Spettro Compton Inverso

Spettro Compton:limite di ThomsonCome al solito, lavoriamo nel sistema di quiete dell'elettrone S'In questo riferimento lo spettro differenziale e'Il fascio di fotoni, isotropo nel laboratorio S, diventa un fascio collimato in S'θe-S'∼1/γe-,vPoniamoBisogna determinare la distribuzione dn' dei fotoni in S'dove θ e' l'angolo fra la direzione dell'elettrone e del fotone in SLa densita' di volume dei fotoni in S puo' essere scritta comeLe dimensioni di n sono dN/dε dVdΩDato che e' la distribuzione isotropa, la probabilita' di trovare un fotone in una certadirezione θ, φ e' costante

Spettro Compton:limite di ThomsonNel limite URequindieDi conseguenzaIntroduciamo la funzione a gradinoE' la densita' di volume per unita' di energia ε' di fotoni in S'

Spettro Compton:limite di Thomsonε 1'La sezione d'urto differenziale delprocesso in S' e' quello di Thomsonθ 1'eε'L'intensita' dovuta ai dn' (per unita'di energia ε') fotoni incidentisull'elettrone in S' e'quindi il # di fotoni diffusi per unita' di tempo nell'angolo solido dΩ 1' e PERUNITA' DI ENERGIA INCIDENTE DOPO lo scattering e'

Spettro Compton:limite di Thomson►Abbiamo calcolato dn' in termini di dn►Sappiamo che la sezione d'urto e' quella ThomsonDobbiamo trovare la distribuzione di energia dei fotoni diffusi nel laboratorioIn S'Ma dN=dN' dato che il # totale dei fotoni e' invariante e

Spettro Compton:limite di ThomsonPer ottenere t ed ε 1nel lab, noti t' e ε 1'in S' devo applicare le trasformazioni diLorentz inverse che ottengo ponendo β -β e scambiando gli indici(supponiamo l'e- nell'originez=0)Prima di procedere all'integrazione, facciamo un cambiamento di variabileCon 0· η 1'· 2ma

Spettro Compton:limite di ThomsonPrendiamo la sezione d'urto Thomson in S'sostituiscoLo spettro dei fotoni emessi al sec e'Sostituisco dn' dato da

Spettro Compton:limite di ThomsonDove i limiti di S sono riscritti in termini dei limiti cinematici su ε'eL'integrale su ε' e' immediato grazie alla δPrima pero' ε 1' deve essere eliminato, esprimendolo in funzione delle variabili diintegrazioneε 1' puo' essere espresso in funzione di ε 1tramite la relazione (di Lorentz)DaSegue subito che

Spettro Compton:limite di ThomsonL'ultima cosa da fare prima dell'integrazione su η 1' e' di esprimere i limiti di S infunzione dei valori max e min di η 1'Nel limite di Thomsonquindi

Spettro Compton:limite di ThomsonCosi' l'effetto della funzione S e' quello di selezionare i limiti di integrazione su η 1'dato che S=0 al di fuori dell'intervallo fra min e maxDevo confrontare i limiti cinematici con quelli intrinseci della variabile η 1'Infatti per definizione 0· η 1'· 2 e' l'intervallo dei valori permessiQuindi il limite inferiore e'Quello superioreQualunque sia ε 1

Spettro Compton:limite di ThomsonScelta dei limiti di integrazioneLimite inferiore LDato che ε 1ed ε sono ≥ 0 per definizioneLimite superiore UBisogna tenere conto che la relazione deve valere per ogni possibile valoredelle energie iniziale e finale e contemporaneamente rispettare i limiti dicinematici di η 1' (0< η 1'

Spettro Compton:limite di Thomson

Spettro Compton:limite di ThomsonScrivendolo in termini di σ T[# fotoni/s -1 E -1 ]E' il numero di fotoni emessi per unita' di tempo e di energia finale da scattering suSINGOLO elettrone da un segmento dn di popolazione di fotoni con una densita' divolume dn=n(ε)dε e con energia fra ε e ε +dεIn termini di frequenzabasta sostituire ε = ~ωE tenere conto che[# fotoni/s -1 Hz -1 ]

Spettro Compton:limite di Thomson[# fotoni/s -1 E -1 ]La potenza totale emessa si ottiene moltiplicando il # di fotoni al secondo in dε 1,dN 1,conl'energia di ciascun fotonedN 1[W]La potenza per unita' di frequenza emessa si ottiene moltiplicando il # di fotoni alsecondo in dω 1per l'energia di ciascun fotone[WHz -1 ]Questa e' la potenza spettrale diffusa da una popolazione di fotoni mono-energetici(n(ω)dω) incidenti su un singolo elettrone ultrarelativistico

Spettro Compton:limite di ThomsondP/dE (dP/dω)E, ωLo spettro ha una struttura ben definita e caratteristica

Spettro Compton:limite di ThomsonLa cinematica dell'urto fissa la max energia che il fotone puo' acquistareε 1¿γ mc 2Cosi il max si ha quando cosθ = -1 ecosθ 1= +1 (collisione head-on)θ e θ' sono gli angolidell'elettrone rispettoalla linea di volo delfotone incidente primae dopo l'urtoNel limite UR (γÀ 1)

Spettro Compton:limite di ThomsonLa max energia si puo' ottenere anche direttamente dalle trasformazioni di LorentzNota l'energia dopo lo scattering in S', quella nel laboratorio e' data daNel limite di thomson ε 1' ≈ ε' maMax quando x=x 1'=-1ω 1

Spettro Compton:limite di ThomsonRiscrivendo dP/dω 1in funzione della frazione di frequenza maxSi ottieneSi vede che quandoIl termine in parentesi quadra [...] e' ≈ 1Lo spettro di frequenza tende azero come ω 1a basse frequenze1 2 3 4ω 1/γ 2 ω

Spettro Compton:limite di ThomsonLo spettro si deve annullare alla max frequenza di emissioneOKIl max dell'emissione di potenza si trova a(dP/dω 1) max@

Spettro ComptonIl risultato ottenuto per il # di fotoni diffusi puo' essereespresso completamente in termini della variabile zFrazionedell'energiarispetto a quellamax

Spettro ComptonLa funzione non ha picchi ed ha il max az=0 sono favoriti scattering in cui ilfotone guadagna (i.e. la particella perde)piccole energie rispetto a quella max,mentre sono poco probabili urti in cui ilfotone guadagna una grossa frazionedell'energia dell'elettrone, i.e. la perdita dienergia puo' essere pensata come ad unasuccessione di molte piccole perditeLa distribuzione dei fotoni diffusi e'determinata interamente dalla funzioneSi noti cheCosi' che

Spettro Compton: Caso generalePer la derivazione dello spettro dei fotoni diffusi da un elettrone di alta energia apartire da un segmento di distribuzione di fotoni n(E)dE nel caso generale e inquello di Klein-Nishina si segue lo stesso metodo seguito per il limite di ThomsonLa differenza essenziale e' che occorre usare la formula esatta della sezione d'urtototalex=~ω/mc 2Come si puo' immaginare i calcoli sono leggermente complessi...

Caso generaleNel caso generale, il rinculo dell'elettrone diventa importante poiche' e' possibile chein un singolo urto esso perda una frazione rilevante della sua energiaE' conveniente esprimere l'energia del fotone diffuso in unita' della energia inizialedell'elettroneDopo "un po'" di calcoli si ottiene lo spettro per singolo elettrone(1)ConIl parametro Γ determina il dominio della diffusione: il limite di Thomson corrispondealla condizione ε' ¿ mc 2 Γ ε= γε/mc 2 ¿ 1Inoltre, nel limite di Thomson E 1= ε 1/γmc 2 ¿ 1Il tal caso, il termine (1) diventa trascurabile e lo spettro si riduce a quello precedente

Caso generaleL'intervallo dei valori di E 1dipende solo dai limiti cinematici dell'urto ComptonIl valore max si ha per urti head-on(θ = π, θ 1= 0 α = π)Il valore min si ha per urti head-off (θ=0, θ 1=0, α=π)Nel caso in cui ε¿ mc 2 γConL'intervallo corrispondente di q e'

Caso generaleCome nel caso del limite Thomson, possiamo esprimere l'energie dei fotoni diffusi infunzione della frazione di energie rispetto alla max ammessaLa distribuzione spettrale dei fotoni e' contenutanel termine in parentesi quadraIl parametro Γ εdetermina la forma dello spettroPer tutti i valori di Γ ε, la distribuzione F siannulla al valore max dell'energia, F(1,Γ ε)=0normalizzataPer Γ ε¿ 1 la distribuzione approssima quellaThomson, piccata a bassi valori di ENel caso di Klein-Nishina, Γ εÀ 1, la distribuzioneha un max sempre piu' pronunciato in prossimita'del limite superiore

Caso generaleIn questo limite, GRANDI perdite di energia inSINGOLI urti Compton sono dominanti, datoche la probabilita' di avere urti con E 1≈ (E 1) maxe' À di quella di urti a bassa energia trasferitaInfatti la forma asintotica della distribuzione Fper Γ εÀ1 e'Nel limite ΓÀ1, q¿ 1 tranne quando Ȇ 1∼ 1la distribuzione assume la forma

Klein-Nishina : potenza totaleNel caso del limite di Thomson, e' stata ricavata una semplice espressione per lapotenza totale irraggiataNel caso generale, la potenza totale si calcola a partire daCon dN/dt/dε 1dato daIn genere ε puo' essere trascurata rispetto a ε 1in tutti i casi di interesse, ma in ognicaso il calcolo e' estremamente laborioso...non lo facciamo

Klein-Nishina estremoTuttavia nel caso di Kein-Nishina estremo, ad alte energie, quandox=ε/mc 2Si puo' usare la distribuzionePer la distribuzione dN/dtdε 1e integrare su ε 1La potenza dipende solo logaritmicamente dall'energia dell'elettrone

Klein-Nishina estremo: gas dicorpo neroPer un SINGOLO elettrone che attraversa unadistribuzione di fotoni di corpo nerosi puo' calcolare lo spettro totale risultanteDove C E=0.5772 e' la costante di Eulero e

Klein-Nishina estremo:confronto con ThomsonLa potenza totale nel caso KN dipende da T 2 del gas di fotoni attraversato e solologaritmicamente dall'energia dell'elettroneNel caso del limite di Thomson in cui la potenza trasferita e'dato che ci riferiamo al segmento dn(ε)dεPer un singolo elettrone attraverso un gas di fotoni all'equilibrio alla temperatura TNel caso di una distribuzione di corpo neroa = π 4 k 4 /15(~ c) 3[Em -3 K -4]Nel limite di Thomson, la potenza dipende da T 4e da E 2 (γ = E/mc 2 )

Klein-Nishina estremo: gas dicorpo neroC'e' un'altra differenza importantetra la potenza trasferita nel casoKN e quella nel limite diThomson:in quest'ultimo caso in ciascunacollisione Compton l'elettroneperde una frazione piccola dellasua energia iniziale,Nel caso KN, cioe' ad energiemolto alte, l'elettrone perdeenergia in quantita' discrete chepossono essere una frazioneconsistente della sua energiainizialeL'energia di un elettrone in funzione del tempo tmostra come ad alte energie l'elettrone perde energiain quantita' discrete che si riducono fino a diventarecontinue ad energie piu' basse

Spettro Compton totalePer ottenere lo spettro fisico della radiazione Compton dN 1/dtdε 1, occorre che lospettro prodotto da un segmento di popolazione di fotoni n(ε)dε sia integrato sullospettro di elettroni e dei fotoni inizialiData una distribuzione di elettroniLo spettro Compton e'La forma della distribuzione dN se/dtdε 1dipende dal regime dello scattering, i.e.da Γ eIl caso interessante e' quello di una distribuzione di elettronicon una legge di potenza

Spettro Compton totale: ThomsonNel caso del limite di Thomson in cui lo spettro di singolo elettrone su dn fotoni e'Nella regione di energie dei fotoni tali che:A) lontane dagli end-points dello spettro ComptonB) energia > γ oSi ottiene una legge di potenza in ε 1S(p)G(p)La caratteristica saliente e' che l'indice spettrale della distribuzione di fotoni dipendein maniera cruciale da quello dgli elettroniMisurando l'esponente di ε 1, i.e. La pendenza dello spettro, si possono ottenereinformazioni sulla distribuzione di particelle che emettono

Spettro Compton totale: ThomsonL'intensita', i.e. la normalizzazione dello spettro fisico OSSERVATO, dipende dalladistribuzione iniziale dei fotoniMa l'indice spettrale dipende SOLO dalla distribuzione energetica degli elettroniNel caso di una distribuzione di corpo nero dei fotoni lo spettro osservato e'L'espressione e' esatta finche' ε 1e' LONTANO dagli endpointsdella distribuzione: il range di validita' dell'espressionee' infattiOltre alla condizione di Thomson

Spettro Compton totale: KNIl calcolo dello spettro nel caso di fotoni energetici, per cui Γ eÀ 1, e' molto complicatoLo spettro dei fotoni Compton (sempre lontano dagli end-points dello spettro) nelcaso di KN, i.e. Di fotoni molto energetici, e'Nel caso di distribuzione di corpo nero dei fotoniL'indice spettrale riflette ancora la distribuzioneenergetica degli elettroniLa leggesi applica quando

Spettro Compton totalelog(dN/dtdε 1)∝ ε 1-(p+1)/2Lo spettro dei fotoni diffusi da una stessapopolazione di elettroni cambia pendenza alcrescere dell'energia: ad alte energie lo spettro ha una pendenza piu'grande a causa della minore efficienza deglielettroni come centri di scattering (σ KN∼ 1/ε 1∝ ε 1-(p+1)ε 1