Trasformazioni geometriche - Circe

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE 

Trasformazioni geometriche: 

• modificano la posizione relativa dei pixel, senza 

alterare il valore radiometrico. Assegnano al pixel 

nuove coordinate o nuovi valori di riga e colonna 

• immagini = trasformazioni nello spazio 2D 

= TRASFORMAZIONI PIANE 

X = F x 

Con x = coordinata iniziale 

X = coordinata finale 

F = operatore di trasformazione (funzione) 

• punti di controllo: punti omologhi necessari per 

definire la trasformazione 

Punti immagine= definiti nel sistema immagine 

Punti di controllo= punti di riferimento 

• Utlizzo: elaborazione delle immagini, cartografia 

(carta = immagine raster), disegni 

•Trasformazioni GLOBALI e LOCALI


Trasformazioni GLOBALI: 

• modificano la posizione di ogni pixel dell’immagine. 

I valori dei parametri di trasformazione calcolati sono 

validi per qualsiasi punto dell’immagine 

• dal sistema (o,x,y) al sistema trasformato (O,X,Y) 

• si utilizzano più punti di controllo di quelli necessari 

e il valore dei parametri è stimato ai minimi quadrati. 

• Trasformazioni lineari: traslazione, rotazioni, 

deformazione per taglio, affine, Helmert 

Trasformazioni proiettiva 

Trasformazioni polinomiali


o 

1 

1 2 3 4 5 

6 7 8 9 10 

x 

O 

1 

1 2 3 4 5 

6 7 8 9 10 

X 

2 

2 

3 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

y 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

Y 

Spostamento di una 

“freccia” lungo la 

direzione x di 5 pixel. 

Il punto iniziale ha coordinate 

x= 4 

y=3 

Lo spostamento è 

5 lungo x 

0 lungo y 

X 

 

Y 

0 

0 

 

 

 

x 

 

y 

 

X 

 

Y 

 

 

 

4 

 

3 

5 

 

0 

 

9 

 

3


TRASLAZIONE 

• è una trasformazione 

elementare conforme 

(=mantiene inalterati gli angoli) 

• parametri: 2 

traslazione Xo 

traslazione Yo 

X 

 

Y 

 

 

 

x 

 

y 

 

 

 

X 

Y 

0 

0


ROTAZIONE 




X 

 

Y 

 

 

 

 

cos 

 

sen 

sen 

 

x 

cos 

 

y 

• parametri:1 

rotazione a


VARIAZIONE DI SCALA ISOTROPA 




X 

 

Y 

 

 

 

x 

 

y 


fattore di 

scala l


TAGLIO 


elementare non conforme 


angolo di taglio b 

X 

 

Y 

 

 

 

 

1 tan 

x 

 

0 

1 y


VARIAZIONE DI SCALA ANISOTROPA LUNGO GLI ASSI 


elementare non conforme 

•Parametri:2 

fattore di scala l 1 

fattore di scala l 2 

• Se l1 = l2 siamo nel 

caso di variazione di scala 

ad 1 parametro 

X 

 

Y 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

0 

0 

x 

 

 

2 

y


ROTOTRASLAZIONE CONFORME CON VARIAZIONE DI SCALA 

HELMERT 


conforme 

X 

 

Y 

 

 

 

cos 

 

sen 

sen 

 

x 

cos 

 

y 

X 

 

Y 

0 

 

 

 

0 




rotazione a 

fattore di scala l 

X 

 

 

Y 

 

•Si possono avere risultati 

diversi se la variazione di scala 

è diversa lungo i due assi l 1 l 2 

X 

 

Y 

 

 

 

 

1 

 

0 

0 cos 

 

 

2sen 

sen 

 

x 

X 

cos 

 

y 

Y 

0 

 

 

 

0


Traslazione 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 

0 

Y 

X 

y 

x 

Y 

X 

Rotazione 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 

x 

Y 

X 

 

 

 

 

cos 

sen 

sen 

cos 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 

0 

cos 

cos 

Y 

X 

y 

x 

sen 

sen 

Y 

X 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 

x 

Y 

X 

 

Variazione di scala 

Cambiamento del sistema di riferimento


TRASFORMAZIONE AFFINE 

• è una trasformazione non 

conforme 

X 

 

Y 

 

 

 

 

1 

 

0 

0 

1 

 

 

2 

0 

tan 

1 

 

 

 

cos 

 

sen 

sen 

 

x 

X 

cos 

 

y 

Y 

0 

 

 

 

0 

•Può essere vista come 

sequenza di doppia 

variazione di scala, 

traslazione, rotazione e 

taglio 


fattore di scala l1 

fattore di scala l2 

X 

 

 

Y 

 

X a00 a01y 

a10x 

Y b00 b01y 

b10x 



rotazione 

taglio 

b 

a


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 

0 

2 

1 

cos 

cos 

1 

tan 

1 

0 

0 

Y 

X 

y 

x 

sen 

sen 

Y 

X 

 

 

 

 

 

 

 

Correzioni delle deformazioni 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 

x 

Y 

X 

1 

0 

tan 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 

0 

Y 

X 

y 

x 

Y 

X 

taglio 

traslazione 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 

x 

λ 

0 

0 

Y 

X 

2 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 

x 

Y 

X 

 

 

 

 

cos 

sen 

sen 

cos 

rotazione 

scala


TRASFORMAZIONE BILINEARE 


non conforme 

• Può essere vista come 

sequenza di doppia 

variazione di scala, 

traslazione, rotazione e 

taglio 

•Non si tratta di equazioni 

lineari, ma di grado 2 

• Parametri: 8 

X 

 

 

Y 

 

X a00 a01y 

a10x 

a11yx 

Y b00 b y b10x 

b11yx 

X 

cos 

α 

λ 

 

Y 

senα 

senα 

 

x 

 

X 

 

0 

 

cos α y01 

 

Y 

0


TRASFORMAZIONE PROIETTIVA (o omografica) 

• è una trasformazione non 

conforme 

• utilizzata in fotogrammetria per 

il raddrizzamento, caso 

particolare in cui Z è costante 

X 

Y 

 

 

a1x 

a2 

y a 

c1x 

c2 

y 1 

b1 

x b2 

y b3 

c x c y 1 

1 

2 

3 


X 

 

 

Y


Trasformazione proiettiva 

Applicazione della 

trasformazione 

proiettiva alla pianta 

X 

 

 

Y 

 

prospettica di Mortier


TRASFORMAZIONE POLINOMIALE 

•Dallo sviluppo del polinomio 

si ottengono diverse 

trasformazioni in base ai 

termini considerati 

X 

 

m 

 

i0 

n 

 

j0 

a 

ij 

x 

i 

y 

j 

Y 

 

m 

 

i0 

n 

 

j0 

b 

ij 

x 

i 

y 

j 

X 

Y 

 

 

a 

b 

2 2 

2 2 

3 3 

00 

a01y 

a10x 

a11yx 

a02 

y a20x 

a12xy 

a21x 

y a03y 

a30x 

 

2 2 

2 2 

3 3 

00 

b01y 

b10x 

b11yx 

b02y 

b20x 

b12xy 

b21x 

y b03y 

b30x 

 

X 

 

 

Y 

 

Trasformazione polinomiale a 12 parametri 

... 

...


TRASFORMAZIONE POLINOMIALE 

X 

 

 

Y 

 

Trasformazione polinomiale 

di primo grado 

X a00 a01y 

a10x 

b b y b x 

Y 

00 01 

 

10 

Trasformazione polinomiale 

di secondo grado 

X a00 a01y 

a10x 

a11yx 

b b y b x b yx 

Y 

00 01 10 

 

11


confronti 

Affine Bilineare Proiettiva


COORDINATE OMOGENEE 

Le traslazioni sono applicate mediante somme, mentre le altre trasformazioni come 

prodotti matriciali. Per rendere più veloce il calcolo, la computer graphics utilizza le 

coordinate omogenee e solo operazioni di prodotto tra matrici. 

Il punto (x,y) è espresso in coordinate omogenee mediante la tripletta (x,y,1) 

con x = x h /w; y = y h /w e w ≠ 0. 

Per cui le trasformazioni si possono riassumere come il prodotto delle matrici: 

X 

 

 

 

Y 

 

 

1 

 

1 

 

 

o 

 

0 

o 

1 

0 

dx 

x 

d 

 

 

 

y 

 

y 

 

1 

 

1 

Traslazione 

d x spostamento lungo x 

d y spostamento lungo y 

X 

 

 

 

Y 

 

 

1 

 

cos 

 

 

sin 

 

0 

sin 

cos 

0 

0 

x 

0 

 

 

 

 

y 

 

1 

 

1 

Rotazione 

a angolo di rotazione


COORDINATE OMOGENEE 

X 

sx 

 

 

 

 

Y 

 

o 

 

1 

 

0 

Le riflessioni sono casi particolari di trasformazioni di scala 

X 

1 

 

 

 

 

Y 

 

0 

 

1 

 

0 

0 

1 

0 

o 

o 

x 

o 

 

 

 

 

y 

 

1 

 

1 

0 

x 

0 

 

 

 

 

y 

 

1 

 

1 

Riflessione rispetto l’asse x 

s 

y 

0 

X 

1 

 

 

 

 

Y 

 

0 

 

1 

 

0 

Variazione di scala 

s x fattore di scala lungo x 

s y fattore di scala lungo y 

0 

1 

0 

0 

x 

0 

 

 

 

 

y 

 

1 

 

1 

Riflessione rispetto l’asse y 

X 

1 

 

 

 

 

Y 

 

0 

 

1 

 

0 

0 

1 

0 

0 

x 

0 

 

 

 

 

y 

 

1 

 

1 

Riflessione rispetto l’origine 

degli assi 

X 

 

 

 

Y 

 

 

1 

 

1 

 

 

b 

 

0 

a 

1 

0 

0 

x 

0 

 

 

 

 

y 

 

1 

 

1 

Taglio 

a deformazione rispetto asse x 

b deformazione rispetto asse y


RESAMPLING 

Per la creazione dell’immagine 

finale, avente gli assi paralleli al 

sistema di riferimento esterno, si 

utilizza la tecnica dell’inverse 

mapping che consiste nel riempire 

una immagine vuota di dimensione 

opportune con dei valori ricavati 

per interpolazione dell’immagine 

iniziale. 

Matrice immagine 

iniziale 

Matrice immagine 

finale 

NEAREST NEIGHBOUR 

•Consiste nell’assegnare ad ogni punto 

del dominio il valore del pixel campionato 

più vicino 

•E’ un approccio molto semplice, e la 

soluzione finale è unica


INTERPOLAZIONE BILINEARE 

• interpola linearmente i pixel lungo ogni 

riga, poi interpola i pixel lungo ogni 

colonna 

• L'interpolazione bilineare assegna al 

pixel di destinazione D un valore che è 

una funzione bilineare dei quattro pixel 

vicini alla sorgente S nell'immagine di 

input 

INTERPOLAZIONE BICUBICA 

•calcola il valore di un pixel della 

immagine di output facendo una media 

dei 16 pixel che circondano il pixel 

corrispondente nell'immagine di input 

• A volte in realtà i risultati del bicubico 

risultano peggiori del bilineare e molto 

dipende dall'immagine di input


Trasformazioni LOCALI: 

• I valori dei parametri di trasformazione sono 

calcolati per ogni singolo punto dell’immagine e 

hanno validità locale. Deformare solo una parte 

dell’immagine senza che il resto venga deformato. 

•Algoritmi simili alle trasformazioni globali, ma 

applicati a aree minori: trasformazione esatta per i 

punti noti e approssimata per gli altri 

• Morphing 

Warping


MORPHING e WARPING 

• in computer-graphics, date due immagini, una iniziale e una finale, è 

possibile ottenere un’animazione di trasformazione tra gli oggetti 

rappresentati mediante una sequenza di immagini intermedie: MORPHING 

• Si può considerare somma di due effetti differenti: 

dissolvenza incrociata, ogni pixel di ogni frame intermedio è dato 

dalla media pesata delle immagini di partenza e di arrivo 

image warping, definire corrispondenze tra immagine iniziale e 

finale mediante primitive di controllo posizionate in zone 

caratteristiche. (Volto: occhi, naso, bocca). Dopo la 

triangolazione, nelle fasi intermedie viene mappato il contenuto 

dei corrispondenti triangoli 

Lo scopo è quello di portare le due immagini ad avere lo stesso tipo di 

deformazioni per poterle quindi miscelare. 

WARPING: 

scomposizione del dominio in elementi finiti 

creazione di campi di forze



Scomposizione del dominio 

L’immagine viene suddivisa in modo manuale o 

automatico in patch triangolari (triangolazione di 

Delunay). La triangolazione sull’immagine finale viene 

riportata sull’immagine iniziale utilizzando i punti 

omologhi. Poi si può: 

• Modificare la patch dell’immagine sorgente per portarla 

a coincidere con quella finale mediante una 

trasformazione affine. 

• Utilizzare i lati dei triangoli come primitive di controllo 

tra immagine iniziale e finale.



Risultato: 

adattamento dell’immagine 

rispetto ai punti di controllo


Campi di forze 

•L’algoritmo per punti di forza è il più semplice. 

Una volta calcolato il vettore spostamento per 

ogni coppia di punti omologhi, ogni altro punto 

(pixel o nodo) sarà spostato in ragione di un 

vettore ottenuto come media pesata dei vettori 

riferimento. 

•I problemi da risolvere sono l’individuazione di 

un criterio per la scelta dei pesi dei vettori di 

riferimento e l’elevato numero di questi ultimi. 

•Esso è di difficile utilizzazione con immagini 

raster in quanto è praticamente inevitabile che 

delle linee rette nell’immagine di partenza 

risultino curve dopo la trasformazione. Problemi 

nell’uso con cartografia o disegno di architettura, 

più utilizzato per fotografie. Da buoni risultati con 

immagini vettoriali perché agisce solo sui nodi.


I parametri della trasformazione vengono 

stimati per ogni punto dell’immagine 

attraverso una rototraslazione anisotropa


REFERENZIAZIONE - TRASFORMAZIONE 

scomposizione del dominio 

TRASFORMAZIONI 

GLOBALI 

+ 

TRASFORMAZIONI 

LOCALI 

• preparazione degli 

elaborati; 

• analisi delle deformazioni; 

• trasformazione globale 

(referenziazione) tra i 

sistemi di coordinate 

dell’immagine e di 

riferimento; 

• trasformazioni locali 

(e conseguente costruzione 

della nuova immagine); 

• verifica della nuova 

immagine.


Esempio di TRASFORMAZIONI 

Il profilo di massima delle 


due piante è confrontabile 

In alcune zone sono 

presenti delle 

deformazioni tali da non 

consentire una 

sovrapposizione 

puntuale delle due 

cartografie 

In queste zone si dovrà 

intervenire con delle 

trasformazioni di tipo 

locale


Sovrapposizione delle due 

carte in seguito alla 

trasformazione locale 


Sovrapposizione delle due carte 

in seguito alla trasformazione 

globale


ESEMPIO: S. GIORGIO 

Trasformazione globale 

Trasformazioni locali


Sovrapposizione dopo la 

trasformazione globale 

Sovrapposizione dopo le 

trasformazioni locali

Trasformazioni geometriche - Circe

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