6. EQUAZIONI CON MODULI E IRRAZIONALI - Liceo Statale Ischia

www.matematicamente.it – Matematica C3 – Algebra 2 – 6. Equazioni con moduli e irrazionali►3. Equazioni che contengono due radicali e altri terminiEsempio x7−x−1=2 .1°. applicando il primo principio, separiamo i due radicali avendo cura di lasciare a sinistradell’uguale il radicale col segno positivo x7=2x−1 .2°. determiniamo l’insieme H per la realtà dei radicali H = {x7≥0x−1≥0 H ={x∈R∣x≥1 }3°. analizziamo il secondo membro che dovrà essere positivo per permettere di costruire l’equazionerazionale da risolvere 2x−1≥0 che in H è certamente positivo essendo somma di terminipositivi.4°. eleviamo ambo i membri al quadrato x 7 2 =2x−1 2 facendo attenzione al secondomembro che si presenta come quadrato di binomiox7=44⋅x−1x−1 4⋅x−1=45°. ci troviamo di fronte un’altra equazione irrazionale, ma per le condizioni poste possiamoprocedere elevando al quadrato ambo i membri x−1=1 x=26°. confrontiamo con l’insieme H , essendo 2 un elemento di H possiamo concludere I.S.={2 } . x12−1=1− x .Determiniamo l’insieme H per la realtà dei radicali, H = {x12≥0 H ={x∈R∣−12≤ x≤1 }1−x≥0Notiamo che i due radicali sono già separati; ci conviene comunque trasportare il termine noto a destradell’uguale ottenendo x12=11−x perché in H il secondo membro risulti positivo.L’equazione razionale che si ottiene elevando al quadrato è x−1=5 x e prima di renderla razionaledobbiamo porre la condizione di positività sul secondo membro. L’insieme H 1 in cui si verificano lecondizioni per elevare al quadrato si ottiene dal sistema H 1 = {5 x≥0−12≤ x≤1} pertantoH 1 = {x∈R∣−5≤ x≤1 } . Possiamo elevare al quadrato ottenendo l’equazione x 2 11 x24=0 le cuisoluzioni sono x 1 =−8∨ x 2 =−3 |; confrontando con l’insieme H 1 possiamo concludere cheI.S.={−3 } . 2 x−5=3−x1Determiniamo l’insieme H ponendo per entrambi i radicali la condizione di realtà:H = {2 x−5≥0x1≥0 H = { x∈R ∣ x≥ 5 2}Prima di procedere con l’elevamento a potenza, dobbiamo porre la condizione di concordanza del segno:applicando il primo principio, trasportiamo al primo membro il radicale di destra e nell’equazione trovata2 x−5x1=3 è assicurata la concordanza del segno.Eleviamo al quadrato 2 x−5x1 2 =3 2 2 x−5 x122 x−5⋅x 1=9 e otteniamol’equazione irrazionale 2 2 x−5⋅ x1=13−13 x contenente un solo radicando. Nell’insieme H ègarantita={la realtà del radicale, ma dobbiamo imporre che il secondo membro sia non negativo; otteniamoH x≥5 1 2 H 1 ={ ∣ x ∈R 5 2 ≤ x≤ 13 2 } in cui cerchiamo le soluzioni dell’equazione assegnata.13−3 x≥0Procedendo elevando al quadrato si ha l’equazione razionale x 2 −66 x189=0 x 1=3∨x 2=63 econfrontando con H 1 si conclude I.S.={3 } .x 2 1−1−4 x= xMODULI E IRRAZIONALI 17