introduzione alla teoria della misura e dell'integrazione

Facoltà di Ingegneria 

Antonio Avantaggiati 

INTRODUZIONE ALLA TEORIA 

DELLA MISURA E DELL’INTEGRAZIONE 

redatto e curato da 

Paolo Burghignoli e Giampiero Lovat 

Università “La Sapienza” di Roma

Indice 

8 8 

1 Teoria della Misura secondo Lebesgue 3 

1.1 Misura interna e misura esterna secondo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2 La classe dei sottoinsiemi di R s misurabili secondo Lebesgue . . . . . . . . . . . 17 

1.3 Anelli e algebre di insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

1.4 Struttura degli insiemi misurabili secondo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

1.5 Insiemi non misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

1.6 Insieme di Cantor e cardinalità diL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

2 Teoria Generale della Misura 67 

2.1 Misure su insiemi arbitrari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

2.2 Misure di Stieltjes-Lebesgue su R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

2.3 Spazi mensurali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3 Funzioni Numeriche Misurabili 93 

3.1 Definizioni e prime proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

3.2 Successioni di funzioni numeriche misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

3.3 Convergenza quasi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

3.4 Convergenza in misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

3.5 Quasi continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

4 Teoria dell’Integrazione secondo Lebesgue 121 

4.1 Funzioni semplici su insiemi di misura finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 

4.2 Funzioni essenzialmente limitate su insiemi di misura finita . . . . . . . . . . . 124 

4.3 Successioni fondamentali in media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 

4.4 Funzioni integrabili secondo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 

4.5 Proprietà dell’integrale di Lebesgue di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . 137 

4.6 Teoria generale del passaggio al limite sotto il segno di integrale . . . . . . . . . 143 

4.7 Teoremi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 

4.8Esempi e controesempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 

1

2 Indice 

5 Risultati Conclusivi sulla Teoria della Misura e dell’Integrazione 169 

5.1 Misure relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 

5.2 Decomposizioni di Hahn e di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 

5.3 Misure assolutamente continue, concentrate, singolari, complesse . . . . . . . . 179 

5.4 Teoremi di Radon-Nikodym e di decomposizione di Lebesgue . . . . . . . . . . 18 3 

Bibliografia 191

1 

Teoria della Misura secondo Lebesgue 

1.1 Misura interna e misura esterna secondo Lebesgue 

Un intervallo non degenere I =[a, b] diR s con a =(a 1 ,...,a s ), b =(b 1 ,...,b s )ea i

4 Teoria della Misura secondo Lebesgue 

Prop. 1.1.1 Comunque si fissi un intervallo non degenere I, per ogni ε ∈ R + è possibile 

costruire due intervalli I ′ , chiuso, strettamente contenuto in I e I ′′ , aperto, contenente 

strettamente I tali che: 

mis I − ε

Misura interna e misura esterna secondo Lebesgue 5 

Dim. Essendo A limitato, esiste un intervallo I =[a, b[ contenenteA nel suo interno: 

A ⊂ I. 

Indichiamo con D la decomposizione dell’intervallo I nei 2 s intervalli: 

I (1) 

1 ,I(1) 2 ,...,I(1) 2 s 

semiaperti a destra, a due a due disgiunti, determinati dai punti medi degli intervalli unidimensionali 

relativi a ciascuno degli assi coordinati. Decomposto, cioè, l’intervallo [a i ,b i [ 

dell’asse i-esimo nei due intervalli: 

[ 

I i0 = a i ,a i + a [ 

[ 

i + b i 

e I i1 = a i + a [ 

i + b i 

,b i , (1.1.8) 

2 

2 

ciascuno degli intervalli I (1) 

1 ,I(1) 2 ,...,I(1) 2s è il prodotto di s intervallini, l’i-esimo dei quali è 

uno dei due intervalli della (1.1.8). Si ha cioè: 

I (1) 

i 

= I (1) 

1i 1 

× I (1) 

2i 2 

×···×I (1) 

si s 

, 

essendo i 1 ,i 2 ,...,i s una disposizione con ripetizione di ordine s degli elementi 0 e 1 su s posti. I 

2 s intervalli I (1) 

1 ,I(1) 2 ,...,I(1) 2 s corrispondono alle 2s disposizioni distinte. Si ha evidentemente: 

A ⊂ 

2 s 

⋃ 

j=1 

I (1) 

j 

= I e misI (1) 

j 

= mis I 

2 s . 

Applichiamo ancora la decomposizione D a ciascuno dei 2 s intervalli; da ciascuno I (1) 

j 

si 

otterranno 2 s intervalli e, complessivamente, 2 2s intervalli, che indicheremo con I (2) 

j 

, con 

j = 1, 2,...,2 2s , sempre a due a due disgiunti e aventi per unione I. Riapplichiamo la 

decomposizione D. Ogni volta che applichiamo D, ciascun intervallo viene decomposto in 2 s 

intervalli e, complessivamente, applicando D k volte consecutive, si otterranno 2 ks intervalli, 

che indicheremo con: 

I (k) 

1 ,I(k) 2 ,...,I(k) , (1.1.9) 

2 ks 

con gli I (k) 

j 

a due a due disgiunti e tali che: 

2 ks 

⋃ 

j=1 

I (k) 

j 

= I e misI (k) 

j 

= mis I 

2 ks . 

e 

diam I (k) 

j 

= diam I 

2 k = | b − a | 

2 k . (1.1.10)


E’ importante osservare che gli intervalli semiaperti a destra I (k) 

1 ,I(k) 2 ,...,I(k) possono essere 

2 ks 

numerati in diversi modi: qui intendiamo che, per ogni k, è fissato un preciso modo di numerarli. 

Si potrebbe mostrare che il sistema di numerazione binario fornisce un modo preciso per 

fissare tale numerazione. 

Indichiamo ora con: 

gli intervalli tra: 

I (1) 

1 (A),I(1) 2 (A),...,I(1) n 1 

(A) (1.1.11) 

I (1) 

1 ,I(1) 2 ,...,I(1) 2 s (1.1.12) 

che sono completamente contenuti in A: 

I (1) 

j 

(A) ⊂ A j =1, 2,...,n 1 . (1.1.13) 

Inoltre indichiamo con: 

gli intervalli tra: 

I (2) 

1 (A),I(2) 2 (A),...,I(2) n 2 

(A) (1.1.14) 

I (2) 

1 ,I(2) 2 ,...,I(2) 2 2s (1.1.15) 

che non sono contenuti in nessuno degli intervalli (1.1.11) e che invece sono contenuti in A: 

procediamo così per induzione. Costruiti gli intervalli: 

che non sono contenuti in alcuno degli intervalli: 

I (k) 

1 (A),I(k) 2 (A),...,I (k) 

n k 

(A) (1.1.16) 

I (k−1) 

1 (A),I (k−1) 

2 (A),...,I (k−1) 

n k−1 

(A) , (1.1.17) 

indichiamo con: 

gli intervalli scelti tra: 

I (k+1) 

1 (A),I (k+1) 

2 (A),...,I (k+1) 

n k+1 

(A) (1.1.18) 

I (k+1) 

1 ,I (k+1) 

2 ,...,I (k+1) 

2 (k+1)s (1.1.19) 

che non sono contenuti in alcuno degli intervalli (1.1.16) e delle decomposizioni precedenti e che 

sono completamente contenuti in A. In altri termini, gli intervalli (1.1.18) sono tutti quelli, 

tra gli intervalli (1.1.19), che sono contenuti in A e che non sono contenuti in alcuno degli 

intervalli precedentemente scelti. In questo modo si costruisce una successione di intervalli: 

I (1) 

1 (A),I(1) 2 (A),...,I(1) n 1 

(A),...,I (k) 

1 (A),...,I(k) n k 

(A),I (k+1) 

1 (A),...,I (k+1) (A),... 

n k+1


semiaperti a destra, a due a due disgiunti e tutti contenuti in A. Vogliamo dimostrare che: 

∞⋃ 

n k ⋃ 

k=1 j=1 

I (k) 

j 

(A) =A. (1.1.20) 

E’ evidente che: 

∞⋃ 

n k ⋃ 

k=1 j=1 

I (k) 

j 

(A) ⊂ A. 

Dimostriamo allora che per ogni punto x ∈ A esiste un intervallo del tipo I (k) 

j 

(A) acuix 

appartiene. Poiché A èaperto,esisteδ ∈ R + tale che B(x,δ) ⊂ A. Fissiamo k in modo che: 

| b − a | 

2 k


Si definisce, cioè, misura di Lebesgue di A l’estremo superiore delle misure dei plurintervalli 

contenuti in A. 

Prop. 1.1.5 Per ogni aperto limitato A, comunque si fissi una partizione di A in intervalli 

semiaperti a destra: 

∞⋃ 

A = I j con I j ∩ I l = ∅ se j ≠ l, 

j=1 

si ha: 

µ(A) = 

Dim. SeA ⊂ I, ha senso introdurre: 

∞∑ 

mis I j . (1.1.23) 

j=1 

∞∑ 

λ = mis I j ≤ mis I. 

j=1 

La serie delle somme parziali è infatti fatta di termini positivi ed è limitata. Poniamo: 

n⋃ 

P n = I j . 

j=1 

Allora P n è un plurintervallo semiaperto a destra e I 1 ,I 2 ,...,I n ne è una partizione. Perciò 

risulta: 

n∑ 

mis P n = mis I j 

e, per la convergenza della serie a secondo membro della (1.1.23), si ha: 

j=1 

Poiché per costruzione si ha P n ⊂ A, segue: 

lim mis P n = λ. (1.1.24) 

n→∞ 

mis P n ≤ µ(A) 

e dalla (1.1.24) si deduce: 

λ ≤ µ(A) . (1.1.25) 

Dalla (1.1.22) deduciamo, applicando la seconda proprietà dell’estremo superiore, che, per 

ogni ε ∈ R + , esiste un plurintervallo Q ε contenuto in A tale che: 

µ(A) − ε


tale che: 

mis Q ε − ε


Corollario 1.1.6 Per ogni aperto limitato A di R s ,è possibile costruire una successione di 

plurintervalli, crescente per inclusione, tale che: 

P n ⊂ P n+1 ⊂ A e lim 

n→∞ mis P n = µ(A) . 

Introdotta la misura dei sottoinsiemi aperti limitati, si può definire la misura di un 

qualunque insieme chiuso e limitato: 

Def. 1.1.7 Per ogni sottoinsieme chiuso e limitato C di R s si pone: 

µ(C) = inf 

A⊃C µ(A) . 

Prop. 1.1.8 Per ogni sottoinsieme chiuso e limitato C di R s ,è possibile costruire una successione 

decrescente di plurintervalli aperti (P n ) N tale che: 

µ(C) = lim 

n→∞ mis P n . 

Dim. Per la definizione posta, per ogni n ∈ N, si può fissare un aperto A n tale che: 

A n ⊃ C e µ(A n )


e quindi la tesi. 

Def. 1.1.9 Per ogni sottoinsieme limitato E di R s si introducono i due insiemi numerici: 

X(E) = { µ(C) t.c. C sottoinsieme chiuso, C ⊂ E } 

Y (E) = { µ(A) t.c. A aperto limitato, A ⊃ E } (1.1.28) 

e si definiscono: 

µ i (E) =supX(E) e µ e (E) =infY (E) . 

Allora µ i (E) si chiama la misura interna secondo Lebesgue di E e µ e (E) si chiama la 

misura esterna secondo Lebesgue di E. 

Prop. 1.1.10 Per ogni sottoinsieme limitato E di R s si ha: 

µ i (E) ≤ µ e (E) . (1.1.29) 

Esistono poi due successioni (A j ) N 

di aperti e (C l ) N 

di chiusi tali che: 

C l ⊂ E ⊂ A j 

∀ j, l ∈ N 

e 

lim µ(C l)=µ i (E) e lim µ(A j )=µ e (E) . (1.1.30) 

l→∞ j→∞ 

Inoltre si può sempre fare in modo che (C l ) N 

sia crescente e (A j ) N 

sia decrescente. 

Dim. E’ facile stabilire che X(E)eY (E) sono separati: basta infatti applicare la definizione 

di misura dei chiusi. Perciò èverala(1.1.29). Per costruire (C l ) N 

si applicano le proprietà 

dell’estremo superiore per cui, per ogni l ∈ N, si fissa un sottoinsieme chiuso C l contenuto in 

E tale che: 

µ i (E) − 1


esiavrà: 

µ i (E) − 1 n


per ogni n costruiamo un plurintervallo P ′ n chiuso e contenuto in P n in modo che: 

Poiché P ′ n è chiuso, per ogni n ∈ N si avrà: 

mis P n − 1 n ≤ mis P ′ n . 

mis P n − 1 n ≤ mis P ′ n ≤ µ i (A) . 

Facendo il limite n →∞,seguirà: 

µ(A) ≤ µ i (A) 

e questa, insieme al fatto che µ(A) =µ e (A), consente di dedurre 

µ(A) =µ i (A) 

e dunque la Proposizione è completamente provata. 

E’ facile dimostrare il seguente: 

Teorema 1.1.12 Comunque si fissino A 1 , A 2 aperti limitati di R s e C 1 , C 2 chiusi limitati di 

R s , si ha: 

µ(A 1 ∪ A 2 ) ≤ µ(A 1 )+µ(A 2 ) (1.1.35) 

µ(C 1 ∪ C 2 ) ≤ µ(C 1 )+µ(C 2 ) . (1.1.36) 

Inoltre, se (A k ) N è una successione di aperti limitati a due a due disgiunti e la loro unione è 

un sottoinsieme (aperto) limitato, allora: 

( ∞ 

) 

⋃ 

µ A n = 

n=1 

∞∑ 

µ(A n ) . (1.1.37) 

n=1 

Dim. Costruiamo due successione (Pj 1) e(P 2 

N l ) N 

crescenti per inclusione e tali che: 

di plurintervalli semiaperti a destra, 

∞⋃ 

Pj 1 = A 1 ; 

j=1 

∞⋃ 

l=1 

P 2 

l = A 2 

eche: 

lim mis P j 

k→∞ 

k = µ(A j) j =1, 2 k ∈ N .


Osserviamo che la rappresentazione: 

A 1 ∪ A 2 = ( P1 1 ∪ P1 

2 ) ⋃ 

∞ [ (P 

∪ 

1 

k+1 ∪ Pk+1 

2 ) ( 

\ P 

1 

k ∪ Pk 2 ) ] 

k=1 

fornisce una decomposizione di A 1 ∪ A 2 in plurintervalli semiaperti a destra a due a due 

disgiunti. Per la Prop. 1.1.5 si avrà: 

µ(A 1 ∪ A 2 ) = lim 

n→∞ mis { 

(P 

1 

1 ∪ P 2 1 

) 

∪ n ⋃ 

k=1 

= lim mis ( P 1 

n→∞ 

n+1 ∪ Pn+1 

2 ) 

≤ lim mis P 

1 

n→∞( 

n+1 +misPn+1 

2 ) 

= µ(A 1 )+µ(A 2 ) 

[ (P 

1 

k+1 ∪ Pk+1 

2 ) ( 

\ P 

1 

k ∪ Pk 

2 ) ]} 

ecosìla(1.1.35) è dimostrata. Per dimostrare la (1.1.36) costruiamo due successioni di aperti 

limitati (A 1 n ) N e(A2 n ) N 

in modo che: 

C j ⊂ A j n j =1, 2 ∀ n ∈ N e lim 

n→∞ µ(Aj n)=µ(C j ) j =1, 2 . 

Comunque si fissi n, perlaDef.1.1.7 eperla(1.1.35): 

µ(C 1 ∪ C 2 ) ≤ µ(A 1 n ∪ A2 n ) ≤ µ(A1 n )+µ(A2 n ) . 

Da questa, nel limite n →∞, si ottiene la (1.1.36). 

Per stabilire la (1.1.37), fissiamo una partizione di A in intervalli semiaperti a destra a due 

a due disgiunti: 

∞⋃ ∞⋃ 

A = A n = I k . 

n=1 k=1 

Ammettiamo che la totalità degli intervalli semiaperti a destra (I j ) N 

sia ottenuta considerando 

la successione di decomposizioni in intervalli semiaperti a destra di ciascun A n .Cioè, posto: 

∞⋃ 

A n = Ij n , 

j=1 

sia: 

⎛ 

∞⋃ ∞⋃ ∞⋃ 

A n = ⎝ 

⎞ 

⎠ = 

Ij 

n 

n=1 n=1 j=1 k=1 

∞⋃ 

I k . (1.1.38)


Poiché: 

( ∞ 

) 

⋃ 

∞∑ 

µ A n = mis I k 

n=1 k=1 

epoichétaleserieè di numeri positivi, la sua convergenza incondizionata consente di sommarla 

“per righe” (o “per colonne”). Avremo perciò: 

( ∞ 

) 

⋃ 

∞∑ ∞∑ 

µ A n = mis Ij 

n 

n=1 n=1 j=1 

∞ = ∑ 

µ(A n ) , (1.1.39) 

n=1 

che è esattamente la (1.1.37). 

E’ evidente che le (1.1.35) e(1.1.36) si estendono a unioni finite qualunque. La (1.1.37), 

come caso particolare, include il caso in cui gli A n sono a due a due disgiunti, ma in numero 

finito. 

Infine osserviamo: 

Prop. 1.1.13 Comunque si fissino due chiusi C 1 e C 2 di R s tali che C 1 ∩ C 2 = ∅, siha: 

µ(C 1 ∪ C 2 )=µ(C 1 )+µ(C 2 ) . (1.1.40) 

Dim. Per riconoscere la validità della (1.1.40), segnaliamo che esistono certamente due 

aperti A 1 e A 2 tali che: 

A 1 ∩ A 2 = ∅ e A 1 ⊃ C 1 ; A 2 ⊃ C 2 . 

Possiamo allora costruire due successioni (A 1 n ) N e(A2 n ) N 

tali che: 

C j ⊂ A j n ⊂ A j e lim 

n→∞ µ(Aj n)=µ(C j ) per j =1, 2 . 

Per la (1.1.37) siavrà: 

] 

lim 

n→∞ µ(A1 n ∪ A2 n 

[µ(A ) = lim 1 

n→∞ 

n )+µ(A2 n ) = µ(C 1 )+µ(C 2 ) . 

D’altra parte, per la Def. 1.1.7: 

µ(C 1 ∪ C 2 ) ≤ µ(A 1 n ∪ A 2 n) ∀ n ∈ N . 

Vogliamo allora provare che: 

µ(C 1 ∪ C 2 ) = lim 

n→∞ µ(A1 n ∪ A2 n )=µ(C 1)+µ(C 2 ) .


Se fosse: 

µ(C 1 ∪ C 2 )

La classe dei sottoinsiemi di R s misurabili secondo Lebesgue 17 

Se fosse: 

si dovrebbe avere: 

µ(A \ C)


A) L’insieme E è misurabile secondo Lebesgue. 

B) Gli insiemi numerici X(E) e Y (E) definiti con la (1.1.28) sono contigui. 

C) Per ogni ε ∈ R + esistono un aperto limitato A contenente E eunchiusoC contenuto in 

E tali che: 

µ(A) − µ(C)


La seconda disuguaglianza nella (1.2.2) ègià stata stabilita. 

Per provare la terza, sia P un qualunque plurintervallo contenente E. PerlaProp.1.1.2, 

per ogni n ∈ N possiamo costruire un plurintervallo aperto P n ′′ contenente P in modo che: 

mis P ′′ 

n < mis P + 1 n . 

Poiché P ′′ 

n è un aperto limitato contenente E, dovrà essere: 

µ e (E) ≤ mis P ′′ 

n 

e quindi: 

µ e (E) < mis P + 1 n . 

Da questa segue: 

e allora, per la (1.1.6): 

µ e (E) ≤ mis P ∀ P ⊃ E 

µ e (E) ≤ m e (E) . 

La (1.2.2) è dunque completamente dimostrata. Da questa segue automaticamente la prima 

parte del Teorema 1.2.2. Infatti il fatto che E sia misurabile secondo Peano-Jordan significa: 

m i (E) =m e (E) 

eciò, per la (1.2.2), implica: 

µ i (E) =µ e (E) 

e quindi E è anche misurabile secondo Lebesgue. 

Quando E è misurabile secondo Lebesgue, risultando µ i (E) =µ e (E), si può prevedere, in 

base alla (1.2.2), che possa risultare: 

m i (E)


L’insieme E è perciò l’insieme dei punti di I che hanno tutte le coordinate razionali. E’ noto 

che E non è misurabile secondo Peano-Jordan. Dimostriamo allora che E è misurabile secondo 

Lebesgue e che inoltre ha misura nulla, cioè: 

µ i (E) =µ e (E) =0. (1.2.5) 

Poiché Q s notoriamente è numerabile, lo è anche E, che ne è un sottoinsieme. Allora E è 

rappresentabile come successione: 

E = { x 1 , x 2 ,...,x n ,... } . 

Fissato ε ∈ R + , consideriamo gli aperti B(x n , ε1/s ) e quindi la loro unione: 

2 n/s 

( ) 

∞⋃ 

A = B x n , ε1/s 

2 n/s . 

n=1 

Allora A è evidentemente un sottoinsieme aperto e limitato di R s erisultaE ⊂ A. Risulterà: 

µ(A) ≤ 

[ ( )] 

∞∑ 

µ B x n , ε1/s 

2 n/s ≤ ω s 

n=1 

∞ ∑ 

n=1 

ε 

2 n = ω s ε, 

dove ω s indica la misura della sfera unitaria in R s . Data l’arbitrarietà diε, essendo E ⊂ A, si 

deduce: 

µ e (E) =0. 

E’ così dimostrata la (1.2.5) eilTeorema1.2.3. 

Indicheremo con L la classe di tutti i sottoinsiemi limitati di R s che sono misurabili 

secondo Lebesgue; ricordiamo che con A indichiamo la classe di tutti i sottoinsiemi aperti 

limitati di R s econC quella dei sottoinsiemi chiusi e limitati di R s . Dalla Prop. 1.1.11 si 

deduce allora: 

A ⊂ L e C ⊂ L . (1.2.6) 

Teorema 1.2.4 La classe L dei sottoinsiemi limitati e misurabili secondo Lebesgue èchiusa 

rispetto alle operazioni di unione finita, intersezione finita e complemento relativo. 

significa che, fissati E 1 ,E 2 ∈ L : 

Ciò 

a) (E 1 ∪ E 2 ) ∈ L 

b) (E 1 ∩ E 2 ) ∈ L 

c) (E 1 \ E 2 ) ∈ L


Dim. Fissato ε ∈ R + , costruiamo C 1 ,C 2 ∈ C e A 1 ,A 2 ∈ A in modo che: 

C i ⊂ E i ⊂ A i i =1, 2 (1.2.7) 

µ(A i ) − µ(C i ) < ε 2 . (1.2.8) 

Dalla (1.2.7) si deduce: 

⎧ 

(C ⎪⎨ 1 ∪ C 2 ) ⊂ (E 1 ∪ E 2 ) ⊂ (A 1 ∪ A 2 ) 

(C 1 ∩ C 2 ) ⊂ (E 1 ∩ E 2 ) ⊂ (A 1 ∩ A 2 ) 

⎪⎩ 

(C 1 \ A 2 ) ⊂ (E 1 \ E 2 ) ⊂ (A 1 \ C 2 ) 

(1.2.9) 

D’altra parte, per le proprietà delle operazioni sugli insiemi, si stabiliscono le seguenti: 

[ 

(A2 ∪ A 1 ) \ (C 2 ∪ C 1 ) ] = [ A 1 \ (C 1 ∪ C 2 ) ] ∪ [ A 2 \ (C 1 ∪ C 2 ) ] 

⊂ [ (A 1 \ C 1 ) ∪ (A 2 \ C 2 ) ] (1.2.10) 

e 

Inoltre vale: 

[ 

(A1 ∩ A 2 ) \ (C 1 ∩ C 2 ) ] = [ (A 1 ∩ A 2 ) \ C 1 

] 

∪ 

[ 

(A1 ∩ A 2 ) \ C 1 

] 

⊂ [ (A 1 \ C 1 ) ∪ (A 2 \ C 2 ) ] . 

(1.2.11) 

[ 

(A1 \ C 2 ) \ (C 1 \ A 2 ) ] = [ (A 1 \ C 2 ) ∩ (C 1 \ A 2 ) c] 

= [ (A 1 \ C 2 ) ∩ (C1 c ∪ A 2) ] 

(1.2.12) 

= [ (A 1 \ C 2 ) ∩ C1 

c ] [ ] 

∪ (A1 \ C 2 ) ∩ A 2 . 

Poiché poi risulta: 

{ [ 

(A1 \ C 2 ) ∩ C1 

c ] ( 

= A1 ∩ C2 c ∩ ) ( Cc 1 ⊂ A1 ∩ C1 

c ) 

=(A1 \ C 1 ) 

[ ] ( 

(A1 \ C 2 ) ∩ A 2 = A1 ∩ C2 c ∩ A ) ( ) 

2 ⊂ C 

c 

2 ∩ A 2 =(A2 \ C 2 ) 

dalla (1.2.12) segue: 

[ 

(A1 \ C 2 ) \ (C 1 \ A 2 ) ] ⊂ [ (A 1 \ C 1 ) ∪ (A 2 \ C 2 ) ] . 

Dalle relazioni trovate seguono evidentemente le a), b) e c). 

Teorema 1.2.5 Comunque si fissino E 1 ,E 2 ∈ L ,siha: 

d) µ(E 1 ∪ E 2 ) ≤ µ(E 1 )+µ(E 2 )


e) Se E 1 ∩ E 2 = ∅, alloraµ(E 1 ∪ E 2 )=µ(E 1 )+µ(E 2 ) 

f) Se E 1 ⊂ E 2 ,alloraµ(E 2 \ E 1 )=µ(E 2 ) − µ(E 1 ) e µ(E 1 ) ≤ µ(E 2 ) 

Dim. Fissiamo due successioni di aperti limitati (A k n) n∈N , k =1, 2, in modo che: 

A k n ⊃ E k e lim 

n→∞ µ(Ak n )=µ(E k) per k =1, 2 . (1.2.13) 

Ciò si ottiene applicando la Prop. 1.1.11, tenendo presente che µ(E k )=µ e (E k ). Inoltre, 

essendo E 1 ∪ E 2 misurabile, si avrà: 

µ(E 1 ∪ E 2 )=µ e (E 1 ∪ E 2 ) ≤ µ(A 1 n ∪ A 2 n) ∀ n ∈ N (1.2.14) 

e quindi: 

µ(E 1 ∪ E 2 ) ≤ lim 

n→∞ µ(A1 n ∪ A2 n ) ≤ lim 

n→∞ µ(A1 n ) + lim 

n→∞ µ(A2 n )=µ(E 1)+µ(E 2 ) (1.2.15) 

ed ècosì dimostrata la d). 

Utilizzando sempre la Prop. 

k =1, 2, in modo che: 

1.1.11, costruiamo ora due successioni di chiusi (C k n ) n∈N, 

C k n ⊂ E k ∀ n ∈ N e lim 

n→∞ µ(Ck n )=µ i(E k )=µ(E k ) per k =1, 2 . (1.2.16) 

Avremo allora: 

µ(E 1 ∪ E 2 )=µ i (E 1 ∪ E 2 ) ≥ µ(C 1 n ∪ C 2 n) ∀ n ∈ N . (1.2.17) 

Se E 1 ∩ E 2 = ∅, per ogni n ∈ N si avrà: 

C 1 n ∩ C 2 n = ∅ . 

Applicando la (1.1.40), si ottiene: 

µ(E 1 ∪ E 2 ) ≥ lim 

n→∞ µ(C1 n ∪ C2 n ) ≤ lim 

n→∞ µ(C1 n ) + lim 

n→∞ µ(C2 n )=µ(E 1)+µ(E 2 ) . (1.2.18) 

Tale disuguaglianza, insieme alla proprietà d) che vale in ogni caso, dimostra la e). 

Infine, per stabilire la f), osserviamo che, quando E 1 ⊂ E 2 ,siha: 

E 2 = E 1 ∪ (E 2 \ E 1 ) (1.2.19)


e gli insiemi misurabili E 1 e E 2 \ E 1 sono disgiunti. Si ha perciò: 

µ(E 2 )=µ(E 1 )+µ(E 2 \ E 1 ) (1.2.20) 

eciòdimostralaf). 

La proprietà d) esprime la proprietà subadditiva e viene facilmente estesa a unioni finite. 

La proprietà e) esprime la proprietà additiva (già nota per la misura secondo Peano-Jordan) 

e, come la d), viene estesa con la seguente: 

Prop. 1.2.6 Comunque si fissi un numero finito di elementi di L , E 1 ,E 2 ,...,E n ,aduea 

due disgiunti, la loro unione appartiene a L erisulta: 

( n 

) 

⋃ 

n∑ 

µ E k = µ(E k ) . (1.2.21) 

k=1 k=1 

Dim. Segue facilmente dalla e), ragionando per induzione. 

Le proprietà d), e) e f), con le loro ovvie estensioni a unioni finite, sussistono, come è noto, 

anche per la teoria della misura secondo Peano-Jordan. La differenza essenziale e la maggiore 

utilità della teoria della misura secondo Lebesgue è contenuta in un teorema che mostreremo 

tra poco. Premettiamo il seguente: 

Lemma 1.2.7 Se A è un aperto limitato che risulta unione numerabile di una successione di 

aperti qualunque: 

∞⋃ 

A = A k , 

k=1 

è vera la seguente proprietà: 

( ν 

) 

⋃ 

∀ ε ∈ R + ∃ ν ∈ N t.c. µ A k >µ(A) − ε (1.2.22) 

k=1 

einoltre: 

( ) 

ν⋃ 

µ A \ A k µ(A) − ε e C è chiuso . (1.2.23)


D’altra parte: 

∞⋃ 

C ⊂ A = A k , 

perciò (A k ) N è un ricoprimento aperto di C. Ma C è chiuso e limitato in R s e dunque è 

compatto: esistono allora un numero finito di A k la cui unione ricopre C. Sia dunque: 

ν⋃ 

C ⊂ A k . 

k=1 

k=1 

Se ne deduce: 

( ν 

) 

⋃ 

µ(A) − ε


Dim. Fissato ε ∈ R + , essendo tutti gli E k misurabili e limitati, si possono trovare, per 

ogni k ∈ N, un aperto limitato A k e un chiuso C k tali che: 

C k ⊂ E k ⊂ A k e µ(A k ) − µ(C k ) < ε 

2 k . (1.2.26) 

Occorre usare la precauzione di prendere gli aperti A k contenuti tutti in un fissato intervallo 

aperto I, contenente tutti gli E k . Come conseguenze di ciò, l’unione di tutti gli A k che vengono 

costruiti con la (1.2.26) è contenuta in I, cioè: 

A = 

∞⋃ 

A k (1.2.27) 

sarà un aperto limitato contenuto in I. Introduciamo gli insiemi chiusi: 

Φ m = 

k=1 

m⋃ 

C k m =1, 2, 3,... . 

k=1 

Si riconosce che: 

[( ) ( 

m⋃ 

m 

)] 

⋃ 

(A \ Φ m )= A \ A k ∪ A k \ Φ m 

k=1 

k=1 

{( ) [ 

m⋃ 

m 

]} 

⋃ 

⊂ A \ A k ∪ (A k \ C k ) 

k=1 

k=1 

. 

Per tale inclusione, basta osservare che: 

( 

⋃ m 

) ( 

m⋃ 

m 

) ( 

⋃ ⋂ m 

A k \ C h = A k ∩ 

k=1 

h=1 

⊂ 

= 

k=1 

m⋃ 

(A k ∩ Ck c ) 

k=1 

m⋃ 

(A k \ C k ) . 

k=1 

Considerando m = ν come nel Lemma 1.2.7, siavrà: 

( 

µ(A \ Φ ν ) ≤ µ A \ 

≤ ε + 

ν∑ 

k=1 

h=1 

C c h 

) 

) [ 

ν⋃ 

ν 

] 

⋃ 

A k + µ (A k \ C k ) 

k=1 

ε 

2 k < 2 ε. 

k=1


Ciò prova la contiguità dei due insiemi numerici X(E) eY (E) e quindi la α). 

Poiché tutti gli E k sono contenuti in I, siha: 

( ) 

∞⋂ 

∞⋂ 

∞⋃ 

E k = I \ I \ E k = I \ (I \ E k ) , (1.2.28) 

k=1 

k=1 

k=1 

cioè l’intersezione degli E k coincide con il complemento a I dell’unione dei complementi degli 

E k a I. Poiché E k ∈ L , allora risulta: 

(I \ E k ) ∈ L 

e, per la α): 

Si avrà inoltre: [ 

e quindi la β). 

∞⋃ 

(I \ E k ) ∈ L . 

k=1 

I \ 

] 

∞⋃ 

(I \ E k ) ∈ L 

k=1 

Con le stesse premesse della proprietà α) risulta: 

∞⋃ 

E = E k ∈ L 

k=1 

epoiché E è contenuto in A definito dalla (1.2.27), per la proprietà di monotonia è anche: 

µ(E) ≤ µ(A) . 

Utilizzando il Lemma 1.2.7 abbiamo perciò: 

( ∞ 

) ( 

⋃ 

ν 

) 

⋃ 

µ E k ≤ µ(A)


In virtù della premessa nell’ipotesi della δ), costruiti i sottoinsiemi chiusi C k conformemente 

alla (1.2.26), tali sottoinsiemi C k saranno a due a due disgiunti. Essendo: 

avremo: 

e 

m⋃ 

C k ⊂ E ∀ m ∈ N , 

k=1 

( m 

) ( 

⋃ 

∞ 

) 

⋃ 

µ C k ≤ µ E n 

k=1 

( m 

) 

⋃ 

µ C k = 

k=1 

D’altra parte sempre dalla (1.2.26) siricava: 

µ(C k ) >µ(A k ) − 

n=1 

(1.2.30) 

m∑ 

µ(C k ) . (1.2.31) 

k=1 

Deduciamo allora dalle (1.2.30), (1.2.31) e(1.2.32): 

e quindi: 

da cui segue: 

( ∞ 

) 

⋃ 

µ E k ≥ 

k=1 

∀ m ∈ N 

ε 

2 k ≥ µ(E k) − ε 

2 k . (1.2.32) 

m∑ 

µ(C k ) ≥ 

k=1 

m∑ 

µ(E k ) − 

k=1 

ε 

2 k (1.2.33) 

( 

m∑ 

∞ 

) 

⋃ 

µ(E k ) ≤ µ E k + ε, (1.2.34) 

k=1 

k=1 

( 

∞∑ 

∞ 

) 

⋃ 

µ(E k ) ≤ µ E k + ε. (1.2.35) 

k=1 

Data l’arbitrarietà diε, deduciamo: 

che, con la γ), conduce alla δ). 

k=1 

( 

∞∑ 

∞ 

) 

⋃ 

µ(E k ) ≤ µ E k , (1.2.36) 

k=1 

k=1 

Il vincolo di aver considerato finora insiemi limitati di R s viene superato introducendo una 

classe di insiemi misurabili ben più ampiadiL : 

Def. 1.2.9 Un sottoinsieme qualunque E di R s si dice misurabile secondo Lebesgue se, 

qualunque sia I ∈ L , (E ∩ I) ∈ L . Si indica con L ˜ la classe di tutti gli insiemi misurabili


secondo Lebesgue. Si ha allora: 

E ∈ 

˜ L ⇐⇒ (E ∩ I) ∈ L ∀ I ∈ L . (1.2.37) 

La misura di Lebesgue µ viene estesa in modo naturale da L in 

˜ L : 

Def. 1.2.10 La misura di Lebesgue su 

˜ L viene definita da: 

∀ E ∈ 

˜ L : 

˜µ(E) =supµ(E ∩ I) . (1.2.38) 

I∈L 

E’ facile riconoscere: 

L ⊂ 

˜ L ; ˜µ(E) =µ(E) ∀ E ∈ L . (1.2.39) 

La prima infatti si deduce facilmente dal fatto che L è chiuso rispetto all’intersezione, mentre 

la seconda è ovvia conseguenza del fatto che quando E ∈ L ,˜µ(E) èunmassimoecoincide 

con µ(E). 

E’ evidente che ˜µ(E) può assumere anche il valore +∞, come accade per R s : 

˜µ(R s )=supµ(R s ∩ I) =supµ(I) =+∞ . (1.2.40) 

I∈L 

I∈L 

Teorema 1.2.11 La classe L˜ 

è chiusa rispetto al complemento relativo, all’unione finita o 

numerabile e all’intersezione finita o numerabile. 

Dim. SeE ∈ 

˜ L , per ogni I ∈ L si ha: 

(I ∩ E) ∈ L 

e conseguentemente: 

Si deduce allora: 

Se E 1 ,E 2 ∈ 

˜ L , allora: 

(I ∩ E c )= [ I \ (I ∩ E) ] ∈ L . 

E c ∈ 

˜ L . 

(E 1 \ E 2 )=(E 1 ∩ E c 2 ) ∈ ˜ L . 

Infatti, per ogni I ∈ L : 

[ 

I ∩ (E1 \ E 2 ) ] = [ I ∩ (E 1 ∩ E2 c )] = [ (I ∩ E 1 ) ∩ E2 

c ] 

∈ L ,


poiché (I ∩ E 1 ) ∈ L (in quanto E 1 ∈ 

Proviamo che 

elementi di 

L ˜ )eE2 c ∈ L ˜ .Daciò segue allora: 

E 1 \ E 2 ∈ 

˜ L . 

˜ L è chiusa rispetto all’unione numerabile. Sia (E k ) N 

una successione di 

˜ L . Allora, per ogni I ∈ L : 

[ ( ∞ 

)] 

⋃ 

I ∩ E k = 

k=1 

∞⋃ 

(I ∩ E k ) ∈ L . 

Infatti (I ∩ E k ) N è una successione di elementi di L tutti contenuti in I. Poiché L è chiusa 

rispetto all’unione finita o numerabile, allora: 

Da ciò segue, per definizione: 

k=1 

k=1 

∞⋃ 

(I ∩ E k ) ∈ L . 

k=1 

∞⋃ 

E k ∈ L ˜ . 

k=1 

D’altra parte L˜ 

è chiusa anche rispetto all’intersezione finita o numerabile poiché: 

[ ( )] [ 

] 

∞⋂ 

∞⋂ 

∞⋃ 

E k = E 1 \ E 1 \ E k = E 1 \ (E 1 \ E k ) 

(1.2.41) 

k=1 

per una delle formule di De Morgan. Se gli E k sono tutti in 

(E 1 \ E k )sonoinL ˜ , mentre per la seconda parte: 

∞⋃ 

k=1 

(E 1 \ E k ) ∈ ˜ L . 

Allora, ancora per la prima parte, si ha: 

[ 

] 

∞⋃ 

E 1 \ (E 1 \ E k ) ∈ L ˜ 

k=1 

eilTeoremaè completamente dimostrato. 

k=1 

˜ L , per la prima parte tutti gli 

Sussiste infine il seguente: 

Teorema 1.2.12 La funzione di insieme ˜µ è finitamente e numerabilmente subadditiva in L ˜ ; 

inoltre è finitamente e numerabilmente additiva.


Dim. Sia(E k ) N 

una successione di elementi di 

[( ∞ 

) ] [ 

⋃ 

∞ 

] 

⋃ 

µ E k ∩ I = µ (E k ∩ I) ≤ 

k=1 

k=1 

˜ L . Fissato I ∈ L , osserviamo che: 

∞∑ 

µ(E k ∩ I) 

per la numerabile subadditività della µ, essendo tutti gli insiemi (E k \ I) N 

contenuti nell’insieme 

I. Ma, per la definizione di ˜µ: 

µ(E k ∩ I) ≤ ˜µ(E k ) . 

k=1 

Avremo perciò: 

( ∞ 

) [( 

⋃ 

∞ 

) ] 

⋃ 

∞∑ 

˜µ E k =supµ 

E k ∩ I ≤ sup µ(E k ∩ I) 

k=1 

I∈L 

k=1 

I∈L 

k=1 

∞∑ 

∞∑ 

≤ sup µ(E k ∩ I) = ˜µ(E k ) . 

k=1 

I∈L 

k=1 

(1.2.42) 

Per stabilire la finita subadditività, si può procedere in modo identico, mettendosi nel caso 

in cui esiste un m ∈ N tale che: 

E k = ∅ ∀ k>m. 

Dimostriamo infine la numerabile additività. Ammettiamo che gli elementi della successione 

(E k ) N 

siano a due a due disgiunti e appartenenti a L ˜ ,cioè: 

Consideriamo allora il caso in cui: 

E h ∩ E k = ∅ per h ≠ k. 

∃ l ∈ N t.c. ˜µ(E l )=+∞ . 

In questa circostanza risulta: 


Allora risulta: 

∞∑ 

˜µ(E k )=+∞ . 

k=1 

∞⋃ 

E k ⊃ E l . 

k=1 

[( ∞ 

) ] 

⋃ 

(E l ∩ I) ⊂ E k ∩ I , 

k=1


e 

∞∑ 

µ(E l ∩ I) ≤ µ(E k ∩ I) , 

k=1 

Quindi: 

( ∞ 

) 

⋃ 

˜µ(E l )=+∞ =⇒ ˜µ E k =+∞ 

e perciò l’uguaglianza nella numerabile additività si riduce a +∞ =+∞. 

k=1 

Escluso questo caso, rimane il caso in cui: 

˜µ(E k ) < +∞ ∀ k ∈ N , (1.2.43) 

cioè gli insiemi coinvolti sono tutti di misura finita. Intanto, dalla numerabile additività della 

µ applicata agli insiemi a due a due disgiunti E h ∩ I e E k ∩ I, ricaviamo: 

[( ∞ 

) ] 

⋃ 

∞∑ 

µ E k ∩ I = µ(E k ∩ I) . (1.2.44) 

k=1 

k=1 

La serie a secondo membro è inoltre convergente, essendo certamente: 

∞∑ 

µ(E k ∩ I) ≤ µ(I) < +∞ 

k=1 

Dalla (1.2.44) segue allora: 

( 

∞∑ 

∞ 

) 

⋃ 

µ(E k ∩ I) ≤ ˜µ E k 

k=1 

k=1 

∀ I ∈ L (1.2.45) 

e anche: 

( 

m∑ 

∞ 

) 

⋃ 

µ(E k ∩ I) ≤ ˜µ E k ∀ I ∈ L , ∀ m ∈ N . (1.2.46) 

k=1 

k=1 

Applicando la definizione di ˜µ, fissato ad arbitrio m ∈ N, abbiamo che: 

∀ ε ∈ R + ∀ k ∈ { 1,...,m } ∃ I k ∈ L t.c. µ(E k ∩ I k ) > ˜µ(E k ) − ε m . (1.2.47) 

Poniamo poi: 

m⋃ 

J = I k . 

k=1


Evidentemente risulta J ∈ L einoltre: 

[ 

⋃ m 

] 

(E k ∩ J) 

Si deduce allora, per la (1.2.47): 

k=1 

[ m 

] [ 

⋃ 

m 

] 

⋃ 

µ (E k ∩ J) ≥ µ (E k ∩ I k ) = 

k=1 

k=1 

⊃ 

m⋃ 

(E k ∩ I k ) . (1.2.48) 

k=1 

m∑ 

µ(E k ∩ I k ) > 

k=1 

m∑ 

˜µ(E k ) − ε. 

La (1.2.46) consente allora di dedurre, tenendo sempre conto che gli insiemi (E k ∩ J) N 

sono a 

due a due disgiunti: 

[ 

m∑ 

m 

] 

( 

⋃ 

m∑ 

m 

) 

⋃ 

˜µ(E k ) − ε ≤ µ (E k ∩ J) = µ(E k ∩ J) ≤ ˜µ E k . 

k=1 

k=1 

k=1 

k=1 

k=1 

Pertanto, per l’arbitrarietà diε edim, si deduce: 

( 

∞∑ 

∞ 

) 

⋃ 

˜µ(E k ) ≤ ˜µ E k 

k=1 

k=1 

. 

Tale disuguaglianza, insieme alla (1.2.42), conduce alla conclusione: 

( ∞ 

) 

⋃ 

∞∑ 

˜µ E k = ˜µ(E k ) . (1.2.49) 

k=1 k=1 

La dimostrazione fatta vale anche nel caso in cui la serie a secondo membro èdivergente 

ecioè quando: 

( ∞ 

) 

⋃ 

˜µ E k =+∞ . 

k=1 

Il Teorema è dunque completamente dimostrato. 

Sono importanti e utili i successivi teoremi riguardanti le successioni monotone di insiemi 

misurabili: 

Teorema 1.2.13 Per ogni successione (E k ) N 

di L˜ 

che sia crescente rispetto alla relazione di 

inclusione, cioè E k ⊂ E k+1 per ogni k ∈ N, siha: 

˜µ 

( ∞ 

⋃ 

k=1 

E k 

) 

= lim 

n→∞ ˜µ(E n) . (1.2.50)


Per ogni successione (E k ) N 

di L˜ 

che sia decrescente rispetto alla relazione di inclusione, cioè 

E k ⊃ E k+1 per ogni k ∈ N, si ha: 

˜µ 

( ∞ 

⋂ 

k=1 

E k 

) 

= lim 

n→∞ ˜µ(E n) . (1.2.51) 

Dim. Se(E k ) N è crescente, si ha: 

elasuccessionedielementidi 

[ 

∞⋃ 

∞ 

] 

⋃ 

E k = E 1 \ (E k+1 \ E k ) 

k=1 

˜ L : 

k=1 

E 1 , (E 2 \ E 1 ), (E 3 \ E 2 ),...,(E n \ E n−1 ),... 

è costituita da insiemi misurabili a due a due disgiunti. Per la proprietà additiva si ha: 

( ∞ 

) 

⋂ 

∞∑ 

˜µ E k =˜µ(E 1 )+ 

k=1 

k=1 

˜µ(E k+1 \ E k ) = lim 

n→∞ ˜µ(E n) . 

Se (E k ) N è decrescente, si ha: 

[ ( 

∞⋂ 

∞ 

)] [ 

⋂ 

∞ 

] 

⋃ 

E k = E 1 \ E 1 \ E k = E 1 \ (E 1 \ E k ) 

k=1 

k=1 

k=1 

elasuccessione(E 1 \ E k ) N è crescente. Poiché risulta: 

[ ( ∞ 

)] 

⋂ 

E 1 \ E k ⊂ E 1 , 

k=1 

abbiamo: 

( ∞ 

) [ 

⋂ 

∞ 

] 

⋃ 

˜µ E k =˜µ(E 1 ) − ˜µ (E 1 \ E k ) 

k=1 

k=1 

=˜µ(E 1 ) − lim 

[˜µ(E1 ) − ˜µ(E n ) ] , 

n→∞ 

=˜µ(E 1 ) − lim 

n→∞ ˜µ(E 1 \ E n ) 

che è esattamente la (1.2.51).


Si osservi che, per le successioni monotone di insiemi, risulta: 

(E k ) N 

crescente =⇒ lim 

n→∞ E n = 

(E k ) N decrescente =⇒ lim 

n→∞ E n = 

Le proprietà (1.2.50) e(1.2.51), che valgono comunque in 

proprietà dicontinuità della ˜µ in 

formula: 

lim ˜µ(E n)=˜µ ( lim E ) 

n . 

n→∞ n→∞ 

∞⋃ 

k=1 

∞⋂ 

k=1 

E k 

E k 

˜ L per la ˜µ, esprimono una precisa 

˜ L . Tali proprietà possono infatti essere sintetizzate con la 

1.3 Anelli e algebre di insiemi 

Fissato un qualunque insieme non vuoto S, introduciamo la seguente: 

Def. 1.3.1 Una parte non vuota R di ℘(S) si dice Anello (o anche Anello Booleano) se: 

A) ∀ E,F ∈ R : (E \ F ) ∈ R e (E ∪ F ) ∈ R. 

Si dice poi che R èunaAlgebra (o Algebra Booleana) seèunAnelloeinoltre: 

B) ∀ E ∈ R : E c ∈ R, 

essendo E c =(S \ E). 

Si può illustrare tale definizione affermando che un anello èuninsieme di sottoinsiemi di 

S che è chiuso rispetto al complemento relativo e all’unione finita e che un’algebra è un anello 

chiuso anche rispetto al complemento assoluto. 

E’ facile stabilire che un anello è chiuso anche rispetto alla Differenza simmetrica △, 

definita come: 

(E△F ):=[(E \ F ) ∪ (F \ E)] (1.3.1) 

e rispetto all’intersezione finita, in quanto: 

(E ∩ F ):=[(E ∪ F ) \ (F △E)] . (1.3.2) 

Delle stesse proprietà gode evidentemente ogni algebra. 

E’ fondamentale osservare che ogni anello ha l’insieme vuoto ∅ come suo elemento in quanto, 

fissato E ∈ R, (E \ E) ∈ R e(E \ E) =∅. Ciò che contraddistingue un’algebra R rispetto a 

un anello è che ogni algebra R ha l’universo S tra i suoi elementi, essendo ∅ c = S.

Anelli e algebre di insiemi 35 

La classe P di tutti i plurintervalli di R s è forse l’esempio più elementare di anello. 

Se in R s fissiamo un intervallo non vuoto I e indichiamo con P I la classe di tutti i 

plurintervalli di R s contenuti in I, si stabilisce facilmente che P I è un’algebra. Ugualmente 

la classe P − J di tutti i sottoinsiemi di R s che sono misurabili secondo Peano-Jordan èun 

anello e la classe (P − J) I di tutti sottoinsiemi di un intervallo I che sono misurabili secondo 

Peano-Jordan è un’algebra. 

E’ utile, per entrare nell’ordine di idee di una teoria generale della misura, tener presente 

che, fissato un qualunque insieme S, la classe ℘(S) di tutti i sottoinsiemi di S è un’algebra. 

Se S è infinito, l’algebra ℘(S) contiene infiniti sottoanelli. Infatti, per ogni sottoinsieme non 

vuoto S 1 di S, ℘(S 1 )è un sottoanello di ℘(S). E’ utile osservare che ogni ℘(S 1 ), come l’insieme 

di tutti i sottoinsiemi di S 1 ,è un’algebra. Come struttura inserita in ℘(S) è semplicemente 

un sottoanello. 

Fondamentale è la seguente: 

Prop. 1.3.2 Assegnata una famiglia (R α ) α∈J di sottoanelli di ℘(S), ponendo: 

R I = ⋂ α∈J 

R α , (1.3.3) 

si ha che R I è un sottoanello di ℘(S). 

Dim. Utilizzando la definizione di intersezione, si ha: 

E,F ∈ ⋂ α∈J 

R α ⇐⇒ ∀ α ∈ J : E,F ∈ R α 

=⇒ ∀α ∈ J : (E \ F ) ∈ R α e (E ∪ F ) ∈ R α 

(1.3.4) 

=⇒ (E \ F ) ∈ ⋂ α∈J 

R α e (E ∪ F ) ∈ ⋂ α∈J 

R α . 

Ciò significa che R I verifica la condizione A). 

Più in generale vale: 

Teorema 1.3.3 Assegnata una famiglia (R α ) α∈J di sottoalgebre di ℘(S) o di Strutture insiemistiche, 

verificanti tutte delle assegnate proprietà riguardanti Relazioni insiemistiche, la 

loro intersezione R I è una sottoalgebra di ℘(S) o una Struttura della stessa natura delle R α . 

La successiva definizione viene introdotta per generalizzare il legame tra la classe degli 

intervalli di R s e quella dei plurintervalli. 

Def. 1.3.4 Fissato un qualunque sottoinsieme E di ℘(S), siindicaconR(E ) il più piccolo 

sottoanello di ℘(S) che contiene E .AlloraR(E ) si chiama Anello generato da E .


Tale definizione è ben posta. Infatti, indichiamo con (R α ) α∈J la classe di tutti i sottoanelli 

di ℘(S) che contengono E . Allora (R α ) α∈J è non vuota poiché ℘(S) è certamente un R α .E’ 

facile verificare, per il Teorema 1.3.3, che: 

R(E )=R I = ⋂ R α . (1.3.5) 

α∈J 

Infatti R I è un sottoanello di ℘(S)eR I contiene E . Si ha inoltre che, comunque si consideri un 

R sottoanello di ℘(S), con R ⊃ E , R è un elemento della famiglia (R α ) α∈J e di conseguenza: 

R I ⊂ R 

eciò vuol dire che R I èilpiù piccolo, rispetto alla relazione di inclusione, tra i sottoanelli che 

contengono E .Daciòseguela(1.3.5). 

Se I s indica l’insieme di tutti gli intervalli di R s , l’anello generato da I s non èaltroche 

la classe P di tutti i plurintervalli di R s . Questo risultato, comprensibile intuitivamente, può 

essere dedotto rigorosamente dalla: 

Prop. 1.3.5 Se E è una parte non vuota di ℘(S), ogni elemento dell’anello R(E ) ha la 

proprietà di possedere un ricoprimento finito costituito da elementi di E . 

Dim. Indichiamo con A E la classe di tutti i sottoinsiemi di S che possiedono un ricoprimento 

finito costituito da elementi di E . Osserviamo in primo luogo che: 

E ⊂ A E . (1.3.6) 

Infatti ogni elemento E di E ha come ricoprimento {E}. 

Proviamo che A E è un anello. Siano I 1 ,I 2 ∈ A E : allora esistono { E (1) 

{ (2) 

} 

E 1 ,E(2) 2 ,...,E(2) m ,ricoprimentidiI1 e I 2 con elementi di E .Siacioè: 

I 1 ⊂ 

n⋃ 

h=1 

Poiché abbiamo: 

E (1) 

h ; I 2 ⊂ 

(I 1 \ I 2 ) ⊂ 

n⋃ 

h=1 

m⋃ 

k=1 

E (2) 

1 ,E(1) 

} 

2 ,...,E(1) n e 

k 

con E (1) 

h 

,E(2) k 

∈ E per h =1,...,n k =1,...,m. 

E (1) 

h 

e (I 1 ∪ I 2 ) ⊂ 

[( n 

⋃ 

h=1 

E (1) 

h 

) ( 

⋃ m 

∪ 

k=1 

E (2) 

k 

)] 

, 

(1.3.7) 

allora (I 1 \ I 2 ) ∈ A E e(I 1 ∪ I 2 ) ∈ A E .Ciò significa che A E è un anello. Poiché A E contiene E , 

A E contiene anche R(E ), che èilpiù piccolo sottoanello di ℘(S) che contiene E . Perciò ogni 

elemento di R(E )halaproprietà di possedere un ricoprimento finito costituito da elementi di


E . 

Osservazione. Il significato formale della Prop. 1.3.5 è: 

∀ I ∈ R(E ) ∃ { } 

n⋃ 

E 1 ,E 2 ,...,E n con Ek ∈ E per k =1,...,n t.c. I ⊂ E k . (1.3.8) 

k=1 

E’ importante osservare che è anche utile introdurre ˜R(E )comelapiù piccola sottoalgebra 

di ℘(S) che contiene E e chiamarla Algebra generata da E . Si può provare l’esistenza di 

˜R(E ) con un procedimento del tutto analogo a quello messo in opera per R(E ). Tuttavia è 

necessario osservare che per R(E ) non sussiste l’analoga della Prop. 1.3.5, amenochenonsi 

ammetta che l’universo S possieda un ricoprimento finito mediante elementi di E . 

Def. 1.3.6 Una parte non vuota L di ℘(S) si dice un σ-Anello (o anche σ-Anello Booleano) 

se èunanelloeinoltre: 

C) ∀ (E k ) N 

∈ L N =⇒ 

∞⋃ 

E k ∈ L . 

k=1 

Se L è un’algebra e verifica la C), sidicecheL èunaσ-Algebra. 

E’ evidente che ℘(S) è una σ-algebra. Anche ora possiamo illustrare tale definizione 

affermando che un σ-anello è un insieme di sottoinsiemi di S chiuso rispetto al complemento 

relativo e all’unione finita o numerabile. Facilmente si dimostra che ogni σ-anello èchiuso 

anche rispetto all’intersezione numerabile. Della stessa proprietà gode ogni σ-algebra. 

Def. 1.3.7 Fissato un qualunque sottoinsieme E di ℘(S), indicheremoconL (E ) il σ-anello 

generato da E ,cheèilpiù piccolo σ-sottoanello di ℘(S) che contiene E . Indicheremo poi con 

L ˜(E ) la σ-algebra generata da E . 

Osserviamo che il Teorema 1.3.3 garantisce l’esistenza di L (E )ediL ˜(E ). 

La classe L di tutti i sottoinsiemi limitati misurabili secondo Lebesgue è un fondamentale 

esempio di σ-anello in R s . 

Se si fissa un qualunque intervallo non vuoto I di R s , la classe L I di tutti i sottoinsiemi 

di I che sono misurabili secondo Lebesgue ci fornisce un esempio di σ-algebra. 

La classe L˜ 

di tutti i sottoinsiemi di R s che sono misurabili secondo Lebesgue è l’esempio 

più importantediσ-algebra. 

Def. 1.3.8 Un sottoinsieme non vuoto M di ℘(S) si chiama Classe monotona se per ogni 

successione monotona (E k ) N 

di elementi di M si ha: 

lim E k ∈ M . 

k→∞


Conformemente al Teorema 1.3.3, è lecito introdurre, per ogni fissato sottoinsieme E di 

℘(S), la classe monotona M (E ) generata da E . Allora M (E ) risulta essere la più piccola 

classe monotona contenente E . 

Molto utile è il seguente: 

Teorema 1.3.9 Ogni σ-anello è una classe monotona; ogni anello che sia una classe monotona 

èunσ-anello. 

Dim. Poiché ogni σ-anello è chiuso rispetto all’unione numerabile e rispetto all’intersezione 

numerabile, è evidente la prima parte del Teorema. 

Per la seconda parte, fissata una qualunque successione (E k ) N 

di elementi di M , dal fatto 

che M è un anello si deduce che: 

n⋃ 

E k ∈ M ∀ n ∈ N . 

k=1 

La successione di elementi di M : ( 

⋃ n 

) 

E k 

k=1 n∈N 

è crescente e conseguentemente si avrà: 

( 

∞⋃ ⋃ n 

) 

∞⋃ 

E k = E h ∈ M . 

Ciò significa che M èunσ-anello. 

n=1 k=1 h=1 

Teorema 1.3.10 Fissato comunque un anello R, la classe monotona M (R) generata da R 

èunσ-anello e coincide con il σ-anello L (R) generato da R. Inoltre se una classe monotona 

M contiene un anello R, alloraM contiene anche L (R). 

Dim. Poiché, per il Teorema 1.3.9, L (R) è una classe monotona che contiene R, siha: 

L (R) ⊃ M (R) . 

Proviamo che M (R) èunσ-anello. Fissato un elemento F ∈ ℘(S), poniamo: 

K F = { E ∈ ℘(S) t.c. (E \ F ), (F \ E), (E ∪ F ) ∈ M (R) } . (1.3.9) 

Poiché le condizioni che definiscono K F sono simmetriche rispetto a E eaF ,risulta: 

E ∈ K F ⇐⇒ F ∈ K E .


Mostriamo che K F è una classe monotona, qualunque sia F . Sia allora (E n ) N 

una successione 

monotona di elementi di K F . Siano, cioè, per ogni n ∈ N: 

(E n \ F ) , (F \ E n ) e (E n ∪ F ) (1.3.10) 

elementi di M (R). Poiché dalla monotonia di (E n ) N 

segue automaticamente la monotonia 

delle tre successioni definite con la (1.3.10), avremo: 

lim (E n \ F )= [ ( lim E n) \ F ] ∈ M 

n→∞ n→∞ 

lim (F \ E n)= [ F \ ( lim E n) ] ∈ M 

n→∞ n→∞ 

lim (E n ∪ F )= [ ( lim E n) ∪ F ] ∈ M 

n→∞ n→∞ 

eciò significa: 

(lim E n ) ∈ K F . 

Possiamo allora concludere che K F è una classe monotona. Poiché R è una anello e M (R) 

è generata da R, per ogni E ∈ R e per ogni F ∈ R, abbiamo E ∈ K F ,cioè R ⊂ K F . Si 

deduce allora che: 

M (R) ⊂ K F ∀ F ∈ R , (1.3.11) 

in quanto K F è una classe monotona che contiene R e M (R)èlapiù piccola con tale proprietà. 

Poiché: 

∀ E ∈ M (R) : E ∈ K F ⇐⇒ F ∈ K E , 

dalla (1.3.11) segue: 

M (R) ⊂ K E ∀ E ∈ M (R) . (1.3.12) 

La (1.3.12) significa che, comunque si fissino E e F appartenenti a M (R), risulta: 

(E \ F ) ∈ M (R) e (E ∪ F ) ∈ M (R) , 

ossia che M (R) è un anello. Dalla seconda parte del Teorema 1.3.9 segue allora che M (R) è 

un σ-anello e perciò: 

L (R) ⊂ M (R) . 

Si conclude quindi L (R) =M (R) ecioèlatesi.


1.4 Struttura degli insiemi misurabili secondo Lebesgue 

Nel Paragrafo 1.2 abbiamo introdotto la σ-algebra L ˜ degli elementi di ℘(R s ) che sono misurabili 

secondo Lebesgue. D’ora in poi la indicheremo con L (R s ) o, quando non ci siano equivoci, 

semplicemente con L . Quando vorremo riferirci a elementi di ℘(R s ) che siano misurabili e 

limitati, lo diremo esplicitamente. Ugualmente, la “misura” di Lebesgue su L (R s )(osuL ) 

sarà indicata con µ e quando sarà necessario si scriverà anche µ s . Ricordiamo infine che µ su 

L può assumere il valore +∞, come accade in R s . 

Si dice che µ è una misura σ-finita su L per indicare che soddisfa la seguente condizione: 

A) Per ogni E ∈ L , esiste una successione (E n ) N 

, i cui elementi sono misurabili e di misura 

finita, tale che: 

µ(E) = lim µ(E n) . 

n→∞ 

Tale proprietà viene stabilita fissando una successione crescente (I n ) N 

di insiemi misurabili e 

limitati, aventi per limite R s : 

∞⋃ 

R s = lim I n = I n , 

n→∞ 

verificanti la condizione: 

n=1 

B) Per ogni insieme limitato E di R s , esiste un n ∈ N tale che: 

I n ⊃ E. 

Si può prendere, per esempio, I n = B(0,n)oancheI n = [ −n, n ] s e porre: 

E n = E ∩ I n . 

E’ facile verificare che, per la proprietà B), il valore del limite che figura nella A) è indipendente 

dalla successione (I n ) N 

fissata. 

D’ora in poi indicheremo con A la classe di tutti i sottoinsiemi di R s che sono aperti e con 

C quella dei sottoinsiemi chiusi. Si estende facilmente la Prop. 1.1.3 esaràancoravalidala 

(1.1.23), dove la serie che figura a secondo membro può ora essere divergente. 

Le funzioni di insieme µ e e µ i , che abbiamo definito sui sottoinsiemi limitati di R s , vengono 

estese in modo ovvio a tutto ℘(R s ). Si pone: 

{ } 

µ e (E) = inf µ(A) 

A∈A ,A⊃E 

{ } 

µ i (E) = sup µ(C) 

C∈C ,C⊂E 

∀ E ∈ ℘(R s ) (1.4.1) 

∀ E ∈ ℘(R s ) (1.4.2)

Struttura degli insiemi misurabili secondo Lebesgue 41 

Evidentemente µ e e µ i , che sono definite su tutto R s , possono ora assumere anche il valore 

+∞ erisulta: 

µ i (∅) =µ e (∅) =0 e µ i (R s )=µ e (R s )=+∞ . 

E’evidentecheseesisteunA ∈ A , A ⊃ E, talecheµ(A) < +∞, allora sarà µ e (E) < +∞. 

Per la monotonia della misura sugli aperti e sui chiusi, sarà anche µ i (E) < +∞. Se invece 

non esiste alcun aperto contenente E che sia di misura finita, si porrà µ e (E) =+∞. Siavrà 

in ogni caso: 

µ i (E) ≤ µ e (E) ∀ E ∈ ℘(R s ) . (1.4.3) 

Possiamo dimostrare la seguente: 

Prop. 1.4.1 Per ogni insieme misurabile E si ha: 

µ i (E) =µ e (E) . 

Dim. Introduciamo una partizione di R s in intervalli semiaperti a destra a due a due 

disgiunti: 

∞⋃ 

R s = 

eponiamo: 

Avremo: 

Q k 

k=1 

E k = E ∩ Q k . 

E = 

e, per la numerabile additività della misura: 

µ(E) = 

∞⋃ 

k=1 

E k 

∞∑ 

µ(E k ) . 

k=1 

Poiché ogni E k è misurabile e limitato, possiamo fissare, assegnato un ε ∈ R + ,unapertoA k 

e un chiuso C k in modo che: 

C k ⊂ E k ⊂ A k e µ(A k ) − µ(C k ) < ε 

2 k . 

Avremo anche: 

e 

µ(A k ) µ(E k ) − 

ε 

2 k 

ε 

2 k .


Conseguentemente si ha: 

∞∑ 

∞∑ 

µ(A k ) < µ(E k )+ε (1.4.4) 

k=1 

∞∑ 

µ(C k ) > 

k=1 

k=1 

k=1 

∞∑ 

µ(E k ) − ε (1.4.5) 

Se µ(E) =+∞, allora µ e (E) =+∞ e, dalla (1.4.5), si deduce che µ i (E) =+∞. Se invece 

µ(E) < +∞, dalle (1.4.4) e(1.4.5) si deduce comunque la tesi. 

Per poter approfondire lo studio degli insiemi misurabili secondo Lebesgue è fondamentale 

la seguente: 

Def. 1.4.2 Si indica con B(R s ), o semplicemente con B, la σ-algebra di ℘(R s ) generata 

dalla famiglia degli intervalli semiaperti a destra di R s . La σ-algebra B viene chiamata la 

σ-algebra degli Insiemi di Borel oanchelaTribùdiBorel. Gli elementi di B sono detti 

“iboreliani”. 

Poiché B è chiusa rispetto all’unione numerabile, fanno parte di B tutti gli aperti. Poiché 

inoltre B è chiusa rispetto al complemento assoluto, fanno parte di B tutti i sottoinsiemi 

chiusi. Si ha cioè: 

A ⊂ B e C ⊂ B . (1.4.6) 

Appartengono a B anche le intersezioni numerabili di sottoinsiemi aperti e le unioni numerabili 

di sottoinsiemi chiusi. Infine, poiché laσ-algebra B è generata da elementi che appartengono 

a L epoiché L è una σ-algebra, si ha anche: 

B ⊂ L . 

Sono di interesse fondamentale le nozioni che vengono introdotte con la successiva: 

Def. 1.4.3 Fissato E ∈ ℘(R s ), un sottoinsieme V ∈ L (R s ) viene denominato Involucro 

misurabile di E se: 

a) V ⊃ E; 

b) µ(V )=µ e (E); 

c) Per ogni H ∈ L (R s ) si ha: 

H ⊂ (V \ E) =⇒ µ(H) =0.


Un sottoinsieme K ∈ L (R s ) viene denominato Nucleo misurabile di E se: 

d) K ⊂ E; 

e) µ(K) =µ i (E); 

f) Per ogni L ∈ L (R s ) si ha: 

L ⊂ (E \ K) =⇒ µ(L) =0. 

E’ utile comprendere che se V è un involucro misurabile di E e N è un qualunque sottoinsieme 

di R s di misura nulla, allora anche V 1 =(V ∪ N) è un involucro misurabile di E. 

Ugualmente, se K è un nucleo misurabile di E e N è un sottoinsieme di misura nulla contenuto 

in E, allora anche K 1 =(K ∪ N) è un nucleo misurabile di E. 

Il primo risultato che consente di penetrare nella struttura degli insiemi misurabili secondo 

Lebesgue è contenuto nel seguente: 

Teorema 1.4.4 Ogni E ∈ ℘(R s ) ha almeno un involucro misurabile V appartenente a B. 

Inoltre, comunque si fissino due involucri misurabili di E, V 1 e V 2 ,risulta: 

µ(V 1 △V 2 )=0. (1.4.7) 

Dim. Consideriamo prima il caso in cui µ e (E) < +∞. Per ogni n ∈ N fissiamo un A n ∈ A 

tale che: 

E ⊂ A n e µ(A n )


e 

ossia: 

µ e (E) ≤ µ e (V \ H) =µ(V \ H) =µ(V ) − µ(H) , 

µ(V ) ≤ µ(V ) − µ(H) 

edaciò si deduce che µ(H) =0,cioèlac). E’ così provata la prima parte del Teorema in 

questo primo caso. 

Consideriamo ora il caso in cui µ e (E) = +∞. Introduciamo una partizione di R s in 

intervalli semiaperti a destra a due a due disgiunti (Q k ) N ,cosicché: 

∞⋃ 

R s = Q k Q h ∩ Q k = ∅ se h ≠ k. (1.4.12) 

k=1 

Poniamo: 

essendo: 

∞⋃ 

E = E k , 

k=1 

E k = E ∩ Q k ∀ k ∈ N . 

Introduciamo poi, per ogni k ∈ N, un involucro misurabile V k di E k , utilizzando il caso già 

trattato (infatti è evidentemente µ e (E k ) < +∞). Introduciamo anche: 

∞⋃ 

V = V k (1.4.13) 

k=1 

esiavrà evidentemente V ∈ B, in quanto, per ogni k ∈ N, prenderemo V k ∈ B. Essendo 

E k ⊂ V k ,avremo: 

∞⋃ ∞⋃ 

E = E k ⊂ V k = V. (1.4.14) 

k=1 k=1 

Per dimostrare che l’insieme V costruito con la (1.4.13) verifica anche la c), fissiamo H ∈ 

L (R s )conH ⊂ (V \ E) e introduciamo: 

H n = H ∩ V n ∀ n ∈ N . 

E’ evidente che H n ∈ L (R s ) per ogni n ∈ N. Inoltre: 

H n ⊂ V n e H n ⊂ (V \ E) 

esiavrà: 

H n ⊂ (V n \ E) ⊂ (V n \ E n ) .


Essendo V n un involucro misurabile di E n ,risulterà: 

µ(H n )=0 ∀ n ∈ N . 


( 

∞⋃ ∞⋃ 

∞ 

) 

⋃ 

H n = (H ∩ V n )=H ∩ V n = H ∩ V = H 

n=1 n=1 

n=1 

e, per la numerabile additività della µ (anche se è sufficiente la sola numerabile subadditività), 

si avrà: 

µ(H) =0. 

Risulta così dimostrata la c) e la prima parte del Teorema è completata. 

Fissati ora V 1 e V 2 involucri misurabili di E, siavrà: 

(V 1 \ V 2 ) ⊂ (V 1 \ E) 

eperlac) segue allora: 

Analogamente: 

eperlac) segue allora: 

µ(V 1 \ V 2 )=0. 

(V 2 \ V 1 ) ⊂ (V 2 \ E) 

µ(V 2 \ V 1 )=0. 

Ciò provala(1.4.15) e completa la dimostrazione del Teorema. 

Il secondo risultato fondamentale è il seguente: 

Teorema 1.4.5 Ogni E ∈ ℘(R s ) ha almeno almeno un nucleo misurabile K appartenente a 

B. Inoltre, comunque si fissino due nuclei misurabili di E, K 1 e K 2 ,risulta: 

µ(K 1 △K 2 )=0. (1.4.15) 

Dim. Fissato E ∈ ℘(R s ), introduciamo un involucro misurabile V di E e, successivamente, 

un involucro misurabile I dell’insieme V \ E. Definiamo quindi: 

K := V \ I. 

Prendendo, conformemente al Teorema 1.4.4, V ∈ B e I ∈ B, siavrà anche K ∈ B. D’altra


parte, essendo E ⊂ V ,risulta: 

K =(V \ I) ⊂ [ V \ (V \ E) ] = E 

e perciò è verificata la d) della Def. 1.4.3. SiaoraL ∈ L (R s )eL ⊂ (E \ K). Si avrà: 

L ⊂ [ E \ (V \ I) ] = [ E \ (V ∩ I c ) ] = [ E ∩ (V ∩ I c ) c] 

= [ E ∩ (V c ∪ I) ] = [ (E ∩ V c ) ∪ (E ∩ I) ] =(E ∩ I) . 

Ma abbiamo: 

e perciò: 

(E ∩ I) ⊂ [ I \ (V \ E) ] 

L ⊂ (E ∩ K) =⇒ L ⊂ [ I \ (V \ E) ] . 

Poiché I è per costruzione un involucro misurabile di V \ E, siavrà: 

µ(L) =0 

ed ècosì dimostrata la f). 

Si deve infine dimostrare la e), ossia che µ(K) =µ i (E). Intanto, poiché risultaK ⊂ E, si 

avrà: 

µ(K) =µ i (K) ≤ µ i (E) . 

Se fosse: 

µ(K) µ(K) . (1.4.17) 

Tuttavia risulta: 

(C \ K) ⊂ (E \ K) e (C \ K) ∈ L (R s ) , 

cosicché, in virtù della f) già dimostrata, dovrebbe aversi: 

µ(C \ K) =0. (1.4.18) 

D’altra parte abbiamo: 

µ(C \ K) =µ [ C \ (C ∩ K) ] = µ(C) − µ(C ∩ K) >µ(C) − µ(K) > 0 ,


che contraddice la (1.4.18). E’ perciò assurdoammetterela(1.4.16) edè dunque vera la e). 

E’ così dimostrata la prima parte del Teorema. 

Per provare la seconda parte si procede come per il Teorema 1.4.4. Fissati K 1 e K 2 ,nuclei 

misurabili di E, siavrà: 

(K 1 \ K 2 ) ⊂ (E \ K 2 ) 

da cui segue: 

Analogamente: 

da cui segue: 

µ(K 1 \ K 2 )=0. 

(K 2 \ K 1 ) ⊂ (E \ K 1 ) 

µ(K 2 \ K 1 )=0 

eciò completa la dimostrazione. 

Il seguente Teorema consente di collegare la Teoria della misura sviluppata con la metodologia 

astratta: 

Teorema 1.4.6 (Criterio di Caratheodory) Per i sottoinsiemi di R s sono equivalenti le 

asserzioni: 

i) L’insieme E è misurabile secondo Lebesgue, cioè E ∈ L . 

ii) Per ogni I ∈ ℘(R s ) risulta: 

µ e (I) =µ e (I ∩ E)+µ e (I ∩ E c ) . (1.4.19) 

Dim. Dimostriamo prima che la i) implica la ii). Fissato comunque un elemento I di 

℘(R s ), introduciamo un involucro misurabile V di I. Dalla misurabilità diV ,diE ediE c 

deduciamo: 

µ e (I) =µ(V )=µ [ (V ∩ E) ∪ (V ∩ E c ) ] = µ(V ∩ E)+µ(V ∩ E c ) . (1.4.20) 

Dal fatto che V ⊃ I seguono poi: 

(V ∩ E) ⊃ (I ∩ E) e (V ∩ E c ) ⊃ (I ∩ E c ) (1.4.21) 

e quindi: 

µ(V ∩ E) =µ e (V ∩ E) ≥ µ e (I ∩ E) 

µ(V ∩ E c )=µ e (V ∩ E c ) ≥ µ e (I ∩ E c ) . 

(1.4.22)


Dalle (1.4.20) e(1.4.22) siha: 

µ e (I) ≥ µ e (I ∩ E)+µ e (I ∩ E c ) (1.4.23) 

e, per la subadditività diµ e , si ottiene: 

µ e (I) ≤ µ e (I ∩ E)+µ e (I ∩ E c ) . (1.4.24) 

Dalle (1.4.23) e(1.4.24) si deduce infine la (1.4.19) elaii) ècosì dimostrata. 

Dimostriamo ora che la ii) implica i). Introduciamo un involucro misurabile V di E: 

V ⊃ E e µ(V )=µ e (E) . 

Applicando poi la (1.4.19) prendendo I = V ,avremo: 

µ e (V )=µ e (V ∩ E)+µ e (V ∩ E c )=µ e (E)+µ e (V ∩ E c ) . 

Tuttavia è anche: 

e quindi: 

µ e (V )=µ(V )=µ e (E) 

0=µ e (V ∩ E c )=µ e (V \ E) . (1.4.25) 

Ma quest’ultima significa che V \ E è misurabile e di misura nulla. Essendo E contenuto in 

V , abbiamo: 

E = [ V \ (V \ E) ] . (1.4.26) 

Possiamo allora concludere che E è misurabile ed è dunque dimostrata la i). 

L’importanza e le conseguenze del Criterio di Caratheodory sono indescrivibili. Intanto 

la (1.4.26) mette in risalto la struttura di ogni insieme misurabile: prendendo V ∈ B, come 

è lecito per il Teorema 1.4.4, risulterà che ogni insieme misurabile si ottiene da un boreliano, 

togliendo un insieme di misura nulla secondo Lebesgue. Questo risultato è completato 

dall’altro: 

Teorema 1.4.7 Ogni insieme misurabile secondo Lebesgue è l’unione di un insieme di Borel 

e di un insieme di misura nulla secondo Lebesgue. 

Dim. Fissato E ∈ L , introduciamo un nucleo misurabile K di E prendendo K ∈ B, come 

è lecito per il Teorema 1.4.5. Allora E \ K è misurabile e di misura nulla perché: 

µ(K) =µ i (E) =µ(E)


e 

Pertanto, dalla formula: 

µ(E \ K) =µ(E) − µ(K) =0. 

E = K ∪ (E \ K) , 

segue la tesi. 

Intanto abbiamo: 

Prop. 1.4.8 Se E ∈ ℘(S) e si ha: 

µ i (E) =µ e (E) , (1.4.27) 

allora E è misurabile secondo Lebesgue. 

Dim. Fissato E, introduciamo un involucro misurabile V di E e un nucleo misurabile K 

di E. Risulta: 

K ⊂ E ⊂ V, µ i (E) =µ(K) e µ e (E) =µ(V ) . 

Dall’ipotesi (1.4.27) si deduce: 

µ(V \ K) =µ(V ) − µ(K) =µ e (E) − µ i (E) =0 

e d’altra parte: 

E = K ∪ (V \ K) , (1.4.28) 

da cui segue che E è misurabile. 

Osservazione. Questo risultato, che completa la Prop. 1.4.1, mostra che le definizioni di 

µ i e µ e sono coerenti con quelle introdotte per gli insiemi limitati. 

Come conseguenza abbiamo: 

Corollario 1.4.9 Ogni insieme misurabile si può esprimere come unione di un insieme di 

Borel e di un insieme di misura nulla secondo Lebesgue. 

Dim. Segue dalla (1.4.28) utilizzando la Prop. 1.4.1. 

Teorema 1.4.10 Se E e F sono due elementi disgiunti di ℘(R s ),siha: 

µ i (E ∪ F ) ≤ µ i (E)+µ e (F ) ≤ µ e (E ∪ F ) . (1.4.29)


Dim. Introduciamo in primo luogo un involucro misurabile V di F e un nucleo misurabile 

K di E ∪ F ,cioè: 

V ∈ B ; F ⊂ V ; µ e (F )=µ(V ) 

e 

K ∈ B ; K ⊂ E ∪ F ; µ(K) =µ i (E ∪ F ) . 

Osservando che (K \ V ) ⊂ E, siricava: 

µ i (E ∪ F )=µ(K) =µ [ (K \ V ) ∪ (V ∩ K) ] = µ(K \ V )+µ(V ∩ K) 

≤ µ i (E)+µ(V ) ≤ µ i (E)+µ e (F ) . 

(1.4.30) 

Consideriamo ora un involucro misurabile V ∗ di E ∪ F e un nucleo misurabile K ∗ di E, cioè: 

V ∗ ∈ B ; (E ∪ F ) ⊂ V ∗ ; µ e (E ∪ F )=µ(V ∗ ) 

e 

K ∗ ∈ B ; K ∗ ⊂ E ; µ(K ∗ )=µ i (E) . 

Osservando che (V ∗ \ K ∗ ) ⊃ F ,siricava: 

µ e (E ∪ F )=µ(V ∗ )=µ [ (V ∗ \ K ∗ ) ∪ K ∗] = µ(V ∗ \ K ∗ )+µ(K ∗ ) 

≥ µ e (F )+µ i (E) , 

(1.4.31) 

onde la tesi. 

Una proprietà fondamentale della misura interna, che conviene mettere in evidenza, è 

contenuta nel seguente: 

Teorema 1.4.11 Se (E n ) N è una successione disgiunta si elementi di ℘(R s ), si ha: 

( ∞ 

) 

⋃ 

∞∑ 

µ i E n ≥ µ i (E n ) . (1.4.32) 

n=1 n=1 

Dim. Per ogni n ∈ N introduciamo un nucleo misurabile K n di E n . Poiché gli elementi 

(E n ) N 

sono a due a due disgiunti, risultando K n ⊂ E n per ogni n ∈ N, anche gli elementi 

(K n ) N 

saranno a due a due disgiunti. Poniamo: 

∞⋃ ∞⋃ 

K = K n ⊂ E n . 

n=1 n=1

Insiemi non misurabili 51 

Poiché K è misurabile, per la numerabile additività: 

( ∞ 

) ( 

⋃ 

∞∑ 

∞ 

) 

⋃ 

µ(K) =µ K n = µ(K n ) ≤ µ i E n 

n=1 n=1 

n=1 

. 

Essendo per definizione: 

µ(K n )=µ i (E n ) , 

si ricava evidentemente la (1.4.32). 

La proprietà espressa dal Teorema 1.4.11 per la misura interna è, in un certo senso, “duale” 

della numerabile subadditività della misura esterna. 

Un’altra relazione da evidenziare è: 

Prop. 1.4.12 Se E e F sono due elementi disgiunti di ℘(R s ),risulta: 

µ i (E)+µ i (F ) ≤ µ i (E ∪ F ) ≤ µ i (E)+µ e (F ) . (1.4.33) 

1.5 Insiemi non misurabili 

Possiamo ora presentare alcuni importanti teoremi di non misurabilità. Il primo, anche in 

ordine cronologico, è il seguente: 

Teorema 1.5.1 (di G. Vitali) Ogni misura ν su tutto ℘(R s ) che verifica le seguenti proprietà: 

a) è non negativa e ν [B(0, 1)] < +∞ 

b) è numerabilmente additiva 

c) è invariante per traslazioni 

è identicamente nulla su tutto ℘(R s ). 

Dim. Ammettiamo che esista una misura ν definita su tutto ℘(R s ) e verificante le proprietà 

a), b) e c). Introduciamo in R s la relazione Q definita da: 

∀ x, y ∈ R s xQ y ⇐⇒ x − y ∈ Q s . 

Si verifica facilmente che Q è una relazione di equivalenza. Leproprietà di simmetria: 

xQ y ⇐⇒ yQ x


e di riflessività: 

sono evidenti. La transitività: 

xQ x 

∀ x ∈ R s 

xQ y e yQ z =⇒ xQ z 

segue da: 

x − y ∈ Q s e y − z ∈ Q s =⇒ x − z =(x − y)+(y − z) ∈ Q s . 

Introduciamo l’insieme quoziente: 

H = R s /Q . 

GlielementidiH sono le classi di equivalenza rispetto a Q. Ogni elemento α di H èun 

sottoinsieme di R s del tipo: 

α = { x + q } = [ x ] q∈Q s Q . (1.5.1) 

Poiché Q èdensoinR, Q s èdensoinR s ; pertanto ogni classe di equivalenza modulo Q, cioè 

ogni α ∈ H, èdensoinR s . 

Definiamo una funzione: 

t : H −→ B(0, 1/2) (1.5.2) 

con il seguente procedimento. Fissato α ∈ H, associamo ad α un elemento di B(0, 1/2) che sia 

elemento di α stesso. Poiché α, come sottoinsieme di R s ,èdensoinR s , esistono in B(0, 1/2) 

elementi di α: scegliamone uno, che indicheremo con t(α). Perciò: 

t(α) ∈ B(0, 1/2) e t(α) ∈ α ∀ α ∈ H. (1.5.3) 

Introduciamo ora il sottoinsieme di B(0, 1/2) definito da: 

Σ=t(H) = { x ∈ B(0, 1/2) t.c. x = t(α) ∀ α ∈ H } . 

Allora Σ è il codominio della funzione t. Intanto proviamo la seguente: 

A) L’applicazione t è iniettiva, cioè 

α 1 ≠ α 2 =⇒ t(α 1 ) ≠ t(α 2 ) . (1.5.4) 

Infatti dal fatto che: 

e 

t(α 1 )=t(α 2 ) 

t(α 1 ) ∈ α 1 e t(α 2 ) ∈ α 2 ,


seguirebbe: 

(α 1 ∩ α 2 ) ≠ ∅ . 

Tuttavia α 1 e α 2 sono classi di equivalenza, perciò dovrebbe essere α 1 = α 2 , contro la premessa 

nella (1.5.4). 

Dimostriamo poi che: 

B) Elementi distinti di Σ non possono essere Q-equivalenti. 

Siano a tal fine: 

Se fosse: 

dal fatto che: 

e 

seguirebbe: 

y 1 ≠ y 2 e y 1 , y 2 ∈ Σ . (1.5.5) 

y 1 Q y 2 , 

y 1 = t(α 1 ) e y 2 = t(α 2 ) 

y 1 ∈ α 1 e y 2 ∈ α 2 , 

(α 1 ∩ α 2 )=∅ , 

cioè α 1 = α 2 per il solito motivo di equivalenza. Sarebbe dunque: 

y 1 = t(α 1 )=t(α 2 )=y 2 , 

in contrasto con la (1.5.5). E’ così provatalaB). 

Dimostriamo infine anche la seguente: 

C) Fissati due elementi distinti q 1 e q 2 di Q s ,gliinsiemiq 1 +Σ e q 2 +Σ sono disgiunti. 

Infatti, se: 

[ 

(q1 +Σ)∩ (q 2 +Σ) ] ≠ ∅ , 

si ha: 

ossia: 

∃ x, y ∈ Σ t.c. q 1 + x = q 2 + y , 

∃ x, y ∈ Σ t.c. x − y = q 2 − q 1 , 

cioè x e y sono Q-equivalenti. Per la B) deduciamo allora che x = y e quindi q 1 = q 2 ,dacui 

la tesi della C).


Consideriamo ora l’insieme: 

E = ⋃ q∈J(q +Σ); 

avendo posto: 

J = Q s ∩ B(0, 1/2) . 

Poiché Q s è numerabile, lo è anche Q s ∩B(0, 1/2). Potremo perciò scrivere E sotto la seguente 

forma: 

E = 

avendo posto: 

Q s ∩ B(0, 1/2) = { q 1 , q 2 , q 3 ,...,q k ,... } . 

Per la C) e per la numerabile additività diν avremo: 

ν(E) = 

∞⋃ 

(q k +Σ), (1.5.6) 

k=1 

∞∑ 

ν(q k + Σ) = lim 

k=1 

n→∞ 

k=1 

n∑ 

ν(q k +Σ). 

In virtù della proprietà per cui ν è invariante per traslazioni, si avrà: 

ν(q k +Σ)=ν(Σ) 

e 

D’altra parte risulta: 

ν(E) = lim nν(Σ) . (1.5.7) 

n→∞ 

Σ ⊂ B(0, 1/2) e (q +Σ)⊂ B(0, 1) ∀ q ∈ B(0, 1/2) . 

Infatti, per ogni x ∈ Σ, abbiamo: 

| q + σ |≤|q | + | x | < 1 2 + 1 2 =1. 

Deduciamo perciò che: 

E ⊂ B(0, 1) . 

Essendo ν(·) non negativa e additiva, ν(·) sarà anche monotona, perciò: 

ν(E) ≤ ν [B(0, 1)] < +∞ . 

Dalla (1.5.7) si deduce allora: 

ν(Σ) = 0 .


Osserviamo ora che: 

R s = ⋃ 

(q +Σ). (1.5.8) 

q∈Q s 

Infatti abbiamo in primo luogo: 

⋃ 

(q +Σ)⊂ R s . 

q∈Q s 

D’altra parte, comunque si consideri un x ∈ R s ci sarà unα ∈ H tale che x ∈ α. Conseguentemente 

x sarà Q-equivalente a t(α). Esisterà perciò unq ∗ ∈ Q s tale che: 

x − t(α) =q ∗ . 

Ma ciò significa evidentemente: 

x ∈ (q ∗ +Σ) 

e in conclusione: 

R s ⊂ ⋃ 

(q +Σ), 

q∈Q s 

cosicché la(1.5.8) è dimostrata. Poiché Q s è numerabile, è lecito scrivere: 

Q s = { r 1 , r 2 , r 3 ,...,r k ,... } 

ela(1.5.8) diventa: 

∞⋃ 

R s = (r k +Σ). 

k=1 

Poiché gli insiemi r k +Σ, k ∈ N, sono a due a due disgiunti, per la numerabile additività di 

ν(·), si otterrà: 

ν(R s )= 

∞∑ 

ν(r k + Σ) = lim 

k=1 

n→∞ 

k=1 

Allora, poiché ν(r k +Σ)=ν(Σ) = 0, si deduce: 

ν(R s )=0. 

Per la monotonia di ν, segue infine: 

ν(E) =0 ∀ E ∈ ℘(R s ) 

eilTeoremadiVitaliècosì dimostrato. 

n∑ 

ν(r k +Σ).


E’ utile osservare che il Teorema di Vitali continua a valere, oltre che in R s ,inognispazio 

normato separabile 1 . 

Dal Teorema di Vitali si deduce: 

Corollario 1.5.2 Esistono elementi di ℘(R s ) che non sono misurabili secondo Lebesgue. 

Dim. Infatti la misura di Lebesgue µ verifica le proprietà a), b) e c) del Teorema di Vitali 

einoltre: 

µ(R s )=+∞ . 

Da ciò segue che, costruito l’insieme Σ come nella dimostrazione del suddetto Teorema, tale 

Σ non può essere misurabile secondo Lebesgue. Infatti, se lo fosse, procedendo come nella 

dimostrazione del Teorema di Vitali, si arriverebbe alla contraddizione per cui: 

µ(R s )=0. 

Inoltre è chiaro che non sono misurabili secondo Lebesgue Σ e tutti i suoi traslati q +Σ, 

ottenuti al variare di q in Q s . 

L’insieme Σ costruito nella dimostrazione del Teorema di Vitali può essere chiamato 

l’insieme di Vitali. Per approfondirne lo studio proviamo la seguente: 

Prop. 1.5.3 Per ogni sottoinsieme F dell’insieme di Vitali Σ, seF è misurabile, allora ha 

misura di Lebesgue nulla, cioè: 

F ⊂ Σ e F ∈ L (R s )=⇒ µ(F )=0. 

Dim. SiaF ⊂ Σ, F ∈ L (R s ) e ammettiamo che: 

µ(F ) > 0 . 

Introduciamo l’insieme: 

E = ⋃ q∈J(q + F ) , 

essendo, come prima: 

Come per la (1.5.6), abbiamo: 

J = Q s ∩ B(0, 1/2) . 

∞⋃ 

E = (q k + F ) . 

k=1 

1 In quest’ultimo caso il sottoinsieme denso deve essere un sottospazio: si può poi dimostrare che ogni spazio 

di Banach separabile ha un sottospazio denso.


Allora risulta E ∈ L (R s ) e, per la numerabile additività, essendo gli insiemi (q k + F ) N 

a due 

a due disgiunti, si ha: 

Ma ciò èfalsopoiché: 

µ(E) = 

∞∑ 

k=1 

µ(q k + F ) = lim nµ(F )=+∞ . 

n→∞ 

E = ⋃ q∈J(q + F ) ⊂ B(0, 1) e µ(E) ≤ µ [B(0, 1)] < +∞ . 

Allora non può essere µ(F ) > 0 e dunque µ(F )=0. 

Conseguenza della Prop. 1.5.3 è il seguente: 

Corollario 1.5.4 Per l’insieme di Vitali Σ si ha: 

µ i (Σ) = 0 . 

Notevole è anche il successivo: 

Corollario 1.5.5 Comunque si fissi un sottoinsieme misurabile F dell’insieme di Vitali Σ, si 

ha: 

µ e (Σ) = µ e (Σ \ F ) . (1.5.9) 

Dim. Utilizziamo la (1.4.19) del Criterio di Caratheodory per l’insieme misurabile F ,in 

corrispondenza di I =Σ∈ ℘(R s ). Si dovrà avere: 

µ e (Σ) = µ e (Σ ∩ F )+µ e (Σ ∩ F c ) . (1.5.10) 

Poiché abbiamo preso F ⊂ Σ: 

e, per la Prop. 1.5.3: 

(Σ ∩ F )=F 

µ e (F )=µ(F )=0. 

Allora dalla (1.5.10) si deduce la (1.5.9). 

Al fine di comprendere come sono numerosi gli insiemi non misurabili, si osservi che, essendo 

la misura di Lebesgue invariante per traslazione, ogni traslato di un insieme di Vitali è 

non misurabile. Inoltre si deve osservare che si può costruire un insieme di Vitali sostituendo 

una qualunque sfera B(x 0 ,r) alla sfera B(0, 1/2). Si potrebbe inoltre ripetere la stessa


costruzione sostituendo Q s con un qualunque sottospazio numerabile di R s che sia denso in 

R s . 

1.6 Insieme di Cantor e cardinalità diL 

Abbiamo stabilito che ogni insieme misurabile di R s è misurabile secondo Lebesgue e ha 

misura nulla. E’ questo il primo risultato che differenzia la misurabilità secondo Lebesgue 

dalla misurabilità secondo Peano-Jordan. E’ opportuno osservare che ogni insieme numerabile 

(x k ) N è sempre unione numerabile di sottoinsiemi chiusi, come lo sono i singleton { } 

x k ; perciò 

ogni insieme misurabile è un boreliano di misura nulla. 

Prima di enunciare e dimostrare un altro importante teorema sulla misurabilità secondo 

Lebesgue è necessaria l’introduzione e l’analisi dell’Insieme di Cantor. 

Indichiamo con J 0 l’intervallo chiuso [0, 1] e con D l’operazione che consiste nel dividere un 

intervallo chiuso in tre intervalli uguali e nel togliere l’intervallo aperto centrale, considerando 

come risultato i due intervalli chiusi restanti. In altri termini: 

D ( [0, 1] ) [ 

= 0, 1 ] [ ] 

] 2 1 

∪ 

3 3 , 1 avendo tolto 

3 , 2 [ 

. 

3 

L’applicazione ripetuta di D significa l’applicazione di D a ciascuno degli intervalli ottenuti 

con l’applicazione della precedente. Per esempio: 

D 2( [0, 1] ) ([ 

= D 0, 1 ] [ ]) ([ 

2 

∪ 

3 3 , 1 = D 0, 1 ]) ([ ]) 2 

∪D 

3 

3 , 1 [ 

= 0, 1 ] [ 2 

∪ 

9 9 , 1 ] [ 2 

∪ 

3 3 , 7 ] [ ] 8 

∪ 

9 9 , 1 . 

Indichiamo con J (n) 

k 

, k =1, 2,...,2 n , gli intervalli chiusi che si ottengono dopo l’applicazione 

successiva dell’operazione D per n volte. Ciascuno degli intervalli J (n) 

k 

ha lunghezza: 

µ ( J (n) ) 1 

k = 

3 n . 

Quindi globalmente: 

Poniamo: 

K n = 

2 n ⋃ 

k=1 

µ 

( 2 n 

⋃ 

k=1 

J (n) 

k 

) 

= 2n 

3 n . (1.6.1) 

J (n) 

k 

e quindi µ(K n )=( 2 

3 

) n 

, (1.6.2) 

cosicché K n è un plurintervallo chiuso che ha misura (2/3) n erisultaK n ⊃ K n+1 . Poniamo

Insieme di Cantor e cardinalità diL 59 

poi: 

per cui: 

∞⋂ 

K = K n , (1.6.3) 

n=1 

K ⊂ K n ∀ n ∈ N . (1.6.4) 

E’ evidente che K è un sottoinsieme chiuso contenuto nell’intervallo [0, 1] 2 esiha: 

( ) 2 n 

µ(K) ≤ lim µ(K n) = lim =0. 

n→∞ n→∞ 3 

L’insieme K, definito con la (1.6.3), si chiama l’Insieme ternario di Cantor. Pertanto 

l’insieme ternario di Cantor risulta essere un insieme chiuso contenuto in [0, 1] e avente misura 

nulla. 

Si può provare che K ha misura nulla anche nel seguente modo. Nell’applicare l’operazione 

D la volta successiva all’n-sima, cioè nell’eseguire: 

D ( J (n) 

1 ∪ J (n) 

2 ∪···J (n) 

2 n ) 

, (1.6.5) 

introduciamo l’intervallo aperto I (n) 

j 

costituente la parte centrale di J (n) 

j 

, una volta diviso in 

tre parti uguali. Pertanto l’esecuzione di D nella (1.6.5) consiste nel togliere complessivamente 

l’aperto: 

( 

I 

(n) 

1 ∪ I (n) 

2 ∪···I (n) 

2 n ) 

= An , 

intendendo: 

A 0 = I 0 1 . 

Poiché: 

µ ( I (n) ) 1 

j = 

3 n+1 , 

si ha evidentemente: 

µ(A n )= 

2n 

3 n+1 . 

Perciò, applicando D indefinitamente, si toglie dall’intervallo [0, 1] l’aperto: 

⎛ ⎞ 

A = 

∞⋃ 

A n = 

n=0 

∞⋃ 

⎝ 

n=0 

2 n ⋃ 

j=1 

I (n) 

j 

⎠ 

esiha: 

µ(A) = 

∞∑ 

n=0 

2 n 

3 n+1 = 1 3 

∞∑ 

( ) 2 n 

= 1 3 3 

n=0 

1 

1 − 2 3 

=1. 

2 Si dimostra che K è certamente non vuoto per il Teorema di Heine-Pincherle-Borel.


Poiché abbiamo: 

risulterà: 

K = J 0 \ A, 

µ(K) =µ(J 0 ) − µ(A) =0. 

E’ comodo per le successive dimostrazioni introdurre la rappresentazione dei numeri reali 

nel sistema ternario. Un generico x ∈ [0, 1] viene rappresentato nel modo seguente: 

x =0,c 1 c 2 c 3 ···c k ··· essendo c k ∈ { 0, 1, 2 } ∀ k ∈ N . (1.6.6) 

E’ fondamentale tener presente che tale rappresentazione significa: 

Adotteremo la convenzione per cui: 

x = 

∞∑ 

k=1 

c k 

3 k . 

P) inumeriternari finiti con ultima cifra uguale a 1 vengono modificati in numeri ternari 

periodici di periodo 2. 

Per esempio: 

Ciò è lecito perché: 

1 

3 

0, 02 =0, 0222 ···2 ··· = 

Analogamente si modificherà: 

=0.1 =0.02 =0, 0222222 ··· . 

∞∑ 

k=2 

2 

3 k = 2 9 

∞∑ 

k=0 

1 

3 k = 2 9 

( 

1 

1 − 1 3 

) 

= 2 9 

3 

2 = 1 3 . 

0.001 in 0.0002 =0.000222 ···2 ··· 

e 

0.20010201 in 0, 200102002 . 

Premettiamo ora il seguente: 

Lemma 1.6.1 I numeri rappresentati come nella (1.6.6) appartengono a K n ,cioè appartengono 

agli intervalli J (n) 

1 ,J (n) 

2 ,J (n) 

3 ,...,J (n) 

2n , se e solo se, adottando la convenzione P), hanno 

le prime n cifre c 1 ,c 2 ,...,c n uguali a 0 oppure a 2. Formalmente si ha: 

0.c 1 c 2 ···c k ···∈K n ⇐⇒ c 1 ,c 2 ,...,c n ∈ { 0, 2 } .


Dim. Cominciamo con l’osservare che J (1) 

1 e J (1) 

2 , la cui unione è K 1, sono caratterizzati 

come segue: 

x ∈ J (1) 

1 

⇐⇒ x =0.0c 2 c 3 ···c k ··· cioè c 1 =0 

x ∈ J (1) 

2 ⇐⇒ x =0.2c 2 c 3 ···c k ··· cioè c 1 =2. 

(1.6.7) 

Infatti gli elementi dell’intervallo aperto ] 1 

3 , 2 [ 

3 sono caratterizzati, scritti come nella (1.6.6), 

dall’avere c 1 = 1. Tale caratterizzazione è equivalente alla (1.6.7) invirtù della convenzione 

1 

P). Infatti 

3 , che si scrive 0.02, non appartiene all’aperto ] 1 

3 , 2 [ 

3 . Perciò, eliminando da 

[0, 1] l’intervallo aperto ] 1 

3 , 2 [ 

3 , vengono eliminati tutti gli x che si rappresentano come nella 

(1.6.6) aventic 1 =1. Ciò prova l’asserto del Lemma per n =1. 

Applicando l’operazione D a J (1) 

1 ∪ J (1) 

(2) 

2 , si generano J 1 , J (2) 

2 , J (2) 

3 e J (2) 

4 . Gli intervalli 

J (2) 

1 e J (2) 

2 sono il primo e il terzo intervallo in cui si decompone J (1) 

(2) 

1 ; gli intervalli J 3 e J (2) 

4 

sono invece il primo e il terzo intervallo in cui viene decomposto J (1) 

2 . I numeri che fanno parte 

di J (2) 

1 e J (2) 

2 sono caratterizzati dalla seconda cifra c 2 ,poiché appartengono a sottointervalli 

di J (1) 

1 e hanno perciò c 1 = 0. E’ facile riconoscere: 

x ∈ J (2) 

1 ⇐⇒ x =0.00c 3 c 4 ···c k ··· cioè c 1 =0ec 2 =0 

x ∈ J (2) 

2 ⇐⇒ x =0.02c 3 c 4 ···c k ··· cioè c 1 =0ec 2 =2. 

Infatti, i numeri dell’intervallo I (1) 

1 ,cheè l’intervallo aperto ] 1 

9 , 2 [ 

9 , sono tutti e soltanto i 

numeri del tipo 0.01c 3 c 4 ···c k ···,cioè quelli che hanno c 1 =0ec 2 =1. Siosservicheil 

numero 0.01, che per la convenzione P) si scrive 0.002, non fa parte di I (1) 

1 . Analogamente i 

numeri di J (2) 

3 e J (2) 

4 sono caratterizzati da: 

x ∈ J (2) 

3 ⇐⇒ x =0.20c 3 c 4 ···c k ··· cioè c 1 =2ec 2 =0 

x ∈ J (2) 

4 ⇐⇒ x =0.22c 3 c 4 ···c k ··· cioè c 1 =2ec 2 =2. 

Ciò provacheèveroquantoèasseritonelLemmaanchepern =2. 

Supponiamo ora di aver dimostrato l’asserto per n = m. Per ottenere J (m+1) 

1 ,J (m+1) 

2 ,...,J (m+1) , 

2 m+1 

si deve partire da J (m) 

1 ,J (m) 

2 ,...,J (m) 

2m , eliminare I(m) 

j 

da J (m) 

j 

e ricavare così J (m+1) 

k 

e J (m+1) 

k+1 

. 

Ricordiamo che I (m) 

j 

la parte centrale nella divisione di J (m) 

j 

di J (m) 

j 

. Esso sarà deltipo: 

è un intervallo aperto di ampiezza pari a un terzo di quella di J (m) 

j 

ed è 

in tre parti uguali. Fissiamo un generico elemento x 

x =0.c ′ 1 c′ 2 ···c′ m c m+1c m+2 ···c m+k ··· , (1.6.8)


che, per il ragionamento di induzione che stiamo facendo, avrà: 

c ′ 1 ,c′ 2 , ···c′ m ∈ { 0, 2 } mentre c m+k ∈ { 0, 1, 2 } ∀ k ∈ N . 

Osserviamo che ogni numero che nel sistema ternario si scrive come nella (1.6.8) può anche 

essere scritto come: 

x =0.c ′ 1c ′ 2 ···c ′ m + 1 

3 m 0.c m+1c m+2 ···c m+k ··· . (1.6.9) 

Al variare di c m+1 ,c m+2 ,...,c m+k in { 0, 1, 2 } ,ilnumeroinbase30.c m+1 c m+2 ···c m+k ··· 

descrive tutto l’intervallo [0, 1]. Perciò la(1.6.9) consente di dedurre che il primo estremo di 

J (m) 

j 

èilnumero: 

0.c ′ 1 c′ 2 ···c′ m , 

mentre il secondo estremo è: 

0.c ′ 1c ′ 2 ···c ′ m + 1 

3 m . 

Possiamo allora calcolare gli estremi dell’intervallo I (m) 

j 

. Essi sono evidentemente: 

x 1 =0.c ′ 1c ′ 2 ···c ′ m + 1 

3 m+1 e x 2 =0.c ′ 1c ′ 2 ···c ′ m + 2 . (1.6.10) 

3m+1 Seguealloracheinumeriy ∈]x 1 ,x 2 [= I (m) 

j 

devono avere rappresentazione nel sistema ternario 

fornita da: 

x =0.c ′ 1c ′ 2 ···c ′ m1c m+2 ···c m+k ··· , (1.6.11) 

ossiadevonoaverelam +1-esima cifrac m+1 = 1. E’ evidentemente vero anche il viceversa: 

ogni y che si rappresenta come nella (1.6.11), in virtù della convenzione P), appartiene all’intervallo 

I (m) 

j 

. Da ciò si deduce che i numeri che si rappresentano come nella (1.6.8) eche 

rimangono in J (m) 

j 

dopo aver tolto I (m) 

j 

devono avere c m+1 ∈ { 0, 2 } .Ciò prova l’asserto anche 

per n = m + 1 e il Lemma è completamente provato. 

Possiamo ora dimostrare la seguente: 

Prop. 1.6.2 La cardinalità dell’insieme di Cantor K è uguale a quella dell’intervallo [0, 1], 

cioè è uguale alla cardinalità delcontinuo 3 . 

Dim. Dal Lemma 1.6.1 deduciamo che ogni x ∈ K può essere rappresentato nel sistema 

3 Ricordiamo che, dati due insiemi A e B, sidicecheA ha la stessa cardinalità diB se si può porre una 

corrispondenza biunivoca tra gli elementi di A e gli elementi di B. In tal caso si scriverà: 

Card A =CardB.


ternario come: 

x =0.c ′ 1 c′ 2 ···c′ k ··· con c′ k ∈ { 0, 2 } ∀ k ∈ N . ··· . (1.6.12) 

Infatti, se x ∈ K, allora x ∈ K n per ogni n ∈ N e il Lemma 1.6.1 consente di stabilire che 

tutti i c ′ k appartengono a { 0, 2 } . Viceversa, se vale la (1.6.12), allora x ∈ K n per ogni n ∈ N e 

perciò x ∈ K. Porre nella (1.6.12) c ′ k ∈ { 0, 2 } è equivalente a porre c ′ k =2ε k con ε k ∈ { 0, 1 } . 

Deduciamo allora che ogni x ∈ K può essere scritto come: 

x =0.2ε 1 2ε 2 ···2ε k ··· con ε k ∈ { 0, 1 } ∀ k ∈ N . 

Perciò ogni elemento x ∈ K può essere rappresentato come: 

x = 

∞∑ 

k=1 

2ε k 

3 k essendo ε k ∈ { 0, 1 } ∀ k ∈ N . (1.6.13) 

Segnaliamo che è vero anche il viceversa, nel senso che, comunque si fissi una successione (ε k ) N 

di elementi di { 0, 1 } ,ilnumerox definito mediante la (1.6.13) appartiene a K. Ciòposto, 

definiamo una funzione: 

T : [0, 1] −→ K. 

Fissati z ∈ [0, 1], rappresentiamo z nel sistema binario. Sia cioè: 

e definiamo: 

z = 

∞∑ 

k=1 

ε k 

2 k essendo ε k ∈ { 0, 1 } ∀ k ∈ N (1.6.14) 

T (z) = 

∞∑ 

k=1 

2ε k 

3 k ∈ K. (1.6.15) 

E’ importante osservare che T è iniettiva sul sottoinsieme degli irrazionali dell’intervallo [0, 1]. 

Infatti, se z è irrazionale ed è rappresentato come nella (1.6.14), la successione (ε k ) N 

ha infiniti 

0 e infiniti 1. Conseguentemente, T (z) è univocamente determinato. Da ciò si deduce che K 

ha cardinalità maggiore o uguale di quella di T ( [0, 1] ) ,cioè: 

Card K ≥ Card T ( [0, 1] ) . 

Poiché inoltreK ⊂ [0, 1], allora: 

Card K ≤ Card [0, 1] .


Ma poiché è anche: 

si deduce: 

Card T ( [0, 1] ) =Card[0, 1] , 

Card K =Card[0, 1] 

e perciò latesi. 

Possiamo ora dimostrare il seguente: 

Teorema 1.6.3 Esistono sottoinsiemi di R s che hanno la cardinalità delcontinuoesonodi 

misura nulla secondo Lebesgue. 

Dim. Ponendo s = 1, l’asserto segue direttamente dalla Prop. 1.6.2, inquantounesempio 

di insieme misura nulla secondo Lebesgue avente la cardinalità del continuo è proprio l’insieme 

di Cantor K. 

Per s>1 si può invece utilizzare la proprietà per cui: Se E 1 è un insieme misurabile di 

R s 1 

e E 2 è un insieme misurabile di R s 2 

, allora il prodotto cartesiano E 1 × E 2 èuninsieme 

misurabile di R s 1+s 2 

e si ha: 

µ s1 +s 2 

(E 1 × E 2 )=µ s1 (E 1 ) µ s2 (E 2 ) . 

Da questa proprietà e dalla dimostrazione per il caso s =1seguelatesi. 

Un’altra notevole proprietà dell’insieme di Cantor K è fornita dalla seguente: 

Prop. 1.6.4 L’insieme di Cantor K è perfetto, nel senso che ogni punto di K èdiaccumulazione 

per K e ogni punto di accumulazione di punti di K appartiene a K, cioè K coincide 

con il proprio derivato. 

Dim. Poiché K è chiuso, contiene anche il proprio derivato. Per provare la tesi basta 

allora dimostrare che ogni punto di K è di accumulazione per K. Sfruttiamo la (1.6.12) e 

distinguiamo tre casi. 

I) Supponiamo che le cifre c ′ k 

siano definitivamente uguali a zero, cioè: 

x =0.c ′ 1 c′ 2 ···c′ m . 

Definiamo: 

x p =0.c ′ 1 c′ 2 ···c′ m + 2 

3 m+p . 

In virtù della (1.6.12), tutti questi x p appartengono a K. Poiché evidentemente: 

x p −→ x per p −→ +∞ ,


tale x è di accumulazione per K. 

II) Supponiamo che le cifre c ′ k 

siano definitivamente uguali a due, cioè: 

Definiamo: 

x =0.c ′ 1c ′ 2 ···c ′ m222 ···2 ··· . (1.6.16) 

x p =0.c ′ 1c ′ 2 ···c ′ m + 

p∑ 

k=1 

2 

3 m+k . 

Anche in questo caso tutti questi x p appartengono a K. poiché, per lo stesso significato 

della (1.6.16), risulta: 

x p −→ x per p −→ +∞ , 

x è ancora un punto di accumulazione per K. 

III) Supponiamo infine che la successione (c ′ k ) N 

contenga infiniti zeri e infiniti due. Considerate 

le somme parziali della serie che definisce x nella (1.6.12): 

x p = 

p∑ 

k=1 

tali x p sono tutti elementi di K esiha: 

c ′ k 

3 k p =1, 2,... , 

x p −→ x per p −→ +∞ . 

Anche in quest’ultimo caso quindi x è punto di accumulazione per K. 

La tesi è perciò completamente dimostrata. 

Osservazione. Dalla dimostrazione del Lemma 1.6.1 si deduce che i numeri che si rappresentano 

come nella (1.6.12) e che hanno le cifre c ′ k 

definitivamente uguali a zero sono estremi 

sinistri di intervalli J (m) 

j 

,sonoelementidiK e sono numeri razionali. Si è soliti indicare con 

K (0) il loro insieme, cioè: 

K (0) = { x ∈ K t.c. nella (1.6.12) si ha c ′ k =0definitivamente} . 

Dalla dimostrazione della Prop. 1.6.2 si deduce inoltre che K (0) èdensoinK. E’ istruttivo 

per il Lettore fare di questa asserzione la dimostrazione diretta. 

Prop. 1.6.5 La cardinalità diL (R s ) è uguale a quella di ℘(R s ). 

Dim. Poiché L (R s ) ⊂ ℘(R s ), basta dimostrare che un sottoinsieme di L (R s ) ha la stessa 

cardinalità di℘(R s ). Per gli insiemi di misura nulla secondo Lebesgue vale la proprietà, detta


di ereditarietà: 

N ∈ L , µ(N) =0 =⇒∀E ⊂ N : µ(E) =0. 

Poiché K è di misura nulla e ha la cardinalità diR s , l’insieme dei sottoinsiemi di K ha la 

stessa cardinalità di℘(R s ). Se ne deduce che il sottoinsieme di L (R s ) costituito dagli insiemi 

di misura nulla ha la cardinalità di℘(R s ) e quindi la tesi èprovata. 

Si dimostra anche: 

Prop. 1.6.6 La cardinalità diB è uguale a quella di R s . 

Alla dimostrazione della Prop. 1.6.6 dobbiamo rinunciare. Abbiamo riportato la Prop. 

1.6.6 per fornire un quadro culturale completo su questo interessante argomento. Peraltro le 

Prop. 1.6.5 e 1.6.6 mettono in risalto l’interessante risultato contenuto nel Corollario 1.4.9.

2 

Teoria Generale della Misura 

2.1 Misure su insiemi arbitrari 

Il procedimento seguito per pervenire alla misurabilità secondo Lebesgue, partendo dalla 

misura elementare sugli intervalli di R s , può essere generalizzato in modo astratto, senza 

supporre che sull’insieme ambiente S, nel quale si vuole introdurre la “misurabilità”, vi sia 

alcuna struttura né algebrica (per esempio, di spazio vettoriale) né topologica (perciò sievita 

di usare insiemi aperti, chiusi o altro). 

Il punto di partenza sono le strutture booleane che si possono costruire in ℘(S). 

Def. 2.1.1 Fissato un anello R contenuto in ℘(S), una funzione: 

µ : R −→ [0, +∞] 

viene detta una misura se: 

a) µ(∅) =0 

b) Per ogni successione disgiunta (E j ) N 

di elementi di R, la cui unione appartiene a R, si 

ha: 

⎛ ⎞ 

∞⋃ 

∞∑ 

µ ⎝ E j 

⎠ = µ(E j ) . 

La proprietà b) viene espressa dicendo che µ è numerabilmente additiva. 

j=1 

j=1 

E’ facile ricavare che ogni misura è anche finitamente additiva. Inoltre è monotona: 

E 1 ⊂ E 2 =⇒ µ(E 1 ) ≤ µ(E 2 ) 

e sottrattiva: 

E 1 ⊂ E 2 =⇒ µ(E 2 \ E 1 )=µ(E 2 ) − µ(E 1 ) . 

67

68 Teoria Generale della Misura 

Si dice poi che una misura è finita se, per ogni E ∈ R, sihaµ(E) < +∞. Si dice invece 

che una misura è σ-finita se, per ogni E ∈ R, esiste una successione di elementi di E, (E j ) N 

, 

avente per limite E, tale che per ogni j ∈ N risulti µ(E j ) < +∞ e tale che inoltre valga: 

µ(E) = lim 

j→∞ 

µ(E j ) . 

Def. 2.1.2 Fissato un σ-anello R contenuto in ℘(S), una funzione: 

viene detta una misura esterna su R se: 

a) µ ∗ (∅) =0 

b) µ ∗ è monotona 

µ ∗ : R −→ [0, +∞] 

c) µ ∗ è numerabilmente subadditiva su R, cioè, per ogni successione (E j ) N 

di elementi di R, 

si ha: 

⎛ ⎞ 

∞⋃ 

∞∑ 

µ ∗ ⎝ E j 

⎠ ≤ µ ∗ (E j ) . (2.1.1) 

j=1 

E’ facile verificare che ogni misura esterna è anche finitamente subadditiva. 

E’ fondamentale stabilire il legame tra misure e misure esterne generate da misure su classi 

booleane più ampie. Il legame più semplice viene costruito con il seguente: 

Teorema 2.1.3 Fissato un anello R di elementi di ℘(S), la classe E deglielementidi℘(S) 

che hanno un ricoprimento numerabile fatto con elementi di R èunσ-anello. Posto cioè: 

allora E èunσ-anello. 

⎧ 

⎫ 

⎨ 

∞⋃ ⎬ 

E = 

⎩ E ∈ ℘(S) t.c. ∃ (E j) N 

∈ R N1 t.c. E ⊂ E j 

⎭ , 

Dim. Si deve dimostrare che la classe E è chiusa rispetto al complemento relativo, all’unione 

finita e all’unione numerabile. E’ evidente che E è chiusa rispetto al complemento relativo, 

poiché, fissati E 1 ,E 2 ∈ E , ogni ricoprimento di E 1 è anche un ricoprimento di E 1 \ E 2 . 

Proviamo che E è chiusa rispetto all’unione numerabile. Sia (E k ) N 


elementi di E . Fissiamo ( Ej 

k ) 

j∈N ricoprimento di Ek mediante elementi di R. Siacioè: 

E k ⊂ 

j=1 

∞⋃ 

Ej k per k =1, 2,... . 

j=1 

j=1

Misure su insiemi arbitrari 69 

Avremo evidentemente: 

⎛ 

∞⋃ 

∞⋃ 

E k ⊂ ⎝ 

k=1 

∞⋃ 

Ej 

k 

k=1 j=1 

e ( Ej 

k ) 

j,k∈N è un ricoprimento dell’unione degli Ek fatto con elementi di R. Poiché ( Ej 

k 

è numerabile, si conclude: 

∞⋃ 

E k ∈ E . 

k=1 

Poiché ciò implica che E è chiusa anche rispetto all’unione finita, il Teorema è completamente 

dimostrato. 

⎞ 

⎠ 

) 

j,k∈N 

Si osservi che la classe E gode della proprietà diereditarietà: 

E 1 ⊂ E 2 e E 2 ∈ E =⇒ E 1 ∈ E , (2.1.2) 

che è ovvia da dimostrare. Perciò E (o E (R)) viene detto il σ-anello ereditario generato 

da R. 

E’ importante osservare che, se S ∈ E , allora E = ℘(S), come ovvia conseguenza dell’ereditarietà 

diE . 

Una costruzione di fondamentale importanza viene effettuata tutte le volte che si dispone 

di una misura µ su un anello R. In questa situazione, per ogni E ∈ E (R), si pone per 

definizione: 

⎧ ⎫ 

⎨ ∞∑ 

∞⋃ 

⎬ 

µ ∗ (E) = inf µ(E 

(E j ) N 

⎩ j ) t.c. E ⊂ E j con E j ∈ R ∀ j ∈ N (2.1.3) 

⎭ 

j=1 

j=1 

e si ha il seguente: 

Teorema 2.1.4 La funzione di insieme µ ∗ definita nel σ-anello E (R) mediante la (2.1.3) è 

una misura esterna su E (R). 

Dim. Laa) della Def. 2.1.2 è ovvia in quanto µ(∅) = 0 e l’insieme vuoto ∅ èricopertoda 

∅. 

La b) si deduce dal fatto che, se E 1 ⊂ E 2 , ogni ricoprimento di E 2 è anche ricoprimento 

di E 1 e perciò: 

µ ∗ (E 1 ) ≤ µ ∗ (E 2 ) . 

Infine, per provare la c), cioè la numerabile subadditività, premettiamo che, per ogni 

E ∈ R ⊂ E ,siha: 

µ ∗ (E) =µ(E) , (2.1.4)


che diventa un massimo nella (2.1.3). Fissiamo dunque E ∈ E e E i ∈ E per ogni i ∈ N tali 

che: 

∞⋃ 

E ⊂ E i . 

i=1 

Assegnato ε ∈ R + , per ogni i fissiamo un ricoprimento ( E ij 

)j∈N di E i in modo che si abbia: 

∞∑ 

µ(E ij )


Def. 2.1.6 Assegnata una misura esterna su E (R), un elemento E ∈ E (R) si dice µ ∗ - 

misurabile se: 

µ ∗ (I) =µ ∗ (I ∩ E)+µ ∗ (I ∩ E c ) ∀ I ∈ E (R) . (2.1.7) 

Detta M la classe dei sottoinsiemi E che sono µ ∗ -misurabili, per ogni E ∈ M si pone: 

µ(E) :=µ ∗ (E) (2.1.8) 

e µ(E) viene chiamata la µ ∗ -misura di E. 

Il motivo per cui è preferibile impostare la “misurabilità” sulla Def. 2.1.6 (che in R s ,in 

virtù del Criterio di Caratheodory, è equivalente a quella da noi introdotta con il metodo 

tradizionale) risiede essenzialmente nel fatto che, con tale definizione, molte dimostrazioni 

sono più semplici e indipendenti da strutture algebriche o topologiche su S. 

E’ facile riconoscere: 

Prop. 2.1.7 Se E è µ ∗ -misurabile, comunque si fissi Σ ⊂ S, E èancheµ ∗ | Σ 

-misurabile. 

Allo scopo di illustrare metodologicamente questa teoria astratta, proviamo: 

Teorema 2.1.8 La classe M degli insiemi µ ∗ -misurabili èunaσ-algebra e la µ definita su 

M mediante la (2.1.8) èunamisura,cioè: 

a) La classe M è chiusa rispetto al complemento assoluto e all’unione numerabile. 

b) Risulta µ(∅) =0e µ è non negativa e numerabilmente additiva. 

Dim. La classe M è chiusa rispetto al complemento assoluto, in quanto la Def. 2.1.6 è 

simmetrica rispetto a E e E c esiha: 

(E c ) c = E. 

Mostriamo allora che M è chiusa rispetto all’unione finita. Siano E 1 e E 2 elementi di M .Si 

deve provare: 

∀ I ∈ E (R) : µ ∗ (I) =µ ∗[ I ∩ (E 1 ∪ E 2 ) ] + [ I ∩ (E 1 ∪ E 2 ) c] . 

Intanto, per la subadditività diµ ∗ ,risulta: 

µ ∗ (I) =µ ∗ {[ I ∩ (E 1 ∪ E 2 ) ] ∪ [ I ∩ (E 1 ∪ E 2 ) c]} ≤ µ ∗[ I ∩(E 1 ∪E 2 ) ] + [ I ∩(E 1 ∪E 2 ) c] . (2.1.9) 

Poiché E 1 ∈ M ,perla(2.1.7): 

µ ∗ (I) =µ ∗ (I ∩ E 1 )+µ ∗ (I ∩ E c 1 ) . (2.1.10)


Poiché E 2 ∈ M , sempre per la (2.1.7), sostituendo I con (I ∩ E1 c ), si ricava: 

µ ∗ (I∩E c 1 )=µ∗[ (I∩E c 1 )∩E 2] 

+µ 

∗ [ (I∩E c 1 )∩Ec 2] 

= µ 

∗ [ I∩(E c 1 ∩E 2) ] +µ ∗[ I∩(E c 1 ∪Ec 2 )] . (2.1.11) 

Sommando membro a membro le (2.1.10) e(2.1.11), si ottiene: 

µ ∗ (I) =µ ∗ (I ∩ E 1 )+µ ∗[ I ∩ (E c 1 ∩ E 2 ) ] + µ ∗[ I ∩ (E 1 ∪ E 2 ) c] . 

Tenendo presente che: 

(E 1 ∪ E 2 )=E 1 ∪ (E c 1 ∩ E 2 ) 

e che, per la subadditività diµ ∗ : 

µ ∗ (I ∩ E 1 )+µ ∗[ I ∩ (E c 1 ∩ E 2 ) ] ≥ µ ∗ { I ∩ [ E 1 ∪ (E c 1 ∩ E 2 ) ]} , 

risulterà: 

µ ∗ (I) ≥ µ ∗[ I ∩ (E 1 ∪ E 2 ) ] + [ I ∩ (E 1 ∪ E 2 ) c] . (2.1.12) 

Dalle (2.1.9) e(2.1.12) segue allora: 

µ ∗ (I) =µ ∗[ I ∩ (E 1 ∪ E 2 ) ] + [ I ∩ (E 1 ∪ E 2 ) c] . 

Data l’arbitrarietà diI, si deduce che (E 1 ∪ E 2 ) ∈ M . 

Con lo stesso procedimento si prova che, per ogni n ∈ N, fissati E 1 ,E 2 ,...,E n ∈ M ,siha: 

n⋃ 

E i ∈ M . 

i=1 

Supponendo di aver provato tale asserto per n = m, fissati E 1 ,E 2 ,...,E m+1 ∈ M ,poniamo: 

cosicché: 

E ′ 1 = 

m⋃ 

E i e E 2 ′ = E m+1 , 

i=1 

(E ′ 1 ∪ E ′ 2)= 

Con gli stessi passaggi eseguiti per E 1 ∪ E 2 ,siprovache(E 1 ′ ∪ E′ 2 ) ∈ M e perciò l’asserto è 

vero anche per n = m + 1, e quindi è vero per ogni n ∈ N. 

m+1 

⋃ 

i=1 

E i . 

Avendo dimostrato che M è chiusa rispetto al complemento assoluto e all’unione finita,


deduciamo che M è chiusa anche rispetto al complemento relativo, in virtù della formula: 

(E 1 \ E 2 )=(E 1 ∩ E2 c )=[ (E1 c )c ∩ E2] c =(E 

c 

1 ∪ E 2 ) c . 

Inoltre M è chiusa rispetto all’intersezione finita poiché: 

[ 

n⋂ n⋂ 

n 

] c 

⋂ 

E i = (Ei c )c = Ei c . 

i=1 i=1 

i=1 

Fissata ora una successione disgiunta (E k ) N 

di elementi di M , dimostriamo la seguente 

formula: 

( 

∞∑ 

∞ 

) 

⋃ 

µ(E k )=µ ∗ E k . (2.1.13) 

k=1 

k=1 

Poniamo: 

n⋃ 

I n = E k ∀ n ∈ N . 

k=1 

Osserviamo in primo luogo che: 

(I n+1 ∩ E n+1 )=E n+1 e (I n+1 ∩ En+1) c =(I n+1 \ E n+1 )=I n . 

Per la misurabilità diE n+1 eperla(2.1.7) avremo: 

µ ∗ (I n+1 )=µ ∗ (I n+1 ∩ E n+1 )+µ ∗ (I n+1 ∩ En+1 c )=µ∗ (E n+1 )+µ ∗ (I n ) . 

Da tale relazione, iterando, si deduce: 

( m 

) 

⋃ 

m∑ 

µ ∗ E k = µ ∗ (E k ) ∀ m ∈ N . (2.1.14) 

k=1 k=1 

Poiché gliE k sono misurabili e µ ∗ è monotona: 

( 

m∑ 

m 

) ( 

⋃ 

∞ 

) 

⋃ 

µ(E k )=µ ∗ E k ≤ µ ∗ E k 

k=1 

k=1 

k=1 

. 

Conseguentemente, per la subadditività diµ ∗ , si ha anche: 

( 

∞∑ 

∞ 

) 

⋃ 

∞∑ 

∞∑ 

µ(E k ) ≤ µ ∗ E k ≤ µ ∗ (E k )= µ(E k ) . 

k=1 

k=1 k=1 

k=1 

Da ciò seguela(2.1.13), che rimane sotto questa forma, poiché nonè ancora stato stabilito


che: 

∞⋃ 

E k ∈ M . 

k=1 

Osserviamo che nella (2.1.14) possiamo sostituire µ a µ ∗ ela(2.1.14) stessa esprime intanto 

la finita additività della µ su M . 

Mostriamo ora che dalla (2.1.13) si deducono le seguenti asserzioni: 

i) Per ogni successione crescente (A k ) N 


( ∞ 

) 

lim µ(A ⋃ 

m)=µ ∗ A n = µ ∗( lim A ) 

n . 

m→∞ n→∞ 

n=1 

ii) Per ogni successione decrescente (B h ) N 


( 

lim µ(B ⋂ ∞ 

m)=µ ∗ 

m→∞ 

k=1 

) 

B k = µ ∗( lim B ) 

m . 

m→∞ 

Al fine di provare la i), teniamo presente che: 

[ 

∞⋃ 

∞ 

] 

⋃ 

A k = A 1 ∪ (A k+1 \ A k ) 

k=1 

e che gli elementi della successione: 

k=1 

A 1 , (A 2 \ A 1 ), (A 3 \ A 2 ),...,(A k+1 \ A k ),... , 

in virtù della crescenza, sono a due a due disgiunti. Inoltre, in virtù della (2.1.13) e delle 

proprietà della classe M stabilite finora, risulta: 

( ∞ 

) 

[ 

⋃ 

∞ 

]} 

⋃ 

∞∑ 

µ ∗ A k = µ 

{A ∗ 1 ∪ (A k+1 \ A k ) = µ(A 1 )+ µ(A k+1 \ A k ) 

k=1 

= µ(A 1 ) + lim 

k=1 

n∑ 

n→∞ 

k=1 

= lim 

n→∞ µ(A n+1) 

µ(A k+1 \ A k ) = lim 

n→∞ 

k=1 

{ 

µ(A 1 )+ 

n∑ [ 

µ(Ak+1 ) − µ(A k ) ]} 

elai) è dimostrata. 

Per stabilire la ii), cominciamo con l’osservare che se (B k ) N è decrescente, ponendo: 

A k =(B 1 \ B k ) ∀ k ∈ N , 

k=1


si ottiene una successione crescente. Poiché µ è sottrattiva su M ,siha: 

lim µ(A k) = lim µ(B 1 \ B k )=µ(B 1 ) − lim µ(B k) . 

k→∞ k→∞ k→∞ 

Per la i) già dimostrata abbiamo allora: 

[ ∞ 

] [ ( 

µ(B 1 ) − lim µ(B ⋃ 

∞ 

)] 

( 

⋂ 

∞ 

) 

⋂ 

k)=µ ∗ (B 1 \ B k ) = µ ∗ B 1 \ B k ≥ µ(B 1 ) − µ ∗ B k 

k→∞ 

k=1 

k=1 

k=1 

, 

da cui segue: 

D’altra parte, essendo: 

per la monotonia di µ ∗ , ricaviamo: 

µ ∗ ( ∞ 

⋂ 

k=1 

B k 

) 

≥ lim 

k→∞ µ(B k) . (2.1.15) 

∞⋂ 

B k ⊂ B n ∀ n ∈ N , 

k=1 

µ ∗ ( ∞ 

⋂ 

k=1 

Dalle (2.1.15) e(2.1.16) si deduce allora la ii). 

B k 

) 

≤ lim 

k→∞ µ(B k) . (2.1.16) 

Proviamo infine che se (E k ) N è una successione qualunque di elementi di M ,risultaanche: 

∞⋃ 

E k ∈ M . 

k=1 

Introduciamo: 

( 

n⋃ 

n 

) 

⋃ 

A n = E h e B n = A c n = S \ E h 

h=1 

h=1 

∀ n ∈ N . (2.1.17) 

Risulta allora che (A n ) N è crescente e (B n ) N è decrescente; inoltre gli elementi A n e B n 

appartengono a M . E’ facile stabilire, usando solo le definizioni: 

∞⋃ 

A n = 

n=1 

( 

∞⋃ ⋃ n 

) 

E k = 

n=1 

k=1 

∞⋃ 

E k (2.1.18) 

k=1 

e 

( 

∞⋂ ∞⋂ n 

) c ( 

⋃ 

∞ 

) c 

⋃ 

B n = E k = E k . (2.1.19) 

n=1 n=1 k=1 

k=1


Per la µ ∗ -misurabilità diA n (e di B n ), fissato comunque I ∈ E (R), si ha: 

µ ∗ (I) =µ ∗ (I ∩ A n )+µ ∗ (I ∩ A c n )=µ∗ | I 

(A n )+µ ∗ | I 

(B n ) . (2.1.20) 

D’altra parte le i) e ii), che abbiamo dimostrato per M , valgono anche per la classe M | I 

degli insiemi µ ∗ | I 

-misurabili e quindi per le successioni (A n ) N 

e(B n ) N 

, in quanto costituite da 

elementi di M | I 

. Perciò dalla (2.1.20) ricaviamo: 

µ ∗ (I) = lim 

n→∞ [µ∗ | I 

(A n )+µ ∗ | I 

(B n )] = lim 

n→∞ µ∗ | I 

(A n ) + lim 

n→∞ µ∗ | I 

(B n ) 

[ ∞ 

] [ 

⋃ 

∞ 

] ( 

⋂ 

∞ 

)] 

⋃ 

= µ ∗ | I 

A n + µ ∗ | I 

B n = µ 

[I ∗ ∩ A n + µ 

[I ∗ ∩ 

n=1 

n=1 

n=1 

( 

⋃ ∞ 

) c ] 

A n 

n=1 

. 

Ciò prova,invirtù delle (2.1.18) e(2.1.19). che l’insieme: 

è µ ∗ -misurabile. 

∞⋃ 

k=1 

E k 

Concludiamo questo paragrafo con alcune fondamentali nozioni: 

Def. 2.1.9 Unamisuraesternaµ ∗ su ℘(S), olamisuraµ da essa generata, si dice regolare 

se, comunque si consideri un sottoinsieme I di S, esiste un sottoinsieme Eµ ∗ -misurabile tale 

che: 

I ⊂ E e µ ∗ (I) =µ(E) . 

In virtù delle nozioni introdotte nella teoria della misura secondo Lebesgue, possiamo dire che 

una misura esterna µ ∗ su ℘(S) è regolare, se ogni elemento di ℘(S) ammette un involucro 

misurabile. 

Teniamo ora presente che in ogni spazio topologico S si possono introdurre gli insiemi di 

Borel. Si indichi con B S (o, se non ci sono equivoci, con B) laσ-algebra di ℘(S) generata dai 

sottoinsiemi aperti di S. 

Def. 2.1.10 Una misura esterna µ ∗ sullo spazio topologico S si chiama misura di Borel 

se ogni boreliano di S è µ ∗ -misurabile. Una misura di Borel si dice poi regolare se, per ogni 

I ∈ ℘(S), esiste un boreliano B tale che: 

I ⊂ B e µ ∗ (I) =µ(B) . 

Si noti che nello spazio R s la misura di Lebesgue è una misura di Borel regolare.

Misure di Stieltjes-Lebesgue su R 77 

Def. 2.1.11 In uno spazio topologico S si chiamano misure di Radon le misure di Borel 

che sono regolari e tali che: 

∀ K ⋐ S : µ(K) < +∞ . 

Sono cioè misure di Radon le misure di Borel che sono finite sui sottoinsiemi compatti di S. 

E’ facile stabilire che la misura di Lebesgue è una misura di Radon. Nel seguito caratterizzeremo 

completamente la classe delle misure di Radon mediante l’integrale di Lebesgue. 

Senza dilungarci oltre, vogliamo segnalare che per le misure di Radon si possono introdurre 

le nozioni fondamentali definite nella teoria della misura secondo Lebesgue. Per ogni elemento 

E di ℘(S) si può, per esempio, definire la misura interna ponendo: 

µ ∗ (E) =supµ(K) 

K⋐I 

e ritrovare le proprietà fondamentali della misura interna legate alla µ ∗ , cioè alla misura 

esterna e alla misura, nonché le approssimazioni della misura mediante le misure di aperti e 

di compatti. 

2.2 Misure di Stieltjes-Lebesgue su R 

Il procedimento seguito per costruire la misura di Lebesgue partendo dalla misura elementare 

sugli intervalli, estesa immediatamente ai plurintervalli, è suscettibile di una importante 

estensione a cui dedichiamo questo paragrafo. 

Premettiamo il seguente: 

Lemma 2.2.1 Se f : R → R è una funzione monotona (per fissare le idee supponiamola non 

decrescente), l’insieme dei punti di f che sono di discontinuità (tutti di prima specie) èalpiù 

numerabile. 

Dim. Notoriamente, se f è monotona, in ogni punto x 0 ∈ R esistono e sono finiti il limite 

sinistro f(x − 0 ) e il limite destro f(x+ 0 )dif(x) nel punto x 0 e si ha l’equivalenza: 

f continua in x 0 ⇐⇒ f(x − 0 )=f(x+ 0 ) . 

Se f non è continua in tutto R, l’insieme: 

D f = { x 0 ∈ R t.c. f(x − 0 )


come conseguenza della monotonia di f. Consideriamo allora una generica funzione F , definita 

in D f e a valori in R, soddisfacente la condizione: 

D f ∋ x 0 −→ F (x 0 ) ∈ ( ]f(x − 0 ),f(x+ 0 )[∩Q) . 

Esistono certamente funzioni F di questo tipo, poiché Q èdensoinR. La possibilità di 

considerarle è legata all’assioma di Zermelo 2 . Una funzione F di questo tipo è necessariamente 

iniettiva per la (2.2.1). Se ne deduce: 

Card D f =CardF (D f ) ≤ Card Q , 

da cui segue la tesi. 

Fissiamo ora una f : R → R non decrescente e continua da sinistra in R. Ciò significa che: 

f(x) =f(x − ) ∀ x ∈ R . 

Con una funzione f di questo tipo, possiamo definire una misura λ f sull’anello P dei plurintervalli 

semiaperti a destra nel seguente modo: 

⎧ 

λ f (∅) =0 

⎪⎨ 

λ f ([a, b[) = f(b) − f(a) 

(2.2.2) 

n∑ 

n⋃ 

⎪⎩ 

λ f (P )= λ f (I k ) ∀ P ∈ P t.c. P = I 3 k e I j ∩ I l = ∅∀j, l 

k=1 

k=1 

Proviamo prima di tutto che la definizione di λ f in P èbenposta. Ciò vuol dire che se un 

plurintervallo semiaperto a destra P ha due rappresentazioni distinte: 

n⋃ 

m⋃ 

P = I k e P = J h (2.2.3) 

k=1 

h=1 

con I 1 ,I 2 ,...,I n intervalli semiaperti a destra a due a due disgiunti, e ugualmente J 1 ,J 2 ,...,J m , 

allora la misura del plurintervallo P non dipende da tale rappresentazione, ossia: 

λ f (P )= 

A tal fine è utile il seguente: 

n∑ 

m∑ 

λ f (I k )= λ f (J h ) . (2.2.4) 

k=1 

Lemma 2.2.2 Se I è un intervallo non vuoto semiaperto a destra e E 1 ,E 2 ,...,E r sono un 

2 Esistono comunque dimostrazioni non zermeliane di questo Lemma, ma risultano più laboriose. 

h=1


numero finito r di intervalli semiaperti a destra a due a due disgiunti e tali che: 

r⋃ 

E k ⊂ I, (2.2.5) 

k=1 

si ha: 

Se inoltre: 

allora: 

r∑ 

λ f (E k ) ≤ λ f (I) . (2.2.6) 

k=1 

r⋃ 

E k = I, 

k=1 

r∑ 

λ f (E k )=λ f (I) . (2.2.7) 

k=1 

Dim. Poiché E 1 ,E 2 ,...,E r sono in numero finito, ponendo: 

E k =[a k ,b k [ 

k =1,...,r 

è lecito ammettere che sia: 

a 1


Dalla definizione di λ f , dalla crescenza di f e dalle (2.2.8) deduciamo: 

( r⋃ 

) 

λ f E k = 

k=1 

r∑ 

r∑ 

r∑ 

λ f (E k )= [f(b k ) − f(a k )] = f(b 1 ) − f(a 1 )+ [f(b k ) − f(a k )] 

k=1 

k=1 

≤ f(b 1 ) − f(a 1 )+ 

r∑ 

[f(b k ) − f(b k−1 )] 

k=2 

= f(b 1 ) − f(a 1 )+f(b 2 ) − f(b 1 )+f(b 3 ) − f(b 2 )+···+ f(b r ) − f(b r−1 ) 

= f(b r ) − f(a 1 ) ≤ f(b) − f(a) , 

cheforniscepropriola(2.2.6). 

Se inoltre abbiamo: 

r⋃ 

[a k ,b k [= [a, b[ , (2.2.11) 

k=1 

è facile riconoscere che in nessuna delle (2.2.8) e(2.2.10) si può avere la disuguaglianza: in 

tal caso, infatti, ci sarebbero punti dell’intervallo [a, b[ che non apparterrebbero all’unione. La 

(2.2.11) implica allora: 

a = a 1 , b r = b e b k = a k+1 per k =1, 2,...,r− 1 . 

e abbiamo di conseguenza: 

r∑ 

r∑ 

r∑ 

λ f (E k )= [f(b k ) − f(a k )] = f(b 1 ) − f(a 1 )+ [f(b k ) − f(b k−1 )] 

k=1 

k=1 

k=2 

= f(b r ) − f(a 1 )=f(b) − f(a) 

= λ f ([a, b[) = λ f (I) , 


k=2 

Possiamo ora provare la (2.2.4). Poiché I k ⊂ P per ogni k =1,...,n,siha: 

( m 

) 

⋃ 

m⋃ 

I k = I k ∩ P = I k ∩ J h = (I k ∩ J h ) k =1,...,n 

h=1 h=1 

e osserviamo che ognuno degli insiemi I k ∩ J h oèvuotooèunintervallononvuotosemiaperto 

adestra.Perla(2.2.7) siha: 

m∑ 

λ f (I k )= λ f (I k ∩ J h ) k =1,...,n, (2.2.12) 

h=1


inglobando nella somma i termini corrispondenti ai casi in cui I k ∩ J h = ∅. Analogamente: 

( n 

) 

⋃ 

n⋃ 

J h = J h ∩ P = J h ∩ I k = (I k ∩ J h ) h =1,...,m 

k=1 k=1 

e quindi anche: 

n∑ 

λ f (J h )= λ f (I k ∩ J h ) h =1,...,m. 

k=1 

Ora osserviamo che da P ∩ P = P e dalle (2.2.3) ricaviamo: 

( n 

) ( 

⋃ 

m 

) 

⋃ 

n⋃ m⋃ 

P = I k ∩ J h = (I k ∩ J h ) (2.2.13) 

k=1 

h=1 k=1 h=1 

e quindi, dalla seconda delle (2.2.3) e dalle (2.2.12) e(2.2.13), si deduce: 

m∑ 

n∑ m∑ 

n∑ 

λ f (P )= λ f (J h )= λ f (I k ∩ J h )= λ f (I k ) , 

h=1 

k=1 h=1 

k=1 

che è proprio la (2.2.4) che volevamo dimostrare. 

Possiamo ora concludere con il seguente: 

Teorema 2.2.3 La funzione di insieme λ f definita sull’anello P dei plurintervalli semiaperti 

adestramediantela(2.2.2) èunamisura. 

Dim. Si deve provare che, fissata una successione (P j ) N 

di elementi di P a due a due 

disgiunti la cui unione èunelementodiP, cioètaliche: 

∞⋃ 

P j = P ∈ P , 

j=1 

allora risulta: 

∞∑ 

λ f (P )= λ f (P j ) . (2.2.14) 

j=1 

Essendo ogni P unione finita e disgiunta di intervalli semiaperti a destra, P sarà unione di 

una successione numerabile di intervalli semiaperti a destra a due a due disgiunti: 

∞⋃ 

P = J h con J h ∩ J k = ∅ per h ≠ k (2.2.15) 

h=1 

e la relazione da dimostrare è: 

∞∑ 

λ f (P )= λ f (J h ) . (2.2.16) 

h=1


Ammettiamo in un primo momento che P sia un intervallo I =[a, b[ e che si abbia J h =[a h ,b h [ 

per ogni h ∈ N cosicché: 

∞⋃ 

[a, b[= [a h ,b h [ . (2.2.17) 

h=1 

La (2.2.14) da dimostrare è allora in questo caso: 

∞∑ 

λ f ([a, b[) = λ f ([a h ,b h [) . (2.2.18) 

h=1 

Dalla (2.2.17) ricaviamo: ( 

⋃ m 

) 

[a h ,b h [ ⊂ [a, b[ 

h=1 

e, per il Lemma 2.2.2, abbiamo: 

m∑ 

λ f ([a h ,b h [) ≤ λ f ([a, b[) 

h=1 

∀ m ∈ N 

∀ m ∈ N 

e quindi: 

∞∑ 

λ f ([a h ,b h [) ≤ λ f ([a, b[) . (2.2.19) 

h=1 

Al fine di provare la disuguaglianza opposta della (2.2.19), fissiamo ad arbitrio ε ∈ R + eper 

ogni h ∈ N scegliamo c h f(a h ) − 

ε 

2 h ∀ h ∈ N . 

Ciòè lecito per la continuità da sinistra della f. Introduciamo gli intervalli semiaperti a destra: 

C h =[c h ,b h [ 

∀ h ∈ N 

e osserviamo che: 

J h =[a h ,b h [ ⊂ ]c h ,b h [=C ◦ h ⊂ [c h,b h [ . 

Conseguentemente, dalla (2.2.17): 

e per ogni fissato n ∈ N: 

[a, b[ ⊂ 

∞⋃ 

h=1 

C ◦ h 

[ 

a, b − 1 ] 

⊂ [a, b[ ⊂ 

n 

∞⋃ 

Ch ◦ . 

Poiché [a, b − 1 n ]ècompattoe(C◦ h ) N è un ricoprimento aperto di [a, b − 1 n 

], esiste un intero 

h=1


p(n) ∈ N tale che: 

[ 

a, b − 1 ] p(n) 

⋃ 

⊂ 

n 

h=1 

C ◦ h 

Poiché λ f è monotona su P, avremo: 

e 

[ 

a, b − 1 [ p(n) 

⋃ 

⊂ [c h ,b h [ . 

n 

h=1 

([ 

λ f a, b − 1 [) p(n) 

∑ ( 

≤ λ f [ch ,b h [ ) = 

n 

h=1 

p(n) 

∑ 

≤ 

h=1 

p(n) 

∑[ f(bh ) − f(c h ) ] 

h=1 

[ 

f(b h ) − f(a h )+ 

ε ] 

2 h ≤ 

Data l’arbitrarietà diε si deduce: 

([ 

λ f a, b − 1 [) ∞∑ ( 

≤ λ f [ah ,b h [ ) , 

n 

ossia: 

f 

( 

b − 1 ) 

− f(a) ≤ 

n 

h=1 

∞∑ ( 

λ f [ah ,b h [ ) + ε. 

h=1 

∞∑ ( 

λ f [ah ,b h [ ) . 

h=1 

Poiché f è continua da sinistra si ha: 

lim 

(b f − 1 ) 

= f(b) 

n→∞ n 

e perciò dalla (??) si ottiene: 

( ) ∑ 

∞ ( 

λ f [a, b[ = f(b) − f(a) ≤ λ f [ah ,b h [ ) . (2.2.20) 

La (2.2.20), con la (2.2.19), prova la (2.2.18): ècosì dimostrata la (2.2.14) quando P èun 

intervallo semiaperto a destra. 

Sia ora P fornito dalla prima delle (2.2.3). Intanto, per la (2.2.15), abbiamo: 

e, analogamente: 

( ∞ 

) 

⋃ 

I k = I k ∩ P = I k ∩ J h = 

h=1 

( ∞ 

) 

⋃ 

J h = J h ∩ P = J k ∩ I k = 

k=1 

h=1 

∞⋃ 

(I k ∩ J h ) k =1,...,n (2.2.21) 

h=1 

∞⋃ 

(J h ∩ I k ) h =1,...,m. (2.2.22) 

k=1


Applicando allora la prima parte del Teorema, già stabilita per gli intervalli semiaperti a 

destra, alla (2.2.21) e successivamente applicando il Lemma 2.2.2 alla (2.2.22), otteniamo: 

λ f (P )= 

= 

n∑ 

n∑ ∞∑ 

λ f (I k )= λ f (I k ∩ J h ) 

k=1 

∞∑ 

k=1 h=1 

n∑ 

λ f (I k ∩ J h )= 

h=1 k=1 

h=1 

Ciò prova allora la (2.2.16) e quindi la (2.2.14). 

∞∑ 

λ f (J h ) . 

Avendo dimostrato che λ f è una misura sull’anello P degli intervalli semiaperti a destra, 

possiamo introdurre la misura esterna λ ∗ f indotta da λ f su tutto ℘(R). Chiameremo M f la 

classe dei sottoinsiemi di R che sono λ ∗ f -misurabili. Indicheremo con λ f la misura indotta da 

λ ∗ f su M f e la chiameremo misura di Stieltjes-Lebesgue su R determinata da f. 

E’ evidente che se si fissa: 

f(x) =i R (x) =x ∀ x ∈ R , 

cioè se si prende come f l’applicazione identica di R su R, siha: 

λ iR = µ misura di Lebesgue e M iR = M . (2.2.23) 

Per intravvedere la portata della costruzione effettuata con λ f , osserviamo che M f 

σ-algebra, e quindi una classe monotona, e dalla relazione: 

{x 0 } = 

∞⋂ 

n=1 

[ 

x 0 ,x 0 + 1 ] 

n 

è una 

deduciamo: 

( 

λ f {x0 } ) ([ 

= lim λ f x 0 ,x 0 + 1 [) [ ( 

= lim f x 0 + 1 ) ] 

− f(x 0 ) 

n→∞ n n→∞ n 

(2.2.24) 

= f(x + 0 ) − f(x 0)=f(x + 0 ) − f(x− 0 ) . 

Possiamo concludere con il seguente: 

Teorema 2.2.4 Per ogni funzione non decrescente f di R in R, la misura di Stieltjes-Lebesgue 

λ f determinata da f èunamisuradiBorelσ-finita per la quale ogni singleton {x 0 },conx 0 

punto di discontinuità dif, hamisuraugualealsalto,cioè: 

λ f 

( 

{x0 } ) = f(x + 0 ) − f(x− 0 ) > 0 . (2.2.25)


Inoltre, se sono finiti i limiti: 

la misura λ f è finita. 

f(−∞) = 

lim f(x) e f(+∞) = lim f(x) , 

x→−∞ x→+∞ 

Dim. Lamisuraλ f èdiBorelperché M f , contenendo l’anello dei plurintervalli semiaperti 

a destra ed essendo una σ-algebra, contiene la σ-algebra B generata da P. Inoltre λ f è 

σ-finita poiché, per ogni n ∈ N: 

λ f 

( 

[−n, n[ 

) 

= f(n) − f(−n) < +∞ 

e 

λ f (R) = lim λ ( ) [ ] 

f [−n, n[ = lim f(n) − f(−n) . (2.2.26) 

n→∞ n→∞ 

La (2.2.25) segue allora dalla (2.2.23) mentre l’ultima parte del Teorema si deduce dalla 

(2.2.26). 

E’ di fondamentale importanza il seguente: 

Teorema 2.2.5 Se ν è una misura di Borel in R, finita sui plurintervalli semiaperti a destra, 

esiste una funzione non decrescente f, continua da sinistra in ogni punto di R, tale che: 

ν = λ f su B . (2.2.27) 

La f è determinata a meno di una costante additiva. 

Dim. Fissiamo un punto z 0 ∈ R e poniamo per ogni x ∈ R: 

⎧ 

ν ( [z ⎪⎨ 0 ,x[ ) se x>z 0 

f(x) = 0 se x = z 0 

(2.2.28) 

⎪⎩ 

− ν ( [x, z 0 [ ) se x


Se x 1


Si riconosce, in ogni caso, che: 

∞⋂ 

[x n ,z 0 [= [x 0 ,z 0 [ . (2.2.31) 

n=1 

Se x 0


Se, per esempio, è z 1

Spazi mensurali 89 

Dim. Introduciamo la classe: 

Ã = { E ∈ ℘(S) t.c. ∃ I,J ∈A t.c. I ⊂ E ⊂ J e µ(J \ I) =0 } . 

E’ ovvio che A⊂Ã. ProviamocheÃ è una σ-algebra. E’ immediato verificare che Ã è chiusa 

rispetto al complemento assoluto. Infatti, da: 

I ⊂ E ⊂ J 

segue: 

e 

e quindi: 

J c ⊂ E c ⊂ I c 

µ (I c \ J c )=µ(J \ I) 

E ∈ Ã⇐⇒Ec ∈ Ã . 

Proviamo che Ã è chiusa rispetto all’unione numerabile. Sia (E n) N 

una successione numerabile 

di elementi di Ã. Per ogni n ∈ N, fissiamo I n ,J n ∈Ain modo che: 

I n ⊂ E n ⊂ J n e µ(J n \ I n )=0. 

Ricaviamo: 

epoiché A è una σ-algebra: 

∞⋃ ∞⋃ ∞⋃ 

I n ⊂ E n ⊂ 

n=1 n=1 n=1 

J n 

∞⋃ 

I n ∈A 

n=1 

e 

∞⋃ 

J n ∈A. 

n=1 

Inoltre: 

e 

Perciò: 

[( 

⋃ ∞ 

) ( ∞ 

)] 

⋃ 

∞⋃ 

J n \ I n ⊂ (J n \ I n ) 

n=1 

n=1 

n=1 

( ∞ 

) ( 

⋃ 

∞ 

) 

⋃ 

∞⋃ 

∞∑ 

µBq J n \ I n ≤ µBq (J n \ I n ) ≤ µ(J n \ I n )=0. 

n=1 

n=1 

n=1 

n=1 

∞⋃ 

E n ∈ Ã 

n=1 

e quindi Ã è una σ-algebra.


Per ogni E ∈ Ã poniamo: 

˜µ(E) :=µ(I) se I ⊂ E ⊂ J e µ(J \ I) =0. (2.3.1) 

Tale definizione è ben posta perché se per uno stesso E esiste un’altra coppia I 1 ,J 1 tale che: 

I 1 ⊂ E ⊂ J 1 e µ(J 1 \ I 1 )=0, 

allora: 

Infatti: 

µ(I 1 )=µ(I) e µ(I 1 △I) =0. 

(I 1 \ I) ⊂ (J \ I) e (I \ I 1 ) ⊂ (J 1 \ I 1 ) . 

La ˜µ è poi nulla sull’insieme vuoto e inoltre è sempre non negativa. 

Mostriamo che la ˜µ è σ-additiva. A tal fine, fissiamo una successione (E n ) N 

di elementi 

disgiunti di Ã. Per ogni n ∈ N, determiniamo I n ∈Atale che: 

I n ⊂ E n e ˜µ(E n )=µ(I n ) . 

Poiché anche la successione (I n ) N è costituita da elementi disgiunti, per la σ-additività diµ 

in A abbiamo allora: 

( ∞ 

) ( 

⋃ 

∞ 

) 

⋃ 

∞∑ 

∞∑ 

˜µ E n = µ I n = µ(I n )= ˜µ(E n ) . 

n=1 

n=1 n=1 

n=1 

Mostriamo infine che la ˜µ è completa. Si deve allora provare che ogni F ∈T˜µ èelemento 

di Ã eche˜µ(F ) = 0. Il fatto che F ∈T˜µ vuol dire: 

∃ E ∈ Ã t.c. F ⊂ E e ˜µ(E) =0, 

D’altra parte E ∈ Ã significa: 

∃ I,J ∈A t.c. I ⊂ E ⊂ J e µ(J \ I) =0 

e inoltre, per definizione: 

˜µ(E) =µ(I) . 

Allora, poiché dalla definizione di F ∈T˜µ deve essere ˜µ(E) = 0, segue che anche µ(I) =0e 

ciò implica che µ(J) = 0. Infine, poiché: 

∅⊂F ⊂ E ⊂ J e µ(J \∅)=µ(J) =0,

Spazi mensurali 91 

allora: 

F ∈A e ˜µ(F )=µ(∅) =0 

eilTeoremaè completamente provato. 

Notiamo infine: 

Prop. 2.3.5 La completezza di uno spazio mensurale (S, A,µ) è equivalente alle asserzioni: 

a) N µ = T µ 

b) N µ è ereditaria.

92 Teoria Generale della Misura

3 

Funzioni Numeriche Misurabili 

3.1 Definizioni e prime proprietà 

Fissiamo un sottoinsieme misurabile non vuoto I di R s ,cioè I ∈ L (R s ), e una funzione: 

f : 

I −→ R 

e per ogni α ∈ R poniamo: 

A α = { x ∈ I t.c. f(x) >α } (3.1.1) 

L’insieme A α si chiama insieme di distribuzione della funzione f. Ha un ruolo fondamentale 

la seguente: 

Def. 3.1.1 Una funzione f si dice misurabile se, per ogni α ∈ R, l’insieme di distribuzione 

A α è misurabile. 

Una prima caratterizzazione delle funzioni numeriche misurabili è fornita dal seguente: 

Teorema 3.1.2 Fissati I ∈ L (R s ) e f : I → R, sono equivalenti: 

a) La funzione f è misurabile. 

b) Per ogni α ∈ R, l’insieme: 

B α = { x ∈ I t.c. f(x) ≥ α } 

è misurabile. 

c) Per ogni α ∈ R, l’insieme: 

C α = { x ∈ I t.c. f(x)

94 Funzioni Numeriche Misurabili 

d) Per ogni α ∈ R, l’insieme: 

D α = { x ∈ I t.c. f(x) ≤ α } 

è misurabile. 

Dim. E’ immediato stabilire, qualunque sia α ∈ R, che: 

A α = I \ D α e D α = I \ A α (3.1.2) 

e 

C α = I \ B α e B α = I \ C α . (3.1.3) 

Dalle (3.1.2) segue allora che a) e d) sono equivalenti, mentre dalle (3.1.3) seguecheb) e c) 

sono equivalenti. 

Stabiliamo ora due importanti relazioni tra gli insiemi di tipo A e quelli di tipo B. Fissato 

α ∈ R, siha: 

∞⋃ 

A α = 

(3.1.4) 

e 

B α = 

n=1 

∞⋂ 

n=1 

B α+ 

1 

n 

A α− 

1 

n 

. (3.1.5) 

Tenendo presente che L (R s )è chiusa rispetto all’unione numerabile e all’intersezione numerabile, 

dalla (3.1.4) si deduce che la b) implica la a) e dalla (3.1.4) seguechelaa) implica la 

b). Ciòprovachea), b), c) e d) sono equivalenti. 

Rimane da dimostrare la validità delle (3.1.4) e(3.1.5). Intanto abbiamo: 

x ∈ A α ⇐⇒ f(x) >α ⇐⇒ ∃ n ∈ N t.c. f(x) ≥ α + 1 n ⇐⇒ x ∈ ∞ ⋃ 

n=1 

B α+ 

1 

n 

(3.1.6) 

equestaequivalenzaprovala(3.1.4). Inoltre: 

x ∈ B α ⇐⇒ f(x) ≥ α ⇐⇒ f(x) ≥ α − 1 n 

etaleequivalenzadimostrala(3.1.5). 

∀ n ∈ N ⇐⇒ x ∈ 

∞⋂ 

n=1 

A α− 

1 

n 

(3.1.7) 

In seguito, se vorremo specificare che gli insiemi A α , B α , C α e D α sono relativi a una 

funzione f li indicheremo con A α (f), B α (f), C α (f) eD α (f).

Definizioni e prime proprietà 95 

Prop. 3.1.3 Sia f : I → R. Sef è misurabile, per ogni numero reale r è misurabile l’insieme: 

f −1 (r) = { x ∈ I t.c. f(x) =r } , (3.1.8) 

cioè il sottoinsieme di I in cui f assume il valore r. 

Dim. Ricordiamo intanto che f −1 (r) sichiamalacontroimmagine di r. Basta poi 

osservare che, qualunque sia r ∈ R: 

f −1 (r) =B r ∩ D r , (3.1.9) 

da cui segue immediatamente la tesi. 

Prop. 3.1.4 Nella definizione di misurabilità di una funzione data dalla Def. 3.1.1, ilquantificatore 

∀ α ∈ R può essere sostituito da ∀ α ∈ Q. 

Dim. La dimostrazione si ottiene dalle (3.1.4) e(3.1.5) utilizzando successioni di razionali 

monotone e convergenti ad α al posto delle successioni (α + 1 n ) N e(α − 1 n ) N . 

Teorema 3.1.5 Fissato I ∈ L (R s ), siano assegnate le funzioni: 

f : I −→ R e g : I −→ R . 

Sono allora vere le seguenti implicazioni: 

a) Se f è misurabile =⇒ (−f) è misurabile. 

b) Se f e g sono misurabili =⇒ (f + g) e (f − g) sono misurabili. 

c) Se f è misurabile =⇒ |f | è misurabile. 

d) Se f e g sono misurabili =⇒ (f g) è misurabile. 

Dim. Laa) segue facilmente da: 

A α (−f) = { x ∈ I t.c. − f(x) >α } = { x ∈ I t.c. f(x) < −α } = C −α (f) , 

tenendo conto dell’equivalenza tra la a) elac) del Teorema 3.1.2. 

Per dimostrare la b), si utilizza la formula: 

A α (f + g) = ⋃ [ 

Ar (f) ∩ A α−r (g) ] (3.1.10) 

r∈Q


insieme al fatto che Q è numerabile e che l’unione numerabile di insiemi misurabili è misurabile. 

Per provare la (3.1.10), osserviamo che ovviamente: 

⋃ [ 

Ar (f) ∩ A α−r (g) ] ⊂ A α (f + g) . (3.1.11) 


r∈Q 

x ∈ A α (f + g) ⇐⇒ f(x)+g(x) >α =⇒ ∃r ∈ Q t.c. f(x) >r e g(x) >α− r. 

(3.1.12) 

Per fissare un r ∈ Q con tale proprietà, scegliamo ε ∈ R + in modo che: 

f(x)+g(x) >α+ ε>α 

e r ∈ Q in modo che: 

f(x) − εα+ ε − ε = α 

e 

La (3.1.12) significa: 

f(x) >r e g(x) >α− r. 

A α ⊂ ⋃ [ 

Ar (f) ∩ A α−r (g) ] . (3.1.13) 

r∈Q 

Dalle (3.1.11) e(3.1.13), per il principio di doppia inclusione, segue la (3.1.10). Dalla (3.1.10) 

segue poi che f + g è misurabile e quindi, per la a), cheanchef − g è misurabile. E’ quindi 

provata la b). 

Proviamo ora la c). A tal fine, introduciamo le funzioni: 

f + (x) = 

{ 

f(x) su A0 (f) 

0 su D 0 (f) 

e f − (x) = 

{ 

0 su B0 (f) 

− f(x) su C 0 (f) , (3.1.14) 

che saranno denominate rispettivamente parte positiva e parte negativa di f. Tali funzioni 

sono entrambe positive o, al più, nulle, definite in tutto I = A 0 (f) ∪ D 0 (f) =B 0 (f) ∪ C 0 (f) 

e sono misurabili in quanto dalla (3.1.14) si deduce: 

A α (f + )=A α (f) ∀ α ≥ 0 e A α (f + )=I ∀ α


Dalla misurabilità dif + e f − ,perlab), si deduce la c), poiché: 

| f | = f + + f − . (3.1.17) 

E’ importante anche tener presente la relazione: 

f = f + − f − . (3.1.18) 

Per dimostrare la d), osserviamo che: 

fg=(f + − f − )(g + − g − )=f + g + − f − g + − f + g − + f − g − . (3.1.19) 

In virtù della b), è sufficiente dimostrare la d) sotto l’ipotesi: 

f ≥ 0 e g ≥ 0 . (3.1.20) 

A tal fine, proviamo la seguente formula, valida sotto l’ipotesi (3.1.20): 

A α (fg)= ⋃ [ 

] 

A r (f) ∩ A α (g) ∀ α>0 . (3.1.21) 

r 

r∈Q + 

Anche questa uguaglianza si prova con il principio di doppia inclusione. E’ evidente che: 

x ∈ ⋃ [ 

] 

A r (f) ∩ A α (g) ⇐⇒ ∃ r ∈ Q 

r + t.c. f(x) >r e g(x) > α r 

r∈Q + 

=⇒ ∃r ∈ Q + t.c. f(x) g(x) >α 

=⇒ x ∈ A α (fg) 

e perciò: 


⋃ [ 

] 

A r (f) ∩ A α (g) ⊂ A 

r α (fg) . (3.1.22) 

r∈Q + 

x ∈ A α (fg) ⇐⇒ f(x) g(x) >α. 

Fissiamo allora ε ∈ R + tale che: 

f(x) g(x) > (1 + ε) α 

e scegliamo r ∈ Q + in modo che: 

f(x) 

1+ε


scelta sempre possibile per la densità diQ in R. Seguirà: 

g(x)(1+ε) >g(x) f(x) 

r 

> 

(1 + ε) α 

r 

e perciò: 

g(x) > α r . 

In conclusione abbiamo: 

ossia: 

f(x) g(x) >α =⇒ ∃r ∈ Q + t.c. f(x) >r e g(x) > α r 

=⇒ x ∈ ⋃ [ 

] 

A r (f) ∩ A α (g) , 

r 

r∈Q + 

A α (fg) ⊂ ⋃ 

r∈Q + 

[ 

A r (f) ∩ A α 

r (g) ] 

. (3.1.23) 

Dalle (3.1.22) e(3.1.23) segue allora la (3.1.21). D’altra parte, dall’ipotesi (3.1.20) si ottiene 

facilmente: 

A 0 (fg)=A 0 (f) ∩ A 0 (g) . (3.1.24) 

Dalle (3.1.21) e(3.1.24) deduciamo che A α (fg)è misurabile per ogni α ≥ 0. 

A α (fg)=I per ogni α


La tesi è allora ovvia. 

Notiamo poi che la Prop. 3.1.6 conferisce allo spazio delle funzioni misurabili la struttura 

di spazio vettoriale. Nel seguito allora indicheremo con Λ I lo spazio vettoriale di tutte le 

funzioni misurabili definite sull’insieme misurabile I. 

Def. 3.1.8 Si dicono semplici tutte le funzioni misurabili aventi il codominio costituito da 

un numero finito di elementi e si indica con Σ I il sottoinsieme di Λ I costituito da tutte le 

funzioni semplici e misurabili su I. 

Prop. 3.1.9 Il sottoinsieme Σ I è un sottospazio vettoriale di Λ I . Inoltre, per ogni funzione 

semplice s ∈ Σ I , avente per codominio { } 

c 1 ,c 2 ,...,c n ,conch ≠ c k se h ≠ k, esiste una 

partizione misurabile E 1 ,E 2 ,...,E n di I tale che 1 la funzione: 

n∑ 

c k χ Ek 

(3.1.25) 

k=1 

coincide con s in I. Viceversa, ogni combinazione lineare di funzioni caratteristiche misurabili 

è una funzione semplice. 

Dim. Ogni combinazione lineare di funzioni misurabili aventi codominio costituito da un 

numero finito di elementi di R è misurabile e ha codominio costituito da un numero finito di 

elementi di R. Perciò Σ I è un sottospazio vettoriale di Λ I . 

Considerato il codominio { } 

c 1 ,c 2 ,...,c n della funzione semplice s ∈ ΣI ,poniamo: 

E j = s −1 (c j ) , per j =1, 2,...,n. (3.1.26) 

Per la Prop. 3.1.3, l’insieme E j è misurabile e, poiché c h ≠ c k per h ≠ k, deduciamo che 

E 1 ,E 2 ,...,E n è una partizione di I, cioè: 

n⋃ 

I = E j con E h ∩ E k = ∅ se h ≠ k. 

j=1 

Fissiamo allora un qualunque x ∈ I. Sex ∈ E k , abbiamo: 

n∑ 

c j χ Ej 

(x) =c k = s(x) ∀ x ∈ I. 

j=1 

Ciò prova che la funzione semplice s coincide con la combinazione lineare (3.1.25). 

1 Si noti che nella Teoria di Riemann si utilizzano le funzioni a scala, definite da una particolare partizione, 

cioè quella costituita da intervalli.


E’ poi evidente che ogni combinazione lineare di funzioni caratteristiche misurabili èmisurabile 

e ha codominio costituito da un numero finito di elementi di R ed è perciò una funzione 

semplice. 

E’ utile ora ampliare la classe delle funzioni misurabili considerando funzioni che possano 

assumere anche i valori +∞ e −∞. Ammetteremo d’ora in poi che le funzioni in considerazione 

siano del tipo: 

f : I −→ ˜R =[−∞, +∞] 

e siano di misura nulla gli insiemi in cui f assume i valori +∞ e −∞, cioè: 

µ [ f −1 (−∞) ] = µ [ f −1 (+∞) ] =0. (3.1.27) 

Useremo inoltre la convenzione esposta nella seguente: 

Def. 3.1.10 Fissati uno spazio mensurale (S, A,µ) e una proprietà P relativa ai punti di S, 

diremo che “P è vera quasi ovunque in S” (oche“P è vera q.o. in S”) tutte le volte che 

sia di misura nulla il sottoinsieme di S costituito dai punti x in cui P non è vera. 

Possiamo cominciare a utilizzare questa convenzione per le funzioni a valori in ˜R, affermando 

che considereremo funzioni che assumono quasi ovunque valore finito. 

E’ opportuno osservare che, essendo d’ora in poi le nostre funzioni a valori in ˜R, tutte le 

operazioni su di esse sono sempre quasi ovunque definite. Eviteremo in questo modo di dover 

considerare i casi in cui si hanno espressioni indeterminate come ∞−∞,0·∞, ecc.... 

Teorema 3.1.11 Sia f : I → ˜R q.o. finita. Se f è misurabile ed èq.o. f(x) ≠0,allorala 

funzione 1 f è misurabile e per ogni funzione misurabile g : I → ˜R anche g f è misurabile. 

Dim. Poichéè di misura nulla l’insieme N 0 dei punti in cui f(x) = 0, la funzione 1 f 

definita in I. E’ facile stabilire le seguenti relazioni: 

èq.o. 

• Se α>0: 

( ) 1 

A α = 

f 

{ 

x ∈ I 

t.c. 

= A 0 (f) ∩ C 1 (f) . 

α 

} { 

1 

f(x) >α = x ∈ I t.c. f(x) > 0 e f(x) < 1 } 

α 

• Se α =0: 

A 0 

( 1 

f 

) 

= A 0 (f) .


• Se αα { 

= x ∈ I t.c. f(x) < 0 e 

{ 

= x ∈ I t.c. f(x) < 0 e − f(x) > − 1 α 

} 

1 

−f(x) < −α 

∪ A 0 (f) ∪ N 0 (f) 

} 

∪ A 0 (f) ∪ N 0 (f) 

= A − 

1 (−f) ∪ A 0 (f) ∪ N 0 (f) . 

α 

1 

Dalla misurabilità dif edi−f si deduce quindi la misurabilità di 

f . 

Teniamo presente che la funzione 1 f è quasi ovunque diversa da zero poiché èdimisura 

nulla l’insieme in cui la funzione f assume i valori +∞ o −∞. Perciò la funzione g 1 f èquasi 

ovunque definita in I e, per la d) del Teorema 3.1.5, è anch’essa misurabile. 

Ha fondamentale importanza riconoscere che i Teoremi 3.1.2 e 3.1.5 eleProp. 3.1.3 e 

3.1.6 valgono anche per le funzioni a valori in ˜R, quasi ovunque definite e quasi ovunque finite. 

Infatti le relazioni insiemistiche che sono state utilizzate per le loro dimostrazioni restano 

ancora valide trascurando insiemi di misura nulla. 

E’ necessario tener presente che, d’ora in poi, considereremo solo funzioni misurabili, anche 

se talvolta, per brevità, non lo diremo esplicitamente. Più che “funzioni”, adopereremo “classi 

di equivalenza di funzioni”: apparterranno a una stessa classe di equivalenza due funzioni 

misurabili che sono quasi ovunque uguali sullo stesso insieme di definizione. 

Def. 3.1.12 Una funzione f : I → ˜R, diversa da zero q.o. in I, con µ(I) > 0, si dice 

essenzialmente limitata superiormente se esiste k ∈ R tale che l’insieme A k (f) ha misura 

nulla. Si chiama poi estremo superiore essenziale di f il più piccolo k per cui µ [ A k (f) ] = 

0. Più esplicitamente: 

sup ess f =min { k ∈ R t.c. µ [ A k (f) ] =0 } . (3.1.28) 

Prop. 3.1.13 La definizione 3.1.12 è ben posta, ossia il minimo nella (3.1.28) esiste realmente. 

Dim. Poniamo infatti, come è lecito: 

e ′′ =inf { k ∈ R t.c. µ [ A k (f) ] =0 } . 

Non può essere e ′′ = −∞, poiché sarebbe di misura nulla l’insieme degli x in cui f(x) ≠0. 

Perciò dovrà essere e ′′ ∈ R: costruiamo una successione (k n ) N 

strettamente decrescente e tale


che k n → e ′′ esia: 

µ [ A kn (f) ] =0 ∀ n ∈ N . 

Poiché k n >k n+1 , segue che: 

f(x) >k n =⇒ f(x) >k n+1 

eciò significa che la successione degli insiemi A kn è crescente per inclusione. D’altra parte è: 

∞⋃ 

A e ′′(f) ⊂ A kn (f) . 

n=1 

Infatti f(x) >e ′′ implica che esiste ν ∈ N tale che: 

f(x) >k ν >e ′′ , 

ossia x ∈ A kν . Dalla misurabilità degliA kn 

[ ∞ 

] 

⋃ 

µ A kn (f) 

n=1 

e dalla loro crescenza si ricava: 

= lim 

n→∞ µ[ A kn (f) ] =0 


µ [ A e ′′(f) ] =0. 

Perciò e ′′ èilpiù piccolo dei k per cui µ [ A k (f) ] =0. 

Analogamente si introduce: 


essenzialmente limitata inferiormente se esiste h ∈ R tale che l’insieme C h (f) ha misura 

nulla. Si chiama poi estremo inferiore essenziale di f il più grandeh per cui µ [ C h (f) ] =0. 

Più esplicitamente: 

inf ess f =max { h ∈ R t.c. µ [ C h (f) ] =0 } . (3.1.29) 

Ragionando in modo analogo a quanto fatto per l’estremo superiore essenziale, si prova che la 

(3.1.29) èbenposta. 


essenzialmente limitata se lo è sia inferiormente sia superiormente. Per una funzione f 

essenzialmente limitata si ha: 

inf ess f ≤ f(x) ≤ sup ess f q.o. in I.

Successioni di funzioni numeriche misurabili 103 

Si possono dimostrare facilmente le seguenti: 

Prop. 3.1.16 Una funzione f : I → ˜R è essenzialmente limitata se e solo se lo è | f | . 

Prop. 3.1.17 Se due funzioni q.o. uguali sono entrambe essenzialmente limitate superiormente, 

allora hanno lo stesso estremo superiore essenziale. 

Analogo è, infine, il risultato relativo all’essenziale limitatezza inferiore: 

Prop. 3.1.18 Se due funzioni q.o. uguali sono entrambe essenzialmente limitate inferiormente, 

allora hanno lo stesso estremo inferiore essenziale. 

3.2 Successioni di funzioni numeriche misurabili 

Indicheremo con (f n ) N una successione di funzioni numeriche: 

f n : I −→ ˜R n =1, 2,... 

con I ⊂ L (R s ) e di misura positiva, cioè µ(I) > 0. Porremo poi: 

e ∗ (x) =supf n (x) 

n 

e ∗ (x) =inf f n(x) 

n 

L(x) =inf 

n 

l(x) =sup 

n 

sup f m (x) 

m≥n 

inf f m(x) 

m≥n 

Teorema 3.2.1 Se le funzioni f 1 ,f 2 ,...,f n ,... sono misurabili, sono misurabili anche e ∗ ,e ∗ ,L 

e l. 

Dim. Eliminando da I un’unione numerabile di insiemi di misura nulla, è lecito supporre 

che tutte le funzioni f n (x) abbiano valore in R. E’ facile stabilire: 

Infatti, fissato α ∈ R, risulta: 

C α (e ∗ )= 

∞⋃ 

C α (f n ) ∀ α ∈ R . 

n=1 

x ∈ C α (e ∗ ) ⇐⇒ e ∗ (x)


Dalla misurabilità degli insiemi C α (f n ) per ogni n ∈ N, segue la misurabilità diC α (e ∗ ). Poiché 

ciò è vero per ogni α ∈ R, la funzione e ∗ risulta misurabile. 

Si deduce poi automaticamente la misurabilità die ∗ in quanto: 

e ∗ [ 

(x) =− inf −fn (x) ] . 

n 

Poiché, di conseguenza, sono misurabili gli elementi delle due successioni: 

sup f m (x) n =1, 2,... e inf f m(x) n =1, 2,... , 

m≥n 

m≥n 

saranno misurabili anche L(x) el(x). 

Ricordiamo che L(x) sichiamamassimo limite di [ f n (x) ] N 

limite di [ f n (x) ] e si suole porre: 

N 

e l(x) sichiamaminimo 

L(x) = lim 

′′ f n (x) o anche L(x) = lim f n(x) 

n→∞ 

n→∞ 

l(x) = lim 

′ f n (x) o anche l(x) = lim f n (x) 

n→∞ 

n→∞ 

Sussiste il fondamentale: 

Teorema 3.2.2 La successione (f n ) N 

ha come limite la funzione f : I → R se e solo se 

risulta: 

L(x) =l(x) =f(x) q.o. in I. 

Dim. Dal risultato riguardante le successioni numeriche (a n ) N 

che asserisce: 

segue automaticamente la tesi. 

∃ 

lim a n = l ∈ ˜R ⇐⇒ 

n→∞ 

lim 

′′ a n = lim 

′ a n = l, 

n→∞ n→∞ 

Teorema 3.2.3 Sia fissata una successione di funzioni misurabili (f n ) N 

definite nello stesso 

insieme misurabile I. Se esiste una funzione f : I → ˜R tale che: 

lim f n(x) =f(x) q.o. in I, 

n→∞ 

allora anche la funzione f, definita q.o. in I, è misurabile. 

Dim. Segue automaticamente dai Teoremi 3.2.1 e 3.2.2.

Successioni di funzioni numeriche misurabili 105 

Osservazione. Poiché le funzioni che prendiamo in considerazione possono assumere i 

valori −∞ e +∞ su insiemi di misura nulla, l’ipotesi sulla successione (f n ) N nei Teoremi 

3.2.2 e 3.2.3 èche [ f n (x) ] sia convergente quasi ovunque in I. 

N 

Teorema 3.2.4 Ogni funzione f : I → ˜R che sia misurabile èillimitediunasuccessionedi 

funzioni semplici (s n ) N 

.Sef ≥ 0, alloraè possibile scegliere ciascuna s n positiva o nulla e la 

successione (s n ) N 

in modo che sia non decrescente. 

Dim. Supponiamo dunque f ≥ 0. Per ogni n ∈ N, dividiamo l’intervallo [0,n[in2 n n 

intervalli uguali, dividendo ciascun intervallo [k, k +1[ in 2 n intervalli, mediante i punti di 

divisione k + 

j 

2 

,perj =1, 2,...,2 n − 1 2 . Fissato n, poniamo: 

n 

s n (x) = j − 1 

2 n nei punti in cui 

j − 1 

2 n ≤ f(x) < j 

2 n (3.2.1) 

s n (x) =n nei punti in cui f(x) ≥ n. (3.2.2) 

Poiché sono misurabili gli insiemi definiti dagli x ∈ I dove: 

j − 1 

2 n ≤ f(x) < j 

2 n j =1, 2,...,2 n n (3.2.3) 

e quello dove: 

f(x) ≥ n, (3.2.4) 

allora s n (x) è una funzione semplice, qualunque sia n ∈ N. Per stabilire che: 

s n (x) ≤ s n+1 (x) ∀ x ∈ I, (3.2.5) 

osserviamo quanto segue. Per [ determinare [ il valore di s n+1 (x), quando èveragiàla(3.2.3), 

si deve dividere l’intervallo j−1 j 

2 

, n 2 

in due parti uguali mediante il punto di suddivisione 

n 

j−1 

2 

+ 1 

n 2 

. Allora, per lo stesso valore di x per cui si ha la (3.2.3), dovrà verificarsi uno dei 

n+1 

due casi: 

j − 1 

2 n ≤ f(x) < j − 1 

2 n + 1 

2 n+1 o 

j − 1 

2 n + 1 

j 

≤ f(x) < 

2n+1 2 n 

eciòprovala(3.2.5), in virtù della (3.2.1). 

Per stabilire che (s n ) N 

ha per limite f, osserviamo che se f(x) ∈ R, per ogni n ∈ N per 

cui f(x)


e perciò: 

s n (x) −→ f(x) . 

Se f(x) =+∞, allora s n (x) =n → +∞. 

Se f è di segno qualunque, utilizzando la decomposizione f = f + − f − , costruiamo le 

due successioni di funzioni semplici (s + n ) N 

e(s − n ) N 

, aventi per limite rispettivamente f + e f − . 

Allora la successione di funzioni semplici (s + n − s − n ) N 

avrà come limite f in I: infatti, per gli 

x in cui f + =+∞, f − è nulla e lo sono anche tutte le s − n , mentre nei punti in cui f − =+∞, 

f + è nulla e sono nulle tutte le s + n . 

3.3 Convergenza quasi uniforme 

La convergenza quasi ovunque è solo una delle possibili convergenze nello spazio vettoriale Λ I . 

Rispetto alla convergenza quasi ovunque, possiamo affermare che il sottospazio Σ I èdensoin 

Λ I . 

Def. 3.3.1 Una successione (f n ) N 

di elementi di Λ I si dice quasi uniformemente convergente 

in I se: 

∀ ε ∈ R + ∃ F ∈ L t.c. F ⊂ I, µ(F )

Convergenza quasi uniforme 107 

E’ ovvio che tali insiemi sono tutti misurabili. Inoltre, per ogni fissato m ∈ N, la successione 

(En m ) n∈N è crescente per inclusione, cioè: 

E m 1 ⊂ Em 2 ⊂··· ⊂Em n 

⊂··· . (3.3.4) 

Proviamo che per ogni m ∈ N si ha: 

∞⋃ 

n=1 

E m n 

= lim 

n→∞ Em n 

= I. (3.3.5) 

Utilizziamo il principio di doppia inclusione: intanto, è evidente che il primo membro èincluso 

in I. Fissato poi un qualunque x ∈ I, dalla (3.3.2) si deduce che esiste ν ∈ N tale che, per 

ogni n ≥ ν, siha: 

| f n (x) − f(x) | < 1 m 

eciò significa, per la (3.3.3), che x ∈ Eν m . Allora risulta: 

∞⋃ 

I ⊂ 

e perciò èverala(3.3.5). Deduciamo dunque: 

n=1 

E m n 

lim 

n→∞ µ(Em n )=µ(I) 

∀ m ∈ N 

epoichélamisuradiI è finita: 

lim µ(I \ 

n→∞ Em n )=0. 

Allora, fissato un ε ∈ R + , per ogni m ∈ N possiamo determinare un indice ν m,ε in modo che: 

) 

µ 

(E ν m m,ε 

< ε 

2 m ∀ m ∈ N . 

Poniamo poi: 

F = 

∞⋃ 

m=1 

) (I \ Eν m m,ε 

. 

E’ ovvio che F è misurabile, F è contenuto in I e per la numerabile subadditività diµ: 

µ(F )=µ 

[ ∞ 

⋃ 

m=1 

( 

I \ E m ν m,ε 

) ] ≤ 

∞∑ 

m=1 

) 

µ 

(I \ Eν m m,ε 


E’ facile riconoscere che in I \ F la convergenza di f n a f è uniforme. Intanto ricaviamo: 

I \ F = I \ 

∞⋃ 

m=1 

) (I \ Eν m m,ε 

= 

Fissato ora η ∈ R + , determiniamo m ∈ N in modo che: 

1 

m ν m,ε avremo senz’altro: 

(I \ F ) ⊂ E m n 


| f n (x) − f(x) |

Convergenza in misura 109 

fissato un qualunque x ∈ (I \ F ), esisterà unm ∈ N tale che x ∈ (I \ F m ) e allora (f n ) N 

convergerà af in x, cioè: 

Poiché F ha misura nulla, la tesi èprovata. 

∀ x ∈ (I \ F ) ∃ lim 

n→∞ f n(x) =f(x) . 

3.4 Convergenza in misura 

Introduciamo ora una delle nozioni più importanti per lo spazio Λ I : 


di elementi di Λ I si dice che converge in misura (o in 

probabilità oè asintotica) allafunzionef ∈ Λ I se: 

[ {x 

lim µ ∈ I t.c. | fn (x) − f(x) |≥η }] =0 ∀ η ∈ R + . (3.4.1) 

n→∞ 

Il significato di tale relazione può essere compreso fermando l’attenzione sul fatto che si 

richiede che tenda a 0, per n −→ ∞,lamisura dell’insieme dei punti x nei quali f n (x) 

differisce da f(x) in modulo non meno di η, comunque si prefissi un η positivo. Al fine di 

comprendere questa nozione è utile il seguente: 

Teorema 3.4.2 Se (f n ) N 

converge a f quasi uniformemente in I, allora(f n ) N 

converge in 

misura a f in I. 

Dim. Dalla convergenza quasi uniforme di (f n ) N 

a f in I, dobbiamo dedurre: 

[ {x 

lim µ ∈ I t.c. | fn (x) − f(x) |≥η }] =0 ∀ η ∈ R + . (3.4.2) 

n→∞ 

Assegnato un ε ∈ R + , fissiamo un sottoinsieme F di I tale che µ(F ) ν =⇒ |f n (x) − f(x) | ν: 

{ 

x ∈ I t.c. | fn (x) − f(x) |≥η } ⊂ F 


n>ν =⇒ µ[ {x 

∈ I t.c. | fn (x) − f(x) |≥η }] ≤ µ(F )


ed è quindi provata la (3.4.2). 

In virtù del Teorema di Egoroff-Severini, si può anche asserire: 

Corollario 3.4.3 Sugli insiemi di misura finita la convergenza quasi ovunque implica la convergenza 

in misura. 

Allo scopo di meglio precisare il legame tra questi tre tipi di convergenza (convergenza 

quasi ovunque, convergenza quasi uniforme e convergenza in misura), sono tuttavia necessari 

alcuni altri risultati. 

Teorema 3.4.4 Se la successione (f n ) N 

converge in misura a f e converge in misura a g, 

allora f e g sono quasi ovunque uguali. 

Inoltre, condizione necessaria affinché la successione (f n ) N 

sia convergente in misura èche 

sia soddisfatta la condizione di Cauchy, cioè: 

{x 

∀ ε, η ∈ R + ∃ ν ∈ N t.c. n, m > ν =⇒ µ[ 

∈ I t.c. | fn (x) − f m (x) |≥η }]


Per la seconda parte, partiamo dal fatto che la successione (f n ) N 

converge in misura a f e 

che vale la disuguaglianza triangolare: 

| f m (x) − f n (x) |≤|f m (x) − f(x) | + | f n (x) − f(x) | . 

Otteniamo come precedentemente: 

{ 

x ∈ I t.c. | fm (x) − f n (x) |≥η } [ {x 

⊂ ∈ I t.c. | fm (x) − f(x) |≥ η } 

∪ 

2 

∪ { x ∈ I t.c. | f n (x) − f(x) |≥ η } ] ∀ η ∈ R + . 

2 

(3.4.5) 

Determinato ν ∈ N in modo che: 

[ {x 

k>ν =⇒ µ ∈ I t.c. | fk (x) − f(x) |≥ η } ] < ε 2 2 , 

allora per m, n > ν si stabilisce la (3.4.3), nella quale si deve rilevare che, fissati ε e η, l’indice 

ν dipende sia da ε sia da η. 

La (3.4.3) viene detta la condizione di Cauchy per la convergenza in misura. Le 

successioni di funzioni misurabili che soddisfano la condizione di Cauchy per la convergenza in 

misura vengono dette fondamentali per la convergenza in misura o, più semplicemente, 

fondamentali in misura. 

Teorema 3.4.5 Ogni successione fondamentale in misura ha un’estratta quasi uniformemente 

convergente. 

Dim. Sia(f n ) N 

una successione di elementi di Λ I fondamentale in misura, cioè verificante 

la (3.4.3). Per ogni intero k ∈ N, fissiamo un indice ν k ∈ N in modo che: 

[ {x 

m, n ≥ ν k =⇒ µ ∈ I t.c. | fm (x) − f n (x) |≥ 1 } ] 

2 k+1 < 1 , (3.4.6) 

2k+1 cioè utilizziamo la (3.4.3) in corrispondenza di 

η = ε = 1 

2 k+1 per k =1, 2, 3,... . 

Definiamo una successione crescente di indici n 1 ,n 2 ,...,n h ,... con il seguente procedimento: 

n 1 = ν 1 ; n 2 =max { n 1 +1,ν 2 

} 

; n3 =max { n 2 +1,ν 3 

} 

; ...


e, in generale, poniamo: 

n k =max { n k−1 +1,ν k 

} 

per k =2, 3,... . (3.4.7) 

Introduciamo poi gli insiemi: 

E h = { x ∈ I t.c. | f nh (x) − f nh+1 (x) |≥ 1 

2 h+1 } 

(3.4.8) 

eponiamo: 

Intanto osserviamo che: 

∞⋃ 

F l = E h per l =1, 2,... . (3.4.9) 

h=l 

F l ⊂ F l+1 per l =1, 2,... . 

Inoltre, per la subadditività della misura e per la (3.4.6): 

µ(F l ) ≤ 

∞∑ 

µ(E h ) < 

h=l 

∞∑ 

h=l 

1 

2 h+1 = 1 2 l . (3.4.10) 

Possiamo ora dimostrare che la successione ( f nk è quasi uniformemente convergente in I. 

)k∈N 

Assegnato ε ∈ R + , determiniamo l ∈ N in modo che: 

1 

2 l


Presi allora comunque due indici i, j ∈ N con le condizioni i ≥ ν e j ≥ ν, ricaviamo: 

| f ni (x) − f nj (x) |≤ 

∞∑ 

| f nk (x) − f nk+1 (x) |≤ 

k=ν 

∞∑ 

k=ν 

1 

2 k+1 = 1 νe n k >ν: 

[ {x 

µ ∈ I t.c. | fn (x) − f nk (x) |≥ η } ] ν =⇒ µ[ {x 

∈ I t.c. | fn (x) − f(x) |≥η }]


Allo scopo di mostrare la maggiore generalità della convergenza in misura rispetto alla 

convergenza quasi ovunque, trattiamo un importante esempio: 

E1 Sia I un insieme misurabile di R n contenuto in un intervallo J con: 

0

Quasi continuità 115 

3.5 Quasi continuità 

Al fine di approfondire le proprietà delle funzioni misurabili, introduciamo inizialmente la 

seguente: 

Def. 3.5.1 Una funzione a valori reali (o complessi) definita su un insieme misurabile I si 

dice continua quasi ovunque in I se esiste un insieme di misura nulla I 0 contenuto in I 

per cui f è continua in ogni punto di I \ I 0 . 

Sono esempi di funzioni continue quasi ovunque in R le funzioni generalmente continue. 

D’altra parte, ogni funzione monotona su un sottoinsieme misurabile di R ècontinuaquasi 

ovunque, poiché abbiamo stabilito che èalpiù numerabile (e quindi di misura nulla) l’insieme 

dei suoi punti di discontinuità. 

Def. 3.5.2 Fissati un sottoinsieme I ∈ L (R s ) con µ(I) < +∞ e una funzione f definita in 

I a valori reali (o complessi), si dice che f è quasi continua in I se, per ogni ε ∈ R + esiste 

un sottoinsieme chiuso C contenuto in I in cui f é continua e tale che: 

µ(I \ C)


elaf ècontinuainC ⊂ (C 1 \ I 0 ). 

Illustriamo un classico esempio di funzione quasi continua: 

E1 Un esempio significativo di funzione quasi continua è la funzione di Dirichlet definita da: 

{ 

1 se x ∈ [0, 1] s \ Q s 

D(x) = 

0 se x ∈ [0, 1] s ∩ Q s 

Infatti, poiché l’insieme I 0 =[0, 1] s ∩Q s è numerabile, si può, assegnato ε ∈ R + ,costruire 

un aperto A ε tale che: 

A ε ⊃ I 0 e µ(A ε )


Ponendo: 

n⋃ 

C = C j , 

j=1 

osserviamo che i sottoinsiemi C 1 ,...,C n sono chiusi, a due a due disgiunti, C è un sottoinsieme 

chiuso di I einoltre: 

⎛ 

⎞ ⎡ ( ) 

n⋃ n⋃ 

n⋃ n⋃ 

⎤ 

µ(I \ C) =µ ⎝ E j \ C k 

⎠ = µ ⎣ E j \ C k 

⎦ 

j=1 

k=1 

⎡ 

⎤ 

n⋃ 

= µ ⎣ (E j \ C j ) ⎦ = 

j=1 

j=1 

j=1 k=1 

n∑ 

µ(E j \ C j )


e 

µ(I \ C) ≤ 

n∑ 

µ(I \ C k ) < 

k=0 

eciò prova in conclusione che f è quasi continua in I. 

∞∑ 

k=0 

ε 

2 k+1 = ε 

Dimostriamo allora che anche la b) implica la a). Siaf quasi continua in I e a valori in R. 

Per ogni n ∈ N, costruiamo un sottoinsieme C n di I in modo che C n sia chiuso, f sia continua 

in C n erisulti: 

µ(I \ C n ) < 1 n . 

Poniamo poi: 

I 0 = I \ 

Poiché I 0 è di misura finita, risulta: 

∞⋃ 

C n = 

n=1 

[ ∞ 

] 

⋂ 

µ(I 0 )=µ (I \ C n ) 

n=1 

∞⋂ 

(I \ C n ) . (3.5.1) 

n=0 

≤ lim 

n→∞ µ(I \ C n) ≤ lim 

n→∞ 

1 

n 

=0. (3.5.2) 

Dalla (3.5.1) ricaviamo: 

( ∞ 

) 

⋃ 

I = I 0 ∪ C n 

n=1 

Fissato ora un generico α ∈ R, poniamo come al solito: 

. (3.5.3) 

B α (f) = { x ∈ I t.c. f(x) ≥ α } 

einoltre: 

B 0 α(f) = { x ∈ I 0 t.c. f(x) ≥ α } e B n α(f) = { x ∈ C n t.c. f(x) ≥ α } ∀ n ∈ N. 

E’ facile stabilire l’uguaglianza: 

( 

∞⋃ 

∞ 

B α = Bα n = B0 α ∪ ⋃ 

n=0 

n=1 

B n α 

) 

, 

conseguenza automatica della (3.5.3) e della definizione dei Bα n, n ∈ N. Poiché C n è chiuso e 

f ècontinuainC n , Bα n è chiuso. Inoltre B0 α è di misura nulla perché loè I 0. Si deduce che 

B α (f) è misurabile; essendo ciò vero per ogni α ∈ R, siconcludechef è misurabile. 

Se f è a valori complessi, la stessa dimostrazione può essere fatta sia per Re {f} sia per 

Im {f}, deducendo anche in questo che f è misurabile.


Osservazione. Se I è uno spazio topologico localmente compatto (ossia, se ogni punto x 0 

di I ha intorni compatti), una f definita in I a valori in R si dice B-misurabile, oanche 

misurabile secondo Borel, seperogniα ∈ R, A α (f) èuninsiemediBorel. 

Rimane da notare che, considerato uno spazio mensurale (I,L ,µ)oveµ è una misura 

regolare, il Teorema di Lusin continua a essere vero.

120 Funzioni Numeriche Misurabili

4 

Teoria dell’Integrazione secondo Lebesgue 

4.1 Funzioni semplici su insiemi di misura finita 

Sia I un sottoinsieme di R s , misurabile e di misura finita, cioè µ(I) < +∞. 

Def. 4.1.1 Per ogni funzione s ∈ Σ I rappresentata come: 

n∑ 

s(x) = c k χ Ek 

(x) ∀ x ∈ I, 

k=1 

essendo { c 1 ,c 2 ,...,c n 

} 

il codominio di s in C e 

{ 

E1 ,E 2 ,...,E n 

} 

una partizione misurabile 

di I, sipone: 

∫ 

I 

n∑ 

s dµ := c k µ(E k ) , (4.1.1) 

k=1 

che si chiama Integrale di Lebesgue di s esteso a I. Per ogni sottoinsieme misurabile E 

di I si pone anche: 

∫ ∫ 

s dµ := 

Si noti che, poiché: 

χ E 

(x) s(x) = 

si avrà, insieme alla (4.1.2): 

∫ 

E 

k=1 

I 

χ E 

s dµ. (4.1.2) 

n∑ 

n∑ 

c k χ Ek 

(x) χ E 

(x) = c k χ (x) , 

Ek ∩E 

E 

k=1 

n∑ 

s dµ = c k µ(E k ∩ E) . (4.1.3) 

k=1 

Teorema 4.1.2 Per l’integrale di Lebesgue sullo spazio Σ I ,conµ(I) < +∞, sono vere le 

seguenti proprietà: 

121

122 Teoria dell’Integrazione secondo Lebesgue 

α) Per ogni c ∈ C eperognis ∈ Σ I si ha: 

∫ 

∫ 

cs dµ = c s dµ. 

I 

I 

β) Se s ∈ Σ I , detta M ∈ R + una costante tale che, per ogni x ∈ I, risulta | s(x) | ≤ M, 

allora si ha: 

∣ ∫ 

∣∣∣ s dµ 

∣ ≤ Mµ(I) . 

γ) Se s 1 ,s 2 ∈ Σ I , allora si ha: 

∫ 

∫ 

(s 1 + s 2 )dµ = 

I 

I 

I 

∫ 

s 1 dµ + s 2 dµ. 

I 

δ) Se (B j ) N è una successione di insiemi disgiunti e misurabili e inoltre: 

∞⋃ 

B = B j , 

j=1 

allora, per ogni s ∈ Σ I , si ha: 

∫ 

B 

s dµ = 

∞∑ 

∫ 

j=1 

B j 

s dµ. 

Dim. Laα) segue automaticamente dalla Def. 4.1.1. 

Per provare la β), si osserva che l’ipotesi | s(x) |≤M equivale a: 

| c j |≤M per j =1, 2,...,n. 

Si ha allora: 

∫ 

∣ 

I 

∣ ∣∣∣∣∣ n∑ 

s dµ 

∣ = c j µ(E j ) 

∣ ≤ 

≤ M 

j=1 

n∑ 

| c j | µ(E j ) 

j=1 

n∑ 

µ(E j )=Mµ(I) . 

j=1 

Al fine di provare la γ), poniamo: 

∑ 

∑ 

s 1 (x) = c ′ j χ E ′ (x) e s 2 (x) = 

j 

n ′ 

n ′′ 

j=1 

l=1 

c ′′ 

l χ E 

l 

′′ 

(x) ,

Funzioni semplici su insiemi di misura finita 123 

essendo { E 1 ′ } { } ,E′ 2 ,...,E′ n e E 

′′ 

′ 1 ,E′′ 2 ,...,E′′ n partizioni misurabili di I. Conseguentemente 

′′ 

si ha: 

Se ne deduce allora: 

∑ ∑ 

χ E ′ (x) = 

j 

n ′ 

j=1 

n ′′ 

l=1 

χ E ′′ (x) ≡ 1 ∀ x ∈ I. (4.1.4) 

l 

∑ 

∑ 

s 1 (x)+s 2 (x) = c ′ j χ E ′ (x)+ 

j 

n ′ 

j=1 

∑ ∑ 

= c ′ j χ E ′ (x) 

j 

n ′ 

j=1 

∑ ∑ 

= 

n ′ 

n ′′ 

j=1 l=1 

n ′′ 

l=1 

c ′ j χ E ′ 

j 

∩E ′′ 

l 

n ′′ 

c ′′ 

l χ E 

l 

′′ 

l=1 

χ E ′′ 

l 

(x) 

∑ 

(x)+ 

∑ ∑ 

(x)+ 

n ′ 

j=1 l=1 

n ′′ 

c ′′ 

l χ E 

l 

′′ 

l=1 

n ′′ 

c ′′ 

l χ E 

j ′ ∩E′′ l 

∑ 

(x) χ E ′ (x) 

j 

n ′ 

j=1 

(x) . 

(4.1.5) 

Evidentemente { E j ′ ∩ } E′′ l ,conj =1,...,n ′ e l =1,...,n ′′ ,è una partizione misurabile di I. 

Dalla (4.1.5), per definizione: 

∫ 

∑ ∑ 

(s 1 + s 2 )dµ = (c ′ j + c ′′ 

l ) µ(E′ j ∩ E ′′ 

I 

n ′ 

n ′′ 

j=1 l=1 

j=1 l=1 

l ) 

∑n ′ 

∑n ′′ 

n ′ 

= c ′ j µ(E j ′ ∩ E l ′′ )+ ∑ 

∑ 

= 

n ′ 

∑n ′′ 

c ′ j 

j=1 l=1 

j=1 

∑ 

n ′′ 

j=1 l=1 

n ′′ 

µ(E j ′ ∩ E′′ l )+ ∑ 

l=1 

l=1 

∑n ′ 

n ′′ 

= c ′ j µ(E′ j )+ ∑ 

c ′′ 

l µ(E′′ l ) 

∫ 

= 

I 

∫ 

s 1 dµ + 

I 

s 2 dµ. 

c ′′ 

l 

c ′′ 

l µ(E′ j ∩ E ′′ 

l ) 

∑ 

n ′ 

j=1 

µ(E ′ j ∩ E′′ l ) 

Proviamo infine la δ). Utilizzando la numerabile additività della µ, sono facilmente 

giustificabili i seguenti passaggi: 

∫ 

B 

s dµ = 

= 

n∑ 

c j µ(E j ∩ B) = 

j=1 

∞∑ 

n∑ 

j=1 

n∑ 

c j µ(E j ∩ B k )= 

c j 

∞ ∑ 

k=1 

∞∑ 

∫ 

k=1 j=1 

k=1 

µ(E j ∩ B k ) 

B k 

s dµ



4.2 Funzioni essenzialmente limitate su insiemi di misura finita 

Fermiamo ora la nostra attenzione sulle funzioni f che assumono solo valori reali e che sono 

essenzialmente limitate in I, oltre a mantenere la condizione µ(I) < +∞. Poniamo: 

e ′ =infessf e e ′′ =supessf. 

E’ ovvio che: 

sup ess | f | =max { | e ′ | , | e ′′ | } . 

Decomponiamo poi l’intervallo [e ′ ,e ′′ ] in intervalli semiaperti a destra mediante un numero 

finito n di punti di divisione a 1 ,a 2 ,...,a n con la seguente impostazione: 

e ′ = a 0

Funzioni essenzialmente limitate su insiemi di misura finita 125 

numero di decomposizione a ′ ,nellasituazione: 

a 0


indichiamola con c esia: 

c 1

Funzioni essenzialmente limitate su insiemi di misura finita 127 

e si abbia: 

∫ 

I 

f dµ = lim s r dµ = lim S r dµ. (4.2.5) 

r→∞ 

∫I 

r→∞ 

∫I 

Si può inoltre fare in modo che la successione (s r ) N 

sia non decrescente e la successione (S r ) N 

sia non crescente. 

Dim. Riprendendo le notazioni adottate per il Teorema 4.2.2, per ogni fissato r ∈ N 

dividiamo l’intervallo [e ′ ,e ′′ ] in un numero finito n r di intervalli mediante n r punti di divisione 

a (r) 

1 ,...,ar n r 

verificanti la condizione: 

a (r) 

k+1 − a(r) k 

< 1 r 

r =0, 1,...,n r . (4.2.6) 

Poniamo in I \ I 0 : 

s r (x) =s ( a (r) ,f ) ∑n r 

(x) = a (r) 

k 

χ E k 

(x) 

k=0 

n r 

S r (x) =S ( a (r) ,f ) ∑ 

(x) = 

k=0 

a (r) 

k+1 χ E k 

(x) . 

Ricordiamo che I 0 è il sottoinsieme di I in cui non è vera la relazione: 

e ′ ≤ f ≤ e ′′ , 

avendo indicato con e ′ (e ′′ ) l’estremo inferiore (superiore) essenziale della f in I. Avremo 

allora: 

s r (x) ≤ f(x) ≤ S r (x) ∀ x ∈ I \ I 0 . (4.2.7) 

Inoltre sarà anche: 

∑n r 

( (r) 

| S r (x) − f(x) |≤S r (x) − s r (x) = a 

k=0 

k+1 − a(r) k 

) 

χEk (x) ≤ 1 r 

(4.2.8) 

e 

∑n r 

( (r) 

| f(x) − s r (x) |≤S r (x) − s r (x) = a 

k=0 

k+1 − a(r) k 

) 

χEk (x) ≤ 1 r . (4.2.9) 

Dalle (4.2.8) e(4.2.9) seguela(4.2.4), cioè la prima parte del Teorema. Per provare la seconda 

parte, cioè la(4.2.5), si parte dalla definizione di integrale della f, per cui: 

∫ ∫ ∫ 

σ ′ (a (r) ,f)= s r dµ ≤ f dµ ≤ S r dµ = σ ′′ (a (r) ,f) 

I 

I 

I


e si osserva che: 

∫ 

∣ 

∫ 

∣ 

I 

I 

∫ 

S r dµ − f dµ 

∣ ≤ σ′′ (a (r) ,f) − σ ′ (a (r) ,f) ≤ 1 

I 

r µ(I) 

∫ 

s r dµ − f dµ 

∣ ≤ σ′′ (a (r) ,f) − σ ′ (a (r) ,f) ≤ 1 (4.2.10) 

r µ(I) . 

I 

Dalle (4.2.10) si deduce evidentemente la (4.2.5). 

Infine, per fare in modo che (s r ) N sia non decrescente e (S r ) N sia non crescente, basta 

porre, invece della (4.2.6): 

a (r) 

k+1 − a(r) k 

< 1 2 r k =0, 1,...,n r , 

con la condizione che per costruire s r+1 si dimezzi ciascuno degli intervalli [a (r) 

k 

,a(r) k+1 [. 

Può essere utile la seguente: 

Prop. 4.2.5 Per l’integrale di Lebesgue di una funzione reale, misurabile ed essenzialmente 

limitata su un insieme I di misura finita si ha: 

∫ 

∫ 

∫ 

f dµ =sup s dµ = inf S dµ (4.2.11) 

I s∈Σ I I S∈Σ I I 

s≤f 

S≥f 

Dim. Basta infatti riconoscere che per ogni s ∈ Σ I tale che s ≤ f in I, esiste sempre una 

s(a,f)taleches ≤ s(a,f); inoltre per ogni S ∈ Σ I tale che S ≥ f in I, esiste sempre una 

S(b,f)talecheS ≥ S(b,f). 

La (4.2.5) consente di estendere facilmente le proprietà dell’integrale introdotto per le 

funzioni semplici e contenute nel Teorema 4.1.2 all’integrale delle funzioni misurabili ed essenzialmente 

limitate e a valori complessi. Intanto, se f è una funzione misurabile a valori 

complessi con f = u + iv,cioè considerando u = Re {f} e v = Im {f}, le funzioni a valori 

reali u e v sono misurabili. La funzione a valori complessi f si dirà essenzialmente limitata se 

lo è | f | eciò avverrà se e solo se lo sono u e v. Per ogni f misurabile e limitata in I si pone: 

∫ ∫ ∫ 

f dµ := u dµ + i v dµ. (4.2.12) 

I 

I 

I 

E’ facile riconoscere che, applicando il Teorema 4.2.4 sia alla u sia alla v, lo stesso Teorema 

4.2.4 viene esteso alle funzioni a valori complessi: la non decrescenza di (s r ) N 

deve essere 

intesa ora per la successione delle parti reali e quella delle parti immaginarie e analogamente 

la non crescenza per la successione (S r ) N 

.

Successioni fondamentali in media 129 

Le proprietà del Teorema successivo si dimostrano facilmente per le funzioni misurabili 

essenzialmente limitate, utilizzando i Teoremi 4.1.2 e 4.2.4: in seguito le estenderemo allo 

spazio delle funzioni misurabili alle quali si attribuisce un integrale e perciò dette integrabili. 

Lo enunceremo perciò in generale: 

Teorema 4.2.6 Sia (I,L ,µ) uno spazio mensurale e Λ I lo spazio delle funzioni misurabili a 

valori reali (o complessi). Sono vere le proprietà: 

A) Se f è a valori reali, integrabile e f ≥ 0 quasi ovunque in I, allora: 

∫ 

f dµ ≥ 0 . 

B) Se f 1 e f 2 sono integrabili e c 1 e c 2 sono due costanti arbitrarie, si ha: 

∫ 

∫ 

∫ 

(c 1 f 1 + c 2 f 2 )dµ = c 1 f 1 dµ + c 2 f 2 dµ. 

I 

C) Se f e g sono a valori reali, integrabili e tali che f ≥ g quasi ovunque in I, allora: 

∫ ∫ 

f dµ ≥ g dµ. 

D) Se f 1 e f 2 sono integrabili, allora: 

∫ 

∫ 

| f 1 + f 2 | dµ ≤ 

E) Se f è integrabile, allora: ∣ ∣∣∣ 

∫ 

I 

I 

I 

I 

I 

∫ 

f dµ 

∣ ≤ 

I 

I 

∫ 

| f 1 | dµ + | f 2 | dµ. 

I 

I 

| f | dµ. 

F) Se f èavalorirealiedè integrabile e per α, β ∈ R e E ∈ L si ha α ≤ f ≤ β in E, allora: 

∫ 

αµ(E) ≤ f dµ ≤ βµ(E) . 

E 

I 

4.3 Successioni fondamentali in media 

Vogliamo ora estendere la nozione di Integrale al caso in cui non si supponga più la funzione f 

essenzialmente limitata e, successivamente, al caso in cui possa essere µ(I) =+∞. Ciòrichiede 

vari passaggi: noi seguiremo un procedimento che consente di trattare simultaneamente sia 

icasiµ(I) < +∞ e µ(I) =+∞ sia non distinguendo le funzioni essenzialmente limitate da


quelle non essenzialmente limitate. Tale procedimento è adottato da P. R. Halmos in [2] e 

risulta più efficace degli altri per uno sviluppo completo della Teoria dell’Integrazione. 

Fissiamo uno spazio mensurale (I,L ,µ) e indichiamo, come in precedenza, con Λ I lo spazio 

vettoriale delle funzioni f definite in I, a valori reali (o complessi) e misurabili. Si indica poi 

con ˜Σ I il sottoinsieme di Σ I costituito dalle funzioni semplici che hanno supporto di misura 

finita. Seµ(I) < +∞, evidentemente ˜Σ I =Σ I . In generale, se s ∈ ˜Σ I ,siavrà: 

n∑ 

s = c j χ Ej 

j=1 

esec j ≠ 0, allora µ(E j ) < +∞. Ha senso intendere, come è stato già fatto per il caso 

µ(I) < +∞: 

∫ 

I 

n∑ 

s dµ = c j µ(E j ) , 

j=1 

che chiameremo ancora Integrale di Lebesgue della s (si adotta poi la convenzione 0 ·∞ = 

0). 

E’ evidente che vale ancora il Teorema 4.1.2 eche˜Σ I è un sottospazio vettoriale di Λ I . 

Per ogni coppia di elementi s 1 ,s 2 ∈ ˜Σ I poniamo: 

∫ 

d(s 1 ,s 2 )= | s 1 − s 2 | dµ. 

I 

Per ogni s 1 ,s 2 ,s 3 ∈ ˜Σ I sono evidenti le seguenti proprietà: 

a) d(s 1 ,s 2 ) ≥ 0 e d(s 1 ,s 2 )=0 ⇐⇒ s 1 = s 2 q.o in I 

b) d(s 1 ,s 2 )=d(s 2 ,s 1 ) 

c) d(s 1 ,s 2 ) ≤ d(s 1 ,s 3 )+d(s 2 ,s 3 ) 

Deduciamo perciò ched(·, ·) è una metrica sullo spazio delle classi di funzioni semplici quasi 

ovunque uguali in I. 

Def. 4.3.1 Una successione (s n ) N 

di elementi di ˜Σ I si dice fondamentale in media se èdi 

Cauchy rispetto alla convergenza determinata da d(·, ·), cioèse: 

∫ 

∀ ε ∈ R + ∃ ν ∈ N t.c. n, m > ν =⇒ | s n − s m | dµ


Ha un ruolo primario il seguente: 

Teorema 4.3.2 Una successione (f n ) N 

che sia fondamentale in media è anche fondamentale 

in misura. 

Dim. Questo risultato è generale, cioè vale non soltanto per le successioni di funzioni 

semplici. Poniamo: 

E m,n (η) ={x ∈ I t.c. | f n (x) − f m (x) |≥η} 

e osserviamo che, per la F) del Teorema 4.2.6: 

∫ 

∫ 

| f n (x) − f m (x) | dµ ≥ | f n (x) − f m (x) | dµ ≥ ηµ [ E m,n (η) ] . 

I 

Deduciamo allora, per ogni η ∈ R + : 

lim 

m→∞ 

n→∞ 

che è esattamente la tesi. 

E m,n(η) 

µ [ E m,n (η) ] ≤ 1 ∫ 

η lim | f 

m→∞ m − f n | dµ =0, 

n→∞ I 

A ogni funzione s ∈ ˜Σ I si può associare una funzione di insieme ν s definita da: 

∫ 

ν s (E) = s dµ ∀ E ∈ L . (4.3.3) 

E 

La funzione ν s viene chiamata anche l’integrale indefinito della funzione integrabile s. 

Def. 4.3.3 Fissato uno spazio mensurale finito (I,L ,µ), una funzione di insieme ν definita 

su L si dice assolutamente continua rispetto a µ se: 

∀ ε ∈ R + ∃ δ ∈ R + t.c. ∀ E ∈ L : µ(E)


Teorema 4.3.4 Assegnata una successione (f n ) N 

fondamentale in media, per ogni E ∈ L : 

∃ 

∫ 

lim f n dµ =: ν(E) , (4.3.6) 

n→∞ 

E 

che definisce una funzione di insieme finita e numerabilmente additiva. 

Dim. Osserviamo che per le proprietà degli integrali: 

∫ ∫ 

∣ ∫ 

∫ 

∫ 

∣∣∣ ∣ f n dµ − f m dµ 

∣ = (f n − f m )dµ 

∣ ≤ | f n − f m | dµ ≤ 

E 

E 

E 

E 

da cui segue la convergenza uniforme, alvariarediE in L , della successione: 

(∫ ) 

f n dµ . 

E N 

Ha dunque significato la definizione di ν mediante la (4.3.6). 

I 

| f n − f m | dµ, 

Indichiamo con ν n la funzione di insieme associata a f n ,cioè: 

∫ 

ν n (E) = f n dµ ∀ E ∈ L . (4.3.7) 

E 

La proprietà δ) del Teorema 4.1.2 significa che, per ogni f n ∈ ˜Σ I , ν n è numerabilmente additiva 

e quindi anche finitamente additiva. L’uniformità del limite (4.3.6) consente di dimostrare che 

anche ν è numerabilmente additiva. E’ ovvio che lo è finitamente, conseguenza del fatto che le 

ν n sono finitamente additive. Fissiamo una successione di elementi disgiunti (B j ) N 

eponiamo: 

B = 

∞⋃ 

B j ∈ L . 

j=1 

Utilizzando le ν n eleproprietà di finita additività sopra menzionate, possiamo scrivere: 

ν(B)− 

r∑ 

ν(B k )=ν(B)−ν n (B)+ν n (B)− 

k=1 

r∑ 

k=1 

ν n (B k )+ν n 

( r⋃ 

k=1 

Assegnato ε ∈ R + , possiamo determinare n ε ∈ N in modo che: 

( r⋃ 

) 

B k 

)−ν B k . (4.3.8) 

k=1 

n>n ε =⇒ |ν n (E) − ν(E) | < ε 3 

∀ E ∈ L . 

Fissato allora n>n ε ,poichéperlaδ) del Teorema 4.1.2 la funzione di insieme ν n ènumer-


abilmente additiva, possiamo determinare r ε ∈ N in modo che: 

r>r ε =⇒ 

Dalla (4.3.8) ricaviamo, per r>r ε : 

∣ ν(B) − 

∣ ν n(B) − 

r∑ 

ν n (B k ) 

∣ < ε 3 . 

k=1 

r∑ 

ν(B k ) 

∣ ≤|ν(B) − ν n(B) | + 

∣ ν n(B) − 

k=1 

< ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε 

∣ ( 

r∑ 

∣∣∣∣ r⋃ 

) ( r⋃ 

) ∣ ∣∣∣∣ 

ν n (B k ) 

∣ + ν n B k − ν B k 

k=1 

k=1 

k=1 

eciòprovache: 

cioè latesi. 

( ∞ 

) 

⋃ 

∞∑ 

ν B k = ν(B k ) , 

k=1 k=1 

Def. 4.3.5 Sia fissato uno spazio mensurale (I,L ,µ). Una successione di funzioni di insieme 

(ν n ) N 

si dice uniformemente assolutamente continua rispetto a µ se: 

∀ ε ∈ R + ∃ δ ∈ R + t.c. ∀ E ∈ L : µ(E)


Per n ≥ n ε abbiamo: 

∫ 

∫ 

∫ 

ν n (E) ≤ | f n | dµ ≤ | f n − f nε | dµ + | f nε | dµ 

E 

E 

E 

< ε ∫ 

2 + | f nε | dµ 

epoiché per la stessa definizione di δ è: 

∫ 

ν | fn | (E) = 

E 

E 

| f n | dµ < ε 2 , 

si ha: 

ν n (E) < ε 2 + ε 2 = ε 

e dunque la tesi. 

Teorema 4.3.7 Siano (f n ) N e (g n ) N due successioni fondamentali in media convergenti in 

misura alla stessa funzione misurabile f. Introdotte le funzioni di insieme ν n = ν fn e λ n = ν gn 

e, conformemente al Teorema 4.3.2, le loro funzioni di insieme limite: 

ν(E) = lim 

n→∞ ν n(E) e λ(E) = lim 

n→∞ λ n(E) ∀ E ∈ L , (4.3.9) 

si ha: 

ν ≡ λ in L . 

Dim. Si riconosce facilmente che: 

E n = { x ∈ I t.c. | f n (x) − g n (x) |≥η } 

[{ 

⊂ x ∈ I t.c. | f n (x) − f(x) |≥ η } { 

∪ x ∈ I t.c. | g n (x) − f(x) |≥ η }] 

. 

2 

2 

(4.3.10) 

La convergenza in misura di f n a f edig n a f implicano: 

Fissato ora un qualunque E ∈ L , scriviamo: 

lim µ(E n)=0 ∀ η ∈ R + . (4.3.11) 

n→∞ 

E = [ (E \ E n ) ∪ (E ∩ E n ) ] .


Avremo così: 

∫ 

∫ 

∫ 

| f n − g n | dµ = | f n − g n | dµ + | f n − g n | dµ 

E 

E\E n E∩E 

∫ 

∫ 

n 

∫ 

≤ | f n − g n | dµ + 

E\E n 

| f n | dµ + 

E∩E n 

| g n | dµ. 

E∩E n 

(4.3.12) 

Ora osserviamo che: 

∫ 

| ν n (E) − λ n (E) | = 

∣ 

E 

∫ 

f n dµ − 

E 

∫ 

g n dµ 

∣ ≤ 

E 

| f n − g n | dµ. (4.3.13) 

Supponiamo come primo caso µ(E) < +∞. Allora, per la definizione di E n ,avremo: 

∫ 

| f n − g n | dµ


4.4 Funzioni integrabili secondo Lebesgue 

Mediante i risultati del paragrafo precedente, possiamo ora formulare la fondamentale: 

Def. 4.4.1 Una funzione f ∈ Λ I si dice integrabile in I se esiste una successione (f n ) N di 

funzioni semplici di ˜Σ I che è fondamentale in media e converge a f in misura. Per ogni f 

siffatta si pone: 

∫ 

∫ 

f dµ := lim f n dµ (4.4.1) 

I 

n→∞ 

I 

che si chiama integrale di Lebesgue della f. 

Teorema 4.4.2 Ogni funzione integrabile ha integrale finito che non dipende dalla successione 

(f n ) N 

di funzioni semplici che converge in misura alla f echeè fondamentale in media. Se f 

è integrabile, lo sono anche | f | , f + e f − .Sihainognicaso: 

∫ ∫ ∫ 

∫ ∫ 

f dµ = f + dµ − f − dµ e | f | dµ = 

I 

I 

I 

I 

I 

∫ 

f + dµ + f − dµ. (4.4.2) 

I 

Se f è integrabile per ogni E ∈ L ,alloraχ E 

f èintegrabileesiha: 

∫ ∫ 

∫ 

∫ 

f dµ := χ E 

f dµ = lim χ 

E 

I 

n→∞ E 

f n dµ = lim f n dµ (4.4.3) 

I 

n→∞ 

E 

Dim. La prima parte segue automaticamente dal Teorema 4.3.7. 

Se (f n ) N è fondamentale in media, da: 

∫ 

∣ | fn |−|f m | ∣ ∫ 

dµ ≤ | f n − f m | dµ, 

I 

si deduce che ( | f n | ) N è anche fondamentale in media. Inoltre da: 

I 

{ 

x ∈ I t.c. 

∣ ∣ | fn (x) |−|f m (x) | ∣ ∣ ≥ η 

} 

⊂ 

{ 

x ∈ I t.c. | fn (x) − f m (x) |≥η } , 

si deduce che se (f n ) N 

converge in misura a f, allora ( | f n | ) N 

converge in misura a | f | . 

Perciò, se f è integrabile, è integrabile anche | f | . Perciò sono integrabili anche f + e f − ,in 

quanto: 

f + = 1 2 ( | f | + f) e f − = 1 ( | f |−f) . (4.4.4) 

2 

Da queste seguono le (4.4.2). 

Per la terza parte del Teorema, basta osservare che se (f n ) N èfondamentaleinmediae 

converge in misura a f, per ogni E ∈ L la successione (χ E 

f n ) N èfondamentaleinmediae

Proprietà dell’integrale di Lebesgue di funzioni integrabili 137 

converge in misura a χ E 

f. Tali asserzioni seguono dalle ovvie maggiorazioni: 

valide per ogni x ∈ I. 

| χ E 

(x) f n (x) − χ E 

(x) f m (x) |≤ |f n (x) − f m (x) | 

| χ E 

(x) f n (x) − χ E 

(x) f(x) |≤ |f n (x) − f(x) | , 

E’ ora necessario ricordare che alle funzioni misurabili ed essenzialmente limitate abbiamo 

già attribuito un integrale sugli insiemi di misura finita attraverso la Def. 4.2.3. E’ facile 

allora stabilire: 

Prop. 4.4.3 Ogni funzione f : I → R misurabile ed essenzialmente limitata, con µ(I) < +∞, 

è integrabile secondo la Def. 4.4.1 e il suo integrale coincide con quello che le abbiamo attribuito 

con la Def. 4.2.3. 

Dim. A questo scopo, basta riconoscere che le successioni di funzioni semplici (s r ) N 

e 

(S r ) N 

, costruite con il Teorema 4.2.4, sono fondamentali in media e convergono a f quasi 

uniformemente in I e, quindi, anche in misura. 

E’ inoltre utile la seguente: 

Prop. 4.4.4 Il Teorema 4.2.6 stabilito per le funzioni misurabili ed essenzialmente limitate è 

vero per le funzioni integrabili secondo la Def. 4.4.1. 

Dim. Infatti le A) e B) si dimostrano utilizzando successioni di funzioni semplici, fondamentali 

in media, convergenti in misura a f, f 1 e f 2 .LeC), D), E) e F) si dimostrano poi con 

lo stesso procedimento adoperato per il caso iniziale che è, in sostanza, fondato sulle A) e B). 

4.5 Proprietà dell’integrale di Lebesgue di funzioni integrabili 

Al fine di approfondire lo studio delle funzioni integrabili è utile la seguente: 

Prop. 4.5.1 Per ogni funzione f integrabile è vera la proprietà: 

∀ ε ∈ R + ∃ s ∈ ˜Σ I t.c. 

∫ 

I 

| f − s | dµ


Inoltre, la successione di funzioni semplici ( | s n − s m | ) m∈N converge in misura a | s n − f | . 

Infatti, da: 

| s n − s m |−|s n − f |≤|s m − f | m =1, 2, 3,... 

si ottiene: 

[ 

x ∈ I t.c. 

∣ ∣ | sn − s m |−|s n − f | ∣ ∣ ≥ η 

] 

⊂ [x ∈ I t.c. | sm − f |≥η] . 

Perciò da: 

deduciamo: 

lim 

m→∞ µ [ {x 

∈ I t.c. | sm − f |≥η }] =0 ∀ η ∈ R + 

[ 

lim µ x ∈ I 

m→∞ 

t.c. 

∣ | sn − s m |−|s n − f | ∣ ∣ ≥ η 

] 

=0 ∀ η ∈ R + , 

da cui segue la asserita convergenza in misura. Ricaviamo perciò, per ogni n ∈ N, chela 

funzione misurabile | s n − f | è integrabile e risulta: 

∫ 

∫ 

| s n − f | dµ = lim | s n − s m | dµ. (4.5.2) 

I 

m→∞ 

I 

Assegnato ε ∈ R + e determinato ν ∈ N in modo che: 

n, m > ν =⇒ 

∫ 

I 

| s n − s m | dµ < ε 2 , 

dalla (4.5.2) si deduce: 

cioè latesi. 

n>ν =⇒ 

∫ 

I 

| s n − f | dµ < ε 2


Dim. L’implicazione da destra a sinistra è immediata. Infatti, se f è la funzione quasi 

ovunque uguale a zero, la successione di funzioni semplici tutte identicamente uguali a zero è 

fondamentale in media e converge in misura alla funzione identicamente nulla, poiché: 

{ 

x ∈ I t.c. 0 ≥ η 

} 

= ∅ ∀ η ∈ R+ . 

L’integrale di f vale allora zero, in quanto limite di una successione di zeri. 

Viceversa, sia (s n ) N 

una successione di funzioni semplici fondamentale in media e convergente 

in misura a f. Poiché f, essendo per ipotesi non negativa, è quasi ovunque uguale al 

suo modulo, si può supporre che tutte le s n siano non negative, considerando eventualmente 

la successione dei loro moduli. Il primo membro della (4.5.3) significa: 

∫ 

lim s n dµ =0. 

n→∞ 

I 

Allora deduciamo che (s n ) N 

converge in media alla funzione quasi ovunque uguale a zero e 

perciò converge anche in misura a tale funzione. Allora, per il Teorema 3.4.4, la funzione f è 

quasi ovunque uguale alla funzione identicamente nulla e il Teorema è dimostrato. 

Def. 4.5.4 Si indica con L 1 (I,µ) (o L 1 (I)) lo spazio vettoriale delle funzioni misurabili che 

sono integrabili in I. Gli elementi di L 1 si chiamano le funzioni (classi di) sommabili in 

I. 

La Def. 4.3.1 introdotta per le funzioni semplici sommabili viene estesa agli elementi di 

L 1 : 


di funzioni sommabili si dice fondamentale in media se è 

di Cauchy rispetto alla convergenza determinata dalla metrica: 

∫ 

d(f 1 ,f 2 )= | f 1 − f 2 | dµ f 1 ,f 2 ∈ L 1 (I) . (4.5.4) 

I 

E’ facile riconoscere che la metrica introdotta con la (4.5.4) coincide con quella dedotta 

dalla applicazione: 

∫ 

f −→ 

che definisce una norma su L 1 (I). 

I 

| f | dµ, (4.5.5) 

Intanto è opportuno precisare ancora una volta che gli elementi di L 1 (I,µ) devono essere 

intesi come classi di equivalenza di funzioni misurabili quasi ovunque uguali. L’elemento “zero” 

di L 1 (I,µ)è la classe delle funzioni misurabili quasi ovunque uguali a zero in I. E’inquesto


quadro che la (4.5.5) verifica il primo assioma della norma, ossia: 

‖ f ‖ =0 ⇐⇒ f =0. 

Il primo risultato rilevante è contenuto nel seguente: 

Teorema 4.5.6 Lo spazio L 1 (I,µ) munito della norma (4.5.5) è completo, cioè L 1 (I,µ) è 

uno spazio di Banach. 

Dim. Sia (f n ) N 

una successione di elementi di L 1 che verifica la condizione di Cauchy 

rispetto alla convergenza dedotta dalla norma (4.5.5), cioè: 

∀ ε ∈ R + ∃ ν ∈ N t.c. n, m > ν =⇒ 

∫ 

I 

| f n − f m | dµ


Altre conseguenze del Teorema 4.5.3 sono: 

Prop. 4.5.7 Se f ∈ L 1 (I,µ) e E ∈ L , allora: 

µ(E) =0 =⇒ 

∫ 

E 

f dµ =0. (4.5.7) 

Dim. Se E ha misura nulla, la funzione χ E 

f è quasi ovunque nulla. Dalla definizione e 

dal Teorema 4.5.3 segue: ∫ ∫ 

f dµ := 

ecioèlatesi. 

E 

I 

χ E 

f dµ =0 

Prop. 4.5.8 Se f ∈ L 1 (I,µ), E ∈ L e f è positiva quasi ovunque in E, allora: 

∫ 

f dµ =0 =⇒ µ(E) =0. (4.5.8) 

E 

Dim. Ricordiamo che abbiamo definito: 

A 0 = { x ∈ I t.c. f(x) > 0 } e B 1 

n 

= 

{ 

x ∈ I t.c. f(x) ≥ 1 } 

n 

e sappiamo che: 

A 0 = 

∞⋃ 

n=1 

B 1 

n 

. (4.5.9) 

Poiché f è quasi ovunque positiva in E, allora E \ A 0 ha misura nulla. Per l’additività 

dell’integrale e per la Prop. 4.5.7, dalla premessa della (4.5.8) siha: 

∫ ∫ 

∫ 

∫ 

0= f dµ = f dµ + f dµ = f dµ. (4.5.10) 

E 

E\A 0 E∩A 0 E∩A 0 

D’altra parte la (4.5.12) fornisce: 

E ∩ A 0 = E ∩ 

( ∞ 

⋃ 

n=1 

B 1 

n 

) 

= 

∞⋃ 

n=1 

( ) 

E ∩ B 1 

n 

(4.5.11) 

da cui, per la proprietà subadditiva della misura: 

µ(E ∩ A 0 ) ≤ 

∞∑ 

n=1 

( ) 

µ E ∩ B 1 

n 

. (4.5.12)


Poiché f è quasi ovunque positiva su E, applicando la F) del Teorema 4.2.6, possiamo scrivere: 

∫ 

0= f dµ ≥ f dµ ≥ 

∫E∩B 1 ( ) 

1n 

n µ E ∩ B 1 n ∈ N , 

n 

E 

da cui ricaviamo: 

Dalla (4.5.12) segue allora: 

e, poiché è: 

( ) 

µ E ∩ B 1 

n 

=0 ∀ n ∈ N . 

µ(E ∩ A 0 )=0 

µ(E) =µ(E \ A 0 )+µ(E ∩ A 0 ) , 

la (4.5.8) è dimostrata. 

Prop. 4.5.9 Se f ∈ L 1 (I,µ) e si ha: 

∫ 

f dµ =0 ∀ E ∈ L , 

allora f è quasi ovunque nulla. 

Dim. Siaf a valori reali. Per ipotesi è: 

∫ 

E 

A 0 (f) 

f dµ =0. 

Allora, essendo f positiva su A 0 (f), per la Prop. 4.5.8 si ha: 

µ(A 0 )=0. 

Poiché abbiamo anche: 

sarà: 

∫ 

E 

(−f)dµ =0 ∀ E ∈ L , 

∫ 

C 0 (f) 

(−f)dµ =0. 

Essendo (−f) positiva su C 0 (f), la Prop. 4.5.8 implica: 

µ [ C 0 (f) ] =0. 

Deduciamo perciò cheè di misura nulla l’insieme dei punti (A 0 ∪ C 0 )incuif è diversa da zero 

e, quindi, la tesi è dimostrata.

Teoria generale del passaggio al limite sotto il segno di integrale 143 

La dimostrazione fatta implica inoltre che, se f ha valori complessi, sono quasi ovunque 

nulle Re {f} e Im {f}, ecioè f. 

4.6 Teoria generale del passaggio al limite sotto il segno di integrale 

Cominciamo con alcuni risultati e definizioni introduttive: 

Teorema 4.6.1 Per ogni funzione integrabile f, lafunzionediinsieme: 

L ∋ E −→ 

è assolutamente continua e numerabilmente additiva. 

∫ 

E 

f dµ := ν(E) 

Dim. Sia (s n ) N una successione fondamentale in media, convergente in misura a f. 

Possiamo scrivere: ∫ ∫ ∫ ∫ 

f dµ = s n dµ + f dµ − s n dµ. 

E 

E 

E 

E 

Assegnato ε ∈ R + , possiamo fissare un intero n ∈ N in modo che: 

∫ ∫ 

∣ f dµ − s n dµ 

∣ < ε ∀ E ∈ L . 

E 

E 2 

Ciò è lecito in virtù della uniformità della (4.3.6). Poiché s n è una funzione semplice e il suo 

integrale indefinito, come funzione di insieme, è assolutamente continuo, allora: 

Si deduce quindi: 

∃ δ ∈ R + t.c. µ(E)


Ciò suggeriscelaseguente: 

Def. 4.6.2 Una misura ν si dice continua da destra nello zero se per ogni successione 

decrescente E n si ha: 

∞⋂ 

E n = ∅ =⇒ lim ν(E n)=0. (4.6.2) 

n→∞ 

Inoltre: 

n=1 

Def. 4.6.3 Una successione (ν k ) N di misure viene detta equicontinua da destra nello 

zero se, per ogni successione decrescente di insieme misurabili (E n ) N 

aventi per intersezione 

il vuoto, si ha: 

∀ ε ∈ R + ∃ n ε ∈ N t.c. n > n ε =⇒ |ν k (E n ) |


Teniamo ora presente che ciascuna delle funzioni di insieme: 

E −→ 

∫ 

E 

| f | dµ e E −→ 

∫ 

E 

| f n − f | dµ per n =1, 2,...,n 0 (4.6.5) 

è finita e continua da destra nello zero per il Teorema 4.3.7. Perciò, assegnata una successione 

E m decrescente e i cui elementi hanno per intersezione l’insieme vuoto, è possibile fissare un 

intero m 0 ∈ N in modo che per ogni m ≥ m 0 risulti: 

∫ 

| f | dµ < ε ∫ 

e | f n − f | dµ < ε per n =1, 2,...,n 0 . (4.6.6) 

E m 

2 

E m 

2 

Preso allora un qualunque m ≥ m 0 , per ogni n ∈ N abbiamo: 

∫ 

∫ 

| f n | dµ = | f n − f + f | dµ 

E m E 

∫ m 

≤ | f n − f | dµ + | f | dµ < 

E m 

∫E ε m 

2 + ε (4.6.7) 

2 = ε 

eciòdimostralaequicontinuità da destra nello zero, come richiesto. 

Dimostriamo ora che la B) implica la A). Sia(E n ) N una successione crescente di elementi 

di L di misura finita tale che: 

I = lim 

n→∞ E n = 

∞⋃ 

E n e µ(E n ) < +∞ . (4.6.8) 

n=1 

Poniamo F n = I \ E n e osserviamo che la successione (F n ) N è decrescente e risulta: 

lim F n = 

n→∞ 

∞⋂ 

∞⋃ 

F n = I \ E n = ∅ . (4.6.9) 

n=1 

In virtù della supposta equicontinuità da destra nello zero delle funzioni di insieme definite 

nella (4.6.4), assegnato δ ∈ R + , possiamo fissare un intero k ∈ N in modo che: 

∫ 

| f n | dµ < δ ∀ n ∈ N . (4.6.10) 

F k 

2 

Consideriamo quindi, per ogni η ∈ R + , gli insiemi: 

n=1 

E m,n (η) = { x ∈ I t.c. | f n (x) − f m (x) |≥η } (4.6.11) 

e osserviamo che per l’ipotesi di convergenza in misura: 

lim 

m→∞ 

n→∞ 

µ [ E m,n (η) ] =0 ∀ η ∈ R + . (4.6.12)


D’altra parte abbiamo: 

∫ 

∫ 

∫ 

| f m − f n | dµ = 

I 

| f m − f n | dµ + 

E k 

| f m − f n | dµ 

I\E k 

(4.6.13) 

e 

∫ 

∫ 

| f m − f n | dµ = | f m − f n | dµ + 

E k E k \E m,n 

∫ 

∫ 

| f m − f n | dµ 

E k ∩E m,n 

≤ ηµ(E k )+ | f m − f n | dµ 

E k ∩E 

∫ 

m,n 

∫ 

≤ ηµ(E k )+ | f m | dµ + 

E m,n 

| f n | dµ. 

E m,n 

(4.6.14) 

Poiché le funzioni di insieme definite nella (4.6.4) sono uniformemente assolutamente continue 

evalela(4.6.12), risulta: 

∫ 

∫ 

lim | f 

m→∞ 

m | dµ = 0 e lim | f 

m→∞ 

n | dµ =0. 

n→∞ E m,n n→∞ E m,n 

Inoltre, applicando la (4.6.10), abbiamo: 

∫ 

∫ 

∫ 

| f m − f n | dµ = 

I\E k 

| f m | dµ + 

F k 

| f n | dµ


l’esistenza di una funzione f ∈ L 1 (I,µ)acui(f n ) N 

converge in L 1 (I,µ)eciò significa: 

∫ ∫ ∫ ( ) 

lim f n dµ = f dµ = lim f n dµ. (4.6.17) 

n→∞ 

I 

I 

I 

n→∞ 

Il Teorema 4.6.4 asserisce che ciò si può fare se e solo se le funzioni di insieme definite nella 

(4.6.4) sono uniformemente assolutamente continue ed equicontinue da destra nello zero. 

Occorre precisare che, partendo da una successione (f n ) N 

di funzioni integrabili, occorre in 

primo luogo sapere se la successione (f n ) N 

sia fondamentale in misura. Allora, se le funzioni 

di insieme definite nella (4.6.4) sono uniformemente assolutamente continue ed equicontinue 

da destra nello zero, si deduce che la successione (f n ) N è fondamentale in media. A questo 

punto si può asserire che la funzione f, esistente perché (f n ) N è fondamentale in misura, èla 

stessa a cui (f n ) N 

converge in media ed èverala(4.6.14). 

Questo Teorema è dunque poco agevole da applicare, anche se ciò non toglie nulla alla sua 

profonda natura. 

Osservazione. La condizione di equicontinuità dadestranellozeroè necessaria quando 

µ(I) =+∞ e serve a “dominare” gli insiemi di misura infinita su cui le funzioni di insieme 

ν n assumono definitivamente valori “piccoli”. 

E’ istruttivo a questo proposito tener presente che già nel 1905 G. Vitali aveva dimostrato 

il seguente: 

Teorema 4.6.5 Sia (I,L ,µ) uno spazio mensurale con µ(I) < +∞ esia(f n ) N 

una successione 

di funzioni integrabili in I. Allora, sono equivalenti: 

C) La successione (f n ) N 

converge in media a f ∈ L 1 (I,µ). 

D) La successione (f n ) N 

converge in misura a f in I elefunzionidiinsiemeν n associate alle 

| f n | sono uniformemente assolutamente continue. 

Dim. L’implicazione C) ⇒ D) è contenuta in A) ⇒ B) del Teorema 4.6.4. 

Per dimostrare che la D) implica la C), osserviamo che, con le stesse notazioni della 

dimostrazione del Teorema 4.6.4, abbiamo: 

∫ 

∫ 

∫ 

| f n − f m | dµ = | f n − f m | dµ + | f n − f m | dµ 

I 

I\E m,n E 

∫ 

∫ 

m,n 

≤ ηµ(I)+ | f n | dµ + | f m | dµ. 

E m,n E m,n 

Poiché valela(4.6.12), otteniamo allora: 

∫ 

′′ 

lim 

m→∞ 

n→∞ I 

| f n − f m | dµ ≤ ηµ(I) ,


in virtù della uniforme assoluta continuità delle ν n . Dalla arbitrarietà diη segue la C). 

E’ utile osservare: 

Teorema 4.6.6 (di G. Vitali) Si consideri la seguente: 

D’) La successione (f n ) N 

converge quasi ovunque a f in I elefunzionidiinsiemeν n associate 

alle | f n | sono uniformemente assolutamente continue. 

Allora, sempre nell’ipotesi µ(I) < +∞ vale l’implicazione: 

D’) =⇒ C) . (4.6.18) 

Dim. Fissiamo la successione (f n ) N convergente a f quasi ovunque in I: per il Teorema di 

Egoroff-Severini, (f n ) N 

converge a f quasi uniformemente in I. Inoltre, per il Teorema 3.4.2, 

risulta che (f n ) N 

converge in misura a f e allora èveralaD) e quindi, per il Teorema 4.6.5, 

anche la C). 

Osservazione. E’ importante osservare che C) D’), mentre sappiamo che C) ⇒ D). 

Dalla convergenza in misura di (f n ) N 

a f deduciamo, per il Teorema 3.4.5 che una estratta di 

(f n ) N 

converge quasi ovunque a f: si ottiene perciò chelaC) implica “poco di meno” della 

D’). 

4.7 Teoremi fondamentali 

Uno dei risultati più utili nelle applicazioni è costituito dal seguente: 

Teorema 4.7.1 (della convergenza dominata di Lebesgue) Se (f n ) N è una successione 

di elementi di ̷L 1 (I,µ) che converge a f quasi ovunque in I (oppure converge in misura a f 

in I) ed esiste g ∈ ̷L 1 (I,µ) tale che: 

| f n (x) |≤|g(x) | q.o. in I ∀ n ∈ N , (4.7.1) 

allora anche f ∈ ̷L 1 (I,µ), la successione (f n ) N 

converge in media a f in I e si ha: 

∫ 

∣ 

I 

∫ 

f dµ 

∣ ≤ 

I 

∫ 

| f | dµ ≤ 

I 

| g | dµ. (4.7.2) 

Dim. Il caso corrispondente alla convergenza in misura èpiù semplice. Poiché l’integrale 

indefinito di | g | è assolutamente continuo, dalla (4.7.1) segue facilmente che gli integrali 

indefiniti delle funzioni | f n | , n =1, 2,..., sono uniformemente assolutamente continui: infatti 

il δ ∈ R + costruito per E → ∫ E | g | dµ è buono per tutte le E → ∫ E | f n | dµ, n =1, 2,....

Teoremi fondamentali 149 

Poiché | g | è sommabile, fissata una successione (E m ) N 

di elementi di L decrescenti e aventi 

per intersezione l’insieme vuoto: 

∫ 

∀ ε ∈ R + ∃ m 0 ∈ N t.c. m ≥ m 0 =⇒ | g | dµ


Introduciamo la successione di insiemi: 

∞⋃ 

F n (η) = E k (η) n =1, 2,... . (4.7.5) 

k=n 

E’ facile riconoscere che F n ⊃ F n+1 , per ogni n ∈ N. Proviamoche: 

∞⋂ 

F n (η) =∅ ∀ η ∈ R + . (4.7.6) 

n=1 

Infatti, fissato comunque x ∈ I, risultando: 

assegnato η ∗ ∈ R + , possiamo dire che: 

lim | f k(x) − f(x) | =0, 

k→∞ 

∃ k ∗ ∈ N t.c. ∀ k ≥ k ∗ =⇒ |f k (x) − f(x) |


Come importante conseguenza del Teorema della convergenza dominata ricaviamo il seguente: 

Teorema 4.7.2 (di B. Levi) Sia (f n ) N 

una successione non decrescente di funzioni non 

negative appartenenti a L 1 (I,µ), avente per limite la funzione misurabile f, cioè: 

lim f n(x) =f(x) q.o. in I e f j (x) ≤ f j+1 (x) ∀ j ∈ N 

n→∞ 

Sono allora vere le seguenti proprietà: 

α) Se risulta: 

allora: 

β) Se risulta: 

allora: 

∫ 

lim f n dµ


ossia la successione (f n ) N è fondamentale in media. Deduciamo allora che esiste una funzione 

g ∈ L 1 (I,µ) a cui la successione (f n ) N converge in media. Poiché la convergenza in media implica 

la convergenza in misura, potremo costruire una estratta (f nk ) k∈N 

da (f n ) N che converga 

a g quasi ovunque in I. Inoltre,poiché la successione (f n ) N converge a f quasi ovunque in I, 

anche la sottosuccessione (f nk ) k∈N 

convergerà quasi ovunque a f in I. Daciò si deduce che f 

è quasi ovunque uguale a g: perciò f ∈ L 1 (I,µ)e(f n ) N 

converge in media a f. Daciòsegue 

allora la α). 

Dimostriamo ora la β). Se fosse f ∈ ̷L 1 (I,µ), per la non decrescenza di (f n ) N e dal fatto 

che: 

f n (x) ≤ f(x) ∀ n ∈ N q.o. in I, 

applicando il Teorema della convergenza dominata, seguirebbe: 

∫ ∫ 

lim f n dµ = f dµ


m ∈ N, appartiene a ˜Σ I . 

Def. 4.7.3 Per ogni f ∈ Λ I per cui f(x) ≥ 0, sipone: 

∫ 

∫ 

∫ 

f dµ := lim χ 

I 

m→∞ Em 

s m dµ = lim s m dµ. (4.7.13) 

I 

m→∞ 

E m 

Tale definizione ha significato in primo luogo perché la successione degli integrali: 

(∫ ) 

χ Em 

s m dµ 

(4.7.14) 

I 

N 

è non decrescente. La novità si ha quando tale successione è divergente e allora all’integrale 

della f si attribuisce il valore +∞. E’ importante stabilire: 

Prop. 4.7.4 Il carattere della successione (4.7.14) non dipende dalle particolari successioni 

(s n ) N 

e (E m ) N 

. Se la successione (4.7.14) è convergente, allora f ∈ L 1 (I,µ) e il valore del suo 

integrale, introdotto con al (4.7.13), coincide con quello a essa attribuito con la Def. 4.4.1. 

Dim. Se la successione (4.7.14) è convergente, ripetendo il ragionamento fatto per dimostrare 

il caso α) del Teorema di B. Levi, si stabilisce che (χ Em 

s m ) N è fondamentale in 

media e converge in misura a f; perciò l’integrale attribuito a f con la (4.7.13) coincide con 

quello attribuito con la Def. 4.4.1. 

Cambiando le successioni (s n ) N 

e(E m ) N 

, il carattere della successione (4.7.14) corrispondente 

deve ancora essere “convergente”, in virtù della β) del Teorema di B. Levi. Se la successione 

(4.7.14) è divergente, sempre per la β) del Teorema di B. Levi, risulta che f /∈ L 1 (I,µ)e 

il valore dell’integrale attribuito a f è+∞; inoltre, utilizzando la α) del Teorema di B. Levi, è 

evidente che tale valore è sempre lo stesso, comunque si cambino le successioni (s n ) N 

e(E m ) N 

. 

La Proposizione è dunque dimostrata. 

Def. 4.7.5 Si dicono integrabili tutte le funzioni f ∈ Λ I ,conf : I → R, per le quali almeno 

uno dei due seguenti integrali: 

∫ 

∫ 

f + dµ o f − dµ (4.7.15) 

I 

ha valore finito. In questa situazione di pone: 

∫ ∫ ∫ 

f dµ = f + dµ − f − dµ. (4.7.16) 

I 

I 

I 

I


Osservazione. E’ ovvio che quando entrambi gli integrali (4.7.15) hanno valore finito, 

l’integrale attribuito alla f con la (4.7.16) coincide con quello attribuito alla f con la Def. 

4.4.1. 

E’ indispensabile segnalare che si può evitare l’ambiguità del termine “integrabile”, attribuendo 

alle funzioni integrabili aventi integrale finito il termine sommabile. In questo 

senso, lo spazio L 1 (I,µ) viene denominato lo spazio delle funzioni sommabili, come abbiamo 

già detto con la Def. 4.5.4. Parlando di funzioni integrabili, si intenderanno quindi funzioni il 

cui integrale può essere anche +∞ o −∞. Questomododidireè analogo a quello adottato 

nella teoria dell’integrazione secondo Riemann. 

Le successive proprietà completano il quadro delle funzioni integrabili: 

Prop. 4.7.6 Ogni funzione misurabile che assume quasi ovunque valori di un solo segno è 

integrabile. 

Dim. Basta osservare che se una funzione f assume quasi ovunque solo valori positivi (o 

solo valori negativi), la f − (o la f + )è quasi ovunque nulla e perciò uno dei due integrali nella 

(4.7.15) vale zero. 

Prop. 4.7.7 Se le funzioni f e g sono misurabili e non negative e si ha quasi ovunque f ≤ g, 

allora: 

∫ ∫ 

f dµ ≤ 

I 

I 

g dµ. (4.7.17) 

Dim. Introdotta la successione (χ Em 

s m ) N 

conformemente alla Def. 4.7.3, dalle ipotesi 

ricaviamo: 

χ Em 

s m ≤ g. (4.7.18) 

Se la funzione g ha integrale +∞, la(4.7.17) è ovvia; se g ∈ L 1 (I,µ), per la (4.7.18), la (4.7.17) 

segue dal Teorema della convergenza dominata. 

Prop. 4.7.8 Se le funzioni f e g sono elementi di Λ I , g ∈ L 1 (I,µ) e | f |≤|g | q.o. in I, 

allora f ∈ L 1 (I,µ). 

Dim. Sia (s n ) N una successione di funzioni semplici non negative, crescente e avente per 

limite | f | , ossia convergente a | f | quasi ovunque in I. Poiché dalle ipotesi si deduce: 

s n ≤|g | ∀ n ∈ N , (4.7.19)


tutte le s n sono elementi di ˜Σ I ,cioè sono sommabili. Infatti, essendo non negative, hanno 

significato gli integrali in senso generalizzato delle s n . Tuttavia, dalla (4.7.19) si deduce: 

∫ ∫ 

s n dµ ≤ 

I 

I 

| g | dµ


Allora la successione [e ′ n(x)] N è non decrescente e ha per limite l(x). E’ ovvio che e ′ n(x) ≤ f n (x) 

in I, cosicché e ′ n ∈ L 1 (I,µ)esiha: 

∫ ∫ 

∫ ∫ 

e ′ n dµ ≤ f n dµ e e ′ n dµ ≤ e ′ n+1 dµ. (4.7.24) 

I 

I 

Per la seconda proprietà del minimo limite per le successioni numeriche, una estratta della 

successione numerica: (∫ ) 

f n dµ 

I N 

convergerà al minimo limite di tale successione. Sia allora: 

(∫ ) 

f nk dµ 

I 

k∈N 

tale che: 

∫ 

∫ 

′ 

lim f nk dµ = lim f n dµ. (4.7.25) 

k→∞ I 

n→∞ 

I 

Dalla prima della (4.7.24) siricava: 

∫ ∫ 

e ′ n k 

dµ ≤ f nk dµ (4.7.26) 

e passando al limite, in virtù della seconda della (4.7.24) otteniamo: 

∫ 

∫ 

∫ 

lim e ′ ′ 

n 

k→∞ k 

dµ = lim e n dµ ≤ lim f n dµ. 

I 

n→∞ 

I 

n→∞ 

I 

I 

Tenendo presente che la successione [e n (x)] N è non decrescente e ha per limite l(x), per la α) 

del Teorema 4.7.2 segue la tesi. 

I 

I 

I 

Osservazione. Senza l’ipotesi (4.7.20), secioè: 

∫ 

∫ 

′ 

lim f n dµ =+∞ , ossia se lim f n dµ =+∞ , (4.7.27) 

n→∞ 

I 

n→∞ 

I 

la (4.7.22) è ancora vera, ma risulta non precisato se l(x) èononè sommabile. 

Teorema 4.7.11 (Teorema della media) Se g ∈ L 1 (I,µ) e f è misurabile ed essenzialmente 

limitata, allora fgè sommabile. Inoltre, dati α, β ∈ R per cui α ≤ f(x) ≤ β q.o. in I, 

esiste γ ∈ [α, β] tale che: ∫ 

∫ 

f | g | dµ = γ | g | dµ. (4.7.28) 

I 

I


Dim. SeM è una costante tale che | f |≤M q.o. in I, siha: 

| fg|≤M | g | q.o. in I. 

Poiché M | g | è sommabile, dalla Prop. 4.7.8 segue che fg∈ L 1 (I,µ). 

Per la seconda parte si può osservare che da: 

α | g |≤f | g |≤β | g | q.o. in I, 

segue: 

Se risulta: 

∫ ∫ 

∫ 

α | g | dµ ≤ f | g | dµ ≤ β | g | dµ. (4.7.29) 

I 

I 

I 

∫ 

I 

| g | dµ =0, 

la (4.7.28) è ovvia, perché dalla (4.7.29) segue: 

∫ 

f | g | dµ =0. 

I 

Se invece: 

basta scegliere γ come: 

(∫ 

γ := 

I 

∫ 

I 

| g | dµ >0 , 

) −1 ∫ 

| g | dµ f | g | dµ ∈ [α, β] 

I 

eilTeoremaè allora completamente dimostrato. 

Prop. 4.7.12 Se (f n ) N è una successione di funzioni sommabili tali che: 

allora la serie: 

∞∑ 

∫ 

n=1 I 

| f n | dµ


Dim. Poniamo: 

F m = 

m∑ 

| f n | m =1, 2,... (4.7.32) 

n=1 

eosserviamoche(F m ) N è una successione di funzioni misurabili, non negative, sommabili, 

avente per limite una funzione misurabile: 

F (x) = lim 

m→∞ F m(x) q.o. in I, (4.7.33) 

in quanto (F m ) N è una successione non decrescente. In virtù della (4.7.30) siha: 

∫ 

lim F m dµ = lim 

m→∞ 

I 

m∑ 

∫ 

m→∞ 

n=1 

I 

| f n | dµ

Esempi e controesempi 159 

elaProposizioneè completamente dimostrata. 

4.8 Esempi e controesempi 

ITeoremidal4.6.4 al 4.7.10 possono essere detti di passaggio al limite sotto il segno di integrale. 

E’ utile qualche commento illustrato con dei controesempi. Cominciamo con il Teorema di 

Vitali che garantisce la validità della (4.6.17) nell’ipotesi che (f n ) N 

converga a f quasi ovunque 

e che gli integrali indefiniti delle | f n | siano uniformemente assolutamente continui. Ciòèvero 

soltanto se µ(I) < +∞, come risulta dal seguente esempio: 

E1 Sia (E n ) N 

una partizione misurabile di I. Consideriamo le funzioni: 

E’ facile riconoscere che: 

Infatti, avendosi: 

f n = χ En 

n =1, 2,... (4.8.1) 

lim f n(x) =0 ∀ x ∈ I. (4.8.2) 

n→∞ 

I = 

∞⋃ 

n=1 

ed essendo E 1 ,E 2 ,...,E n ,... una partizione di I, ogni x ∈ I appartiene a uno e uno 

solo degli insiemi E 1 ,E 2 ,...,E n ,....Sex ∈ E n ∗, per ogni n>n ∗ , x /∈ E n e quindi: 

E n 

f n (x) =0 

eciòprovala(4.8.2). E’ inoltre immediato verificare che gli integrali indefiniti associati 

alla (4.8.1) sono uniformemente assolutamente continui. Basta infatti osservare che: 

∫ ∫ 

f n dµ = χ En 

dµ = µ(I ∩ E n ) , (4.8.3) 

I 

I 

cosicché: 

µ(I)


Essendo poi: 

la (4.8.6) significa: 

∫ 

µ(E n )= 

I 

χ En 

dµ, 

∫ ∫ 

lim f n dµ = ( lim f n)dµ. (4.8.7) 

n→∞ 

I 

I 

n→∞ 

Se invece µ(I) =+∞, prendendo E 1 ,E 2 ,...,E n ,... in modo che: 

la (4.8.7), ossia la (4.6.17), non èpiùvera. 

lim µ(E n) ≥ a>0 , 

n→∞ 

E2 Nell’insieme N dei numeri naturali introduciamo la misura seguente: 

µ ♯ (E) =CardE ∀ E ∈ ℘(N) . 

Si suole dire che µ ♯ è la misura che conta gli elementi degli insiemi. L’introduzione 

di µ ♯ si può fare su ogni insieme numerabile I. 

Si riconosce facilmente che µ ♯ è una misura σ-finita che assume valore +∞ su tutti i 

sottoinsiemi di N che hanno infiniti elementi e che è numerabilmente additiva in ℘(N). 

E’ fondamentale osservare che: 

µ ♯ (E) =0 ⇐⇒ E = ∅ . 

Inoltre tutti i sottoinsiemi di ℘(N) sonoµ ♯ -misurabili e perciò tutte le funzioni definite in 

N a valori in C sono µ ♯ -misurabili, cioè sonoµ ♯ -misurabili tutte le successioni di numeri 

complessi. 

Cominciamo con il caratterizzare la convergenza in misura in (N,℘(N),µ ♯ ): 

Teorema 4.8.1 Una successione (f n ) N di funzioni definite in N a valori in C converge 

in misura a f in (N,℘(N),µ ♯ ) se e solo se: 

lim f n(k) =f(k) uniformemente rispetto a k ∈ N . 

n→∞ 

Dim. Asserire che f n converge in misura a f in (N,℘(N),µ ♯ ) significa: 

lim 

({ 

n→∞ µ♯ k ∈ N t.c. | f n (k) − f(k) |≥η }) =0 ∀ η ∈ R + . (4.8.8) 

Applicando la definizione di limite, prendendo ε ∈]0, 1] e tenendo presente che il solo


insieme che in (N,℘(N),µ ♯ ) ha misura minore di uno è il sottoinsieme vuoto, si deduce: 

∀ η ∈ R + ∃ n η ∈ N t.c. ∀ n>n η : 

Ma tale asserzione equivale a: 

{ 

k ∈ N t.c. | fn (k) − f(k) |≥η } = ∅ . 

(4.8.9) 

∀ η ∈ R + ∃ n η ∈ N t.c. ∀ n>n η =⇒ |f n (k) − f(k) |


avendo indicato con χ k 

la funzione caratteristica del sottoinsieme { k } di N, cioè: 

χ k 

(x) = 

{ 

1 se x = k 

0 se x ∈ N \ { k } 

La (4.8.15) fornisceχ E 

| f | come funzione semplice dello spazio ˜Σ N . Si può riconoscere 

che ogni elemento s ∈ ˜Σ N ha la rappresentazione: 

s(x) = ∑ k∈J 

a k χ k 

(x) , 

essendo J un sottoinsieme finito di N. Per definizione si ha: 

∫ 

s dµ ♯ = ∑ a k µ ♯ (χ k 

)= ∑ a k . 

N 

k∈J k∈J 

Perciò dalle (4.8.14) e(4.8.15) ricaviamo: 

ecioèla(4.8.12). 

∫ 

N 

| f | dµ ♯ = lim 

n→∞ 

k=1 

n∑ 

| f(k) | = 

∞∑ 

| f(k) | < +∞ 

k=1 

Mostriamo ora che la (4.8.12) implicala(4.8.11). Introduciamo la successione di funzioni 

semplici: 

n∑ 

s n (x) = f(k) χ k 

(x) n =1, 2, 3,... . 

k=1 

Proviamochelasuccessione(s n (x)) N è fondamentale in media: 

∫ 

N 

∫ 

| s n+q − s n | dµ ♯ = 

= 

N 

∣ 

n+q 

∑ 

k=n+1 

n+q 

∑ 

k=n+1 

∣ ∣∣∣∣ ∫ 

f(k) χ k 

dµ ♯ = 

| f(k) | . 

Con procedimento analogo si riconosce che: 

∫ 

lim | s n − f | dµ ♯ = lim 

n→∞ 

N 

n→∞ 

∞∑ 

k=n+1 

n+q 

∑ 

N 

k=n+1 

| f(k) | =0. 

| f(k) | χ k 

dµ ♯


Da questa si riconosce che (s n ) N 

converge in media a f e perciò: 

f ∈ L 1 (N,µ ♯ ) 

e 

∫ 

N 

∫ 

| f | dµ ♯ = lim s n dµ ♯ = 

n→∞ 

N 

∞∑ 

| f(k) | 

k=1 


E3 Nello spazio mensurale (N,℘(N),µ ♯ ) studiamo il carattere della successione così definita: 

⎧ 

⎨ 1 

∀ k ∈ { 1,...,n } 

f n (k) = n 

⎩ 

0 ∀ k>n 

o anche 

f n (x) = 1 n 

n∑ 

χ k 

(x) . (4.8.16) 

k=1 

A tale studio premettiamo il seguente: 

Lemma 4.8.3 Fissata una successione decrescente (E k ) N 

di sottoinsiemi di N, serisulta: 

∞⋂ 

E k = ∅ , (4.8.17) 

si ha la seguente alternativa: 

k=1 

a) Uno degli E k ha un numero finito di elementi. Allora gli elementi della successione 

(E k ) N 

sono definitivamente uguali all’insieme vuoto, cioè: 

∃ k 0 ∈ N t.c. E n = ∅ ∀ n>k 0 . (4.8.18) 

b) Ogni elemento E k ha infiniti elementi. Allora, posto: 

n k =minE k , 

si ha: 

lim n k =+∞ . (4.8.19) 

k→∞ 

Dim. Cominciamo con il dimostrare la a). Ammettiamo pertanto che E k∗ sia costituito 

da un numero finito di elementi, ossia: 

E k∗ = { a 1 ,a 2 ,...,a q 

} 

. (4.8.20) 

Poiché valela(4.8.17), esisterà unE k ,siaE k1 , a cui non appartiene a 1 . Per la decrescenza, 

a 1 non apparterrà ad alcuno degli insiemi successivi a E k1 . Per lo stesso motivo,


esisterà unE k2 a cui non appartiene a 2 ;così continuando, sia E kj un sottoinsieme di 

(E k ) N a cui non appartiene a j eciòperj =1,...,q. Ponendo: 

k 0 =max { k 1 ,k 2 ,...,k q 

} 

, 

Poichéperlade- 

avremo che nessuno degli elementi a 1 ,a 2 ,...,a q appartiene a E k0 . 

crescenza risulta: 

{ } 

a1 ,a 2 ,...,a q ßEk0 , 

è necessariamente E k0 = ∅ ed è perciò veralaa). 

Dimostriamo ora la b). 

(E k ßE k+1 )siha: 

Detto n k il più piccolo elemento di E k , per la decrescenza 

n k ≤ n k+1 ∀ k ∈ N . 

La successione (n k ) N è una successione di interi non decrescente e dovrà essere vera la 

(4.8.19). Infatti, se così non fosse: 

∃ M ∈ N t.c. n k ≤ M ∀ k ∈ N 

e quindi l’insieme degli interi { n 1 ,n 2 ,...,n k ,... } avrebbe un massimo m e, per almeno 

un indice k 0 ,siavrebben k0 = m. Per la crescenza acquisita degli n k risulterebbe: 

∀ k ≥ k 0 m = n k0 ≤ n k ≤ m, 

ossia: 

∀ k ≥ k 0 

n k = m 

e si avrebbe anche, in contrasto con la (4.8.17): 

∞⋂ 

m ∈ E k . 

k=1 

Perciò èverala(4.8.19) e il Lemma è dimostrato. 

Torniamo allo studio della successione (f n ) N , con le f n definite tramite la (4.8.16). 

Ciascuna f n èelementodiL 1 (N,µ ♯ )erisulta: 

∫ 

N 

f n dµ ♯ = 1 n 

n∑ 

µ ♯ (χ k 

)= 1 n =1 ∀ n ∈ N . (4.8.21) 

n 

k=1 

E’ facile riconoscere che la successione (f n ) N 

converge alla funzione identicamente nulla


su N, che chiameremo f 0 . Fissato infatti un arbitrario m ∈ N, per ogni n>msi ha: 

f n (m) = 1 n 

−→ 0 per n −→ ∞ . 

Proviamochelasuccessione(f n ) N 

converge in misura a f 0 . Fissato η ∈ R + , abbiamo: 

⎧ 

{ } 

{ 

x ∈ N t.c. | fn (x) − f 0 (x) |≥η } ⎪⎨ 1, 2,...,n se 1 

= 

n ≥ η 

⎪⎩ ∅ se 1 (4.8.22) 

n 1 η : 

{ 

x ∈ N t.c. | fn (x) − f 0 (x) |≥η } = ∅ 

edaciò segue, come abbiamo affermato: 

lim 

({ 

n→∞ µ♯ x ∈ N t.c. | f n (x) − f 0 (x) |≥η }) =0 ∀ η ∈ R + . 

Ora osserviamo che la funzione f 0 ha integrale nullo su N. Dalla (4.8.21) si deduce: 

∫ 

∫ 

lim f n dµ ♯ =1≠ lim f 0 dµ ♯ =0. (4.8.23) 

n→∞ 

N 

n→∞ 

N 

Concludiamo perciò che per la successione (f n ) N 

definita con la (4.8.16) non vale il 

passaggio al limite sotto il segno di integrale. Ciò avviene nonostante: 

Prop. 4.8.4 Per la successione (f n ) N 

definita con la (4.8.16) valgono le seguenti: 

1) la successione (f n ) N 

converge in misura a f 0 

2) gli integrali indefiniti delle f n sono uniformemente assolutamente continui 

3) per ogni n ∈ N l’integrale indefinito di f n è continuo da destra nello zero 

Dim. La1) è stata già provata. 

Per la 2), fissato ε ∈ R + , scegliamo δ ∈]0, 1[eosserviamocheinN esiste un solo 

sottoinsieme tale che: 

µ ♯ (E)


Abbiamo perciò: 

µ ♯ (E) n.Poiché gli elementi E k∗ sono tutti maggiori di n k∗ , 

risulterà: 

f n (x) =0 ∀ x ∈ E k ∀ k>k ∗ . 

Perciò: 

∀ k>k ∗ : 

∫ 

E k 

f n dµ ♯ =0 

ed ècosìprovatala(4.8.25), e cioè la3). 

Questo esempio dimostra che la equicontinuità da destra nello zero nella B) del Teorema 

4.6.4, quando µ(I) =+∞, non può essere eliminata. 

E4 Nello spazio mensurale (R, L ,µ), consideriamo la successione di funzioni (fn) N 

con le f n 

così definite: 

⎧ 

1 ⎪⎨ 

f n (x) = (1 + | x | ) α ∀ x ∈ [−n, n] 

⎪⎩ 

0 per | x | >n 

(4.8.26) 

ove α è un qualunque numero reale positivo. Introduciamo la funzione: 

f α (x) = 

1 

(1 + | x | ) α ∀ x ∈ R 

e dimostriamo la seguente: 

Prop. 4.8.5 La successione (f n ) N 

definita dalla (4.8.26) converge uniformemente a f α 

in R.


Dim. Notiamo innanzitutto che: 

⎧ 

⎪⎨ 0 ∀ x ∈ [−n, n] 

| f n (x) − f α (x) | = 1 

⎪⎩ 

(1 + | x | ) α per | x | >n 

(4.8.27) 

Assegnato ε ∈]0, 1[, fissiamo ν ε ∈ N in modo che: 

1 

(1 + ν ε ) α − 1 . 

ε 

Allora dalla (4.8.27) ricaviamo che: 

n>ν ε =⇒ |f n (x) − f α (x) | < 

1 

(1 + ν ε ) α 1. 

Questo esempio mostra che sugli insiemi di misura infinita la convergenza uniforme di 

una successione funzioni sommabili non garantisce la sommabilità della funzione limite.

168 Teoria dell’Integrazione secondo Lebesgue

5 

Risultati Conclusivi sulla Teoria della Misura e 

dell’Integrazione 

5.1 Misure relative 

Fissato uno spazio mensurale (I,L ,µ) e una funzione sommabile f, la funzione d’insieme: 

L ∋ E −→ 

∫ 

E 

| f | dµ := ν | f | (E) (5.1.1) 

è una misura nel senso della Def. 2.1.1. In realtà si tratta di una misura che viene detta 

totalmente finita, inquanto: 

ν | f | (I) < +∞ . 

Abbiamo tuttavia stabilito nel Paragrafo 4.6 che a ogni funzione misurabile positiva o al più 

nulla quasi ovunque in I si può sempre attribuire un integrale che può valere anche +∞. 

Perciò, a ogni funzione f di questa natura, si può associare una funzione di insieme: 

L ∋ E −→ 

∫ 

E 

f dµ := ν f (E) (5.1.2) 

che può assumere anche il valore +∞. E’ facile riconoscere che tale ν f è numerabilmente 

additiva e σ-finita. Abbiamo infatti stabilito nel Paragrafo 4.6 che si può sempre costruire 

una successione (˜s m ) N 

di elementi di ˜Σ I non decrescente, convergente q.o. a f in I etaleche: 

∫ 

∫ 

f dµ = lim ˜s m dµ. (5.1.3) 

I 

m→∞ 

I 

E’ evidente che, in virtù del Teorema di B. Levi, dalla (5.1.3) si deduce, per ogni E ∈ L : 

∫ ∫ 

∫ 

∫ 

f dµ = χ E 

f dµ = lim χ 

E 

I 

m→∞ E ˜s m dµ = lim ˜s m dµ. (5.1.4) 

I 

m→∞ 

E 

169

170 Risultati Conclusivi sulla Teoria della Misura e dell’Integrazione 

Poiché l’integrale: 

∫ 

E 

˜s m dµ 

è finito, la (5.1.4) esprimelaσ-finitezza di ν f . Per dimostrare la numerabile additività, utilizziamo 

tale proprietà perleν associate alle ˜s m . Sia E ∈ L e(E j ) N 


elementi disgiunti di L tali che: 

∞⋃ 

E = E j . 

Dal Teorema 4.1.2 sappiamo che 1 : 

∫ 

E 

˜s m dµ = 

j=1 

∞∑ 

∫ 

Dalla monotonia di tutti gli integrali coinvolti si ricava facilmente: 

Infatti dalla (5.1.5) si deduce: 

∫ 

E 

f dµ = 

j=1 

∞∑ 

∫ 

j=1 

E j 

˜s m dµ. (5.1.5) 

E j 

f dµ. (5.1.6) 

n∑ 

∫ ∫ 

˜s m dµ ≤ 

E j 

j=1 

E 

f dµ 

∀ n ∈ N 

e quindi: 

lim 

n∑ 

∫ 

m→∞ 

j=1 

E j 

˜s m dµ = 

n∑ 

∫ ∫ 

f dµ ≤ 

E j 

j=1 

Da quest’ultima segue: 

∞∑ 

∫ ∫ 

f dµ ≤ 

E j 

j=1 

D’altra parte, sempre dalla (5.1.5) siricava: 

∫ 

˜s m dµ ≤ 

E 

E 

∞∑ 

∫ 

j=1 

E 

f dµ. 

E j 

f dµ 

f dµ ∀ n ∈ N . 

e passando al limite si ottiene: 

∫ 

E 

f dµ ≤ 

∞∑ 

∫ 

j=1 

E j 

f dµ 

1 L’estensione della proprietà δ) del Teorema 4.1.2 al caso in cui µ(I) =+∞ e s è non negativa non presenta 

alcuna difficoltà.

Misure relative 171 

edaciòseguela(5.1.6). 

Procedendo con l’idea di costruire “misure” utilizzando l’integrale, ricordiamo che, considerando 

una funzione integrabile f (cioè una funzione per cui almeno una delle funzioni f + 

o f − sia sommabile), arriviamo a definire una funzione di insieme mediante la formula: 

L ∋ E −→ 

∫ 

E 

∫ 

f + dµ − f − dµ := ν f (E) , (5.1.7) 

E 

che ha sempre significato come funzione di insieme associata a una funzione integrabile, che può 

assumere il valore +∞ o −∞, ma certamente non entrambi. Taleν f presenta la caratteristica 

di risultare “differenza” di due misure e perciò assume valori in R, sef è a valori reali. Si può 

ora comprendere la seguente: 

Def. 5.1.1 Fissata una σ-algebra L di parti di un insieme I, una funzione: 

ν : L −→ ˜R 

si dice una misura relativa sullo spazio per misura (I,L ) se verifica le condizioni: 

a) ν(∅) =0 

b) ν è numerabilmente additiva 

c) ν assume al più uno solo dei valori +∞ o −∞ 

Esempi di misure relative sono ampiamente forniti dalla (5.1.7), distinguendo le diverse 

possibilità che si possono effettivamente presentare: 

I 

II 

III 

∫ 

∫ 

∫ 

E 

E 

E 

f + dµ =+∞ 

f + dµ


Prop. 5.1.2 Siano E 1 e E 2 elementi di L e ν una misura relativa in (I,L ). Se si ha: 

allora si ha anche | ν(E 1 ) | < +∞. 

E 1 ⊂ E 2 e | ν(E 2 ) | < +∞ , 

Dim. Dalla numerabile additività si deduce in modo ovvio la finita additività e,daquesta, 

la proprietà sottrattiva. Perciò possiamo scrivere: 

ν(E 2 )=ν(E 2 \ E 1 )+ν(E 1 ) . (5.1.8) 

Se ν(E 2 )è finito, non può accadere che uno dei termini a secondo membro della (5.1.8) abbia 

valore infinito, per esempio +∞. Infatti, poiché perlac) della Def. 5.1.1 l’altro termine non 

può avere il valore −∞, la somma dei due termini al secondo membro della (5.1.8) sarebbe 

+∞, contro l’ipotesi che ν(E 2 )è finito. Perciò anche ν(E 1 ) deve avere valore finito e la Proposizione 

è perciò dimostrata. 

Prop. 5.1.3 In (I,L ) sia ν una misura relativa. Fissata una successione disgiunta (E n ) N 

di 

insiemi ν-misurabili, si supponga che: 

( ∞ 

) ∣ ∣ ν ⋃ ∣∣∣∣ 

E k < +∞ . 

k=1 

Allora la serie: 

risulta assolutamente convergente. 

∞∑ 

ν(E k ) 

k=1 

Dim. Distinguiamo gli insiemi E k in due classi ponendo: 

{ 

Ek 

E + k = se ν(E k ) > 0 =⇒ ν(E + k )=ν(E k) 

∅ se ν(E k ) ≤ 0 =⇒ ν(E + k )=0 

{ 

∅ se ν(Ek 

E − k = ) ≥ 0 =⇒ ν(E − k )=0 

E k se ν(E k ) < 0 =⇒ ν(E − k )=ν(E k) 

(5.1.9) 

Abbiamo: 

( 

∞⋃ ⋃ ∞ 

E k = 

) 

( ∞ 

⋃ 

E + k 

∪ E − k 

k=1 k=1 

k=1 

)

Misure relative 173 

e per ipotesi: 

( ∞ 

) ∣ ( ∣ ν ⋃ ∣∣∣∣ ∞ E k = 

∣ ν ⋃ 

k=1 

) 

E + k 

+ ν 

k=1 

k=1 

Poiché laserie: 

∞∑ 

ν(E + k ) 

( 

⋃ ∞ 

) ∣ ∣ ∣∣∣∣ E − ∞∑ 

∞ 

k 

= 

ν(E + 

∣ 

k )+ ∑ ∣∣∣∣ 

ν(E − k ) < +∞ . (5.1.10) 

k=1 

è di termini non negativi, o è divergente positivamente o è convergente. Poiché laserie: 

∞∑ 

ν(E − k ) 

k=1 

è di termini non positivi, o è divergente negativamente o è convergente. Per la condizione c) 

della Def. 5.1.1, non possono essere entrambe le serie divergenti. Allora, per la (5.1.10), le 

due serie devono essere entrambe convergenti. Si deve perciò avere: 

k=1 

k=1 

∞∑ 

ν(E + k ) < +∞ 

k=1 

∞ ∑ 

∞ | ν(E − k ) | = ∑[ −ν(E 

− 

k )] < +∞ . 

k=1 

k=1 

Dalla (5.1.10) si ricava conseguentemente: 

∞∑ 

∞∑ 

∞ 

| ν(E k ) | = ν(E + k )+ ∑ 

| ν(E − k ) | < +∞ 

elaProposizioneècosì dimostrata. 

k=1 

k=1 

k=1 

Prop. 5.1.4 Nelle stesse ipotesi della Prop. 5.1.3, sono vere le seguenti proprietà: 

A) Per ogni successione crescente di insiemi misurabili (A k ) N : 

( ) ( ∞ 

) 

lim ν(A k)=ν lim A ⋃ 

k = ν A k 

k→∞ k→∞ 

k=1 

B) Per ogni successione decrescente di insiemi misurabili (B k ) N 

con | ν(B k ) | < +∞: 

( ) ( ∞ 

) 

lim ν(B k)=ν lim B ⋂ 

k = ν B k 

k→∞ k→∞ 

k=1


Dim. Se(A k ) N è crescente: 

lim A k = 

k→∞ 

e la successione di insiemi misurabili: 

[ 

∞⋃ 

∞ 

] 

⋃ 

A n = A 1 \ (A k+1 \ A k ) 

n=1 

k=1 

A 1 , (A 2 \ A 1 ), (A 3 \ A 2 ),...,(A k+1 \ A k ),... 

fornisce una partizione disgiunta di lim A k . Avremo allora: 

( ∞ 

) 

⋃ 

∞∑ 

n−1 

∑[ ν A n = ν(A 1 )+ ν(A k+1 \ A k )=ν(A 1 ) + lim ν(Ak+1 ) − ν(A k ) ] 

n=1 

con cui si dimostra la A). 

k=1 

= lim 

n→∞ ν(A n) , 

n→∞ 

k=1 

Per dimostrare la B), osserviamo che dall’ipotesi: 

| ν(B 1 ) | < +∞ , 

si deduce, per la Prop. 5.1.2, che ogni sottoinsieme di B 1 ha misura finita. Poniamo: 

A k = B 1 \ B k k =2, 3,... 

e osserviamo che la successione (A k ) N è crescente, cosicché perlaA) avremo: 

lim ν(A k)=ν 

k→∞ 

( 

⋃ ∞ 

) 

A k . (5.1.11) 

k=1 

Ma per una formula di De Morgan: 

( 

∞⋃ ∞⋃ 

∞ 

) 

⋂ 

A k = (B 1 \ B k )=B 1 \ B k 

k=2 k=2 

k=2 

. 

La (5.1.11) diventa allora: 

[ 

lim ν(B1 ) − ν(B k ) ] = ν 

k→∞ 

[ ( ∞ 

)] 

⋂ 

B 1 \ B k , 

k=2

Decomposizioni di Hahn e di Jordan 175 

ossia: 

e da quest’ultima si deduce la B). 

( 

ν(B 1 ) − lim ν(B ⋂ ∞ 

k)=ν(B 1 ) − ν 

k→∞ 

k=2 

B k 

) 

5.2 Decomposizioni di Hahn e di Jordan 

Per approfondire le proprietà delle misure relative, introduciamo la seguente: 

Def. 5.2.1 Fissata una misura relativa ν in (I,L ), unelementoE ∈ L si dice positivo 

rispetto a ν (o ν-positivo) se per ogni sottoinsieme misurabile F di E si ha: 

ν(F ) ≥ 0 . 

Analogamente, un elemento E ∈ L si dice negativo rispetto a ν (o ν-negativo) seperogni 

sottoinsieme misurabile F di E si ha: 

ν(F ) ≤ 0 . 

Premettiamo inoltre il seguente lemma la cui dimostrazione è lasciata per esercizio al 

Lettore: 

Lemma 5.2.2 Sia ν è una misura relativa nello spazio per misure (I,L ). Se per un certo 

elemento E ∈ L risulta ν(E) < 0, allora esiste un sottoinsieme di E che è ν-negativo. 

Teorema 5.2.3 (di decomposizione di Hahn) Fissata una misura relativa ν in uno spazio 

(I,L ), esiste una partizione di I in due insiemi misurabili, I + ν-positivo e I − ν-negativo. 

Dim. Poiché ν assume al più uno dei due valori +∞ o −∞, non si lede la generalità se 

ammettiamo che sia: 

−∞


Se c’è almenounE ∈ L tale che ν(E) < 0, per il Lemma 5.2.2 almeno uno dei sottoinsiemi 

di E è ν-negativo. Perciò, se ν non è una misura e verifica la (5.2.1), la classe N ν (I) dei 

sottoinsiemi di I che sono ν-negativi non èvuota.Poniamo: 

e ′ =inf { ν(E) t.c. E ∈ N ν (I) } . 

Osserviamo che N ν (I) èunσ-anello, poiché è chiuso rispetto al complemento relativo, all’unione 

finita e all’unione numerabile. Perciò non può essere e ′ = −∞, inquantosicostruisce 

facilmente un E ∈ L tale che: 

ν(E) =e ′ . 

Infatti, se fosse e ′ = −∞, per ogni n si potrebbe costruire un E n in modo che: 

ν(E n ) < −n 

∀ n ∈ N 

e ponendo: 

si otterrebbe: 

∞⋃ 

E = 

n=1 

E n 

ν(E) ≤ ν(E n ) ∀ n ∈ N 

e quindi ν(E) =−∞, cheèperòimpossibile,inquantola(5.2.1) prevedecheν assuma al 

più il valore +∞. Con lo stesso ragionamento si deduce che ν(E) =e ′ . L’insieme E è quindi 

minimale per ν. 

Vogliamo provare che: 

A := I \ E 

è ν-positivo. Se A non fosse ν-positivo, dovrebbe avere tra i suoi sottoinsiemi un elemento 

ν-negativo: in virtù del Lemma 5.2.2, dovrebbecioè esistere E ∗ ⊂ (I \ E) talecheν(E ∗ ) < 0 

e E ∗ essere ν-negativo. Poiché E ∗ sarebbe disgiunto da E, siavrebbe: 

ν(E ∪ E ∗ )=ν(E)+ν(E ∗ )=e ′ + ν(E ∗ )

Decomposizioni di Hahn e di Jordan 177 

Osservazione. Evidentemente, introdotti I + e I − ,risulterà: 

I + ∈ L e I − ∈ L 

e 

I = I + ∪ I − e I + ∩ I − = ∅ . (5.2.2) 

La coppia (I + ,I − ) viene chiamata decomposizione di Hahn ed è caratterizzata dalla proprietà: 

ν(E ∩ I + ) ≥ 0 e ν(E ∩ I − ) ≤ 0 ∀ E ∈ L . (5.2.3) 

E’ importante osservare che non esiste una unica decomposizione di Hahn relativa a ν. Ha 

una notevole importanza la seguente: 

Prop. 5.2.4 Se (I + ,I − ) e (I 1 + ,I− 1 ) sono due decomposizioni di Hahn relative a ν in (I,L ), 

è vera la proprietà: 

ν(E ∩ I + )=ν(E ∩ I 1 + ) e ν(E ∩ I− )=ν(E ∩ I1 − )∀ E ∈ L (5.2.4) 

Dim. Fissato E ∈ L , si ricava facilmente: 

[ 

E ∩ (I + \ I + 1 )] ⊂ I + e 

[ 

E ∩ (I + \ I + 1 )] ⊂ I − 1 , 

da cui si deduce: 

ν [ E ∩ (I + \ I + 1 )] ≥ 0 e ν [ E ∩ (I + \ I + 1 )] ≤ 0 

e quindi: 

ν [ E ∩ (I + \ I + 1 )] =0 ∀ E ∈ L . (5.2.5) 

Analogamente, scambiando le parti positive con le parti negative, si stabilisce: 

ν [ E ∩ (I − \ I1 − )] =0 ∀ E ∈ L (5.2.6) 

eperovvî motivi di simmetria si hanno anche: 

ν [ E ∩ (I 1 + \ I+ ) ] =0 e ν [ E ∩ (I1 − \ I− ) ] =0 ∀ E ∈ L . (5.2.7) 

Dalle formule: 

(E ∩ I + )=E ∩ [ (I + \ I 1 + ) ∪ (I+ ∩ I 1 + )] 

(E ∩ I + )=E ∩ [ (I 1 + \ I+ ) ∪ (I + ∩ I 1 + )]


utilizzando la (5.2.5), la prima delle (5.2.7) e l’additività della ν, siottiene: 

ν(E ∩ I + )=ν [ E ∩ (I + ∩ I 1 + )] = ν(E ∩ I 1 + ) ∀ E ∈ L . (5.2.8) 

Analogamente, utilizzando la (5.2.6) e la seconda delle (5.2.7) siricava: 

ν(E ∩ I − )=ν [ E ∩ (I − ∩ I1 − )] = ν(E ∩ I1 − ) ∀ E ∈ L (5.2.9) 

ela(5.2.4) è completamente dimostrata. 

E’ utile osservare che, nel dimostrare la Prop. 5.2.4, abbiamo in sostanza dimostrato che, 

considerate comunque due decomposizioni di Hahn (I + ,I − )e(I 1 + ,I− 1 )relativeaν in (I,L ), 

si ha: 

ν [ E ∩ (I 1 + △I+ ) ] =0 e ν [ E ∩ (I1 − △I− ) ] =0 ∀ E ∈ L . (5.2.10) 

La Prop. 5.2.4 consente di associare a ogni misura relativa ν in uno spazio (I,L ) due 

funzioni di insieme ν + e ν − definite da: 

ν + (E) =ν(E ∩ I + ) e ν − (E) =−ν(E ∩ I − ) ∀ E ∈ L , 

essendo (I + ,I − ) una decomposizione di Hahn relativa a ν in (I,L ). Infatti, la Prop. 5.2.4 

garantisce che i valori assunti da ν + edaν − sono indipendenti dalla decomposizione (I + ,I − ) 

che si fissa. E’ inoltre facile riconoscere che ν + e ν − sono misure nel senso della Def. 2.1.1. 

Def. 5.2.5 Fissata la misura relativa ν in (I,L ), diremocheν + èlavariazione superiore, 

ν − la variazione inferiore e | ν | = ν + + ν − la variazione totale della misura relativa ν 

nello spazio (I,L ). Serisulta| ν | (I) < +∞, laν viene detta a variazione totale finita. 

Si dimostra facilmente la seguente: 

Prop. 5.2.6 Ogni misura relativa è la differenza di due misure, di cui almeno una è totalmente 

finita. 

Dim. Fissata ν in (I,L ) e una decomposizione di Hahn relativa a ν, osserviamo che, 

qualunque sia E ∈ L ,siha: 

E = E ∩ I = E ∩ (I + ∪ I − )=(E ∩ I + ) ∪ (E ∩ I − )

Misure assolutamente continue, concentrate, singolari, complesse 179 

e che gli insiemi E ∩ I + e E ∩ I − sono disgiunti. Si ha perciò: 

ν(E) =ν [ (E ∩ I + ) ∪ (E ∩ I − ) ] = ν(E ∩ I + )+ν(E ∩ I − ) 

= ν + (E)+ν − (E) ∀ E ∈ L . 

Abbiamo cioè: 

ν = ν + + ν − (5.2.11) 

e la tesi si deduce immediatamente osservando che, per l’assioma c) della Def. 5.1.1, solo una 

tra ν + e ν − può assumere il valore +∞. 

La formula (5.2.11) viene denominata decomposizione di Jordan della misura ν. 

La (5.2.11) può senza dubbio essere illustrata in particolare con la (5.1.7). La sua analogia 

con la (5.1.7) merita tuttavia un approfondimento che conduce ad alcuni risultati molto 

significativi. 

5.3 Misure assolutamente continue, concentrate, singolari, complesse 

Le proprietà delle funzioni di insieme costruite con gli integrali indefiniti suggeriscono la 

seguente: 

Def. 5.3.1 Fissate due misure relative ν e µ nello spazio per misure (I,L ), sidicecheν è 

assolutamente continua rispetto a µ (e si scrive ν ≪ µ) se: 

∀ E ∈ L : µ(E) =0 =⇒ ν(E) =0. 

Teorema 5.3.2 Fissate due misure relative ν e µ nello spazio (I,L ), le seguenti proprietà 

sono equivalenti: 

a) ν ≪ µ 

b) ν + ≪ µ + , ν − ≪ µ − e | ν |≪µ 

c) | ν |≪|µ | 

Dim. Il fatto che la a) implica la b) è un’ovvia conseguenza della definizione di ν + , ν − e 

| ν | . 

La b) implica poi la c) poiché: 

µ(E) =0 =⇒ µ + (E) =0, µ − (E) =0 e | µ | (E) =0.


Altrettanto facilmente si mostra che la c) implica la a). Infatti: 

| µ | (E) =0 =⇒ µ + (E) =0 e µ − (E) =0 

Ma per ipotesi è anche: 

| µ | (E) =0 =⇒ |ν | (E) =0 

e per la decomposizione di Jordan: 

| µ | (E) =0 =⇒ ν(E) =0 


Il legame tra l’assoluta continuità della Def. 

chiarisce con il seguente: 

5.3.1 e quella introdotta per le misure si 

Teorema 5.3.3 Fissateduemisurerelativeν e µ nello spazio (I,L ), seν ≪ µ e ν è finita, 

allora: 

∀ ε ∈ R + ∃ δ ∈ R + t.c. ∀ E ∈ L : | µ | (E)

Misure assolutamente continue, concentrate, singolari, complesse 181 

D’altra parte, poiché | ν | è finita: 

| ν | (E) = lim | ν | (U m) ≥ lim 

′′ | ν | (E m ) ≥ ε 0 . (5.3.4) 

m→∞ m→∞ 

Ma la (5.3.4) contraddice l’ipotesi | ν |≪|µ | , essendo vera la (5.3.3). Perciò la(5.3.2) èfalsa 

ed è invece vera la (5.3.1), cioè latesi. 

La nozione di assoluta continuità per le misure relative viene completata con le due 

successive definizioni: 

Def. 5.3.4 Una misura relativa ν in uno spazio (I,L ) si dice concentrata sul sottoinsieme 

non vuoto A di L se: 

ν(E) =ν(E ∩ A) ∀ E ∈ L . 

E’ utile osservare in primo luogo che, se ν è concentrata su A, ν è nulla su ogni sottoinsieme 

E di L che sia disgiunto da A. Inoltre,se(I + ,I − )è una decomposizione di Hahn relativa a 

ν, allora ν + , per definizione, è concentrata su I + e ν − è concentrata su I − . 

Def. 5.3.5 Due misure relative ν e µ nello spazio (I,L ) si dicono reciprocamente singolari 

se esiste una coppia (A, B) di sottoinsiemi disgiunti di I tali che ν èconcentratasuA e 

µ èconcentratasuB. Quandociò si verifica si suole porre: 

ν ⊥ µ o equivalentemente µ ⊥ ν 

ed è opportuno osservare che si ha: 

| µ | (E ∩ A) =0 e | ν | (E ∩ B) =0 ∀ E ∈ L . 

L’esempio più semplice di misure reciprocamente singolari è costituito dalla coppia (ν + ,ν − ) 

associata a una generica misura relativa ν. 

La dimostrazione della seguente proposizione è lasciata come esercizio al Lettore: 

Prop. 5.3.6 Se ν èconcentratasuA 1 ed èconcentratasuA 2 , allora ν èconcentratasu 

A 1 ∩ A 2 . 

Illustriamo un esempio di misura concentrata: 

E1 Fissato x 0 ∈ I si pone in (I,L ): 

δ x0 (E) = 

{ 

=1 sex0 ∈ E 

=0 sex 0 /∈ E 

∀ E ∈ L .


La misura δ x0 è una misura concentrata in { } 

x 0 e viene chiamata la misura di Dirac 

concentrata in x 0 . 

Una qualunque misura: 

n∑ 

ν = a j δ xj , 

j=1 

combinazione lineare di misure di Dirac, se a 1 ,...,a n sono coefficienti tutti diversi da 

zero, è un esempio di misura concentrata nell’insieme E = { } 

x 1 ,...,x n . 

Se E ∗ = { } 

y 1 ,...,y m è un altro insieme finito disgiunto da E esipone: 

m∑ 

µ = b k δ yk , 

k=1 

le misure ν e µ sono reciprocamente singolari. 

Nello spazio (R s , L ,µ), comunque si fissi x 0 ∈ R s , δ x0 è l’esempio più semplice di misura 

concentrata in { } 

x 0 e non assolutamente continua rispetto a µ. 

Sono molto utili le proprietà contenute nel seguente teorema, la cui dimostrazione è lasciata 

per esercizio al Lettore: 

Teorema 5.3.7 Fissate due misure relative ν e µ nello spazio mensurale (I,L ), sono vere le 

proprietà: 

A) Se ν èconcentratasuA ∈ L ,alloraloèanche | ν | 

B) Se ν 1 ⊥ µ e ν 2 ⊥ µ, allora(ν 1 + ν 2 ) ⊥ µ 

C) Se ν 1 ≪ µ e ν 2 ⊥ µ, alloraν 1 ⊥ ν 2 

D) Se ν ≪ µ e ν ⊥ µ, alloraν ≡ 0 

La nozione di misura relativa viene estesa in modo banale a misure a valori complessi: 

Def. 5.3.8 Una funzione di insieme ν in (I,L ): 

ν : 

L −→ C 

si dice misura complessa se le funzioni di insieme Re {ν} e Im {ν} sono misure (reali) 

relative in (I,L ). 

Anche in questo caso l’utilità e l’opportunità della nozione è fornita dall’integrale. Se f è 

una funzione sommabile a valori complessi: 

f = u + iv,

Teoremi di Radon-Nikodym e di decomposizione di Lebesgue 183 

si può associare a f una misura complessa: 

∫ ∫ 

ν(E) = f dµ = 

E 

E 

∫ 

u dµ + i v dµ. (5.3.5) 

E 

Se f è sommabile, essendo sommabili u e v, sono totalmente finite le misure: 

E −→ 

∫ 

E 

u dµ e E −→ 

∫ 

E 

v dµ. 

Ciò vuol dire che la funzione di insieme ν definita dalla (5.3.5) ha significato anche nella sola 

ipotesi che u e v sono funzioni integrabili in senso generalizzato. 

5.4 Teoremi di Radon-Nikodym e di decomposizione di Lebesgue 

Prima di giungere ai risultati più importanti e conclusivi, premettiamo il seguente teorema: 

Teorema 5.4.1 Se µ e ν sono due misure totalmente finite e ν è non nulla e assolutamente 

continua rispetto a µ, allora esistono A ∈ L e ε 0 ∈ R + tali che µ(A) > 0 e A è positivo per 

tutte le misure relative ν − εµ, qualunque sia ε ∈]0,ε 0 [. 

Dim. Per ogni n ∈ N introduciamo: 

ν n = ν − 1 µ. (5.4.1) 

n 

Allora la successione (ν n ) N è una successione di misure relative, ciascuna assolutamente continua 

rispetto a µ, e crescente in quanto: 

ν n (E) ≤ ν n+1 (E) ∀ E ∈ L , (5.4.2) 

che equivale a: 

1 

n +1 µ(E) ≤ 1 n µ(E) . 

Introduciamo la decomposizione di Hahn (I n + ,In − )relativaaν n e facciamo ciò per ogni n ∈ N. 

La crescenza della successione (ν n ) N 

garantisce che ogni insieme positivo per ν n è positivo 

anche per ν n+1 eciò implica che la successione (I n + ) N è crescente, mentre la successione (In − ) N 

è decrescente. Poniamo: 

A = 

∞⋃ 

I n + e B = 

n=1 

∞⋂ 

In − . (5.4.3) 

n=1 

Poiché ν è totalmente finita: 

ν(B) = lim 

n→∞ ν(I− n ) . (5.4.4)


D’altra parte, per la natura di I − n 

risulta: 

Dalla (5.4.4) si deduce allora: 

e perciò ν(B) = 0. Abbiamo poi: 

ν n (I − n ) ≤ 0 ⇐⇒ ν(I− n ) ≤ 1 n µ(I− n ) ≤ 1 n µ(I) . 

ν(B) = lim 

n→∞ ν(I− n ) ≤ lim 

n→∞ 

ν(A) = lim 

n→∞ ν(I+ n ) > 0 . 

1 

n µ(I) 

Perciò esiste n 0 ∈ N tale che: 

ν(I + n ) > 0 ∀ n ≥ n 0 . 

Essendo dunque ν(I n + ) > 0, per l’assoluta continuità diν rispetto a µ, dovrà essere anche 

µ(I n + ) > 0. Essendo I+ n positivo per la misura ν − 1 n 

µ, basta prendere: 

A = I + n 0 

e ε 0 = 1 n 0 

esihalatesi. 

Possiamo ora enunciare e dimostrare il seguente: 

Teorema 5.4.2 (di Radon-Nikodym) Sia fissato uno spazio mensurale (I,L ,µ) σ-finito 

e una misura complessa νσ-finita. Se ν è assolutamente continua rispetto a µ, allora esiste 

una funzione f, sommabile sugli insiemi E ∈ L con µ(E) < +∞, tale che: 

∫ 

ν(E) = f dµ ∀ E ∈ L . 

E 

Dim. Trattiamo prima il caso in cui ν e µ sono misure totalmente e, naturalmente, ν ≪ µ. 

Introduciamo la classe K delle funzioni f sommabili in (I,L ,µ)etaliche: 

∫ 

f dµ ≤ ν(E) ∀ E ∈ L . (5.4.5) 

E 

La classe K non èvuotasiaperché la funzione identicamente nulla f ≡ 0inI appartiene a 

K sia perché appartiene a K ogni funzione f del tipo: 

f = aχ A 

, (5.4.6)


qualunque siano a ∈ R + e A ∈ L tali che µ(A) > 0eA è un insieme positivo rispetto 

alla misura relativa ν − aµ. Per il Teorema 5.4.1, esistono infinite funzioni con tali requisiti: 

proviamo dunque che appartengono a K . Abbiamo infatti: 

∫ ∫ 

∫ 

f dµ = a χ A 

dµ = a χ A∩E 

dµ = aµ(E ∩ A) . (5.4.7) 

E 

E 

I 

Poiché A è positivo rispetto a ν − aµ,siavrà, qualunque sia E ∈ L : 

aµ(E ∩ A) ≤ ν(E ∩ A) 

e dalla (5.4.7): 

∫ 

E 

f dµ = aµ(E ∩ A) ≤ ν(E ∩ A) ≤ ν(E) ∀ E ∈ L . 

Si riconosce facilmente che K è convesso. Introducendo: 

∫ 

M =sup 

f∈K 

f dµ, (5.4.8) 

I 

si ha evidentemente: 

M ≤ ν(I) < +∞ . 

Costruiamo una successione di elementi di K , f 1 ,...,f n ,... tali che: 

∫ 

lim f n dµ = M (5.4.9) 

n→∞ 

I 

eponiamo: 

g n (x) =max { f 1 (x),f 2 (x),...,f n (x) } x ∈ I. 

A meno di un sottoinsieme di misura nulla di I, si può supporre che le f n siano finite in I e 

che, di conseguenza, lo siano anche le g n . Per ogni E ∈ L poniamo: 

E 1 = { x ∈ E t.c. g n (x) =f 1 (x) } 

E 2 = { x ∈ (E \ E 1 ) t.c. g n (x) =f 2 (x) } 

··· 

E m = 

··· 

⎧ 

⎨ 

⎩ x ∈ ⎛ 

⎝E \ 

⎞ 

⎫ 

m⋃ 

⎬ 

E j 

⎠ t.c. g n (x) =f m (x) 

⎭ 

j=1


Gli insiemi E 1 ,E 2 ,...,E n ,..., alcuni dei quali possono coincidere con l’insieme vuoto, sono a 

due a due disgiunti e la loro unione è uguale a E, perché ognuna delle funzioni f k è definita 

in tutto E. Proviamo allora che g n ∈ K . Infatti risulta: 

∫ 

E 

g n dµ = 

n∑ 

∫ 

m=1 

E m 

g n dµ = 

n∑ 

∫ 

m=1 

E m 

f m dµ = 

m∑ 

ν(E m )=ν(E) . 

Poiché è facile riconoscere che la successione (g n ) N è crescente in I, possiamo introdurre la 

funzione limite: 

f 0 (x) = lim g n(x) ∀ x ∈ I. (5.4.10) 

n→∞ 

Osservando che: 

∫ ∫ 

f n dµ ≤ g n dµ ≤ M ∀ n ∈ N , 

I 

I 

applicando il Teorema di B. Levi, otteniamo: 

∫ 

∫ 

f 0 dµ = lim g n dµ = M. (5.4.11) 

I 

n→∞ 

I 

n=1 

Osservando che: 

lim 

n→∞ 

∫ 

E 

∫ 

g n dµ = 

E 

f 0 dµ 

e 

∫ 

E 

g n dµ ≤ ν(E) ∀ E ∈ L , 

si deduce facilmente che f 0 ∈ K echef 0 è elemento massimale per K . Vogliamo allora 

stabilire: 

∫ 

ν(E) = f 0 dµ ∀ E ∈ L . (5.4.12) 

E 

A tal fine, poniamo: 

∫ 

ν ∗ = ν(E) − f 0 dµ ∀ E ∈ L 

E 

e osserviamo che ν ∗ è assolutamente continua rispetto a µ poiché losonosiaν, per ipotesi, 

sia l’integrale indefinito di f 0 ,poiché f 0 è sommabile. Se non fosse vera la (5.4.12), essendo 

ν ∗ (E) ≥ 0(poiché f 0 ∈ K ), dovrebbe verificarsi che: 

∃ E ∗ ∈ L t.c. ν ∗ (E ∗ ) > 0 (5.4.13) 

e allora ν ∗ sarebbe una misura assolutamente continua rispetto a µ, totalmente finita e non 

identicamente nulla. Per il Teorema 5.4.1, dovrebbero esistere A ∈ L e ε 0 ∈ R + tali che 

µ(A) > 0eA è positivo rispetto a ν ∗ − εµ, per ogni ε ∈]0,ε 0 ]. Si dovrà allora avere: 

( 

ν∗ − ε 0 µ ) (E ∩ A) ≥ 0 ∀ E ∈ L ,


ossia: 

Considerata la funzione: 

ε 0 µ(E ∩ A) ≤ ν ∗ (E ∩ A) ∀ E ∈ L . 

g = f 0 + ε 0 χ A 

, (5.4.14) 

è facile riconoscere che g ∈ K . Infatti, qualunque sia E ∈ L : 

∫ ∫ 

∫ ∫ 

g dµ = f 0 dµ + ε 0 χ A 

dµ = f 0 dµ + ε 0 µ(E ∩ A) 

E 

E 

E 

E 

∫ 

∫ 

∫ 

≤ f 0 dµ + ν ∗ (E ∩ A) = f 0 dµ + ν(E ∩ A) − f 0 dµ 

∫E 

E 

E∩A 

= f 0 dµ + ν(E ∩ A) ≤ ν [ E \ (E ∩ A) ] + ν(E ∩ A) =ν(E) 

E\(E∩A) 

eciòprovacheg ∈ K . Inoltre, dalla (5.4.14) segue automaticamente: 

∫ 

g dµ = M + ε 0 µ(A) . (5.4.15) 

E 

Si arriva perciò all’assurdo per cui, in un elemento g di K , l’integrale su I assume un valore 

maggiore di M. Ciòprovacheν ∗ non può essere maggiore di zero in alcun elemento di L e 

perciò ν ∗ èidenticamentenullaevalela(5.4.12). E’ così provato il Teorema in questo primo 

caso. 

Il risultato ottenuto si estende facilmente al caso in cui ν è una misura relativa, sempre 

totalmente finita, tenendo presente che ν ≪ µ equivale a: 

ν ∗ ≪ µ e ν − ≪ µ 

e utilizzando la (5.4.12) perν + e ν − e quindi la decomposizione di Jordan. 

Se infine µ e ν sono σ-finite, si costruisce una successione crescente di insiemi misurabili 

(E n ) N 

tali che: 

µ(I) = lim n) 

n→∞ 

e ν(I) = lim n) 

n→∞ 

e µ e ν sono totalmente finite su E n . Fissato n ∈ N, per i casi trattati si costruisce f n 

µ-sommabile su E n etaleche: 

ν(E) = 

∫ 

f n dµ 

E n 

∀ E ⊂ E n e E ∈ L . 

Per le proprietà dell’integrale, si riconosce che f n+1 coincide con f n su E n . Infatti, si ha: 

∫ 

(f n+1 − f n )dµ =0 ∀ E ⊂ E n e E ∈ L . 

E


Allora, la funzione f così definita: 

f(x) =f n (x) ∀ x ∈ E n , 

è sommabile su ogni E n e soddisfa la tesi del Teorema. 

Se infine ν è una misura complessa, la tesi si ottiene utilizzando il caso reale per Re {ν} e 

Im {ν}. 

Il Teorema di Radon-Nikodym completa il collegamento della Teoria generale della misura 

con l’Integrale (di Lebesgue), asserendo sostanzialmente che tutte e sole le misure assolutamente 

continue rispetto a µ sono gli integrali indefiniti fatti rispetto a µ. 

Infine, enunciamo e dimostriamo il seguente: 

Teorema 5.4.3 (di decomposizione di Lebesgue) Fissato uno spazio σ-finito (I,L ,µ) 

e una misura complessa σ-finita ν, esistono e sono univocamente determinate due misure 

complesse σ-finite ν s e ν a tali che: 

ν = ν s + ν a , ν s ⊥ µ e ν a ≪ µ. 

Dim. Anche ora trattiamo il caso in cui µ e ν sono totalmente finite. Partiamo dall’osservazione 

per cui: 

ν ≪ µ =⇒ ν ≪ (µ + ν) . 

Per il Teorema di Radon-Nikodym, esiste una funzione f sommabile rispetto alla misura µ + ν 

tale che: 

∫ ∫ 

ν(E) = f dµ + f dν ∀ E ∈ L . (5.4.16) 

E 

E 

Deduciamo allora: 

∫ 

1 

∀ E ∈ L t.c. ν(E) > 0: 

f dν ≤ 1 . 

ν(E) 

Da tale formula si deduce che l’insieme dei punti in cui f(x) > 1èdimisuraν-nulla e perciò 

si ha: 

0 ≤ f(x) ≤ 1 ν-q.o. in I. 

Poniamo: 

E 

A = { x ∈ I t.c. f(x) =1 } e B = { x ∈ I t.c. 0 ≤ f(x) < 1 } . (5.4.17)


Dalla (5.4.16) ricaviamo: 

∫ 

ν(A) = 

A 

∫ 

dµ + dν = µ(A)+ν(A) 

A 

e deduciamo quindi µ(A) = 0, essendo ν finita. Poniamo anche: 

ν s (E) =ν(E ∩ A) e ν a (E) =ν(E ∩ B) ∀ E ∈ L . (5.4.18) 

E’ evidente che ν s è concentrata su A e, essendo µ(A) =0,siha: 

ν s ⊥ µ. 

Proviamo dunque che è ν a ≪ µ. Intanto abbiamo: 

ν a (E) =ν(E ∩ B) 

eperla(5.4.16): 

∫ 

ν(E ∩ B) = 

E∩B 

∫ 

f dµ + f dν ∀ E ∈ L . (5.4.19) 

E∩B 

Fissato E tale che µ(E) =0,sihaµ(E ∩ B) = 0 e dalla (5.4.19) si deduce: 

∫ 

∫ 

dν = ν(E ∩ B) = 

E∩B 

E∩B 

f dν , 

da cui: 

Poiché è: 

∫ 

E∩B 

(1 − f)dν =0. (5.4.20) 

1 − f>0 ν-q.o. in I, 

dalla (5.4.20) si deduce ν(E ∩ B) = 0, ossia: 

ν a (E) =0. 

Ciò dimostrache: 

µ(E) =0 =⇒ ν a (E) =0, 

cioè proprioν a ≪ µ.


Infine dalla (5.4.16) siricava: 

∫ 

∫ 

ν(E) = f dµ + 

∫E∩A 

∫ 

= f dµ + 

E∩B 

E∩B 

E∩B 

∫ 

∫ 

f dµ + f dν + f dν 

E∩A 

E∩B 

f dν + ν(E ∩ A) 

= ν(E ∩ A)+ν(E ∩ B) =ν s (E)+ν a (E) 

ed ècosì provato la prima parte del Teorema in questo primo caso. 

Proviamo allora la seconda parte, ossia che la decomposizione è unica. 

esistessero due, cioè: 

ν = ν s + ν a = ν s ′ + ν′ a , 

Infatti, se ne 

si avrebbe anche: 

ν a − ν ′ a = ν ′ s − ν s . 

Da questa si deduce, essendo ν s ′ − ν s ⊥ µ e ν a − ν a ′ ≪ µ: 

ν a − ν a ′ =0=ν s ′ − ν s , 

ossia l’unicità della decomposizione di Lebesgue. 

La prosecuzione nei casi in cui ν è una misura relativa totalmente finita o µ è una misura 

complessa o µ e ν sono σ-finite è lasciata come esercizio per il Lettore. 

Il Teorema di decomposizione di Lebesgue fornisce la forma generale di una misura complessa 

ν come somma di una misura assolutamente continua rispetto a µ e di una misura 

singolare rispetto a µ, cosicché una parte di ν (quella assolutamente continua rispetto a µ) è 

un integrale rispetto a µ di una funzione “localmente” sommabile.

Bibliografia 

[1] Cafiero, F., Misura e Integrazione, , Ed. Cremonese, Roma (1959). 

[2] Halmos, P., Measure Theory, Van Nostrand, Princeton (1950). 

[3] Miranda, C., Istituzioni di Analisi Funzionale Lineare, U.M.I., Bologna (1979). 

[4] Rudin, W., Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, Inc., (1987). 

191

introduzione alla teoria della misura e dell'integrazione

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