esercizi utilità attesa, ripartizione rischio, arbitraggio con attività ...

Esercizi utilità attesa, assicurazione, ripartizione del rischio, arbitraggio con attività rischiose.1. Entrambi i consumatori A e B hanno ricchezza iniziale W = 20000 Euro, le loro preferenze peril consumo condizionato rispettano la forma dell’utilità attesa, e le loro funzioni di utilità di Bernullisono: u A (c A ) = c A 1/2 ; u B (c B ) = c B . Esiste una probabilità ½ che eventi dannosi D A , D B causino unaperdita di Euro = 10000 al patrimonio di A e B rispettivamente. Avendo la possibilità di assicurareil valore K ≤ 10000 del loro patrimonio ad un premio equo, quali valori K vengono assicurati da A eB rispettivamente?2. Se i dati dell’esercizio 1 vengono modificati da una probabilità dell’evento dannoso π = 0.2 e daun premio di assicurazione γ = 0.25, quali sono i valori di K assicurati da A e B rispettivamente?3. I consumatori A e B hanno ricchezza iniziale W = 0 Euro, le loro preferenze per il consumocondizionato rispettano la forma dell’utilità attesa, e le loro funzioni di utilità di Bernulli sono:u A (c A ) = 2c A 1/2 ; u B (c B ) = 4c B 1/4 . A e B devono decidere se accettare una vincita certa di 35 Euro,oppure se partecipare ad una lotteria L che offre i premi 64 Euro con probabilità ½ e 16 Euro conprobabilità ½. Quali sono le decisioni di A e B? Quali sono i coefficienti di avversione relativa alrischio di A e B?4. Il consumatore A ha ricchezza iniziale W = 1200 Euro, le sue preferenze per il consumocondizionato rispettano la forma dell’utilità attesa, e la sua funzione di utilità di Bernulli è u(c) =c 1/2 . Al tempo t A può investire la somma (W – x), 0 ≤ x ≤ W, in titoli al tasso d’interesse annuorisk free r = 0.05, e la somma restante x in azioni della azienda Sunglass che produce occhiali dasole. Il prezzo di 1 azione al tempo t è 1 Euro. Il tasso di rendimento annuo delle azioni è r b = 0.1 sel’anno è piovoso, r g = 0.2 se l’anno è soleggiato. Gli eventi b (pioggia) e g (sole) si verificano conuguale probabilità ½. Qual è il valore x investito in azioni?5. Come varia il valore x dell’esercizio 4, se il tasso r risk free è r = 0.15 e tutti gli altri dati restanoinvariati?6. Come varia il valore x dell’esercizio 4, se il tasso r risk free è r = 0.15, la probabilità di sole è0.51, quella di pioggia è 0.49, e tutti gli altri dati restano invariati?7. Anna ha preferenze per il consumo condizionato che rispettano la forma dell’utilità attesa, èavversa al rischio, e deve scegliere fra le seguenti lotterie:L1 offre il premio 20.000 Euro con probabilità 0.4 e 100.000 Euro con probabilità 0.6.L2 offre il premio 20.000 Euro con probabilità 0.1 e 60.000 Euro con probabilità 0.9.L3 offre il premio 20.000 Euro con probabilità 0.94 e 100.000 Euro con probabilità 0.06.L4 offre il premio 20.000 Euro con probabilità 0.91 e 60.000 Euro con probabilità 0.09.Se il simbolo ► indica ‘strettamente preferito a’ e il simbolo ~ indica ‘indifferente a’, quali deiseguenti ordinamenti non può essere di Anna?a. L1 ► L2 L3 ► L4b. L2 ► L1 L4 ► L3c. L1 ► L2 L3 ~ L4d. nessuno dei precedenti

8. Il consumatore A ha ricchezza iniziale W = 121 Euro, le sue preferenze per il consumocondizionato rispettano la forma dell’utilità attesa, e la sua funzione di utilità di Bernulli è u(c) =2c 1/2 . Egli ha l’opportunità di partecipare ad una lotteria L che offre il premio 23 Euro conprobabilità ½ e la perdita – 21 Euro con probabilità ½. Definendo αL la lotteria che offre 23α conprobabilità ½ e (– 21α) con probabilità ½ , quale delle seguenti quote della lotteria L il consumatoreA decide sicuramente di accettare?a. α = 1b. α = 0c. α = 2d. α = 0.9e. nessuna delle altre risposteLa risposta corretta è d.9. Il consumatore A ha ricchezza iniziale W = 100 Euro, le sue preferenze per il consumocondizionato rispettano la forma dell’utilità attesa, e il suo coefficiente di avversione assoluta alrischio è costante: λ = 2. Egli ha l’opportunità di partecipare ad una lotteria L che offre il premio 36Euro con probabilità ½ e la perdita – 24 Euro con probabilità ½. Definendo αL la lotteria che offre36α con probabilità ½ e (– 24α) con probabilità ½ , quale delle seguenti quote della lotteria L Adecide di accettare?f. α = 1g. α = 0h. qualunque quota α > 0i. α > 0 tale che α è sufficientemente piccoloj. non è possibile rispondere senza conoscere la funzione di utilità di Asoluzione: risposta corretta è la i. Vediamo di dimostrarlo.Innanzitutto osserviamo che la lotteria L ha un valore monetario atteso strettamente positivo.Pertanto A è certamente disposto ad accettare una quota α sufficientemente piccola della lotteria.Dobbiamo accertare che A sia sufficientemente avverso al rischio da non volere accettare l’interalotteria L.valore monetario atteso di L = E(L) = 6ricchezza attesa se A accetta L è: E(W(L)) = ½ 136 + ½ 76 = 106 = W + E(L)A accetta L se l’utilità attesa EU(W(L)) > U(W)Le preferenze di A per il consumo condizionato ad uno stato (cioè dato che lo stato si è verificato)sono descritte dalla funzione di utilità di Bernulli: U( w) exp( w) exp( 2 w)A accetta L se:1 1EU ( W ( L)) ( exp( 2 136)) ( exp( 2 76)) ( exp( 2 100)) U ( W )2 2osservando che ( exp( 2 136)) exp( 2 100) ( exp( 2 36)) possiamo scrivere:1 1EU ( W ( L)) exp( 2 100) ( exp( 2 36)) ( exp(2 24)) ( exp( 2 100)) U ( W )2 2EU ( W ( L)) 1 1Quindi A acceta L se (exp( 2 36)) (exp(2 24)) EU ( L) 1UW ( ) 2 2

A accetta L se EU(L) > –1Si noti che –1 è esattamente U(0), l’utilità della soma certa w = 0. Pertanto A accetta L sel’equivalente certo della lotteria EC(L) > 0.Poiché:1 1(exp( 2 36)) (exp(2 24)) 12 2il consumatore A rifiuta la lotteria L.Pertanto la risposta f è errata ed anche la h. Avendo dimostrato che A rifiuta la lotteria L, cheha valore monetario atteso positivo, possiamo applicare le nostre conoscenze sulla ripartizionedel rischio per concludere che egli è certamente disposto ad accettare una quota αsufficientemente piccola di L, pertanto che la risposta i. è corretta e la g. è sbagliata. Unadimostrazione formale può essere ottenuta nel modo seguente:A accetta la lotteria αL se la sua utilità attesa soddisfa:1 1EU ( W ( L)) exp( 2 100) ( exp( 2 36 )) ( exp(2 24 )) ( exp( 2 100)) UW( )2 2Cioè A accetta la lotteria αL se esiste α > 0 sufficientemente piccolo tale che:1 exp( 2 36 ) exp(2 24 ) 1 . In altri termini, A accetta la lotteria αL se la funzione:2X(α) ≡ 1 exp( 2 36 ) exp(2 24 ) 2assume valori minori di 1 in un intorno destro di α = 0.Essendo X(0) = 1, è sufficiente mostrare che X(α) è decrescente in α = 0, cioè X’(α) = dX/dα < 0 inα = 0. Ciò si verifica facilmente essendo:XX '( ) 72exp( 72 ) 48exp(48 ) 24in α = 0.Pertanto la risposta i. è corretta e la g. è errata, come volevamo dimostrare.10. Un investitore ha un portafoglio di attività che riflette esattamente la composizione delle attivitàdell’intero mercato. Il tasso di rendimento dell’attività T risk free è r f = 0.05 ed il tasso direndimento atteso dell’attività composita M che riflette la composizione del portafoglio di mercatoè r M = 0.1 mentre la varianza dei rendimenti di M è σ m = 2. Siano A, B, C, D, E attività del mercatocon rendimenti aleatori r A , r B , r C , r D , r E , tali che:covar(r A , r M ) = 2 covar(r B , r M ) = 1covar(r C , r M ) = 0 covar(r D , r M ) = 4 covar(r E , r M ) = – 0.25Quali sono i rendimenti attesi delle attività A, B, C, D, E che esauriscono le opportunità diarbitraggio per l’investitore?