Esercizi sulle derivazioni in logica dei condizionali (Stalnaker)

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Nota che, nella derivazione precedente, il condizionale p > q può essere importatoper reiterazione alla riga 4 nella prova per >I in quanto l’antecedente dip > q è equipollente all’assunzione p della prova per >I (è equipollenteperché identico).Considera ora la derivazione seguente:p > q, (p ∧ q) > r ⊢ CS(NAT ) p > r1.2.3.4.5.6.7.8.9.p > q(p ∧ q) > rProva: p > rpp > qqp ∧ q(p ∧ q) > rrPP>IAssR, 1>E, 4, 5∧I, 4, 6R, 2>E, 7, 8Nota che, nella derivazione precedente, il condizionale p > q può essere importatoper reiterazione alla riga 5 nella prova per >I in quanto l’antecedente dip > q è identico all’assunzione p della prova per >I e quindi è equipollenteall’assunzione. Invece, il condizionale (p ∧ q) > r può essere importato per reiterazionealla riga 8 in quanto il suo antecedente è identico, e quindi equipollente,alla congiunzione p∧q di formule disponibili nella prova in cui l’assunzione pè uno dei congiunti (nella regola di inscatolamento e cancellazione per >I, questaè una delle condizioni che consentono di importare un condizionale ϕ > ψ inuna prova per >I).Primo esercizioOk, ora prosegui tu. Prova le affermazioni seguenti:(1) a. ⊢ CS(NAT ) (p > (q ∨ r)) ⊃ ((p > q) ∨ (p > r))b. ⊢ CS(NAT ) p ⊃ ((p > q) ≡ q)c. ⊢ CS(NAT ) (p∧ ∼ q) ⊃ (p >∼ q)d. p∧ ∼ r, (p ∧ q) > r ⊢ CS(NAT ) p >∼ qe. p > (q ∨ r), (p ∧ q) > s, (p ∧ r) > t, s > p, s > t ⊢ CS(NAT ) p > tf. ⊢ CS(NAT ) (p > (q ⊃ r)) ⊃ ((p >∼ q) ∨ (p > r))4
g. ✷(p ⊃ q), ∼ (p > r) ⊢ CS(NAT ) (q >∼ p) ∨ (q >∼ r)h. ⊢ CS(NAT ) (p > q) ∨ (p >∼ q) (terzo escluso condizionale)i. p > q, q > p, q > r ⊢ CS(NAT ) p > rj. p > q, ∼ ✸q ⊢ CS(NAT ) ∼ ✸pk. ∼q, p > q ⊢ CS(NAT ) ∼p5
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