Dinamica dell'impatto - Scuola di Dottorato in Ingegneria - Università ...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CASSINOFACOLTÀ DI INGEGNERIATESI DI DOTTORATO IN INGEGNERIA CIVILE E MECCANICADINAMICA DELL’IMPATTO: INTERPRETAZIONE,MODELLAZIONE E SIMULAZIONE NUMERICA DELCOMPORTAMENTO MECCANICO DEI METALLIAndrew Ruggiero

Università Degli Studi di CassinoFacoltà di IngegneriaAndrew RuggieroDinamica dell’impatto: interpretazione,modellazione e simulazione numericadel comportamento meccanico dei metalliTesi di Dottorato inIngegneria Civile e MeccanicaXVIII cicloCoordinatore del corso:Prof. Elio SaccoRelatore:Prof. Nicola Bonora

Indice GeneraleSOMMARIO.............................................................................................................................................. 4BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................................... 9INDICE DELLE FIGURE...................................................................................................................... 10INDICE DELLE TABELLE................................................................................................................... 141 INTRODUZIONE .......................................................................................................................... 152 ONDE DI SOLLECITAZIONE NEI SOLIDI............................................................................. 162.1 INTRODUZIONE ........................................................................................................................ 162.2 EQUAZIONE DELLE ONDE......................................................................................................... 172.2.1 Tensione generata dall’impatto ......................................................................................... 182.2.2 Riflessione di onde elastiche alle interfacce ...................................................................... 192.2.3 Riflessione e trasmissione di onde elastiche in una discontinuità meccanica.................... 232.2.4 Tensione uniassiale............................................................................................................ 242.2.5 Deformazione uniassiale.................................................................................................... 27BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 333 MODELLAZIONE COSTITUTIVA............................................................................................ 343.1 INTRODUZIONE ........................................................................................................................ 343.2 MODELLI STRAIN RATE SENSITIVE........................................................................................... 343.2.1 Modelli di resistenza formulati su basi fisiche................................................................... 363.2.2 Modelli di resistenza fenomenologici................................................................................. 383.2.3 Modello di resistenza di Johnson e Cook........................................................................... 383.3 MODELLI DI DANNEGGIAMENTO DUTTILE NEI METALLI .......................................................... 393.3.1 Modello di danno duttile non lineare................................................................................. 43BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 464 STRUMENTI DI SIMULAZIONE NUMERICA PER L’ANALISI DEI FENOMENIDINAMICI ............................................................................................................................................... 484.1 INTRODUZIONE ........................................................................................................................ 484.2 ANALISI DINAMICA IN MSC.MARC ......................................................................................... 494.2.2 Houbolt Operator............................................................................................................... 524.2.3 Central Difference Operator.............................................................................................. 524.2.4 Damping............................................................................................................................. 534.3 ANALISI DINAMICA IN AUTODYN............................................................................................. 544.3.1 Metodo d’integrazione esplicito......................................................................................... 554.3.2 Viscosità artificiale ............................................................................................................ 562

4.4 IMPLEMENTAZIONE NUMERICA DEL MODELLO DI DANNO NON LINEARE .................................. 57BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 595 TAYLOR TEST ............................................................................................................................. 605.1 ANALISI TEORICA DEL TEST DI TAYLOR................................................................................... 605.2 SIMULAZIONE NUMERICA DEL TAYLOR TEST........................................................................... 625.3 ANALISI CRITICA DEI MECCANISMI DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE DURANTE IL TEST DITAYLOR. ................................................................................................................................................ 695.4 ANALISI NUMERICA DEI MECCANISMI DI DANNEGGIAMENTO................................................... 725.4.1 Effetto della dimensione del grano .................................................................................... 75BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 786 HOPKINSON BAR........................................................................................................................ 806.1 PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO................................................................................................ 806.2 SIMULAZIONE NUMERICA DELLA HOPKINSON BAR.................................................................. 836.2.1 Prova di compressione....................................................................................................... 836.2.2 Prova di trazione................................................................................................................ 906.3 CONCLUSIONI ........................................................................................................................ 104BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................................... 1057 FLYER PLATE IMPACT TEST................................................................................................ 1067.1 SIMULAZIONE NUMERICA DEL FLYER PLATE IMPACT TEST................................................... 1097.2 ANALISI DELLO “SPALL SIGNAL” .......................................................................................... 1137.2.1 Modello numerico ............................................................................................................ 1157.3 EFFETTI GEOMETRICI SUL PROCESSO DI FRATTURA PER SPALLING......................................... 1177.4 RE-SHOCK EXPERIMENT......................................................................................................... 1237.4.1 Fenomenologia del re-shock............................................................................................ 125BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................................... 1328 CONCLUSIONI ........................................................................................................................... 1333

SommarioNel presente lavoro di tesi si è analizzata la risposta meccanica dei metalli in condizionid’impatto veloce. A tale scopo, si sono utilizzati gli strumenti della simulazionenumerica per analizzare tre configurazioni sperimentali largamente diffuse per lacaratterizzazione della risposta meccanica dei materiali in regime dinamico: il TaylorTest, la Hopkinson Bar e il Flyer Plate Impact Test.Ad oggi, il limite maggiore nell’utilizzo dei codici numerici come strumenti diprevisione del comportamento dei componenti meccanici in condizione d’impattoveloce è dato dalla scarsa disponibilità di modelli costitutivi in grado di descrivere ilcomportamento dei materiali in regime dinamico. Tali modelli devono essere in gradodi tenere in conto gli effetti, sulla resistenza del materiale, della deformazione, dellavelocità di deformazione, della temperatura, del danneggiamento e, per impattiiperveloci, della pressione idrostatica. Nel presente lavoro si sono utilizzati due modelliindipendenti per trattare in modo disaccoppiato gli effetti dovuti ai parametri citati. Glieffetti della deformazione, della velocità di deformazione e della temperatura sullaresistenza del materiale sono stati descritti con il modello fenomenologico di Johnson eCook, [1], mentre gli effetti del danneggiamento sono stati descritti con un modello didanno non lineare per rottura duttile nei metalli, [2]. Il modello costitutivo cosìcomposto è stato implementato nei codici commerciali, MSC.Marc e Autodyn, utilizzatiper le simulazioni numeriche.Il Taylor Test, [3], consiste nel far impattare, a velocità nota, un provino di formacilindrica contro una parete rigida. Il valore della tensione di snervamento in regimedinamico è correlato, attraverso una semplice analisi monodimensionale, alla velocitàd’impatto e alla deformata del provino. Nel corso degli anni molti lavori hanno avutocome obiettivo quello di superare alcune delle limitazioni date dalle ipotesi, di seguitoelencate, alla base della teoria di Taylor: la propagazione delle onde all’interno del cilindro sia monodimensionale; il materiale abbia un comportamento rigido perfettamente plastico edindipendente dalla velocità di deformazione, σ=σ(ε); il flusso plastico sia incompressibile;4

la deformazione elastica sia trascurabile.Nel 1954, Lee e Tupper, [4], presentarono una modifica alla formulazione di Taylor pertenere includere nell’analisi la deformazione elastica. Raftopoulos e Davis, [5],inclusero la deformazione elastica e l’incrudimento. Jones et al. [6], proposero unanuova equazione del moto per la parte indeformata del provino. Nel 1981, Erlich et al.[7], proposero una tecnica alternativa, denominata “Rod on Rod” (ROR), in cuil’impatto avviene tra due cilindri di medesimo materiale e uguale diametro, in modo daeliminare le incertezze derivanti dalla mancata conoscenza delle condizioni di attritodelle superfici a contatto.Il punto più critico di tale approccio, comunque, sta nel fatto che la condizione diunidimensionalità dello stato di sforzo non è verificata. È infatti notorio che le onde dirilascio, che dal bordo della superficie d’impatto propagano radialmente, sisovrappongono in prossimità dell’asse di simmetria, dando luogo ad un’onda ditensione.L’analisi del test, per mezzo degli strumenti della simulazione numerica e del modellocostitutivo implementato, ha portato all’individuazione di due diversi modi in cui imeccanismi di danneggiamento duttile possono aver luogo. Per valori elevati delladeformazione di soglia il danno è causato da grandi deformazioni plastiche, in stato dibassa triassialità dello stato di sforzo, che avvengono in prossimità della zona dicontatto, tardi nel processo di deformazione. Per valori della soglia di deformazionerelativamente basse il danno, al contrario, si sviluppa con un basso livello dideformazione plastica, ad elevata triassialità dello stato di sforzo, nelle prime fasi delprocesso di deformazioneSi è inoltre individuata una relazione tra il valore della deformazione di soglia, che èuno dei parametri del modello di danno, e la dimensione media del grano.La Hopkinson Bar è, ad oggi, la tecnica sperimentale più utilizzata per lacaratterizzazione della risposta meccanica del materiale in regimi di velocità dideformazione che vanno da 10 2 a 10 4 s -1 . Anche per questa tecnica l’ipotesifondamentale è che lo stato di sforzo possa essere assunto uniassiale.Nel presente lavoro si è verificato che tale ipotesi può essere considerata vera sia per laclassica configurazione a compressione della Split Hopkinson Pressure bar, sia per una5

configurazione alternativa, proposta da Staab e Gilat, che permette di effettuare la provadirettamente in trazione. Si è verificato, inoltre, che con un’attenta progettazione dellaprova, ovvero della determinazione della geometria del provino in relazione allageometria delle barre e alle impedenze meccaniche dei materiali utilizzati, ladeformazione e la velocità di deformazione possono essere ritenute, con buonaapprossimazione, uniformi all’interno del provino. Questo è di importanza rilevante, inquanto, permette di accettare i risultati ottenuti con questa tecnica sperimentale comeidentificativi del comportamento meccanico del materiale in regime dinamico.Si è verificato inoltre che i limiti maggiori in tale tecnica sperimentale sono dati dalladifficoltà di mantenere costante, durante l’intera durata della prova, la velocità dideformazione. In particolare si è osservato come nella prova di compressione la velocitàdi deformazione decresce a causa dell’aumento di sezione per effetto Poisson. Nellaprova a trazione, al contrario, è proprio l’effetto di strizione a consentire ilmantenimento di un’elevata velocità di deformazione ad un valore pressoché costante.A valle di tali verifiche si è provveduto alla progettazione e realizzazione di una barra diHopkinson a trazione in grado di caratterizzare il comportamento meccanico in regimedinamico di materiali metallici quali il rame, gli acciai, alcune leghe di nichel, quali ilwaspaloy etc.La terza configurazione analizzata è quella del Flyer Plate Impact Test, che è l’unicatecnica sperimentale che permette la caratterizzazione meccanica dei materiali pervelocità di deformazione superiori a 10 4 s -1 .La tecnica consiste nel realizzare un impatto planare, a velocità nota, tra due dischisottili. Un rapporto elevato tra il diametro dei dischi e il loro spessore (D/h>10)garantisce uno stato di deformazione uniassiale in prossimità dell’asse di simmetria deidischi. È importante sottolineare che, diversamente dalle configurazioniprecedentemente illustrate nelle quali si cercava, con maggiore o minore successo, direalizzare uno stato sforzo che potesse essere assunto con buona approssimazioneunidimensionale, nel Flyer Plate Impact Test si verifica, a tutti gli effetti, uno stato dideformazione unidimensionale.Per tale tecnica, quindi, è disponibile, in forma esatta, una trattazione teorica che puòessere utilizzata per la verifica ed il confronto con i risultati numerici.6

Tale test è largamente utilizzato anche per il particolare tipo di rottura che è in grado diprodurre nel disco bersaglio. La rottura, denominata spalling, avviene per una trazionelocalizzata provocata dalla sovrapposizione dell’onda riflessa dalla superficie libera deltarget e della sopraggiungente onda di rilascio.Nell’esperimento, la misura avviene mediante la rilevazione, ad esempio attraversotecniche d’interferometria laser, del profilo di velocità di un punto situato sullasuperficie posteriore del disco bersaglio. La lettura del profilo permette di ricavare tuttele informazioni necessarie ad identificare il comportamento meccanico del materiale.Nel presente lavoro si è, dapprima, verificato che il modello numerico realizzatoriuscisse a riprodurre tutte le caratteristiche chiave dell’esperimento quali: i tempi diarrivo del precursore elastico e dell’onda plastica sulla superficie libera del bersaglio;l’intensità e la durata del plateau di massima velocità; i tempi di arrivo delle onde dirilascio, elastica e plastica; l’arrivo dell’onda generata dalla creazione della superficielibera dovuta alla rottura per spall. Si è poi passati all’analisi e all’interpretazione deifenomeni di deformazione e rottura del processo d’impatto che ha permesso diraggiungere i seguenti risultati.Si è identificato un processo di dissipazione nel meccanismo di separazione dellesuperfici di rottura che porta ad una discordanza tra lo “spall signal” calcolato e quellomisurato sperimentalmente.Si è effettuato uno studio parametrico degli effetti geometrici associati al processo dirottura per spall, in impatti planari. Tale studio ha permesso di individuare un criteriogeometrico per la valutazione delle condizioni di spalling e per la determinazione dellaposizione di primo innesco.Si è infine analizzata una configurazione sperimentale che consiste nel posizionare sullaparte posteriore del disco proiettile, un disco di maggiore impedenza meccanica. In talemodo, al posto dell’onda di rilascio, si genera un’onda di compressione chesovrapponendosi all’onda di compressione generata dall’impatto, porta al fenomeno delre-shock.Secondo la teoria delle onde di sforzo, la risposta di un materiale elasto-plastico, al reshockdovrebbe essere interamente plastica, poiché lo stato del materiale si dovrebbetrovare sulla superficie di snervamento. Dagli esperimenti si osserva invece la presenza7

di un gradino che precede l’arrivo del ricaricamento plastico, comunementericonosciuto come un inaspettato precursore plastico. Le interpretazioni del fenomenopresentate in letteratura sono tutte basate sull’ipotesi che meccanismi fisici, che hannoluogo alla micro o meso scala, portano lo stato del materiale all’interno della superficiedi snervamento.In questo lavoro si è data un’interpretazione alternativa del fenomeno, basata suconsiderazioni alla macroscala, capace di giustificare la presenza del gradino e didimostrare che non è un precursore elastico. Tale interpretazione, inoltre, chiarisceanche la ragione per cui la ricompressione ed il corrispondente rilascio non debbanoessere, come dimostrato dagli esperimenti, sincroni.8

Bibliografia[1] Johnson, G. R. and Cook, W. H., A constitutive model and data for metalssubjected to large strains, high strain rates and high temperatures, Proc. 7° Int.Symp. On Ballistics, pp. 541-547, Netherlands, 1983.[2] Bonora, N., (1997), Int. J. of Fracture, 88, 359-371.[3] Taylor, G. I., “The use of flat ended projectiles for determining dynamic yieldstress: 1. Theoretical considerations” in Proc. R. Soc. Lond. Ser. A., vol 194, pp.289-300, 1948.[4] Lee, E., and Tupper, J. Appl. Mech., 63-70 (1954).[5] Raftopoulos, D., and Davids, N., AIAA J. 5, 2254 (1967).[6] Jones, S. E., Gillis, P. P., and Foster, J. C., Jr., J. of Appl. Phys. 61, 499-502(1987).[7] Erlich, D. C., Shockey, D. A., and Seaman, L., “Symmetric Rod ImpactTechnique for Dynamic Yield Determination”, in Shock Waves in CondensedMatter-1981, AIP Conference Proceedings 78, Menlo Park, CA, 1981, pp. 402-406.9

Indice delle FigureFIGURA 2.1 - FORZE AGENTI SULL’ELEMENTO DI MASSA, [5]...................................................................... 17FIGURA 2.2 – SCHEMA DI UN CORPO RIGIDO CHE IMPATTA UN CILINDRO A VELOCITÀ v0, [5].................... 19FIGURA 2.3 – RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE LIBERA. .............................. 20FIGURA 2.4 – RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE LIBERA ORTOGONALE ALLADIREZIONE DI PROPAGAZIONE DELL’ONDA, [1].................................................................................. 20FIGURA 2.5 – RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE FISSA ORTOGONALE ALLADIREZIONE DI PROPAGAZIONE DELL’ONDA, [1].................................................................................. 22FIGURA 2.6 – RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DI UN’ONDA AD UNA DISCONTINUITÀ MECCANICA. ............... 23FIGURA 2.7 – CURVA TENSIONE DEFORMAZIONE E PROFILI D’ONDA PER UN MATERIALE BILINEARE. ......... 25FIGURA 2.8 – CURVA TENSIONE DEFORMAZIONE E PROFILO D’ONDA PER UN MATERIALE ELASTO-PLASTICO,SECONDO LA “RATE INDEPENDENT THEORY”. ................................................................................... 26FIGURA 2.9 – CURVA SFORZO-DEFORMAZIONE PER I MATERIALI ELASTICO PERFETTAMENTE PLASTICO EDELASTICO CON INCRUDIMENTO LINEARE, IN CASO DI STATO DI SFORZO UNIASSIALE OVVERO DIDEFORMAZIONE UNIASSIALE, [1]....................................................................................................... 29FIGURA 2.10 – CURVA SFORZO-DEFORMAZIONE IN STATO DI DEFORMAZIONE UNIASSIALE, PER VALORIDELLA PRESSIONE ESTREMAMENTE ELEVATI, [5]. ............................................................................. 31FIGURA 3.1 – EFFETTO DELLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE SULL’ALLUMINIO COMMERCIALE CARICATO ATAGLIO.............................................................................................................................................. 35FIGURA 3.2 - EFFETTO DELLA TEMPERATURA SUL TITANIO α..................................................................... 35FIGURA 3.3 - VARIAZIONE DEL VALORE DELLO SNERVAMENTO DI UN ACCIAIO BASSO LEGATO CON LAVELOCITÀ DI DEFORMAZIONE E LA TEMPERATURA............................................................................ 37FIGURA 3.4 - RIDUZIONE DELLA DUTTILITÀ AL CRESCERE DELLA TRIASSIALITÀ DELLO STATO DI SFORZOPER L'ACIAIO SA537, [14]................................................................................................................. 41FIGURA 3.5 - EVOLUZIONE DEL DANNO, NORMALIZZATO RISPETTO AL DANNO CRITICO, IN FUNZIONE DELLADEFORMAZIONE PLASTICA, PER DIVERSI TIPI DI METALLI. ................................................................. 44FIGURA 4.1 – DISTORSIONE DI UNA MESH LAGRANGIANA, [3]. ................................................................... 55FIGURA 4.2 – TIPICA PROCEDURA DI “REZONING”, [3]................................................................................ 55FIGURA 4.3 - SCHEMA LOGICO PER IL CALCOLO NUMERICO DELLA VARIABILE DI DANNO. LA PROCEDURAINIZIA ALLA FINE DI OGNI INCREMENTO, QUANDO SONO GIÀ STATE CALCOLATE TUTTE LE VARIABILIGLOBALI E ED È RIPETUTA PER OGNI PUNTO DI GAUSS DI OGNI ELEMENTO ATTIVO............................ 58FIGURA 5.1 - SCHEMATIZZAZIONE DEL CILINDRO DI TAYLOR: (A) DURANTE LA DEFORMAZIONE; (B) ALTERMINE DELLA DEFORMAZIONE. ..................................................................................................... 60FIGURA 5.2 - DETTAGLIO DELLA MESH NELLA ZONA D'IMPATTO, PER IL RAME OFHC. .............................. 63FIGURA 5.3 - ELEMENTO SEMINFINITO USATO NELLA MODELLAZIONE DELL'INCUDINE. ............................. 64FIGURA 5.4 - PROFILO DELA DEFORMATA PER IL RAME OFHC (L 0 =25,4MM; V 0 =190M/S) OTTENUTAn*σ = A+ Bε 1 + C*ln ε . .............................................................................. 66ASSUMENDO ( )( )10

FIGURA 5.5- PROFILO DELLA DEFORMATA PER IL FERRO ARMCO (L0=12,6MM; V0=279M/S) OTTENUTAn*σ = A+ Bε 1 + C*ln ε . .............................................................................. 66ASSUMENDO ( )( )FIGURA 5.6 - PROFILO DELLA DEFORMATA PER L’ACCIAIO (L 0 =8,1MM; V 0 =343M/S) OTTENUTA ASSUMENDOn*( A B )( 1 C*ln)σ = + ε + ε . ................................................................................................... 67FIGURA 5.7 - PROFILO DELLA DEFORMATA PER IL RAME OFHC (L 0 =25,4MM; V 0 =190M/S) OTTENUTAn* * mASSUMENDO σ = ( A+ Bε )( 1 + C*lnε)( 1−T) . ............................................................. 67FIGURA 5.8 - PROFILO DELLA DEFORMATA PER IL FERRO ARMCO (L 0 =12,6MM; V 0 =279M/S) OTTENUTAn* * mASSUMENDO σ = ( A+ Bε )( 1 + C*lnε)( 1−T) . ............................................................. 68FIGURA 5.9 - PROFILO DELLA DEFORMATA PER L’ACCIAIO (L 0 =8,1MM; V 0 =343M/S) OTTENUTA ASSUMENDOn( )( 1 *ln * *)( 1 mA B C T )σ = + ε + ε − ................................................................................... 68FIGURE 5.10 A, B, C E D - GENERAZIONE, PROPAGAZIONE E SOVRAPPOSIZIONE DELLE ONDE DI PRESSIONE INUN ROR TEST A DIVERSI ISTANTI DI TEMPO DURANTE IL PROCESSO DI DEFORMAZIONE. ................... 71FIGURA 5.11 - MAPPA DI DANNO PER IL RAME OFHC (L 0 =25,4MM; V 0 =190M/S) OTTENUTA ASSUMENDOn*( A B )( 1 C*ln)σ = + ε + ε . ................................................................................................... 73FIGURA 5.12 - DIAGRAMMI TENSIONE DEFORMAZIONE, AL VARIARE DELLA LEGGE COSTITUTIVA, PER UNPUNTO APPARTENENTE ALLA SUPERFICIE DI CONTATTO PER L’IMPATTO DI UN CILINDRO DI FERROARMCO. .......................................................................................................................................... 73FIGURA 5.13 - MAPPA DI DANNO PER IL RAME OFHC (L 0 =25,4MM; V 0 =190M/S) OTTENUTA ASSUMENDOn( )( 1 *ln * *)( 1 mA B C T )σ = + ε + ε − ................................................................................... 74FIGURA 5.14 - DEFORMAZIONE DI SOGLIA IN FUNZIONE DELLA DIMENSIONE MEDIA DEL GRANO. .............. 76FIGURA 5.15 - DEFORMATE E MAPPE DI DANNO CALCOLATE A CONFRONTO CON I RISULTATI SPERIMENTALI........................................................................................................................................................... 77FIGURA 6.1 - SCHEMATIZZAZIONE DELL'APPARATO E DELLA STRUMENTAZIONE DI UNA CONFIGURAZIONECLASSICA DELLA HOPKINSON IN COMPRESSIONE, [1]........................................................................ 80FIGURA 6.2 - SCHEMATIZZAZIONE DEGLI IMPULSI DI DEFORMAZIONE ALLE INTERFACCE BARRE PROVINO[1]..................................................................................................................................................... 81FIGURA 6.3 - SCHEMA DEL SISTEMA DI PROVA DELLA BARRA DI HOPKINSON A COMPRESSIONE SIMULATOAGLI ELEMENTI FINITI. ...................................................................................................................... 83FIGURA 6.4 - PARTICOLARE DELL'INTERFACCIA TRA BARRE E PROVINO NELLA CONFIGURAZIONE NONDEFORMATA INIZIALE. ...................................................................................................................... 84FIGURA 6.5 - ANDAMENTI DELLE TENSIONI DURANTE LA PROVA DI COMPRESSIONE................................... 85FIGURA 6.6 - ANDAMENTI TEMPORALI DEGLI STRAIN RATES PER DIVERSE VELOCITÀ D’IMPATTO. ............. 87FIGURA 6.7 - DIAGRAMMI TENSIONE-DEFORMAZIONE PER LE DIVERSE VELOCITÀ DI CARICO..................... 87FIGURA 6.8 - DISTRIBUZIONE DELLE TENSIONI SULL’ASSE DI SIMMETRIA DELLE BARRE DI PRESSIONE A10µ s DALL’ISTANTE IN CUI È AVVENUTO L’IMPATTO...................................................................... 8811

FIGURA 6.9 –ONDE DI DEFORMAZIONE INCIDENTE E RIFLESSA REGISTRATE SUGLI ESTENSIMETRI DOPOCIRCA 320 ΜS DALL’IMPATTO. .......................................................................................................... 89FIGURA 6.10 – CONFRONTO TRA UN PROVINO CILINDRICO NON DEFORMATO (A) ED I PROFILI FINALIDEFORMATI CON BARRELING (B) E SENZA (C).................................................................................... 90FIGURA 6.11 - SCHEMA FUNZIONALE DL DISPOSITIVO DI STAAB E GILAT................................................... 90FIGURA 6.12 – PARTICOLARE DELLA MESH ADOTTATA PER LA DISCRETIZZAZIONE DEL PROVINO DI RAMEPURO. ................................................................................................................................................ 92FIGURA 6.13 - ANDAMENTI DELLE ONDE DI TENSIONE REGISTRATE DURANTE LE PROVE............................ 93FIGURA 6.14 - ANDAMENTI TEMPORALI DELLE VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE RAGGIUNTE......................... 94FIGURA 6.15 - CURVE TENSIONE-DEFORMAZIONE OTTENUTE PER DIVERSE VELOCITÀ DI CARICO............... 95FIGURA 6.16 - MISURE DEGLI STRAIN RATES EFFETTUATE CON ESTENSIMETRI DI LUNGHEZZA VARIABILE. 96FIGURA 6.17 – DISTRIBUZIONE DEL DANNO SULLA DEFORMATA FINALE DEL PROVINO DOPO LA ROTTURA.96FIGURA 6.18 - SEQUENZA FOTOGRAFICA PER UNA PROVA DI TRAZIONE. .................................................... 98FIGURA 6.19 - MESH ADOTTATA NELLE PROVE CON ARMCO-IRON........................................................... 99FIGURA 6.20 – CONFRONTO TRA IL PROFILO TEORICO E QUELLI NUMERICI DELL’ONDA DI TRAZIONE. ....... 99FIGURA 6.21 - CONFRONTO TRA DATI NUMERICI E SPERIMENTALI DELLA STRIZIONE. .............................. 100FIGURA 6.22 - DEFORMATA FINALE DEL PROVINO DI ARMCO IRON UN ISTANTE DOPO LA ROTTURA......... 101FIGURA 6.23 - CONFRONTO TRA VALORI NUMERICI E SPERIMENTALI DEGLI STRAIN RATES...................... 101FIGURA 6.24 - VARIAZIONE DELLA TEMPERATURA NEL PUNTO PIÙ SOLLECITATO DEL PROVINO. ............. 103FIGURA 6.25 - DISTRIBUZIONI DELLA TEMPERATURA DOPO LA ROTTURA DEL PROVINO........................... 103FIGURA 7.1 – A) DIAGRAMMA LAGRANGIANO CARATTERISTICO DI UN IMPATTO PLANARE SIMMETRICO; B)TIPICO PROFILO DI VELOCITÀ RILEVATO IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST.................................... 107FIGURA 7.2 - ONDA DI STRESS GENERATA IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST A VELOCITÀ MODERATA.... 107FIGURA 7.3 - PROFILO DI UN'ONDA D'URTO............................................................................................... 108FIGURA 7.4 – EFFETTO DELLO SMORZAMENTO NUMERICO SUI RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE......................................................................................................................................................... 110FIGURA 7.5 - CONFRONTO TRA IL PROFILO DI VELOCITÀ OTTENUTO NUMERICAMENTE ED I DATISPERIMENTALI................................................................................................................................. 110FIGURA 7.6 – EVOLUZIONE NEL TEMPO DELLA DISTRIBUZIONE DELLA TRIASSIALITÀ DELLO STATO DISFORZO, LUNGO LO SPESSORE DEL PROVINO. .................................................................................. 111FIGURA 7.7 - EVOLUZIONE NEL TEMPO DEL DANNO LUNGO O SPESSORE DEL DISCO BERSAGLIO............... 111FIGURA 7.8 – DISTRIBUZIONE DELLA POROSITÀ NEL RAME PER IMPATTI A DIVERSE PRESSIONI, [2].......... 112FIGURA 7.9 - CONFRONTO TRA GLI SPALL SIGNALS CALCOLATO E MISURATO PER IL RAME OFHC. ......... 113FIGURA 7.10 – DIFFERENTI MECCANISMI DI COALESCENZA DEI MICROVUOTI NELLA ROTTURA DUTTILE.. 114FIGURA 7.11 - EFFETTO DEL COEFFICIENTE DI FORMA α SULLA RISPOSTA DEL SISTEMA DI MOLLE NONLINEARE. ......................................................................................................................................... 116FIGURA 7.12 - PROFILO DI VELOCITÀ CALCOLATO CON L’IMPIEGO DEL SISTEMA DI MOLLE NON LINEARE ACONFRONTO CON I RISULTATI SPERIMENTALI.................................................................................. 116FIGURA 7.13 - SCHEMA RIASSUNTIVO DELLE CONFIGURAZIONI GEOMETRICHE ESAMINATE. .................... 11812

FIGURA 7.14 - PROFILI DI VELOCITÀ CALCOLATI NUMERICAMENTE PER LE DIVERSE CONFIGURAZIONIGEOMETRICHE E CON VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S: A) D/H=16; B) D/H=8; C) D/H=4; D) D/H=2......................................................................................................................................................... 118FIGURA 7.15 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀD’IMPATTO DI 185M/S E D/H=16; B) DEFORMATA E MAPPA DEL DANNO OTTENUTI CON MSC/MARCPER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=16. ............................................................................. 119FIGURA 7.16 - IMPULSO DI COMPRESSIONE IN DUE DIFFERENTI POSIZIONI LUNGO IL RAGGIO DEL DISCOBERSAGLIO: SULL’ASSE DI SIMMETRIA IN BLU E IN CORRISPONDENZA DEL BORDO LIBERO DELPROIETTILE IN NERO. ....................................................................................................................... 120FIGURA 7.17 - SCHEMA GEOMETRICO DELLA LOCALIZZAZIONE DELL’INNESCO DEL PROCESSO DI SPALL. 121FIGURA 7.18 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀD’IMPATTO DI 185M/S E D/H=8; B) DEFORMATA E MAPPA DEL DANNO OTTENUTI CON MSC/MARCPER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=8................................................................................ 122FIGURA 7.19 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀD’IMPATTO DI 185M/S E D/H=4; B) DEFORMATA E MAPPA DEL DANNO OTTENUTI CON MSC/MARCPER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=4................................................................................ 122FIGURA 7.20 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀD’IMPATTO DI 185M/S E D/H=2; B) DEFORMATA E MAPPA DEL DANNO OTTENUTI CON MSC/MARCPER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=2................................................................................ 122FIGURA 7.21 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀD’IMPATTO DI 185M/S E D/H=1; B) DEFORMATA E MAPPA DEL DANNO OTTENUTI CON MSC/MARCPER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=1................................................................................ 123FIGURA 7.22 – SCHEMA DELLA CONFIGURAZIONE DEL RE-SHOCK EXPERIMENT. ...................................... 124FIGURA 7.23 - PROFILO DI VELOCITÀ MISURATO IN UN RE-SHOCK EXPERIMENT, [3]................................. 124FIGURA 7.24 - DISTRIBUZIONE DELLA DEFORMAZIONE PLASTICA LUNGO LO SPESSORE DEL DISCOBERSAGLIO, A SEGUITO DELL’ONDA DI COMPRESSIONE, IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST. ........... 126FIGURA 7.25 - PROFILI DI SFORZO, CALCOLATI NUMERICAMENTE, A DIVERSE POSIZIONI LUNGO LO SPESSOREDEL DISCO BERSAGLIO, IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST STANDARD............................................ 126FIGURA 7.26 - PROFILI DI SFORZO, CALCOLATI NUMERICAMENTE, A DIVERSE POSIZIONI LUNGO LO SPESSOREDEL DISCO BERSAGLIO, IN UN RE-SHOCK EXPERIMENT. ................................................................... 127FIGURA 7.27 - RAPPRESENTAZIONE DELLO STATO DI SFORZO DEL PUNTO MATERIALE CHE A SUBITO UNOSHOCK, A DIFFERENTI POSIZIONI LUNGO LO SPESSORE DEL DISCO BERSAGLIO, NEL PIANO DEIDEVIATORI π . ................................................................................................................................ 128FIGURA 7.28 - CONFRONTO TRA IL PROFILO DI VELOCITÀ SPERIMENTALE, [3], E QUELLO CALCOLATONUMERICAMENTE CON MSC.MARC. ............................................................................................... 129FIGURA 7.29 - CONFRONTO TRA IL PROFILO DI VELOCITÀ SPERIMENTALE, [3], E QUELLO CALCOLATONUMERICAMENTE CON AUTODYN. .................................................................................................. 130FIGURA 7.30 - RITARDO DEL GRADINO ANOMALO RISPETTO ALLA CORRISPONDENTE ONDA DI RILASCIO INUN FLYER PLATE IMPACT TEST STANDARD, [4]. ............................................................................. 13113

Indice delle TabelleTABELLA 5.1 - PROPIETÀ MECCANICHE DEI MATERIALI INVESTIGATI E RELATIVI PARAMETRI PER ILMODELLO DI JOHNSON E COOK, [1]................................................................................................... 63TABELLA 5.2 - CONFRONTO TRA GLI ACCORCIAMENTI CALCOLATI, CON DIVERSI MODELLI DI RESISTENZA, EI DATI SPERIMENTALI. ....................................................................................................................... 65TABELLA 5.3 - CONFRONTO TRA I DIAMETRI CALCOLATI DELLE SUPERFICI D'IMPATTO E QUELLI MISURATI........................................................................................................................................................... 69TABELLA 5.4 - PARAMETRI DI DANNO PER IL RAME OFHC......................................................................... 7314

1 IntroduzioneLa complessità dei meccanismi correlati alla dinamica dell’impatto limita l’impiego deimodelli analitici al solo scopo di sviluppare una percezione immediata dei fenomeniinvestigati. Nei casi reali, infatti, anche per le configurazioni più semplici, è molto facileviolare le ipotesi su cui è basata l’analisi teorica, la quale molto difficilmente può essereutilizzata per effettuare previsioni.Per la soluzione di problemi d’impatto è indispensabile ricorre agli strumenti dellasimulazione numerica. Il suo impiego, ad oggi, per quanto riguarda la gestione deitransitori e la risoluzione del moto di propagazione delle onde, è largamente diffuso esaldamente consolidato. Ciò, comunque, non deve far pensare ad una sorta d’infallibilitàdei codici numerici, con il pericolo di compiere gravi errori di valutazione. La bontà deirisultati delle simulazioni è direttamente legata alla qualità del modello numericorealizzato. Qualità che, a sua volta, non può prescindere da una completa e correttaconoscenza dei meccanismi che si desidera modellare.In questo lavoro, gli strumenti della simulazione numerica sono stati adoperati peranalizzare tre configurazioni sperimentali classiche per la caratterizzazione dellarisposta meccanica dei materiali in regime dinamico: il Taylor Test, la Hopkinson Bar eil Flyer Plate Impact Test. L’obiettivo è stato quello di andare a studiare, nelle treconfigurazioni, già largamente investigate nel corso degli anni, i punti di maggiorecriticità: si sono indagati i limiti di modelli proposti in letteratura e le condizioni in cuigli stessi falliscono, cercando di comprenderne il motivo e, ove possibile, di superarli.In quest’ottica, i codici numerici, oltre che come strumenti di previsione, sono statiimpiegati come veri e propri strumenti d’investigazione. Questo modo di operare hapermesso di risolvere alcune apparenti incongruenze derivanti dai risultati sperimentalie di fornire nuove interpretazioni di fenomeni dinamici che non erano stati pienamentecompresi.Inoltre, si è fornita una dimostrazione dell’enorme potenzialità degli strumenti numericiin un campo, quale quello della dinamica dell’impatto, in cui anche le misuresperimentali sono assai difficoltose e richiedono sempre una notevole capacitàinterpretativa.15

2 Onde di sollecitazione nei solidi2.1 IntroduzioneUna perturbazione, esercitata su una qualche grandezza fisica in una regione limitatadello spazio, si propaga nello spazio circostante con modalità che dipendono di normadal tipo di perturbazione e dalle caratteristiche del mezzo che riempie lo spazio. E’ benepuntualizzare che la propagazione, la quale avviene tramite un’onda, è del disturbo enon della grandezza in esame e che tale propagazione ondosa comporta uno scambio dienergia. A causa di questi scambi, parte dell’energia meccanica viene convertita incalore attraverso diversi meccanismi indicati, in genere, come attriti interni. Questiintroducono una tale complessità nei modelli matematici che descrivono il motoondoso, da renderli intrattabili. E’ questo il motivo per cui tali effetti vengono trascuratinella maggior parte delle trattazioni senza tuttavia inficiare la loro validità, [1].Nella teoria elasto-plastica dei corpi solidi, è stata diffusamente trattata, Kolsky [2],Johnson [3], Achenbach [4], la propagazione di due tipi di onde:1 le onde longitudinali in cui il moto delle particelle del mezzo si sviluppaparallelamente alla direzione di propagazione;2 le onde trasversali in cui il moto delle particelle del mezzo si sviluppa indirezione perpendicolare alla direzione di propagazione.Bisogna però ricordare che, in generale, quando un corpo è soggetto a carichi impulsivi,si sviluppano in esso diverse tipologie di onde, quali quelle di torsione o quelle diflessione; se il disturbo si propaga lungo una superficie del corpo, questa avviene permezzo di onde superficiali quali:1 le onde di Rayleigh la cui intensità decade in modo esponenziale con la distanzadalla superficie;2 le onde di Love, onde di taglio che si formano in materiali composti da strati condiverse caratteristiche fisiche.Nel presente capitolo sono esposti alcuni cenni di teoria della propagazione delle ondenei solidi, in riferimento al caso di onde longitudinali. Sono trattati la derivazione16

dell’equazione delle onde elasto-plastiche e l’applicazione ai due casi di riferimento ditensione ovvero deformazione uniassiale. La teoria delle onde nei solidi è trattata congli strumenti della “Rate Independent Theory”, per cui la risposta costitutiva delmateriale è descritta da una curva sforzo deformazione. Questo semplifica enormementel’analisi senza, per altro, compromettere la trattazione, in quanto il problema dipropagazione delle onde è piuttosto insensibile alla forma dell’equazione costitutiva.2.2 Equazione delle ondePer rendere la formulazione dell’equazione delle onde concettualmente chiara emaggiormente intuitiva è necessario, almeno inizialmente, limitare la discussione alcaso di propagazione ondosa monodimensionale.Si consideri il problema di un disturbo che viaggia nella direzione x rispetto ad unsistema di riferimento fisso e si esaminino, come mostrato in figura 2.1, le forze cheagiscono su un elemento di massa dm = ρ * dx*A . Si ipotizzi di limitare l’analisi alcaso di piccole deformazioni e piccoli spostamenti.Figura 2.1 - Forze agenti sull’elemento di massa, [5].FSia σ = la tensione, definita positiva se in trazione, per il teorema della quantità diAmoto si può scrivere:∂σ ∂v= ρ(2.1)∂ x ∂ tavendo indicato con v la velocità della particella, ovvero la derivata rispetto al tempo17

dello spostamento nella direzione x:∂ uv = .∂ t∂ uConsiderando che la deformazione è definita come: ε = ne deriva che:∂ x∂ε ∂v= (2.2)∂ t ∂ xAssumendo la tensione come funzione biunivoca della deformazione: σ = σε ( ) siricava l’equazione dell’onda per moto monodimensionale:2 2∂ u 1 ∂ u= (2.3)2 2 2∂ x c ∂ tin cui c è la velocità di propagazione del fronte d’onda:1 dσc( ε ) = ρ dε(2.4)E’ immediato riconoscere questa equazione come il caso particolare, di propagazionemonodimensionale, della più generale equazione delle onde in forma indiciale:2∂U1 ∂ψ= (2.5)2 2∂ x ∂x c ∂tii2.2.1 Tensione generata dall’impattoPer derivare l’intensità dello sforzo generato in un impatto, si può far riferimentoall’evento, rappresentato in Figura 2.2, di un muro rigido che, al tempo t = 0 , impatta, avelocità v= v0, una barra o un disco in stato di quiete. Nell’intervallo di tempo dt labarra si deformerà fino al piano B che dista v 0⋅ dt dalla propria estremità originaria. Ildisturbo, che porta la velocità delle particelle a v 0, viaggerà, nello stesso intervallo ditempo, fino al piano A, per una distanza pari a c⋅dt, in cui c indica la velocitàdell’onda. Se si indica con σ lo sforzo di compressione che si genera tra l’impattatore ela barra di sezione A0, l’impulso generato dell’intervallo di tempo dt è pari a σ Adt0.La quantità di moto della barra, inizialmente ferma, è pari a ρ Acdt0⋅ v0, al prodotto,cioè, della velocità per la massa delle particelle comprese dall’estremità iniziale della18

arra ed il fronte d’onda A. Uguagliando l’impulso alla variazione della quantità dimoto, si ottiene:σ = ρcv 0(2.6)Se lo stato iniziale di sforzo e velocità è non nullo, le quantità σ e v 0devono esseresostituite dalle loro corrispettive variazioni ∆ σ e ∆ v , che portano all’espressione piùgenerale:∆ σ = ρc∆ v(2.7)v0dtv 0BAv=v 0v=0cdtFigura 2.2 – Schema di un corpo rigido che impatta un cilindro a velocità v0, [5].2.2.2 Riflessione di onde elastiche alle interfacceSe, come schematicamente illustrato in Figura 2.3, un’onda longitudinale raggiunge unasuperficie libera con un generico angolo d’incidenza α, dalla sua riflessione sarannogenerate due onde distinte.La prima, anch’essa longitudinale, sarà riflessa con un angolo pari a quello d’incidenza,la seconda, di tipo distorsionale, sarà riflessa con un angolo più piccolo tale che:sin βsinc2 Dα = 1c(2.8)LIn cui c Le c Dindicano rispettivamente le velocità di propagazione dell’ondalongitudinale e distorsionale.19

onda incidenteα 1α 2β 2distorsionaleonde riflesselongitudinaleFigura 2.3 – Riflessione di un’onda longitudinale su una superficie libera.u, v+σc LcLghostu, v-σσ netFigura 2.4 – Riflessione di un’onda longitudinale su una superficie libera ortogonale alla direzionedi propagazione dell’onda, [1].Allo stesso modo, se un’onda distorsionale raggiungesse una superficie libera sigenererebbero due onde, quella trasversale avrebbe un angolo di riflessione pari a quellod’incidenza, quella longitudinale sarebbe riflessa con un angolo che rispetterebbe larelazione precedente (2.8).In Figura 2.4, è schematicamente illustrato il caso particolare di un’onda longitudinaleche impatta normalmente una superficie libera. Poiché lo sforzo di tensioneperpendicolare alla superficie deve essere nullo, l’impulso riflesso dovrà essere di segnoinverso a quello incidente. In altre parole un impulso di compressione sarà riflesso20

come un impulso di trazione e viceversa. Sia u f ( x ct)I= − lo spostamento, lungol’asse positivo delle ascisse, dovuto all’impulso incidente. La riflessione sulla superficielibera genera un’onda, che si muove lungo l’asse negativo delle ascisse, che porta aduno spostamento u g( x ct)deve essere nullo, si ha che:I= + . Alla superficie libera, per x = l , poiché lo sforzo nettoσNET= σI + σR= 0(2.9)Se si esprime lo sforzo in campo elastico come σ EεE( u x)( ) ( ) ⎤ 0σNET= E⎡⎣f′ l− ct + g′l+ ct ⎦ == = ∂ ∂ , si ottiene:o, (2.10)( − ) =− ( + )f ′ l ct g′l ctin cui l’apice indica la derivazione rispetto a x . Dall’equazione (2.10) si evince che gliimpulsi incidente e riflesso hanno la stessa forma, ma segno opposto. Anche la velocitàdella particella sulla superficie libera può essere ottenuta per sovrapposizione:v v v∂u∂tINET=I+R= +∂u∂tR(2.11)che, sulla superficie libera, x= l , porta a:NET( ) 2v = c − f′ + g′ = cg′(2.12)in cui, in questo caso, gli apici esprimono la derivazione rispetto al tempo. L’equazione.(2.12) attesta che nella regione in cui gli impulsi incidente e riflesso si sovrappongono,la velocità delle particelle e, quindi, anche lo spostamento, sono il doppio di quellisviluppati dagli impulsi singoli.La tecnica, utilizzata in Figura 2.4 per visualizzare il comportamento degli impulsi disforzo all’interfaccia, sfrutta la linearità dell’equazione dell’onda elastica per ottenere lasoluzione come sovrapposizione di due impulsi: il primo impulso, in rosso, è costituitodall’onda incidente “reale”, il secondo è un immaginario impulso fantasma (ghost), dimedesima forma, ma di segno opposto, che si trova inizialmente all’esterno delmateriale e viaggia nel verso contrario. Quando raggiungono l’interfaccia, il primo21

impulso esce dal materiale, mentre il secondo, entrando, diviene progressivamentereale. All’interno del materiale, laddove i due impulsi si sovrappongono, l’impulso nettoè nullo. Quando l’impulso incidente esce completamente dal materiale, quello cheoriginariamente era stato indicato come impulso fantasma dà luogo all’impulso, diforma quadra, disegno contrario a quello d cui è stato generato.Su una superficie fissa, invece, come illustrato in Figura 2.5, la velocità e lospostamento devono essere nulli. Per cui, seguendo lo stesso procedimento, si puòscrivere:NET( ) ( ) 0v =−cf′ l− ct + cg′l+ ct =o, (2.13)e per lo sforzo:( − ) = ( + )f ′ l ct g′l ctσNET⎛∂u∂u⎞= ⎜ + ⎟= ⎡ ′ − + ′ + = ′ −∂x∂x⎣ ⎦⎝ ⎠( ) ( ) ⎤ 2 ( )I RE E f l ct g l ct Ef l ct(2.14)Per cui, lo sforzo, sulla superficie vincolata è il doppio, mentre la velocità e lospostamento sono nulli.u, v u, v+σ cLcLghost +σu,v = 0Figura 2.5 – Riflessione di un’onda longitudinale su una superficie fissa ortogonale alla direzione dipropagazione dell’onda, [1].22

2.2.3 Riflessione e trasmissione di onde elastiche in una discontinuitàmeccanicaSi consideri una bara con una discontinuità meccanica dovuta ad una differenza dimateriale o ad una variazione di sezione, Figura 2.6. Siaσ Iun impulso elastico dicompressione che viaggia nella barra verso destra. Alla discontinuità questo sarà inparte riflesso, σR, e in parte trasmesso σ T, in modo che siano verificate le seguenticondizioni: all’interfaccia, la forza nelle due barre deve essere la medesima,A( σ σ ) A ( σ )+ = (2.15)1 I R 2 Tin cui A1e A2sono le rispettive sezioni delle barre all’interfaccia; le velocità delle particelle all’interfaccia devono essere continue,Ricordando che σ = ρcv0, si ottiene:vI + vR = vT(2.16)e risolvendo in funzione di σI:σIσR σT− = (2.17)ρ c ρ c ρ c1 1 1 1 2 2σT=2A1ρ2c2σIAρc + A ρ c1 1 1 2 2 2(2.18)σR=A2ρ2c2 − A1ρ1c1σIAρc + A ρ c1 1 1 2 2 2(2.19)A, 1 1,c1A, ρ ,cρ 2 2 2σIσRσ TFigura 2.6 – Riflessione e trasmissione di un’onda ad una discontinuità meccanica.Le equazioni (2.18) e (2.19) permettono di fare alcune considerazioni che possono23

ivelarsi utili nell’analisi delle configurazioni sperimentali che saranno esaminate nelprosieguo della presente trattazione. Se i materiali che costituiscono le due barre sonoidentici si ha che ρ1 = ρ2e c1 = c2, per cui:σT=2A1σIA + A1 2(2.20)σR=A2 − A1σIA + A1 2(2.21)σTeσRavranno lo stesso segno se A 2A 1> . Se, invece A 2< A 1, σTeσRavrannosegno opposto. Se A 2A 1→ 0 , si tende alla condizione di superficie libera e quindiσR→− σI. Se, al contrario, A2 1cui σR→ σI. e σT→ 0 .A →∞, si tende alla condizione di superficie fissa, perNon si verificano riflessioni dell’onda incidente, σR= 0 , quando le impedenzemeccaniche delle due barre sono tra di loro uguali, A1ρ1c1 = A2ρ2c2, da cui di ricava:σTE ρ2 2= σI(2.22)E1ρ1Nell’equazione (2.18), il coefficiente diσ I, non può mai essere negativo; questosignifica che un impulso incidente di tensione sarà sempre trasmesso come un impulsodi tensione e che un impulso incidente di compressione sarà sempre trasmesso come unimpulso di compressione.Nell’equazione (2.19), il coefficiente di σI, può essere positivo o negativo a secondache si abbia A 1ρ 1c 1< A 2ρ 2c 2o A 1ρ 1c 1> A 2ρ 2c 2rispettivamente. Se il coefficiente ènegativo, A1ρ1c1 > A2ρ2c2, un impulso incidente di compressione sarà riflesso come unimpulso di trazione e vice versa. Se il coefficiente è positivo, A 1ρ 1c 1< A 2ρ 2c 2, gliimpulsi incidente e riflesso avranno lo stesso segno.2.2.4 Tensione uniassialeAdottare configurazioni che garantiscano la possibilità di effettuare alcunesemplificazioni permette di rendere matematicamente trattabili i modelli che descrivono24

il moto delle onde. Se si studia la propagazione di un impulso di tensione in una barrasottile, che abbia cioè una lunghezza pari o maggiore di dieci volte il suo diametro, èpossibile trascurare gli effetti dell’inerzia trasversale. Si può dunque assumere lo statodi tensione monoassiale.Nel caso in cui lo sforzo sia inferiore alla tensione di snervamento del materiale, lostesso si comporterà elasticamente e, per quanto ricavato precedentemente, nel corpo sipropagherà una perturbazione longitudinale il cui moto è descritto dall’equazione:2 2∂ u 1 ∂ u= (2.23)2 2 2∂ x c ∂ te la cui velocità è pari a:Ec = (2.24)ρdove si è indicato con E il modulo di Young.Si consideri ora il caso di un materiale, il cui modello costitutivo sia descritto, secondole ipotesi della “Rate Independent Theory”, da una legge tensione-deformazionebilineare, come in Figura 2.7 a, sottoposto ad un impulso di valore superiore alla suatensione di snervamento. Nella barra considerata si propagheranno due distinti frontid’onda, come illustrato nella Figura 2.7 b. Ogni fronte d’onda avrà una propria velocitàdi propagazione che dipenderà dai rispettivi moduli di elasticità E ed E1.σσ yE(a)E 1εσσ yE1tρ ⋅(b)E tρ ⋅xσσ ycpc e(c)c pcexFigura 2.7 – Curva tensione deformazione e profili d’onda per un materiale bilineare.Se l’impulso è di breve durata, nel solido si genereranno le onde di rilascio elastica eplastica che, viaggiando alle velocità che le competono, porteranno alla formazione delprofilo d’onda illustrato in Figura 2.7 c.25

Poiché la velocità di propagazione delle onde elastiche può essere anche dieci voltemaggiore della velocità delle onde plastiche, l’onda di rilascio elastica potrebberaggiungere l’onda plastica e scaricarla. A questo punto un’altra onda, generata dallariflessione sulla discontinuità rappresentata dall’onda plastica, si dirigerebbe verso lasuperficie libera della barra. Si innescherebbe così un meccanismo di continueriflessioni delle onde, tra la superficie libera e la posizione del fronte dell’onda plastica,che porterebbe, se fossero disponibili tempi sufficientemente lunghi, al progressivoscarico dell’onda incidente iniziale.σεσ yε 1ε 1εε ec1c0ξ(a)(b)Figura 2.8 – Curva tensione deformazione e profilo d’onda per un materiale elasto-plastico,secondo la “rate independent theory”.Nel caso in cui la curva sforzo-deformazioni possa essere rappresentata, ancora sotto leipotesi di “Rate Independent Theory”, dalla curva, riportata in Figura 2.8 a, convariazione continua della pendenza della parte plastica, ne risulterà il profilo di velocitàdi Figura 2.8 b, in cui si è definitoξ = x t. Questo è il tipico profilo d’onda che sisviluppa in un materiale elasto-plastico, quale ad esempio un metallo, in condizione disforzo uniassiale. Dall’equazione (2.4), infatti, si deduce che ogni livello di tensione odeformazione propaga con una propria velocità caratteristica, che è funzione dellatangente locale alla curva sforzo-deformazione. Poiché la curva in Figura 2.8 a, assuntacome rappresentativa del comportamento del materiale in condizione di sollecitazioneuniassiale, presenta la concavità verso l’asse delle ascisse, disturbi di tensione odeformazione più elevati sono caratterizzati da una più bassa velocità di propagazione.L’onda, quindi, è costituita da un precursore elastico seguito da un più lento fronted’onda plastico disperso, a sua volta seguito da una regione a deformazione plastica( ε1)costante.26

2.2.5 Deformazione uniassialeUn’altra importante configurazione è quella che prevede che la deformazione possaavvenire in una sola direzione. Uno stato di deformazione monoassiale è definito come:ε ≠ ε2= ε3 = γ12 = γ13 = γ23 = 0(2.25)10Nel derivare le equazioni per stato di deformazione monoassiale, si assume che ladeformazione totale si possa scomporre in una parte elastica ed una plastica:ε = ε + εe p1 1 1ε = ε + ε(2.26)e p2 2 2Per la seconda delle (2.25), si ha che:ε = ε + εe p3 3 3εε= −εp e2 2= −εp e3 3(2.27)Per l’incompressibilità del flusso plastico si può scrivere che:ε + ε + ε = (2.28)p p p1 2 30p pche, sfruttando la simmetria, ε2= ε3,porta a:Utilizzando l’equazione (2.27) si ottiene:ε =−ε − ε =− 2ε(2.29)p p p p1 2 3 2ε = 2ε(2.30)p e1 2in modo da poter scrivere la deformazione totale in termini di sola deformazioneelastica:ε = ε + ε = ε + 2ε(2.31)p e p e e1 1 1 1 2Le deformazioni elastiche possono essere espresse, in termini di sforzi, dalle seguentirelazioni:27

e σ1 νσ12νε1 = − ( σ2 + σ3)= − σ2E E E E( 1−ν)e σ2ν νε2= − ( σ1+ σ3)= σ2 − σ1E E E E(2.32)( 1−ν)e σ3ν νε3 = − ( σ1+ σ2)= σ3−σ1E E E Eavendo posto σ 2= σ 3. La combinazione delle equazioni (2.32) e (2.31) permette diottenere:ε( 1−2 ) 2 ( 1−2)σ ν σ νe 1 21= + (2.33)EImponendo come criterio di snervamento quello di von Mises o quello di Tresca, cioè:1 2 0in cui Y o indica la tensione di snervamento, si ottiene:Eσ − σ = Y(2.34)E 2 2σ = ε + Y = Kε+ Y31 2 3 3( − ν )1 1 0 1 0(2.35)in cui il “bulk modulus”, K , è definito come:K =E31 2( − ν )(2.36)Nel caso particolare di deformazione elastica unidimensionale:ε = εe1 1ε = ε = ε = ε = 0ee2 2 3 3(2.37)ε = ε = ε = 0p p p1 2 3per cui,e 1−ννε2= 0 = σ2 − σ1(2.38)E E28

ovvero,σ =ν( 1−ν)σ2 1che porta alla scrittura;2σ1 2νσ1ε1= −E E( 1−ν)o,σ =1−ν( 1− 2ν)( 1+ν)Eε1 1(2.39)L’ equazione (2.39) dimostra che, in caso di stato di deformazione unidimensionale, lapendenza del tratto elastico della curva sforzo-deformazione del materiale, è, rispetto alcaso di stato di sforzo unidimensionale, più elevato di un coefficiente pari a1−ν( 1− 2ν)( 1+ν ).Questo è chiaramente illustrato nella Figura 2.10, in cui nella parte di sinistra sonoschematicamente illustrate le curve sforzo-deformazione, per uno stato di sforzounidimensionale, dei due materiali elastico perfettamente plastico e elastico conincrudimento lineare, mentre nella parte destra, sono riportate le corrispettive curve chesi ottengono, per i medesimi materiali, in caso di deformazione unidimensionale.Figura 2.9 – Curva sforzo-deformazione per i materiali elastico perfettamente plastico ed elasticocon incrudimento lineare, in caso di stato di sforzo uniassiale ovvero di deformazione uniassiale,[1].29

Un altro risultato interessante è l’innalzamento del valore della σ1per il quale si ha ilsuperamento del limite elastico, dal valore dello snervamento del materiale, Y 0, per ilcaso di sforzo uniassiale, allo “Hugoniot Elastic Limit”,σ HEL, per il caso dideformazione uniassiale. Per quanto riguarda la parte plastica, l’equazione (2.35)dimostra che lo stress, indipendentemente dall’incrudimento, continua a crescere con ladeformazione, in modo proporzionale al “bulk modulus”, e che lo scostamento dallaparte idrostatica della curva è pari a un valore costante 2 Y 30. La curva indicata inFigura 2.9 come “Hydrostat” rappresenta, quindi, il comportamento del medesimomateriale, ma privo di capacità di resistenza a taglio, soggetto ad uno stato dideformazione uniassiale. Per valori estremamente elevati della pressione, loscostamento tra le due curve diviene trascurabile e il materiale, senza compiere errorisignificativi, può essere trattato come un fluido e rappresentato dalla sola parteidrostatica.Se al materiale elastico perfettamente plastico rappresentato in Figura 2.9 si applica unosforzo che supera il limite elastico di Hugoniot, si sviluppano le due onde, elastica eplastica, che secondo le equazioni (2.4), (2.35) e (2.39) propagano, rispettivamente, convelocità:ce=0E ( 1−ν)( 1− 2 )( 1+)ρ ν ν(2.40)ecpK= (2.41)ρ0Contrariamente a quanto avviene in stato di sforzo uniassiale, le velocità dipropagazione delle due onde non sono significativamente differenti. Per un tipicoacciaio legato, ad esempio, l’onda elastica è più veloce di quella plastica di circa il 25%,mentre, nel caso di sforzo uniassiale, si arriva ad un fattore pari a 10.Per valori della pressione estremamente elevati, lo sforzo idrostatico perde il rapporto diproporzionalità lineare con la compressione volumetrica, per salire più rapidamente,come schematicamente illustrato in Figura 2.10. La curva, contrariamente a quanto si30

verifica in uno stato di sforzo uniassiale, presenta la concavità rivolta verso l’asse delleordinate, con fortissime implicazioni sullo sviluppo e la propagazione delle onde disollecitazione nel materiale.Figura 2.10 – Curva sforzo-deformazione in stato di deformazione uniassiale, per valori dellapressione estremamente elevati, [5].Il punto A corrisponde al limite elastico di Hugoniot e, quindi, il precursore elasticoviaggerà ancora alla velocità governata dalla pendenza OA. Se il disturbo è tale daportare lo stato del materiale oltre il valore dell’HEL, si ricade nel tratto di curva conconcavità verso l’alto, per cui, secondo la relazione (2.4), agli sforzi plastici più severicompete una velocità di propagazione più elevata rispetto a quella degli sforzi plasticipiù deboli. Questo comporta che se, per esempio, la sollecitazione porta lo stato delmateriale fino al punto B di Figura 2.10, nello stesso si genereranno un precursoreelastico, che viaggerà alla velocità definita dall’equazione (2.40), e un’onda d’urtoplastica, che viaggerà alla velocità dettata dalla pendenza del tratto AB. Se il livello disforzo raggiunge il punto C, che si trova sul prolungamento del tratto OA, il precursoreelastico e l’onda d’urto plastica viaggeranno alla stessa velocità. Infine, per pressioniancora più elevate, fino al punto D, si svilupperà una singola onda d’urto, la cuivelocità, maggiore di quella che competerebbe al precursore elastico, è determinatadalla pendenza del tratto OD.Un’implicazione fondamentale che deriva da quanto detto è che la curva di Figura 2.10,generalmente indicata col termine Hugoniot, rappresenta il luogo dei punti degli stati di31

equilibrio, ma, diversamente da quanto accade per la curva sforzo deformazione in stadisollecitazione uniassiale, non viene percorsa durante il processo di carico.32

Bibliografia[1] Zukas, J. A, Nicholas, T., Swift, H. F., Greszczuc, L. B. and Curran, D. R.,Impact Dynamic, John Wiley & Sons, New York, 1992.[2] Kolsky, H., Stress Waves in Solids, Dover, New York, 1963.[3] Johnson, W., Impact Strength of Materials, Crane, Russak, New York, 1972.[4] Achenbach, J.D., Wave Propagation in Elastic Solids, American Elsevier, 1975.[5] Zukas, J. A., High Velocity Impact Dynamics, John Wiley & Sons, New York,1990.33

3 Modellazione costitutiva3.1 IntroduzioneLo studio dei processi associati ai fenomeni impulsivi, quali quelli conseguentil’impatto tra corpi, richiede necessariamente la conoscenza e la descrizione accurata delcomportamento meccanico del materiale in regime dinamico. Tali modelli devonoessere in grado di tenere in conto gli effetti, sulla resistenza del materiale, delladeformazione, della velocità di deformazione, della temperatura, del danneggiamento e,per impatti iperveloci, della pressione idrostatica. Un approccio consolidato, elargamente utilizzato, è quello di utilizzare un modello costitutivo composto da piùsottomodelli disaccoppiati, in grado di tenere in conto gli effetti combinati di tutte levariabili in gioco. Tradizionalmente si descrivono gli effetti della deformazione, dellavelocità di deformazione e della temperatura con un modello di resistenza, gli effetti deldanneggiamento con un modello di rottura e l’effetto della compressione volumetricacon un’equazione di stato. Tale modo di operare semplifica enormemente la descrizionedel comportamento del materiale e, soprattutto, permette la caratterizzazione dellostesso con un numero limitato di prove meccaniche, relativamente semplici. Anche se arigore si dovrebbe ricorrere ad una formulazione costitutiva che incorpori questi effettiin maniera accoppiata, esistono numerose osservazioni sperimentali che giustificanotale modo di operare, 0.Nei paragrafi seguenti sono presentati i modelli di resistenza ed i modelli didanneggiamento più importanti, con riferimento particolare ai modelli utilizzati perl’analisi delle configurazioni sperimentali investigate.3.2 Modelli strain rate sensitiveI metalli, generalmente, mostrano una notevole sensibilità alla velocità di deformazionee alla temperatura. Nella maggior parte dei casi, la velocità di deformazione ha l’effettopiù rilevante sull’incremento della resistenza del materiale. In Figura 3.1 sono riportatigli andamenti sforzo-deformazione di taglio, per un alluminio commerciale, in unintervallo di velocità di deformazione che va da 600 a 2800 s -1 , a confronto con la curvadi riferimento quasistatica ottenuta a 2,0 10 3 s -1 .34

Figura 3.1 – Effetto della velocità di deformazione sull’alluminio commerciale caricato a taglio.Figura 3.2 - Effetto della temperatura sul titanio α.La temperature, al contrario, addolcisce il materiale, come mostrato per il titanio-α inFigura 3.2, in cui sono riportate le curve sforzo deformazione ottenute, a parità divelocità di deformazione, in un intervallo di temperature che va dai 77 ai 288K. È notoche la sensibilità del materiale alla velocità di deformazione e alla temperature è legataalla struttura atomica. In particolare, i metalli con una struttura cubica a corpo centrale35

(CCC), quali il ferro α, gli acciai ferritici, il niobio, il tantalio, etc., mostrano una fortevariazione del valore della tensione di snervamento con la temperatura, T, e la velocitàdi deformazione, ε . Al contrario, i metalli con struttura cubica a facce centrate (CFC),quali gli acciai austenitici, il nichel, l’alluminio, il rame e l’argento, non mostrano lastessa sensibilità in modo particolare rispetto alla temperatura. I metalli a strutturaesagonale compatta (EC), infine, quali il titanio e lo zinco, esibiscono uncomportamento intermedio tra quello dei CCC e quello dei CFC.Da tali osservazioni risulta essere evidente la necessità di superare le ipotesisemplificative, utilizzate nel capitolo precedente, della “Rate Independent Theory”e diutilizzare modelli basati sulla “Rate Dependent Theory”. Esiste un elevato numero dimodelli proposti in letteratura sviluppati facendo riferimento a due approcci differenti:quelli sviluppati su base fisica, come ad esempio l’energia di attivazione o la meccanicadelle dislocazioni, o, alternativamente, gli approcci empirici. Mentre i primi descrivonoin modo più attento l’insieme dei meccanismi intimamente legati all’evoluzione dellamicrostruttura del materiale, i secondi sono più semplici da utilizzare in virtù d’unamaggiore maneggevolezza.3.2.1 Modelli di resistenza formulati su basi fisicheDescrivere la risposta inelastica di tutti i metalli con una legge generalizzata che derivida una teoria unificata è estremamente difficile. Nel passato sono stati compiuti diversitentativi con l’obiettivo di ricavare una relazione che leghi la tensione di snervamento,σ y , alla velocità di deformazione a alla temperatura:σy = f(, ε ε , T)(3.1)Un gran numero di equazioni sono state proposte da autori diversi, ampie descrizionisono riportate nei testi di Zukas, [2], e Zukas et al., [3]. Anche se molto differenti e, avolte, tra di loro inconsistenti, una caratteristica fondamentale, riconoscibile in tutti imodelli, è quella che vede una dipendenza esponenziale della tensione di snervamentodalla temperatura e un’equivalenza di effetti tra temperatura e velocità di deformazione.Tali caratteristiche trovano conferma nei risultati sperimentali quali quelli riportati inFigura 3.3, in cui, per un acciaio basso legato, è riportata la variazione del valore dellosnervamento con la temperatura e la velocità di deformazione. Qui è illustrato36

chiaramente come, in un diagramma logaritmico, lo snervamento cresce linearmentecon la velocità di deformazione fino a ε pari a 10 4 s -1 .Figura 3.3 - Variazione del valore dello snervamento di un acciaio basso legato con la velocità dideformazione e la temperatura.Tale aspetto è evidente nella relazione di Zener e Hollomon, [4]:Q/RTε (3.2)σy = f( ⋅ e )in cui Q è l’energia di attivazione e R la costante universale dei gas.Il modello di Zerilli-Armstrong, [5], è, invece, basato sul moto delle dislocazionitermicamente attivato, con particolare attenzione alla differente risposta dei metalliCCC da quelli CFC. Il modello ha un’ottima capacità di descrivere i risultatisperimentali ed è espresso dalle seguenti relazioni:BCC : σ = C exp( − C T + C T lnε)y1 3 41/2FCC : σ = C ε exp( − C T + C T lnε)flow2 3 4(3.3)Nel 1984 Hartley e Duffy, [6], proposero un modello, basato sulla dinamica delledislocazioni, che spiegasse il comportamento d’un materiale che manifesti unasensibilità sia alla temperatura che alla velocità di deformazione. La legge, ricavata37

facendo riferimento alla teoria dei meccanismi di attivazione termica, ha la forma:⎧⎪ ⎡ ⎛ γ0⎞⎤k* T*ln⎢ ⎜γ⎟⎥⎪τ = τµ + ( τ0−τµ) 1⎝ ⎠⎨ −⎢ ⎥⎪ ⎢ F ⎥0⎪ ⎢⎥⎪⎣⎦⎩1q⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭⎪1p(3.4)dove T indica la temperatura assoluta, F 0 l’energia libera totale da superare, τ 0 latensione di snervamento allo zero assoluto, τ µ la componente atermica della tensione disnervamento e p e q descrivono la forma degli ostacoli da superare.3.2.2 Modelli di resistenza fenomenologiciSi hanno relazioni ancora più complesse se si tenta di descrivere la sensibilità delmateriale alla storia delle velocità di deformazione. Nel 1977, Campbell et al., [7],propose un modello fenomenologico nella forma:( ) ( , ) ( , ) ( , )τ = f γ + f γ γ + f γ −α γ − f γ −α γ(3.5)dove f 1 ed f 2 sono le due funzioni:1 2 2 2 1 2 2f( γ )= A γ(3.6)1* nn ⎛ γf2 ( γγ , ⎞) = m* A* γ *ln⎜1+⎟(3.7)⎝ B ⎠3.2.3 Modello di resistenza di Johnson e CookIl modello fenomenologico utilizzato nel presente lavoro è stato presentato da Johnson eCook nel 1983, [8], nella forma:n( )( 1 *ln * *)( 1 mA B C T )σ = + ε + ε −(3.8)εin cui ε è la deformazione plastica equivalente, ε* = ε0è la velocità di deformazione−1plastica adimensionalizzata per ε 0= 1.0s e T * è la temperatura omologa:TT −T=T −T* roommeltroom(3.9)38

dove T indica la temperatura assoluta, T room la temperatura ambiente e T melt latemperatura di fusione. Le costanti A, B, n, C ed m sono costanti dipendenti dalmateriale. L’espressione nel primo gruppo di parentesi esprime il valore della tensionein funzione della deformazione, quindi la legge d’incrudimento, che si ha per unavelocità di deformazione pari a quella di riferimento ed un valore della temperaturaomologa nulla. Le espressioni nel secondo e nel terzo gruppo di parentesi esprimono,rispettivamente, l’effetto della velocità di deformazione e quello della temperatura sullarisposta meccanica dei materiali. Il punto di forza di tale modello è dato dalla possibilitàdi trattare in modo disaccoppiato gli effetti dovuti alle tre variabili di deformazione,velocità di deformazione e temperatura. Ciò, oltre a rendere molto semplicel’implementazione del modello in qualunque codice numerico in commercio, permettela caratterizzazione del materiale con un numero limitato di prove meccaniche. Bisognacomunque sottolineare che la proporzionalità, espressa dall’equazione (3.8), dellatensione di snervamento con il logaritmo della velocità di deformazione non permette,come illustrato in Figura 3.3, una corretta descrizione della risposta meccanica delmateriale in regimi di velocità di deformazione superiori a 10 4 s -1 .3.3 Modelli di Danneggiamento duttile nei metalliLa rottura duttile, se pur limitata all’ambito dei metalli, è un fenomeno estremamenteampio e complesso. Per decenni, si è pensato alla rottura come ad un fenomenoindipendente dalla storia dei processi di sforzo e deformazione che hanno luogo nelmateriale. Il comportamento di questo, cioè, non subiva modificazioni di sorta finoall’improvvisa incapacità di sostenere i carichi. Le teorie di rottura, ad esempio, sono iltentativo d’identificare il valore del carico massimo ammissibile senza interessarsi aimeccanismi specifici di rottura. Anche se la rottura fragile ha ricevuto grande attenzionedall’inizio del ventesimo secolo, la rottura duttile è stata studiata in dettaglio solo apartire dagli anni sessanta.McClintock, [9], e Rice e Tracy, [10], sono stati i primi ad identificare nel processo dinucleazione e crescita dei microvuoti, correlate all’aumento del livello di deformazione,il micromeccanismo responsabile della rottura duttile. Da allora, sono stati proposti ungran numero di modelli di rottura, che, classicamente, sono suddivisi in “abrupt criteria”e modelli “nucleation and growth (NAG)”.39

Per i primi, a rottura improvvisa, questa avviene istantaneamente quando una variabileinterna ovvero una variabile di stato, raggiunge, in un punto, il valore critico. In talimodelli il danno, anche se è accumulato durante la storia delle deformazioni, non èaccoppiato alle altre variabili costitutive. Questo è un modello tipico per la rottura deimateriali fragili, per cui si ha rottura quando si raggiunge il valore critico dello sforzoovvero dell’intensità del campo di sforzo.Per i modelli NAG, invece, l’attivazione dei danneggiamento è causa di unamodificazione delle proprietà meccaniche del materiale. La rottura è vista come ilrisultato di un progressivo deterioramento del materiale e della sua capacità di sostenerei carichi. La variabile, accoppiata alle altre variabili interne, che tiene in conto taledeterioramento è comunemente indicata come danno e richiede la definizione di unalegge di evoluzione cinetica.Gli “abrupt criteria” sono, di solito, facilmente implementabili nei codici numerici, ma,di contro, risentono di una scarsa trasferibilità dimensionale e geometrica. Nelladinamica dell’impatto, tali criteri sono stati largamente utilizzati con la giustificazionedel fatto che i fenomeni dinamici avvengono tanto rapidamente da confinare gli effettiassociati in volumi limitati e che, quindi, gli eventuali accoppiamenti del danno allealtre variabili interne potessero essere trascurati. Tali modelli, però, poiché sono spessodi natura fenomenologica, richiedono una caratterizzazione dei parametri a posterioriche riduce fortemente l’effettiva capacità di previsione della rottura.In questo contesto, ad esempio, il valore critico della pressione in tensione ècomunemente utilizzato per prevedere la rottura per spall in un Flyer Plate Impact Test.La determinazione del valore critico, caratteristico del materiale che si sta investigando,richiede l’effettuazione di un certo numero di prove a differenti velocità.L’identificazione avviene comparando lo spall signal del profilo di velocità risultante,con quello calcolato. Tale modo di operare non tiene in nessuna considerazione l’effettodella triassialità dello stato di sforzo sul processo di rottura duttile.Hancock e Mackenzie, [11], e Hancock e Brown, [12], evidenziarono che la triassialitàdello stato di sforzo (Triaxiality Factor, TF) ha un ruolo considerevole nel ridurre lacapacità di deformarsi del materiale. Proposero, allora, un modello per cui si ha rotturaquando in un punto del materiale si raggiunge un valore critico di deformazione, che40

dipende dalla multiassialità dello stato di sforzo secondo la relazione:εf⎛ 3 σm⎞= αexp⎜− ⎜⎝ 2 σ ⎠⎟eq(3.10)in cui σ m indica la pressione idrostatica, σ eq la tensione equivalente di Mises, e α è unacostante dipendente dal materiale il cui valore può essere identificato in una prova asforzo uniassiale (TF= σ m / σ eq =1/3).Ad un’espressione simile è giunto, in modo indipendente, Manjoine, [13], interpolandodati sperimentali per un certo numero di acciai:εfuniaxial ( 1−3σmσeq= ε 2)(3.11)fIn Figura 3.4 sono messe a confronto le due relazioni, che prevedono una riduzionedella duttilità al crescere della triassialità dello stato di sforzo, insieme ai datisperimentali relativi all’acciaio SA537 testato a differenti velocità di carico, [14].Figura 3.4 - Riduzione della duttilità al crescere della triassialità dello stato di sforzo per l'aciaioSA537, [14].Johnson e Cook, [15],proposero un modello basato sul valore critico delladeformazione, in grado di considerare gli effetti della triassialità dello stato di sforzo,41

della velocità di deformazione e della temperatura, secondo la seguente relazione:εf⎛ σ ⎞⎛ ⎟ ε⎞⎛ T −T= + + +⎞m0D1 D2exp D3 1 D4ln 1 D 5⎝⎜ σeq⎠⎟ ⎟⎜ ⎝⎜ ε⎟ ⎜0 ⎠⎝ T melt − T ⎟0⎠(3.12)Al fine di tenere in conto la storia delle deformazioni, proposero un criterio cumulativoper cui si ha rottura quando la deformazione normalizzata, definita nell’equazione(3.13), raggiunge il valore unitario:D∆εi= ∑ (3.13)εifTali criteri, in genere, non sono, almeno in forma diretta, dipendenti dal tempo. Tuler eButcher, [16], osservando che lo sforzo in grado di causare una rottura con un impulsodi lunga durata è più basso di quello necessario con uno di breve durata, proposero laseguente espressione:λ∫ ( σ −σ0) dt ≥ K c(3.14)0t fin cui σ 0 è il valore di soglia oltre il quale è attivato il criterio e t f è il tempo totale arottura. Si ha rottura quando, in un punto, l’integrale dato nell’equazione (3.14) supera ilvalore di riferimento K c . Tale modello è in grado di prevedere con buonaapprossimazione la rottura per spall causata da un impulso triangolare, ma ha dei limitievidenti nell’incapacità di considerare gli effetti volumetrici e quelli legati allatriassialità dello stato di sforzo.I modelli NAG sono basati sull’assunzione che fenomeni irreversibili, che hanno luogodurante il processo di deformazione, modificano la risposta del materiale e la suacapacità di sostenere i carichi. Per un modello basato su questo approccio, è necessarioridefinire le equazioni costitutive del materiale. Nel passato sono stati seguite,prevalentemente, due strade differenti: quella dei “Porosity-based Models” e quella dei“Contnuum Damage Models” (CDM).Nei modelli basati sul concetto di porosità, questa è espressa con l’introduzione di unavariabile di porosità fittizia, correlata alla formazione di microvuoti nel materiale con ladeformazione plastica, che abbassa lo snervamento del materiale. Le equazionicostitutive del materiale alla macro scala sono le equazioni elasto-plastiche standard delmateriale, ma il criterio di snervamento è modificato dalla porosità del materiale in42

modo tale che quando questa raggiunge il valore critico, la funzione di snervamentoimplode in un punto a sforzo nullo. Tale approccio è stato inizialmente formulato daGurson, [17],e, successivamente, è stato modificato da Tvergaard e Needleman, [18],per tenere in conto l’effetto d’interazione tra i diversi vuoti. Needleman e Rice, [19],modificarono il modello per la nucleazione di nuove famiglie di vuoti in fasi successivedel processo di deformazione. Anche se tale modello è largamente utilizzato in un grannumero di applicazioni ed è disponibile nella maggior parte dei codici numericicommerciali, è fortemente limitato da due fattori: richiede la conoscenza di un numeroeccessivo di parametri dipendenti dal materiale (fino a 9); non è trasferibile a differenticondizioni geometriche e di vincolo, [20] e [21].Curran et al. [22], facendo riferimento allo stesso approccio, proposero una legge dievoluzione della porosità differente, assumendo una distribuzione esponenziale deivuoti rispetto alla loro dimensione. Seaman et al. [23], proposero una funzione didistribuzione della nucleazione legata alla pressione tensile.Nella CDM si definisce, in modo alternativo ai modelli basati sul concetto di porosità,un set di equazioni costitutive per il materiale danneggiato. In questo approccio, ildanno è una delle variabili di stato. Assumendo l’esistenza di un potenziale didissipazione di danno, si può ricavare la legge cinetica di evoluzione del danno.Lemaitre, [24], ha per primo definito il contesto costitutivo per il danno duttile neimateriali. Successivamente, [25], sono state presentate altre forme del potenziale didissipazione del danno che portano a diverse leggi di evoluzione del danno con ladeformazione plastica. Nel prossimo paragrafo è presentato il modello proposto daBonora nel 1997, [2], che sarà utilizzato nel prosieguo della presente trattazione.3.3.1 Modello di danno duttile non lineareIl modello di danno utilizzato nel presente lavoro è stato sviluppato da Bonora, [2], nelcontesto della CDM, inizialmente proposta da Lemaitre, [24]. Le caratteristicheprincipali del modello possono essere brevemente riassunte nei seguenti punti: Il modello è derivato sotto le ipotesi dell’esistenza di un potenziale didissipazione del danno e dell’equivalenza delle deformazioni, che portano alladefinizione di tensione effettiva e all’accoppiamento tra danno e deformazioneplastica;43

Il modello richiede un numero limitato di parametri dipendenti dal materiale,soltanto quattro, tutti con un preciso significato fisico; L’identificazione degli stessi può essere facilmente ottenuta con semplici provedi tensione uniassiale su provini di geometria appropriata (clessidra, roundnotched e prova di pura torsione); I parametri sono caratterizzati da trasferibilità geometrica; La formulazione del modello di danno è indipendente dal materiale, differentievoluzioni del danno con la deformazione plastica possono essere accuratamentedescritte con il medesimo potenziale di danno, utilizzando in modo appropriatoil set di parametri, Figura 3.5; La formulazione proposta non presenta i problemi di localizzazioni tipici delleformulazioni con softening.1.00.90.80.7Al2024-T3Cu99.9%AISI1045Bonora's modelcrD/D0.60.50.40.30.20.10.0-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0(ε-ε th )/(ε cr -ε th )Figura 3.5 - Evoluzione del danno, normalizzato rispetto al danno critico, in funzione delladeformazione plastica, per diversi tipi di metalli.Di seguito è riportato il set base di equazioni costitutive:Decomposizione delle deformazioni totali,T e pij ij ijε = ε + ε(3.15)44

Velocità delle deformazioni elastiche,εeij1 + ν σijν σkk= − δE 1−D E 1−DLegge evolutiva delle deformazioni plastiche,ij(3.16)p ∂fp3 sijε ij = λ= λ(3.17)∂σ 2 σijDefinizione del moltiplicatore plastico∂f pr = − λ= λ= p (3.18)∂Rin cui le equazioni (3.17) e (3.18) sono quelle della plasticità standard, mentre la leggecinetica di evoluzione del danno è data da:eqdove1fD ∂= −λ D ( D )1cr − D0α ⎛σH⎞α−p= α⋅ ⋅ f ⋅( D )∂cr −Dα ⋅Y ln( ε / ε )⎜(3.19)⎜⎝σ⎠⎟pf th eqf 2⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞ΡΡ= ( 1 + ν) + 3 ⋅( 1 − 2 ν)⋅⎜σeq 3⎝ ⎠⎟⎝⎜σ⎟eq ⎠(3.20)esprime l’effetto della triassialità degli sforzi. I parametri di danno richiesti sono: ε th , lasoglia di deformazione alla quale i processi di danneggiamento hanno inizio; ε f , ladeformazione teorica a rottura uniassiale;D cr, il danno critico al quale si ha la rottura eα , l’esponente di danno che determina la forma della curva dell’evoluzione del dannocon la deformazione plastica.45

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[13] Manjoine, M.J., Welding Research Supplement, 50s-57s, 1982.[14] Bonora, N., e Milella, (2000) P.P., USAF/AFRL Contract n o F61775-00-WE029Final Report.[15] Johnson G.R. e Cook W.H., Fracture Characteristics of Three Metals Subjectedto Various Strains, Strain Rates, Temperature and Pressures, Engng. Fract.Mech., 21, pp. 31-48, 1985.[16] Tuler, F.R., e Butcher, B.M., A Criterion for the Time Dependence of DynamicFracture, Int. J. Fract. Mech., 4, pp. 431-437, 1968.[17] Gurson, A.L., Continuum Theory of Ductile Rupture by Void Nucleation andGrowth: Part I – Yield Criterion and Flow Rules for Porous Ductile Materials, J.Engn. Mat. Tech., 99, pp. 2-15, 1977.[18] Tvergaard, V. e Needleman, A., , Acta Metall., 32, p.157-169, 1984.[19] Needleman, A., e Rice, J. R., Limits to ductility by plastic flow localization inMechanics of Sheet Metal Forming, Koistinen and Wang Eds., Plenum Publ.Company, New York, pp. 237-265, 1978.[20] Gao, X., Faleskog, J., Shih, C.F., e Dodds, R. H., Eng. Fracture Mechanics, 59,No. 6, pp. 761-777, 1998.[21] Brocks, W., Klingbeil, D., Kunecke, G., e Sun, D.Z., in Constraint Effects inFracture: Theory and Application, ASTM STP 1244, Kirk and Bakker Eds.,American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1994.[22] Curran, D. R., Seaman, L. e Shockey, D.A., in Shock Waves and High StrainRates Phenomena in Metals, Ed. Meyers M.A. and Murr L.E., Plenum, New-York, 1981.[23] Seaman L., Curran, D.R., e Shockey, D.A., Computational Models for Ductile andBrittle Fracture, J. Appl. Phys., 47, pp. 4814-4826, 1976.[24] Lemaitre, J., A Course on Damage Mechanics, Springer-Verlag, Berlin, 1992.[25] Chandrakanth, S. and Pandey, P.C., Int. J. Fracture, 60, R73-R76, 1993.[26] Bonora, N., A nonlinear CDM model for ductile failure, Engineering FractureMechanics, 58, pp. 11-28, 1997.47

4 Strumenti di simulazione numerica per l’analisi deifenomeni dinamici4.1 IntroduzioneGli strumenti analitici sono molto utili per sviluppare una comprensione, che potrebbeessere definita intuitiva, dei fenomeni fisici che si manifestano durante i processid’impatto e permettono di valutare, con senso critico, i risultati sperimentali.Consentono, anche, di fare delle previsioni, di sistemi molto semplici, purché nonvengano violate le ipotesi semplificative utilizzate per la derivazione dei modelli stessi.Se si vogliono superare tali limitazioni, però, è indispensabile ricorrere agli strumentidella simulazione numerica. Il loro utilizzo, ad oggi, ha il limite maggiore nella carenzadi modelli costitutivi in grado di descrivere correttamente il comportamento meccanicodei materiali in regime dinamico, nondimeno tali strumenti sono fortemente consolidati,permettono di calcolare correttamente i fenomeni di propagazione ondosa tipici deifenomeni transitori di geometrie comunque complesse, di risolvere problemi accoppiatimeccanici, termici, elettromagnetici etc., [3]. Il loro utilizzo non può, però, prescinderedall’esperienza dell’operatore e da una profonda conoscenza sia delle problematiche chesi stanno analizzando, sia degli strumenti che si stanno adoperando.In commercio esiste un gran numero di codi numerici per trattare i processi d’impatto,con caratteristiche diverse: codici lagrangiani, euleriani, SPH, etc. A volte lo stessocodice integra, per garantire una maggiore flessibilità, diversi approcci, come nel casodei codi che permettono l’interazione, nella medesima analisi, di griglie lagrangiane edeuleriane. Solo con un’adeguata conoscenza di tutte queste caratteristiche si puòscegliere correttamente e in modo consapevole lo strumento più adeguato alle proprieesigenze.Una distinzione netta, in merito al metodo di risoluzione delle equazioni differenziali,esiste tra i codici impliciti e quelli espliciti. I primi, più tradizionali, nati per larisoluzione di analisi quasistatiche, richiedono l’inversione della matrice di rigidezza,questo garantisce una maggiore affidabilità dei risultati ottenuti a discapito di unamaggiore difficoltà nel raggiungere la convergenza e di una più bassa velocità di48

calcolo. I codici espliciti sono i codici più diffusi per le analisi dinamiche, sono dedicatialla risoluzione delle problematiche d’impatto. Sono molto “robusti” in relazione allaloro capacità di raggiungere la convergenza e permettono di effettuare analisi, anchemolto complesse, tridimensionali, con numerosi corpi a contatto, in un temporelativamente contenuto. Tale facilità di convergenza, però, impone, all’operatore, unamaggiore attenzione nel controllo dei risultati ottenuti, perché l’accumulo di errori nelprocesso di integrazione può portare a stime, quantitative e qualitative, del tuttosbagliate.Di seguito sono presentati i due codici commerciali utilizzati per le analisi delleconfigurazioni sperimentali investigate: il codice implicito, agli elementi finitiMSC.Marc e il codice esplicito Autodyn.4.2 Analisi dinamica in MSC.MarcIl codice agli elementi finite MSC.Marc permette di effettuare analisi dinamiche didiverso tipo, [2]:Analisi agli autovalori;Analisi transiente;Risposta armonica;Risposta spettrale.Il programma utilizza due metodi per l’estrazione degli autovalori e tre operatori perintegrazione temporale. Possono essere trattate non linearità, dovute al materiale, allageometria e alle condizioni al contorno. I problemi lineari possono essere risolti con unasovrapposizione modale ovvero con un’integrazione diretta. I problemi non lineari,invece, possono essere risolti esclusivamente con i metodi d’integrazione diretta. Oltrealle masse distribuite è possibile utilizzare masse concentrate associate ad ognuno deigradi di libertà del sistema. Lo smorzamento numerico può essere utilizzato sia per leanalisi modali sia per quelle transienti. Si possono applicare condizioni iniziali nonuniformi di spostamento o velocità, così come forze o spostamenti dipendenti daltempo.49

4.2.1.1 Integrazione DirettaL’integrazione diretta è un metodo numerico per risolvere le equazioni del moto di unsistema dinamico, che può essere utilizzato sia per problemi lineari sia per quelli nonlineari. Per le analisi transienti, MSC:MARC offre i tre operatori d’integrazione direttadi seguito riportati: Newmark-β Operator; Houbolt Operator; Central Difference Operators.Tutte le tecniche d’integrazione diretta sono imprecise e presentano almeno uno deiseguenti inconvenienti:conditional stability;artificial damping;phase errors.Newmark-β OperatorTale operatore è, probabilmente, il metodo d’integrazione diretta più popolare eutilizzato per le analisi agli elementi finiti. Per i problemi lineari è incondizionatamentestabile e non presenta smorzamenti numerici. In problemi non lineari possono nasceredelle instabilità che possono essere superate con uno smorzamento adeguato oriducendo l’intervallo del tempo d’integrazione. La procedura supporta, infatti, lapossibilità di variazione di tale intervallo e l’utilizzo di un controllo adattativi dellostesso.Si considerino le equazioni del moto di un sistema strutturale scritte in forma matriciale:M a + Cv + K u + F = 0(4.1)in cui M, C, e K indicano, rispettivamente, le matrici di massa, di smorzamento e dirigidezza, e a, v, u, e F sono i vettori di accelerazione, velocità, spostamento e forza.La forma generalizzata del Newmark-β operator è data da:1( β)n+ 1 n n 2 n 2 n+1u = u +∆t ⋅ v + − ∆t ⋅ a + β ⋅∆t ⋅a2n+ 1 n n n+1v = v + ( 1 −γ)∆t ⋅ a + γ ⋅∆t ⋅a(4.2)50

in cui l’apice n indica l’intervallo temporale ennesimo. Le equazioni della dinamica checorrispondono alla particolare forma della legge trapezoidale,risultano in:1 1γ = β = (4.3)2 44 2 + 14( 2) ( )∆tn n n n nM + C + K ∆ u = F − R + M a + v + Cv∆t∆tin cui R è la forza interna data da:RVT(4.4)= ∫ β σdV(4.5)L’equazione (4.4) permette di ottenere la soluzione implicita del problema nella forma:n + 1 n= +∆ (4.6)u u uÈ bene sottolineare che la matrice dell’operatore include il termine la matrice dirigidezza tangente, K, per cui, ogni non linearità comporta una riformulazione dellamatrice dell’operatore. Questa, inoltre, dipende dall’intervallo d’integrazione e deveessere, di conseguenza, ricalcolata per ogni variazione dello stesso. Nell’equazione (4.2), γ è un parametro che, se settato ad un valore diverso da 1 2, introduce unosmorzamento nella risposta. Questo può permettere, ad un operatore molto esperto, diintrodurre una viscosità artificiale che può essere necessaria, ad esempio, nellasimulazione di un fenomeno caratterizzato dalla propagazione di onde d’urto. Invece β èil parametro caratteristico della formulazione di Newmark. Al variare del suo valoreinfatti, tale metodo diviene equivalente a formulazioni di volta in volta differenti, adesempio:1β = - accelerazione costante nell’incremento temporale41β = - accelerazione lineare61β = - variazione a gradino dell’accelerazione8β = 0 - formulazione esplicita del secondo ordine.51

4.2.2 Houbolt OperatorTale operatore possiede la medesima stabilità incondizionata per I problemi lineari delNewmark-β operator. Inoltre è caratterizzato da un elevato smorzamento numerico chelo rende molto stabile anche per i problemi non lineari. La stabilità, infatti, cresceall’aumentare del dell’intervallo d’integrazione. Di contro, però, l’elevato smorzamentopuò portare, per intervalli d’integrazione molto lunghi, a soluzioni non accurate.L’Houbolt operator è basato sull’utilizzo di un’interpolazione cubica per i valori aquattro tempi differenti, tre determinati in precedenza e il corrente incognito. Ciò risultanelle equazioni:e( 3)n + 1 11 n + 1 n 3 n − 1 1 n − 2 1v = u − u + u − u ⋅ (4.7)6 2 3 ∆ t( 2 5 4)n+ 1 n+ 1 n n− 1 n−2a = u − u + u − u1∆tSostituendo le equazioni (4.7) e (4.8) nell’equazione del moto, si ottiene:2 11( 2)M + C + K ∆ u =∆t6∆tn n−1 n−2( 3u − 4u + u ) M C 7 3 1= F − R + + u − u + u∆t∆t6 2 32( )n+ 1 n n n−1 n−22(4.8)(4.9)che fornisce uno schema di soluzione “implicito” per l’equazione (4.1), dalla quale siottengono v n+1 e a n+1 .4.2.3 Central Difference OperatorTale operatore esplicito è stabile solo in modo condizionale e il programma calcola,automaticamente, il massimo intervallo ammissibile del tempo d’integrazione. Talemetodo non è applicabile a strutture di tipo guscio o trave, perché le elevate frequenzerisultano in un limite di stabilità estremamente piccolo, è invece molto utile per l’analisidei fenomeni di shock.Il Central Difference Operator assume una legge di variazione dello spostamentorispetto al tempo, di tipo quadratico:nn+ 1( 2 n−12 ) ( )a = v −v ∆ t(4.10)52

in modo che:nn+ 1( 2 n−12 ) ( )v = u −u ∆ t(4.11)+ 1 2( ) ( )n n na = ∆u −∆u ∆ t(4.12)in cui:n n n 1u u u −Nella forma più generale la soluzione è data da:∆ = − (4.13)M∆tM∆tn+1 n n n n−122∆ u = F − R +2∆u −Cv(4.14)4.2.4 DampingIl damping, o smorzamento numerico, riproduce, in un’analisi dinamica transiente, ladissipazione di energia all’interno del sistema. In Marc sono previste, per tale analisi,due tipologie di smorzamento: il modal damping, per il metodo delle sovrapposizionimodali, e il Rayleigh damping, per l’integrazione diretta Ad ogni incremento di tempo,il programma associa, ad ogni modo, la frazione di damping corrispondente.L’integrazione è basata sull’assunzione che la matrice di smorzamento numerico delsistema è costituita da una combinazione lineare delle matrici di massa e di rigidezza, eche quindi non modifica i modi del sistema.Il damping è utilizzato per smorzare le eccessive oscillazioni del sistema alle altefrequenze. Poiché, al diminuire dell’intervallo d’integrazione, la matrice di dampingpuò causare uno smorzamento eccessivo, è opportuno utilizzare l’opzione che vede lamatrice di damping essere dipendente dall’intervallo d’integrazione, in modo che, ancheper intervalli molto piccoli, le frequenze più elevate possano essere correttamenterappresentate. La matrice di damping è data dalla seguente relazione:∆t{ αi i ( βi γi ) i}1 πIn cui:C è la matrice di damping;M i è la matrice di massa dell’i-esimo elemento;K i è la matrice di rigidezza dell’i-esimo elemento;53nC = ∑ M + + K(4.15)i =

α i è il coefficiente smorzamento di massa sull’i-esimo elemento;β i è il coefficiente smorzamento di rigidezza sull’i-esimo elemento;γ i è il coefficiente che rende lo smorzamento numerico proporzionale a ∆t;∆t è l’intervallo del tempo d’integrazione;Se, per l’intera struttura, sono usati gli stessi valori per I coefficienti di smorzamento,l’equazione (4.15) risulta in una formulazione del damping equivalente a quella diRayleigh.4.3 Analisi dinamica in AutodynIl codice numerico Autodyn, della Century Dynamics, utilizza tecniche alle differenzefinite, ai volumi finiti e agli elementi finiti per risolvere una grande varietà di probleminon lineari nella dinamica sia dei solidi sia dei fluidi; i codici di tale categoria vengonospesso indicati col termine “Hydrocode”. Essi possono essere utilizzati per studiarefenomeni fortemente dipendenti dal tempo e con non linearità dovute alla geometria(grandi spostamenti e grandi deformazioni) e al materiale (plasticità, incrudimento,softening, danneggiamento, equazioni di stato, etc.). Autodyn incorpora diversiprocessori numerici ognuno dei quali è ottimizzato per risolvere il problema indeterminati domini: strutture, fluidi, gas, etc. L’accoppiamento, nello spazio e neltempo, dei diversi domini permette di raggiungere la soluzione ottimale al problema. Iprocessori numerici inclusi in Autodyn sono i seguenti, [3]: processore lagrangiano, per la modellazione dei solidi continui e delle strutture; processore euleriano, per la modellazione dei fluidi e delle grandissimedistorsioni; Arbitrary Lagrange Euler (ALE), specifico per la modellazione dei flussi; processore shell, per la modellazione di elementi strutturali sottili; Smooth Particle Hydrodynamics (SPH).Tutti i processori elencati utilizzano un metodo di integrazione nel tempo di tipoesplicito. In tutte le simulazioni relative al presente lavoro di tesi si è utilizzato unprocessore di tipo lagrangiano, il cui schema è stato derivato dal metodo utilizzato da54

Wilkins, , nel codice HEMP. Rispetto ad un approccio euleriano, una formulazionelagrangiana è, dal punto di vista computazionale, più veloce, non dovendo risolvere ilcalcolo del trasporto di materiale attraverso la mesh. Permette, inoltre, di trattare piùfacilmente le interfacce tra i materiali, le superfici libere e l’effetto della storia sulcomportamento del materiale. Un esempio del modo di operare di una formulazionelagrangiana è riportato in Figura 4.1.Figura 4.1 – Distorsione di una mesh lagrangiana, [3].Lo svantaggio maggiore è dovuto alla perdita di accuratezza che, inevitabilmente siaccompagna ad un’eccessiva distorsione della mesh. Per superare tale problema,Autodyn permette di effettuare il “Rezoning” della mesh in modo da attenuare ledistorsioni, Figura 4.2. Laddove ciò non sia sufficiente, come ad esempio in alcunifenomeni di penetrazione, la tecnica dell’erosione permette ad un operatore esperto diottenere una soluzione sufficientemente accurata.Figura 4.2 – Tipica procedura di “rezoning”, [3].4.3.1 Metodo d’integrazione esplicitoIl metodo per l’integrazione delle equazioni discretizzate è detto esplicito se gli55

spostamenti al tempo t+ ∆ t, nel ciclo di calcolo, sono indipendenti dalle accelerazioniallo stesso tempo. L’algoritmo alle differenze centrali del secondo ordine è uno deglischemi d’integrazione più utilizzati. Sia data l’equazione del moto nella forma:Mu + Ku = F ( t,u )(4.16)in cui M è la matrice delle masse, K è la matrice di rigidezza, u il vettorespostamento, u l’accelerazione e F il vettore delle forze che include i carichimeccanici, termici e le pseudoforze dovute alle non linearità geometriche e delmateriale. Le velocità e gli spostamenti possono essere espressi, in funzione del tempo,nella forma:∆t1( + ) = ( +∆ ) − ( )u t [ u t t u t ](4.17)2 ∆t1 ⎡ ∆t∆t( ) = ⎢ ( + ) − ( − )⎤u t u t u t(4.18)∆t⎣⎢2 2 ⎦⎥Combinando le equazioni (4.16), (4.17) e (4.18) si ricava la relazione:2 2Mu( t + ∆ t) = ( ∆ t) F( t) + ⎡2M ( t) K⎤u( t) ⎣− ∆⎦−Mu( t −∆t)(4.19)Ad ogni intervallo di tempo sono noti le velocità e gli spostamenti, da cui possonoessere derivate le velocità di deformazione e le deformazioni stesse. Si ripete quindi laprocedura per determinare le accelerazioni e le velocità all’intervallo di temposuccessivo.La risposta può diventare instabile se l’intervallo di tempo scelto non è sufficientementepiccolo. Per i problemi non lineari non esiste un criterio di stabilità rigoroso, mal’esperienza ha dimostratati che si ottiene un buon risultato se:kl∆ t = (4.20)cin cui l è la dimensione minima degli elementi della mesh, c è la velocità del suono nelmezzo, k è un coefficiente, minore di uno, generalmente compreso tra 6,0 e 9,0.4.3.2 Viscosità artificialeAl fine di limitare le discontinuità correlate alla comparsa di onde d’urto, si introducenella soluzione un termine viscoso artificiale. Von Neumann e Richtmeyer, [4],introdussero un termine, quadratico nella velocità di deformazione, da sommare al56

valore della pressione idrostatica, nei bilanci di energia e quantità di moto. Nel 1980,Wilkins, [5], propose un ulteriore termine, lineare nella velocità di deformazione, persmorzare le piccole oscillazioni ad alta frequenza che si hanno a valle dello shock. Taleformulazione è utilizzata in gran parte dei codici espliciti in commercio, compresoAutodyn, nella forma:⎡⎛ ⎛V ⎞ ⎛V ⎞⎞⎤ Vq = ρ CQd − CLc per < 0⎢V V ⎣⎝ ⎜ ⎝⎜ ⎠⎟⎝⎜⎠⎠ ⎟⎟⎥⎦ VVq = 0 per < 0 V(4.21)in cui C Q e C L sono costanti, ρ è la densità, d è una lunghezza caratteristica, c è lavelocità del suono nel mezzo e V Vè la variazione volumetrica.4.4 Implementazione numerica del modello di danno non lineareL’implementazione numerica del modello di danno è stata effettuata su entrambi i codidi calcolo utilizzati in questo studio: MSC.Marc e Autodyn. La stessa è avvenutaattraverso l’utilizzo di “user subroutines” direttamente collegate al programmaprincipale. La formulazione del modello permette una facile implementazione per viadel fatto che i potenziali di plasticità e di dissipazione del danno sono disaccoppiati. Leequazioni della plasticità, di conseguenza, sono le equazioni standard già implementatenel programma principale. Poiché la legge di evoluzione del danno, in accordo conl’equazione (3.19), è funzione dell’ammontare di danno accumulato, della deformazioneplastica accumulata e della triassialità dello stato di sforzo, essa deve essere integrataper l’incremento di deformazione plastica corrente. A tale scopo si utilizza lo schemad’integrazione numerico Runge-Kutta. Il danno è calcolato ad ogni intervallo temporale,per ogni punto di gauss. Quando, per tutti i punti di gauss di un elemento, si raggiunge ilvalore del danno critico, questo viene rimosso e sforzi e deformazioni vengonorilasciati. Tale procedura può essere causa di instabilità numeriche, che possono peròessere facilmente superate ricorrendo ad un intervallo del tempo d’integrazionerelativamente piccolo, in modo che per ogni intervallo non venga rimosso più di unelemento. Questo permette al sistema di ristabilire gli equilibri e di evitare una57

propagazione degli errori. Lo schema logico seguito è riportato nel diagramma di flussodi Figura 4.3.INPUT( t ) p ( t )ijσ ijεEXITYES∆σε∆ε( t ) p ( t ) ( t )ij,ij,H,= εσp+ ( t ) p+( t−1)ijijσ+ ∆ε( t )eqp ( t )ijIFTF≤ 0NOεεp+( t )ijp+( t )eq= ε= εp+( t−1)ijp+( t−1)eq+ ∆εp ( t )ij2∆ε3p ( t )ij∆εp ( t )ijIntegrate ∆D +2⎛ ⎞ 2⎛ ⎞Runge-Kutta⎜σH ⎟ ( 1 ) 3 ( 1 2 ) ⎜σHf = + ν + ⋅ − ν ⋅ ⎟3⎝σeq ⎠⎝σeq ⎠D +(t)= D +(t-1)+ ∆D +YESεp+eq≥ εthIFand Dflag( m ) = 0NOIFYES Dflag(m)=1Remove element.SETEXITD +(t) ≥ D cr(t) T (t)σij = 0 ,εij= 0NOUpdate variablesUpdate stiffness matrixE ~ = E ⋅(1−D )Figura 4.3 - Schema logico per il calcolo numerico della variabile di danno. La procedura inizia allafine di ogni incremento, quando sono già state calcolate tutte le variabili globali e ed è ripetuta perogni punto di gauss di ogni elemento attivo.58

Bibliografia[1] Zukas, J. A, Nicholas, T., Swift, H. F., Greszczuc, L. B. and Curran, D. R., ImpactDynamic, John Wiley & Sons, New York, 1992.[2] MSC.Marc Volume A: Theory and User Information, Version 2005, U.S.A.,2005.[3] Autodyn documentation, Theory Manual, Revision 4.3, Century Dynamics, 2003.[4] Von Neumann, J. e Richtmeyer, R.D., “A Method fort he Numerical Calculationof Hydrodynamic Shocks”, J. Appl. Phys., 21, pp. 232-237, 1950.[5] Wilkins, M. L., “Use of Artificial Viscosity in Multidimenional Fluid DynamicCalculation”, J. Comp. Phys., 36, pp. 281-303, 1980.59

5 Taylor Test5.1 Analisi teorica del test di TaylorIl test di Taylor è una tecnica sviluppata per determinare il valore della tensione disnervamento di un materiale soggetto a carichi dinamici. Esso prevede che un provinodi forma cilindrica venga fatto impattare normalmente, a velocità nota, contro unaparete rigida e che si deduca la tensione di snervamento ricercata dalla velocitàd’impatto e dalla geometria iniziale e finale del provino. Taylor ha proposto [1], nel1948, un’analisi semplificata del fenomeno, assumendo che: il materiale abbia un comportamento rigido perfettamente plastico edindipendente dalla velocità di deformazione, σ=σ(ε); la propagazione delle onde all’interno del cilindro sia monodimensionale; il flusso plastico sia incompressibile e la deformazione elastica sia trascurabile.Figura 5.1 - Schematizzazione del cilindro di Taylor: (a) durante la deformazione; (b) al terminedella deformazione.La Figura 5.1a mostra una schematizzazione del cilindro ad un certo punto durante laprova. La regione deformata cresce con velocità pari alla velocità di propagazionedell’onda plastica c p , mentre la porzione indeformata del cilindro, la cui lunghezzaistantanea è h, viaggia alla velocità decrescente v. Indicando con A 0 l’area della sezioneiniziale del cilindro e con σ y la tensione di snervamento, si possono scrivere:l’equazione di conservazione della massa,p( p) 0cA= v+ c A(5.1)60

l’equazione della conservazione della quantità di moto,( p)e l’equazione del moto per la parte indeformata,ρ v+ c v= σ − σ(5.2)dvρh dtyy= − σ(5.3)Assumendo, ancora, che la velocità di propagazione dell’onda plastica sia costante e chela superficie libera del cilindro venga decelerata uniformemente, si può derivare laformula di Taylor:( 0− )2( )σy l H 1=2ρv l0l0 − l1⎛ 0 ⎞ln ⎜ ⎟⎝H⎠(5.4)in cui l 0 è la lunghezza iniziale del cilindro, l 1 ed H sono, come mostrato in Figura 5.1b,rispettivamente le lunghezze, rilevate al termine della prova, dell’intero cilindro e dellasua porzione indeformata.Taylor ha introdotto un fattore correttivo nell’analisi in virtù del fatto che ladecelerazione del cilindro, in realtà, non avviene in maniera costante. Se si indica conσyil valore corretto di σydeterminato con la relazione precedente, si può scrivere:⎛ l0⎞lnσy l0 − l⎜ ⎟1 H− =⎝ ⎠σyl0− H ⎛ cp⎞⎜K− ⎟⎝ a ⎠2(5.5)con:Kaσ= (5.6)ρ22 yv+ c0 p= (5.7)Nel corso degli anni numerosi ricercatori hanno cercato di superare alcune delle ipotesisemplificative, introdotte nella formulazione di Taylor, per ottenere una sua validità piùgenerale. Nel 1954, Lee e Tupper, [4], hanno presentato un modello che tiene ina61

considerazione la deformazione elastica. Raftopoulos e Davis [5], hanno generalizzato ilcomportamento del materiale, includendo la deformazione elastica e il lavorod’incrudimento. Jones et al. [6], hanno proposto una nuova equazione del moto per laparte indeformata del provino. Erlich et al. [7], nel 1981, hanno presentato una tecnicaalternative che prevede l’impatto simmetrico tra due cilindri, così da eliminare leincertezze dovute all’indeterminatezza dovuta all’attrito sulla superficie d’impatto.5.2 Simulazione numerica del Taylor testNella presentazione del test di Taylor si è visto come una delle assunzioni principali, sucui è ricavata la relazione che permette di ricavare il valore della tensione disnervamento del materiale in regime dinamico, è l’unidimensionalità dello stato disforzo. In realtà, proprio tale assunzione è stata in passato largamente contestata.Wilkins e Guinam [8], evidenziarono la necessità di ricorrere ad un’analisibidimensionale per simulare correttamente il test in oggetto.Nel presente studio, è stata effettuata un’estesa campagna numerica per verificare lapossibilità di riprodurre le caratteristiche salienti dell’esperimento e di stimare il ruolodei diversi parametri che caratterizzano il modello di resistenza del materiale in regimedinamico. I risultati ottenuti sono stati sempre, per quanto possibile, messi a confrontocon risultati sperimentali disponibili in letteratura.La modellazione agli elementi finite del Taylor Cylinder Impact Test, pur dandol’impressione di essere estremamente semplice, nasconde, in realtà, una serie di aspetticritici quali, il contatto tra cilindro e incudine, l’attrito tra le superfici d’impatto, ledimensioni degli elementi, l’aspect ratio”, che rendono l’analisi molto delicata. Perqueste prime simulazioni numeriche, si è utilizzato il codice MSC.Marc facendo ricorsoalla schema di risoluzione diretto Newmark-β. Si è effettuata un’analisi parametricadegli effetti associati al modello di resistenza utilizzato, nello specifico quello diJohnson e Cook, [1]. Una notevole attenzione è stata dedicata alla corretta simulazionedell’incudine, la cui influenza sulla bontà dei risultati non è, in letteratura,opportunamente evidenziata. Le analisi hanno riguardato l’impatto di cilindri, a diversevelocità, di rame OFHC, ferro ARMCO e acciaio AISI, le cui proprietà meccanichesono riportate in Tabella 5.1.62

Tabella 5.1 - Propietà meccaniche dei materiali investigati e relativi parametri per il modello diJohnson e Cook, [1].MaterialeAcciaioAISI 4340FerroARMCORameOFHCDensità[kg/m 3 ]Proprietà MeccanicheCalorespecifico[J/kg K]Temperatura di fusione(°K)A(MPa)Costanti per il modello diJohnson e CookB(MPa)n C m7830 477 1793 792 510 .26 .014 1.037890 452 1811 175 380 .32 .060 0.558960 383 1356 90 292 .31 .025 1.09L’analisi è stata effettuata in configurazione assialsimmetrica. Poiché gli elementi dellazona di contatto sono soggetti ad elevate deformazioni, la mesh iniziale è statarealizzata con un aspect ratio rettangolare, in modo da prevenire schiacciamentieccessivi degli elementi della zona di contatto. Questa strategia consente di superare iproblemi derivanti da un’eccessiva distorsione degli elementi che possono risultare inuno Jacobiano negativo e, quindi, all’interruzione della simulazione. In Figura 5.2 èriportato un esempio della mesh utilizzata, con dimensioni dell’elemento di 0,5x0,25mm 2 .Figura 5.2 - Dettaglio della mesh nella zona d'impatto, per il rame OFHC.63

Uno studio preliminare è stato effettuato modellando l’incudine come infinitamenterigido, una strategia largamente utilizzata in letteratura, [1]. Tale assunzione si è, però,rivelata essere inadeguata, perché porta alla generazione di disturbi ad altissimafrequenza all’interfaccia tra provino ed incudine che provocano chattering al contatto edaltri problemi di natura numerica.Per superare tali inconvenienti, l’incudine è stato modellato, più simile al caso reale,come corpo deformabile a snervamento molto elevato. La mesh dell’incudine è, nellazona del contatto, uniforme e formata da elementi quadrati, mentre nella parterimanente, dove è richiesta una minore accuratezza, gli elementi hanno formarettangolare e dimensioni via via crescenti. Per chiudere la mesh alle estremità edevitare che onde di riflessione possano interferire con il provino, sono stati utilizzatielementi semi-infiniti a sei nodi e sei punti d’integrazione; l’elemento mostrato inFigura 5.3, è formulato in modo tale da estendersi virtualmente all’infinito e daconsiderare, lì, nulli gli spostamenti.Figura 5.3 - Elemento semi-infinito usato nella modellazione dell'incudine.Come sottolineato più volte, il fattore più critico nella simulazione dei processi dinamiciè dato dalla difficoltà di caratterizzare il materiale in modo adeguato. Per questo motivosi sono analizzati, sfruttando la formulazione del modello Johnson e Cook, [1], glieffetti che i diversi parametri, deformazione, velocità di deformazione e temperatura,hanno sui risultati della simulazione numerica.Il primo gruppo di simulazioni è stato effettuato senza tenere in considerazione ildanneggiamento del materiale ed utilizzando la legge costitutiva nella forma:64

σ = A+Bεn (5.8)Si sono, in altre parole, trascurati gli effetti dovuti alla velocità di deformazione ed allatemperatura. Le prove sono state effettuate per il rame OFHC (l 0 =25,4mm) a 190m/s,per il ferro ARMCO (l 0 =12,6mm) a 279m/s e per l’acciaio AISI (l 0 =8,1mm) a 343m/s.Le simulazioni numeriche forniscono, per tutte le configurazioni, deformazioni delproiettile molto superiori a quelle rilevate sperimentalmente. La verifica può essereeffettuata confrontando gli accorciamenti, espressi come il rapporto tra la lunghezza delcilindro al termine della prova e la lunghezza iniziale, per le diverse configurazioni. Peril ferro il rapporto calcolato è pari a 0,58 contro lo 0,70 rilevato dalle sperimentazioni,mentre per l’acciaio si ha uno 0,73 calcolato contro lo 0,8 misurato. Per il rame, inoltre,l’eccessiva deformazione provoca l’interruzione del calcolo dopo un tempo di appena0,2µs, a fronte di un tempo necessario alla conclusione del processo di circa 80µs,Tabella 5.2.Tabella 5.2 - Confronto tra gli accorciamenti calcolati, con diversi modelli di resistenza, e i datisperimentali.DatisperimentaliσRisultati numerici= f ( ε ) σ = f ( εε , ) σ = f ( ε, ε,T )Rame OFHC 0.68 - 0.65 0.66Ferro ARMCO 0.70 0.58 0.70 0.66Acciaio AISI 0.73 0.80 0.77 0.61Per il secondo gruppo di simulazioni, si è introdotto il modello di danno e si è utilizzatala legge costitutiva nella forma:n*( A B )( 1 C*ln)σ = + ε + ε(5.9)in modo da tenere in conto gli effetti dovuti alla velocità di deformazione ma nonancora quelli legati alla temperatura. Le configurazioni per le simulazioni sono le stesseutilizzate in precedenza ma i risultati ottenuti sono decisamente differenti. Un tipo dilegge di questo tipo è sicuramente più adeguata alla descrizione del comportamentomeccanico del materiale e ciò è confermato dal confronto tra gli accorciamenti calcolatiper i diversi provini e quelli misurati nelle sperimentazioni. Per il ferro ARMCO65

l’accorciamento calcolato numericamente è di 0,7, pari a quello misurato; per l’acciaioAISI è di 0,77, contro lo 0,8 misurato; per il rame OFHC, il rapporto calcolato è pari a0,65 contro lo 0,68 misurato. Nelle Figura 5.4, Figura 5.5 e Figura 5.6 si può osservarecome i profili di deformazione per il rame e per l’acciaio corrispondano con ottimaapprossimazione a quelli rilevati sperimentalmente. Questa è un’evidente conferma delfatto che il materiale ha un comportamento meccanico differente a seconda che vengasollecitato staticamente ovvero in modo dinamico.Distanza dall'asse di simmetria [mm]1210864200 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24Posizione [mm]Figura 5.4 - Profilo dela deformata per il rame OFHC (l 0 =25,4mm; V 0 =190m/s) ottenuta assumendon*σ = A+ Bε 1 + C*ln ε .( )( )12Distanza dall'asse di simmetria [mm]10864200 2 4 6 8 10 12 14 1Posizione [mm]Figura 5.5- Profilo della deformata per il ferro ARMCO (l0=12,6mm; V0=279m/s) ottenutan*σ = A+ Bε 1 + C*ln ε .assumendo ( )( )66

Distanza dall'asse di simmetria [mm]1210864200 2 4 6 8 10 12 1Posizione [mm]Figura 5.6 - Profilo della deformata per l’acciaio (l 0 =8,1mm; V 0 =343m/s) ottenuta assumendon*σ = A+ Bε 1 + C*ln ε .( )( )Per l’ultimo gruppo di simulazioni si è provveduto a completare l’equazione costitutivaaggiungendo il termine che tiene in conto gli effetti della temperatura, la relazione,dunque, si presenta nella forma:n( )( 1 *ln * *)( 1 mA B C T )σ = + ε + ε −(5.10)Distanza dall'asse di simmetria [mm]1210864200 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24Posizione [mm]Figura 5.7 - Profilo della deformata per il rame OFHC (l 0 =25,4mm; V 0 =190m/s) ottenutan* * mσ = A+ Bε 1 + C*ln ε 1−T.assumendo ( )( )( )67

Distanza dall'asse di simmetria [mm]1210864200 2 4 6 8 10 12 14 1Posizione [mm]Figura 5.8 - Profilo della deformata per il ferro ARMCO (l 0 =12,6mm; V 0 =279m/s) ottenutan* * mσ = A+ Bε 1 + C*ln ε 1−T.assumendo ( )( )( )Distanza dall'asse di simmetria [mm]1210864200 2 4 6 8 10 12 1Posizione [mm]Figura 5.9 - Profilo della deformata per l’acciaio (l 0 =8,1mm; V 0 =343m/s) ottenuta assumendon1 *ln * 1 * mσ = A+ Bε + C ε −T.( )( )( )I risultati, per quanto riguarda i profili delle deformate, per il rame e l’acciaiorimangono sostanzialmente gli stessi, per il ferro invece, la deformata ottenutautilizzando l’ultima relazione costitutiva proposta è decisamente diversa e molto piùsimile a quella misurata.68

Un tale risultato è in accordo perfetto con i dati sperimentali, reperibili in letteratura,che hanno dimostrato, per mezzo di prove effettuate alla barra di Hopkinson, un’elevatasensibilità del ferro alle variazioni di temperatura.5.3 Analisi critica dei meccanismi di propagazione delle onde duranteil test di Taylor.Come detto in precedenza nel test di Taylor, l’unidimensionalità dello stato di sforzonon è verificata. Questo si può intuire, ad esempio, osservando la forma della deformatadel cilindro nella parte impattata, che non può essere giustificata a meno di ammettere lapresenza di deformazioni radiali.Gli strumenti numerici sono stati allora utilizzati per investigare i meccanismi dipropagazione delle onde che si vengono a verificare durante il test. Le interpretazionidate nel presente paragrafo derivano dalle osservazioni delle analisi numeriche giàpresentate e da altre effettuate per la configurazione del RoR. In particolare si è fattoriferimento alla configurazione adottata da Mayes et al., [10], dell’impatto simmetricodi cilindri, di calibro 7,62 mm, di rame OFE, con due diverse dimensioni medie delgrano. Il materiale con grano medio maggiore, 75µm, è stato impattato a 300m/s e392m/s, mentre il material con grano medio più fine, 40µm, è stato impattato a 233m/s.Le simulazioni sono state effettuate col codice esplicito Autodyn, il modello è statorealizzando due griglie, una per cilindro, in configurazione assialsimmetrica. In Tabella5.3, i diametri finali delle superfici impattate sono confrontati con le misuresperimentali, per tutte le velocità e le microstrutture, dimostrando, almeno per levelocità più basse, un ottimo accordo.Tabella 5.3 - Confronto tra i diametri calcolati delle superfici d'impatto e quelli misurati.Grano300m/sgrandeGrano fine 392m/sGrano233m/sfineDiametro calcolato 12.2mm 15.0mm 10.6mmRisultati sperimentali, [10] 12.4mm 12.5mm 10.9mmNelle Figure 5.10 a, b, c e d, viene illustrato, in configurazione assialsimmetrica, ilprocesso di generazione, propagazione e sovrapposizione delle onde di pressione che si69

viene a verificare nei primi 2µs del processo d’impatto. Al momento dell’impatto sigenerano, all’interfaccia, nei due cilindri, onde di compressione che, secondo laconvenzione utilizzata nella dinamica dell’impatto, hanno segno positivo e sonoindicate in rosso nella prima delle Figure 5.10.a)b)70

c)d)Figure 5.10 a, b, c e d - Generazione, propagazione e sovrapposizione delle onde di pressione in unRoR test a diversi istanti di tempo durante il processo di deformazione.Dopo appena 1µs, sono facilmente distinguibili le onde di rilascio che dal bordo esternopropagano verso il centro del provino. Queste, sovrapponendosi nella regione prossimaall’asse di simmetria, dando luogo, negli istanti successivi, ad uno stato di sforzotensile. Tale stato di sforzo porta al distacco, per un breve intervallo di tempo, della71

parte centrale della superficie d’impatto, appena distinguibile nella Figure 5.10 d.Successivamente si ripristina uno stato compressivo generalizzato, che ha come effettoil ristabilirsi del contatto, tra cilindro e incudine, lungo l’intera superficie d’impatto.Solo dopo questa prima fase, quindi, lo stato di sforzo si avvicina molto allo stato diunidimensionalità ipotizzato da Taylor.La conseguenza di tale meccanica è che durante il test, la deformazione e la velocità dideformazione nel cilindro non sono uniformi e, in ogni punto, non sono costanti, mavariano col tempo. Questo implica che da tale test non è possibile, in nessun modo,estrapolare il valore dello snervamento del materiale, come era stato inizialmenteproposto. Ad oggi il test è ancora largamente utilizzato perché, con un sistemarelativamente semplice, permette di raggiungere velocità di deformazione dell’ordine di10 4 ÷ 10 5 s -1 , fornendo dati che possono essere utilizzati per verificare le potenzialitàdegli strumenti numerici di previsione e di nuovi modelli costitutivi.5.4 Analisi numerica dei meccanismi di danneggiamentoIn questo paragrafo viene ripresa l’analisi del test di Taylor con particolare attenzione aiprocessi di danneggiamento. In modo simile a quanto proposto nei paragrafi precedenti,attraverso un’analisi numerica delle medesime configurazioni, si sono investigati glieffetti che, in modo indipendente, velocità di deformazione e temperatura, hanno suiprocessi di danneggiamento.In Figura 5.11 è riportata la mappa di danno ottenuta per il rame OFHC, assumendo lalegge sforzo deformazione (5.9) ed utilizzando il modello di danno non linearepresentato, con i parametri riportati in Tabella 5.4. Si può osservare come un certonumero di elementi, tra i quindici ed i venti, a seconda della configurazione esaminata,sia eliminato una volta che questi abbiano raggiunto il valore di danno critico. Leregioni maggiormente danneggiate corrispondo a quelle che risultano essere,dall’osservazione delle foto dei cilindri impattati, maggiormente degradate e questoconferma, qualitativamente, la validità del modello di rottura utilizzato.La legge di Johnson e Cook nella formulazione completa, Eqn. (5.10), è stata utilizzataper analizzare l’effetto della temperatura sul danneggiamento.72

Tabella 5.4 - Parametri di danno per il rame OFHC.ε th ε f D cr α0.1 3.2 0.85 0.63Figura 5.11 - Mappa di danno per il rame OFHC (l 0 =25,4mm; V 0 =190m/s) ottenuta assumendon*σ = A+ Bε 1 + C*ln ε .( )( )Tensione equivalente di von Mises [MPa]1000800600400200σ = A+Bεnnσ = ( A+ Bε )( 1 + C*ln ε* )nσ= A+ Bε 1+ C*ln ε* 1−T*00.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Deformazione plastica equivalentem( )( )( )Figura 5.12 - Diagrammi tensione deformazione, al variare della legge costitutiva, per un puntoappartenente alla superficie di contatto per l’impatto di un cilindro di ferro ARMCO.73

La Figura 5.12 esprime gli andamenti, ricavati dalle simulazioni degli impatti per ilferro ARMCO, della tensione in funzione della deformazione per le tre diverse relazionicostitutive utilizzate. E’ evidente il salto del valore della tensione di snervamentocausato dall’introduzione del termine legato alla velocità di deformazione, ma è altresìinteressante notare come l’aumento della temperatura, dovuto alla deformazioneplastica, abbassi, all’aumentare di quest’ultima, il livello dello sforzo. Questo comportauna maggiore duttilità del materiale, che si manifesta in una riduzione deldanneggiamento dello stesso. Tale riduzione è messa in luce dal fatto che, per nessunaconfigurazione, si ha l’eliminazione degli elementi per il raggiungimento del valore didanno critico.La Figura 5.13 rappresenta la mappa di danno, per il rame OFHC, rilevata dallasimulazione numerica che si è effettuata tenendo in considerazione, nel legamecostitutivo gli effetti dovuti sia alla velocità di deformazione sia alla temperatura. E’importante sottolineare come, per il rame e l’acciaio, la valutazione del profilo delledeformate possa portare a ritenere ininfluente l’effetto della temperatura, mentre,un’analisi del livello di danno raggiunto ne manifesta tutta la sua importanza.Figura 5.13 - Mappa di danno per il rame OFHC (l 0 =25,4mm; V 0 =190m/s) ottenuta assumendon1 *ln * 1 * mσ = A+ Bε + C ε −T.( )( )( )74

5.4.1 Effetto della dimensione del granoI risultati sperimentali in [10] mostrano una particolarità che opportuno investigare inmodo approfondito. In accordo con la teoria, si osserva, per il materiale a più grandegrano medio, un aumento del danno con la velocità d’impatto. Il materiale a grana fine,invece, manifesta, sorprendentemente, rispetto a quello a grana grande, un maggioreammontare del danno, a più bassa velocità d’impatto, Figura 5.15.Tale risultato mostra chiaramente che, per quanto riguarda il danneggiamento, le duediverse microstrutture hanno caratteristiche di danneggiamento differenti. Ladimensione del grano, come noto, influenza la resistenza del materiale. A grani piùpiccoli corrispondono valori più elevati della tensione di snervamento come descrittodalla relazione di Hall-Petch:σy−0,5= σ0+ Kd(5.11)in cui σ0e K sono costanti che dipendono dal materiale e d è la dimensione media delgrano. Ad un aumento della tensione di snervamento, al diminuire delle dimensioni delgrano, corrisponde una riduzione della duttilità. Per quanto concerne il danneggiamento,esso inizia con la nucleazione di microvuoti in prossimità delle inclusioni ovvero, per imetalli puri come il rame in oggetto, ai bordi grano. In quest’ultimo caso, il danno èdato dall’impossibilità di accomodare, alla mesoscala, le deformazioni imposte allamacroscala. Di conseguenza, nelle microstrutture a grana fine, per le quali il moto delledislocazioni è fortemente vincolato, il danneggiamento duttile dovrebbe iniziare ad unlivello di deformazione plastica più basso rispetto al caso di grana più grossolana.Quindi, per un dato livello di deformazione, ci si aspetta un ammontare di danno piùelevato. Si è pensato che un tale andamento possa essere governato dal valore delladeformazione di soglia e che, quindi, questa debba, in qualche modo, essere influenzatadalla dimensione del grano.Sono stati raccolti i valori della deformazione di soglia per diversi materiali metallici eriportati, in funzione della dimensione media del grano, in Figura 5.14, che evidenziauna chiara dipendenza tra ε th e la dimensione media del grano, indipendentemente dalmateriale. Si è trovato, inoltre, che i dati rappresentati in Figura 5.14 sono molto beneinterpolati da una curva del tipo:75

ε ( ) 0,5th= Ad− d 0(5.12)in cui A è una costante e d 0sembra indicare un limite inferiore di dimensione delgrano, al di sotto del quale i processi di danneggiamento dovrebbero essere inibiti acausa della perdita di duttilità. Questo è in accordo con recenti osservazioni sperimentaliche indicano una variazione del tipo di rottura, da duttile a fragile, per dimensioni delgrano estremamente piccole.Damage threshold strain0.240.220.200.180.160.140.120.100.080.060.04A533BOFHC CuOFHC CuARMCOLow carbon0.02 AISI4340 Al20240.00W900 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Figura 5.14 - Deformazione di soglia in funzione della dimensione media del grano.Per quanto è stato illustrato, nelle simulazioni numeriche si sono utilizzati, per le duediverse dimensioni medie del grano, i valori di deformazione di soglia ricavati dallarelazione (5.12): εth= 0,1 per d = 0,75µm e εth= 0,04 per d = 40µm.La mappa di distribuzione del danno è stata analizzata e confrontata, in Figura 5.15, coni risultati derivati dalle micrografie dei cilindri sezionati, il risultato trovato è in ottimoaccordo con i dati sperimentali disponibili, sia per la deformata finale sia per la mappadi distribuzione del danno.Per il materiale con grano medio maggiore, è correttamente previsto un aumento deldanno con la velocità d’impatto. Si evince, inoltre, che il danno è causato da grandideformazioni plastiche, che avvengono in prossimità della zona di contatto, tardi nelprocesso di deformazione. Per il materiale a grana fine, caratterizzato da un valore più76

asso della deformazione di soglia, il danno sembra essere dovuto dall’intenso impulsodi tensione che si genera nelle prime fasi del processo di deformazione, secondo ilmeccanismo descritto al paragrafo 5.3. Tale processo è caratterizzato da un basso livellodi deformazione plastica e da elevata triassialità dello stato di sforzo, mostrando fortisimilarità alla rottura per spall che si ha, ad esempio, nel Flyer Plate Impact Test.Figura 5.15 - Deformate e mappe di danno calcolate a confronto con i risultati sperimentali.77

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6 Hopkinson Bar6.1 Principio di funzionamentoLa barra di Hopkinson (o apparato di Kolsky) è, ad oggi, la tecnica sperimentale piùutilizzata per la caratterizzazione della risposta meccanica dei materiali, in regimi divelocità di deformazione compresi tra 10 2 e 10 4 s -1 . Il principio di funzionamento èbasato sull’assunzione che nel provino e nelle barre che costituiscono il sistema di provasi realizzi uno stato di sforzo uniassiale. Una configurazione tipica dell’apparato diprova e degli strumenti necessari alla rilevazione dei dati è schematicamente mostrato inFigura 6.1.Figura 6.1 - Schematizzazione dell'apparato e della strumentazione di una configurazione classicadella Hopkinson in compressione, 0.Il provino è fissato tra le due barre incidente e trasmittente. Una terza barra (proiettile ostriker bar), accelerata per mezzo dell’energia trasmessagli da una molla o da unapistola a gas, colpisce la barra incidente provocando un impulso che viaggerà in essafino a raggiungere il provino. All’interfaccia col provino, parte dell’impulso saràtrasmesso e parte riflesso in rapporto alle impedenze meccaniche della barra e delprovino. L’impulso trasmesso, dopo aver attraversato il provino, all’interfaccia con labarra trasmittente, sarà in parte riflesso e in parte trasmesso alla barra stessa. Se lalunghezza dell’impulso è sufficientemente più lunga della lunghezza del provino, le80

ipetute riflessioni che si realizzano garantiscono, nel provino stesso, che ladeformazione e la velocità di deformazione possano ritenersi uniformi. La lunghezzadell’impulso è pari al doppio della lunghezza della striker bar. Le barre incidente etrasmittente devono essere sufficientemente snelle da garantire l’instaurarsi di uno statodi sforzo quanto più prossimo a quello uniassiale. La sezione delle barre è scelta inmodo tale che, data l’intensità dell’impulso generato, esse abbiano, durante la prova, uncomportamento elastico, mentre il provino, di sezione minore, si deforma plasticamente.Figura 6.2 - Schematizzazione degli impulsi di deformazione alle interfacce barre provino 0.Lo stato di sforzo e deformazione che si realizza nel provino durante la prova può esserericavato dalla conoscenza dei segnali di deformazione elastica sulle barre incidente etrasmittente. Nella rappresentazione schematica del provino e delle barre di Figura 6.2,sono riportati gli impulsi incidente, ε i, riflesso, ε r, e trasmesso, ε t. Indicando con ipedici 1 e 2 le due estremità del provino, i loro spostamenti possono essere scritti come:t∫u = c ε dt1 0 10t∫u = c ε dt2 0 20(6.1)in cui c 0è la velocità dell’onda elastica nelle barre di Hopkinson. Se si scrivono leequazioni (6.1) in termini di impulsi incidente, riflesso e trasmesso, si ottiene:t∫1 00t2 00( ε ε )u = c − dt∫u = c ε dttir(6.2)81

con la usuale convenzione, nella dinamica dell’impatto, di assumere positivi gli sforzi ele deformazioni di compressione. La deformazione media nel provino è:o, in termini d’impulso di deformazione:εu− uL1 2s= (6.3)cε ∫ ( ε ε ε ) dt(6.4)t0s=i−r−tL0in cui L è la lunghezza del provino. Le forze alle estremità del provino possono esserescritte come:12( ε ε )P = EA +P= EAεtir(6.5)in cui E e A indicano rispettivamente il modulo di Young e la sezione delle barre diHopkinson. La forza media è pari a:EAPav = ( εi + εr + εt)(6.6)2Se si assume, per l’equilibrio, P1 = P2,si ha:e, quindi, dall’equazioni (6.4):( )ε + ε = ε(6.7)i r tcε ∫ ( ε ε ε ε ) dt(6.8)t0s=t−r−r−tL0Per un provino si sezionedeformazione, come:As, si ottengono la deformazione, lo sforzo e la velocità diε−2cts=0εrdtL∫0(6.9)Aσs= E εt(6.10)As82

−2cL0s= εr(6.11)ε6.2 Simulazione numerica della Hopkinson barL’assunzione fondamentale della teoria alla base del principio di funzionamento dellabarra di Hopkinson è che lo stato di sforzo possa essere assunto uniassiale. Nel presentelavoro si è verificato che tale ipotesi può essere considerata vera sia per la classicaconfigurazione a compressione della Split Hopkinson Pressure Bar, sia per unaconfigurazione alternativa, che permette di effettuare la prova direttamente in trazione.6.2.1 Prova di compressioneNelle simulazioni delle prove di compressione un provino di forma cilindrica condiametro d = 8 mm e lunghezza l = 4 mm è stato sottoposto all’impulso generato dauna striker bar lunga 250 mm . Il diametro, D , delle barre di Hopkinson è di 10 mm ela loro lunghezza è L = 1100 mm . Il materiale di cui è formato il provino è rame OFHCle cui proprietà meccaniche sono riportate in Tabella 5.1. Le due barre di pressione e lostriker sono costituite, invece, di un acciaio maraging per cui si è adottato un modelloelasto-plastico perfetto con carico di snervamento Y pari a 1764 MPa. Uno schema delsistema di prova è riportato in Figura 6.3.Figura 6.3 - Schema del sistema di prova della barra di Hopkinson a compressione simulato aglielementi finiti.83

Il rapporto l / d = 0. 5 del provino ed il coefficiente d’attrito nullo tra le interfacce con ledue barre di pressione che lo trattengono, sono stati scelti allo scopo di riprodurre lecondizioni più favorevoli per minimizzare l’effetto delle inerzie e dei fenomenid’attrito. La simulazione numerica è stata effettuata con il codice implicito MSC.Marc:la mesh che discretizza il campione è formata da elementi, in configurazioneassialsimmetrica, di forma rettangolare di dimensioni pari adi tempo d’integrazione è stato scelto di2× 0.25 ; l’intervallo0.5mm∆ t = 10 −7 s che si rivela il giusto compromessotra la precisione richiesta e i tempi di calcolo reclamati dal fenomeno, la cui durata èdell’ordine dei500 µ s . Per la discretizzazione delle barre di pressione sono statiimpiegati elementi rettangolari di dimensioni maggiori,2 mm2× 1 . In Figura 6.4 èriportato il particolare del modello che interessa le interfacce barre provino.Figura 6.4 - Particolare dell'interfaccia tra barre e provino nella configurazione non deformatainiziale.Per modellare il contatto tra i corpi si è fatto ricorso a quattro mesh indipendenti,ciascuna associata ad un singolo corpo deformabile (il provino, lo striker, e le due barredi pressione) avendo cura di assegnare una maggiore risoluzione alla mesh cherappresenta il provino con un duplice scopo: seguire con precisione il moto di scorrimento sulle barre di pressione e84

l’eventuale compenetrazione dei corpi a contatto; monitorare l’evoluzione dei gradienti di tensione indotti.Le storie temporali delle deformazioni acquisite sulle mezzerie delle barre di Hopkinsonhanno permesso di confrontare i risultati ottenuti numericamente con quanto previstodalla teoria. In Figura 6.5 si riportano gli andamenti delle onde di tensione registratedurante la prova.Figura 6.5 - Andamenti delle tensioni durante la prova di compressione.Sono indicate in blu ed in rosso le storie di carico che registrano rispettivamente il nododisposto sulla barra incidente (che rileva l’impulso incidente e in seguito quello riflesso)e quello presente sulla barra trasmittente o d’output (che registra solo l’impulsotrasmesso), per una prova in cui lo striker viaggia inizialmente ad una velocità di15 m / s . L’onda di compressione σigenerata dall’urto con lo striker, propaga lungo labarra fino a raggiungere l’interfaccia con il provino, dove, è parzialmente riflessa comeonda di trazioneσ re parzialmente trasmessa σ tnella barra d’output. L’impulso dicompressione σirilevato dal nodo che funge da estensimetro sulla barra incidente, hauna forma pressoché rettangolare; tuttavia si distinguono in modo nitido sul suo fronte,le tipiche oscillazioni di Pochhammer-Chree imputabili agli effetti d’inerzia radiale e85

che si attenuano molto velocemente per via dell’elevato rapporto di snellezzal / d = 110 scelto per le barre.La durata temporale e l’intensità dell’onda di tensione generata dall’urto rispettanoegregiamente le previsioni teoriche secondo cui, per uno stato di sforzo elastico,unidimensionale si dovrebbe avere:1 1 Eσ = ρCV 0 0= ρ ⋅V0≅292.5MPa2 2 ρ2l2lt = = ≅102.6µsC E ρ0(6.12)Anche la contemporaneità con cui le due onde riflessa e trasmessa giungono sui dueestensimetri opposti è più che buona. Altrettanto soddisfacente è l’accordo con leprevisioni teoriche per quel che riguarda l’equilibrio delle tensioni nel provino, sebbenele due onde non abbiano una forma simile a quella rettangolare, è facile verificare cheper ogni istante di tempo risulta vero, con buona approssimazione, che la somma degliimpulsi riflesso e trasmesso uguaglia quello incidente:r( t) σ ( t) σ ( t)σ + =(6.13)tProprio la forma dell’onda riflessa contraddistingue in modo univoco la prova dicompressione: se si fa riferimento alla formula (6.11), si evince che gli strain ratesapplicati al provino non sono perfettamente costanti, ma che i valori spesso citati nelleprove sperimentali non sono altro che un valore "mediato" dei corrispettivi andamentitemporali. A conferma di quanto detto, nella Figura 6.6 sono riprodotti alcuni andamentitemporali delle velocità di deformazione subite dal provino, per diverse velocitàd’impatto.I diagrammi sono stati ottenuti effettuando una campagna di prove con velocitàd’impatto crescenti della barra proiettile generando onde di sollecitazione la cuiampiezza sia sempre inferiore al limite elastico del materiale costituente le barre diHopkinson, imponendo che:1 σmax= ρ C0V0≤ Y(6.14)2i86

Figura 6.6 - Andamenti temporali degli strain rates per diverse velocità d’impatto.Figura 6.7 - Diagrammi tensione-deformazione per le diverse velocità di carico.Sono due le cause concomitanti che provocano gli andamenti decrescenti delle velocitàdi deformazione: il progressivo incrudimento del materiale;87

l’aumento della sezione resistente opposta dal campione a causa dell’espansioneradiale per effetto Poisson.Questo spiega gli andamenti temporali decrescenti e le pendenze maggiori per i casi incui si genera nel provino un’onda plastica più intensa. La conferma è fornita dagliandamenti dei diagrammi tensione-deformazione, riportati in Figura 6.7, ottenutisecondo la teoria, dall’analisi delle onde di deformazione riflessa e trasmessa registratedai trasduttori, attraverso le equazioni (6.9) e (6.10).In seguito sono state eseguite due prove con la medesima geometria per mettere aconfronto il metodo d’integrazione Newmark β con il single step Houbolt. I risultatiottenuti hanno dimostrato la sostanziale conformità dei due algoritmi di calcolo, ma afavore del secondo metodo sembra deporre una maggiore stabilità dimostrata da unadistribuzione delle tensioni più regolare nei primi istanti di tempo dell’analisi. Adesempio in Figura 6.8 si è riportato l’andamento delle tensioni all’interno delle barre dipressione (proiettile ed incidente) dopo un tempo ∆ t =10µs , ottenuto con i due metodiper la stessa velocità d’impatto V = 25 m / s .Figura 6.8 - Distribuzione delle tensioni sull’asse di simmetria delle barre di pressione a10µ s dall’istante in cui è avvenuto l’impatto.88

La distribuzione generata dal metodo di Houbolt modificato è certamente più regolare edotata di una perfetta simmetria rispetto all’asse d’impatto delle barre, contrariamente aquanto fatto dal metodo di Newmark β che è sporcato da un rumore "di fondo"incomprensibile. Come anticipato dagli sviluppatori del codice il primo metodo siconferma più indicato per le analisi dinamiche che coinvolgono corpi a contatto ed incui è necessario attenuare l’effetto dei disturbi d’alta frequenza eccitati dall’urto. Aldilàdelle sottili divergenze iniziali però, i risultati delle analisi numeriche sul medio e lungotermine si rivelano del tutto equivalenti, come confermato dagli andamenti delle onde dideformazione riflessa e trasmessa misurate sugli estensimetri mostrate nella Figura 6.9.Figura 6.9 –Onde di deformazione incidente e riflessa registrate sugli estensimetri dopo circa 320 µsdall’impatto.La condizione d’equivalenza dei due metodi d’integrazione numerica sul lungo periodoè confermata anche dall’uguaglianza delle deformate finali del provino, che in ambo icasi non hanno presentato, a causa dell’attrito nullo sulle interfacce con le barre, iltipico profilo curvo a forma di botte. Il "barreling" è, infatti, un fenomeno moltocomune nelle prove di compressione dinamiche in cui la lubrificazione non si dimostradel tutto efficace come mostrato nei dettagli della Figura 6.10.89

Figura 6.10 – Confronto tra un provino cilindrico non deformato (a) ed i profili finali deformati conbarreling (b) e senza (c).6.2.2 Prova di trazionePer riuscire ad ottenere l’intera curva sforzo deformazioni, fino a rottura, è necessarioeffettuare la prova alla barra di Hopkinson in trazione. Nel corso degli anni sono staticoncepiti numerosi dispositivi, alcuni dei quali assai ingegnosi, in grado di trasformarel’impulso compressivo, generato dall’impatto, in un impulso tensile, [2]. Unaconfigurazione molto interessante è quella proposta da Staab e Gilat, perché è in gradodi generare direttamente un’onda di trazione, senza ricorrere dell’azione della barraproiettile. Questo obiettivo si raggiunge accumulando nella parte posteriore della barraincidente un precarico di deformazione, e lasciandolo in seguito libero di propagarelungo la barra fino ad investire il provino, Figura 6.11.Figura 6.11 - Schema funzionale dl dispositivo di Staab e Gilat.90

Per realizzare un simile sistema di carico, si rendono necessari però, un servosistemaidraulico per porre in trazione la parte della barra preposta a tal fine, ed una morsacapace di fissarne una sezione di lunghezza prefissata L . Forse è proprio la morsa arilascio istantaneo, l’elemento essenziale dell’impianto, e perciò la correttaprogettazione di questo assemblato ha ricadute immediate sulla qualità dell’impulso ditrazione prodotto. Un semplice schema funzionale della morsa, riprodotto nelparticolare di Figura 6.11, prevede l’azione concomitante di due bracci meccanici (conle estremità fissate sulla loro parte inferiore) a serrare i lati della barra incidente sottol’azione di un bullone intagliato. Per far partire l’impulso di trazione, il bullonesopraindicato è stretto finché non cede di schianto lasciando la barra libera di spostarsiin senso assiale. In quel preciso istante un impulso di trazione, d’ampiezza pari allametà della deformazione elastica accumulata fino a quel momento, inizia a diffonderenella barra d’input verso il provino. Contemporaneamente, in modo perfettamenteanalogo, un’onda di rilascio d’uguale ampiezza inizia a muoversi dalla morsa versol’estremità opposta della barra che è vincolata al sistema servo-idraulico di trazione. Acausa dell’impedimento esercitato da questo dispositivo, quando l’onda di rilascio èriflessa dall’estremità posteriore della barra, si annulla bruscamente l’ampiezzadell’impulso che va generandosi. Il risultato del transitorio descritto è perciò un impulsodi trazione la cui durata è pari a: t = 2LC0(tempo che esso impiegherebbe per coprireil doppio della distanza esistente tra la morsa ed il sistema di trazione) che si muovelungo la barra di pressione in direzione del provino. E’ l’intensità dell’impulso che sidesidera generare a suggerire il tipo di materiale da impiegare per il bullone e laprofondità del relativo intaglio. Comunemente, però, i materiali utilizzati a tale scoposono le leghe d’alluminio Al 6061-T6 o Al 2024-T6, perché dotate di una duttilitàminima ma non di un eccessivo livello di fragilità che potrebbe persino impedire diraggiungere il livello di deformazione richiesto durante il precarico. Questo tipod’impianto, che ultimamente sembra essersi confermato il più compatto ed affidabile inassoluto, ha tratto ampia ispirazione dalle tecniche sperimentali già ampiamentecollaudate per altre tipologie di prove, basti pensare a come tecniche analoghe sianostate per lungo tempo un cardine delle prove dinamiche a torsione.La prova a trazione con il dispositivo della barra di Hopkinson su provini di rame, èstata simulata facendo ricorso ad un’unica mesh, formata dall’unione delle barre di91

pressione e del provino interposto. La continuità del reticolo di calcolo si è resanecessaria per schematizzare il comportamento del campione che, nella realtà, èassicurato alle barre per via delle estremità filettate di cui dispone. Il provino ha lacaratteristica forma ad "osso di cane" come per le normali prove di trazione, madimensioni più contenute, con un diametroraggio di raccordolunghezzad = 4 mm , lunghezza utile l = 8 mm , er = 1mm; mentre le barre hanno un diametro D = 9 mm ed unaL = 1100 mm . Per rappresentare il comportamento del sistema di carico dellabarra incidente, nel modello numerico, si è fatto uso di una speciale condizione divincolo denominata "tying". Ai nodi disposti sull’estremità remota della barra incidenteè stato imposto uno spostamentosezione radiale ad una distanza∆ x prefissato mentre i nodi della barra disposti su unaL = 450 mm dall’estremità, sono stati bloccati persimulare il sistema di tenuta della morsa. In seguito è stato istantaneamente rimosso ilvincolo così imposto e si è lasciato il sistema libero di evolvere. Così facendo si generanella barra incidente un’onda di trazione di duratat = 2L C e di ampiezza pari allametà della deformazione accumulata sulla parte "in tiro" della barra fino a qualcheistante prima. Il passo adottato per l’integrazione diretta del transitorio generato, hadimensioni variabili ed è pari abordo della barra incidente, ma diventa pari aquando l’onda elasto-plastica investe in pieno il provino.−7∆ t = 2 ⋅10s finché l’onda di trazione non giunge sul−8∆ t = 4.5 ⋅10s per i successivi 190 µ sFigura 6.12 – Particolare della mesh adottata per la discretizzazione del provino di rame puro.92

La necessità di un time step variabile è dettata dalla durata temporale dell’interoprocesso e dalla mesh di dimensioni variabili adottata per la geometria in esame. Ledimensioni minime degli elementi approssimanti il provino sono di0.20mm2× 0.25 perquelli disposti sulla sua parte rettilinea come mostrato nella Figura 6.12.Diversamente dalle prove di compressione, in tutte quelle di trazione realizzate, si èavuto cura di implementare nel codice di calcolo il modello di danneggiamento nonlineare presentato.Le peculiarità salienti della prova di trazione si sono confermate: gli andamenti degli strain rates sono più regolari rispetto alla prova dicompressione; le problematiche connesse alle "oscillazioni" presenti nelle curve tensionedeformazione,tipiche di buona parte delle prove di trazione ad elevate velocitàdi deformazione, costituiscono un punto critico; la rottura avviene a seguito del fenomeno di strizione.Figura 6.13 - Andamenti delle onde di tensione registrate durante le prove.93

Figura 6.14 - Andamenti temporali delle velocità di deformazione raggiunte.Nelle prove simulate al calcolatore si è proceduto lasciando inalterata la geometria delsistema ed inviando sul campione onde di sollecitazione d’ampiezza crescente. Daiprofili di deformazione registrati sugli estensimetri è emerso un andamento più regolaredi quanto non risulti nelle prove di compressione. La tipica forma delle onde di trazionee di compressione registrate sulle barre di pressione è mostrata in Figura 6.13, in cuiappaiono ben visibili gli impulsi di trazione incidenti e gli impulsi di compressioneriflessi e, più deboli, quelli trasmessi.La forma molto regolare degli impulsi riflessi è un buon indice degli andamentitemporali delle velocità di deformazione imposte al provino. Facendo ricorso allarelazione (6.11) si ottengono gli andamenti mostrati in Figura 6.14, contraddistinti daforme molto simili agli andamenti ideali "a gradino" che sarebbero indicativi di unaprova con velocità di deformazione perfettamente costante.Ciononostante, anche la prova di trazione presenta alcuni limiti intrinseci. Innanzi tutto,rimane confermato dall’analisi agli elementi finiti che come suggerito da diversiricercatori, 0, è molto difficile ottenere informazioni attendibili sul comportamento delmateriale ad elevati strain rates nel campo elastico. Sono sostanzialmente due le causedi tale difficoltà:94

i fenomeni delle oscillazioni della risposta, che crescono con la velocità dideformazione della prova; la mancata uniformità dello stato di deformazione interno del campione e deglistrain rates imposti nei primi istanti del test.Ad aggravare la disomogeneità del campo di deformazione contribuiscono anche leforme e le dimensioni del provino adottato nella prova di trazione. Tali problematichefanno in modo che il modulo di Young del materiale misurato in condizioni dinamichesi riveli per diversi materiali, minore di quello ottenuto con prove di trazionequasistatiche.A conferma di quanto appena detto, in Figura 6.15, sono riportati gli andamenti deidiagrammi σ − ε ottenuti con diverse velocità di carico per lo stesso materiale.Figura 6.15 - Curve tensione-deformazione ottenute per diverse velocità di carico.Nella realtà esiste per le prove realizzate attraverso il dispositivo della barra diHopkinson, anche un limite superiore d’applicabilità, determinato dalle deformazioniplastiche accumulate. La condizione di monodimensionalità dello stato tensionale,infatti, cessa di esistere non appena il provino inizia a subire una localizzazione delflusso plastico a causa del fenomeno del necking. Come per gli altri test di trazioneuniassiale, quando il processo di strizione localizza sul provino, non è più possibileconvertire attraverso la semplice teoria proposta, gli spostamenti delle barre di pressionenella curva dello strain rate subito dal materiale in prova. Durate il processo di95

necking la velocità di deformazione cresce localmente ben oltre i valori che si registranonelle condizioni di deformazione uniforme. Nella Figura 6.16 sono riportati gliandamenti delle velocità di deformazione registrate per una prova in cui il provino èstato deformato fin quasi a rottura ( D ≅ 0. 6 ). Come si può facilmente constatare, lemisure effettuate "localmente" con degli estensimetri virtuali di lunghezza decrescente,confermano che la velocità di deformazione cresce notevolmente a causa del neckingFigura 6.16 - Misure degli strain rates effettuate con estensimetri di lunghezza variabile.Figura 6.17 – Distribuzione del danno sulla deformata finale del provino dopo la rottura.96

Quando l’effetto combinato della triassialità dello sforzo, della temperatura crescente(causata dal riscaldamento adiabatico del provino) e del danno accumulato con ladeformazione plastica, sono spinte all’eccesso si provoca il cedimento del provino chepresenta la rottura coppa-cono tipica dei materiali duttili mostrata nella Figura 6.17.6.2.2.1 Prove di trazione con ARMCO-ironIl campo d’applicazione del dispositivo di Kolsky per le prove di trazione può essereesteso ben oltre l’inizio del necking facendo ricorso alle capacità della fotografia ad altavelocità. Sono attualmente disponibili, infatti, cineprese a tamburo rotante capaci diacquisire fino a 200000 frames in un secondo con tempi d’esposizione inferiori ai4 µ s .Di questa tendenza affermatasi negli ultimi anni, ci si è avvalsi di recente, per effettuareun confronto approfondito tra dati sperimentali e risultati di natura numerica. NellaFigura 6.18 ad esempio è riportata una tipica sequenza fotografica realizzata duranteuna prova di trazione con la barra di Hopkinson ad intervalli di10 µ s .Per esaminare la validità dei modelli costitutivi adottati nelle simulazioni assistite dacalcolatore si può effettuare un confronto tra le deformate reali e numeriche accumulatedurante alcuni test come il cilindro di Taylor o i proiettili forgiati tramite esplosivi. Direcente Noble et al., [3], hanno evidenziato che per le prove di trazione, la riduzionedell’area nella zona di strizione e gli incrementi di temperatura ivi registrati, sono dueparametri di confronto assai più sensibili. Soprattutto le previsioni riguardanti latemperatura, sono molto importanti quando si fa ricorso a modelli costitutivi avanzatiche implementano una dipendenza esplicita da questo parametro. Dal momento che illegame costitutivo del materiale e la legge d’evoluzione del danno, integrate nel calcolo,sono contraddistinti da una forma spiccatamente non lineare, si è cercata una confermadei parametri numerici utilizzati nelle simulazioni attraverso un confronto con alcuneprove sperimentali rinvenute in letteratura. Sono così state svolte, prove di trazione suprovini di ARMCO-iron con diametrod = 3 mm e lunghezza utile l = 8 mm lasciandoinalterata la geometria dell’intero impianto, ed utilizzando per gli elementi formanti lamesh dimensioni minime di2× 0.25 (come visualizzato in Figura 6.19) con0.25mm−8tempi inferiori d’integrazione pari a ∆ t = 4 ⋅10s .97

Figura 6.18 - Sequenza fotografica per una prova di trazione.Le costanti adottate per il legame costitutivo di Johnson e Cook e per il modello didanno di Bonora, per il materiale in esame, sono elencate rispettivamente nelle Tabella5.1 e Tabella 5.4.La prima serie di prove ha puntato a verificare la fondatezza del valore dellosmorzamento numerico γ iscelto per le analisi numeriche effettuate. Sono staticonfrontati, a tal fine, i profili teorici e numerici assunti dall’onda di trazione chepropaga nella barra incidente. Le prove numeriche sono state svolte adottando nei tre98

casi valori di γ ipari rispettivamente a: 0.4, 0.8 ed 1.2 come visualizzato nella Figura6.20.Figura 6.19 - Mesh adottata nelle prove con ARMCO-iron.Figura 6.20 – Confronto tra il profilo teorico e quelli numerici dell’onda di trazione.Gli andamenti dell’impulso incidente risultano in ogni caso abbastanza viciniall’impulso ideale a gradino che dovrebbe assumere un’ampiezza−3εinc= 3.75⋅10eduna durata∆ t =185 µ s . Ciò nonostante il giusto compromesso, tanto per le oscillazionidovute alle inerzie radiali, quanto per il livello di deformazione raggiunto, è garantito99

dal valore di γ = 0. 8 .iIn seguito si è proceduto con un confronto tra risultati numerici e valori sperimentaliregistrati in tre prove distinte su provini dalla geometria identica. Sono stati cosìconfrontati gli andamenti temporali della riduzione percentuale dell’area del provinocausata inizialmente dalla deformazione uniforme e dopo dal necking. Com’è evidenteil trend della simulazione segue in modo soddisfacente gli andamenti delle misurazionisperimentali per le quali sono diagrammati il valore minimo, medio e massimo delle treprove, Figura 6.21.Figura 6.21 - Confronto tra dati numerici e sperimentali della strizione.D’altronde uno scostamento del 3 o 4% sui valori massimi della strizione èoggettivamente una soddisfacente conferma della validità del modello di danno nonlineare anche per le situazioni (come quella in esame) che coinvolgono evoluzionitemporali dello stato di triassialità dello sforzo. Non bisogna trascurare che prima digiungere alla rottura del provino lo stato tensionale interno per questo ultimo, mutanotevolmente, passando da una sollecitazione pressoché monoassiale ad unamarcatamente triassiale. La deformata finale del provino, un istante dopo la rottura, èriportata in Figura 6.22, da essa sono stati rimossi gli elementi della mesh che hannoraggiunto il limite critico del parametro di danno. Come si nota chiaramente100

l’asimmetria di carico, imposta nella prova, causa la rottura del campione non incorrispondenza della sua linea di simmetria ma su una sezione radiale disposta ad unadistanza dalla prima di circa 1 mmFigura 6.22 - Deformata finale del provino di Armco iron un istante dopo la rottura.Figura 6.23 - Confronto tra valori numerici e sperimentali degli strain rates.101

Questo particolare conferma il buon esito del calcolo, riproducendo l’essenza delfenomeno reale, così come fatto anche dagli andamenti delle velocità di deformazionesperimentate dal campione e riportate in Figura 6.23. In essa sono stati confrontati gliandamenti sperimentali ottenuti tenendo sotto controllo due punti del provino per mezzodella fotografia ad alta velocità, e gli analoghi andamenti temporali registrati nellasimulazione numerica.L’altro parametro d’interesse per le simulazioni termo-meccaniche eseguite è latemperatura. È già stato precisato che il lavoro plastico di deformazione compiuto suimateriali di natura metallica è dissipato sotto forma di calore. Per i carichi dinamicimolto veloci s’instaurano, molto spesso, le condizioni di adiabaticità del fenomenoperché il calore è dissipato con una velocità notevolmente inferiore a quella con cui ègenerato localmente. In questi casi un’analisi semplificata, suggerisce di imporre cheun’aliquota costante k del lavoro di deformazione è convertita in calore causandol’innalzamento della temperatura del materiale. Utilizzando un coefficiente diconversione k = 0. 95 , avvalorato dagli studi effettuati in tale ambito negli ultimi anni,si è monitorata l’evoluzione temporale della temperatura nel punto più deformato delcampione. Come confermato dalla simulazione numerica e dalla Figura 6.24, il provinosubisce un notevole aumento della temperatura fino oltre i 250 ° C ma, soprattutto, lavelocità di crescita di questa ultima cambia repentinamente quando localmente siinstaura il fenomeno del necking, aumentando di circa∆ t = 85µs.102∆T = 180 ° C in meno diIl notevole incremento della temperatura è stato confermato nelle prove sperimentali permezzo di una camera di scansione termica ad infrarossi. Con l’ausilio di questodispositivo si è riusciti ad ottenere, durante le prove sperimentali, la distribuzione dellatemperatura sulla superficie del provino qualche istante dopo la rottura. Il confronto travalori sperimentali e numerici è presentato in Figura 6.25 e non deve colpire l’apparentedisuniformità dei dati, causata in realtà dai limiti del dispositivo di misura dellatemperatura, incapace di acquisire immagini in un intervallo di tempo∆ t < 400µs . Larealtà è che la mappatura della temperatura sperimentale è stata eseguita circa2 msdopo l’avvenuta rottura del provino, un intervallo di tempo cospicuo se si confronta coni tempi di rottura di circa180 µ s . Questo ritardo può aver causato la ridistribuzionedella temperatura nelle immediate vicinanze della zona di frattura, che per la

simulazione numerica è risultata la più sollecitata come ampiamente anticipato dallateoria.Figura 6.24 - Variazione della temperatura nel punto più sollecitato del provino.Figura 6.25 - Distribuzioni della temperatura dopo la rottura del provino.103

6.3 ConclusioniLe simulazioni numeriche effettuate hanno permesso di verificare che nella prova allabarra di Hopkinson, lo stato di sforzo che viene a realizzarsi sia effettivamente moltoprossimo ad uno stato unidimensionale.Si è verificato, inoltre, che con un’attenta progettazione della prova, nello specificogeometria del provino in relazione alla geometria delle barre e alle impedenzemeccaniche dei materiali utilizzati, la deformazione e la velocità di deformazionepossono essere ritenute, con buona approssimazione, uniformi all’interno del provino.Questo è di importanza rilevante, in quanto, permette di accettare i risultati ottenuti conquesta tecnica sperimentale come identificativi del comportamento meccanico delmateriale in regime dinamico.Si è riscontrato che i limiti maggiori in tale tecnica sperimentale sono dati dalladifficoltà di mantenere costante, durante l’intera durata della prova, la velocità dideformazione. In particolare si è osservato come nella prova di compressione la velocitàdi deformazione decresce a causa dell’aumento di sezione per effetto poisson. Nellaprova a trazione, al contrario, è proprio l’effetto di strizione a consentire ilmantenimento di un’elevata velocità di deformazione ad un valore pressoché costante.Dall’esperienza acquisita con le analisi numeriche effettuate si è partiti per laprogettazione e di una barra di Hopkinson a trazione in fase di realizzazione. Le barresono state dimensionate in modo da permettere la caratterizzazione del comportamentomeccanico in regime dinamico di materiali metallici quali il rame, gli acciai, alcuneleghe di nichel, come il waspaloy etc. Particolare attenzione ha richiesto laprogettazione del sistema di afferraggio. Al buon funzionamento di tale sistema, infatti,è condizionata la limpidezza dell’impulso di trazione generato e, quindi, la pulizia dellaprova effettuata.104

Bibliografia[1] Zukas, J. A, Nicholas, T., Swift, H. F., Greszczuc, L. B. and Curran, D. R.,Impact Dynamic, John Wiley & Sons, New York, 1992.[2] Zukas, J. A., High Velocity Impact Dynamics, John Wiley & Sons, New York,1990.[3] Noble, J.P., Goldthorpe, B.D., Church, P. e Harding, J., "The use of theHopkinson bar to validate constitutive relations at high rates of strain", Journalof the Mechanics and Physics of Solids, 47, pp. 1187-1206, 1999.105

7 Flyer Plate Impact TestL’esperimento del Flyer Plate Impact Test consiste nel realizzare un impatto planare, avelocità nota, tra due dischi sottili. Un rapporto diametro su spessore elevato (D/h>10)garantisce uno stato di deformazione uniassiale in prossimità dell’asse di simmetria deidischi. Questa configurazione sperimentale rappresenta una delle poche configurazionigeometriche per le quali la trattazione teorica, come descritta al paragrafo 2.2.5, èdisponibile in forma esatta e può essere utilizzata per la verifica ed il confronto con irisultati numerici. Come è già stato introdotto, è possibile, anche per impatti iperveloci,generare un’onda di shock, perciò il Flyer Plate Impact Test è generalmente utilizzatoper determinare la curva di Hugoniot del materiale. Si ricorda che tale curva non èpercorsa durante il processo di caricamento, ma rappresenta il luogo dei punti diequilibrio raggiunti per diverse condizioni della pressione d’impatto; in altre parole,ogni esperimento permette di determinare un solo punto sulla curva.Questo test è largamente utilizzato anche per il particolare tipo di rottura che è in gradodi produrre nel disco bersaglio. Tale rottura, denominata spalling, avviene per unatrazione localizzata provocata dalla sovrapposizione dell’onda di compressione, riflessasulla superficie libera del target, e della sopraggiungente onda di rilascio.Nell’esperimento, la misura è effettuata mediante la rilevazione, ad esempio attraversotecniche d’interferometria laser, del profilo di velocità di un punto situato sullasuperficie posteriore del disco bersaglio, Figura 7.1 b. La lettura del profilo permette diricavare tutte le informazioni necessarie ad identificare il comportamento meccanico delmateriale. La comprensione dei tratti caratteristici del profilo di velocità, può essereagevolata dal diagramma lagrangiano di Figura 7.1 a, in cui sull’asse delle ascisse èriporta la distanza lungo gli spessori dei due dischi e sulle ordinate il tempo. Talediagramma permette di visualizzare, con tratti di retta, i fenomeni di propagazione eriflessione delle onde durante il processo d’impatto; la pendenza del tratto di retta cherappresenta una data onda ne indica la sua velocità di propagazione.Al momento dell’impatto, t = 0 , le onde elastiche, generate alla superficie di contatto,iniziano a propagare in direzione delle superfici posteriori dei due dischi. Se il materialeche costituisce i due dischi è lo stesso, l’impatto è denominato simmetrico: allora, leonde propagheranno alla stessa velocità e saranno rappresentate da tratti di retta106

simmetrici rispetto alla superficie d’impatto. Nel caso in cui il limite elastico diHugoniot sia superato, saranno generate due onde plastiche, che propagheranno allavelocità determinata dall’equazione (2.4), con gli stessi meccanismi descritti per le ondeelastiche.Figura 7.1 – a) Diagramma lagrangiano caratteristico di un impatto planare simmetrico; b) Tipicoprofilo di velocità rilevato in un Flyer Plate Impact Test.σ xL pC eC pC pC eDistanza Distance lungo from impact lo spessore planeFigura 7.2 - Onda di stress generata in un Flyer Plate Impact Test a velocità moderata.Le due onde, elastica e plastica, che viaggiano nel proiettile raggiungono la suasuperficie libera e vengono quindi riflesse come onde di trazione. Quando questeraggiungono la superficie d’impatto, t = t , entrano nel disco proiettile come onde dicrilascio e i due dischi, che fino a questo momento viaggiavano uniti, si separano.A questo punto nel disco impattato si sta propagando il caratteristico impulso a gradino,schematizzato in Figura 7.2, la cui forma è dovuta alla differenza di velocità di107

propagazione degli impulsi elastici e plastici. La lunghezza dell’impulso,Lp, è pari aldoppio dello spessore del disco proiettile.Quando l’impulso raggiunge la superficie posteriore del disco bersaglio, questa vieneaccelerata e il fenomeno può essere seguito dalla lettura del profilo di velocità. Conl’arrivo delle onde di compressione, elastica e plastica, la velocità della particella sale,dapprima, fino al valore che compete al limite elastico di Hugoniot, punto “A”, e poi alvalore massimo del plateau orizzontale. L’arrivo dell’onda elastica di rilascio abbassa lavelocità fino al valore corrispondente al punto “D”, mentre il processo di scaricamento ècompletato dall’arrivo dell’onda di rilascio plastica, curva tratteggiata in Figura 7.1.L’onda riflessa dalla superficie posteriore del disco bersaglio si sovrappone allasopraggiungente onda di rilascio, su un piano che ritrova ad una distanza, dallasuperficie libera, pari allo spessore del disco proiettile. Tale sovrapposizione genera unimpulso di trazione che, se sufficientemente elevato, provoca la rottura per spalling. Intal caso, l’onda generata dalla separazione delle superfici di rottura, una volta raggiuntala superficie libera, provoca la risalita della velocità e il caratteristico segnaledenominato “spall signal”.Nel caso in cui la velocità d’impatto sia tale da generareun’onda d’urto, il suo profilo potrebbe essere schematicamente descritto dalla Figura7.3, e sul profilo di velocità non sarà più presente lo scalino dovuto al precursoreelastico.σ xCDistance from impact planeFigura 7.3 - Profilo di un'onda d'urto.108

7.1 Simulazione numerica del Flyer Plate Impact TestLa configurazione del Flyer Plate Impact Test, come detto in precedenza, permette direalizzare uno stato di deformazione uniassiale in prossimità dell’asse di simmetria deidischi. Tale condizione rende superflua, in questa prima fase del lavoro, ladiscretizzazione dei due dischi nella loro interezza e, quindi, la geometria da modellarepuò essere ridotta ad una semplice striscia di elementi in deformazione piana, in cui glispostamenti verticali siano impediti. Tale modello è indicato col termine “single stripmodel”. Le dimensioni di ciascun elemento, scelte coerentemente all’RVE legato almodello di danno utilizzato, sono di20,1× 0,1mm . L’uso del modello di danno permette,attraverso la tecnica dell’element removal, la creazione della superficie di rottura unavolta realizzate le condizioni di spall. In condizioni d’impatto planare, l’evoluzione deldanno con la deformazione plastica è estremamente limitata, a causa della riduzioneduttilità, a valori prossimi alla deformazione di soglia, per l’elevata triassialità dellostato di sforzo. In questo caso, il modello CDM è simile ad un criterio di rotturaimprovvisa, ma la rottura è il risultato dell’accoppiamento geometria e materiale e nonrichiede procedure di calibrazione post test.La prima simulazione volta alla verifica delle capacità di previsione del modellonumerico realizzato, ha riguardato l’impatto simmetrico di due dischi di rame OFHCsecondo la configurazione riportata in [1], per la quale sono a disposizione i risultatisperimentali. Le proprietà meccaniche del materiale sono riportate in Tabella 5.1, lospessore del disco proiettile è di 2mm , quello del disco bersaglio di 9mm , la velocitàd’impatto è di 185m s. Nonostante i parametri di danno per il rame sianosufficientemente noti, Tabella 5.4, il valore della deformazione di soglia è statocalibrato sul tempo di risalita dello spall signal, εth= 0,01.La discordanza potrebbe essere imputata al fatto che il primo impulso di compressione,sebbene non possa generare danno in senso stretto, in virtù del fatto che lo stato disforzo è compressivo, potrebbe causare delle modificazioni microstrutturali, quali, adesempio la rottura delle inclusioni, in grado di abbattere il valore della deformazione disoglia. Tale speculazione andrebbe verificata con una campagna sperimentale ad hoc.Le analisi sono state effettuate con entrambi i codici di calcolo: MSC:Marc e Autodyn.Attenzione particolare è stata dedicata agli effetti dello smorzamento numerico sui109

isultati delle simulazioni. Per il codice in formulazione implicita, a seguito di un’analisiparametrica si sono scelti per i valori dei coefficienti dell’equazione (4.15), α = 0,0 ,β = 0,0 e γ = 0, 4 . Nelle simulazioni effettuate con il codice esplicito si è trovato che ivalori suggeriti dei coefficienti lineare e quadratico dell’equazione (4.21), sono troppoelevati. In Figura 7.4 sono riportati a confronto i profili di velocità calcolati, conentrambi i codici, con i coefficienti di smorzamento numerico scelti e con i coefficienticonsigliati per Autodyn.Figura 7.4 – Effetto dello smorzamento numerico sui risultati delle simulazioni numeriche.Figura 7.5 - Confronto tra il profilo di velocità ottenuto numericamente ed i dati sperimentali.110

Infine, il confronto tra il profilo di velocità calcolato e i dati sperimentali, Figura 7.5,permette di verificare la capacità del modello di riprodurre tutte le caratteristiche chiavedell’esperimento quali: i tempi di arrivo del precursore elastico e dell’onda plastica sullasuperficie libera del bersaglio; l’intensità e la durata del plateau di massima velocità; itempi di arrivo delle onde di rilascio, elastica e plastica.Figura 7.6 – Evoluzione nel tempo della distribuzione della triassialità dello stato di sforzo, lungo lospessore del provino.Spessore del pianodi spall 150 µmFigura 7.7 - Evoluzione nel tempo del danno lungo o spessore del disco bersaglio.In Figura 7.6, è riportata la distribuzione della triassialità dello stato di sforzo a cavallo111

della superficie di spalling, per diversi istanti di tempo durante il processo di frattura.Nonostante si abbiano alti valori della triassialità per un tratto considerevole dellospessore del disco, la rottura si ha solo per la porzione di materiale interessata dal valoredi picco della stessa.In Figura 7.7, la corrispondente evoluzione del danno è data dall’innesco deldanneggiamento all’avvenuta rottura. L’ area tratteggiata rappresenta la distribuzionedel danno al termine del processo di rimozione degli elementi. Una conferma dell’entitàdelle dimensioni della regione danneggiata è data dai risultati sperimentali riportati daChristy et al., [2], in Figura 7.8.Figura 7.8 – Distribuzione della porosità nel rame per impatti a diverse pressioni, [2].112

7.2 Analisi dello “Spall Signal”Lo spall signal, come definito in Figura 7.1 b, è la parte del profilo di velocità, che hainizio quando l’onda di spall raggiunge la superficie di libera del disco bersaglio. Nellesimulazioni numeriche effettuate e in quelle riportate in letteratura, per le quali sonostati utilizzati modelli di danno differenti, si trova che il secondo picco di velocità e lapendenza iniziale dello spall signal sono sempre superiori a quelli rilevatisperimentalmente.Figura 7.9 - Confronto tra gli Spall Signals calcolato e misurato per il rame OFHC.In Figura 7.9 è riportato il particolare del confronto tra gli spall signals, per laconfigurazione già analizzata in Figura 7.5. Si prende come tempo di riferimentoiniziale, il momento in cui la prima onda di spall arriva sulla superficie libera e invertel’andamento del profilo di velocità. Poiché, in questo diagramma, la pendenza dellacurva è una misura dell’accelerazione del punto materiale, la minore pendenza dellacurva sperimentale indica una perdita di quantità di moto che, per forza di cose, deveessere imputata a fenomeni irreversibili. Tali fenomeni devono aver luogo in una fasesuccessiva al processo di rottura e deve essere legato al meccanismo di separazionedelle superfici di spall.Da un punto di vista fisico, tale separazione deve essere dipendente dalla microstrutturadel materiale e dal proprio modo caratteristico di frattura. Ad esempio, sebbene sia nel113

ame sia nell’alluminio, il danno si sviluppa, con la deformazione plastica, con lanucleazione e la crescita di microvuoti, il processo di coalescenza può essere, nei duemateriali, considerevolmente diverso. Come schematicamente illustrato in Figura 7.10,per l’alluminio puro, la completa separazione è dovuta alla coalescenza per “voidssheeting” che, essendo un meccanismo sostanzialmente fragile, richiede una bassaenergia di deformazione;. per il rame, la coalescenza avviene per necking dei legamentitra i vuoti, attraverso un meccanismo duttile che richiede un notevole ammontare dienergia.DuctileRottura failurefragile withdei “brittle”legamenti(lowstraintra i energy)vuoti - intervoidbassa energia ligamentdideformazioneruptureDuctile failure with “ductile” (highRottura duttile dei legamentistrain energy) intervoid ligamenttra i vuoti - elevata energia dirupturedeformazioneFigura 7.10 – Differenti meccanismi di coalescenza dei microvuoti nella rottura duttile.Poiché il processo di formazione dei piani di spall è analogo al processo di formazionedi una cricca duttile, utilizzando gli strumenti della meccanica della frattura, è possibilequantificare il lavoro necessario alla generazione delle due superfici libere.L’energia necessaria alla generazione di due superfici libere è pari a:G = 2Γ (7.1)in cui Γ è l’energia libera di superficie che comprende i contributi elastico e plastico,mentre G è il rateo di rilascio di energia di deformazione che può essere correlata alvalore della tenacità del materiale,K IC. Anche se questo è un concetto puramentelineare elastico, può ancora essere considerato un valore di riferimento per il caso in114

esame, in quanto la deformazione plastica lungo il piano di spall è estremamentecontenuta. Di conseguenza:2K Ic1Γ = α(7.2)2 EAssumendo la tenacità a frattura del rame pari 60MPa m , ricordando che per uno2stato di deformazione piana è α ( 1 ν )2= − , si ottiene Γ 2000J m .Poiché, nella simulazione numerica, non è stato tenuto in conto il meccanismo diseparazione descritto, l’energia dissipata, per unità di superficie, può essere ricavatadalla differenza tra il segnale di spall calcolato e quello misurato, attraverso la relazione:∆W1 2 ⎛ Lp⎞ J= ρ∆veffLp1 − = 3842∆S 2 ⎜⎝L ⎠⎟ mb2(7.3)in cui è la densità del materiale, L p e L b sono gli spessori rispettivamente del discoproiettile e di quello bersaglio e1∆ veff= v t − v t dtTT∫ fem exp(7.4)0[ ] 2() ()Dividendo il risultato dell’equazione (7.3), per le due superfici, si ottieneΓ 1921J m 2 , che è in ottimo accordo con il valore stimato con gli strumenti dellameccanica della frattura.7.2.1 Modello numericoLa verifica, che il meccanismo di dissipazione descritto possa, potenzialmente, essereresponsabile della differenza tra gli spall signals calcolato e misurato, è stata effettuataimplementando, nella simulazione agli elementi finiti, un sistema costituito da mollenon lineari a cavallo del piano di spall. La rigidezza del sistema di molle è diminuitaprogressivamente all’aumentare della distanza di separazione. Al raggiungimento diun’apertura critica u 0 , la forza fittizia viene annullata. La legge forza-spostamentoscelta è di forma simile a quella che descrive il legame dei piani cristallini:f⎛ ⎛ u ⎞ ⎞= K sinπ⎜ ⎝⎝ ⎜u⎠⎟ ⎠⎟0α(7.5)115

in cui K è l’ampiezza, u 0 l’apertura critica, α un esponente di forma, il cui effetto èillustrato in Figura 7.11. I valori di K e u 0 sono stati scelti imponendo che l’area sottola curva nel diagramma forza spostamento sia uguale al lavoro dissipato durante ilprocesso di separazione.Figura 7.11 - Effetto del coefficiente di forma α sulla risposta del sistema di molle non lineare.Figura 7.12 - Profilo di velocità calcolato con l’impiego del sistema di molle non lineare a confrontocon i risultati sperimentali.La Figura 7.12 riporta il profilo calcolato con il modello numerico descritto a confronto116

con il risultato sperimentale, è importante sottolineare come l’azione delle molle nonlineari nella prima fase del processo di separazione influenzi l’evoluzione dell’interosegnale di spall.7.3 Effetti geometrici sul processo di frattura per spallingLa condizione necessaria affinché durante l’impatto si realizzi uno stato dideformazione uniassiale, come precisato in precedenza, è che nella regione d’interesse,per l’intera durata del processo, non si senta l’influenza degli effetti di bordo. Anche nelcaso di dischi sottili, la condizione di deformazione uniassiale si realizzaesclusivamente in prossimità dell’asse di assialsimmetria in quanto l’onda dideformazione radiale, che si genera al bordo libero, necessita, per raggiungere l’asse, diun tempo maggiore a quello richiesto dall’intero fenomeno. Al diminuire del rapportodiametro/spessore gli effetti di deformazione radiale possono intervenire direttamentesulle modalità e localizzazione del processo di rottura per spall. A questo proposito sonostate analizzate diverse configurazioni di Flyer Plate Impact in cui il diametro del flyer èstato progressivamente ridotto mantenendo inalterate le altre dimensioni e la velocità diimpatto.Le simulazioni numeriche sono state effettuate utilizzando entrambi i codici numericipresentati con lo scopo di valutare eventuali effetti dovuti alle diverse formulazioni.Per uno spessore del flyer di 2mm sono stati esaminati i casi con un diametro di 32 ,16 , 8 , 4 , e 2mm rispettivamente, come illustrato in Figura 7.13.Nelle analisi agli elementi finiti è stato utilizzato un elemento a quattro nodi informulazione assialsimmetrica con altrettanti punti di gauss cercando di mantenere, perquanto possibile, costante il livello di discretizzazione del modello al fine di evitarepossibili effetti di mesh. Entrambi i corpi sono considerati deformabili nel contatto. Ilcriterio di rottura utilizzato nella simulazione con MSC/MARC fa riferimento almodello di danno non lineare precedentemente descritto. Nelle simulazioni effettuatecon il codice lagrangiano AUTODYN si è adottato un criterio di rottura basato sullapressione massima il cui valore è stato stimato dalle prove effettuate, utilizzando ilmodello di danno non lineare, con il codice implicito.117

D/h=16 D/h=8 D/h=4 D/h=2 D/h=1V=185 m/st=9 mmFigura 7.13 - Schema riassuntivo delle configurazioni geometriche esaminate.a) b)c) d)Figura 7.14 - Profili di velocità calcolati numericamente per le diverse configurazioni geometriche econ velocità d’impatto di 185m/s: a) D/h=16; b) D/h=8; c) D/h=4; d) D/h=2.118

In Figura 7.14 a-d sono riportati i profili di velocità rilevati sulla superficie posterioredel target per le diverse configurazioni. Un valore del rapporto D/h pari a 16 è ancora ingrado di garantire che lo stato di deformazione sia, per lo meno sull’asse di simmetria,unidimensionale. Per valori più piccoli del rapporto D/h, Figura 7.14 b, si verificaancora una rottura per spall, come si può rilevare dalla risalita del segnale di velocità,anche se gli effetti associati alla deformazione radiale iniziano ad influenzare il processodi propagazione delle onde lungo l’asse di simmetria riducendo la durata del plateau divelocità. Per un’ulteriore diminuzione del rapporto D/h la propagazione dell’onda disforzo diviene, a causa dell’influenza degli effetti di bordo, sempre più complessa. Neiprofili di velocità riportati in Figura 7.14 c e d, hanno ormai perso ogni attinenza con lesoluzioni di riferimento precedentemente illustrate. L’unica caratteristica ancoraevidente è la discontinuità a cui corrisponde il limite elastico di Hugoniot. In questecondizioni non è più possibile stabilire sulla base della sola analisi del segnale divelocità la presenza o meno di cedimento per spall.a) b)Figura 7.15 - a) deformata e stato del materiale ottenuti con AUTODYN per velocità d’impatto di185m/s e D/h=16; b) deformata e mappa del danno ottenuti con MSC/MARC per velocità d’impattodi 185m/s e D/h=16.Nelle Figura 7.15 a e b vengono riportate le deformate e le mappe di danno ottenuterispettivamente con AUTODYN e con MSC/MARC per due configurazioni simili,caratterizzate da un elevato rapporto D/h. Per entrambe le simulazioni si ritrova il119

cedimento per spall caratteristico di un impatto planare. Le distribuzioni didanneggiamento ottenute con i due criteri adottati confermano la stretta correlazioneesistente tra variabile di danno e pressione idrostatica nelle condizioni di stato dideformazione uniassiale.Al diminuire del rapporto D/h la rottura interessa superfici del bersaglio sempre piùpiccole. Si è osservato che l’innesco dei processi di rottura per spalling, nel caso diconfigurazioni di diverso diametro del target e del flyer, non avviene mai incorrispondenza dell’asse di simmetria dove invece è atteso dalla teoria. La rottura haluogo ad una distanza da tale asse che risulta essere in stretta correlazione con ledimensioni del diametro del flyer, cosi come la localizzazione del piano di spall è legataallo spessore dello stesso.Il motivo per cui la frattura per spalling inizia fuori dall’asse di simmetria può esseretrovato nella differente forma dell’onda di compressione in corrispondenza del bordolibero del disco proiettile, rispetto a quella sull’asse di simmetria, Figura 7.16.Figura 7.16 - Impulso di compressione in due differenti posizioni lungo il raggio del disco bersaglio:sull’asse di simmetria in blu e in corrispondenza del bordo libero del proiettile in nero.Il bordo libero del proiettile è la superficie su cui l’onda di compressione, generatanell’impatto, è immediatamente riflessa come onda di trazione. Questa, entrando comeonda di rilascio nel disco bersaglio, scarica parzialmente l’onda di compressionemodificandone il profilo. Tale profilo, di forma triangolare, riflesso dalla superficie120

libera raggiunge più rapidamente, rispetto all’onda quadra, la condizione di massimosforzo di trazione. Se sufficientemente severo, l’impulso tensile porta alla rottura perspalling il materiale prima di quanto non faccia la corrispondente onda sull’asse disimmetria.Una volta innescato, il processo di rottura si propaga radialmente fino ad interessarel’asse di simmetria.Questo fenomeno stabilisce le condizioni per la massima estensione radiale dellasuperficie interessata dal processo di rottura. Dal punto di vista quantitativo, si èosservato che la localizzazione del primo innesco dei processi di rottura può esserestimato attraverso la pendenza di una retta ideale, tracciata a partire dallo spigolo delflyer ed incidente il piano di spall, Figura 7.17. Dalle simulazioni effettuate si èverificato la costanza del valore di questo angolo per tutte le configurazioni esaminate.Boundary-effectlineSpall planeθFirst spallsymmetryaxisFigura 7.17 - Schema geometrico della localizzazione dell’innesco del processo di spall.Inoltre, sempre sulla base di questo criterio, si è osservato che lo spall è impedito perquelle configurazioni geometriche in cui l’intersezione della retta indicata, con iltermine di boudary-effect line, con la retta del piano di spall avvenga al disotto delpiano di simmetria assiale, come nel caso delle configurazioni riportate dalla Figura7.19 alla Figura 7.21.121

a) b)Figura 7.18 - a) deformata e stato del materiale ottenuti con AUTODYN per velocità d’impatto di185m/s e D/h=8; b) deformata e mappa del danno ottenuti con MSC/MARC per velocità d’impattodi 185m/s e D/h=8.a) b)Figura 7.19 - a) deformata e stato del materiale ottenuti con AUTODYN per velocità d’impatto di185m/s e D/h=4; b) deformata e mappa del danno ottenuti con MSC/MARC per velocità d’impattodi 185m/s e D/h=4.a) b)Figura 7.20 - a) deformata e stato del materiale ottenuti con AUTODYN per velocità d’impatto di185m/s e D/h=2; b) deformata e mappa del danno ottenuti con MSC/MARC per velocità d’impattodi 185m/s e D/h=2.122

a) b)Figura 7.21 - a) deformata e stato del materiale ottenuti con AUTODYN per velocità d’impatto di185m/s e D/h=1; b) deformata e mappa del danno ottenuti con MSC/MARC per velocità d’impattodi 185m/s e D/h=1.Gli effetti di bordo libero provocano un abbassamento del valore della triassialità dellostato di sforzo ed un conseguente aumento del valore della deformazione a rottura. Laperdita di idrostaticità dello stato di sforzo limita la possibilità di prevedere in manieraaccurata i processi di cedimento utilizzando un criterio di massima pressione edevidenzia tutti i vantaggi di previsione garantiti dall’avere a disposizione il criterio didanno non lineare presentato. Una conferma ulteriore dell’avvenuta variazione dellostato di sforzo può essere ottenuta dall’analisi delle deformate dei flyers di più piccolodiametro, figure 11a-b, 12a-b. Queste tendono ad assumere un profilo molto simile aquelli ottenuti in un test di Taylor in cui si assume uno stato di sforzo unidimensionale.7.4 Re-shock experimentL’ultima configurazione analizzata è quella del re-shock experiment, che vienerealizzata posizionando, come illustrato in Figura 7.22, sulla parte posteriore del discoproiettile, un disco di maggiore impedenza meccanica. Quando l’onda di compressionegenerata dall’impatto raggiunge l’interfaccia con il backing, in accordo con le equazioni(2.18) e (2.19), parte dell’impulso viene trasmesso e parte viene riflesso come impulsodi compressione. Tale impulso sovrapponendosi all’onda di compressione generatadall’impatto causa, una ricompressione dello stato del materiale. Se la velocità123

d’impatto è sufficientemente elevata da provocare un’onda d’urto, la ricompressione ècausa del fenomeno noto in letteratura col termine “re-shock”.BACKINGPROIETTILEBERSAGLIOFigura 7.22 – Schema della configurazione del re-shock experiment.PRECURSOREELASTICOFigura 7.23 - Profilo di velocità misurato in un re-shock experiment, [3].Tale configurazione è estremamente affascinante per la possibilità che offre diinvestigare la risposta meccanica dei solidi in regime dinamico di shock ripetuto.Secondo la teoria delle onde di sforzo, la risposta di un materiale elasto-plastico, al reshockdovrebbe essere interamente plastica, poiché lo stato del materiale si dovrebbetrovare sulla superficie di snervamento. Dagli esperimenti si osserva invece la presenza124

di un gradino, comunemente riconosciuto come un inaspettato precursore plastico, cheprecede l’arrivo del ricaricamento plastico, Figura 7.23. I tentativi proposti in letteraturaper cercare di giustificare la presenza del gradino anomalo fanno tutti riferimento asimili meccanismi fisici, che hanno luogo alla meso-scala, che dovrebbero portare lostato del materiale all’interno della superficie di snervamento. Lipkin e Asay, [4],ritengono che le differenti orientazioni dei sistemi di scorrimento di grani contigui sonocausa di una deformazione, alla meso-scala, non uniforme. Essi proposero un modello,una distribuzione dello stato di snervamento del materiale precompresso, in grado diduplicare le caratteristiche chiave del profilo di velocità rilevato in un re-shockexperiment. Swegle e Grady, [5], credono che il gradino anomalo sia dovuto a fenomenidi localizzazione delle deformazioni, causati da elevati gradienti termici, giustificatidalla natura dinamica degli eventi, che si realizzano alla meso-scala. Tali fenomeni, aloro volta, sarebbero responsabili di un comportamento dello stato di snervamento delmateriale dipendente dal tempo.Nel presente lavoro di tesi si presenta una nuova interpretazione del fenomeno basata suconsiderazioni alla macro-scala. In accordo con tale interpretazione, la giustificazionedella presenza del gradino anomalo va ricercata nella distribuzione non uniforme delladeformazione plastica, lungo lo spessore del disco bersaglio, dovuta a processidissipativi che hanno luogo durante il passaggio della prima onda di compressione.7.4.1 Fenomenologia del re-shockIn un Flyer Plate Impact Test, il profilo di velocità della particella situata sullasuperficie libera presenta un andamento ondoso, più o meno pronunciato, all’inizio delplateau a velocità costante. In termini di sforzo, per un punto prossimo alla superficielibera, il profilo d’onda non è perfettamente quadrato, ma mostra un picco, più alto invalore del susseguente plateau di sforzo. Ciò si traduce nel fatto che, quando lo stato disforzo in un punto raggiunge il plateau, questo non si trova esattamente sulla superficiedi snervamento.Comunque, in base a tali considerazioni, per un punto prossimo alla superficie libera, ildivario non è grande abbastanza da giustificare la presenza del gradino anomalo,all’arrivo della seconda onda di shock.Un’onda di sforzo che viaggia nel disco bersaglio e soggetta a processi dissipativi, che125

ne riducono l’intensità. Di conseguenza, la distribuzione di deformazione plastica, lungolo spessore, non dovrebbe essere uniforme, ma dovrebbe mostrare un massimo allasuperficie d’impatto ed un minimo alla superficie posteriore. Tale congettura può essereverificata dall’analisi numerica di un Flyer Plate Impact Test standard. Un esempio delrisultato trovato è riportato in .Figura 7.24 - Distribuzione della deformazione plastica lungo lo spessore del disco bersaglio, aseguito dell’onda di compressione, in un Flyer Plate Impact Test.Figura 7.25 - Profili di sforzo, calcolati numericamente, a diverse posizioni lungo lo spessore deldisco bersaglio, in un Flyer Plate Impact Test standard.126

Figura 7.26 - Profili di sforzo, calcolati numericamente, a diverse posizioni lungo lo spessore deldisco bersaglio, in un re-shock experiment.I profili di sforzo, a diverse posizioni lungo lo spessore del disco bersaglio, riportati inFigura 7.25, mostrano come, durante la propagazione, essi si riducano progressivamentenell’intensità del picco, mentre il plateau sembrano rimanere costanti. In prossimitàdella superficie libera, la differenza in sforzo tra il picco ed il plateau, è molto piccola,risultando nelle piccolissime oscillazione osservate sperimentalmente con le tracceVISAR.Come illustrato in Figura 7.26, in un re-shock test, la differenza in sforzo tra il picco e ilplateau, in prossimità della superficie libera, non è sufficiente da giustificare l’ampiezzadel gradino anomalo osservato negli esperimenti, mentre questa è consistente con ladifferenza in sforzo calcolata in prossimità della superficie d’impatto.In Figura 7.27, è riportata la rappresentazione dello stato di sforzo, al plateau, del puntomateriale, nel piano dei deviatori π , al fine di fornire una spiegazione del processo cheporta alla generazione del gradino anomalo. Il cerchio interno a tratto grigio continuorappresenta lo stato di sforzo corrente, che si trova in campo elastico per via del fattoche il plateau è, rispetto al picco, ad un livello di sforzo inferiore; il cerchio a trattocontinuo nero indica la superficie di snervamento corrente; il cerchio più grande,tratteggiato, rappresenta l’espansione della superficie di snervamento per l’arrivodell’onda di re-shock; il percorso di carico, in stato di deformazine uniassiale, èrappresentato da vettore nero.127

Distance from impactFigura 7.27 - Rappresentazione dello stato di sforzo del punto materiale che a subito uno shock, adifferenti posizioni lungo lo spessore del disco bersaglio, nel piano dei deviatori π .È importante sottolineare che, poiché il valore dello sforzo al plateau, può essereconsiderato costante per tutti i punti, lo stato di sforzo iniziale, rappresentato dai cerchigrigi, è lo stesso per tutti i punti lungo lo spessore del disco bersaglio. All’arrivodell’onda di re-shock, lo stato di sforzo, di un punto matriale prossimo alla superficied’impatto, dove la differenza in sforzo è più elevata, cresce dall’intervallo elastico finoalla prima superficie di snervamento e poi cresce con essa: di conseguenza, a questopunto, saranno generati un precursore elastico e un’onda plastica più lenta. Viaggiandoverso la superficie posteriore del bersaglio, l’onda di reshock tova punti in cui lasuperficie di snervamento corrente è più piccola. Questo fa sì che il precursore elasticogenerato in un punto precedentemente è forte abbastanza da snervare il materiale amonte producendo un’onda plastica. La continua generazione, in accordo almeccanismo descritto, di onde plastiche di diversa intensità porta alla creazione di unprofilo d’onda a “scalini” che, anche se può, in qualche modo, ricordare la caratteristicastruttura del precursore elastico e onda plastica, è quasi interamente plastico. Sullasuperficie libera, la struttura a scalino dell’onda di sforzo causa, nel profilo di velocità,la comparsa del gradino anomalo che, a questo punto, dovrebbe essere indicato, più128

propriamente, “precursore plastico”.jump for“plastic precursor”Figura 7.28 - Confronto tra il profilo di velocità sperimentale, [3], e quello calcolato numericamentecon MSC.Marc.In Figura 7.28, il profilo di velocità calcolato numericamente, per il re-shockexperiment è messo a confronto con i risultati sperimentali riportati da Vogler e Asay,[3]. La configurazione si riferisce ad un impatto simmetrico di due dischi di alluminio6061-T6, a 1,715km s ; il backing è costituito da un disco di rame e, per permetterel’utilizzo dell’interferometria laser, è stata adottata una finestra di PMMA, secondoquanto descritto in Asay e Chhabildas, [6].La simulazione è stata effettuata con il codice agli elemeti fini MSC.Marc per mezzodel metodo di Humbolt d’integrazione diretta. Si è assunto che la pressione idrostatica èlinearmente proporzionale alla compressione volumetrica, poiché con tale codicenumerico non è possibile utlizzare equazioni di stato differenti. Tutte le caratteristicheprincipali della curva calcolata sono consistenti con gli esperimenti: velocità massimadella prima onda, durata e intensità del plateau, salto di velocità all’arrivo del precursoreplastico. Il ritardo della prima onda plastica, la presenza del precursore elastico e la piùlenta risalita del segnale delle onde plastiche, per il profilo di velocità calcolato, sonodovuti alla formulazione dell’equazione di stato.129

In Figura 7.29, è presentato il confronto tra i dati sperimentali e la curva calcolata conl’hydrocode Autodyn. In questo caso, per riuscire a catturare le caratteristiche di delsegnale risultante da un impatto a 1, 7 km s , si è utilizzata l’equazione di stato Mie-Grunaisen. Si è osservato che lo smorzamento numerico suggerito dal codice è tropposevero e non permette di catturare le caratteristiche fondamentali del profilo di velocità:di conseguenza è stato appropriatamente modificato. L’abbassamento dellosmorzamento numerico è causa di una risposta che presenta oscillazioni ad altafrequenza non realistiche. Il profilo calcolato, ancora una volta è molto simile a quellomisurato, ma le caratteristiche chiave del precursore elastico rischiano di esserenascoste dalle forti oscillazioni.Figura 7.29 - Confronto tra il profilo di velocità sperimentale, [3], e quello calcolato numericamentecon Autodyn.Infine, l’interpretazione del fenomeno proposta permette di giustificare il ritardo delgradino anomalo rispetto alla corrispondente onda di rilascio in un Flyer Plate ImpactTest standard, che si osserva sperimentalmente, Figura 7.30. Per il test standard, ilprimo abbassamento della velocità al termine del plateau è dovuto all’arrivo della primaonda di rilascio, che è puramente elastica e viaggia alla velocità che le compete. Nel reshockexperiment, secondo l’interpretazione data, l’onda di ricompressione porta allaformazione dell’onda plastica a scalini, il cui fronte, inizialmente, viaggia alla velocità130

dell’onda elastica e, successivamente, rallenta alla velocità dell’onda plastica, conl’effetto provocato del ritardo dell’arrivo, sulla superficie libera, del precursore plastico.Figura 7.30 - Ritardo del gradino anomalo rispetto alla corrispondente onda di rilascio in un FlyerPlate Impact Test standard, [4].131

Bibliografia[1] Rajendran, A.M., (1988), in Dynamic Constitutive/Failure Models (ed. A.M.Rajendran,and T. Nicholas), AFWAL-TR-85-4009, Wright Patterson Afb, OH[2] Christy, S., Pak, H., e Mayers, M.A., in “Metallurgical Applications of ShockWaves and High Strain Rate Phenomena” (eds., Murr et al.), Marcel Dekker,New York, 1986.[3] Vogler, T.J. e Asay, J.R., “A distributional model for elastic-plastic behavior ofshock-loaded materials”, in Shock Compression of Condensed Matter, (M.DFurnish, Y.M. Gupta, J.W. Forbes, eds.), part I, pp. 617-620, 2003.[4] Lipkin, J. e Asay, J.R., “Reshock and release of shock-compressed 6061-T6aluminum”, J. of Applied Physics 48, 182, 1977.[5] Swegle, J. W. e Grady, D. E., “Calculation of thermal trapping in shear bands”,Metallurgical application of shock wave and high-strain-rate phenomena”,edited by L. E. Murr et al., New York, 1986.[6] Asay, J.R. e Chhabildas, L.C. “Determination of the shear strength of shockcompressed 6061-T6 aluminum”, in Shock Waves and High-Strain-RatePhenomena in Metals (M.A Mayers and L.E. Murr, eds.), pp. 417-431, Plenum,New York, 1981.132

8 ConclusioniNel presente lavoro di tesi, gli strumenti della simulazione numerica sono stati utilizzatiper l’analisi di tre configurazioni classiche per la caratterizzazione meccanica deimateriali in regime dinamico: il Taylor Test, la Hopkinson Bar e il Flyer Plate ImpactTest. Gli sforzi non sono stati indirizzati alla semplice riproduzione delle caratteristicheosservate negli esperimenti, ma con un’analisi critica si è, di volta in volta, cercato diinterpretare i processi di deformazione e rottura che si verificano in dinamicadell’impatto, al fine di giungere ad una loro corretta modellazione.Il contributo innovativo del presente lavoro può essere sintetizzato nei seguenti punti:è stata dimostrata la capacità di previsione di un modello di danno duttile nonlineare in regime di elevata velocità di deformazione;sono stati individuati, per il cilindro di Taylor, due diversi modi di rottura chesi realizzano a tempi diversi, durante il processo di deformazione, e per statidella triassialità dello stato di sforzo differenti;è stata individuata una correlazione tra la deformazione di soglia, uno deicoefficienti del modello di danno non lineare, e la dimensione media del grano;è stato individuato e quantificato, con gli strumenti della meccanica dellafrattura, un processo di dissipazione nel meccanismo di separazione dellesuperfici di rottura per spalling;è stata fornita una nuova interpretazione della presenza gradino anomalo che siosserva nel re-shock experiment, identificato in letteratura come un inaspettato“precursore elastico”;è stato dimostrato che, in realtà tale gradino è plastico;l’interpretazione proposta ha permesso di giustificare il ritardo del gradinoanomalo, rispetto alla corrispondente onda di rilascio in un Flyer Plate ImpactTest standard, che si osserva sperimentalmente.133