§ 19 Spazi proiettivi - Matematica e Applicazioni

Geometria I 172Se x ≠0(cioè non tutte le coordinate x i sono nulle), la classe di equivalenza di x si puòindicare con [x] ∈ P n (K). Le coordinate x i di x si chiamano coordinate omogenee, e si scrive[x] = [x 0 : x 1 : · · · : x n ](19.7) Siano p =[p 0 : p 1 : · · · : p n ] e q =[q 0 : q 1 : · · · : q n ] due punti di P n (K). Allora p = qse e solo se esiste λ ∈ K {0} tale che∀i =0, . . . n, q i = λp i .Dimostrazione. È una conseguenza immediata della definizione (19.1).(19.8) La funzionej 0 : A n (K) → P n (K),definita da(x 1 ,x 2 , . . . , x n ) ↦→ [1 : x 1 : x 2 : · · · : x n ]è iniettiva. La sua immagine èqede si può definire l’applicazione inversaj 0 (A n (K)) = {[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ∈ P n (K) :p 0 ≠0},{[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ∈ P n (K) :p 0 ≠0}→ A n (K)[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ↦→ ( p 1p 0, p 2p 0, . . . , p np 0).Dimostrazione. È ovvio che j 0 è ben definita. Per mostrare che è iniettiva, basta mostrare chel’applicazione definita sopra è la sua inversa (definita su {p 0 ≠0}). Infatti, la composizione(x 1 ,x 2 , . . . , x n ) ↦→ [1 : x 1 : x 2 : · · · : x n ] ↦→ ( x 11 , x 21 , . . . , x n1 )è chiaramente l’identità di A n (K), mentre la composizione[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ↦→ ( p 1p 0, p 2p 0, . . . , p np 0) ↦→ [1 : p 1p 0: p 2p 0: · · · : p np 0]è l’identità dato che esiste λ = p 0 ≠0, λ ∈ K {0} tale cheλ(1, p 1p 0, p 2p 0, . . . , p np 0) = (p 0 ,p 1 , . . . , p n ).(19.9) Nota. È chiaro che avremmo potuto definire una funzione come la j 0 considerandonon la prima coordinata (p 0 ), ma una qualsiasi delle n +1 coordinate di K n+1 . In questomodo possiamo “includere” lo spazio affine A n (K) nello spazio proiettivo P n (K) in almenon +1modi distinti. Più in generale, cambiando le coordinate in K n+1 e in A n (K) si possonotrovare infiniti modi di definire tale inclusione.qed