Scarica il pdf con la mia tesi - Parallel Programming Laboratory

4 Gli algoritmi utilizzati Cap. 2dove G è la costante di gravitazione universale G = 6.672 −8 cm 3 g·s 2 , m 1 e m 2 sonole masse dei due corpi, r 12 è il vettore che congiunge la particella 1 con la particella 2e F 1 è la forza agente sulla particella 1.Un inconveniente di tale forza che non ne permette l’utilizzo pratico in una simulazionereale è che ogni particella interagisce con tutte le altre dando origine a O(N 2 )interazioni, una complessità troppo elevata: quando il numero di particelle arriva aqualche milione le interazioni richieste sono dell’ordine di 10 12 !2.2.1 Algoritmo di Barnes-HutA questo punto si necessita di una qualche semplificazione nella quantità di calcolida eseguire a discapito, ovviamente, dell’accuratezza delle forze stesse. Tale semplificazionepuò essere data dall’uso di strutture ad albero che si basano sul seguenteconcetto:Per il calcolo delle forze cui è soggetto un corpo nello spazio possiamoraggruppare un insieme di particelle lontane dal corpo stesso nel lorocentro di massa.che può essere espresso matematicamente nel seguente modo:F i = G∑j≠im i · m j|r ij | 3 r i j ≈ G m i · M|r i,cm | 3 r i,cm (2.2)dove M è la somma delle masse raggruppate insieme e r i,cm è il vettore congiungentela particella in esame con il centro di massa del raggruppamento.Questo ci permette di creare un albero in cui lo spazio totale viene diviso ricorsivamentein blocchi di particelle vicine, associati ai nodi interni, fino ad arrivare allefoglie in cui c’è una sola particella. Associando poi ad ogni nodo un insieme di datisufficienti a descrivere in buona approssimazione il gruppo di particelle che essocontiene, possiamo calcolare una sola interazione tra il nodo e una particella lontanaanziché tante interazioni tra tutte le particelle del nodo e la particella lontana: questo èl’algoritmo di Barnes-Hut.In Figura 2.1 e ripresa da [Favaretto, 6] si può vedere un esempio della creazionedi un albero utilizzato per l’algoritmo approssimato.In particolare un insieme di dati sufficienti contiene tipicamente la massa totaledelle particelle nel nodo, il centro di massa con relativa velocità e il baricentro, unalista di tutte le particelle contenute e una espansione del quadrupolo.La complessità computazionale della costruzione di un tale albero, qui chiamatooct-tree, si può dimostrare essere O(N lgN) per una distribuzione abbastanza uniformedelle particelle (vedi [Favaretto, 6, pp. 19-20] per maggiori dettagli).2.2.2 Apertura dell’alberoUn problema da gestire in tale algoritmo è il seguente: quando si può considerarevalida l’approssimazione data dall’albero e quando invece è necessario espandere ilnodo?