Equazioni di Maxwell & Onde elettromagnetiche Fisica II a.a. 2003 ...

Equazioni di Maxwell
&
Onde elettromagnetiche
Fisica II a.a. 2003-2004
Lezione 11 Giugno 2004
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Nelle equazioni di Maxwell sono racchiuse le proprietà dei campi
elettrico e magnetico che abbiamo visto finora:
nel vuoto , in presenza di cariche e correnti :
Forma integrale
Forma differenziale
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Riprendiamo il circuito RC durante la fase di carica del condensatore:
All’esterno del condensatore circola una corrente
descritta dal moto di cariche microscopiche:
All’interno del condensatore circola una corrente “di spostamento” descritta
dalla presenza di un campo elettrico variabile nel tempo:
La legge di ampere :
una volta scelta la linea chiusa su cui calcolare
la circuitazione di B, dobbiamo definire quale sia
la superficie arbitraria attraverso cui calcolare la
corrente. Il risultato non deve dipendere dalla
superficie b)
a)
P
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Le equazioni di Maxwell sono dunque:
nel vuoto , in presenza di cariche e correnti :
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Connessioni tra B ed E :
La forza agente su una particella carica in presenza di un campo elettrico e/o
magnetico:
dalla relatività galileiana ci aspettiamo che in due sistemi inerziali in
moto relativo rettilineo uniforme la forza sia la stessa , ma la velocità della
particella è diversa : ogni qualvolta cambiamo riferimento un campo
elettrico può originare un campo magnetico e viceversa.
un campo magnetico variabile nel tempo è origine di un campo elettrico
un campo elettrico variabile nel tempo è origine di un campo magnetico
sorgenti del campo elettrico (ρ) e del campo magnetico ( j ) sono legate
dalla legge di conservazione della carica
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La conservazione della carica l’abbiamo già incontrata quando abbiamo
definito una corrente elettrica indipendente dalla sezione di conduttore
in cui veniva misurata
In generale possiamo esprimerla con il fatto che la variazione di carica elettrica
presente in una regione di spazio è pari alla corrente elettrica che fluisce
attraverso la superficie che racchiude la regione considerata.
esprimendo la carica in funzione della densità ρ all’interno
del volume considerato :
τ
Q(t)
Σ
ed applicando al flusso di J il teorema della divergenza
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Allo stesso risultato si arriva partendo direttamente dalle equazioni di Maxwell :
applichiamo la divergenza
è una proprietà generale :
la divergenza del rotore
di un vettore è identicamente
nulla
Il discorso può essere invertito : assumendo la continuità della carica,
possiamo vedere che la legge di Gauss è contenuta nella IV relazione
di Maxwell
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Equazioni di Maxwell nello spazio vuoto :
in assenza di cariche o correnti
La soluzione richiede campo elettrico e magnetico variabili nel tempo
un campo elettromagnetico che si propaga nello spazio ...
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Quali le caratteristiche fondamentali del campo e.m.
è presente in regioni di spazio prive di sorgenti: per molti aspetti rappresenta
un’entità fisica definita, trattata ed interpretata indipendentemente dalle
sorgenti che l’hanno generata
si propagaga nella forma di onde, senza la necessità di un supporto
materiale. La velocità delle onde e.m. nel vuoto è una costante fisica
fondamentale, indipendente dal sistema di riferimento o dalla frequenza della
radiazione.
porta con sè una quantità di moto, un momento angolare ed un’energia ≠ 0
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Relazione tra le diverse equazioni di Maxwell & equazione delle onde e.m.
In un mezzo omogeneo ed in assenza di cariche/correnti sorgenti le
equazioni di Maxwell si scrivono :
I )
II )
III ) IV )
a quante equazioni scalari corrispondono
8 : infatti la I) e la II) rappresentano ciascuna una singola equazione (la
divergenza di un vettore è uno scalare)
la III) e la IV) essendo delle relazioni vettoriali rappresentano ciascuna 3
equazioni nelle 3 componenti dei vettori B ed E.
a quante equazioni indipendenti corrispondono
6 : infatti la I) e la II) possono essere ricavate rispettivamente a partire dalla IV)
e dalla III) applicando l’operatore divergenza.
Come descrivere – separatamente – i comportamenti nello spazio e nel tempo
dei campi E e B
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Prendiamo :
applichiamo la divergenza
Ma se la divergenza di B è costante nel tempo, lo deve essere
anche in un istante t=0 in cui non esistevano sorgenti, ed in cui B=0.
Per cui :
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Prendiamo dunque la III) e la IV) :
Equazione delle onde per il campo B
III ) IV )
ed applichiamo l’operazione di rotore alla IV ) :
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Equazione delle onde per il campo E
analogamente se applichiamo l’operazione di rotore alla III )
III ) IV )
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Sia il vettore campo elettrico che il vettore campo magnetico soddisfano
alla stessa equazione differenziale del secondo ordine alle derivate parziali :
( Ricordiamoci che abbiamo fatto esplicitamente
uso della I e della II per ricavarle
)
Il prodotto µε ha le dimensioni fisiche dell’inverso di una velocità al quadrato,
ed in effetti le soluzioni di queste equazioni sono rappresentate da “onde” che
si propagano nel mezzo con una velocità :
nel vuoto questa velocità è proprio la velocità della luce, costante fisica
fondamentale uguale in tutti i sistemi di riferimento !
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Resta da definire cosa intendiamo per onda : una perturbazione che si
propaga con una velocità ben definita, trasportando energia ed impulso senza
che vi sia un effettivo spostamento di materia.
In figura è rappresentata una perturbazione
che nel tempo ∆ t si è spostata di un tratto ∆ x
lungo l’asse delle x.
y
f(x,t)
f(x,t+∆t)
La velocità di propagazione in questo caso sarà
semplicemente : v=∆ x / ∆ t
La dipendenza della f da x e t sarà tramite la
loro combinazione lineare : ξ = x – vt
+ ∆ x
f(ξ)
f(ξ)
x
Abbiamo quindi una sorgente che produce una perturbazione nello spazio
circostante (può essere la vibrazione di una corda, la compressione di un gas
-nel nostro caso un campo e.m. – ) rappresentata a seconda dei casi da una funzione
scalare o una funzione vettoriale
: che questa perturbazione
si propaghi - ovvero si allontani dalla sorgente – è dato dal fatto che la funzione
debba avere una particolare dipendenza dal tempo e dallo spazio tale da riproporre
la stessa “forma” ad istanti successivi nella direzione di propagazione.
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La propagazione non richiede una particolare forma funzionale della
perturbazione - che potrà essere un’impulso piuttosto che una funzione
sinusoidale – quanto impone una ben precisa condizione sull’argomento
della funzione stessa.
Questo viene matematicamente espresso dal fatto che il fenomeno ondulatorio
deve essere soluzione dell’equazione delle onde :
nell’esempio visto f = f ( x,t ) per cui l’equazione si riduce a :
y
di cui la soluzione più generale ha la forma :
f(x,t+∆t)
- ∆ x
f(x,t)
propagazione + x propagazione -x
f(ξ)
f(ξ)
x
se si sostituisce la f(x,t ) nell’equazione, essa è
identicamente soddisfatta qualunque siano f 1
o f 2
.
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L’equazione delle onde non richiede una specifica funzione f , ma è
particolarmente interessante il caso in cui la f sia una funzione periodica del
suo argomento, f(ξ)=f(ξ+Ξ) , ad esempio sia rappresentata da una sinusoide.
Il caso di un’onda sinusoidale è particolarmente significativo dato che una
qualunque funzione può essere vista come la sovrapposizione di una serie di
funzioni sinusoidali:
Per onde sinusoidali sarà dunque f Asen( ) , f Acos( )
la dipendenza da x e t dovrà essere secondo la combinazione ξ = x – vt
ξ = x + vt
dovendo essere l’argomento adimensionale – ovvero espresso in radianti –
otterremo come espressione generale per un onda sinusoidale :
progressiva f(x,t) = A sen k(x-vt)
regressiva f(x,t) = A sen k(x+vt)
dove il numero d’onda k – ha le dimensioni [angolo]/[lunghezza]
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E’ da notare come la periodicità in tempo del segnale alla sorgente si rifletta
in una periodicità nello spazio del segnale che si propaga :
Prendiamo f(x,t) = A sen k(x ± vt)
f (x=0,t)
T
facciamo il grafico della nostra f(x,t) in
funzione del tempo alla posizione della
sorgente x=0 , otteniamo:
t
chiaramente il segnale alla sorgente
è una sinusoide, caratterizzata da un periodo temporale T ed è k = 2π / Tv
facciamo ora il grafico della nostra f(x,t) in
funzione della distanza dalla sorgente al
tempo t=t*, otteniamo:
f (x,t=t*)
λ
x
quello che si ottiene è comunque una sinusoide,
caratterizzata da un periodo spaziale, la lunghezza d’onda λ = 2π / k = vT
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f (x=0,t)
T
f (x,t=t*)
λ
t
x
La lunghezza d’onda rappresenta la distanza percorsa dalla perturbazione in
un periodo , in una distanza pari a 2π si possono contare k=2π/λ creste d’onda
Potremo quindi scrivere indifferentemente la nostra onda sinusoidale come :
date le relazioni : ;
N.B. Il periodo T , ovvero la pulsazione ω , ovvero la frequenza ν=1/T, sono
caratteristiche del processo di emissione alla sorgente.
Per un dato processo di emissione, la lunghezza d’onda dipende dalla velocità con
cui la perturbazione viaggia nel mezzo.
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L’esempio finora trattato è di una propagazione unidimensionale f = f (x,t) per
cui l’equazione delle onde si riduce a :
Questo caso è rappresentativo delle ONDE PIANE
La perturbazione ad ogni istante assume lo stesso valore in tutti
i punti del piano ortogonale alla direzione di propagazione se la direzione
è x, il piano ortogonale è (y,z). Non dipende esplicitamente né da y né da
z, quindi è costante lungo il piano.
In generale si definisce come fronte dell’onda il luogo dei punti in cui ,
ad un dato istante, la perturbazione assume lo stesso valore ovvero
in cui la fase è la stessa.
La distanza tra fronti d’onda caratterizzati dallo stesso valore della perturbazione
è un multiplo della lunghezza d’onda.
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Nel caso più generale l’equazione è tridimensionale , ma a parte la maggiore
complessità matematica, il concetto è sempre quello :
coord.
cartesiane
coord. polari sferiche
ricordando che nel caso in cui la perturbazione sia rappresentata da una
grandezza vettoriale, ciascuna delle componenti è soggetta ad una equazione
di questo tipo :
i=x,y,z
i=r,φ,θ
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Casi particolari di onde in più dimensioni
Onde sferiche : sono realizzate quando una sorgente puntiforme, o a simmetria
sferica, emetta un segnale isotropicamente in un mezzo in cui esso si propaghi
con la stessa velocità in tutte le direzioni.
La funzione che rappresenta l’onda dovrà godere essa stessa di simmetria
sferica, ovvero non potrà dipendere esplicitamente dalla direzione (θ,φ)
ma solo dalla distanza dalla sorgente :
e dell’intera espressione dell’eq.ne delle onde :
rimangono solo i termini in r,t :
ma :
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per cui l’equazione delle onde si riduce a :
r e t sono variabili
indipendenti
siamo ritornati formalmente al caso unidimensionale, la cui soluzione più
generale sarà :
ovvero :
qualunque sia la forma f della perturbazione, la sua ampiezza si attenuerà
con l’inverso della distanza dalla sorgente ( vedremo nel caso delle onde e.m. come
la dipendenza da 1/r sia legata alla conservazione dell’energia )
un’onda sinusoidale sferica sarà dunque del tipo :
a grande distanza dalla sorgente la variazione
dell’ampiezza con r può essere trascurata e
l’onda sferica può essere approssimata, in porzioni
piccole di spazio, da un onda piana.
λ
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Ritorniamo alla equazione delle onde per i campi elettrico e magnetico :
e consideriamola nell’ipotesi di onda piana che si propaghi lungo x :
i = x,y,z
Questa condizione applicata alle eqni di Maxwell ci permetterà di definire
delle proprietà interessanti nella propagazione dei campi :
1) i campi B ed E sono ortogonali alla direzione di propagazione : le onde
e.m. sono puramente trasversali
2) i campi B ed E sono ortogonali tra loro, ed il rapporto tra le loro ampiezze
è costante e pari alla velocità di propagazione dell’onda nel mezzo.
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1) i campi B ed E sono ortogonali alla direzione di propagazione : le onde e.m. sono
puramente trasversali
I ) II )
i = x,y,z
III ) IV )
= 0 = 0
= 0 = 0
Ma una componente costante del campo elettrico / magnetico può essere solo
legata ad una sorgente costante (cariche in quiete per il campo E, corrente
stazionaria per il campo B ) che abbiamo esplicitamente escluso. Quindi
la costante E x
=B x
=0.
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2) i campi B ed E sono ortogonali tra loro, ed il rapporto tra le loro
ampiezze è costante e pari alla velocità di propagazione dell’onda nel mezzo.
I ) II )
i = x,y,z
III ) IV )
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III a )
III b )
IV a )
IV b )
E’ facile vedere che le diverse componenti dei campi E e B devono soddisfare
all’equazione delle onde, ad esempio :
per cui possiamo scrivere :
è quindi fissata la dipendenza delle componenti dei campi da x e t :
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Prendiamo ad esempio la relazione
III a )
e valutiamola per E y
=E y
(ξ), B z
=B z
(ξ)
con ξ=x ± ct
analogamente partendo dalla III b )
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Calcoliamo il modulo del campo elettrico :
Calcoliamo il prodotto scalare tra i campi E e B per vedere l’angolo formato
dalle loro direzioni :
è facile verificare che :
E
E
B
v
B
v
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Le proprietà delle onde e.m. piane sono quindi “racchiuse” nella relazione
tra campo E , B e velocità di propagazione :
Come scriviamo esplicitamente E e B nel caso di onde sinusoidali
monocromatiche in propagazione lungo l’asse x
Prendiamo il campo elettrico, il campo magnetico ne deriva di conseguenza :
Le componenti del campo hanno la stessa pulsazione, la stessa lunghezza
d’onda ma possono avere fasi diverse .
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A seconda della differenza di fase
∆= φ 2
- φ 1
distinguiamo diversi casi
∆notevoli:
z
∆ = 0, π : Onda polarizzata linearmente
E
Il vettore campo elettrico e la direzione di propagazione
dell’onda giacciono sempre sullo stesso piano
E z
θ
E y
x
y
∆ = ± π / 2 : onda polarizzata ellitticamente il vettore campo elettrico
“ruota” in senso orario o antiorario attorno alla direzione di propagazione
z
E
θ(t)
y
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Come scriviamo un’onda piana che si propaghi lungo una direzione ≠ u x
In un riferimento R’ in cui definiamo la direzione di
propagazione sappiamo già come scriverla :
z’
z
y’
Il problema si riduce a trovare la relazione tra x’ e x,y,z
ovvero nell’ effettuare una trasformazione di coordinate.
Come rappresentiamo un vettore nei sistemi R ´ O,x,y,z ed R’=O,x’,y’, z’
x
x’
y
con
; ;
; ;
Potremo quindi esprimere la generica coord. x’ come :
Nel caso del campo elettrico di un onda e.m. piana potremo quindi scrivere :
con
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Quale energia viene trasportata dall’onda
Alla presenza di un campo elettrico e di un campo magnetico abbiamo associato
una densità di energia :
l’energia portata dall’onda e.m. è quella legata ai campi che la definiscono.
In un onda piana e.m. abbiamo visto che . La velocità della radiazione
e.m. nel vuoto è c=3· 10 8 m/s : vuol dire che il campo elettrico è molto più intenso
di quello magnetico
NO : campo elettrico e campo magnetico hanno dimensioni fisiche diverse,
non ha senso confrontarne direttamente le intensità. Il confronto deve essere
sempre fatto su grandezze omogenee. Ad esempio giudichiamo sul contributo
del campo elettrico e del campo magnetico all’energia portata dall’onda.
B ed E contribuiscono in parti
uguali all’energia del campo e.m..
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Una volta stabilita la densità di energia e.m. che viaggia con l’onda :
possiamo valutare l’energia che attraversa una superficie Σ ortogonale
alla direzione di propagazione dell’onda in un tempo dt:
sarà quella contenuta in un volumetto dτ = Σ · cdt
E
cdt
la potenza che attraversa Σ :
B
Σ
possiamo definirla come il flusso di un vettore S attraverso Σ :
il modulo di S dovrà essere :
la direzione ed il verso sono dati dalla velocità di propagazione
Sarà dunque :
S è il vettore di Poynting : il suo modulo
rappresenta l’energia e.m. che fluisce per
unità di tempo attraverso l’ unità di superficie
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Se prendiamo un’onda monocromatica polarizzata linearmente:
il vettore di Poynting :
avrà modulo:
e verso lungo la direzione di propagazione dell’onda
Le frequenze delle onde e.m. variano su una scala di ∼ 20 ordini di grandezza,
a partire da 10 -3 Hz , il visibile è » 10 15 Hz : sperimentalmente non è dunque
accessibile il valore della potenza istantanea quanto il suo valor medio su scale
dei tempi >> T , periodo dell’onda.
Ed è proprio la potenza media per unità di superficie trasportata dall’onda
che viene definita come intensità dell’onda e.m. :
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Quale sarà l’intensità di un’onda polarizzata circolarmente
con
a) Sfruttando il fatto che il campo ruota ma non varia in intensità :
il valore istantaneo ed il valore medio del vettore di Poynting coincidono e
l’intensità dell’onda è semplicemente :
b) Sommiamo le intensità dovute alle singole componenti :
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Quale sarà l’intensità di un’onda sferica
Avevamo ricavato analiticamente che per una
generica onda sferica l’ampiezza decade con la distanza
dalla sorgente :
Allo stesso risultato si arriva solo in base alla
simmetria del problema ed a considerazioni di tipo energetico.
Dalla simmetria del problema possiamo assumere che la funzione dell’onda
e.m. potrà dipendere solamente da r , distanza dalla sorgente, e non φ o θ :
Nel calcolare l’intensità dell’onda, le superfici ortogonali alla direzione di
propagazione sono delle sfere concentriche : la potenza totale media che
attraversa la generica superficie sarà :
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Ma questa potenza deve essere costante su tutte le superfici, essendo la
potenza emessa dalla sorgente :
Dovrà quindi essere :
ovvero :
e l’intensità dell’onda ad una generica distanza r dalla sorgente sarà:
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