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d’altra parte, però, se non solo b è 0, ma anche a è 0 (dunque a=b=0), la “divisione” 0:0
è ancora più… stravagante: qualsiasi numero c moltiplicato per il divisore b darebbe il
dividendo a.
Ridicolo, assurdo, mostruoso, dunque da evitare. È per questo che, nella definizione di
divisione a:b, si impone che il divisore b sia non nullo, cioè diverso da zero.
Torniamo all’inizio. La divisione dunque non va definita tra coppie di numeri naturali o,
come si usa dire in Matematica, nell’insieme prodotto cartesiano N×N, ma piuttosto in
N per N privato dello zero, cioè in N×(N-{0}) [qualcuno scrive N×N + ]. Dunque, nella
coppia ordinata (a; b), a è un naturale qualsiasi, ma b ha una restrizione: non può essere
zero.
Ora che abbiamo stabilito l’àmbito numerico nel quale muoverci, torniamo al problema
necessario di ampliare N per poter eseguire le divisioni. Sappiamo che eseguire 2:3, se
fosse possibile, sarebbe come eseguire 4:6 oppure 12:18 oppure 200:300; sarebbe come
dire che, rispetto a quel che vogliamo ottenere, si possono identificare tutte queste
scritture. Notiamo che affermare «2:3 è come 12:18» aritmeticamente significa che
«2×18=12×3».
Il Lettore noti la finezza: la scrittura 2:3 non esiste in N per i motivi detti sopra, e quindi
non potremmo mai scrivere un’uguaglianza come 2:3=12:18; ma questa la possiamo
scrivere come moltiplicazione 2×18=12×3, che ha lo stesso significato ed è lecita.
In Matematica si esprime tutto ciò nel modo seguente [se il Lettore non avvezzo alle cose
matematiche si perde o si spaventa alle prossime righe, non si preoccupi e passi pure
direttamente a dove troverà di nuovo il segno ]:
Consideriamo le coppie (a; b), (c; d) dell’insieme N×(N-{0}), dove a, b, c, d sono
naturali qualsiasi, con le sole restrizion b≠0, d≠0 ; consideriamo la seguente relazione
(che indichiamo con eq): [(a; b) eq (c; d)] se e solo se [a×d = c×b].
Questa relazione appartiene ad una categoria privilegiata, le relazioni di equivalenza, in
quanto è [tralascio le dimostrazioni o le affido al Lettore volonteroso e curioso; in ogni
caso, si trovano in qualsiasi testo di algebra]:
• riflessiva: per ogni coppia (a; b) di N×(N-{0}), vale la seguente affermazione: (a; b)
eq (a; b);
• simmetrica: per ogni coppia di coppie (a; b), (c; d) dell’insieme N×(N-{0}), vale la
seguente affermazione: se [(a; b) eq (c; d)] allora [(c; d) eq (a; b)];
• transitiva: per ogni terna di coppie (a; b), (c; d), (e; f) dell’insieme N×(N-{0}), vale
la seguente affermazione: se {[(a; b) eq (c; d)] e [(c; d) eq (e; f)]} allora [(a; b) eq
(e; f)].
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