un possibile approccio alla teoria dell'elettrone libero ... - fisica/mente

FISICA/MENTE
FISICA/
MENTE
UN POSSIBILE APPROCCIO
ALLA TEORIA
DELL'ELETTRONE LIBERO ED
ALLA TEORIA DELLE BANDE DI
ENERGIA
PREREQUISITI
Roberto Renzetti
Prerequisiti semplici alla trattazione che segue sono:
a) il modello atomico di Bohr
b) il principio di Pauli
e) l'energia potenziale di due cariche puntiformi
d) la legge di Gauss
e) l'oscillatore armonico
f) la temperatura assoluta.
IL CAMPO DI ENERGIA POTENZIALE IN UN METALLO
Un modello semplificato per la struttura cristallina di un metallo vede un reticolo tridimensionale
di atomi disposti ai vertici di figure solide regolari.
Volendo considerare l'energia potenziale in un punto all'interno del metallo occorre tener conto
che essa è la risultante di tutte le energie potenziali che sono prodotte in quel punto dagli ioni che
occupano i vertici del reticolo.
L'atomo che occupa un vertice del reticolo ha poi, esso stesso, una struttura che, in prima
approssimazione, può essere pensata costituita da un nucleo di carica positiva Z·e circondato da Z
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elettroni (in orbite che approssimativamente si svolgono lungo una sfera).
Se prendiamo in considerazione un elettrone sull'ultimo livello energetico atomico (un elettrone di
valenza) di uno di questi atomi del reticolo è facile capire cosa accade. Questo elettrone avrà carica
q 1 = - e; vedrà quindi la parte rimanente del « suo » atomo come uno ione di carica q 2 = + e.
Facciamo ora l'ipotesi di scegliere l'infinito come riferimento V = 0 di potenziale e ricordiamo
che, per un atomo isolato, l'espressione che ci fornisce il potenziale V in un punto a distanza r dal
nucleo è:
V = q 1 /r
dove q 1 è la carica totale racchiusa in una sfera di raggio r.
E' allora evidente che l'energia potenziale U è data da:
U = q 2 ·V.
Poiché nel nostro caso la carica totale fornita dallo ione è q1 = + e, si trova subito che il valore
per l'energia potenziale di un elettrone nel campo dello ione è:
U = q 2 V => U=q 2 (q 1 /r) => U = - e 2 /r
Rappresentando graficamente questa espressione (si tratta evidentemente di una iperbole
equilatera riferita ai propri assi: U·r = - e 2 ) si trova (figura 1):
E' bene, a questo punto, ricordare che r è una distanza radiale dallo ione (in figura indicato con
α) e quindi deve essere considerata in tutto lo spazio circostante lo ione. Scelta quindi una direzione
arbitraria a partire dallo ione, la curva α1α2 di figura rappresenta la funzione U = U (r) a destra
dello ione mentre la curva tratteggiata rappresenta U (r) a sinistra dello stesso ione.
Il metodo induttivo ci permette facilmente di arrivare alla situazione del cristallo da cui
eravamo partiti.
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Consideriamo allora due ioni (α e β) adiacenti e trascuriamo tutti gli altri. Nella figura 2 si vede
come vanno le cose, tenuto conto che:
α 1 α 2 rappresenta la funzione U (r) per lo ione α ;
β 1 β 2 » » » » » » β ;
α1dβ1rappresenta la funzione U (r) risultante dall'interazione (somma) dei due ioni (si osservi
infatti che: ab + ac = ad).
Una importante caratteristica della curva α 1 dβ 1 risultante è il suo essere praticamente
coincidente con le curve α 1 α 2 ed β 1 β 2 nelle vicinanze degli ioni e più schiacciata delle altre due
nella zona tra essi compresa.
Consideriamo ora una intera fila di ioni (α, β, γ, δ, ...) all'interno del reticolo metallico e
cerchiamo di trovarci l'andamento dell'energia potenziale da ione a ione fino ad arrivare alla
superficie del metallo.
Il procedimento, analogo a quanto visto per due ioni adiacenti (si tiene conto solo della piccola
influenza che sulle curve risultanti danno ioni vicini), fornisce la curva di figura 3.
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Quello che si nota subito è che all'interno del metallo c'è una ampia regione che è ,con buona
approssimazione, equipotenziale a campo medio nullo (basta osservare che, a parte la rapida
variazione di U nelle immediate vicinanze degli ioni, dove tende a - oo, le curve risultanti sono
molto schiacciate nelle zone tra ione e ione, fatto questo che sta appunto ad indicare la lenta
variazione di U (r) in queste zone).
Soffermiamoci ancora sulla figura 3; si vede che lo ione δ è l'ultimo sulla destra della fila di ioni
presa in considerazione. Il che, è ovvio, vuol dire che alla sua destra non vi sono più ioni. Ebbene
questo ultimo ione non può essere considerato esso stesso la « superficie » del metallo; alla sua
destra c'è infatti una piccola zona a cui compete un certo valore di energia potenziale di cui bisogna
tener conto. Questa piccola zona alla destra di δ sposta la «superficie» del metallo di poco ed in un
modo non perfettamente definito. Dalla figura si vede che la curva che ci dà U alla destra di δ è
molto più « alta » di tutte le altre. Se si tiene conto dell'ovvia osservazione che interno del metallo è
circa a sinistra di δ ed esterno del metallo è circa a destra di δ, la maggiore « altezza » della U (r)
alla destra di δ implica che nel passaggio dall'interno all'esterno del metallo (e viceversa) c'è una
barriera di energia potenziale.
ELETTRONI LIBERI ED ELETTRONI LEGATI
Rimane da vedere cosa fanno gli elettroni in questo campo di energia potenziale. Sempre
riferendoci alla figura 3, consideriamo un elettrone a cui compete una energia corrispondente al
livello A di figura. Esso sarà uno degli elettroni dei livelli energetici più interni dell'atomo e perciò
risulterà fortemente attratto dal nucleo (elettrone legato), avendo a disposizione solo il piccolo tratto
ab per i suoi movimenti. Questo elettrone infatti "colliderà" alternativamente nei punti a e b delle
barriere di energia potenziale non avendo possibilità di liberarsi e di entrare in qualunque processo
di conduzione quando si applichi un campo elettrico esterno.
Gli elettroni liberi sono invece quelli a cui compete, ad esempio, un'energia corrispondente al
livello B di figura 3.
Questo elettrone non possiederà solo energia potenziale ma sarà dotato anche di energia cinetica;
esso si muoverà liberamente all'interno del metallo risentendo solo della piccola azione che gli altri
elettroni liberi hanno su di lui. Quando questo elettrone raggiunge la superficie del metallo colliderà
con la barriera di energia potenziale nel punto C e, rimbalzando, tornerà verso l'interno del metallo.
Un elettrone « più libero » ancora è quello a cui compete, ad esempio, un'energia corrispondente
al livello D di figura 3. Questo elettrone ha complessivamente un'energia superiore a quella della
barriera; esso è pertanto in grado di lasciare, in qualsiasi momento, il metallo (ad esempio: per
effetto termoionico).
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MODELLO SEMPLIFICATO DELL'ENERGIA POTENZIALE ALL'INTERNO DI UN
METALLO (IL MODELLO DELL'ELETTRONE LIBERO)
Consideriamo ancora la figura 3 ed in essa la zona di energia in cui gli elettroni sono liberi.
Questa zona può essere schematizzata come in figura 4 e quindi come in figura 5.
Figura 4. Disegno schematico degli elettroni liberi in una
buca di potenziale dentro il metallo (Da Larkin Kerwin).
Figura 5. Altro modo di presentare la figura precedente (Da
Dekker). La schematizzazione che abbiamo fatto
corrisponde ad aver ammesso che il campo agente su di un
elettrone, all'interno del metallo, sia effettivamente uguale a
zero, e non solo in media. Ci interesseremo quindi degli
elettroni liberi (quelli responsabili dei fenomeni di
conduzione) che si trovano, in base alla nostra ipotesi, in
una regione equipotenziale (non soggetti ad alcuna forza)
dove si comportano allo stesso modo di un gas perfetto; nel
far questo si trascurano completamente gli elettroni legati.
Questo punto di vista è, come si può riconoscere, in accordo
con l'elettrostatica classica anche perché non tiene conto
della struttura atomica.
La schematizzazione che abbiamo fatto corrisponde ad aver ammesso che il campo agente su
di un elettrone, all'interno del metallo, sia effettivamente uguale a zero, e non solo in media. Ci
interesseremo quindi degli elettroni liberi (quelli responsabili dei fenomeni di conduzione) che si
trovano, in base alla nostra ipotesi, in una regione equipotenziale (non soggetti ad alcuna forza) dove
si comportano allo stesso modo di un gas perfetto; nel far questo trascureremo completamente gli
elettroni legati. Questo punto di vista è, come si può riconoscere, in accordo con l'elettrostatica
classica anche perché non tiene conto della struttura atomica.
Poiché è un fatto sperimentale che a temperatura ambiente non si osserva emissione di elettroni
da un metallo, viene spontaneo ammettere che, a temperature di questo ordine (~300° K), un
elettrone in riposo all'interno del metallo si trovi ad una energia potenziale minore di quella che
competerebbe ad un elettrone in riposo al di fuori del metallo. Questo fatto significa che tutti gli
elettroni debbono trovarsi, a temperature ordinarie, al disotto del « livello di vuoto » (energia di un
elettrone in riposo al di fuori del metallo) di figura 5, dentro la buca di energia potenziale di
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profondità E S . Ad una temperatura T = 0°K tutti i livelli energetici fino ad E F sono pieni
(rispettando però il principio di Pauli), tutti quelli più che si trovano più su sono vuoti. Alla
quantità:
Φ = E S - E F
si dà il nome di potenziale di estrazione di un elettrone da un metallo (o funzione lavoro).
INSUFFICIENZA DEL MODELLO
II modello dell'elettrone libero mentre spiega bene la conducibilità elettrica e termica dei
metalli, non spiega degli altri fenomeni, tra cui la differenza tra conduttori ed isolanti (perché
alcune sostanze hanno degli elettroni liberi ed altre no?) e come mai la forte corrente che può
condurre un metallo diminuisce al crescere della temperatura mentre la debole corrente condotta da
un isolante aumenta con la temperatura.
LA TEORIA DELLE BANDE NEI SOLIDI
I fenomeni a cui abbiamo accennato alla fine del precedente paragrafo trovano una brillante
spiegazione con l'introduzione della teoria delle bande (di energia).
Per spiegare, almeno qualitativamente, il contenuto della teoria, occorre rifarsi per un momento
ad un fenomeno ben noto in fisica: la corda vibrante. Una corda elastica lunga L, unidimensionale e
continua, fissata con un estremo ad una parete e tenuta in mano all'altra estremità, potrà vibrare
solo a quelle frequenze che soddisfano la seguente condizione: la lunghezza d'onda λ deve essere un
sottomultiplo intero del doppio della lunghezza L della corda (2L = nλ, con n≥1 ed intero). Le
frequenze possibili sono quindi discrete (ricordiamo che ν è proporzionale ad 1/λ), ad ogni valore
intero di n appartiene una frequenza.
La stessa cosa si verifica per un oscillatore del tipo riportato in figura 6 (a) (massa m collegata
ad una molla che è fissata ad una parete); si hanno cioè frequenze discrete del tipo riportato in
figura 6 (b).
Se ora accoppiamo (accoppiamento debole) due oscillatori con frequenze uguali come in figura
7, si può dimostrare che se le frequenze possibili per i due oscillatori disaccoppiati (figura 6 (a)) sono
quelle riportate in figura 8 (a) e (b), le fre quenze possibili per i due oscillatori accoppiati (fig. 7)
sono date dalla figura 8 (c). [Per tutti i conti relativi a questa parte vedi: Carlo e Silvia Bernardini,
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Fisica degli atomi e dei nuclei, Zanichelli, 1965]. Quello che succede è che ogni frequenza degli
oscillatori isolati si scinde in due frequenze distinte.
Se abbiamo tre oscillatori disaccoppiati che oscillano con frequenze uguali e li accoppiamo
otteniamo che ogni singola frequenza di oscillazione dell'oscillatore isolato si scinde in tre diverse
frequenze (fig. 9).
Ritornando nel campo atomico ed osservando che l'atomo è un oscillatore, l'estensione è
immediata.
Consideriamo due atomi identici a grande distanza l'uno dall'altro. Supponiamo, per fissare le
idee, che questi due atomi abbiano i loro elettroni disposti sugli orbitali S. I livelli energetici
elettronici per questi atomi saranno come quelli riportati in fig. 10.
Ora avviciniamoli. Essi quanto più saranno vicini tanto più interagiranno. In definitiva non si
dovranno più considerare i due atomi (oscillatori) separati ma accoppiati. Quello che accade è
analogo a quanto abbiamo visto nel caso degli oscillatori ed è riportato in figura 11 in cui è disegnata
l'energia E dei successivi livelli energetici in funzione della distanza d tra i due atomi.
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.
Quando i due atomi sono a grande distanza vi è un livello energetico 1S singolo e comune
(degenere) per i due atomi. Quando i due atomi interagiscono il livello 1S, comune ai due atomi,
origina due livelli 1S per l'accoppiamento tra i due atomi, ed il livello 2S per i due atomi separati
origina due livelli 2S per l'accoppiamento tra gli stessi due atomi.
Se portiamo ad interagire tre atomi con livelli energetici del tipo riportato in fig. 10 otteniamo un
grafico E = f(d) [energia dei livelli energetici degli atomi in funzione della distanza tra di essi] del
tipo riportato in figura 12.
Se il numero degli atomi che interagiscono diventa N (circa 10 23 per cm 3 ) avremo N livelli
energetici in corrispondenza di ogni singolo livello energetico che avevamo per ciascun atomo
isolato. Poiché il numero N è enorme, in luogo di considerare 10 23 livelli energetici in corrispondenza
di ogni livello energetico atomico, si può considerare una banda (continua) di energie permesse agli
elettroni in corrispondenza di ogni singolo livello energetico atomico
Quindi se dobbiamo considerare l'interazione di N atomi per cm 3 (e questo è il caso di un solido) il
grafico E=f(d), che otteniamo, è del tipo riportato in figura 13.
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Così per ogni livello energetico atomico avremo N livelli energetici (che formano una banda) per
il solido; e poiché per ogni livello energetico si possono avere al massimo 2 elettroni, in ogni banda vi
possono essere al massimo 2N elettroni. Si ha allora banda piena (semipiena) per un solido i cui
atomi hanno un numero pari (dispari) di elettroni liberi.
Poiché stiamo trattando con atomi è importante notare che non si debbono più considerare livelli
energetici elettronici relativi al singolo atomo ma, per così dire, il singolo atomo sparisce e si ha a
che fare con livelli elettronici che sono di tutto il cristallo. In ognuno di questi livelli poi, come
abbiamo già visto, vi possono essere al massimo due elettroni e ve ne sono due solo se hanno spin
antiparalleli. Ebbene, conseguentemente con quanto detto ora, questi elettroni si muoveranno con
traiettorie quantizzate attraverso l'intero cristallo.
E' proprio dal riempimento delle bande, costituite dai livelli elettronici del cristallo, che è
possibile trovare una distinzione tra conduttori ed isolanti.
Prima di far questo, però, forniamo un modo più semplice per rappresentare le bande. Allo
scopo serviamoci della figura 14.
Nella figura 14 (a) sono schematizzate le bande energetiche che si formano all'interno di un
solido: la banda ad energia più bassa è completamente piena di elettroni, quella intermedia
altrettanto, mentre l'ultima è completamente vuota.
I casi che si possono presentare in termini di riempimento di bande e distanza tra queste ultime
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sono riportati in fig.15:
La figura 15 (a) è relativa al caso di un materiale isolante. Le prime due bande sono
completamente piene di elettroni, mentre l'ultima banda è completamente vuota. Nelle bande
completamente piene gli elettroni non hanno possibilità di contribuire alla conduzione, a causa del
principio di Pauli. Infatti l'acquisto di energia da parte di un elettrone implica un suo salto ad un
livello energetico a cui compete una energia superiore, ma, essendo tutti i livelli occupati da due
elettroni con spin antiparalleli, non c'è possibilità, all'interno della banda, che un elettrone acquisti
energia, poiché non ha livello energetico dove sistemarsi. D'altra parte i primi livelli non occupati da
elettroni (quelli attraverso i quali gli elettroni stessi potrebbero condurre) si trovano sulla terza
banda, quella completamente vuota, ma il salto energetico E1 tra la banda piena e quella vuota è
tanto grande che la forza elettrica, comunemente impiegata, non è in grado, da sola, di fornire
energia sufficiente ad un elettrone, che si trova nella banda piena, per questo salto.
La figura 15 (b) è relativa al caso di un materiale conduttore. La prima banda (quella ad energia
più bassa) è completamente piena di elettroni, la seconda è piena per metà , mentre la terza è
completamente vuota. In questo caso basta fornire agli elettroni una piccolissima quantità di
energia E2 per mandarli in conduzione sui livelli energetici che sono liberi all'interno della stessa
banda (quella ad energia intermedia). [Ricordiamo che fornendo energia ad un « set » di elettroni,
situati in una banda, i primi ad essere eccitati sono quelli che si trovano sui livelli energetici
superiori della banda].
La figura 15(c) è infine relativa al caso di un materiale semiconduttore. La prima banda è
completamente piena di elettroni, come pure la seconda, mentre la terza banda è completamente
vuota. Come si può osservare la situazione è strutturalmente simile a quella di un materiale isolante;
la differenza è che il salto energetico E3 fra le ultime bande, nel caso del semiconduttore, è molto
minore del salto energetico E1 del caso dell'isolante. Quando l'intervallo E3 di energia è
sufficientemente piccolo l'energia termica (dovuta a volte anche alla sola temperatura ambiente) è in
grado di eccitare alcuni elettroni della parte superiore della banda piena, attraverso l'intervallo di
energie proibite agli elettroni, fino alla parte inferiore della banda vuota. Allora la banda « piena »
non lo è del tutto, e quella «vuota» neppure, e gli elettroni possono condurre in entrambe le bande
(vedi figura 16). Poiché, pero, vi sono relativamente pochi elettroni liberi di
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farlo, i materiali che presentano queste proprietà (silicio, germanio,...), non conducono una corrente
paragonabile a quella dei metalli e si meritano il nome di semiconduttori.
SPIEGAZIONE CON LA TEORIA DELLE BANDE DI ALCUNI FENOMENI CHE NON
TROVANO SPIEGAZIONE CON LA TEORIA DELL'ELETTRONE LIBERO
Abbiamo già visto qual è la differenza tra materiali conduttori e materiali isolanti; abbiamo così
spiegato un primo fenomeno che la teoria dell'elettrone libero non spiegava.
Cerchiamo ora, con la teoria delle bande, di rispondere a quell'altro problema che era rimasto
insoluto: perché la forte corrente che può condurre un metallo diminuisce al crescere della
temperatura, mentre la debole corrente condotta da un isolante aumenta con la temperatura?
Per rispondere a questa domanda occorre risalire alla natura ondulatoria degli elettroni.
Consideriamo quindi un gas di elettroni all'interno di una scatola in cui una dimensione prevalga
nettamente sulle altre due (come riportato in figura 17).
Questa situazione rappresenta in prima approssimazione gli elettroni liberi all'interno di un
metallo.
Ad ogni elettrone è associata un'onda che ha la caratteristica di darci la probabilità, ad ogni
istante, di trovare l'elettrone in un certo punto dello spazio (l'altezza dell'onda in un punto misura la
probabilità che l'elettrone si trovi in quel punto).
Affinché un'onda possa esistere lungo il « segmento » L occorre che essa valga zero alle due
estremità di L (vedi figura 18).
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Questo fatto è direttamente legato al moto di un elettrone lungo la direzione L all'interno della
scatola. Se l'elettrone è un'onda (e se c'è l'onda c'è l'elettrone), esso urtando ad una estremità della
scatola deve riflettersi su se stesso (ricostruendo la stessa onda) per andare di nuovo ad urtare
all'altra estremità che lo farà di nuovo riflettere su se stesso (ricostruendo la stessa onda).
In definitiva la condizione per l'esistenza di un'onda (un elettrone) all'interno di una scatola è che
lungo L possa starci un numero esatto di mezze lunghezze d'onda o, che è lo stesso, 2L=nλ (si ricordi
quanto visto sulla condizione di esistenza di un'onda su una corda).
All'interno della scatola gli elettroni si muoveranno o verso destra o verso sinistra ed il grafico
che ci fornisce le energie degli elettroni in funzione delle velocità è dato dalla figura 19 (si ricordi
che E = l/2. mv 2 rappresenta una parabola nel piano E, v).
Le lunghezze delle onde permesse (vedi fig. 18) determineranno le velocità permesse che
risulteranno equidistanziate sull'asse delle ascisse di figura 19 (si ricordi che v è proporzionale a λ ).
Sull'asse delle ordinate vi sarà invece l'energia che è permessa ai singoli elettroni che nel caso in
esame (gas di elettroni in assenza di nuclei atomici) sarà tutta cinetica.
Nella scatola gli elettroni (in assenza di forze esterne) si muoveranno indifferentemente verso
destra e verso sinistra cosicché si può pensare che una metà circa si muove verso destra mentre
l'altra metà si muove verso sinistra. Il risultato è che non si ha nessuna « corrente » elettrica
risultante.
Prendiamo ora la scatola ed alle due sue estremità applichiamole una forza elettrica in modo che
questa provochi uno spostamento degli elettroni da sinistra verso destra (in realtà ci sarà una
componente di velocità che si sottrarrà agli elettroni che si muovono verso sinistra ed una
componente di velocità che si sommerà agli elettroni che si muovono verso destra). Il risultato può
essere schematizzato come in figura 20.
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Completiamo ora il modello inserendo nella scatola a distanze regolari i nuclei atomici
(ricordando che la dimensione L è molto maggiore delle altre due si dovrà considerare una sola fila
equidistanziata di nuclei).
Con i nuclei aggiunti al gas di elettroni la scatola ci rappresenta in prima approssimazione la
situazione di un metallo e in accordo con quanto visto nel paragrafo precedente bisognerà tener
conto dell'esistenza di bande di energia permesse e proibite.
La figura 21 ci rappresenta la nuova situazione.
Ora, evidentemente, non è più possibile pensare che indefinitamente gli elettroni « passino » da
sinistra a destra come avveniva nel caso illustrato in figura 20 (gas di elettroni senza nuclei). Poiché
ad ogni passaggio da sinistra a destra corrisponde un acquisto di energia (al passaggio ad un livello
energetico più elevato) è chiaro che, data la struttura a bande, questo processo debba ad un certo
punto interrompersi (quando gli elettroni sono arrivati ad occupare il livello energetico più elevato
che compete ad una banda di energia permessa).
E quando un elettrone raggiunge il livello energetico più elevato di una banda sarà riflesso
all'indietro andando ad occupare livelli lasciati vuoti alla sinistra (vedi figure 22 e 23).
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A questo punto si può introdurre l'effetto originato dalla temperatura.
La temperatura fa aumentare il moto di vibrazione degli atomi originando quindi una più
marcata variazione delle distanze interatomiche del reticolo cristallino (la situazione atomica appare
agli elettroni più disordinata). Questo fatto origina la riflessione di elettroni che hanno anche
lunghezza d'onda diverse da quelle del limite della banda ed in definitiva si avranno riflessioni di
elettroni anche molto prima che essi vadano a trovarsi al limite della banda.
La nuova situazione è illustrata in figura 24.
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Quando gli elettroni sono diffusi a sinistra trovano stati ad energia più bassa avendo ceduto sotto
forma di calore la differenza di energia agli atomi che li hanno diffusi. Più sale la temperatura e più
il disordine atomico aumenta e più onde elettroniche (anche di diverse lunghezze d'onda) saranno
riflesse dagli atomi del reticolo.
E' allora evidente che nel caso di un conduttore, all'aumentare della temperatura debba
aumentare la resistenza elettrica.
Rimane ora da prendere in considerazione ciò che avviene per un isolante all'aumentare della
temperatura.
Se si scalda molto un materiale isolante aumenta notevolmente l'energia di oscillazione degli
atomi che si trovano ai nodi del reticolo. Questa energia si trasmette agli elettroni i quali non
potendo « muoversi » all'interno della banda in cui si trovano cercano altri stati in cui sistemarsi.
Gli impulsi che gli elettroni ricevono dagli atomi del reticolo sono sufficienti a permettere che una
parte di essi possa saltare nella banda vuota dove può cominciare ad entrare in conduzione.
BIBLIOGRAFIA
MILLMAN-HALKIAS: « Electronic Devices and Circuits ». Me Graw Hill, 1967.
A. J. DEKKER: «Fisica dello stato solido». Ambrosiana., 1965.
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