I бөлім - С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік ...

сівІГоігявцигіігөд i irßdÄX яіігәкэхогІГе-/{>і0р м у іг у ш о т э ш аи л з л а ж н ѵ Ь Ѵ л и іт я х ѵ ім н д ѵ д о жічэвсІІГэф^л вмиіврчэхвм рпгвднві/іго^フ々 /ブ/ - 9вяохэюскБд Х Ф 'ЯОЭКЧІГИ Н РЧ

1 Т а р а уА н ы қ т а у ы ш т а р . М а т р и ц а л а р . С ы з ы к т ы қ т е н д е у л е р ж ү й е с іa /^ j элементінің миноры М / ^ депа\ \ а\ 2 - а\па \2 а2 2 - а2пап1ап2 …аппA анықтауышының k-жатық жолымен жэне m-тік жолынсызып тастағанда қалған анықтауыпггы атайды.Ак т ^ km ' ^ анықтауышының элементініңалгебралык толықтауышы.М ысал 1Анықтаупггы есептеШ еш уі5 - 1 1 0- 1 2 3 14-тік жолда үш элементті нөлге айналдырып, анықтауыпггы осытік жол ооиынша жіктейміз. Ол үшін екінш і жатық жолды 2 -гекөбеитіп біріншіге қосып, сонан соң төртіншіден альт тастаймыз= 7 -1 6 + 3 5 + 1 4 -1 -2 8 0 = -2 4 1Екі матрицаның көбеитіндісі деп, сол жақ матрицаның әрбіржатық жолын оң жақ матрицаның әрбір тік жолына сәйкестіріпкөбейтеміз де, нәтижесін қосып көбейтілген жатық жол мен тікжолдың қиылысына жазамыз.4

М ы с а л 2Егер,болса АВ ны тап'4 - 1 2 、 し1 2 、- 3 2 1 5 В : 一 3 -1く5 0 —3ノ J 4 ノШ еш уі' 4 -1 2 、し 1 2 、AB = - 3 2 1 - 3 -1、5 0 - 3 ノい 4 ノг 4 (-1 )-1 (-3 ) + 2-1 4 -2 -1 (-1 ) + 2-4-3 (-1 ) + 2(-3) + 11 - 3 - 2 + 2(-1) + 1-4、5(-1) + 0 .(-3 )-3 .1 5-2 + 0 (-1 )-3 -4Эрбір матрица үшін«11 «12 °\3«21 °22 «23^ 1 °32 °33,Мына формула бойьшиш」-,кері матрица табылды.д *д *дА123л. ллз444Мүндағы \ А0 - A матрицасының анықтауышы.А п , А і2, ... - алгебралык толықтауыиггар.

а\х + Ь\у + c\z = d\* ü2X + Ь2У + C2Z - d^iа^х + Ъ^у + c^z = ゴзЖэне оньщ кейбір шешу әдістерін қарастыраиық:1 ) Крамер формулалары бойыншаБѵл эдісті егер жүйенің анықтауышыAиАД2 のhһ^знөлге тең болмаса, қолдануға болады.Бұл жағдайда белгісіздер мьша формулалар бойыншааныкталадыJC= — ,v = ^ , z = — , мұндагыА , Л А均勿qh功め^.^^句nQ1^bめ42) Матрицалық әдісБүл әдіс A 关 0 болғанда қолданылады.Берілген жүйеден мына матрицаларды қүрамыз^ Ct\ Ч q 、 ド 1Ya j *2 c2 ,D = d2 , X = y3 °3y A , ゾノСонда белгісіз матрица X формуламен табылады X —A D .3) Гаусс әдісіАлдыңғы екі әдіс барлық жағдайда қолданыла бермеиді. Гауссәдісімен кезкелген жүйені шешуге болады. Бүл әдіс бойынша берілген

жүйені (кезеңді түрде) эквивалентті жүйемен ауыстырамыз; олжүйенің әрбір келесі теңдеуінде белгісіздер саны фіғашқысынан аз.Басқаша айтқанда жүйенің матрицасын жоғарғы үш бұрыштүріне (трапеция тәрізді) келтереміз.Мысал 4М ы на жүйені үш әдіспен шешу керек4x-9jH-5z = 14Шешуі:* 7 x -4 y + z = 7Зх+5タ-4 z = 2 3а) Крамер формулалары бойынша.Барлык аныктауыштарды табамызA Y14 一 9- 4 1з 5 -14 - 923 54 14 - 5=7 7 13 23 一 44 一 9 147 一 4 73 5 23= 6 4 - 2 7 - 1 7 5 - 6 0 - 2Q -252 = -470,:224 - 204 - 175 - 460 - 70 - 252 = —940,:-112 + 4 2 -8 0 5 + 1 05-9 2 + 392 = ^ 7 0 ,: - 3 6 8 - 189+490+16 8 -1 4 0 + 1449=141ÛОсыдан Крамер формулалары оойынша-9 4 0 ^ - 4702,タ:470 -4 7 0Жауабы: (2,1,-3)

б) матрицалық әдіспенМатрицалар құрамызЧ - 9 - 5 、

z-4y+7x = 7*-4z+5y+3x = 23-5z-9y+4x=\4Бірінші теңдеуді 4-ке көбейтіп екіншіге қосамыз. Сосын 5-кекөбейтіп үшіншісіне қосамызСондаz -4 ^ + 7 x = 7•-11 ア+31х = 51-29ѵ+39Ьс=49Екінш і теңдеуге үш інш ісін қосып және 10-ға бөлеміз, сосынекінші теңцеуді 3-ке көбейтіп және үшіншіден аламыз.Сондаz -4у-\-7х = 7< 4 タ ー 7 х = - 104ア-5 4 ズ= 一 104Енді үш інш і теңдеуден екіншісін аламызz -4 y + 7 x = 7' 4ア- 7 ズ= -1 0一 47х = -94Берілген жүйеге эквивалентті бізге керек жүйе келіп шықты.Енді соңғы теңдеуден Х-ті, екіншіден Ү -ті және біріншіденZj-ті табамызЖауабы: (2,1,-3)X = ~ — = 2;4 ァ- 7 • 2 = - 10,4v = 4; v = - =1;- 4 7 4z - 4-1 + 7.2 = 7;z = 4 -1 4 + 7 = -3.10

2 Т а р а уВ екторлы қ алгебраМ ы навекторларүшін а = {ах,а 2,а ъ\Ь = {Қ , b2,b3},с = {сх,с 2,с 3)анықталған:\а\ = yja f+ d - а векторының модулі;ab = а\Ь\ + “ 2^2" скаляРлык көбейтіндісі;/叫- gI•ノ%*2^*2а2Ьіс2叫^аз^көбеитіндіq^%һаралас көбейтінді;- векторлықa\tf\ + aっb-у н- а ўу^ = 0 - “ мен わ ның перпендикулярлығының шарты;о\ _û2 мен ひның коллинеарлығының шарты;“ 1 Ü2 а3Һ ҺС2 сзC l,Ь жэне С ның компланарлығының шарты;a b1 } ~ ш \- Cl мен b арасындағы бүрыштың косинусы;пР аЬab -Ъ ның a ға проекциясы.11

М ы с а л 5w4(-3,l,2), 5(1,-2,3),С(4,-3,1),D (-1,2,-2) нүктелері берілгенТабу керек: a) ab ; 6)[ab] ; в) abc; г) AABC ның ауданы;д) ABCD пирамидасының кѳлемі, егер а = АВ,Ъ = А С ,с = ÂD.Ш еш уі:a ) ä - I ß = ト( 一 3), 一 2 -U -2 }= {4,-Зд}Ъ ^АС = [і 9- Л - \ ) - ондад わ= 4.7 —3(~4) + 1(-1) = 28 + 12 —1 = 39 关 0 , сондыктан а жэне Ъперпендикуляр емес;Г 1 f -3 1 \ 4 4 -3н = і - 4 —1 -1 7 ? 7 -4|в) с - A D = {2,1,-4},сонда4 -3 1a b c - 7 -4 -1 =64+6+7+8+4-84=5^02 1 -4Сондықтан a,b9c компланар емес;г)Үшбұрыиггың ауданы үшбұрыпггы қүратын векторлардыңвекторлық көбейтіндісінің модулінің жартысына тең, сондыктанSM B C = ^ ] \ = \ b 2 + П 2 + 5 2 = y 4 9 + l2 l + 2 5 = l-y /Ï9 5 -,д) ABCD пирамидасының көлемі бір төбеден шығатынпирамиданың қырларымен сәикес келетін векторлардың араласкөбейтіндісінің алтыдан біріне тең, сондықтан

3 Т а р а уА н а л и т и к а л ы қ г е о м е т р и яМына нүктелерЛ{хХіу х,г1\в [х 2уУ 2 ^2 \С{хѴУЪ^ъ)ІІ:)^хЛ^УЛ^л)і жәневекторлара= b = ん 〜 ,れүшін мына теңдеулер анықталғанa[( x - x l )-\-a2( y - y i ) ^ a 3( z - z l ) = 0 - A нүктесіненөтетінвекторына перпендикуляр жазықтықズーズi У - У \ z - z {ズ2 —ズ1 ア2 一 У\ z2 一 z\ХЪ ~ Х\ ァ3 ー 少 丨 z3 - zlүш нүкте арқылы А, В жэне С ѳтетінжазықтық;ズーА У - У і z -。ズ2 一 A ア2 —タ1 z2 ~ zlА, В нүктелерінен ѳтетін жэне аa \ a 2 a3векторына параллель жазықтық;ド- ズi У - У \ z-аі а2 аз :0 - A нүктесінен ѳтетін а жэне b -ғапараллель жазықтык;У - У \ z -z ,ズ 2 —ズ1 У2-У\ Z2А жэне В нүктелерінен өтетін түзу;13

х - х { у ~ у х z - z x А--------= ----------= ------- L - A нүктесінен ѳтепн a -ға параллель.ах а2 аъМ ысал 6Берілген Д - 3,1,2),В(1,- 2 ,3),С(4,-3,1),£)(-1,2,- 2 ) :а) АВ түзуінің;б) ABC жазықтығының;в) D нүктесінен ѳтетін ABC жазықтығына перпендикуляртүзуінің теңдеулерін құру керекШешуі:a) Формулаға қойып, табамызズ 一 ( 一 3 ) ター1 z —2 с х + 3 y - \ z - 2 АГ|----------= —-------= -------,бүдан ------ = ------ = ------- - AB тѵзуініц1 一 (―3) —2 —1 3 —2 4 —3 1канондык теңдеуі;o j Формулаға А, В, С ньщ координаттарын қойып, табамызх + 3 у - \ z - 21 + 3 - 2 - 1 3 - 2 = 0 ,осыдан4 + 3 -3-11-2(x + 3)(3 + 4 ) - ( ^ - l ) ( - 4 - 7 ) + ( z -2 )( -1 6 + 21) = 07(х + 3) + 1 1(ター1)+ 5(z 一 2) = 0,7x + lly + 5z = 0一 белпсіз жазықтықтьщ жалпы теңдеуі;в) вектор а = {7,11,5}жазықтық АВС-ға перпендикуляр болса,онда ол белгісіз түзуге параллель болады, сондықтан формуладанズ 一 ( - 1 ) у-2 z - (-2 ) х + \ アー 2 z + 2--------- 一 = -------= ------------ , осыдан ------ = --------= ------------іздеген7 1 1 5 7 1 1 5түзуіміздің канондық түрі келіп шығады.Жазықтықтағы геометриялық есептерде барлық формулалардаz айнымалысы жоқ.Бұл жағдайда қосымшау = кх + Ь - түзудің теңдеуі, бүрыпггық коэффициенті k:14

d = -~ ~ - M (x Q,>^0) нүктесінен Ax + By-\-C = 0d A2 + B2түзуіне дейінгі қашықтықkx = k2 - гіараллельдіктің шартыkxk2 = 一 1 - бүрыштық коэффициенттері к х және к 2 екі түзудіңперпендикулярлығының шарты.М ысал 7Үшбүрыштың төбелері берілген ABC: А {\-Ъ ), Ä (-l,5),C (-2 ,3).Табу керек:а) АС қабырғасының теңдеуі;б) ВН б иіктігінің геңдеуі;в) АС-ға параллель BD түзуінің теңдеуі;г) В нүктесінен АС түзуіне дейінгі ара қашыктық.Ш еш уі:а) А жэне С нүктелерінің координаттарын формулаға қоиып,_ x —1 у ― ( 一 3) x —1 少 + 3таоамыз ~ ~ ------ , осыдан-------= --------;ズー1 ー 少 + 3 .-1 一 2 ,2(х -1 ) + (у + 3) = 0 , 2ズ+ ア+ 1 = 0 - АС түзуінің жалпытеңдеуі;б) В Н 1 А С , өйткені К ви • К АС = - 1 . К = - 2 , болғандықтанК вн = —, сондыктанムу = —хл-b - ВН биіктігінің теңдеуі.“ b” ның мәнін осы теңдеуге В нүктесінің координаттарын қойыптабамыз:5 = + b. b = ― • Осыдан у - —jc + — ,jc - 2 у +11=0 - ВН тың2 2 2 2жалпы тевдеуі;в) B D II А С 9бүдан К BD = К АС = - 2 ,сондыктан у ~ -2 х + b - BDның теңдеуі. “ b” ның мәнін алдыңғыдағыдай табамыз 5 = 一 2 ( - 1)+ b,b = 3.15

Осыдан у = -2 х + 3 ,2л: + ター3 = 0 - BD ның жалпы теңдеуі;г) белгісіз ара қашықтықты мына формула бойынша табамызゴ― 丨 2(- 1) + 5 + і| 一 4Жазықтықта тікоұрыпггы координат жүйесімен қатар полярлықкоординат жүйесі де бар. Бұл жүйеде О нүктесі (полюс) және сәулеО A (полярлық ось) берілген.ОP入(pAСонда жазықтықтың кезкелген нүктесі М мынакоординаттармен анықталады:О М = р - полярлықрадиус;ZA О М = 炉 -полярлық бұрыш осьтен сағат тшіне қарсы.Бүл координаттардың анықтамасынан, р > 0 және 0 < с р < 2 лкеліп шығады.Бұл жүйеде қисықты салу ү ш ін ^-ге анықталу облысынанмәндер беріп, табьшған р-ны ң мәндері үш ін таблица қүрамыз да,табылған нүктелерді жазықтықта осы жүйеде белгілеп, солар арқалыграфик (қисық) сызамыз.М ысал 8р = 2sin3ç? қисығын сызу керек.Ш еш уінемесе2 sin 3 ^> > 0 ,sin 3 ^> 0 бұдан 0 < 3 ç < 7 r немесе 27T

функцияның анықталу облысы. Таблица қүрамыз

ハ-3іаоылған қисық, жарты өстері а =1,6 = 3 болатын, АокѵстарыОу осінде орналасқан, эллипс.4 ТарауФункциялардын шектері жэне үзіліссіздігіМатематикалық анализдің негізінде математикада ең маңыздыұғымдардың бірі —шек үғымы жатады.Осы ұғымның көмегімен функцияньщ үзіліссіздіп мендифференциалдануы аныкталады, интеграл туралы түсінік енеді жәнешексіз қатардың қосындысы анықталады т.т. Сондықтан даматематика пәнін оқығанда функцияның, атап айтқанда, тізбектердіңшегін таба білуді жетік меңгерген жөн.Берілген функцияның шектік мәнін табу — жалпы айтқанда,оңай емес.Өиткені кезкелген функцияның шегін есептеудің немесе оныңбарлығына көз жеткізудің жалпы тәсілі жоқ.Бүл мәселе көп аргументті немесе векторлық функциянықарастырғанда күрделілене түседі.Сондықтан әрбір берілген есепте шекті тапқанда өзінше әдістерқолдануға тура келеді. Шектерді өте жеңіл табатын әдістер де бар.Бүл әдістемелік қүралдьщ мақсаты нақты мысалдар келтіріп,тәсілдердің негізін түсіндіру.4.1 Ф ункц ияньщ ш егі туралы түсінік. Ш ектерді табуБүл болімде төмендегі типті есептер қарастырылады:中 ункцияның берілген нүктеде жинақталу не жинақталмау мәселесіншешу; функциялардың шектерін есептеу; біржақты шектерді табу.18

Кейбір функциялардың шектерін есептегенде төменгіфункциялардың белгілі шектерін пайдаланған жөн.s m x11ГП 一 1 - бірінші тамаша шекх->о x1、хlim 1 + -XX->QO 乂 八 ノl i m ( l + x ) x = e - екінш і тамаша шекx->0ax - l ,lim ------- = lna.x.—О Xlim O ± x N l ^ ax->0X. 1 - COS X 1limx-->0 x 2 2.Алғашқы екі шекті есептеу тәсілі математикалық анализдіңдерлік барлық курсында келтірілген және лекциялардақарастырылады, ал соңғы төртеуі алдыңғы екеуін пайдаланса,жеңілшығады. Шындығындал->0 ズ х-^0 ズー>0Ш екті табу жэне логарифмдеу амалдарының орын ауыстыруы,In у функциясы үзіліссіз болғандықтан жэне күрделі функцияның шегітуралы теорема бойынша, мүмкінl i m l n f ( x ) = l n l i m f( x )Төртінші шек жаңа айнымалы кіргізу арқылы у=ах- 1 есептеледі,_1п(1 + 少 )осыдан а =1+у жэне x = i------- • Сонымен қатар, егер x -> 0 , ондаmay->0 . Сондықтан19

а - 1 Ina ,lim = 1 іт У т т ; r = ln a h mx-^O X ” 0 ln ( l + y j y-»1 ° ln ( l + y)ÿInal n l i m ( l + y )yy -> olnalneln a.Бесінші мысалла (l+ x )a-l= y деп аламыз. Сонда ( І + х З ^ + І ,ал a ln (l+ x)=ln (l+y).Сонымен(i+ x )o - i 广 ln (l + y) _ y ln (l + jc)— —û -----------.X x ln(l-I- y ) x ln (l + y ) Xx Ода y 0 тан( i+ x )« _ i1 迚 4 セ -Алтыншы мысал оңай шешіледі1 一 cos jc = 2 sinXШынында2 sm1 -c o s xlim ----- ö = lim -x->0 x 2 x->0 XマlimL x->0sin、2Енді функциялардың не тізбектердің жинақталуын нежинақталмауын айқындаитын бірнеше мысал келтірейік.ап7 Табу керек lim —;",мүндағы аХ).п->оо п!20

п дсл+1— ахп=― , болсын, = ~ болғандықтан (кезкелген п>а-1)w! хпХп+1 < 1)• Сондықтан, тізбек {xn} - кемімелі.Сонымен қатар бұл тізбек төменнен шектелген, мысалғанөлмен. Вейершграсс теоремасы бойынша ол жинақталады.1ІШх п ニb болсын. «b» ны табу үшін, х п^\ ~ 乂 п "Т жазамызх->0 w 十 1жэне бүл теңдіктен шекті табамыз.Сонда• ж аlim x n+1= lim xn limn->00 n->00П+1аМүнан b=b 0=0. Сонымен lim ~ r = 0 •n->oo n!8 Тізбек {xn} төмендегі рекурренттік қатнаспен берілгенхп 十 1= 7 ^ + ズ„,мұндағы Xi=Vûf, а>0, яғни X i= V â, x2=V a + Va ,Хз= -y^a +a + -\faБүл тізбектің жинақталатындығын айқындайық, егер жинақталса,шегін табайық.Ш еш уіТізбек {хп} нің монотонды өспелі екендігі көрініп тұр. Оньщжоғарыдан шектелетіндігін дәлелдеиік. Математикалық индукцияәдісімен пайдаланайық. Хі=л/а < -Ja +1 екеыдігі айқын.Енді xn< V ä + l деп алайық, онда х 叶 і үшінхпト1=а/д + хпく^ + л/û + 1

«b» ның мәнін табамыз. Ол үшін мына теңдіктен шек аламыз, 2x2n+i==a+xn • Сонда ІІГП x n+i = a + l i m x n . Осыдан b2=a+b. Теңдеудішешіп, табамыз b =------ • Теріс түбірді алып тастаймыз. Өйткені(кезкелген neN +) (xn>0) жэне b>0.анықтайық.9 Функция / ( x ) = s i n | i | x->0 да шегі бар жоғынノШ еш уіГейне бойынша функцияньщ шегінің анықтамасымен пайдаланайық.1 . 1Екі тізбек қарастырайық: х п — — және х 汽 - 冗 ,neN+.抓— h 2ли2il i m x n = l i m x n = 0 көрініп тұр (кезкелген neN +) ( х „ ^ 0 ,n—>со П—>00Сол кездеlim sin ГСП-0_fim smlim sin^ - + 2тшСонымен l i mЯ-+00) {x n} тізбегіне тәуелді. Сондықтан l i m ズ(x )Л-ХХ5болмайды.10 Табу керекГ x2- 422

І І І е ш у іЕгер шектің астындағы өрнекке х-тің орнына формальді түрде0оның шектік мәнін 2 қойсақ,онда анықталмағандық Т шығады. Бұланықталмағандықты шешу үшін бөлшектің алымы мен бөлімінен х-2көбейткішін бөліп шығарып, соған қысқартамыз.Сондах 2 - 4 ( х - 2 ) . ( х + 2) х + 2пlim т —ï~ о : г— r г - = шlim и т— ( vT?— 7Т = lim ------г •x->2 X —3x + 2 x->2 (x —2 j-(x —1)Функциялар f i x) = ~ ~ жэне ^ ( ^ ) = Г үшін,x -З х + 2jc-1(кезкелген X G U(2 { [パ - 4) (x + 2)、g(x) 一 үзіліссіз—Зх + 2 ノ (ズ- 1) )функция болғандықтан х=2 нүктеде,г х + 2 2 + 2 ^1іт_х->2 x —1 2 -1しоныменX - 4 ,1 і т ~ і ;— - = 4 .х-^2 X** - З х + 211 Есептеу керек ІІШ ~ ~ .Ш еш уі0Ллдыңғы мысалдағыдан мүнда да Т анықталмағандығы бар.Бұл мысалды шешудің екі әдісш қарастырайық.1 Лйнымалыны ауыстырамыз, 1+х=у6. Егер х->0, онда у-> 1,сондыктан23

! • л/1 + X- 1 ア3 - 1 (У - l).(y2 + 少 +О 3l ;m (タ4 い り ; = I2 Бѳлшектщ алымы мен бөлімін сэйкес түйіндестерінекөбейтемізlim■i. VI + x —1д:->0 V l + 1 —1= lim(Vl + x - і) * ( л / і + Х + 1).〔V ( l + x ) 2 +M \ + X + l(V i+ x + 1). (V i+ x - 1). f^ /( i+ x ) 2 + ѴГ+Л- -f i_ r x .〔^ i + x)2 + v r r ^ + i 〕 ^ ( i + x )2 + V IT 7 + i 3^ ~ ( V T ^ Ï p — ~ =4S1 ^ Ж Т 7 7 1 — " = 212 Табу керек 1ІШ r~j~ " •X->CO л /х2 + 1 0 *Ш еш уіҚалыпты түрде х тің орнына 00 символын қойып,1 анықталмағандығына келеміз. Бүл анықталмағандықты ашу үшінбөлшектің алымын да бөлімін де х ке бөлеміз. Сонда

Үзіліссіз функцияньщ квадрат түбірі де үзіліссіз функцияболғандықтан, соңғы теңдік дұрыс.! 5 ^ = (),бүдан i V ? 7 i o =11-sin13. Табу керек ІІГПХ->7С71 一 XШ еш ѵіМүнда тағы да анықталмағандық ^ ; айнымалыны ауыстырамыз 冗 •х=у, осыдан х = 兀 -y.Онда X— у_>0 жэне/ ヽ x1 一 sinlim7 1 - Хlim1—sin 71Уlim ” 01 一 cos -lim2 sin*lim タ~»osinlimФункция sinкезкелген yeR үіпін үзіліссіз болғандықтанlim sin^ J =sin0=0.sinӘрі карай, lim -y-kO一 бірінші тамаша шек.Соңдықтан25

14 Табу керек l i m O - x )-tg ― ― •х->1 V 2 ノШ еш уіx - тің орына 1 қойсақ, 0 • оо анықталмағандьгғына әкеліпсоғады. Бұл анықталмағандықты шешу үшін айнымалыныауыстырамыз 1-х=у. Егер x —>1, онда タ .Соныменlim ( l- x ) - t gх->1Я _ Я-)І іш У -tgу-^0 12 2f К 'х Л ” f 7t)' ― r - = lim У tgい ノ ” 0 U ノlim У ctgу->0 \ ----- lim у->0 sin•lim cosу->0 V= lim _у->0 sinn n15 Есептеу керек 1іш (------— ъ-----------).х-*3 X-З X2—X —6

Ш е ш у іМүнда со-оо анықталмағандығы бар. Бүл анықталмағандықтытүріне келтіріп барып, ашамызi. x2 —6х + 9 一 !• (х —З)2х1!? ( х - 3 ) \ х г ~ х - б ) = О й 1 ( х - 3 ) . ( ^ - 3 ) . ( x + 2)lim х + 2 51 іш И х ) Г (х) түріндегі шектерді тапқанда 0°, ° ° 0,1х->аанықталмағандықтары пайда болуы мүмкін; оларды ашу үшін негізгілогарифмдік тепе-теңдікпен жэне көрсеткіштік функцияньщүзіліссіздік қасиетімен паидаланған жөн.Сонда1 іт ф(х>ІпГ(х)” (1)Осылай lim И х ) ] * “ ) шегін есептеу І іш ф ( х ) і п ф )х-»ах->ашегін есептеугеәкелінеді және басқа типті анықталмағандықтарды шешуге мүмкіндікбереді.Мүнан басқа, төмендегілерді есепке алу кажет:lim f(x )= А > О жэне ノ= В болса,ондаlim f ( x ) = Аегержэне 1ішф(х ) ― + 00, ондаJоо, при А > 1,І і т Ш Ѵ х)[О, при 0 < А < 1;егер27

lim f ^ ) ~ パ# 1 жэне lim ф(х ) = —GO,ондаx-*ax~+aегерlirn f( x) = 1 жэне 1ітф (х)= 00,онда f(x) =1+д(х) деп аламыз, мұндағы1 Іта (х)= 0 .бұл жағдайда екінші тамаша шекті пайдаланып, табамызr j 'j «(ズ> 炉 レ)lim [ル ) 广 =lim [いル)] 项 =x->ax->a し= I l i m 丨 1 + a (x )]ゐ 丨 1 н г (ふ W = e^ a… w = ル )- 丨 ]ザ⑷1о Гаоу керекxz -2x + 3lim х-^О xし Зх + 2Шешуіх2-2 х 十 3 3 sinxҺ т ~ 2 : I " ' Г жэне lirn = 1 болғандықтан,1 ережех->ох - З х + 2 L x^o xбойынша limx->0xz -2x + 3x2-3 x + 216 Табу керек ІІГ П (cos ^-X)x228

Ш е ш у іl i m (cos2x)* = H m [1 + (cos 2х _ 1)]. cos2jc-1lim ―■~2~х-*0 *х-»0 '•スノ4.2 Ф ун кц и я н ы үзіліссіздікке зерттеуҮзіліссіздекке зерттеудің негізгі мақсаты функцияның үзіліссізнүктелерінің жиынын, не үзіліс нүктелерін табу және бұл нүктелерүзілістің қай түрлеріне жататындығын анықтау. Бірнеше мысалдаркелтірейік.18 Мына функцияньщ1,е гер x > 0,/ ( jc) = sign x = +0х->-0бар, сондықтан нөлде функцияның үзілісінің бірінш і түрі. Бүлнүктеде функцияның секіртпесі f( + 0) - f ( - 0) = 2 .

19 Функция f ( x ) = ^j~ ке зке л ге н 1 үшін үзіліссіз,өйткені бүл бөлшектің бөлімі 1 де үзіліссіз. х=1 нүктесіндефункция анықталмаған және нақты бір жакты шектері жоқ.limх~>і+о(1 - x ) 2текті үзіліс нүктесі.lim 7------ўўх - > і- о ( 1 - х ): -коСондықтан х = 1 -екінші20 Функцияf( x ) = sinсебебі, егер ズ0 关 0 болса, онда/ 1 、 ( i1 Л1 s^n ― = sinU J 、x 0 ノх=0 нүктесінде функцияsinанықталмаған және бүлнүктеде бір жақты шектер жоқ, сондықтан х=0 нүктесінде функцияsin —екінш і текті үзіліс алады.ІХ21 ФункцияЛ х )= -x • sin^—J, егер д: ^ о,0 ,е ге р x = 0 , сандар осінде узіліссізШешуіШындығында, егер х 式 0 ,онда 八 」п フ 一 үзіліссіз функция;үзіліссіз функциялардың көоейтіндісі. х=0 нүктесіндеlim x . s in f—^ = 0 = f(o ) Сонымен f( x ) функциясы х=0нүктесінде үзіліссіз.30

22 Функцияны үзіліссіздікке зерттеу керек ' ノ l] + е х-амұндағы а - кезкелген анықталған сан.Ш е ш у іФункция f( x ) х=а нүктесінде анықталмаған.a —/ функцияньщ үзіліс нүктесі.lim ----------― = 0 , lim --------- jх->а+0 ~ ― х->а-0l + ex_a l + e x-Сондықган «a» нѵктесінде функция оірінші текті үзіліс алады. Бұлнүктеде функцияньщ секіртгіесі f(a + 0 )-f(a -0 )= - 1. хФа нүктесіндефункция екі үзіліссіз функцияньщ бөліндісі ретінде үзіліссіз; бөлімінөлге тең емес.5 ТарауД иф ф еренциалды к есептеуБұл тарауда әртүрлі тәсілдермен берілген функциялардыңтуындыларын табуға берілген мысалдарды, сонымен қатар туындыныпайдаланып шығарылатын есептерді қарастырамыз.5.1 Диф ф еренциалдаудың ж а л п ы ережелеріДи 中 中 еренциалдаудың жалпы ережелерін пайдаланып,төмендегі функциялардың туындыларын табу керек.ех1 y = c tg x ^ z— + 1п2;(l-f-x 2 y arctg х - хл2 у = ------ —----------------,a ニconst 本 0 •2а

Ш е ш у і1 Қосындының және бөлшектің туындыларын табудьщережелерін пайдаланып, 一 1 ех '( l — —1 ех *(2 —д:)у (1 -х )2~ + (1 -х )22 Тұрақты көбейткішті туындының сыртына шыгаруды,сонымен катар көбейтінді мен косындының туындысын табуережелерін пайдаланып2х • arctg x H------- - - 1,• _ i + jc2 —x. arctg xУ 一 ô =laa3 «n» функциялардьщ көбейтіндісінің туындысын табуережелерін пайдаланьш,(м1(х )-м 2(х )-...-м п( х ) ) '= м ;(дг)-м2(х )-...-м п(дг)++ их\х)и2 (д:) • ww(x )+ ... + w1(x )m 2(x)*...- ип (д:)К урделі ф у н кц и я н ы дифференциалдауКүрделі функцияны дифференциалдау ережесімен пайдаланып,тѳмендегі функциялардьщ туындысын табу керек:4 У = {х2 - 5 х + і ) І0°;5 у = cos(ln 1х) ;6 у = е~хЪ• arcsin5;c ;Ш е ш у і:/ 2 く Л10О .4 У = \х 一 )ズ+ リ күрделі функция деп қарастырып,У = и [0° белгілейміз, мұндағыи = X 2 —5 х + 1. Сонда күрделіфункцияны дифференциалдау ережесі бойыншаУ —У *W = lO O w" .(2 ズ 一 5 ). Енді уақытша енгізілген32

айнымалы « и » дан оньщ «х» арқылы ѳрнегіне эту қалады.Соңында ア = 100. ( i 2 —5ズ+1).{2х 一 5) табамыз.5 Берілген функцияны элементар функциялар арқылы оылайкѳрсетуге болады: у = cos и , м = ln ѵ , V = І Х . Күрделіфункцияны дифференциалдау ережесі бойынша一 sm м • немесе-sini( 1 п 7 х ) ~7х-sin(ln 7х)6 Кебейтіндінің туындысын табу ережесімен жэне күрделіфункцияньщ туындысымен пайдаланып,づ3•arcsin 5х + еI arcsin 5х)Бѳлектеп мына- ズ3функциялардьщ У\ = е , У2 = arcsin 5х туындысын табамыз.У\ , У 2 функцияларын элементар функциялар композициясытүрінде қарастыруға болады:= e U},Wj = - х 3 жэне У2 = arcsin и 2 ,и2 = 5 х .Сондықтаң(yj ■(у2 )' (М2) ~ У' -5~ - — = Г— =Ѵ Г-(м 2)2 лА 一 2 5 ? ’(ァ 丨 )'= -3 ? • パОсыдан табамыз- 2 5 jc2_.з 5 - Зл:2 • л/ï - 25х2 • arcsin 5хe ----------------т ^ - -------------V1-25JC233

Л о г а р и ф м д ік т у ы н д ыЛогарифмдік туынды мына түрдегі функцияньщ (ア( 尤 ))онымен бірге функцияrr W//2(4 -/;" WSx' і^)ё г ( 4 - g f " (x )пайдаланадының туаындысын табудаТѳменгі функциялардьщ туындыларын табу ке|рек:У(cos x ) smx ;/х-1л/х-\-2 • 火 x - 3)и炉 WШ е ш у і7 Мына теңдіктің екі жағын да 丨 логарифмдеймізln ン= sin X •ln COS X . Бұдан эрі сол жағын күрделі функция депалып, екі жағын да х бойьшша дифференциалдаймызsin:c:cos x •ln cos л: —sin ズ•cosxОсыдан, У - y ' (cos x ■ln cos д: - sin д: • tg x ). Теңдікіің оң жагына «у»тың орнына есептің шартындагы оньщ мэнін койый, табамызу = (cos x) (cos x •ln COS JC- sin x • tg x). I8 Бұл функцияньщ туындысын табу үіпін логарифмдеудіішйдалану қолайлы, өйткені көбейтіндінщ 1 жэне бөліндініңдифференциалдау ережелерін пайдаланып іпы^ару күрделі. Осыфункцияньщ модулінің логарифмінен туынды ала^ызln|jv)= Iny jx -l - ln llх + 2 ~\пу](х-З)11= —\п\х- 1| - - - ln|^ + 2| - — \n\x- 3|.Мынаны байқаймыз 0n|x|) ~ ― ,өйткені 0nH ) = (іи = —,ズ〉0 ;34

( ln (- x))' = — = - ,J C < 0 .- x XСондықтан(чм)_= 士 ’(H ズ+ 2I)(H ズ- 31)х + 2х -3(ln レ 丨 ) . = 2Дифференциалдап табамыз( jc - l) - —(х + 2)-----(ズ- 3),осыдан3{х + 2). («x - 3) - 2(х —1) •(ズー 3)—33(х - 1) . (ズ + 2)6(jc -і)-(д : + 2 )* (х -3 )= Ѵ ^ Г . 2 ..(16ぶ2 ~ 14д: + 21) .6 ( х - і) .( х + 2 )-(х -3 ) =V^2-V(^-3)U16х2 -1 4 л + 21З л / Т ^ Т 如 2 ) 4 各 3 ) 1ЭП арам етрлік түрде берілген ф ункц и я н ы ң туы н д ы сыТабу керек:9 У х мына формуламен берілген функция үшін

10 У xx мына формуламен берілген функция үшінх = 2 е ' \у = е 2іШ е ш у і:9 Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы мынаформула бойынша есептеледі. _ タ,— 3è-sin2 / -cos/ _ - 3 è sin /jc; 2a cost-( - sin/) 2aБұданx = a cos2 1,* • -3 ô -s in /10 Алдымен бірінші ретті туындыны У х табамыз, _У; 一 2е2> _ з, j x = 2 e - r ,У і ~ Ү , ~ ^ 2 р Г ~ ~ е -бұданЕнді табылган туындыны У х \ бойыншадифференциалдаймыз. Ол да t параметрі аркылы ѳрнектеледі,сондыктан тағы да параметрлік функцияны дифференциалдауережесін У х функциясына қатысты пайдаланамыз.36

Бұданх= 2е~\. Зг4/Л й қ ы н д а л м а ғ а н ф у н к ц и я н ь щ т у ы н д ы с ыБерыген функциялардьщ туындыларын табу керекil x3 л-уъ-Заху= О」 メ12 arcîë ― =Ш еш уі:Функцияның туындысы У х ты табу үш ін берілген теңцеуді xбойынша 少 функциясын күрделі деп алып, дифференциалдаймыз да,осы тендеуден У х ты табамыз.11 Зх2 + Зу2 • У - За •(ァ + ) = 0 ;у2 -у-аху' =ау-х2]у =Jタ2—ах.у х - Уx 2 __へ Л22х-һ2уу'37

У х - ух -^у уX2 л-у1 ズ2 十 タ2осыданУ .( ズーメ) = ズ+ ヌ,. х -\-уУ = --------х - у •Қ и с ы қ қ а ж ү р гізіл ге н ж анам а мен норм альдің тендеуі13 Берілген қисыққа У : 2; ~ нүктесінде жүргізілгенжанама мен нормальдың теңдеулерш жазѵ керек.14 Мына қисыкқа жанама жүргізу керек у = 4х^ 一 6ズ+ 3 :а) у = 2х түзуіне параллель;一 хб ) 少 一 т түзуіне перпендикулярШ е ш у іҚисыққа ( ^ о ^ о ) нүктесінде жүргізілген жанаманьщ теңдеуіУ-Уо = 少 (ズー^ )). Нормаль У- :х ~х0 = - у \ х0)-{у - У о)(ズ- ズо)і х о)немесе-2х13 Табамыз タ( - \2 :(1+ズ2)жанаманьщ бұрыштық коэффициентін табамыз382;| нүктесінде жүргізілген、 5 ノ

⑵ = ヨ ~, ны жанаманьщ теңдеуіне қойып, табамызу-1 —4(aj ― 2)7 = ース;" ― 一 ,немесе 4 х + 2 5 у - 1 3 = 0 . Нормальдің теңдеуіу-1 _ 2 5 (х -2 )немесе 125л: —20 ァ—246 :14 Жанама нүктесі (х 0 ',У 0 ) болсын. Осы нүктеден өтетінжанаманьщ бұрыпггық коэффициенты табамыз У レ。) = 8д:。 一 6 ;а) Жанама У = 2д:түзуіне параллель болу үшін, оньщ бүрыштықкоэффициеніті 8х0 - 6 = 2 тең болуы қажет, мұнан ズ0 = 1 —нүктеніңабсциссасы келш шығады.Жанама нүктесінің ординатасын табамыз■Уо:Я х 0)= 4 - 1 2 -6 -1 + 3Жанаманыңтеңдеуі アー1 = 2 (х - 1 ) не タ ー2л: + 1 = 0 ;б) Жанама түзуге перпендикуляр болу үшін, олардьщ бұрыштықкоэффициенттері мына шартты ん 疋 “ — һ. , қанағаттандыруларыKài 1 1қажет; à - ル болғандықтан 8 х0 - 6 = - 4 шығады, осыдан х о = ~—жанама нүктесінің абсциссасы, ал ординатасыメ。 4 + 3 = 要4 4 4Жанаманьщтеңдеуі у - — = -4-1 х - — немесе 16х + 4 у —1 1 = 0 .39

5.2 Лопиталь ережесіV l + 2 x + llim -1л/2 + х + хlim (лЛ + 2х + lj= lim \л/2 + x + xj= 0 болғандықтан,:X— 1 X—►—1 Iанықталмағандығы келіп шығады.Лопиталь ережесін пайдаланайық:У Г Т ^ + 1 鲁 (1+2 ホ \ 4х^ - 1 л/2 + x + x - Ï Ï ? I ( 2 + x )4 + 1 1 + 1 ^Туындылардьщ қатнасыньщ шегі бар болғандықтан, Лопитальережесін қолдануға болады. Егер туындылардьщ катнасының шегі0 оотағы да « ^ » немесе « — » ка әкелсе, онда ережені тағы да пайдаланыпкөруге болады.ех - е ' х - 2 х ц ех + е -х —2x^O x —s in x х->0 1 - cos Xlim ど -: 土 : = lim - X- e-~ = 2X— о S i n x x -> 0 C O S XОсы тіркестегі алғашқы үш шек - « ~ » типтесанықталмағандық.е 4-еМына шектің болуынан lim ―х->0 cosxlim : келіп шығады т.т.х->о sin x40

x ->оо да мына функциялар X (дг>0); lo g a^ (^>1),“ (ö〉1)шексіз үлкен болады.Осы функциялардьщ қайсысы тез өсетіндігін айқындайық.lo g ax 1 17 lirn — -~ = lim ~ :----------r r = limx a x->-h» x - Ina -axa"" x->+

Осы типтес эрбір мысалда екі функцияньщ қайсысын бөлімгежіберуді таңдап алу керек. Тэжрибе логарифмдік функцияны алымдақалдыру тиімді екенін көрсетеді.Мысалғаsin xlim s in x -ln x = Um , ч_,х->0+х->0+ (ІП X j0Бұл « ~ » анықталмағандығы. Лопиталь ережесін тағы дапайдаланғанда қайтадан (« 0 • оо » типі) келеміз, логарифмдікфункци5іның дэрежесі артып, қолайсыздыққа әкеледі.s in x cosx t 2lim -г— г т = lim ---------------- г - = lim cosx • lim x ln x =х-Я>+h(ln x)"' x^ - ( l n x )-:Xlim x •ln2xX-+0+lim X->1 Vln XX -1 ノМұнда « оо —oo » анықталмағандығы бар.Ортақ бөлімге келтіріп, « ~ » анықталмағандыгьша келіп, оғанЛопиталь ережесін пайдаланамыз.1 迚 ( Ü ) =l1^— (х -І)-Іп д -=ь' : 一/ 、 1」X-*\ Aノ Jf-^l ln x + :JC-l= l i mxlnx + x - l0Бұл аныкталмағандыққа « ~ » Лопиталь ережесін тағы дапайдаланамыз.l w x l n x + x - l = = 1 = 去

7 ノ^ 1( / さ ) . Мұндағы анықталмағандық « °о ° ».:(tg x )Ltgx деп белгілейміз де n дің орнына қарастырамызlim ln y = lim ctgx ln (tg x )= lim =х->^-0 х~Д-0 х~Д-0 (Ctg xjln (tg x) COS2X 1= lim ---------- = lim ----- ъ--------- = lim ------ = 0x - , * - 0 x - > | - 0 COS X ] g X x - ^ |- 0 t g X(Мұндағы анықталмағандық « 00 • 0 » анықталмағандық« ~ » гекелтірілген де Лопиталь ережесі қолданылған).呼 、 一 болғандықтан, е көрсеткіштік функциясыньщх->—02үзіліссіздігіненlim у ==е0 =1 „ J1 .келш шығады.х 2Сонымен,lim (tg x ”8l i m (cos2 x y ^ = l i m 一 ( 一 )ノ31n cos 2xjjm 31ncos 2x_ ЛЕң соңында ^ функциясыньщ үзіліссіздігі пайдаланылған.Ыңғайлы болу үш ін е= СХр { f l } деп белгілейміз де,43

31ncos2xlimぃ~+0exp] 1іщ З(- sin 2x) •-------- ― II x-»o2xcos2xJ[ x-^o 2x x^o cos 2x Jexp{- б} = e 〜Тейлор формуласыЕң жеңіл варианттан 一 «n» дэржелі көпм үш елік үш ін Тейлорформуласынан бастайықр (.х ) = 尸 С О (ズ - ズ。)+ ^ (^о) — — + … +9 ^ ( х ) — х г — 2 х 2 + Зл + 5 ,ズо = 2 болгандар (х 0) = 8 - 8 + 6 + 5 = 11Р_(х) = 3х2 - 4х + 3, Р'(х0) = 1 2 - 8 + 3 = 7Р "(х) = 6 х - 4 , Р"(х0) = 1 2 -4 = 8Р '"(х)= 6 , Р",(х0)= 6Сонымен, = 11 + і( х —2)+ 4(х —2) + (х —2)f(x ) = f ( x Q) + f '( x 0) - ( x - x 0) + f" ( x o ) ^ X ^ + ...++ f (п)(Хо ) . 1x_z2LoJ + f (п+0 ( с ), ( х - х 0 Г 144

мұндағы С = с(х) Х0 мен X тің арасындагы нүкте,с = х0 4-Ө(х - х 0), 0

ln(l + JC) = л;—^ —3 ! < + …+ 8 ! i — 一 .-- 91ズ10 ,2! 3! 4! 9 ! 10!(l + ö x ) 10t v 2 3 4 9\ \ X X X Xln (l + X ) = X --------- 1---------------- h ... + -------' 2 3 4 nV eю 1 Г + Ў х ў ° ,0 < Ö < 1Бұл формула Д:e (—1,1] үшін дұрыс, өйткені х = —1- 1п(1 + ;с)функциясыньщ үзіліс нүктесі. Формуланың қалдық мүшесін,X Е (0,1) үшін бағалайық.丨 补 PToö^fA く i L10(1 + 0 、10 一 1 0 ,ө^ткен' бүл бөлшектіңең үлкен мэні бөлімінің 1 = 0 болгандағы ең кіш і мәні болады.11 j \ x ) = • Маклорен формуласы ббйынша жіктеу керек.Осы формуланың кѳмегімен е саньш 0.001 ге дейінгі дәлдікпенесептеп табу керек./ ( 0 ) = 1;f ' ( x ) = e x ; / ' ( 0 ) = 1; f { x ) ^ e x ; f { o ) = l„..-,/ ( я)(х ) = ど ; / (я)(0 ) = 1;/ (л+,)( х ) = е \СоныменX X X I Ѳх6 = 1 ~Ь X H---------1---------Һ ... H--------- h 62! 3! n\x( п + l ) !Бұл (Ьормулада X е ( - с о ,оо),0 < ^ < 1 .Л -X = \ ^ = 1 + 1 H---------!-------- һ . . л ----- [■ 丁 7 --------- \"2! 3! п\ (w + l )46

eЕсептің шарты бойынша < ( ^ ) ~ (^ Т Т ) ~ T^ÖÖ ' ЯҒНИ(« + 1)!>3000.6 ! = 7 2 0 , 7 ! = 5040 болғандықтан, w + l = 7 ,n = 6 . Сондаt , 1 1 1 1 1 0 1 1 1 , 1 1 一 ” Qïe =1 +1 н----- 1-----1----- 1----- 1— = 2 H-----1-----1------ 1--------1-------= 2,7812! 3! 4! 5! 6! 2 6 24 120 72012 Тейлор формуласыньщ үш мүшесін жазып, л /з ^ тіжуықтап есептеп, табылган нәтиженің қатесін табу керек.J {л ) = у /X функциясын қарастырамыз жэне оны Х0 = 32 деТейлор формуласы бойынша жіктейміз (үш мүше жэне қалдық мүше)/ ( х 0) = 5Ѵ32 =2; f '( x ) = —^ = - f \ x ü)5 ^ 1 7 ' J V 0/ 5 .2 4 8 0 ,2 5 ^ 7 ,ノ 、 ° 广 25 プ - 3 2 0 0 ’ノ ” 厂 125が5j~ x-32 {x -3 2 f 6{x-32fОсыдан ズ - 80 6400 125^ё 14 'Бұл формулада -X = 33 деп алып, ѴЗЗ =2 + ― ― . Қатесі,сб[32,33і125Ѵс14Ö Ö JСонда |Г|< 1 2 5 ^ 3 2 ^ = !2 5 -2 141024ÔÔÔ- (Ең басынанѴЗЗ = 2 екендігі айқын болды. Біз тің 2 ден қаншаайырмашылығы барлыгын қарастьфдық).Маклорен формуласы бойынша жіктегенде төменгі функциялардьщдайын жіктеулерін пайдалану тиімді:47

ех =1 + х + — + — + + g + o H(2)2! 3!ѵ 3 ѵ 5 ѵx 2к+1 2k+1 /sinx = X -------+ — 十 …+ (—1 ^7 ---------

Енді

5.3 Ф ункцияларды зерттеу. Ф ункц ияньщ ең үлкен жэне еңк іш і мәндерін есептеп табуБұл бөлімнің есептерін шығару окушылардың математикалыкталдаудьщ функцияны зерттеу мәселесіне байланысты: Ферма, Роль,Лагранж жэне дифференциалданатын функцияньщ орта мэніжѳніндегі Коши теоремалары, монотондылықтың белгісі, функцияньщең үлкен жэне ең кіш і мәндерін табу туралы теоремалар, майысу(иілу) н ү к т е с і, 中 ункцияньщ асимптотасының барлығы жөндегіқағидаларды берік меңгерулеріне негізделген.Ф ун кц и я н ы зерттеуБұл параграфтың әдістемелік нүсқаулары төмендегітақырыптарға есептер шығаруға арналған:1 Функцияның өсуі және кемуі.2 Функцияньщ экстремумдары.3 Дөңестіп, ойыстығы, майысу нүктелері.4 Асимптоталар.Ф ун кц и яны ң өсуі және кемуі. Бұл тақырыпқа есептершығарғанда функцияның монтондылығының жеткілікті шартынпайдаланамыз. (a’ b) интервалында дифференциалданатынфункция өсуі (кемуі) үшін бүл интервалда f туындысы оң(теріс) болуы ж еткілікті, яғни f (дг)> 0 ( , (x ) < o)t x e (а,b ).1 Мына функцияньщ өсу жэне кему интервалдарын табу кереку = x3- 30jc2 + 225х +1Ш еш уі1 Қарастырылушы функция - көпмүшелік, сондыктан оньщаныкталу облысы - (—оо,-Ьоо)2 Оның туындысын табайык/ (х) = Зх2 - 60х + 225 = 3(ズ- 5) •(д:- 15)3 f (^ ) = 0 болатын нүктелерді табайық. Ол үшін(x —5 )(x — 15) = 0 теңдеуін шешеміз. ^үдан' = 5 ,Х2 = \ j табамыз.50

Кризистік нүктелер \ = 5 және ズ2 = 15 функцияньщ анықталуоблысын мына интервалдарға бөледі (— °0?5), (5,15),( і 5,+оо)4 Бұл интервалдардың эрқайсысында туынды / '( ^ ) т ы ңтаңбаларын зерттейік. Егер X 0 • Егер 5 < X < 1 5 ,онда ( I 一 5 ) > 0 , (л:- 1 5 )< 0 ж э н е , (ズ)く 0 . Егер л: > 1 5 ,онда( д с - 5 ) > 0 , ( л :- 1 5 ) > 0 , сондықтан f (x ) > 0 . Табылғаннәтижелерді таблицаға енгізген ьщгаилыX (-00,5) (5,15) (15,+ со)/ . W + - +/ W t \ tЖауабы(_оо ,5) жэне (15,+ оо) интервалдарында функция өседі, ал(5,15) интервалында кемиді.Ф ункцияларды ң экстремумдары. Экстремумды табуғаарналған есептерді шығарғанда ズо нүктесі, ( ズ) функциясыньщлокальдік максимумы (минимумы) болу үшінкерек. (орындалатынын естен шығармауосы нүктенің аймагынан алынган). Қалыпты жағдайда«локальдық» деген сөзді алып тастап, «максимум нүктесі》 немесе«минимум нүктесі» деп жазылады. Максимум жэне минимумкүктелері 一 экстремум нүктелері, ал функцияньщ бұл нүктедегімәндері 一 осы функцияньщ экстремумдері. Функцияныңэкс фемумдары оньщ кризистік нүктелерінің арасынан ізделеді.51

2 Функцияны экстремумге зерттеу керек 少 = ズ 3 (1 —ズ) ïШешуі:1 Функцияньщ кризистік нүктелерін табайықЗ д :^ (і-х )зФункциясының туындысы ズー і нүктесінде нөлге айналады,ал x = 0 жэне х = 1нүктелерінде болмайды, яғни фунісцияныңкризистік нүктелері ズi = j ,х і = 0,х ъ =11 Функцияны ズ1,ズ2,ズз нүктелерінің айналасында зерттейміз.0 < み < j болсын,сонда/.〔І _А)>0’ / . 〔| + A) 0 , f{h )> 0 , :,( 1 - A ) < 0 , , ( 1 + A)>0Сонымен,~ г болганда функцияньщ максимумыd/nux = / ( 全 ) = + ; ぶ2 = 0 де экстремум жоқ, ал ズ3 = 1 де функциядаминимум; fmm = «АО = 0 •Жауапズー j нүктесінде максимум, ал х =1 нуктесінде - минимум.52

Дөңестік, ойы сты қ. М айысу нүктелері. Бұл бөлімніңесептеріне: функцияның графигінің дөнестігін немесе ойыстығынанықтау (берілген нүктенің айналасында не берілген интервалда);функцияның графигінің дөңестік және ойыстық интервалдарынанықтау; майысу нүктелерін табу жатады.Егер функция У = ) берілген интервалдакезкелген өзінің жанамасынан жоғары (тѳмен) орналасса, график ондаойыс (дөнес) болатындығын есімізге түсірейік.Дөңестіктің (ойыстықтың) жеткілікті шарты: функцияның(a , b) интервалының барлық нүктелерінде нақтылы туындысыболып, мына теңсіздіктер орындалуыf ( x ) < 0 ( /" ( л ) > 0 ) x e ( a ,b ) .Бірінші топқа жататын есептерді шығарғанда: функцияныңекінші туындысы f ( I ) ты табу; екінші туындының таңбасыннүктенің айналасында немесе берілген интервалда зерттеу керек.3 Мына функцияның графигі У = X5 —5х3 一 15д: + 3 0 (1,11)жэне (3,3) нүктелершщ айналасында дөңес немесе ойыс екендігінайқындау керек.Шешуі:1 Ф у н к ц и я н ь щ е к і н ш і т у ы н д ы с ы н т а б а м ы зf '( x ) = 5 x 4 - \ 5 х 2 -З О х , f " ( x ) = 2 0 x 3 - З О х - 30.2 Екінші туындының (1,11) жэне ^3,3) нүктелерініңайналасындағы таңбасын зерттейміз. 0 < А < — болсын,онда/'(1 -А )< 0 , , ( 1 ) < 0 ’ , ( 1 + А )< 0 ,, ( 3 - А ) > 0 ,, ( 3 ) > 0 ,/" ( 3 + Л )>0Сонымен (1,11) нүктесінің айналасында график дөңес, ал (3,3) тіңайналасында - ойыс.53

4 Мына функцияның дѳнесгік жэне ой_ л 2 3майысу нүктелерін табу керек У = j X — XШ е ш уі:■ ■- ,• . ' ■-1 Қарастырылушы функцияныщ ш а а ^ п я у . обоы ш(—ос,+оо).2 Оньщ екінш і туындысын табамызf (x )= 6 x - 3 x 2, f (x) = 6-6x - б ( і- x).3 X =1 нүктесінде f"(x ) нѳлге айналады. Д өңесгіггщ женеойыстықтың екі интервалын табамыз ( 一 ° ° ,1),( l,+ ° o ) .2 Функцияның екінш і туындысының осы интервалдардыңәрқайсысындағы таңбасын зерттеп, ( - оо,1) де график ойыс жэне,те дөңес деген қорытындыға келеміз. Табылған нәтижелердітаблицаға енгізген ыңғайлыX (-оо,1) 1 (1,+ со)Г ( х )+ 0 -f(x ) ОЙЫС 2 дөңесЖ ауап: (1,2) - майысу нүктесі, график (~ °°Д )д е ойыс,(і,-Һсо)те дөңес.Асимптоталар. Егер ン = /W функциясыньщ графигініңМ (х,у) нүктесі бас нүктеден шексіз алшақтағанда бір L түзуімен арақашықтығы нөлге ұмтылса, L түзуі функцияньщ графигініңасимптотасы деп аталады.Егер f (X) — немесе ^ (х ) —~°° орындалса, X — aтүзуі у = / W функцияньщ графигінің вертикаль асимптотасыболады.54

Егерlim f( x ) = bнемесеlim f(X )= b болса, У = b түзуіУ ~ f i? ^ ) функцияньщ графигінің горизонталь асимптотасы болады.Егер k - lim b - lim [f( x ) - k x ]к ニ lim i 士 ), b =lim [ f ( x ) —кх ] болса,у — k x + b функция У ~ , ( ズノ тің кѳлбеу асимптотасы болады.4 Мына функцияның графигінің асимптоталарын табу керекヌ :х - 2Ш еш уіФункция мына интервалдарды ( - о о , 0 ) жэне (2 ,+°о )анықталған.XA) v ~ О ~~ ^ 00 болғандыкган, X = 2 түзүі осы фушсцияныңx —>2+ V X — Zвертикаль асимптотасы болады.Мына шектерді табамызXXх1^ = ' ѲЙТКШІ б¥Л ШеКТеРнақты шекті (конечное) шамалар емес, сондықтан горизонтальасимптотасы жоқ.55

К өл б е у а с и м п то т ш іа р д ы табайық1b =f(x ) Vx- 2 I xlim = lim — - - = limX-^+00 X X—И-00 X X—H-00 VX —2パ I — ЛXlim [ f ( x ) ~ k x ]= limXI x - 2x * ( v x - л / х - 2 )x - lx - ■x -h 2)l i m ----------/= = = --------= limI x - 2 V x - 2 w x + v x ~ 2 ]: lim -X 一 M-001 + Л - -ЯГНИ.л. f(x ) v x ―■2 т \ x ~ 2h m ----- = lim -----------= һ ш ------ ;~x—>-—oo X х~>~ооАлымын да бөлімін де оң шама (-х) ке бөлемізxX—lim һ д| J ■-i; ь = l im l/ W ' limU —2-Х у[ - Х + Х Л І2 -ХСонымен, сол жақты асимптотасы бар У ニ ~ х 一 1■56

Ж ауабыТүзуX = 2 - вертикаль асимптота, түзулер у = x - t - lжэнеン = _Х —1 - У Ч х - 2функциясыньщ графигінің көлбеуасимігготалары.Ф ун кц и я н ы ң ец үлкен жэне ең к іш і мэндеріне есептерf ( x ) функцияньщ ең үлкен (ең к іш і) мәндерін кесіндісіндетабу үшін ол мәндерді кризистік нүктелерде жэне кесіндінің шеткінүістелерінен алып, сонан соң ең үлкенін (ең кіш ісін) тандап алу керекекенін есімізге түсірейік.6 / ( х ) = 2хъ- Зх2 - Збд: —8 функциясыньщ [ - 3,6]нүктелерінде ең үлкен және ең кіш і мәндерін табу керек.Ш еш уі1 Функцияньщ экстремумдарын табамыз. Туындысын табамызf '( x ) ^ 6 x 2 -в х -ъ б ^ б {х + 2 \х -3 ). Осыдан х, = - 2жэнех2=3 一 кризистік нүктелері. Екі кризистік нүкте де [-3 ,6 ]кесіндісінде жатады, Екінш і туындьшы табамыз. f ( х ) = \ 2 х - 6 ;, ( —2) く 0 , ал f \ і ) > 0 болғандықтан, x = —2 нүктесіндемаксимум, ал X ~ J нүктесінде минимум.Функцияньщ мәндерін экстремум нүктелерінде жэне берілгенкесіндінің шеттерінде есептейміз/ ( - 3 ) = 19, / ( —2) = 36,/(3 )= -8 9 , /(6 )^ 1 0 0 .Сонымен, функцияның [-3,6] кесіндісівдегі ең үлкен және еңкіш і мэндерішах /(х )= max {і 9,36,100}=100;min /(x ) - min {l 9,-89,100} = -8957

j . , •- графиктің координат остерімен қиылысу нүктелерін табу;таңба т^рақтылық аралықтарын табу;- функцияньщ үзіліс нүктелерін табу;- функцияньщ аныкталу облысын шектейтін нүктелерде жэнеүзіліс нүктелерінде бір жақты шектерді табу;- графиктің асимптоталарын табу;- бірінш і туындыны тауып, функцияның экстремумдарын жэнеѳсу жэне кему аралыкгарын табу;- функцияньщ екінш і туындысын табу;- графиктің иілу нүктелерін, дөңестік немесе ойыстықаралықтарын табу. Иілу нүктелерІнде жүргізілетін жанамалардыңбүрыштық коэффициентгерін табу;- қисы қты ң кейбір беліктеріндегі сипатьш айқындау үшінбірнеше қосымша нүктелер алып, функцияньщ графигін саламыз.- функцияны зерттеудің барлық пушсттерін орьшдағаннан кейіннәтижелер график не нүктелер түрінде, немесе үзіліс нуктелерінежәне анықталу облысының шеткі нүктелеріне ^мтылуынстрелкалармен көрсетіледі. Сонымен бірге асимптоталар және иілунүктелеріндегі жанамалар да сальшады.1 М ы на функцияны зерггеп жэне графигін салу керекズ3 - х 2 .1 Ф ун кц и я тек X = 土 、/ ^ нүкгелерінде ғана үгіледі, яГВШ,;' ‘ : '•! -,■ л е ( - о о , - Ѵ з ) и ( - Ѵ з , Ѵ з ) り (л/3,+оо).f ( _ r \ _ ( - X ) 一 - —2 Ф ункц и я тақ,еебебі ノ 、 ノ 3 —( ― x ) 2 •しонымен,оны н гра 中 игі бас нүктеге қарағанда симметриялы. Осыныңнегізінде зерттеуді жэне график салуды тек ズ 之 0 нүктелеріменшектелуге болады, сонан соң симметриялық пен пайдаланып,графиктің қалған бөлігін салуға да болады. Функция периодсыз.3 График Ох осін ン = 0 болатын нуктелерде кеседі, яғниv 3^ —n― 2 ― u б^дан х~0 (бас нүктеде).60

少 > 0 немесе ~Z Г > 0 0 < х < л/З болганда жэнеXア く 0 немесе ^ Т < 0 у]Ъ < х く+ао болганда, бұлартеңсіздіктердің шешімдері. Теңсіздіктерді интервалдар әдісіменшешуге болады.(•Л —4 / â + x ) > 0 = > (Vâ 一 4 / ä + * ) < 0 ” x e (0 , 匈Дэл солай < 0 x g (д/3,-ко j болганда. ; д3 Функция X ~ л/З нуктесінде екінш і типті үзілістіXlim ------т=+°°,Ѵз-3- xxlimх->Ѵз+3-хr xОған коса h m ~ ミ= ~°°* ,5 п.4 тен, X = - вертикаль асимптота. Кѳлбеу асимптотаУ ^ к Х + Ь 9мұндағык = Ііш = lim ~ 7 1 = - ! , lim [f( x )-k x ] =f X 3 ヽ:lim --------7 + XX 一 )00 З -х 2ЗхОсыдан У ― 一 ぶ графиюің кѳлбеу асимптотасы болады.6 Туынды табамыз61

( 3 - x 2)Вх2 + 2 х х 3 9 х 2 - x 4 ....ズ 2( 3 - лт)(3 + х)1 ( З - 2) 丨 2 i〔3 - ? ) 丨 2 1(З- jc2 Г ,Оны нөлге теңестіремізх2(3 —х)(3 + х)( 3 - ズ2) fСонда X 2 (3 - х Х З + X ) = 0 . Бвдан Х = Ъ, Х ^ - Ъ , XКелісіміз бойынша бізге тек х = 3 нүктесінде ғана экстремМмгезерттеуге тура келеді. Туындыньщ х = 3 нүктесінің сол жэне оңжағындығы таңбалары тек қана алымның таңбасына байланысты,өйткені бөлім әруақытта оң. х = 3 нүктесінің айналасцндаУ (3 — f ) > 0 И у (3 + 6 * ) < 0 ,мұндағы ど 〉 0 •Сонымен, х = 3 нүктесінде функцияньщ максимумы一 - П 一 . _У= — ~ = —4,j6x е М ) ( Д з ) болганда функция ѳседі, ал х ^сЬѵнкция кемиді.Осы нэтижелерді бірінші туындыньщ таңбасын интервалдарәдісімен зерттеп табуға да болады. Ох осінде ズ = 0 ,X = л/З, X т= 3нүктелерін белгілеп, оірінші туындьшың таңбасын әрбір интервалдатексереміз(хУ+ + + -о Ѵз з7 Қисықтың дөңестігін, ойыстығын жэне майысуын зерттейфіз.Екінші туындыны табамыз62

, 9 х 2プ" Ч ( з - パ )2(з - лг2У (і8 x - 4д:3)ч- (9л:2 - х 4 )-2 (з - л:2 )-2л:(3 - ? )46 - дг2 У ( і 8 x - 4д:3)+ 4:с(9д:2 - jc4 )(3 _ д:2У54 д:-18 jc3 -12 д:3 + 4д:5 + 36 л:3 - А х ъ54 д; + бд:3 6 д: + д:2)= —( 3 - 4 = ( З - х づУニ 0 бұдан Л:= О •ズ = О нүктесінің айналасында ア (0 — ど) < 0 ; у (О + f ) > 0 ?мұндағы ど 〉 0 .Сонымен, координаттар бас нүктесінде қисық иіледі (бас нүктедеиілудің барлығы графикті симметриялы түрде сол жаққа салғанда дакеліп шыгатын еді). Кейде ойыстықтың багыты үзіліс арқылы өткендеөзгеруі мүмкін, сондықтан утың таңбасын үзіліс нүктелерініңайналасында айқындау керек. Берілген жагдайда У > 0 (o,V ä )аралығында жэне У '< 0(л/З 500 ) аралығында. Сонымен қисық(0, 病 аралығында ойыс жэне (ѴЗ,оо) аралығында дөңес.Осы нәтижелерді екінш і туындының таңбасын интервалдарәдісімен зерттеп те табуға болады. Ох осінде Л:= 0 жәнеx = л/3 нүктелерін белгілейміз де, екінші туындының таңбасын әринтервалда тексереміз:ゾ (X )-----------------. -------------------. ----------------------- 、Иілу нүктесіндегі жанаманьщ бұрыиггық коэффициенті^ = / (о )= о .8 Есептеп /(і) = 0 ,5 ; /(0 ,5 )= 0,04; /(3 ,5 )= 4,6 табамыз да,график сызамыз.63

Х < 0 үш ін ірафиктің симметрияльоъшен п^йдал^намьд-64

6 ТарауИнтегралдық есептеуАнықталмаған интегралды есептеудің практикада ыңғайлыжалпы әдістерінің жоқтығына байланысты практикада ж иі кездесетінфункциялардьщ кейбір дербес кластарыньщ интегралдау әдістерінқарастыруға тура келеді.6.1 Рационал бөлшектерді интегралдауРационал бөлшекW ( ズ),мұндағы ) ! ^ , ( ^ ) және Р п { х )т жәнеп дәрежелі көпмүшеліктер ТП < п болғанда дұрыс, басқасында бұрысдеп аталады. (w > 1 ) . әрбір бүрыс рационал бөлшекті көпмүшелікжәне дұрыс рационал бөлшекгің қосындысы ретінде жазуға болады.Сондыктан рационал бөлшектерді интегралдау мәселесі дұрысбөлшектерді интегралдауға әкеледі.жағдайШешуіАax + b -dx ,A t а,b —нақты сандар, а ^ 0 .Аax + b -dx :t = ax + bdt : adx[ i . — ゴ lnM + C ニ 一 ln |o r+ 6 卜 Ct a a 丨 , a 丨 1Мысал 12 жағдаиn=2. j~p 2 < ЦA x + B3dxln |!- 2 jc |+ C[ —2дгx 2 + px + q -dx мүидағы À, 爲 p f Н8КТЫ савдар,65

Ш е ш у іА(2x + p)- r A^\BメPr Æt Ах-\~ 十 В ガ , f.A r(2x + p)dxJ\~2 ^ ~ I -

Ш еш уіБөлімді сызықтық жэне квадратты көбейткіштерге жіктейміз де,берілген бөлшекті 1 және 2 жағдайд^ы анықталмаған алымдары барбөлшектердің қосындысы түрінде жазамыз.М ысал 3X 2 + 1fix + С•x-dxJC3 - 1 X 1 X + JC + 1x 2 + \ - а (х 2 + x + 1)+ (Вх + С)(ズ- 1)x 0 : І^А -С 'x = l: 2 = ЗАА3х= : ~ 1 :2 = А ~ 2 ( С - В )2В = 2 - А + 2С = 22 23 323В2 1 1 х-\•ムdx = —ln |x - l|-+ --■(2x + î ) ~ - 2 1 r\ ~ --------------—Æc = —1пд:-1 + — fj x 2 + x + l 3 1 I2x4-1

1 2 х + \ ^---- pr arctg — рг— + Сл/зл/З1 жэне 2 жағдайдағы бөлшектердің бѳлімдері натурал дэрежедегіжағдайларын қарастырайық.ç A dxИнтеграл J ( 狀 + Ь )л ^ жағдайдағыдай шешіледіМына интеграл J 2 W* , сол көрсетілген эдістермен+ р х ^ I. r dx( 2 V интегралына әкелінеді, ауыстыру енгіземізІХ + рХ ' (J)

tdtd V(t2 + a 2)fdu = dt. 人 -V-1{ е + а 2) ~ 2 { n - \ ) {t2 + a 2Y1 t 1 fdtОсыдан2 п-1 +2 а 2{ п - \ ү + а 2У 2 a 2( n - l )t1 2 n - 32 a 2[ n - \ b 2 + a 2y - 1 2 a 2 n - \J./1-1Л -iБұл рекуррентті формула бойынша J і ден ゾ2 ,*^3 т.т. табамыз.М ы сал 4dxU - 2JC + 2dtズー1 :a -丨 Mdtн-----a rc tg t + C -x - 1h-----a r c t g ( x - \ ) + C2 [x 2 - 2 x - h 2 ) 269

Рационал функцияларды интегралдаудың жоғарыда көрсетілгенәдістері жалпылама болғанмен де үнемі б^л әдісті пайдаланбаи-ақкейбір жағдайларда әлдеқайда жеңілдетіп есептеуге б о л а д ы . ;;Мысал 5f■dx :■ln|x6+ x 5+д:4| + С\x ~tx -txМысал 6r xdx r 2xdx t^2x2- 1^2х4-2х2+ 1 ' ^Ах4 - 4 x 2 +2 dt = Axdxd l- 全 • arctg t + C~~' arctg (2x2 - 1)+ CМысал 7「ズ7 + ズ4 _ ズ3 + 】 гХ Ъ[х Л —1 ) + Л:4 +1 _i--------------:-------dx = - Л - — 4—л— ү ч ік •л:5 —1л:4 -ІД Л " + iXx 4 + lx 4 - l, 1 r4 x dxd x こ 一4 V + l1 ? - ldx-—ln lx + l } + —lnx ~ lx + l-a rctg x + CИррационал функцияларды интегралдауИррационал функцияларды интефалдаудьщ негізгі тэсіліинтеграл тацбасының астындағы функцияны айнымалыны ауыстыруарқылы рационалдауга негізделген.70

Мүнда біз бұл эдісті иррвдиояалдыкгың негізгі үш класынапайдалануға тоқталамыз.1 жағдайR x ,а х + Ьc x + da x + bc x + d,Ріа х + Ь ^ "c x + d )d xмұндағы бөлшектер, a, b, c, d — накты сандар,ü d — Ьс 5* 0 , R - өз аргументтерінің рационал функциясы.Рационалдау үш ін мына ауыстырудыа х -h b 一 s: г [ У - もпайдаланамыз,мұнд^ы S - ^ 5^ 2 ,…, белшектерініңең кіш і ортақ еселігі.Мысал 1(л/х^Т-л/хТТ)У(х + 1)5 ■ ~ і)2(х +1)+ л/ j - 1)し 1 х - \ і 6 +1

t 4 2 t3 2--------------h t4 32 t + 21n|t + l|福2X + l 丨 X + l 丨 x + l+ 21n丨 x + l+ 1 + C2 жағдайJ r (x , ^ c I似 + ÖX + C jd x ,мұндгтеі a,bt c — нақты саңдар,]рационал функция.Рационалдау ушін Эйлер ауыстыруларын пайдаланамыз:1 ) л іа х 2 + b x + c = N a x + t, егер а > 0 ;2) лісіх^ + b x + с —л/с + x t, егер с > 0, д < 0 ;3) л!а х2 +ÄX + C - t \ x - a \ егер с < 0 ,а < Омұндағы СС- квадрат үшмушеліктің түбірі.Екі жағын да квадрат дәрежеге шығарьш ズ ті жэне d x ті таШуғаболады. Сонда * аркылы рационал функцияның интегралы боладі! -iМысал 2dxѴ х^-2 x + 4 = x + t, x2 - 2 木 + 4 = x2 + 2 xt+ tҺ - 2 x + 42t + 2(2t + 2 f- 2 - ft2 +2t + 4) dt(2t + 2)2 厂 + 2t + 4 I j* n /■ dt4 - Г丄 ~ ^ --------- = j ■ゴ dt= 2f2t + 24 - Г2t + 2 - 十 tt2)(4-t2 + 2t2^ )

Эйлер ауыстырулары көп жағдайда өте көлемді есептсулерге әкелуІмүмкін. Сондықтан мына интегралдарды шешкендеり 2 ............ dx, ^{Л х^-В У^ах1 + b x + c dx9rdx(Ax + B )yjax2 +bx-\~cбасқа ауыстырулар алған жеңілірек. *Мысал 3厂 」 色 .— 办 = 4 ヒ )+2 也 = 1 す 广 —j 扣 +V x2 - 2 x + 5 V x2 - 2 x + 5 2 V x 2 - 2 x + 5+ 2 J ■ 厂 dL — = V x ^ - 2 x + 5 + 2 .■ 空 :■=V x 2 - 2 x + 5 ^ ( x - l f + 4= V x ^ - 2 x + 5 + 2 1 n x -1 + V x " - 2 x + 5 + CМысал 4J(x + l)V x 2 ~ 2 x + 5 dx = j 丄 ( 2 x - 2 ) + 2 V x 2 -2 x -f-5 dx == 丄 j( 2 x - 2 } y [x 2 ~ 2 x + 5 dx + 2 j y [ ^ - 2x 十 5 dx == 全 (x2 - 2x + + 2 js/x2 - 2x + 5 dxТабылган интегралды жеке есептейік73

Jx 一 2 x 十 5み :м = *v x2 - + 5, v = jcdv = dx,du- d xlx 2 - 2 x + 5ХЛІХ .2л: + 5 - J-Ix 一 2x 十 5x - 5-dx/x*" 一 2x + 5= = d x = x \ x " ~ 2 x + 5jc 一 2ズ + 5-dx = x \ .x —2x + 5 — IVx —2.x *f| 5cbc -Осыдан-л/х2 - 2x + 5-мысалдағайдай шешіледі.Мысал 5x - 5rdx/x し 2x + 5Бұл интеграл 3pdx(x + l^V ~ 2.x + Ъx + \ -dx -dtdt-------j- 9dt4 ï ~ 4 t + 9 t2dtt 一 一 / + -I 9 9fdt: — \n t+ J t ~ g t + g + C = — ln 9/-2 + 3V9/2- 4 / + l: 一 一 ln -------2 + 3 — ,x + l y (x +1)x + l + 1 + C = —Injx +1| -+ C :--Іп|7-2х + ЗѴх2-2 jc+ 6| + CМына интегралды шешкенде74

| я Г х , Ѵ а 2 - x 2>|d x , jR ^ x ’ V x 2 — a 2 ) d x , J r [ x , V x 2 4 -a 2 |dxэрқайсысына сэйкес төмендегі ауыстыруларды пайдаланған тиімдіx = a * sin f, х== а -sec^ x = a 、 tg tМ ысал 6d xx4 x2 +9x = 3tg tJ 3dtdx = -----r-COS tJ d tcos ムtsin2 1cos tcos.1 rco s td t9 J sin2 1■+ C :9 sin/1л/дГ + 9— 9x+ c3 жағдаиГ т ( п . г \ Р• (ОХ + 6 Jхмұндағы m ,n ,p —рационал сандар, a, b- нақты сандар.Л.П. Чебышев бұл интегралдың шекті (конечный) түрдеSесептелетіндігін дәлелдеген: р 一 бүтін болғанда, X ауыстыруыарқылы, мұндағы S 一 т жэне п бөлшектерінің бөлімдерінің ең кішіортақ еселіп,т +1 ひ= ахп +Ь- бүтін (р - бөлшек) болғандаауыстыруы арқылы, мұндағы S - р бөлшегінің бөлімі;w +1 w +1Y Р - бүтін (р мен - бөлшектер) болғанда,x nt s = а х п + Ь ауыстыруы арқылы, мұндағы S - р бөлшегініңбөлімі.Бұл ауыстырулардың бәрі рационалдайтын, яғни интегралдар tайнымалысы бойынша рационал функциялардан алынады.75

М ысал 7•■\fxdxズ3 — 1 dx :x - tdx = 6t5dtc t36 t 5d tt dt , ハr - i 1+1 ;+ i , , ri^ ~ ~ = 6 いっ」 dt = 6t2- \ J t2- \ JdtГ - 1 Г - 1t6 + t4 + t2 + \ + -V- 1 , \dtff------1------- 1------- h ^ H---- lïl7 5 3 2 ^ + 1X+7I厂2X5I+冱3+ C = 6 ^ -A1- 1+ 31n + cy fx + 1ノМ ысал 8x 7 V l + x 4 ахm + 1nx47 + 176

М ысал 9о.З Григонометриялы қ функцияларды интегралдауМына итегралдарды қарастырайық /R (sinx,cosx)dx ? мұңдағы R -sin X жэне COS X ке тәуелді рационал ф ункция, бүлар үш інинтегралдаудың ыңғайлы түрлері жасалған.

1 жагдайR (- sin X,cos x) = -R(sin X,cos x) немесеR(sinx,—cosx) = —R(sin X,cosx) онда әрқайсысына сэйкесt = COS X жэне t = sin X рационалдайтын ауыстырулар алынады.2 жағдай. 2п ^ へへ„2 тsin x COS x d x , мүндағы n, т —бүтін теріс емес сандар.Мүндаи интеграл дәрежені. о l-co s2 x ? l + cos2xsin x = ------------ , cos x = -------тѳмендетупайдаланып шешіледі.6) Jsin" x cosra x d x ,мұндағы /w+ n - жүп.Мұнда рационалдайтын ауыстыру t = tg x .3 жағдаиформулаларын. dxsin2n x .cos2m Xмүндағы n, m - бүтін теріс емес сандар. Мұндайитеграл мына интегралдарға әкелінедіfsin xdxf cos xdx丨 ^ ^ 纖 J sink+2 xмүндағы k: 式 一 1 ,ауыстыру тәсілімен есептеліп, одан әрі таблицалықдеп есептеледі.tg xrsi:nk xdxt k+1 tg k+1xdx Jtkdt -+ C :cosk+2x dtk + 1 k + 1 + Ccos4" x/■cos xdxsink+2 xd tこ:ctgxdxk+1- jt kdt = - - ~ -+ C = 」 筚 」 +Ck + 1 k + 1dxIsm*- x + cos xОндаsin2n x -cos2m x sin2n x • cos2m X -dx жақшалардыашып, мүшелеп бөлгеннен соң таблицалық интегралдар шығады.78

4 жағдаиr ^ Ü J L d xI ^2m x , мұндағы m - натурал сан, n - бүтін теріс емес сан.а) п > т . Сонда-m +lsin2n x t f sin2m 一 2. •(sin2 lsm~ : x IJ „ -dx = J ^ — — dx =cos m X COS Xド - 4 - W ± こcos2m Xжақшаларды ашып, мүшелеп бөлгеннен соң таблицалық не осытиптес, немесе 2 жағдайдағы интегралдар келіп шығады.6) п < тj sin2n х 办 一 j sm2n.(sin2 x + cos2 x f 1也жақшаларды ашып жэне мѵшелеп бѳлгеннен кейін таблицалықинтегралдар шығады.Г 3 4 ヽ t = cosxJsin x cos х а х (Іж а г д а и ^dt = - sin xdxj*sin2x.cos4x.sinxt/x:= j*(l —/ 2>4(—öfr)= |(^6 - t At 1 t 5 ^ COS7X COS5 X 广------------ トс = ------------------------- Һ с7 5------------ 7 579

М ы с а л 2sin2 x . cos4 x d x (2 жағдай А)「1- cos 2 xfl + cos 2x2—J(l + cos 2;c)sin2 2xdx = — J(l 4- cos 2 x )(l- cos Ax)dx :Мысал 3丄 J(1 + cos 2x - cos 4x —cos 2x • cos 4x)dx :1 ( sin2x s i n 4 x ) 1161 ~ 2 4 ~ J 3 2 J(cos6x 十 cos2x)dx -1 f sin2x sin4x ) 1 f sm6x sin2x 1 ハ一 x + ------------------- ------------------+ --------- +C :16І, 2 4 J 32 い 2 Jx sin2x sin4x sin6x一 + ------------------------------------------+ C16 64 64 192dx パ ハ r(sin2^ - f cos2x f ^(3 жагдаи)みcos x cos x cos x sm ズノぶ+ tg 3x + 3tg x 一 ctg x + C

fCOS XT jîôJ s in XМ ысал 4cos4 x (s irr x + cos2 x j dxdx (4 жағдай Б) = ГJ sin10xCOS X _ COS X COS X 1 , c ts : X- - + 2 — ' - + ― み = — É—sin X sin X sin X J 52 c tg 7x c tg 9x | с7 9М ысал 5rcosüX rcos2a xicos" X» ,— -ax (4 ж ағдаиА )= ----------^ -------^-axJ sin x ----------------------------- J sin xrcos2x (l-s in 2x f , / COS2 X ^ COS" X= -------- ^ l ~ c k = 2— 2 ~~z— +J sin ein XV-------------- J sin X sin X\x dxノc tg X ^ r l - s i n 2 X 7 rl + cos2^ , c tg 3x_2° Jヒ1ぢ 」 み^ + ' 1 -ax = — - —sin x J 2i へ 1f sin 2л: ^ _ 5 sin 2x _+ 2ctg x + 2x + —\ jcH--------- 4-C = —x し + ----------- ! Һ2ctg x ■4.ぬ + cノҚарастырылған 4 жағдайға жатпайтын интегралдардыауыстыруымен есептеуге болады.Ондаi 2dt . 2 t 1 - 12x = zarctg t, dx = ----- - つ,о , smx т л. = — ----- - , vリ。л cosx —-— ^1+ t2 1 + t2 1+ t"

М ысал бгdx•*3-sinx•]g —2dtl + t 2 f - J L —3 — 2t 'ъ іг - i t + ъrdtt 1 - - / + 1dtt — +-1 3/-1 ^: n + c . ' T l3 攻 2 - 1arctg-ѴГ -+ c6.4 Гиперболалык функцияларды интегралдауsh xе х —е_хZ- гиперболалық синус.th Xchx:sh X ch Xch X cth X sh X• гиперболалык косинус.■гиперболалық тангенс жэне котангенс.М ы на түрдегі интегралдарды қарастьфаиықjR(sh x ,ch x ) d x , мұндағы R - sh x жэнерационал функция.Интегралдағанда тригонометриялыққолданылатын алғашқы 4 тэсілдіi ,2 ,2 і_2 сһ 2 х-1 ,2 1 + сһ2х1= ch x-sh x, sh x = ---------- ,ch x = -----------ch xқа тәуелдіфункцияларғатепе-теңдіктердіжэне таблицалық интегралдарды пайдаланамыз.th k+1 x ハ f ch X cthK+Ixdx + C, f- + Сk + 1 shk+2: k + 1—82

М ы с а л 1|sh2 x • ch3 л:dx (1жағдай)=t = shxdt = ch xdx^ h 2 xdx -!(l + sh2xish3 x sh5 X----------1---------- + C3 51 + Г + t^\it = L + L + cr 3 5Мысал 2Jsh4x*ch 2x ^ (2 жағдай)=ch 2д:- 1 ) 1 + ch 2д:dx :2 2* Jsh2 2 x . (ch 2 x - l)d x - 士 J(ch 4 x —l)(ch 2 x —\)d x16сһбх+ — ch 2x ~ ch 2x - ch4x + \16 j l2shôx sh2x+ C16V 12 4Мысал 3r dx*sh4x -c h 4xch2x(ch2jc -s h 2x(Зжағдай)-sh x -c h X3 sh2xsh4 x sh2 x ch2 x ch4 XCth3JCdx+ 3 c t h x ++ 3 t h x - ^ + C

М ысал 42 2 み「sh X •dx (4 жағдай A ) = -Sс8X2ュsh x 2 sh4 x sh6 л:ch4 x ch6 x ch8 X, th3x . th5x th7 X ^dx = ----------2--------4---------+ CМысалcch1 x -(c h 2 x f dxf ~ d x (4 жағдай A ) =Jsh ^sh 4 Xx v 一 ノ J s h 4 xt 2 (л 1 2 V /f ch2 x(l + sh2 хУ — / ch2X ch2 X 2sh4 Qb x v 、\ s sh4:c h Ax sh2Xcth3x rf l + sh2jc 1 + с һ 2 д :\-------- + — z— + ------------ dx3 \ sh x 2“ J1 sh 2x 3 sh2x , cth3x ハ+ - X + + C = ~ x + ------------- cthjc---------------+ C2 4 2 4 3dx =^3cth3X .----------- cth X + X +7Жоғарыдағы жағдайларға жатпайтын интегралдарды экспоненталарғакөшіп есептеиміз.84

М ысал 6exdx exdx1+ shx , ex —e_1 + -2e2xdxe2x+2ex- l dt ニexdxexdx■2\2 + еЛ-е xtdt2 \ t2+2t-l斗-(2t + 2 ) - l2t + 2- d t= | d t - 2 [t2+2t-l t2+2t-li|t2+ 2 t - l'2 уІ2t+ 1 -л /гlnt + l + V2+ C:e2x+2ex一 1 卜 fcx + 1 —V 2ex +1 + V2+C

Ж ҮТ 1.1Ж еке үй тапсырмасы № 1а11 аі2 а13 аі4Анықтауышты есепте а21 а22 а23 а24а31 а32 азз а34а41 а42 а43 а44а) алдын ала тік немесе жатық жолда нѳлдер жасап;б) k-нші жатық жолдың элементтері бойьшша жіктеп;в) m-нші тік жолдың элементтері бойьшша жіктеп.Берілгендері 1,2 таблицаларда.1-мысалды қара (1 тарау).Таблица 1Тапсы]рмаларВариаытта р№ 1 № 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ац ац 3 -2 2 0 2 1 2 3 і -1^12 аі2 1 0 3 1 0 -2 1 -4 0 2аіз аіз 3 -1 1 -1 -2 3 -1 1 3 3аі4 ^21 0 4 1 3 3 -1 0 4 -3 4^21 ^22 -2 1 -1 -4 -1 1 4 1 -2 -2а 22 ^23 1 1 -3 -2 -3 -1 -2 2 1 1а 23 азі 2 1 0 1 2 -4 1 1 2 4^24 аз2 2 3 -1 6 1 2 2 0 -2 3азі азз 1 2 1 4 2 2 -3 2 3 0аз2 вц 0 -3 1 1 -1 4 -1 -1 -3 -4азз Ві2 -1 0 -2 2 1 1 2 -3 2 1аз4 віз 1 -2 0 -2 -5 3 1 2 1 2^41 В21 2 4 4 3 1 2 -4 2 2 4^42 В22 -3 3 1 1 3 0 3 -3 -2 3^43 В23 2 2 2 3 0 -1 -1 -2 1 -2^44 взі -4 -1 6 2 -3 4 4 1 -1 1К В32 3 1 2 4 1 2 3 4 2 3м Взз 2 3 4 3 2 3 1 2 1 486

Ж Ү Т 1.2Матрицалар берілгена 12 а и Ьп Ьп Ьп«21 а 22 а 23 жэне В - ^22 *23а зі а 32 а зз 屯 Ь,2Табу керек: а) AB; б )А 」;в )А и.АБерілгендері 1,2 таблицаларда. 2 жэне 3 мысалды кара (1 тарау).Таблица 2Тапсы рмаларВарианттар№ 1 № 2 3 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20ац ац -1 4 1 2 1 0 3 2 2 4а!2 а12 4 -3 0 ^ 3 3 1 1 -1 -2 -2а13 ^13 2 1 1 ^ -1 -1 4 2 4 3 2а14 321 1 2 2 -3 0 3 -1 -3 -1 -1a21 ^22 -2 -5 1 1 2 2 4 0 2 2а22 а23 1 2 -2 -1 1 1 2 3 3 -4^23 азі 0 •4 2 2 -3 -2 3 1 -2 0а24 аз2 3 1 4 6 -2 2 -4 -2 1 1а31 азз 1 0 1 0 3 -1 -1 2 1 -2а 32 ВЦ -2 4 -1 3 2 2 0 -3 4 1а33 Ві2 3 -1 1 2 0 -1 2 -2 2 2а34 Віз 2 2 0 -1 1 1 -3 1 -1 -3а4і В2! 3 3 1 4 -1 2 3 3 -2 3^42 В22 -2 -2 4 -1 -2 1 -3 5 3 2^43 В23 2 -1 -1 3 1 -4 4 -3 0 -3Зф* Взі -1 1 -3 1 3 3 2 1 4 1К В32 1 1 4 2 3 2 3 4 3 2м в33 2 з 3 1 2 4 1 2 4 387

Ж Ү Т -1 .3Жуйені шешу керек:aux^a î2y + al3z = bïltа21Х^ а22У + а232 = Ь\2^a3ix + o32y-i-ai3z = bï3а) Крамер формулалары бойынша;б) матрицалық әдіспен ;в) Гаусс әдісімен.Берілгендері 1,2 таблицаларда. 4 мысалды қара (1 тарау).Ж Ү Т -1 .4Мына векторлар ä = {a,,a2,a3}, b = {b},b2,b3}9 с = {сх,с2,съ]берілген.Табу керек: а) аЪс \ б) в) д 丄 дан «р» ны; г) ъ векторьшын,а векторына проекциясы; д) а ,ь жэне (b+qc) компланар болғанд^«q» ды.Берілгендері 3,4 таблицаларда. 5-мысалды қара (2 тарау).Таблица 3Тапсырмалар Вариантта P _4,5,6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10аі 2 1 1 8 5 4 -6 10 4 6а2 5 4 -6 -6 7 -4 2 -1 1 -4а3 -1 2 4 1 -2 2 3 2 -3 1bi -3 -5 -3 •4 0 -1 -3 -4 7 -4b2 1 1 3 2 ■4 8 8 1 -3 2Ьз 2 3 -1 3 3 1 2 -3 1 -2Сі 0 8 3 2 -5 6 0 6 -3 4с2 4 -2 4 6 2 2 -5 9 -1 10Сз 3 1 -2 -2 4 -3 4 1 2 -1di 3 -1 1 3 5 1 -1 2 1 -3d 2 -1 2 7 5 8 2 0 4 1 7сіз 2 1 3 4 3 -2 2 3 5 188

Таблица 4ТапсырмаларВарианттар4,5,6 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20ai 3 5 -5 -3 -4 -2 3 3 7 -2a2 -1 -5 4 1 -5 -6 -8 2 0 4a3 2 1 -2 4 1 2 -1 2 -2 3bi -6 -フ 9 10 8 -3 -7 -フ 1 1b2 2 4 6 -2 1 5 -2 -4 4 -3b3 -1 2 1 3 -2 3 1 1 3 2Cl 11 -7 -1 4 -3 4 -4 0 >8 0C2 3 -2 -4 ■5 -1 0 6 2 >4 7Сз 1 3 3 2 2 1 2 3 1 -1di 2 1 1 3 6 4 1 4 2 3^2 -1 6 -1 5 1 2 2 2 7 2d3 5 3 4 1 1 -1 6 5 1 4ЖҮТ - 1.5Пирамиданың тѳоелері мына нүктелерде А(аь аг, а3),В(ЬЬ Ъ2, Ь3),С(сь с2, с3) жэне D(db d2, d3).Табу керек: а) АБС жағының ауданьш; б) ABCDпирамидасының кѳлемін; в) ABC жағының тевдеуін; г) D төбесіненABC ға түсірілген биіктіктің теңдеуін; д) AD түзуімен ABCжазықтығыньщ арасывдағы бұрыштың синусы..Берілгендері 3,4 таблицаларда. 5 жэне 6 мысалдарды қара (2, 3тараулар).Ж Ү Т -1.6Үшбұрьшггьщ төбелері мьта нүктелерде А(аь а2), В(ЬЬ Ьг), С(сьС2).Табу керек: а) АН биікппнің тендеуін; б) ВМ медианасыныңтеңцеуін;в) С төбесінен түсірілген биіктіктің ұзындығы; г) АН жэне ВМтүзулерінің қиылысу нүктесін.Берілгендері 3,4 таблицаларда. 7 мысалды қара (III тарау).89

ЖҮТ 1.7Төмендегі есептерді шеш.1 .А ( - 8 ,12) нүктесінің В(2, -3) жэне С (-5 ,1 ) нүктелерінен ^тетінтүзуге проекциясын табу керек . (Жауабы: А ! (-12,5))2. ABC үшб^рышының екі төбесі: А(-4, 4),В(4, -12) жэш|биіктіктерінің қиылысу иүктесі М (4 ,2) берілген. С төбесін табу(Жауабы: С(8,4).)3. Ординаталар осінен 2 ге тең кесінді қиятын және2 у ~ х = 3 түзуіне параллель түзудің тевдеуін табу керек. (Ж іуабы:х - 2 у + 4 = 0 )4. А(2, -3) нүктесінен жэне 2 х - у ~ 5 жэне х Н[түзулерінің қиылысу нуктесінен өтетін түзудід теңдеуін табу(Жауабы: x ニ 1)5. А ( 3 , 1 ) нүктесі арқылы ВС түзуіне перпендикуляр, ВC ( l, 0 )түзудіңтеңдеуін жазу керек. (Жауабы: х + 5 у ~ 8 = 0 )6. А ( -2 ,1 )нүктесі арқылы өтетін M N түзуіне параллель,2), N(1,6) болатын түзудің тендеуін табу керек. ÇA2 х - у + 5 = 0 )6. М(2,-1) нүктесіне 2ン + 3 = 0 түзуіне қа 神 ғандасимметриялы ңүктені табу керек. (Жауабы: М і(-4/5, 23/5).フ. Мына түзулердің 6ズ 一 4ア + 5 = 0 ,2ズ + 5ン + 8 = 0 қШЬшысунүктесі арқылы абсциссалар осіне параллель түзу жургізѵ j керек.(Жауабы: у =-1).8. ABC үшбүрышының AB қабырғасының 4х + у = 12биіктіктері ВН 5 x4 у = 1 2 жэне A M x + у ~ 6 тевдеулеріҮшбұрыш ABC ның қалған екі қабырғасының тевдеулерін таб;(Жауабы: 7 ズ 一 7_у —16 = 0 , 4ズ + ― 28 = 0 )9. ABC үшбұрышының А жэне В тѳбелерінен ;| Іѳтетінбиіктіктерінің тендеулерін табу керек, А(-4, 2), В(3, -5), 0).(Жауабы: 3ズ+ 5 少 + 2 = 0 ,9х + - 28 = 0 ).10. Төбелері А(2, 3), В(0, -3), С(6, -3) болып I келгенүшбұрыштың қабьфғаларының орталары арқылы өтетінперпендикулярлардың қиылысу ңүктесінің координаттары f табукерек. (Жауабы: М(3, -2/3).)1 1 . Үшбұрыш ABC ның қабырғаларының теңдеул! \ïùî AB—2x —y —3 = 0 , АС —JC+ 5タ 一 7 = 0 ,ВС 一 Зх —2у + 13 = 0б пса, Атөбесі арқылы өтетін биіктіктің тендеуін құру керек. () |ауабы2 х ^ 3 у ~ 7 = 0 ).90

12. Координаггардыц бас нүктесі жэне мына түзулердің2х + 5 у - 8 = 0 , 2л: + Зу + 4 = 0 қиылысу нүктесі аркылы ѳтетінтүзудің теңдеуін құру керек.. (Жауабы: блг + З І^ у -О )13. Берілген мына түзудің Зх + 5 少 一 15 = 0 координаттар осіменқиылысу нүктелері арқылы өтехін жэне осы түзуге перпендикулярболатын түзулерін табу керек. (Жауабы: 5ズー 3タ 一 25 ニ 0,5 х - 3 ア+ 9 = 0).14. Т өртбұрыштың қабырғаларының теңдеулері берілген:x - y х + З^ = 0 , х -^ -4 = 0, Зх + メ 一 12 ニ 0. Оныңдиагонавдарының теңдеулерін табу керек. (Жауабы: у = 0, x = 3).15. Егер А(4, 6), В (-4,0),С(-1, -4) болса, үшбұрыш ABC ньщСМ медианасы мен СК биіктігінің тевдеулерін құру керек,(Жауабы: 7 х - у + 3 = 0 (СМ), 4х + 3ア+16 = 0 (СК))16. Нукте Р(5, 2) аркылы түзу жүргізу керек: а) координаттаросінен тең кесінділер қиятын; б) Ох осіне параллель; в) Оу осінепараллель. (Жауабы: + タ ー 7 = 0 , 少 = 2 , ぶ = 5).17. А(-6 -6) жэне В (-3 ,- 1 ) нүктелерімен бір тузуде жататынжэне абсциссасы 3 ке тең С нүктесінің ординатасын табу керек.(Жауабы: у = 9)28. Тѳбелері А ( - Э ,1 ) ,В(7,5) жэне С(5,-3) үшбұрышыныңмедианаларының қиылысы Е нуктесін табу керек. (Жауабы: Е (3,1))19. ABC үшбұрышыньщ биіктіктерінің теңдеулері2х - 3j + 1 = 0 , ズ+ 2タ+ 1= 0 жэне бір төбесі А (2 ,3) берілген. АВ жәнеАС қабыргаларының теңдеулерін табу керек.(Жауабы: 2 x ~ j - l = 0 (AB), Зх + 2タ 一 12-0 (АС))7 мысалды кара (3 тарау).ЖҮТ 1.8Центрі А(аь а2) нүктесінде B(bj, в2) нүктесінен ететін шеңбердіңтевдеуін құру керек.Берілгендері 3 жэне 4 таблицаларда.ЖҮТ1.9Теңдеуі полярлық координат жүйесінде берілген қисықгы салукерек:1./7 = 3sin 2. p -2 s m A < p 3. p ~ 2 cos 2

13. p = 3sin (p 14. /9 = 2 —sin 3 炉 15. p = 2 cos (p16.P = 2 + sin 妒 \ l . p = 2 + cos 2(p 18.p = 3cos A(p19. p = 2 + sin 2 炉 20. p = \-% m lep 8 мысалды қара (3 тарау).Ж ҮТ 1.10тендеулермен берілген қисықты салу керек(0

Ж Ү Т 2.1Шектерді табу керекЖ е к е үй т а п с ы р м а с ы № 2L lim x 2 - 2 x - 3y [x - 2 - N 上 X-lim •v ズ+ _2 —л/ 一 xx 2 - x - 2lim2.x2 —■x —6yfx + 6 -2Зд:2+ Г -1 0Зх21 部 v s n v ?lim•3 2x2 -Һjc~ 157.lim■іу[х + Ь -у /3 -х! . л[^х + 1—3… 6limx 2+ ДГ—6y[x + 4-1л/jc + 8 —-yj\0 一 x10. limx-*i —x -1L lim2 л:2 + x - tV X + 3 -V -^-l12* limÇ 一 2 - Ѵ 4-Д :x2 + x-1213- limл / ^ + 9 - З4x2- jc14- lim3x2+ xJ^x + 4 -2i ^ 1. S/X4-2 —2. I 1! ? 3 - V2x + 516.lim十 :)_1 ! п 10 Л/ЭЛ ѴЗлТ?-2 十 ,Ѵ м - 2 1Î5 12 -Ѵ ІТ з II1? Т ^ /819' lim 3 — Ѵ-Х + Ьл/х + 1-220. lim -v / -\- у [х + Л1\ мысалды қара (4 тарау).ЖҮТ 2.2Шектерді табу керекlimlim З-х.limjc" -Xx ^ + x ,lim'21 + 3、、2ズ- 1ノlim レ 一 1).*lim ( 2ズー1 尸 7. l i m レ + 3 广lim (2 + ズ 卢93

13- lim到 14-2x 1-х16.1іт (2х + 5 )-гx-¥ -217.lim Ь + 4 )3x-> -315.lim (2^+з)х18.lim レー2)G'3 + 2ハ 219- lim G + 2ぶ)x 20. l i m 17 мысалды қара (4 тарау)x + 2Ж Ү Т 2.3Шектерді табу керек,lim1 - cosЗх2xzlim4 .limîg2xx 2 -limlim い - 】)な tsin 5jc - sin 2xЗхX - sin jr5xlim6. lim9. limCOSX - cos 3xtgxsin ズ+ sin 3jccosx7Г —2x10. l i m 」1 - sin JC13.lim2x-7 tи * lim14. limsin 3x + sin 5д:x 2 + 2x1 + COSXsm x12' lim15* limsin ズ 一 sin 4x2x2 - xsin 2xБІпЗд:16-lim1 - sin JC(2Х-7Г)217.limsin Л'Д:18‘ limx - 219.limCOSJC- cos2Xsm jc - sin x , ^. л20. h m ----- 2----------13 мысалды қара(4 тарауx-*0 x + ZxЖ Ү Т 2.4Функцияны үзіліссіздікке зертте жэне графигін сал•/W=4 ./С Фx + 4tx < -\yx2 + 2 ,-V < x 1x, x < 0,i -З , х > 2:2,5./(л:) =jc + 1,х

X2 + 1,^:< 1, x2 + 2,лг 22x2, jc < 0, x - \ , x0, fjc + 1, x \1+ x, x < 0, л + 3, Д:< 0, 1 一 X , X ^ —1,1 3 .f(x ) = ' x2+1,0 < jf < 2,14./(дг)=- x 2 -1 ,0 < x < 3,15./(x)= ЛГ2+1,""l < ДГ^ 1,x + l , x > 2 Зле —1,x > 3 л*+3, x > \2 - x , x < ~ 2 , 3x+4, x < -l, X, x< \,16. f(x )= x2f- 2 < x < 1 , 17, /(jc)=* x2 -2,-1 218 мысалды кара (4 тарау).ЖҮТ 2.5Кѳрініссіз ^ерілген функцияньщ ÿ жэне ун туындыларын табукерек.1. у = x + arctg у4. у 3 = еу + Ах7. x y - x ^ cosy10. х2у2 +2. у 一 ;c=cos 少5. у 2+ х 2=sin ヌ8. Зу = 2х + ху211. = タ23. t g y - 3x-h5y6. ctg у = 4y + 3x9. у 2 = x + ]ny12. \n y -~ = J x13. еу у16. sin(xy)л -у-)19.In(лу) + — = Зд:x14. Зу2-x = s in y17. COS(Ay) - v2= 5д:220. -xy=x1 5 .ln^ + cosy = x18. tg (x y )-y = 2x11,12 мысалддарды қара (5 тарау,1),ЖҮТ 2.6у(я) табу керек.

:+ l13. y=ズ.10. У = уі2х + 3 1 1 .у--хе1х 12.X14. у - х У 15. y :16.лг + 218. _v=sin2х 19. у ==cos Зл: 20.10 мысалды қара (5 тарау, 2).Ж Ү Т 2.7Параметрлік түрде берілген функцияньщ туындысын тап.10.13.16.19f л:= (2/ +1)sin rІУ = 2/3卜 : 一レ =sin』t\х-Ъгл-і2レ =r2- Зг3\x = arctg t|y = f 3+ 3/:д/1 -= 广=In2 /=cosJ t- cos 2t^ = /-3r9 мысалды қара (5 тарау,1)14.17.J A' = COS2tレ =sinfІг і\х - е 1sin tし =2,[x = 1п(1 + Г2)[y = cos tし= 3(x = 6t2- \レ = te1ix = \nt20,. [ у - і 2-2(12.15.18.v = e costÎx = arcsin t少 = 1+ / 3\x = sin31\y = \ntpc = sin 2t\y = te^Ж Ү Т 2.8Тѳмендегі есептерді шеш.\J 1 . Абсциссасы X =1 нүктеде у = х 2 一 /х + 3жүргізілген жанаманың теңцеуін жазѵ керек.一 2. Абсциссасы X = 8 нүктеде У :жүргізілген жанаманьщ теңдеуін жазу керек.Іх —4қисығынақисығына96

\У"Ъ. у — х 3 —2 х 2 -\-4х —7 қисыгынын (2,1) нүктесіндежанайтын түзудің теңдеуін жазу керек.■ 4. x 2 - у 2х у - 1 1 = 0 қисығын (3,2) нүктесінде жанайтынтүзудін бүрыпггық коффициентін анықтау керек.\ / 5. Мына қисықтың у 2 ~ 4 х 3 қай нүктесінде жүргізілгенжанама i + Зу - 1 = 0 түзуіне перпендикуляр болады?, 6 . Абсциссасы х = 2 нүктеде у = х 2—6х + 2 қисығынажүргізілген жанаманьщ теңдеуін жазу керек.X2 sг 7. Абсциссасы х = 4 нүктеде У 一 丁 —x + j қисығынажүргізілген жанаманьщ теңдеуін жазу керек.. ニ ? フ 15一 8. Абсциссасы х = 3 нүктеде У = ー~жүргізілген жанаманьщ теңдеуін жазу керек.қисығынаレ9. Абсциссасы x = 7 r/9 нүктеде У = ^ tg Зх қисығынажүргізілген жанаманьщ теңцеуін жазу керек.一 10. Абсциссасы x = ^ /lS нүктеде ^ = 4sin 6x қисығынажүргізілген жанаманьщ теңцеуін жазу керек.^ 11. у = sin 2х қисығыньщ қай нүктелерінде жүргізілгенжанамалар Ох осімен ^ / 4 бұрыш жасайды?レ 12. у = 2х3 一 1 қисығының қай нүктелерінде жүргізілгенжанамалар Ох осімен 冗 / 3 бұрыш жасайды?\ / 13. у = х 3/3 —х " / 2 —7 х + 9 қисығының кай нүктелеріндежүргізілген жанамалар Ох осімен —тг/А бұрыш жасайды?一 14. ^ = x 3/ 3 - 5 x 2/2 + 7jc + 4 қисығының қай нүктелеріндежүрпзілген жанамалар Ох осімен4 бұрыш жлсаМды?15. у = х 3/ 3 - 9 х 2/2 + 2 0 х - 7 қисығының қай нүктелеріндежүрпзілген жанамалар Ох осіне параллель болады?16. у = х 4/ 4 - 7 қисығының қай нүктесінде жүргізілгенжанама у = 8х - 4 түзуіне параллель болады?1 7 . タ= 一 3ズ2 + 4 ズ + 7 қисығының қай нүктесінде жүргізілгенжанама д:- zOy + 5 = 0 түзуіне перпендикуляр болады?97

18. у = 3 х 2 —4 х -Һ 6 қисығының қай нүктесінде жүргізілгенжанама 8ズ 一 メー 5 = 0 түзуіне параллель болады?19. у = Ъх" - 4 x ^ 1 қисығының қай нүктесіндежанама ズ + б 少 + 1 5 = 0 түзуіне перпендикуляр болады?20. У — - 5х -1 1 қисығыньщ қай нүктесіндежанама x - у -f-10 = 0 түзуіне параллель болады?13,14 мысалдарды қара (5 тарау,1)жүргізілгенжүргізілгенЖ Ү Т 2.9Жуықтап есепте1 .5л/34V7Ô3. 4л/і74 .(1 ,0 1)4(1 ,Ol)25. л/Гб + (2,9)24-3,011 + 3,017. VÏ3Ô8. l^lÖ 2 59. (2,02)3+(2,02)210. a rc tg 1,031 1 .cos61°12. sin 29°13. е0,214. e 1115. tg 46°16. arcsin 0,951 7 .1п(е+0’1)18. ф + 1,1219. c o s l19°20. sin 151°11 мысалды қара (5 тарау, 2)Ж Ү Т 2.10Функцияны толық зерттеп графигін салу керек

19. -2 х - 20. у - 1 мысалды кара (5 тарау, 4)Жеке үй тапсырмасы № 3Ж Ү Т 3.1Анықталмаған интералдарды тауып, тексеруді орындау керекJ(l-3x)4c6:dx• J(l + 2x)37. Jcos(3 + 2x)otc2xdxxdx13. f2x2 - t4 x 2dx16. J3x2+419. \e]-2xdx2. |л/5 -4д: dx5. JV3 + 2 Ü8. Jsin (5х-1)Л• 3xdxV3x2 +53.6. Jsin (2 - Зд:) dx9. Jcos (3 - 4x) dxAxdx12лІ4х2 +3dx15. J;J2xz - 318. je 4x' 3dxмысалды кара (6 тарау)Ж Ү Т 3.2Анықталмаған интегралдарды табу керек2. Jln (x + 2)dxや令4. ^yfx \n x d x 5. Jarccos2xdx 6. Jar c tgxdx, . arctg xdx 8. Jarcsinjcôîj: 9. jx - œs2xâx10. Jjc sin2xdx 11.|(x2+x)e~xdx 12. ^x tg 2xdx1 3 は 14.15. \(х + Ъ)е2хсіх16. |x • sin 3x dx 17. jx-tg xd x 18. \ ( 2 - x ) e 3xdx19. j V .sin:c ゐ 20. j x 3 \nxdx мысалды кара (6 тарау)99

Ж Ү Т 3 3Анықталмаған интегралдарды табу керекdx ^ r xdx (х 一 \)dx^ х - 2 ) ( х 2 - 2 х + Ъ)Г х + \dxд:2—3dx. ^х(х + 1)2( x + l ) ( 又 2 + 4 jc + 3) f (л: 十 2 )(x2 + -ь 5)f x + 2 dxし 3+jc2f 2x + l dx,し2(Л+1)j〔+ 56. f-з 2 -dx- 2 x + x10.(2х + \)dx13“ + 1 )(? -2 パ 10)16. IM --11.14.17.20.段(2? 十 3)dJ(x-l)(x2+4xレ • 段ぬ xA-\Г f - 1 」^х4 + 3x21мысалдарды қара ( 6 i ‘арау,1)ЖҮТ 3.4Анықталмаған иитегралдарды табу кррек, ç l- y f x + l ,-dxҺ + ^ î4.7 Г y ix -id xiJ f ^ u  / 7 ^1 n f*v^ + 2 dx10'13. 「(# # ) 电у[х(л[х + 1)16• 漁19. \ Щ ,, 蜂r rx + \fx + %fx ,g p \jx-\-3dx. ^ J 7 + 3 + 6Jx+3石 .л/х -f す(vx ■hЖ -4xdxÆГ хr% ix-\dxУІХ-\ + Vx -1j*-^ Ax +1 + \["2 х + 1dxj iJ ïx T lлГх + läx^Ѵх+Т+зѴхТГJi12 f V i + 2 みл/дг -f 2 + 2 л/ дг + 215.18. f」 ^ =33 x ~ ^иідарды қара ( 6 тарау, 2)100

ЖҮТ 3.5Анықталмаған интегралдарды табу керек7. f10.13.16.rdxх 4 х 2 - JC+ 1dx(jc + l ) v l + J(x - l) ä xdx(x - 1)Ѵ2д, dx\ - л ! х г + 2 x - \• xdx11.14.17.rdxХлЯ + JC-JC2xdxліх2 + ズ 一 1r (x - \)dxлЛ + Х-Х2r xdxdx2 + V l—2.x —ir dx2 - Ѵз + 2jc- x2 c 一 イX‘ + JC 一 1■ dxdx19.20.jc —л/і- Zx~x + ^jx2+2x + iмысалдарды қара ( 6 тарау, 2)d x(дгЧ-І)Ѵ^2f xdxrЛ І\-x - xdx(jc 土 2)dx12. J4bx - x。xdx15.\ + —2xf dx18.x + лІ2хc + lЖ Ү Т 3.6Анықталмаған интегралдарды табу керек10.гл/л-d xxX-dxxdxxdxx 2dx2dxЧ х г -fV ?11.И- Л-dxrV? +4; XC x 2dx]1 7 T ir x 2dx]1 T T a-dx12. j x ^ - l d x13. jW T - ズ2 み 14. ^x^J\ + x 2dx 15. ^ х 2 л І х 2 - A d x101

1 6 . | х 2л /4 - jc2 d xdx1 9хлӀ9-х2dx1 7 . ^ х 2 л [4 + x 2d x18 .КЛІХd x20мысалдарды қара ( 6 тарау, 2)d 1+ 9Ж Ү Т 3.7Анықталмаған интегралдарды табу керекd xd xd x1 9 .r 2 - s i n x1 + COS XA 20. J' 1 - sin a: + 2 cos x2 4- sin x - 3 COS X d xJ3-5sin Д:J sin x - 2 cos xd xJ 3 cos jc - sin JCd xJ 2 - sin Д:+ 2 cos xr d xr s i n i i ù :J 2 + cos xcos x d xr l + s i n x10. j1 1 . j. . . d x12.dx3 - 2 cos xJ 2 + 3sin jc3 - 2 cos x- ぽ ^c o s ;c -14. J:2 - COSA:1 5 .1 6 .sin Д:ticг co s x d xJ と — ^17. [18.3 + 2 cos xl + 2 s in jc ~ c o s ;cJ 2 - sin jc + 2 cos лмысалдарды қара ( о тарау, 3)Ж Ү Т 3.8Анықталмаған интегралдарды табу керек丨 sinгd xдг - 4 s i n ^ c o s ^d x^1 + 3 sind xsin"' x d x13. J3 s in 2 x - cos*" xd x16. }2 cos2 ズー3 sin2 .xMsin ズー3cos x 2 ズ + sin 2x4- 2 cos ^ xГ ^>tgx + 1c o s 2 x d x10.■dx 1 1 . f• U i n 2 x + 4 c o s 2 xJ l + sin X14.1 7 .d xJ COS2Л:+ ÖSin X COSXf d xJsin2 JC+ 3 COS2 Xrd xsin 2 x ä x^sin4 jc + 4cos4 xrd xЧ - 2 s in 2 л1 2 s in .x - f 3 s i n 2 xs in 2 x d xl 4 ДГ + c o s 4 x102

sin 2 x d x19. ^Звіп2 x + 2cos2 x すсс И дс —3sin4мысалдарды қара ( бтарау, 3)Ж ҮТ 3.9Анықталмаған интегралдарды табу керек1 .Jcos4 д:-sin2 x d x4. iVsin2 jc . cos3 x d x'xdx2. Jsin2 x .cos3x d x„ r d xsm x coscos4 x d xJ:3.Jsin3 jccos4 jc みr d xJ sin4 с Д:cos6sin2 x d xJ-10.fcos4 x d x• gJ s m x11. ^ t g Ax d x 12. ' x d x13. f d x J sm• 4xcos4x14. Jsin2 ^ cos2 x d x 15. JVcos" x s i n x d x16.f cos8 x d xrsin4 x d xd x17.18. fJ s•m48ズJ COS XJsin21JCCOS6 X19.f d xç d x• 6 2 20.J sm Д:cos xJsin2 JC COS2 Xмысалдарды қара (6 тарау, 3)Ж ҮТЗ.10Анықіалмаған интегралдарды табу керек1 . ^ s h 1x c h 2x d x2. ^ s h 2x c h sx d x3. J s h 2 x • c h 4x d x4. ^ s h 4x - c h 2x d x7Æ10.d xr s h 2x d xs h 2x c h 4xJ c h 4 xd xr s h 6 x d xc h x - 2 s h xJ c h 2xf c h x + 2 s h x- d x 12. f s h x 一 Ъ с һ x■dxJ s h x - 2 c h xc h x + 2 s h x13. j t h 2x d x14. j c t h 2x d x15. j t h 4x d xd xcd x

dx19. \ s h 4x c h 2x d x 20. f- f ,JJ 2 c h x + 3 s h xмысалдарды қара (6 тарау, 4)104

М а з м ұ н ыАлғысөз1тарау. Аныктауыштар. Матрицалар.Сызықтық тендеулер жүйесі2 тарау. Векторлық алгебра3 тарау. Аналитикалық геометрия4 тарау. Ф ункцияньщ ш егі жэне үзіл іссізд ігі4.1 Функцияньщ шегі туралы ұғым жэне шектерді табу4.2 Функцияны үзіліссіздіке зерттеу5 тарау. Дифференциалдык есептеу5.1 Дифференциалдау дьщ жалпы ережелері5.2 Лопиталь ережесі5.3 Функцияны зерттеу. Ең үлкен жэне еңкіші мэндерін табуға есептер5.4 Ф ункцияны зерттеу жэне оньщ графигін салу6 тарау. Интегралдық есептеу6.1 Рационал бѳлшектерді интегралдау6.2 Иррационал функцияларды интегралдау6.3 Тригонометриялық функцияларды интегралдау6.4 Гиперболалық функцияларды интегралдауЖеке үй тапсырмасы № 1Жеке үй тапсырмасы № 2Жеке ѵй тапсырмасы № 3111318182931314050596565707782869399105

УТВЕРЖ Д АЮ/Проректор по УРН.Э.Пфейфер200±г.Составиль: Ильясов М.Н., Баяхметова Ф.К.Кафедра прикладная математикаУтверждено на заседании кафедры « 1 1 »200Jr. Протокол № _Заведующий кафедрой С- Сабыров Т.Одобрено учебно-методическим советом физико-математического института« І » O fz T '^ h ^ . 2003_г. Протокол № L .Председатель УМС. . ぺ. — -_________ Муканова Ж.Г.СОГЛАСОВАНОДиректор института どご^ / / и 一 •">バ______Тлеукенов С.К.« i » Л う/ r」’ 20Q.-T.н/к отдела М КУП — , : ご / _ Баяхметова Г.С.Одобрено УМ ОНачальник УМО> _________ Амбарников Г.А.« 1 0 » ド 200ßr.

И л ь я с о в М .Н ., Б аяхм етова Ф .К .Ж оғары математикаданүй тапсырмаларының ж инағы1 бөлімОқу әдістемелік құралБасуға 27.04.04. Пішім 60x84/16. Офсеттік қағаз. Әріп түрі «Times»Шартты баспа табағы 2,16. Таралымы 300 дана. Тапсырыс 0380.Бағасы келісім бойынша.С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті.637000 Павлодар қаласы, Ломов көшесі —64.3