lucidi 5 - Dipartimento di Matematica

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Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla Sia f una funzione continua in un intervallo A. Allora: f ha derivata identicamente nulla in A se e solo se f è una funzione costante. Motivazione . . . Esempio Cosa si può dedurre dall’uguaglianza d dx (arcsin(x) + arccos(x)) ≡ 0? Osservazione Due funzioni aventi la stessa derivata in un intervallo differiscono per una costante additiva. Perché? 28 / 35
Osservazione La caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla si può riformulare dicendo che le funzioni costanti sono tutte e sole le soluzioni dell’equazione differenziale f ′ (x) = 0, x ∈ A (A intervallo). Analogamente, le funzioni lineari sono tutte e sole le soluzioni dell’equazione differenziale Esplicitando: f ′ (x) = costante, x ∈ A (A intervallo). • se f (x) = a x + b, allora f ′ (x) = a; • se f ′ (x) = c per ogni x in un intervallo A, allora esiste k ∈ R tale che f (x) = c x + k per ogni x ∈ A. Verifica . . . (segue) 29 / 35
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