Esercizi sulla guida circolare e il cavo coassiale

Università "La Sapienza" di Roma – Facoltà di Ingegneria (sede di Latina)Corso di laurea in Ingegneria dell’Informazione (indirizzi EL e TLC)Corso di Campi elettromagnetici I – seconda parteA.a. 2009/2010 – Ing. Paolo BurghignoliEsercizi sulla guida circolare e il cavo coassiale21 dicembre 2009Esercizio 1Una guida d’onda metallica circolare vuota ha raggio a = 1cm é ùêë úû .1) Si determini l’intervallo di frequenze in cui si ha propagazione unimodale.2) Si calcoli il tempo che impiega un segnale a banda stretta (‘pacchetto d’onda’)con frequenza centrale f = 10 éGHzùê ë ú ûa propagarsi lungo un tratto di guida dilunghezza L = 10 écmùê ë ú û .Esercizio 2All’interno di un cavo coassiale si propaga il modo TEM nel verso positivo dell’assez . La sezione del cavo ha raggia = 1cm é ù ê ë ú û , b = 2mm é ù ê ë ú û; il cavo è riempito da unmezzo semplice non magnetico e non dissipativo con e r= 4 , la cui rigidità5dielettrica è E = 2 ⋅ 10 éV/mùmax ê ë ú û .1) Calcolare la massima potenza reale trasportabile dal modo.2) Il modo incide sulla sezione z = 0 al di là della quale il cavo coassiale è vuoto.Si calcoli la potenza trasmessa in z ³ 0 supponendo che la potenza incidentesia pari a quella massima calcolata al punto precedente

SoluzioniEsercizio 11.Il modo fondamentale della guida circolare è il TE , con autovalore k11é ù= x¢a ,11/t1,1 êëúûdove x¢ @ 1.841 è il primo zero positivo della derivata prima della funzione di11Bessel di prima specie J ( )011x . Il modo con autovalore immediatamente successivo è ilTM , con autovalore ké ù= x a, dove x0101@ 2.405 è il primo zero della funzionedi Bessel J ( )0x . Dunque/t0,1 êëúûk= = = @ ⋅ @2p me 2pam e 2pa2p⋅ 100 0êëúû=k=x=c x=c x= =8t1,1 é ù x¢ êëúû11c 3⋅ 10x¢1.841 8.79 éGHzùc1 11 -2ft0,1 é ùêëúû01 01 01xx¢fc2 01 11 c12p me 2pam e 2pax¢ 2pax¢0 011 11f@ 2.405 ⋅ 8.79 @ 11.48 é GHz ù1.841êëúûLa banda unimodale è quindi ( ) ( )f , f @ 8.79,11.48 éGHzùc1 c2êë úû .2.Il tempo che impiega il pacchetto d’onda a propagarsi lungo il tratto di guida dilunghezza L è:Lt =ugdove u è la velocità di gruppo del modog11TE (si noti che f ( f , f )Î pertanto la0 c1 c2propagazione del pacchetto è affidata al solo modo fondamentale TE ).11Essendou = c - ng12

doveffn = c= c@ =

Il massimo modulo del campo elettrico all’interno del cavo si ha nei punti in cui r èminima, poiché E µ 1/r , dunque per r = b : E = E0max/ b. Posto alloraE = E si trova E = bE , dunque0 maxmaxmaxp 2 a p 2 2 aP = bE ln = E b ln =max max maxz b z b2 2-2 4p5 -310 32 ⋅ 10@ ( 2 ⋅10 ) ( 2 ⋅ 10 ) ln = ln 5 @ 4291.83 éWù @ 4.29 ékWù-3120 p / 42 10 120êë úû êë ú⋅û2.Associando alla propagazione del modo TEM una linea di trasmissione il problemasi schematizza con il seguente circuito:0zkz, Z1 01kz, Z2 02dove k = k e , Z = z / e sono le costanti secondarie della linea associata alz1 0 r 01 0 rmodo TEM che si propaga nel dielettrico e k = k , Z = z sono le costantiz 2 0 02 0secondarie della linea associata al modo TEM che si propaga nel vuoto.Il coefficiente di riflessione nel vuoto all’interfaccia con il dielettrico èSV-( 0 )Zz0z -0- Ze e - 1 4 - 1 1+ Z z e 1 4 1 3z ++ +e02 01rr= = = = =Z02 01 0 r0rPosto allorae1= rrt 0si ha nel dielettrico

( 0) é( 0)- jk 1 z + jk 1 z - jk z z z 1 z + jkz1 z0 t V 0 t 0 tVE = E e e + S E e e = E e ê e +ëS eùúûe in particolare in z = 0 :( )ùE = E e é 1 + S 00 t êëV úûNel vuoto si ha solo l’onda trasmessa, dunque:jk 2( )ù1 0 zE = E e é + S e -0 t êëV úûza cui è associata la potenza (che si calcola come nel punto precedente):p 2 2 a z 2 p 2 a z2P = E 1+ S ( 0) ln = 1+ S ( 0) ⋅ E ln = 1+S ( 0)Pz b z z b zt 0 V V 0 V i0 0 0dove P Pi max= è la potenza trasportata dal modo incidente calcolata al puntoprecedente. Dunquez2 1 1 8P = 1 + S ( 0)P = 1 + P = P @ 38.15 ékWùz3 9êëúût V max max max042