T - Dipartimento di Analisi e Progettazione Strutturale - UniversitÃ ...

Regione Campania 

Univ. di Napoli Federico II 

CORSO DI AGGIORNAMENTO 

SULLA NUOVA NORMATIVA SISMICA (OPCM 3274/2003 e 3431/2005) 

Napoli, 16 maggio 2005 – Dipartimento di Analisi e Progettazione Strutturale 

ELEMENTI DI DINAMICA DELLE COSTRUZIONI 

(con riferimento alle attività di controllo dei progetti strutturali 

svolto dagli Uffici del Genio Civile della Regione Campania) 

prof. ing. Giorgio SERINO 

Dipartimento di Analisi e Progettazione Strutturale 

Università degli studi di Napoli Federico II 

1

SINTESI DELLA PRESENTAZIONE (1) 

Parte I 

Dinamica dei sistemi ad un solo grado di libertà 

I.1 Descrizione del modello ed equazione del moto 

I.2 Oscillazioni libere (periodo proprio e smorzamento) 

I.3 Risposta a forzante armonica (concetto di risonanza) 

I.4 Risposta al sisma (spettri di risposta elastici) 

I.5 Comportamento non-lineare (duttilità, spettri di progetto) 

2


Parte II 

Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà 

I.1 Modellazione ed equazioni del moto 

I.2 Oscillazioni libere (periodi e modi propri di vibrazione) 


I.4 Analisi modale con spettro di risposta 

I.5 Modellazione di dettaglio di edifici multipiano 

3

Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà 

I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto 

IMPALCATO RIGIDO 

COLONNE 

SENZA MASSA 

Sistema ad un g.d.l.: il più semplice modello dinamico 

4




COLONNE 

SENZA MASSA 


5




COLONNE 

SENZA MASSA 


6




COLONNE 

SENZA MASSA 


7




COLONNE 

SENZA MASSA 

spostamento 

tempo 

Oscillazioni libere al rilascio 

Nella realtà le oscillazioni sono sempre smorzate (sono numerose le possibili fonti di 

dissipazione di energia) ed è necessario introdurre nel modello un elemento smorzatore 8



rigidezza 

laterale, k 

massa, m 

coefficiente di 

smorzamento, c 

(a) modello idealizzato della costruzione 

forzante 

esterna, 

p (t ) 

Parametri del modello 

• massa m (inerzia) 

• rigidezza k (elasticità) 

• smorzamento c (dissipazione) 

(b) equilibrio delle forze 

Equazione del moto 

f ( t) 

+ f ( t) 

+ f ( t) 

p( 

t) 

I D S = 

m u&& 

( t) 

+ cu& 

( t) 

+ ku( 

t) 

= p( 

t) 

(c) colonne 

(d) smorzatore 

Il caso della forzante esterna agente 

9



Spostamento totale (rispetto ad un 

sistema di riferimento inerziale): 

u 

t 

( t) 

= u ( t) 

+ u( 

t) 

g 


f ( t) 

+ f ( t) 

+ f ( t) 

= 

I 

D 

S 

0 

[ u&& 

( t) 

+ u&& 

( t)] 

+ cu& 

( t) 

+ ku( 

t) 

= 

m g 

0 

mu 

& 

( t) 

+ cu & ( t) 

+ ku( 

t) 

= −mu 

&& ( t) 

g 

Il caso del moto sismico alla base 

10


I.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento) 

ampiezza 

spostamento, u 

tempo, t 

Configurazioni deformate della struttura corrispondenti agli istanti 1, 2, 3, 4 e 5 

Equazione e condizioni iniziali del moto 

m u& 

( t) 

+ ku( 

t) 

= 

0 

2 

u& &( 

t) 

+ ω u( 

t) 

= 

0 

Spostamento a t = 0: u(0) 

Velocità a t = 0: u&(0) 

k 

in cui: 

ω = = 

m 

pulsazionepropria 

11



ampiezza 


tempo, t 


Soluzione 

u& 

(0) 

u( t) 

= sen ωt 

+ u(0)cos 

ωt 

= Acos( 

ωt 

− ψ) 

ω 

= 

A 

= 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

u& 

2 

(0) ⎤ 

ω ⎥ 

⎦ 

2 

+ [ u(0) 

] = 

ampiezza delleoscillazioni 

12



ampiezza 


tempo, t 


f 

1 

= T 

= 

ω 

2π 

= 

frequenza propria (o naturale) del sistema 

T 

= 

2 π = periodo proprio (o naturale) 

ω 

del sistema 

13


I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento) 

Decadimento esponenziale 

STRUTTURA NON SMORZATA 

STRUTTURA 

SMORZATA 


tempo, t 

Equazione e condizioni iniziali del moto 

m u&& 

( t) 

+ cu& 

( t) 

+ ku( 

t) 

= 

0 

2 

u &&( 

t) 

+ 2ξωu& 

( t) 

+ ω u( 

t) 

= 

0 

Spostamento a t = 0: u(0) 

Velocità a t = 0: u&(0) 

c 

in cui: 

ξ = = 

2 km 

rapporto dismorzamento 

14





STRUTTURA 

SMORZATA 


tempo, t 

Soluzione (per ξ





STRUTTURA 

SMORZATA 


tempo, t 

f 

D 

= 1 = f 1− ξ 

2 

T 

= 

D 

frequenza del sistema 

smorzato 

T 

D 

= 

2π 

ω 

D 

= 

T 

1− ξ 

2 = 

periodo del sistema 

smorzato 

16



rapporto di smorzamento, ξ 

VALORI DI x 

ASSUNTI NEI 

CASI REALI 

Influenza dello smorzamento sulla frequenza naturale 

17



Oscillazioni libere per diversi valori dello smorzamento 

1: ξ=0% 2: ξ=1% 3: ξ=2% 4: ξ=5% 

18




tempo, t 

u 

u 

i 

i+ 

1 

πξ 

≈ e 

2 

decremento logaritmico : 

δ 

= 

u 

log 

u 

i 

i + 1 

≈ 

2πξ 

u 

log 

u 

i 

i + j 

= 

j 

⋅δ 

19 

≈ 

2jπξ



Procedura 

1. Imporre u (0) e rilasciare la struttura 

2. Registrazione della risposta al rilascio 


tempo, t 

3. Individuazione del periodo T 

(distanza fra due massimi successivi) 

4. Misura ampiezza di due picchi: u i 

e u i+1 

5. Calcolo di 

δ = 

1 

log 

u 

i 

j ui 

+ j 

6. Calcolo di ξ = δ 2π 

Prove di rilascio per la determinazione di T e x 

20

igidezza 

laterale, k 

massa, m 

coefficiente di 

smorzamento, c 

forzante 

esterna, 

p (t ) 


I.3. Risposta a forzante armonica 


mu&&( t) 

+ cu& 

( t) 

+ ku( 

t) 

= po sen ωt 

2 

u&& 

( t ) + 2ξωu& 

( t ) + ω u( 

t) 

= ust ω sen ωt 

2 

in cui: 

u 

st = 

p 

k 

o 

Soluzione (per ξ



( ω − θ) 

u( 

t) 

= ustD 

sen t 

1442444 

3 

Risposta a regime 

(stato stazionario) 

Fattore diamplificazione : 

1 

D = 

2 2 

( 1− β ) + ( 2ξβ) 2 

Angolo di fase : 

⎛ 2ξβ 

⎞ 

= arc tan⎜ 

⎟ 

⎝1−β 

⎠ 

θ 

2 

22 

Concetto di risonanza



Pulsazionesistema 

smorzato : 

ω D 

2 

= ω 

1− ξ 

2 

Pulsazionedirisonanza : 

ω R 

= ω 

1− 

2ξ 

23 

Valutazione dello smorzamento: metodo della larghezza di banda



Procedura 

1. Individuazione della frequenza propria 

come frequenza di risonanza 

2. Misura della larghezza di banda ∆ω 

3. Valutazione di ξ = ∆ω / 2 

Prove con vibrodina per la determinazione di T e x 

24


I.4. Risposta al sisma 


mu 

& 

( t) 

+ cu & ( t) 

+ ku( 

t) 

= −mu 

&& ( t) 

g 

u & 

( t) 

+ 2ξωu 

& ( t) 

+ ω 

2 

u( 

t) 

= 

−u 

&& 

g 

( t) 

Soluzione (per ξ


I.4. Risposta al sisma (spettri di risposta) 

Taglio allabase al tempo t 

: 

V 

o 

( t) 

= 

f 

s 

( t) 

= 

ku( 

t) 

= 

mω 

2 

u( 

t) 

Momento ribaltanteal 

tempo t 

: 

Mo ( t) 

= h fs( 

t) 

= 

hV 

o 

( t) 

Valori 

massimi 

duranteil sisma : 

V 

o, max = fs,max 

= k max u( 

t) 

= 

k S 

d 

M 

o,max 

= 

hV 

o,max 

S d 

= max u( 

t) 

= 

26 

spettro dirisposta dellospostamento


I.4. Risposta al sisma (spettri di risposta) 

Spettro dirisposta dellospostamento : 

S 

max u( 

t) 

d = 2 

Energia max nelsistemadurante il sisma: 

2 

1 2 1 ⎛ Sv 

⎞ 1 

Emax 

= kSd 

= k⎜ 

⎟ = mSv 

2 2 ⎝ ω ⎠ 2 

Spettro dirisposta dellapseudo- 

accelerazione : 

S 

a 

= ωS 

v 

= ω 

2 

S 

Spettro dirisposta dellapseudo- 

velocità : 

2π 

Sv 

= ωSd 

= Sd 

T 

d 

27


I.5. Comportamento non-lineare (concetti base) 

Mensola in acciaio: comportamento oltre il limite elastico 

28



Oscillatore non-lineare: comportamento a spostamento controllato 

29



Oscillatore non-lineare: comportamento ciclico sotto sisma 30


I.5. Comportamento non-lineare (duttilità) 

Individuazione modello elasto-plastico perfetto equivalente 

31



Fattore di duttilità : 

u 

µ = max 

u y 

32



Confronto risposta al sisma oscillatore elastico ed elasto-plastico 

equivalenza in spostamento 

equivalenza energetica 

33



Oscillatore elasto-plastico: 

spettri a duttilità 

controllata (x = 10%) 

Terremoto di Imperial Valley 

(18 maggio 1940) 

registrazione di El Centro NS 

34

LETTURE CONSIGLIATE 

• Roberto Ramasco, “Dinamica delle strutture”, CUEN, Napoli, 1993. 

• Carlo Gavarini, “Dinamica delle strutture”, ESA, Roma, 1978. 

• Anil K. Chopra, “Dynamics of structures: a primer”, EERI, Berkeley, 1980. 

• Anil K. Chopra, “Dynamics of structures: theory and applications to earthquake 

engineering”, 2 nd edition, Prentice Hall, New York, 2001. 

• Ray W. Clough & Joseph Penzien, “Dynamics of structures, 2 nd edition, 

McGraw-Hill International, 1993. 

• Alberto Castellani ed Ezio Faccioli, “Costruzioni in zona sismica: metodi di 

analisi e criteri di progetto, applicazioni, aspetti normativi”, Hoepli, Milano 2000 

• Miroru Wakabayashi, “Design of earthquake-resistant buildings”, McGraw-Hill 

International, 1986. 

35

SISTEMA A 1 G.D.L.: EQUAZIONE DEL MOTO 

m& x 

+ cx& 

+ F ( x, 

x& 

,...) 

= −mx& 

R 

g 

+ 

F 

− C 

m && x + cx& 

+ F ( x, 

x& 

,...) + C = F, 

essendo : x = x + 

t 

R 

t 

x 

g 

36

37 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ = 

+ 

+ 

+ 

t 

t 

t 

R 

t 

t 

t 

Fdx 

Cdx 

dx 

x 

x 

F 

cxdx 

dx 

mx 

0 

0 

0 

0 

0 

,...) 

, 

( & 

& 

&& 

g 

t 

g 

t 

dx 

dt 

x 

dx 

dx 

dx 

− 

= 

− 

= & 

: 

in cui 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

− 

= 

− 

= 

− 

= 

t 

g 

t 

t 

t 

g 

t 

t 

t 

t 

t 

g 

t 

t 

t 

t 

t 

t 

dx 

mx 

t 

mx 

dx 

mx 

dx 

mx 

dx 

mx 

dt 

x 

mx 

dx 

mx 

0 

2 

0 

0 

0 

0 

0 

) 

( 

2 

1 

&& 

& 

&& 

& 

& 

&& 

& 

&& 

&& 

{ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ + 

= 

+ 

+ 

+ 

t 

t 

g 

t 

t 

t 

R 

t 

t 

Fdx 

dx 

mx 

Cdx 

dx 

F 

cxdx 

t 

mx 

0 

0 

0 

0 

0 

2 

) 

( 

2 

1 

&& 

& 

& 

[ ] ) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( t 

E 

t 

E 

t 

E 

t 

E 

t 

E 

t 

E 

t 

E 

F 

I 

S 

I 

C 

I 

H 

E 

K + 

= 

+ 

+ 

+ 

+ ξ 

SISTEMA A 1 G.D.L.: BILANCIO ENERGETICO

Per 

t ≥ tq 

(condizion e di 

quiete 

al 

termine 

dell'azione) 

: 

E + E + E = E + 

ξ 

H 

C 

I 

S 

I 

E 

F 

I 

STRATEGIE DI PROGETTAZIONE 

• Ridurre l’energia di ingresso 

E + 

S 

I 

E 

F 

I 

• Incrementare l’energia viscosa dissipata Eξ 

• Incrementare l’energia dissipata per isteresi 

EH 

• Incrementare l’energia dissipata dalla forza di controllo 

E 

38 

C I


Parte II 

Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà 

I.1 Modellazione ed equazioni del moto 

I.2 Oscillazioni libere (periodi e modi propri di vibrazione) 


I.4 Analisi modale con spettro di risposta 

I.5 Modellazione di dettaglio di edifici multipiano 

39

Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà 

II.1. Modellazione ed equazioni del moto 

Edificio “shear type” 

Ipotesi di comportamento 

1. Masse concentrate ai piani (m 1 

, ..., m N 

) 

2. Colonne prive di massa (le loro masse sono 

riportate ai piani) 

3. Impalcati e travi infinitamente rigidi 

4. Colonne deformabili a flessione ma 

rigide assialmente 

5. Terreno infinitamente rigido (si trascura 

l’interazione suolo-struttura) 

40


II.1. Modellazione ed equazioni del moto (forze esterne) 

Edificio di due piani 

1° 

impalcato : 

f 

I1 

( t) 

+ f 

S1 

( t) 

= 

p ( t) 

1 

2° 

impalcato : 

f 

I2 

( t) 

+ f 

S2 

( t) 

= 

p 

2 

( t) 

m u&& 

( t) 

+ k u 

1 

2 

1 

m u&& 

2 

( t) 

1 

1 

( t) 

+ k 

+ k 

2 

2 

[ u ( t) 

− u ( t) 

] 

1 

[ u ( t) 

−u 

( t) 

] = p ( t) 

2 

2 

1 

= p ( t) 

1 

2 

⎡m 

⎢ 

⎢⎣ 

0 

1 

0 

m 

2 

⎤⎪⎧ 

u&& 

1( 

t) 

⎪⎫ 

⎡( 

k1 

+ k 

⎥⎨ 

⎬ + ⎢ 

⎥⎦ 

⎪⎩ u&& 

2( 

t) 

⎪⎭ ⎢⎣ 

−k2 

2 

) 

− k 

k 

2 

2 

⎤⎪⎧ 

u 

⎥⎨ 

⎥⎦ 

⎪⎩ u 

1 

2 

( t) 

⎪⎫ 

⎬ = 

( t) 

⎪⎭ 

⎪⎧ 

p1( 

t) 

⎪⎫ 

⎨ ⎬ 

⎪⎩ p2 

( t) 

⎪⎭ 

m u&& 

( t) 

+ ku( 

t) 

= p( 

t) 

41

42 


II.1. Modellazione ed equazioni del moto (forze esterne) 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

= 

N 

j 

m 

m 

m 

m 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

2 

1 

O 

O 

m 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎭ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎩ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

= 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

2 

1 

t 

u 

t 

u 

t 

u 

t 

u 

t 

N 

j 

M 

M 

u 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( t 

t 

t 

t 

p 

ku 

cu 

u 

m = 

+ 

+ & 

&& 

Edificio multipiano 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎭ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎩ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

= 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

2 

1 

t 

p 

t 

p 

t 

p 

t 

p 

t 

N 

j 

M 

M 

p 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

− 

− 

⋅ 

⋅ 

⋅ 

⋅ 

⋅ 

− 

+ 

− 

− 

+ 

− 

− 

+ 

= 

N 

N 

N 

k 

k 

k 

k 

k 

k 

k 

k 

k 

k 

k 

k 

k 

k 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

) 

( 

0 

0 

0 

0 

) 

( 

0 

0 

0 

0 

) 

( 

4 

4 

3 

3 

3 

3 

2 

2 

2 

2 

1 

k


II.1. Modellazione ed equazioni del moto (moto sismico) 

Edificio di due piani 

u 

t 

1 

( t) 

= 

u 

g 

( t) 

+ u 

1 

( t) 

f 

I1 

( t) 

+ f 

S1 

( t) 

= 

0 

u 

t 

2 

( t) 

= 

u 

g 

( t) 

+ u 

2 

( t) 

f 

I 2 

( t) 

+ f 

S2 

( t) 

= 

0 

m 

1 

[ u&& 

( t) 

+ u&& 

( t) 

] + k u ( t) 

+ k [ u ( t) 

− u ( t) 

] 

g 

1 

1 

1 

2 

1 

2 

= 

0 

m 

2 

[ u&& 

( t) 

+ u&& 

( t) 

] + k [ u ( t) 

− u ( t) 

] = 0 

g 

2 

2 

2 

1 

m u&& 

( t) 

+ k u 

1 

1 

1 

1 

( t) 

+ k 

2 

[ u ( t) 

− u ( t) 

] 

1 

2 

= 

−m u&& 

1 

g 

( t) 

m u&& 

2 

2 

( t) 

+ k 

2 

[ u ( t) 

− u ( t) 

] = −m u&& 

( t) 

2 

1 

2 

g 

mu 

& 

( t) 

+ ku( 

t) 

= −m1u 

&& ( t) 

g 

43


II.1. Modellazione ed equazioni del moto (moto sismico) 


mu 

& 

( t) 

+ cu & ( t) 

+ ku( 

t) 

= −m1u 

&& ( t) 

g 

Forze equivalenti al moto sismico 

(forze di trascinamento) 

44


II.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento) 

Oscillazioni libere al rilascio (deformata iniziale generica) 

45



Oscillazioni libere al rilascio (deformata corrispondente al 1° modo) 

46




47




48


II.2. Frequenze e modi propri di vibrazione 

Frequenze e dei modi propri di vibrazione (in assenza di smorzamento) 

Risoluzione 

del problema degliautovalori 

: 

kÖ 

= 

ω 

2 

mÖ 

Influenza dello smorzamento 

Pulsazionedel 

modo 

i-esimo (sistema smorzato) : ω = ω 1− 

ξ 

Di 

i 

2 

i 

Periodo del modo i-esimo (sistema smorzato) 

: 

T 

Di 

= 

2π 

ω 

Di 

= 

T 

1− ξ 

2 

i 

49


II.3. Risposta a forzante armonica 


m u&& 

( t) 

+ cu& 

( t) 

+ ku( 

t) 

= po sen ωt 

Una volta esaurito il transitorio iniziale: 

u 

j( t) 

ust, 

j 

( ωt 

− θ ) 

= Dj 

sen j 

14442 

4443 

Risposta a regime 

(stato stazionario) 

50


II.3. Risposta a forzante armonica 

Fattore di amplificazione 

(piano i-esimo): 

D 

j 

= 

u 

i,max 

u 

st, 

i 

51


II.4. Risposta al sisma (analisi modale) 


m & u 

( t) 

+ cu & ( t) 

+ ku( 

t) 

= −m1u 

&& ( t) 

g 

Disaccoppiamento delle equazioni del moto: 

Y& 

n 

( t) 

+ 2ξ 

in cui : 

L 

n 

n 

ω Y& 

( t) 

+ ω Y ( t) 

= 

= 

n 

n 

N 

∑ 

j = 1 

m 

j 

Φ 

jn 

2 

n 

e 

n 

M 

n 

L 

− 

M 

= 

n 

n 

N 

∑ 

j = 1 

u& 

m 

j 

g 

Φ 

( t) 

2 

jn 

= − 

L 

∫ 

t 

n 1 

Yn( 

t ) 

u&& 

M ω 0 

n 

Soluzione (per ξ



La risposta si ottiene combinando i contributi dei singoli modi: 

Spostamento ai piani: 

u 

j 

( t) 

= 

N 

N 

∑ 

u jn( 

t) 

= 

n= 

1 n= 

1 

∑ 

Y 

n 

( t) 

Φ 

jn 

Forze statiche equivalenti : 

f ( t) 

∑=ku = ( t) 

= 

N 

f n 

( t) 

∑= n 1 

Taglio allabase : 

N 

V ( t ) = V on( 

t 

n 1 

o ) 

Momento ribaltante: 

N 

M o ( t ) = M on( 

t ) 

∑= n 1 

53



54


II.4. Risposta al sisma (utilizzo degli spettri di risposta) 

I valori massimi relativi al singolo modo si ottengono con gli spettri di risposta: 

Ln 

Valore massimo della coordinata modale n-esima : Yn 

max = max Yn( 

t) 

= ⋅Sd 

( ωn, 

ξ 

Mn 

Ln 

Spostamento al piano j (contributo modo n) 

: u jn, 

max = max u jn( 

t ) = ⋅Sd 

( ωn, 

ξn 

) ⋅Φ 

M 

, n 

n 

) 

jn 

La somma dei massimi 

N 

u j ,max ≤ u jn 

∑= n 1 

,max 

è eccessivamente cautelativa 

Una buona stima è data da: 

N 

2 

, max 

≈ ( ,max ) 

∑= n 1 

u j u jn 

(metodo SRSS) 

Se periodi differiscono < 10%: 

2 

mn 

mn 

2 

βmn 

u 

j,max 

≈ 

∑ 

m 

∑ 

n 

ρ 

mn 

u 

jm,max 

u 

jn, 

max 

2 

3 / 2 

8ξ 

(1+ β ) β 

ω 

mn 

m 

in cui ρmn 

= 

e β 

2 

2 

mn 

= (metodo CQC) 

(1 − β ) + 4ξ 

(1 + β ) 

ωn 

mn 

55


II.5. Modellazione di dettaglio di edifici multipiano 

Effetto della rotazione dei nodi e 

della deformazione assiale delle colonne 

56


II.5. Modellazione di dettaglio di edifici multipiano 

Modello spaziale dell’edificio 

Necessario in presenza di: 

1. significative eccentricità fra il centro di 

massa ed il centro delle rigidezze degli 

impalcati; 

2. frequenze proprie traslazionali e 

rotazionali molto prossime fra loro; 

3. eccentricità accidentali (inevitabili); 

57

T - Dipartimento di Analisi e Progettazione Strutturale - UniversitÃ ...

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