Approssimazione di Taylor - Circe

Approssimazioni di Taylor
Problema: rappresentare le funzioni reali che non possono
essere espresse tramite le operazioni elementari
dell’aritmetica.
Soluzione: sostituire la funzione in esame con una funzione
polinomiale in modo tale che questa sia una ‘buona
approssimazione’ della funzione originaria.

Approssimazioni di Taylor
Le funzioni polinomiali (o polinomi) sono infatti tra le funzioni
più semplici da utilizzare, perché i loro valori si ottengono
eseguendo un numero finito di moltiplicazioni e addizioni.
Se la differenza tra la funzione e il suo polinomio
approssimante è sufficientemente piccola si può, nella pratica,
eseguire i calcoli sostituendo la funzione originaria con il suo
polinomio.

Approssimazioni di Taylor
Esistono molti modi per trovare le approssimazioni polinomiali.
Il metodo analizzato è particolarmente utile perché richiede
solo la conoscenza del valore della funzione in un punto, della
derivata prima nello stesso punto ed eventualmente delle
derivate di ordine più alto.
Il metodo generale è detto Approssimazione di Taylor o
Sviluppo di Taylor.

Approssimazioni di Taylor
La più semplice forma di approssimazione di Taylor di una data
funzione reale f si ottene mediante una funzione polinomiale
lineare così definita:
f ( x)
≅ bo + b1
x
In cui
bo
e b1
sono numeri.

Approssimazioni di Taylor
Graficamente il grafico di y = f (x) viene sostituito con il
grafico della retta che rappresenta = b + b x .
y = bo + b1
x
y
o 1
y = f (x)
Ci sono molti modi di
scegliere la retta e di
scegliere bo
e b1
, ma
l’approssimazione di Taylor
permette di determinare
un’unica retta.

Approssimazioni di Taylor
Consideriamo una retta che passa per due punti del grafico
della funzione, uno dei quali con coordinate ( 0, f (0))
y = bo + b1
x
Nel diagramma si ha
f ( 0) = 0
y =
f (x)

Approssimazioni di Taylor
Se facciamo tendere il secondo punto a ( 0, f
curva, la retta si approssima alla tangente.
(0))
lungo la
Questa tangente è l’unica
che occorre per
l’approssimazione di Taylor,
cioè la retta di equazione
y = bo + b1
x
che stiamo cercando.

Approssimazioni di Taylor
Nel caso considerato la tangente passa per il punto ( 0, f (0)).
L’approssimazione f ( x)
≅ bo + b1
x è detta Approssimazione
per tangente in x = 0 e serve a calcolare f (x)
nei punti
prossimi a x = 0 .

Approssimazioni di Taylor
⎛ ⎞
Calcoliamo un valore approssimato di sin⎜
π ⎟
⎝10
⎠
Determiniamo l’equazione della retta tangente alla sinusoide
nell’origine.
Poiché sin( 0) = 0, la tangente passa per l’origine.
Avremo quindi che = 0.
b o
La funzione derivata di sin è cos( 0) = 1 .
Avremo quindi che b 1
=1.

Approssimazioni di Taylor
L’equazione della tangente nell’origine è quindi y = x .
La prima approssimazione (per tangente) è .
sin x ≅
x
sin ⎛ π ⎞ π
⎜ ⎟ ≅ 0.3142
⎝10
⎠ 10
=
Il valore esatto è 0.3090.

Approssimazioni di Taylor
Lo stesso metodo può essere applicato a qualsiasi funzione
reale f in qualsiasi punto ( a,
f ( a))
In questo caso avremo
f ( a + h)
− f ( a)
pendenza.
h
La retta passa per f (a).
y =
Quindi l’equazione della
retta sarà:
f ( a + h)
− f ( a)
f ( a)
+
( x − a)
h

Approssimazioni di Taylor
L’equazione della retta sarà quindi, nel caso generale:
y
=
f
f ( a + h)
− f ( a)
( a)
+
( x − a)
h
Come prima, vogliamo l’equazione limite di questa quando il
punto a destra tende verso quello a sinistra, cioè quando h
tende a 0.

Approssimazioni di Taylor
La retta passerà ancora per il punto ( a,
f ( a))
, ma la sua
pendenza sarà ora la derivata della funzione in quel punto.
Di conseguenza, l’equazione
della tangente sarà
y =
f ( a)
+ f '( a)(
x − a)

Approssimazioni di Taylor
L’approssimazione per tangente in
x = a
sarà quindi data da:
f
( x)
≅ f ( a)
+ f '( a)(
x − a)

Approssimazioni di Taylor
L’approssimazione per tangente non è molto precisa, ma risulta
comunque molto efficace quando la precisione che offre è
sufficiente per i problemi in esame.
Un metodo iterativo per risolvere le equazioni del tipo x = F(x)
consiste in una successione u1
, u2, u3
… in cui il primo termine è
una rozza approssimazione di una soluzione dell’equazione e i
termini successivi sono calcolati secondo la formula di
ricorrenza: u F( u 1) ( k = 2,3,4,...)
k
=
k −
Se la successione converge ad un limite a e se F è continua in a
allora a è soluzione dell’equazione.

Approssimazioni di Taylor
Se la successione converge ad un limite a e se F è continua in a
allora a è soluzione dell’equazione.
E’ dimostrato che se la successione iterativa converge ad a,
allora F' ( a)
< 1.
Se a = F(a) e F' ( a)
< 1 e u1
è scelto sufficientemente vicino
ad , allora la successione , , u … convergerà ad a .
a u1
u2
3

Approssimazioni di Taylor
I metodi iterativi per risolvere f ( x)
= 0 basati
sull’approssimazione per tangente possono raggiungere un
buon grado di precisione se si itera abbastanza a lungo.
Hanno però un limite: è necessario poter calcolare f (x) per
ogni x . Non ci forniscono cioè un metodo per calcolare la
stessa f (x) .

Approssimazioni di Taylor
L’approssimazione per tangente è molto efficace in prossimità
del punto in cui la tangente tocca la curva, ma la precisione
diminuisce molto rapidamente allontanandosi da questo
punto.
Un metodo per cercare di migliorare l’approssimazione
consiste nell’utilizzare polinomi quadratici, o anche di grado
maggiore, invece di quello lineare.

Approssimazioni di Taylor
Possiamo ottenere l’approssimazione quadratica adattando
una funzione quadratica del tipo:
f ( x)
≅ co + c x + c x
1
2
2
In cui c ,
o
c1
e c 2
sono numeri alla funzione data in tre punti
equidistanti del dominio. Lo spazio h tra questi punti viene
considerato infinitamente piccolo.

Approssimazioni di Taylor
Anche in questo caso il grafico della funzione quadratica
approssimante passando al limite toccherà il grafico della
funzione di partenza.
I due grafici non hanno soltanto la stessa pendenza in quel
punto, ma anche la stessa derivata seconda.

Approssimazioni di Taylor
Se consideriamo:
q la funzione quadratica approssimante
f la funzione da approssimare
x il valore per cui le curve si toccano con
a
Le condizioni che devono essere soddisfatte sono:
q ( a)
= f ( a)
avere lo stesso valore nel punto a
q '(
a)
= f '( a)
avere pendenze uguali in a
q ''(
a)
= f ''( a)
avere derivate seconde uguali in a

Approssimazioni di Taylor
Queste tre condizioni sono le informazioni sufficienti per
determinare i coefficienti , e c dell’espressione
co
c1
2
q = co + c +
2
1x
c2x
Conviene scrivere la funzione quadratica nella formula
alternativa, analoga a quella già vista dell’approssimazione per
tangente:
q( x)
= bo + b
− a
2
1
( x − a)
+ b2
( x )

Approssimazioni di Taylor
Derivando otteniamo:
q' ( x)
= b1 + 2b2
( x − a)
q ''(
x)
= 2b
2
in modo che i valori della funzione quadratica e della sua
derivata in a sono
q ( a)
= b0
q '(
a)
= b1
q ''(
a)
= 2b
2

Approssimazioni di Taylor
Quindi possiamo scrivere:
b
0
= f ( a)
b
1
= f '( a)
1
b
2
= f ''( a)
2
Sostituendo i valori trovati nell’equazione precedente troviamo
l’approssimazione quadratica di Taylor per f (x)
1
2
f ( x)
≅ f ( a)
+ f '( a)(
x − a)
+ f ''( a)(
x − a)
2
Per ogni valore di
x
vicino a ad
a

Approssimazioni di Taylor
Pur essendo un’approssimazione migliore, spesso anche
l’approssimazione quadratica non è adeguata.
Appare allora naturale applicare lo stesso metodo con un
polinomio di terzo grado, o anche di grado più elevato.
Il polinomio (considerando un grado generico n) sarà allora:
2
p(
x)
= bo + b1 ( x − a)
+ b2
( x − a)
+ ... + bn
( x − a)
n

Approssimazioni di Taylor
I numeri b , … sono determinati in modo analogo al
o
b b
1 n
precedente. Sono in numero n+1, serviranno quindi n+1
condizioni.
Tre condizioni sono quelle precedenti:
p ( a)
= f ( a)
p '(
a)
= f '( a)
p ''(
a)
= f ''( a)
Le altre condizioni sono naturalmente derivate:
p '''(
a)
= f '''( a)
( 4) ( 4)
p ( a)
= f ( a)
( n) ( n)
p ( a)
= f ( a)

Approssimazioni di Taylor
Avremo così n+1 condizioni, da utilizzare nella determinazione
dei numeri , b … b , che compaiono nella definizione di p.
bo
1
n
Si ottiene pertanto l’approssimazione di Taylor per di grado n .
f ( x)
≅
f ( a)
+
... +
1
k!
f
f '( a)(
x − a)
+
( k )
( a)(
x − a)
Questa è solitamente detta approssimazione di Taylor di f
relativa ad a
k
1
2
f ''( a)(
x − a)
+ ... +
1
n!
f
2 +
...
( n) n
( a)(
x − a)

Approssimazioni di Taylor
Il valore di a per cui questa approssimazione è più semplice
solitamente è 0.
La formulazione corrispondente dell’approssimazione di Taylor
è detta approssimazione di Mclaurin.
f ( x)
≅
f (0) +
... +
1
k!
f '(0)( x)
+
f
( k )
(0) x
L’approssimazione di Mclaurin è un’approssimazione di Taylor
relativa a 0.
k
1
2
+ ... +
f ''(0) x
1
n!
f
2 +
...
( n) n
(0) x

Approssimazioni di Taylor
Ad esempio troviamo l’approssimazione di Maclaurin nel cado
della funzione seno.
Le derivate in 0 sono le seguenti:
f ( 0) = sin 0 = 0
f '(0)
= cos0 = 1
f ''(0)
= −sin 0 = 0
f '''(0)
= − cos0 = −1
( 4
f )
(0) = sin 0 = 0
( 5
f )
(0) = cos0 = 1

Approssimazioni di Taylor
Sostituendo questi valori nell’approssimazione di Maclaurin si
ottengono le approssimazioni successive:
( n =1)
( n = 3)
( n = 5)
( n = 7)
sin x ≅
x
3
x
sin x ≅ x −
3!
3
x
sin x ≅ x − +
3!
3
x
sin x ≅ x − +
3!
5
x
5!
5
x
5!
−
7
x
7!
E così via…

Approssimazioni di Taylor
Possiamo confrontare i grafici delle approssimazioni mediante
polinomi con il grafico della funzione seno.

Approssimazioni di Taylor
Dai grafici si può vedere come più grande prendiamo n,
migliore diviene l’approssimazione, migliore nel senso che i
polinomi si adattano alla sinusoide in intervalli sempre più
ampi e sembra che non vi sia alcune restrizione all’ampiezza
dell’intervallo se consideriamo polinomi di grado
sufficientemente alto.
I diagrammi però possono trarre in inganno, perché le linee
devono avere un certo spessore per essere visibili e tutto
quello che in realtà mostrano è che la curva approssimante
“segue” la sinusoide in modo migliore all’aumentare del grado
del polinomio approssimante.