§ 19 Spazi proiettivi - Matematica e Applicazioni

Geometria I 173(19.10) Definizione. Per ogni i =0, . . . , n il sottoinsieme di P n (K) definito da{[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ∈ P n (K) :p i ≠0}si chiama la i-esima carta affine, e si indica con il simbolo A n i (K). È il complementare delsottospazio definito dall’equazione p i =0, che si dice iperpiano dei punti impropri, o puntiall’infinito. I punti della i-esima carta affine hanno, oltre che le coordinate omogenee, anchecoordinate affini relative a i, mediante l’applicazione inversa j −1i .j −1i :[p 0 : p 1 : . . . : p n ]=[ p 0: · · · : p i−1:1: p i+1p i p i p i↦→ ( p 0, . . . , p i−1p ip i, p i+1p i: · · · : p np i], . . . p np i)Nota 1. Abbiamo quindi che P n (K) è l’unione disgiunta dei due sottospaziP n (K) ={[x] ∈ P n (K) :x 0 ≠0}∪{ [x] ∈ P n (K) :x 0 =0}= A n 0(K) ∪ P n−10 (K),dove A n 0(K) è la parte affine e P n−10 (K) è il sottospazio dei punti all’infinito, opunti impropridi P n (K). La scelta della coordinata x 0 , x i in realtà può essere vista come la scelta di uniperpiano (di codimensione 1) di punti impropri per P n (K).(19.11) Definizione. Sia V ⊂ K n+1 un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale K n+1 .Allora è ben definita l’inclusioneP(V ) ⊂ P n (K).Il sottospazio P(V ) ⊂ P n (K) si dice sottospazio proiettivo (o sottospazio lineare) di P n (K) didimensione dim(P(V )) = dim(V ) − 1.(19.12) Nota. I sottospazi di dimensione 0 si dicono punti, quelli di dimensione 1 rette, quellidi dimensione 2 piani, quelli di dimensione n − 1 (codimensione 1) iperpiani.(19.13) Proposizione. Se L è un sottospazio proiettivo di P n (K) di dimensione d, allora perogni carta affine A n i (K) ⊂ P n (K) l’intersezione A n i (K) ∩ L, se non vuota, è un sottospazioaffine di A n i (K) ∼ = A n (K) di dimensione d. Viceversa, per ogni sottospazio affine S ⊂ A n i (K)di dimensione d esiste un sottospazio proiettivo L ⊂ P n (K) di dimensione d tale che S =A n i (K) ∩ L.Dimostrazione. Sia V ⊂ K n il sottospazio vettoriale per cui P(V )=L. Senza perdere ingeneralità, a meno di cambi di variabili, possiamo supporre che i =0. Come abbiamo giànotato nella dimostrazione di (15.12), è sempre possibile scrivere V come luogo degli zeri diuna applicazione lineare (suriettiva) K n+1 → K n−d , cioè come sistema di n − d equazioni(omogenee e indipendenti) nelle n +1 incognite (le coordinate di K n+1 , cioè le coordinate