La scienza dell'acustica - Studium

La scienza dell'acustica
I primi studi sulle corde vibranti, la scala musicale
e la natura del suono si devono agli antichi greci.
Giovanni Benedetti (1530-1590), Isaac Beeckman
(1588-1637) e specialmente Marin Mersenne
(1588-1648) trovarono relazioni empiriche tra
lunghezza delle corde vibranti e frequenza dei
suoni.
I primi studi dettagliati si devono a Joseph
Sauveur (1653-1716) che introdusse anche il
termine "acustica".
• Il suono è una perturbazione che, propagandosi in un mezzo elastico,
provoca una variazione di pressione ed uno spostamento di particelle,
tale da poter essere percepita da una persona o da uno strumento
acustico.

Il fenomeno ondulatorio fa sì che le particelle del mezzo in cui il suono si
trasmette vibrino, propagando così la perturbazione alle particelle vicine
• Pressur
e
• [Pa]
100 000
Pascal
Time

Nozioni preliminari di acustica
• L’insorgere di un fenomeno acustico richiede la presenza
contemporanea della sorgente sonora, del mezzo di trasmissione e
del ricevitore
Nella propagazione in un gas, le particelle del mezzo vibrano intorno
alla loro posizione di equilibrio.
•Le vibrazioni non avvengono in tutti i punti con la stessa fase: in
alcune zone le particelle tenderanno ad addensarsi e in altre a
rarefarsi.

Nozioni preliminari di acustica
• Si può ipotizzare che le variazioni di pressione seguano una
legge sinusoidale (moto armonico): lo strato d'aria adiacente alla
sfera subirà espansioni e compressioni con la stessa frequenza
della sfera, e così per gli strati d'aria concentrici successivi.
• Dopo un certo tempo, in tutti i punti del mezzo che circonda
la sfera si avranno delle variazioni periodiche di pressione.

FREQUENZA e PERIODO
Frequenza = numero di oscillazioni nell’unità di tempo: si misura in cicli per
secondo, Hertz [Hz] legata alla rapidità con cui le particelle oscillano in ogni
singolo punto,
Periodo T = tempo necessario affinché le particelle compiano una oscillazione
completa, l’intervallo di tempo che passa tra due istanti consecutivi nei quali, nel
punto considerato, si ha un massimo od un minimo relativo della pressione

LUNGHEZZA D'ONDA
Lunghezza d'onda λ = distanza
percorsa dalla perturbazione in
un periodo
f min 20 Hz (λ =17m) ;
f max 20 kHz ( λ=22mm),
Campo dell’udibile, il campo di frequenze che l’orecchio umano può
percepire: si estende tra 20 Hz e 20000Hz.
Le onde le cui frequenze si estendono oltre il limite di udibilità (> 20000 Hz)
sono dette ultrasuoni al disotto sono denominate infrasuoni

VELOCITA' DI PROPAGAZIONE
• Le onde sonore si propagano con velocità caratteristica del mezzo di
trasmissione.
• Nel caso dell’aria (gas ideale) la velocità di propagazione del suono, “c” si
ottiene dalla seguente relazione:
kT
R
c =
0 0
M m
legge di Laplace: la velocità di propagazione del suono è indipendente dalla
pressione del gas, ed è direttamente proporzionale alla radice quadrata della
temperatura assoluta.
Utilizzando la temperatura θ in °C, possiamo utilizzare, la relazione
c = 331 .2 + 0.6θ
la velocità del suono aumenta di 0.6 metri/sec per ogni aumento di 1°C della temperatura.

EQUAZIONE DELLE ONDE
• Nel mezzo di propagazione si avranno variazioni di densità e di
pressione, entrambe funzioni del tempo e dello spazio.
La variazione della pressione P nell’aria può scriversi nella forma
P (x,y,z,t) = p 0
+ p(x,y,z,t)
p 0
= pressione nelle condizioni iniziali indisturbate,
p(x,y,z,t) = variazione di pressione dovuta al fenomeno acustico
(pressione sonora) .
Poiché p

EQUAZIONE DELLE ONDE
• Applicando, al generico volume di controllo, la legge di Newton,
l’equazione di stato dei gas perfetti e la legge di conservazione della
massa si ottiene l’equazione delle onde, che permette di determinare il
campo acustico in ogni regione dello spazio
Equazione di D’Alembert
Equazione delle onde in coordinate sferiche

ONDE PIANE
Un piano che oscilla in un mezzo elastico,
in direzione ortogonale a se stesso,
produce delle onde acustiche piane.
Le grandezze acustiche dipendono dal
tempo e da un’unica coordinata spaziale,
che coincide con la direzione di
propagazione dell’onda, normale al fronte
d’onda.
l’equazione delle onde diventa:
∂
2
∂x
p
2
=
1
c
2
∂
2
∂t
p
2

ONDE PIANE
• La soluzione generale dell’equazione delle onde piane è :
P (x,t) = F(ct-x) + G(ct+x)
F(ct-x) e G(ct+x) = funzioni arbitrarie dotate di derivata seconda,
c = la velocità del suono nel mezzo considerato;
F(ct-x) = onda diretta di pressione, ( si propaga nel verso positivo delle x );
G(ct+x) = onda inversa di pressione, ( si propaga nel verso negativo delle x );

ONDE PIANE
Una soluzione dell’equazione delle onde piane si ottiene
esplicitando F e G come funzioni esponenziali di un argomento
immaginario;
Nel caso di sola l’onda diretta, si ottiene
ω= pulsazione = 2πf (rad/s), ;
k = numero d’onda = ω/c (rad/m) ;
p eff
= valore efficace della pressione
La funzione p(x, t) è una quantità complessa, dotata di un
modulo e di una fase;

ONDE PIANE
Considerato che ogni quantità fisica osservabile è
sempre reale, applicando il teorema di Eulero si ottiene
p(x,t) =
√2peff cos(ω t-kx)
La quantità (reale) p(x,t) rappresenta una
vibrazione armonica,nello spazio e nel tempo, di
ampiezza √2p eff
.
Questa soluzione è particolarmente importante in quanto, sulla base
del teorema di Fourier una funzione periodica è esprimibile come
sommatoria di infiniti termini armonici.

Il valore medio è la media dei valori
assunti dal grafico in un semiperiodo
positivo
VALORE EFFICACE
Il valore efficace è un valore molto utile
nella pratica, una media significativa dei
valori.
Per un'onda sinusoidale - i rapporti tra i
vari valori sono restituiti dalle seguenti
formule:
Nel caso di un'onda generica, il valore
efficace, che viene anche detto RMS
(Root Mean Square, si ricava
suddividendo il grafico in n porzioni
uguali sull'asse delle ascisse e
ricavando i valori a n

Impedenza acustica
Le onde sonore possono essere caratterizzate sia in termini di
pressione che di velocità: il rapporto complesso tra pressione
sonora e velocità in un generico punto prende il nome di impedenza
acustica specifica Zs [Pa s/m]
Dall’equazione del moto è possibile ottenere la velocità v(x,t)
integrando nel tempo la quantità δp/ δ x :
Per le onde piane il rapporto tra pressione sonora e velocità delle particelle
assume un valore reale : pressione sonora velocità sono in fase.
(impedenza acustica specifica) Zc = p(x,t) / v(x,t) = ρ 0
c

Intensità acustica
• Intensità acustica (I) = Energia sonora che fluisce, nel tempo
infinitesimo dt, attraverso una superficie di area dA.
Il fluido esercita sulla superficie
dA la forza p*dA.
Se, nell’intervallo di tempo dt, il
fluido si sposta della quantità dξ
in direzione perpendicolare alla
superficie dA, esso compie un
lavoro pari a :
θ = angolo compreso tra lo spostamento
dξ e la normale alla superficie dA

Intensità acustica
• Intensità acustica istantanea, (energia che fluisce nell’istante dt)
Intensità acustica media
Nel caso di un’onda sonora piana diretta
valore minimo per θ =90°, spostamento del fluido in direzione tangenziale
alla superficie considerata,
valore massimo quando lo spostamento avviene in direzione perpendicolare
alla superficie; θ =0°

Densità acustica
• Densità di energia sonora = energia sonora che, in un dato istante,
risulta localizzata nell’unità di volume circostante un punto assegnato del
mezzo di propagazione; essa è cioè la densità di distribuzione di energia
sonora nel mezzo:
D è pari al rapporto tra l’intensità acustica misurata nella
direzione di propagazione dell’onda (θ(
= 0°) e la velocità del
suono nell’aria:

Onde Sferiche
• La principale caratteristica di una
sorgente sonora sferica è quella che
tutti i punti della sua superficie vibrano
uniformemente in fase spostandosi
radialmente rispetto alla posizione di
equilibrio per effetto di contrazioni ed
espansioni.
Le onde generate, dette onde sferiche,
si propagano con le stesse modalità in
tutte le direzioni, mantenendo sempre
la simmetrica sferica, per cui il fronte
d’onda sarà costituito da superfici
sferiche concentriche:

Onde Sferiche
equazione delle onde in coordinate sferiche
Una soluzione di questa equazione è :
A/r e B/r sono i valori efficaci della
pressione sonora, rispettivamente
dell’onda diretta e di quella inversa

Onde Sferiche
In assenza di ostacoli il fenomeno può essere descritto dalla sola
onda diretta
Dall’equazione del moto, espressa in coordinate sferiche, si ottiene la
relazione che fornisce la velocità in funzione di “r”
Dal rapporto tra le due espressioni si ottiene l’impedenza acustica specifica

Onde Sferiche
• Sostituendo il valore di k=ω/c = 2π/λ, si ottiene l’impedenza acustica
specifica nella forma
per distanze r dall’origine tali per cui 2 π r/ λ >>1, il termine λ /j2πr è
trascurabile rispetto ad 1, per cui risulta
Per distanze dall’origine grandi rispetto alla
lunghezza d’onda l’onda sferica, che si propaga
liberamente nello spazio, si comporta come
un’onda piana.

Impedenza acustica
• L’impedenza è una grandezza
complessa, dotata di modulo e fase;
che si ottiene dal rapporto di due
grandezze complesse.
• Tali grandezze possono essere
sfasate tra di loro:ciò implica un
trasporto di energia non ottimale in
quanto il maggior rendimento possibile
si ottiene con le due grandezze in
fase.
• L’impedenza è funzione della distanza
r dalla sorgente sonora
Se r>> λ ,l’impedenza assume valore reale e la sua fase è ovviamente nulla:
si ricade nel caso di un fronte d’onda piano.
Se r

Intensità acustica
• Per calcolare l’intensità acustica dell’onda sferica nella direzione θ
(deviazione rispetto alla direzione radiale), si applica la relazione:
I θ
= Re {p(r,t) * v(r,t)} cos θ
A/r = pressione sonora efficace a distanza r dalla sorgente sferica

Intensità acustica
Per kr>>1, il termine 1/jkr diventa trascurabile e si ottiene:
=
Espressione analoga, a meno del fattore 2 , trovata per le onde piane.
Ciò significa che tutte le valutazioni fatte per le onde piane sia per la densità
di energia acustica sia dei valori minimo e massimo dell’intensità acustica
sono valide anche per le onde sferiche

Angular Rotation and Phase
The PHASE of the motion is the angle through which the radius has rotated .
The value of the projected length can be expressed mathematically as:
projected length =
A× cos
( ωt)
A = amplitude, in this case = 1,
t = the elapsed time from an arbitrary zero
ω= ANGULAR FREQUENCY (2πf)
projected
length
As the phase of the motion increases
the projected length undergoes
harmonic oscillation
projected length
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0 360 720 1080
Degrees

Angular Rotation and Phase
The signal represented by the rotating radius b leads the signal represented
by the rotating radius a by θ radians
There is a phase difference between the signals of θ radians
θ
b
a
projected length / m
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
b
Time / s
a
The period, T, of each of the signals is 0.5 s ; the time difference between
them is ~0.08 s
The phase difference,
θ, =(2π/0.5)x0.08 = ~1 radian =57 o

In-phase, anti-phase and out-of-phase
In-phase
Difference between the two signals = 0 o
Out of-phase
anti-phase
difference phase is between 0 o and 180 o
Difference between the two signals = 180 o

Relative phase of two harmonic signals of
different frequencies
For signals of different frequencies it is not possible to define a phase
difference that is fixed for all time