полнотекстовый ресурс

ДИАМ ЕТРЫ ЭЛЛИПСА II ГИ П ЕРБОЛЫ 59Разделив обе части этого равенства на 2, получим:1 (х, - хж) + 1 0\ - л ) = 0.Подставим сюда X и V из (43) н разделим обе части равенствана х2—х, (по условию х 2 ^ х , , следовательно, х2—х, =£0). Получим:— = 0; — L x = ± Y y-*^y±.аг 1 ft2 х2 — х, а Ьг хг — х4Но отношение —— — равно угловому коэффициенту хорды k [§ 23,хг х,формула (14)]. Следовательно,откуда (полагая kjbO )■ \ х = ъ Y -к,а2 b2 *г = ~ т х -Так как А', У являются координатами середины М любой из заданныхпараллельных хорд, то уравнению (44) удовлетворяют координатысередин всех этих хорд, следовательно, середины всех этих хордлежат на прямой (44). Обратно, всякая точка M (X, Y) прямой (44),лежащая внутри эллипса, есть середина хорды M tM 2 с угловым коэффициентомk, проведенной через эту точку. В самом деле, серединаэтой хорды, по доказанному, лежит на прямой (44), следовательно,совпадает с точкой M (X, Г). Таким образом, уравнение (44) естьуравнение диаметра эллипса, проходящего через середины параллельныххорд с угловым коэффициентом k. Из уравнения (44) видим,что диаметры эллипса проходят через начало координат (центр эллипса).По определению, диаметры — отрезки прямых (44), заключенноевнутри эллипса, но иногда диаметром называют всю бесконечную прямую(44).Диаметр называется сопряженным хордам, через середины которыхон проходит.Формула (44) непригодна для хорд, параллельных осям симметрииэллипса. Но из симметрии эллипса непосредственно следует, что дляхорд, параллельных осн О Y (черт. 53), сопряженный диаметр совпадаетс осью ОХ, а для хорд, параллельных оси ОХ, сопряженный диаметрсовпадает с осью OY. Диаметры, совпадающие с осями симметрии эллипса,называются его главными диаметрами.Обозначим буквой k' угловой коэффициент диаметра, сопряженногохордам с угловым коэффициентом k (т. е. диаметра, проходящегочерез середины этих хорд). Тогда из уравнения диаметра (44) следует: