Campo elettrostatico & Sistemi di conduttori Fisica II a.a. 2003-2004 ...

Campo elettrostatico&Sistemi di conduttoriFisica II a.a. 2003-2004Lezione 29 Aprile 2004B.Bertucci 1Abbiamo calcolato, applicando la legge di Gauss, il campo ed ilpotenziale generati da una carica q distribuita uniformementesulla superficie di una sfera di raggio R :Per r < Ril campo è nulloil potenziale è costantePer r ≥ Ril campo ed il potenzialesono quelli generati dauna carica puntiformeq = 4πR 2 σposta nel centro dellasfera.Questo tipo di configurazione è analoga a quella che si trova neimateriali conduttori in condizioni di equilibrio elettrostatico..B.Bertucci 2

Cosa intendiamo per conduttore ?Un corpo indeformabile nel quale vi sono cariche – elettroni – liberi dimuoversi : la presenza di un campo elettrico E provoca un moto ordinatodegli elettroni dando vita ad una corrente elettrica. In assenza di campoelettrico, le cariche si muoveranno disordinatamente a livello microscopico( modello di gas di elettroni liberi) ma non ci sarà movimeno macroscopicodi cariche.Quali le condizioni di equilibrio in un conduttore ?All’interno di un conduttore : E = 0 altrimenti le cariche si muoverebbero.D’altra parte il fatto che all’interno di un corpo il campo sia ≡ 0 implicache Φ (E) = 0 attraverso qualunque superficie chiusa al suo interno.Attraverso la legge di Gauss questo porta ad escludere la presenza di caricaall’interno del conduttore : il conduttore o è neutro o qualunque eccesso di caricasi dispone lungo la sua superficie !!B.Bertucci 3E ≡ 0è possibile distribuire la carica solo sulla superficie(N.B. è conseguenza della legge di Gauss ....)Due qualsivoglia punti del conduttore sono allo stessopotenziale : la relazione è comunque vera se scegliamouno od entrambi i punti lungo la superficie :la superficie di un conduttore è una superficie equipotenzialeLe linee del campo sono dirette secondo il gradiente delpotenziale : ma il gradiente è sempre ortogonale allesuperfici equipotenzialiil campo in prossimità della superficie carica di un conduttoresarà sempre ortogonale ad essa qualunque sia la forma della superficieLa sua intensità la calcoliamo usando la legge di Gauss.B.Bertucci 4

dΣ+ ++ +E=0Prendiamo un volumetto a cui applicare la leggedi Gauss a cavallo della superficie carica :Teorema di CoulombIn prossimità della superficie di un conduttore il campo è normale allasuperficie, e la sua intensità è direttamente proporzionale alla densitàsuperficiale di carica in quel punto.in un corpo sferico un eccesso di carica Q tende a disporsi in manierauniforme : il campo è uniforme lungo tutta la superficieper un corpo generico un eccesso di carica Q tende ad addensarsidove il raggio di curvatura della superficie è minore, in prossimità dellepunte si raggiunge la massima intensità del campo E.B.Bertucci 5Cosa accade se colleghiamo più corpi conduttori, ciascuno caratterizzato dauna carica q i ?q 3q’ 3 V=costV 3V q q’1 11q q’V 222In condizioni di equilibrio la superficie del sistema deve essereequipotenziale : le cariche si ridistribuiscono in maniera da mantenereV=cost .Prendiamo ad esempio due sfere conduttrici di raggio R1 ed R2 , le poniamoa contatto e ci chiediamo come si distribuisce la carica presenteQ = q 1 + q 2 .=B.Bertucci 6

Cosa accade quando un conduttore viene immerso in una regionedove è presente un campo esterno E ?le cariche al suo interno, e l’eventuale eccesso di carica sulla suasuperficie, si muoveranno per cercare di annullare il campo all’internodel conduttore e riportarlo all’equilibrio elettrostatico--+- +++- - - ++E=-σ /ε o- +- +- +- +- +-+-σ +σσ i = σle cariche del conduttore si ridistribuiscono sulla sua superficie in manierada far nascere un campo di induzione E i che sia uguale ed opposto al campoesterno E i = - E . La somma totale della carica sul conduttore rimane invariata.E’ il fenomeno dell’ induzione elettrostatica e le cariche cheappaiono sulla superficie del conduttore sono indotteB.Bertucci 7Consideriamo un conduttore carico con una cavità interna :Potranno esserci cariche accumulate sulla superficie interna del conduttore,ovvero quella che racchiude la cavità?+NO+ + + + + + ++++Pur essendoci la cavità la carica continua a distribuirsisempre e comunque sulla superficie esterna del conduttoreSi dimostra per assurdo :a) Se fosse q ≠ 0 nella cavità, il flusso del campoattraverso una superficie che contenesse la cavitàsarebbe anch’esso ≠ 0, in contrasto con il fatto cheE=0 nel conduttore. VIOLA LA LEGGE DI GAUSSb) Se fosse q=0 ma ci fossero due distribuzioni dicarica q 1 = - q 2 separate ci sarebbe un campo nonnullo entro la cavità. Ma allora la differenza di potenzialetra due punti dipenderebbe dal percorso di integrazioneper ∫ E · ds che sarebbe ≠ 0 entro la cavità (C 1 )ed = 0 nelconduttore (C 2 ).VIOLA IL FATTO CHE IL CAMPO E’ CONSERVATIVO.+ +++++ ++++++++ + + +++ + + B+ +--- + +++++ +++++ C 1C 2++++++A + + +++ + + +B.Bertucci 8

Dunque nella cavità di un conduttore, sia esso carico o scarico,il campo è necessariamente nullo ed il potenziale costante, pari a quellodella parete della cavità.Cosa accade se mettiamo un conduttore carico C 1 all’interno della cavità diun conduttore neutro, C 2 ,senza mettere i due corpi in contatto diretto?Una carica pari a quella di C 1 si ritrova sulla superficie esterna di C 2 , mentre sulla parete della cavità compare una carica uguale e di segno opposto a quella di C 1Fenomeno di induzione completa : tutte le linee di campo che partono da C 1si chiudono su C 2 (o viceversa) .B.Bertucci 9DA NOTARE :a) se anche il campo internamente alla cavità è determinato dalla formadi C 1 e della geometria del sistema corpo + cavità , la distribuzione dicarica sulla superficie di C 2 dipende solo da q.b) se immergiamo C 2 in un campo esterno, andrà in induzione, la caricasuperficiale si riaggiusterà ma C 1 non sarà in grado di notare alcunadifferenza.Il campo non può penetrare all’interno del conduttore : C 2 fa da schermoelettrostatico e C 1 non risente dell’azione di campi esterni.B.Bertucci 10

Applicazione comune dell’induzione completa : il condensatoreSfera cava contenente una sfera con carica +q. Il sistema è in induzionecompleta per cui c’è un campo all’interno della cavità.Carica sfera interna : +qSfera interna : R = R 1Sfera cava esterna : R 2 < R 3Il campo all’interno della cavità è radiale elo ricaviamo semplicemente mediante la legge di Gauss :21-q3+q+qLa differenza di potenziale tra i conduttori è :Il rapporto tra carica e d.d.p dipende solo dalla geometria del sistema :viene chiamato CAPACITA’B.Bertucci 11La capacità termica di un corpo misurava quanto calore fosse necessarioper farne variare la temperatura la capacità di un condensatore indicaquanta carica è necessaria per farne variare il potenziale tra le armatureQ= C (V 1 -V 2 )V 1 -V 2 = Q/CC=Q/(V 1 -V 2 )Dimensioni fisiche : [C] =[Q][V] -1Unità di misura : [farad ] = [C][V] -1Ma più comunemente :millifarad mF = 10 -3 Fmicrofarad µ F = 10 -6 Fnanofarad nF = 10 -9 Fpicofarad pF = 10 -12 FB.Bertucci 12

Calcolo di capacità per diversi tipi di condensatori :Condensatore sferico isolato :Per un condensatore sferico abbiamo appena visto:21-q+q+qSe R 2 ∞Se prendiamo una sfera conduttrice e la carichiamo con una carica qil suo potenziale èB.Bertucci 13Un conduttore isolato viene visto come un condensatore con un’armaturaall’infinito in effetti la presenza della seconda armatura ha l’effetto diaumentare la capacità ....Se la distanza tra le due armature diventa piccola rispetto ai raggi : h=R 2 -R 1

Condensatore piano :+-ΣhhCampo e potenziale per un doppio strato sono facilmente calcolabili: In realtà il campo non è uniforme vicino ai bordi del condensatore.B.Bertucci 15Collegando più conduttori insieme un qualunque eccessodi carica q si distribuisce sui vari conduttori in modo taleche l’intero sistema sia allo stesso potenzialeAbbiamo preso come esempio due sfere conduttrici di raggio R 1 ed R 2 , postea contatto e calcolato come si distribuisse la carica presenteQ = q 1 + q 2 .=La capacità delle sfere prese singolarmente : ,La capacità del sistema delle due sfere ?B.Bertucci 16

La domanda più generale è :cosa accade se colleghiamo tra loro più condensatori ?in quante maniere li possiamo collegare ?Definiamo un simbolo grafico per il condensatore ( preso a prestito dalcondensatore piano ) :armaturecollegamenti conduttivi conaltri elementi di un circuito elettricoCollegamento in parallelo: le armature dei condensatoricollegate in coppia. Il sistema così formato è quello di dueconduttori tra cui si esercita induzione completaCollegamento in serie : una sola armatura di uncondensatore è collegata ad una armatura dell’altro.Il sistema così formato è quello di tre conduttori1 21 2 3B.Bertucci 17Collegamento in parallelo : vogliamo esprimere la capacità totale del sistemain funzione delle capacità C1 e C2 dei singoli condensatoriLa capacità del sistema sarà sempre espressa come rapporto tra la caricatotale di induzione e la differenza di potenziale corrispondenteADove la carica totale sarà la somma di quelle presentialle armature dei due condensatori : Q = Q 1 + Q 2Se consideriamo i due condensatori separatamente, la differenza di potenzialetra le armature sarà legata alla carica immagazzinata dalle relazioni :Ma: ∆ V 1 = ∆ V 2 = V A -V BQ 1 = C 1 ∆ V 1 , Q 2 = C 2 ∆ V 2+Q 1 +Q 2C 1 C 2-Q 1 -Q 2BB.Bertucci 18

A+Q 1 +Q 2C 1 C 2AC = C 1+ C 2+ Q = Q 1 + Q 2-Q 1 -Q 2 -Q = -Q1 -Q 2BBUn sistema di due o più condensatori in parallelo è del tutto equivalentead un unico condensatore con capacità pari alla somma delle capacità deisingoli condensatori.Nel caso delle due sfere conduttrici avevamo trovato C=C 1 + C 2in effetti il collegamento poteva essere considerato in parallelo, vistoche ciascuna sfera presa singolarmente è l’armatura di un condensatorecon la seconda armatura all’∞ .B.Bertucci 19Collegamento in serie : vogliamo esprimere la capacità totale del sistemain funzione delle capacità C 1 e C 2 dei singoli condensatoriManteniamo il potenziale in B fisso, per esempiocollegandolo a terra. Se immettiamo una carica +Qsull’armatura del primo condensatore, per induzionecompare -Q sulla seconda armatura. La d.d.p. aicapi del primo condensatore sarà :V(A)-V(D) = Q / C 1C 1 C 2A D B• • •+ Q -Q + Q -QCompare anche una carica +Q sull’armatura del secondo condensatore, perchèil conduttore intermedio deve comunque essere neutro. A questa caricacorrisponderà una carica –Q sull’altra armatura del secondo condensatore, eavremo :V(D)-V(B) = Q / C 2In definitiva :La serie di due o più condensatori ha capacità C il cuiinverso è la somma degli inversi delle capacità dei singolicondensatori.C < C 1 , C 2B.Bertucci 20