Il teorema di Pitagora - Matematicaweb.it

Il teorema di Pitagora
IL TEOREMA DI PITAGORA
E' un teorema relativo ad una proprietà valida per qualsiasi
triangolo rettangolo: l'area del quadrato che ha per lato
l'ipotenusa del triangolo rettangolo è uguale alla somma delle
aree dei quadrati che hanno per lati i cateti dello stesso
triangolo.
A
2
area = b 2
b
a
a
1
area = a 2
B
c
3
area = c 2
C
Area 1 = Area 2 + Area 3
quindi
a 2 = b 2 +c 2
oppure
AC 2 = AB 2 + BC 2
a cura di Stefania Cantatore 1

Il teorema di Pitagora
DIMOSTRAZIONE GRAFICA
A
B
4
2
2
Q
1
3
Q 1
Q 2
1
4
3
a cura di Stefania Cantatore 2

Q 1
1
Il teorema di Pitagora
4
2
2
Q
1
3
4
3
Q 2
Si può notare che la figura A (quadrato A) è formata dal quadrato Q costruito sull'ipotenusa e dai triangoli
rettangoli segnati con 1 2 3 4, la figura B (quadrato B) è formata dai quadrati Q 1 e Q 2 costruiti sui cateti e dagli
stessi triangoli rettangoli segnati con 1 2 3 4.
Se eliminiamo sia dalla figura A, sia dalla figura B gli stessi triangoli (1 2 3 4) rimangono il quadrato Q e la somma dei
quadrati Q 1 e Q 2. Quindi il quadrato Q che ha per lato l'ipotenusa del triangolo rettangolo considerato è
equivalente (equiesteso) alla somma dei quadrati Q 1 e Q 2 che hanno per lati i cateti.
a cura di Stefania Cantatore 3

Il teorema di Pitagora
B
c b
C A
a
QUINDI SI POSSONO RICAVARE LE SEGUENTI FORMULE:
a 2 = b 2 + c 2 a = b 2 + c 2
b 2 = a 2 - c 2 b = a 2 - c 2
c 2 = a 2 - b 2 c = a 2 - b 2
OPPURE:
AC 2 = AB 2 + BC 2 AC = AB 2 + BC 2
AB 2 = AC 2 - BC 2 AB = AC 2 - BC 2
BC 2 = AC 2 - AB 2 BC = AC 2 - AB 2
a cura di Stefania Cantatore 4

Il teorema di Pitagora
c b
Con i numeri:
a
a = 13 cm b = 12 cm c = 5 cm
a 2 = 169 cm 2 b 2 = 144 cm 2 c 2 = 25 cm 2
a 2 = b 2 + c 2 = 144 + 25 = 169 cm 2
I II III IV
b 2 16
I II III IV
a 5 11 17 7
b 4 8 15 5
c 2 9
b 2 + c 2 25
a 2 25
c 3 7 8 4
T R
SI/NO
SI
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Il teorema di Pitagora
Con il diagramma
b
c
* *
b 2 c 2
+
a 2 = b 2 + c 2
a
a cura di Stefania Cantatore 6

Il teorema di Pitagora
Un teorema è una proposizione che esprime una proprietà che si
rende evidente, verificata, attraverso una apposita dimostrazione.
Un assioma o postulato è una proposizione che esprime una
proprietà che si considera palesemente, evidentemente vera e
che non deve essere (e non viene) dimostrata.
a cura di Stefania Cantatore 7

Il teorema di Pitagora
PROVA AD INDIVIDUARE E POSIZIONARE CORRETTAMENTE LE FORMULE PER IL CALCOLO
IPOTENUSA : c CATETO : a CATETO : b
Calcola l'ipotenusa
c
Calcola un cateto
a
Calcola un cateto
b
c 2 ­ b 2 = a 2
c 2 ­ a 2 = b 2 a 2 + b 2 = c 2
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Il teorema di Pitagora
a cura di Stefania Cantatore 9