lucidi 5 - Dipartimento di Matematica

a.a. 2011/12
Laurea triennale in Scienze della Natura
Matematica ed Elementi di Statistica
Calcolo differenziale
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
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L’idea generale di variazione
Spesso più che ai valori di una certa grandezza siamo interessati al
modo in cui questi valori cambiano in risposta alla variazione di una
certa altra grandezza.
Esempi . . .
Possiamo parlare di
• variazione assoluta
• variazione media
• variazione istantanea
Traduciamo matematicamente questi concetti.
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Definizione
Sia A un intervallo, sia f : A → R e sia x 0 ∈ A.
Per ogni x ∈ A \ {x 0 } il numero
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
si chiama rapporto incrementale di f in x 0 , valutato in x .
Osservazione
Il rapporto incrementale corrisponde alla variazione media della
grandezza espressa da f .
Interpretazione geometrica? Interpretazione cinematica?
Posto h := x − x 0 , possiamo riscrivere il rapporto incrementale in x 0
come f (x 0 + h) − f (x 0 )
, con h ≠ 0.
h
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Definizione
Sia f : A → R e sia x 0 ∈ A.
Diciamo che f è derivabile in x 0 se il limite
(
)
f (x) − f (x 0 )
f (x 0 + h) − f (x 0 )
lim
= lim
x→x 0 x − x 0 h→0 h
esiste ed è finito.
Tale limite si chiama derivata di f in x 0 e si denota con
• f ′ (x 0 )
(notazione di Lagrange), oppure
• df
dx (x 0) (notazione di Leibniz). Commenti . . .
Osservazione
La derivata corrisponde alla variazione istantanea della grandezza
espressa da f .
Interpretazione cinematica? Interpretazione geometrica . . .
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Proposizione
Se f è derivabile in x 0 , allora è continua in x 0 .
Verifica . . .
Corollario
Se f non è continua in x 0 , allora non è derivabile in x 0 .
Esempio
Le funzioni parte intera e mantissa non sono derivabili in x ∈ Z.
Osservazione
La continuità in un punto è condizione necessaria ma non sufficiente
per la derivabilità.
Per esempio, la funzione f (x) = |x| è continua in x = 0 ma non è
derivabile in x = 0. Perché?
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Definizione
Diciamo che f è derivabile a destra [a sinistra] in x 0 se il limite
[
]
x − x 0 x − x 0
f (x) − f (x 0 )
f (x) − f (x 0 )
lim
x→x + 0
esiste ed è finito.
lim
x→x − 0
Tale limite si chiama derivata destra [derivata sinistra] di f in x 0 e
si denota con f ′ +(x 0 ) [f ′ −(x 0 )].
Osservazione
Negli estremi di un intervallo ha senso considerare solo la derivata
destra o la derivata sinistra.
In un punto interno, f è derivabile se e solo se è derivabile a destra e
a sinistra con derivata destra e sinistra uguali.
Esempio
Per f (x) = |x| si ha f ′ +(0) = 1 e f ′ −(0) = −1.
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Definizione
Sia f : A → R, sia x 0 interno ad A e supponiamo che f sia derivabile
in x 0 .
Chiamiamo retta tangente al grafico di f in x 0 la retta di equazione
Motivazione . . .
y = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ).
Questa definizione fornisce l’interpretazione geometrica della derivata:
se f è derivabile in x 0 , f ′ (x 0 ) è il coefficiente angolare della retta
tangente al grafico di f nel punto di coordinate (x 0 , f (x 0 )).
Esempio
Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f (x) = x 2 nel
punto x 0 = 1.
Osservazione
Il grafico della funzione valore assoluto ha in x = 0 un punto
angoloso; non è possibile individuare la retta tangente.
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Definizione
La funzione che a ogni x in cui f è derivabile associa la derivata
di f in x si chiama funzione derivata (prima) di f e si denota con f ′
(oppure con df
dx ).
Osservazione
dom(f ′ ) ⊆ dom(f ); alle volte l’inclusione è stretta.
Esempio
f (x) = |x|, dom(f ) = R; f ′ (x) = x
|x| , dom(f ′ ) = R ∗ 8 / 35

Derivata di alcune funzioni elementari
f (x) = c dom(f ) = R = dom(f ′ ) f ′ (x) = 0
f (x) = ax + b dom(f ) = R = dom(f ′ ) f ′ (x) = a
f (x) = x n (n ≥ 2) dom(f ) = R = dom(f ′ ) f ′ (x) = n x n−1
f (x) = 1 x
dom(f ) = R ∗ = dom(f ′ ) f ′ (x) = − 1
x 2
Osservazione
La terza e quarta formula possono essere riscritte come
f (x) = x p =⇒ f ′ (x) = p x p−1 ,
con p = n e p = −1, rispettivamente. In effetti, questa formula
è valida per qualsiasi p ∈ R (con le opportune restrizioni per x ).
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Operazioni con funzioni derivabili
Se f e g sono derivabili in x e c ∈ R, anche le funzioni f + g ,
f − g , f · g , c f sono derivabili in x e si ha
(f + g) ′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x) regola della somma
(f − g) ′ (x) = f ′ (x) − g ′ (x) regola della differenza
(c f ) ′ (x) = c f ′ (x) regola del multiplo
(f · g) ′ (x) = f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x) regola del prodotto
1
Se g(x) ≠ 0, anche le funzioni
g e f sono derivabili in x e si ha
g
( 1
) ′(x) g ′ (x) = −
g (g(x)) 2
regola del reciproco
( f
) ′(x) f ′ (x) · g(x) − f (x) · g ′ (x)
=
g
(g(x)) 2
regola del rapporto
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Corollario
La somma, la differenza, il prodotto, la combinazione lineare,
il reciproco, il rapporto di funzioni derivabili sono funzioni derivabili
nei rispettivi domini.
Osservazione (da ricordare!)
Sono derivabili nei rispettivi domini
• le funzioni polinomiali (combinazioni lineari di funzioni derivabili),
• le funzioni razionali (rapporti di funzioni derivabili).
Esempi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
f (x) = 6 x 5 − 2x f (x) =
f (x) = 3 x 4 + 5 x
1
5x 3 + 2x − 1
f (x) = 3x 2 − 2x + 1
x 3 − x
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Composizione di funzioni derivabili
Siano f e g due funzioni tali che la funzione composta f ◦g sia
definita in un intorno di x .
Se g è derivabile in x e f è derivabile in g(x), allora la funzione
composta è derivabile in x e si ha
(f ◦g) ′ (x) = f ′ (g(x)) · g ′ (x).
Nota: questa regola si generalizza alla composizione di tre o più
funzioni. Per esempio:
(f ◦g ◦h) ′ (x) = f ′ (g(h(x))) · g ′ (h(x)) · h ′ (x).
Corollario
La funzione composta di due o più funzioni derivabili nei rispettivi
domini è una funzione derivabile nel proprio dominio.
Esempio
Calcolare la derivata di f (x) = (3x 2 − 4x + 1) 5 . Derivata di f n ?
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Funzione inversa di una funzione derivabile
Sia f la funzione inversa di una funzione g , strettamente monotona e
continua in un intervallo.
Sia x ∈ dom(f ). Se g è derivabile in f (x) con g ′ (f (x)) ≠ 0, allora:
f è derivabile in x con
f ′ (x) =
1
g ′ (f (x)) .
Interpretazione
geometrica?
Esempio
La funzione radice n-esima f (x) = n√ x è derivabile in dom(f ) \ {0}
con f ′ 1
(x) =
n n√ . (Formula di pagina 9 con p = 1/n . . . )
x n−1
Nota: in x = 0 la regola di derivazione non è applicabile; il calcolo
diretto mostra che il limite del rapporto incrementale in x = 0 è +∞.
Punto/flesso a tangente verticale
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Derivata di ulteriori funzioni elementari
f (x) f ′ (x) f (x) f ′ (x)
e x e x ln(x)
p x ln(p) p x log p (x)
sin(x) cos(x) arcsin(x)
1
x
1
ln(p) x
1
√
1 − x 2
1
cos(x) − sin(x) arccos(x) −√ 1 − x 2
(x ≠ ±1)
(x ≠ ±1)
tan(x)
1
(cos(x)) 2
= 1 + (tan(x)) 2
arctan(x)
1
1 + x 2
Nota: prendendo per buone le derivate in rosso, tutte le altre si possono ricavare attraverso
le regole di derivazione.
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Esempi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni applicando le regole di
derivazione.
f (x) = 2 x − sin(x) f (x) = arcsin(4x 2 )
f (x) = e 1/x f (x) = (x 2 + 2e 3x − tan(x)) 4
f (x) = |x| e x f (x) = (x − 1) 3√ x 2 − 3x + 2
f (x) = cos(x 4 − 3e x )
e x 15 / 35

Definizione
Sia f una funzione derivabile in un insieme A e sia x 0 ∈ A.
Diciamo che f è derivabile due volte in x 0 se la funzione f ′ è
derivabile in x 0 .
Il numero f ′′ (x 0 ) := (f ′ ) ′ (x 0 ) si chiama derivata seconda di f in x 0 ;
la funzione f ′′ := (f ′ ) ′ si chiama funzione derivata seconda di f .
Notazione alternativa:
d 2 f
dx 2
Osservazione
In maniera iterativa, si introduce la nozione di funzione derivabile tre
volte, quattro volte, e così via, e si definisce la funzione derivata terza,
quarta, e così via; la derivata n-esima di f si denota con f (n) .
d n f
Notazione alternativa:
dx n
Esempio
Determinare la derivata seconda e la derivata terza della funzione
f (x) = x 2 e x .
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Alcune applicazioni del calcolo differenziale
• Ricerca di estremi locali e globali di una funzione
• Studio della monotonia e della convessità di una funzione
• Studio del grafico di una funzione
• Risoluzione qualitativa di equazioni
• Risoluzione di alcune forme di indecisione
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Proposizione
Sia A un intervallo.
Sia f : A → R derivabile in x 0 punto interno ad A.
• Se f ′ (x 0 ) > 0, allora f è crescente in x 0 , cioè :
x vicino a x 0 , a sinistra =⇒ f (x) < f (x 0 )
x vicino a x 0 , a destra =⇒ f (x) > f (x 0 )
• Se f ′ (x 0 ) < 0, allora f è decrescente in x 0 , cioè :
x vicino a x 0 , a sinistra =⇒ f (x) > f (x 0 )
x vicino a x 0 , a destra =⇒ f (x) < f (x 0 )
Motivazione . . .
Confronto tra le nozioni “(de)crescente in un punto” e “(de)crescente
in un intervallo” . . .
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Corollario (Criterio per la ricerca di punti di estremo locale)
Sia f : A → R e sia x 0 ∈ A un punto di estremo locale. Allora:
• x 0 è un estremo di A, oppure
• x 0 è un punto interno ad A in cui f non è derivabile, oppure
• x 0 è un punto interno ad A in cui f è derivabile e f ′ (x 0 ) = 0
(punto stazionario).
Interpretazione geometrica
In un punto di estremo locale interno ad A la tangente al grafico di f ,
se esiste, è orizzontale.
Esempio
Individuare i possibili punti di estremo locale per le funzioni
f 1 (x) = |x|(1 − x 2 ), f 2 (x) = x 2 (1 − x 2 ), f 3 (x) = x 3 (1 − x 2 )
Osservazione
I punti stazionari non sono necessariamente punti di estremo locale.
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Osservazione
Sia x 0 un punto interno al dominio di una funzione continua,
candidato punto di estremo locale. Cioè ?
Se in x 0 vi è un cambiamento di monotonia, allora x 0 è un punto di
estremo locale. Precisamente:
monotonia di f monotonia di f classificazione di x 0
vicino a x 0 , a sinistra vicino a x 0 , a destra
crescente decrescente punto di massimo locale
decrescente crescente punto di minimo locale
Se f ha lo stesso tipo di monotonia a sinistra e a destra di x 0 , allora
x 0 non è un punto di estremo locale. Esempio?
Ne segue che per classificare un candidato punto di estremo locale è
utile stabilire condizioni sufficienti per la monotonia di una funzione
in un intervallo.
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Premessa: legame tra variazione media e variazione istantanea
Teorema del valor medio (o di Lagrange)
Sia A un intervallo.
Sia f : A → R, continua in A e derivabile nei punti interni ad A.
Allora: per ogni x 1 , x 2 ∈ A esiste ¯x compreso tra x 1 e x 2 tale che
f (x 2 ) − f (x 1 )
x 2 − x 1
= f ′ (¯x).
coefficiente angolare della
retta secante
variazione media
coefficiente angolare della
retta tangente
variazione istantanea
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Criterio di monotonia
Sia f : [a, b] → R.
Supponiamo f continua in [a, b] e derivabile in (a, b).
• f ′ (x) > 0 ∀ x ∈ (a, b) =⇒ f strettamente crescente in [a, b].
• f ′ (x) < 0 ∀ x ∈ (a, b) =⇒ f strettamente decrescente in [a, b].
Motivazione . . .
Esempio
Studiare la monotonia della funzione esponenziale e della funzione
arcotangente.
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Test della derivata prima
Sia f : A → R una funzione continua e sia x 0 interno ad A candidato
punto di estremo locale. Supponiamo f derivabile vicino a x 0 .
Se, per x vicino a x 0 , f ′ (x) ha segni discordi a sinistra e a destra di
x 0 , allora x 0 è un punto di estremo locale. Precisamente:
segno di f ′ segno di f ′ classificazione di x 0
vicino a x 0 , a sinistra vicino a x 0 , a destra
f ′ (x) > 0 f ′ (x) < 0 punto di massimo locale
f ′ (x) < 0 f ′ (x) > 0 punto di minimo locale
Se, per x vicino a x 0 , f ′ (x) ha lo stesso segno a sinistra e a destra di
x 0 , allora x 0 non è un punto di estremo locale.
Esempio
Classificare i candidati punti di estremo locale per la funzione
f 1 (x) = |x|(1 − x 2 ).
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Test della derivata seconda
Sia f : A → R una funzione derivabile e sia x 0 interno ad A punto
stazionario. Supponiamo f derivabile due volte in x 0 .
• Se f ′′ (x 0 ) > 0, allora x 0 è un punto di minimo locale.
• Se f ′′ (x 0 ) < 0, allora x 0 è un punto di massimo locale.
Motivazione:
f ′′ (x 0 ) > 0 =⇒ f ′ crescente in x 0 =⇒
a sinistra di x 0 : f ′ (x) < f ′ (x 0 ) = 0; a destra di x 0 : f ′ (x) > f ′ (x 0 ) = 0
Osservazione
Se f ′′ (x 0 ) = 0, questo test non è utilizzabile.
Esempi
Classificare i candidati punti di estremo locale per le funzioni
f 2 (x) = x 2 (1 − x 2 ), f 3 (x) = x 3 (1 − x 2 ).
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Definizione
Sia A un intervallo e sia f : A → R una funzione derivabile.
Diciamo che f è
• (strettamente) convessa se per ogni x 0 ∈ A si ha
f (x) > f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) ∀ x ∈ A \ {x 0 }
• (strettamente) concava se per ogni x 0 ∈ A si ha
f (x) < f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) ∀ x ∈ A \ {x 0 }
il grafico di f
è al di sopra
della retta
tangente in x 0
il grafico di f
è al di sotto
della retta
tangente in x 0
Se f è convessa a sinistra di x 0 e concava a destra di x 0 , o viceversa,
diciamo che x 0 è un punto di flesso.
Osservazione
In un punto di flesso la tangente al grafico di f attraversa il grafico.
Flessi a tangente verticale / orizzontale . . .
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Criterio di convessità
Sia A un intervallo e sia f : A → R una funzione derivabile due volte.
• f ′′ (x) > 0 ∀ x ∈ A =⇒ f strettamente convessa in A.
• f ′′ (x) < 0 ∀ x ∈ A =⇒ f strettamente concava in A.
Interpretazione geometrica della derivata seconda . . .
Osservazioni
In un punto di flesso la derivata seconda, se esiste, si annulla.
Non vale il viceversa. Esempio?
I punti di flesso sono punti di estremo locale per la derivata prima.
Interpretazione “pratica”?
Esempio
Studiare la convessità e determinare i punti di flesso delle funzioni
elementari.
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Esempio (da ricordare)
Studiare le proprietà asintotiche, di monotonia e di convessità delle
seguenti funzioni, definite a partire dalle funzioni esponenziali:
• funzione Gaussiana
• funzioni iperboliche
Esempio
Determinare graficamente il numero di soluzioni delle equazioni
(1) x 3 − 3x + 1 = 0
( ) x + 1
(2) ln + x + 4 = 0
x
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Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla
Sia f una funzione continua in un intervallo A.
Allora: f ha derivata identicamente nulla in A se e solo se f è una
funzione costante.
Motivazione . . .
Esempio
Cosa si può dedurre dall’uguaglianza d dx
(arcsin(x) + arccos(x)) ≡ 0?
Osservazione
Due funzioni aventi la stessa derivata in un intervallo differiscono per
una costante additiva. Perché?
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Osservazione
La caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla si può riformulare
dicendo che le funzioni costanti sono tutte e sole le soluzioni
dell’equazione differenziale
f ′ (x) = 0, x ∈ A (A intervallo).
Analogamente, le funzioni lineari sono tutte e sole le soluzioni
dell’equazione differenziale
Esplicitando:
f ′ (x) = costante, x ∈ A (A intervallo).
• se f (x) = a x + b, allora f ′ (x) = a;
• se f ′ (x) = c per ogni x in un intervallo A, allora esiste k ∈ R
tale che f (x) = c x + k per ogni x ∈ A.
Verifica . . .
(segue)
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Inoltre, le funzioni esponenziali sono tutte e sole le soluzioni
dell’equazione differenziale
Esplicitando:
f ′ (x) = costante · f (x), x ∈ A (A intervallo).
• se f (x) = a e cx , allora f ′ (x) = c f (x);
• se f ′ (x) = c f (x) per ogni x in un intervallo A, allora esiste
k ∈ R tale che f (x) = k e cx per ogni x ∈ A.
Verifica . . .
Esempio
Modello di Malthus per la dinamica di popolazione
(o evoluzione demografica) . . .
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Regola di de l’Hôpital
Siano f e g due funzioni tali che abbia senso calcolare il limite di
per x che tende a x 0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}. Supponiamo che:
(a) f e g siano entrambe infinitesime oppure entrambe infinite
per x che tende a x 0 ;
(b) f e g siano derivabili vicino a x 0 ;
(c) esista il limite
f ′ (x)
lim
x→x 0 g ′ = l ∈ R ∪ {−∞, +∞}.
(x)
Allora:
anche il rapporto f (x)
g(x) ammette limite in x 0 e si ha
lim
x→x 0
f (x)
g(x) = l. 31 / 35
f
g

Esempi
Calcolare
lim
x→1
ln(x)
1 − x 2 , lim sin(x) − x
x→0 x 5 .
Ruolo delle ipotesi
Se (a) non è soddisfatta, non è detto che il limite di
f ′
x
limite di . Esempio: lim
g ′
x→1 + ln(x)
f
g
sia uguale al
Se (c) non è soddisfatta, nulla può dirsi sul limite di
x − sin(x)
esistere o non esistere. Esempio: lim
x→+∞ x + sin(x)
Nota:
sin(x)
lim = 0 per “convergenza obbligata”
x→+∞ x
f
, che può
g
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Terminologia
Siano f e g funzioni entrambe infinite oppure entrambe infinitesime
f (x)
per x → x 0 , tali che esista il limite lim =: l ∈ R ∪ {−∞, +∞}.
x→x0 g(x)
l ∈ R ∗ f e g sono infiniti
infinitesimi
dello stesso ordine
l = 0 f è
infinito di ordine inferiore
infinitesimo di ordine superiore
in simboli: f (x) = o(g(x)), x → x 0
rispetto a g;
l = ±∞ f è
infinito di ordine superiore
infinitesimo di ordine inferiore
rispetto a g
Esempio
Siano p > q > 0; la funzione x ↦→ x p è infinito [infinitesimo] di ordine
superiore rispetto alla funzione x ↦→ x q per x → +∞ [x → 0].
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Esempio (gerarchia degli infiniti)
Per x → +∞, le funzioni
x ↦→ p x (p > 1), x ↦→ x α (α > 0), x ↦→ log q (x)
sono tutte e tre infinite. Con la regola di de l’Hôpital proviamo che
p x
lim
x→+∞ x α = +∞,
lim
x→+∞
x α
log q (x) = { +∞ se q > 1
−∞ se 0 < q < 1 ,
cioè: per x che tende a +∞,
• la funzione esponenziale di base maggiore di 1 è infinito di ordine
superiore rispetto alla potenza con esponente positivo,
• la potenza con esponente positivo è infinito di ordine superiore
rispetto al logaritmo.
Esempi
√ x − ln(x),
lim
x→+∞
lim
x→+∞
3 x − x 2
2 x + x 3 34 / 35

Esercizio
Studiare le proprietà asintotiche, la monotonia e la convessità della
funzione f (x) = x ln(x), tracciarne un grafico approssimativo e
utilizzarlo per determinare il numero delle soluzioni dell’equazione
f (x) = λ, al variare di λ ∈ R.
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