Â§ 19 Spazi proiettivi - Matematica e Applicazioni

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Geometria I 170Figura 11: Raffaello Sanzio (1483 – 1520), La Scuola di Atene
Geometria I 171Se V ha dimensione 1, allora V ∼ = K e V {0} ∼ = K {0}; non è difficile vedere che quindiP(V ) è costituito da un elemento solo.(19.4) Nota. Una definizione equivalente di spazio proiettivo è la seguente: P(V ) è l’insiemedi tutti i sottospazi di dimensione 1 di V . Come esercizio, dimostrare che questa definizionecoincide con la definizione (19.1) (cioè che i due insiemi ottenuti sono in corrispondenzabiunivoca).(19.5) Esempio. La retta proiettiva P 1 (R) =P(R 2 ): è omeomorfa a una circonferenza quozientatarispetto alla relazione di equivalenza x ∼−x, oppure ad un segmento con gli estremiidentificati (cfr. esercizio (10.2) a pagina 184). Quanti punti ha la retta proiettiva P 1 (Z p ),con p ∈ N primo? E a cosa è omeomorfa la retta proiettiva P 1 (C) =P(C 2 ). Osserviamo che(z 0 ,z 1 ) ∼ (z ′ 0,z ′ 1) se e soltanto se esiste λ ∈ C ∗ tale che z ′ i = λz i per i =0, 1. Se z 0 =0, alloraz 1 ≠0e quindi (0,z 1 ) ∼ (0, 1) dato che z 1 = λ · 1 con λ = z 1 . Se z 0 ≠0, allora nello stessomodo(z 0 ,z 1 ) ∼ (1, z 1z 0).Quindi in P 1 (C) ci sono i punti del tipo [(1,w) con w ∈ C e il punto [(0, 1)]. Con la proiezionestereografica possiamo definire una funzione S 2 {(0, 0, 1)} → R 2 , comeQuesta si estende ad una funzione(x, y, z) ∈ S 2 {(0, 0, 1)} ⊂ R 3 x↦→ (1 − z , y1 − z ) ∈ R2 .(x, y, z) ∈ S 2 ↦→ [(1, x + iy1 − z )] ∈ P1 (C) ?Per rispondere a questa domanda, osserviamo che per ogni x, y, z ∈ R con x 2 + y 2 + z 2 =1ez ≠1(da cui segue che x 2 + y 2 =1− z 2 ≠0) si ha(1, x + iy ) ∼ (1 − z, x + iy)1 − z∼ (1 − z 2 , (1 + z)(x + iy))∼ (x 2 + y 2 , (1 + z)(x + iy))∼ ((x − iy)(x + iy), (1 + z)(x + iy))∼ (x − iy, 1+z).Da questo segue che la risposta è affermativa (lo si svolga per esercizio: (10.2) a pagina 184).Nello stesso esercizio dimostrare che la funzione appena definita è un omeomorfismo.(19.6) Definizione. Consideriamo lo spazio proiettivo P n (K) di dimensione n su campo K.Un punto di x ∈ K n+1 si scrive come (n + 1)-upla con coordinate x i ∈ K(x 0 ,x 1 , . . . , x n ).
Page 1: Geometria I 169Figura 10: Piero Del
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Page 7 and 8: Geometria I 175(19.14) Nota. Come s
Page 9 and 10: Geometria I 177Ora, se f è un isom
Page 11 and 12: Geometria I 179(19.26) Se H ⊂ P n
Page 13 and 14: Geometria I 181Se [w 1 : w 2 ] ∈
Page 15 and 16: Geometria I 183Figura 13: Immersion
Page 17 and 18: Geometria I 185(10.13) Sia S ⊂ P

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