Esercizi sulle derivazioni in logica dei condizionali (Stalnaker)

Esercizi sulle derivazioniin logica dei condizionali (Stalnaker)Sandro Zucchi2010-11Alcuni esempiPrima di introdurre gli esercizi, facciamo qualche esempio di derivazione nel sistemaCS(NAT) per illustrare l’uso delle regole specifiche di questo sistema:dove tutti i riferimenti esterni alla prova sono a righe accessibili applicando la regola R a enunciatidella forma ✷χ o ✸χ, o a enunciati della forma ξ > χ dove, alla riga a cuiξ > χ viene reiterato, ξ è equipollente all’assunzione della prova o a una congiunzione diformule disponibili nella prova in cui l’assunzione è uno dei congiunti.1

Una formula ϕ è equipollente a una formula ψ alla riga n di una derivazione se esolo se vale almeno una di queste condizioni:Inoltre,• ϕ = ψ,• ✷(ϕ ⊃ ψ) e ✷(ψ ⊃ ϕ) sono entrambe disponibili alla riga n,• ϕ > ψ e ψ > ϕ sono entrambe disponibili alla riga n.• se, alla riga n, ϕ è equipollente a ξ e, alla riga n, ξ è equipollente a ψ, allora,alla riga n, ϕ è equipollente a ψ.Derivazioni in CS(NAT)Iniziamo mostrando chep > q, q > r, p ⊢ CS(NAT )rLa derivazione fa uso della regola di eliminazione di >:1.2.3.4.5.6.p > qq > rpProva: rqrPPPDD>E, 1, 3>E, 2, 5Deriviamo ora✷(p ⊃ q) ⊢ CS(NAT ) p > qLa derivazione fa uso della regola di inscatolamento e cancellazione per > (ilmetodo di prova per >I) e importa per reiterazione un enunciato della forma ✷χ:2

1.2.3.4.5.6.✷(p ⊃ q)Prova: p > qp✷(p ⊃ q)p ⊃ qqP>IAssR, 1✷E, 4⊃E, 3, 5Questa derivazione è un esempio di un fatto più generale che vale in CS: un condizionalestretto ✷(ϕ ⊃ ψ) implica il condizionale corrispondente ϕ > ψ.Nota che, a sua volta, è possibile mostrare che un condizionale ϕ > ψ implicail condizionale materiale corrispondente ϕ ⊃ ψ. Un esempio di questo fatto èdato dalla derivazione seguente:p > q ⊢ CS(NAT ) p ⊃ q1.2.3.4.p > qProva: p ⊃ qpqP⊃IAss>E, 1, 3Vediamo ora qualche esempio di derivazione che importa dei condizionali dellaforma ϕ > ψ in una prova per >I:p > q ⊢ CS(NAT ) p > (p ∧ q)1.2.3.4.5.6.p > qProva: p > (p ∧ q)pp > qqp ∧ qP>IAssR, 1>E, 3, 4∧I, 3, 53

Nota che, nella derivazione precedente, il condizionale p > q può essere importatoper reiterazione alla riga 4 nella prova per >I in quanto l’antecedente dip > q è equipollente all’assunzione p della prova per >I (è equipollenteperché identico).Considera ora la derivazione seguente:p > q, (p ∧ q) > r ⊢ CS(NAT ) p > r1.2.3.4.5.6.7.8.9.p > q(p ∧ q) > rProva: p > rpp > qqp ∧ q(p ∧ q) > rrPP>IAssR, 1>E, 4, 5∧I, 4, 6R, 2>E, 7, 8Nota che, nella derivazione precedente, il condizionale p > q può essere importatoper reiterazione alla riga 5 nella prova per >I in quanto l’antecedente dip > q è identico all’assunzione p della prova per >I e quindi è equipollenteall’assunzione. Invece, il condizionale (p ∧ q) > r può essere importato per reiterazionealla riga 8 in quanto il suo antecedente è identico, e quindi equipollente,alla congiunzione p∧q di formule disponibili nella prova in cui l’assunzione pè uno dei congiunti (nella regola di inscatolamento e cancellazione per >I, questaè una delle condizioni che consentono di importare un condizionale ϕ > ψ inuna prova per >I).Primo esercizioOk, ora prosegui tu. Prova le affermazioni seguenti:(1) a. ⊢ CS(NAT ) (p > (q ∨ r)) ⊃ ((p > q) ∨ (p > r))b. ⊢ CS(NAT ) p ⊃ ((p > q) ≡ q)c. ⊢ CS(NAT ) (p∧ ∼ q) ⊃ (p >∼ q)d. p∧ ∼ r, (p ∧ q) > r ⊢ CS(NAT ) p >∼ qe. p > (q ∨ r), (p ∧ q) > s, (p ∧ r) > t, s > p, s > t ⊢ CS(NAT ) p > tf. ⊢ CS(NAT ) (p > (q ⊃ r)) ⊃ ((p >∼ q) ∨ (p > r))4

g. ✷(p ⊃ q), ∼ (p > r) ⊢ CS(NAT ) (q >∼ p) ∨ (q >∼ r)h. ⊢ CS(NAT ) (p > q) ∨ (p >∼ q) (terzo escluso condizionale)i. p > q, q > p, q > r ⊢ CS(NAT ) p > rj. p > q, ∼ ✸q ⊢ CS(NAT ) ∼ ✸pk. ∼q, p > q ⊢ CS(NAT ) ∼p5