6. EQUAZIONI CON MODULI E IRRAZIONALI - Liceo Statale Ischia

www.matematicamente.it – Matematica C3 – Algebra 2 – 6. Equazioni con moduli e irrazionali►2. Equazioni in una incognita in valore assolutoEquazioni con valore assoluto del tipo ∣f x∣=k con k∈R∧k ≥0L'incognita è presente solo all'interno del modulo.Esempi ∣x 2 −7∣=3Impostiamo la ricerca delle soluzioni con il metodo generale.{ x2 −7≥0x 2 −7=3 ∪ { x 2 −70−x 2 7=3{ x2 −7≥0x 2 −7=3 ∪ { x 2 −70x 2 −7=−3Se moltiplichiamo per -1 l'equazione del secondo sistema otteniamo:in cui le condizioni definite dalle disequazioni vengono in entrambi i casisoddisfatte, possiamo quindi non effettuare la verifica delle soluzioni.ConclusioneL'equazione ∣x 2 −7∣=3 si risolve unendo l'Insieme Soluzione delle equazioni x 2 −7=3∨x 2 −7=−3 .x 2 −7=3 x 2 =10 x 1=−10∨ x 2=10x 2 −7=−3 x 2 =4 x 3 =−2∨ x 4 =2Per cui l'Insieme Soluzione di ∣x 2 −7∣=3 è {−10 , 10 ,−2,2 } ∣x 2 − x∣=1L'equazione ∣x 2 − x∣=1 si risolve unendo gli insiemi soluzione delle equazioni x 2 − x=1 ex 2 − x=−1 senza effettuare la verifica delle soluzioni.x 2 − x=1 x 2 − x−1=0 x 1 = 1−5 ∨ x2 2 = 152x 2 − x=−1 x 2 − x1=0 0 ∅Per cui l'Insieme Soluzione di ∣x 2 − x∣=1 è{ 1−52, 152 }Procedura risolutivaPer risolvere un'equazione del tipo ∣f x∣=k con k∈R∧k ≥0 è sufficiente risolvere la doppiaequazione ∣f x∣=±k .Esempio ∣x 2 −7∣=3x 2 −7=±3 si trasforma in due equazioni x 2 −7=3∨ x 2 −7=−3La prima equazione x 2 −7=3 x 2 =10 x=±10La seconda equazione x 2 −7=−3 x 2 =4 x=±2Le soluzioni dell'equazione sono x 1 =−10 ; x 2 =−2; x 3 =2 ; x 4 =10Equazioni con valore assoluto del tipo ∣f x∣=k con k∈R∧k 0Se k 0 allora l'equazione è impossibile. In questo caso ∣f x∣=k è una contraddizione, in quanto unvalore assoluto di una espressione dà un valore sempre positivo. Questo si può evidenziare anche con ilmetodo generale di risoluzione. ∣x−7∣=−1Impostiamo la ricerca delle soluzioni con il metodo generale.{ x−7≥0x−7=−1 ∪ { x−70x−7=1Entrambi i sistemi non hanno soluzioni reali. L'equazione è dunque impossibile.MODULI E IRRAZIONALI 3