La Conduzione del Calore 2D e 3D

La Conduzione del Calore 2D e 3D
• La Conduzione del Calore Lineare (problema stazionario)
– Forma forte e forma debole
– Formulazione di Galerkin
– Matrice di rigidezza dell’elemento e vettore delle forze nodali
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Definizione delle Variabili
• Si indica con u la temperatura (campo scalare incognito, una sola
componente per ogni nodo), con f(x) la sorgente di calore per
unita’ di volume, e con q i (x) il flusso di calore (campo vettoriale).
• Ipotesi sulla natura del flusso: funzione del gradiente della
temperatura mediante la legge di Fourier generalizzata:
• Ipotesi sulla natura del materiale:
– la matrice di conduttivita’ e’ simmetrica e definita positiva;
– il comportamento e’ uguale in tutte le direzioni (isotropia);
– i coefficienti di conduttivita’ ij sono costanti (indipendenti da
x) in tutto il dominio (omogeneita’ ):
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Equazione del Calore in Forma Forte
• Le funzioni rappresentano: g(x) la temperatura assegnata
(condizione al contorno essenziale, o di Dirichelet); h(x) il flusso
assegnato al contorno (condizione al contorno naturale, o di
Neumann).
• Il problema (equazione di Poisson generalizzata) e’ ben posto, ed
ammette una ed una sola soluzione.
• Per costruire la forma debole, si introducono gli spazi funzionali S
(soluzione di tentativo) e V (funzioni peso o test), che contengono
le funzioni a valori reali, regolari e differenziabili, definite nel
dominio , rispettivamente u e w.
• Le funzioni w in V sono omogenee sul contorno essenziale g :
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Conduzione del Calore in Forma Debole
• Nell’ipotesi di regolarita’ delle funzioni che compaiono nelle
equazioni, la forma debole e’ equivalente alla forma forte, nel
senso che se una funzione u e’ soluzione della forma forte, lo e’
anche della forma debole (e viceversa).
• Usando l’integrazione per parti ed il teorema della divergenza, si
ottiene:
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Formulazioni Compatte
• Usando la notazione delle forme bilineari, si scrive:
• Usando invece la notazione matriciale, si introduce l’operatore
gradiente “ e si scrive:
• Le notazioni compatte servono ad evitare la scrittura degli indici
che in situazioni complesse possono rendere la formulazione
difficile da leggere.
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Formulazione alla Galerkin
• Si introducono le due famiglie di funzioni approssimanti, V h e S h ; la
prima con funzioni w h omogenee sul contorno; la seconda ottenuta
dalla prima con l’aggiunta di una funzione g h rispettosa delle
condizioni al contorno essenziali:
• Attenzione: in spazi con nsd > 1 (nsd = dimensioni dello spazio
fisico), non esiste piu’ un ordine predefinito per la numerazione dei
nodi. La numerazione e’ svincolata dalla geometria e dettata da
criteri di comodita’. I nodi su cui sono imposte le condizioni al
contorno non sono in genere il primo e l’ultimo.
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I Gruppi di Funzioni
• Si adotta uno schema piu’ flessibile:
– Tutti gli n np nodi della mesh definiscono l’insieme .
– I nodi su cui sono imposte condizioni al contorno sulla variabile
u h sono detti g-nodi e raccolti nel sottoinsieme g .
– Il complemento ad di g e’ l’insieme dei nodi in cui si deve
determinare la u h .
– Per la conduzione, - g indica il numero di equazioni da
risolvere.
• Le funzioni di forma del nodo A sono indicate con N A .
Una funzione w h che appartiene a V h ha questo aspetto:
• Una funzione u h che appartiene a S h e’ somma di v h e g h :
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La Forma Matriciale (1)
• Nella definizione della funzione g h si assume l’interpolazione con le
funzioni di forma dei valori della condizione al contorno assegnata
g(x) nei nodi. Quindi non si usa la vera g(x) ma una sua
approssimazione. La costante g A vale g(x A ) nei nodi dove sono
assegnate condizioni al contorno e 0 negli altri.
• Introducendo le definzioni precedenti nella
formulazione di Galerkin si ottiene:
• Si introduce infine un puntatore ID che fa corrispondere ad ogni
nodo il numero di un’equazione del sistema:
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La Forma Matriciale (2)
• Si costruiscono le matrici e i vettori:
• E si scrive:
• Si dimostra che K e’ simmetrica e definita positiva, come
conseguenza della definizione positiva della matrice di conduttivita’
e delle condizioni incorporate nella definizione di V h .
• La struttura delle funzioni di forma dell’elemento, che coinvolgono
solo i nodi dell’elemento stesso, e’ responsabile della struttura a
banda della matrice K .
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Le Matrici dell’Elemento (1)
• Operativamente, la matrice di rigidezza globale e’ ottenuta come
somma dei contributi individuali degli elementi.
Nella notazione globale si scrive:
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Le Matrici dell’Elemento (2)
• Nella notazione locale le matrici dell’elemento sono:
• Per arrivare ad una forma matriciale compatta, si introducono la
matrice D = di dimensioni n sd x n sd e il vettore B a di dimensioni n sd
che contiene le derivate delle funzioni di forma. Si scrive:
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Le Matrici dell’Elemento (3)
• Definendo la matrice B (n sd x n ne ) come insieme dei contributi delle
funzioni di forma dei nodi dell’elemento:
• si ottiene in modo formale l’espressione della matrice di rigidezza
dell’elemento:
• L’operazione di assemblaggio e’ governata dall’uso di due matrici:
– La matrice ID che fa corrispondere alla numerazione globale dei
nodi la numerazione effettiva delle equazioni del sistema
risolvente;
– La matrice delle incidenze completa INCID, che fa corrispondere
alla numerazione locale dell’elemento la numerazione globale
dei nodi.
• A volte l’assemblaggio puo’ essere agevolato dalla definizione di
una matrice delle incidenze effettiva (matrice LM), che si ottiene
combinando le altre due.
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Esempio di Assemblaggio 2D
ID = Definizione dei gradi di liberta’
0 1 2 0 3 4 0 5 6 0 7 8
INCID = Matrice delle incidenze globale
1 2 4 5 7 8
2 3 5 6 8 9
5 6 8 9 11 12
4 5 7 8 10 11
Matrice delle incidenze effettiva
0 1 0 3 0 5
1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 7 8
0 3 0 5 0 7
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