401 - Dipartimento di Economia e Statistica - Università della Calabria

338Esempio:Se si sono verificati 4 infortuni sul lavoro per un totale di 250 operai, l’incidenza sarà: (4/250)=(0.016/1)=(16/1000) cioè 16 incidentiogni mille operai. Il presupposto è che il tasso di infortuni sia lo stesso a 250 e a 1’000 operai e questo non è affatto scontato: glistabilimenti più grandi hanno forse maggiori controlli, maggiore sindacalizzazione ovvero occasioni più numerose di stress il cui effettocongiunto non ha alcun motivo -insieme agli altri fattori- di essere bilanciato per tenere costante il rapporto. D’altra parte non è neanchedetto che esista uno stabilimento con mille dipendenti. L’estensione del rapporto a basi diverse da quella di calcolo dovrebbe soloservire a rendere più chiaro il risultato numerico riportandolo ad un sistema più familiare, ma senza la pretesa di generalizzare.Esericio_AE05: la responsabile dell’ufficio sinistri ha notato che il 70% dei periti liquidatori che riescono a fareaccettare la prima proposta di transazione è di genere femminile. Vale la pena di affidare tutti gli incarichi alledonne?Il rapporto è una variabile singola anche se si ottiene fondendo informazioni relative a due o più variabili diverseed è usato come variabile autonoma rispetto a quelle costituenti; autonoma nel senso di separata o di decentrata,ma non nel senso di indipendente e cioè non è corretto utilizzare la variabile rapporto e le variabili costituentiin contesti in cui è presupposta l’assenza di legami o di un certo tipo di legami tra tutte le variabili coinvolte.Esempio:Confronto di alcuni indicatori rilevanti tra Italia e CEE (settori che si trovano nella condizione).Indicatori> media media < mediaAddetti per impresa 1 1 17Fatturato per impresa 3 1 15Fatturato per addetto 17 2 0Costo del lavoro per addetto 9 9 1Valore Aggiunto/fatturato 3 2 5Marg. Oper. Lordo 11 3 7Fatt.Serv.Ind./Fatturato 10 2 7Costo Serv.Industr./Fatt. 19 0 0Costo Altri Serv./Fatt. 13 4 2Investimenti/Fatturato 9 2 8Il costo del lavoro per addetto in Italia è quasi sempre maggiore o uguale della media CEE ed è inferiore il fatturato per impresa. Inentrambi i casi la connotazione è negativa.Esercizio_AE06: per il monitoraggio dei fenomeni naturali si confronta la manifestazione accidentale conquella “normale” o benchmark (letteralmente, segno o punto di riferimento) in modo da stabilire le diverse tappedella progressione. Vi sembra che tra questi due aspetti vi sia un nesso logico tale da giustificare un rapporto?In caso affermativo, proponete una situazione di utilizzo.Esercizio_AE07: prezzo al litro della benzina.Paese Prezzo TasseItaliaOlandaGermaniaBelgio15441361117311651157964840794PaeseFranciaAustriaGran Bret.Svizzeraa) Calcolate la quota tasse sul prezzo complessivo;b) Dove incidono di più le tasse?c) In quale Paese la benzina costa meno al netto delle tasse?Prezzo Tasse1195 9141140 735925 7771208 561Caratteristiche dei rapporti statisticiLe proprietà dei rapporti sono evidenti, ma vale la pena ricordarle:⎧1) Ri = 1 se e solo se Yi = Xi⎪2) Ri < 1 se e solo se Yi < Xi⎪⎨3) Ri> 1 se e solo se Y X4) R = aYi >⎪i⎪ i per ogni a ≠ 0⎩ aXiParticolare rilevanza ha l’ultima perché consente di non preoccuparsi troppo dell’ordine di grandezza dellevariabili componenti.

339Esempio:Disoccupazione in Italia nel mese di aprile 1997 con distinzione per sesso e per ripartizione geografica.MaschiRipartizioni Unità %Nord 324 4.91Centro 180 6.62Sud 793 16.46Italia 1297 9.17Femmine TotaleUnità % Unità %433 9.94 757 6.90235 13.94 415 9.42647 27.66 1440 20.101315 15.68 2612 11.59I rapporti consentono un’analisi veloce: è subito evidente quale sia la combinazione più diffusa: 27.66% cioè donna e meridionale (edisoccupata).Ragioni per usare i rapportiL’uso dei rapporti statistici per costruire variabili ha diverse motivazioni.1) Il dato su di un rapporto è spesso più accessibile come tale che non attraverso i dati che lo compongono: infondo si tratta di procurarsi un’informazione invece di due.Esempio:In certe analisi statistiche non è facile specificare il costo C(b|a) dell’errata classificazione di una unità nella categoria “a” appartenenteinvece alla categoria “b”; altrettanto difficile è specificare il costo dell’errata classificazione C(a|b) di una unità “a” nella “b”. E’ spessopiù semplice specificare il quoziente C(a|b)/C(b|a).2) Il rapporto è adoperato come approssimazione o in sostituzione di quantità altrimenti non osservabili oppuredifficili a calcolarsi.Esempio:In generale, se “y” è una funzione di “x”, ∆x un incremento in “x” e ∆y= y(x+∆x)-y(x) allora:Lim ∆y∆x→0 ∆x = dydxesprime il tasso istantaneo di variazione nel punto “x” e misura il cambiamento che subisce la “y” a causa di un incremento o decrementounitario nella “x”. La quantità ∆y/∆x può essere intesa come tasso di variazione nell’intervallo (x, x+∆x). Di solito dy/dx non è osservabilee, nella teoria microeconomica, può essere stimato con il tasso medio cui si uguaglia in condizioni di ottimo:Produttività media del capitale nel periodo (t -1,t) =I tP t − P t−1⇒ ∆K t∆P t= Produttività marginale del capitaledove I tsono gli investimenti fissi lordi e P tè il prodotto lordo al costo dei fattori e “t” è il tempo.3) Se numeratore e denominatore fossero viziati da uno stesso errore proporzionale, il loro rapporto non nerisentirebbe.Esempio:Se X 1e X 2sono i dati veri da rilevare ed invece Y 1e Y 2sono quelli rilevati con un errore percentuale comune, si avrà:⎧ Y1 = X1 + aX1 = ( 1 + a)X1Y1( 1 + aX ) 1 X1⎨⇒ = =⎩Y2 = X2 + aX2 = ( 1 + a)X2Y2( 1 + aX ) 2 X2per cui l’incidenza di una variazione proporzionale è nulla in un rapporto. Ci si attende lo stesso effetto correttivo nel caso gli erroriproporzionali fossero diversi, ma abbastanza prossimi.Esercizio_AE08: pericolo da tumore per residui di pesticidi negli alimenti.ConsumoAlimento gr/gLatte 270Vino 170Carne 162Pane 133Pomodori 107Rishio % Rischio %su to t. per Kg/g1.07 0.1722.84 5.960.64 0.178.14 2.719.92 4.04Calcolare il rapporto:a) Rischio su totale/Rischio per kg/giorno; b) Consumo/Rischio su totale;c) Come si interpretano tali rapporti?

340Esercizio_AE09: c’è crisi nel trasporto merci per via aerea? Ecco alcuni dati relativi ai maggiori vettori europeiper il biennio 1991-1992.Compagnie 1991British Airways 12925Lufthansa 13006Air France 10376KLM 6767Alitalia 4539Iberia 4673Swissair 3907SAS 3074Capacità/kmCosti operativi1992 199114636 769914469 922412036 63047999 34405216 36294951 33294357 33913180 3391199279289977813113723828363035443746a) Calcolare il rapporto 1992/1991 per capacità e costi.b) E’ valido il confronto dei due rapporti o vi sembrano espressi in unità non comparabili?L’informazione fornita dai rapporti statistici è molto grezza ed il loro uso è giustificato in occasioni particolario in mancanza di informazioni dirette. Di solito indicano standard da raggiungere o soglie da cui rifuggire, altrevolte sono indicazioni provvisorie su cui ritornare con maggiori informazioni e tecniche più sofisticate; spessosi limitano ad orientare la valutazione del problema verso questioni pratiche se non proprio oggettive. Per coprirela complessità delle situazioni (in demografia, nelle analisi di bilancio, nelle diagnosi cliniche, nelle valutazionisulla qualità della vita, nel credito al consumo, nel finanziamento di Paesi esteri) si è costretti a ricorrere ad unavasta batteria di rapporti per individuare aspetti interessanti.Esempi:a) Nella tabella è riassunta la situazione degli strumenti di pagamento bancari in Italia nel 1990 al fine di valutare il peso della automazione(assegni e disposizioni automatizzate di pagamento e di incasso).NumeroImportoMigliaia Comp. 89/'88 90/'91 Migliaia Comp. 89/'88 90/'91Assegni bancari 443338 46.6 1.5 6.9 1301978 20.2 8.8 13.5Assegni circolari 211376 22.2 2.9 -2.4 484864 7.5 -0.2 8.8Bonifici DAP 295949 31.2 9.8 12.1 4654861 72.3 21.3 27.3Bonifici DAI 36553 3.8 939 12.1 75575 1.2 17.6 26.1Esteri71578 7.5 24.8 25.5 159593 2.5 55.8 32.3TOTALE 950663 100 4.1 6.2 6441703 100 16.3 22.7Per facilitare la lettura sono state calcolate le quote parti sia del numero che degli importi, nonché le variazioni percentuali nel periodo1989-1991 per entrambe le rilevazioni. La situazione è complessa, ma i rapporti la semplificano notevolmente.b) Nell’ultimo decennio la popolazione del comune di Roccasecca è passata da 18’000 a 35’000 e quella del comune di Cajaniello è scesada 110’000 a 79’000. Nel contempo i delitti capitali sono passati da 25 a 31 nel primo comune e da 246 a 199 nel secondo. Si puòconcludere che nel comune di Roccasecca i delitti sono aumentati e diminuiti nel comune di Cajaniello? Il tasso di delittuosità inizialeè 25/18’000 =1.39 per mille a Roccasecca e 2.24 per mille a Cajaniello; alla fine del periodo si verifica che a Roccasecca è lo 0.89 permille e a Cajaniello 2.52 con una conclusione ribaltata rispetto ai valori assoluti.La semplicità dei rapporti statistici non deve però ingannare: con essi si possono saggiare, magari fermandosialle prime increspature, fenomeni articolati e non facilmente abbordabili per altre vie. Con prudenza: il lorocontenuto pragmatico è talvolta fondato anche su esperienze acritiche e su esigenze di standardizzazione chedanno una connotazione di classicità, continuità, eternità e magia che bisogna contestare prima di fidarsene deltutto. Quante volte il livello “ottimo” del rapporto è corrisposto ad una situazione realmente soddisfacente?Quante volte è stato smentito? In che modo un errore commesso nel rapporto incide sulla soluzione del problema?In fondo i rapporti indicano non implicano, sono una definizione operativa del fenomeno, non la sua spiegazione.Esempi:a) Boldrini (1968, p. 1148-149) cita la densità ecumenica ottenuta dal quoziente tra popolazione residente in un’area ed estensionedella superficie, ma solo quella abitabile. Il comune di Roccacannuccia ha 9’457 residenti per 125 Kmq di cui però 32 Kmq destinatiad un’oasi naturale protetta non antropizzata. La densità territoriale (popolazione e superficie totale) e la densità ecumenica sono:9457/125=75.656 e 9457/(125-32)=101.688. La valutazione è diversa a seconda del denominatore utilizzato.b) Ripreso da Loether e McTavish (1988 pp. 64-65). L’istituto federale di statistica degli Stati Uniti riportava un persistente aumentodel tasso di criminalità. Studi più attenti dimostrano invece il contrario. Come è possibile? E’ noto che le aree rurali hanno un tassodi criminalità inferiore rispetto a quelle urbane. Ecco un esempio di cosa potrebbe succedere:

341Anno_1Anno_2Residenti Delitti Del./Res. Residenti Delitti Del./Res.Zone rurali 800000 32000 40 Zone rurali 100000 3000 30Zone urbane 200000 24000 120 Zone urbane 900000 63000 70Totale 1000000 56000 56 Totale 1000000 66000 66Il tasso di criminalità è diminuito sia nelle zone rurali che in quelle urbane, ma nel complesso è aumentato a causa del fenomeno diinurbamento che porta a calcolare su si un numero più elevato il tasso maggiore. A saperli leggere, i rapporti statistici sono una minieradi informazioni; letti superficialmente possono provocare “bufale” colossali.Esercizio_AE10: l’esempio precedente è noto in Statistica come paradosso di Simpson. In verità, il paradossoscompare se si analizzano correttamente i dati aggregati. DeGroot (1986, pp.548-549) propone il seguente casorelativo al sesso ed all’esito di una nuovo protocollo terapico.Totale Uomini DonneMiglior. Stabili Miglior. Stabili Miglior. StabiliNuovo 20 20 40 Nuovo 12 18 30 Nuovo 8 2 10Standard 24 16 40 Standard 3 7 10 Standard 21 9 3044 36 15 25 40 29 11 40a) In che cosa consiste il paradosso? b) E’ un caso speciale oppure è da ritenersi usuale?Esercizio_AE11: per misurare i differenziali tra i salari percepiti dai maschi (Y) e quelli percepiti dalle femmine(X) si può utilizzare (Gastwirth, 1975) il rapporto tra le mediane delle due variabili: M e(X)/M e(Y).a) Qual’è il livello ideale del rapporto? b) Quali indicazioni sbagliate può dare?Le tipologie di rapporti statistici più ricorrenti sono:A) Rapporti di composizione;B) Rapporti di densità;C) Rapporti causa-effetto (o di derivazione);D) Rapporti di coesistenza;E) Rapporti di durata e di rotazione.Spesso, dei rapporti sono date delle classificazioni. Ad esempio è nota la distinzione, proposta da R. Benini, trarapporti che si semplificano (che generano un concetto analogo a quello espresso dal numeratore: A, B, C e D);e rapporti che si risolvono (che danno luogo ad un concetto nuovo, in particolare i rapporti tipo E). Questaclassificazione, ed altre su cui non ci soffermiamo (ad esempio quelle proposte da G. Mortara, da Boldrini o daWinkler, 1973), aiutano l’interpretazione dei rapporti ed a suggerire la categoria più appropriata. Possono peròappesantire l’esposizione per cui è preferibile richiamare di volta in volta gli elementi caratterizzanti delle varietipologie ed evidenziarne il significato più generale.5.1.2 Rapporti che si semplificanoSono definizioni operative che correggono e integrano una variabile che da sola non sarebbe agevolmentecollegabile al fenomeno misurato, ma senza creare informazioni nuove o di tipo diverso di quella posta alnumeratore del rapporto che viene reso più leggibile e meglio comparabile.Rapporti di composizioneCon queste variabili si confronta una parte al tutto per determinare l’importanza relativa di una data componente.Le modalità della rapporto sono ottenute dividendo le modalità di quella originaria per il totale:Y X ii= ; i = 1,2, … n; con T = ∑ XT i=1Il rapporto esprime la quota parte di pertinenza della unità i-esima. E’ d’uso moltiplicare i rapporti per 100 (oaltra potenza del dieci).ni

342Esempi:a) Buone notizie per i pedoni. Come è cambiata la composizione degli incidenti tra veicoli in marcia in vent’anni.Incidente 1977 1997 Q.77 Q.97Scontro frontale 11'401 14'402 8.7% 9.1%Scontro frontale-laterale 55'127 69'760 42.0% 43.9%Scontro laterale 12'776 19'084 9.7% 12.0%Tamponamento 20'472 33'218 15.6% 20.9%Veicolo in fermata o arresto 3'170 7'483 2.4% 4.7%Investimento pedone 28'275 15'096 21.5% 9.5%TOTALE 131'221 159'043 100.0% 100.0%La circolazione aumentata ha visto ridurre drasticamente gli investimenti di pedoni, ma salire gli scontri ed i tamponamenti (5%).b) Il rapporto di composizione può anche essere calcolato per una stessa unità relativamente a più variabili. Patrimonio mobiliare eimmobiliare nelle Casse di previdenza nel 1997 (miliardi).Cassa Mobiliare Immobiliare M/Tot C Im/Tot.C (M+Im)/TOT C M/CRagioieri 357 401 10.1% 22.9% 14.3% 47.1%Dott. Comm. 1066 446 30.1% 25.5% 28.6% 70.5%Cons. Lavoro 154 174 4.3% 9.9% 6.2% 47.0%Ing.-Arch. 1968 729 55.5% 41.7% 50.9% 73.0%3545 1750 100.0% 100.0% 100.0% 66.9%E’ netta la prevalenza della Cassa degli ingegneri ed architetti rispetto alle altre: 55% e 41% separatamente e 51% nel complesso. Lacomposizione interna (ultima colonna) espressa già come percentuale consente di individuare due gruppi: ragionieri e consulenti dellavoro che prediligono moderatamente l’immobiliare; ingegneri-architetti e dottori commercialisti sono sbilanciati verso gli investimentimobiliari. Il rapporto di composizione può essere prudentemente generalizzato come ogni rapporto. Ad esempio, se la Cassa deiconsulenti del lavoro riceve 100 miliardi in entrata ne investirà, a parità di condizioni, 47 in titoli mobiliari ed il resto (53) in titoliimmobiliari.Nella categoria dei rapporti di composizione rientrano a buon diritto sia i rapporti tra un conteggio ed il totaledei conteggi che tra una misura ed il totale delle misure senza che si modifichi la loro interpretazione.Esempi:a) Ozone Mixing ratio = Molecole di O 3 ; D. F.B .=VolumeDebiti finanziari a breveTotale debiti finanziari; Indice scelico =Statura sedutaStaturaIl rapporto di composizione elimina il riferimento dimensionale favorendo comparazioni corrette, basate su dati più semplici.b) Immatricolazioni di auto per segmenti in Italia.Segmento 1996 1997 %'96 %'97Superutilitarie 114'164 223'861 6.6% 9.3%Utilitarie 740'428 1'099'432 43.0% 45.9%Medio-Inf. 419'254 549'020 24.3% 22.9%Medie 228'018 289'692 13.2% 12.1%Superiori 111'850 93'553 6.5% 3.9%Lusso 5'046 4'852Sportive 41'701 53'318Fuoristrada 32'513 40'783Monovolumi 28'357 29'626Alti 363 8'191Totale 1'723'690 2'394'3250.3% 0.2%2.4% 2.2%1.9% 1.7%1.6% 1.2%0.0% 0.0%I rapporti di composizione (segmenti su totale auto) sono di più agevole lettura ed evitano errori banali di commento: sulle monovolumiil valore assoluto del 1997 è in aumento rispetto al 1996, ma in percentuale è in diminuzione; le superutilitarie sembrano raddoppiaretra i due anni; questo è però dovuto ad un fattore generale che influenza tutti i segmenti ed infatti il peso percentuale delle superutilitarierimane invariato.Esercizio_AE12: composizione al 1° settembre 1994 dell’Accordo Falck.Azionista azioni Cap. Soc.Vallemeria S.p.A. 933912 1059991Montrefini S.p.A. 5250715 33499Refin S.r.l. 53197 345Edera fin. S.r.l. 75000 6825G.E. Falck 194215 45835G. Falk Devoto 102611 1282Altri 585633 416971Totale 7195283 1564748a) Calcolare il rapporto di composizione rispetto alle azioni e al capitale sociale;b) Valutate e commentate eventuali difformità nelle due composizioni.Esercizio_AE13: ripreso da D. Huff (1954, p. 110). Un quotidiano riportò la notizia che un prodotto comportavamirabolanti profitti del 3’800 per cento. Ciò in base alla considerazione di un costo di 17’500 e di un ricavo di400’000 lire. Ora, se il profitto è commisurato al costo, il margine di profitto è del 2’185 per cento e se ècommisurato al ricavo è del 95.6 per cento. In che modo il giornale ha ricavato quella cifra?

343Grafico ternarioSe gli elementi del riparto sono solo tre: x+y+z=100 il diagramma a torta, classico per questo tipo di dati, puòessere sostituito da un diagramma suggestivo e un po’ misterioso: il grafico ternario (o diagramma trilineare).Il diagramma sfrutta una proprietà del triangolo equilatero: la somma delle distanze perpendicolari dai tre latidi un punto "p" interno al triangolo è costante e coincide con l'altezza del triangolo stesso (cfr. Lombardo, 1984,pp. 109-110 per una spiegazione efficace).Per la sua costruzione Vajani (1997) suggerisce di creare un reticolo interno al triangolo con un sistema diparallele spaziate di dieci in dieci (o di venti in venti).Esempi:a) Se l’altezza è unitaria, la lunghezza del lato è 2/√3. I vertici del triangolo posizionato all’origine sono: (0,0), (1/√3,1); (2/√3,0). Poichéz=1-x-y, il punto sarà collocato in posizione: [(2x+y)/√3,y). Nel grafico seguente si è adottata una griglia con suddivisioni del 20%.A.O.(x)0.200.80y0.400.60z0.600.400.800.150.20A.O.(z)0.35 0.500.20 0.40 0.60 0.80xA.O.(y)Le linee corrono parallele all’asse dipartendosi verso l’angolo opposto. Le etichette di valore sono collocate ai margini per non affollarel’area del grafico. Il punto “A” ha coordinate: X=15 salendo dalla base verso il vertice: A.O.(x); Y=35 spostandosi da sinistra versoA.O.(y) e Z=50 (movimento da destra a sinistra). Loether e McTavish (1998, p.123) presentano un diagramma ternario con spaziaturadel 5% e tasselli riportati all’interno del grafico: la ricostruzione dei valori è così più semplice, ma il grafico risulta troppo carico.b) Ripartizione della spesa nelle regioni del Mezzogiorno per voci economiche.Anno 1993.Regione SpesecorrentiIn contocapitaleOnerifinanziariAbruzzo 30.2 51.9 17.9Molise 24.0 31.2 44.8Campania 31.0 64.9 4.1Puglia 30.8 14.6 54.6Basilicata 25.1 58.5 16.4Calabria 18.5 50.8 30.7Sicilia 40.1 25.4 34.5Sardegna 39.3 45.9 14.8In questo caso la scelta prevede: x=oneri finanziari, y=spese correnti,z=spese in conto capitale. Il grafico pone in rilievo la Campania e laPuglia che hanno delle composizione sbilanciate (sebbene in mododiverso).0.80.40.6CalabriaJ0.20.8PugliaJJ MoliseJSiciliaAbruzzoBasilicata JJJCampaniaSardegnaJ0.60.40.2 0.4 0.6 0.80.2

344Il grafico ternario può essere costruito basandosi direttamente sulle percentuali; anzi, bastano le prime due datoche la terza si ricava per complemento. La posizione dei lati può essere scambiata cercando, tra le dodici possibili(sei ordinamenti ognuno con orientamento orario o antiorario) la configurazione più informativa.Esercizio_AE14: addetti extragricoli nelle aree metropolitane nel censimento 1991. Dati in migliaia di unità;Aree Metrop. Industria Commercio Altre att.Napoli 217.8 216.2 438.6Bari 54.9 49.8 91.2Catania 31.4 41.0 74.4Palermo 26.2 47.5 100.3Pescara 26.2 19.6 46.4Foggia 7.7 9.7 26.3Cosenza 5.7 8.2 25.5Messina 10.0 15.1 41.0Cagliari 17.7 22.9 58.8Mezzogiorno 1090.9 1084.3 2115.3Centro Nord 5264.2 3005.7 5140.0Italia 6335.1 4090.0 7255.3a) Trasformare le tre serie in rapporti di composizione;b) Realizzare il diagramma ternario;c) Qual'è il ruolo delle unità fittizie "Mezzogiorno", "Centro Nord" e Italia?L'analisi del diagramma ternario non è difficile soprattutto tenendo presente il significato dei casi estremi: adesempio l'unità che ha tre quote uguali sarà collocata al centro del triangolo; se uno dei valori è nullo il punto sitroverà sul lato mancante; sarà collocato su di un vertice se sono nulli due valori (il 100% è attribuito alla terzamodalità).L'utilità del diagramma è però limitata se le unità hanno composizione percentuale molto simile finendo conl’affollare una zona e sovrapponendosi.Esempio:Caratteristiche che meglio identificano un mezzo di informazione (dati campionari).Caratteristica Quotidiani Periodici TelevisioneAggiornamento 37.2 30.6 32.2Utilità 36.7 27.9 35.4Superficialità 28.7 29.0 42.3Comprensibilità 37.8 34.4 27.8Attendibilità 33.5 32.7 33.9Sensazionalismo 26.4 32.0 41.6Completezza 25.7 41.6 32.6Faticosità 42.4 30.9 26.70.250.750.25PeriodiciQuotidiani0.50Sensazionalismo● ●SuperficialitàAggiornamento● ●● ● UtilitàAttendibilità CompletezzaComprensibilità●● FaticositàTelevisione0.75 0.50 0.250.500.75Sebbene le caratteristiche si addensino in una zona ristretta non è difficile notare che quelle negative (sensazionalismo e superficialità) sonodiscoste rispetto alle altre e chi conosce il settore non mancherà di trarre dal grafico altre utili indicazioni. Da non trascurare la scelta di uncorpo molto piccolo per le etichette delle unità che non si sovrappongono ai dati nascondendoli o confondendoli; a questo fine contribuisceanche una loro collocazione distaccata rispetto al simbolo.Esercizio_AE15: voti per le rappresentanze sindacali.Comparto CGIL CISL UILSanità 107'573 91'532 64'467Ministeri 38'722 41'139 32'834Enti 6'214 9'946 5'550Aziende 7'684 7'339 4'694Università 11'873 9'981 5'211Ricerca 3'464 2'275 1'793Enti locali 58'249 46'550 34'885a) Realizzate il grafico ternario usando come coordinate le percentuali delle organizzazioni;b) Interpretate il risultato.Rapporti di densitàL’esempio “veicoli/rete stradale” che ha introdotto i rapporti statistici rientra nella categoria dei rapporti didensità con cui si confrontano le ripetizioni di un fenomeno ad un indicatore della dimensione. In questo modosi ottiene una misura indiretta, ma efficace del grado di addensamento nell’ambito considerato.

345Esempi:a) Nella tabella è riportato l’indice di affollamento delle abitazioni dato dal rapporto tra popolazione residente e vani occupati.Capoluogo Indice di Aff.Catanzaro 2.30Cosenza 2.18Crotone 2.47Reggio Calabria 2.20Vibo Valentia 2.18Se la popolazione usasse uniformemente le abitazioni in quanti si ritroverebbero nella stessa stanza: 2.47 a Crotone e 2.18 a Cosenza.b) Un indice noto nelle analisi di bilancio è il ROE che indica quanto si è incassato da ogni lira di capitale (trascurando i fattoristraordinari).ROE =Risultato nettoCapitale nettoAnno ROE Anno ROE1982 9.04 1987 20.121983 9.72 1988 20.501984 14.65 1989 18.211985 17.89 1990 11.691986 20.82 1991 10.36Per il periodo considerato si può notare una redditività in calo (i dati sono riferiti alle imprese manifatturiere in Italia).Della stessa natura sono le produzioni unitarie ottenute dividendo la produzione complessiva di grano, olive,cotone, etc. per gli ettari di superficie adibite alla coltivazione.Esempio:Nelle prime quattro colonne sono riportati dei dati relativi alla produzione di Chianti.Superficie Produzione uva Produzione vino Vendite(ettari) (quintali) (ettolitri) (ettolitri) Prod.Unit. Resa Unit. Vend.Unit.Annate {1} {2} {3} {4} {2}/{1} ({3}/{2})*100 {4}/{1}1989 23542 1390754 854717 858093 59.08 61.46 36.451990 23380 1342125 838838 874191 57.40 62.50 37.391991 23433 1210546 754199 833241 51.66 62.30 35.56ll primo rapporto è la produzione unitaria per ettaro (che mostra una decisa tendenza alla diminuzione), laddove la resa (secondorapporto) rimane stazionaria. Diminuisce il terzo rapporto che indica quanti ettolitri si sono venduti per ogni ettaro messo a coltura.Esercizio_AE16: in base al prospetto riassuntivo dell’attività dei Nas nel 1991.CittàNumero di Controlli Persone Sequestriinfrazioni eseguiti denunciate (mln)Cremona 1671 671 354 1058Parma 2692 2580 1867 8830Bari 2365 2749 1112 5641Bologna 2067 1781 637 30139Latina 1830 1899 814 3325Padova 1786 1567 636 25352Firenze 1687 2174 492 3003Roma 1496 2034 869 3321a) Calcolare il rapporti aventi come denominatore la prima colonna e come numeratore, a turno, le altre tre.b) In quale città i controlli sono più efficaci.I rapporti di densità hanno insito un concetto intuitivo di media o di bilanciamento tra parti diverse ed è per questoche la parola “media” ricorre tanto spesso nelle interpretazioni di tali indicatori.Esempio:Frosini (1995, pp. 62-63) chiarisce efficacemente i rischi di interpretazione erronea dei rapporti di densità: ad esempio in Calabriarisultano circolanti 32 autovetture ogni cento abitanti; questo però è vero per tutta la regione e non può essere copiato a livello comunaleo a livello di un condominio. Nel Lazio si riscontrano due abitanti per ogni autovettura: in qualche comune sarà anche vero, ma in altrisaranno cinque o sei per compensare l’affollamento delle strade di Roma.Esercizio_AE17: per valutare la familiarità con il credito si è deciso di confrontare le diverse regioni italianeutilizzando i rapporti:1) “depositi/residenti nella regione”;2) “sportelli/superficie regionale;Quali difetti o lacune riscontrate nei due indicatori?L’utilità dei rapporti di densità si apprezza quando manchino informazioni esplicite su certi aspetti del problema,oppure sia incompleta la disponibilità di dati sulle variabili che il problema sembra suggerire naturalmente.

346I rapporti di densità sono infatti uno strumento empirico-speculativo che, se usato con accortezza, limitandosia situazioni “tipiche” o standardizzabili” e senza troppe aspettative, può molto contribuire a chiarire i probleminella valutazione di un’impresa, di una amministrazione pubblica, del rischio-paese in una transazione conl’estero, nella definizione delle potenzialità di sviluppo di un’area.Esempio:L. Vasapollo (1995) illustra diversi indicatori della redditività del lavoro utilizzato dalle imprese. In particolare sono rilevanti i rapporti didensità che collegano il fattore lavoro (numero di occupati e ore lavorate) al prodotto di esercizio ed al valore aggiunto:1.Prod. Es.N. Occ.Val. Agg.; 2. ; 3.N. Occ.Prod. Es.Ore Lav. ;Val. Agg.4.Ore Lav.La “1” e la “2” esprimono il contributo medio, al prodotto di esercizio e al valore aggiunto, che deriva da ogni occupato o da ogni oralavorata. La “3” e la “4” danno indicazioni sulla produttività del lavoro (in termini di unità occupate e di ore lavorate). Si tratta comunquedi indicatori che hanno assunto un notevole, ma controverso rilievo in politica economica.Esercizio_AE18: nella tabella sono riportate alcune informazioni relative ai principali distretti industriali.Distretto Prodotto N.Aziende N.addetti FatturatoBrenta Calzature 890 1000 450Montebelluna Calzature 70 8200 123Macerata Calzature 2434 2430 2547Arzignano Concia 60 7100 308S.Croce Concia 88 10000 250Solofra Concia 150 350 900Pesaro Mobili 1000 1000 1600Brianza Mobili 9100 3000 5000Prato Tessile 1185 48000 515Biella Tessile 2300 2900 6000Carpi Tessile 2630 1310 1740a) Calcolare il rapporto addetti/aziende e fatturato/addetti per ogni distretto.b) Calcolare il rapporto fatturato/aziende per le quattro tipologie di prodotto aggregando opportunamente idistretti.L’esigenza maggiormente avvertita nei sistemi informativi aziendali e negli enti pubblici è la disponibilità diindicatori della qualità dei prodotti e servizi offerti a clienti ed utenti e soprattutto e le sue variazioni (cfr. Bryman,1992). Per ottenere parametri valutativi utili si devono spesso impiegare sia variabili direttamente rilevabili nelprocesso di produzione che derivate incrociando variabili di base al fine di creare nuove metriche. In questo sensorispondono molto bene i rapporti di densità.Esempi:a) Per quantificare l’efficienza di un ente pubblico si potrebbe utilizzare il rapporto di densità: tempo produttivo in ore/ore lavorate incui il numeratore esprime il tempo necessario per svolgere le attività istituzionali. L’utilità dei rapporti di densità emerge infattiattraverso la creazione di variabili fittizie da utilizzare come base di ragguaglio di caratteristiche altrimenti non comparabili e talvoltaneanche osservabili o nascoste in vere e proprie sciarade informative quali i dati contabili di molti enti e società.b)Posti in asili nido superficie al pubblico km di rete elettrificata; ; ;Bambini ( 03 , ) anni personale in servizio 2km di superficie2m isole pedonaliabitantiIl 1° riflette la disponibilità di servizi all’infanzia ed al lavoro. Per confrontare i punti vendita si utilizza il 2° rapporto che misura il “servizio”di cui un cliente può usufruire; il 3° potrebbe servire per valutare la interconnessione ferroviaria di una zona. Per il 4° rapporto, ad esempio,a Firenze vale 75 cioè ogni fiorentino ha a disposizione 75 m 2 di spazio libero dalle automobili; a Bari il rapporto è solo di 1 m 2 .c) Il calo degli scolari.1992/93 1995/96Alunni Classi Al/Cl cl/Al Alunni Classi Al/Cl cl/AlMaterna 833'133 36'660 22.7 44.0 863'400 37'157 23.2 43.0Elementare 2'689'818 161'999 16.6 60.2 2'551'900 145'203 17.6 56.9Media 1'955'683 101'586 19.3 51.9 1'806'800 89'136 20.3 49.3Superiore 2'560'113 121'299 21.1 47.4 2'389'100 107'149 22.3 44.8TOTALE 8'038'747 421'544 19.1 52.4 7'611'200 378'645 20.1 49.7Nel periodo considerato si nota un leggero incremento del numero medio di alunni per classe che nel complesso delle varie scuoleaumenta di una unità, ma con un aumento maggiore nella scuola superiore. Il rapporto (classi/alunni)*1000 indica quante classi sonodisponibili ogni mille alunni: anche in questo caso si nota un calo evidente visto che risultano soppresse più di tre classi delle superiorie delle elementari.

347Esercizio_AE19: stazioni della metropolitana e popolazione di alcune città europee.Città Popolazione StazioniAmburgo 2400 82Amsterdam 750 20Londra 9000 273Madrid 4000 135Milano 4300 81Mosca 10200 143Parigi 10000 351Roma 2800 33Stoccolma 1600 99Vienna 2300 39Misurare il grado di servizio inventando una variabile che coinvolga popolazioni e stazioni ed indicate qualecittà si trova in migliore posizione rispetto all’indicatore da voi trovato.Esercizio_AE20: per le regioni del Mezzogiorno si dispone dei dati sul numero di imprese e di abitanti.Regioni Imprese AbitantiAbruzzo 53 1215136Campania 328 5408298Molise 6 324741Puglia 125 3849598Basilicata 26 603959Calabria 59 2030505Sicilia 239 4803567a) Calcolare il rapporto imprese/abitanti; b) Che cosa potrebbe misurare tale variabile?Indice di nebulosità di un testoUn uso ardito dei rapporti di densità è la misura della leggibilità di un testo che rientra a buon diritto tra i concettisoft di R. Curatolo. E’ noto ad esempio il cosiddetto gunning fog index (indice di nebulosità) discusso da Bairde Stull (1983, pp. 105-107) che tende a misurare il livello di scolarità necessario per comprendere una comunicazionescritta. Le variabili che confluiscono nell’indice sono:N = Numero di parole; N = Numero di frasipNpL = =Nflunghezza media frasef⎧Le frasi semplici contano per uno⎨⎩Le frasi complesse contano per dueLa linea di demarcazione tra semplici e complesse dipende dal numero di parole, dalla presenza di avversativi,di subordinate, etc. La lunghezza media della frase è già un indicatore della sua scarsa intellegibilità, ma puòessere integrata da un ulteriore elemento: la presenza media -per frase- delle parole difficili. Indichiamo con N dil numero di parole con quattro o più sillabe che non siano scontate: nazionalità (americano) professioni (dottoressa)e le parole delle lingue straniere (latino incluso). Dalle parole difficili sono escluse: i nomi propri(Bassanini, Inghilterra); i numeri (trecentocinquanta, quarantasei, diciassettesimo); abbinamenti di due parolefacili (portalettere vicequestore); le forme verbali che raggiungono la quarta sillaba con il gerundio, con ilparticipio o con il futuro (evidenziando, partecipante, finiranno). Il rapporto che misura l’incidenza delle paroledifficili è: D=(N d/N f)10. In definitiva, l’indice di comprensibilità è dato da:L NdC = + ⎛ ⎞⎝ ⎜ N⎟ 410 ⎠che è espresso in anni di scolarità necessari per intendere il testo.fEsempio:Comunicazione commerciale: “... si distingue in ufficio o in casa non solo per il suo design avvincente ed esclusivo, ma anche perchéè assolutamente semplice e piacevole da utilizzare, questo grazie alla gestione guidata di tutte le funzioni attraverso il semplice toccodello schermo”. N p =41, N f =1+1+2=4, N d = 7; ne consegue: L=41/4=10.25, D=17.07, C=(10.25+17.07)*0.8=11. Il brano risulta comprensibileper chi ha frequentato almeno il 3° anno della scuola superiore.Esercizio_AE21: calcolare l’indice di nebulosità per il seguente comunicato“... Via libera definitivo dellacommissione Finanze del Senato al disegno di legge sulla cartolarizzazione dei crediti. Il provvedimento renderàpossibile il compimento di operazioni di securitization, regolate in tutte le loro fasi dal diritto italiano, attraversola cessione di crediti a società-veicolo che emettono titoli, a fronte delle attività che le sono state cedute e licollocano sul mercato.”

348Indicatori socialiI rapporti di densità si ritrovano spesso tra gli “indicatori sociali” o “indicatori della qualità della vita” “.Esempio:A. Tatarelli Murer (1990) rileva: “Per indicatori sociali, nel senso più lato, si può intendere una serie di rapporti statistici che presentanovalore informativo in quanto entrano come componenti in un modello dii sistema sociale. Una delle maggiori difficoltà consiste neltrovarne la giusta collocazione a causa della mancanza di un preciso quadro di riferimento. A ciò si aggiunge la difficoltà di perveniread una comune unità di misura che permetta sia confronti tre le intensità assunte dagli indicatori, sia eventuali sintesi di indicatoriesprimenti fenomeni diversi”.Come annota Giusti (1989, pp. 191-196) essi nacquero intorno al 1960 come tentativo di risposta al senso diinsoddisfazione per le condizioni della società e per le mutate caratteristiche dell’ambiente naturale e culturale(si veda ad esempio Edwards, 1974 e Corrado, 1990, cap.2); gli indicatori benesseriali ebbero (ed hanno) vitaassai difficile per la necessaria e pericolosa contiguità con le decisioni politiche.Esempi:a) Zayczyk (1997, p.41): In definitiva, dopo una fase caratterizzata da entusiasmo e forse aspettative, si è transitati attraverso unperiodo, potremmo dire, di ricorso acritico agli indicatori sociali. Il “movimento degli indicatori sociali” di utilizzo degli stessi ai fini direttidelle decisioni politiche e, in particolare, della programmazione sociale, si è ridimensionato nel tempo fino ad attribuire a questistrumenti statistici una funzione sostanzialmente conoscitiva. Infatti, benché si sia continuato a credere alla capacità degli indicatoridi rendere più efficaci i processi decisionali dei policy makers, in realtà, dopo anni di studi e ricerche, questa relazione non è affattodimostrata.b) La presenza di aree verdi all’interno di una città è un indiscutibile elemento di qualità della vita. L’ISTAT utilizza come indicatori: metriquadri per abitanti, superficie a verde su superficie comunale, addetti al verde/superficie a verde.Lo scopo di questi indicatori è di costituire variabili hard cioè rilevabili che agiscano da proxy per degli aspettisoft non direttamente censibili o rilevabili con troppi errori e relativi alle condizioni di benessere e della qualitàdi vita della popolazione. In pratica, essi agioscono come sensori delle condizioni generali.Esempi:1) Numero medio di componente per famiglia; 2) Suicidi per 100 mila abitanti; 3) Nuzialità (matrimoni ogni 1000 abitanti);4) Medici ogni 1000 abitanti; 5) Posti letto ogni 100 mila abitanti; 6) Telefoni cellulari ogni 100 abitanti;7) Biglietti venduti ogni 1000 abitanti; 8) Morti da alcool ogni 100 mila abitanti; 9) Temperatura media;10) Reddito pro capite; 11) Vetture superiori ai 2000 CC per 100 vetture; 12) Tasso di analfabetismo.Per ognuno degli indicatori benesseriali si definisce la base-line al di sotto della quale una società civile nondovrebbe mai scendere ed il cui approssimarsi dovrebbe far scattare meccanismi automatici di interventopubblico o a base volontaria che ne frenino e invertano la tendenza. La Statistica ha un ruolo determinante nellafissazione di queste soglie o di altre (ad esempio il livello “normale”).Esercizio_AE22: a) Quale ritenete sia il ruolo della statistica rispetto agli indicatori benesseriali: privilegiareindicatori sintetici oppure batterie di indicatori?b) Quali errori sono possibili nella transizione da indicatore reale a preoccupazione sociale che ne ha motivatola rilevazione (ad esempio, sono sempre usati per misurare quello per cui sono stati costruiti?)c) Si mormora che diversi leader politici adoperano gli indicatori come generica imbottitura dei loro discorsi.Cosa potrebbe indurre ad un loro uso più efficace?Rapporti causa-effettoRientrano in questa tipologia i quozienti in cui il denominatore abbia un legame di causalità (antecedenza,presupposto, premessa) più o meno diretto, con il numeratore (si parla anche di rapporti di derivazione).Esempi:a) Il rapporto “valore produzione/ricavi netti” è adoperato dagli economisti d’impresa per valutare la capacità di un’azienda di mantenereun rapporto equilibrato e profittevole tra costi e ricavi. Di norma, il valore dell’indice è superiore all’unità dato che non tutta la produzioneviene venduta (una parte finisce nelle scorte) ed una parte della produzione non è destinata alla vendita. Tuttavia, un valorecostantemente sopra l’unità è un segnale di inefficienza.b) Un noto indicatore dello sviluppo dei Paesi è quello della mortalità infantileMorti nel primo anno di vitaMortalità infantile:Nati viviRiuscire a ridurre tale indicatore ai livelli più bassi possibili è compito di ogni società civile.

349L’essenza di questi rapporti è il legame che intercorre tra le variabili coinvolte: quella al denominatorerappresenta il numero di unità su cui un evento si può verificare ed al numeratore è posta la variabile che rilevale unità in cui si verifica. Ad esempio, gli iscritti ad una università possono essere considerati il presupposto divari indicatori di efficienza: il numero di laureati, il numero di fuori corso, il numero di esami.Esempio:Confronto tra istanze presentate dall’attività di prosa e accolte dal Fondo unico per lo spettacolo.Pervenute{1}Accolte{2}({2}/{1})*100EnteEnti pubblici 4 4 100.00Istituti pubbl. e priv. naz. 2 2 100.00Teatri stabili pubblici 15 15 100.00Teatri stabili privati 13 10 76.92Teatri per l'infanzia 31 27 87.10Imprese di produzione 401 275 68.58Progetti speciali 23 5 21.74Circuiti 13 13 100.00Organismi di promozione 106 66 62.26Imprese di esercizio 88 65 73.86Teatri universitari 13 9 69.23Rassegne 54 43 79.63TOTALE 763 534 69.99Il rapporto “accolte/pervenute” mostra che, per alcuni anni, c’è piena soddisfazione, laddove emerge una forte penalizzazione deiprogetti speciali poiché solo il 21.74% delle istanze risulta accolto.Esercizio_AE23: nella tabella sono riportate, per marca e per due anni, le auto rubate e rinvenute.1991 1992Marca Rubate Rinvenute Rubate RinvenuteAlfa Romeo 4690 1401 4714 1401BMW 2167 631 1798 414Fiat 3467 1628 3281 1312Lancia 3536 1421 3260 1104Mercedes 5596 1486 4985 1130Mitsubishi 554 141 483 93Volvo 1190 200 920 144a) Definite opportunamente il “tasso di recupero”; b) Calcolatelo per le due annate; c) C’è un tasso medio?Il carnet di questo tipo di rapporti è molto ricco e diversificato. Negli esempi ed esercizi che seguono ne vedremodiverse applicazioni.Esempi:DivorziDivorzialità : Sinistri; Emigrazione : Emigrati Rischio incidenteMatrimoniResidenti; : Autoveicoli circolantiI rapporti causa-effetto o di derivazione mirano a cogliere gli aspetti di un problema che possono ragionevolmentericondursi ad una causa scatenante principale. Servono perciò a standardizzare i confronti eliminando un riferimentodifferenziante che potrebbe alterare la comparazione. Da notare che un indicatore può rientrare in piùdi una categoria di rapporti; nessuna difficoltà, solo che cambia il tipo di significato attribuito.Esempio:Evasi durante la fruizione di un permesso premio.L’andamento è oscillatorio con variazioni tra il 7 e l’11 per mille rivelando una sostanzialestabilità. Il rapporto è di derivazione perché per evadere da un permesso premio occorreprima fruirne, ma si può interpretare anche come rapporto di composizione: quanti neevadono, “in media”, per ogni mille permessi premio.Anno Fruitori Evasi (Ev./Fr.)100094 14'755 132 8.995 13'540 143 10.696 13'042 122 9.497 13'663 99 7.298 12'541 141 11.2Esercizio_AE24: fra i vari marker di produttività del lavoro ve ne sono alcuni che rapportano ai dipendenti iricavi netti e gli investimenti netti (grado di meccanizzazione).Società Ricavi netti Dipendenti InvestimentiFiat Auto 28886 124421 3853Iveco 7850 37341 420New Holland 4541 19590 73Texsic 1160 9631 108Magneti Marelli 2871 21658 225CEAC 1057 6206 40Gilardini 2538 8643 93FiatAvio 1243 4706 75Snia BPD 2068 10334 165Fiat Impresit 2550 8384 47a) Calcolate tali indicatori per le imprese del gruppo FIAT;b) Interpretate il risultato individuando la società in condizioni migliori.

350Quozienti specifici e quozienti genericiSe il denominatore è solo indirettamente riferito al numeratore si parla di rapporti generici; se invece il legame è esplicitosi parla di rapporti specifici perché dai loro denominatori si sono scorporati quegli elementi che non concorronodirettamente alla successiva formazione del numeratore.Esempi:Redditi prodottiCrimini commessi su minoria) Efficacia prestiti : ; Disagio minorile : ;Fidi concessiNumero di minorib) Violazione delle direttive in alcuni Paesi della Unione Europea. Calcolo di due rapporti di derivazione.Messa in Parere DeferimentoPaese mora motivato alla Corte (P/M)100 (D/P)100Belgio 90 35 18 38.89 51.43Germania 121 35 19 28.93 54.29Francia 154 52 15 33.77 28.85Portogallo 117 35 14 29.91 40.00Italia 122 35 20 28.69 57.14Spagna 107 25 7 23.36 28.00Lussemburgo 75 16 6 21.33 37.50Rispetto al 1° sono il Belgio e la Francia a risultare più indietro nelle applicazioni della normativa europea. Rispetto al 2° è l’Italia che arrivaall’ultimo stadio della procedura.c) Il confronto mediante tassi generici è utile in quanto basato su valori adimensionali comparabili almeno a livello superficiale. Possonoperò risultare imprecisi e distorti in alcune circostanze. Blangiardo (1987, p. 59) riporta i seguenti calcoli relativi ai tassi generici dimortalità in provincia di Brescia e di Mantova:⎛⎝MP1' 000⎞ 9' 502=⎠ BS 978' 808 1' 000 = 9.71; ⎛ M1' 000⎞=⎝ P ⎠ MN4' 6911' 000 = 12.39378' 592I due valori non sono però confrontabili in quanto influenzati in modo sensibile dalla diversa struttura per età delle due popolazioni. Sesi circoscrive l’attenzione alle fasce d’età superiori ai 60 anni (tasso di mortalità specifico per questa fascia) si ottiene:⎛⎝MPcon risultati opposti a quelli precedenti.1' 000⎞ 7' 212=⎠ BS 146' 069 1' 000 = 49.37; ⎛ M1' 000⎞=⎝ P ⎠ MN3' 8681' 000 = 48.5979' 602I rapporti specifici sono quelli più utili per la loro pertinenza, ma anche quelli su cui è più difficile ottenereinformazioni per cui sono spesso sostituiti da quelli generici.Esercizio_AE25: indicatori del controllo parlamentare sul governo.Sede Interrogazioni RisposteCamera-Risposta scritta-Aula 31750 14710Camera-Risposta scritta-Comm. 3517 1203Senato-Risposta scritta-Aula7806 3816Senato-Risposta scritta-Comm. 1275 182Camera-Risposta orale-Aula3547 1194Senato-Risposta orale-Aula511 383TOTALE 48406 214881) Calcolare il rapporto “risposte/interrogazioni”;2) Individuare le situazioni di maggiore disponibilità del governo.Esercizio_AE26: l’indice di sofferenza bancaria è un indicatore della salute delle aziende di credito. Ecco deidati relativi aSofferenza :per due campioni di istituti del Nord Est e del MezzogiornoFidi non rientratiFidi concessiMezzogiorno 18.9 12.8 16.1 24.9 15.8 19.4 17.1 11.3 11.0 29.9 17.2 30.0 15.1 16.7 19.2 28.616.3 15.2 12.2 14.7 19.8 25.9 21.9 27.8 15.8 16.6 26.5 17.8 18.0 18.6Nord Est 12.1 8.7 10.7 14.9 10.5 12.3 11.2 7.6 7.5 21.3 11.2 16.9 10.1 11.0 12.2 16.410.8 10.2 8.3 9.9 12.5 15.3 13.5 17.3 10.5 10.9 15.5 11.6 11.6 12.0a) Redigere il poligono di frequenza;b) Che tipo di lettura si può fare dell’indice di sofferenza?

351Rapporti di coesistenzaQueste variabili si ottengono da informazioni su aspetti diversi di uno stesso problema, ma che è di interessevalutare congiuntamente o perché hanno le stesse radici oppure perché concause di un altro fenomeno. Lo scopoè di evidenziare il comportamento di ciò che i due dati costitutivi hanno in comune e che si ritiene sia rappresentatodal loro rapporto portando in primo piano squilibri o sbilanciamento. I rapporti di coesistenza entranospesso nei sistemi di valutazione di imprese, di enti e di persone (dirigenti pubblici e manager privati) impostatisu parametri rigorosamente oggettivi che vadano oltre il grezzo: “obiettivi/risultato” la cui vaghezza lascia spazioa giudizi arbitrari e parziali sull’operato dei responsabili della gestione.Esempi:a)RedditoConsumi ;Impiegati; Funzionalità chip :OperaiFrequenza in HzSuperficie chip ;b) Una misura dell’intelligenza di una specie è il rapporto di coesistenza “massa cerebrale/massa corporea”. E’ stato però osservato cheil confronto dovrebbe avvenire per volume della scatola cranica e del corpo piuttosto che per superfici; in tal senso la superficie cerebraleapprossima bene il suo volume, per quella corporea è necessaria una correzione per cui il rapporto di coesistenza appropriato è:Massa cerebrale[ Massa corporea] 2 3Su questa metrica Homo sapiens è in testa subito seguito dal delfino e con Homo abilis (un antenato diretto dell’uomo moderno) interza posizione (Cleveland 1994, pp.12-13).Esercizio_AE27: prezzi in dollari dei medicinali per 100 pastiglie-1991).a) Calcolare il rapporto di coesistenza Prezzi USA/Prezzi Canada;b) Che significato si può attribuire a questo rapporto ed al suo reciproco?Medicinale USA CanadaAtivan 49.43 6.16Ceclor 134.18 84.14Coumadin 36.70 19.59Dilantin 15.03 4.67Feldene 167.54 123.61Halcion 47.69 16.09Lopressor 37.51 15.80Naprosyn 72.36 42.64Pepcid 103.74 76.22Premarin 26.47 10.10Il rapporto di coesistenza assume particolare rilevanza se le informazioni componenti sono relative ad aspetti fraloro complementari cioè tali che una delle due caratteristiche deve necessariamente essere presente in ogni unitàquale la composizione hardware/software in un sistema informativo. In questo caso la nuova variabile chescaturisce dal rapporto misura la prominenza di uno degli aspetti rispetto all’altro. Se il rapporto è superioreall’unità vuol dire che si è verificato uno scompenso a favore del numeratore che è cresciuto a danno deldenominatore. E’ vero il contrario se il rapporto risulta inferiore ad uno.Esempi:a) La liquidità è uno dei fattori da tenere sotto controllo nel valutare l’assetto economico globale di un’azienda perché misura la capacitàdi riuscire a fare fronte ai debiti con mezzi propri o con l’indebitamento. Un indice adatto allo scopo è il rapporto di liquidità primaria:Liquidità immediate + Liquidità differitePassività correntiil valore ideale dell’indice è uno. Se rimane superiore ad uno per troppo tempo è segno che c’è liquidità non investita; se l’indice persisteal di sotto del valore unitario l’azienda è prossima ad incagliarsi.b) E’ noto che il guadagno principale delle banche è costituito daldifferenziale tra i tassi attivi ed i tassi passivi. Ma questo è lo stesso intutta Italia? Ecco dei dati per il secondo trimestre 1991.Il rapporto di coesistenza indica che il divario tra tassi attivi e passividiminuisce nel passare da comparti a minore sviluppo a quelli amaggiore sviluppo.CompartoTassi attivi sui c/c{1}Tassi passivimedi presunti{2}{2}/{1}Nord ovest 7.71 14.42 1.87Nord Est 7.84 14.59 1.86Centro 7.65 15.20 1.99Sud 7.44 16.21 2.18Isole 7.98 16.21 2.03Esercizio_AE28: presenze di ospiti italiani e stranieri nei complessi ricettivi all’aria aperta (dati in migliaia).Anno Italiani Stranieri1982 25377 163121983 24098 144761984 24236 134901985 24994 139831986 26483 15066a) Calcolare il rapporto “stranieri/italiani” nei vari anni;b) Descrivere l’andamento temporale del rapporto.1987 26717 166941988 26748 164471989 26161 143371990 28219 137541991 30264 15079

352Diagramma di complementarietàIl rapporto di coesistenza si presta ad una utile rappresentazione grafica (diagramma di complementarietà) basatasul fatto che i dati a rapporto sono componenti antitetiche di un fenomeno unitario. Noto il dato al numeratoresi ricava, per complemento al totale, il dato al denominatore (o viceversa).Per ogni unità si costruiscono le due nuove variabili:XDato al numeratore= ; X =Totale1 2Dato al denominatoreTotaleche costituiscono le coordinate. I punti si troveranno tutti disposti lungo la retta: X 1=1-X 2. L’inserimento dellabisettrice del primo quadrante (X 1=X 2) fornisce inoltre un ausilio di lettura per i valori inferiori e superioriall’unità. Per ottenere poi il rapporto di coesistenza basterà dividere X 1per X 2Esempi:a) Nella tabella che segue sono riportati alcuni dati del bilancio consolidato 1991 delle aziende del gruppo IRI.Gruppi principali D.F.N M.P. X2 X1Stet 19506 . 19470 0.50 0.50Ilva 6338 2973 0.68 0.32Finmeccanica 4862 2364 0.67 0.33Iritecna 8819 4557 0.66 0.34Alitalia 1167 1386 0.46 0.54SmeRai166164813633630.110.820.890.18Fincantiere 764 703 0.52 0.48Finmare 1818 405 0.82 0.18Finsiel 99 251 0.28 0.72Totale IRI 63330 22248 0.74 0.260,90,80,70,60,50,40,30,20,1oSmeX 1FinsieloAlitaliaoStet o FincantieriIlvaFinmeccanica IIritecnaoooTOTALE IRIoFinmareRai oX 200 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9Proviamo a rappresentare il rapporto “debiti finanziari netti/mezzi propri”. Poniamo X 1=mezzi propri/totale e X 2=debiti finanziari netti/totale. La società che è in migliore posizione è la Sme che dispone di 8 lire di mezzi propri per ogni lira di debiti finanziari netti. Anchela Finsiel non è in cattiva luce dato che i mezzi propri sono in rapporto di tre ad uno con i debiti finanziari. Le imprese che si presentanoin sofferenza sono la RAI e la Finmare le quali, a fronte di una lira di mezzi propri, hanno quattro lire di debiti finanziari netti.b) Variazione della pressione fiscale nettain alcuni Paesi occidentali.Il grafico segnala che la Svizzera èl’unico Paese in cui la pressione fiscalediminuisce nel quinquennio. inoltre, levariazioni sono tutte della stessa entitàper cui i punti si collocano nella fascia55%-65%.Paese 1990 1995Irlanda 4.1 7.3Olanda 14.2 24.2Canada 6.8 11.2Svezia 15.5 25.3Norvegia 13.4 21.7Regno Unito 10.1 15.7Italia 10.8 16.1Danimarca 11.5 16.6Finlandia 10.6 15.3Belgio 12.2 17.6USA 12.0 16.5Francia 14.1 19.1Svizzera 14.4 13.5Austria 14.5 18.5Giappone 5.9 7.5Germania 14.8 18.70.65 IrlandaE Olanda0.63 E CanadaE 0.61 Svezia NorvegiaE Regno UnitoEItalia0.59 BelgioEDanimarca FinlandiaUSAE Francia0.57AustriaGiapponeEGermania0.550.530.510.49E Svizzera0.470.450.35 0.37 0.39 0.41 0.43 0.45 0.47 0.49 0.51 0.53 0.55Esercizio_AE29: nel prospetto è indicato, per sesso, il personale dei ministeri al 1986.Ministero Totale FemminePubblica Istruzione 1118894 731262Finanze 69277 27274Difesa 52859 10841Giustizia 40883 15940Interno 16957 8354Beni culturali 23877 8167Lavoro 15665 6291Tesoro 15029 6374Altri 32863 16267Rappresentate graficamente il rapporto di coesistenza: femmine/maschi.

3535.1.3 Rapporti che si risolvonoMolte variabili utili ed interessanti si ottengono rapportando un valore di stock: la consistenza (in numero o inquantità) di un fenomeno in un certo istante e un valore di flusso: l'ammontare o il numero interessato damovimenti in entrata o in uscita nell’intervallo di tempo: ora, giorno, mese cui è riferita la rilevazione. Supponiamoche il fenomeno sia stazionario cioè che per ogni unità che esce ne entra un’altra. Tale fenomeno può essereconsiderato come formato da un certo numero di posti fissi (consistenza) che indichiamo con Co iche sonosuccessivamente occupati dalle diverse unità che si immettono (E i) ed in cui rimangono posti vuoti lasciati liberidalle unità che fuoriescono (U i). Il rapporto tra la parte complessivamente rinnovata nell’unità di tempo (Nu i)ed il numero di posti (Co i) esprime la frequenza, il rinnovo o la rotazione -per la data unità di tempo- dellesostituzioni in ciascun posto:R i = Nu iCo i, i = 1, 2,…, nIl reciproco del rapporto misura l'intervallo medio fra due successive sostituzioni di unità nel medesimo postoovvero la durata del tempo trascorso dal momento in cui una unità entrando nello stock viene ad occupare unposto, a quello in cui, essendo fuoriuscita, lo lascia libero. 1/R iindica perciò la permanenza o durata:D i = Co iNu i, i = 1, 2,…, nEsempio:Landenna (1994, p. 266) rileva: “... Qualora si pongano a confronto due grandezze stock riferite a due diversi istanti oppure duegrandezze flusso relative a due diversi intervalli, l’elemento che varia si identifica con il tempo; invece, se le grandezze confrontatesono uno stock ed un flusso, legati dal fatto che l’istante di rilevazione del primo appartiene ad un intervallo nel quale viene osservatoil secondo, l’elemento che differenzia le due situazioni poste a confronto è il fenomeno”.Poiché nel dato arco di tempo si potrebbero rilevare infiniti valori della consistenza (uno per ogni "istante" delperiodo) il valore che entra nei rapporti è approssimativo e sintetico. Di questi valori ne vediamo solo uno. Comeinterpretarlo? Se ipotizziamo che i rapporti siano stabili nel periodo di rilevazione allora quello osservato nellafase centrale può valere come “media” e più breve è il periodo, migliore sarà l'approssimazione.Esempio:Operazioni al 29-2-1992 della Cassa depositi e prestiti per alcuni anni e per alcune aree.Nuove domande Pratiche trattate Rotazione DurataAnni Numero Importo Numero Importo Numero Importo Numero Importo1989 4'181 3'860'563 25'382 4'248'891 0.16 0.91 6.07 1.101990 3'314 1'981'344 8'589 1'921'814 0.39 1.03 2.59 0.971991 1'330 749'427 12'589 8'597'813 0.11 0.09 9.47 11.471989 4'310 4'113'585 15'359 1'984'623 0.28 2.07 3.56 0.481990 1'547 797'725 4'408 1'062'784 0.35 0.75 2.85 1.331991 822 346'027 6'293 3'577'340 0.13 0.10 7.66 10.341989 8'941 7'974'148 40'741 4'904'939 0.22 1.63 4.56 0.621990 4'861 2'779'059 12'997 3'089'718 0.37 0.90 2.67 1.111991 2'152 1'095'454 18'882 1'841'639 0.11 0.59 8.77 1.68I rapporti di durata rivelano che la permanenza è maggiore per gli importi che per il numero; inoltre, le pratiche relative al Mezzogiornosono smaltite più lentamente. L'efficienza della Cassa, misurata con il coefficiente di rotazione che -a grandi linee- potrebbe misurarela velocità dell'iter di perfezionamento delle pratiche, è maggiore per l'importo solo nel 1991 che risulta un anno di attività particolarmenteintensa. Sulle pratiche relative alle richieste del Mezzogiorno la velocità è sempre inferiore rispetto a quella del Centro-Nord.Le riserve sull'uso dei rapporti si pongono anche per quelli che si risolvono. Innanzitutto non bisogna trascurareche anche i fenomeni più semplici sono alimentati da una molteplicità di cause e che i rapporti -per loro naturaspingonoa circoscrivere l’attenzione a quella più rilevante determinando così la scarsa generalità del rapporto.Peraltro, si ipotizza che il fenomeno sia stabile ovvero poco variabile, come regolari e misurabili dovrebberoessere il flusso in entrata ed in uscita; tutti presupposti raramente verificati (ad esempio, applicate agli studentiuniversitari significa che il flusso delle matricole è in proporzione costante con il flusso dei laureati); infine, leinformazioni mancanti sono spesso stimate con approssimazioni fantasiose e soggettive, accettabili solo per lefinalità esplorative di questi indicatori.

354Esercizio_AE30: imprese per ramo di attività. Valori assoluti secondo semestre 1994.Ramo di attività Registrate Iscritte CancellateAgricoltura 1368 36 27Energia-Gas 119 2 5Industrie estrattive 1433 14 33Industrie lav. metalli 7272 132 135Industrie alimentari 10161 287 284Costruzioni 15614 484 372Comm.Pubbl. Esercizi 60933 1548 1696Trasporti e comunicazioni 7875 202 225Credito e assicurazioni 12469 370 271Sevizi pubblici 10200 236 221Imprese non classificate 4098 634 105TOTALE 131542 3945 3374a) Proporre e calcolare: 1) Un rapporto flusso/consistenza; 2) Un rapporto consistenza/flusso;b) Quali concetti tendono a misurare?c) Come si interpretano i rapporti del punto a) relativamente alla unità fittizia “TOTALE”?Rapporti di durataScaturiscono dal rapporto tra la consistenza media di un fenomeno (numeratore) con quella sua parte che in undato periodo di tempo mediamente si rinnova (denominatore). Ogni sua modalità fornisce un’indicazioneindiretta sul tempo di permanenza ovvero del tempo necessario a che il flusso si estingua qualora sia interrottala corrente di entrata o del tempo che precede la tracimazione qualora si interrompa la corrente di uscita.Esempi:a) Un tino di Rapitalà (eccellente bianco siciliano) della capacità di 3.5 ettolitri viene svuotato al ritmo di 5 litri al minuto. In quanto tempoil tino sarà prosciugato? Basta porre a rapporto la capacità del tino e la portata del rubinetto: T=350/5=70 pari ad un’ora e dieci minuti.b) In un Paese europeo gli immigrati clandestini sono 150’000. Ne sono regolarizzati 2’000 la settimana (giorni festivi inclusi).Supponendo che nessuno entri più illegalmente, quanto tempo ci vorrà per normalizzare completamente la situazione?T=150’000/2’000 =75 settimane pari ad un anno, cinque mesi e tre settimane. Per quanto tempo un immigrato si troverà in posizioneillegittima: da una a 75 settimane, in media (1+75)/2= 36 settimane, cioè nove mesi.c) Un corso immatricola 200 studenti ogni anno accademico. Inoltre, ogni anno si diplomano 50 studenti e gli iscritti sono 550. Quantotempo rimarrà iscritto uno studente? Stimando a (200+50)/2=125 gli studenti interessati da un movimento (o di entrata o di uscita)potremmo dire che lo studente permarrà nel corso per 550/125=4.4 cioè quattro anni accademici, 4 mesi e 24 giorni: [0.4*12] e [0.8*30].Le difficoltà maggiori, come si sarà intuito dagli esempi, nascono dalla misura di consistenza e di flussi datala prevedibile carenza di rilevazioni dirette. Ad esempio, nel caso della permanenza nel corso di un diplomauniversitario si dovrebbe conoscere la carriera accademica di ogni studente e tenere conto dei diversi flussi diuscita: abbandono studi, barriere di esami, diploma finale e dei flussi di entrata: immatricolazioni, provenienzada altri corsi di laurea o diploma. In mancanza di informazioni specifiche si procede con valori presunti.La parte che si rinnova è stimata con il valor medio tra entrate ed uscite:Nu i = E i + U i2, i = 1, 2,…, nche presuppone la regolarità dei due flussi rispetto al tempo e la loro omogeneità. Per il calcolo della consistenzamedia si adopera la semisomma della consistenza all’inizio del periodo A ied alla fine Z i:Co i = A i + Z i2, i = 1, 2,…, n D i = Co iNu i=A i + Z i2E i + U i2= A i + Z iE i + U i, i = 1, 2,…, nIl rapporto è espresso nell'unità di tempo (e frazioni) a cui sono riferite le entrate, le uscite e la consistenza media.Esempi:Pazienti1 / 1 + Pazienti31/12Degenza media : * 365;Dimessi + AccettatiRimanenze1 / 1 + Rimanenze31/12Giacenza media : * 365Acquisti + VenditeL’unità di misura per entrambi i rapporti è il giorno e cioè una giacenza media pari a 3.2 informa che il prodotto è rimasto in magazzinoper tre giorni ed il 20% di un giorno (più di 4 ore).

355Esercizio_AE31: finanziamenti alla giustizia. Dati 1994.a) Calcolate la durata media in mesi dell’iter;b) Qual’è quella in cui c’è la migliore gestione?Regione Presentati Finanziati In esame all'1.1 In esame al 31.12Sardegna 17 5 13 11Sicilia 16 8 19 28Calabria 37 6 38 45Campania 37 10 16 33Puglia 40 13 53 30Può succedere che o per il rinnovo o per la consistenza o per entrambe si abbiano misure dirette o desunte da altrefonti attendibili. Tali informazioni -come principio generale- debbono essere utilizzate per calcolare i rapportisenza perciò ricorrere alle formule di approssimazione.Esempio:Consideriamo le seguenti informazioni sulle giacenze di magazzino e sulle vendite della “General Cosmetics Ltd” e calcoliamo ladurata della giacenza media per i vari anni.Anno Rim.Iniziali Rim.Finali Totale Vendita media Giac.media-mesivendite1976 21688 12628 162500 13542 1.26701977 12628 11314 198700 16558 0.72301978 11314 10210 241800 20150 0.53411979 10210 9736 292900 24408 0.40861980 9736 5277 363600 30300 0.24771981 5277 3828 471900 39325 0.11581982 3828 3734 530100 44175 0.08561983 3734 4155 570100 47508 0.0830Si nota un costante aumento delle vendite particolarmente evidente nell’incremento della vendita media mensile. A questo aumentatovolume di attività fa riscontro una progressiva riduzione della giacenza media in magazzino che nell’ultimo anno arriva all’8.3% di unmese cioè 2.5 giorni.Potrebbe inoltre essere noto che il fattore di eliminazione sia diverso da quello di rimpiazzo cosicché la parterinnovantesi può essere stimata con una media ponderata delle immissioni ed emissioni:α E UNui= 1 i + α2i , α1, α2 ≥ 0; α1 ≠ α2,; i = 1, 2, …,nα1 + α2Analoghe informazioni potrebbero essere disponibili per la consistenza ed anche in tal caso di potrà optare peruna stima meno grezza.Esempio:Permanenza di un computer nelle abitazioni.Anno Disponibilità Acquistati Rottamati Rinnovo Durata1994 1458 598 350 432.67 3.371995 1507 615 466 515.67 2.921996 1694 713 591 631.67 2.681997 1814 858 627 704.00 2.581998 2067 986 775 845.33 2.45La consistenza è stimata con interviste nel luglio di ogni anno; il rinnovo è stimato ipotizzando un ritmo di rottamazione doppio di quellodi acquisto. Dalla permanenza di 3 anni e 0.37*12=4 mesi del 1994 si passa a 2 anni e 5 mesi nel 1998.Esercizio_AE32: dati relativi all’acqua (migliaia di metri cubi) nelle varie regioni per l’anno 1987.Regioni Immessa Erogata Portata MediaPiemonte 559426 468516 293336Valle d'Aosta 18372 16238 12060Lombardia 1263787 1089708 668297Trentino AA 176492 153804 118559Veneto 539276 415015 293934Friuli 179481 140917 97159Liguria 296665 241446 159939Emilia R. 412955 330404 217742Toscana 419053 321970 230831Umbria 86475 67688 47816Marche 152505 124803 89154Lazio 849674 609645 438243Abruzzo 202922 142701 107849Molise 43875 27326 25320Campania 605928 480094 312663Puglia 406327 313654 237128Basilicata 84579 66708 49743Calabria 305462 238634 170082Sicilia 525862 381343 272236Sardegna 178402 144318 120711a) Calcolare, per ogni regione, il tempo medio in anni di autonomia qualora si fermasse l’immissione;b) Che cosa indica il reciproco di tale rapporto?

356Rapporti di rotazioneSe si inverte il rapporto di durata si ottiene una variabile le cui modalità misurano, ammesso che ciò abbia senso,il numero medio delle volte che, in un periodo di tempo prefissato, la stessa unità torna a far parte del fenomeno(tasso di ripetizione, rotazione o rinnovo). Tali rapporti si costruiscono ponendo al numeratore la variabile chemisura i rinnovi (eventualmente approssimati) ed al denominatore la consistenza media.RiNuiEi+ Ui= = , i = 12 , ,…,nCo A + ZiiPer ogni rapporto di durata esiste un corrispondente rapporto di rotazione e viceversa. Essi però hanno un lorosignificato autonomo e sono usati indipendentemente l’uno dall’altro e talvolta nella stessa analisi.iEsempi:Efficienza bancaria:Depositi + ImpieghiConsistenza depositi ; Rinnovo popolazione: Nati + MortiPopolazione mediaEsercizio_AE33: comuni calabresi che rispetto all’ultimo censimento hannosubito un forte spopolamento.a) Determinare ed interpretare un rapporto di rotazione che coinvolga ilmovimento migratorio;b) Come si legge tale rapporto?Anno Pop.Res. Emigrati Immigrati1972 159896 2921 17781973 156361 2885 16241974 154206 2946 14001975 152597 2786 14571976 150044 3108 13661977 147024 3466 12861978 142489 3927 1187I rapporti di rotazione servono a colmare, pur con i soliti limiti, eventuali lacune di informazioni oppure a darele prime impressioni in svariate situazioni senza complicate (e forse sbagliate) e/o costose rilevazioni.Esempi:a) La velocità di circolazione della moneta. E’ importante conoscere quante volte un biglietto di banca viene scambiato in una certa unitàdi tempo: più è alta la velocità, minore è la quantità di biglietti monetari di cui un’economia ha bisogno per funzionare. La definizione piùusata misura la velocità con il rapporto tra il controvalore monetario dell’insieme delle transazioni verificatisi in un anno e la massamonetaria esistente in quell’anno: “valore delle transazioni/quantità di moneta”. Dal 1979 al 1992 la velocità di circolazione della monetaè passata da 1.8 a 3.1: mentre nel 1979 una lire poteva finanziare 1.8 lire di beni e servizi nel 1992 ne sostiene 3.1.b) Un rapporto importante per misurare l’efficienza aziendale è l’indice di rotazione del magazzino:Acquisti + Esistenze iniziali + Rimanenze finaliEsistenze iniziali + Rimanenze finali2il calcolo può essere riferito ad intervalli di tempo di lunghezza convenzionale (ma uguale per tutte le unità): settimana, mese, trimestre,Quanto più il valore dell’indice è vicino ad uno, tanto più è lento il rinnovo delle scorte; se l’indice è pari ad uno allora il volume degli acquistieffettuati nel dato arco di tempo è equivalente alle rimanenze.c) Il flushing rate di un lago, bacino, diga, è definito come “volume immesso annualmente/volume a metà anno” e misura il numero divolte, nell’anno, che l’acqua è rinnovata e, indirettamente, la capacità di autodepurazione.Le analisi di bilancio sembrano nutrire grande fiducia nell’immagine dell’impresa che si forma attraverso irapporti statistici e sulla capacità di questi di fungere da sintomi dell’andamento gestionale. L’indice di rotazionedelle scorte, l’indice di rotazione dei crediti (fatturato/crediti verso clienti) e dei debiti (acquisti/debiti versofornitori) possono però dare solo suggestioni, molto approssimative e grossolane. Utili, certo, ma non meritevolidi fiducia ieratica.Esercizio_AE34: l’Università della Calabria consente una sola reiscrizione:cioè, dopo la laurea è possibile iscriversi di nuovo solo un’altravolta. Nel prospetto ci sono alcuni dati per un corso di laurea.a) Calcolare il rapporto:5 Immatricolati t-4 + Laureatit52∑ Iscritti t −+ i 1i=1b) Qual’è la logica alla base del rapporto?c) Cosa potrebbe misurare il reciproco di tale rapporto?A.A. Iscritti Immatricolati Laureati1978/79 903 306 681979/80 908 349 761980/81 1001 349 861981/82 1137 354 901982/83 1205 359 1071983/84 1245 313 1061984/85 1340 312 1001985/86 1323 362 1041986/87 1479 427 109

3575.1.4 Rapporti di rapportiTalvolta si rende necessario costruire nuove variabili a partire da due altri rapporti (rapporti di 2° livello). La lorointerpretazione si complica leggermente, ma le possibilità operative sono stimolanti:R i=YiXiZiWiYiWiYiW= ⎛ i⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ = ⎛ Xi⎠ ⎝ Zi⎠ ⎝ ⎜⎞ ⎛ ⎞* ⎟ * ⎜ ⎟Zi⎠ ⎝ Xi⎠A questi rapporti si fa ricorso nel confronto di serie storiche deflazionate (illustrate in un prossimo paragrafo)o destagionalizzate (al netto delle variazioni attribuibili alla periodicità di rilevazione).Esempio:Deutsch K.W. in (Taylor ed al. 1968, p. 35) suggerisce di valutare la stabilità di un Paese in base all’indice:S =PVL ; dove:Y 10Y⎧P = settore pubblico / totale economia⎪L = perc.Analfabeti⎪⎨Y 10 = Ammontare di reddito del 10% più ricco⎪Y = Reddito totale⎪⎩⎪V = percentuale di votantiL’indice S è fascinoso, ma anche complesso in quanto coinvolge sia variabili singole che altri rapporti.Le proprietà dei rapporti di primo livello si estendono a quelli del secondo anche se le possibilità di interpretazionesi riducono drasticamente. I rapporti di rapporti sono evocati quando l’influenza di un fenomeno A su diun altro fenomeno B sia stata ricondotta ad un rapporto statistico e questo abbia un comportamento noto (o moltoprevedibile) tale da consentire la semplificazione dello studio di B eliminando il contributo di A. Come si è giàdetto più volte, gli indici aiutano a formulare un giudizio, ma non sono dei giudizi così come la misura della febbreaiuta la diagnosi, ma non si sostituisce alla diagnosi.Esempi:a) D'Angelo (1995) riporta molti indici di interesse per l'economia regionale. In particolare (pp. 20-21) illustra l'indice di Fuchs per valutarei ritmi di sviluppo di una regione rispetto a quello nazionale. Per l'occupazione L il relativo indice è dato da:FL ( ) = f L j − i L j *sf L ; conj⎧ f L j : occupazione nella regione j- esima a fine periodo⎪⎨ i L j : occupazione nella regione j- esima ad inizio periodo⎪⎩s: saggio di variazione nazionale dell' occupazione nel periodoL'indice esprime il guadagno o la perdita dell'occupazione reale di una regione rispetto all'occupazione teorica che avrebbe avuto se il saggiodi crescita della sua occupazione fosse stato pari a quello nazionale.b) Il calcolo della sanzione pecuniaria che la Corte di giustizia europea può infliggere ad uno Stato membro si basa anche sulla capacitàfinanziaria di quest’ultimo. Tale capacità è misurata dalla radice quadrata di un rapporto di 2° livello:⎧PILp= Prod. Int. lordo paese " p"PILpVotip ⎪PILmin= PIL minimo tra gli Stati membriCF = * ; dove ⎨PILminVotimin⎪Votip= Voti in Commissione dello Stato " p"⎩⎪Votimin= numero minimo di voti in CommissioneIl coefficiente varia tra 1 (Lussemburgo) e 26.4 (Germania). L’Italia ha un di CF=17.7.x ∆yEsercizio_AE35: l'elasticità di una funzione y=f(x) rispetto alla variabile "x" è definita da: Eyx ( , )= *y ∆xdove ∆y esprime l'incremento in "y" e ∆x l’incremento in “x”. Verificare che si tratti di un rapporto di rapporti.Esercizio_AE36: spesa procapite e in percentuale rispetto al PIL nel settore deltrattamento dati.a) Costruite un rapporto di rapporti;b) Valutate la posizione dell'Italia.Paese Spesa P.C. Spesa/PILUSA 909.0 3.1Giappone 741.0 1.8G. Bretagna 523.0 2.8Germania 512.0 1.9Francia 489.0 2.0Italia 253.0 1.4Spagna 173.0 1.3

3585.1.5 Variazioni relativeIl correlato empirico di diversi costrutti che più o meno indirettamente sono riferiti al mutamento è ottenuto dallaseguente impostazione: le unità sono esaminate rispetto ad una variabile in una data occasione; la stessa operazioneè ripetuta in una occasione diversa e ci si chiede quale sia la variabile che possa esprimere i cambiamentiintervenuti tra le due circostanze.Esempio:Avvisi per gare pubblicati sulla "Gazzetta Ufficiale" nel periodo gennaio-giugno 1993 (importi in miliardi).Regione 1991 1992 {2}-{1} ({2}/{1})*100 ({1}/{2})*100Piemonte 481.6 1856.0 1374.4 385.38 25.95Lombardia 782.6 818.1 35.5 104.54 95.66Veneto 539.2 466.4 -72.8 86.50 115.61Emilia Romagna 341.2 765.8 424.6 224.44 44.55Lazio 1024.0 498.9 -525.1 48.72 205.25Campania 860.7 804.3 -56.4 93.45 107.01Calabria 261.5 567.4 305.9 216.98 46.09Nella terza colonna è riportata la differenza assoluta nei due periodi. A parte il segno, questi importi non producono confrontisignificativi: una differenza di 100 miliardi può essere poco o può essere molto secondo il valore iniziale: se nella prima occasioneera 100 e nella seconda passa a 200 si verifica un aumento del 100%; se invece era già a 1’000 e passa a 1’100, l'aumento sarà solodel 10%. I rapporti di coesistenza calcolati nella quarta e quinta colonna (detti numeri indice, discussi più avanti) danno un'indicazioneindiretta: ad esempio, per il Piemonte il primo rapporto dice che nel 1992 gli importi sono pari il 385% di quelli del 1991 ovvero chequesti sono il 26% di quelli del 1992.I rapporti di coesistenza non rappresentano bene l'incremento o il decremento tra le due occasioni come ciriescono le variazioni assolute; queste però trascurano il livello di partenza. Per arrivare ad una variabile significativaè necessario coinvolgere sia le differenze che i rapporti in quelle che si chiamano "variazioni relative".Se indichiamo con H(X i,Y i) il rapporto tra le due variabili componenti, si dirà che H(.) misura la variazionerelativa se gode delle seguenti proprietà:( )= = ( )<

359Esempio:Prima di una svalutazione, il cambio Lira/Marco era 900:1 cioè erano necessarie 900 lire per acquistare un marco. Dopo la svalutazioneil cambio è divenuto 1125:1 e quindi la Lira si è svalutata del 20%, ma il Marco si è rivalutato del 25%. Come è possibile? Dipendedal termine a cui si riferiscono le differenze assolute. Infatti, usando le prime due formule (con esponente a=1) si ha:⎡⎛⎢⎜⎣⎝1125900⎞ ⎤⎟ − 1⎠ ⎥⎦*100 = 25%; ⎡⎛900 ⎞ ⎤⎢⎜⎟ − 1⎣⎝1125 ⎠ ⎥ *100 = -20%;⎦L'incongruenza (apparente) sparisce se si usa una formula emisimmetrica quale la “3”:⎛⎞⎜ 1125 − 900 ⎟1125 + 900*100 = 22.22%;⎜⎟⎝ 2 ⎠⎛⎞⎜ 900 − 1125 ⎟1125 + 900*100 =−22.22%⎜⎟⎝ 2 ⎠Le formule tipo "3" hanno però un difetto: raffrontano la differenza assoluta ad un valore di compromesso, ma fittizio il cui ruolo nonè di comprensione immediata. La formula “4" è più interessante e la discuteremo separatamente.Esercizio_AE38: si definisca: variazione assoluta: ∆ i=(Y i-Y i-1) e variazione relativa: Vi=∆ i/Y i-1.a) Si dice che la prima quantifica l’incremento della serie e la seconda il ritmo di incremento. Che cosa si intende?b) Che cosa misurano, rispettivamente, i rapporti:n∑ ∆i2 1 ni=∆1. ; 2.⎛ ⎞n ⎝ n⎠ ∑ YEsercizio_AE39: organico dipendenti Telecom 1996-97.ii=2 i−1Anno 1° sem. '96 1° sem '97Dirigenti 1'280 1'279Quadri 7'691 6'399Impiegati 63'874 61'620Operai 16'470 14'818Totale 89'315 84'116a) Calcolare le variazioni relative con le formule “1” e “2” per α=1; b) Qual’è il loro diverso significato?La premessa insita nell’uso delle variazioni relative è che i valori facciano parte di un processo unitario, sianocioè inseriti in una comune tendenza. Solo se si pensa ad un trend ha senso il confronto dei valori puntuali di unaserie storica che sarebbe altrimenti irrazionale e fuorviante. Quando i valori sono rilevati su fenomeni diversiovvero discendono da un diverso sistema di rilevazione oppure hanno subito modifiche importanti nella definizione,cade il legame logico tra gli elementi che è invece un requisito essenziale per l’uso del rapporto.Esempio:Apporti dello stato ai bilanci dell’INPS.Anno 1989 1990 1991 1992 1993 1994Importo 51'119 54'112 58'334 64'444 62'000*72'000 *∆% 5.85 7.80 10.47 -3.79 16.13* stimeLa comparabilità tra i valori della serie storica è assicurata per l’ordine di grandezza, ma l’omogeneità è questionabile: non si possonoproporre valutazioni puntuali che coinvolgono il 1993 o il 1994 in quanto si tratta di valori presunti non del tutto assimilabili a quelliosservati dei primi anni.Esercizio_AE40: Olson (1987, p. 606) riporta il seguente episodio: uno studente legge su di un libro che idinosauri si sono estinti da 65 milioni di anni. Poiché il testo che riporta il dato è stato pubblicato 13 anni prima,lo studente afferma che i dinosauri erano scomparsi da 65’000’013 anni. Come giudicate tale conclusione?Variazioni relative sempliciIl modo più elementare di valutare la differenza relativa tra due occasioni è di rapportare la loro differenzaassoluta ad un indicatore dell'ordine di grandezza del confronto. Ciascuna delle prime tre formule (per α=1)potrebbe essere utilizzata a questo fine:1) r i = Y i − X iX i; 2) r i = X i − Y iY i; 3) r i = 2 Y i − X i ( )Y i + X i;

360Esempio:I posti per il dottorato di ricerca, secondo il bando 1992 sono 85 e passano e 337 per l’anno 1993. Valutiamo la variazione relativa:1) r i =337 − 8585= 2.96; 2) r i =85 − 337337=−0.75; 3) r i =2 ( 337 − 85 )337 + 85 = 1.19;Il 1992 ha un numero di posti che è del 74.78% inferiore di quelli del 1993 e che, in quest’ultimo anno sono stati banditi posti che sonodel 296.47% superiori a quelli del 1992. La terza formula indica un tasso di variazione del 119.43% che è un valore neutro rispettoai periodi di rilevazione, ma meno informativo.La differenza relativa tipo "1" genera una nuova variabile R iche misura il tasso di variazione tra le due occasioninell’ipotesi che il fenomeno rimanga immobile nell’unità di tempo (schema della capitalizzazione semplice).Questo serve ad esempio all’investitore per valutare il tasso di rendimento annuale a prescindere dalle inevitabili,ma non sempre interessanti oscillazioni mensili; serve ai biologi per quantificare l’accrescimento di una colturatrascurando le fasi di fermo/riparti che talvolta di verificano nel corso di un esperimento.Esempi:a) Neter ed al. (1973, p. 549) rilevano che è importante distinguere tra variazione percentuale e punti percentuali di variazione datoche spesso entrano entrambe nei commenti sull’andamento di una serie storica. Se il tasso di disoccupazione giovanile in Calabriapassa dal 38.7% al 41.7% aumenta di 3 punti in percentuale, ma non aumenta del 3%; in effetti la variazione percentuale è più alta:⎛ 41.7 − 38.7⎝ 38.7⎞*100 = 7.75%⎠b) Deficit accumulato dai partiti politici nel biennio 1987-1988. Importi in milioni di lire.Partito 1987 1988 V.R.PCI -29'663 -30'568 3.1%PSI -19'760 -21'845 10.6%DC -18'550 -16'654 -10.2%PSDI -9'107 -10'619 16.6%PLI -4'667 -5'783 23.9%DP -2'249 -2'462 9.5%PRI -456 -2'144 370.2%MSI -1'016 -1'044 2.8%PR -1'799 -609 -66.1%Verdi 134 2'457 1733.6%La presenza di valori negativi non pregiudica il calcolo, ma impone maggiore attenzione ai segni. La DC rimane in deficit, ma lo riducedel 10%; il PRI aumenta moltissimo il deficit: 370%c) Popolazione residente nella città di Cosenza al 31/12. Variazioni relative tra periodi successivi.Anni Pop.Res. Var.Rel1968 93077.1969 94800 1.851970 96515 1.811971 102086 5.771972 102287 0.201973 102153 -0.131.85 =94800 − 93077*1009307796515− 948001.81 = *10094800La nuova variabile mostra la crescita regolare fino al 1971 dove si realizza una impennata notevole, forse a causa della rilevazionepiù completa del censimento. Dal 1971 in poi comincia il rallentamento della crescita e nel 1973 inizia la diminuzione. La nuovavariabile non è definita per il 1968; la perdita, tuttavia, è compensata dalla maggiore leggibilità delle variazioni relative.Supponiamo di porre a confronto i valori di una serie storica in un’occasione iniziale Y aed in un’occasione finaleY z. La variazione relativa semplice tra i due periodi è: r=(Y z-Y a)/Y aeventualmente moltiplicata per cento. Laformula implica: Y z=Y a+rY a= (1+r)Y ae quindi “r” e l’incremento relativo che subisce la variabile nel passaredalla “a” alla “z” (processo di capitalizzazione). In alternativa si può porre:Y z r = Y a − Y z ⇒ Y a =1( 1 + r) Y zed “r” diventa il decremento relativo che da applicare per riportare il valore dalla “z” alla “a” ( attualizzazione).Esempi:a) Denunce di bancarotta fraudolenta. Calcolo dei tassi di attualizzazione.2184 − 23022302 − 2745− 510 . =; − 16.14 =23022745Anno Reato di b.r.f. Tasso di att.1990 2184 -5.131991 2302 -16.141992 2745 -2.071993 2803 -18.301994 3431 -13.561995 3969 -6.331996 4237 9.881997 3856 -5.021998 4060

361b) Rientra in questa tipologia anche il tasso di sconto commerciale che ha la familiare formula:C* i*tr =36000dove C è l’ammontare da scontare, “i” è il tasso (intero) di sconto concordato tra le parti e “t” sono i giorni mancanti alla scadenza.Se si concorda un tasso del 6% per un titolo di 1000 euri incassabile tra 90 giorni i deve dare alla parte scontante: 1000*6*90/36000=15.Esercizio_AE41: per l’andamento delle importazioni di caffè in Italia.Anno 1975 1977 1979 1981 1983Importo 2'014 1'815 2'253 2'255 2'462a) Calcolare le variazioni relative semplici rispetto al 1975; b) Quale aspetto misurano?Variazioni relative medieLa rilevazione di una serie storica avviene per unità che sono idealmente frazionabili in sottounità: il quinquennioin anni, l’anno in semestri o trimestri o mesi, il mese in settimane e così via; può perciò insorgere l’esigenza dimisurare la variazione relativa attribuibile a ciascun sottoperiodo. In generale, se y(t) indica il livello raggiuntodal fenomeno nel tempo “t”, la variazione relativa media al tempo “t+∆t” è misurata da:yt ( + ∆t)− yt ()r tt = ∆yt ()=yt ( + ∆t)− yt ()yt () ∆tLa y(t) è incognita ed occorre desumere le sue variazioni dai dati osservati. Non solo, poiché solitamente non sidispone di dati specifici per le sottounità di tempo, si deve ricorrere ad una media grossolana. In pratica ci si limitaa dividere la variazione relativa tra i due periodi per il numero di sottounità.⎡ Yz− Ya⎤r = ⎢⎣( z−a)Y⎥;a ⎦dove⎧a periodo iniziale⎨⎩z periodo finalee Y z= y t+∆te ∆t=(z-a). La nuova variabile esprime la variazione relativa presupponendo che ogni sottoperiodoabbia dato il medesimo contributo alla variazione relativa del periodo intero e che tra un sottoperiodo e l’altronon si siano verificate accumulazioni (alcune tecniche più sofisticate sono discusse in Seigel, 1975).Esempi:a) C’è da ritenere che i contratti per la compravendita di immobili in Italia siano in crescita? Utilizziamocome proxy le variazioni relative medie:⎛ 462' 656 − 428' 864 ⎞⎝ 1* 428' 864 ⎠ *100 = 7.88; ⎛ 462' 648 − 428' 864 ⎞*100 = 3.94;⎝ 2 * 428' 864 ⎠riuscendo così a tenere conto della diversa lunghezza del periodo di calcolo.Anno Contratti Var.Perc.Media1985 428864 0.00%1986 462656 7.88%1987 462648 3.94%1988 492816 4.97%1989 474570 2.66%1990 517025 4.11%1991 540383 4.33%b) Pressat (1978, pp. 120-121) descrive il tasso di accrescimento di una popolazione in due anni successivi, t=0 e t=1, come:r = P 1 − P 0P 1 + P 02⇒ P 1 = P⎡2 + r ⎤ 0⎣⎢ 2 − r ⎦⎥in cui la variazione assoluta è rapportata alla consistenza media annuale della popolazione nei due periodi. La formula è diversa daquella vista in precedenza: P 1 =P 0 (1+r) anche se si ottengono risultati simili.Esercizio_AE42: andamento del numero di società alla borsa valori di Milano.Anno Società1984 1431985 1471986 1841987 2041988 211AnnoSocietà1989 2171990 2201991 2311992 229a) Calcolare le variazioni relative medie rispetto al 1984 per il numero di società;b) In che cosa è migliorata, se è migliorata, la misura del cambiamento tra i due periodi?

362La formula della variazione relativa media implica:Y z = [ 1 + ( z − a)r]Y ae quindi la nuova variabile è l’incremento (o il decremento, se negativo) che mediamente -per periodo- subisceY aper portarsi al valore finale.Esercizio_AE43: serie secolare sulla popolazione (in migliaia) residente in Italia.Censimento MASCHI FEMMINE31.12.1861 13'399 12'98931.12.1871 14'316 13'83531.12.1881 15'134 14'65710.2.1901 16'990 16'78810.6.1911 18'608 18'3131.12.1921 18'814 19'04221.4.1931 20'181 20'86221.4.1936 20'826 21'5734.11.1951 23'259 24'25715.10.1961 24'784 25'84024.10.1971 26'476 27'66125.10.1881 27'506 29'05120.10.1991 27'405 29'006a) Calcolare le variazioni relative medie tra due censimenti successivi;b) Quali tendenze emergono?Media delle variazioni relativeSe fossero disponibili i dati per i sottoperiodi (ad esempio valori mensili da presentare per anno, valori annualida accorpare in quinquenni) converrebbe coinvolgere i dati di dettaglio nella media delle variazioni relative:1 zV z,a =⎛ ⎞⎛ Y j − Y j−1 ⎞⎝ z − a⎠∑ ⎜⎝ Y⎟j=a+1 j−1 ⎠Ogni periodo contribuisce per quanto di sua competenza alla variazione complessiva cioè si calcola la mediaaritmetica semplice delle variazioni relative.Esempi:a) Vendite italiane all’estero di apparecchi per illuminazione (in miliardi).Paese 1988 1989 1990 1991 V.R.M. V.R. '88-'91Germania 171.0 201.4 251.6 308.5 21.8% 26.8%Francia 210.0 216.4 208.2 215.2 0.9% 0.8%Regno Unito 73.8 86.0 75.1 70.6 -0.7% -1.4%Svizzera 54.8 58.5 65.9 65.1 6.1% 6.3%USA 55.3 64.6 54.7 37.7 -9.9% -10.6%Anni Pop.Res. Var.Rel1968 93077.1969 94800 1.851970 96515 1.811971 102086 5.771972 102287 0.201973 102153 -0.131.85 =1.81 =94800 − 93077*1009307796515− 94800*10094800Le variazioni medie relative basate sul secondo metodo sono più informative e, presumibilmente, più affidabili, anche se ciò dipenderàpoi dalla qualità dei dati intermedi di cui si dispone.Esercizio_AE44: andamento del sistema bancario italiano.Anno Depositi Provvista estera Impieghi Titoli Sofferenze Patrimonio1988 571'564 122'999 351'417 208'701 24'944 77'7401989 625'348 152'955 427'183 200'395 26'166 87'4681990 686'279 158'081 495'922 191'061 28'267 95'6951991 748'800 187'942 569'693 196'716 32'613 126'4991992 775'946 253'805 637'814 211'787 37'431 153'534a) Calcolare la variazione relativa media 1988-1992 per ogni voce;b) Calcolare la media delle variazioni relative;c) In quali casi sono preferibili le due formule?Spesso conviene riferire la variazione relativa media non al valore precedente, ma ad un valore intermedio, adesempio quello centrale:*V z,a2 z=⎛ ⎞ ⎛ Y j − Y j−1 ⎞∑⎝ z − a⎠⎜⎝ Y j + Y⎟j=a+1 j−1 ⎠

363Esempio:Ingressi a pagamento nei 13 enti lirici italiani (dati 1997). Calcolo della media delle variazioni relative riferite alla media dei due periodi.V * 2 0 033997 , 91 =⎛ * . ⎞* 100 = 1.13⎝1997 − 1991⎠Anno Ingressi (Yi -Yi-1) (Yi +Yi-1) 3ª/4ª1991 2231.7 -2.3 4461.1 -0.00051992 2229.4 -63.6 4395.2 -0.01451993 2165.8 -6.7 4324.9 -0.00151994 2159.1 89.3 4407.5 0.02031995 2248.4 114.8 4611.6 0.02491996 2363.2 25.3 4751.7 0.00531997 2388.5156.8 26952 0.0339Esercizio_AE45: fabbisogno del settore pubblico allargato. Anni 1983-1992. Dati in mld di lire.Anno 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992FSPA 92'932 104'130 120'308 110'227 115'475 125'542 135'913 147'257 163'556 168'637Calcolare la variazione relativa media del periodo riferendo le singole variazioni alla media dei due periodi.Variazioni relative composteIl meccanismo della capitalizzazione semplice, alla base della formula della variazione relativa media, è spessopoco realistico nel tipo di applicazione che stiamo analizzando. Nelle serie storiche c’è quasi sempre un effettodi accumulazione, una memoria -nel valore presente- dei valori passati che rende opportuno l’uso di formulealternative per mettere a punto definizioni operative che inglobino le variazioni intermedie. Il periodo si consideracostituito da tanti sottoperiodi, ognuno pari all'unità di tempo di rilevazione: alla fine del primo sottoperiodoil valore iniziale è incrementato di modo che il valore iniziale e l'incremento costituiscano il punto di partenzaper il secondo sottoperiodo. Al termine di quest'ultimo si rifà confluire l'incremento in un nuovo valore inizialee così via fino all'ultimo sottoperiodo:Y a (1+r 1 ) Y a (1+r 1 )(1+ r 2 ) Y a (1+r 1 )(1+ r 2 )…( 1+ r k )Y aY zSe il tasso di accumulazione “r*” è lo stesso per ogni sottoperiodo si ha lo schema di capitalizzazione composta:Y z = Y a ( 1 + r *) z −adove Y zè il valore finale ed Y al’iniziale. Il tasso medio di variazione, r*, è dato da:r * ⎛= ⎜⎝Y zY a1⎛⎝Ln Y z Y a⎞ z −a⎟ − 1 = e( z −a)⎠⎞⎠− 1Esempi:a) Superfici forestate distrutte da incendi. La serie storica ha tendenzeabbastanza nette.9000075000OOOAnno Incendi (ha) Var.Rel.Com.1980 462211981 86655 87.48%1982 48615 2.56%1983 89988 24.87%1984 34131 -7.30%1985 75806 10.40%1986 26694 -8.74%1987 48484 0.69%600004500030000OOOOE' subito evidente l'andamento oscillatorio: negli anni dispari cresce e decrescenegli anni pari (sarebbe interessante scoprire il perché). Inoltre, leoscillazioni sembrano smorzarsi con il passare degli anni.1500001980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987

364b) I prezzi sono cresciuti ad un ritmo poco variabile nel corso degli ultimi quattro anni. Se l’accrescimento è avvenuto al tasso del 2.5%annuo, qual’è il tasso di crescita complessivo del quadriennio? La formula si ricava invertendo i termini in quella del tasso compostoed il tasso complessivo è TC=(1+r) n -1 che, nel caso in esempio, implica: (1+0.025) 4 -1=10.38%c)Il tasso di redditività (TR) per i CTZ (certificati di credito del tesoro, zero-coupon) è calcolato sulla differenza tra prezzo di acquisto(PA) e di realizzo (PR) tenuto conto dei giorni (D) mancanti alla scadenza del titolo (anno di 365 giorni). La ritenuta fiscale (RF) del12.5% è posticipata e viene operata in un’unica soluzione alla scadenza, ma si calcola con il tasso semplice:⎡ 365 ⎤⎢ PRTR =⎛ ⎞ 365−D ⎥⎢− 1⎝ PA ⎠ ⎥ *100; RF = ( PR − PA)* 0.125*⎛ 365 ⎞⎝ 365 − D⎠⎢⎥⎣⎦Se PR=105, PA=96 e la vendita avviene a 60 giorni dalla scadenza, si avrà TR=9.95%; RF=1.2.Esercizio_AE46: sofferenze bancarie (valori in miliardi di lire).Anno 1991 1992 1993 1994 1995Importo 7'133 8'156 9'956 13'574 19'652a) Calcolare le variazioni relative composte rispetto al 1991;b) Quanti tassi di variazione composta è possibile calcolare per la serie? Ha senso calcolarli tutti?Matrice dei tassi di crescitaPer come si è impostata la formula, tutti i valori sono riferiti a quello iniziale in analogia a ciò che si è fatto conle variazioni relative medie; il fatto nuovo è che ora si tiene conto dell'influenza di una occasione non solo suquella successiva, ma su tutte le altre a seguire. Nulla vieterebbe -se tornasse utile- di determinare i tassi tramodalità distanziate da un numero di periodi qualsiasi (matrice delle variazioni relative).Esempio:Rapporto capitale/lavoro (K/L) rilevato in Italia nel periodo 1975-1979.Anno K/L1975 6.251976 6.371977 6.641978 6.681979 6.867Anni 1976 1977 1978 1979 6.81975 1.92% 3.07% 2.24% 2.36%6.61976 4.24% 2.40% 2.50%1977 0.60% 1.64% 6.41978 2.69% 6.2O6OOOO1975 1976 1977 1978 1979La serie è disarticolata in una serie di tassi di variazione composta nella speranza di cogliere i tratti salienti del suo comportamento. Ilpassaggio più brusco è tra il 1978 ed il 1979; se si guarda la colonna intestata 1979 si può anche avvertire il calo negli incrementi della serie.Lo schema delle variazioni relative composte è semplificato ed ignora incrementi e decrementi che si verificanonei sottoperiodi (infatti, presuppone variazioni di segno costante escludendo perciò oscillazioni intermedie) edè insensibile anche alla sequenza con cui si realizzano gli incrementi o i decrementi. Le sue indicazioni, cometutte quelle provenienti dai rapporti statistici, non debbono essere adoperate da sole, ma integrate da altre (inquesto senso i grafici sono un ausilio eccellente).Esercizio_AE47: gettito fiscale italiano nel periodo 1981-1987.Anno 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987Gettito 38'894 51'693 59'213 73'039 87'673 94'806 103'9251) Studiare la serie con la matrice dei tassi di variazione composta;2) Quale senso concreto potrebbe avere il calcolo dei tassi per la parte inferiore della matrice?Esercizio_AE48: Vianelli e Ingrassia (1986, pp. 206-207) annoverano tra i rapportistatistici anche (Y 2- Y 1)/(t 2- t 1) che misura la variazione nella variabile “Y” osservatain un certo arco di tempo (t 1,t 2). Applicate la formula ai dati sulle quote dimercato dei gruppi automobilistici.Gruppo 1994 1991Wolkswagen 15.9 17.5General motors 15.9 17.5Peugeot 12.9 12.5Fiat 11.8 12.2Ford 11.7 11.5

365Proiezione di una serie storicaUn uso costruttivo della variazione relativa composta è la proiezione nel futuro dei valori di una serie storica dove,pur con il solito carattere spiccio e destrutturato tipico dei rapporti statistici, si possono ottenere risultati decorosi.Nell’ipotesi che il fenomeno segua un tasso di crescita o decrescita costante la proiezione è:Y z−ak+ z−a zYk+z = Ya( + r) con r = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞1 ;⎟ − 1Y ⎠Esempi:a) La vendite di benzina senza piombo era a 2’457 migliaia di tonnellate nel 1992 ed arrivò a 7’060 nel 1995. In base alla proiezionecon variazione composta per il 1996 avrebbe dovuto essere:17' 060r* =⎛ ⎞⎝ 2' 457⎠si ebbe invece Y 1996 =7’958 con un errore di previsione del 20%.95−92 − 1 = 42.16% ⇒ Y1996 = 2' 457( 1 + 0.4216) 4 = 10' 035b) L’IRI, nel 1988, aveva smobilitato per 1’180 miliardi di lire e nel 1992 gli smobilizzi hanno raggiunto un importo di lire 2’100 miliardi.Che importo sarà smobilitato nel 1993?1r* = ⎛ 2100⎞1992−19885− 1 = 15. 5% ⇒ Y = 1180( 1 + 0.155) = 2426⎝ 1180 ⎠1993Il dato reale fu di 1’268 in chiara inversione di tendenza. Informalmente, abbiamo incontrato un problema tipico di molte indagini statistiche:si analizza il presente, il passato recente e quello remoto per ricostruire un’idea del fenomeno estendibile anche al futuro. Talvolta il tentativoè coronato da successo; molto spesso il fenomeno è così instabile che i suoi trascorsi sono inutilizzabili per fare previsioni.c) La catena alberghiera per cui lavorate ha avuto 320’000 pernottamenti nel 1997 e cresce al ritmo del 3% annuo. Se il tasso simantiene costante ed opera con il meccanismo del tasso composto, quanti pernottamenti ci si potranno aspettare nel 2002? TC=(1+0.03) 5 -1=15.92%. A questo punto la proiezione è facile: Y 2002 =Y 1997 (1+0.1592)=370’944.a1Esercizio_AE49: la {Y t} ha un limite di saturazione B al di sopra del quale non può andare. Dopo aver acquisito“z” valori, una previsione naive del valore futuro dopo “n” periodi a partire da “z” si può avere con la formula:Y = B − B −Y r ; dove rn+zz+n( z) =1 z ⎛ B−Yj⎞∑z⎜j=⎝ B−Y⎟1 ⎠a) Proponete un esempio di fenomeno che abbia questo comportamento; b) Spiegate la formula per“ r”.j−1Variazioni relative continueIn precedenza si è ipotizzato che la capitalizzazione avvenga una sola volta nell’unità di tempo: se al valoreiniziale di 1’000 è sommato il 4% annuo con capitalizzazione composta si avrà:Alla fine del 1° anno: 1000 + 40 = 1040 = 1000*(1+0.04)Alla fine del 2° anno: 1040+41.6 = 1081.6 = 1000*(1+0.04) 2Supponiamo ora che la capitalizzazione avvenga due volte nello stesso anno: il 2% è cumulato alla fine del 1°semestre ed il rimanente 2% alla fine del 2°:1° semestre/1° anno 1000 + 20 = 1020 =1000*(1+0.02) 12° semestre/1° anno 1020 + 20.4 = 1040.4 =1000*(1+0.02) 21° semestre/2° anno 1040.4 + 20.81 = 1061.21 =1000*(1+0.02) 32° semestre/2° anno 1061.81+ 21.22 = 1083.03 =1000*(1+0.02) 4In generale, se la capitalizzazione avviene “h” volte in una fissata unità di tempo, l’ammontare finale dopo "k"periodi sarà:Y z = Y a 1 +r h* ( z −a)⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎣⎢ ⎝ h⎠⎦⎥Se il numero di capitalizzazioni tende ad infinito ovvero tende a zero il tempo intercorrente tra due capitalizzazionisuccessive si otterrà:

366Yz*( )*( )h*a hh z ah z arrr= LimYa+ ⎛ −⎡ ⎞⎤Ya LimY Limh ⎣⎢ ⎝ h⎠⎦⎥= + ⎛ −⎡ ⎞⎤⎧⎪⎡h ⎣⎢ ⎝ h⎠⎦⎥= + ⎛ ⎞⎤1 1 ⎨⎣⎢1⎝ h⎠⎦⎥→∞→∞→∞⎩⎪⎫⎪⎬⎭⎪( z−a)= Yearz ( −a)La variazione relativa continua è quindi: r = 100( z − a) Ln ⎛ Y z⎜⎝E’ questo il risultato sottinteso alla rappresentazione in scala logaritmica (scarto tra ordinate come rapporto). Danotare che in questa formula compaiono esplicitamente i logaritmi naturali dato che la definizione del tassoistantaneo scaturisce proprio dalla natura del numero “e” e quindi ogni altra base sarebbe fuori luogo ancorchéla differenza sia solo un fattore costante di proporzionalità.Y a⎞⎟⎠Esempi:a) Spese per la ricerca delle amministrazioni pubbliche. Calcolo delle variazionirelative continue.Anno Spese Tassi (Cap. Con.)1973 3730131974 409685 9.381975 517395 16.361976 612267 16.521977 781809 18.501978 843834 16.331979 952898 15.631980 1186777 16.531981 1769214 19.461982 2125382 19.331983 2586011 19.361984 3194698 19.521985 3392014 18.401986 4243482 18.701987 5006146 18.55Le modalità sono proporzionali alla differenza tra i logaritmi delle modalitàoriginarie. La serie mostra un evidente crescita esponenziale che, dopo unimponente salto iniziale, diventa regolare.6000000500000040000003000000200000010000000J J J J J J J J JJJJ J J197319741975197619771978197919801981198219831984198519861987Jb) Presenza globale di clorofluorocarburi (milioni di Kg)Anno Presenza Tasso1971 4615.11973 5900.5 12.291975 7355.7 11.021977 8737.9 8.611979 9963.8 6.561981 11136.1 5.561983 12309.1 5.011985 13558.9 4.841400012000100008000600040002000JJJJJJJ10000010000100010010JJJ J J J J01971 1973 1975 1977 1979 1981 1983 19851971 1973 1975 1977 1979 1981 1983 1985La serie mostra un trend crescente piuttosto netto. La natura del trend non è però esponenziale dato che il ritmo di accrescimentodiminuisce nel tempo come mostrano i tassi di capitalizzazione continua. Nel grafico in scala logaritmica la tendenza diventa lineare(sebbene molto più attenuata) segno che la presenza dei gas serra aumenta, ma non con incrementi vertiginosi.Törnqvist ed al. (1985) partendo dalla comune radice “logos” tra logaritmo e logica affermano che la differenzalogaritmica è il modo logico di misurare le differenze relative. In realtà, come si è potuto verificare, è ben applicatasolo se si può ritenere che, in ogni istante, la variazione nel fenomeno sia proporzionale al livello già raggiunto.Tuttavia, la capitalizzazione non può mai avvenire in modo continuo e deve essere considerata una approssimazioneper i casi in cui gli accumuli siano molto frequenti.Esercizio_AE50: emissione di anidride solforosa nei Paesi OCSE.Anno 1970 1975 1980 1985 1990Emissione 64'600 57'900 53'000 42'200 39'900a) Calcolare le variazioni relative continue rispetto al 1970;b) Si supponga che il tasso di variazione non sia costante, ma aumenti istantaneamente come la serie a cui siapplica. Dove può arrivare un fenomeno che si comporti così?Esercizio_AE51: dimostrare che il tasso continua è, al più, pari al tasso di capitalizzazione composta:⎡⎢⎛Yz⎞⎢⎜⎟⎝ Ya⎠⎣⎢1k⎤− 1⎥⎥⎦⎥k Ln Y z≥ ⎛ 1⎞⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ Y ⎠a

5.2 Numeri indiciLa complessità delle relazioni economiche e l'integrazione delle attività a livello planetario rende necessario effettuaredei confronti corretti relativamente al prodotto interno lordo, a livello dei prezzi, alla qualità della vita, ai salari. Le seriestoriche e territoriali suscitano interesse statistico se subiscono cambiamenti in risposta a variazioni di fattorialmeno in parte riconoscibili: sarebbe poco produttivo lo studio della serie annuale dei deputati eletti alla Camera- a partire dal 1963- dato che è costante (630, a meno di variazioni minime di uno o due parlamentari dimessi odeceduti, peraltro quasi sempre sostituiti nell’anno). Neanche troppo attraente risulterebbe l’evoluzione delprimo estratto di una ruota del lotto poiché l’esito dipende dalla sorte e non ha in sé alcun processo di sviluppo.In questo paragrafo studieremo la tecnica dei numeri indici per analizzare le variazioni relative nelle rilevazionitemporali e in quelle territoriali e avremo un primo, superficiale contatto con l’analisi multivariata nel misurarei fenomeni aggregati sfruttando la conoscenza dei fenomeni componenti ed il concetto di media.3675.2.1 Numeri indici elementariLa tecnica dei numeri indici è molto diffusa perché rende agevole il confronto di uno stesso fenomeno osservato inoccasioni differenti (nel tempo e/o nello spazio) ovvero tra fenomeni espressi in unità di misura eterogenee o aventiordini di grandezza differenti. In effetti, tale tecnica è insorta naturalmente nel paragrafo dedicato alle variazioni relativee nelle rappresentazioni grafiche quale utile accorgimento per eliminare la differenze tra i livelli medi che nascondevanoimportanti aspetti dei fenomeni.Il numero indice elementare si costruisce come rapporto tra i valori di una variabile metrica effettivamenteosservati ed un valore -reale o fittizio- di riferimento ed il risultato moltiplicato per cento. Se il riferimento è mantenutocostante per tutti i valori della serie si parla di numero indice a base fissa, se invece cambia di volta in volta si parladi numero indice a base mobile ammesso che tra le occasioni sia possibile istituire un ordinamento secondo il qualeseguire l’evoluzione dei rapporti.Esempi:a) Prezzo di listino per la “Audi 80 1.8 E” in cinque Paesi europei.Paesi Prezzo B. Fissa B. MobileItalia 24531850 100.00 100.00Germania 21837400 89.02 89.02Belgio 21280000 86.75 97.45Francia 19734000 80.44 92.73Spagna 32388000 132.02 164.12La notazione Italia=100 significa che il prezzo praticato in Italia è scelto come valore di riferimento per tutti gli altri, inclusa l’Italia, ma qui ilrapporto vale 100. La lettura dei valori risulta semplificata e le comparazioni più immediate perché l’attenzione è circoscritta alla solavariazione senza coinvolgere i livelli assoluti: per la Francia si sono prodotte le voci 80.44 (che indica come qui il prezzo sia inferiore del19.66% rispetto all'Italia) e 92.73 (che significa una riduzione del 7.27% rispetto al prezzo vigente in Belgio). La colonna intestata “B. Fissa”fornisce i numeri indice a base fissa dei prezzi in riferimento al prezzo praticato in Italia; la colonna intestata “B. Mobile” riporta i numeri indicea base mobile: prezzo Germania su prezzo Italia, prezzo del Belgio su prezzo della Germania e così via.b) Il turismo d’affari sta assumendo sempre più un ruolo predominante per il Principatodi Monaco. Un rapido sguardo alle statistiche storiche relative a questo segmento evidenziacon chiarezza lo slancio della crescita: Il livello dei partecipanti del 1993 è soloil 43% di quelli del 1998; a parte la flessione del 1996, il ritmo di aumento si è mantenutoalto.Anno Partecipanti Base fissa Base mobile1993 38700 43.73 -1994 78200 88.36 202.071995 81600 92.20 104.351996 62500 70.62 76.591997 82300 92.99 131.681998 88500 100.00 107.53Simbologia e definizioniIndichiamo con Y tla variabile che rappresenta il fenomeno osservato in una determinata successione (indicatada "t") di intensità o frequenze: Y 0, Y 1, Y 2, ..., Y t, ...,Y n; denoteremo i numeri indici a base fissa con:txIt= ⎛ Y* 100; t 0, 1, 2, , n; Yx⎝ ⎜ ⎞⎟ = … ≠ 0Y x ⎠

368che si legge: numero indice base "x" per l’occasione “t” dove Y xè il termine di paragone con cui sono confrontatigli altri valori. E’ ovvio che il “100” usato nell’esempio è una convenzione: ogni altra costante potrebbe esserela base di riferimento: il dieci, il mille, il sessanta ed il centodieci. Tuttavia, la base percentuale è ormai tantodiffusa che conviene sfruttarne la popolarità piuttosto che cercare riferimenti diversi.I numeri indici a base mobile (o concatenati) a partire dalla intensità “t” hanno formula:t-1 I t = ⎛ Y t ⎞⎜ ⎟ *100; t =1,2,…,⎝ Y t-1 ⎠con il presupposto che nessuno dei termini della serie si annulli.Esempi:a) Data la serie (Y 1 =7, Y 2 =9, Y 3 =11, Y 4 =15, Y 5 =8), si determini la serie a base fissa “3” e a base mobile.Serie di indici a base fissaSerie di indici a base mobileNum. Ind Formula Calcolo Valori Num. Ind Formula Calcolo Valori3 I 1 Y 1Y 3*1003 I 2 Y 2Y 3*1003 I 3 Y 3Y 3*1003 I 4 Y 4Y 3*1003 I 5 Y 5Y 3*100711 *100 63.64 - - - -911 *100 81.821 I Y 2 92 *100Y 1 7 *100 128.571111 *100 100.002 I Y 3 113 *100Y 2 9 *100 122.221511 *100 136.363 I Y 4 154 *100Y 3 11 *100 136.36811 *100 72.724 I 5Y 5Y 4*1008*100 53.2315Il calcolo è agevole e, come tutti i rapporti statistici, particolarmente adatto ad essere realizzato con il foglio elettronico dato loschematismo delle formule che si ripetono di riga in riga allo stesso modo per ogni colonna. L’unica incertezza si incontra nel definireil numero indice relativamente al valore di riferimento che varrà convenzionalmente 100 per il numero indice a base fissa; ma rimaneindeterminato per l’indice a base mobile (a meno che non si possa ritenere che Y 0 =Y 1 e quindi 0 I 1 =100).b) Raccolta lorda (in miliardi di dollari) e numero di fondi monetari negli USA.Anno Raccolta Fondi NI(Racc) NI(Fondi)1985 730.1 348 100.00 100.001986 792.3 360 108.52 103.451987 869.1 389 119.04 111.781988 903.4 432 123.74 124.141989 1134.6 463 155.40 133.051990 1211.8 509 165.98 146.26170160150140130RaccoltaFondi1201101001985 1986 1987 1988 1989 1990Data la loro caratteristica di rapporti è possibile rappresentare in uno stesso grafico serie espresse in unità di misura diverse. Da notareche con i numeri indice si perde però il dato usato come riferimento che diventa il punto di intersezione dei profili. Non è necessarioche la base fissa sia coeva per tutte le serie, ma è opportuno per aiutare la lettura del grafico.Esercizio_AE52: pagamenti delle sovvenzioni all'export dell'Italia (dati in mld).Anno Sovven. Anno Sovven.1980 5441 1985 65871981 4926 1986 72391982 4750 1987 90521983 5525 1988 97861984 6202 1989 9386a) Calcolare i numeri indici a fase fissa 1985 e a base mobile;b) Vi sembra che la perdita di una informazione sia compensata da una maggiore leggibilità dei numeri indici?La trasformazione in numero indice a base fissa è un utile strumento di statica comparata: esiste una occasionedi riferimento a cui si ragguagliano le altre, ma senza un confronto diretto. Per le serie territoriali ha significatoanalogo. I numeri indici a base mobile hanno natura dinamica: il dato al numeratore in un periodo passa aldenominatore in quello successivo: da ogni valore si può raggiungere un altro passando per quelli intermedi.

369La stessa interpretazione però non può essere estesa alle serie territoriali. L’interdipendenza dei valori nelloschema a base fissa è indiretta e questo consente di porne in risalto l’andamento globale. I numeri indici a basemobile sono legati fra di loro per costruzione dato che ogni valore è concatenato a tutti gli altri; tali rapporti sonoperciò più idonei a descrivere i ritmi di accrescimento.Esempio:Consumo medio annuo di vino.1201101009080Base fissa 1984Base mobileAnni Vino (litri) B. fissa '84 B.mobile1980 9'060 112.55 100.001981 8'620 107.08 95.141982 8'190 101.74 95.011983 8'240 102.36 100.611984 8'050 100.00 97.691985 7'440 92.42 92.421986 6'830 84.84 91.801987 6'590 81.86 96.491988 6'300 78.26 95.601980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988I numeri indici a base fissa esprimono le variazioni percentuali nella serie storica rispetto al 1984 (vedremo nel prosieguo come la sceltadel riferimento sia una fase essenziale della costruzione dei numeri indici). La serie a base mobile presenta la sequenza dellevariazioni percentuali dal secondo periodo in poi. La serie a base fissa denota una netta e persistente tendenza alla diminuzione laddovequella a base mobile si mantiene stazionaria o scende lentamente. Questo è un comportamento tipico dei fenomeni a declino frenato checioè decadono in maniera poco percettibile da periodo a periodo, ma con effetto cumulativo.Esercizio_AE53: fatturato della Bracco, la società genovese di apparecchiature biomedicali.Anno 1990 1991 1992 1993 1994 1995Fatturato 736 839 888 1'019 1'142 1'615a) Calcolare i numeri indici a base fissa (1992=100) e quelli a base mobile;b) Che cosa si può dire sull’andamento dell’azienda?La trasformazione in numero indice può rendere evidente la diversità di andamento tra le serie ed è uno strumentoconoscitivo particolarmente utile nei grafici.Esempio:Settore della comunicazione d’impresa e Data Marketing Italia, s.r.l. Calcolo dei numeri indici 1994=100.EAnno Settore DMI N.I.S. N.I.DMI1990 14252 124 84.46 94.661991 15031 127 89.08 96.951992 15280 128 90.55 97.711993 16109 129 95.47 98.471994 16874 131 100.00 100.001995 17423 136 103.25 103.821996 18322 142 108.58 108.401997 19507 144 115.60 109.92* EEDEDEEEEFino al 1993 risultano confermate le variazioni maggiori (sebbene ad un ritmo più lento) della DMI rispetto all’intero settore. Negli ultimianni la dinamica della DMI sembra rallentare rispetto alle variazioni che complessivamente sembrano profilarsi nel settore.Esercizio_AE54: biglietti venduti (passeggeri imbarcati) nelle stazioni di una linea metropolitana.Stazioni Biglietti vendutiQuartiere_1 960Piazza_1 1120Centro Dir. 1380Quartiere_2 970Centro comm. 2645Piazza_2 1150Ateneo 780Quartiere_3 620Zona ind. 430a) Calcolate i numeri indici usando come base la media aritmetica dei valori;b) Calcolate i numeri indici a base mobile;c) Rappresentate graficamente le due serie e commentate sinteticamente i risultati.

370Legami con le variazioni relativeIl numero indice ha una relazione stretta con la variazione percentuale rispetto alla base; basta infatti sottrarre100 al corrispondente numero indice per ottenerla:⎛xI t − 100 = x I t − x I x =Y t ⎞ ⎛⎜ ⎟ *100 −Y x ⎞ ⎛⎜ ⎟ *100 = ⎜⎝ Y x ⎠ ⎝ Y x ⎠ ⎝Y t − Y xY x⎞⎟ *100 ;⎠non c’è quindi uno scarto informativo tra numero indice e variazioni relativa. L'unica diversità è che la trasformazionein numero indice è più rapida (perché non richiede la sottrazione) ed è meno minacciosa perché evita i segni negativi.L’incremento del numero indice misura la variazione relativa -intervenuta nella variabile- rispetto al valorenell’occasione di riferimento:⎛xI t − x I s =Y t − Y s ⎞ ⎛⎜ ⎟ *100 = ⎜⎝ Y x Y x ⎠ ⎝Y t − Y sY x⎞⎟ *100⎠cosicché se un numero indice è 226.3 in un’occasione ed è 235.2 in un’altra, l’incremento assoluto del numeroindice è 235.2-226.3=8.9. Questo vuol dire che l’aumento subito dalla variabile -tra le due occasioni- è pariall’8.9% del valore realizzatosi nell’occasione di riferimento; sarebbe sbagliato sostenere che tra l’occasione “s”e l’occasione “t” si sia verificato un aumento dell’8.9% della variabile in quanto la differenza assoluta tra i duenumeri indice non mette a confronto diretto i valori originari. Resta però da chiedersi che cosa misuri la variazionerelativa semplice del numero indice. Vediamo i dettagli:⎛⎜⎝x I t − x I sxI t⎛⎞ ⎜⎟ *100 = ⎜⎠⎜⎝Y tY x− Y sY xY tY x⎞ ⎛⎟ ⎜⎟ *100 = ⎜⎟ ⎜⎠ ⎝Y t − Y sY xY tY x⎞⎟ ⎛⎟ *100 = Y t − Y s ⎞⎜ ⎟ *100Y⎟⎝ t ⎠⎠La variazione percentuale dell’indice coincide con la variazione relativa dei valori originali (pari a 3.93%nell’esempio). Solo in questo caso la variazione relativa del numero indice si può leggere come variazionerelativa nella variabile (nota bene: ottenuta ignorando i valori originari); lo stesso risultano non sarebbe possibileper la variazione assoluta.Esercizio_AE55: una serie storica è trasformata in numero indice a base fissa. Disponendo solo di questa sivuole ricavare la variazione relativa composta della variabile per “k” sottoperiodi. E’ possibile?5.2.2 Proprietà dei numeri indici elementariI valori trasformati in numero indice godono di varie proprietà che poggiano sulla loro natura di rapporti e sullapossibilità di passare più o meno agevolmente dalla base fissa alla mobile e viceversa.Invarianza rispetto ai cambiamenti di scalaSe si moltiplica ogni dato per la medesima costante, la serie dei numeri indici rimane invariata. Sia {Y t, t=1,2,…,n}la serie originaria e sia {W t=aY t, t=1,2,…,n; a ≠ 0} una nuova serie ottenuta dalla prima moltiplicandone ogni termineper la costante non nulla "a". I numeri indici calcolati sulla nuova serie sono identici a quelli della serie originale:( )= = x taY * 100 = Y= I ( Y)ttxItW W W * 100 aYxxtY * 100x

371Esempio:Spesa sanitaria (parte corrente) in Italia. Unità di conto in miliardi ed in milioni. Calcolo dei numeri indici in base 1984.Spesa N.I.Spesa N.I.Anni In miliardi 1984=100 In milioni 1984=1001980 18034.14 53.04 1803414 53.041981 21869.21 64.32 2186921 64.321982 25710.36 75.62 2571036 75.621983 28500.87 83.83 2850087 83.821984 34000.47 100.00 3400047 100.001985 42969.59 126.38 4296959 126.381986 43974.25 129.34 4397425 129.331987 46585.38 137.02 4658538 137.011988 47983.64 141.13 4798364 141.131989 55870.05 164.32 5587005 164.321990 61233.52 180.10 6123352 180.10I risultati non cambiano e rimangono gli stessi per qualsiasi trasformazione proporzionale. E’ per questo che i numeri indici, come tantialtri rapporti statistici, sono detti “numeri puri” anche se non bisogna prendere troppo alla lettera la denominazione dato che derivasolo dall’invarianza alle trasformazioni proporzionali.Esercizio_AE56: prezzo medio dei farmaci nei Paesi UE in lire ed in ECUPaesiPrezzo in Lit. Prezzo in ECUItalia 10167 9.27Germania 18142 16.54Regno Unito 13740 12.52Belgio 10671 9.73Olanda 19521 17.79Media Cee 10422 9.50Usa 28512 25.99Giappone 74816 68.19a) Calcolate i numeri indici base fissa Italia=100 e base mediana UE=100;b) E’ necessario ripetere i calcoli per la serie in Ecu?La reversibilità delle basiPoiché non c’è una ragione formale per preferire il confronto base “x” per l’occasione “t” visto che la stessainformazione è data dal confronto base “t” per l’occasione “x” si ritiene opportuno richiedere che i numeri indicimostrino la stessa variazione relativa a prescindere da quale delle due occasioni agisce da base:x I t * t I x =⎡⎛Y t ⎞ ⎤ ⎡⎛Y⎢⎜⎟ *100⎥ * x ⎞ ⎤⎢⎜⎟ *100⎥ =⎣⎝Y x ⎠ ⎦ ⎣⎝Y t ⎠ ⎦Y t * Y x *100 2 = 100 ⇒ x I t = 1002Y x Y t t I xEsempio:Se x I t =400 questo vuol dire che tra l’occasione base “x” e l’occasione corrente “t” il fenomeno si è quadruplicato; ma tra l’occasionecorrente “x” e quella base “t” il fenomeno si è ridotto ad un quarto: t I x =25; infatti, 25*400=10’000=100 2 .La reversibilità delle basi dà inoltre la possibilità di passare dalla base fissa alla base mobile anche ignorando ivalori osservati della serie. Se { xI t; t=0,1,2, ...,} è la serie a base fissa, la corrispondente serie a base mobile siotterrà dividendo ciascun termine per il precedente e moltiplicando per 100 il risultato:t−1 I t =Y tY t−1*100 =⎡ ⎛ Y t ⎞ ⎤⎢ ⎜ ⎟ *100 ⎥⎢ ⎝ Y x ⎠ ⎥ *100 = xI t⎢⎛Y t−1 ⎞ ⎥ x⎢⎜⎟ *100⎥I *100t−1⎣⎝Y x ⎠ ⎦Esempio:Data la serie 1983-1987 delle importazioni di cacao (in migliaia diquintali) si ottiene la serie in numeri indice a base fissa 1984 perpoi da questa ottenere la serie a base mobile. Quindi, se si ignorala serie originaria, ma si dispone di una sua trasformata in basefissa, è possibile ottenere la trasformazione in base mobile.Anno Viagg. Base Fissa Operazione Base Mobile1983 14759 100.00 100.001984 15528 105.21 (105.21/100.00)*100.00 105.211985 16376 110.96 (110.96/105.21)*100.00 105.471986 16838 114.09 (114.09/110.96)*100.00 102.821987 18724 126.87 (126.87/114.09)*100.00 111.211988 19867 134.61 (134.61/126.87)*100.00 106.10Esercizio_AE57: valore aggiunto al costo dei fattori e numeri indice in base fissa 1980.Passare ai numeri indice a base mobile.Anno Val.Agg. N.I.-B.F.1980 381644 100.001981 458517 120.141982 536861 140.671983 620648 162.621984 712824 186.781985 797313 208.921986 879396 230.421987 951341 249.271998 1040094 272.53

372La circolaritàLa proprietà della circolarità si concreta nel fatto che due numeri indici qualsiasi di una stessa serie possono esserecollegati transitando per tutti gli altri che si trovano in posizioni intermedie tra quelli considerati. Ritorniamo aiprezzi della Audi 80 1.8E discusso nel paragrafo precedente ed in particolare alla colonna intestata “B.Mobile”.Posto pari a 100 il prezzo "Italia", quello "Germania" risulta 89.02; ora, fatto 100 quest’ultimo, il prezzo delBelgio risulta 97.45. del Belgio rispetto all’Italia non solo dal calcolo diretto (86.75), ma anche usando il numeroindice intermedio della Germania: 0.8902*0.9745*100=86.75.La circolarità (o transitività) dei numeri indice elementari permette di passare da una serie a base mobile aduna a base fissa. Infatti è possibile esprimere xI tcome la produttoria di una successione a base mobile:t−1∏Ij j+1j=xt−x−1100=I * I *…* I * I100x x+ 1 x+ 1 x+ 2 t−2 t−1 t−1 tt−x−1⎛ Y⎜⎝=⎛⎞x+ 1⎞x 2t 1* 100 Y +* 100 * * Y −⎟ ⎜ ⎟ … ⎛ Yx⎠ ⎝ Yx+1⎠⎝ ⎜ ⎞⎟Yt−2⎠t−x−1100⎛ Yt⎞* 100 * ⎜ ⎟⎝ Y ⎠t−1⎛ Yt⎞⎜ ⎟⎝ Y ⎠* 100 tx=t−x−1100− x= ⎛ ⎝ ⎜ Yt⎞⎟ =Y ⎠* 100 x I txche è valida per t>x. Se invece t

373Scelta e cambiamento della baseConviene assumere come occasione base quella in cui il fenomeno studiato presenti un valore “normale (pensandoall'andamento di una serie storica, non un valore di picco né un valore di valle). Se la base è un valore troppoalto i numeri indici sembreranno mostrare una depressione cronica del fenomeno; se il valore è troppo basso siprofilerà un’espansione sistematica altrettanto ingannevole. Inoltre, se si vuole che i confronti rimangano inseritiin un contesto omogeneo, la scelta deve essere recente e quindi legata alla dinamica del fenomeno: se molto rapidasi dovrà ravvicinare il riferimento che potrà essere più remoto per le serie lente e stabili.Esempio:Giusti e Vitali (1996, p. 11) osservano: ‘Indubbiamente il concetto di “normalità” è piuttosto vago ed elastico, e non raramentecorrisponde ad una sorta di illusione psicologica; talora, invece di assumere come base un anno determinato, che può essereinfluenzato da fattori ed avvenimenti accidentali o eccezionali, si preferisce assumere come base un periodo pluriennale’. Non sempreè possibile seguire questo suggerimento: se la serie considerata è inserita in un gruppo di altre, la comodità di disporle su di una basecomune potrebbe portare ad una scelta inadatta per qualcuna di esse.La base non può essere mantenuta troppo a lungo: occorre tenere conto di eventi eccezionali esterni alcontesto della serie oppure di esasperazioni interne al fenomeno che possono cambiarne profondamente lecondizioni: iperinflazione, catastrofi naturali, modifiche legislative, armonizzazione a livello internazionale.Quando l’arco di rilevazione comincia ad estendersi troppo, il cambiamento di base diventa un atto dovuto peraggiornare l’indicatore e se non si vuole ridurre il numero indice ad una mera trasformazione proporzionale deivalori della serie.Nei numeri indici elementari il cambio di base è immediato. Se si parte dalla serie in base “x” e si vuolepassare alla trasformazione in numero indice in base “w” cioè:x I t = Y tY x*100;w I t = Y tY w*100;è sufficiente moltiplicare la serie di partenza per il rapporto tra i valori Y xe Y w:xI t * Y xY w= Y tY x*100 * Y xY w= Y tY w*100= w I tIl rapporto: C(x,w)=Y x/Y w=100/ xI wcostituisce il coefficiente di raccordo tra le due serie.Esempio:Contributi I.N.P.S. recuperati dal 1990 al 1995. Dati in miliardi di lire. Dalla serie base 1990 si passa alla serie base 1993 moltiplicandola prima per il coefficiente di raccordo.Yx* 100Y Ycxw x x 100( , )= = =Y Yw w * 100 xItYx100= = 0.7459134.07Anno Contributi 1990=100 1993=1001990 1403 100.00 74.591991 1329 94.73 70.651992 2211 157.59 117.541993 1881 134.07 100.001994 2313 164.86 122.971995 1450 103.35 77.09180160140120100806040200EEEJJEEJEJJJ1990 1991 1992 1993 1994 1995Se i valori originari della serie non sono noti occorre agire indirettamente. Per il cambiamento di base, basta considerare il reciproco(rispetto a 100) del numero indice in vecchia base dell’occasione che si vuole come nuova base. Il profilo della serie storica dei numeriindici subisce una mera traslazione sull’asse delle ordinate e picchi e valli rimangono gli stessi: le variazioni assolute dell’indicecambiano, ma non quelle relative. Se l’occasione per la nuova base non rientra tra quelle di cui si dispone il numero indice, ilcoefficiente di raccordo diventa indispensabile.Esercizio_AE60: sia data la serie in numero indice base 1967.Trasformare la serie in base 1972.1966 97.2 1967 100.0 1968 104.21969 109.8 1970 116.3 1971 121.31972 125.3 1973 147.7 1974 161.2

374Esercizio_AE61: traffico passeggeri nel Friuli-Venezia-Giulia. Serie in numero indice base fissa 1994=100.Anno N.I. Pass. Anno N.I. Pass.1988 70.0 1993 96.91989 75.2 1994 100.01990 87.6 1995 94.81991 88.9 1996 107.21992 97.4 1997 117.5Effettuate il cambiamento in base 1988 con coefficiente di raccordo pari a 1.43 .Raccordo di serie storicheLe serie storiche molto lunghe creano diverse difficoltà per la scelta del periodo base. La scelta come base delvalore più piccolo della serie esaspera le oscillazioni ed il valore massimo le smorza; il valore medio come basenon sembra una soluzione valida.Esempio:Delitti denunciati alle preture e alle procure dal 1896 al 1987. Il profilo lineare dellaserie non si modifica nella sostanza, ma la sua chiave interpretativa si modifica aseconda della base scelta; in particolare l’impennata che si nota nell’ultimo trattoè in netta evidenza se si sceglie come base il valore minimo ed è oscurata se sisceglie il massimo. Per meglio leggere la serie sarebbe forse opportuno standardizzarlarapportando i delitti alla popolazione residente.400350300250200150100500minimomediamassimo1896190119061911191619211926193119361941194619511956196119661971197619811986Il collegamento tra serie espresse in basi diverse può essere ricondotto al cambiamento di base; c’è però bisognodi un termine comune tra le diverse serie.Esempio:E’ nota la serie dei numeri indici della carta per fotocopiatrici (base 1975). Per lo stesso prodotto è noto l’indice dei prezzi base 1983.Anni 1975=100 1983=100 1983=1001973 95.5267.561974 98.7569.851975 100.0070.731976 110.8278.381977 120.28 85.07 85.071978 123.56 87.39 87.391979 125.72 88.92 88.921980 127.06 89.86 89.861981 128.21 90.68 90.681982 135.00 95.48 95.481983 141.39 100.00 100.001984 98.27 98.271985 92.54 92.541986 95.38 95.38Proviamo a raccordare le due serie in una sola in base 1983. Per effettuare l’ operazione c’è bisogno di un ponte che colleghi le dueserie. In questo esempio il collegamento è fornito dal termine comune nel 1983 che produce il coefficiente di raccordo:100cxw ( , )= = 0.7073141.39Se il coefficiente è corretto i valori raccordati coincideranno con quelli già espressi nella nuova base per le parti comuni delle serie.Il raccordo di serie storiche in numero indice aventi diversa base fissa non sembra creare alcun problema: bastaavere un termine comune e tutto si risolve. Il fatto è che, spesso, il termine comune non è noto oppure è noto uncoefficiente di raccordo di un’altra serie in cui quella considerata è compresa ovvero ha un comportamentosimile. In questi casi la serie raccordata è solo un’approssimazione della serie in nuova base e l’applicazione cuiè rivolta deve essere compatibile con tale errore.Esercizio_AE62: spese sostenute dall'agricoltura per l’acquisto di beni eservizi da altri settori. Da una serie inizialmente a base 1970 si è passati aduna serie prima a base 1976 e poi a base 1980. Per ragioni di confronto conaltri dati è necessario riportare tutta la serie a base 1976; svolgete i relativicalcoli usando come coefficienti: c(70,76)=1.2345; e c(80;76)=1.1108).Anno Spese Spese Spese70=100 76=100 80=1001974 96.32 ------ ------1975 97.74 ------ ------1976 102.13 100.00 ------1977 101.03 ------1978 103.21 ------1979 98.23 ------1980 100.06 100.001981 104.921982 106.48

3755.2.3 Numeri indici sinteticiI fenomeni reali ben raramente possono essere analizzati limitando l’attenzione ad una sola variabile. Spessissimosi manifestano in forma complessa che impone rilevazioni ed analisi multivariate: il livello dei prezzi, laproduzione industriale, l’andamento delle retribuzioni, la composizione della forza lavoro, la criminalità, ilconfronto economico tra nazioni. D’altra parte, un fenomeno potrebbe risultare osservabile indirettamente omagari solo attraverso l’accostamento di indicatori eterogenei: ad esempio la valutazione delle capacità imprenditorialedi una certa area richiederebbe la conoscenza dei redditi medi della zona, dei livelli di scolarità, delleinfrastrutture, dei mercati, delle aziende già presenti, delle capacità di aggiornamento, del sistema creditizio,della sicurezza sociale. In tali occasioni è possibile studiare il fenomeno riunendo vari indici semplici. In questoparagrafo ci occuperemo della costruzione di indici sintetici applicati a selezioni (“panieri”) di beni e servizi.Esempi:a) Consideriamo le quotazioni di alcuni titoli in una settimana borsistica ed escludiamo, peril periodo considerato, operazioni tecniche sul capitale delle società quotate (cfr. Giusti eVitali,1996 per un approfondimento del problema).Per avere un’idea dell’andamento dei titoli si potrebbe determinare, per ogni chiusura, iltotale delle quotazioni oppure la loro media aritmetica per poi calcolare su queste i numeriindice.Data 15/4 16/4 17/4 18/4 19/4Totali 2'647 2'687 2'647 2'628 2'588B.F. 15/4 100.0 101.5 100.0 99.3 97.8Questa idea fu applicata da G. R. Carli nel 1764 al fine di comparare il livello dei prezzi del1500 e del 1750 usando come paniere il grano, il vino e l’olio (cfr. Martini, 1991).Giorno Titolo Valore Azioni15/4/85 SELM 3400 93500SELM Risp. 3740 1000Tecnomasio 800 5000016/4/85 SELM 3280 98400SELM Risp. 3970 758Tecnomasio 810 5540017/4/85 SELM 3120 99200SELM Risp. 4000 793Tecnomasio 820 5460018/4/85 SELM 3150 96700SELM Risp. 3928 850Tecnomasio 805 5300019/4/85 SELM 3170 95000SELM Risp. 3804 890Tecnomasio 790 60900b) Giusti e Vitali (1996, pp. 44-45) osservano: ...in ciascuna seduta di Borsa, la contrattazione è, infatti, continua, ciò dà luogo a variprezzi e a diverse quantità trattate in corrispondenza di essi. Se si vuol costruire un indice giornaliero delle quotazioni, generalmentesi assume come prezzo quello di “chiusura”, nel caso di indici a cadenza settimanale, si può far riferimento al corso di chiusura di finesettimana oppure del corso medio di chiusura ottenuto attraverso una media aritmetica dei corsi di chiusura giornalieri, ponderati conle rispettive quantità trattate”.La media aritmetica semplice ha lo svantaggio di attribuire ad ogni azione la stessa importanza: la quotazionedelle SELM di risparmio conta come quella delle SELM ordinarie che invece hanno più grande rilevanza.Assegnare a ciascuna voce lo stesso peso è ancora meno ragionevole se i prodotti sono disomogenei nell’unitàdi misura o nell’ordine di grandezza. In questo caso sarebbe la metrologia a stabilire l’incidenza di un prodottoin un numero indice delle quantità (ad esempio un bene espresso in chilogrammi conterebbe di più se fosseespresso in grammi) e basterebbe alterare le scale di misurazione per ottenere risultati diversi (cfr. Alvaro, 1995).Esempio:Supponiamo di aver rilevato, in ogni anno il prezzo unitario di alcune merci per una quantità standard e di una tipologia comparabileacquistati in una fissata categoria di negozio, direttamente in vendita e non dai compratori (questo sarebbe più ragionevole, ma moltopiù oneroso da rilevare)Merce Carne Uova Acqua Miner. Vino Stoffe Totale Prezzo NumeroAnno Misura Kg Dozzine Bottiglie Litri m 2 Prezzi Medio indice1978 11.5 4.9 0.8 3.1 31.2 51.5 10.30 100.001979 12.4 5.1 0.7 3.2 32.7 54.1 10.82 105.051980 12.5 5.1 0.7 3.4 33.4 55.1 11.02 106.991981 12.3 5.2 0.6 3.6 34.5 56.2 11.24 109.13Nell’ultima colonna è riportato il numero indice semplice (base 1978=100) del prezzo medio (ovvero del totale prezzi):xIt=nn∑ PitnPi⎛ 1∑= 1⎞it∑ itini n P= 1⎝ ⎠* 100 = * 100 = = 1 * 100nnn∑ Pix∑ P⎛ 1⎞ix ∑ ixiii ⎝ n⎠P= 1= 1= 1nP it indica il valore unitario del bene i-esimo all’epoca “t”. L’indice basato sulla media aritmetica semplice dei prezzi di ogni anno èdominato dai cambiamenti nei prodotti numericamente più importanti: le stoffe e la carne e questo è illogico. D’altra parte, chesignificato dare ad esempio al valore 10.3 attribuito al 1978: esso è un prezzo medio delle merci nel 1978 per le pezzature considerate,ma di quale bene in particolare? Non certo uno reale, ma fittizio. Qual’è l’ipotetico prodotto che è la sintesi di un chilogrammo di carne,di una dozzina di uova, di una bottiglia di acqua minerale, di un litro di vino e di un metro quadro di stoffa? Esiste un modo per riassumerein modo plausibile merci così eterogenee?

376Per aggirare domande dalla non facile risposta, si potrebbero calcolare dei numeri indice per ciascun prodottoe solo successivamente calcolarne la media aritmetica che potrebbe così agire da indicatore sintetico:x I t U =n⎛ 1⎞∑⎝ n⎠ x I iti=1dove l’esponente indica il sistema dei pesi adottato (in questo caso uniforme) per gli indici elementari identificaticon tre pedici: uno per la base, uno per l’occasione corrente ed uno per il bene o servizio considerato.Esempi:a) Ecco i calcoli per le merci dell’esempio precedente.Anno Carne Uova Acqua Miner. Vino Stoffe N.I.1978 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.001979 107.83 104.08 87.50 103.23 104.81 101.491980 108.70 104.08 87.50 109.68 107.05 103.401981 106.96 106.12 75.00 116.13 110.58 102.96I due procedimenti hanno portato a risultati dissimili ed infatti sussiste tra di loro una differenza notevole: il primo è un rapporto tradue medie ovvero la media di un’occasione ragguagliata alla media di un’altra; il secondo è una media ponderata di rapporti. Con laprima formula apprendiamo quale sia la variazione nella media delle valutazioni, con la seconda apprendiamo quale sia stata lavariazione media delle valutazioni. Quest’ultima ha maggiore rilevanza, dato che la prima coinvolge la somma di entità espresse inunità fisiche non commisurabili ed a cui non è facile attribuire un significato logico. Carruthers ed al. (1980) sostengono, tuttavia, chei risultati non sono mai troppo discosti e che in genere la media dei numeri indici è tendenzialmente superiore al numero indice dellamedia.b) La media degli indici elementari introduce un problema non banale: quale media? Ad esempio, se la distribuzione delle variazioni di prezzoè asimmetrica a sinistra, la sintesi dovrebbe essere data dalla media geometrica (o la media armonica se l’asimmetria è a destra); la mediageometrica tuttavia si annulla se anche uno solo dei fattori è zero (la media armonica non sarebbe nemmeno calcolabile). La medianapotrebbe superare i problemi connessi ai valori remoti, ma non utilizza tutte le informazioni disponibile.Anno Min Max µ Me G H σ γ11979 87.5 107.83 101.49 104.08 101.22 100.93 8.01 -1.961980 87.5 109.68 103.40 107.05 103.05 102.68 9.14 -1.951981 75.0 116.13 102.96 106.96 101.80 100.48 16.12 -1.89Gli anni 1979 e 1980 hanno una distribuzione simile per variabilità e asimmetria però diversa dal 1981 in cui la variabilità è maggiore.L’asimmetria è negativa per cui la sintesi dovrebbe essere realizzata con la media armonica degli indici elementari o con la mediana.c) La media aritmetica degli indici elementari non verifica la proprietà di reversibilità delle basi:[ ][ ] = ∑x t U t u U ⎡ x P it ⎤⎡x Pix⎤ x x2 PitPI Iit⎢ ⎥⎢∑ ⎥ =⎡ ⎤⎢ ∑ ⎥ ⎡ ⎤ 2100 100 100 ⎢ ∑ ⎥ ≠ 100⎣ i= 1Pix⎦⎣i= 1Pit⎦ ⎣i= 1Pix⎦⎣i=1Pix⎦Occorre anche dire che tale proprietà è ritenuta utile, ma non essenziale.d) La media geometrica presenta un’ulteriore peculiarità:n1 ⎡ ⎤∏ Pnitn n i=Gt⎥ = ⎡ 1n⎦ ⎣ ⎢ ⎤ ⎢ ⎥1100⎥ = [ 100 ] ⎢ ⎥ = 100⎦ ⎢ GPx∏⎥ix⎣⎢i=⎦⎥11⎡nx t i ⎤ n nPit⎢∏I ∏i= 1i=1 Pix⎣La media geometrica dei numeri indici coincide con il numero indice delle medie geometriche.1nEsercizio_AE63: calcolate il numero indice sintetico a pesi uniformi per le azioni e confrontatelo con il numeroindice elementare sulla media giornaliera delle azioni. Che differenze si notano?Il numero indice sintetico con pesi uniformi (ammesso di aver superato l’ostacolo della scelta della media) risolve ilproblema della comparabilità delle unità di misura dei beni e dei servizi grazie alla tipica proprietà dei rapporti di essereinvarianti rispetto a modifiche moltiplicative; ha però il difetto, già notato, di dare la stessa importanza alle variazionidi tutti i soggetti dell’indice. Se applicato all’esempio della settimana borsistica non farebbe distinzione alcuna tra leSELM ordinarie e le SELM a risparmio che, nonostante l’enorme differenza di importanza negli scambi, finiscono coldare lo stesso contributo all’indice sintetico. L’andamento di tale indice è determinato proprio dalle SELM a risparmiole cui maggiori oscillazioni più si riflettono nell’indice sintetico se la formula si basa sulla media aritmetica.

377Un’altra considerazione riguarda l’ interdipendenza tra le valutazioni dei beni: un aumento delle quotazioni diun’azione non può essere ritenuto insensibile ai cambiamenti di quotazioni in un’altra; anzi, sono proprio lericadute a cascata tra le diverse attività che costituiscono l’essenza del mercato. In definitiva, è da abbandonarel’illusione che possa esistere una media semplice che dia pieno conto delle variazioni del livello generale.Esempi:a) Boldrini (1968, p. 1174) annota: “... Fra le varie merci esistono numerosi legami che, indipendentemente dalle condizioni generali,rendono solidali i prezzi: stagionalità di produzione e di consumo, succedaneità, complementarità dei beni, costi congiunti, legge diripartizione del reddito dei consumatori, etc”.b) La media semplice dei numeri indici elementari deriva dal cosiddetto approccio stocastico che vede la rilevazione dei prezzi comeun campione di quelli osservabili il che rende superflua la ponderazione o una ponderazione basata sulle quantità trattate dei benie servizi finiti nel campione. (Allen, 1975, p.12).Occorre inserire le variazioni delle entità che entrano nel livello generale, ma queste debbono entrare in misuracoerente con la effettiva importanza nel “paniere” di entità.La presenza di beni con minore o peggiore qualità può far variare i prezzi senza incidere sulle quantitàacquistate. Gli elementi di qualità dei beni dovrebbero essere scorporati e gestiti separatamente perché il benea confronto dovrebbe avere sempre la stessa tipologia. Solo così si evita la distorsione insita nell’ottenere -conlo stesso prezzo- un prodotto di qualità migliore. Con alcuni beni di consumo tradizionali questo è possibile, macon beni derivanti da tecnologie in evoluzione questo è difficile (si pensi ad esempio alla memoria di massa deicomputer che a parità di prezzo quasi raddoppia ogni due anni). Inoltre, nei beni e nei servizi a rapida evoluzionesi sperimenta sempre più spesso il fenomeno della deflazione cioè la riduzione diffusa dei prezzi dovuta acambiamenti tecnologici. Talvolta, basta l’annuncio di un nuovo computer, di un nuovo cellulare o di un un nuovoservizio per abbassare i prezzi di quelli esistenti anche se le novità saranno sul mercato solo molto tempo dopoe alcune di loro non lo vedranno mai. Peraltro, sono noti alcuni casi di nuovi beni ed innovazioni di beni giàesistenti non immessi sul mercato fintanto che quelli che avrebbero dovuto sostituire non avessero prodotto irendimenti voluti.Definizione di livello generale delle valutazioniIl livello di un qualsiasi sistema di valutazioni di “n” entità nell’occasione “t” è una variabile multidimensionalenon osservabile e non misurabile direttamente ed occorre darne una definizione operativa perché si possaproporne poi la misura in modo indiretto. Innanzitutto, introduciamo un insieme di pesi con i quali semplificareil raggruppamento delle valutazioni di entità disomogenee. Definiamo livello generale una funzione L(.) dellevalutazioni delle entità e dei pesi relativamente all’occasione “t”. Ipotizziamo che le valutazioni -espresse tuttenella medesima unità di conto- abbiano valori non negativi e che i pesi verifichino le condizioni di non negativitàe di somma unitaria:witn≥ 0,∑ w = 1Ne consegue che la L(.) ha come codominio l’insieme dei numeri reali positivi e dominio R + :i=1itLp ( 1 ,p 2 ,…,p n ;w 1 ,w 2 ,…,w n ):( R +) n ⊗ [ 0,1] n → R +Requisiti per il livello generaleAlla funzione sono poste alcune restrizioni finalizzate alla possibilità di realizzare confronti corretti tra le diverseoccasioni (cfr. Biggeri, 1986).Identità. Se in due diverse occasioni: la “x” e la “t” , si riscontrano le stesse valutazioni e gli stessi pesi non devecambiare il livello generale.P ix = P it per ogni "i", allora LP ( x ,W )= LP ( t ,W )Omogeneità di grado zero. Se, fermi restando i pesi, cambia proporzionalmente l’unità di conto delle valutazioniallora il livello generale non deve cambiare:

378* *it it t tP aP per ogni "" i con a 0 allora L P , W L P , W= > ( )= ( )Se le valutazioni cambiassero da euro a lire, il livello generale rimarrebbe invariato (cfr. Biggeri e Ferrari, 1991).Monotonicità crescente. Se da una occasione “x” si passa ad una occasione “t” in cui almeno una valutazione èaumentata e le altre rimaste uguali, allora il livello generale deve aumentare:P ix < P it per almeno un "i" allora LP ( x ,W )< LP ( t ,W )Ogni incremento di una o più valutazioni, per quanto piccolo e marginale, deve riflettersi in una crescita del livellogenerale (a pesi invariati e riferiti allo stesso insieme di entità). D’altra parte, ogni aumento del livello generaleavvertirà che una o più valutazioni singole si sono incrementate ed altre potrebbero essersi decrementate. Il livellogenerale nell’occasione “x” è certamente più elevato che nella “t” se P ix≥P itper ogni i=1,2,…,n e P it>P ixperalmeno un “i”. Tale condizione però non si verificherà mai in pratica ed è necessario ricorrere a panieri più ristrettie contentarsi di giudizi più approssimati e vaghi.Esempi:a) Se le valutazioni aumentano tutte del 2% allora anche il livello generale aumenterà del 2%, ma se il livello generale è aumentatodel 2% nulla si può dire sulle singole valutazioni se non che, fra di loro, è prevalso il segno positivo.b) L’inflazione è un fenomeno che si concreta in un aumento generalizzato dei prezzi rispetto ad una situazione di riferimento. Tuttavia,la sua definizione operativa non è semplice né univoca e non esiste un singolo indicatore che goda di consenso sufficiente e suscitireazioni standard. In genere, tali calcoli sono appannaggio degli istituti centrali di statistica, ma esistono diverse altre proxy proposteda organizzazioni private. Anche voi potrete crearvi il vostro personale indice di inflazione. Ad esempio, il prezzo di copertina del Texn.15 nella collana gigante pubblicato nel maggio 1965 costava 350 lire; l’albo della stessa collana pubblicato nell’aprile 2001 costava3800. In 36 anni c’è stata un’inflazione del 1085% cioè i prezzi si sono moltiplicati per 11.Esercizio_AE64: Predetti (1999, pp. 50-51) espone i criteri con cui giudicare la bontà di un numero indicesintetico inserendo la condizione di determinatezza e cioè: l’indice non deve mai annullarsi né diventare infinitose uno dei suoi componenti si annulla o tende all’infinito. Perché tale requisito? E’ sempre applicabile?Tra le possibili funzioni rispondenti alle tre condizioni precedenti si considera una formula già nota:nLPW ( t, t,r)= ⎡ Pw it r ⎤⎢ ∑ it ⎥⎣i=1⎦dove “r” è un intero non negativo. Di solito r=1 (media aritmetica ponderata) oppure “r” è tendente a zero (mediageometrica ponderata):1rnnwt t it itt t iti= 1 i=1( )= ( )=LPW , , 1 ∑ Pw; LPW , , 0 ∏ PIl senso di queste formule è che sia possibile misurare il livello generale delle valutazioni con una media dellevalutazioni dei singoli elementi del paniere. Inoltre, il peso w iesprime l’entità della variazione dovuta all’aumento(o alla diminuzione) di una unità dell’indice elementare a parità degli altri indici.itEsempi:a) Bettuzzi (1995, p. 156) annota: “L’impiego di una media al posto di un’altra è direttamente condizionato dagli obiettivi particolariche si vogliono conseguire mediante la costruzione del numero indice. La media aritmetica, tuttavia, si fa preferire, oltre che per lasemplicità di calcolo, anche per il più chiaro significato economico attribuibile al numero indice che ne risulta”.b) L’unione nazionale consumatori ha affermato: l’indice dei prezzi al consumo non ha senso. Il tasso di inflazione non significa nullaper quanto riguarda la spesa quotidiana: è una media delle medie che del tutto casualmente può corrispondere a quanto effettivamenteuscito in più dalle tasche del consumatore. Dipende da quanto e che cosa consuma, da dove abita, in quale punto vendita ha comprato,dai servizi che ha usato, da ciò che possiede, dalla marca che ha scelto. Insomma, ogni consumatore ha un tasso di inflazionepersonale, anche in rapporto al reddito. Se un consumatore ricco entra in un negozio di alta moda per acquistare un pullover di vigognae scopre che è passato da 300 a 309 mila lire: sopporterà un tasso di inflazione del 3%. Un consumatore meno ricco entrando in unmagazzino per comprare un pullover di lana che è aumentato da 30 a 36 mila lire sosterrà un tasso di inflazione del 20% che è quasisette volte più alto del consumatore più benestante.

379Esercizio_AE65: Consideriamo le seguenti rilevazioni ipotetiche:Prodotto ComoPadova Latina Taranto PalermoTe 800 900 850 950 900Caffè 700 750 800 850 900Calcoliamo un indice sintetico dei prezzi Latina=100 secondo i seguenti schemi:a) Indice sintetico come indice elementare della media aritmetica dei prezzi;b) Indice sintetico costruito dando pesi uguali agli indici elementari due prodotti;c) Indice sintetico con peso 0.7 al caffè; d) Che tipo di conclusione vi sentite di trarre?Resta da stabilire lo schema delle aggregazioni degli indici elementari che partendo dalla singola spesa delconsumatore finale arrivi al livello nazionale per l’intero paniere rispondendo comunque ai requisiti di identità,omogeneità e monotonicità.Esempio:il sistema dei pesi può derivare da una sequenza gerarchica di sottosistemi di ponderazione derivati dalla composizione merceologica,dalla suddivisione territoriale, dalla tipologia del punto vendita, etc.In particolare, il peso del bene o servizio BAX11 nell’indice generale è: 0.15*0.2*0.4=0.012Esercizio_AE66: la media geometrica ha un vantaggio rispetto alla media aritmetica: è possibile ottenere unamedia geometrica ponderata degli indici elementari senza prima calcolare i singoli numeri indici elementari.a) Dimostrate come questo sia impossibile in generale per la media aritmetica; b) Dimostrare che l’indicesintetico ottenuto come media geometrica degli indici elementari verifica la proprietà di reversibilità delle basi;c) Quale ulteriore vantaggio ne deriva per il cambiamento della base?Il livello generale è una nozione “relativa” cioè piuttosto che riferirsi al fatto che tale livello è alto o basso, hamaggiore senso pratico l’idea di un livello generale che in una situazione sia più alto o più basso rispetto adun’altra: comparazioni più che asserzioni e questo non deve mai essere perso di vista. L’approccio aggregatoattenua diverse obiezioni e riserve sugli indici sintetici dei prezzi al consumo: la tipologia di confezione: sfusa,singola, doppia; il luogo d’acquisto: ipermercato, chiosco all’angolo, da catalogo, allo spaccio o in mensa;pagamenti: contanti, carta di credito, rateale; prossimità alla scadenza della data di consumazione. I numeri indicesintetici dei prezzi non sono in grado di stabilire che i prezzi sono più alti a Milano che a Cosenza, nei capoluoghidi provincia più che nei comuni montani, in centro rispetto alla periferia, per gli industriali che per le famigliedi pensionati, per i lavoratori dipendenti più che per quelli autonomi, per i disoccupati diversamente che per glioccupati, per gli adulti che non per i giovani. Quello che si può ragionevolmente richiedere è che siano in gradodi dire se il livello dei prezzi aumenta di più o di meno per qualcuna delle categorie indicate.Gli indici sintetici si costruiscono come media ponderata di un numero prefissato di indici elementari:n( t t)= i ( x t i)i=1LPW , ∑ w IIl caso della media aritmetica semplice ricade nella formula con w i=1/n per ogni “i”. Il sistema di pesi riporta -proporzionalmente- la variazione intervenuta in ciascuna entità (è ovvio che, per il principio della internalità, ilvalore dell’indice sintetico sarà compreso tra il valore del più piccolo e più grande di quelli elementari).

380L’idea di media richiama alla mente l’importanza delle variabilità dei numeri indici elementari ai fini dellarappresentatività della media stessa, ma l’informazione sulla variabilità non è in genere fornita.Esercizio_AE67: le valutazioni sono riferite ad una pezzatura standard di ognuna delle entità. Supponete adessoche si modifichi la pezzatura usando delle sue frazioni. 1) Quali conseguenze possono aversi sul livello generale?2) Che ruolo ha l’unità di conto con cui si rileva un prezzo o una quotazione?Esercizio_AE68: se non c’è un modo unico di definire l’inflazione c’è un generale accordo nel considerarla unfattore negativo che dovrebbe essere eliminato dal sistema economico. E’ sempre così? Quali categorie, beneficianoo sono danneggiate da un aumento inaspettato del tasso di inflazione?La formula del valoreLa scelta dei pesi deve riflettere le finalità che si intendono perseguire a mezzo del livello generale ed il ruolodelle entità all’interno dell’insieme delle valutazioni da aggregare. Poiché i pesi si configurano come l’esito delriparto, tra un numero limitato di entità, di un ammontare definito di una qualche grandezza dobbiamo determinareuna variabile non negativa che misuri il rilievo da dare ad ogni entità. Le grandezze che si propongononaturalmente per questo compito sono le quantità trattate o scambiate di ogni bene e servizio nel paniere. Questoperò ci riporta al problema della comparabilità tra quantità espresse in unità di misura diverse: come sommaremetri con litri o con etti? C’è bisogno di un denominatore comune che renda ragguagliabili le quantità.Supponiamo che nell’occasione “t” siano state scambiate le quantità fisiche convenzionali Q itdella entità“i”. Se le Q itsono moltiplicate per la relativa valutazione unitaria: P it, il risultato V it=P it*Q itrappresenterà il“valore” di pertinenza dell’entità “i”. Ripetiamo l’operazione per tutte le altre “n” entità: P 1tQ 1t, P 2tQ 2t,…,P ntQ nt.I “valori” sono comparabili: 3 lattine di cola non sono commisurabili a 4 caffè, ma se ogni lattina costa -al tempodel confronto- 1’500 lire e per ogni caffè si paga 1’000 lire, i valori 3*1’500=4’500 e 4*1’000=4’000 sonocomparabili: il primo è maggiore del secondo e lo è del 12.5%. Il ruolo unificante della valutazione (in questocaso il prezzo) rende i valori sommabili: la spesa complessiva per 3 lattine di cola e 4 caffè è 4’500+4’000=8’500.A questo punto definiamo la valutazione complessiva per l’insieme delle “n” entità come:nV t = ∑ P it * Q iti=1V tha il pregio di trasformare una variabile multidimensionale in un dato univariato consentendo di costruire il numeroindice sintetico con lo stesso schema degli indici elementari.n∑ P it * Q itBase fissa: x I V t =i=1n*100; Base mobile: t−1 I V t =∑ P ix * Q ixi=1n∑ P it * Q iti=1n*100;∑ P it−1 * Q it−1che esprimono la variazione relativa tra il valore totale di un insieme di entità in una data occasione rispetto alvalore delle stesse entità in una occasione di riferimento fissa o mobile che sia.i=1Esempio:Consideriamo i dati sui prezzi unitari e sui beni principali limitatamente alle esigenze di un ristorante per la confezione di dessert.Beni1995P.U. Q.1996P.U. Q.1997P.U. Q.Zucchero 1750 380 1800 390 1900 400Farina 800 1400 950 1350 1000 1410Latte 1500 600 1650 650 1800 630Uova 250 1950 270 1900 300 1920Lievito 160 210 150 215 150 220Anno Valore Totale Base fissa Base mobile1995 3'206'100 100.00 -1996 3'602'250 112.36 112.361997 3'913'000 122.05 108.63E’ facile accorgersi che, dopo l’aggregazione, il calcolo dell’indice sintetico è uguale al calcolo dell’indice elementare. Da notare chein questa formula possono anche essere inclusi flussi di spesa originati da meri trasferimenti monetari.Verifichiamo, comunque, che si tratti di una media ponderata di indici elementari cercando di far rientrare nellaformula i numeri indici semplici dei singoli beni e servizi:

381n∑ Px t V it itI =i=1n∑ Pixi=1* Q* Qixn Pix∑ it iti P P * Q= 1* 100 =ixn* 100 =∑ P * Qixi=1ixn P∑Pi=1itixn* 100P* Q∑ Pixi=1ix* Qixitn P= ∑P⎛⎜ Pix* Qit* 100⎜n⎜ ∑ Pix* Q⎝⎞⎟ n⎟ = ∑⎟i⎠itx t ii= 1 ix= 1ixi=1IwiLa formula del valore è una combinazione lineare degli indici elementari con pesi:w i =P ix * Q itn; i = 1, 2,…,n∑ P ix * Q ixi=1Gli {w i} sono non negativi, ma la loro somma non è necessariamente pari ad uno dato che le quantità dell’occasione“x” non coincidono -di norma- con quelle della “t”. Così non è garantito che la valutazione complessiva sia una media(rispetto della condizione di internalità). Inoltre, poiché il peso w itnon è un rapporto di composizione (al numeratorec’è una grandezza non omogenea rispetto al denominatore) risulta oscuro in che modo possa riflettere l’importanzadell’entità i-esima. Il problema più serio però è che le due circostanze, “x” e “t”, hanno in comune solo tipo e numerodi entità ed il confronto è di scarso ausilio. Infatti, le variazioni potrebbero essere dovute tanto a cambiamenti nellequantità quanto a cambiamenti nelle valutazioni ovvero un aumento dell’indice può derivare sia da un aumento dellevalutazioni (con quantità ridotte) che ad una loro diminuzione (con quantità aumentate). Cade dunque il requisito dimonotonicità crescente, essenziale per l’interpretazione univoca dell’indice sintetico.Esempio:Riprendiamo la settimana borsistica per i tre titoli elettrici e applichiamo la formula del valore.Indici elementari Pesi NumeroSelm Selm R. Tecnomasio Selm Selm R. Tecnomasio Indice15-apr 108.97 93.50 97.56 0.82 0.011 0.11 101.1716-apr 105.13 99.25 98.78 0.86 0.008 0.13 103.7817-apr 100.00 100.00 100.00 0.87 0.009 0.13 100.0018-apr 100.96 98.20 98.17 0.84 0.010 0.12 98.0919-apr 101.60 95.10 96.34 0.83 0.010 0.14 98.66Come si vede la somma dei pesi non è pari ad uno per nessuna seduta, ma la condizione di internalità della media non è stata violatagrazie al campo di variazione piuttosto ampio degli indici elementari.Esercizio_AE69: dati sugli imballaggi; P indica il fatturato in mld eQ le quantità in mgl di tonnellate. Costruire, con la formula del valore,il numero indice base 1991 del fatturato.Legno Acciaio PlasticaAnno P Q P Q P Q1991 2630 4250 1600 555 8240 19001992 2690 4300 1400 560 8120 19501993 2750 4310 1300 570 8000 2010Valori reali e virtualiOltre ai valori effettivi nelle occasioni a confronto, si possono calcolare due valori figurativi interessanti:ValutazioniQuantità" x" " t"[ ]" x"PQ PQx x x t[ ]"" t PQ PQt x t t∑P xQ t. =valore all’occasione “t” se fossero in vigore le valutazioni dell’occasione “x”:∑P tQ x.= valore all’occasione “t” se con le valutazioni di questa si fossero trattate le quantità della “x”.Sulla diagonale principale si trovano le quantità reali (valutazioni e quantità rilevate nella stessa circostanza)nell’altra diagonale si trovano valori figurativi ritenuti utili ai fini dell’interpretazioni dei cambiamenti nel livellodelle valutazioni. Adoperando un valore reale ed uno fittizio in uno stesso rapporto nonché la media aritmeticaponderata degli indici elementari si possono formulare due schemi molto noti (De Meo, 1975, p.59).

382Formula di LaspeyresQuesta impostazione è stata proposta da Laspeyres nel 1864:n∑ P it Q ix ∑ * P ix Q ixxI L nt =i=1n*100 =i=1P ix in*100 = ∑ w ix I t ; dove: w i = P ix Q ixn∑ P ix Q ix ∑ P ix Qi=1ix∑ P ix Q ixi=1nP iti=1Si confronta il valore di un aggregato nell’occasione base “x” con il valore che lo stesso avrebbe avuto se lequantità della “x” fossero espresse con le valutazioni della “t”. I pesi, determinati nell’occasione base, sono parial rapporto tra la valutazione del prodotto i-esimo e la valutazione totale degli “n” prodotti. Ogni peso esprimela quota parte di valutazione con cui ciascuna entità ha contribuito al valore complessivo nell’occasione base.i=1Esempio:Informazioni relative ad una zona agrumicola in cui sono rilevati quantità raccolte e prezzi sull’albero.Arance Limoni MandariniAnno P Q P Q P Q1992 120 625 140 350 210 10651993 125 630 145 355 205 12151994 125 650 150 360 205 14501995 130 670 155 350 215 1150Anno Valori Indice1992 293'750 100.0%1993 299'250 101.9%1994 312'000 106.2%1995 335'000 114.4%Il livello aggregato dei prezzi base 1992 è aumentato del 14% tra il 1992 ed il 1995 anche se questo non implica che tutti i numeri indicielementari siano aumentati. Un indice maggiore di 100 indica un aumento medio nelle componenti la cui rappresentatività è sempre ecomunque legata alla variabilità dei numeri indici elementari.Formula di PaascheFu proposta da Paasche nel 1874. Confronta il valore di un aggregato rilevato nell’occasione “t” con il valoreche lo stesso avrebbe avuto se le quantità della “t” fossero espresse con le valutazioni “x”.x I t P =n∑ P it Q iti =1n∑ P ix Q iti =1nP it∑ * P ix Q iti*100 ==1P ixn∑ P ix Q iti =1ni*100 = ∑ w i xI t ; dove : w i = P ix Q iti =1n∑ P ix Q iti =1La formula di Paasche si basa su pesi derivati dalle valutazioni nella “x” e quantità della “t” che si modificanodi occasione in occasione risultando più prossimi ai cambiamenti a causa della concomitanza di rilevazione. Laformula , a differenza di quella di Laspeyres che ha una struttura costante, ha pesi variabili pur rimanendo espressicome quote di ripartizione (ma di un valore fittizio e non reale). Questo crea un nuovo tipo di numero indice: oltrea quelli in base fissa e base mobile, esiste il numero indice in base variabile.Esempio:Ecco alcuni dati relativi all’interscambio di metalli (prezzo medio annuale in dollari per lotto. Quantità in tonnellate). Calcoliamo ilnumero indice 1993=100 con la formula di Paasche.Rame Stagno Piombo Nichel ZingoAnno P Q P Q P Q P Q P Q1993 1'268 25421 4'968 5368 458 27843 3'654 4026 907 190781994 1'327 23117 5'031 4768 461 27102 3'678 4127 916 199001995 1'426 22894 5'126 4892 472 28569 3'715 4368 918 201471996 1'563 22107 5'515 4913 478 29147 3'850 4459 925 20874Anno Elemento Num. Ind.1993 Num. 103'668'896 100.00Den. 103'668'8961994 100'565'595 102.0598'541'8541995 105'929'870 105.24100'651'6511996 112'056'302 110.93101'014'690Il calcolo della formula è di impostazione più complessa rispetto alla formula di Laspeyres dato che, per ogni occasione, occorreottenere sia il numeratore che il denominatore. Il livello generale dell’esempio aumenta in modo persistente nel quadriennio e con unritmo che andrebbe monitorato.Con la formula di Laspeyres si misura la variazione della spesa per un paniere riferito all’occasione base; quella diPaasche misura l’analoga variazione per un paniere riferito all’occasione corrente. Indici di questo tipo sono impiegatiper valutare la variazione del potere di acquisto dei redditi di specifici gruppi di famiglie (da non confondere con gliindici del benessere o del costo della vita che -allo stato attuale delle conoscenze metodologiche, tecnologiche,

383economiche- non sono calcolabili) oppure per misurare la variazione del valore monetario di beni oggetto di uncontratto a termine (ad esempio gli affitti).Esercizio_AE70: per i quattro beni e per i quattro periodi seguenti:Anno_1 Anno_2 Anno_3 Anno_4Bene P Q P Q P Q P Q"A" 25 129 27 126 30 124 35 118"B" 30 118 31 117 29 122 28 120"C" 40 106 42 101 44 94 43 98"D" 35 117 36 119 38 113 37 115calcolare un numero indice sintetico basato sulle formule del valore, di Laspeyres e di Paasche in base “Anno_2”.Esercizio_AE71: consumo di carta per fotocopiatori in un importante ente pubblico."A4" "B5" Lettera Legale "A3"Anno P Q P Q P Q P Q P Q1985 5'200 46224 2'800 14510 5'800 6265 6'100 2158 9'870 7801990 5'500 48128 2'950 15188 6'400 7128 6'400 2297 10'160 6901995 6'000 51053 3'150 16873 6'950 7059 6'900 2325 11'540 730a) Calcolate il numero indice Base 1985 con le formule di Laspeyres e Paasche;b) Quali problemi comporta un tempo così lungo per l’interpretazione dei numeri indici?Proprietà delle formule di Laspeyres e PaaschePer come sono costruite le formule verificano la proprietà di monotonicità crescente. In particolare, l’incrementodifferenziale nel livello generale dovuto ad un incremento unitario nell’i-esimo indice fermi restando gli altri è:∂∂ I( I )=PQ;∂∂ I( I )=PQL ix ixP ix iti x t ni x t nx t ∑ PQx tix ix∑ PQix iti= 1 i=1Nella formula di Laspeyres l’effetto è prevedibile a priori in quanto il peso è prefissato; ciò che succede allaformula di Paasche dipende invece dal livello raggiunto dalle quantità dell’occasione attuale e non può quindiessere prestabilito, ma deve essere appurato di volta in volta.La proprietà dell’identità si riflette nel fatto che il numero indice sintetico deve essere uguale a 100 se, nelpassare dall’occasione “x” alla “t” (o viceversa), le valutazioni non subiscono nessuna modifica. Sia la formuladi Laspeyres che quella di Paasche verificano tale condizione. Infatti:xxIILxPxn∑ PQ ixi=1=n∑ PQi=1ni=1ixixixix∑ PQ ixi=1=n∑ PQixix∑ PQ it itL i=1* 100 = 1* 100 = 100; tIt=n* 100 = 1* 100 = 100;∑ PQni=1∑ PQ itP i=1* 100 = 1* 100 = 100;tIt=n∑ Pni=1ititititQ it* 100 = 1* 100 = 100;Le due formule verificano anche la proprietà di omogeneità lineare. Infatti, posto P’ it=aP itcon a≠ 0 si ha:xxLtIPtIni=1ni=1'ix∑ PQi=1=n∑ PQ'ix'it∑ PQi=1=n∑ PQ'itixixixixn∑ aPixQixPQ ix ixia i=n= ⎛ ∑= 1⎞ = 1* 100 * 100⎝n* 100=∑ aP Q a⎠∑ PQ*i=1ni=1100 =nix∑ aP Qi=1ititixit∑ aP Qixni=1nit it1100⎞ i=n100ixiti=1ixixPQa= ⎛ ∑* *⎝ a⎠∑ PQ=LxItPxIt

384e quindi le due formule portano allo stesso risultato quando tutte le valutazione subiscono una modifica moltiplicativa(questo equivale a dire che le valutazioni del livello generale del fenomeno sono misurate su scalaproporzionale). L’aggiunta di una costante invece altera i rapporti:xILtIPt tn∑( Pit+ )i=1na Q=∑( P + a)Qi=1ixn∑( Pit+ )i=1ni=1ixixixa Q=∑( P + a)Qititi=1n∑ PQit ixi=1=nn∑ PQ + a∑Qi=1ix ix ixi=1n∑ PQit iti=1=nn∑ PQ + a∑Qix it iyi=1i=1na∑Qixi=1+nn;∑ PQ + a∑Qi=1ix ix ixi=1a∑Qiti=1+nn∑ PQ + a∑Qnix it iti=1L’effetto sulle due formule non ha un ordine di grandezza prevedibile rispetto a tale trasformazione.I numeri indici sintetici basati sulla formula Laspeyres o di Paasche non godono, in generale, della proprietàdella reversibilità delle basi. Infatti, si vede subito che:Innn∑ PQit ix ∑ PQ⎛ix it∑ PQiti=1i=12 i* I =n* *n* = ⎜ = 1100 100 100n∑ PQix ix ∑ PQit it⎜ ∑ PQit⎝L Lx t t xIP Px t t xi=1i=1i=1i=1i=1nnn∑ PQit it ∑ PQ⎛ix ix∑ PQiti=1i=12 i* I =n* *n* = ⎜ = 1100 100 100n∑ PQix it ∑ PQit ix⎜ ∑ PQit⎝i=1ixitn⎞⎛∑ PQ ⎞ix it⎟⎜i=1 ⎟n⎟⎜ PQix ix⎠⎝∑ ⎟⎠itixi=1n⎞⎛∑ PQ ⎞ix ix⎟⎜i=1 ⎟n⎟⎜ PQix it⎠⎝∑ ⎟⎠i=1I due quozienti finali sono pari ad uno in due soli casi: per n=1 (ma si parlerebbe di numeri indici elementari)e se le quantità sono nella stessa proporzione dell’occasione base, cioè Q it=aQ ixper ogni “i” e per ogni “t”:I* IL Lx t t xnnn⎛∑ PQ ⎞⎛it ix ∑ Pix( aQix)⎞ ⎛∑ PQit ix2 iii= ⎜ = 1 ⎟⎜= 1 ⎟2nn= ⎜ = 1100 100n⎜ ∑ Pit( aQix ) ⎟⎜ PQix ixa PQit⎝ ⎠⎝∑ ⎟⎜⎠ ⎝∑ni=1ixi=1( )∑ P aQixi=1nit ixix ixit ixP P i=1i=12 i=ixIttIx=nn= ⎜ 1* * 100 * * 100 100 ⎟⎜= 1n( )∑ P aQ∑ PQ∑ PQi=1itixi=1i=1ixn⎞⎛a∑PixQ⎞ix⎟⎜i=1 ⎟n= 100⎟⎜ PixQix⎠⎝∑ ⎟⎠i=1nn⎛ a∑PQ ⎞⎛∑ PQ ⎞ix ix⎟n= 100⎜ a∑PixQix⎟⎜⎝ ⎠⎝∑ PQit ix⎟⎠i=122Non ci sono però ragioni per aspettarsi tale relazione di proporzionalità. I numeri indici di Laspeyres e Paaschenon godono neanche della proprietà della circolarità. E’ facile controllare che l’uguaglianza:x I Lx +2= xI Lx +1L* x +1 I x +2100si verifica, come nel caso della reversibilità delle basi, solo se n=1 oppure se le quantità variano proporzionalmenteda un periodo all’altro. Letto in chiave economica diventerebbe un paradosso: se fosse vero significherebbeche i prezzi non esercitano alcuna influenza sugli acquisti, ma allora perché misurarne il livello?Esercizio_AE72: Predetti (1999, p. 51) segnala il diverso comportamento della formula di Laspeyres e Paascheallorché si provi a costruire un indice elementare usando la serie dei numeri indici sintetici aventi la stessa base:II100 1 2 100 100 1 2 100LPx tx t; t = , ,… ;L xL0= ;xPt= ; t = , ,… ;PxP0=xIt−1xIt−1che significato si può dare alle due nuove espressioni?

385Confronto Laspeyres/PaascheConviene a questo punto riassumere prospetticamente il confronto tra le due formule supponendo che i soggettipossano agire su di un numero fisso di entità e variando le quantità in ragione di cambiamenti delle valutazioni.Laspeyres1) La struttura dei pesi è fissa per cui è meglio applicabile in situazioni in cui le variazioni delle quantità sono moderate.2) Per aggiornarlo è necessario acquisire solo le nuove valutazioni. Le quantità sono rilevate nell’occasione base.3) Man mano che ci si allontana dall’anno base il significato del numero indice sintetico si altera a causa delle modificheintervenienti sui termini di ponderazione e può diventare inutilizzabile se non si cambia base.4) In fase di aumento delle valutazioni dà valori più alti di quelli di Paasche; dà invece valori più bassi in fase di calo.5) Tende a sovrastimare gli aumenti delle valutazioni: se queste diventano più alte, le quantità al numeratore dovrebberodiminuire per compensare, almeno in parte, l’aumento delle valutazioni, e invece sono fisse; quindi, al numeratore c’èun valore che è maggiore del dovuto: più alto il numeratore, più alto è l’indice. Questa è la tendenziosità positiva dellaformula di Laspeyres.Paasche1) Per la variabilità nella struttura dei pesi è bene impiegarlo in situazioni in cui le quantità cambiano rapidamente.2) Per aggiornarlo è necessario rilevare in ogni occasione sia le valutazioni che le quantità.3) Il cambiamento di base dà risultati approssimativi in quanto, come la formula di Laspeyres, quella di Paaschenon verifica la proprietà di reversibilità delle basi.4) In fase di aumento delle valutazioni la formula di Paasche dà valori più bassi di quella di Laspeyres; dà invecevalori più alti in fase di calo.5) Tende a sottostimare le riduzioni delle valutazioni: se queste diventano più basse il denominatore dovrebbeaumentare per l’aumento delle quantità non compensato dalla riduzione delle valutazioni che sono fisse. Quindi,al denominatore c’è un valore che è maggiore del dovuto: più alto il denominatore, più basso è l’indice. Questaè la tendenziosità negativa della formula di Paasche.Esempio:Sviluppiamo le due formule per l’occasione “1” in base occasione “2”.∑ P i1 Q i1 = 2685; ∑ P i2 Q i2 = 2770;2 I 1 L = 88.63∑ P i2 Q i1 = 3040; ∑ P i1 Q i2 = 2455;2 I 1 P = 108.32Beni Occasione 1 Occasione 2Quantità Prezzo Quantità PrezzoAB4080101535751216CD202773515251040Nel passare dall’occasione “2” alla “1” si riscontra una diminuzione del valore complessivo (da 2’770 a 2’685) che è dovuta soprattuttoad una diminuzione dei prezzi (le quantità all’occasione 2 sono costate 2’770 con i prezzi correnti e 2’455 se fossero state acquistatecon i prezzi dell’occasione “1”).Esercizio_AE73: i numeri indice sintetici sono articolati a base fissa. Quali problemi ci sono nel definire degliindici concatenati per la formula di Laspeyres e Paasche?Esercizio_AE74: in periodi di accelerazione verso l’alto del livello generale dei prezzi si tende ad acquistaredi più per il timore che i prezzi aumentino ulteriormente in futuro. Quale delle formule: valore, Laspeyres,Paasche riesce a tenere maggiormente conto di questo comportamento.Altre formule per i numeri indice sinteticiSono note diverse altre formule per i numeri indice sintetici. Ad esempio le formule di Laspeyres e Paaschegenerano a loro volta altri schemi che sono però meno usati:[ ] =1Fisher : I = I * I ; Sidgwick = I + I ; MEB :2∑ P ( Q + Q )i=1n=∑ P Q + Qx t F x t L x t P x t L x t P it it ixn( )ix it ixi=1I * V + I * VV + Vx t L x x t P txtcioè media geometrica, aritmetica semplice e ponderata di quella di Paasche e di Laspeyres per cui da esse ci siattendono valori intermedi tra quelle componenti. L’indice di Fisher fu definito “ideale” perché verifica alcune

386proprietà formali importanti tra le quali la reversibilità delle basi e la compensazione delle opposte tendenziositàdei due indici componenti. Tuttavia, a causa delle difficoltà di aggiornamento, non ha avuto applicazioni estensive.L’indice MEB (Marshall-Edgeworth-Bowley) tiene conto delle quantità sia del periodo base che del periodocorrente e ciò può rivelarsi utile se i cambiamenti tra le due situazioni sono drastici.Esempio.La settimana borsistica.Epoca Vt=∑PitQit ∑PixQit ∑PitQix Laspeyres Paasche Fisher E.M.B.15-04-1985 361'640.0 339'699.0 375'048.6 106.35 106.46 106.40 106.4016-04-1985 370'746.3 358'577.4 364'462.3 103.35 103.39 103.37 103.3617-04-1985 357'448.0 360'614.6 347'498.0 98.54 99.33 98.93 99.9318-04-1985 350'734.8 351'642.4 351'769.4 99.75 99.74 99.74 99.7519-04-1985 352'646.6 352'646.6 352'646.6 100.00 100.00 100.00 100.00Non esistono differenze apprezzabili tra le varie formule e questo è un segno della stabilità dello scambio nel periodo studiato.Esercizio_AE75: consumo e prezzi di alcuni beni.P1988Q P1989Q P1990QBene 1 1'400 178572 1'450 178585 1'550 178587Bene 2 21'300 54981 21'100 54994 20'700 55024Bene 3 101'500 1297 105'900 1312 104'300 1320Bene 4 600 1145631 650 1145697 700 1145758a) Applicare le nuove formule dei numeri indici sintetici;b) Che cosa cambia se invece di consumi globali si inseriscono consumi procapite?Metodo dell’occasione tipicaNella stessa impostazione della formula MEB si colloca il metodo dell’occasione tipica o di Lowe che confrontail livello generale delle valutazioni con pesi derivati da quantità fittizie:xn∑Sitit= = 1n∑ixi=1IPQPQisis* 100; Q is =t∑ Q ijj=x; i = 1, 2,…,nt − x + 1dove le Q issono delle quantità standard ad esempio ottenute come media estesa a tutte le occasioni. L’indice MEBè un caso particolare della formula di Lowe in cui le quantità standard sono ottenute dalla semisomma dellequantità base e quantità correnti.Esempio:Di seguito si riporta la tabella su prezzi e quantità di alcuni cereali in tre periodi significativi. Proviamo a calcolare il numero indice deiprezzi con il metodo dell’occasione tipica:Anno 1986 Anno 1987 Anno 1988Cereali Prezzi Quantità Prezzi Quantità Prezzi QuantitàGrano 2.00 1019 2.18 935 2.25 900Orzo 1.32 21 1.06 28 0.95 35Riso 5.09 39 4.80 56 4.50 60Avena 1.11 40 1.17 35 1.15 36Sorgo 1.05 234 1.00 230 1.10 22055Lowe : ∑ P i86 Q is = 2486.11; ∑ P i87 Q is = 2625.93;i=1i=15∑ P i88 Q is = 2695.95; 86 I 87S = 105.62; 86 I S 88 = 108.44i=1CerealiGranoOrz oRisoAvenaSorgoP. 1986 P. 1987 P. 19 88 Quantità standard2.00 2.18 2.25 1019+935+900=95231.32 1.06 0.95 21+28+35=3285.09 4.80 4.50 39+56+60=3521.11 1.17 1.15 40+35+36=3371.05 1.00 1.10 234+230+220=2283Esercizio_AE76: andamento del mercato delle videocassette.Calcolate l’indice dell’occasione tipica in base 1989.Anno 1988 Anno 1989 Anno 1990Tempi Prezzi Quantità Prezzi Quantità Prezzi Quantità30 ' 2800 32 3500 40 3900 4560' 3000 150 4000 195 4500 18490' 3200 120 4300 130 4700 140120' 3500 25 3800 27 4200 31

387Esercizio_AE77: uno dei requisiti richiesto all’indice sintetico è la condizione di proporzionalità e cioè se tuttii prezzi variano di una stessa percentuale rispetto ai prezzi dell’occasione base anche l’indice deve variare diquella percentuale. Verificate tale proprietà per la formula di Laspeyres, Paasche e Lowe.Cambiamento di baseIl cambiamento di base è spesso suggerito/imposto dalla comparsa sul mercato di nuovi prodotti. In generale,questi nuovi entrati hanno inizialmente prezzi più elevati di quanto non avvenga successivamente inducendoprima un aumento e poi una riduzione che però sono storie “speciali” rispetto agli altri beni. E’ forse per questoche i nuovi prodotti dovrebbero entrare nell’indice generale solo dopo un sufficiente periodo di rodaggio e distabilizzazione del loro mercato.Nei numeri indici sintetici il cambiamento di base è una procedura più complessa rispetto agli indici elementariin quanto comporta la ridefinizione del sistema dei pesi. Consideriamo il passaggio:nxI G it = ∑ w ix x I t a yI G it = ∑ w iy y I ti=1dove “G” = generico e il doppio pedice nei pesi sottolinea la dipendenza anche dall’epoca di riferimento. L’esecuzionesi effettua applicando ad ogni indice elementare uno specifico coefficiente di raccordo, diciamo {c i(x;y); i=1,2, ..., n}ni=1y I i t = c i ( x,y) xI i t ; i = 1, 2,…,nAd esempio, il cambio di base nella formula di Laspeyres implica:n( )∑ w xi xI i t * c i x,yi=1* w yiw xi= y I tLOccorre cioè armonizzare ogni numero indice elementare moltiplicandolo per il corrispondente rapporto tra i pesinelle due basi. Se i pesi rimanessero costanti il cambiamento potrebbe essere realizzato modificando la base neisingoli indici elementari; ma se i pesi fossero costanti il cambiamento di base sarebbe inutile. Variare la baseimplica la revisione del sistema di pesi e ciò vale pure per la formula di Paasche anche se qui le conseguenze sullastruttura dei pesi sono meno avvertite dato che i coefficienti di ponderazione già si alterano ad ogni occasione.Esempio:Analizziamo i dati seguenti per passare dal numeri indice di Paasche base “1” alla base “3”.ABCBeniOccasione 1Quantità Prezzo121 11022 770874 430Occasione 2Quantità Prezzo128 12027 760927 440Occasione 3Quantità Prezzo125 11531 780966 410Nel caso dell’indice di Paasche, note sia le valutazioni che le quantità, i coefficienti di raccordo si possono derivare dal rapporto trai valori fittizi delle quantità correnti rispetto alle valutazioni nelle due basi:n∑ P jx Q jtj=1c i ( x, y)=n∑ P jy Q jt, i = 1, 2,…, nj=1∑PitQit ∑Pi1Qit Paasche ∑Pi3Qit Raccordo PaascheOcc.Base "1"Base "3"1 406 070 406 070 100.00 389 415 1.0428 104.282 443 760 433 480 102.37 415 850 1.0424 106.713 436 615 453 000 95.94 434 615 1.0423 100.00Con il cambio di base si modifica il livello della serie, ma non si produce alcuna variazione sostanziale nel suo andamento.Esercizio_AE78: un diamante è per sempre. Valore medio in dollari per carato riferito a pietre corredate dacertificazione di validità internazionale tagliate a “brillante”, di buone proporzioni di taglio ed esenti daparticolarità naturali indesiderate.Londra New York AmsterdamColore Valore Quantità Valore Quantità Valore QuantitàBianco extra eccezionale 11300 275 11100 250 10800 397Bianco extra plus 5200 783 5300 801 5100 1536Bianco extra 7000 4628 6750 6900 7360 3298Bianco sfumato 5800 12394 5400 13961 6125 10302w iy =w 2 ixn2∑ w ixa) Calcolate l’indice di Laspeyres con Londra=100;b) Cambiate la base in New York=100 ipotizzando che i pesi “New York” siano quelli riportati in tabella.i=1

388Scelte strategiche per i numeri indiciLo scopo dei numeri indici sintetici è di cogliere il segno almeno se non l’ordine di grandezza delle variazionirelative che intervengono da un periodo ad un altro, da una sede ad un’altra nel livello generale. La costruzionedei numeri indici sintetici dei prezzi affronta diverse questioni delicate ed ancora parzialmente irrisolte.Il paniereGli indici sintetici comprendono numerosi tipi di beni e di servizi che presuppongono uno scambio bene/monetaattraverso un canale distributivo autorizzato. Per ovvie ragioni di praticità non si possono includere tutti. Sonocomunque escluse le transazioni su beni di contrabbando, provenienza furtiva oppure venduti o erogati daesercizi abusivi; sono anche esclusi i beni destinati all’autoconsumo e le distribuzioni gratuite.Esempi:a) Carruthers ed al. (1980) registrano circa 800 prezzi diversi per lo zucchero in cubetti nel Regno Unito rilevabili in diverse tipologiedi negozi e zone geografiche. Il problema è sia come combinare queste rilevazioni per ottenere un indice elementare dello zuccheroin cubetti, ma anche il peso con cui tale indice entra nel livello generale.b) La selezione dei prodotti senza basi probabilistiche non costituisce un problema; potrebbe però esserlo la scelta del punto didistribuzione in cui la individuazione ragionata può circoscrivere la tipologia dei negozi e la loro dislocazione geografica, ma la sceltadei particolari punti vendita dovrebbe avere la struttura del campione casuale. (Allen, 1975, p. 342).Ci si può limitare, ed è questa la prassi corrente, ad una selezione (detta paniere) ragionata di prodotti leader nellemarche e nelle confezioni più diffuse, cioè scelti tra quelli le cui variazioni diano una chiara indicazione sul sensoe sulla grandezza delle variazioni subite da prodotti dello stesso genere. E’ inoltre necessario che i prodotti sianofacilmente individuabili, disponibili per il consumo e presentino caratteristiche merceologiche e commercialiuniformi nel tempo e nello spazio.Esempio:Prodotto 30.8 30.9 Prodotto 30.8 30.9Barilla spaghetti g. 500 979 973 Mulino bianco biscotti macine gr. 350 2'227 2'158Parmalat latte fr.int. brick; Lt. 1 2'033 2'044 Gran Pavesi crackers g. 401-600 2'741 2'669Cirio pelati gr. 400 1'099 1'086 Toccoli parm. reg. gr. 300 7'148 7'163Coca-cola bott. plas. lt. 1.5 2'825 2'709 Vera acqua min. nat. plas. lt. 1.5 897 928Findus sofficini gr. 200 2'423 2'432 J & B whisky cl. 70 17'098 17'276Dixan det. lavatrice gr. 600 2'766 2'755 Yomo yogurt bianco gr. 500 2'901 2'897Lavazza q. oro caffé pacc. gr. 250 8'793 8'532 Caviro Tavernetto vino trebbiano lt. 1 2'336 2'329Riso Gallo arboreo sottovuoto scat. Kg. 1 3'935 3'684 Neutro Roberts bagno schiuma ml 500 5'510 5'540Mentadent P dentifricio ml. 100 3'911 3'916 Scottex carta igienica 2 veli bianca 10 rotoli 49'889 5'010P & G Pantene shampoo+balsamo ml. 300 4'725 4'586 Finish det. Lavastoviglie polver kg. 3 17'305 17'408“Italia Oggi” ha scelto un paniere di n=20 prodotti di largo consumo ed ha incaricato la società AcNielsen di rilevare il prezzo mediomensile (includendo sconti e/o offerte promozionali di produttori e distributori) in supermercati ed ipermercati italiani (con esclusionedella Sardegna). La variazione relativa totale è poi calcolata pesando i prodotti in modo uniforme.Come si può intuire, la rappresentatività è uno degli aspetti essenziali per la composizione del paniere soprattuttoai fini dell’accertamento di un differenziale di impatto sulle famiglie o categorie sociali diverse ovvero in diverse zonedello stesso Paese.Esempi:a) Il paniere dell’indice dei prezzi al consumo per le famiglie di operai ed impiegati dell’ISTAT costituisce di fatto la principale misuradell’inflazione. Poco tempo fa furono escluse dal paniere le sigarette Nazionali, ma nessuno si lamentò perché tanto economiche nel tariffarioe nel paniere, quanto introvabili nelle tabaccherie.b) Qual’è l’effetto sulle famiglie monoreddito di una riduzione nel listino nell’arredamento? In alcune categorie è più sentito l’aumentodei prezzi nei farmaci da banco. Come gioca la composizione familiare e le abitudini di consumo differenziate tra Nord e Sud, nei centripiccoli (la maggioranza nel nostro Paese) ed in quelli grandi?Esercizio_AE79: l’antica idea G.R. Carli sopravvive in alcuneapplicazioni. Tra queste si può citare il Clewi (Cost of living extremelywell index) cioè l’indice dei prezzi dei miliardari. Ecco uncampione dei beni e dei relativi prezzi.a) Applicare la formula di Carli con base 1976;b) Che tipo di andamento vi aspettate rispetto ad un numero indicesintetico per l’intero Paese?Prodotto 1976 1996Pelliccia di zibellino russo naturale 60'000 292'000Orologio Patek Philippe per uomo in oro 3'700 16'220Un anno di università ad Harvard 88'000 433'000Champagne Dom Perignon (1 cassa) 450 1'700Consulenza legale (parcella di un'ora) 120 675Un giorno in ospedale da VIP 490 1'400Face lift 6'000 13'500Conversazione New York Londra (10') 18 17Cena (catering per 40 persone) 3'300 6'300Suite albergo 5 stelle New York 500 1'300Rolls-Royce Silver Spur 176'000 265'000Motor yacht Hatteras 60 347 2'500

389Il progresso tecnico che elimina dal mercato prodotti obsoleti e ne introduce di nuovi porta spesso a rivedere lacomposizione del paniere. Tali variazioni sono indispensabili per tenere dietro all’evolversi, sempre più rapido,dei gusti e quindi dei consumi che non si riflettono in una variazione di prezzo. L’aspetto cruciale nella scelta èl’inclusione di beni suscettibili di una dinamica molto lenta (soggetti a tariffazione controllata o in via diestinzione come camomilla e vermut, sottovesti e fichi secchi) o che addirittura diminuiranno (liberalizzazionedel mercato come per l’energia elettrica e le telecomunicazioni, i biglietti ferroviari, maggiore penetrazione comeper i forni a microonde) in sostituzione di beni i cui prezzi sicuramente tenderanno ad aumentare: servizipersonali, affitti, combustibili e lubrificanti). Le polemiche su queste scelte sono sempre all’ordine del giorno.Esempio:Interrogazione dell’On. Pietro Armani (An). Come mai, nel ricalcolare il peso dei vari beni e servizi nel paniere dell’indice del costodella vita nel ‘1995, l’ISTAT ha privilegiato le voci che hanno registrato minori incrementi nel prezzo? Non è stato un tentativo peraccrescere artificiosamente il calo dell’inflazione interna per avvicinarla a quella richiesta per l’adesione all’Euro?Risponde Sergio Zoppi, sottosegretario alla funzione pubblica. L’ISTAT non ha privilegiato alcun bene particolare, ma ha registratoil comportamento dei consumatori che hanno aumentato i consumi di quei prodotti con minori incrementi di prezzo. Vista la grandequantità di prodotti osservati , le modifiche dei coefficienti di ponderazione dei singoli prodotti non sono in grado di produrre da soleeffetti rilevanti sull’indice generale. Inoltre, le decisioni di modifica del paniere si assumono prima della rilevazione dei prezzi, quandoè difficile prevederne la dinamica economica.Coefficienti di ponderazioneI pesi degli indici elementari devono essere proporzionali all’incidenza dei singoli prodotti nel bilancio dellefamiglie, di enti ed imprese, ma anche essere gestibili. La rilevazione delle quantità è complessa perché occorremonitorare tutti gli acquisti ed i prezzi unitari (per sterilizzare la diversità delle confezioni poste in vendita) equesto per milioni di soggetti e svariati canali distributivi (ad esempio non è senza controversia il modo in cuiconteggiare imposte quali l’IRAP) nonché diversi passaggi di aggregazione territoriale e settoriale. Anche lapolitica dei prezzi attuata dalle imprese (sconti fedeltà, prezzi discriminatori tra acquirenti, scremature delmercato, differenziazioni artificiose tra prodotti) ha un suo rilievo così come debbono essere ponderate levalutazioni connesse a reti e strutture non facilmente duplicabili quali i network di trasmissione, i ponti, i portied altre infrastrutture che agiscono sul prezzo finale al consumatore.Non è possibile pensare a pesi che si modificano di volta in volta (se non per panieri molto ristretti relativia segmenti specifici e limitati della popolazione). La revisione distanziata dei pesi è ragionevole a meno che ladinamica del fenomeno non subisca forti modifiche nel periodo di validità. Ad esempio, per gli indici dei prezzibasterebbe una revisione decennale, ma in periodi meno stabili il riallineamento quinquennale o triennalepotrebbe risolvere non pochi dubbi sulla attendibilità dei valori pubblicati.Esercizio_AE80: spesa per alcuni tipi di spettacolo.a) Calcolare l’indice Laspeyres e Paasche base 1988;b) Quali problemi comporta il cambio in base 1990?c) Come si interpreta l’esito Laspeyres= Paasche?1988Costo Biglietti1989Costo Biglietti1990Costo BigliettiTeatro 25 284'576 24 290'879 23 307'330Cinema 10 1'147'565 13 1'187'166 12 1'229'655Sport 8 2'478'942 9 2'619'040 10 2'773'716Vari 40 355'078 44 355'625 46 374'205Numeri indici delle quantità.Nei paragrafi precedenti ci siamo occupati dei numeri indici relativi alle valutazioni (prezzi, quotazioni); nonmeno importanti sono quelli incentrati sulle quantità, utili ad esempio per misurare i cambiamenti nella produzioneindustriale, del volume delle esportazioni ed importazioni. Tuttavia, per discutere di questi numeri indici,non sono necessarie categorie nuove: è sufficiente scambiare il ruolo delle valutazioni con quello delle quantità.Ad esempio, le formule di Paasche e Laspeyres diventano:n∑ PQ∑ PQPQ it ix* 100 = ∑ J wi; wi= ; * 100 = ∑ J wi;wi=n∑ PQx t L ix itni=1J =n x t LPQi=1∑ ix ixi=1nix ixn x t P it itPQni=1J =n x t PPQiix ix PQ= 1∑∑ it ixi=1i=1iti=1ix

390Nella formula di Laspeyres, la differenza rispetto al numero indice delle valutazioni è nel numeratore che oracambia per le quantità al variare delle occasioni, ma i pesi rimangono gli stessi (anche rispetto alla formula perle valutazioni). Nella formula di Paasche cambia il denominatore e cambiano anche i pesi.Esempio:L’indice della produzione industriale misura la variazione nel tempo del volume fisico della produzione industriale e mineraria. Laformula utilizzata è quella di Laspeyres:x PI t =nx J t Li=1∑ w i ; w i = V ixn∑ V ixi=1dove V ix indica il valore aggiunto della produzione industriale al tempo base “x” per il settore i-esimo. Proviamo a calcolarlo per iseguenti dati ipotetici (i pesi della base sono noti).78PI 79 = 0.1851*110 + 0.2539 *125 + 0.5556 * 80 = 97.2278PI 80 = 0.1851*120 + 0.2539 *140 + 0.5556 * 60 = 91.85Prodotto Qx Q79 Q80 Wix Q79/Qx Q80/QxSedie 50 55 60 0.1851 110 120Tavoli 20 25 28 0.2593 125 140Armadi 30 24 18 0.5556 80 60Esercizio_AE81: per le formule dei numeri indici elementari vale la relazione:x t i x t i itI * J Pix100P Q* 100 * * 100Q= = * 100 = i = 1, 2, …,n100itix PQ it itPQ ix ixSe un numero indice sintetico si comporta in questo modo verifica la proprietà della reversibilità delle basi.a) Quale delle formule indicate nel nostro testo gode di tale proprietà?b) Che significato le si può attribuire?Deflazione delle serie monetarieI numeri indici dei prezzi possono essere adoperati per seguire l’evoluzione dei valori di un prodotto con riferimentoalle sole variazioni fisiche delle quantità trattate escludendo quindi gli effetti dovuti all’inflazione. Ad esempio, gliaggregati economici più importanti sono spesso misurati “in termini reali”, “a prezzi costanti”, “deflazionati”. Questelocuzioni indicano tutte lo stesso processo: i beni e servizi scambiati sono considerati in base ai prezzi di un unicoperiodo di riferimento ed i valori così ottenuti si ritengono depurati dall’inflazione.Esempi:a) Incassi in una paninoteca. Tra il 1985 ed il 1995 si sono quasi triplicati, ma i prezzi correnti sono raddoppiati. Quanta parte dell’accrescimentodegli incassi è dovuta ad un aumento effettivo delle vendite?Anno Quantità Prezzo Panino Incasso P.Cor. N.I.P. 1985=100 Incasso P.Cos.1985 7000 700 4'900'000100 4'900'0001990 8200 1050 8'610'000 150 5'740'0001995 9500 1400 13'300'000 200 6'650'000Per rispondere si deve eliminare l'influenza dei prezzi ovvero valutare le quantità allo stesso prezzo, ad esempio quello del 1985oppure uno degli altri due. Nell'ultima colonna sono stati inseriti i valori a prezzi costanti 1985. Il livello complessivo dei prezzi èraddoppiato nel quinquennio 1985-1990 ovvero, il potere di acquisto reale della lira si è dimezzato; ne consegue che, per valutarecorrettamente il potere di acquisto nel 1990, occorre dividere per due i prezzi “correnti” del 1990 ottenendo i “prezzi costanti 1985".b) In uno studio sulla situazione economica regionale comparivano i seguenti valori per il PIL di una regione meridionale.1998 1999 98I99A prezzi correnti 66936 70629 105.52A prezzi costanti 62053 63637 102.55Il PIL reale è aumentato, ma solo della metà rispetto a quanto non indichi la variazione del PIL nominale; il resto è illusorio e dovutosolo alla dinamica dei prezzi.Consideriamo la serie a valutazioni correnti V t= P t*Q t. Per passare alla serie con valutazioni costanti D t(cioècon valutazioni mantenute fisse da un’occasione all’altra) occorre dividere V tper il corrispondente numeroindice dei prezzi ed eliminare il fattore di scala 100:DtVtPx= * 100 = PQ t t * 100 * = PQ x tIP * 100xtt

391Il rapporto [100/ xI t] è il cosiddetto coefficiente di deflazione o deflattore della serie V tche elimina da questagli effetti dei cambiamenti nelle valutazioni.Esempio:Andamento delle vendite. Per visualizzare l’effetto della deflazione i valori sono stati riportati con due profili.Anno P.Cor. N.I. Pr.C. P.Cos.1988 1'228 104.3 1'1771989 1'374 106.6 1'2891990 1'501 109.8 1'3671991 1'635 115.3 1'4181992 1'691 112.1 1'5081993 1'794 109.2 1'6431994 1'896 103.7 1'82820001800160014001200EJEJEJP. Cor.EEEJJJP. Cos.EJ10001988 1989 1990 1991 1992 1993 1994Come illustra la figura, l’inflazione deforma l’andamento della serie: da una concavità rivolta verso l’alto si passa ad una concavitàverso il basso che ha una diversa interpretazione.Per le serie aggregate la deflazione è più difficile. Se D tè il valore di un aggregato dell’epoca “t” espresso coni prezzi dell’epoca “x” e V tè il valore dello stesso aggregato con valutazioni dell’epoca “t” si ha:Dt= Vn⎡PQ⎞ ⎢∑i=1PQn⎠ ⎢⎢ ∑ PQ ix⎣ i=1( JLx t ) n ix itt V it it( xIt) = ⎛ ⎝∑i=1ixn⎤⎡⎥⎢∑ PQ ixi=1⎥⎢⎥⎢∑ PQ it⎦⎣i=1ixit⎤⎥ n⎥ = ∑ PQi=1⎥⎦n ix itIn questo caso il deflattore corrisponde all’indice di Laspeyres delle quantità rapportato all’indice del valore. Sefosse disponibile l’indice di Paasche per i prezzi la deflazione di un aggregato non presenterebbe difficoltà:DtVtIxn⎡PQ⎞ ⎢∑i=1PQ⎠ ⎢⎢ ∑ PQ it⎣ i=1⎤⎥ n⎥ = ∑ PQi=1⎥⎦⎛ n ix itP it it n ix it⎝t i=1it= ( ) = ∑Solo se Laspeyres=Paasche è legittimo utilizzare il primo come deflattore. Per realizzare la deflazione non ènecessario -come sembrerebbe- disporre dei dati sulle quantità correnti che compaiono nel deflattore, ma bastaapplicare i prezzi correnti alle quantità dell’epoca base .Esempio:Servizio_A Servizio_B Servizio_CAnno P Q P Q P Q V. correnti V. P.96 V. P.97 V. P.981996 1000 3457 2000 2718 1500 5703 17'447'500 17'447'500 17'196'200 17'803'4501997 1100 3342 2200 2511 1300 5811 16'754'700 17'080'500 16'754'700 17'377'3501998 1150 3294 2150 2570 1400 5789 17'418'200 17'117'500 16'803'100 17'418'200L’esito della deflazione varia però in ragione dell’anno a cui si riferiscono i prezzi costanti.Per quei flussi finanziari (pensioni, rendite, plusvalenze, trasferimenti monetari) non riconducibili alla moltiplicazionedi prezzi per quantità, la deflazione avviene in via approssimata definendo operativamente il potered’acquisto della moneta come il reciproco di un appropriato numero indice dei prezzi al consumo.Il rapporto tra la serie a prezzi correnti e quella a prezzi costanti genere il “deflattore implicito” della serie:VtDtn∑ PQ it iti=1=n= xIt∑ PQi=1ixitPche corrisponde all’indice di Paasche delle valutazioni.

392Esempio:Serie storica dei depositi presso la Banca Privata di Arcavacata (CS).Anno Dep. Nom. N.I Prezzi Dep. Reali Var. perc. Var. perc.1993 20'615'815 98.15 21'004'3961994 26'216'540 100.00 26'216'540 27.17 24.811995 33'675'215 104.27 32'296'168 28.45 23.191996 43'414'500 109.15 39'775'080 28.92 23.161997 52'145'685 110.63 47'135'211 20.11 18.501998 59'682'110 112.16 53'211'581 14.45 12.8960000000500000004000000030000000Dep. Nom.Dep. Reali200000001993 1994 1995 1996 1997 1998La scelta dell’indice dei prezzi è dettata dalla disponibilità dei numeri indici dei prezzi: il deflattore più valido sarebbe un indice a forticomponenti locali; in mancanza, si adopera l’indice dei prezzi al consumo per l’intera collettività nazionale cercando di non esasperarnel’interpretazione. L’ammontare dei depositi bella B.P.A. è meno ottimistico di quanto non sembri indicare la serie nominale, mal’andamento reale non può essere tutto nella serie deflazionata con un numero indice così generale. L’attendibilità della deflazionerisulta infatti strettamente legata alla vicinanza, almeno dal punto di vista numerico, tra indice deflattore ed indice dei prezzi e dallacapacità del primo di riprodurre le variazioni del secondo senza aggiungere niente di proprio.Esercizio_AE82: spesa in ricerca e sviluppo nel settore delle imprese in Italia (valori in mld di lire).Anno Spesa P.Cor.Spesa P.Cos.1980=1001980 1710 17101981 2286 19161982 2790 20091983 3441 21811984 4128 23551985 5201 27321986 5946 29861987 6690 32021988 7742 34831989 8337 3501a) Ricavare il deflattore della spesa;b) Che raggio d’azione si può attribuire al risultato?c) C’è differenza tra variazioni percentuali calcolate sulla serie originaria e variazioni percentuali calcolatesulla serie deflazionata?Esercizio_AE83: è noto che alcuni beni e servizi inclusi nel “paniere” in base al quale si calcolano i numeriindici dei prezzi al consumo in Italia sono soggetti a controllo pubblico: sale, tabacchi, medicinali, servizipostali, telefonici, trasporti, gas, acqua, energia elettrica, etc. per i quali è possibile quantificare l’impatto sullevariazioni dell’indice dei prezzi. Esprimete almeno una ragione ed almeno una contro l’intervento dello Statonel sistema dei prezzi.Rivalutazione di prestitiUn altro uso importante dei numeri indici è la rivalutazione monetaria richiesta ai debitori di denaro per evitareai creditori il pregiudizio derivante dal diminuito potere d’acquisto della moneta. Tra i vari indici che l’ISTATè tenuto a produrre c’è l’indice dei prezzi al consumo per le famiglie di operai ed impiegati calcolato su basemensile e costruito in base alla formula di Laspeyres applicata ad un paniere di 345 beni: alimentazione, affitti,energia, abbigliamento, spese varie. Tale indice è comunemente inteso come indice del costo della vita, ma si tratta diuna generalizzazione non corretta: il costo della vita dipende da tanti fattori che solo parzialmente possono affiorarein un indice basato su di una struttura fissa di consumi. Rispetto a questo numero indice si leggono e sentono diverseinformazioni riferite a cadenze mensili: variazione rispetto al mese precedente, tasso tendenziale di inflazione (variazionerispetto allo stesso mese dell’anno precedente) e tasso medio di inflazione (variazione dell’indice rispetto allamedia calcolata sui mesi precedenti).⎛ CVP t = t,m⎞⎜ − 1⎝ C⎟t,m −1 ⎠*100 ; TTE t = ⎛ C t,m⎞⎜ − 1⎝ C⎟t−1,m ⎠*100; TME t = ⎛ C t,m⎞⎜ − 1⎝ µ⎟t,m ⎠*100dove C t,mè il valore dell’indice al mese “m” dell’anno “t” e µ t,mindica la media aritmetica semplice degli ultimi(12 o 24) valori dell’indice. Sia la variazione percentuale che il tasso tendenziale risentono degli effetti stagionali,ma anche di shock occasionali che possono variare molto da un mese all’altro e essere sfasati solo di pochi giorni

393da un anno all’altro compromettendo l’accuratezza di questi dati. Il tasso medio, basato su un periodo abbastanzalungo, è poco sensibile alle oscillazioni di breve periodo o a fattori congiunturali, ma ha un grado di aggiornamentopiù lento.Esempio:Si supponga di aver ottenuto un prestito nel febbraio 1986 di 5 milioni di lire, da restituire, a capacità d’acquisto inalterata, nel settembre1992. Per definire l’importo da pagare occorre conoscere l’indice dei prezzi al consumo. Se questo fosse disponibile in base 1986il calcolo sarebbe immediato:⎡86 I92PC ⎤D = 5'000'000⎢⎥⎣ 100 ⎦questo perché dobbiamo esprimere l’importo “a prezzi 1992" e quindi usiamo il reciproco del numero indice dei prezzi. In mancanzadi tale informazione il calcolo è ancora possibile, ma necessariamente approssimato. Si supponga che l’indice sia dato in base 1980e che, in questa base, l’indice per il 1986 sia 105.28 e per il 1992 sia 119.61. Innanzitutto, otteniamo il raccordo tra la base 1980 ee la base 1986:Pc80 I92100 Pc100* ≅ 86 I92= 119. 61*= 113.61105.28Pc80 I86Ne consegue che, per estinguere il debito, a parità di potere d’acquisto, occorre versare:Pc80 I92113.61D = 5' 000' 000 * = 5' 000' 000 * = 5'680'500Pc80 I86100Esercizio_AE84: Predetti (1999, pp. 123-124) introduce i seguenti indici:⎡Ctm, −1⎤Tasso d' inflazione ereditata : εt= ⎢ − 1⎥* 100;⎣ µ tm , ⎦⎡Ctm,⎤Tasso d' inflazione lasciato in eredità : ηt= ⎢ − 1⎥* 100;⎣ µ tm , ⎦Qual’è il significato di questi indicatori e quale utilità possono avere?∑ C+ ∑Crm , rm , −1− 1 r=1 r=+t 1µ tm , =La sismicità degli andamenti monetari italiani non consente grande fiducia in calcoli di questo genere: il potered’acquisto attualizzato non è (e non può essere) del tutto rispondente a quello fruibile all’epoca del prestito oall’epoca del rimborso. Ne consegue che la rivalutazione andrà accompagnata da negoziazioni integrative.t1212EsempioAdeguamento degli affitti in base alla legge dell’equo canone. Si supponga che, nel 1988, si debba adeguare all’aumento del costodella vita un canone di 420’000 lire dell’agosto 1987. Per ottenere il nuovo canone bisogna recuperare gli indici per i due anni esupponiamo che siano disponibili ancora in base 1980:PCPC80 I92 = 112. 2; 80 I88= 116.7Per costruire l’indice base 1988 per 1987, necessario per deflazionare, si deve effettuare il cambio di base⎡⎣100PC PC88 I87 ≅80 I87⎢ PC80 I88⎤ 100⎥ = 112 . 2 * ⎡ ⎤95 2916⎦ ⎣⎢ 116.7⎦⎥ = . .Il potere di acquisto tra il 1987 e il 1988 si è ridotto del 4.71%. La legge dell’equo canone riconosce il diritto a recuperare fino al 75%cioè per una percentuale non superiore a 0.75*0.0471=3.75% per cui, optando per la quota di aggiornamento massima consentita,l’affitto sarà: 1.0375*420000=435’750.Esercizio_AE85: a partire dai dati in tabella:Mese 1988 1989 Mese 1988 1989Gennaio 165.2 181.7 Luglio 165.4 167.8Febbraio 163.3 200.0 Agosto 161.6 182.8Marzo 167.5 179.8 Settembre 157.9 192.4Aprile 162.8 186.5 Ottobre 167.7 172.1Maggio 167.3 168.3 Novembre 164.1 167.0Giugno 160.1 187.8 Dicembre 158.8 187.4a) Calcolare il tasso tendenziale di inflazione ed il tasso medio (12 periodi) per ogni mese del 1989;b) Disegnare i profili e commentarne l’andamento.

3945.3 La concentrazioneL’analisi della concentrazione di una variabile considera il modo in cui il suo totale si ripartisce fra le unità chepartecipano alla spartizione. Si ha più (meno) concentrazione o ineguaglianza quanto maggiore (minore) è lafrazione del totale che spetta alle unità che lo possiedono in misura superiore (inferiore) alla media comunquequesta sia misurata.DiminuisceMinoreconcentrazioneFrazione che spetta, nel complesso,a coloro che ne possiedono-singolarmente- più della mediaAumentaMaggioreconcentrazioneAd ogni modalità rilevazione: {(X i, n i), i=1,2,…,k} corrisponde un certo ammontare di variabile:ka X ki iassoluto : ai = Xini; i = 12 , ,…, k ⇒ ∑ ai= nµ; relativo : gi= = f i; i = 12 , ,…,k ⇒ ∑ g i = 1n µ µi= 1 i=1Per semplificare l’esposizione presupporremo, se non altrimenti specificato, che le modalità siano non negative:X i≥0. Inoltre, definiamo un ulteriore calcolo relativo all’ammontare:iassoluto cumulato : A = ∑ X n ; A = nµ ; relativo cumulato : q = ∑ g ; i = 12 , ,…, k;q = 0i j j k i jj= 1 j=1i0Esempi:a) Studenti stranieri per regione.Regione X n a A g qBasilicata 0 1 0 0 0.0000 0.0000Molise 0 1 0 0 0.0000 0.0000Calabria 39 1 39 39 0.0015 0.0015Trentino AA 45 1 45 84 0.0017 0.0032Sardegna 221 1 221 305 0.0084 0.0116Liguria 406 1 406 711 0.0154 0.0269Abruzzi 537 1 537 1248 0.0203 0.0473Friuli VG 714 1 714 1962 0.0271 0.0743Piemonte 754 1 754 2716 0.0286 0.1029Puglia 765 1 765 3481 0.0290 0.1319Regione X n a A g qSicilia 853 1 853 4334 0.0323 0.1642Campania 1015 1 1015 5349 0.0385 0.2027Marche 1029 1 1029 6378 0.0390 0.2417Toscana 1534 1 1534 7912 0.0581 0.2998Veneto 1799 1 1799 9711 0.0682 0.3680Emilia R. 2067 1 2067 11778 0.0783 0.4463Lombardia 2778 1 2778 14556 0.1053 0.5515Lazio 4675 1 4675 19231 0.1771 0.7287Umbria 7161 1 7161 26392 0.2713 1.0000Le g i danno conto della quota parte di studenti stranieri pertinenti la singola regione; le q i indicano invece la quota progressiva spettantealle unità che singolarmente non ne possiedono più di un ammontare x i .b) Punti vendita per numero di commessi.Commessi/e Punti µ f (µi)f q1 9 4 3.52 0.1026 0.36 0.019310 14 6 11.86 0.1538 1.83 0.117015 19 13 16.52 0.3333 5.51 0.411620 24 9 21.99 0.2308 5.07 0.683125 35 5 29.91 0.1282 3.83 0.888236 50 2 42.39 0.0513 2.17 1.000039 18.78Le medie di classe evitano il calcolo approssimato con i valori centrali. La classe 15-19 è quella che assorbe il maggior numero di puntivendita, laddove la classe 36-50, pur impiegando singolarmente un numero elevato di commessi/e, assorbe solo una quota del 12%.Gli ammontari relativi cumulati risultano sempre inferiori o uguali alle corrispondenti frequenze relative cumulate(denotate p i). Infatti, tenuto conto che le modalità sono ordinate in senso ascendente, vale la relazione:ii−1⎛ i−1i−1⎞ii−1Ni− 1 ∑ X( j)nj= Ni− 1 ∑ X( j)nj+ ni ⎜ ∑ X() inj − ∑ X( j)nj⎟ ⇒ Ni− 1 ∑ X( j)nj≥ N ∑ X( ) n⎝⎠j=1j=1j=1j=1i j jj=1 j=1

395dove N i=n 1+n 2+…+n i. Ne consegue che la media delle prime (i-1) modalità è inferiore o uguale alla media delleprime “i” e quindi della media delle “k” modalità complessivamente osservate:i∑ X( j)nii i Xj n i( ) j nj≤µ⇒ ∑ X( ) n ≤µ∑ nj⇒ ∑ ≤ ∑ ⇒qi≤ piµ n njj=1i j jnj= 1∑ jj=1j=1 j= 1 j=1La logica della relazione q i ≤ p i è chiara: al 10% delle unità più piccole non può competere più del 10% dellavariabile perché altrimenti nel restante 90% si troverebbero incluse unità con ammontare inferiore a qualcunadi quelle già inserite nel primo 10% e questo è in contraddizione con l’ordinamento crescente delle modalità.Le ripartizioni dell’ammontare totale sono inquadrabili tra due situazioni estreme:EquidistribuzioneTutte le unità hanno la stessa modalità: X 1= X 2= ... =X k=µ:giXi= * fi = µ fi = fi; i = 12 , ,…, k ⇒ qi = pi; i = 12 , ,…,kµ µQuesto significa che il primo 15% di unità possiede il 15% di variabile, il primo 45% possiede il 45% e così via. Laconcentrazione nulla è un caso limite che non ha in sé alcuna caratteristica ideale. Ad esempio, nello studio dellaconcentrazione industriale in cui si misura l’ampiezza degli stabilimenti in base agli addetti, l’equa distribuzioneimporrebbe lo stesso numero di addetti in tutti gli stabilimenti laddove la teoria economica suggerisce che la distribuzionedegli addetti sia guidata dalla tendenza all’uguaglianza della produttività marginale del lavoro. Nella misuradella diversità biologica l’uguaglianza è un estremo più temuto che desiderato.Concentrazione massimaTutte le unità, tranne una, sono nulle: X 1=X 2=... =X k-1=0 e X k= nµ. Pertanto:⎧gi= 0; i = 12 , ,…,k −1⎨;⎩gk= 1⎧0 se i = 12 , ,…,k −1⇒ qi= ⎨⎩1se i = kAnche questo è un caso limite a cui non si riconosce nessuna valenza particolare. Come esempi di questasituazione abbiamo: il monopolio di certe produzioni strategiche, il latifondo come forma di possesso dei terreni,gli stati satelliti (come il Lesotho) che, durante l’apartheid avevano rapporti di scambio solo con il Sud Africa.Esempio:Popolazione residente nei comuni del comprensorio di Thuria.Comune Abitanti QuotaRondena 6741 7.92%Righino 4287 5.04%Fontanelle 4833 5.68%Bosco Mez. 2774 3.26%Andrano 15749 18.50%Sornieto 5111 6.00%Cozzo D'Este 4793 5.63%Santa Bruna 5015 5.89%Pascino 1971 2.32%Lago d'Ora 11244 13.21%Torniella 11366 13.35%Centrano 4532 5.32%S. Maclodio 4222 4.96%Selluzzi 2493 2.93%85131 100.00%20181614121086420RondenaRighinoFontanelleBosco Mez.AndranoSornietoCozzo D'EsteSanta BrunaPascinoLago d'OraTorniellaCentranoEquidistribuzioneS. MaclodioSelluzziSe ogni comune avesse lo stesso numero di abitanti ad ognuno andrebbe una quota del 100/14=7.1%. Per la verità, buona parte delleamministrazioni del comprensorio si avvicinano a questa soglia, ma la presenza di Andrano con circa 16 mila abitanti porta ladistribuzione ad allontanarsi dalla presenza paritaria.

396Esercizio_AE86: personale dipendenti delle imprese inserite in una holding internazionale.Impresa Dipendenti QuotaLa Pavese 2517 11.7Lebart 1906 8.9Hannover 4107 19.2Molinos 1244 5.8Oxcam 1873 8.7Sentex 9794 45.7a) A quale estremo è più vicina al distribuzione dei dipendenti?b) Quale valore avrebbero le quote in caso di massima e minima concentrazione?Stima delle medie di classeSe le medie di classe µ inon sono note occorre stimarle. L’uso dei loro valori centrali è legittimo solo se si puòritenere simmetrica la distribuzione all’interno della classe; non è appropriato se il poligono di frequenza èmonotono oppure se la classe degenera in una modalità diversa dal valore centrale. Se la distribuzione difrequenza è unimodale è possibile migliorare la stima delle µ icon le formule di Aigner (1968):µ = c +1 1( )( )( U1 − L1)Uk− Lk⎛ fi+1 − fi⎞Ui− Li; µ k = ck− ; µ i = ci+ ⎜ ⎟ * ; i = 23 , ,…,k −16 6 ⎝ f ⎠ 24che presuppongono un andamento del poligono di frequenza crescente nelle prime classi e decrescente nelleultime. Inoltre, i limiti delle classi estreme debbono essere noti e finiti.iEsempio:Distribuzione in classi di cui sono già note le medie di classe (colonna µ i ).Redditi Percettori µ f c µ ^0.5 2.0 712 1.413 0.0469 1.250 1.5002.0 3.0 1146 2.536 0.0756 2.500 2.5163.0 4.0 1586 3.250 0.1046 3.500 3.5034.0 5.0 1694 4.488 0.1117 4.500 4.5425.0 7.5 3398 6.171 0.2241 6.250 6.2157.5 10.0 2256 8.665 0.1488 8.750 8.71010.0 12.5 1383 11.158 0.0912 11.250 11.21012.5 15.0 852 13.659 0.0562 13.750 13.76815.0 20.0 999 17.122 0.0659 17.500 17.43520.0 30.0 688 24.046 0.0454 25.000 24.85730.0 90.0 452 48.964 0.0298 60.000 50.00015166 1.0000Vediamo come si comportano le formule di Aigner. C’è un miglioramento rispetto ai valori centrali, ma non è uniforme e nelle classiestreme non è soddisfacente. Da notare che la stima della media globale è diversa con i due metodi.Esercizio_AE87: spesa giornaliera (in migliaia di lire) per albergo da parte dei visitatori della Fiera di Milano.Spesa Clienti0 50 39150 100 138100 250 196250 500 158500 750 65750 1000 141000 2000 381000Calcolare le q iconfrontando il metodo dei valori centrali con la tecnica di Aigner.Esercizio_AE88: Needleman (1978) propone di stimare le medie di classe con una parabola passante per treintervalli contigui.2⎧ 11d1 d13n2⎪L1+ + per i = 1⎪24 48n1d22⎪ 11didi⎡3ni+ 1 ni−1⎤Li+ + ⎢ − ⎥ per i = 12 , ,…,k −1⎪ 24 48niµ =⎣ di+1 di−1⎦i ⎨2⎪11dk−1 dk−1nk−2Lk−1+ −per i = k −1e Ukindeter.⎪ 24 48nk−1dk−2⎪[ ( + )⎪α Ln nk nk nk−1]Lk; α =per i = k⎩⎪α − 1 Ln( LkLk−1)d = U − Li i iL U n0.595 0.750 13850.750 1.000 23141.000 1.500 45681.500 2.000 45192.000 2.500 32842.500 3.000 19693.000 5.000 18155.000 8.000 3038.000 15.000 13315.000 35.000 2920319a) Applicate la tecnica alla distribuzione dei redditi -prima della tassazione- per il Regno Unito nel 1972-1973.b) E’ difficile ottenere una stima accurata della media nell’ultima classe. Perché?

3975.3.1 Diagramma di LorenzLo studio della concentrazione diventa più semplice se ci si avvale di una rappresentazione grafica, il diagrammadi Lorenz, costituito da un triangolo rettangolo isoscele sulle cui ordinate sono riportate le q ie sulle ascisse lep i. I vertici (0,0) e (1,1) sono collegati dalla retta q=p.I cateti BN e NE hanno lunghezza uno, l’ipotenusa BE ha lunghezza √2; l’area complessiva del triangolo BNEè 0.5. I punti (p i,q i) rappresentano la relazione -detta funzione di concentrazione- tra la frequenza relativa di unitàcon modalità inferiori ad una data soglia e la corrispondente quota relativa cumulata di variabile. Poiché p icostituisce il limite massimo ai valori possibili di q ii punti si collocano sempre al di sotto della retta q=p. I puntidel diagramma corrispondenti alle coppie (p i, q i) sono raccordati con dei segmenti di retta formanti una poligonaleconvessa verso l’asse delle ascisse nota come spezzata di Lorenz. La scelta di tale tipo di giunzione non èneutra ed implica, come vedremo, una precisa ipotesi sulla distribuzione delle modalità. Se i punti sono moltonumerosi ovvero si dispongono secondo una struttura riconoscibile, la spezzata di Lorenz è sostituita con unacurva continua detta curva di Lorenz che costituisce il modello matematico della relazione tra p ie q i.La funzione di concentrazioneSia X una variabile con dominio (o,∞) con media finita µ e funzione di ripartizione F(x) (il dominio infinito nondeve preoccupare dato che è l’astrazione di un fenomeno in continua espansione). La funzione di graduazione,come si visto nel capitolo 2, è:{ } < ≤F − 1 ⎧Min x F( x)≥p se 0 p 1( p)= Xp= g( p)=⎨⎩0 se p = 0La g(.) è, per costruzione, non decrescente e continua a sinistra per 0

398Esempi:a) Per la funzione di graduazione logaritmica si ha:g( p)= a −bLn( 1 − p);1 pbLp ( )= ∫ a −bLn( −t)dt ppLn pa +[ 1 ] = +⎛ ⎞( 1−) ( 1−)b⎝ a+b⎠0In figura sono rappresentati due casi per a=1 e b=2 e 6.b) Funzione di concentrazione per modalità distinte. Supponiamo che la rilevazione abbia prodotto le “n” modalità {X i , i=1,2,…,n}:( )⎧0per x < a⎪X()i − aFx ( )= ⎨pi per X() i ≤ x < X( i+1); i = 12 , ,…, n −1; Lp ( )= pi−1 + ( p−pi−1) ; p∈( pi−1, pi] ; i = 12 , ,…,n⎪µ1 per x ≥ X⎩( n)In caso di concentrazione nulla, la spezzata coincide con la retta q=p. La caratteristica più appariscente della funzione di concentrazioneè la convessità che -in questo caso- può essere illustrata a partire dall’inclinazione dei segmenti che congiungono due suoi punticonsecutivi. Infatti, l’inclinazione è (X (i) /µ) che, a causa dell’ordinamento delle modalità, è positiva se X (i) >0 e crescente.c) Rilevazione dell’apporto di sali minerali in una dieta per ognuno degli alimenti ammessi.i xi fi pi xifi gi qi1 0.000 0.0625 0.0625 0.0000 0.0002 0.00022 0.017 0.0625 0.1250 0.0011 0.0081 0.00833 0.028 0.0625 0.1875 0.0017 0.0130 0.02124 0.029 0.0625 0.2500 0.0018 0.0134 0.03465 0.034 0.0625 0.3125 0.0021 0.0159 0.05056 0.048 0.0625 0.3750 0.0030 0.0225 0.07307 0.103 0.0625 0.4375 0.0064 0.0482 0.12128 0.106 0.0625 0.5000 0.0066 0.0498 0.17109 0.121 0.0625 0.5625 0.0075 0.0565 0.227610 0.128 0.0625 0.6250 0.0080 0.0600 0.287511 0.130 0.0625 0.6875 0.0081 0.0608 0.348312 0.144 0.0625 0.7500 0.0090 0.0672 0.415513 0.202 0.0625 0.8125 0.0126 0.0945 0.510014 0.275 0.0625 0.8750 0.0172 0.1287 0.638715 0.316 0.0625 0.9375 0.0198 0.1482 0.786916 0.456 0.0625 1.0000 0.0285 0.2131 1.00000.1335 1.00000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110.90.80.70.60.50.40.30.20.10Nel caso di rilevazioni in classi si utilizza lo stesso schema dell’esempio precedente sostituendo alle modalità ordinate X (i) le mediedi classe µ i qualora siano note oppure una loro ragionevole stima.( )µ () i −aLp ( )= pi−1 + ( p−pi−1) ; p∈( pi−1, pi] ; i = 12 , ,…, k0µLa concentrazione non è eccessiva: l’immissione di sali minerali è ben ripartita tra i cibi della dieta.Esercizio_AE89: assunzioni di lavoratori di pubblica utilità in zone ad alto tasso di disoccupazione giovanile.i 1 2 3 4 5 6 7 8 9X i 28 41 79 113 294 503 928 1231 3438 6655a) Rappresentare la curva di Lorenz;b) Valutate, a livello ordinale, la concentrazione della variabile.Consideriamo ora il caso di una funzione di distribuzione in classi {(L i,U i),f i, i=1,2,…,k}. Siano (p i-1, q i-1) lequote relative cumulate di unità e di variabile attribuibili alle unità che singolarmente presentano una modalitàinferiore a L ie (p i, q i) le stesse quote per modalità inferiori o al massimo uguali all’estremo superiore della classe:U i. Poiché si ignora il comportamento della variabile nelle classi è necessario fare delle ipotesi per definire lafunzione di concentrazione. Per semplificare, supponiamo che la distribuzione all’interno delle classi si concentrinei due estremi con le frequenze della seguente tabella:

399Modalità Frequenzaαβiλifi( 1 − λ ) fi i isoggette ai vincoli :L≤ α < β ≤Ui i i i( ) =µαλf+ β 1 −λfi i i i i i iSolitamente la curva di Lorenz è costruita presumendo l’assenza divariabilità all’interno della classe cioè α i=β i=µ iil che porta la curva acoincidere con il tratto RT del grafico.Poiché la curva è convessa, la spezzata rifletterà un livello di concentrazioneapprossimato per difetto rispetto a quello reale. All’aumentaredel divario tra i due livelli interni alla classe: (β i-α i) ed al variaredelle loro frequenze relative, la spezzata di Lorenz descrive tutte leposizioni contemplate nel triangolo RST; fra queste, l’ipotesi: α i=L icon frequenza λ if i= f i-1/n e β i=U icon (1−λ i)f i= 1/n, rappresenta ilmassimo di concentrazione compatibile con la distribuzione in classie la spezzata correrebbe parallela all’asse delle “p” nell’intervallo [p i-1 ,p i) passante per il segmento RS del grafico per poi salire bruscamenteal valore successivo. Soluzioni intermedie ne esistono tantissime: adesempio i due tratti RV e VT aventi come snodo il punto di intersezionedelle due tangenti; altre soluzione sono proposte in Gastwirth (1972)e Mehran (1975); una panoramica del problema si può trovare a esempioin Nygård e Sandström (1981).θ i-1tg( )=µ /µθ i-1 i-1Concentrazioneminim aRp i-1θ iVTSMassimaconcentrazionep iEsempio:Utenze industriali di energia elettrica classificati per ammontare dei consumi.1.0•0.8Consumi Utenti c i f i (Xi)f i p i g i Q i0 5 34 2.50 0.113 0.283 0.113 0.011 0.0115 10 38 7.50 0.127 0.950 0.240 0.036 0.04715 20 29 17.50 0.097 1.692 0.337 0.065 0.11220 25 36 22.50 0.120 2.700 0.457 0.104 0.21625 30 47 27.50 0.157 4.308 0.613 0.165 0.38130 40 69 35.00 0.230 8.050 0.843 0.309 0.69040 50 29 45.00 0.097 4.350 0.940 0.167 0.85650 75 18 62.50 0.060 3.750 1.000 0.144 1.000300 1.000 26.083••0.60.4•0.2••• 0.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Le quote evidenziano la classe “30-40” come livello di maggiore concentrazione locale e infatti il 31% dei consumi ricade in tale classe.Di contro, solo l’1% spetta ai 34 utenti della classe “0-5”. La situazione perciò sembra piuttosto ineguale.Esercizio_AE90: sportelli bancari per province.Sportelli Province1 50 4 201 250 1951 100 12 251 300 13101 150 19 351 400 6151 200 26 401 500 4103a) Disegnare la curva di Lorenz;b) Che livello di ineguaglianza (alto, medio, basso) presenta la distribuzione?Esercizio_AE91: determinare l’ordinata della curva di Lorenz costruita con i segmenti RV e VT che si intersecanonel punto V di ascissa:(p * i = µ i p i −µ i−1 p i−1)−µ ( Q i−1 − Q i−2 ); i = 2, 3,…kµ i −µ i−1

400Modelli per la funzione di concentrazioneIl legame fra la curva di Lorenz e la distribuzione di frequenza è molto stretto per cui lo studio delle curve diLorenz non può essere considerato alternativo allo studio dei modelli di distribuzione. Tuttavia, come osservavaGini (1932): “... Il loro esame può essere più fruttuoso e la loro rappresentazione analitica più facile a darsi diquanto non avvenga per le rispettive curve di frequenza...”. Kakwani e Podder (1973) hanno il merito dellariscoperta di questo argomento che già Gini, nel 1932, aveva studiato ed impostato (cfr. Pietra,1941, Kimelman,1944). Kakwani (1980, p.109) ritiene che interpolare la funzione di concentrazione consenta il calcolo di qualsiasipercentile di ammontare cosa che non sarebbe in genere possibile interpolando la funzione di distribuzione.Maddala e Singh (1977) hanno espresso forti riserve sulla interpolazione diretta della spezzata a causa deitroncamenti -non sempre plausibili- del campo di variazione per i per i quantili X pottenuti a partire dalle curvedi Lorenz. Anche Dagum (1982) è critico su questo approccio giudicandolo privo di una base teorica ed empirica.D’altra parte, le difficoltà oggettive di adattare una espressione matematica alla funzione di distribuzione haspinto diversi autori ad escogitare funzioni specifiche per la funzione di concentrazione.Requisiti per la funzione di concentrazioneVediamo le condizioni da richiedere al modello L(p;d), dove d=(d 1,d 2,…,d m) sono dei parametri, per rappresentareuna funzione di concentrazione.1) Deve essere continua nei due vertici:( )= ( )=Lim Lpd ; 0; Lim Lpd ; 1p→ 0+p→1−2) Deve essere monotona non decrescente. Se 0

401Esempi:b a1. Lp ( )= p( 2−p) ; b≥ ab , + a=1;Pietra (1941)a −b 1 p2. Lp pe( − )( )= ; a≥ 1,a+ b>a Kakwani e Podder (1973)[ ] >cb3. L( p)=− abp + ( 1 − a + ab) p + a 1 −( 1 − p); a, b, c 0; Maddala e Singh ( 1977)[ ]a4.Lp ( ) = 1−( 1−p)b; Raasche, Gaffney, Koo,Obst (1980)2( 1 − a)p5. Lp ( )=; 0< a < 1; Aggarwal,Singh (1984)2( 1+a) − 4ap[ ]p−16. L( p)= pA ; A > 1 Gupta (1984)p[ 1+ ( a−1)p]7.L( p) =; > − + >1+ ( a−1) p+b 1−p a , b 0; b a 1 0; Arnold ( 1986).b −( )= [ ] 1 p≥( )8. Lp ap( ); ab , 0Le condizioni presentate sono semplici da verificare ed hanno validità effettiva perché il loro mancato soddisfacimentopuò portare la curva al di fuori del diagramma di concentrazione ed avere conseguenze bizzarre sullafunzione di frequenza cui si perviene partendo dalla curva di Lorenz.Esempi:a) La derivata prima della funzione di concentrazione è:( )( )L' ( p)= gpµ = F−1 pµTenuto conto che la curva di Lorenz nei punti estremi tende ad assumere l’inclinazione dei cateti del diagramma si ha:Nel caso della curva proposta da Pietra questo implica:Lim L' p 0, Lim L'pp→ 0+p→1−xmax( )= ( )= µ⎡L p L p b a ⎤'( ) = ( ) ⎢ − x b a⎣ p − p⎥⎦⇒ 02≤ ≤( − )per cui tale funzione di concentrazione è esclusa per la rappresentazione di un fenomeno che si espande sistematicamente.b) Controlliamo che la espressione seguente sia una funzione di concentrazione:( )( )Ln 1 − βpLp ( )= ;Ln 1 − βSi vede subito che L(0)=0 e L(1)=1. Per la convessità si ha:0< β < 1e quindi rispetta i requisiti per essere una curva di Lorenz.⎡ − ⎤L' ( p)=⎢ ⎥ ; L"p⎣ Ln( − ) ⎦ ( − p) > ( )= ⎡ 2β 1−β⎤ β0 ⎢ ⎥ > 01 β 1 β⎣⎢Ln( 1 − β2) ⎦⎥( 1 − βp)Esercizio_AE92: si consideri l’espressione:L(p)=βp/(β+1-p), β>0Può considerarsi una curva di Lorenz?Tarsitano (1986) ha aggiunto una condizione operativa importante perché una funzione generica possa fungereda modello per la curva di Lorenz: l’unicità per l’equidistribuzione. Si richiede cioè che esista una ed una solacombinazione di parametri “d” tale che: L(p;d)=p per ogni p∈[0,1]. Il modello L(p;d) deve generare la rettadi equidistribuzione per una unica combinazione di parametri di modo che l’avvicinarsi a queste soglie siaindicatore univoco di tendenza verso l’equidistribuzione. Si tratta di un requisito essenziale per interpretare lasituazione distributiva descritta dalla curva. Analogo requisito non sembra necessario per la curva di massimaconcentrazione.

402Esempi:a) Consideriamo la seguente funzione di concentrazioneproposta da Tarsitano (1988b):1d⎛ ⎞ 2dLp;d ( 1 ,d 2 )= 1 − ⎜1 − p 1 ⎟ 0 < d 1 , d 2 ≤ 1⎜ ⎟⎝ ⎠che è monotona, convessa su (0,1) e genera la retta di equidistribuzione se e solo sed 1 =d 2 =1. Essa ha però un difetto, comune a diverse altri modelli: non è agevole ladeterminazione dei parametri ed occorrono procedure di calcolo specifiche.Fatturato Imprese f g p q0 4 48 0.224 0.035 0.224 0.0354 10 42 0.196 0.060 0.421 0.09510 20 38 0.178 0.095 0.598 0.19020 30 26 0.121 0.080 0.720 0.27030 50 21 0.098 0.075 0.818 0.34550 80 16 0.075 0.130 0.893 0.47580 120 23 0.107 0.525 1.000 1.000214 1.000b) Fatturato (in miliardi) di alcune imprese. Proviamo ad interpolare le seguenti funzioni di concentrazione:1. Q = p b ; b ≥ 1; 2. Q = p( 2 − p) −b ; b ≥ 0Per stimare i parametri si usa una tecnica (quella dei minimi quadrati) che è prematuro discutere qui. L’esito di tale procedure è6∑b 1 = i=16∑ Ln p ii=1Ln( Q i )( )= −10.485−3.519 = 2.98; b 2 =7∑i=17∑ Ln 2 − p ii=1Ln( p i Q i )( )= 6.9671.886 = 3.69I due modelli riproducono abbastanza bene la spezzata di Lorenz nel primo tratto. L’adattamento peggiora nelle classi centrali perrecuperare leggermente nelle ultime classi. La seconda curva è più prossima a quella osservata anche se, nel complesso, larappresentazione è insoddisfacente. Questo non sorprende se si tiene conto che i modelli hanno un solo parametro ed è difficileseguire fenomeni complessi come la concentrazione con così poca flessibilità.Esercizio_AE93: accertare che le due espressioni seguenti possano rappresentare funzioni di concentrazioneaccertando per quale combinazioni dei parametri raggiungono l’equidistribuzione:a) Doppio esponenziale: L( p;d 1 ,d 2 )= 0.5 p d 1+ p d 2[ ]; d 1 ,d 2 ≥ 1;b) Quadratico: L( p;d 1 ,d 2 )= d 1 p + ( 1 − d 1 )p 2[ ] d2 ; 0 ≤ d 1 ≤ 1; d 2 ≥ 1Esercizio_AE94: destinazione delle risorse per opere finanziate dal bilancio dello Stato.a) Verificare che il modello lineare-esponenziale sia una curva di Lorenz per b=1:2a( 1−p)−bLp ( )= pe2ab , ≥1b) Stimare “a” con la formulaa =k −1∑ zwi ii=1k −1;2∑ wi=1i( )= ( )2⎧⎪wi= 1 − pi⎨⎩⎪ zi 2Ln pi qiImporto Opere0 6 18136 12 94212 20 32820 30 11630 50 7650 100 41100 200 24200 500 133353Il sistema di coordinate di GiniLo studio della funzione di concentrazione può risultare talvolta più semplice se è espressa nel sistema dicoordinate proposto da Gini nel 1932 e poi ripreso, su suggerimento di A. Zellner, da Kakwani e Podder (1976)e da altri autori:w = p + q con 0≤ w ≤ 2;z = p −q con 0≤ z ≤1i i i i i i i i√√

403Il nuovo diagramma si ottiene osservando il vecchio riflesso in uno specchio collocato sulla retta di equidistribuzione.La stessa trasformazione è stata proposta da Tukey per il grafico somma/differenza per ottenere graficirelazionali più esplicativi (cfr. Cleveland, 1994, pp. 120-132). Considerata sotto questa angolatura, la funzionedi concentrazione z=L(w) somiglia ad un poligono di frequenza unimodale sull’intervallo limitato [0,2].Esempio:Reddito disponibile delle famiglie giapponesi (entrate monetarie+redditi in natura) al lordo delle tasse ed inclusivo dei trasferimentiStatali). Decili di reddito (ammontare relativo di pertinenza dei decili successivi della popolazione delle famiglie).Decile 1956 1959 1962 1965 1968 1971I 2.9 2.4 1.7 1.4 1 0.5II 4.3 3.7 3.8 3.8 3.6 3.3III 5.9 5.3 5.1 5.1 5 4.8IV 6.9 6.2 6.3 6.3 6.3 6.1V 7.8 7.9 7.5 7.6 7.7 7.5VI 9.5 9.2 8.5 8.8 9.1 8.8VII 10.6 10.6 10.3 10.5 10.4 10.2VIII 12.5 12.2 12.2 12.3 13 12.6IX 15.1 15.5 15.8 16.5 15.6 15.5X 24.5 27 28.8 27.7 28.3 30.7100 100 100 100 100 100La curva di Lorenz mostra uno spostamento progressivo verso la curva di massima concentrazione segno inequivoco che le ineguaglianzedistributive sono aumentate.Le caratteristiche della curva di Lorenz nel nuovo sistema diventano:xL( 0)= L( 2)= 0; L' ( w)= µ− ; L" ( w)< 0; Lim L' ( w)= 1; Lim L'( w)=−1µ+ xw→ 0+w→2−dove “x” è la variabile di cui si esamina la concentrazione e µ la sua media (ipotizzata finita e positiva). Lecondizioni sulle derivate prevengono debordamenti dal triangolo di massima concentrazione.Nonostante l’alto patrocinio dello stesso Gini, il nuovo sistema non ha avuto fortuna. L’unica a godere diqualche notorietà è la curva di Kakwani e Podder (1976):Lw ( )= aw α ( 2 − w) β ; 0 ≤ a,α,β ≤ 1;che ha però un difetto: le derivate prime non soddisfano le condizioni richieste perché tendono all’infinito. Questodifetto non è sempre considerato rilevante (Rossi, 1985).Lw ( ) Lw ( )L' ( w)=α − β ; ⇒ Lim L' ( w)→∞ ; Lim L'( w)→∞w ( 2 − w) w→ 0 +w→ 2 −Esempio:Una proposta di Gini (1932) è la funzione:⎧ 1⎡ 1 ⎤−⎪ 1− w 1a 0< w < 1Lw ( )= a⎢1− 1−wa⎥ ; 0< a< 1 L'( w)=⎨ 1⎣ ⎦⎪ −⎩−w−1 1a 1≤ w < 2che rispetta le condizioni richieste. Peraltro la curva è molto facile da identificare dato che l’unico parametro “a” corrisponde all’ascissaw=1 ottenuta in corrispondenza di x=µ.Esercizio_AE95: per quali condizioni sui parametri “a” e “b” si ottiene una funzione di concentrazione nelsistema di coordinate di Gini?Lw ( )= w a ⎡1 − ⎛ w ⎞⎢ ⎝ 2 ⎠⎣b⎤⎥⎦

4045.3.2 La misura della concentrazioneSin dal suo primo apparire (1905) la curva di Lorenz si è dimostrata uno strumento utile e docile per lo studiodella disuguaglianza dei redditi, nella valutazione della progressività della tassazione e del livello di benesserein una società. Il diagramma fornisce una base grafica semplice ed efficace per lo studio della concentrazione(spesso, è presentato come un quadrato, ma è superfluo visto che la parte superiore non è mai usata). Lorenz iniziacosì il suo famoso articolo sulla curva omonima: “Ci può essere molta diversità di opinioni su cosa si intendaper distribuzione della ricchezza ineguale, ma tutti concordano sull’importanza di sapere se l’attuale distribuzionestia diventando più o meno ineguale”.La discussione sulla curva di Lorenz ha messo in luce la difficoltà di stabilire quale sia la distribuzione piùconcentrata (o più ineguale). C’è perciò bisogno di uno o più indici C(x 1,x 2,…,x n) che assegnino ad ognidistribuzione della variabile X un numero che consenta di riconoscere la situazione distributiva. Nel prosieguodiscuteremo gli indici proposti per misurare la concentrazione, o meglio, per misurare i vari aspetti in cui ilconcetto può essere scomposto perché non esiste un unico indice, ma ne esistono tanti quante sono le definizionialternative di distribuzione concentrata. Sen (1997, p. 47) definisce “completa” una misura di concentrazionetale che il confronto di due distribuzioni {x 1,x 2,…,x n} e {y 1,y 2,…,y n} è sempre conclusivo: C(x)>C(y) o viceversaoppure C(x)=C(y). Tuttavia, la distribuzione concentrata o ineguale non ha una proprietà connaturata di completezza:sebbene non si sia liberi di definirla in modo arbitrario, sono tante le sfaccettature del concetto che fanno emergere undiverso ordinamento sistematico delle distribuzioni. E’ inevitabile che, in ogni ordinamento perseguito con una solamisura di concentrazione si riscontrino situazioni assurde a causa della forzatura che implicitamente l’indice imponeall’idea di ineguaglianza.Idealmente, la definizione di distribuzione ineguale dovrebbe portare alla scelta dell’indice che poi dovrebbedeterminare la collocazione della distribuzione su di una scala graduata dalla minima alla massima concentrazione.Diciamo subito che questo non è possibile. Ogni indice sintetico non può che essere un riassunto delladistribuzione e per questa sua natura si potrà verificare il caso di indici uguali in situazioni diverse: come è giàsuccesso per centralità, variabilità, asimmetria e come sempre succede quando si cerca di condensare in un soloparametro aspetti complessi e variegati. Ci sono però requisiti che è comunque opportuno siano soddisfatti dagliindici chiamati a misurare la concentrazione e che nel corso del tempo si sono mostrati anche necessari per unamisurazione corretta del fenomeno.Esempio:Chipman (1985) rileva che una proprietà importante, ma scontata della curva di Lorenz è l’opacità rispetto alle unità che detengonoun certo ammontare di variabile: se si parla di redditi il fatto che il barbone che chiede la carità ed il cavalier Berlusconi si scambianodi posto non ha alcuna rilevanza per la curva, anche se la situazione sarebbe molto, ma molto apprezzata dal barbone (e non solo).NormalizzazioneSi richiede all’indice di variare nell’intervallo unitario ed in particolare di assumere valore zero nel caso di modalitàuguali e valore uno se una sola modalità è positiva:0 ≤ C(x 1,x 2,…,x n) ≤ 1, C[concentrazione nulla] =0; C[concentrazione massima]=1.Questo requisito esclude gli indici i cui valori estremi dipendano dalla numerosità della rilevazione. Ad esempio, ilcoefficiente di variazione, pur avendo altre caratteristiche appropriate, sarebbe scartato perché il suo valore massimoè √(n-1) che dipende da “n”.Esempio:L’indice di Emlen (Marshall e Olkin, 1979, p.410) sviluppato in ambito ecologico è:Cx ( 1 , x 2 ,…, x n )=1n∑ g i e −g ii=1L’indice ha valori nell’intervallo [e -1/n ,e] per cui deve essere escluso come misura di concentrazione anche se descrive con valoricrescenti l’aumento della disuguaglianza.La normalizzazione non è un requisito essenziale, ma un comodo artificio per confrontare variabili con unità dimisura diverse. Attenzione! Non tutti vedono un aspetto negativo nella dipendenza della massima concentrazionedalla numerosità: c’è differenza tra un sistema basato su due imprese che si bipartiscono il mercato ed un mercatoin cui 1000 imprese controllano ciascuna quota pari a 1/1000 del mercato stesso.

405Standardizzazione.Se si alterano proporzionalmente le modalità l’indice di concentrazione non deve cambiare:C(ax 1,ax 2,…,ax n) = C(x 1,x 2,…,x n) per ogni a>0.Se, ad esempio, si misura la disuguaglianza nella distribuzione dei redditi questa deve risultare la stessa sia con redditiespressi in lire che con valori in euro o altra unità di conto. L’idea implicita -innocua matematicamente, ma che ha unnotevole portato normativo- è che le unità che partecipano alla spartizione valutino la disuguaglianza badando alrapporto tra le modalità e non alla loro differenza assoluta. Su questo esistono pareri contrari che discendono daconsiderazioni altrettanto valide di quelle che motivano la richiesta di invarianza. Ad esempio, all’aumentare delledimensioni della torta è vero che aumentano proporzionalmente tutte le fette, ma l’ampiezza raggiunta dalla fetta piùpiccola può soddisfare completamente le unità che la possiedono al punto che queste non pensano più a confrontarsicon le altre.Esempio:L’indice di Simson per la biodiversità (Marshall e Olkin, 1979, p.410) ha formula:Cx ( 1 , x 2 ,…, x n )= T 2 − T; T = nµn∑ x 2 i − Ti=1Se si analizza la formula ci si accorge che l’indice è standardizzato, ma non normalizzato.La standardizzazione ha comunque un inconveniente: le unità per le quali si abbia X=0, non partecipano allanuova spartizione come non partecipavano alla precedente e dal loro punto di vista la disuguaglianza è certamenteaumentata se a>1 ed è diminuita se a

406La sensibilità ai trasferimenti è la proprietà più qualificante degli indici di concentrazione e poggia sul cosiddettoprincipio di Pigou-Dalton secondo il quale ogni indice meritevole di uso dovrebbe diminuire qualora una dellemodalità diminuisca ed aumenti dello stesso ammontare un’altra modalità prima più piccola fermo restando cheil trasferimento non abbia alterato la graduatoria originaria (trasferimento neutrale o order preserving).Date le due distribuzioni: {x 1, x 2, ... , x n} e {y 1, y 2, ... , y n} in cui la seconda è ottenuta dalla prima trasferendouna parte di variabile dalla unità “r” alla unità “s” con X r≥ X spari restando le altre modalità:Y i = X i ; i ≠ r,s; Y r = X r − δ; Y s = X s + δ con 0< δ < Min{ ( X s+1 − X s ),( X r − X r−1 )}Per verificare il principio di Pigou-Dalton l’indice di concentrazione deve essere tale che C(y)0.La sensibilità ai trasferimenti riguarda l’intero arco dei valori in quanto ci si aspetta una riduzione per unitàcollocate in posizioni qualsiasi nella graduatoria, ma niente è stabilito sull’entità della riduzione che dipenderàdall’indice particolare prescelto e dal contesto applicativo. Se, ad esempio, alla variabile può essere applicatoil principio della utilità marginale decrescente ben noto nel corso di microeconomia, allora un trasferimento dauna unità “ricca” ad una “povera” dovrebbe diminuire la concentrazione più di quanto non faccia un trasferimentotra due unità “ricche” di cui una leggermente meno ricca (l’effetto sarebbe quindi massimo per un trasferimentotra la prima e l’ultima in graduatoria). In altre circostanze, quali la distribuzione delle città per numero di abitanti,la diminuzione potrebbe non essere influenzata dalle posizioni delle unità coinvolte nel trasferimento.Esercizio_AE96: la misura della concentrazione dovrebbe risentire solo dei valori delle modalità e non del lorocriterio organizzativo. Tale requisito è dato per scontato nel testo. In quali occasioni potrebbe essere difficile dasoddisfare?Indici derivati da scarti tra quoteDiversi indici di concentrazione possono essere derivati dalla distanza (p - q) tra la curva di concentrazione e la rettadi equidistribuzione misurata su punti strategici: (p m- q m). Questo corrisponde ad una idea di disuguaglianza comedeviazione media degli ammontari rispetto allo standard x m. Illustriamo il ragionamento con una distribuzionearticolata in modalità singole e trasformiamo linearmente le modalità moltiplicandole per il rapporto tra lamodalità di riferimento x me la media aritmetica µ.yi⎛ xm⎞k k ⎛ xm⎞= ⎜ ⎟ xi ⇒µ y = ∑ yifi= ∑ ⎜ ⎟ xf i i = x⎝ µ ⎠i= 1 i=1⎝µ ⎠mk∑ y()i − xm fii=12xm⎡⎤ ⎡1= ⎢ ∑ ( y() i − xm) fi + ∑ ( xm − y() i ) fi⎥y() i f xm pm y i fi() ixm⎢x x x x⎥ = 1⎛⎞x∑i mi mm ⎜ x i x ⎟ − ( ⎛ ⎞ ⎤⎢1 − )−∑xmpm2 > ≤2m x⎣ () ()⎦ ⎝ () > ⎜⎠⎝ () i ≤x⎟ + ⎥⎢m⎣⎠⎥⎦⎡⎛y ⎞iyx x mii= ∑ fpmfx x mii pm qm pm q⎜m⎝x ⎟ −(⎛⎞ ⎤1⎢ () − )− ∑ ()⎜ x ⎟ + ⎥⎢i m ⎠⎝ i m⎣⎠⎥ = 11[ ( − )−( 2− )−() > () ≤2 1 1 + pm]= pm −qm⎦Gli indici così ottenuti sono nulli se e solo se la curva di Lorenz coincide con la retta di equidistribuzione;aumentano se si allontana da q=p fino a raggiungere il valore massimo allorché la curva si identifica con i duecateti. La x mè una modalità -fittizia o reale- che divide le unità in due sottopopolazioni: quelle con ammontareinferiore o uguale ad x me quelle che tale ammontare lo superano. La concentrazione diminuisce se gli scartirelativi dalla modalità x m, sono, in media, più piccoli e (p m- q m) è la frazione di variabile che deve essere trasferitadalle unità che ne possiedono più di x ma quelle che ne possiedono meno affinché si abbia l’equidistribuzione.

407Una grave carenze di D m, peraltro condivisa da tutti gli altri indici sintetici di concentrazione, è la mancanza diunivocità: due curve possono avere uno stesso D med essere per il resto diversissime. Infine, D mnon risente dimodifiche proporzionali delle modalità. Rispetto a variazioni additive le quote relative cumulate di unità rimanganoinvariate e quelle di variabile diventano:qx ( + λ)=mx + λ µ x λ Q pfxf xfm∑ = ∑ + ∑ x = µ + λµ+ λ µ+ λ µ µ+ λ µ+ λx≤xm x≤xm x≤xmqmpmqx ( m + )− pm= µ + λµµλ− p = [ q − p ]= Dµ+ λ µ+ λ µ+ λm m m mper cui D m è decrescente se λ>0. I D msono sensibili a trasferimenti neutrali tra unità purché collocate una primaed una dopo la modalità x m; se invece le unità precedono entrambe o entrambe seguono la soglia di bipartizione gliindici non si accorgeranno del trasferimento. Consideriamo le due rilevazioni {X i, i=1,2,…, n} e {Y i, i=1,2,…,n}distinte per il solo fatto che y r=x r-d; y s=x s+d, d>0 e con r > s; inoltre, supponiamo che x red x ssiano entrambe inferiorialla modalità x me che tutte le posizioni di graduatoria rimangano inalterate dopo il trasferimento. L’incrementodell’indice D massociato alla nuova distribuzione è:m⎡Dm( w)− Dm( x)=⎢ ∑⎢w⎣w( j) ⎤ ⎡ x j w r w s x r x s x r d x s d x r x s⎥ pmpmµ ⎥ − − ⎢( )⎤∑ ⎥⎢xµ ⎥ + = ( )µ + ( )µ − ( )µ − ( )µ = ( ) − ( ) + ( ) ( )+ − − = 0µ µ µ µ⎦ ⎣ ≤ ⎦( j) ≤X m ( j)x mperché risponda ad un trasferimento è necessario che le due modalità si collochino ognuna in un lato diverso rispettoalla soglia x mperché solo in questo caso la somma delle modalità ad essa inferiori (o superiori) si modifica dopo iltrasferimento. Poiché la sensibilità ai trasferimenti è fondamentale, l’uso di questi indici è inappropriato.Esercizio_AE97: un requisito degli indici di concentrazione, implicito nella sensibilità ai trasferimenti è che,date due variabili “y” ed “x” tali che:L ( p)≤ L ( p) per ogni p ∈[ 01 , ]⇒ C( y)≤ C( x)yxcioè l’indice associato alla curva di concentrazione più interna deve essere inferiore o uguale rispetto a quellodella curva più esterna. Dimostrate che tutti gli indici derivati da scarti tra quote verificano questa proprietà.La quota divisoriaProposto da Gini (1932, p.23). E’ la distanza MD tra la retta q=p e la curva di Lorenz, misurata sulla diagonaleq=1-p (si potrebbe anche scegliere la distanza DN).Eq=1-pCMq hDBq h-1p h-1 H p NhI segmenti MC e MD sono uguali per cui la distanza MD è proporzionale alla distanza CD cioè: MD=CD/√2 percui l’uno vale l’altro; tuttavia, il segmento CD=CH-DH si misura facilmente con: D2=pd-qd caratterizzate dallarelazione: p d+q d=1 che implica: D 1=2p d-1 con p ddeterminato dalla modalità M d, detta media divisoria, alla qualecorrisponde l’ammontare cumulato di variabile pari alla frequenza relativa retrocumulata di unità.

408Il calcolo di D 1può avvenire direttamente in termini delle coordinate del diagramma di Lorenz trovando quelledell’intersezione (p D,q D) tra la curva e la controdiagonale q=1-p. Se p h-1≤ p d≤ p hallora:dove: (q h+p h)=min{(q i+ p i)≥1}qxh⎡ xh⎤ xp ph p pd qhph+ −hµ( )= − ⇒ = ⎢( − )+⎣ µ ⎦⎥ ⎛+ ⎞1 1 ⎜1⎟⎝ µ ⎠h−1 −1 −1 −1Esempi:a) Struttura lavorativa della Germania. Addetti per settori e sesso nel 1990. La distribuzione delle donne si conferma più concentrataovvero le donne, più degli uomini, tendono a privilegiare alcuni settori lavorativi rispetto ad altri.Uomini p Q p+Q Donne Q p +Q28 0.067 0.000 0.067 4 0.000 0.067101 0.133 0.001 0.135 19 0.001 0.134362 0.200 0.005 0.205 34 0.002 0.202923 0.267 0.014 0.281 55 0.005 0.2711346 0.333 0.028 0.361 94 0.009 0.3421636 0.400 0.044 0.444 114 0.014 0.4141723 0.467 0.061 0.528 171 0.021 0.4874703 0.533 0.108 0.642 334 0.035 0.5684930 0.600 0.158 0.758 357 0.050 0.6505409 0.667 0.212 0.879 717 0.080 0.7476502 0.733 0.277 1.011 785 0.114 0.8476564 0.800 0.343 1.143 982 0.155 0.95513555 0.867 0.479 1.346 2503 0.261 1.12816934 0.933 0.649 1.582 4403 0.448 1.38135039 1.000 1.000 2.000 13051 1.000 2.00099755 2362365021 − 0.212 + .pd( u)=6550.33 0 667= 0. 728;65021 +6550.33D1( u)=0. 456;25031 − 0.155 + .pd( d)=1574.87 08= 0. 817;25031 + .1574.87 08D1( d)=0.63410.80.60.4UominiDonne 0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1b) Nel caso di modalità in classi il calcolo del punto divisorio richiede la soluzione di un’equazione lineare. Applichiamo la proceduraalla distribuzione di un campione di imprese per classi di addetti.⎡pd= −q hh ph( )+ µ ⎤⎢h⎣µ ⎦⎥ ⎛+ µ ⎞1 −1 −1⎜1⎝ µ ⎟⎠⎡ 33.891−002. −⎤= ⎣⎢ 225.66⎦⎥= 0.833⎛ 33.891 +⎞⎝ 225.66⎠Addetti Imprese µ f g p q p + q0 10 18 6.66 0.10 0.00 0.10 0.00 0.111 50 23 33.89 0.13 0.02 0.24 0.02 0.265 99 71 76.13 0.42 0.14 0.67 0.16 0.8310 499 36 286.15 0.21 0.26 0.88 0.43 1.3150 999 14 731.59 0.08 0.26 0.97 0.69 1.661000 5000 5 2333.33 0.03 0.30 1.00 1.00 2.00167 225.66 1.00D 1 =2p d -1=0.673; il valore elevato dell’indice segnala una forte concentrazione nelle poche imprese più grandi.Se la curva di Lorenz è data come espressione analitica il calcolo della quota divisoria prevede la soluzionedell’equazione: d(p)=L(p)+p-1=0.Esempi:a) Curva di Lorenz quadratica:( ) = ( ) = + − = ⇒ = = =2 2d d d dLp p; dp p p 1 0 p 0. 618, q 0. 382; D 0.236b) Il calcolo iterativo della radice di un’equazione si basa di solito sulla determinazione di due ascisse: p a e p b per le quali il segnodi d(p) sia opposto cosicché, data la continuità, la soluzione si troverà nell’intervallo (p a , p b ). Il metodo Newton-Raphson parte da unaapprossimazione iniziale p (0) che nel nostro caso potrebbe essere il punto di mezzo dell’intervallo (0.5,1) per poi cercare di migliorarla:[() i]( i ) ( )d = −dpdp+ 1 i d( 0)pd; i = 12 , ,…;p =() id'p[ ]La curva di Lorenz è tale che lo schema converge rapidamente, cioè:( i+1) ( i)pd− pd

409Indice Pietra-RicciE’ dato dalla distanza massima, presa in parallelo alla diagonale q=1-p, tra la retta di equidistribuzione e la curvadi Lorenz e che si raggiunge allorché la tangente a L(p) diventa parallela alla retta di equidistribuzione cioè x m=µ.Come per la quota divisoria i segmenti GD e CD sono uguali per cui la prima è proporzionale alla seconda cioèGD=CD/√2. Il segmento CD è pari allo scarto D 2= p µ- q µassociato alla media aritmetica della distribuzione.Una particolarità geometrica di CD è che questo segmento è pari al doppio dell’area del triangolo BDE cioè deltriangolo di area massima interno alla curva di Lorenz:area BDE =BE * GD2=12 * 2CD= CD 2 2CEL’indice Pietra-Ricci è analogo alla quota divisoria, ma la soglia tra unità“povere” e “ricche” è ora una quantità più esplicita: la media aritmetica.Per calcolare D 2occorre determinare il massimo della distanza (p - q).Per le funzioni di concentrazione continue si usa il calcolo differenzialecercando il punto “p” tale che L’(p)=1. Una particolarità geometrica diCD è che questo segmento è pari al doppio dell’area del triangolo BDEcioè del triangolo di area massima interno alla curva di concentrazione.BQ=1-pMπ/4Gp µDQ µNEsempi:a) Classificazione di un gruppo di comuni per dipendenti.Dipendenti Comuni µ f g p q p -q0 50 43 33.333 0.137 0.021 0.137 0.021 0.11641 100 46 72.745 0.147 0.049 0.284 0.070 0.214101 200 88 149.844 0.281 0.194 0.565 0.264 0.302201 300 74 248.326 0.236 0.270 0.802 0.534 0.268301 400 35 347.671 0.112 0.179 0.914 0.713 0.201401 500 11 449.750 0.035 0.073 0.949 0.785 0.163501 750 9 620.889 0.029 0.082 0.978 0.868 0.110751 1000 5 869.275 0.016 0.064 0.994 0.931 0.0621001 5000 2 2334.000 0.006 0.069 1.000 1.000 0.000313 1.000 1.000Per il calcolo basta esaminare la colonna (p-q) ed individuare l’entrata più grande. Nell’esempio è 0.302 relativo alla classe 101-200.b) Calcolo per la curva di Lorenz quadratica.23Lpa ( ; ) = ap+ ( 1−ap ) ; L' ( pa ; ) − 1= 0⇒ a+ 2( 1−ap ) − 1= 0⇒ p= 05 . e D2; = ( −a)4 1L’indice Pietra-Ricci coincide con la deviazione relativa media della variabile. Questo chiarisce il concetto diineguaglianza retrostante D 2 : una distribuzione è meno concentrata di un’altra se gli scarti relativi dalla mediaaritmetica sono, in media, più piccoli.Esercizio_AE98: ogni tanto la letteratura su D 2conosce qualche intervento modificativo e integrativo. Adesempio Lee (1979) propone di misurare la concentrazione adoperando l’indice:D2+ pµqµD2x= = pµ−2 2a) Verificare che l’indice abbia valori in [0,1] per gli appropriati casi estremi.b) Quale indicazione aggiuntiva fornisce D 2x?c) Sono possibili due curve di concentrazione che hanno lo stesso D 2, ma un diverso D 2x?Maggioranza minimaUna popolazione è costituita da “ k” gruppi di elettori (unità amministrative, partiti politici, raggruppamenticategoriali, millesimi condominiali, etc.) che deve costituire un’assemblea ed ogni sottogruppo può controllareun numero di seggi X i; se i sottogruppi sono ordinati per numero di seggi controllati e si costruisce la curva diLorenz ponendo sulle ascisse le frequenze relative cumulate di elettori e sulle ordinate le frequenze relativecumulate dei seggi, ne possono risultare interessanti indicazioni. In caso di concentrazione nulla ogni sottogruppodetiene lo stesso numero di seggi; se c’è concentrazione massima, l’assemblea è appannaggio di un sologruppo. La maggioranza minima misura la “democraticità” della rappresentanza assembleare ed è data dalla frazioneminima di elettori “deboli” che deve riunirsi per costituire la maggioranza relativa nell’assemblea (Alker e Russett,1964).

410EGqCH0.5BpKqD 0.50.5 P0.5Essa è individuata dal segmento GH che è pari alla distanza tra la quota cumulata di unità corrispondente a q=0.5e l’ordinata 0.5 quindi D 3= P 0.5- 0.5 che sarà nullo quando q=p e cioè ogni percentile di elettori contribuisceallo stesso modo ai percentili di seggi; avrà valore massimo 0.5 se la metà dei seggi è di pertinenza del gruppoelettorale più potente. Da notare che l’indice trascura quello che succede per la ripartizione dei seggi di pertinenzadelle unità più forti. L’area del triangolo BDE corrisponde allo scarto assoluto mediano ed è sempre inferiore ouguale all’area del triangolo BKE corrispondente alla deviazione media per la proprietà di minimo della medianarispetto alla somma degli scarti assoluti.La quota medianaLa quota mediana è l’ammontare relativo cumulato in possesso di unità che singolarmente ne possiedono menodella mediana. Graficamente corrisponde al segmento CD: D 4=0.5 - q 0.5cioè lo scarto tra quote che hanno comeriferimento la mediana. L’indice è nullo in caso di equidistribuzione perché ora la quota coincide con la metà deipossessori; è massimo: 0.5, se alle unità con modalità inferiore alla mediana non è dato alcunché. In questo senso,D 4è un indice di povertà. La quota mediana ignora ciò che succede nella parte superiore (cioè, oltre la mediana)della distribuzione.Esempio:Tarsitano (1986) ha proposto la seguente formula per la funzione di concentrazione.1d21d11d2⎛ ⎞⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ddLpd ; , d p ; d, d ; D ; Dd11 2 1 110 1 2 1 3 1 22( )= −⎜− ⎟ < ≤ = ⎜ − ⎟4 = 1− 1−2⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠Il calcolo degli indici diventa molto semplice se i parametri della curva sono noti.Se la funzione di concentrazione è data solo in “k” punti (spezzata di Lorenz), il calcolo della maggioranzaminima e della quota mediana avviene con formule approssimate:Dxh= ( pk−05)+ µ ( )− . ( 05 . − qk− ); qk− ≤05 . ≤ qk; D = ( 05 . −qh−)+ 05−p p 05 pxµ( . − ); − ≤ . ≤3 1 1 1 4 1 h 1 h 1h( k)con sostituzione di x (i)con la i-esima media parziale se la distribuzione è articolata in classi.Esempio:Fatturato di alcuni produttori di auto. Calcolo di maggioranza minima e quota medianaper la spezzata di Lorenz.31942D3= ( 0. 7647 −0. 5)+ ( 0. 5 −0. 4665)=0. 294;3683024362D4= ( 0. 5 −0. 1832)+ ( 0. 5 −0. 4706)=0.339231942Per omogeneità con le altre misure si potrebbe raddoppiare il valore degli indici di modoche il loro campo di variazione sia l’intervallo unitario: D 3 = 2P 0.5 - 1 e D 4 =1 - 2q 0.5 cheper l’esempio varrebbero D 3 =0.588 e D 4 =0.678.Società Fatturato Società FatturatoPaccard 3267Suzuki 6284 Volkswagen 29677BMW 9172 FIAT 30737Mazda 13993 Nissan 33600Mitsubishi 14021 Chrysler 35473Volvo 14416 Daimler-Benz 36830Renault 17661 Toyota 50386Peugeot 20438 Ford 92500Honda 24362 General Motors 110000542817

411Esercizio_AE99: Italia 1984. Distribuzione delle famiglie per classi di reddito. Calcolare D 1, D 2, D 3, D 4.Redditi Unità µ f g0 400 20 266.667 0.020 0.003400 600 70 533.333 0.070 0.022600 800 72 733.333 0.072 0.031800 1000 118 933.333 0.118 0.0651000 1200 114 1133.333 0.114 0.0761200 1400 106 1333.333 0.106 0.0831400 1600 88 1533.333 0.088 0.0801600 1800 79 1733.333 0.079 0.0811800 2000 77 1933.333 0.077 0.0882000 2200 44 2133.333 0.044 0.0552200 2400 47 2333.333 0.047 0.0652400 2600 43 2533.333 0.043 0.0642600 2800 24 2733.333 0.024 0.0392800 3000 21 2933.333 0.021 0.0363000 5500 77 4666.667 0.077 0.2121000 1695.966 1.000 1.000Esercizio_AE100: si consideri la seguente curva di Lorenz data in forma analitica:pLp ( ; , ) ⎡ ⎤αβ = ⎢ ⎥p; β≥1 , 0≤α≤1;α⎣⎢( 2 − ) ⎦⎥a) Verificare che si tratti di una funzione di concentrazione; b) Calcolare D 1, D 2, D 3, D 4con α=0.5 e β=2.Esercizio_AE101: si sarà notato che se la curva di Lorenz non ha un’espressione analitica unica per tutte leclassi il calcolo degli indici basati su scarti avviene con l’interpolazione lineare. Come si riflette la convessitàdella curva sul valore dei D 1, D 2, D 3, D 4?βIndici lineari di concentrazioneRientrano in questo gruppo gli indici espressi come medie ponderate delle differenze tra quote:Cnk∑ Ji=1=n⎛ i ⎞X⎝ n + 1⎠nµ() ik iJ⎛ ⎞∑ nC L p w p dp w p⎝ n + ⎠ = = 1∫ ( ) ( ) 1; 0; ∫ ( ∞ ' ;1)= 0i=1 00Dove w(p) è la funzione di pesi che caratterizza la particolare misura. La formula generale risale a Giaccardi(1950), Piesch (1975, p.130) e Mehran (1976).Rapporto di concentrazione (indice di Gini)L’indice forse più noto e più discusso di concentrazione si basa sull’area compresa tra la retta di equidistribuzionee la curva di Lorenz.R =Area AArea A + Area B = Area A = 2Area A1 2L’area è nulla se la curva di Lorenz si sovrappone alla retta q=p ed è pari a 0.5quando c’è massima concentrazione. Ne consegue che R è un indice normalizzato.Nel caso la rilevazione sia espressa con una curva analitica, la determinazionedi R è agevolata dal calcolo integrale.1∫ ( ) = − ( )R = L'( p) 2p − 1 dp 1 2∫L p dp0Esempio:Calcoliamo l’indice di Gini per la seguente curva di Lorenz:dLpd ; 1, d2 dp 1 1 d p2( )= + ( − 1) ; 0≤ d1 ≤1;d2≥111ddR Area B d p d p dp d pd p dd d1 11 2 11 11= 2⎛ 1 −⎞1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2⎝ 2 ⎠ = − ∫ + ( − )− +−= − −= − −00 1 + 21 + d0210( )( )( 1 − d1)= 1+ d2−2( 1 + d2)( )

412Esercizio_AE102: dimostrare che:Lp;d ( )= 1 − ( 1 − p) d ; 0 < d ≤ 1 ⇒ R = ( 1 − d) ( 1 + d)Per rilevazioni sintetizzate in serie e seriazioni sono disponibili diverse formule di calcolo. Innanzitutto, partendodalla spezzata di concentrazione, si osserva che i segmenti formano un trapezio (un triangolo nei punti estremi)con le frequenze relative cumulate di unità. Pertanto:( )( + )pi pi qi qiArea = Altezza⎛ Base minore + Base maggiore⎞Areaii n⎝⎠ ⇒ = − −1 −1* ; = 12 , ,…,2 2⎡ n⎤ nR= − ( pi − pi )( qi + qi) fi qi qi⎣⎢i⎦⎥ = − ⎡1 ∑ −1 −11 ∑⎣⎢+= 1i=1( )−1⎤⎦⎥Poiché la curva di Lorenz è convessa, l’uso della formula dei trapezi porta ad approssimare per eccesso l’areaB (e quindi per difetto l’area A) ed il valore di R è inferiore a quello ottenibile e quindi nella distribuzione c’èpiù ineguaglianza di quanto non ne sia espressa da R. E’ chiaro che aumentando i punti e riducendosi l’ampiezzadei trapezi, l’approssimazione migliora. Alla stessa formula si arriva sommando l’area dei triangoli formati dallerette che congiungono l’origine con i nodi della spezzata di Lorenz. Infatti:Areaip q pqni−1 i i i−1⎡ pi−qi pq i i= − ; i = 12 , ,…, n e quindi R = 2 ∑ −2 2⎣⎢i=1 2 21 −1⎤⎦⎥ =n∑ p q − pqi=1i−1 i i i−1E’ possibile usare un diverso schema di approssimazione dell’area che porta ad una formula più facile daanalizzare. Se si costruiscono due serie di rettangoli di base 1/n ed altezze rispettivamente pari a p ie q iè possibiledefinire:n∑ piiA = ;nn∑ qiiB =n= 1 = 1La prima è una approssimazione dell’area di massima concentrazione (rettangoli bianchi) laddove l’altra approssimal’area complementare (rettangoli punteggiati). La loro differenza relativa dà una misura approssimata dell’area diconcentrazione:R =n∑ pn∑ qii−nii= 1 = 1k∑ pi=1ninnn∑ pi− ∑ qii=1 i=1=n∑ pi=1in∑( pi− qi)i=1=n∑ pi=1in ⎛ pi− qi⎞∑⎜⎟ pii=1⎝pi⎠=n∑ pi=1i

413All’aumentare di “n” (ed alla corrispondente riduzione della comune base dei rettangoli) le due approssimazionimigliorano tendendo a coincidere. Poiché questa formula si basa su di uno schema diverso rispetto all’approssimazionecon i trapezi i risultati possono differire.Esempi:a) Mercato italiano auto per settori. Immatricolazioni nel 1995.Paese Auto pi q p - q p q - p qi i i i-1 i i i-1Cabrio e spider 12'277 0.17 0.007 0.16 0.0000Monovolume 14'909 0.33 0.016 0.32 0.0003Fuoristrada 24'135 0.50 0.030 0.47 0.0021Coupè 34'051 0.67 0.051 0.62 0.0050Station wagon 229'889 0.83 0.187 0.65 0.0824Berline 1'372'721 1.00 1.000 0.00 0.64663.50 2.21 0.7363La prima formula dà: R=0.7363 e la seconda R=0.6314. Il divario è notevole, ma è da attribuire al ridotto numero di entità considerate.b) Ripartizione del capitale sociale nella Cementir SpA.1ª: R = 0.2312ª: R =5.461 − 4.5495.461= 0.167Azioni Possessori nµ f g p q0 50 935 19868 0.014 0.002 0.014 0.00251 100 3380 216911 0.051 0.021 0.065 0.023101 125 41880 4467549 0.633 0.442 0.699 0.466126 200 7963 1187880 0.120 0.118 0.819 0.584201 300 6522 1388696 0.099 0.138 0.918 0.721301 500 2770 1116517 0.042 0.111 0.960 0.832501 700 1742 902486 0.026 0.089 0.986 0.921501 1000 924 797481 0.014 0.079 1.000 1.00066116 10097388 1.000 1.000 5.461 4.549Lo scarto tra le due formule è consistente.Esercizio_AE103: il popolo della partita IVA. E’ noto lo scarso pesofiscale di molte micro-imprese e lavoratori autonomi che risultano sottopostia vincoli esagerati. Ecco i dati relativi ai redditi 1996 .a) Calcolare il rapporto di concentrazione con le due formule e verificarele eventuali differenze.b) Interpretate il risultato nel contesto applicativo proposto.Classe delTotalevol. d'affari Contribuenti vol. d'affari10000 35'830 4'448'381'7955'156'711 5'822'973'479Dati “n” punti (p i, q i) derivati da una distribuzione in classi esistono infinite curve di Lorenz che passano per tuttigli “n” punti e quindi si possono calcolare infiniti rapporti di concentrazione. Gastwirth (1972) considera l’esitodell’interpolazione lineare il limite inferiore di R laddove il limite superiore è dato da:kk1R = R + ∑ γ ; R = 1 − ∑ p − p q q ; γ = p − p µu l ii=1( )( + )l i i−1 i i−1i=1( )2i i i−1( )( )⎡ µ i − Li⎢⎣ Ui− Li( )( )⎤⎡Ui−µ i⎤⎥⎢⎥⎦⎣Ui− Li⎦(cfr. Kakwani, 1980, p. 101, Grassini 1986) dove i “γ i” sono fattori di correzione che riducono l’effetto del raggruppamentoin classi. Le correzioni dipendono dall’ampiezza delle classi, ma anche dalla scelta dei loro estremi chedovrebbe essere orientata alla minimizzazione dell’errore globale di approssimazione.Esempio:Riprendiamo i dati pubblicati da Gastwirth (1972). Se i limiti delle classiestreme sono indeterminati Gastwirth propone:( ) = ( µ − )γ1 1 2 2= f µ 1 U1 −µ 1 U1;γ k fk k LkI calcoli portano all’intervallo [0.3883, 0.4016]. Il risultato è già ottimo (ilvalore vero è intorno a 0.4014). Tuttavia, Gastwirht e Mehran (1975) aggiungonodelle correzioni ancora più stringenti, ma legate a particolariipotesi sulla funzione di distribuzione che si nasconde sotto la rilevazione.Li Ui f i µ i pi q i RL γ0 1 0.0482 0.54140 0.0482 0.00323 0.0002 0.00001 2 0.0825 1.46363 0.1308 0.01815 0.0018 0.00012 3 0.0722 2.44572 0.2029 0.03994 0.0042 0.00013 4 0.0690 3.43890 0.2719 0.06925 0.0075 0.00024 5 0.0662 4.43732 0.3381 0.10550 0.0116 0.00035 6 0.0760 5.40118 0.4141 0.15618 0.0199 0.00066 7 0.0785 6.39292 0.4925 0.21813 0.0294 0.00097 10 0.2140 8.30454 0.7066 0.43763 0.1404 0.011810 15 0.1911 11.90433 0.8977 0.71857 0.2210 0.018615 0.1024 22.26150 1.0001 1.00011 0.1760 0.07621.0001 µ=8.10.6118 0.10890.3882 0.01340.4016

414Il rapporto di concentrazione si collega in modo diretto alla differenza semplice media.n−1nn i2∑∑ xi− xj2∑ ∑[ x() i − x( j)]= =+= =2 n ⎡ i ⎤ n1 11 1⎡ i x∆=== ∑ ⎢ − ∑ ⎥ = µ⎣ ⎦µ − 1 ⎛ ii j ii j() ix( j)⎞⎤22 2ix() i x( j)2 ∑ ⎢ ⎜ ∑ ⎟⎥nn n i= 1 j=1i=1⎣nn n⎝j=1nµ⎠⎦n[ i i i−1 i i−1i]= 2µ ∑ p ( q −q )−( p − p ) q = 2µ q p − p q dove pi=1e pertanto: R=∆/2µ.in1n q q xn() i[ i i−1 i i−1] i = ; pi − pi−1 = ; i − i−1= µEsempio:Numero di fornitori per categoria di prodotti considerati da una cooperativad’acquisto. Il calcolo di R coi i due approcci coincide fino alla 3ªcifra decimale.L’indice R è standardizzato poiché la variazione proporzionaleha lo stesso effetto su numeratore e denominatore.Anche per variazioni additive l’indice risponde ai requisitirichiesti; infatti, se tutte le modalità sono incrementate dellacostante positiva “a” il nuovo rapporto di concentrazionesarà:RX+ ( a)= µµ+a RX ( )e tenderà a zero all’aumentare di “a” .Prodotto Fornitori wi wix i fi gi qi fi(qi+qi-1)1 12 -0.095 -1.140 0.05 0.007 0.007 0.0002 15 -0.085 -1.275 0.05 0.009 0.016 0.0013 28 -0.075 -2.100 0.05 0.017 0.032 0.0024 32 -0.065 -2.080 0.05 0.019 0.051 0.0045 47 -0.055 -2.585 0.05 0.028 0.079 0.0076 54 -0.045 -2.430 0.05 0.032 0.111 0.0097 69 -0.035 -2.415 0.05 0.041 0.152 0.0138 75 -0.025 -1.875 0.05 0.044 0.196 0.0179 77 -0.015 -1.155 0.05 0.045 0.241 0.02210 81 -0.005 -0.405 0.05 0.048 0.289 0.02711 86 0.005 0.430 0.05 0.051 0.340 0.03112 93 0.015 1.395 0.05 0.055 0.394 0.03713 98 0.025 2.450 0.05 0.058 0.452 0.04214 103 0.035 3.605 0.05 0.061 0.513 0.04815 119 0.045 5.355 0.05 0.070 0.583 0.05516 131 0.055 7.205 0.05 0.077 0.660 0.06217 134 0.065 8.710 0.05 0.079 0.739 0.07018 137 0.075 10.275 0.05 0.081 0.820 0.07819 144 0.085 12.240 0.05 0.085 0.905 0.08620 161 0.095 15.295 0.05 0.095 1.000 0.0951696 0 49.500 0.708µ=84.8 R= 0.292 0.292Esempi:a) Castellano (1933) interpreta R come la quantità di variabile che deve essere trasferita da ciascuna unità all’unità che la precedenella graduatoria crescente delle modalità per ottenere l’equidistribuzione.b) Sen (1997, p.33) espone diverse interpretazioni di R tra cui la seguente: in ogni confronto binario l’unità con reddito inferiore patisceil disappunto di scoprirsi più povera rispetto all’altra unità. Se l’effetto del disappunto è proporzionale allo scarto tra le modalità, lasomma di tutte le depressioni dovute alle perdita nei confronti diretti porta al rapporto di concentrazione. In una società ideale nonci sono depressioni e quindi R=0.Per valutare la sensibilità ai trasferimenti basta analizzare la dazione di un ammontare “d” dalla X ialla X jconX i>X jnell’ipotesi che il trasferimento sia neutrale. L’effetto sull’indice è:∆R d 2d i j= wi− w⎛ − ⎞j µ( )=− µ ⎝ n ⎠che dipende dall’ammontare trasferito “d”, dal totale (nµ), dal numero di unità rilevate (n) e dallo scarto (i-j) trale posizioni delle unità implicate nel trasferimento, ma non dipende dal livello delle due modalità X i e X j . Fissatala quota da trasferire (d/nµ) e fissato pure “n”, l’effetto del trasferimento dipende solo dal numero di posizionitra la X j ed X i . I trasferimenti tra modalità collocate intorno ad una moda avranno più effetto che non quelli traunità lontane dalle mode perché qui sarà maggiore (j-i). Se ad esempio in una classe di reddito 10’000-11’000euro ci sono 20 unità e nella classe 50’000-51’000 ce ne sono 10, l’effetto del trasferimento di 100 euri dall’estremosuperiore all’estremo inferiore avrà maggiore impatto sul Gini nel primo che non nel secondo caso.Esercizio_AE104: Pietra (1941) pone a confronto le due seguenti espressioni:L 1 ( p)= 1 − 1 − p; L 2 ( p)= p 2a) Rappresentare graficamente le curve; b) Verificare che abbiano lo stesso rapporto di concentrazione;c) In quali livelli di ammontare si riscontrano differenze ed analogie?

415Altri indici di concentrazione lineariDopo aver studiato il caso particolare più conosciuto riprendiamo ad illustrare gli indici lineari di concentrazione.Nella tabella che segue ne sono presentati alcuni tra i più interessanti:Indice Pesi per n →∞ Modalità raggruppate Modalità singoleBonferroni Log( p)+11 k −1⎛p qxi − i⎞1 nn() i ⎛ 1⎞∑⎜⎟∑ ⎜1− ∑ ⎟k i=1⎝pi⎠n i=1 µ ⎝ j=ij⎠De Vergottinik −1⎛pi− qi⎞n∑⎡⎜ ⎟⎛ 1 ⎞i=1⎝1 − pi⎠x 1n ⎢i j i( n− j + ) − 1⎤1⎥() = 1Log⎜⎟ − 1∑ ⎢⎝1− p⎠kn ⎥−1⎛pi⎞n i=1 µ ⎢1∑⎜⎟∑ ⎥1 − pji ⎝ji ⎠⎣⎢⎦⎥= 1= 1Piesch2p −k2 23 1x i i n( qi − q⎛ 3 2 1i ) pi−⎞ 1 n()⎡3⎛⎞∑i ⎝ ⎠ n µ ⎝ n⎠ ⎛ 2 + 3n+ 1⎞⎤−1∑ ⎢ ⎜ 2 ⎟⎥2= 1 2 2i=1 ⎣2⎝ 4n⎠⎦Mehrankn x i⎡2222 1 () ⎛ 2n − 3n+1⎞i− ( − p) ∑( qi − qi )[ − ( − pi)] ⎜⎟ −⎛−⎞ ⎤1 31 −11 31 ∑ ⎢ 231in i µ ⎝ n ⎠ ⎝ n⎠⎥= 1= 1 ⎣ 2⎦Gini2p− 1k −1∑(pii=1k −1∑ p− qii=1i)1 n x()i ⎡2i−n−1⎤∑n i=1 µ ⎣⎢ n ⎦⎥(Cfr. Bonferroni,1940-41; De Vergottini ,1940; Piesch, 1975). Le misure di questa classe soddisfano il principiodei trasferimenti Pigou-Dalton se la funzione dei pesi è strettamente crescente (Mehran, 1976). Inoltre, se siritiene che l’effetto del trasferimento debba essere più intenso in ragione della posizione più estrema dell’unitàricevente si potrà optare per un indice i cui pesi diminuiscano a ritmo decrescente cioè: w’(p)>0 e w’’(p)

416La struttura dei pesi chiarisce il comportamento degli indici. Quelli delGini e del Piesch hanno un andamento parabolico per cui i pesi sonopiù piccoli per le modalità centrali; il De Vergottini assegna pesi crescentisolo alle modalità più grandi differenziandosi poco per quellepiccole e medio-piccole; il Mehran è quello che attribuisce i pesimaggiori alle modalità medio-grandi e nel Bonferroni le modalità minorihanno maggiore rilevanza. Nell’indice di Piesch le modalitàintermedie contribuiscono meno alla disuguaglianza.xi ni pi gi qi Bon DeV Pie Meh Gini90 1 0.048 0.005 0.005 -0.015 0.000 -0.003 -0.010 -0.005100 1 0.095 0.006 0.012 -0.010 0.000 -0.003 -0.009 -0.005127 1 0.143 0.008 0.019 -0.009 0.000 -0.004 -0.010 -0.006149 1 0.190 0.009 0.028 -0.007 0.001 -0.004 -0.009 -0.006193 1 0.238 0.012 0.040 -0.007 0.001 -0.005 -0.010 -0.007240 1 0.286 0.015 0.055 -0.005 0.001 -0.006 -0.009 -0.007353 1 0.333 0.022 0.076 -0.004 0.002 -0.008 -0.009 -0.008452 1 0.381 0.028 0.104 -0.001 0.004 -0.009 -0.006 -0.008516 1 0.429 0.032 0.136 0.002 0.005 -0.008 -0.002 -0.006563 1 0.476 0.034 0.170 0.006 0.006 -0.007 0.004 -0.003579 1 0.524 0.035 0.205 0.010 0.007 -0.004 0.009 0.000713 1 0.571 0.044 0.249 0.016 0.010 -0.002 0.016 0.004981 1 0.619 0.060 0.309 0.027 0.015 0.002 0.030 0.0111014 1 0.667 0.062 0.371 0.033 0.018 0.008 0.037 0.0181150 1 0.714 0.070 0.441 0.043 0.023 0.016 0.048 0.0271206 1 0.762 0.074 0.515 0.050 0.028 0.025 0.056 0.0351341 1 0.810 0.082 0.597 0.060 0.035 0.037 0.067 0.0471366 1 0.857 0.083 0.680 0.066 0.041 0.047 0.072 0.0561384 1 0.905 0.085 0.765 0.072 0.050 0.058 0.076 0.0641395 1 0.952 0.085 0.850 0.077 0.062 0.070 0.079 0.0732457 1 1.000 0.150 1.000 0.143 0.150 0.145 0.140 0.14316369 21 11.000 1.000 0.547 0.458 0.344 0.561 0.416Esercizio_AE105: dimostrare che la funzione di punteggio:⎧−p se p < 0.5wp ( )= ⎨⎩p se p ≥ 0.5porta alla quota divisoria D 1. Cosa si può dire rispetto alla sensibilità ai trasferimenti?Tutti gli indici lineari di concentrazione sono normalizzati cioè variano in un intervallo limitato (0,1). Assumonoil valore nullo quando la variabile è distribuita equamente tra le unità; il valore massimo uno è ottenuto se una solamodalità è positiva e le altre nulle. Sono inoltre standardizzati, ma risentono di traslazioni additive: si modificano sel’origine è spostata di una costante ed in particolare diminuiscono se la costante è positiva. Il Bonferroni e il DeVergottini sono sensibili ai trasferimenti, ma in modo diverso; l’effetto di un trasferimento neutrale di un ammontare“d” tra le unità che detengono X ie X jè:djdj∆B=∆V( n−)µ ∑ −11r ir= −1⎛ 1* ;⎞∑1 =( n−1)µ r=i⎝n−r⎠La sensibilità del Bonferroni aumenta se il trasferimento è diretto a modalità sempre più piccole laddove l’indice diDe Vergottini è più sensibile ai trasferimenti man mano che questi provengono da modalità sempre più grandi. Il B puòessere interpretato come la frazione che si dovrebbe trasferire per passare allo stato di equidistribuzione nell’ipotesiche questo passaggio avvenga gradualmente per equalizzazioni successive, dal minimo al massimo. Il V è l’ammontareche deve essere trasferito in un processo di equalizzazione termine a termine, a partire dalla modalità maggiore.3d∆P=2nµ( j−i) ( j + i) ; ∆M=3dn µ3 3[ ]( j−i) 2n− ( j + i)L’indice di Mehran assegna maggiore peso alle modalità piccole ritenendo che l’ineguaglianza sia dovuta alla presenzadi modalità molto inferiori alle altre. L’indice di Piesch dà peso maggiore alle modalità elevate ritenendo che l’ineguaglianzasia causata dalla presenza di modalità molto superiori alle altre.Esempi:a) Calcoliamo l’indice di Piesch e Mehran per la distribuzione dei fornitori adoperata per il Il Gini.i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20xi 12 15 28 32 47 54 69 75 77 81 86 93 98 103 119 131 134 137 144 161 1696wi -0.534 -0.523 -0.504 -0.478 -0.444 -0.403 -0.354 -0.298 -0.234 -0.163 -0.084 0.002 0.096 0.197 0.306 0.422 0.546 0.677 0.816 0.962P0.000wixi -0.004 -0.005 -0.008 -0.009 -0.012 -0.013 -0.014 -0.013 -0.011 -0.008 -0.004 0.000 0.006 0.012 0.021 0.033 0.043 0.055 0.069 0.091 0.229Mwi -1.781 -1.504 -1.241 -0.994 -0.761 -0.544 -0.341 -0.154 0.019 0.176 0.319 0.446 0.559 0.656 0.739 0.806 0.859 0.896 0.919 0.926 0.000wixi -0.013 -0.013 -0.020 -0.019 -0.021 -0.017 -0.014 -0.007 0.001 0.008 0.016 0.024 0.032 0.040 0.052 0.062 0.068 0.072 0.078 0.088 0.418L’indice di Piesch segnala minore concentrazione rispetto al Mehran ovvero l’aspetto curato dal primo è meno concentrato di quellocurato dal secondo.

417b) Dichiarazioni ICIAP 1989. Numero di contribuenti per superficie del negozio.3.205B = = 0. 321;1057.723V = = 0.106543.219Superficie Negozi µ f g p q (p-q)/p (p-q)/(1-p) p/(1-p)0 25 481 16.67 0.497 0.138 0.497 0.138 0.723 0.714 0.98826 50 244 37.52 0.252 0.157 0.749 0.295 0.606 1.808 2.98451 100 127 74.04 0.131 0.162 0.880 0.457 0.481 3.533 7.345101 150 36 124.76 0.037 0.077 0.917 0.534 0.418 4.639 11.100151 200 23 175.06 0.024 0.069 0.941 0.603 0.359 5.739 15.982201 300 18 251.19 0.019 0.078 0.960 0.681 0.291 6.921 23.821301 400 21 348.14 0.022 0.126 0.981 0.807 0.178 9.404 52.778400 600 9 497.22 0.009 0.077 0.991 0.883 0.108 11.534 106.556601 800 6 696.35 0.006 0.072 0.997 0.955 0.042 13.431 321.667801 1000 3 867.33 0.003 0.045 1.000 1.000 0.000968 60.10 1.000 1.000 3.205 57.723 543.219Da notare che è sempre: B≥V a meno che le approssimazioni all’interno delle classi non la alterino.Esercizio_AE106: popolazione per un campione di comuni.Abitanti Comuni µ f g p q500 750 77 666.67 0.080 0.019 0.080 0.019751 1000 122 880.09 0.127 0.040 0.208 0.0581001 1500 243 1233.82 0.254 0.111 0.462 0.1691501 3000 268 2192.00 0.280 0.217 0.742 0.3863001 5000 176 3920.05 0.184 0.254 0.926 0.6405001 10000 48 11445.02 0.050 0.202 0.976 0.84210001 20000 17 14583.88 0.018 0.091 0.994 0.93420001 50000 6 30000.67 0.006 0.066 1.000 1.000957 2385.11 1.000 1.000a) Calcolare gli indici di Bonferroni, De Vergottini, Mehran e Piesch;b) Se un’ondata di mobilità interna portasse tutti i comuni della 1ª classe nella 2ª, cosa succederebbe agli indici?Gli indici di Gastwirth-KakwaniGastwirth (1975b) riprende diversi risultati sparsi nella letteratura economico-statistica sul significato e sullamisura della concentrazione proponendo una classe di indici flessibile e adeguata in molte circostanze. Kakwani(1980, p. 67-68) ne dà una riformulazione più semplice:GK ∑r x fk= ( )r i ii=1dove r(.) è una funzione convessa e omogenea di grado zero cioè tale che r(ax)=r(x) in modo da assicurare lastandardizzazione e r(µ)=0 cosicché, in caso di modalità costanti, gli indici Gastwirth-Kakwani siano nulli; laconvessità garantisce la verifica del principio di Pigou-Dalton sui trasferimenti (Kakwani,1980, pp. 67-68).L’elasticità ad un trasferimento neutrale di ammontare positivo “d” da una unità con modalità “x” ad un’altra conmodalità inferiore è data da:t( x)= r'( x)−r'( x−d)che misura l’effetto degli spostamenti delle unità tra i vari livelli della variabile. La r(x) deve anche essereinvariante a modifiche proporzionali per cui si baserà su quote relative: x/µ rendendo tali indici insensibili acambiamenti proporzionali dell’unità di conto con cui sono misurate le variabili.Esempi:a) Consideriamo la funzione lineare r(x)=|x-µ|/µ che implica GK=D 2 (la deviazione media). La sensibilità ad un trasferimento neutraletra unità sullo stesso lato della media è t(x)=(1 - 1)=0 se xµ ovvero la reazione è costante.b) L’indice di Gini è molto vicino a questa categoria. Infatti, se si pone r(x)=(2x/µ)[F(x)-0.5]-2[F(µ)-0.5] si definisce un indice della classeGK legato al Gini: GK=R-[1-2F(µ)]. Il fattore correttivo si annulla se la media aritmetica coincide con la mediana. Per la sensibilità aitrasferimenti si ottiene:tx ( )= 2 [µ Fx ( )− 0.5]− 2 [µ Fx− ( d )− 0.5]= 2 [ µ Fx ( )− Fx− ( d )]tenendo conto che F(x) non cambia per un trasferimento neutrale. L’effetto di un trasferimento nel rapporto di concentrazione dipendedalla prossimità ad una moda dell’unità cedente.

418Lunghezza della curva di LorenzFra gli aspetti della curva di Lorenz che sono stati coinvolti nella misura della concentrazione merita un doverosorichiamo la lunghezza della curva ben nota nella letteratura (cfr. ad esempio Taguchi,1968 e Lombardo, 1969),ma che è stata riscoperta da Kakwani (1980, pp. 83-85) senza che però siano risolte le difficoltà analitiche chene avevano indotto l’accantonamento.Se consideriamo i punti: B, m 1, m 2,…, m i,…,E sulla curva di Lorenz e tracciamo le corde: Bm 1,m 1m 2,m 2m 3,…,m n-1E ed indichiamo le lunghezze con λ ila distensione totale della poligonale è:En 1 n ⎛ x()i ⎞λn= ∑ λi= ∑ 1 + ⎜ ⎟i= 1 n i=1 ⎝ µ ⎠2Bm i+1p i-1m i∆pip ip i+1qqi+1iq i-1NLa lunghezza della curva di Lorenz è il limite al quale tende la lunghezza della poligonale inscritta quando lalunghezza della sua corda maggiore tende a zero:λ = ⎛ n⎞Lim ∑λi⎝ ⎠maxLi→ 0 i=1La lunghezza λ non può essere minore di √2 (segmento BE) e deve essere inferiore o uguale a 2(BN + NE). Nonsolo, ma muovendo da √2 a 2 l’indice dispone secondo un livello di concentrazione crescente le curve su cui ècalcolato ovvero a valori crescenti dell’indice corrisponde una curva che si allontana dalla retta di equidistribuzione.Se la funzione di concentrazione è nota solo attraverso le coordinate (p i,q i) la formula per la lunghezza è:1 n⎛ q − q ⎞ n ⎛λ = ∑ ( − ) + ⎜ ⎟ = + ⎜µ i i−1() i ⎞pi pi−11 ∑ f 1ii ⎟n i= 1⎝ p − p ⎠ i=1 ⎝ µ ⎠ii−122Esempio:Soltow (1965, pp. 10-11) effettua un confronto della distribuzione dei redditi con i salari di unità di lavoro maschili nella città di Moss.11960 1875µi f i λi µ i fi λ i3333.33 0.110 0.113 33.33 0.023 0.0237843.42 0.142 0.162 84.13 0.045 0.04812572.70 0.344 0.458 127.97 0.220 0.25717283.73 0.262 0.410 174.44 0.359 0.46421830.63 0.072 0.132 219.37 0.123 0.17727433.72 0.030 0.064 274.74 0.026 0.04241062.95 0.040 0.120 410.63 0.204 0.44214371.11 1.000 1.458 213.22 1.000 1.4540.80.61960 18750.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1Il grafico ed i dati in tabella sono stati ottenuti stimando le medie di classe con la tecnica di Aigner. La lunghezza cambia pochissimo(solo 4 millesimi) ignorando modifiche strutturali importanti: la riduzione della ineguaglianza per le quote più elevate e l’aumento perquelle più basse.

419Esercizio_AE107: giovani adulti (18-32) consumatori abituali di droga per tipo di droga.Droghe Consumatori gi q i piEroina 47 0.0157 0.0150 0.0909Inalanti 92 0.0307 0.0456 0.1818Tranquillanti 100 0.0333 0.0789 0.2727Analgesici 121 0.0403 0.1193 0.3636Cocaina 127 0.0423 0.1616 0.4545Sedativi 150 0.0500 0.2115 0.5455Allucinogeni 166 0.0553 0.2668 0.6364anfetamine 170 0.0567 0.3235 0.7273Marijuana 527 0.1757 0.4990 0.8182Tabacco 686 0.2287 0.7282 0.9091Alcool 814 0.2713 1.0000 1.00003000 1.0000a) Calcolare la lunghezza della curva di Lorenz associata alla distribuzione;b) Calcolare la lunghezza normalizzata della curva di Lorenz.Se la funzione di concentrazione è continua e dotata di derivata prima continua il limite nella espressione dellalunghezza esiste e vale:1[ ]λ = + ' ( )∫ 102L p dpEsempio:1112 22 1 ⎧ 2 1Lp ( )= p L( p)= p⇒ = ∫ + p dp + cx dx= x + cx + Ln⎡2cx + c( + cx⎤⎫; ' 2 λ 1 4 ; ∫ 1⎨ 12 2 1 ) ⎬ ⇒ λ = 1.4789002 ⎩c ⎣⎢⎦⎥⎭ 0Esercizio_AE108: Taguchi (1968) stabilisce la disuguaglianza: R≤2(λ 2 /π)-1. Verificate il risultato per la curvaL(p)=p 2 .Scopriamo le peculiarità dell’indice λ con la formula Gastwirth-Kakwani:( ) ≥( ) − ( ) = +µ ≥ ≥ ( ) =µ +µ2 2 2 2 2 2 3rx ( ) = 1+ xµ2; ; r' x x x 0 se x 0; r''x x 0Per la sensibilità ai trasferimenti si può notare che la funzione r(x) è convessa. Il loro impatto è misurato da:( ) − [ − ]⎛ µ ⎞ ⎧ 2 2 ⎫t' ( x) = ⎜ ⎟ x +µ ( x d) +µ⎝ ⎠⎨1 3 2 21 3⎬2 ⎩⎭ ≤ 0che è negativa per ogni “x” e quindi l’indice di concentrazione λ reagisce a tutti i trasferimenti, ma con sensibilitàdecrescente all’aumentare della “x” ovvero l’effetto è meno rilevante quando la “x” è elevata.L’indice quadratico di BonferroniBonferroni (1942) ha proposto un indice di concentrazione ottenuto come:Minx min ≤A ≤x maxn⎧∑( x i − A ) 2 ⎫⎪ i=1 ⎪⎨ n ⎬ ⇒ B 2 =2∑ x i ⎩⎪i=1 ⎭⎪n∑( x i −µ ) 2i=1n2∑ x ii=1= σ 22µ = µ 2 2 −µ 22= 1 − µ222 µ 2 µ 2detto rapporto quadratico di concentrazione perché ha una struttura analoga all’indice di Gini (cfr. Buscemi,1986). Infatti:

4202( ∆ R ) 2 = 2σ 2 ⎡⇒ B 2 = 2 ∆ 2R⎢⎤⎥⎣2µ 2 ⎦2B 2ha come valore minimo lo zero ottenuto in caso di modalità tutte uguali; all’estremo superiore si perviene incaso di massima concentrazione con B 2=(n-1)/n.Esempi:a) Andamento complessivo delle importazioni nel biennio 1992-1994. Per ottenere il Bonferroni quadratico bisogna calcolare la mediaaritmetica e quella quadratica:2 2B 2 ( 1994)= 1 − ( 26' 020 10 93' 026' 382 10 = 0.27 Metalmeccanici 4'746 5'083 22'524'516 25'836'889Mezzi di trasporto 1'573 1'597 2'474'329 2'550'409Alimentari-tab. 806 841 649'636 707'281Macro-branche Imp. 1992 Imp. 1994 X 1992 X 1994Agricoltura-pesca 1'784 1'838 3'182'656 3'378'24424' 596 10B 2 ( 1992)= 1 − Energetici 5'196 5'677 26'998'416 32'228'329)281' 591' 788 10 = 0.26 Minerali ferrosi e no 2'795 3'062 7'812'025 9'375'844Min. e prod. non metal. 409 441 167'281 194'481Chimici 2'202 2'237 4'848'804 5'004'169Tessile-abbigliamento 2'490 2'600 6'200'100 6'760'000Altri 2'595 2'644 6'734'025 6'990'73624'596 26'020 81'591'788 93'026'382Nel 1994 l’indice è leggermente aumentato indicando che qualche branca si è appropriata di quote altrui.b) Imprese per classi di capitale versato. Poiché le modalità sono in classi si profila un calcolo approssimato. L’approssimazione ècontenuta grazie alle medie di classe note:Xi n i f i µ i µ i µ 2 f i i f i0 1 81 0.162 0.87 0.141 0.1231 2 148 0.296 1.47 0.435 0.640⎛ n22 5 93 0.186 3.41 0.634 2.163⎞5 10 88 0.176 7.32 1.288 9.431⎜ ∑ µ i f i ⎟⎝ i=1 ⎠B 2 = 1 − = 1 − 9.2162n∑ µ 2 427.880 = 0.8015 10 20 46 0.092 14.63 1.346 19.69120 40 27 0.054 44.6 2.408 107.415i f 40 100 12 0.024 67.9 1.630 110.650ii=1100 200 5 0.010 133.33 1.333 177.769500 1.000 9.216 427.880Il valore è elevato e non congruo con le indicazioni che provengono dalla centralità (peso eccessivo ai valori alti).L’aggancio con la classe di Gastwirth-Kakwani è dato dalla funzione: r(x)=[(x-µ)/µ2]2 che è convessa assicurandocosì la sensibilità ai trasferimenti; il loro effetto è: t(x)=r’(x)-r’(x-d)=2d/(µ 2) 2 che è costante per cuil’effetto stesso è invariante rispetto alla posizione dell’unità ricevente.Esercizio_AE109: imprese agrarie per ampiezza degli appezzamenti. Italia, 1930.Area in ettari Imprese0.01 0.5 909'7820.51 1 581'2991.01 3 1'272'5903.01 5 532'8275.01 10 492'20910.01 20 253'95920.01 50 106'96150.01 100 25'575100.01 500 17'559500.01 e sup. 3'5054'196'266a) Calcolare l’indice quadratico di Bonferroni ipotizzando (U k=(7/3)L k);b) Qual’è l’effetto dell’approssimazione delle medie di classe con i valori centrali?L’indice entropico di TheilLa concentrazione industriale a diversi livelli di aggregazione settoriale e territoriale è collegata alle varie formedi mercato: monopolio, oligopolio, concorrenza perfetta ed è interessante la ricerca di indicatori che esprimonoil grado di controllo che le imprese sono in grado di esercitare, le loro reazioni a nuove disposizioni fiscali ovveroil grado di diffusione di una attività nel territorio, degli addetti tra le imprese di un settore. Lo studio dellaconcentrazione industriale e finanziaria individua una variabile che definisce operativamente il concetto di“ampiezza” e ne studia la ripartizione fra le unità. L’ ampiezza può essere espressa in termini di dipendenti, diprofitti, di vendite, di fatturato, quotazioni azionarie. L’ entropia -già incontrata nello studio della mutabilità- èstata formulata nella termodinamica e poi usata nella scienza delle comunicazioni. La sua estensione alla Statisticaè stata tardiva, ma ha dato luogo a misure famose tra cui l’indice di Theil (1967, pp. 125-127):

421n ⎡⎛µH = f i ⎞ ⎛i ⎜ ⎟ Ln µ i ⎞ ⎤ k ⎛∑ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ = g i Ln g i⎞ k∑ ⎜ ⎟ = ∑g i Ln( g i )− Ln f ii=1 ⎣⎝µ ⎠ ⎝ µ ⎠ ⎦ i=1 ⎝ f i ⎠ i=1[ ( )]H, detto anche media entropica, è nullo se le modalità sono tutte uguali poiché, in questo caso, le g icoincidonocon le frequenze relative f irendendo nulli tutti gli addendi. L’indice non potrebbe comunque essere calcolatose qualcuna delle medie di classe fosse nulla; è però possibile considerare zero il fattore g iLn(g i) ricordando chexLn(x) tende a zero al tendere di “x” a zero. Ciò premesso, il valore massimo dell’indice è H=Ln(n) ottenutoqualora una sola unità detenga il totale della variabile.Esempi:a) Costo del lavoro dei dipendenti pubblici. Dati 1992. La formula non presenta difficoltà se eseguita su foglio elettronico.Settore Dipendenti Costo totale f g gLn(g/f)Ministeri 284'501 11'434 0.088 0.083 -0.0045Università 103'552 5'907 0.032 0.043 0.0128Scuola 1'156'598 43'228 0.358 0.316 -0.0398Aziende autonome 282'659 11'232 0.088 0.082 -0.0053Enti locali 674'038 23'648 0.209 0.173 -0.0327Ricerca 16'827 1'093 0.005 0.008 0.0034Parastato 72'940 4'284 0.023 0.031 0.0102Sanità 638'682 36'113 0.198 0.264 0.07593'229'797 136'939 1.000 1.000 0.0200Secondo l’indice, il costo dei dipendenti pubblici non mostra segni di concentrazione in settori particolari e questo si presta a molteinterpretazioni.b) Superficie di vendita dei supermercati in Liguria.Superficie Supermercati µ i f i g i g i*Ln(µ i/µ)0 200 41 133.33 0.118 0.051 -0.043200 300 159 246.28 0.458 0.363 -0.084300 350 74 323.17 0.213 0.222 0.009350 400 38 373.30 0.110 0.132 0.024400 500 17 446.32 0.049 0.070 0.025500 750 9 1016.20 0.026 0.085 0.100750 1000 7 864.58 0.020 0.056 0.0571000 1500 2 1166.67 0.006 0.022 0.029347 310.79 1.000 1.000 0.117L’indice di Theil, H=0.117 deve essere comparato con il suo massimo in rilevazioni di questa ampiezza: Ln(347)=5.85. Ne consegueche, in Liguria, sussiste una situazione di sostanziale equità di ripartizione della superficie di vendita tra i supermercati.L’indice di Theil rientra nella categoria Gastwirth-Kakwani con la funzione convessa: r(x)=(x/µ)Ln(x/µ). Neconsegue che l’effetto di un trasferimento neutrale è misurato da: t(x)=µ -2 Ln[x/(x-d)] che è monotonicamentedecrescente all’aumentare della “x” ovvero l’impatto su quest’indice è maggiore se il trasferimento avviene versoi livelli bassi della “x”.Esercizio_AE110: valore del diritto pluriennale dell’utilizzo dei calciatori. Calcolare l’indice di Theil.Società Importo Società Importo Società ImportoBari 20564 Genoa 13045 Padova 12144Brescia 13131 Inter 90137 Parma 82042Cagiari 9544 Juventus 81346 Reggiana 10106Cremonese 5164 Lazio 88155 Roma 49814Fiorentina 40300 Milan 80732 Sampdoria 22788Foggia 5859 Napoli 21292 Torino 39305Esercizio_AE111: appartamenti per classi di valori.Valore Appartamenti< 75'000 1975'000-100'000 73100'000- 150'000 42150'000- 250'000 50> 250'000 16200Calcolare l’indice di Theil usando L 1=(2/3)U 1e (U k=(7/3)L k).

4225.3.3 L’asimmetria della curva di LorenzLe misure della concentrazione si configurano come indicatori sintetici della situazione distributiva quantificandonelo scarto dalla equidistribuzione. Tuttavia, come per tante altri indici, la loro natura di “medie” rende vanol’obiettivo di sintesi.Ad esempio, le due curve B e C nel grafico includono la stessa area di concentrazione e quindi hanno lo stessoindice di Gini, ma esprimono due situazione distinte. La curva B è destrorsa e rappresenta una ripartizione incui vi è un ristretto numero di unità più “abbienti” che detiene la maggioranza della variabile e numerose unità“povere” che quasi si equidistribuiscono il resto dell’ammontare. La curva C è sinistrorsa e descrive la presenzadi un folto gruppo di “poveri” cui compete gran parte della variabile e poche unità “ricche” che si ripartisconoin modo uniforme l’ammontare non assegnato alle altre. In una interpretazione dinamica, se la distribuzione passadalla curva A alla B questo sarà da attribuire al fatto che le intensità basse e medie hanno migliorato la loroposizione a danno di quelle medio-alte; queste, peraltro, hanno pure dovuto cedere quote alle classi estremesuperiori. Un simile passaggio, nell’ambito della distribuzione dei redditi, significherebbe vedere progressivamenteridurre la presenza delle classi medie in favore di una bipolarizzazione tra classi povere e classi ricche.Se invece la direzione è verso la curva C si delinea un processo in cui le intensità basse e medie perdono a favoredi quelle medio-alte che a loro volta riescono ad erodere quote anche ai livelli estremi superiori. Nella distribuzionedei redditi questo potrebbe implicare la crescita delle classi medie soprattutto ridistribuendo a queste partedelle quote delle classi più ricche senza necessariamente coinvolgere i meno abbienti. E’ evidente che si trattadi evoluzioni dissimili ed è altrettanto evidente come le tre curve possano risultare identiche dal punto di vistadel rapporto di concentrazione. Il problema peraltro non è limitato al rapporto di concentrazione: è facile costruirealtri casi di ripartizioni coincidenti rispetto al tipo di disuguaglianza colta da un qualche indice, ma che sianodiverse per altre importanti caratteristiche. Poiché ogni indice vede un aspetto della distribuzione, sembrerebbenaturale identificare la curva di Lorenz con una batteria di indici di concentrazione. Una semplice considerazionefa subito intendere che non si tratta di una soluzione pratica perché i concetti che stanno dietro agli indici più notisono interconnessi ed è difficile che ad esempio l’indice di Pietra-Ricci o di Bonferroni aggiungano, singolarmenteconsiderati, molta conoscenza in più rispetto all’indice di Gini. D’altra parte usare molti indici è pococoerente con il ruolo di sintesi che si è inteso loro attribuire.Esempio:Sia data distribuzione (x i ,f i ) per i=1,2,…,n con x i ≠0. Gini (1932) definisce antiserie la distribuzione (1/x i ,f i x i ) per i=1,2,…,n. L’antiseriegenera una curva di concentrazione che ha lo stesso rapporto di concentrazione, la stessa lunghezza, lo stesso Pietra-Ricci e la stessaquota divisoria della curva di concentrazione della rilevazione originale. Per cui la stessa sequenza di indici caratterizza la distribuzionecon ordinamento inverso delle modalità, sia pure ponderate in modo inconsueto.La curva di concentrazione inizia e finisce negli stessi punti della retta di equidistribuzione e si sovrappone ad essaquando tutte le unità hanno lo stesso ammontare di variabile. Ogni scostamento da questa posizione implica concentrazionee più la curva si allontana da L(p)=p, più la variabile risulta concentrata. La discrepanza non può però andareoltre la configurazione di concentrazione massima allorché la curva si dispone sui due cateti del diagramma. Tuttavia,la curva non può servire a valutare la minore o maggiore concentrazione se non in casi particolari.Confronto di curve di concentrazioneLa curva di concentrazione inizia e finisce negli stessi punti della retta di equidistribuzione: Q=p e si sovrappone adessa quando tutte le unità hanno lo stesso ammontare di variabile. Ogni scostamento da questa posizione implica

423concentrazione e più la curva si allontana dalla retta Q=p, più la variabile risulta concentrata. La discrepanza non puòperò andare oltre la concentrazione massima allorché la curva si dispone sui due cateti del diagramma.Nonostante i buoni propositi del suo inventore la curva di Lorenz non può valutare la minore o maggiore concentrazionese non in casi particolari.Infatti, se una curva è totalmente inclusa in un’altra ( la curva “A” rispetto alla “C” o alla “B”) allora una è sicuramentemeno ineguale dell’altra. Se le curve si intersechano -in uno o in un numero arbitrario (comunquefinito) di punti- nonsarà possibile raggiungere una conclusione univoca: se si dà più importanza ai livelli minori allora è la “C” che è piùineguale, se invece pesano di più i livelli maggiori risulterà la “B”. Nella figura a destra il confronto dà esito univocosolo ragionando per zone separate: (0, p 1), (p 1,p 2) e (p 2, 1). Nel primo e nel terzo è meno concentrata la “A”; inquella centrale è meno concentrata la “B”. Schutz (1951) ricorda di non trascurare che sono in gioco quotecumulate e che le modalità caratterizzanti unità in posizione migliore secondo una curva rispetto ad un’altra nonnecessariamente cominciano o finiscono nel loro punto di intersezione. Nel caso di curve empiriche, come siè visto, esistono infinite curve di Lorenz che si intersecano nei punti osservati (p i, Q i), i=1,2,…,k ed il confrontosarebbe proponibile sono per questi specifici punti.Curva di Lorenz per trasformate della variabileLa curva di Lorenz non cambia se tutte le modalità subiscono una variazione proporzionale dato che la suadefinizione coinvolge solo quantità relative: se invece di considerare le modalità x isi utilizzano le trasformatey i=ax icon a>0 le inclinazioni dei segmenti della spezzata rimangono le stesse: L(y)=L(ax)=L(x).Esempio:Disponibilità di riserve (oro escluso) in miliardi di diritti speciali di prelievo presso il Fondo monetario internazionale.Paese DSP p q Lire qItalia 24.3 0.1 0.059 40'143.6 0.059Singapore 26.1 0.2 0.063 43'117.2 0.063Regno Unito 29.8 0.3 0.072 49'229.6 0.072Cina 33.8 0.4 0.082 55'837.6 0.082Germania 44.8 0.5 0.109 74'009.6 0.109Usa 46.1 0.6 0.112 76'157.2 0.112Francia 47.6 0.7 0.115 78'635.2 0.115Giappone 49.3 0.8 0.120 81'443.6 0.120Spagna 50.3 0.9 0.122 83'095.6 0.122Taiwan 60.4 1.0 0.146 99'780.8 0.146Se le riserve sono valutate in lire invece che in DSP (adoperando il coefficiente di conversione coevo della rilevazione), gli elementiper tracciare la curva di Lorenz restano invariati.Fellman (1976) ha dimostrato che se due variabili sono legate da y=t(x) allora:L y ( p)≥ L x pL y ( p)≤ L x pL y ( p)= L x p( ) per 0≤ p ≤ 1 se tx ( )( ) per 0≤ p ≤ 1 se tx ( )( ) per 0≤ p ≤ 1 se tx ( )xxx= monotona decrescente;= monotona crescente= costante;(cfr. anche De Simoni, 1966). Ne consegue, ad esempio, una politica di tassazione progressiva (con t(x)/x è monotonacrescente), ottiene minore ineguaglianza a tutti i livelli.

424Esempio:Ipotizziamo che in una zona ci siano “n” centri abitati la cui distribuzione di abitanti sia descritta dalla curva di concentrazione L x (p).Un gruppo di sfollati è ripartito uniformemente tra tutti i centri abitati di modo che ad ogni centro tocchi lo stesso numero di rifugiati:y i =a+x i . La nuova distribuzione sarà meno ineguale perché y i /x i = 1+a/x i è monotona decrescente per ogni “a”.Esercizio_AE112: per la distribuzione in tabella e connessa curva di Lorenz triangolare:⎧apse p < r⎪ µL( p)=⎨; µ=ra +ar + b( p − r)( 1 − r)b⎪se p ≥ r⎩⎪µa) Se y=x α per quali valori di α si riduce o aumenta la concentrazione?b) Rappresentare due curve con minore e con maggiore concentrazione ipotizzando a=4, b=16, r=0.5.x iabf ir1 − r1Definizione di asimmetria della curva di LorenzIl problema del diverso significato attribuibile alla concentrazione nel caso di curve sinistrorse e destrorse ha unasua prima discussione compiuta in Panizzon (1955) cui danno poi seguito Panizzon (1959) e Zanardi (1965).Taguchi nel (1968) ha affrontato il problema di specificare curve di concentrazione aventi forma di verse, mianaloghi livelli di concentrazione suggerendo di considerare la curva di Lorenz come una qualsiasi curva didistribuzione e di questa studiarne poi le varie caratteristiche: centralità, variabilità, asimmetria (in questo èparticolarmente indicato il sistema di coordinate di Gini). Per la centralità Taguchi ha pensato agli indici basatisulle distanze tra curva di Lorenz e retta di equidistribuzione: ad esempio D 2=p µ-q µche corrisponde alla “moda”della curva. Per la variabilità, Taguchi non ha dubbi: l’indice di Gini, ma ogni altro indice basato sulla media delledifferenze tra quote di variabile e di unità andrebbe bene. Quindi se di una distribuzione conosciamo l’indice diPietra-Ricci e l’indice di Gini ci troveremmo, grosso modo, ad aver coperto la “centralità” e la “variabilità”.Focalizziamo l’attenzione alla asimmetria della curva di concentrazione.Per studiare l’asimmetria della curva di Lorenz si debbono considerare tratti della curva uguali e che siottengono considerando intervalli uguali non sull’asse delle ascisse o delle ordinate, ma sulla retta di equidistribuzione.La curva di Lorenz è considerata simmetrica se la distanza (misurata in parallelo alla controdiagonaleq=1-p, detto polo di simmetria) tra la curva e la retta di equidistribuzione è uguale per punti collocati a distanzauguale dal punto di mezzo: p= q =1/2, cioè A 1M=MB 1; ciò implica che:{ }L( p + p)− p = L( p − p)+ p per 0≤ p ≤ min p , 1−pD D D DTenuto conto che :AAAA 2 3 BB 2 3= BB ⇒ = ⇒ AA = BB2 21 2 1 23 2 3 2Esempio:Aggarwal (1984) afferma che è simmetrica la sua proposta di curva di Lorenz:2( 1 − a)pLp ( )=;2( 1+a )− 4ap0 < a < 1In realtà è asimmetrica (sebbene in modo molto lieve): per a=0.75 si ha p D =0.875 e la condizione di simmetria non è rispettata.Esercizio_AE113: dimostrare che, se la curva di Lorenz • simmetrica, allora la distanza massima tra curva eretta di equidistribuzione p µ-L(p µ) giace sul polo di simmetria.Esercizio_AE114: quali sono le condizioni di simmetria della curva di Lorenz nel sistema di coordinate di Gini?Come si interpretano nelle coordinate (p,q)?Kakwani e Podder (1986) e Kakwani (1980, pp. 44-45) partono dal fatto che, in una curva di Lorenz simmetricasi ha L(p µ)+p µ=1 e definiscono curve sinistrorse cioè con gobba vicino al punto (0,0) le curve per le qualiL(p µ)+p µ>1 e curve destrorse, cioè con gobba vicino il punto (1,1) se L(p µ)+p µ

425Le curve che raggiungono il massimo lungo il polo di simmetria q+p=1sono curve centrate (Gini, 1932 parlava di curve culminanti) e possonoessere simmetriche come la curva A e asimmetriche destrorse come laB o asimmetriche sinistrorse come la curva C. Le curve non centrate (equindi asimmetriche) sono sinistrorse se L(p µ)+p µ1 come per la E. Pertanto, la condizioneL(p µ)+p µ=1 non può essere adottata come indicatore univocodi simmetria, ma di centramento; la sua violazione è invece condizionedi asimmetria.Esercizio_AE115: se la curva di Lorenz è simmetrica dimostrare che:maggioranza minima=1-quota mediana.Misura della asimmetria della curva di LorenzIl polo di simmetria q=1-p interseca la funzione di concentrazioneq=L(p) nel punto divisorio D di coordinate (p D,q D) corrispondentealla media divisoria e la retta di equidistribuzione q=p nel punto M dicoordinate (0.5,0.5). Per definizione, le coordinate del punto divisorioverificano la relazione p D=1-q De quindi i segmenti HN e KN sonouguali e l’area del quadrato KDHN è pari a p D(1-q Dp D). L’area deltriangolo BDM=S Lè data dalla base BM pari a 1/√2 moltiplicata perl’altezza MD (cioè CD/√2) diviso due;SL=⎛⎝1 ⎞⎛pD− qD⎞2⎠⎝2 ⎠ pD− q =2 4DPer costruzione, tale area è la stessa del triangolo EDM cioè S U. Zanardi (1965) definisce statisticamentesimmetrica una curva per la quale si abbia A L= A Uod anche T L=T Uvisto che A Le A Uhanno una parte che èdi valore coincidente. Questo non implica la simmetria vera e propria dato che T Le T Upossono provenire dacurve diverse e non implica nemmeno il centramento che è una condizione sulla distanza p-L(p), necessaria, manon sufficiente per la simmetria.Per misurare l’asimmetria Panizzon (1955) ha proposto l’indice:⎛A Log T U⎞⎛Ln T U⎞R = 3⎜⎟ = 0.91024 ⎜ ⎟ con −1≤ AR≤⎝ T ⎠⎝ T ⎠LLche assume il valore nullo se la curva è simmetrica; tende all’unità in casodi curva con asimmetria sinistrorsa e tende a -1 in caso di asimmetriadestrorsa. Il limite superiore tende ad essere ottenuto per una curva chegradualmente si dispone nella forma BRE (modalità uguali o nulle) cherappresenta una distribuzione in cui l’R% possiede ammontare zero (R èil rapporto di Gini) e le altre unità si ripartiscono equamente il totale. Illimite inferiore è raggiunto per una curva disposta nella forma BEG (tutteuguali tranne una che è maggiore di tutte).Giurovich (1959) ha proposto:Destrorse: T UT L;Sinistrorse: T LT U;Tali rapporti, istituiti in modo che il numeratore sia sempre maggiore del denominatore hanno valore uno in casodi curva simmetrica ed aumentano all’infinito fintanto che l’area al denominatore tende ad annullarsi.

426Patimo (1977 e 1978) ha studiato l’indice:A'D⎛ TU− TL⎞= 2⎜⎟,−1≤ AD≤1⎝ pQ ⎠DDSe la curva di Lorenz è simmetrica A D=0. Valori dell’indice tendenti a -1 segnalano una distribuzione che sisposta verso la massima asimmetria destrorsa cioè la curva BEG “tutte uguali tranne una” ; all’aumentare delGini e con A Dtendente a +1 la distribuzione converge verso la curva BRE “uguali o nulle”Zanardi (1965) basa pure la misura della asimmetria sulla differenza tra i rapporti di concentrazione nelle duesottodistribuzioni generate dalla media divisoria, ma la normalizzazione avviene con l’R totale:(Z = T U − T L )R 4Z varia tra -1 ed 1 nello spostarsi della curva dalla massima asimmetria de sinistrorsa alla massima asimmetriadestrorsa. Osserva Zanardi: “.. se la concentrazione è elevata la curva non può mutare molto la sua forma e, quindi,la sua asimmetria non può che essere limitata: per R=1 allora Z si annulla. Quando invece la concentrazione è bassala curva è più libera e si può adeguare a destra o a sinistra a seconda del modo con cui il carattere si distribuisce”.L’indice di Zanardi sembra perciò meglio aderire all’esigenza di affiancare all’indice di Gini un valore specificativodi ciò che succede ai due lati della media divisoria (cfr. Tarsitano, 1988; Gagliani e Tarsitano, 1987; Gagliani, 1992).Il calcolo di Z e degli altri indici di asimmetria richiede la determinazione del punto divisorio (p D,q D).Esempio:Consideriamo la curva di Lorenz1L(p) = 1 − (1 − p) δ con δ =αα − 1Posto L(p d )=1-p d si ottiene δ=Ln(1-p d )/Ln(p d ). Noto il parametro δ, la soluzione necessita di un calcolo iterativo ad esempio con il metodoNewton-Raphson oppure la scansione dell’intervallo (0,1). Per α=2.5 (δ=1.91) ed una partizione dell’intervallo unitario in 100 puntirealizzata con il foglio elettronico si trova 0.61 ≤p d ≤0.62; pertanto, posto p D =0.615 si ottiene Q D =0.385.La conoscenza delle coordinate di D consente di calcolare le aree T Le T U:TTLUpp qDδ + 1D DpDqDδ ⎡⎤∫ Lpdp − pD− ( − pD) −2 2 + 1⎢⎣1 δ 1 ⎥0δ⎦pDq1 δ + 1D 2pDqD⎡ δ⎤qD∫ L p dp= −⎢q − ( − p ) q2 p2 ⎣ δ + 1 1 δ⎥⎦+= − ( ) == + − ( )D2D D DEsempio:Per la curva dell’esempio precedente abbiamo: T L =0.0153 e T U = 0.0472 ed ecco i valori per i vari indici di asimmetria (per lo Zanardiserve anche ricordare che, per questa curva, R=(δ-1)/(δ+1).( ) +TGiurovich U 0.0472'⎡Panizzon A Ln p D − Q D / 4 T U ⎤: = = 3. 085; : R = 0.91024 ⎢⎥ . ;TL.⎣⎢( pD − QD) / + TL⎦⎥ = 0 2140 01534' ⎛ T TPatimo : A U − L⎞. .D = ⎜ ⎟ .⎝ pDQD⎠= 2( 0 0472 − 0 0153) 2=( TU− TL) ( 0. 0472 − 0.0153) 0 270; Zanardi : Z = = = 0.3600. 615 * 0.385R0.354844Tutti gli indici segnalano l’asimmetria sinistrorsa della curva di concentrazione.Ipotizziamo che della curva siano noti solo le coordinate (p i,q i) per i =1,2,…,k. L’individuazione del puntodivisorio richiede la localizzazione del tratto di spezzata che interseca il polo di simmetria.p , q tali che p + q = Max p,q p + q ≤1m m m m1≤i≤k{ i i i i }

427Il segmento che passa per i punti (p m, q m) e (p m+1,q m+1) incrocerà ilpolo di simmetria nel punto di coordinate:µ ⎡pD= − qm+ µ ⎤P q pµ+µ⎢1 m ⎣ µ⎥ ; = 1−⎦mm D Dovviamente: p D≥0.5. Per trovare T Le T Uusiamo la regola deitrapezi:TTLUpDqD1 ⎡m= − ∑( p − p )( q + q )+( p − p ) q + q⎣⎢−1 −12 2 i=1( )i i i i D m D mpDqD1 ⎧ k⎡⎤= − ⎨ ∑( − pi − pi )( qi − qi)p p q q⎣⎢2i m⎦⎥ + ( − − ) − 1 + 1 22 2 ⎩−= + 1m D D mL’approssimazione migliora all’aumentare del numero di punti, ma se i punti sono acquisiti in modo sbilanciatoper i vari tratti della curva (ad esempio più per le prime o per le ultime classi) le misure di asimmetria potrebberorisultare distorte.⎤⎦⎥( )⎫⎬⎭Esempio:Riprendiamo alcuni dati del censimento generale dell’agricoltura del 1961 già utilizzati da Patimo (1977) per le aziende agricole in affittoin zona “pianura”.Classi Aziende Superf. p q p + qi i i i Trapezi500 19 14'947 1.0000 1.0000 0.0002189'241 1'206'421 0.273810.80.60.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1m = 6; p6 = 0. 752, Q m = 0. 1781; p m = 0. 752, p D = 0. 7876, Q D = 0. 2124; R = 0.7262T L = 0. 0378; T U = 0.0377Giurovich : T L T U = 1. 0029; Panizzon : A'R = − 0. 0005; Patimo : A'D = − 0. 0013; Zanardi : Z = −0.0006La curva risulta simmetrica anche se appare leggermente destrorsa e quindi i valori dovrebbero essere negativi. Tuttavia, l’elevataconcentrazione rende incerte le valutazioni sul segno della asimmetria.b) Per i dati di Soltow (1965) già utilizzati per illustrare la lunghezza della spezzata di concentrazione si riscontrano le combinazioni(Gini, Zanardi): L 1875 (0.261,0.081) e L 1960 (0.272, -0.078) cosicché la curva di Lorenz si è allontanata dalla retta di equidistribuzioneed ha anche cambiato asimmetria.Esercizio_AE116: redditi in dollari. Australia 1966-67.Classi f i µ i