§ 19 Spazi proiettivi - Matematica e Applicazioni

Geometria I 181Se [w 1 : w 2 ] ∈ P 1 (C), con w i ∈ C, se poniamo w = w 2(per w 2 ≠0) si ha [1 : w] = [1 : w 2ww 1] e1quindi basta invertire la proiezione stereografica ed ottenere⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩x = 2R(w)|w| 2 +1y = 2I(w)|w| 2 +1z = |w|2 − 1|w| 2 +1⇐⇒x = 2R(w 2/w 1 )|w 2 /w 1 | 2 +1y = 2I(w 2/w 1 )|w 2 /w 1 | 2 +1z = |w 2/w 1 | 2 − 1|w 2 /w 1 | 2 +1x = 2R(w 2/w 1 )|w 1 | 2|w 2 | 2 + |w 1 | 2 = 2R(w 2w 1 )|w 2 | 2 + |w 1 | 2y = 2I(w 2/w 1 )|w 1 | 2|w 2 | 2 + |w 1 | 2 = 2I(w 2w 1 )|w 2 | 2 + |w 1 | 2z = |w 2| 2 −|w 1 | 2|w 2 | 2 + |w 1 | 2Se quindi scriviamo w 1 = a + ib, w 2 = c + id, la mappa si scrive1 (h(a, b, c, d) =2R((c + id)(a − ib)), 2I((c + id)(a − ib)),c 2 + d 2 − a 2 − b 2)a 2 + b 2 + c 2 + d 21 (=2(ac + bd), 2(ad − cb),c 2 + d 2 − a 2 − b 2) .a 2 + b 2 + c 2 + d 2Osserviamo che di fatto è una mappa C 2 {0} che passa al quoziente con l’azione di C ∗ ,equindi si può restringere ad una mappa sulla sfera S 3 ⊂ R 4 definita da a 2 + b 2 + c 2 + d 2 =1comeh: S 3 → S 2 .Questa è una mappa molto importante in geometria e topologia, chiamata la mappa di Hopf ,o anche fibrazione di Hopf . Provare a dimostrare che le controimmagini dei punti di S 2 sonocirconferenze disgiunte in S 3 .