esercizi utilità attesa, ripartizione rischio, arbitraggio con attività ...

8. Il consumatore A ha ricchezza iniziale W = 121 Euro, le sue preferenze per il consumocondizionato rispettano la forma dell’utilità attesa, e la sua funzione di utilità di Bernulli è u(c) =2c 1/2 . Egli ha l’opportunità di partecipare ad una lotteria L che offre il premio 23 Euro conprobabilità ½ e la perdita – 21 Euro con probabilità ½. Definendo αL la lotteria che offre 23α conprobabilità ½ e (– 21α) con probabilità ½ , quale delle seguenti quote della lotteria L il consumatoreA decide sicuramente di accettare?a. α = 1b. α = 0c. α = 2d. α = 0.9e. nessuna delle altre risposteLa risposta corretta è d.9. Il consumatore A ha ricchezza iniziale W = 100 Euro, le sue preferenze per il consumocondizionato rispettano la forma dell’utilità attesa, e il suo coefficiente di avversione assoluta alrischio è costante: λ = 2. Egli ha l’opportunità di partecipare ad una lotteria L che offre il premio 36Euro con probabilità ½ e la perdita – 24 Euro con probabilità ½. Definendo αL la lotteria che offre36α con probabilità ½ e (– 24α) con probabilità ½ , quale delle seguenti quote della lotteria L Adecide di accettare?f. α = 1g. α = 0h. qualunque quota α > 0i. α > 0 tale che α è sufficientemente piccoloj. non è possibile rispondere senza conoscere la funzione di utilità di Asoluzione: risposta corretta è la i. Vediamo di dimostrarlo.Innanzitutto osserviamo che la lotteria L ha un valore monetario atteso strettamente positivo.Pertanto A è certamente disposto ad accettare una quota α sufficientemente piccola della lotteria.Dobbiamo accertare che A sia sufficientemente avverso al rischio da non volere accettare l’interalotteria L.valore monetario atteso di L = E(L) = 6ricchezza attesa se A accetta L è: E(W(L)) = ½ 136 + ½ 76 = 106 = W + E(L)A accetta L se l’utilità attesa EU(W(L)) > U(W)Le preferenze di A per il consumo condizionato ad uno stato (cioè dato che lo stato si è verificato)sono descritte dalla funzione di utilità di Bernulli: U( w) exp( w) exp( 2 w)A accetta L se:1 1EU ( W ( L)) ( exp( 2 136)) ( exp( 2 76)) ( exp( 2 100)) U ( W )2 2osservando che ( exp( 2 136)) exp( 2 100) ( exp( 2 36)) possiamo scrivere:1 1EU ( W ( L)) exp( 2 100) ( exp( 2 36)) ( exp(2 24)) ( exp( 2 100)) U ( W )2 2EU ( W ( L)) 1 1Quindi A acceta L se (exp( 2 36)) (exp(2 24)) EU ( L) 1UW ( ) 2 2