una su<strong>per</strong>ficie<br />
materiale.<br />
Si definisce circuitazione della curva C la quantità<br />
<br />
Γ(C) := u · ds.<br />
Teorema 8.4.1 (di Kelvin) Per ogni flusso di un fluido isoentropico o incompressibile<br />
soggetto a forze esterne conservative di potenziale U e <strong>per</strong> ogni curva materiale {Ct, t ∈<br />
[0, T ]} risulta<br />
d<br />
dt Γ(Ct) = 0.<br />
Dimostrazione. La prova è basata sulla seguente identità:<br />
Lemma 8.4.2 Se u è differenziabile, <strong>per</strong> ogni curva materiale regolare {Ct, t ∈ [0, T ]}<br />
risulta<br />
<br />
d<br />
dt<br />
<br />
u · ds =<br />
Du<br />
· ds.<br />
Dt<br />
Dimostrazione. Si ha<br />
<br />
Ct<br />
Differenziando,<br />
u · ds =<br />
1<br />
0<br />
<br />
d<br />
dt<br />
Il secondo integrale vale<br />
1<br />
0<br />
+<br />
Ct<br />
u(γt(λ), t) · γ ′ t(λ)dλ =<br />
Ct<br />
1<br />
0<br />
u · ds =<br />
1<br />
0<br />
C<br />
C<br />
1<br />
0<br />
u(Φt(γ(λ)), t) · ∂<br />
∂λ Φt(γ(λ))dλ.<br />
Du<br />
Dt (Φt(γ(λ))) · ∂<br />
∂λ Φt(γ(λ))dλ<br />
u(Φt(γ(λ)), t) · ∂ ∂<br />
∂t ∂λ Φt(γ(λ))dλ.<br />
u(Φt(γ(λ)), t) · ∂ ∂<br />
∂t ∂λ Φt(γ(λ))dλ =<br />
= 1<br />
1<br />
∂<br />
2 ∂λ [u(Φt(γ(λ)), t)] 2 dλ = 0.<br />
0<br />
1<br />
0<br />
u(Φt(γ(λ)), t) · ∂<br />
∂λ u(Φt(γ(λ)), t)dλ<br />
Nell’ultimo passaggio si è usato il fatto che la curva è chiusa. Questo completa la dimostrazione<br />
del Lemma.
8.4. TEOREMA DI KELVIN. 129<br />
Dimostriamo ora il Teorea di Kelvin. Se u soddisfa le equazioni di Eulero, mediante il<br />
Lemma si ottiene<br />
d<br />
dt Γ(Ct)<br />
<br />
= − [∇(w + U)]ds = 0<br />
Ct<br />
avendo di nuovo usato il fatto che la curva è chiusa. <br />
Analizziamo ora alcune conseguenze del Teorema di Kelvin. Dal Teorema di Stokes,<br />
<strong>per</strong> ogni su<strong>per</strong>ficie materiale Σt avente come frontiera la curva materiale Ct risulta<br />
<br />
Γ(Ct) =<br />
Σt<br />
<br />
rot u · ndσ =<br />
Σt<br />
w · ndσ.<br />
Pertanto, il teorema di Kelvin implica che il flusso di vorticità attraverso la su<strong>per</strong>ficie<br />
materiale Σt è costante nel tempo. In particolare, se al tempo t = 0 si suppone il campo<br />
u(·, 0) irrotazionale ((·, 0) = 0), u(x, t) è irrotazionale ad ogni istante successivo in quanto,<br />
<strong>per</strong> ogni su<strong>per</strong>ficie materiale risulta<br />
<br />
<br />
w · ndσ = w(·, 0) · ndσ = 0.<br />
Σt<br />
Σt<br />
In effetti la vorticità al tempo t può essere ottenuta trasportando quella iniziale lungo le<br />
traiettorie, come mostrato dal teorema che segue. In esso porremo ζ = w/ρ. Nel caso<br />
incompressibile si potrà identificare ζ con w da cui differisce <strong>per</strong> una inessenziale costante<br />
moltiplicatica.<br />
Teorema 8.4.3 Per un fluido isoentropico o incompressibile risulta<br />
e quindi<br />
dove F è il gradiente di deformazione introdotto in (6.2).<br />
D<br />
ζ − (ζ · ∇)u = 0. (8.6)<br />
Dt<br />
ζ(Φ(X, t), t) = F (X, t)ζ(X, 0), (8.7)<br />
La (8.7) fornisce una prova diretta della conservazione del carattere irrotazionale di<br />
un flusso. In effetti essa fornisce anche un modo <strong>per</strong> valutare in generale la vorticità al<br />
tempo t nel punto x = P hi(X, t): basta infatti propagare il valore w(X, 0) e ruotare ed<br />
allungare il vettore così ottenuto applicando la matrice F (X, t). Per questa o<strong>per</strong>azione si<br />
usa in letteratura il termine inglese ‘stirring’. Si noti inoltre che nel (8.6) non figurano più<br />
w o p. Tale circostanza rende particolarmente utile l’equazione nel caso incompressibile in<br />
quanto <strong>per</strong>mette di eliminare l’incognita pressione (si tratta cioè di un’equazione pura nel<br />
senso della Meccanica dei sistemi vincolati).<br />
Dimostrazione. Ricordando l’identità (8.5), si ha<br />
(u · ∇)u = 1<br />
2 ∇|u|2 − u × w.
130 CAPITOLO 8. FLUIDI IDEALI<br />
Pertanto l’equazione di Eulero si pu‘o riscrivere<br />
<br />
ut − u × w = −∇ w + U + |u|2<br />
<br />
.<br />
2<br />
Applicando il rotore ad entrambi i membri si ha quindi<br />
È facile controllare che<br />
wt − rot[u × w] = 0.<br />
rot[u × w] = (w · ∇)u − wdivu − (u · ∇)w + udivw. 1<br />
L’ultimo termine è nullo <strong>per</strong>chè divergenza di un rotore. Pertanto<br />
D’altra parte<br />
D w<br />
Dt ρ<br />
D<br />
w − (w · ∇)u + wdivu = 0.<br />
Dt<br />
1 Dw w<br />
= −<br />
ρ Dt ρ2 Dρ<br />
Dt<br />
= 1<br />
1<br />
(w · ∇)u − wdivu + ζdivu = (ζ · ∇)u.<br />
ρ ρ<br />
La prova della (8.7) si ottiene differenziando i due membri rispetto al tempo. Si denotino<br />
con H(X, t) e G(X, t) rispettivamente il primo e secondo membro. Ovviamente H(X, 0) =<br />
G(X, 0). La derivata temporale del primo membro è, <strong>per</strong> l’equazione (8.6)<br />
Ht = (H · ∇)u.<br />
La derivata del secondo membro è (usando la (6.10))<br />
∂T G(X, t) = ∂tF (X, t)ζ(X, 0) = ∇u(Φ(X, t), t)F (X, t)ζ(X, 0) = G(X, t) · ∇u.<br />
Quindi G ed H soddisfano la stessa equazione lineare e lo stesso dato iniziale. Pertanto<br />
essi coincidono. <br />
8.5 Flussi bidimensionali<br />
Per flusso bidimensionale intenderemo ogni flusso <strong>per</strong> il quale valgono le due seguenti<br />
condizioni:<br />
1) è invariante <strong>per</strong> traslazioni lungo un asse (ad esempio x3);<br />
1 La dimostrazione è lasciata <strong>per</strong> come esercizio.
8.6. EQUAZIONE DELLA VORTICITÀ IN DIMENSIONE 2 131<br />
2) la velocità nella direzione x3 è nulla.<br />
In un flusso bidimensionale l’equazione (16.10) si semplifica notevolmente. Infatti, se u =<br />
(u1, u2, 0) allora w = (0, 0, w3) con<br />
w3 = ∂1u2 − ∂2u1.<br />
In altri termini w è caratterizzato da una sola quantità scalare w3 che nel seguito indicheremo<br />
semplicemente con w. In conseguenza di ciò si ha<br />
(w · ∇)u = 0.<br />
Pertanto la (8.6) diviene (con w = w3 e ζ = ζ3)<br />
D<br />
ζ = 0.<br />
Dt<br />
Quindi il rapporto ζ = w/ρ è conservato lungo le traiettorie del flusso:<br />
ζ(Φ(X, t), t) = ζ(X, 0).<br />
In particolare, nel caso del fluido incompressibile, <strong>per</strong> il quale ρ = cost, si ha<br />
o equivalentemente<br />
Tale equazione, assieme alle condizioni<br />
wt + (u · ∇)w = 0 (8.8)<br />
w(Φ(X, t), t) = w(X, 0)<br />
divu = 0<br />
w = ∂1u2 − ∂2u1.<br />
e le opportune condizioni al contorno, caratterizza completamente, come si vedrà nel seguito,<br />
i moti del fluido incompressibile bidimensionale ed è il motivo della relativa semplicità<br />
di tale sistema.<br />
8.6 Equazione della vorticità in dimensione 2<br />
L’equazione (8.8) si presenta in forma molto semplice, ma la sua utilizzabilità pratica<br />
sarebbe molto limitata se si dovesse preliminarmente conoscere il campo di velocità u.<br />
Una semplice derivazione fornirebbe allora w senza alcun ricorso alla (8.8). In effetti,<br />
mostreremo che il campo u può in molti casi essere ricostruito a partire da w, fornendo in<br />
tal modo un’equazione chiusa nella sola incognita w. In conseguenza di ciò, la soluzione<br />
delle equazioni Eulero è ricondotta a quella della (8.8), che è una sola equazione scalare e<br />
non contiene l’incognita pressione. In effetti la costruzione di u a partire da w è un caso
132 CAPITOLO 8. FLUIDI IDEALI<br />
particolare di un problema classico, che pur essendo nato in Idrodinamica, è di interesse<br />
più generale:<br />
Problema: dato il campo vettoriale w nell’a<strong>per</strong>to D ⊂ R d , d = 2, 3, determinare il<br />
campo vettoriale u differenziabile in D e continuo in D, tale che<br />
w = rotu divu = 0 x ∈ D<br />
u · n = 0 x ∈ ∂D.<br />
Discuteremo questo problema solo nel caso d = 2 e <strong>per</strong> un dominio D limitato, semplicemente<br />
connesso e dotato di frontiera regolare. Conviene introdurre la notazione seguente:<br />
se a = (a1, a2) ∈ R 2 è un vettore, il vettore a ⊥ = (a2, −a1) denota il vettore che si ottiene<br />
da a con una rotazione di π/2 nel verso destrogiro. Analogamente ∇ ⊥ = (∂2, −∂1). In<br />
d = 2 si ha dunque<br />
rotu = divu ⊥ , divu = −rotu ⊥ .<br />
Inoltre<br />
rot∇ ⊥ = −∆.<br />
La condizione divu = 0 equivale ad affermare che u ⊥ ha rotore nullo e questo implica,<br />
poichè il dominio D è semplicemente connesso, che esiste una funzione Ψ tale che<br />
u = ∇ ⊥ Ψ.<br />
La funzione Ψ è detta potenziale di corrente o stream function in inglese. Ricordando che<br />
e che<br />
w = rotu = rot∇ ⊥ Ψ = −∆Ψ<br />
0 = n · u = n · ∇ ⊥ Ψ = τ · ∇Ψ,<br />
ove τ è il versore della tangente a ∂D, possiamo concludere che Ψ è determinato come la<br />
soluzione del seguente problema al contorno:<br />
<br />
∆Ψ = −w x ∈ D<br />
(8.9)<br />
Ψ = 0 x ∈ ∂D.<br />
Infatti, l’annullarsi della derivata tangenziale di Ψ sul bordo assicura che Ψ è costante sul<br />
bordo e la costante può essere fissata a 0 visto che Ψ è definito a meno di una costante. Il<br />
problema (8.9) è il problema di Dirichlet <strong>per</strong> l’equazione di Poisson con termine noto −w.<br />
Per la sua soluzione si rimanda al capitolo 2.
Capitolo 9<br />
Cenni di teoria cinetica: l’equazione<br />
di Boltzmann<br />
9.1 Funzioni di distribuzione<br />
Consideriamo un gas di N molecole, che <strong>per</strong> semplicità supporremo identiche, contenuto in<br />
un recipiente di volume V . I valori tipici di N e di V in condizioni standard di tem<strong>per</strong>atura<br />
e di pressione (T = 300 ◦ K, P = 1atm) sono N = 6, 02×10 23 , V = 22, 3 litri corrispondenti<br />
ad una mole. Supporremo sistematicamente che gli urti con le pareti dei recipiente siano<br />
non dissipativi.<br />
Chiaramente l’idea di seguire il moto delle singole molecole, tenendo conto delle loro<br />
mutue interazioni e dell’eventuale presenza di forze esterne, appare impraticabile. Il metodo<br />
utilizzato dalla teoria cinetica nello studio dell’evoluzione del sistema e del suo raggiungimento<br />
di uno stato di equilibrio è il seguente. Introduciamo uno spazio a 6 dimensioni, che<br />
useremo come spazio delle fasi con coordinate di impulso e posizione (p, q), e riportiamo<br />
in questo spazio i punti rappresentativi di ciascuna molecola.<br />
Consideriamo nello spazio delle fasi una cella di volume ∆ e contiamo, in un dato istante<br />
t, il numero ν(∆, t) di punti rappresentativi che sono contenuti nella cella considerata. Se il<br />
rapporto N/V è dell’ordine di almeno 10 18 cm −3 si potrà notare che il rapporto ν(∆)/Delta<br />
si stabilizza, quando il diametro della cella diventa abbastanza piccolo (ma non troppo),<br />
attorno a un valore che dipende dal centro della cella (p, q) e dall’istante t. Il valore così<br />
ottenuto definisce una funzione f(p, q, t) detta funzione di distribuzione.<br />
In tal modo l’insieme dei punti rappresentativi nello spazio delle fasi viene trattato come<br />
una distribuzione continua. Così il numero di molecole ν(Ω, t), il cui stato cinematico in<br />
un istante t è descritto da un punto che appartiene a un dato sottoinsieme misurabile Ω<br />
nello spazio delle fasi, è dato dall’integrale<br />
<br />
ν(Ω, t) =<br />
Ω<br />
f(p, q, t)dpdq,<br />
133
134CAPITOLO 9. CENNI DI TEORIA CINETICA: L’EQUAZIONE DI BOLTZMANN<br />
e quindi<br />
<br />
N =<br />
f(p, q, t)dpdq,<br />
dove il dominio di integrazione è tutto lo spazio delle fasi. Se la distribuzione spaziale<br />
delle molecole è uniforme, la funzione di distribuzione è indipendente dal vettore spaziale<br />
q all’interno del contenitore (e nulla all’esterno) e l’integrazione rispetto alle q porta semplicemente<br />
a fattore il volume V occupato dal sistema. In tal caso si ottiene la seguente<br />
espressione del numero di particelle <strong>per</strong> unità di volume, riferito all’intero sistema<br />
n = N<br />
V =<br />
<br />
f(p, t)dp.<br />
Gli stati del sistema sono descritti dalla funzione di distribuzione f, e deve <strong>per</strong>tanto essere<br />
possibile, in linea di principio, derivare da essa le proprietà termodinamiche del sistema<br />
stesso.<br />
9.2 L’equazione di Boltzmann<br />
Ci proponiamo in questo paragrafo di descrivere il ragionamento che portò Boltzmann a<br />
dedurre l’equazione che governa l’evoluzione temporale della funzione di distribuzione. A<br />
differenza di Maxwell, che assumeva il sistema essere in equilibrio (ovvero la funzione di<br />
distribuzione indipendente dal tempo) e cercava le condizioni sulla f affinché tale equilibrio<br />
fosse stabile, Boltzmann era interessato al problema concettualmente importantissimo di<br />
come tale equilibrio – la cui evidenza s<strong>per</strong>imentale è data dai successi della termodinamica<br />
classica – venga raggiunto attraverso le collisioni tra le molecole.<br />
La velocità di variazione nel tempo della funzione f è data da<br />
df<br />
dt<br />
= ∂f<br />
∂t + ∇qf · p<br />
m + ∇pf · F,<br />
dove si è tenuto conto del fatto che ˙q = p<br />
e ˙p = F , essendo F una eventuale forza esterna<br />
m<br />
che agisce sul sistema.<br />
Se la diluizione del gas fosse così forte da poter completamente trascurare l’interazione<br />
tra le molecole, avremmo che df<br />
= 0. Le variazioni di f sono quindi da attribuirsi alle<br />
dt<br />
collisioni tra le molecole, dove il termine collisione è usato nel senso generico di interazione<br />
a corto raggio. Nel modello più semplice si assumono le ipotesi seguenti:<br />
• Sfere rigide; si suppone che le molecole siano sfere rigide identiche <strong>per</strong>fettamente<br />
elastiche di raggio R e massa m.<br />
• Forte diluizione; se n = N/V , supporremo che<br />
nR 3 ≪<br />
e quindi la probabilità che due molecole siano ad una distanza dell’ordine di R (cioè<br />
in collisione) è molto bassa.
9.2. L’EQUAZIONE DI BOLTZMANN 135<br />
• Collisioni binarie; sono escluse le situazioni in cui tre o più molecole collidono simultaneamente.<br />
Dal punto di vista fisico questa assunzione è ragionevole proprio<br />
nell’ipotesi di forte diluizione del gas, poiché il cammino libero medio di una molecola<br />
(ossia la distanza <strong>per</strong>corsa in media tra due urti successivi) è molto più grande del<br />
diametro molecolare medio.<br />
• Caos molecolare; la funzione di distribuzione di una coppia di molecole che collidono<br />
– ovvero la probabilità che in un istante t si determini una collisione binaria in una<br />
posizione q tra due molecole con impulsi p1 e p2 – è proporzionale al prodotto<br />
f(q, p1, t)f(q, p2, t). (9.1)<br />
Dall’ipotesi che le molecole siano sfere rigide identiche <strong>per</strong>fettamente elastiche segue<br />
che due molecole che collidono con impulsi iniziali p1 e p2 emergono dall’urto con nuovi<br />
impulsi p ′ 1 e p ′ 2, che devono verificare le leggi di conservazione della quantità totale di moto<br />
e dell’energia<br />
p1 + p2 = p ′ 1 + p ′ 2 = P<br />
p 2 1 + p 2 2 = (p ′ 1) 2 + (p ′ 2) 2 = 2mE. (9.2)<br />
Le transizioni della coppia (p1, p2) alle coppie ammissibili (p ′ 1, p ′ 2) non sono generalmente<br />
equiprobabili, ma sono descritte da un nucleo di transizione τ(p1, p2, p ′ 1, p ′ 2) che deve essere<br />
simmetrico rispetto allo scambio delle coppie (p1, p2) e (p ′ 1, p ′ 2), poiché la transizione inversa<br />
ha la stessa probabilità <strong>per</strong> la reversibilità delle equazioni microscopiche di evoluzione. Il<br />
nucleo sarà inoltre simmetrico separatamente <strong>per</strong> lo scambio di p1 con p2 e di p ′ 1 con<br />
p ′ 2, poiché abbiamo supposto che le molecole siano identiche. Se quindi consideriamo la<br />
funzione<br />
f1 = f(p1, q, t),<br />
la sua derivata totale rispetto al tempo è la somma di un termine negativo dovuto alle<br />
transizioni (p1, p2) → (p ′ 1, p ′ 2) <strong>per</strong> un qualunque p2, e di uno positivo dovuto alle transizioni<br />
inverse. Fissato p1, dovremmo considerare tutti i possibili vettori p2 e tutte le possibili<br />
coppie (p ′ 1, p ′ 2) compatibili con le leggi di conservazione (9.2). Inoltre bisogna tenere conto<br />
del fatto che la probabilità che si verifichi una collisione tra due molecole in un certo<br />
istante. È appunto quest’ultimo fattore che risulta proporzionale al prodotto (9.1) in virtù<br />
dell’ipotesi del caos molecolare. Introducendo in un modo simile a quanto fatto sopra i<br />
simboli<br />
f2 = f(p2, q, t), f ′ 1 = f(p ′ 1, q, t), f ′ 2 = f(p ′ 2, q, t),<br />
risulta ora chiaro che il conteggio delle molecole entranti e uscenti nella classe descritta<br />
dalla funzione f1 è espresso dalla seguente equazione di Boltzmann<br />
<br />
∂ p1<br />
+<br />
∂t m · ∇q<br />
<br />
+ F · ∇p f1 = dp2 Σ(P, E)τ(p1, p2, p ′ 1, p ′ 2)(f ′ 1f ′ 2 − f1f2)dΣ, (9.3)<br />
dove Σ(P, E) è l’insieme dei vettori p ′ 1 e p ′ 2 che verificano le (9.2). L’equazione di Boltzmann<br />
è dunque una equazione integro–differenziale non lineare, la non linearità essendo dovuta<br />
proprio alle collisioni.
136CAPITOLO 9. CENNI DI TEORIA CINETICA: L’EQUAZIONE DI BOLTZMANN<br />
9.3 La distribuzione di Maxwell–Boltzmann<br />
Gli stati di equilibrio di un sistema retto dalla (9.3) sono descritti dalle soluzioni stazionarie.<br />
Cerchiamo tali soluzioni supponendo che sia F = 0 e che la funzione di distribuzione f<br />
non dipenda dalle coordinate di posizione q. In altri termini, cechiamo una soluzione<br />
di equilibrio del tipo f0(p). Una condizione sufficiente affinché f0(p) sia una soluzione<br />
stazionaria dell’equazione di Boltzmann è ovviamente che essa verifichi l’uguaglianza<br />
f0(p1)f0(p2) = f0(p ′ 1)f0(p ′ 2) (9.4)<br />
<strong>per</strong> ogni coppia di stati (p1, p2), (p ′ 1, p ′ 2) che soddisfano le (9.2). Vedremo in seguito che<br />
tale condizione è anche necessaria.<br />
L’equazione (9.4) esprime una legge di conservazione del prodotto f0(p1)f0(p2). Tuttavia<br />
le ipotesi fatte (e in particolare l’assenza di struttura interna delle molecole) comportano<br />
che le sole quantità conservate nell’urto sono l’energia cinetica e la quantità di moto<br />
totale. Perciò la funzione f0(p) deve essere tale che il prodotto f0(p1)f0(p2) dipenda solo<br />
dagli invarianti P ed E. Osserviamo che <strong>per</strong> ogni arbitrario vettore p0 abbiamo<br />
(p1 − p0) 2 + (p2 − p0) 2 = 2mE − 2P · p0 + 2p 2 0,<br />
e quindi una scelta di f0 che realizzi (9.4) (e tale inoltre che f0(p) → 0 <strong>per</strong> |p| → +∞) è<br />
−A(p−p0) 2<br />
f0(p) = Ce , (9.5)<br />
con A e C costanti positive, di cui illustreremo il significato.<br />
Definiamo ora il valor medio di una grandezza G(p) relativo alla distribuzione (9.5)<br />
mediante la formula<br />
<br />
G(p)f0(p)dp<br />
〈G〉 = .<br />
f0(p)dp<br />
Ricordiamo che <strong>per</strong> la definizione di funzione di distribuzione, come abbiamo visto in<br />
precedenza, il denominatore della precedente espressione rappresenta la densità media n =<br />
N/V di particelle.<br />
Si calcola allora facilmente che il valore medio dell’impulso p è dato da<br />
<br />
pf0(p)dp<br />
〈p〉 = = p0,<br />
f0(p)dp<br />
poiché <br />
<br />
pf0(p)dp = C<br />
<br />
−A(p−p0) 2<br />
(p − p0)e dp + p0<br />
f0(p)dp<br />
ed il primo addendo a secondo membro è uguale a zero (esercizio). Dunque p0 è legato<br />
alla presenza eventuale di una traslazione uniforme dell’intero sistema. È sempre possibile<br />
scegliere un sistema di riferimento solidale con tale traslazione in modo che in esso si abbia<br />
p0 = 0.
9.3. LA DISTRIBUZIONE DI MAXWELL–BOLTZMANN 137<br />
La condizione di normalizzazione<br />
<br />
f0(p)dp = n<br />
consiste nel fissare la costante C in termini della costante A (usando il passaggio a coordinate<br />
sferiche, esercizio):<br />
e quindi<br />
<br />
n =<br />
f0(p)dp = 4π<br />
+∞<br />
0<br />
C = n<br />
ρ 2 e −Aρ2<br />
dρ = C<br />
3/2 A<br />
.<br />
π<br />
<br />
π<br />
3/2 A<br />
A sua volta la costante A è legata all’energia cinetica media ε di una molecola<br />
ε =<br />
p 2<br />
2m f0(p)dp<br />
f0(p)dp .<br />
Infatti, da quanto visto in precedenza segue che (esercizio)<br />
ε = 2π<br />
m<br />
3/2 +∞<br />
A<br />
ρ<br />
π 0<br />
4 e −Aρ2<br />
dρ = 3<br />
4Am ,<br />
da cui<br />
A = 3<br />
4εm .<br />
Abbiamo così trovato l’espressione seguente <strong>per</strong> la distribuzione di equilibrio, detta distribuzione<br />
di Maxwell–Boltzmann (o Maxwelliana)<br />
Se il gas è sottoposto ad una forza conservativa<br />
3/2 3<br />
3p2<br />
−<br />
f0(p) = n<br />
e 4εm . (9.6)<br />
4πεm<br />
F = −∇qΦ(p),<br />
è di facile verifica che l’equazione di Boltzmann ammette la soluzione stazionaria<br />
3Φ(q)<br />
−<br />
f0(p, q) = f0(p)e 2ε .<br />
Osserviamo che le distribuzioni di equilibrio non dipendono dalla funzione τ che compare<br />
nell’equazione di Boltzmann, ovvero del tipo di interazione a due corpi tra le molecole del<br />
gas.
138CAPITOLO 9. CENNI DI TEORIA CINETICA: L’EQUAZIONE DI BOLTZMANN<br />
9.4 Pressione e tem<strong>per</strong>atura assoluta<br />
Consideriamo una su<strong>per</strong>ficie esposta all’azione delle molecole del gas e supponiamo che<br />
essa sia <strong>per</strong>fettamente riflettente. Per definizione, la forza che agisce (in media) su un<br />
suo elemento infinitesimo dσ è in modulo Pdσ, dove P è la pressione. Tale forza si può<br />
calcolare osservando che ogni molecola che urta dσ subisce una variazione del suo impulso<br />
pari al doppio della componente normale pn del suo impulso precedente l’urto. La forza<br />
esercitata su dσ sarà dunque ottenuta moltiplicando 2pn <strong>per</strong> il numero di urti nell’unità<br />
di tempo ivi subiti da particelle aventi la componente di impulso pn e integrando sullo<br />
spazio degli impulsi che danno luogo a collisioni (pn > 0). Calcoliamo l’espressione di P in<br />
corrispondenza della distribuzione (9.6).<br />
Poiché 1<br />
mpnf0(p)dσdp è il numero di urti <strong>per</strong> unità di tempo da parte delle particelle<br />
aventi impulso nella cella dp centrata su p, avremo l’espressione<br />
P = 1<br />
m<br />
<br />
pn>0<br />
2p 2 nf0(p)dp = 1<br />
m<br />
<br />
p 2 nf0(p)dp,<br />
che è proporzionale alla media 〈p 2 n〉.<br />
A causa della simmetria di f0(p), risulta che 〈p 2 n〉 uguaglia la somma delle medie 〈p 2 i 〉,<br />
essendo pi le proiezioni sui vettori della base canonica ortonormale di R 3 , che queste ultime<br />
sono uguali tra loro. Ne consegue che 〈p 2 n〉 = 1<br />
3 〈p2 〉 e dunque otteniamo<br />
P = 4π<br />
3m<br />
+∞<br />
0<br />
ρ 4 f0(ρ)dρ,<br />
e a conti fatti si <strong>per</strong>viene alla cosiddetta equazione di stato<br />
P = 2<br />
3 nε.<br />
Definiamo la tem<strong>per</strong>atura assoluta T mediante la relazione<br />
P = nkT<br />
dove k è la costante di Boltzmann. Di conseguenza<br />
<strong>per</strong> cui la (9.6) diviene<br />
ε = 3<br />
2 kT,<br />
f0(p) = n(2πmkT ) −3/2 p2<br />
−<br />
e 2mkT .<br />
9.5 Il ‘teorema H’ di Boltzmann. Entropia<br />
In questa sezione supporremo <strong>per</strong> semplicità che la distribuzione delle molecole sia spazialmente<br />
uniforme (cioè che la f non dipenda dalle coordinate q) e che il gas non sia sottoposto
9.5. IL ‘TEOREMA H’ DI BOLTZMANN. ENTROPIA 139<br />
a forze esterne. La funzione di distribuzione f(p, t) verifica allora l’equazione<br />
∂f<br />
∂t (p1,<br />
<br />
t) dp2<br />
τ(p1, p2, p<br />
Σ(P,E)<br />
′ 1, p ′ 2)[f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t) − f(p1, t)f(p2, t)]dΣ. (9.7)<br />
Vogliamo ora utilizzare l’equazione (9.7) <strong>per</strong> descrivere l’evoluzione temporale del funzionale<br />
H di Boltzmann, definito da<br />
<br />
H(t) = f(p, t) log f(p, t)dp,<br />
dove l’integrazione è estesa a tutto lo spazio della quantità di moto. Abbiamo il seguente<br />
teorema:<br />
Teorema 9.5.1 (Teorema H di Boltzmann) Se la distribuzione f(p, t) che compare<br />
nella definizione di H(t) è una soluzione dell’equazione (9.7), allora si ha<br />
dH<br />
dt<br />
≤ 0.<br />
Dimostrazione.<br />
Sostituendo la (9.7) nell’espressione<br />
dH<br />
dt =<br />
<br />
∂f<br />
[1 + log f(p, t)]dp<br />
∂t<br />
si trova (avendo posto p = p1)<br />
dH<br />
dt =<br />
<br />
dp1<br />
<br />
dp2<br />
τ(p1, p2, p<br />
Σ(P,E)<br />
′ 1, p ′ 2)[f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t)−f(p1, t)f(p2, t)][1+log f(p1, t)]dΣ.<br />
Per via della invarianza di τ rispetto allo scambio di p1 con p2, possiamo scrivere<br />
dH<br />
dt =<br />
<br />
dp1<br />
<br />
dp2<br />
τ(p1, p2, p<br />
Σ(P,E)<br />
′ 1, p ′ 2)[f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t)−f(p1, t)f(p2, t)][1+log f(p2, t)]dΣ,<br />
in cui semplicemente f(p2, t) ha sostituito f(p1, t) nell’ultimo fattore. Sommando membro<br />
a membro le due identità, troviamo<br />
<br />
dH 1<br />
= dp1 dp2 τ(p1, p2, p<br />
dt 2<br />
′ 1, p ′ 2)·<br />
Σ(P,E)<br />
· [f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t) − f(p1, t)f(p2, t)][2 + log f(p1, t)f(p2, t)]dΣ.<br />
Ricordando l’invarianza di τ rispetto allo scambio delle coppie (p1, p2) e (p ′ 1, p2), avremo<br />
anche<br />
<br />
dH<br />
= −1<br />
dt 2<br />
<br />
dp1<br />
<br />
dp2 τ(p1, p2, p ′ 1, p ′ 2)·<br />
Σ(P,E)<br />
· [f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t) − f(p1, t)f(p2, t)][2 + log f(p1, t)f(p2, t)]dΣ.
140CAPITOLO 9. CENNI DI TEORIA CINETICA: L’EQUAZIONE DI BOLTZMANN<br />
Sommando membro a membro le ultime due identità otteniamo<br />
<br />
dH 1<br />
=<br />
dt 4<br />
<br />
dp1<br />
<br />
dp2 τ(p1, p2, p ′ 1, p ′ 2)·<br />
Σ(P,E)<br />
· [f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t) − f(p1, t)f(p2, t)][log f(p1, t)f(p2, t) − log f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t)]dΣ<br />
e tale espressione è chiaramente negativa, poiché <strong>per</strong> ogni coppia di numeri reali positivi<br />
x, y si ha (esercizio)<br />
(y − x)(log x − log y) ≤ 0<br />
con l’uguaglianza solo nel caso x = y. <br />
Dalla dimostrazione seguente segue anche che la condizione (9.4) affinché una distribuzione<br />
sia di equilibrio è non soltanto sufficiente ma anche necessaria. Infatti, <strong>per</strong><br />
una soluzione stazionaria avremo dH/dt = 0, che <strong>per</strong> quanto visto nella dimostrazione<br />
precedente comporta la (9.4). Inoltre, qualunque sia la distribuzione iniziale f(p, 0), il sistema<br />
si porta asintoticamente verso la soluzione stazionaria <strong>per</strong> t → +∞. Di quest’ultima<br />
affermazione omettiamo la dimostrazione.<br />
Il teorema H riveste un ruolo fondamentale nella teoria cinetica dei gas, poiché consente<br />
l’introduzione dell’entropia e la deduzione della seconda legge della termodinamica. Infatti<br />
basta definire l’entropia in modo che risulti proporzionale a −H(t) e che abbia la proprietà<br />
di essere estensiva (ossia che aumenti proporzionalmente al volume, se si conserva la densità<br />
media n).<br />
Definizione 9.5.2 Se V indica il volume indicato dal gas, definiamo entropiala grandezza<br />
estensiva<br />
S = −kV H + costante<br />
dove k è la costante di Boltzmann.<br />
La scelta del fattore kV è fatta in modo tale da ritrovare l’equazione dell’entropia di<br />
un gas ideale quando il funzionale H viene calcolato in corrispondenza della ditribuzione<br />
di Maxwell–Boltzmann. Risulta infatti<br />
<br />
H0 = n<br />
log<br />
λ −1 n<br />
<br />
3/2<br />
1<br />
−<br />
2πmkT<br />
3<br />
<br />
,<br />
2<br />
dove λ è un fattore di adimensionalizzazione, <strong>per</strong> cui<br />
<br />
S0(E, V ) = kN log λn V<br />
<br />
3/2<br />
4 E<br />
π +<br />
N 3 N<br />
3<br />
<br />
.<br />
2<br />
La verifica è lasciata <strong>per</strong> esercizio.
Capitolo 10<br />
Alcuni limiti idrodinamici<br />
In questo capitolo tratteremo alcuni esempi di limiti idrodinamici <strong>per</strong> alcuni dei modelli<br />
trattati in precedenza. Più precisamente studieremo il comportamento di taluni modelli<br />
al variare di un certo parametro che viene mandato al limite, ottenendo formalmente un<br />
modello approssimato che corrisponde ad altri modelli più semplici trattati. La prima<br />
sezione sarà l’unica <strong>per</strong> cui giustificheremo rigorosamente il limite proposto.<br />
10.1 Equazione delle onde con dissipazione esogena<br />
Consideriamo l’equazione della corda con una dissipazione esogena, considerata nella sezione<br />
5.7,<br />
utt + µut − auxx = 0, a > 0, µ > 0, (10.1)<br />
detta anche, in altri contesti, equazione di Cattaneo. Supponiamo che la costante µ sia<br />
molto grande, e supponiamo allo stesso tempo di studiare il comportamento <strong>per</strong> tempi<br />
grandi ponendo<br />
t = µτ v(x, τ) = µu(x, µτ).<br />
L’equazione nella nuova variabile v(x, τ) diventa<br />
µ −2 vττ + vτ − avxx = 0. (10.2)<br />
Per semplificare la trattazione supporremo che x ∈ [0, π] e che la corda sia ferma agli<br />
estremi, ovvero v(0) = v(π). Imponiamo i dati iniziale<br />
v(x, 0) = v0(x), vτ(x, 0) = 0.<br />
Formalmente, <strong>per</strong> µ → +∞, l’equazione (10.2) diventa<br />
vτ − avxx = 0, (10.3)<br />
ovvero l’equazione di diffusione lineare. Tale procedimento limite verrà ora giustificato in<br />
modo rigoroso, in due modi.<br />
141
142 CAPITOLO 10. ALCUNI LIMITI IDRODINAMICI<br />
10.1.1 Primo metodo: separazione delle variabili<br />
In questo primo caso supporremo <strong>per</strong> semplicità che il dato iniziale u0 sia una combinazione<br />
finita di armoniche, cioè che il suo sviluppo in serie di Fourier sia<br />
Separando le variabili<br />
si ha<br />
quindi<br />
u0(x) =<br />
N<br />
an sin nx.<br />
n=1<br />
u(x, τ) = f(x)g(τ)<br />
µ −2 fg ′′ + fg ′ − f ′′ g = 0,<br />
µ −2 g′′ g′<br />
+<br />
g g<br />
= λ = f ′′<br />
f ,<br />
con λ ∈ R costante. Determiniamo prima la f. Dalle condizioni al bordo risulta evidente<br />
che gli unici autovalori possibili sono λ = k 2 , k ∈ Z, con corrispondenti autofunzioni<br />
L’equazione <strong>per</strong> g diventa quindi<br />
fk(x) = A sin(kx).<br />
µ −2 g ′′ + g ′ + k 2 g = 0.<br />
Si tratta di una ODE lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. Le radici del<br />
polinimio caratteristico sono<br />
λ1(k, µ) = −1 − 1 − 4k 2 µ −2<br />
La soluzione generale della (10.2) è quindi<br />
Per t = 0 si ha<br />
e<br />
2µ −2 , λ2(k, µ) = −1 + 1 − 4k2 µ −2<br />
2µ −2<br />
v(x, τ) =<br />
v0(x) =<br />
0 =<br />
+∞<br />
k=1<br />
N<br />
ak sin kx =<br />
k=1<br />
+∞<br />
k=1<br />
αke λ1t + βke λ2t sin(kx). (10.4)<br />
+∞<br />
k=1<br />
[αk + βk] sin(kx)<br />
αkλ1e λ1t + βkλ2e λ2t sin(kx).<br />
Per k > N si ha banalmente αk = βk = 0. Per k ≤ N osserviamo che λ1 e λ2 risultano<br />
entrambi reali se<br />
µ > 2N.<br />
.
10.1. EQUAZIONE DELLE ONDE CON DISSIPAZIONE ESOGENA 143<br />
Inoltre si può facilmente verificare che<br />
αk = λ2ak<br />
λ1 − λ2<br />
βk = −λ1ak<br />
.<br />
λ1 − λ2<br />
Per capire come si comporta v quando µ → +∞, studiamo il comportamento dei seguenti<br />
coefficienti:<br />
lim<br />
µ→+∞ λ1(k, µ) = −∞,<br />
lim<br />
µ→+∞ λ2(k, µ) = lim<br />
µ→+∞<br />
−4k 2 µ −2<br />
2µ −2<br />
<br />
1 + 1 − 4k2 µ −2<br />
lim<br />
µ→+∞ αk<br />
−1 +<br />
= ak lim<br />
µ→+∞<br />
1 − 4k2 µ −2<br />
2 1 − 4k2 µ −2<br />
lim<br />
µ→+∞ βk<br />
1 +<br />
= ak lim<br />
µ→+∞<br />
1 − 4k2 µ −2<br />
2 1 − 4k2 µ −2<br />
Sostituendo tali limiti nella (10.4) otteniamo<br />
lim v(x, τ) =<br />
µ→+∞<br />
N<br />
k=1<br />
= 0,<br />
= ak.<br />
ake −k2 t sin(kx),<br />
= −k 2 ,<br />
e la funzione a secondo membro coincide con la soluzione di (10.3) con dato iniziale v0 e<br />
con condizioni al bordo omogenee di Diriclhet 1 .<br />
10.1.2 Secondo metodo: stima dell’energia<br />
In questo secondo caso imporremo una condizione diversa sui dati iniziali. L’idea è quella<br />
di stimare la norma L 2 della differenza v − w dove<br />
e<br />
Per quanto riguarda i dati iniziali, supporremo<br />
µ −2 vττ + vτ − avxx = 0 (10.5)<br />
wτ − awxx = 0. (10.6)<br />
v(x, 0) = w(x, 0) = v0(x)<br />
vτ(x, 0) = wt(x, 0) = v0(x).<br />
1 Si confronti tale funzione con la soluzione dell’equazione del calore in (2.7).
144 CAPITOLO 10. ALCUNI LIMITI IDRODINAMICI<br />
Questo equivale a richiedere che<br />
v0,xx = v0(x), (10.7)<br />
in quanto non è naturale fissare una condizione sulla derivata temporale iniziale <strong>per</strong> l’equazione<br />
del calore: questo implica che sia rispettata la condizione (10.7) che è detta<br />
condizione di dati iniziali ben preparati. Possiamo allora definire<br />
U = v − w,<br />
che soddisfa ⎧⎪ ⎨<br />
U(x, 0) = 0 x ∈ [0, π]<br />
µ −2 Uττ + Uτ − Uxx = −µ −2 wtt x ∈ [0, π], t ≥ 0<br />
⎪⎩<br />
Uτ(x, 0) = 0 x ∈ [0, π]<br />
U(0, t) = U(π, t) = 0 t ≥ 0.<br />
(10.8)<br />
Usiamo ora l’energia dell’equazione delle onde e stimiamone l’evoluzione nel tempo.<br />
Definiamo<br />
π<br />
E(t) = U 2 x(x, t)dx + µ −2<br />
π<br />
U 2 t (x, t)dx.<br />
Integrando <strong>per</strong> parti ed usando la (10.8) otteniamo<br />
d<br />
dτ<br />
π<br />
E(τ) = 2<br />
− 2<br />
π<br />
0<br />
U<br />
0<br />
2 τ dx − 2µ −2<br />
π<br />
0<br />
0<br />
<br />
UτUτx + µ −2 UτUττ π<br />
dx = 2<br />
π<br />
Uτwττdx ≤ −2<br />
0<br />
0<br />
<br />
−UτUxx + µ −2 <br />
UτUττ dx<br />
0<br />
U 2 τ dx + µ −2<br />
π<br />
dove abbiamo usato la disuguaglianza di Cauchy–Schwarz<br />
π<br />
0<br />
fgdx ≤ 1<br />
2<br />
Per µ abbastanza grande abbiamo dunque<br />
Ora, dato che<br />
π<br />
0<br />
d<br />
E(τ) ≤ µ−2<br />
dτ<br />
w(x, τ) =<br />
f 2 dx + 1<br />
2<br />
π<br />
0<br />
π<br />
0<br />
w 2 ττdx.<br />
+∞<br />
ake −k2τ sin(kx),<br />
k=1<br />
derivando due volte rispetto al tempo si ha<br />
wττ(x, τ) =<br />
0<br />
g 2 dx.<br />
+∞<br />
k 4 ake −k2τ sin(kx)<br />
k=1<br />
w 2 ττdx + µ −2<br />
π<br />
0<br />
U 2 τ dx,
10.2. APPROSSIMAZIONE ACUSTICA PER UN FLUSSO ISOENTROPICO 145<br />
e chiaramente esisterà una costante C > 0 indipendente da µ tale che<br />
π<br />
0<br />
w 2 ττdx ≤ C.<br />
Per cui abbiamo provato che<br />
d<br />
dτ E(τ) ≤ Cµ−2 .<br />
Fissando T > 0 ed integrando in dτ tra 0 e τ tale che 0 ≤ τ ≤ T , si ha<br />
π<br />
0<br />
U 2 x(x, τ)dx +<br />
In particolare abbiamo mostrato che<br />
π<br />
π<br />
U<br />
0<br />
2 τ (x, τ)dx ≤ µ −2 T C → 0, <strong>per</strong> µ → +∞.<br />
0<br />
U 2 x(x, τ)dx → 0.<br />
Usiamo infine la seguente disuguaglianza di Poincarè 2 :<br />
b<br />
a<br />
f(x) 2 dx ≤ Cab<br />
b<br />
a<br />
f ′ (x) 2 dx, se f(a) = f(b) = 0,<br />
dove Cab è una costante dipendente da a e b. Otteniamo<br />
π<br />
che dimostra l’asserto.<br />
0<br />
(v(x, τ) − w(x, τ)) 2 dx → 0 <strong>per</strong> µ → +∞<br />
10.2 Approssimazione acustica <strong>per</strong> un flusso isoentropico<br />
Scriviamo le equazioni di Eulero <strong>per</strong> il fluido isoentropico ed isolato (b = 0) nella forma<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
∂<br />
ρ + div[ρu] = 0<br />
∂t <br />
⎪⎩<br />
∂<br />
ρ u + u · ∇u = −∇p(ρ).<br />
∂t<br />
(10.9)<br />
con ρ ↦→ p(ρ) differenziabile e con derivata prima p ′ (ρ) strettamente positiva. Per fissare<br />
le idee si può pensare p(ρ) = Aρ γ con A > 0 e γ > 1. Sia ρ(x, 0) = ρ0 + δρ1(x, 0),<br />
2 La dimostrazione di questa disuguaglianza è un utile esercizio di analisi. Una dimostrazione nel caso<br />
multidimensionale si può trovare ad esempio nel già citato libro di Evans.
146 CAPITOLO 10. ALCUNI LIMITI IDRODINAMICI<br />
u(x, 0) = δu1(x, 0) con ρ0 una costante positiva e δ > 0 una costante piccola. Cerchiamo<br />
una soluzione espressa nella forma<br />
ρ(x, t) = ρ0 + δρ1(x, t) + O(δ 2 )<br />
u(x, t) = δu1(x, t) + O(δ 2 ).<br />
Sostituendo tali relazioni nella prima delle (10.9) e pensando sempre a δ come ad una<br />
costante piccola, si ha<br />
δ∂tρ1 + δρ0divu1 = O(δ 2 ),<br />
e quindi, dividendo <strong>per</strong> δ e mandando δ → 0,<br />
∂tρ1 + ρ0divu1 = 0. (10.10)<br />
Effettuando lo stesso procedimento nella seconda delle (10.9) si ottiene<br />
ρ0∂tu1 + p ′ (ρ0)∇ρ1 = 0. (10.11)<br />
Differenziando la (10.10) rispetto ad t ed applicando l’o<strong>per</strong>atore di divergenza alla (10.11)<br />
si ottiene<br />
∂ 2 ttρ1 − p ′ (ρ0)∆ρ1 = 0.<br />
Quindi ρ1 soddisfa l’equazione delle onde con velocità c = p ′ (ρ0), detta velocità del suono.<br />
In questo caso ρ1 è detta anche onda di compressione.<br />
10.3 Limite incompressibile <strong>per</strong> il flusso isoentropico<br />
Fissiamo un dominio spaziale limitato Ω con frontiera regolare, ed imponiamo la condizione<br />
al contorno u · n = 0 (no flux condition). Tale condizione implica che nessuna particella<br />
di fuido sta uscendo dal dominio. Introduciamo una lunghezza tipica L (ad esempio il<br />
diametro del dominio spaziale), una velocità tipica V (ad esempio il massimo del modulo<br />
della velocità iniziale), un tempo tipico τ (ad esempio il tempo necessario <strong>per</strong> attraversare<br />
il dominio con velocità V e quindi τ = L/V . Abbiamo inoltre già una densità tipica<br />
ρ0 ≡ R e in conseguenza una pressione tipica P = p(R). Introduciamo allora le variabili<br />
adimensionali<br />
x ′ = x<br />
L<br />
t ′ = t<br />
τ<br />
u ′ = u<br />
V<br />
ρ ′ = ρ<br />
R<br />
p ′ = p<br />
P<br />
= uτ<br />
L<br />
= p<br />
p(R) .
10.3. LIMITE INCOMPRESSIBILE PER IL FLUSSO ISOENTROPICO 147<br />
Sostituendo tali espressioni nelle equazioni di Eulero isoentropiche<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
∂<br />
ρ + div[ρu] = 0<br />
∂t <br />
⎪⎩<br />
∂<br />
ρ u + u · ∇u = −∇p(ρ),<br />
∂t<br />
(10.12)<br />
usando le nuove variabili indipendenti x ′ , t ′ anzichè x, t, ciascun termine verrà moltiplicato<br />
<strong>per</strong> una costante dipendente dalle grandezze tipiche sopra introdotte. Alla fine, rimuovendo<br />
gli apici (e rinominando quindi tutte le variabili) si ottiene il seguente sistema riscalato<br />
con<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
∂<br />
ρ + div[ρu] = 0<br />
∂t <br />
⎪⎩<br />
∂<br />
ρ u + u · ∇u = −λ<br />
∂t 2 ∇p(ρ),<br />
λ = c<br />
<br />
1<br />
V γA ,<br />
(10.13)<br />
ove p(ρ) = Aργ e dove c = p ′ (R) è la velocità del suono. Il numero λ appena definito<br />
è detto numero di Mach. Il limite incompressibile corrisponde a velocità V molto piccole<br />
rispetto a c e quindi λ → +∞. È conveniente riscrivere le (10.13) usando p come incognita<br />
invece di ρ. A tale scopo basta moltiplicare la prima equazione <strong>per</strong> p ′ (ρ) ed usare<br />
ρp ′ (ρ) = Aγρ γ = γp(ρ),<br />
<strong>per</strong> ottenere ⎧<br />
⎪⎨ ∂<br />
p + u · ∇p + γpdivu = 0<br />
∂t<br />
⎪⎩<br />
∂<br />
1<br />
u + u · ∇u = −λ2<br />
∂t ρ(p) ∇p,<br />
(10.14)<br />
con ρ(p) = (Ap) 1/γ .<br />
Il nostro scopo è ora quello di ottenere il limite (formale) <strong>per</strong> λ → +∞ delle soluzioni<br />
del sistema (10.14) mediante il seguente metodo di espansione. Scriviamo le variabili p ed<br />
u come sviluppi di potenze di λ −1 , ovvero<br />
p = p0 + λ −1 p1 + λ −2 p2 + O(λ −3 ),<br />
u = u0 + λ −1 u1 + λ −2 u2 + O(λ −3 ).<br />
Sostiuendo tali sviluppi nella seconda delle (10.14) ed uguagliando i coefficienti delle potenze<br />
di λ (<strong>per</strong> lo stesso motivo <strong>per</strong> cui abbiamo uguagliato i coefficienti di δ nel paragrafo<br />
precedente, ovvero dividendo l’equazione <strong>per</strong> un opportuna potenza di λ e mandando<br />
λ → +∞) otteniamo:<br />
λ 2 : ∇p0 = 0<br />
λ 1 : ∇p1 = 0<br />
λ 0 : ∂tu0 + u0 · ∇u0 = −ρ(p0) −1 ∇p2. (10.15)
148 CAPITOLO 10. ALCUNI LIMITI IDRODINAMICI<br />
Sostituendo nella prima delle (10.14) si ottiene invece<br />
λ 0 : ∂tp0 + u0 · p0 + γp0divu0 = 0<br />
λ 1 : ∂tp1 + u0 · p1 + u1 · p0 + γp0divu1 + γp1divu0 = 0. (10.16)<br />
Le prime due delle (10.15) implicano che p0 e p1 non dipendono da x, ma possono dipendere<br />
da t. Usiamo tale informazione nella prima delle (10.16), integrata su Ω. Dal teorema di<br />
Gauss applicato ai campi p0u1 e p1u0, dalle condizioni al bordo e dal fatto che p0 non<br />
dipende da x, si ha<br />
<br />
0 = ∂tp0dx = ∂tp0(t).<br />
Ω<br />
Pertanto p0 non dipende neanche da t. Inoltre, avendo provato che le derivate di p0 sono<br />
tutte nulle, abbiamo anche divu0 = 0. La seconda delle (10.15) e le precedenti informazioni<br />
riducono la (10.16) a<br />
∂tp1 + γp0divu1 = 0.<br />
ed un argomento analogo al precedente (usando anche div(g(p0)u1) = g(p0)divu1 dato che<br />
g(p0) non dipende da x) mostra che ∂tp1 = 0 e divu1 = 0. In conclusione, nel sistema<br />
(10.14) rimangono solo i termini all’ordine λ 0 più termini infinitesimi <strong>per</strong> λ grande. Di<br />
conseguenza, supponendo che tutte le funzioni presenti nelle espansioni precedenti siano<br />
limitate ed abbiano derivate limitate, si ottiene il seguente sistema limite <strong>per</strong> λ → +∞:<br />
<br />
divu0 = 0<br />
∂tu0 + u0 · ∇u0 = −∇ˆp,<br />
ove abbiamo denotato ˆp = ρ(p0) −1 p2. Il sistema precedente è evidentemente il sistema<br />
di equazioni di Eulero incompressibili (7.16). Quanto appena esposto mostra come le<br />
equazioni di Eulero incompressibili sono da considerarsi come una buona approssimazione<br />
<strong>per</strong> un flusso compressibile con velocità rispetto alla velocità del suono.<br />
10.4 Limite diffusivo in un mezzo poroso<br />
Consideriamo ancora le equazioni di Eulero <strong>per</strong> un fluido comprimibile isoentropico. Stavolta,<br />
supponiamo che il moto del fluido avvenga in presenza di un mezzo poroso. Tralasciando<br />
i dettagli matematici, possiamo dedurre (con buona approssimazione) che la porosità del<br />
mezzo provochi un attrito lineare direttamente proporzionale alla velocità e alla densità.<br />
Tale fenomeno contribuisce alla formulazione della legge di bilancio dell’impulso mediante<br />
un termine di damping −ρu. Il segno meno tiene conto del fatto che la forza agente<br />
sull’elemento di fluido è di tipo dissipativo. Otteniamo dunque le equazioni<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
∂<br />
ρ + div[ρu] = 0<br />
∂t <br />
⎪⎩<br />
∂<br />
(10.17)<br />
ρ u + u · ∇u + ∇p(ρ) = −ρu,<br />
∂t
10.4. LIMITE DIFFUSIVO IN UN MEZZO POROSO 149<br />
con p(ρ) = Aρ γ , A > 0, γ > 1. Ci poniamo a questo punto il problema di determinare il<br />
comportamento delle soluzioni <strong>per</strong> tempi lunghi. Almeno ad un livello formale, questo può<br />
essere fatto riscalando le variabili indipendenti nel modo seguente<br />
x = y τ<br />
, t = ,<br />
ɛ ɛ2 ove ɛ > 0 è un parametro destinato ad essere mandato a zero al limite (il che implica che<br />
il tempo cresce più velocemente dello spazio). Coerentemente con l’analisi dimensionale<br />
delle variabili in gioco, studieremo quindi il comportamento delle nuove funzioni<br />
ρ ɛ <br />
y τ<br />
<br />
(y, τ) = ρ , = ρ(x, t)<br />
u ɛ (y, τ) = 1<br />
ɛ u<br />
ɛ<br />
ɛ 2<br />
<br />
y τ<br />
,<br />
ɛ ɛ2 <br />
= 1<br />
u(x, t).<br />
ɛ<br />
Sostituendo tali variabili nelle equazionie (10.17), otteniamo il nuovo sistema riscalato<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
∂<br />
⎪⎩<br />
∂t ρɛ + div[ρ ɛ u ɛ ] = 0<br />
ɛ 2 ρ ɛ<br />
<br />
∂<br />
∂t uɛ + u ɛ · ∇u ɛ<br />
<br />
+ ∇p(ρ ɛ ) = −ρ ɛ u ɛ .<br />
(10.18)<br />
Consideriamo ora il limite <strong>per</strong> ɛ → 0, detto limite diffusivo in quanto le variabili<br />
indipendenti sono riscalate nel modo in cui l’equazione del calore resta invariata (vedi<br />
capitolo 2, paragrafo 2.1.5). Supponendo come nel paragrafo precedente che le incognite ρ ɛ<br />
e u ɛ siano limitate ed abbiano tutte le derivate prime limitate (la supposizione di tali ipotesi<br />
a priori si esprime dicendo che l’o<strong>per</strong>azione che stiamo effettuando è un limite formale),<br />
otteniamo il seguente sistema limite<br />
⎧<br />
⎨ ∂<br />
ρ + div[ρu] = 0<br />
∂t<br />
⎩<br />
∇p(ρ) = −ρu.<br />
(10.19)<br />
La seconda delle equazioni precedenti è detta legge di Darcy. Essa esprime il fatto che<br />
l’impulso è irrotazionale, il che si esprime anche dicendo che il flusso limite è di tipo<br />
gradiente. Sostituendo la seconda equazione nella prima otteniamo una unica equazione<br />
ρt = ∆p(ρ),<br />
ovvero una equazione di diffusione non lineare, che nel nostro caso è proprio l’equazione<br />
dei mezzi porosi ricavata nel paragrafo 2.3. Dunque, quanto appena esposto ci dice che<br />
l’equazione dei mezzi porosi approssima il flusso isentropico in un mezzo poroso di un fluido<br />
comprimibile in una scala diffusiva.
150 CAPITOLO 10. ALCUNI LIMITI IDRODINAMICI
Capitolo 11<br />
Fenomeni di radiazione termica in un<br />
gas<br />
11.1 Concetti introduttivi<br />
In questa sezione integreremo le equazioni di un fluido comprimibile con la descrizione<br />
degli effetti della radiazione termica ad alte tem<strong>per</strong>ature sul bilancio dell’energia. Il risultato<br />
sarà dato da un sistema di equazioni <strong>per</strong> il flusso di un gas irradiante. Iniziamo<br />
con l’osservazione fisica che un gas ad altissime tem<strong>per</strong>ature produce energia sotto forma<br />
di radiazione elettromagnetica. Prima di descrivere tali effetti in dettaglio, richiamiamo<br />
alcune nozioni riguardanti le radiazioni elettomagnetiche. Come è noto, il campo elettromagnetico<br />
si propaga sotto forma di onde, ovvero di segnali <strong>per</strong>iodici aventi una frequenza<br />
ν ed una lunghezza d’onda λ, legati tra loro mediante la relazione λν = v, ove v è la<br />
velocità di propagazione dell’onda (velocità della luce c nel caso del vuoto). Nel seguito<br />
considereremo mezzi con indice di rifrazione v/c prossimo all’unità, cosicché la velocità di<br />
propagazione può essere supposta pari a c. Dato che i meccanismi di emissione di energia<br />
dovuta all’agitazione termica avvengono su scala microscopica, è necessario usare il punto<br />
di vista della meccanica quantistica, secondo cui l’energia di radiazione si propaga tramite<br />
fotoni, la cui energia dipende dalla frequenza mediante la relazione<br />
E = hν,<br />
dove h è la costante di Planck.<br />
Un campo di radiazione in una regione di spazio può essere descritto mediante una<br />
funzione di distribuzione che esprima localmente la quantità di fotoni. Più precisamente,<br />
data una posizione r ∈ R 3 , dato un tempo t ≥ 0, dato un vettore Ω ∈ S 1 , dato un valore<br />
ν della frequenza, la quantità<br />
f(ν, r, Ω, t)dνdrdΩ<br />
indica il numero di fotoni nell’intervallo di frequenza [ν, ν + dν], contenuti al tempo t<br />
nell’elemento di volume dr centrato in r ed aveni una direzione di propagazione contenuta<br />
1 S indica qui il bordo della sfera unitaria di R 3 .<br />
151
152 CAPITOLO 11. FENOMENI DI RADIAZIONE TERMICA IN UN GAS<br />
nella porzione infinitesima di angolo solido dΩ centrata attorno ad Ω. La funzione f è<br />
la funzione di distribuzione. Dato che l’energia di un fotone è nν e la sua velocità è c,<br />
l’energia irradiante nell’intervallo spettrale dν, passante <strong>per</strong> l’unità di tempo dt attraverso<br />
l’unità di su<strong>per</strong>ficie dS, con direzione contenuta nell’angolo solido dΩ centrato in Ω è pari<br />
a<br />
hνfdΩdrdν<br />
= hνcfdΩdν =: Iν(r, Ω, t)dνdΩ,<br />
dtdS<br />
ove abbiamo usato c = dx/dt e dr = dSdx. La quantità Iν precedente è detta intensità<br />
spettrale di radiazione. Il campo di radiazione è interamente determinato dalla funzione Iν<br />
o dalla funzione di distribuzione f.<br />
Data ora una su<strong>per</strong>ficie unitaria con versore normale n, vogliamo determinare il flusso<br />
dell’energia spettrale attraverso essa. Immaginando di osservare la su<strong>per</strong>ficie elementare<br />
posta in verticale, con n rivolto verso destra (ν ortogonale alla direzione di osservazione), i<br />
fotoni attraversano la su<strong>per</strong>ficie in entrambe le direzioni. La quantità di energia che fluisce<br />
da sinistra a destra <strong>per</strong> unità di tempo nell’intervallo spettrale dν è pari a <br />
S + f cos θdΩ,<br />
ove con S + abbiamo indicato l’emisfero destro della su<strong>per</strong>ficie unitaria e dove θ è l’angolo<br />
formato da n e dalla direzione dei fotoni Ω. L’itegrale della stessa quantità su S− (emisfero<br />
sinistro) darà come risultato il flusso passante da sinistra verso destra. Poichè cos θ ha<br />
segno opposto a destra ed a sinistra, l’energia che fluisce attraverso la su<strong>per</strong>ficie unitaria<br />
sarà pari a<br />
<br />
<br />
Sν(r, t, n) = hνc f cos θdΩ = Iν cos θdΩ.<br />
S<br />
Possiamo definire anche il vettore flusso di energia<br />
<br />
S<br />
Sν = IνΩdΩ,<br />
la cui componente lungo n è data da Sν(r, t, n). Le quantità<br />
I =<br />
+∞<br />
0<br />
S<br />
Iνdν, S =<br />
+∞<br />
0<br />
Sνdν,<br />
rappresentano rispettivamente l’intensità ed il flusso di radiazione integrato lungo tutto lo<br />
spettro delle frequenze.<br />
11.2 L’equazione del ‘radiative transfer’<br />
Vogliamo scrivere una legge di bilancio che descriva l’evoluzione nel tempo della quantità<br />
Iν. A tal proposito, consideriamo un cilindro con basi dσ ed altezza ds diretta lungo Ω,<br />
centrato in r. Una quantità di radiazione Iν(Ω, r, t)dσdt fluisce tra le due basi del cilindro<br />
durante il tempo dt. La variazione totale nel tempo dell’intensità Iν va calcolata tenendo<br />
conto che Iν dipende da r e da t. Derivando totalmente, detta s l’ascissa nella direzione<br />
dell’asse Ω, si ha<br />
dIν = ∂Iν<br />
∂t<br />
∂Iν ∂Iν ds ∂Iν<br />
dt + ds = +<br />
∂s ∂t c ∂s ds.
11.2. L’EQUAZIONE DEL ‘RADIATIVE TRANSFER’ 153<br />
Ovviamente, la derivata direzionale ∂Iν<br />
∂s è pari al prodotto scalare Ω · ∇Iν. In virtù di ciò<br />
si ha<br />
Iν(Ω, r, t)dσdt = 1<br />
<br />
∂Iν<br />
c ∂t<br />
+ cΩ · ∇Iν<br />
<br />
dsdσdt.<br />
Vogliamo ora brevemente descrivere i meccanismi responsabili dell’aumento o della<br />
diminuzione dei fotoni (dati la posizione, la frequenza, l’angolo solido, etc). Nei sistemi<br />
atomici, i fotoni vengono assorbiti o emessi durante le transizioni da uno stato energetico<br />
degli elettroni ad un altro. L’assorbimento di un fotone si accompagna ad una eccitazione<br />
di un atomo (o di una molecola). Quando l’energia del fotone è su<strong>per</strong>iore all’energia che<br />
l’elettrone necessita <strong>per</strong> passare al successivo livello energetico (energia di soglia), tale<br />
passaggio avviene. Se questa energia su<strong>per</strong>a l’energia che lega l’elettrone al nucleo, allora<br />
l’elettrone diventa libero (fotoionizzazione). L’energia in eccesso si converte in energia<br />
cinetica dell’elettrone. D’altra parte, qualora un elettrone venga eccitato senza liberarsi dal<br />
nucleo, il suo nuovo stato energetico è instabile, il che produce un decadimento spontaneo<br />
verso stati di energia più bassa. Ciò provoca l’emissione di energia elettromagnetica, e<br />
quindi di fotoni. Quelli appena descritto sono solo alcuni dei fenomeni di interazione<br />
tra radiazione e materia. Ad esempio, la teoria della meccanica quantistica ci dice che<br />
l’emissione di un fotone ad una data energia dipende anche dalla presenza nelle vicinanze<br />
di altri fotoni con la stessa energia. Sempre dalla meccanica quantistica (tralasciamo i<br />
dettagli), sappiamo che l’aumento di radiazione emessa nel cilindro durante il tempo dt è<br />
pari a<br />
jν<br />
<br />
1 + c2<br />
<br />
Iν dσdsdt.<br />
2hν3 D’altra parte, la radiazione assorbita durante lo stesso intervallo di tempo è<br />
kνIνdσdsdt.<br />
I coefficienti jν e kν sono detti rispettivamente coefficiente di radiazione assorbita e coefficiente<br />
di radiazione emessa. In virtù di ciò, una prima espressione dell’equazione del<br />
‘radiative transfer’, ovvero l’equazione che regola la variazione nel tempo di Iν è data da<br />
<br />
1 ∂Iν<br />
c ∂t<br />
<br />
+ cΩ · ∇Iν = jν<br />
<br />
1 + c2<br />
<br />
Iν − kνIν.<br />
2hν3 Per semplificare il secondo membro dell’equazione precedente, può essere utile analizzare<br />
la situazione di equilibrio termo–radiattivo. Tale situazione è caratterizzata dal fatto che il<br />
numero di fotoni emessi dal mezzo <strong>per</strong> unità di tempo, di volume e di frequenza, nell’angolo<br />
solido dΩ è esattamente uguale all’energia irradiante assorbita. L’intensità spettrale di<br />
energia nel caso di equilibrio radioattivo fu ricavata da Planck ai tempi dei primi sviluppi<br />
della teoria dei quanti. Essa è data da<br />
Iν,p = 2hν3<br />
c 2<br />
1<br />
e hν<br />
kT − 1 ,
154 CAPITOLO 11. FENOMENI DI RADIAZIONE TERMICA IN UN GAS<br />
dove k è la costante di Boltzmann e T è la tem<strong>per</strong>atura. Dato che all’equilibrio il mezzo<br />
è isotropo, il flusso totale di energia irradiante attraverso una su<strong>per</strong>ficie piana è nullo, il<br />
che implica che il flusso da destra verso sinistra compensa il flusso da sinistra verso destra.<br />
Integrando su un emisfero, otteniamo la seguente espressione <strong>per</strong> il flusso all’equilibrio<br />
Sν.p = 2hπν3<br />
c 2<br />
1<br />
e hν<br />
kT − 1 .<br />
Integrando sulle frequenze su [0, +∞) (tralasciamo i calcoli), si ha<br />
Sp :=<br />
+∞<br />
0<br />
Sν,pdν = σT 4 , σ = 2π5 K 4<br />
15c2 , (11.1)<br />
h3 ove σ è detta costante di Stefan–Boltzmann.<br />
Dato che all’equilibrio il secondo membro dell’equazione differenziale precedentemente<br />
ricavata deve essere nullo, ponendo Iν = Iν,p si ottiene la relazione<br />
jν<br />
kν<br />
=<br />
Iν,p<br />
1 + (c 2 /2nν 3 )Iν,p<br />
= 2hν3 hν<br />
e− kT .<br />
c2 Questa relazione è detta relazione di Kirchhoff. A seguito di ciò, l’equazione diventa<br />
<br />
1 ∂Iν<br />
hν<br />
−<br />
+ cΩ · ∇Iν = jν − kν(1 − e kT )Iν. (11.2)<br />
c ∂t<br />
Ponendo k ′ hν<br />
−<br />
ν = kν(1 − e kT ) ed imponendo ancora la condizione di equilibrio si ottiene<br />
e dunque (11.2) diventa<br />
<br />
1 ∂Iν<br />
c ∂t<br />
jν = k ′ νIν,p,<br />
+ cΩ · ∇Iν<br />
Nell’ipotesi di quasi–stazionarietà ∂tIν = 0 si ottiene<br />
Integrando rispetto ad Ω su tutto l’angolo solido si ha<br />
<br />
∇ · Sν = k ′ ν4πIν,p − k ′ ν<br />
<br />
= k ′ ν(Iν,p − Iν). (11.3)<br />
∇ · (ΩIν) = k ′ ν(Iν,p − Iν). (11.4)<br />
IνdΩ = k ′ ν4Sν,p − k ′ ν<br />
<br />
IνdΩ. (11.5)<br />
Moltiplicando la (11.4) <strong>per</strong> Ω ed integrando in dΩ si ha (usando il fatto che Iν,p non dipende<br />
da Ω) <br />
Ω(Ω · ∇Iν)dΩ = −k ′ νSν.
11.3. APPROSSIMAZIONE DIFFUSIVA 155<br />
Supponiamo a questo punto che Iν sia approssimativamente indipendente dall’angolo Ω<br />
(approssimazione di Milne–Eddington). Otteniamo (con buona approssimazione)<br />
<br />
<br />
k<br />
ΩiΩk∂xk IνdΩ = <br />
k<br />
∂xk Iν<br />
<br />
ΩiΩkdΩ = <br />
<strong>per</strong> ogni indice i, il che in forma vettoriale ci dice che<br />
<br />
Ω(Ω · ∇Iν)dΩ = 4π<br />
3 ∇Iν,<br />
ovvero<br />
Sν = − 4π<br />
3k ′ ∇Iν,<br />
ν<br />
k<br />
∂xkIν 4π<br />
3 δik = 4π<br />
3<br />
che sostituita nella (11.5) (applicando l’o<strong>per</strong>atore di gradiente) ci dà<br />
−∇divSν = −3(k ′ ν) 2 Sν + k ′ ν4π∇Iν,p = −3(k ′ ν) 2 Sν + 4k ′ ν∇Sν,p.<br />
∂xi Iν,<br />
Infine, integrando sullo spettro di frequenze [0, +∞) e ricordando la (11.1) si ottiene<br />
−∇divS = −3(k ′ ν) 2 S + 4k ′ νσ∇T 4 . (11.6)<br />
L’equazione precedente è nonlineare in T . Spesso, dato che le tem<strong>per</strong>ature in gioco sono<br />
molto alte (quindi lontane dallo zero), si usa un’approssimazione lineare <strong>per</strong> l’equazione<br />
precedente data da<br />
−∇divS = −3(k ′ ν) 2 S + 16k ′ νσT 3 0 ∇T,<br />
ove T0 è una tem<strong>per</strong>atura tipica attorno alla quale stiamo linearizzando. Dato che S<br />
rappresenta un flusso di energia <strong>per</strong> unità di tempo, l’equazione precedente può essere<br />
combinata con le equazioni di un gas ideale ove il termine divS nella legge di bilancio<br />
dell’energia sostituisca il termine di flusso di calore. Ovvero, considereremo il sistema di<br />
equazioni<br />
⎧<br />
ρt + div(ρu) = 0<br />
⎪⎨ (ρu)t <br />
+ div(ρu ⊗ u + pI) = 0<br />
ρ e +<br />
⎪⎩<br />
|u|2<br />
<br />
+ div ρu e + 2<br />
t<br />
|u|2<br />
<br />
2<br />
−∇divS + aS + b∇T = 0,<br />
ove a e b sono opportune costanti positive.<br />
11.3 Approssimazione diffusiva<br />
<br />
+ pu = −divS<br />
(11.7)<br />
Consideriamo la quarta equazione del sistema precedente (11.7). Per semplicità supponiamo<br />
le costanti a e b uguali ad 1 (si possono sempre riscalare le variabili dipendenti e rino-
156 CAPITOLO 11. FENOMENI DI RADIAZIONE TERMICA IN UN GAS<br />
minarle in modo opportuno). Ponendo r = divS ed applicando l’o<strong>per</strong>atore di divergenza,<br />
si ha<br />
−∆r + r = −∆T.<br />
Il nostro scopo è di risolvere l’equazione precedente in r. Riscriviamola nel modo seguente,<br />
−∆v + v = −T v := r − T. (11.8)<br />
Per risolvere l’equazione precedente consideriamo il seguente problema di Cauchy <strong>per</strong><br />
l’equazione del calore <br />
wt = ∆w<br />
w(x, 0) = −T (x).<br />
Definiamo la trasformata di Laplace di w rispetto al tempo calcolata in 1<br />
Integrando <strong>per</strong> parti, si ha<br />
∆v =<br />
+∞<br />
0<br />
e −t ∆w(x, t)dt =<br />
v(x) =<br />
+∞<br />
0<br />
+∞<br />
0<br />
e −t wtdt =<br />
e −t w(x, t)dt.<br />
+∞<br />
0<br />
e −t w(x, t)dt + e −t w| t=+∞<br />
t=0<br />
= v + T,<br />
ovvero v è soluzione dell’equazione (11.8). Risolvendo l’equazione del calore secondo la<br />
formula data nel paragrafo 2.1.6, si ha<br />
w(x, t) = −<br />
1<br />
(4tπ) n/2<br />
<br />
|x−y|2<br />
−<br />
e 4t T (y)dy,<br />
e di conseguenza<br />
v(x, t) = − 1<br />
(4π) n/2<br />
+∞<br />
0<br />
R n<br />
<br />
R n<br />
|x−y|2<br />
−t− e 4t<br />
tn/2 T (y)dy.<br />
La formula precedente si può alleggerire definendo il potenziale di Bessel<br />
B(x) =<br />
1<br />
(4π) n/2<br />
+∞<br />
e<br />
0<br />
|x|2<br />
−t− 4t<br />
dt.<br />
tn/2 Il potenziale di Bessel è una funzione positiva radiale con massa unitaria (esercizio).<br />
Ricordando (11.8) e la definizione di v si ha<br />
v(x, t) = −[B ∗ T ](x, t), r(x, t) = T (x, t) − [B ∗ T ](x, t).<br />
Come conseguenza di quanto appena mostrato, la legge di bilancio dell’energia (nel caso<br />
del gas <strong>per</strong>fetto) diventa<br />
3<br />
2 ρ<br />
<br />
∂T<br />
+ u · ∇T + ρT divu = −T (x, t) + [B ∗ T ](x, t). (11.9)<br />
∂t
11.3. APPROSSIMAZIONE DIFFUSIVA 157<br />
Ci proponiamo di esaminare il comportamento dell’equazione (11.9) su scala diffusiva, in<br />
modo analogo a quanto fatto nella sezione 10.4. Poniamo<br />
x = x τ<br />
, t =<br />
ɛ ɛ , T ɛ (y, τ) = 1<br />
ɛ T (x, t), uɛ (y, τ) = 1<br />
u(x, t).<br />
ɛ<br />
Ridefiniamo il potenziale di Bessel riscalato<br />
L’equazione (11.9) diventa<br />
3<br />
2 ρ<br />
ɛ ∂T<br />
∂τ + uɛ · ∇yT ɛ<br />
<br />
R n<br />
B ɛ (ξ) = 1<br />
B<br />
ɛn <br />
ξ<br />
.<br />
ɛ<br />
+ ρT ɛ divyu ɛ = − 1<br />
ɛ 2 [T ɛ − [B ɛ ∗ T ɛ ]] .<br />
Analizziamo il termine a secondo membro, utilizzando Bɛ (x)dx = 1<br />
− 1<br />
ɛ2 [T ɛ − [B ɛ ∗ T ɛ ]] (y, t) = − 1<br />
ɛ2 <br />
Rn = − 1<br />
ɛ2 <br />
Rn 1<br />
<br />
z<br />
<br />
B [T<br />
ɛn ɛ<br />
ɛ (y) − T ɛ <br />
z<br />
<br />
(y − z)]dz = ξ<br />
ɛ<br />
= 1<br />
ɛ2 <br />
Rn B(ξ)[T ɛ (y − ɛξ) − T ɛ (y)]dξ<br />
= 1<br />
ɛ2 <br />
B(ξ) −ɛξ · ∇T ɛ <br />
2 ∂<br />
(y) + ɛ ξiξj<br />
2T ɛ (y)<br />
+ O(ɛ<br />
∂ξi∂ξi<br />
3 <br />
) dξ.<br />
i,j<br />
B ɛ (z)[T ɛ (y) − T ɛ (y − z)]dz<br />
Poichè B è una funzione pari, gli integrali di ξiB(ξ) e di ξiξjB(ξ) sono tutti nulli tranne<br />
questi ultimi nei casi i = j. Per cui otteniamo<br />
<br />
− 1<br />
ɛ 2 [T ɛ − [B ɛ ∗ T ɛ ]] (y, t) =<br />
Rn B(ξ)|ξ| 2 ∆T ɛ (y)dξ + O(ɛ) = C∆T ɛ (y) + O(ɛ),<br />
ove C = <br />
Rn B(ξ)|ξ| 2dξ > 0. Mandando al limite ɛ → 0 vediamo dunque che tutto il<br />
secondo membro tende formalmente al termine C∆T , e l’equazione formale al limite è<br />
data<br />
3<br />
2 ρ<br />
<br />
∂T<br />
+ u · ∇T + ρT divu = C∆T,<br />
∂t<br />
ovvero un’equazione con un termine di diffusione nella tem<strong>per</strong>atura (come nel caso del<br />
fluido viscoso). Quanto dimostrato ci dice che in scala diffusiva la presenza dell’energia<br />
irradiante si approssima bene con un termine diffusivo lineare.
158 CAPITOLO 11. FENOMENI DI RADIAZIONE TERMICA IN UN GAS
Appendice A<br />
Alcuni richiami di analisi e di<br />
geometria.<br />
A.1 Distanze, norme e topologia.<br />
Lo spazio vettoriale R n è l’insieme dei vettori di n coordinate reali, dotato delle o<strong>per</strong>azioni<br />
di somma vettoriale e prodotto <strong>per</strong> uno scalare. Dati due vettori<br />
X, Y ∈ R n , X = (x1, . . . , xn), Y = (y1, . . . , yn),<br />
la distanza euclidea tra X ed Y è definita da<br />
d(X, Y ) = (x1 − y1) 2 + . . . + (xn − yn) 2 .<br />
Geometricamente, essa esprime la lunghezza del segmento che unisce i punti aventi le<br />
coordinate di X ed Y . La norma euclidea di un vettore X ∈ R n è il numero X := d(X, 0).<br />
È evidente che d(X, Y ) = X − Y .<br />
Esercizio A.1.1 Usando l’interpretazione geometrica della distanza euclidea tra X ed Y<br />
come lunghezza del segmento che li unisce, dimostrare la seguente disuguaglianza triangolare:<br />
d(X, Y ) ≤ d(X, Z) + d(Z, Y ) (A.1)<br />
<strong>per</strong> ogni X, Y, Z ∈ R n .<br />
Su R n è definito il prodotto scalare standard<br />
(X, Y ) = x1y1 + . . . + xnyn,<br />
dove xj ed yj (j=1,. . . ,n) sono le rispettive componenti dei vettori X ed Y .<br />
Esercizio A.1.2 Usando la definizione di distanza euclidea, dimostrare la disuguaglianza<br />
di Cauchy<br />
|(X, Y )| ≤ XY (A.2)<br />
<strong>per</strong> ogni X, Y ∈ R n .<br />
159
160 APPENDICE A. ALCUNI RICHIAMI DI ANALISI E DI GEOMETRIA.<br />
Osservazione A.1.3 Più in generale, un prodotto scalare reale è una applicazione (·, ·)<br />
che associa ad una coppia di vettori un numero reale, soddisfacendo le proprietà<br />
• (αX, βY ) = αβ(X, Y ), <strong>per</strong> ogni α, β ∈ R, X, Y ∈ R n ,<br />
• (X + Y, Z) = (X, Z) + (Y, Z), <strong>per</strong> ogni X, Y, Z ∈ R n ,<br />
• (X, Y ) = (Y, X),<br />
• (X, X) ≥ 0 e (X, X) = 0 se e solo se X = 0.<br />
In questo caso la (A.2) è ancora vera, ma non può essere dimostrata usando la definizione<br />
come nel caso euclideo. Osserviamo che ogni prodotto scalare reale induce una norma · <br />
data da<br />
· 2 = (X, X).<br />
Su R 3 è definito anche il prodotto vettoriale esterno X ∧ Y . Scrivendo i vettori <strong>per</strong><br />
componenti X = (x1, x2, x3), Y = (y1, y2, y3), il prodotto vettoriale X ∧ Y ∈ R 3 è definito<br />
da<br />
X ∧ Y = (x2y3 − x3y2, y1x3 − x1y3, x1y2 − y1x2).<br />
Dato un vettore X0 ∈ R n ed un numero reale positivo r > 0, la sfera a<strong>per</strong>ta di centro<br />
X0 e raggio r è l’insieme<br />
B(X0, r) = X ∈ R n d(X, X0) < r .<br />
Un sottinsieme A di R n si dice a<strong>per</strong>to se vale la seguente proprietà:<br />
∀ X ∈ A, ∃ r > 0 B(X, r) ∈ A.<br />
Geometricamente, un insieme A è a<strong>per</strong>to se in ogni suo punto si può centrare una sfera<br />
di raggio arbitrario (eventualmente ‘piccolo’ se il punto è ‘vicino’ al bordo di A) tutta<br />
contenuta in A stesso.<br />
Un insieme C ⊂ R n si dice chiuso se il suo complementare C c = {x ∈ R n | x /∈ C} è<br />
a<strong>per</strong>to.<br />
Un insieme B ⊂ R n si dice limitato se esiste una sfera a<strong>per</strong>ta B(0, R) che lo contiene.<br />
Un punto X0 è un punto di frontiera (o un punto del bordo) di un insieme limitato B se<br />
ogni sfera a<strong>per</strong>ta B(X0, r) contiene punti di B e punti del suo complementare. L’insieme<br />
dei punti di frontiera di B si indica con ∂V .<br />
Un insieme B ⊂ R n si dice compatto se è chiuso e limitato.<br />
Sia A ⊂ R n un a<strong>per</strong>to. Un’applicazione F : A → R m si dice continua in un punto<br />
X0 ∈ A se <strong>per</strong> ogni ɛ > 0 esiste un δ > 0 tale che l’immagine della sfera a<strong>per</strong>ta B(X0, δ)<br />
di centro X0 e raggio δ > 0 tramite l’applicazione F è contenuta nella sfera B(F (X0), ɛ) di<br />
centro F (X0) e raggio ɛ 1 .<br />
F si dice continua su un sottinsieme A ′ ⊂ A se è continua in ogni punto di A ′ .<br />
1 Ricordiamo anche che il concetto di limite di una funzione di più variabili si formula come nel caso di<br />
una variabile, sostituendo gli ‘intorni lineari’ con le sfere a<strong>per</strong>te.
A.2. MATRICI 161<br />
Teorema A.1.4 (Teorema di Weierstrass) Sia F : R n ⊃ B → R m un’applicazione<br />
continua definita su un compatto B. Allora esistono due punti Xm ed XM in B tali che<br />
F (Xm) = min<br />
X∈B f(X), F (XM) = max<br />
X∈B f(X),<br />
ovvero F assume masssimo e minimo in B.<br />
A.2 Matrici<br />
Lo spazio vettoriale delle matrici n × n a coefficienti reali si indica con M(n, n). Su esso<br />
sono definite le o<strong>per</strong>azioni di somma, prodotto ‘righe <strong>per</strong> colonne’ e prodotto <strong>per</strong> uno<br />
scalare. In particolare, data A ∈ M(n, n) e dato X ∈ R n (inteso come vettore ‘colonna’),<br />
è ben definito il prodotto AX. Ogni matrice può essere trattata come un vettore di n 2<br />
componenti, <strong>per</strong> cui potremmo definire il concetto di norma in modo analogo ad R n .<br />
Tuttavia, nelle applicazioni è più sensata la seguente definizione di norma uniforme<br />
A = max<br />
X∈Rn AX. (A.3)<br />
, X=1<br />
Osserviamo che il massimo esiste <strong>per</strong> il teorema di Weierstrass. Osserviamo inoltre che,<br />
<strong>per</strong> ogni matrice A ∈ M(n, n) e <strong>per</strong> ogni vettore X ∈ R n si ha<br />
Inoltre, se A = (ai,j) n i,j=1, vale<br />
AX ≤ AX. (A.4)<br />
A ≤ sup |ai,j|. (A.5)<br />
i,j=1,...,n<br />
D’ora in avanti il simbolo di norma <strong>per</strong> una matrice è da intendersi nel senso della norma<br />
uniforme. Una funzione t ↦→ A(t) a valori in M(n × n) si dice continua in t0 se<br />
lim A(t) − A(t0) = 0.<br />
t→t0<br />
Data A ∈ M(n, n), i vettori V ∈ R n tali che AV = λV <strong>per</strong> qualche λ ∈ R si dicono<br />
autovettori di A. I corrispondenti numeri λ si dicono autovalori. Gli autovalori possono<br />
essere anche numeri complessi. Essi sono dati dalle soluzioni dell’ equazione caratteristica<br />
det[A − λI] = 0,<br />
che è di grado n. L’o<strong>per</strong>azione di coniugio tramite la matrice invertibile B trasforma una<br />
data matrice A nella matrice BAB −1 . I coefficienti del polinomio caratteristico sono invarianti<br />
<strong>per</strong> coniugio, come la traccia ed il determinante. L’autospazio relativo all’autovalore<br />
λ è la dimensione del sottospazio generato dai corrispondenti autovettori. La dimensione<br />
dell’autospazio relativo a λ è detta molteplicità geometrica di λ. Se λ è una radice n–upla<br />
del polinomio caratteristico, n è detto molteplicità algebrica di λ. Essa è sempre maggiore<br />
della molteplicità geometrica. Ricordiamo che, <strong>per</strong> il Teorema fondamentale dell’algebra,
162 APPENDICE A. ALCUNI RICHIAMI DI ANALISI E DI GEOMETRIA.<br />
ogni matrice n × n ammette n radici complesse (contate con la loro molteplicità algebrica).<br />
Inoltre, se z ∈ C è una soluzione dell’equazione caratteristica, anche il suo coniugato z lo<br />
è.<br />
Una matrice A ∈ M(n, n) si dice diagonalizzabile se tutti i suoi autovalori sono reali<br />
e la loro molteplicità algebrica è pari a quella geometrica. Quando ciò accade, esiste una<br />
base di autovettori {V1, . . . , Vn} tali che AVj = λjVj, <strong>per</strong> ogni j = 1, . . . , n (un autovalore<br />
λj è ripetuto tante volte quanto la sua molteplicità). Da ciò segue anche che, detta V la<br />
matrice quadrata con colonne Vj, si ha<br />
V −1 AV = D := diag[λ1, . . . , λn]. 2<br />
Un richiamo speciale meritano le matrici quadrate 2 × 2. In questo caso, l’equazione<br />
caratteristica di A è<br />
λ 2 − (trA)λ + det A = 0.<br />
Nel caso in cui l’equazione caratteristica ha due soluzioni reali e distinte, A è certamente<br />
diagonalizzabile. Nel caso in cui le radici sono complesse, A è certamente non diagonalizzabile.<br />
Nel caso in cui si ha una sola radice reale doppia λ0 si possono verificare entrambe<br />
le situazioni, come appare chiaro dai due esempi<br />
<br />
λ0 0<br />
λ0 1<br />
A = , Z = ,<br />
0 λ0<br />
0 λ0<br />
ove A è diagonalizzabile (anzi, è già diagonale!) e Z non lo è.<br />
A.3 Calcolo differenziale in più variabili<br />
Una funzione F : R n → R m si dice lineare se essa è rappresentata da<br />
F (X) = AX, X ∈ R n ,<br />
con A ∈ M(n, n).<br />
Una funzione F : R n ⊃ A → R m si dice differenziabile in un punto X0 ∈ A se essa<br />
è approssimabile nell’intorno di X0 con una funzione lineare, con un resto infinitesimo di<br />
ordine su<strong>per</strong>iore a X − X0, ovvero se esiste una matrice A ∈ M(n, m) tale che<br />
F (X) − F (X0) − A(X − X0)<br />
lim<br />
X→X0 X − X0<br />
= 0. (A.6)<br />
Una funzione F : R n ⊃ A → R m ammette derivata parziale j–esima nel punto X0 se<br />
esiste finito il limite<br />
1<br />
lim<br />
h→0 h (F (X0 + hej) − F (X0)) ,<br />
2 La notazione a secondo membro indica la matrice diagonale avente λ1, . . . , λn sulla diagonale principale.
A.3. CALCOLO DIFFERENZIALE IN PIÙ VARIABILI 163<br />
ove ej è il vettore avente tutte le componenti nulle ad eccezione della j–esima componente<br />
uguale ad 1 3 .<br />
Sia ora F : Rn → R 4 . La funzione derivata parziale j–esima di F associa ad ogni<br />
punto X la derivata parziale j–esima di F in X (se esiste!). Tale funzione si indica con<br />
∂F<br />
∂xj . F si dice di classe C1 se tutte le sue derivate parziali cono continue.<br />
Se una funzione F : Rn ⊃ A → Rm è differenziabile in X0, allora la matrice A in (A.6)<br />
è data da<br />
<br />
∂Fi<br />
A = (X0)<br />
∂xj<br />
,<br />
i=1,...,m, j=1,...,n<br />
ove Fi, i = 1, . . . , m sono le m componenti della funzione F . La matrice A ∈ M(m, n) è<br />
detta matrice Jacobiana di F in X0. Nel caso in cui F è un funzionale definito su Rn , la<br />
sua matrice Jacobiana si riduce al vettore riga<br />
<br />
∂F<br />
∇F (X0) = (X0), . . . ,<br />
∂x1<br />
∂F<br />
<br />
(X0)<br />
∂xn<br />
detto gradiente di F in X0.<br />
La derivata parziale di F rispetto a xj può essere indicata con le seguenti notazioni<br />
∂F<br />
, ∂xj<br />
∂xj<br />
F, ∂jF, Fxj .<br />
Teorema A.3.1 (Differenziale totale) Ogni funzione di classe C 1 è differenziabile.<br />
Nel seguente teorema le due generiche componenti di un vettore di R 2 sono indicate<br />
rispettivamente con x ed y.<br />
Teorema A.3.2 (Teorema della funzione implicita) Sia A un a<strong>per</strong>to di R 2 . Sia F :<br />
A → R di classe C 1 e sia X0 = (x0, y0) ∈ A con F (X0) = 0. Se la derivata parziale di F<br />
rispetto ad y in X0 è diversa da zero, allora esistono un intervallo U ∈ R contenente x0 ed<br />
una funzione di una variabile f : U → R derivabile in U tali che F (f(x), x) = 0 <strong>per</strong> ogni<br />
x ∈ U. Inoltre,<br />
f ′ (x) = − Fx<br />
(f(x), x).<br />
Fy<br />
Analogamente alle derivate parziali prime (ovvero le derivate rispetto ad una sola variabile),<br />
si definiscono le derivate parziali seconde di un funzionale F : R n → R, ottenute<br />
derivando ulteriormente le derivate parziali prime rispetto ad una qualsiasi variabile. La<br />
derivata parziale seconda di F rispetto ad xi ed xj si scrive nei vari modi<br />
∂ 2 F<br />
∂xixj<br />
, ∂ 2 i,jF, ∂ 2 xixj , Fxi,xj .<br />
3 ej è anche detto il j–esimo componente della base canonica di R n .<br />
4 Una funzione a valori in R si dice anche un funzionale, mentre chiameremo spesso campo vettoriale<br />
una funzione a valori vettoriali.
164 APPENDICE A. ALCUNI RICHIAMI DI ANALISI E DI GEOMETRIA.<br />
La matrice Hessiana di F in X0 (se le derivate parziali seconde sono tutte ben definite) è<br />
data da<br />
D 2 <br />
2 ∂ F<br />
F (X0) = (X0) .<br />
∂xixj i,j=1,...,n<br />
Analogamente si definiscono tutte le derivate successive. Una derivata si dice di ordine k<br />
se vengono effettuate in tutto k derivazioni. Una funzione si dice di classe C k se tutte le<br />
derivate di ordine k (e quindi anche quelle di ordine inferiore) sono continue.<br />
Durante il corso faremo spesso uso degli o<strong>per</strong>atori diffenziali divergenza e laplaciano.<br />
Dato un campo vettoriale F : R n → R n , F = (F1, . . . , Fn), la divergenza di F in X0 è il<br />
numero (se esiste)<br />
divF (X0) =<br />
n ∂Fj<br />
(X0).<br />
∂xj<br />
Dato un funzionale f : R n → R, il laplaciano di f in X0 è il numero (se esiste)<br />
∆f(X0) =<br />
j=1<br />
j=1<br />
n ∂2f (X0),<br />
∂xjxj<br />
ovvero il laplaciano di f è la somma degli elementi della diagonale principale della matrice<br />
Hessiana di f.<br />
Una curva regolare in R n è un’applicazione<br />
R ⊃ I ∋ t ↦→ X(t) ∈ R n<br />
di classe C 1 tale che la sua derivata ˙ X(t) (detta anche vettore velocità) è diversa dal vettore<br />
nullo in ogni t.<br />
Una i<strong>per</strong>su<strong>per</strong>ficie regolare di R n è un sottoinsieme S ⊂ R n che può essere rappresentato<br />
come<br />
S = {X ∈ R n | F (X) = 0} ,<br />
ove F : R n → R è un funzionale di classe C 1 tale che ∇F (X) = 0 <strong>per</strong> ogni X tale che<br />
F (X) = 0. Ovvero, una i<strong>per</strong>su<strong>per</strong>ficie regolare è l’insieme di livello di un funzionale di<br />
classe C 1 in cui il gradiente è non nullo. Dato un punto X ∈ S ⊂ R 3 , si può facilmente<br />
dimostrare che il versore normale uscente ad S in X è dato da ∇f(X0)/∇f(X0).<br />
Diremo che un insieme limitato V ⊂ R n ha un bordo regolare se l’insieme dei suoi punti<br />
di frontiera è un i<strong>per</strong>su<strong>per</strong>ficie regolare.<br />
Una i<strong>per</strong>su<strong>per</strong>ficie regolare di R n può essere espressa anche in forma parametrica mediante<br />
una applicazione di classe C 1 r : R n−1 ⊃ D → R n , r = (r1, . . . , rn). I punti<br />
dell’i<strong>per</strong>suferficie S sono i punti dell’immagine di r, ovvero<br />
S = {X = (x1, . . . , xn) ∈ R n | xi = ri(y1, . . . , yn−1), i = 1, . . . , n,<br />
<strong>per</strong> qualche y = (y1, . . . , yn−1) ∈ D} .
A.4. INTEGRAZIONE 165<br />
A.4 Integrazione<br />
Supporremo in questa sezione che sia noto il concetto di integrale di una funzione di una<br />
o più variabili secondo Riemann e che siano note le sue proprietà principali. Richiamiamo<br />
qui alcuni risultati utili nel seguito del corso.<br />
Teorema A.4.1 Sia f : A ⊂ R n → R una funzione integrabile secondo Riemann. Supponiamo<br />
che <br />
V<br />
f(x)dx = 0<br />
<strong>per</strong> ogni sottinsieme V ⊂ A. Allora esiste un insieme N ⊂ A tale che la misura di N<br />
è zero 5 e tale che f(x) = 0 <strong>per</strong> ogni x ∈ A \ N 6 . Se in più f è continua, allora f è<br />
identicamente nulla su A.<br />
Teorema A.4.2 Sia F : A → B un’applicazione differenziabile ed invertibile tra due a<strong>per</strong>ti<br />
A, B ⊂ Rn . Sia f : B → R una funzione integrabile. Allora vale la seguente formula di<br />
cambiamento di variabile<br />
<br />
<br />
f(x)dx = f(F (y))| det ∇F (y)|dy,<br />
ove ∇F è la matrice Jacobiana di F .<br />
B<br />
A<br />
Richiamiamo brevemente il concetto di integrale di su<strong>per</strong>ficie in R 3 . Sia S un’i<strong>per</strong>su<strong>per</strong>ficie<br />
regolare di R 3 espressa in forma parametrica da una mappa X : R 2 ⊃ D → R 3 ,<br />
ovvero<br />
S = X ∈ R 3 | X = X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D .<br />
Sia F : R3 → R una funzione di classe C1 definita sui punti di S. Allora si definisce<br />
l’integrale di su<strong>per</strong>ficie di F su S come l’integrale multiplo<br />
<br />
F dσ := F (X(u, v))Xu(u, v) ∧ Xv(u, v)dudv,<br />
S<br />
D<br />
ove i vettori Xu ed Xv denotano (coerentemente con la notazione di derivata parziale)<br />
Xu =<br />
∂x<br />
∂u<br />
∂y ∂z<br />
, ,<br />
∂u ∂u<br />
<br />
, Xv =<br />
∂x<br />
∂v<br />
∂y ∂z<br />
, ,<br />
∂v ∂v<br />
Teorema A.4.3 (Teorema di Gauss) Sia F : R3 ⊃ V → Rn , F = (F1, F2, F3), un<br />
campo vettoriale di classe C1 definito su un insieme a<strong>per</strong>to e limitato V ⊂ R3 avente bordo<br />
∂V regolare. Allora vale l’identità<br />
<br />
<br />
divF (X)dX = F · νdσ,<br />
V<br />
ove ν denota il versore normale uscente dalla su<strong>per</strong>ficie ∂V .<br />
5 Qualora il concetto di misura non sia noto, interpretare tale affermazione come <br />
6 Si dice in questo caso che f è nulla quasi ovunque in A<br />
∂V<br />
<br />
.<br />
N<br />
1dx = 0.
166 APPENDICE A. ALCUNI RICHIAMI DI ANALISI E DI GEOMETRIA.<br />
Teorema A.4.4 (Teorema di Stokes) Sia F : R3 ⊃ V → Rn , F = (F1, F2, F3), un<br />
campo vettoriale di classe C1 definito su un insieme a<strong>per</strong>to e limitato U ⊂ R3 . Sia Σ<br />
una su<strong>per</strong>ficie regolare con versore normale −→ n e avente come bordo ∂Σ una curva regolare<br />
chiusa. Allora vale <br />
rot F ·<br />
Σ<br />
−→ <br />
n dσ = F · ds.<br />
∂Σ<br />
La quantità a primo membro si dice flusso del rotore di F attraverso Σ.<br />
A.5 Serie di funzioni<br />
Sia fk : R ⊃ I → R n una successione di funzioni da un intervallo I della retta reale a valori<br />
nello spazio vettoriale R n . La serie di funzioni con termine generico fk è la somma infinita<br />
f(t) :=<br />
∞<br />
fk(t). (A.7)<br />
k=0<br />
<br />
La funzione f(t) è definita solo <strong>per</strong> quei t ∈ I tali che la corrispondente serie (di vettori)<br />
∞<br />
k=0 fk(t) è convergente (ovvero convergono le singole serie numeriche date dalle n componenti).<br />
Tale insieme di valori di t è detto insieme di convergenza puntuale. In alcune<br />
applicazioni si utilizzano nozioni più forti di convergenza, quali la convergenza uniforme<br />
e quella totale. La serie (A.7) si dice convergere uniformemente al limite f(t) su un dato<br />
sottoinsieme J ⊂ I se<br />
lim<br />
k→∞ sup<br />
<br />
<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
f(t)<br />
− fk(t) = 0.<br />
<br />
t∈J<br />
La serie (A.7) si dice convergere totalmente su J ⊂ I se la serie numerica<br />
∞<br />
k=0<br />
i=0<br />
sup fk(t)<br />
t∈J<br />
converge. Ovviamente la convergenza uniforme su J implica la convergenza puntuale su<br />
ogni punto di J.<br />
Tutte le definizioni date (così come tutti i risultati richiamati in questa sezione) si<br />
generalizzano banalmente al caso in cui le funzioni fk siano a valori nello spazio vettoriale<br />
delle matrici n × n. In tal caso, la norma euclidea · è sostituita dalla norma uniforme<br />
dello spazio delle matrici quadrate definita nella (A.3). La convergenza totale nel caso delle<br />
matrici è detta convergenza in norma.<br />
Teorema A.5.1 Ogni serie di funzioni totalmente convergente su un insieme J è ivi<br />
uniformemente convergente.<br />
Teorema A.5.2 Sia ∞<br />
k=0 fk(t) una serie di funzioni con fk funzione continua <strong>per</strong> ogni<br />
intero k. Supponiamo che la serie converga uniformemente su J. Allora la somma della<br />
serie è una funzione continua su J.
A.5. SERIE DI FUNZIONI 167<br />
Teorema A.5.3 (Passaggio al limite sotto integrale) Sia ∞<br />
k=0 fk(t) una serie di funzioni<br />
uniformemente convergente su I ad una somma f(t). Sia J ⊂ I. Allora<br />
<br />
J<br />
f(t)dt =<br />
∞<br />
<br />
k=0<br />
J<br />
fk(t)dt.<br />
Una conseguenza dei due teoremi precedenti è in seguente<br />
Teorema A.5.4 (Teorema di derivazione di una serie) Sia ∞<br />
k=0 fk(t) una serie di<br />
funzioni uniformemente convergente su I ad una somma f(t). Supponiamo che fk è di<br />
classe C 1 su I <strong>per</strong> ogni intero k e supponiamo che la serie delle derivate prime converga<br />
uniformemente su I alla funzione g(t), ovvero<br />
g(t) =<br />
∞<br />
f ′ k(t).<br />
k=0<br />
Allora anche f è di classe C 1 e si ha g(t) = f ′ (t).<br />
Una serie di potenze è una serie di funzioni ciascuna rappresentata da un monomio,<br />
ovvero<br />
∞<br />
Ckt k .<br />
k=0<br />
Ogni serie di potenze ha un raggio di convergenza r, tale che <strong>per</strong> |t| < r la serie converge.<br />
Eventualmente r può essere infinito. Si può dimostrare che ogni serie di potenze converge<br />
totalmente su ogni insieme del tipo |t| ≤ r1 < r. Un esempio importante di serie di potenze<br />
è la serie esponenziale<br />
∞<br />
k=0<br />
Si può dimostrare che il raggio di convergenza di tale serie è infinito e che la somma della<br />
serie in t ∈ R è dato da e t . Il tipico esempio di serie di potenze è dato dalla serie di taylor:<br />
sappiamo dall’ Analisi 1 che se una funzione f : R → R ammette n derivate continue in<br />
un punto x0, allora vale lo sviluppo di Taylor<br />
f(x) = f(x0) + f ′ (x0)(x − x0) + f ′′ (x0)<br />
2!<br />
con<br />
lim<br />
x→x0<br />
t k<br />
k! .<br />
(x − x0) 2 + . . . + f (n) (x0)<br />
(x − x0)<br />
n!<br />
n + Rf,x0,n(x),<br />
Rf,x0,n(x)<br />
= 0.<br />
(x − x0) n<br />
Nel caso in cui una funzione sia derivabile infinite volte (di classe C ∞ ), lo sviluppo di<br />
Taylor diventa una somma di infiniti termini, detta serie di Taylor. Se esiste un intrevallo<br />
a<strong>per</strong>to contenente x0 tale che in ogni suo punto x la serie di Taylor centrata in x0 converge<br />
ad f(x), allora la funzione f si dice analitica in x0. Più precisamente, una funzione f di
168 APPENDICE A. ALCUNI RICHIAMI DI ANALISI E DI GEOMETRIA.<br />
classe C∞ si dice analitica in x0 se esiste un intervallo I = (x0 − δ, x0 + δ) tale che <strong>per</strong> ogni<br />
punto x ∈ I si ha<br />
∞ f<br />
f(x) =<br />
(n) (x0)<br />
(x − x0)<br />
n!<br />
n .<br />
n=0<br />
Quando ciò accade si dice anche che f è sviluppabile in serie di potenze. Una situazione<br />
in cui questo avviene è ad esempio nel caso di f(x) = e x , x0 = 0.<br />
A.6 Serie di Fourier<br />
Sia data una funzione reale f : [0, l] → R, l ∈ R. Supponiamo che f sia continua e di classe<br />
C 1 su [0, l]. Allora è possibile sviluppare f in ogni punto di [0, l] come serie di funzioni<br />
trigonometriche. Ovvero,<br />
con<br />
<strong>per</strong> ogni n ≥ 1 e<br />
f(x) = a0 +<br />
an = 2<br />
l<br />
f(x) cos<br />
l 0<br />
∞<br />
<br />
2πnx<br />
an cos +<br />
l<br />
n=1<br />
2πnx<br />
l<br />
∞<br />
<br />
2πnx<br />
bb sin ,<br />
l<br />
n=1<br />
<br />
dx, bn = 2<br />
l<br />
f(x) sin<br />
l 0<br />
a0 = 1<br />
l<br />
f(x)dx.<br />
l 0<br />
A.7 Equazioni differenziali ordinarie<br />
2πnx<br />
l<br />
<br />
dx,<br />
In questa sezione richiamiamo dei risultati di esistenza ed unicità di soluzioni del problema<br />
di Cauchy<br />
<br />
˙X = F (X)<br />
X(0) = X0,<br />
(A.8)<br />
ove F : Ω → R n è un campo vettoriale, Ω è un a<strong>per</strong>to di R n ed X0 un punto di R n .<br />
Definizione A.7.1 Sia Ω ⊂ R n un a<strong>per</strong>to. Un campo vettoriale F : Ω → R n si dice<br />
lipschitziano su Ω se esiste una costante L > 0 tale che, <strong>per</strong> ogni coppia X, Y ∈ Ω si ha<br />
|F (Y ) − F (X)| ≤ L|Y − X|. (A.9)<br />
La più piccola costante L <strong>per</strong> cui vale la disuguaglianza (A.9) è della costante di Lipschitz<br />
di F su Ω.
A.7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 169<br />
Esercizio A.7.2 Si può dimostrare che un campo vettoriale F di classe C 1 è localmente<br />
Lipschitziano, nel senso che la disuguaglianza (A.9) è soddisfatta, se non su tutto l’a<strong>per</strong>to<br />
Ω, almeno su tutti i suoi sottinsiemi compatti. La dimostrazione di questo fatto è un utile<br />
esercizio <strong>per</strong> ‘ri–familiarizzare’ con il concetto di funzione differenziabile.<br />
Suggerimenti: dati due punti X ed Y in un compatto K ⊂ Ω, costruire la funzione di una variabile<br />
reale<br />
[0, 1] ∋ t ↦→ f(t) = F (tx + (1 − t)y)<br />
ed applicare il teorema del valor medio (di Analisi Uno) tra i punti t = 0 e t = 1. Usare quindi le<br />
disuguaglianze (A.4) e (A.5) ed il teorema di Weierstrass.<br />
Teorema A.7.3 (Teorema di esistenza ed unicità) Sia F : Ω → R n un campo vettoriale<br />
localmente lipschitziano, Ω a<strong>per</strong>to di R n , il problema di Cauchy (A.8) ammette<br />
un’unica soluzione locale X = X(t) definita su un intervallo I, 0 ∈ I.<br />
Teorema A.7.4 (Teorema di esistenza globale) Nelle ipotesi del teorema precedente,<br />
supponiamo che valga la condizione<br />
F (Y ) ≤ AY + B,<br />
con A, B costanti positive. Allora la soluzione t ↦→ X(t) è definita globalmente <strong>per</strong> t ∈ R.
170 APPENDICE A. ALCUNI RICHIAMI DI ANALISI E DI GEOMETRIA.
Bibliografia<br />
• A. Milani Comparetti – Introduzione ai Sistemi Dinamici – Plus (Pisa)<br />
• G. B. Whitham – Linear and Nonlinear Waves – Wiley Interscience.<br />
• S. Salsa – Equazioni alle derivate parziali – Springer<br />
• R. Esposito – Appunti delle lezioni di Meccanica Razionale – Aracne.<br />
• H. O. Kreiss e J. Lorenz – Initial–Boundary Value Problems and the Navier–Stokes<br />
Equations – Academic Press.<br />
• Ya. B. Zel’dovich e Yu. P. Raizer – Physics of Shock Waves and High–Tem<strong>per</strong>ature<br />
Hydrodynamic Phenomena – Dover.<br />
• L. C. Evans – Partial Differential Equations – Springer.<br />
171