Estensione del metodo dei tableaux a una logica parziale.

M s (ϕ∧ψ) = sse M s (ϕ) = M s (ψ)=M s (ϕ∧ψ) = ⊥ sse M s (ϕ) = ⊥ o M s (ψ) = ⊥M s (ϕ∨ψ) = sse M s (ϕ) = o M s (ψ) = M s (ϕ∨ψ) = ⊥ sse M s (ϕ) = M s (ψ) = ⊥M s (ϕ→ψ) = sse M s (ϕ) = ⊥ o M s (ψ) = M s (ϕ→ψ) = ⊥ sse M s (ϕ) = e M s (ψ) = ⊥M s (∀xϕ) = sse M s[a/x] (ϕ) = per ogni a ∈ DM s (∀xϕ) = ⊥ sse M s[a/x] (ϕ) = ⊥ per qualche a ∈ DM s (∃xϕ) = sse M s[a/x] (ϕ) = per qualche a ∈ DM s (∃xϕ) = ⊥ sse M s[a/x] (ϕ) = ⊥ per ogni a ∈ DPer ogni formula ϕ, M s (ϕ) = ∗ se M s (ϕ) non è né , né ⊥.Si noti che se dessimo la definizione classica di validità 3 , allora nessuna formula risulterebbe valida (aparte, ovviamente, la formula ‘’). Per rendersi conto di ciò, si prenda una qualsiasi verità logica(classica) e si consideri un modello M che valuti ∗ tutte le formule atomiche che occorrono in quellaverità logica (rispetto a una data assegnazione s). Per esempio, M s (Px∨¬Px) = ∗ se s(x) = a e P M (a) =∗.D’altra parte, liberalizzando 4 la definizione classica, tutte e solo le formule classicamente validerisulterebbero valide in questa semantica, il che renderebbe poco interessante il ricorso a strutture diquesto tipo.Ricorreremo allora alla seguente definizione (dove Γ è un insieme qualsiasi di formule di , ϕ è unaformula di , e ‘ Γ ϕ ’ può essere letto ‘ ϕ è conseguenza di Γ ’):(DEF) Sia Γ = {ψ 1 ,…,ψ n , …} e si consideri l’ordine lineare < su {⊥, ∗, } tale che ⊥ < ∗ < .Allora:Γ ϕ sse Min(, M s (ψ 1 ), …, M s (ψ n ), …) ≤ M s (ϕ) per ogni modello M e per ogni assegnazione sin MUna definizione equivalente è questa (con Γ insieme qualsiasi di formule):3 Cioè: ϕ è valida sse per ogni modello M e ogni assegnazione s in M, M s (ϕ) = .4 Cioè: ϕ è valida sse per ogni modello M e ogni assegnazione s in M, M s (ϕ) = o M s (ϕ) = ∗.2