Esercizi sulle Coordinate Curvilinee - 13/11/2009

Università "La Sapienza" di Roma – Facoltà di Ingegneria (sede di Latina)
Corso di laurea in Ingegneria dell’Informazione (indirizzi EL e TLC)
Corso di Campi elettromagnetici I – seconda parte
A.a. 2009/2010 – Ing. Paolo Burghignoli
Esercizi sulle coordinate curvilinee
13 novembre 2009
Esercizio 1
Partendo dalle relazioni che esprimono le coordinate cartesiane ( xyz ,, ) in funzione
delle coordinate sferiche ( r, qj , ):
x = r sin qcosj
y = rsin
qsinj
z = rcos
q
si determinino le espressioni dei versori fondamentali in coordinate sferiche
( r , q , j ) in funzione dei versori fondamentali ( x , y , z ) in coordinate cartesiane e
0 0 0
0 0 0
viceversa le espressioni di ( x , y , z ) in funzione di ( r , q , j ).
0 0 0
0 0 0
Esercizio 2
Calcolare in coordinate sferiche il gradiente e il laplaciano della funzione
g
r
e
= G r =
4pr
() ()
-jkr
definita per r > 0 . Detta t a la sfera con centro nell’origine e raggio a , calcolare il
flusso del gradiente di g attraverso la superficie S = ta
avente normale n
orientata verso l’esterno di t .
a
Esercizio 3
Calcolare in coordinate sferiche il rotore della funzione
-jkr
e
() = (- sin qq
0 + cos qr0)
Ar
4pr

Soluzioni
Esercizio 1
Derivando rispetto a r le espressioni delle coordinate cartesiane in funzione delle
coordinate sferiche si ottengono le componenti cartesiane di un vettore v tangente
alla linea coordinata ‘r ’:
r x y x
v = = x0 + y0 + z0
r r r r
= sin qcosjx + sin qsinjy + cos qz
0 0 0
2 2 2 2 2 2 2
Essendo v = sin qcos j + sin qsin j + cos q = sin q + cos q = 1, il versore
fondamentale r 0 tangente alla linea coordinata ‘r ’ è proprio il vettore v :
r = sin qcosjx + sin qsinjy + cos qz
0 0 0 0
Analogamente si procede per gli altri due versori fondamentali:
r x y x
= x + y + z
0 0 0
q q q q
= rcos qcosjx + rcos qsinjy -r
sin qz
r
q
0 0 0
=
2 2 +
2 2 +
2 =
r
cos qcos j cos qsin j sin q
r
q = cos qcosjx + cos qsinjy -sin
qz
0 0 0 0
r x y x
= x + y + z
0 0 0
j j j j
=- rsin qsinjx
+ rsin qcosjy
0 0
r =
2 2 2 2
r
+ =
j
sin qsin j sin qcos j r sin q
j =- sinjx
+ cosjy
0 0 0
Sinteticamente possiamo scrivere:

( r q j ) ( x y z )
, , = , , ⋅éAù
ê ë ú û
0 0 0 0 0 0
æsin qcos j cos qcos j - sin jö sin qsin j cos qsin j cos j
÷
ç
ç cos q - sin q 0 ÷
éAù
ëê ûú = ç ÷
çè
ø
La matrice [ A ] che esprime il cambiamento di base è una matrice ortogonale, poiché
le basi ( x0, y0,
z 0)
e ( r0, q0,
j 0)
sono ortonormali. Pertanto la sua inversa è pari alla
sua trasposta e abbiamo immediatamente
T
( x , y , z ) ( r , q , j
é
) A
= ⋅
ù ê ë ú û
0 0 0 0 0 0
æsin qcos j sin qsin j cos q ö é T
A
ù cos qcos j cos qsin j - sin q
ê = ë ú û ç çè - sin j cos j 0 ÷ ø
Esercizio 2
L’espressione generale del gradiente di una funzione F in coordinate sferiche è:
F 1 F 1 F
r r q rsin
q j
F () r = r0 + q0 + j 0
Nel caso in esame la funzione G non dipende dalle coordinate angolari, pertanto
-jkr
-jkr
G -jkre - e 1 + jkr
G = r0 = r0 2
=-r
0 2
e
r 4pr 4pr
-jkr
Dall’espressione generale del laplaciano in coordinate sferiche
2
2 1 æ 2 F ö 1 æ F ö 1 F
() r
2 çr
÷ 2 çsin
q ÷
2 2 2
F = + +
r r çè r ÷ ø r sin q qçè q÷
ø r sin q j
abbiamo poi
2 1 æ 2 Gö 1 æ 1+
jkr -jkr
ö
G = 2 r = 2
- e
=
r r çè
r ÷ ø r r è ç 4p
ø÷
1 -jkr
-jkr
=- é
2
jke ( 1 jkr)( jk)
e ù
4pr
ê + + - =
ë
úû
-jkr
2 e
=-k
4pr

Infine, tenendo conto che su S
= ta
risulta n = 0
r , calcoliamo il flusso richiesto:
ò
S = t
0 d
2p p
1 + jka -jka
ò ò 2
4pa
0 0
2p p
1 + -jka
r ⋅ G S = - e a sinqdqdj
=
jka
=- e sin qdqdj
=
4p
òò
0 0
1 + jka jka
=- e 4p
=- ( 1+
jka ) e
4p
2
- -jka
Esercizio 3
L’espressione generale del rotore di una funzione A()
r in coordinate sferiche è:
1 é A ù
()
q
´ Ar= r
0 ( Aj
sin q)
- +
r sin q ê
ë q j ú
û
1é
1 Ar
ù
+ q
0
- ( rAj
)
+
r ê
ësin
q j r ú
û
1 é Ar
ù
+ j0
( rAq
)-
r êë
r q úû
Nel caso in esame A = cos qG()
r , A =- sin qG()
r , A j = 0 e / j = 0, pertanto
r
q
1 é A
()
r
ù
´ A r = j0
( rAq
)- =
r êë r q úû
1 é
ù
= j ( ()) ( ()
0
-sin
qrG r - cos qG r )
=
r êë r
q úû
1 é
ù
= j
( ()) ()
0
- sin q rG r + sin qG r
=
r êë
r
úû
-jkr
1 é
0 sin
-jkr
e ù
= j q
- ( e ) + =
4pr ê r r ú
ë
û
-jkr
e é 1ù
= j0
sin q
jk +
4pr
êë
rúû