esercizi utilità attesa, ripartizione rischio, arbitraggio con attività ...

A accetta L se EU(L) > –1Si noti che –1 è esattamente U(0), l’utilità della soma certa w = 0. Pertanto A accetta L sel’equivalente certo della lotteria EC(L) > 0.Poiché:1 1(exp( 2 36)) (exp(2 24)) 12 2il consumatore A rifiuta la lotteria L.Pertanto la risposta f è errata ed anche la h. Avendo dimostrato che A rifiuta la lotteria L, cheha valore monetario atteso positivo, possiamo applicare le nostre conoscenze sulla ripartizionedel rischio per concludere che egli è certamente disposto ad accettare una quota αsufficientemente piccola di L, pertanto che la risposta i. è corretta e la g. è sbagliata. Unadimostrazione formale può essere ottenuta nel modo seguente:A accetta la lotteria αL se la sua utilità attesa soddisfa:1 1EU ( W ( L)) exp( 2 100) ( exp( 2 36 )) ( exp(2 24 )) ( exp( 2 100)) UW( )2 2Cioè A accetta la lotteria αL se esiste α > 0 sufficientemente piccolo tale che:1 exp( 2 36 ) exp(2 24 ) 1 . In altri termini, A accetta la lotteria αL se la funzione:2X(α) ≡ 1 exp( 2 36 ) exp(2 24 ) 2assume valori minori di 1 in un intorno destro di α = 0.Essendo X(0) = 1, è sufficiente mostrare che X(α) è decrescente in α = 0, cioè X’(α) = dX/dα < 0 inα = 0. Ciò si verifica facilmente essendo:XX '( ) 72exp( 72 ) 48exp(48 ) 24in α = 0.Pertanto la risposta i. è corretta e la g. è errata, come volevamo dimostrare.10. Un investitore ha un portafoglio di attività che riflette esattamente la composizione delle attivitàdell’intero mercato. Il tasso di rendimento dell’attività T risk free è r f = 0.05 ed il tasso direndimento atteso dell’attività composita M che riflette la composizione del portafoglio di mercatoè r M = 0.1 mentre la varianza dei rendimenti di M è σ m = 2. Siano A, B, C, D, E attività del mercatocon rendimenti aleatori r A , r B , r C , r D , r E , tali che:covar(r A , r M ) = 2 covar(r B , r M ) = 1covar(r C , r M ) = 0 covar(r D , r M ) = 4 covar(r E , r M ) = – 0.25Quali sono i rendimenti attesi delle attività A, B, C, D, E che esauriscono le opportunità diarbitraggio per l’investitore?