Problemi con Transitorio

Problemi con Transitorio• Evoluzione nel tempo– Le equazioni includono le derivate temporali della variabile principale;– Conduzione del calore non stazionaria: velocita’ delle temperature– Dinamica: accelerazioni

Tipologia delle Equazioni Differenziali• Si considera un’equazione differenziale alle derivate parziali del secondoordine lineare, a coefficienti A, B,C, D, E, F, reali costanti, nella forma:• Si calcola il discriminante D:• Si introduce la seguente definizione:• Esempi: ellittica e’ l’equazione del potenziale (flusso di un fluidostazionario, forma di una membrana deformata, la torsione), parabolicae’ l’equazione del calore, iperbolica e’ l’equazione del moto.Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica – 17.2Milano, A.A. 2010/2011

Problemi Parabolici• Un tipico problema parabolico e’ l’equazione del calore con transitoriotermico.• Si estende al caso non stazionario l’equazione del calore precedentementestudiata, ed si usa la stessa definzione di flusso di calore q i , proporzionaleal gradiente della temperatura (legge di Fourier):• dove:– u e’ il campo scalare della temperatura (definito sul dominio W);– k ij e’ il tensore di conduttivita’ (nell’ipotesi di un materiale isotropo edomogeneo);– W il dominio spaziale dove il problema deve essere risolto.• Il dominio W possiede un contorno su cui sono imposte condizioni alcontorno sulle temperature (essenziali) o sui flussi (naturali).Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica – 17.3Milano, A.A. 2010/2011

Equazione del Calore• Se le sorgenti di calore o le condizioni al contorno variano nel tempo,occorre includere il termine corrispondente alla variazione delletemperatura nell’equazione di bilancio termico, che diventa:• dove:– G g e’ la parte di contorno dove e’ assegnata la temperatura u(Dirichelet);– G h e’ la parte di contorno dove e’ assegnato il flusso q i (Newmann);– f e’ la sorgente di calore per unita’ di volume sul dominio W, definitanell’intervallo temporale [0,T];– r e’ la densita’ del materiale;– c e’ il calore specifico.• Usando la definizione di flusso e l’ipotesi di isotropia, l’equazione si scrivecome:Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica – 17.4Milano, A.A. 2010/2011

Forma Forte• Assegnate le storie temporali della sorgente di calore e delle condizioni alcontorno, si pone la forma forte del problema termico non stazionario:• Si osservi che la corretta posizione matematica del problema richiedel’assegnazione dei valori iniziali della temperatura.Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica – 17.5Milano, A.A. 2010/2011

Forma Debole• Seguendo la stessa procedura vista per il caso stazionario, si introduce inW una funzione peso w (test o variazionale) con cui si moltiplica l’equazionedel calore. Si integra sul volume e si usa il torema della divergenza,ottenendo:• La dimostrazione ricalca il caso stazionario, dato che il termine con laderivata della temperatura si mantiene inalterato.Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica – 17.6Milano, A.A. 2010/2011

Approssimazione di Galerkin• Fatta un’opportuna scelta delle funzioni test w e soluzione di tentativou = v + g secondo le richieste del metodo di Galerkin, si ottiene la formaoperativa del principio dei lavori virtuali valida per il transitorio termico:• La formulazione ad elementi finiti implica la discretizzazione del volume edel contorno e l’introduzione delle funzioni di interpolazione. Esse sarannoespresse come prodotto di funzioni di forma che dipendono solo dallecoordinate e di coefficienti nodali che dipendono solo dal tempo:Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica – 17.7Milano, A.A. 2010/2011

Formulazione ad Elementi Finiti• La soluzione di tentativo viene costruita come somma di una funzioneomogenea e di una rispettosa delle condizioni al contorno essenziali (sulletemperature), entrambe con la struttura di interpolazione basata sullefunzioni di forma:• L’espressione della velocita’ della temperatura e’ data da (il punto indicaderivazione temporale):Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica – 17.8Milano, A.A. 2010/2011

Sistema Risolvente• Introducendo le funzioni di interpolazione nell’equazione di Galerkin siottiene:• la cui espressione esplicita e’:Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica – 17.9Milano, A.A. 2010/2011

Forma Matriciale• La formulazione ad elementi finiti trasforma l’equazione differenziale allederivate parziali in un sistema algebrico di equazioni differenzialiordinarie:• dove:– d e’ il vettore delle temperature nodali e il punto indica derivazionetemporale;– M e’ la matrice di capacita’ termica (simmetrica e definita positiva) eK e’ la matrice di conduttivita’ (simmetrica e definita positiva).– F comprende il contributo delle sorgenti di calore interne al dominio,del flusso sul contorno, e della temperatura imposta sul contorno,attraverso entrambe le matrici M e K; d 0 deve tenere conto dellatemperatura iniziale ed eventualmente di qualche contributo derivantedalla variazione della temperatura nel tempo, attraverso la matrice dicapacita’ termica M.Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica – 17.10Milano, A.A. 2010/2011

Transitorio con Elementi Finiti• Il sistema di equazioni differenziali ordinarie (le derivate si riferiscono allasola variabile tempo) ottenuta e’ conseguenza della sequenza diformulazioni usate.• La forma forte e’ stata indebolita con una scalarizzazione (in realta’ nelcaso della conduzione e’ solo la moltiplicazione per una funzione regolare)ed una integrazione sul volume;• La forma debole e’ stata approssimata con sottoinsieme di funzioni peso esoluzione di tentativo opportunamente scelte (Galerkin);• La formulazione di Galerkin e’ stata discretizzata con l’introduzione dielementi finiti, che in pratica esprimono le funzioni di interpolazione comecombinazione lineare di funzioni di forma per parametri incogniti(temperature nodali).Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica – 17.11Milano, A.A. 2010/2011