Modello analitico per lo studio della propagazione di fasci laser ...

yxp‡wovu{nno¨ ¦¡¥©§¡¤¤© ¡¥£¦©¤§¤¥¨ ¡!¨§© ©©©¥£¦ ¢ ©¢¡¤£¦¥¨§©§¡¦¦§¨Rossella ZoliDipartimento di Elettronica, Informatica e Sistemistica, Università di BolognaViale Risorgimento 2, I 40136 Bologna, Italyrzoli@deis.unibo.it"#$ % & ')( %*,+,-.¤/0 /1 2/ 2 1 . 1 3)4.50)30)3)0)674-8 0)6¤9¦:);)1 6¤4:1 < 0)6=>0)41@?):)4+4+)1@6:)3 A-4=>;,-3)0)6¤0)3);4+)142 0)3>. < 1 2 . 0)6©-3)41 3>. -475;,-. 42 -?,=>4-:)3>.¤:BC?)1 0)9.¤1 9-441 ;D? 7560>. 1 2¤;,-:);)1 . E B>:)8 = . 1 ;D? 750F4+,-361 3>.C0)3);;,-BB 2 0)8 41 ;? 708 -2 8 =>60>2C0 /1 2 4= 2 1D:B0>2 ?,-42 0>27¢2 0);,-= . G¦*,+,-.C9¦:);)1 6+):)6;>.B>:>2. 7,. 41 9.C8 +)0>2 0)8 41 2 -H 1 ;@? 70>2 ?,-42 0>27¢I2 1 . 3)1 6¦3,=>9¦?)1 2 . E-G1 G-38 :)3);,-4-:)3>.J2 0)3 A-3 A¤B 2 :)9. 42 :)3 A@4:FK1 0)LC;,-BB 2 0)8 4-:)3)GMN /1 2 -9¦1 3)40)6©2 1 . =>64.O0>2 1C0)6. :F. =>8 8 1 . .B)=>667@8 :)9/0>2 1 ;FK¦-4+:>2 1 4-8 0)6,:)3)1 .©8 :)3B)-2 9-3 A!4+)1< -0)?,-6-47!:B4+)1¨0 /)/ 2 :)0)8 +¤-3¤0)3 7!;,-BB 2 0)8 4-:)3¦2 1 A-9¦1 G4+)1ST©UV¤W¦X¦Y©R VSZ P>QRLo studio della propagazione di fasci laser è importante in molte applicazioni, comead esempio la progettazione di sistemi ottici complessi od il telerilevamento. I primistudi sul tema risalgono ai primi anni ’80, quando Born e Wolf risolvono analiticamentel’integrale di Fresnel, calcolando la distribuzione dell’intensità, nella regione focale, diun’onda piana uniforme focalizzata da una lente e diffratta da un’iride circolare [1].Successivamente il modello è stato esteso considerando un fascio gaussianocircolare [2-5] e giungendo ad espressioni analitiche dell’intensità del fascio sull’asselongitudinale. Questi risultati possono non bastare in molte applicazioni, quali, adesempio, i lettori di codici a barre. In questo caso, infatti, solo conoscendo l’andamentotrasversale completo dell’intensità si possono prevedere e risolvere i problemi di lettura,derivanti dalla defocalizzazione del fascio o dalla sua forma ellittica.Lo scopo di questo lavoro è quello di estendere la formulazione analitica utilizzatain [3-5], per descrivere le caratteristiche trasversali di un fascio laser focalizzato ediaframmato, considerando anche proprietà del diodo laser quali l’astigmatismo e ladivergenza, non previste nei modelli fin qui citati.I sistemi di coordinate utilizzati sono schematizzati nella figura 1. Sul piano ( η)e¦^ [\]¢^¤_¦`¨a©a^b¨`¨^¤c¦d, ξfdove si trova l’iride di g raggio , il campo incidente è supposto gaussiano circolare efocalizzato h in . i Se è la superficie dell’apertura, il j campo in un generico k puntovale:( )= −λ∫∫⎛ ⎜ −⎝[ ]l>m ( )−{ ρ ⎞⎟⎠r s t r s t p>q{ z| dove è il fattore di } ampiezza, ~€)~ ‚ƒ „ lo del … fascio, il raggio di curvatura delfascio prima dell’apertura,ˆ= λ il numero d’onda e ρ la coordinata radialeπ†normalizzata rispetto al raggio dell’apertura. La presenza dell’apertura causa il‰>Š)‹ Œ)Ž ,‰>‘ cosiddetto , cioè uno spostamento verso la fenditura stessa della sezione difocalizzazione rispetto al caso di assenza della fenditura stessa [5]. Nell’ipotesi chesiano valide le approssimazioni di Fresnel, si può estendere l’approccio utilizzato in [1],risolvendo l’integrale (1) tramite serie di Lommel. Si ottiene così l’espressione del(1)

¢¡»ºÐ ËÛ Ø Ô © A¨ß×ÿ¥Ö©: > 8 @C ?ϨÊΩ! &6¤²Ç È Á É ÆÌ Í Ê©% , 5 1 -+¤¨¤¨Õ©8BŤÛצ §£BÄ£Õ¤ §£7ÚÂÕ(§ÁÃÙ¤Bզؤ §¤¤×½7Ö0 Á(N¦¤£!,1½ãÀ¾½å í é æ ä(¨¦¤¤G K E M OL©0)£½ ½©0¤(¦¢¤*/GF¡¥¨(OE¨Òž¤â).O(-œé嚟œ¦ §£D,â¤èDOQâ­ç§¬â˜¤P«æ¦å—ä–” •– •campo elettrico ’ in e daquest’ultimo si ricava l’intensitàtrasversale, per un fascioincidente gaussiano circolarefocalizzato e diaframmato. A talescopo, conviene individuare il“ punto tramite due variabili”adimensionali = π+›e = π ed introdurre+il numero di Fresnel= TVU λWXZY , []\_^il§©¨parametro ditroncamento α° )ªSchema di riferimento= ( ed ilcoefficiente δ = .Seguendo il procedimento utilizzato in [1,3-5],® α¯conviene risolvere l’integrale (1)µseparatamente, per < (regione focale) e > ±(regione d’ombra).¹ ¼Per < si trova:essendo ( )Êπ[ ]⎟Å ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ − ⎟ ⎜ +π ⎠ ⎝ ⎠À⎝¿= λ l’intensità nel fuoco geometrico Ñ (= = ), eÓ(2)³ ´· ¸ï conPer⎛⎜⎝⎞⎟⎠⎛ ⎞⎜ ⎟îα .⎝ ⎠( ) ∑ ∞ −àα ⋅, ( ) ∑ ∞ − ⋅==Ô Ü Ý Þ== ò , = o, õ se> , si ha:ð ñó ôá ê ë ì== + δ .≥ ÷ ÷ ø ÷ ø ù ù ú: = δ−−−û û ü û ü ý þ ý,−−ö⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧= ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ + + + +⎝ π ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ⎛⎞⎤ + ⎢£⎜ +⎟⎥⎢ ⎜⎟⎥⎣ ⎝ δ + ⎠⎦⎣ ⎝ δ + ⎠⎦essendo⎡ ⎛⎞⎤⎪⎫[ − ] + ⎜ + ⎟ [ + ] ⎬ ⎪⎭∑ ∞ ++ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞α ⎜ ⎟ ⎜ ⎟,+=δ +( − ) ⋅ ( − )" # $== ') +2 3 4; < =H I J( ) ∑ ∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−α⋅ ( − ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠ ⎝ δ + ⎠+⎛ δ ⎞ δ⎛ δ ⎞:=⎜−⎟ , 9D=⎝ δ + ⎠ δ +⎜−⎟ .⎝ δ + ⎠ δ +Queste formule si semplificano ad esempio nel fuoco geometrico ( = ) , dove la(2) si riduce alla formula di Airy [1] o lungo R Sl’asse longitudinale, dove, ponendo =nella (3), si ritrova l’andamento dell’intensità longitudinale già ricavato da Li [5].⎝⎠⎝⎠+(3)

ž¡¦©Il modello matematico sviluppato si riferisce, come detto, ad un fascio con unasimmetria circolare e non vale quindi per un fascio a simmetria ellittica. In tal caso, lavalutazione analitica dell’espressione del campo diventa estremamente complicata.Spesso, però, è sufficiente conoscere solo la distribuzione dell’intensità lungo le dueprincipali direzioni trasversali, ovvero lungo gli assi ` e a di figura 1. Ipotizzando quindilecita la separazione delle variabili, si può spezzare il problema in due parti, applicandoindipendentemente il procedimento sui piani b c d e f e g h_i j k , assumendo la dimensionemaggiore dello strato attivo di un diodo laser parallela all’asse l . Le formule fin quitrovate vanno riscritte con pedici m o n , a seconda della direzione di propagazioneanalizzataowrxvy{z{|}z{u{wr~V€svu prqtsvu ‚{ƒ}z„|}y€uPer verificare sperimentalmente il modello si è utilizzato†‡‰ˆun diodo lasercommerciale, ( λ = ), un sistema ottico anastigmatico conŠ ‹‰Œ ‰Ž‰vlunghezza focale …v…die diaframmi circolari opportuni. Con una telecamera a CCD si è misuratal’intensità del fascio laser in differenti posizioni longitudinali. I dati sperimentaliriportati nel seguito sono stati ottenuti in un sistema caratterizzato da raggi di curvatura‘‰’‰“ ›–œ”–•ž ˜_‰šŸ‰= , = e waist v¢t£¦ §r¨¤ pari a ¥v¥ª¬«­ = , = . —v—I risultativteorici sono stati confrontati con quelli sperimentali in condizioni variabili dalla debolealla forte diffrazione e l’accordo è sempre stato ottimo, come mostrato, ad esempio, inuna situazione di forte diffrazione (®Z¯±° ² ³µ´v´ ), dalle figure 2 e 3 che riportanol’andamento trasversale dell’intensità a distanze di ·r¸ ¹v¹ (minimo assialedell’intensità) e º‰»r¼ ½v½ (fascio focalizzato) dal piano della lente. Nella parte (a) si vedeil ¾ ¿‰À‰Á ¿_ ÄĄŠ¿‰Á del fascio, acquisito dalla telecamera. Nelle parti (b) e (c) delle figuresono riportate le intensità del campo, rispettivamente lungo gli assi Æ e Ç , misurate (lineatratteggiata) e simulate (linea continua). Ogni grafico è normalizzato rispetto al suomassimo.Ì}Í}ÓÈ_ÉËÊvÌ}ÍÎÊÐÏ€Ñ}ÒrÓE’ stato elaborato e confermato sperimentalmente un modello analitico per valutarela distribuzione trasversale dell’intensità di un fascio laser focalizzato e diaframmatoconsiderando anche l’astigmatismo e la divergenza dei diodi utilizzati come sorgenti.Tale modello generalizza quello di Li, capace però di valutare solo le caratteristichelongitudinali di un fascio gaussiano circolare focalizzato e diaframmato [3-5].Questi risultati si sono dimostrati utili per la progettazione di lettori di codici abarre, ma è ragionevole pensare che possano trovare applicazione in altri casi nei qualisia richiesta la conoscenza delle caratteristiche di propagazione di un fascio laser.ÖÎ×}ÔvØ}Ù{Õ ØÎÚ‚Û„Ö}Ü€ÕÔvÕL’autrice ringrazia DataLogic SpA per il supporto economico, gli ing. G. Oliva e R.Zocca della DataLogic ed i prof. P. Bassi e G. Tartarini del DEIS per le utili discussioni.Ý€ß{Þ ã à]á}âÐã}äVÞ Ý€Þè‰é çê„ë ì ïÎðrê„ñ é ç í{î í å±æ çõ þ–÷ ö€÷ ú‰øö ø–ùú‰û ó‰ü‰ý ò}ó‰ô õÿ¢¡£¥¤1. M. Born, E. Wolf, , Pergamon, Oxford, 1980.2. J. J. Stamnes, , Institute of Physics Publishing, 1986.3. E. Wolf, Y.Li, J. Opt. Soc. Am. A , 801-808 (1984).4. Y. Li, F. T. S. Yu, Optics Communications , 1-7 (1989).5. Y. Li, Optical Engineering , 774-780 (1993).

(a)(a)(b)(b)(c)(c)¦ § ¨ © Caso di forte diffrazione= > ? @ A B C DCaso di forte diffrazione ) a . ! " # : $ %¥&¥' %( )(+% ' rilevato dalla telecamera a CCD (1*=,¢-¢. -¢/ µ021 pixel ; risultati sperimentali(linea tratteggiata) e teorici (lineacontinua): 354 67 sezione , 8:9 ; < sezione .H IJJ ) a KLM¥NOPP . Q R S : T U¥V¥W UX Y(EFG[U W rilevato dalla telecamera a CCD (1Z=\¢]¢^ ]¢_ µ`2a pixel ; risultati sperimentali(linea tratteggiata) e teorici (lineacontinua): b5c de sezione , f:g h i sezione .