любого 8>0 и ія любого фиксировали го момента времени (s< 0 ...

■№, g, q) (W7(a, g, q)) может и но быть связным. Отметим Яже, что обратное ко второй части Предложения 2.1 у т в е р * З Янесправедливо, т. с. из того, что множество W( 0 и ія любого фиксировали го момента времени( s < 0) найдется значение- момента времени u--Rrкое, что t>s (t*Zs) н о ((/. g[t. (j)Xt'iТочка 4 g Al одновременно положительно и отрицательно ve.тоГ жвая но Пуассону, называет* я устойчивой по Пуассону. T jï'ку положительно устойчивую, отрицате льно устой ;ивую ц устЗчивую ho Пуассону назовсм устойчивой //+, устойчивой П" ,устойчивой 11 точкой траектории g{R.. q ).Указанное определение точки устойчивой / / \ у м йчниой Ди устойчивой // эквивалентно следующему ПредложениюПредложение 2.4. Точка q устойчива 11+ тогда и то л Лтогда, когда существует («-последовательность моментов кремеа!{/„} такая, чтоІіш р (q, g (/„, q)) = 0 . 0 таких, что îim е, —0 и ш - последовател-носимоментов времени /. По определению устойчивой Я точки существу.. ^-последовательность {/„} такая, что /пе=Я, ,

w9 4 существует хотя бы одна м-носледователыюсть {/,)ло#е11И(^в времени гакая, ят*% Представим*0}Ле аи те M J + S- где ~ Целая часть величины t.-'1 Согласно лемме Больцано- Вейерштраеса из после-„ 0 < л" ^ ' «V 1 выделим сходящуюся подпоследовательностьt , - . ) . Тогда{t./ кп-юi t o , £ ( i a ? )= £ < T- 0 = p-Отсюда и силу непрерывности метрики р и движения £ (/. q)йолучимHmfftfU Ч) - й(т, ?)=•/»• (2-2-4)Таким образом, точка я является ю-предельной точкой траекториі,і-(Л,. V), соответствующей целым значениям [f„] врсме-Hif /.Д:>:іу гим, что условие (2.2.3) не выполнено, т. е. последовательностьq, fi(«.

Предложение 2.7. Нели g{i, q) устойчивое //•*• ■чивос движение), то выполнено включениеg {t. q) Œ g (Я>\ q), (g (/, q) C g (Я ь

j а т е л ьс тв о. Пусть ре=Л f — блуждающая точка иД ^ клг произвольная точка траектории движения g(t, q).Применяя. к*павенствуv(2.2.(>) преобразование с параметром s,1'дем иметьg(s, S(e.

быть tu- может. П олученное противоречие Доказывает I lt„.ж ение 2.10.1‘-Дло.Предложение 2.11. Если пространство М ком п акта»для любого к> 0 существует конечное время s-t(f>.) такое ’ Товсякое блуждающее движение но истечении времени s входіЧТ°множество 6'{к, У) и в дальнейшем остается там.Доказательство. Множество A f\S (e , іУ) щ Япактно и состоит из всех блуждающих точек. Покрывая ыC T jui Af конечным к-покрытием Su S2.........S», убеждаемся в /о**что каждое из множеств S, траектория движения g(t, q) М()ж3покинуть за конечное время /(. Следовательно, множество и 01целом будет покинуто за время s — £ t,=i(e).i-13. Рекуррентные движенияПусть g(l, q)—динамическая система, определенная в иод.ном метрическом пространстве AI, и Л — подмножество AI.Определение 3.1 [60]. Множество А с М называется минихи.'.‘ным по Киркгофу, если оно непусто, замкнуто и низырнантно относительно динамической системы g(t, •), а также неимеет истинного подмножества, обладающего этими тремя свояствами одновременно.Среди минимальных множеств пространства М наибольшийинтерес представляют компактные минимальные множества, jПоложим совокупность предложений, характеризующих pelкуррентные движения, при этом постоянно будем следовать работе[60].П р е д л о ж е н и е 3.1. Всякое инвариантное компактное и мжество содержит минимальное множество.Доказательство. 1 Іусть [7~ — инвариантное компактноеподмножество пространства Л1. Может оказаться, что ST — минимальноемножество. Если это не так, то тогда существует инвОриантное компактное подмножество ;5г ,с .'7". Если оГ,- минимальноемножество, то Предложение доказано. R противном случае,продолжая этот процесс, за какое-то конечное число шаговполучим минимальное множестве ,Тп. Альтернативный вариант —счетная последовательность вложенных друг в друга инвариаяЯных компактных множеств8 ... =>іГп-->...Пересечение &~л =■ непусто, инвариантно и к о м п а к т н о .ПДействительно, если q

9тохпучим трансфинитную последовательность вложенныхj‘,vra инвариантных компактных множеств1 Л eopevf Бэра найдется такое трансфинитное число второ-Т-а 0, что .Ғ ^ -іҒ м і, т. е. множество ^7"» не нмест нпвариокомпактного и истинного подмножества. Следовательн,ЯГ Г ;.

11 n e i.'i о ж е н и е S.5. Если g(t, q) рекуррентное движеиието оно одновременно устойчиво . I и устойчиво II.гельство. Согласно Предложен» 1.2 дугщ](/) конечной длины I траектории g{R-, q) компакт,на ІТ о ^ о м у траектория g(Ru Я), вложенная по включению(2*3.2) в шар S, компактна, т. е. ?(' Я) утоичивд МВ cn.iv рекуррентности движения g(t, q) Д-'1Я любого числа е>Ми в тобой момент времени /> 0 можно указать момент врем ешsgR, такой, что \s\^t и | >(

Tкоторое точка q по входит. Поэтому расстояние {>((г,

4 Почти периодические и условно-периодическиедвиженияg . м некоторые свойства этих движений. При этом будемI S ь [18. 49, 60J.слеД(Н>; _по-прежнему полное метрическое пространство идинамическая система, определенная на .VÎ.g0-n „ в еЧ е л е и и с 4.1. Движение g (/, q) называется почтиШ^дическим, если для любого числа е > 0 множество момен"врем ени sÈ /?„ для которых неравенствоWa(g(t. Ч), *(*+«• ? ) ) < 8 (241)Жяпянено для всех /снУ?,. относительно плотно в R,. При этом s■J*"' -смещением движения g (/, д),За\;іЛ"м, что если движение g(t, q) периодично с периодом т.I -„любое число вида лт, где я — целое, также является периодом.Отсюда периодическое движение имеет сколь угодно большиеперяочы. каждый из которых может считаться смещениемудов.н орнюшнм неравенствам (2.4.1) при произвольном ғ > 0 .ически движения являются частным • и1)0,1Т„ ’ ческого движения. В свою очередь, почти периодическиелы жей я суть частные е.іучаи рекуррентных движений,а именно справедливоП| сложение 4.1 [GO]. Если g(i, q) — почти периодическоедвижение, то оно рекуррентно.Доказате л ь с т в о. Согласно I Іредложенню З.Г» достаточноустановить, ч о множество (2.3.3) относительно плотно в /?,.Перепишем неравенство (2.4.1) при 1=0:Далее вспомним, что множество {s} моментов времениssi?,, удовлетворяющие. тому неравенству, относительно плотно в /?,. Эт замечание доказывает Предложение.Отметим, что обратное утверждение не верно. А именно, существуетрекуррентное движение, не являющееся почти периодическим[60].: 2. i g(t, q) — почти периодическое■1!!11ж'равномерно непрерывно как функция аргумента

что для \ 1%—и \ « ) я /„ /,«=[—1, 1+ /] выполняется нера | 1ство !,;-Vig(luq), gV*' 9 ) ) < е і.Пусть s, и s, — произвольные моменты времени ил /?,, ,Ляторых такж е выполнено неравенство |s ,- s,|

иитекаст, что для всех s e /? , имеемОтсюда в и ‘ .,[*(/,+ *• 4) ’ £ ('* +5> 9 ) ] < е .I \ чожение 4.4. Если движение g(t, q) устойчиво Л~П ? е ег свойством S+ (нли устойчиво Л + и обладает свойио6.*ада ^ оно почти периодично,азательств о. Сначала докажем рекуррентностьения Ц(0.j j р произвольная точка множества IV (а. g, q) и, стабыть.существует последовательность точек { £ было р( 0 и ç{q„, q) 0 н в силу свойства S + найдем fi(e/2 ) > 0■гвкое, чтобы h i неравенства p [£ (/i. q), £(/>., q) ] < к '2 c.;c овг .юбы РІ£(Л ,+ /, q), g(t1+t, q ) \ < .ғ;2 для всех iœR,+. В силу редарРнтностинжепии g(t, q) для числа fi/2 существует такое^*0, что и любом интервале (/„. /, - Г) найдется число т. дляюгорого будет выполнено неравенство р [ 17, Ж т.

£(/+т,

донателыюсть сходится для всех значений /

Если движениетогда последовательность {g{t •

Вычислим среднее арифметическое значение суммы выраженийнидау Г g (s.

q Ti неравенство доказывает существование величины (4.2.5) идиериіает доказательство теоремы.Определение 4.6. Средним значением почти периоднческоп>движения g(t, q) называется величина (4.2.5).Справедливо следующееПредложен н е ' 4.8. Нели движение g(t, q) почти периодично.то оно нмест среднее значение, обладающее свойствами:a) L[Cg(t, q)] — CI.[g{t, q)], где C = c o n st;6 L \g (i ~т, q)\— L\g(t, q)] для любых фнксирс ванных момент« времени тœ R,\в) IAg(t, q)+g(t. p)] = L[g(i, q)] + L[g((, />)L где движениеg(U p) такж е почти периодично;i i для любой равномерно сходящейся в норме прсстранстваC(R„ М) последовательности почти периодических движенийff(t, qj справедливо равенствоlim L [£(/, qn)] =■L [llin g (/, t J- t nСвойство ”r" использует теорему о перестановке двух пределыun переходов для последовательностей и Определение 4.6.Наконец, справедливость самого утверждения вытекает аз теоремыо среднем значении почти периода еских движений. Предложениедоказано.Как известно, при любом действительном значении параметра/. функция ехр(—iXt) имеет период 2л |Х|, н, еле: вательно,прм ведение g(t, ç)ex p (—Ht) определяет почти периодическоелннженис. Поэтому существует среднее- значениеtФ(Х) - !. {.

Используя это предложение, элементы множества Л запцтемв произвольном порядке в виде некоторой последовательностиХ„Я2, (2.4.12)и положимо ,= ф (Х п ), П= 1.2. ... (2.4.13)В выражениях (2.4.13) величины ап представляют собойп-мсрныи вектор с компонентамиtи„; - lim j \ g j (S, q) exp (— fts) ds,0где правая часть определена п соответствии с равенством(2.4.11).Определение 4.7. Числа Я» последовательности(2.4.12) называются показателями Фурье движения g(t. q). ачисла а„ -ее коэффициентами Фурье. Таким образом, каждомупо»: ; н периодическому движению можно поставить в соответствиенекоторый ряд ФурьеcvV ап «хр (»?.„/); а„ — L { g (/, * . (2.4.15)Ili рем:.! о единственности и аппроксимации почти периодическойфункции вынесены в Приложение.Определение 4.8. Конечное или счетное множество дейеіните"і.ныхчисел (2. 1. 12) называется лип< 1но независимым,если не существует соотношения видат;л, + . • .+ т Д „ = : 0 (»==1, 2, ...)с рациональными, не равными одновременно нулю числами1 ............ Т„.Oiipi дел е н н е. 4.9. Конечное или счетное множество линейнонезависимых чисел А„ А-..........А„, ... называется базисоммножества (2.4.12), если каждое число Х„ представляетсяв виде конечной линейной комбинации с рациональными коэффициентамичисел Ат, т. сЯа= т „ Л 1+ т2„Лг+ . . . + т,„Л(. (2.4.16)СО

г.-.бачис содержит конечное число членов, то он называется0н»чиым, в противном сл учае- бесконечным. Пели в (2.4.16)к к эффициенты т„ целые числа, то базис называется цс-Ъ]ЫМ. 1' противном случае- рациональным.'СправедливоПредложение 4.10 [48]. Пели показатели Фурье л, поч-гИ Іх.рі[одического движения ц(і, q) линейно независимы, та егоряд Фурье сходится абсолютно;2 И » |< ~ .flsc-l..Связь между почти периодическими функциями и его пока-, с.- ’;н Фурье устанавливается двумя теоремами Бора, многиестороны этой связи тесно примыкают к теореме Кронекерао б: с; х. Названные теоремы вынесены в Приложение.В почти периодических движениях особый интерес вы'.ыва-101 уел вно-периодические движения.Определение 4.10. Почти периодическое движениеg(i, q) называется условно-периодическим, если его пока стелиФурье имеют конечный целый базис. Согласно данному определениюкаждому условно-периодическому движению можно поста ii г . в соответствие ряд Фурье видаV A* expIiX k/], (2.4.17)Й3>«'• м /..к ■ ■/...к. : /... >............/. ' ' ,..., к,, неравные одновременно нулю целые числа.И и : рнруя (2.4.17) по времени t, получимj 2 Л '°ехр [й -к /]< Й ~ .4("V - 2 ~— «хр| - й -к /]. (2.4.18)J е*|>® 1*а>» '*■' 1В i ; рос о сходимости ряда, входящего в выражение (2.4.18).ч|'< 'оійно сложен и зависит от арифметической природы базиса.Из теоремы Кронекера вытекает, что при любых/•:......... 1„ найдется такой набор целых чисел к,, к?............к„.'jïï' скалярное произведение >.-к может стремиться к нулю при1!«1|—»-оо, где номер п—*-оо. В небесной механике часто встречайс я ряды вида (2.4.18). где знаменатели Х к могут приниматьсколь угодно малые значения. Поэтому величины Х к получили|,и ' ання «малых знаменателей» в небесной механике.5. Сравнимые по возвращаемости движенияПусть f(t, р) и g(t, q)- динамические системы, опрсделен-■“ в полных метрических пространствах и 3? с ютветственно.():Ч)( деление 5.1. ш-последовательность {/„} называетсяп генной ш-последовательностью движения s (t. q). еслн со-61

отвеі -вч’ющая eft последовательность {£(

і-ушествует ранш мерно непрерывное отображение ф множестваV'+ (/, p) { V~(f, Р)) на множество V*(g, q)(V~((S, ?))• удовлетворяющееусловиюq>[f(< + T, P)\=g{t+r, q) (2.5.6)для всех т е /? ,.Движение g(t, q), сравнимое RR' и RR с движением/ (t> p)i называется равномерно сравнимым по возвращаемости(сравнимым RR) с движением ДЛ />)•Определение 5.5. Движения g(l, q) и /(/, р) называютсяположительно (отрицательно) равномерно изохронными повозвращаемости, или изохронными RR+ (RR~), если они взаимноизохронны RR+ (RR-). Движения g(l, q) и /(, р)} такая, чтоИщ f(t + т.„, р) = /( / f т \ Р), Р (Ч [f(t f Т„, /»1, (2.-,.7)'I I/ (t I- Т*. p)]) = P te ( H t„, q),g (t ь T -, q)) > e'■■1 всех п. Заметим, что последовательность {т„—т'} является: зонной последовательностью движения [(t, р). З д и ь возмжно, что последовательность {т„} ограничена. Тогда она сходитсяк точке т* в силу условия 2 и при любом фиксированномзначении t имеет место равенствоlift ml -V Та, q) ---- g (t f т*. q),П~*Оо'‘f '' противоречит условию (2.5.7).•J. -допустим, что последовательность {т„—т’} неогранячена.°гда {т„ т’} есть собственная «-последовательность движе­63

ния f(t. р), т. e. {тя—t*}& Y (&>, f, p). По условиям теоремы{r - т ' ) е Д : (о), g , 7 )- Т;|К к акlifn g(t + Xn— r', q) —g (t, q)-После ; нее такж е противоречит условию (2.5. 7). Таким обраю м,отображение ф непрерывно.Доказательство лостаточ иости. Пусть непрерывнееотображение ф удовлетворяет условиям теоремы. Следовательно.и » равенства (2.5.0) при т — 0 вытекаетф [/(/. P)]=g(t, q).Выберем произвольный(2.5.6)«Г[/(^ >in, p ) ] = g ( t '■in, q).Поэтомуэлемент {/„}œ.V(oj, f, р). СогласноП т g(t r in, q) = iim Ф [/( / I tn, Л *1 : 'I If U, P)\ g(t, q),П-*еоП-*ccт. e. {*„}і=Л'{, g, q). Это и означает, что движение g (/, q) сравнимоR+ с движением f (t, p).Из этого предложения как следствие вытекает11 р с д л о ж с н и с 5.2. I;сли движение " (/. q) сравнимRR (RR~) с движением fit, р), м> оно сравнимо R (R~) сдвижением [{I, р).Обратное утверждение не всегда имеет место.Предложение 5.3. Е а ; даиженне g(t, q) сравнимо R*(R нли R) с устойчивым Л+ (Л~ или Л) движением /(/, р),то движение g (t, q) устойчиво Л + (Л~ нли Л) соответственно.Доказательство. По условиям теоремы движениеg(t, q, сравнимо R■с движением /(/, р). Поэтому согласноПр< ллижению 5.1 существует непрерывное отображение

с т о я т е л ь с т в о выдвигает необходимость изучения динамическихсистем как непрерывных функций [5, 42].Теория линамнческих систем и непреры фу 1ий в метрическихпространствах разработана с помощью метилов, основанныхна идеях топологической ли нам и ки [99). При этомпространство непрерывных функций, где можно вести операциикак дифференцирования, так и интегрирования, необходимо;.:.і п-.іить метрикой, согласующейся с ее естественной функциоім.:ы!й структурой. Ниже рассматриваются некоторое функлальноепространство и способ введения в нем метрики.В св-н-м изложении мы следуем работе [85].Пусть по-прежнему /?, — действительная ось времени иИп -rt-мерпое евклидово пространство элементов видах — (лг„ Xi......... хп) (2.6.1 )с нормой/ Шt - I 2 Хі * »,Г(А’ *>■ (2-6-2)' Ьг-11і пространстве R введем метрику с через норму (2.(>.2 ) егои ментов (2.6.1)p U , у\ = flx — УI = У (х — у) • (х V). (2.6.3)Об значим через C(RU Rn) множество всех непрерывных«-мерных вектор-функций вида/ ( 0 = { /|(0 , М О ........../„(/)}, (2.6.4)::ре.:еленных на R, и принимающих течения n R...Определі мне 6.1. После/к ватслыкють функций (2.6.4). '/ ) ..........Р * (2.6.5)нпзылается сходящейся, если в множестве C(RU R ) найдетсяэлемент /( /) , называемый пределом последовательности (2.6.5)и удовлетворяющий условию: для любого компакта Sœ R< и• мобого числа р> 0 пай :ется такой номер п(е)=п\ что при всехнатуральных тГ ^я* имеет место неравенствоs>фр (/ (0 , f* (0) ^ е. (2.6.6)ttLSКак обычно, если функция f{t)ŒC(R„ Rn) является нрелешвательностифункций (2.6.5), то этот факт будем з а ­писывать в видеlim Г (0 = / (0 - (2.6.7)т-+лаСходимость во множестве C(R:, R„) в указанном смысле^'кладж г с равномерной сходимостью на любом компакте нзRu I’ ■ му ее называют также локальной равномерной сходи-3 с. Г ,МОВ. А А. Калыбагь (>5

мостью на каждом конечном отрезке оси времени и записываютв виде/(/) н Г /( 0 . (2.6.8)Исходя из этого замечания, сформулируем известный принциправномерной сходимости [62].К р и 'r e р и й К о ш и. Д ля того чтобы последовательность(2.6.5) имела предел f(t) и сходилась к этой функции равномернона каждом компакте Sc R,. необходимо и достаточно, чтобыдля каждого числа я > 0 существовал такой номер п (е ). чтопри всех натуральных гп ^ п и k ^ \ имело место неравенствозпрр (fm){ t ) , r k\t)) 0 условия р'(/, g)? выполняются тогда и только тдл.когда соответственно имеют место условияsup р (/ (/), g (/)) < к, sup р (/ (0, g (t)) e,Wtéi/8UKv*s»p P (/ (0. £ W ) > e .U \

Предложс н и e 6.4. Метрическое пространство М полно.II , па Л/ следует \и полноты пространства C(R„ Rn).Ооределенңе 6.2. Множество Ф сС (/?і, Rn) называете»предкомпактным в пространстве М, если нз всякой последовательностифункций, принадлежащих множеству Ф, можно извлечьсходящуюся в .V/ подпоследовательность.Определение 6.3. Множество Ф с С (/? .. R„) называется. ин, ограниченным, если для числа е > 0 найдется конечноео гакнх его элементов fw (t)......... / (r+/)) при т *■X 'стремится к нулю. Таким образом, получаем следующую цепочкупредельных переходов:т- е нис 6.5.Условие непрерывности 2 можно сформулировать в терминахметрики р' пространства непрерывных функций: для любых(І7 3*

f(t)^C(R„ R„) » чисел / > 0. к > 0 найдется такое Л > 0 , чтонеравенство р(ст(т. / ) , о (т . g)) Се выполняется как толькоЯ(О е=С(#„ Rr,), р'if, я)сб л Iт ] s£/.Введем следующие обозначения. Для каждой функцииf(t)aC(Ri, Rn) через л, обозначим движ-ение в динамическойсистеме, определенное условием a ,(0)=f(^ через ІГ —— |Д т -|.г) — множество, принадлежащее пространствуC(RU R,.) и состоящее из всех сдвигов функции f. Нетруднопонять, что множество ИГ, совпадает с траекторией движенияа . Таким образом, между непрерывными функциями и порожденнымиими движениями можно установить связь посредствомдинамической системы сдвигов. Эта связь позволяет судить какоб отдельных компонентах, так и обо всем движении. В частности,основные типы устойчивости движения (устойчивость поЛ агранж у, устойчивость по Пуассону, рекуррентность, почтипериодичность, возвращаемость) н виды сравнения по возвращясмостидвижений переносятся иа непрерывные функции.Введем эти понятия применительно к элементам метрическогопространства M={C(Rl, Rn), p'}.Определение 6.5. Функция }(t)^C(Ru Rn) называетсяположительно (отрицательно) устойчивой по Лагранжу (устойчивойЛ* (Л~)), если множество ,Т , = {/(т-И ) (.9~,-—— {!(т W) |т œ R , }) предкомпактно в .W.Функция называется устойчивой по Лагранжу, или уст< йчнвойЛ, если множество предкомпактно в М.Предложение 6.6. 1-сли функция /(/) устойчива Л (Лили J ! ) , то любая функция g(t)&7~ 0 существует конечная е-сеть f(i i),f(t ■t)...........j(th t). что для любого s ^ R ,+ найдется i иf>'[/(s‘ /), j(t / і ] 0 . te :( l. k). Рассмотрим множество . y . \Пусть g (/) прок вольный элемент / Г Д По условиям Предложениянекоторая последовательность {/(яв-|-/)} элемент- в ,7У ‘сходится к g(i), т. е. для всех п ^ п \ / е [ - I V, I V] вьп ..д- я-ется неравенство р '[/? (0 . f(s» + 0 ] < e / 2 . Тогда p'[f(s„ /),f(s-v 0 ] ^ p /[ /( s»-r t),_g(t) ] + p '[£ U ). f(s» / ) ] 0 . Э ю означает,что множество ЗГ}+ такж е вполне ограничено. Что и требовалосьдоказать.Определение ф.6. Функция jit) называется положительно(отрицательно) устойчивой по Пуассону (устойчивой /74( //- ) ) , если существует хотя бы одна ©-последовательность(сс-последовательность), для которой последовательность/(*, + /). f ( /» + /) ............■ ■ ■ (2.6.13)fie

сходится к /( /) , т. е.ІІЛ1 Р' {/ (0. / (tm + 0 ) — Й. (2.6.14)m->oeФункция /’(/) называется устойчивой по Пуассону (,устойчивойП), если для некоторых 0, что. какими бы ни были числаf t > 0, найдутся значения tzc:R t, |/, /2|сй иiV?.))>r. Рассмотрим последовательность положительныхчне л (V, таких, что I'm е . Полученное про гиноречие доказывает равномернуюнепрерывность устойчивой Л функции f(l).69

Определение 6.7. Действительное число-г называется8-смещенисм функции /( /) е С ( /? ,, £„), еслн в > 0 иp f(t + т ))е с е .Определение 6.8. Функция /(/) 0 множество8-смещений функции /(/) относительно плотно в /?,.Определение 6.9. Устойчивая Л и почти рекуррентнаяфункция£„) называется рекуррентной.Пусть М и К полные метри'-л-ские пространства с метрикамир, и Через C(RU М) и C(RU К) обозначим пространствонепрерывных функций, определенных иа /?• и принимающихзначения в просіранствах М и К. с метриками |> ' и р / вида(2.6.10). Введем понятия сравнимое ,і по возвращаемости междуфункциями пространств C(/?lt Vf) и C(Rt, К) го аналогиисравнения движения. При «том следуем 182, 85].Определение 6.10. а последовательность (2.6.12) (соили X) называется собственной а последовательностью (©- илик-послсооаательностыд) функции /( i)Œ.C(Rt. М), еслн последовательность(2.6.13) сдиигов функции f(t) сходится к /(/)•Множества всех собственных а-, «*>• и X-после:, ■стельностейфункции f(t) обозначим А (я. /), А'(

R- (A,+ или R) с функцией g(t)^C (R t, К) тогда и только тогда,когда выполнено хотя бы одно нз следующих эквивалентныхмежду собой условий:а) из всякой собственной a -последовательности функции 0 найдется такая 6 (e) > 0, что кажлоеб'-смещение функции g(t) является 6“-смещеннем функции /(/).Доказательство нсобходи м о с т и уело в и я "а”.Пусть /(/) сравнима R~ с функцией g(t). По Определению {>.11множество Л (a, g) является подмножеством множества Л'(а. /).Следовательно, условие ”а” выполнено.■ Д оказател ьство достаточности условия ”а” .Пусть имеет место условие ”а" и функция f(t) не сравнима R~с. функцией git). Тогда множество N (a, g ) не является подмножествомЛ' 0 и согласно второй части Предложения 6.1■ >к1Н построить подпоследовательность {/(/-!-/»)} последова-.п.ногти (2.6.13) так, чтобы неравенство p '(f(f+ * ’.,), f(t))>e,имело место для всех натуральных п. Тогда из собственной«-последовательности {?,,} функции git) нельзя извлечь собственную«-последовательность функции вопреки условию "а” .Полученное противоречие докалывает достаточность условия"а”.Докажем эквивалентность условий ”а" и ” б”. Пусть имеетместо условие ”б” и {/,.}— произвольная собственная а-послелозательносп.функции g(l). Зафиксируем последовательность{»•.,} гь .ii жнтельных чисел г .. сходящихся к нулю. Согласно ус-: ,:ю ’ о” каждому г., отвечает такое положительное числочто всякое 6,_-смещение функции #(/) является ^„"-смещениемфункции /(/). Так как последовательность (2.6.13) сх днтся локльно равномерно, то для каждого fi„ > 0 найдется помер kTlт;.к й, что р /( /( 4 „ + 0 . f(t)) 0нарушено условие "б”. Выберем последовательность положительныхчисел fi„ так, чтобы она сходилась к нулю. Обозначимчерез /„ fin -смещение функции я ( 0 . не являющееся в ы м е щ е ­нием функции /(/). Тогда собственная а-послелователыюсть{(„} функции g (t) не входит в множество Дг(«, /). Полученноепротиворечие доказывает, что из условия ”а” следует ’’б”.71

Обозначим/(/? ,) f(Rl) = {f(f),вместе с которой сходится последовательность {/г ( / Т1)}.Покажем, что liin h(l„)п *хположим,0, где (I — нуль пространства AI. Пред-что это не так. т. e. Iim h(tn) = р и p ^ f t. РассмотримП-т^Опоследовательность {Л*(0} функций пространства C(Rit Af),определенных выражением1hm if) - п'Р + \ g(t)di. (2.6.18)ОЗафиксировав произвольное натуральное число m и значение1—ïœ.Ri~, оценим разность h„(t)—ftm_t ((+ ?» ) по норме72

Определение 6.22. Взаимно сравнимые RR~ (RR )функции f(t) и g(t) называются положительно (отрицательно)равномерно изохронными (изохронными RR (RR ) ) функциямив смысле возвращаемости.Функции, изохронные RR' и RR~, называются равномерноизохронными (изохронными RR) функциями.Предложение Г>.!8. Если функция j{t)^.C(R„ Af) сравнимаRR- [RR+ или RR) с устойчивой Л~ (Л + или Л) функциейg(t)^C(Ru Af), то j(t) устойчива Л~ (Л* или Л).Доказательство. По условиям Предложения множествопрел компактно в C(R„ К) и существует равномернонепрерывное отображение v множества на . Покажемйредкомпактность г в пространстве С(Ru Af). С этой цельюзафиксируем произвольное число р> 0 и выберем б> 0 в силуравномерной непрерывности отображения и. Тогда для любыхt:Œ.Rr, таких, что р Л £ і,(0 . Æf**(01 < 1в, выполняется неравенствор Д у (gt ), v ( g (,)]'главенство г>*/ [|?(?»+ /)-77

g ( / * - / ) ] < « . Тогда ғ > р . / [у(Я(п)» v(gim)]=pt'[f(tn~t),f(t, f t)]. Это означает, что последовательность { f(/„ + 0 }фундаментальна и сходится в C(R„ Af). Следовательно, {/„}

Доказательство проведем от противного. Пусть условияПредложения выполнены и f(t) не сравнима R~ с #(*)Тогда найдется собственная а-последователыгость {/..} функцииg (О, которая не принадлежит множеству N (a, f). Следовательно,существует такое число ғ > 0, что для любого натуральногоп и ie^R,~ выполняется неравенствор,[/(< + to . (2-6-24;Согласно Предложению 6.2 вместе с условием (2.6.24) нместместо неравенствоSUP (>, I/ (* "Г to, f ( 0 ] > 8 .-i/eëfcSoТогда каждому номеру п соответствует хотя бы одна точкатакая, чюр ,[/ * . (2.6.25)Последовательность {«„} ограничена и, следовательно, содержитсходящуюся подпоследовательность {sr.}, т. e. lim sn— s.п-+ооПусть £ ( s ) = P , 8(Ип)=Рп и g(L+sn) = q n. Учитывая это, перепишемвыражения (2.6,25):Pi[o( f ( p B)]< p i[ü ( 9 » ). v(p)]+pt[v(p), ®(Р«)].Согласно выбору {ln}GN( a, g) и, следовательно, с пр я вед л иверавенство lim sup p2[£(H -*n). g(t)]— 0- Поэтому lim р(рп.(р)] = limp, [v(qn),v(p)] - 0.n won-+ooИначе юворя, имеет месторавенство lim Рі[А(р«), Л(для всех i-.-R r выражением (2.6.23), принадлежит пространстиу C(Rt . .VI) и сравнима RR~ {RR+ или RR) с функцией g(t)Доказательство от противного. Пусть условия Предложения выполнены, но функция /(/) не сравнима RR- с функциейg(i). Т о п а найдутся число ғ > 0. последователю! чть по79

ложительных, сходящихся к нулю чисел {6„} и две числовыепоследовательности {.s„} и {/„}. где s„, lnt= R r такие, чтоsup р2Ц Ч /-И »), g(t . Sn) ] < f > (2.6.27)sup Pi f/ (l ь to» f (l + V*] > 8-1/(Ь5*Г,о(2.6.28)для всех натуральных п. Из (2.6.28) вытекает, что каждому натуральномуп соответствует хотя бы одна точка — 1/р, 0]и выполняетсяP,[f(U+U). / ( * . + « . ) ] > 8. (2.6.29)Вводя обозначения g(Jn-\-tn) = p n, g (ï*-\-sn) = q a, перепишемвыражение (2.6.29) в видеp .U '( /0 . »)]>*■ (2.6.30)Так как lim ft„ = 0 и справедливо неравенство (2.6.27), то ус-П«хловие (2.6.30) противоречит равномерной непрерывности о i С р а ­жения v. Полученное противоречие доказывает Предложение.Предложение 6.26. Нели производная j(t) функции/( /) е С ( /? ,, М) равномерно непрерывна иа R. (Rt* или R,). то/(/) сравнимм RR (RR или RR) с функцией /(/).Л о к а л а те л ьство. Пусть выполнены условия Предложения.Тогда оператор дифферент!}- на ни я dUit осуществляет раинмерно непрерывное отображение множества f(Rc) в пространствоМ. При этом согласно Предложению 6.25 функция/( /) , определенная для всех t ^ R r равенством f(t)—df(t)fdt,бу.им сравнимой RR~ с функцией /(/).Из доказанного Предложения и Предложения 6.17 сле г v гПре можснис в виле утверждения.Предложение 6.27. Если функция j[i)(-C(Rl, М) устойчиваП~ (II ■или II) и имеет равномерно непрерывную производную.то эта производная также устойчива П~ (П* или Л).П редложение 6.28. Еслн функция f(t)^C(R,, М) устойчиваП~ (Л* или II) и имеет предкомпактную первообразную,то первообразная также устойчива Л' (Лу или II).Доказательство. В силу Предложения 6.9 первообразнаясравнима R с самой функцией. Следовательно, выполненывсе условия Предложения 6.17. Поэтому первообразная функции/(/) устойчива П.В заключение отметим известные из анализа для рекуррентныхи почти периодических функций утверждения.П р с д л о ж е н к с *6.29 [49, 85]. Равномерно непрерывнаяпрок водная рекуррентной (почти периодической) функции рекуррентна(почти периодична).П редложение 6.30 [49, 85]. Прелкомпактная первообразнаярекуррентной (почти периодической) функции рекуррентиа(почти периодична).

Г лава третья•Качественные свойствапоступательного движ ения телСолнечной системыIÎ небесной механике исследуется задача Коши— найти решениесистемы дифференциальных уравнений движения, удовлетворяющееладанным начальным условиям. Это решениеполи >ляеi однозначно восстановить прошлое и определить будущеерассматриваемого движения. Однако в конкретных зад а­чах пришлое движение небесных тел, как правило, не исследуется,более того, оно часто не принимается во внимание.П.: : юбходимость учета сведений ил истории движения укалывалл своих лекциях Д. 11. Колмогоров [43]. высказав, в частlinciü.предположение об устойчивости по Л агранж у движенияплане пой системы, устойчивого в этом же смысле в прошлом.Однако до настоящего временя такой подход в должной мереHt реализован. В даш: й главе предпринята попытка восполнитьпробел. Учитывая зависимость вращения Земли от(йкон мерностей поступательных движений больших планетСолнечной системы, исследуется их орбитальное движение.Допуская, что движение Солнечной системы было устойчивымпо Лагранжу в прошлом, доказывается рекуррентностьдвижения Солнечной системы на всей действительной оси времени.Возникающий при этом вопрос о мерах движения и ихсохранении решается (следующем обрга .ом. Известно, что в качествемеры движения можно принять количество движения ик ни с : '.ее кую энергию или зависящие от них другие величины.3 -t-cb п качестве характеристики движения рассматриваютсяполярный момент инерции Солнечной системы и ее кинетическаяэнергия. Доказывается, что указанные величины обладаютС'оие i м минимальности по Биркгофу, если движение Солнечнойсистемы устойчиво но Лагранжу. Устанавливается справедливсть и обратного утверждения.1. Задача л тел и ее первые интегралыв. {I имеется механическая система п тел G„, рассматри-Масс-1'14 К'и !®теРиаль|!Ые точки О., Ог, .... 0„ соответственнотоня 'п - ...........взаимодействующих по закону Ныо-Од',‘ ';',!'ЛСм прямоугольную декартову систему координат. •= ^ началом О и центре масс системы С в и обозначим черезкоординаты точки О,, где / = 1, 2 , ___ п.81

Тогда движение механической системы Ол описывается системойОл дифференциальных уравнений вида [24. 122]dx{= Щ,dtdytdii f Ldt= Vi,——wi,r'l.dti[1 ÜdvLdt__IMi1dUdx( ’dU“ M, ’ ЭУі 'dw{ 1 dUdi M{ dz,. ’гд е U — силовая функция системы G ,.. имеющая вид(3,1.1)/—i /

2 у,і (У№і — ZiVi) - Xl- 2 Vf; ^ ,u< л'-'и’^ 3 **, (3.1.5)i**l р іинат Oxyz. Плоскость L называется неизменяемой (инвариантной)плоскостью Лапласа [24. 122].Запишем выражение интеграла энергииi "у 2 M( (uî-{-o*, + w b - U ~ һ . (3.1.7)l*= 1Здесь h -постоянная энергии, ее значение такж е определиется начальными условиями (3.1.3).Первые интегралы (3.1.5) выражают закон сохранения моментаколичества движения механической системы G„, а интеграл(3.1.7) — закон сохранения ее полной энергии.Введем векторыг ,= {* + . . . + МпГп ■- 2 М‘ г‘•

времени І функции / В силу уравнений движения (3.1.1)dlldt = 2% Mi г, ■~ = 2 j\A b r r v„di(3.1.11)£L .= 2 V M, V? -f r,- — - 2 V Mi I v? -1 n . ± ~ wdt» / è - 1л â i *,■rt- 2 V M ,vî + 2 V n . M -jilr.4 Г — 21/.Окончательно для второй производной по времени / функции/ получим выражениеiPI/dtf =» 4 7' — 2U. (3.1.12)При выводе формулы (3.1.12) использованы следующие сокращения:dU _ )К!_ Ш_ д1Пi)ri \ дх{ ’ д;/[ ’ г>г, )и однородность силовой функции U относительно переменныхх,, Уи Zi. В силу теоремы Эйлера об однородных функциях имеетместо равенство [24, 11SJJ , , SU , dU . dU \ ч , ди5 */ г----- Vyt— + Zi — = > Г; — - U.j t x щ дУі дгі г , * іИспользуя соотношение, полученное из интегралаэнергии,V ^ T - h (3.1.13)перепишем (3.1.12):&lJdP я* 2 (Т - f Л), # / М * =2(У + 2Л). .1.141Уравнение (3.1.14), связывающее полярный момент инерции/ системы 6\ с ее силовой функцией U, называется уравнениемЛагранжа—Якоби [47. 1271.Левые части уравнения Л ангранж а—Якоби з.іиисяі от выборасистемы координат, ибо в ни\ участвуют величины радиусоввекторовг, материальных точек 0 (. Представим полярный моментинерции / в виде, содержащем только изаимные расстояниямежду точками О; и Oj.Запишем алгебраическое тождество Л агранжа

любые посто­где к — произвольное натуральное число, а, и Ь.:янные.Положим в (3.1.15) п. а.=уЛ 1, и b , = yÂïjx,. Тогда тождествоЛ агранж а примет видv = ( s Mtx, 2 2 M 'M tf r - x tY .1 i— l i— 1 / i- I / IАналогично получаются следующие тождества:2 -Vf,- 2 ^ = f 2 v, 2 МгЛ1-! to - №2i*=~i ►=• i \^»i У i*=\v Af; 2 .WfZ? -= ( 2 M,Zt j + ^ 2 І V,-' Vb- toi- 1

Напишем тож дествоUi vf -Ь tt'f - — _ y iUif -! (yiWi — г,У, Гrït drt\2i: {ZlUi — Xibùt Ң -

Учитывая это выражение кинетической энергии Т в неравенстве(3.1.20), имеем» 2 + * ( £ / - * - 2 * ( £ ) > £ •(3.1.21)Очевидно,Иdr,/ — - У М л — 1.л и ЛВозводя в квадрат полученное равенство и применяя неравенствоКоши—Буняковского [41] к правой части полученноговыражения, находимили(*'•\ ЛU-l U-1d r .-',2) < s Ч г О •Проведенная оценка позволяет усилить неравенство (3.1.21),записав его в виде21 * 1 + (— ')*— 2 А > — .Л» d t ) 1а(3.1.22)Выражение (3.1.22) называется неравенством Зундмана [25,127].Так как [ 127]тоI (■rtitdt I < (I и,- — щ 1+ I Vi — vj j - f ] wt — w, ]), rtJ,у MtM}I ÿLdrn1 dt l.l. Г‘і dt< 2 ^ *х (I Ui - Uf I + I Vi — O/l+lиГІ\— Wj I).Кроме того, (MtMj/r,j) < U. поэтомуможно усилить:последнее неравенствоI dUI di- 1 •- У 1 — uj\ '■I Vj — V] 1 г I ay — 1U(3.1.23)Напишем выражение кинетической энергии, также получаемоена основе тождества Лагранжа (3.1.15):Т = ^ 7 2 M‘M i— 11 i f г (Vi — и/)* f (ак — Ш/)*].87

ОтсюдаMiM, [(«, — Uj)* -4 (fi - Vjf + (i», — vjfl < 2 ц Г ,с учетом которого выражение (3.1.23) можно записать с виде\ d u id t \< b i u ' V W 'где щ, -= V1T2 *.иСогласно уравнению Л агранж а—Якоби dUldi=d*lldtг. П о­этомуÉ L I d3/2 ^ 1 ,104* — J (МіМі)'11 > 0. (3.1.25)V (i l.lВведем вспомогательную функцию Зундмана [ 127]5 ( 0 =/ (di dt\* — 2ҺІ rx2/и продифференцируем ее по времени:•Я. ^ ÉL [о/ f (4L)* ~2Һ— *dt dt L d*» .dt J ГВ силу (3.1.22) выражение в квадратных скобках неотрицательно.Поэтому производные dS di и dljdl имеют одинаковыезнаки. Отсюда следуетПредложение 1.2. Еслн одна из функций S » 1 возрастает(убывает), то другая не может убывать (возрастать).Кроме того, известно следующее f 127]Il p е д л о ж е н и e 1.3. Если момент количества движения хсистемы G отличен от нуля, то отсутствует одновременное соударениевсех тел Of этой системы.2. Задача двух тел и законы КеплераД ля различного рода оценок, относящихся к задаче ri тел,и;. ■ иона юбится ряд соотношений нз задачи двух тел. Как иранее, относительное движение материальных точек .If, и Мгбудем рассматривать в инерциальной системе координат Oxyz.Силовая функция задачи двух тел имеет видU=MiMJrll, * (3.2.1)где взаимное расстояние г,г между точками О, и Ог равноrl2 - V(x, - дг2)а h (Jh - Уг? + (*i - ztf. (3.2.2)Основные уравнения движения сохраняют свой вид. Какследствие задачи п тел напишем инвариантные соотношения и88

первые интегралы дифференциальных уравнений движения задачидвух тел:Af,Ола’,- ? ,r ,) - A f г(у1ы', г2и,)=х,.Af, (ZtUt—XtW,) + Af j (z2ut—x3ws) - x2,Af, (x,v, y,u,) +Mz(xtvz y2u,) - Xj,(3.2.3)Из первых трех соотношений получим* .= — у,= —(MJMt)yt,Подставляя (3.2.4) в (3.2.2), находимгп=[{Му+Мг)!МЛгг.(3.2.4)Тогда из уравнений абсолютного движения задачи двух телвытекают уравнения движения точки Af относительно центрамасс точек Af, и Af,:dxjdi —u2, i hjJdt —Vz' dzjdi—xzu,dUf __ Aff ^ ______ Af,dt (M i + Af,)* r*t ’ dt = (Af, + Afa)* І 'd-J!t _ _Jt_dt (M i + A1,)J r\ ‘Введем систему координат 0,ç?)Ç с началом в материальнойточке О, и неизменными ио направлению координатными осями,параллельными осям системы Охуг. В мой системе точка О,имеет нулевые координаты, координаты другой точки (Ох)обозначены £, 7). Ç. Тогда движение точки Ог относительно точкиО, описывается уравнениямиrf,g/rf/*+rt-/r* = o . d \ ^ + | i 4 / ^ = 0 ,О, (3.2.5)где г—г,:;= у |2+ ц * + £ * — расстояние между точками О, и О».Af, + Af,.Уравнения (3.2.5) в небесной механике принято называтьд и ф ф еріУнциальными уравнениями невозмущі нного движения.l.'iKoe название сохраняется в случае задачи п тел и, предполагаякаждую из масс Af», Af,......... AJ„ тел системы весьма малойпо сравнению с массой Af, материальной точки О, и пренебрегаяи первом приближении всеми членами силовой функциисистемы, содержащими произведение двух малых масс, пред­89

ставляет уравнение относительного движения материальных точекOi (i - 2, 3.........п) в виде (3.2.5).Соответственно теория невозмущенного кеплеровского движениясистемы двух материальных точек сводится к интегрированиюи исследованию решения уравнений (3.2.5).Уравнения (3.2.5) имеют шесть независимых первых интегралов,из которых интегралы площадей записываются в видеî f - , â = c , ,3.2.6)di di di di di diгде a, Ь, с - - постоянные площадей.Интеграл энергии для уравнения (3.2.5) имеет вид(dU dt)*+ (dr]!dty+ (d%!dty—2 p /r= h, (3.2.7)h - постоянная энергии.ОбозначимП-S). dr/dt-{a,$,i),dl/dt=a, di\/dt—$, dÇ,/dt='{.Тогдаdt4 П * + т М ' ? - 6«+Tj? + C v - s ,dtrfs d?r v dcc * rfp j*. dy a n f»» i о— =* — — l ------ î| — - £ ----- V ce2 t p2 + ïrf; d f di ili diи и силу уравнений движения (3.2.5) и интеграла энергии(3.2.7) найдемd s!dt= \i!r+ h . (3.2.8)Продифференцируем (3.2.8) повремени:rf2s/rf/! = —jis/r3. (3.2.9)Это уравнение по виду совпадает с уравнениями движения(3.2.5), что и позволяет получить соответствующие интегралыЛапласа:Idsfdt—s a ^ â , r\dsldt—s $ = l, ^ds/dt— (3.2.10)где а, Ъ и Ъ -постоянные, которые связаны с постоянными площадейсоотношением видааа+ЬЪ +сс=0. (3.2.11)Вектор 1= {

Таким образом, семь первых интегралов (3.2.6), (3.2.7) и(3.2.10) уравнений движения (3.2.5) связаны двумя алгебраическимисоотношениями (3.2.11) и (3.2.12). II они не. образуют полнуюсистему независимых первых ин в уравнений движения(3.2.5). Так как эти последние имеют шестой порядок, топри использовании указанных первых интегралов и их связей(3.2.11), (3.2.12) недостающий первый интеграл может быть найденквадратурой.Однако построить таким способом общее решение уравненийдвижения в задаче двух тел затруднительно. Поэтому сначалаобратимся к геометрическим свойствам орбиты движения точкиМг относительно точки О, f64J. Непосредственным следствиемпервых интегралов (3.2.6) являетсяag + Ц + с £ = 0 , (3.2.13)т. е. уравнение неизменяемой плоскости Лапласа системы двухтел.Уравнение (3.2.13) показывает, что орбита материальнойточки ЛЬ является плоской кривой, расположенной в неизменяемойплоскости Л апласа.Складывая интегралы Лапласа (3.2.10). предварительноумноженные на ?, ц и £ соответственно, получимц г= a* + 6* + с*—5 |—Бт]—с£. (3.2.14)Уравнение (3.2.14) содержит только координаты жуп.ейснточки Л/, и определяет в пространстве некоторую поверхностьвторого порядка. Следовательно, и орбита движения этой точкипредставляет кривую второго порядка, опр делясмую как сечениеповерхности (3.2.1 1) плоскостью (3.2.13).Рассмотрим прямую%1а-Ф=Ъ1с> (3.2.15)проходящую через точку О, (начало координат) и коллипеарнуювектору Л апласа I. Согласно (3.2.11) на лежит в плоскостиорбиты точки Af* Поэтому любая плоскость нз семейства с параметромА: Ъг\ ( Г:£=Хперпендикулярна прямой (3.2.15), и уравнение (3.2.11) принимаетвид[ir=a1+b2+ci—k,показывающий, что радиус-вектор текущей точки поверхности(3.2.14) выражается рациональным образом через ее координатыrj, £. Отсюда следует, что начало координат совпадает содним и

iРис. 3.1. Декартова систем.) координат 0 ;g>i и схема движения по закопайКеплераН; р р с д е ш оАметв (адштрлковяниые). л о i с ; ■ . ируют второй законКеплераРиг. 3.2. Полярная система координат О г \Отсюда получаемПери ы й (о б о б ще н н ы й ) закон К е п л с р a. Hi возмущеннаяорбита точки Л! относительно точки Л/, представляетсобой кривую второго порядка, в одном из фокусов которойнам члтся гочка .4,. и ее фокальная ось направлена по векторуЛапласа 1.Определение 2.1. Фокальная ось орбиты называется линиейапеш), и точки пересечения линии апсид с орбитой апсидами.Ближайшая к фокусу (точка .Vf,) апсида называется перицентром,наиболее удаленная апоцентром.Совместим координатную плоскость Oig-q с неизменяемой плоскостьюЛапласа и направим ось 0 , | по линии анепд к перицентру.а ось 0 ,t - по прямой1!а=ц!Ь- Цс.При лом ось О.г) дополняет систему координат до правой(рнс. 3.1). В этой правой системе координат орбита движенииточки относительно точки '•/. описывается уравнениями£ = 0 , цг=

Обозначим параметр и эксцентриситет кривой (3.2.18) соответственнор=сЧ ц,е=с/ц.Тогда уравнение (3.2.18) принимает видr=^p/( l + e c o sv ). (3.2.19)Интеграл площадей в полярных координатахr*dy/dt=c (3.2.20)устанавливает связь между истинной аномалией v и временем /:p7d v l(\+е cos v V —cdt.Обозначим через т момент прохождения точки AU через перицентри проинтегрируем последнее уравнение:Vdv =с(/-т). (3.2.21)р*\ J 7(I -ft-ns V)2оЕсли элемент площади в полярных координатахJs--42rdv,. i интеграл площадей (3.2.20) позволяет представить скорость, «менения этой величины в видеds/dt = с/2. (3.2.22)Отсюда вытекаетИ торой (обобщенный) закон К е п л e р а. Секторнаяскорость движения точки Мг относительно точки Af, остаетсяпостоянной в течение всего времени ее движения, а площадь еекгора,описываемого радиусом ди ктором г точки А1г изменяетсяпропорционально времени i.Определение 2.2. Линия пересечения координатных плоскостей0 ,$ i| и Оху называется линией узлов, а точки пересечениилинии узлов с орбитой движения — узлами орбиты. Узел орліы, через который проходит движущаяся точка AJ,. переходяii области отрицательных аппликат в область положительных,и. чывается восходящим узлом, а противоположный ему узел —нисходящим.Определение 2.3. Угол £2 между направлением на восхо-'Щий узел и положительным направлением оси Ох называетсячай восходящего узла. Угол m между направлением на восходящийузел и положительным направлением оси 0 | называетсяугловым расстоянием перицентра от узла (аргументом перицентра).Угол / между положительными направлениями осейи Ог называется наклонением орбиты. Угол, представляю-

Рис. з.З. Кемеровские -ілемстти о ^итыШтриховой лн!!Иь'Л ітха мнв трлехторкн лви-«ения точки AljРис. 3.4. Конические сечения.! -я глиисы (а»)') соответственнощий собой сумму истинной аномалии и углового расстояния перицентраот узла, т. с.w =v-fm , (3.2.23)называется аргументом широты (рис. 3.3).О п p е д е л с и и е 2.4. ВеличиныQ, i. (и, р, е, х (3.2.24)называются кемеровскими элементами орбиты.Обозначим через а большую полуось орбиты. Тогдар = а (1 — e8), h = — ц/а, с — Y \\p =s ү ра (1 — # ) (3,2.25)и в силу уравнений орбиты (3.2.10) интеграл энергии (3.2.7) принимаетвид( d lid ty ( d r \ l d ty + { ( i ltd ty - n ( 2 lr - \la )илиV*«H*(2fr—l/a). (3.2.26)Эта положительная величина выражает квадрат модуля скороститочки Мг относительно точки .Vf,.Тогда справедливо 175]Предложение 2.3. Еслн величина (3.2.26) такова, чтоV *< 2\ir. \'?> 2 \i/r и 1‘ ^ 2ц г, то орбита точки М. является v;iлипсом.параболой и гиперболой соответственно (рис. 3.4, я —д).Учитывая постоянство угла

Поэтому интеграл площадей (3.2.20) определяет спяль между аргументом широты и временем /. Интегрируя это уравнениен случае эллиптического движения и учитывая (3.2.2Г>) и параметрическоеуравнение эллипса g---«cos (E—e), ti = ^sin£. получимуравнение КеплераE — esitiE = Y ца~,/*(/ — t), (3.2.27)где E — эксцентрическая аномалия. ПолагаемП =* W ûr*/*. M ’unit — t). (3.2.28)Определение 2.5. Величины n и ЛІ соответственно называютсясредним движением точки Afs и средней аномалией.Термин «среднее» движение точки М2 вытекает из того, чтоесли время одного полного оборота точки ЛЬ. то его средняяскорость движения равна/г1= 2л/7'3. (3.2.29)ОтсюдаТг=2па>‘Чц или Т2Ч а г - (2п/ц)*. (3.2.30)Ввиду полного равноправия точек Af, и ЛЬ все и ложен и оесправедливо для движения точки ЛЬ относительно точки .Vf*.Гак, обозначая через время одного полного оборота точки Vf,пп орбите и через а< — большую полуось ее орбиты, получим77/«,*~(2п/р)*. (3.2.31)Пз сопоставления выражений (3.2.30) и (3.2.31) следуетT p е т и и з а к о н Кеплера. Квадраты времен одного полногооборота ючек Л/, и Л/, пропорциональны кубам большихполуосей их орбит, т. е.Tffîf^afja*. (3.2.32)Пусть теперь рассматриваемые материальные точки О, и Огдвижутся под действием притяжения лишь массы ЛІ по своим•>.ілиптіічоским орбитам вокруг третьей точки О . Допускается,что массы М, и М2 не влияют друг на друга. Тогда мь имеемдело одновременно е двумя задачами двух тел. Это позволяетлучить, исходя нз (3.2.31) и (3.2.32), соотношениеI ‘(.Л Ь Af,)jI (А Ь + Af,) —а.3/аи i которого вытекаетТретий (обобщенный) закон Кеплера. В невозмущеиномэллиптическом движении двух материальных ,< чекпроизведения квадрата периодов обращения на суммы цент-;• льнон и движущейся точек относятся как кубы больших полуосейорбит.В заключение раздела введем лаигранжевы элементы кеплеровскойорбиты. Д ля случая малых эксцентриситетов е и малыхнаклонов і вместо кеилеровских элементов е, ш, i, i> Л агранж95

ввел переменные /, к , s. q посредством замены j=ecas и, k= e sin и, s •- t}? i sin û, q --- ty i cos £>.11pn этом вместе с оставшимися ксплеровскими элементами(3.2.1) будем иметь следующий набор элементов Л агранжа:/, 5. q, k. (3.2.33)3. Проблема Л агранж а—Л апласаоб устойчивости движения Солнечной системыПрименительно к системе 6\ рассмотрим следующий вопрос:существуй г ли положительные постоянные чиела с н С, зависящиеот начальных условий (3.1.3) движеиия и масс M,. .'f . . . ..... Мп точек О, системы О» и удовлетворяющие неравенствамс ^ г « ( / ) < С (3.3.1)для любого будущего момента времени IœR . Здесь Гц— взаимныерасстояния между точками О. и 0} (iV=/= 1, 2..........п).Сформулированный вопрос выражает суть проблемы Л агранжа-Лапласа об устойчивости Солнечной системы механическойсистемы 0п материальных т< іек, которая предполагаетсяизолированной от всей остальной Вселенной [ Î, 68, 71].Отметим, что проблема Л агранж а—Лапласа об устойчивостиСолнечной системы в небесной механике сформулированаприменительно к планетному варианту задачи я тел. Под планетнымвариантом задачи п тел понимают задачу об исследованиидвижений механической системы (обозначим ее (.'„) материальныхточек, среди которых одна имеет массу, намного большую.чем массы всех остальных тел этой системы. Предполагается,что тела малой массы относительно массивного гола совершаютдвижения по орбитам, близким к невозмущеппым кеплеровским(эллиптическим орбитам). Массивное тело называютцентральным, тела малой м ассы — планетами, а саму систему— планетной. Такая модель Солнечной системы упрощает задачу,поіноляя ввести малый параметр (отношение массы однойиз планет к массе центрального тела) и применить методы теорииві •мущений и качественной геории дифференциальных уравнений[ 108. 117].В дальнейшем изложении настоящего раздела рассматриваетсятолько планетный вариант задачи п тел. Пусть величины2н/Т, (i-2. 3......... п), где Т, — период обращения’ тела ЛЬ относительноцентрального тела Л/, при невозмущенном движении,представляют собой средние движения планет ЛҺ.Определенно 3.1. Еслн периоды Т, и Т} обращения двухпланет Ot и О, вокруг центрального тела хотя бы для одного наборане равных нулю целых положительных чисел k , и к, удовлетворяютравенствук,Т{+к,Т>=0. (3.3.2)то невозмущенные средние движения планет п, ипопарно рационально соизмеримыми.96называются

Поли (д>(“ 2л/Лі частота собственного «колебания» планетыМ, при ею невозмущенном движении относительно тела М„ тоусловие соизмеримости средних движений планет (3.3.2) можнозаписатьн виде&«(.>, + ( 3 . 3 . 3 )Определение 3.2. Если хотя бы для одного набора неравных нулю одновременно целых чисел ku кг, ... кп выполненоусловие. . + fe„(o„ = 0, (3.3.4)где w. частота собственного колебания планеты Л1(, то не возмущенныеке.нлеровские средние движения планет называютсярационально соизмср им ым и.Из этих определений следует, что если невозмущенные кеплеровскиесредние движения хотя бы одной пары планет А1* иМ рационально соизмеримы, то рационально соизмеримы невозмущенныекеилеровские средние движения планет всей планетнойсистемы.Рассмотрим дифференциальные уравнения возмущенного относительногодвижения планет:

нне каждой планеты принадлежит к эллиптическому типу. Первоепредположение для случая задачи о движении больших планетСолнечной системы не вполне соответствует действительности,второе согласно Предложению 2.1 эквивалентно неравенствуV*t — 2 пЩги < 0 (i = 2,3........n) (3.3.8Ïв течение всего времени движения.Так как неравенства (3.3.8) содержат искомые величины —расстояние от центрального тела до планеты и величины скоростипланеты, то, вообще говоря, невозможно гарантировать ихсправедливость во все время движения.Возмущаюшая функция (3.3.7) для каждой планеты Л/, представляетсобой линейную функцию я —2 малых параметров —масс планет, исключая массу самой рассматриваемой планетыMt. Поэтому подсистема уравнении (3.3.5), соответствующаяразличным индексам ! - V i / U .. ,[t„ / / і ,. . . , //«i] г(i = 1,2........6; £ = 1,2......... n). (3.3.11)При переходе от элементов невозмушенного движения к оскулирующимэлемента «'возмущенных орбит в возмущающую функцию(3.3.10) явным образом входит независимая переменная —время г, которая посредством вовмущающей фуищщи входит в1 Трлекто(»ин семей п.. чеікммуііи-ни »х ;м1 п.шлммтся оскулирующамцорбитами, а их элемен гы — оскулирующими элементами.98

правы, части ураннений (113.11). Поэтому возникает необходимостьвыявления зависимости WJk от I. Гак как движение планетыЛ/* эллиптического типа, то каждый из элементов се орбитыявляется периодической функцией от средней аномалии .Vfкможет быть разложен в ряд Фурье по синусам и косинусамаргументов, кратных Е,. Следовательно, возмущающаяфункция U/■" есть периодическая функция от двух средних аномалий/:, и С„ представимая двойным рядом Фурье по синусами косинусам от комбинаций:*А (3.3.12)еде к, и к] — целые числа. Поэтому каждая из величин №У°представима двойным рядом Фурье, т. е.wfk - 2 i C 4 '**' cos i + № ,) Ь*/•**=-»-! ^ s in (ft/Ej 4 -hBs)}. (3.3.13)Нели выражения (3.3.13) внести в правые части уравнений(3.3.1 Г) и проинтегрировать полученные соотношения, то появятсязнаменатели вида (3.3.12). Д ля соизмеримых средних движенийвеличина (3.3.12) обращается в нуль, а для близких к соизмеримостисредних движений она принимает сколь угодно малоезначение. Так возникают малые знаменатели, обусловливающиерасходимость рядов для решения.М алые знаменатели порождают три типа возмущений движения.Чтобы показать эти возмущения, представим решениеуравнения (3.3.11) и виде рядов, расположенных но целым положительнымстепеням малых параметров:flk =* fSk + (Іік) І (/ 10 AfiW?. - -Mn - (3.3.15)Здесь суммирование производится по всем целым неотрицательнымзначениям индексов s., s»......... л„, сумма которых равнаS.Величина gl,)(ftk) называется возмущением s-го порядка, иее коэффициенты Я н’’'.....*»’ подлежат определению. В споюочередь, возмущения 5-порядка делятся на три типа — вековые,'и риодические и смешанные. Вековые возмущения представляютсобой произведение множителя (( т)* на постоянное число;периодические— произведение тригонометрических функций временина постоянное число, смешанные — пропорциональны произведению(t—г)* на тригонометрические функции времени.99

Трудности суммирования рядов (3.3.13) и (3.3.14) из-за возникнонениямалых знаменателей и возмущений, определяемыхмножителем (І—т )‘, преодолеваются в исключительных случаях.Один из первых результатов выражает теорема Л апласа, вовсей ее общности доказанная Лагранжом Г1. 75].T е о p е м а .'I и л а с а Лагранж а. Если невозмущенныесредние движения планет в планетном варианте задачи птел несоизмеримы, то большие полуоси планетных орбит (и, следовательно,средние движения и канонические элементы Л агранжа)не содержат вековых возмущений первого порядка относительновозмущающих масс.Эта теорема утверждает отсутствие вековых возмущений первогопорядка, и она справедлива с точностью до возмущенийпервого порядка включительно на конечном интервале времени,на котором выполняется условие (3.3.8).Р с п л ы а т ы Л апласа об отсутствии вековых возмущений первогопорядка были обобщены Пуассоном [75].Теорема Пуассона. Еслн невозмущенные средние движенияпланет в планетном варианте задачи п тел несоизмеримы,то возмущения второго порядка (относительно возмущающихмасс) больших полуосей но содержат вековых членов.Эта теорема также верна лишь на конечном интервале времени.Что касается возмущений третьего и последующих порядков,то относительно них теорема Пуассона ничего определеннепн т. И саном деле, для больших полуосей оскулирующихорбит больших планет Солнечной системы найдены вековыевозмущения третьего порядка [25].Диффі ренциальные уравнения движения относительно элементовЛ агранжа в планетном варианте задачи л тел с точностьюдо второго порядка малости относительно малых параметровдопускают i ервые интегралыПS ’. = const, (3.3.16)аП2 M/Q/Д/ tg2 i] = const. (3.3.17)/=»Эти интегралы найдены Лапласом. Анализируя их, он доказалтеорему.T е о p е м а Л а п л а с а. 1Іусть выполняются следующие условия.1) движение всех планет происходит в одном направлении ислагаемые, входящие в интегралы (3.3.16), (3.3.17), положительны;2) массы всех планет М} ( / - 2, 3......... п) — величины одногопорядка;3) большие полуоси орбит а, являются ограниченными функюо

пнями времени ( в интервале времени от 0 до некоторого /' иизменяются весьма мало около некоторых средних значений а}°\4) в начальный момент времени / = () все эксцентриситеты инаклонения ^ малы.Тогда для всех значений / из интервала (О. i') величиныCj(t) и ty(/) являются мало изменяющимися функциями.Эта теорема также не позволяет установить устойчивость поЛагранжу сиен мы г/,., ибо проверка условий теоремы нетривиальнаи выражения (3.3.16), (3.3.17) являются интегралами приближенныхуравнений.Теорема Л апласа в сочетании с теорией возмущений показывает.что истинное движение близко к лагранж евому2 в течениеконечного промежутка времени, если массы, начальные линчснияэксцентриситетов и наклонений планет достаточно м лы.При этом лагранжево движение условно-периодично. Основнойрезультат в исследовании лагранжевых движений принадлежитВ. И. Арнольду |7, 8].Теорема Арнольда. Нели массы, эксцентриситеты и наклоненияпланет достаточно малы, то для большинства начальныхусловий истинное движение условно-периодично и мало отличаетсяот лагранжевого движения с подходящими начальнымиусловиями в течение всего бесконечного промежутка времени:—оо < / < ос.Этот результат вытекает из теоремы Арнольда о сущестнованн1!условно-периодических решений гамильтоновых систем (см.1Іриложеиие)dp/dt = - дН/àq, dqjdl—дН/др, (3.3.18)где гамильтониан II системы имеет вид//(p , q)= //,(р » ) + ц //,(р , q) + \i*Ht (p, q). (3.3.19)аналитичен но переменным p. q и 2л-периоднчен по q.Существенное развитие теории возмущений условно-периодических движений гамильтоновых систем было начато А. И. Колмогоровымв его основополагающей работе [43]. Нижеследующаяформулировка теоремы заимствована из [7J.Теорема Колмогорова. Если невозмущенная гамильтоноваснст* ча не вырождена, то при достаточно млл< vi консервативномвозмущении большинство нерезонансных инвариантныхторов не исчезнет, а лишь немного деформируется, такчто в фазовом пространств возмущенной системы также имеютсяинвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовымикривыми, обматывающими их условно-периодически, с числомчастот, равным числу степеней свободы.Указанные инвариантные торы образуют большинство в томсмысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе свозмущением.‘ Движение планет по эллипсам, большие полуоси коюрых не имеют вековогоизменения, называется лагранжевым.101

Доказательство этой теоремы, данное Арнольдом, основываетсяна двух замечаниях Колмогорова, относящихся, во-первых,к обеспечению движения с фиксированными частотами, остающимисянерезонансными и постоянными в течение всего временидвижения при начальных условиях, выбранных по заданномувозмущению, во-вторых, к использованию быстросходчщсйсяаналитической аппроксимации функций типа ньютоновского методакасательных.Пусть гамильтониан / / имеет вид (.3.3.19), где ц — малый параметр,р, ц - позиционные и угловые переменные соответственно.Функции //, и Нг периодичны относительно переменных q,.Çî.........q„ с периодом 2л.Предполагается, что функция Н определена и аналитична вкомплексной области {Rep&G,, |iIni /? a. q

p ! j' 2 (тш i- / ш (Q)) cos [Q, -j- (Q)],f/i — / 2 (тш~ (Q)) sin [Q, ri- (Q)],где Q== (Qo, Q1) — угловые переменные, р0л и т . — постоянные,зависящие от номера тора со.3. Инвариантные торы 7* мало отличаются от торовРо = Pc» = const,Т = Т„-^ const.Это отличие дается оценкамиI/о»(Q) J< ex , | / „ ( Q ) | < e x ,|£ , . ( Q ) |< e x , | éTi- ( Q ) | < 8 x .4. Движение, определяемое функцией Гамильтона (З..І.І9),на торе Г., условно-периодично с «-частотами

канонических переменных действия не улавливаются пи в какомприближении теории возмущений условно-периодического движения.так как средняя скорость /тих изменений экспоненииональномала. Более того, как отмечает Арнольд [8], вековые изменения.быть может, не имеют направленного характера.Таким образом, результаты приведенных теорем полученытолько для случая несоизмеримых средних движений планет.Возникает вопрос: действительно ли возмущенные средниедвижения больших планет Солнечной системы несоизмеримы?Расчеты невозмущенных средних движений больших планетСолнечной системы показывают, что Солнечная система почтирезонансна. Так, средние движения Юпитера и Сатурна составлялисоответственно 300,1” и 120". Эти величины удовлетворяютсоотношению вида (3.3.12) с целочисленными коэффициентами2 и 5 при неувязке, равной 0,0135 [16, 20J. Следовательно, нсвозмущенныесредине движения указанных планет близки к соизмеримости.В связи с подобными фактами соизмеримости частотА. М. Молчанов провел исследование средних движений большихпланет Солнечной системы [20]. Результаты vr,i\ исследованийпозволили ему сформулировать гипотезу, согласно которойСолнечная система резонансна с пренебрежимо малой неувязкой,и в результате ее эволюции большие планеты, а такжеих спутники выбирают резонансные орбиты. Эта гипотеза носитимя ее автора и формулируется так: эволюционно зрелы е колебательныесистемы неизбежно резонансны.Приведенные выше теоремы об устойчивости движения телСолнечной системы условны, ибо они требуют несоизмеримостисредних движений этих пел. f) неполноте подобного подхода свидетельствуют,во-первых, возможность существования соизмеримыхсредних движений, во-вторых, появление ді іження с диффузиейАрнольда в гамильтоновых системах.Иной подход к устойчивости решений гамильтоновых системпри малых изменениях гамильтониана разработан в [13, 14].Теорема [13]. Пусть переменные гамильтоновой системы(3.3.18), параметр ц и гамильтониан (3.3.19) вещественны, IIие зависит явно от времени и п < п . Кроме того:1. Функция II, определена в ограниченной области PczR,.(ni п ), имеет в ней непрерывные частные производные дотретьего порядка включительно и удовлетворяет критерию Сильвестра.т. е. гессиан det (,, р.. ....... рш)е Р , p,(=R, ц '- ш т 1......... я ), -R . (i » 1 ,2 ............ ft),—o 0 и любой фиксированнойобласти P ,czP такой, что расстояние между грани-101

нами дР . OP областей Р, и Р превосходят к, найдется такое положительноезначение р„(е, /',) параметра ц. что при всех значениях|ц |< Ц о все допустимые решения системы (3.3.18), заисключением, быті. может, вырожденных, имеют видтPi = pi, + рп, \ / 2 (Р“ ?

вооть явление принципиально общее как-то должна, по-видимому,проявляться к основных законах природы» [84. с. 250].«...Одно представляется все же несомненным: не может быть,чтобы устойчивость — явление принципиально общее — нискольконе проявлялась в физике» (Там же, с. 480).4. Признак динамической системыРассмотрим дифференциальные уравнения (3.1.1) движениязадачи л тел. Допустим, что начальные условия (3.1.3), необходимыедля нахождения частного решения этих уравнении илидвижения в терминах динамических систем, взяты из некоторогомножества М 6л-мерного фазового пространства /?„. Введем6л-мернук>вектор-фун кцию£= {*., /Л, • • •. гя, н„ i'„ ..., о»,}, (3.4.1)а систему уравнений (3.1.1) и начальных условий (3.1.3) запишемв виде одного векторного уравненияdg/dt^O (g), g(0) — q. (3 .4 .2 )Здесь правые части первого нз уравнений (3.4.2) имеют вид... r i eu i su i даі

которого г/.-Af хотя С>ы одно ш взаимных расстояний rtj при некоторомконечном значении времени /*е -/\, должно обратитьсян нуль, т. е. г„(1’, (/) - 0. Следовательно, потенциальная энергияV механической системы G... определяемая формулойпри І- (' обращается в бесконечность. Тогда в соответствии сзаконом сохранения энергии найдется хотя бы одна компоненгаскоростей движений тел М

где «/ — вектор, характеризующий начальное состояние системы6',., а переменные (х,. у„ г,) и (и„ v„ w,) ( i— 1. 2......... я) имеютпрежний смысл (см. разд. I). При этом вектор-функция if(/. q)представляет производную вектор-функцию

и непрерывна по < е [ —/*, t*] и функции T(I) - U(l)+h. Так какq

Следовательно, каж дая из перечисленных в условиях Предлбжения5.2 функций имеет ограниченную в R,~ производную повремени. Как известно, такие функции равномерно непрерывныв Rr. Что и требовалось доказать.Пусть движение £ (/, q) устойчиво Л~. Тогда согласно Предложению5.2 и предпоследней оценке (3.5.8) функция Q(t) ограниченаи равномерно непрерывна в R,~. Следовательно, функцияустойчива Jl~ (см. гл. II, Предложение 6.7). Таким образом,нз устойчивости Л~ движения g(t, q) следует устойчивость Л~функции Q(t).Допустим, что функпня Q(t) устойчива Л - , т. е. равномернонепрерывна и ограничена в R, константой.su p |Q ( / ) |= D < o o .Тогдаsup sup \ m JI Qjt) I = \frnj) < oo.

С учетом (3.5,6) нетрудно установить

Введем /n-мерные постоянные векторыи, (Л1,, Л/\, Vf,, /Vf.,,. . . , М„, М „ Л1„ Д{|, Мл,..., М„},|ігТогдаf_L -L .L _!_\Afj * Afj ’ Mt * Af,.........УИ„ * Aft ’ Af! ’ M, * Л1,...............M j 'f(t, P) = grad g -щ, g(f,

В силу оценок (3.5.8) для каждого р > 0, полагая б1^е.т 2!2Ві иtS - в т £/2(Д: -г2|/г|/п г), имеем p '( /( / f-M ). /(V2- f / ) ) 0 и р'(/(Л+- /). 1 (1г :-/)> < е для любых /,. еслн только р'(У(Л-гМ./(/:. t))

Q({) устойчива Л. Отсюда с учетом Предложения 5.3 получимдоказательство Предложения.Предложение 5.15. Если движение g (t, q) системы G,устойчиво Л , то1) постоянная энергии h системы отрицательна;2) существует «-последовательность {/„'} множеств времени/еУ ?,- такая, что1іш Т (/„) = — Л ; (3.5.15)ПXX)3) для каждого р> 0 мпожество видаRR(T) = {t\t^R~u }T(t) Ь Л |< е } (3.5.16)относительно плотно в4) для любого /> 0 не существует такого отрезка [/, / + /],что функция '/'(/) при всех f-f/] равна постоянной, отличнойот I h I, т. е.T(i)=s, s= co n st, s=j^|/i| (3.5.17)при условии, что вектор и отличен от нуля.Доказательство. Отметим, что первое из этих утвержденийизвестно (см., например, [127]). Однако мы докажем егов терминах устойчивости Л~ функций Т(1) и /(/). Пусть Л ^О .Тогда 2| T{i)-\h J ^2T(l) >0 для всех te=R, .причем inf T(t) =—Т‘> 0. Действительно, если Г°=0, то in! U (/) =0. Л это означалобы неограниченность всех взаимных расстояний r(j междутелами Ои Ot системы Gn. Последнее противоречит условиямПредложения. Итак, 'Г > 0 и 2Г® ^2[7’( /) + Л]. Интегрируя дваж ­ды предыдущее неравенство в пределах пт 0 до t, получим T t1—■■t(0)ts^I{t). Переходя к пределу при — со, получимlim /(/) = оо. Это противоречит условиям Предложения и дока-/ — позывает, что Л 0 п любого фиксированногомомента времени Ïœ.R,~ не существует такой моментвремени т е /? ,- , что т < t и |7(т)+А|0 и что \Т(і) + һ \^ гв для всех При этомв зависимости от знака принимаемых функцией T(l)~h значенийимеет место о.^но и только одно нз неравенств 2\T(t)-\-+ /i]^2«,! и 2[T(t)-\ һ]^2г„. Дважды интегрируя в пределахот t до /„ каждое нз этих неравенств и в полученных выраженияхпереходя к пределу при /—*— ос. получим противоречие с условиямиПредложение 5.15. Это и доказывает указанное выше положение.Рассмотрим последовательность таких положительныхчисел р„, чю lim вп - 0, и а последовательность {/.,} моментов

времени. Тогда по доказанному выше для каждой пары е„, /„найдется /,& /? ,-. что и ] 7 ( /я°)ч Л |< е „ . Если из /»', обладающихуказанным свойством. составим последовательность{/„“}. то. очевидно, {/„ } является а-последовательностью и для ееэлементов выполняется равенство (3.5.15). Этим доказываетсявторое утверждение Предложения 5.15.В силу условий Предложения функции 1(1), 1(1) и 2[T(t) \ h]изохронны R- и вместе с тем устойчивы Л~. Положимsup I/ ( / ) ] = / , . Как отмечено, 1, 0 и рассмотрим разность / ( / ; ) - - ./ ( / ,) , где /,. /2—произвольные моменты времени из R r . По теореме Лагранжа осреднем значении функции/ ( / , ) - / ( / , ) -2 [ Г ( < „ ) + Л] ( / , - / , ) . (3.5.18)где / ие [ / „ i ]. Оцепим эту разность:17 (/»)—/ ( / ,) | = 2 | 7 ( U I h\\tt- U \^ 2 ! ..Если для данного е положим / = / . ’» и выберем 1г так, чтобы11,—/ , |- I, то из последнего неравенства получим | 7*(/,?) -ь /г | ^— Л| — е. Это и доказывает, что для данного р множествовида (3.5.16) отпосителыю плотно в R..Последнее утверждение Предложения 5.15 докажем от противного.Допустим, что существует такой отрезок [/. ? + /] длиныI и действительно число ғ > 0 , что для любого момента времениt /1 имеет место равенство7 '( 0 + е = 0. (3.5.19)Обозначим через D, дугу g (ï^ t^ t-\-t, q) нолутраекторинg(R,~, q). В точках области D в силу интеграла энергия системыG„ и равенства (3.5.19) силовая функция U постоянна и равнаs—Һ. Так как силовая функция 0 системы G„ дифференцируемавдоль нолутраекторин f(Rf, q), то частные производныеâU/dxit ди/ду,, dUIoz, (/=1,2,..., п) существуют и равны нулю.Следовательно, в точках области D, выполняются равенствай (0 = const, ÿ((0 = const, z,(t) = const,где /е : ( /, / + / ) . С другой стороны, дифференцируя функциюТ(1) вдоль траектории f(R. , q), в точках области D, получимi« (0 = 0, ÿi(i) — П, ii(/) = 0 для каждого i=l, 2, л и / е ( < ./ +-Ь/). Тогда нз интеграла моментов (3.1.5) вытекает, что х —нуль-вектор вопреки условиям Предложения.Предложение доказано полностью.Предложение 5.16. Если движение g(t, q) системы G„устойчиво Л , то существует а-последователыгость {s„0} моментоввремени Iœ Rt , при которыхт (Sn) = — ft. (3.5.20)115

Доказательство. Пусть выполнены условия Предложения.Т 'гда. как изнестно, функция 2Т(1) осциллирует вблизисиловой функции U(t) в том смысле, чтоlim 2Т

Оператор /•>’, определенный в (3.5.21) однозначно, называетсяпроизводной функции т](|) в точке g —£°. Эту производнуюобозначим »i'(£)-Функция т)(£) называется дифференцируемой в области F,еслн она дифференцируема в каждой точке области F.Каждая из величин D, (3.5.21) определяется по правилуЛ 4< ?..ï........Ь - » . Ъ + М |« ........ 5 * ) - л « 1 .Ь ........ Һ)и , — i mftj ->оOfк совпадает е производной функции 71(5) по аргументу ç„ Эта величинаназывается частной производной функции ц(£) в точке1 - 1 ° по переменной | (.. Отметим известный критерий существования и непрерывностипроизводной функции многих переменных [62].Предложение 5.18. Для существования и непрерывностипроизводной функции т](5) в области F необходимо и достаточносуществование непрерывных в области F частных производныхфункции п(й> по всем ее переменным.Далее понадобится следующее свойство производной предельнойфункции последовательности функций многих переменных[621.Предложение 5.19. Пусть алана последовательностьдифференцируемых в области F функцийЛі (5), П, ® ........4. ( 6)........... (3.5.22)прон ^водные которыхЛі (I). .........^ ( s * . . ..непрерывны и сходятся равномерно в области F к функции £ ( |) .Нели последовательность (3.5.22) сходится хотя бы в однойточке области / , то она сходится равномерно в F к некоторойфуиипчи t](l), которая дифференцируема в области F и имеетпроизводную п '( |) . равную £(£), т. е. У (~) *(5).Отметим, что Предложения 5.17, 5.19 справедливы и в случаевектор-функции [41, 62].Предложение 5.20. Нели движение # (/, q) системы С..устойчиво Л , то каждая из функций Hg). T(g) и Q(j?) имеетнепрерывные ограниченные производные в точках полутраекто-1'ии £(Я , , q).Действительно,Г (g) ={2 И,х„ 2М,у,.........2Мяг„ 0 ,0 ...........0),T'(g)=[0, 0.........ОМ,о„..........Q'(g) ={2M,jc„ 2Л1,і/,.........2Af,2», 2 М,ии 2M,v„2 Mnw,XОграниченность и непрерывность указанных производных в областиg(R , , q) следуют из того, что Q'(g)--2g(t, q). a I'(g) и‘'(g) представляют движение g(i, q) по подпространствам.117

Рассмотрим множество Т, всех сдвигов движения # (/, q):! . {g(l *л' Обозначим через ф отображение, котороеперегодит каждый сдвиг g(t s. q) движения g{t, q) в функциюQ[g[t Hs, q) ]• Согласно определению функции отображение фпереводит множество У* па множество 1\ по следующему правилу

Доказательство. Пусть Q ( /) — непериодическая функция.Тогда согласно Предложению 5.22 отображение

Уравнение (3.5.27) имеет следующее частное решение:/ [g U ?)] — j’ sin (it — s) {Q [g (s f / \ q)] ~‘2h}ds-'rІH* j [g (Г, q)] sin / 7 H g (/’, q)] COS t. (3.5.28)Здесь положим Г— r, и учитывая, что т — период(?(/), вычтем из (3.5.28) выражение (3.5.26). Тогдафункции1 U (І ■т, ф] — I \g (*, q)] 35 {/ L? (т

Случай периодической функции T[g{t, q) | рассматриваетс яотдельно. Поэтому на протяжении этого раздела T(t) — непери::jчсч'кая функция.Предложение 5.27. Движение g(t, q) системы С„ устойчиво«7 и устойчиво 11 тогда и только тогда, когда оно устойчивоЛ и кинетическая энергия устойчива //.Необходимость Предложения очевидна. Докажем достаточность.Пусть движение g(t, q) устойчиво Л и функцияT\gV. q) I устойчива П. Согласно Предложению 5.1-1 движениеg(r. ) устойчиво Л . Тогда в силу Предложения 5.26 движениеg(t, q) h функция T[g(i, q) | изохронны R. П о этм у движениеg(i, q) устойчиво //. Что и требовалось доказать.Через Ф [ g (Ң -Г , (/1] обозначим функцию (/+ /*, q) l+ 2fth с учетом решения (3.5.28) представим уравнение (3.5.27) нвиден и я/ \g (/ Ь q\] + / [g (/*,

(3.5.28) получим, что lim 1[£г(г+^. < /) ] = /[ £ ( /,

тор функций и скалярных функций введем метрикиГт [«(/), V (0] = sup |и ( 0 - »(*){,т ,Л, [« (/), V (/)1 =» sup I и (t) — V (/) |..2. Отображение ц однозначно, непрерывнов метрике rt и каждое замкнутое в метрике гтподмножествомножества /•’„ переводит в замкнутое в метрике г, подмножествоДоказательство Предложения очевидным образом следуеті: ! неравенстваsup Q Ig (t-f- s, q)] — Q [g(t, q)J i < sup \g(t -f s, q) — g (t, q)].m ,tizRiПредложение 6.3. Если движение g(t, q) устойчиво Ли функция Q[g(t, q) J пепериоднчиа. то отображение «p есть гомеоморфизм,т. е.

— {.vc R, : s>up|lg(/-fs, q) — g(l, г /)|І О } , вложенное во множестіеКіво R*(Q), относительно плотно в /?,. Тогда, по теореме Бохнерадвижение g'(t. q) почти периодично. Необходимость П редлож е­ния 6.3 очевидна. Доказательство завершено.Предложение 6.5. .Движение g(l, q) системы 0„ периодичнотогда и только тогда, когда оно устойчиво JI~ и функцияT\g (f. q) ] периодична.Докажем достаточност ь. I Іусть движение g (/, q i устойчпво*7 и функння Г [£ (/,

Если при этих условиях f(t) ■ слабо почти периодическаяфункция, то /(;) почти периодична.В гильбертовых пространствах с фиксированным базисом{ej имеет местоТеорема [19]. Функция /(/) е С (Rlt М) является почти периодическойтогда и только тогда, когда скалярные функции00; (/) = !(/)-Сц являются почти периодическими и ряд ^ /»{/)*=■1сходится равномерно иа R, к функции |/( / ) ||г.Эти теоремы укалывают на необходимость проведения сравненияно возвращаемости функции и ее нормы, принадлежащихрл личным функциональным пространствам. В случае движенияс ;онечномерным фазовым пространством, порожденного динаs:;ческой системой, такое сравнение осуществимо весьма просто.При этом оно позволяет выделить основные классы движений.обладающих тем или иным свойством возвращаемости. по• : рищаемостп во времени их различных характеристик. Болесi >чно, движения системы (}., обладающие свойствам : равномернойвозвращаемости, являются изохронными с кинетическойіііергпеіі вдоль траектории этого движения. Этот факт показываетпоразительную общность энергетических построений в небесноймеханике н их удобства как в качественных, так и в кочествеиныхаспектах.В заключение раздела рассмотрим интегральное выражение(3.5.2> кинетической энергии. Если движение g(t, q) устойчі.воЛ . то существует такая а-послелоиательность (/.j, что'/(/„) = —h. Следовательно, для этой же последовательностиI } выполняются равенства (?(/„) = Q(0) и /(/») — /(0). Болеетого, согласно Предложению 645 множество Re(T) относительноплотно в к . Отсюда вытекает относительная плотность вR, множествR* (Q) {/(; RU Q(f)— Q (0) ;< н}./? ,(/)-(/6 нп —ң о) ! < »}.Таким образом, доказаноПредложение 6.6. Если движение g(t, q) системы G*устойчиво .7 . то функции Q(t) и /(/) регулярно возвращаютсяк их начальным значениям и соответствующие им множестваR,(Q), R.(I) относительно плотны в /?г •7. Минимальность по Биркгофу движенияи соизмеримость средних движенийПерейдем к некоторым общим законам сочетания прошлого• будущего режимов движения в задаче п тел.Пусть М -полное метрическое пространство с метрике' р.Функция множеств о называется мерой Каратеодори, если

для любого множества Л с М она определенна следующимиаксиомам и.1. оЛ 2» О, п0 ~О и существует множество положительной конечноймеры.2. Если АсгВ, то стЛг^оВ.3. Для любой последовательности множеств Л.сгЛ/ имеет местонеравенствоо U А, < У. о Ai.^ 7À4. Если р(Л. В) > 0 . то oA\JB=oA+oB.Множество А а М называется измеримым, если длямножества W такого, что oW7< o o , выполнено равенствоа Г = о WHA+ a W\ ( W[\A ).любогоИзмеримые по мере о множества называются а-измеримымимножествами.Пусть g(t, q) — динамическая система, заданная в пространствеМ, и о мера Каратеодори. Мера а называется инвариантнойотносительно динамической системы g (t. •). еслн для любогоо-измеримого А имеет место равенствоog(t,A)=cA (3.7.1)для всех Iœ R,.Пусть М — фазовое пространство движения в задаче п тел11 g (t. •) — система сс движений, являющаяся динамической системой.Положимо А =» . . . j dxjdjh.. ,dœ„ (3.7.2).4и обозначимС С са А = J \ . . . J dxxàyi. . . dm, (3.7.3)Atгде А )— область, занимаемая точками траекторийв момент времени /, которые при г= 0 занимали область А.Предложение 7.1. Фазовый объем сА является меройКаратеодори. инвариантной относительно динамической системыg(i, ■). Иными словами, он определяется соотношением(3.7.2) и имеет место равенство стЛ — аЛ„ где аА, выражаетсяформулой (3.7.3).Используя (3.7.2}, нетрудно проверить основные аксиомы меры.Инвариантность такой меры следует из критерия существованияинтегрального инварианта для системы уравнений (3.1.1).Напомним эту теорему [82].Теорема Л и у в и л л я. Произвольная автономная системадифференциальных уравнений видаЛШ^КЬ), / = 1 , 2 .........k126

имеет интегральным инвариант тогда н только тогда, когдаt-=iфункция 0(g) плотность интегралі.ного инварианта.Интегральным инвариантом (k-ro порядка) согласно П уанкареназывается выражение видаfj... Ù ( | „ L ........ Ы 4 Л . . . 4 * ,Ae ли имеет место равенствоff... f e g * )' ' A= f f . . . У Ө(6і. E»...... ! * ) < « * • . - 4 * (3.7.5)' a,для произвольной области Л фазового пространства М.Нетрудно проверить, что для задачи п тел плотность интегральногоинварианта 0(g) = 1, и равенство (3.7.5) выполняется.Пусть 8(1, 0.Построим следующие множества:Л0П А\ —Ло|, А0 Р| Л» ^ Aqt,. •., Д, .4'м —А>пп •..,•4o\i I Лот ■= Ло« .пг 1(./ .6)A, 11 А> = Ац, A i Г) Дч== А\», •. -, Ai (~) Ат Ат,- • •»-оА\! U Aim “ Alaс,Докажем, что оЛ„» — 0. Допустим, что ато не так и оА„=а,.По определению (3.7.7) g(l, Am) = g ( 0, g (0 , /L ,_,)) = Л ,„ . Следовательно,g(l, Лот)==/1іт+1 и я(1, А ь ^ — Ащ. Повторяй рас­127

суждения относительно множеств Л .... Аг,„, .... А„„ и учитываяинвариантность меры ст. получим£*, Л с.) = Л тоо, оЛ е«=оЛКроме того, по построениюЛа.П Л т - 0 , т = 1 ,2 -----Так как А^=зАтя., тоЛо«Г)Лтв>= 0 , т — 1, 2. ...Аналогично устанавливаетсяАіжГ\А)^’= 0 ,Следовательно,/ = * - Н , І4"2» • ■••. = а « .т. е. множества Л,. „ ( /и = 0. 1, 2, ...) взаимно не пересекаются.По третьей и четвертой аксиомам мерыио'■»^ [ Лл)ло - ^ ^Лягос = Ооіх. -- ^ .ПР--0Г7У ОЭто противоречит конечности меры множен а Л.Выберем определяющую систему окрестностей {А1 } пространстваМ и каждому множеству ДГП) сопоставим последовательность{ЛИХ}, построенную и,> (3.7.6). По докаченному вышеo.VI;^ - у. Введем множество М* - И Mi». Очевидно,Пмножество ЛГ о-тм ерим о и о.М — 0. Покажем, что всякая точка

Предложение 7.2. Движение g(t, q) системы G„ периодичнотогда и только тогда, когда его траектория g(R,, q) замкнутаи хотя бы одно нз его «-предельных и со предельных множествне пусто.Необходимость Предложения 7.2 очевидна, ибо траекториявсякого периодического движения компактна.Д о кажем достаточность. Предположим, что g(Rt, q) --'g(Rи Q) )! Для определенности примем, что U7( s i ,некоторой ^-последовательности {.’»} выполняется равенствоИ:п ,. •; q) — р и q). Это означает устойчивость II'и пня g(t, q). Предположим, что движение g(t, q) иепериодцчнои зафиксируем некоторое число в ;--0. Момент времениS. --R, определим так, чтобы 5, > / , и точка q,— g(su q) попалав е-окрестность точки с/, т. e. cf, 0 . ПОЛОЖИМ н,—— min{e/2, e (>( так, чтобы s2> hи точка q*— g (s?.. q) попала в е,-окрестность точки qt, т. e. q?G■~S( r,, с?,), причем 5 |к ,, •4 —j>fg( / ,• ' 7 < th, q), qh] > 0 . При этом также имеем нос.іедоыюtî, вложенных друг в друга лмкнутых шаров {S[e*.'/«J}- 5 [в, іу]=эі'[ғі, qt]^> ... -pSle*, ---- радиусы которістремятся к нулю быстрее чем е/2* стремится к нулю при к-*-оо.В силу полноты пространства R,., найдется единственная точкаq’(=R . принадлежащая одновременно всем этим шарам-Sfe*.

шествует такая a -последовательность {tk}, что p = ]im g (/л, q) .к—В силу устойчивости П движения g(t, q) найдется такая а-последовательность{s,}, что 9= Iim g ( s t, q). Рассмотрим последо-• -XXвательность точек {#(/», £(s,, Q))} имеет предел. Следовательно, множество{£(/-., g(ss,

Предложение 7.6. Еслн движение g(l, q) системы G„устойчиво Л , то кинетическая энергия T\g\i, о) j рекуррентна.Доказательство. Согласно П редложению 7.5 движениеg(t, Q) устойчиво Л и устойчиво //. Поэтому функция T{l)устойчива II. Вместе с ней устойчива // функция Q({) и множествоR.(Q) относительно плотно в R, для каж дого £ > 0 . Следоательно,множество Ri(g), содерж ащ ее в себе R,{Q), такж е от-• i сителыю плотно в R Тогда g(t, q) рекуррентно и вместе с.ним рекурреитна функция 7 [g ( i, г/)].1Ъ доказанного П редложения вытекает, что если движениего движения минимальна но Бпркгофу оі раннченн. Это о -a іает, что минимальность по Биркгоф у кинетической энергии> стемы п тел является необходимым условием устойчивости поЛ агранж у ее движения.Рассмотрим геометрическую интерпретацию устойчивого Л 'Л!.-'Жеи;:я планетиоГ: системы, прел зрительно иек:::очіш переменныех,. уь Zi, и,, Vf, при помощи инвариантных соотношении(3.1.4) н обозначив решение через ? (/. .}). По докачгн.;;омуьыше движение g(t. q) рекуррентно. Тогда для каж дого е > 0 с у ­щее івует такое /(р)>0. что лугаq) с точіюс-іьіо дог аппроксимирует нею траекторию g(R,, q). Т;ікж< пап іу геи т а ­кие А,G-Л’. что равенства l — k'l; буду г выполни ; ьеи с гочностьюдо г. При ■>i ом дуга . ^ ( ( b '/ s j / , , q) аппроксимирует траекторию;'-й планеты. Учитывая это и вводя средние движения 1 1 .= 2 л ./„лучим соотношение ssü * -f s,U »-j-.. . + s n£2n=0, которое эквивалентновыражению s îk.,-\-s:l i ••• -И-Д’-.- 0, где s, — целые числа,не равные одновременно. Гак как все kt~ целые числа, топары индексов і. / (іУ-і — 2, 3..........п) можно подобрать минимальныецелые числа si', s / так, чтобы si‘kt \ s .к -() и положитьвсе остальные s, равными нулю. Указанные равенства булутсохраняться. С казанное можно проделать относительно л ю ­бой тройки индексов (t, j, k ) . а такж е для любого набора индексовi — 2 .......... п. Таким образом, если движение планетнойсистемы рекуррентно. то средние движения ее планет, опрсдеіенпыес точностью до е, в пределах этой точности соизмеримымежду собой.В связи с рекуррентными движениями отметим теорему, принадлежащую Хильми [82J.Теорема. Если движение g(i, q) и фазовое пространствоR,,. рекурренгны. то минимальное множество g(R,. q) содерж итсяв подпространстве размерности ие выше m- 1.Эта теорема позволяет сф ормулироватьПредложение 7.7. Если движение g{t, q) планетной системыGn устойчиво Л~, то множество g(Ri, q) минимально ивкладывается в подпространство размерности ие выше чемт—2.131

8. Физическая интерпретация результатовОтметим основные результаты, полученные в даннойи изложим их физическую интерпретацию.главе,В работах Пуанкаре по качественным методам небесной механикии космогонии наиболее важное место занимает георнядинамических систем, обладающих интегральным инвариантом..Дальнейшее развитие теории динамических систем исходи. изобщих позиций и нередко не была связана с конкретным , проблемамимеханики.В связи с этим уместно вспомнить слова М. Ф. Субботина:«В небесной механике особенно велика опасность подмены естественнонаучныхпроблем чисто формальными математическимизадачами, примеры чему мы имеем и ь прошлом и и настоящем.Математические орудия должны быть здесь подчиненыцелям, которым они служат» [75, с. 76J.И злагая в настоящей и предшествующей лавах общую теориюдинамических систем в применении к задаче // тел, мы пыталиськак-то воспользоваться гладкостью искомого решения ивозможно полнее использовать априорные сведения о движении,вытекающие из законов сохранения. Такие попытки ecu гневны,ибо они следуют из того факта, что уравнения движения получаютсялибо из второго закона Ньютона, либо из принциповмеханики, в которых участвуют вторые производные по времениискомых величин. Учет этих факторов в некоторой степей и облегчаеткачественные исследования движения и задаче •. тел.Сформулируем основные результаты в виде отдельных критериев.На вопрос, при каких условиях движение системы п тел можноисследовать методами теории динамических систем. .ечаетК р и т e р ий динамич е с к о и с и с iемы в системедвижений /I тел. Система движений п тел {#(/, ч) |< /еeiMczRm) является динамической системой тогда и только тогда,когда вдоль траектории £ (# :. q) каждого из движении (;>(/,

энергия равна величине постоянной энергии системы, не менееУстойчивым реж имам движения .любой механической сисге-Движение системы G» рекуррентно тогда и только тогда, когда• го движение устойчиво по Л агран ж у в прошлом.Этот критерий позволяет обобщ ить теорему П уанкаре К а­рл геодори о возвращ аемости движ ения в фазовом пространствеинвариантной относительно динамической системы мерой.Обобщение формулируется следующим образом. Если множ' стфазовогопространства R. системы п тел, представляю щ еебьединенне отрицательных нолутраекторий {g{R~, q)\q^A,0< Г ц -4< оо}, ограничено и инвариантно относительно динамическойсистемы движений 6’„, то мера и мощность неустойчивыхпо Пуассону движений системы G.. равны нулю.IÎ связи с вопросом об устойчивости по Л агран ж у движениясистемы п тел отметим сущ ествование ограниченных в прошломи неограниченных в будущем, а такж е неограниченных в прош-; ом и ограниченных в будущем движении системы G„ ]4, 71].Следует подчеркнуть, что ограниченными в прошлом и ограни-■ иными в будущ ем называю тся такие движения системы •• тел,когда взаимные расстояния между ее телами ограничены по совокупностипри !-уоо { /-* --по). С ледовательно, устойчивые ноЛ агранж у движения являю тся ограниченными, хотя огрлничен-1* движения могут •* не быть устойчивыми по Л агранж у. Поэтомунз критерия устойчивости но Л агр ан ж у движений вытекаетследующий вывод: в классе ограниченных движений ситемып тел одинаковые прошлые и будущ ие режимы имеютг: йчивые по Лагранж у и только устойчивые н»> Лагранжудвижения.К ак и шестно, вопросы о взаимных связях движения механическойсистемы с ее кинетической энергией ншимают нейтральнеем е с т : качественном анализе финальных режимов днпжения.В этом плане здесь получен следующий ОСНОВНОЙ результат:если движение системы п тел устойчиво по Лагранжу впрошлом, то это движ ение и кинетическая энергия системы кикфункции времени взаимно сравнимы в смысле возвращаемостим iii к их начальным значениям. Г . IM образом, iпая сравнимость по возвращ аемости движ ения и кинетической■нергнн системы п тел является необходимым уел он и-е м ее устойчивости но Л агран ж у.Установлено следующее: если движение системы п тел устойчивопо Лагранж у, то постоянная энергии системы отрицательпа;множество моментов времени, в которых кинетическая энергияи постоянная энергии системы по величине отличаются неболее чем на данное число е > 0 , относительно плотно на осивремени: множество моментов времени, в которых кинетическаячем счетно.M'J, как правило, отвечаю т стационарные (экстремальные) зн а­чения ее кинетической энергии. В задаче п тел устойчивые поЛ а.р ан ж у движ ения характеризую тся такими свойствами кипе-133

тичсской энергии, как ограниченность и «минимальность».А именно, если движение системы п тел устойчиво по Лагранж у,то ее кинетическая энергия ограничена и минимальна п Виркгофу.Поэтому ограниченность и минимальность по Биркгофукинетической энергии системы является н с о б х о д и м ы м у с-л о н и е м ее устойчивости но Л агран ж у.Нее перечисленные результаты остаю тся в силе для болееузких классов движений, таких как почти периодические (условно-периодические)и периодические. При этом рекуррентные движениясодерж ат указанны е типы движений.Если принять на основании П редлож ения 3.1 устойчивую поЛ агран ж у в прошлом модель Солнечной системы, то для этоймодели имеет место следующий окончательный вывод: СнижениеСолнечной системы рекуррентно и равномерно по временивозвращается в ее начально' состояние с любой заданной напередстепенью точности, ее кинетическая энергия ограничена иминимальна по Биркгофу.В связи с этим примечательно высказы вание Л . Эйлера 196,с. 447]: «. .В мире не происходит ничего, п чем не был бы виденсмысл какого-нибудь макс- мума или минимума, i оэтому нет никакогосомнения, что все явления мира с таким ж г успехомможно определить из причин конечных при помощи метода м аксимумови минимумов, как нз самих причин производящих».И далее: «Так как тела в силу инерции сопоставляю тся всякомуизменению состояния, то и они, если только будут св ;б'>дны, будутнасколько возможно меньше подчиняться действующим силам;отсюда вытекает, что к порожденном движении эффект,произведенный силами, должен быть меньшим, чем если бы теладвигались каким-либо иным способом* [96, с. 593].

Глава четвертая•Закономерности вращения Землии орбитального движения телСолнечной системыСолнечная система содержит наряду с материальными точками— Лупой, Солнцем и большими планетами — абсолютнотвердое тело — Землю. Ниже в рамках этой модели рассматриваютсязакономерности орбитального движения небесных тол нвращательного движения Земли. Вводятся основные системыкоординат, в которых исследуется вращение Земли, кинематическиеи динамические уравнения поступательно-вращательногодвижения этих тел. Для удобства анализа используется различнаяформа записи дифференциальных уравнении. Качественноеисследование движения тел Солнечной системы основамо насьойстиах силовой функции ньютоновского взаимного протяжения.Поэтому приведены основные известные, а также некоторыедополнительные свойства силовой функции адачи. Описан процессаппроксимации силовой функции притяжения Земли потенциаломпритяжения системы жестко связанных между собой'.•стернальных точек, число которых опретелнется зад; иной точностьюаппроксимации. Такая аппроксимация позволяет вос-I..ь чонаться методами теории динамических систем, указаннымив гл. II, III и примененными в задаче п тел, для исследованияСолнечной системы. Согласно теореме Арнольда регулярнуючасть множества рекуррентных движений тел Солнечнойсистемы составляют ее условно-периодические движения. Патом основании далее проводится классификация компонент репняя уравнений движения тел Солнечной системы как функцииьремени. В этих классах функций описывается нределыічи маоà ство решения уравнений движения тел Солнечной системы, инем выделяется м-лредельный режим вращения Земли. Особовыделен процесс выхода на указанный предельный режим, порождающийвековые вариации элементов вращательного движенияЗемли.Основная цель настоящей главы заключается в исследованииисковых вариаций элементов вращения Земли и определениипериодических вариаций элементов вращения Земли черезФундаментальные постоянные процессии и нутации земной осн.Рассматриваются также элементы динамики и эволюции движенияСолнечной системы в целом и изолированной от нее механическойсистемы Земля—Луна в связи с анализом векового135

удаления Луны от Земли и регрессии лунного узла. Изложениезаканчивается исследованием условий выхода траекторий телСолнечной системы к положению неизменяемой плоскостиЛ апласа.1. Выбор систем отсчета. Кинематические уравнениявращательных движений ЗемлиBiu.u'M ннерциальную правую прямоугольную систему координат0 '£ i|£ с началом в центре масс ()’ Солнечной системы ннеизменными направлениями осей. Совместим координатнуюплоскость О’сц с неизменяемой плоскостью Лапласа так, чтобыось 0 ‘£, являющаяся нормалью к чтой плоскости, была направленано вектору кинет;, некого момени Олнгчной системы мгносительноючки О'.Введем лве кешзгоаы системы OtX’Y’Z' н OXYZ, гелиоцентрическуюи іеоцентрическую, с началами О, и О в центрах массСолпиа и Земли соответственно, а их координатные оси нап равимпараллельно одноименным осям инерциалыюй системыo 'ln l-Введем систему Охуг главных центральных осей инерцииЗемли, причем ось Ог соответствует полярной. Систему Оху г будемназывать собственной системой Земли. Такое название относять системам отсчета, жестко связанным с рассматриваемымобъектом [11, 70].Наконец, введем в рассмотрение квазлкенигову систему0 .\ У У. также с началом в центре масс Земли. Ось ОУ направленапо вектору К кинетического момента вращателиного двнжеіЗемли, і-:ь ОХ перпендикулярна плоскости осей OZ, OZи и травлена но положительному направлению поворота от OZк OZ [2(5, 28]. Система от« іета (IX) у. в отсутст. не внешнич силобращается в кеннгову.Взаимное положение осей приведенных систем координат собщим началом О задано посредством углов Эйлера ( 1.2.1) —(1.2.3) (см. рис. 1.4, a -d).Заметим, что углы if', 0' (из числа переменных Дндуане) описываютпрецессию и нутацию вектора К. определяя ориентациюьоордипа і ной плоскости ОX < относительно системы отсчетаОХ ) Z.Введем матрицу А, направляющих косинусов координатныхосей систем OX YZ и Ох у гcos (.г, А’) = ах, eos(.v, Y) — bx, cos (x,Z) = cx,cos (у, X) = at, cos(y, Y) = b„, cos {y,Z)--rv, (4.1Л)cos(z, X)-=at> cos(z, Y) =bz, cos(z,Z)=ct,гдеüx= cos tfcos q sin ifsiri

ау — cos г|г sin ф — sin if cosф cos П,by —— sin if sin t) - cos 'J' cos tp cos 0, r„ =* cos ф sin 0, ( 4.1.2)Oi == $in if sin 0, b,= — с о if sin », сг — cos 0.Обозначим Л, и А, матрицы направляющих косинусов координятныхосей систем ОХ) 2 и Охуг, OX) Z и OXYZ соответственно:cos(x, X) cos (х, Ÿ ) -$х, cos (л-, Z) = yXicos (y, Xl =« cos (X, X) — «x, cos (X, У ) - bx, cos (X, Z) - cx>co.s (Tr, A ) = cy, ccs (Y, У) - by, cos (F, Z) = rY,cos (2, X) = cz, cos (Z, У i = bz, cos (Z, Z) = Cz.(4.1.3)Элементы матрицы .1. могут бить получены из соотношений( 1.1.2) непосредственной заменой ( 1.2. 1) углами ( 1.2.2).Элементы матрицы Л8 также определяются из соотношений(1.1.2) заменой q , if, Ө на

Из соотношении (4.1.7), в частности, вытекаютдля углов Эйлера (1.2.1):Ъ ‘!.х + ( W + Ъаг« А - Ь Р Л - г VAвыраженияа жС V + РхСУ + УтС7

кинематических уравнений вида [31, 32Jр — --- -- sin Ф Sin Ө ; ----cos «P +didt+ “ “ ( a x c X + f V 'y ' l ï / z ' 4 — - « jr,dtaidxj? - . n dG . - . (-1.1.14)q = —L- cos «j1sin 0--------sin ff -dtdt4 ~ ~ (

Подставим выражения (4.1.21) в левые части (4.1.14) и разрешимих относительно скоростей изменения углов (2. 1.2):rfif қ ; sin* ф , cas» ц , ). (4.1.25)Пусть а угол между К и w. Запишем с учетом условия(1.3.1) выраженияcos п — К • Аи)=='- [ (А рг-\-В()г • Сг' А ш ]> 0 ,cosÜ = К ■e/K = С гШ. > 0, (4.1.26)cos^f= to • e/a>=f/ci> > 0.Отсюда следует, что0 < а < л / 2 , 0

т. е. во все время вращения Земли углы у, Ө, та остаются острыми.Проводя оценку разностейeos*a—cos"0=/C~ 1(a-î{(Ap1-\-Bq2)z-\-Ctr2[ {2А—С)р'-\-+ (2 Æ -6 ’) < f l} > 0 ,cOS^O—cos*7= [ (С— А')рЧ-(С! B') q'~] > 0с учетом (4.1.26), (4.1.27), нетрудноубедиться в справедливо- ^ / ч zсти неравенства(4.1.29)Величины (2/1 —С), {211—С),входящие в (4.1.28). положительны;-«то вытекает из свойств главныхцентральных моментов инерцииЗемли (4.1.15).Соотношения (4.1.29) покалывают,что полярная ось инерцииОг и мгновенная ось вращенияЗемли располагаются по разныестороны от плоскости, проходя- Рис. 1.1. Схема расположения осейщей через вектор К перпендику- 0г- “ • клярно плоскости векторов о> ие . Причем такое положение имеет место во все время движенияЗемли.Рассмотрим смешанное произведение векторов е., и К[е.е# 1 -К = (Л —А)рдФО. (4.1,30)Очевидно, что для лниамичсски симметричной Земли (4.1.19)оно равно нулю и указывает на компланарность векторов ег, в>н К. Для динамически асимметричной Земли (1.1.18) произвеление(4.1.30) отлично от нуля, если только р ф 0,

функции Солнечной системы, затем сформулируем некоторые еедополнительные свойства, необходимые для исследования и решениязадач общей теория вращения Земли.Тела Солнечной системы — Солнце О,, большие планеты Ох,Ог, •.., 0*-*, Луна 0»_, и Земля Ок с массами Ми Мг, ■.., Мквзаимно притягиваются по закону Ньютона. Их взаимодействиеописывается силовой функциейk k1 7 - i S S '* 7*/- (4 -2-п/>=іПо условию массы Ми Мг, ___ Мк , внешних по отношениюк Земле тел сосредоточены n их центрах масс Ои Ог. Ок-,соответственно. Поэтому функции L fj с индексами i- j- -1, 2,..,А— 1, ІФ/, входящие в сумму (4.2.1), имеют видММ.Un = G , (4.2.2)rHгде G постоянная тяготения. Гц— расстояние между точкамиОи О}.Слагаемое UkS суммы (1.2.1) является потенциалом тяготенияЗемли (геопотенциал) :{ œ а \ пU » - GMèM j 1- V - M Рп (cos X/) Jn +1 \ r» /»

Коэффициенты разложения функции UK! в ряд (4.2.3) выражаютсясоотношениями [53, 109]Jn = —■ 1 f JГ = - 1 Г'-птMal- .! I£ VС — . 1 Г*->nniМав J(я - ту.prnPnm (cos X) cos rrikdV, (4.2.6)prnPrm (cos X) sin тМҮ,где г, Я, х — координаты текущей точки объема V Земли.Считаем, что плотность р(г, 'к, х) является интегрируемойфункцией координат г, х и обеспечивает существование тройныхинтегралов (4.1.19) и (4.2.6).Ряд (4.2.3) в каждой точке пространства вне области, ограниченнойсферой St радиуса а*, сходится абсолютно и равномерно.так как верна оценка [24. 39JЦТ, I - в - ( - * Y ( 1 - . (4.2.7)rki \ roj / \ i )Здесь W, выражает сумму остатка ряда (4.2.3), начинающегосячленами с номером / + 1, т. е.W, GMkM,Ж I в,- \ЧУл — I Рп (cos X)Jn Ьп. 1 « I '*/ /*Х) И ^ \ ^.- 2 ’ 2 ' ( 7 М рп (cos X) (Спп cos nù-i ■Srm sin rn/.j)n■й-l mr-1 Г>!і(4.2.8)Пусть £(, T|(, C, и Xi, Ki, Z, - координаты центров масс О..üj, ..., О* тел Мі, Мг......... Af* в инерцнальной 0*^г)ь » кениговойОХУ7, системах отсчета соответственно. Кениговы координатытела Mi через его инерциальные координаты равныXi=li~U У*=т].— Л- (45.9)а его геоцентрические координаты —Xi - ахХ i -f- fixYi + ү%Zi,yt - ayXt ~ fl#Yi r YyZt,f fcVi f yJi- (4.2.10)Выражая расстояние rl} через инерциальные координаты телЛ1„ Mj и используя соотношения (4.2.2), (4.2.3) и (4.2.10), сило­143

вую функцию U (4.2.1) можно представить п виде функции отпеременныхЬ, т)і* Çi, t , ф, 0 (» = 1 , 2..........k). (4.2.11)Если использовать формулы перехода (4.1.8) от углов Эйлера(4.1.1) к угловым переменным (4.1.13). (4.1.14), то силоваяфункция І будет зависеть от переменныхh, TU, if, ч Д (i ~ 1 .2 .......... k). (4.2.12)Кроме аргументов (4.2.11) или (4.2.12) силовая функция Uсодержит некоторые параметры, так как функции (3.2.2) зависятот масс .Vf, тел, массы Л/А и коэффициентов разложения(4.2.6) ряда (4.2.3). Последние выражаются интегралами пообъему I Земли (4.2.Ü), зависящими от распределения плотностир.Силовая функция V как функция переменных (4.2.11) (или(4.2.12)) и параметров обладает рядом свойств. Сформулируемте из них. которые нами будут использованы.Пусть всюду на действительной оси времени R,— о о < / < о о (4 .2 .1 3 )взаимные расстояния rv между точками 0 „ ограниченыснизу0 « н , < г „ (i¥=j— L 2......... А— 1) (4.2.14)и точки Oj (/—I, 2, ..., к— 1) являются внешними точками лросраиства относительно объема V Земли так, чтоae< a v *£rkl, (4.2.15)где a,j (i¥=j= 1. 2,..., к) — некоторые константы.Условия (4.2.14), (4.2 .1 5 ) исключают соударение тел рассматриваемойсистемы.Еслн выполнено условие несоударяемоети, то силовая функцияСолнечной системы обладает следующими свойствами.Свойство 1. В каждый момент времени / в области(4.2.13) силовая функция U конечна, непрерывна и однозначнакак функция всех ее переменных (4.2.11) (или (4.2.12)) и параметров.Свойство 2. В каждый момент времени I в области(1.2.13) силовая функция I сколь угодно раз дифференцируемапо любой ее переменной (4.2.11) (или (4.2.12)) и у т и частныепроизводные конечны, непрерывны и однозначны как функциикоординат и параметров.Обозначим Qu Q,, ..., Q. главные векторы сил ньютоновавзаимодействия тел Л/„ приложенные к их центрам массО,, О;..........Ок; a Q — главный момент сил притяжения Земливсеми внешними телами относительно центра масс О.Свойство 3. Векторы Q,. Qj, ..., Q, и Q в системе144

имеют компоненты (i==J, 2.........к)Q^— ôU/d^i, Qir]=âU/() т)(, Qa^àU/dî,uQi— &xQx~ f

Из соотношений (4.2.21) при помощи (4.2.20), (4.1.10) получимeu dU cos 0j ■sintf SUд(• dUд(( sinô décos *J-,sin if (4,2.22)£Имеет место такж е следующее:Q x Æ c o s O ' - ^ - ) — L - , (4.2.23)dv \ дф dif5 I sino[Q-^ (sin 0 cos 0' 4- COS lj3 cos 0 sin 0') ;+ % sin ï roS 8 Sin 0-1 — - f . rte 0' + — ■rtg 0.Переходя к установлению дополнительных свойств силовойфункции Солнечной системы, предварительно рассмотрим вопрособ аппроксимации геопотенциала — силовой функции притяженияЗемли потенциалом притяжения системы жестко связанныхмежду собой материальных точек. Эта задача являетсяобобщением известной задачи об аппроксимации геопотенциала,содержащего первые три главных члена, силовой функцией двухнеподвижных центров [19. 88] с комплексно-сопряженными массами,расположенными на некотором мнимом расстоянии.Рассмотрим геопотенциал, представленный рядом (4.2.3) попол и ном а м Лежандр а :Ur. (Г) ~ j 1- 2 f рп (cos X) Jn +00 п / ar \п- 2 2 — Ч Рпт(cosy) [С„.. co s/лХ Ь s„.., sill яг/.],(4.2.24)где точка Р со сферическими координатами г, /. к является внешнейточкой области S«.Коэффициенты (4.2.6) геопотенниала (4.2.24) определяют положениецентра масс «и выражают моменты инерции Земли второгои более высоких порядков [27, 28]. В частности,/ о = = 1| ' i — 2 в ~—’ 0 , С 11 = = .¥в= = 0 , (~‘ \ г = = Уо 0 ,J, - (А + В — 2С)/2Мое, С23 = (В - А)/Ша'Е, (4.2.25)S„ - D/Mal:, Са - Е!Ма% Sts = П2Ма%Н 6

где л:с. уо, z„ — координаты центра масс О и D\ Е, F — центробежныемоменты инерции Земли (4.1.20) n системе Охуг.Предположим, что с заданной степенью точности требуетсяаппроксимировать ряд (4.2.24) силовой функцией притяжениясистемы материальных точек А„ Аг. , А, с массами т„ т2....___т., жестко связанных между собой и фиксированных относительносистемы отсчета Охуг или, что то же самое, относительносистемы отсчета Or't.%.Условие связи между телами Л(, А} записывается в видеI,— \AiA) \ = const (i, j — 1, 2, ..., s). (4.2.26)Пусть в системе Оглх материальные точки А, имеют координатыг/, У, %' и Л|— расстояние между точками Л и Р. Тогдатело А, в точке P(r, А, х) оказывает действие с силовой функциейLe =* G = G g [— )Прп (cos я). (4.2.27)ҺI T \ rЗдесь x — угол между радиусами-векторами г{ и г. Запишемвыражение полинома Р„ [24, 73]:Р,Х(cos K l) = У, Т ~ 7 ~ Т 7 рлт (COS X) Рщп (COS X,') COS (À — A/).(л + яі)!Введем обозначения•/n ^ Pnù (COS X ),(4.2.28)C run = ~ / ш (cos X') cos mk'i, (4.2.29)(л 4- m)\Snm = 2 yn~ m\[ Ptwi (COS X') Sill Ш/чдля всех 1.С учетом обозначений (4.2.29) соотношение (4.2.28) внесемв выражение силовой функции (4.2.27)Li - G *j- 1 1 - g ( - 7 f pn (cos X) J‘n +l n-ï\r y 2 ( “7 ) 1>nm (co£ x- lCnm cos mA +n=i nt 1 'sin m^ \ •(4.2.30)Если на расстояния r ' наложены дополнительные условияг,'= ик, то поведение и область сходимости рядов (4.2.24) и(4.2.ІЮ) будут совпадать [30, 39].Суммируя соотношения (4.2.30) по индексу /, получим выра-147

женне силовой функции притяжения системы материальных точек4 Ст f 00 а п \ п' U‘ = Li = ~ Л* - 2 1- f ) П" (COS *> J« +Здесь°° ’ n - \ n- V 2 ( — I /J*n (cos X) [СЛВІ (s) cos rrik 1- Slun sin nù.\ .П ғ ~ '\TTV- IM (s) “ 2 (s) - 2fr=*l /=1Cur, («) = ^ 5 n (•■>) = 2ft-1 Д- 1(4.2.31)(4.2.32)Остаток W’»(5) ряда (4.2.31), аналогичный выражению(4.2.18), оценивается следующим образом [29,93]:I W„ (s) I < i ~ Ç 11 - f . (4.2.33)Массы пи н координаты Я/, х / рассматриваемых точек А, выберемтак, чтобы первые 2s -f 1 коэффициентов (4.2.32) ряда(4.2.31) определялись из системыM (s) = m, 4- m2 4- . . . 4- nis = .Vf,y, (s) mxJ\ f r n j\ 4- . . . 4- nuA MJUCu (s) = m,C'u -f msC \ + ... 4- mtCsu = MCU, (4.2.34)S u (s) — -I- mSf, 4- . . . 4- m ,S‘u = M S U,Г,у (s) = j- nuI ’/ г . . . , tiisl */ — АП .y,где в зависимости от числа 5 символ Г совпадает с одной избукв J, С, S.Совокупность (4.2.31) содержит 2s4-l равенств, в правых частяхкоторых фитурнруют коэффициенты 2i-4" I первых гармоникгеопотенциалаЛи ^мі» ''iii *^*> ^*ь Sîb •• • « I /у- (4.2.3.))Как известно, коэффициенты гармоник геопотенциала принимаютдействительные значения и можно считать, го п осл е­довательность (4.2.35) задана своими числовыми значениями.Полагаем, чтоnii = M/S. (4.2.36)148

Тогда первое уравнение системы (4.2.34), из которого следуетр ав ен с тво массы Земли сумме масс т, жестко связанных м а ­т е р и а л ь н ы х точек А, обращается в тождество. Остальные уравне н и я системы (4.2.34) перепишем с учетом (4.2.36) и (4.2.32):Pi 0*i) + Pi (т -) "f- • • • + P i (T*) = Л .p u ( T ^ C O S /.^ Pn (T2)COSAj i- . . . -J- P ii ( t s I cos Xj — С [i,pu (-t,) sin АІ 4- Pu ( t2) sin Aj f . . . + P n (xt) sin К = Su,Рг (*i) + P* (тг) + • • • + Рг (т.) = Л ,Я2, (t,)cosA, I- P 21 (T2)cosAi + . . . 4- P 2I (tJco sâ* = CÎ,,Рг, (TjisinX’i 4 Р „ (То) sin AÎ 4- . . . 4-P *1(T,)sinXi = S j1,(4.2.37)Рц (ті) Hi "Ь P‘JгдеИ» + • • • Ь Pij (т4) ps = IV,Xi] => co s Xi (/= 1 ,2 ............. .s). (4.2.38)a переменная ци выбирается в зависимости от соответствия междуГ и ]. С. S, т. е.1 JРп =* со*Ая ~ Г - с•‘■in АпS(п -'1, 2,..., s).По известному свойству полиномовобласти (4.2.38), т. с.Лежан ф а, заданных всправедливоР. (т() 4*Рі(тг) 4* ••• 4 -Pi (т.) (4.2.39)для всех i's?0.С другой стороны, согласно уравнениям (4.2.37), где J,'—— AS, C1I/ = C ,,S , Г а = 1 ’:5, и условию (4.2.36) имеемP i(t,)4 -P ,( ts)4- . . . H -P,(t. X / i». (4.2.40)выпол­Сравнивая (4.2.10) с (4.2.39), получим, что (4.2.39)няется при условии(4.2.41)Л.ія коэффициентов гармоник геоиотенцнала Uh верна болееоощая. чем (4.2.41), оценка [81, 113, 124J (рис. 4.2):ly. | < n - ', |C .m| < rt- 'f |5 . ж| < п - ' (п=], 2, .. ). (4.2.42)140

У /У ІУ J f ЛРис. 1.2. Изменение коэффициентов С пп, ^пві б зависимости от их порядке /IТогда оценка (4.2.39) норна всюду в области (4.2.38), и условие(4.2.36) выбора масс допустимо. Остается показать, что система(4.2.37) имеет хотя бы одно решение, которое выражает координатыположений точек A i на сфере SK.Обозначим через DB компакт, представленный декартовымпроизведением m релкол:П - [1, 1 ],Х [—Л, Д І і Х І - К 1 ІгХ . . . Х [ —я, Л I.,Fs — непрерывное отображение, заданное левыми частями системы(4.2.37).Согласно теореме о непрерывном отображении компакта[41, 44J отображением F, компакт D, переводится в компактF., 2s-Mepnoro евклидова пространства, т. e. F,{Dt) — E„ В силуструктуры уравнений (4.2.37) н оценок (4.2.42) нетрудно показать,что точка с координатами (У/, С ,/, 5 , , ', . . . , Г'„) являетсявнутренней точкой компакта Е.. Поэтому в компакте D существуетхотя бы одна точка d, с координатами (Я,', уЛ\ лг/. . . ...., х / ) . которая является прообразом точки е0 Для отображеният. e. F.(do)— e,.Разрешим систему (4.2.37) и полученные значения и , у/(i— 1. 2, ..., s) подставим в выражение коэффициентов гармоник(4.2.29). Последние с учетом условия выбора масс пи(4.2.36) внесем в выражение (4.2.31) силовой функции Г.. Притакой аппроксимации будут сохранены 2s-J-1 обобщенных моментовинерции, в число которых, в частности, входят масса ивеличины (4.2.36) для Земли [39].Если в точках сферы с координатами А/, удовлетворяющимиуравнениям системы (4.2.37), поместим массы т.. то силоваяфункция притяжения жестко связанной системы матери-150

альных точек Л, аппроксимирует геопотенциал (4.2.24) с точностьюдо г :\UB- V*I = I - WHs) (s) I < I W m I -f+ |V fW(* )|< 2 G -y ( ^ - j “Sl ( l - (4.2.43)Эта оценка является следствием (4.2.19).Следует отметить, что число s материальных точек Л ( в(4.2.43) выбрано произвольно. Если устремить к бесконечности.т. е. увеличить число точек Л(, то согласно (4.2.43) последовательностьсиловых функции U, (4.2.3) системы материальныхточек А{ будет сходиться абсолютно и равномерно к силовойфункции Uк (4.2.2) притяжения Земли во всех внешних точкахсферы радиуса аЕ с центром в точке О.Сформулируем этот факт в виде следующего свойства потенциалаU£, являющегося составной частью силовой функцииСолнечной системы.Свойство 4. Потенциал U* с любой заданной степеньюточности с > 0 можно аппроксимировать силовой функцией системы.состоящей из конечного числа материальных точек, сосредоточенныхна поверхности сферы радиуса ав с центром вточке О и фиксированных относительно нее. При этом процессаппроксимации гсопотенциала Г, силовой функцией притяжениясистемы материальных точек Л ь At, А. сходится абсолютнои равномерно с ростом количества 5 материальных точекЛ, (s->со) в каждой точке пространства вне сферы S*.Силовая функция V Солнечной системы янно не зависит отвремени /• Однако входящие в него переменные (4.2.11) и(4.2.12) вдоль решений суть функции времени I. Поэтому возникаетвопрос о свойствах U, рассматриваемой как функция временяв области Ri (4.2.13). Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотримкенигову гелиоцентрическую систему координато л ' у г .Предположим, что гелиоцентрические декартовы координатыцентров масс тел М, Солнечной системы являются ус.; >: нопериоднческимифункциями времени /, заданными всюду в области(4.2.13). Справедливость этого предположения в случае,когда имеет место теорема Арнольда, показана в следующемразделе.Силовая функция V и ее частные производные любого порядкапо каждой из переменных (4.2.11), (4.2.12) содержат углоныепеременные (4.2.2), (4.2.3) как аргументы тригонометрическихфункций. Тогда на основе Свойств 1, 2 н Свойств условно-периодическихфункций силовая функция U вместе со всемие«- частными производными по переменным (4.2.11) (4.2.12) в результатесуперпозиции представляет собой условно-периодиче-' кун функцию времени t. определенную в области (4.2.13). Этотфякт следует нз оценки (4.2.11) теоремы о суперпозиции услов-151

но-ііерищ,нческнх функций (см. Приложение) и структуры функций( 1.2.6), (4.2.7).Свойство 5. Силовая функция и ее частные производныено переменным (4.2.11) и (4.2.12) вдоль решения являются условно-периодическимифункциями времени I, если таковыми являютсягелиоцентрические декартовы координаты центров масстел Солнечной системы.3. Динамические уравнения движения телСолнечной системы и их первые интегралыПусть {v,} поле скоростей тел О,, {v} поле скоростейвсех точек Земли, радиусы-векторы которых обозначены {г}.Тогда количество движения I, тела О, равно1(= А [4у,-, (4 .3 .1 )а количество движения 1=1» и кинетический момент К вращенияЗемли определяются интеграламиI = 1pvdV’, К — i n [rv ]dV. (4.3.2)vvЗаконы изменения величин (4.3.1), (4.3.2) определяют уравнениядвижения тел Ot (t=l, 2......... k) Солнечной системы-.dlJét=Q„ dKJdt— Q. (4.3.3)Проекция второго из уравнений (4.3.3) на координатные осисистемы Охуг дает динамические уравнения Эйлера вращенияЗемли [30. 31 ].d p s> п / Л' dll ,Л sincr. . dU —А — [С - В)с/г = —=- - -гг- cos Ө )-----2-4---- =- cos ф,di \ дф Зф / sin 0 дӨВ 'ÈL }- (д — С) пг =* [Ш- — М - со? o') -------Ш- sin ср, (4.3.4)di \Э'Г ^ / sin 0 д0С ■— Ь (B— A)pq = ^= r .dtctyЗапишем динамические уравнения вращения Земли в переменныхАндуайе (4.1.13), (44.14). Рассмотрим уравненияdKxldt Qx, dKy/cU = Qy, dKzIdt -Q z , (4 .3 .5 )полученные проектированием второго равенства (4.3.3) на осисистемы OXYZ. Подставим в соотношения (4.3.4) выражениядифференцируемых величин/Сх = A’ sin ф' sin 0', Кү — — KcostJ)’ cosô', Kz - K cos O'(4.3.6)152

и разрешим их относительно скоростей изменения переменныхАндуайе (4.1.13)■Щ- = azQ.\ + bzQy -j. t'zQzd tQj,c% - Й Ғ М ' + • » * '-‘ ’M - w T • (4'W ’Æ . --------L (nyQx + byQY f CyQz)(il A AСоставляющие Qj.. Qv-, Qz глинного момента Q ранее быливыражены через частные производные силовой функции V с помощью(4.2.20). Уравнения (4.3.7) и (4.1.19) с учетом (4.2.20),(4.2.21) определяют динамические уравнении . ращения Земли впеременных Андуайе (4.1.13) и (4.1.14)A!L —ÆL W — 1 шdt f i ^ ' d t К sin о' аө' ’tiO' 1 / dU dU \- — ------------- f —— cos 0 — — ,dt К sin 0 1 t)«*> t v ! I sin 1didi)dtA cos S Ө й ^1CCS*

Запишем основные уравнения движения тел Солнечной системыdr\( dl[----- - Ui, ----- = Of, ------- W[,di dt didu( 1 dU dvi 1 dU dxi'i j wdt M( dit dt ML дц( dt M i dC{dK 9 0 1 dildt іЦ ’ dt /(sinO ' ДО’ ’rfü' 1 / dU „ n, , 9Ü \----- = ----------- I —— cos 0 *-------- ,dt К s in Ө’ V ' ]« £ І Л — L f ÆL ctg ө' + ctg П1,dt \ A В ) /С .

Рассмотрим второе из уравнений (1.3.13) в проекциях наоси координатной системыьV Mi(WiV\t — ofa) -f Л' sin if' sin 0' — а,кУ М{ («A — u>,ç,) — К cos Y sill 0' = b, {4.3.14)1=0к2 Mi {pib — uiv.i) ь К cos 0' : с, .t -егде постоянные а, Ь, с составляющие вектора К', которые именизначения, определяемые по начальным условиям (4.3.12VИнтегралы (4.3.14) называются интегралами площадей. Вних частвуют переменные Андуайе, которые могут быть выраженыяьно в следующем виде:К \f\ \-fv+fz]%, ♦ ' =* — arctg (/xfr )t Ө* -a rc c o s(fe /( '),(4.3.15)где проекции вектора К* на оси клерикальнойравныкfc-oitсистемы 0*£т|£/у = Ь ~ 2 М‘ ^ - w&)> (4.3.16)кһ - с - Ъ Mi (i\h — И,TU).оНаряду с (4.3.14) запишем интегралы площадей в следующейформе 111, 23]:кУ М{ (Wii\i — Viti) + Арах . Bqaa -f Сгаг = a,к2 Mi (и& — & & ) - I- Apbx j Bqbu + СГһг ■b, (4.3.17)/«Iк2 Л1

чем от нуля, то система (4.3.17) имеет единственное решение, выряжающееp. q. г. Это решение имеет следующий вид:/> = М £ .. 4'— . £*. « ь ü

где в силу выбора системы O’XYZ принято /.т= 0 , [у= 0. Итак,переменные Андуайе К. i|-'. 0', >|\ q, Ô явно выражены формулами(4.3.15), (4.3.19) и (4.3.21) через неизвестныеЧь • • • . £*. «i. »1. •. • . Л» Я, г. (4.3.22)Гаким образом, переменные Андуайе (4.1.13) и (4.1.14) имени-явныі выражения (4.3.15), (4.3.19), (4.3.21) через ней местные(4.3.22). С учетом этого запишем снстему (1.3.11) основныхуравнении движения тел Солнечной системы и их начальныеусловия (4.3.12) в виде векторного уравнения переменных(4.3.22). Эта система автономна и имеет следующий вид:dg/dl=G(g), g(0.q)**ç. (4.3.23)Здесь g, Q набор переменных (4.3.22) и их начальных условий.Рассмотрим вопросы, относящиеся к сочетанию прошлого пбудущего режимов движения Солнечной системы, описываемогодифференциальными уравнениями (4.3.23). С этой целью афнксирусмпроизвольное действительное число р > 0 . При этом согласноСвойству 4 силовая функция Ur. с точностью до н аппроксимируемасиловой функцией Un системы m материальных т >и к. фиксированных на поверхности сферы S,. Поэтому расстояниг'.; между ними неизменно.Пусть | / , i|,', и/ -координаты, u,', v/, -скорости материальнойточки Л. с массой m, (f=I, 2......... rn). Тогда ней іү н-іічсі: взаимных расстояний г'ц выражает равенствоni = [(&— l'if + (n< — л/)* r (Ci— C/)*]’7’ const,14-1 1, 2, (4.3.24)Уравнения связи (4.3.24) равномерно непрерывно отображаютмн< жество ( | , \ »і,', ..., ï-') и каждое из множеств (£,', г,.',г /) , где i— 1, 2, ..., m и Ç/ аппликата точки А}, не лежащей надней прямой с центром масс О Земли и точкой А,. В силу условий(4.3.24) тела Л, взаимно не притягиваются, но они взаимодействуютс каждым из внешних тел О, (f=l, 2, ..., k— 1). Отсюдасиловая функция С... системы

нечной системы устойчиво Л то движение йг(/, q) системы, рекуррентно.Доказательство. Движение' системы 0 \ „, , с наложеннымина него связями (-1.3.24) при т-*-оо стремится к движениюСолнечной системы, описываемому дифференциальными уравнениями(-1.3.23). Последнее по условиям Предложения устойчивоЛ~. Следовательно, движение системы устойчиво Л исогласно Предложению fi.5 гл. I ll рекуррентно.Предложение 3.3. Движение Солнечной системы рекуррентнотогда и только тогда, когда поступательное движение этойсистемы устойчиво Л~.Так как поступательное движение Солнечной системы являетсясоставной частью се поступательно-вращательного движения.то необходимость Предложения очевидна.Д о к а а ательство достаточное! и. Пусть поступайтельное движение Солнечной системы устойчиво Л . Согласнопредыдущему Предложению движение системы 6\ t рек'.ррентно.В силу Свойства 1 силовой функции Солнечной системыпоследовательность движений системы 0 :, .. , при т -со равномерносходится к движению Солнечной системы. Тогда, являясьравномерным пределом последовательности рекуррентныхфункций, івиженио Солнечной системы само рекуррентно. Что итребовалось доказать.Предложения 3.1 и 3.3 пока ывают, чго поступательно-вращательноедвижение Солнечной системы, описываемое уравнениями(4.3.23), является рекуррентным, если устойчиво Л~ еепоступательное движение. При этом справедливоПредложен и е 3.4. I Іоступптельно-врата тельное движениеСолнечной системы, оннепениями (4.3.23), рекуррентноили условно-периодично (почти периодично) в том итол!.ко в том случае, когда рекуррентно или ус.ювно-нериодично(почти периодично) ее поступательное движение.Необходимость I Іредложения очевична.Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и. Случай рекуррентногодвижения доказан при менее слабых требованияхПредложения 3.3. Пусть поступательное движение Солнечнойсистемы рекуррентно. Тогда функции р. . рекуррентно. Что и требовалосьдоказать.Из Предложения 3.4 вытекаетПредл о жен н^ 3.5. Если поступательное движение Солнечнойсистемы устойчиво Л~, то ее полная кинетическая энергиярекуррентна, т. е. ограничена и минимальна по Биркгофу.Предложение 3.6. Если поступательное движение Солнечнойсистемы устойчиво Л~, то1) энергия поступательного движения системы отрицательна;2 ) существуют а-последовательность {/„} и ы-последователь-158

кость {s„} моментов времени такие, что для каждого натуральногоп справедливо условиеT(s9) = T(tn)= — А; (4.3.26)3) для любого действительного е> 0 множество| Г ( 0 + А | < вотносительно плотно в Rs,4) функция Г (/) и поступательно-вращательное движениесистемы, описываемое вектор-функцией (4.3.18), изохронны R.Д о к а з а т е л ь с т в о. 1 Іусть поступательное движение Солнечнойсистемы устойчиво Л~. Применяя схему аппроксимациисиловой функции I'к силовой функцией Um, вместо Солнечной системыимеем систему с условиями связи (4.3.24). Для последнейпостоянная энергии hm отрицательна, ибо выполняютсяусловия Предложения 5.15 гл. 111. С учетом этого имеем послелоааіельноетьотрицательных чисел һт, сходящихся к постояннойэнергии h Солнечной системы. Из того, что для каждого натуральногочисла т значение h,..

Следовательно, изохронны R и п и последние функции. Предложениедоказано.До сих пор устойчивость в прошлом по Лагранжу поступательногодвижения тел Солнечной системы предполагалась. Докаж. /... ( / = 1 , 2. .... &) начальные значениябольших полуосей, эксцентриситетов и наклонностей t- неизменжмой плоскости оскулнрующих орбит центров масс О,, аК,,,, 1у, начальные значения величин кинетических моментовК; вращательного движения тел О. и наклонностей соответствующихпромежуточных плоскостей к неизменяемой плоскостиЛапласа. Тогда, если:1) орбиіальнос движение всех тел и их вращательное движениепроисходят в одном направлении;2 ) величины К» суть одного порядка;3) большие полуоси орбит а, и величины Ks кинетическихмоментов вращательного движения тел являются колеблющимисяи ограниченными функциями времени /£={/,>, /,], мало изменяющимисяоколо некоторых средних значений;4) в некоторый начальный момент времени 1в все эксцентриситетыеу. наклонности і.і0, /< малы.то для всех значений /&{/.„ /,] величины е,, і}, I, будут такжеоставаться малыми функциями.Из Предложения З.І гл. 111 и Предложений 3.3, 3.4 вытекав»II р л л " ж е н и е 3.8. 1Іоступателыю-вращательное твижениетел Солнечной системы, описываемое переменными (4.3.23),рекуррентно.Так как но теореме Арнольда условно-периодические движениясистемы (7„ составляют большинство (регулярную часть вклассе устойчивых по Лагранжу движений) [25. 42], то, исходяиз Предложения 3.8, считаем движение тел Солнечной системыусловно периодическим. При этом имеет место Предложение 3.4.и поступательно-вращательное движение Солнечной системі.і янляетсятакже условно-перноднческнм. G учетом этоп ПредполЯлиния рассмотрим разные вариации элементов врашения Земли.160

4. Вековые вариации элементоввращательного движения ЗемлиСистема уравнений движении тел Солнечной системы(4.3.23) является автономной и имеет нормальную форму. Отметимнекоторые свойства системы (4.3.23) и ее решения.Пусть для любого фиксированного действительного значенияife Æ r имеют место условияrfj(ï) > 0 (іф}~ 1, 2........ k - 1 ) . (4.4.1)О

В число компонент (4.3.18) вектор-фуикпнн g(t, q) наряду сдекартовыми координатами тел О, входят угловые переменные.Некоторые из них со временем стремятся к плюс или минус бесконечности—в зависимости от выбранного направления "отсчетаугла. Поэтому решение g(t, q) не является устойчивым ни ноЛагранжу, ни по Пуассону. Методы и результаты общей теориидинамических систем в метрических пространствах, относящиесяк устойчивости движения системы (7„ непосредственно неприменимык уравнениям (4.3.23). По. как показано далее, малые консервативныевозмущения, обусловленные фигурой Земли, не нарушаютусловно-периодические движения центров масс тел Солнечнойсистемы.Напомним, что в задачах аналитической механики под условно-периодическимдвижением понимается движение, позиционныепеременные которого выражаются условно-периодическимифункциями, а угловые переменные представляют собой суммулинейных и условно-периодических функций, т. е. сумму пидаnt4-условно-периодическая функция, где п -среднее движениепо данной угловой переменной.Таким образом, условно-периоднческое движение относительноцентрального тела О, системы (L, описывается решением.V(/, Л ), являющимся 6 (п— 1)-мерный вектор-функцией с компонентамидвух видов:Xi (t, Х„) Xi (i, Х 0).А'п (/, Х„) п (Хц) I - Хц (t, Хи),где Xi (/, Л'„) и Л'ц ( Л\) условно-периодические функции времениtŒ.R\ п(Хи) — среднее движение по переменной Хи (/, Л\).Алгоритм построения условно-периодического решения задачип тел в ее планетном варианте описан в [15, 19, 108]. В нем существенноиспользуется тот факт, что система G„ представленатолько материальными точками и их силовая функция имеетвид (3.1.2). Эту систему в отличие от Солнечной, как и ранее,будем называть планетной системой Сп. Опишем схему построенияее условно-периодического движения.Исходные дифференциальные уравнения относительного движениятел М., М„ ..., Мп планетной системы Г,п записываютсяв канонических элементах Делоне [1]. Эти уравнения подвергаютсяпяти последовательным каноническим преобразованиям,называемым предварительными. Они придают исходным уравнениямвид, в котором выполнены условия теоремы Арнольда[15, 16, 19].Пусть X (/. _?„) — новые переменные, описывающие относительноедвижение планетной системы. Тогда полученные гамильтоновыуравнения в этих переменных последовательно счетноечисло раз канонически преобразовываются при помощи такназываемой основной операции [15]. Процесс применения операциик каноническим уравнениям относительного движения162

планетной системы в переменных X (t. Х„) сходится равномерно,и предельная система уравнений имеет решение X . (/) с компонентамивидаХ/а* — const, Хц* - п (Хиос) t + const, (4.4.4)te п(Хц„) — среднее движение по угловой переменной Хи,..Переход от решения Хк (/) предельной системы уравнений крешению канонических уравнений движения планетной системыв переменных X(t, X.) осуществляется обращением основнойоперации и последовательного ее применения. Эг' Т процессобращения сходится также равномерно и переводит решение.V. (/) в искомое условно-периодическое X (t, S. ) в области(4.2.13). Это решение имеет компоненты (4.4.3), т. е.Х?> (/, Х0), ЯГ (/, Х 0)......... х Г '" ] U. X X Х Г ' (/, Х 0),(4.4.5)хТ 11(/, хх х Г * (/, хх . . . , хГ ” (Л хх х Г ‘(/, XXгде п0г неизвестных (4.4.5), определяющих положенияи скорости тел планетной системы, к новым переменнымY0) x ? ‘-l)(t, XXУ ? ’ (Д V'o) ~ X M (t, Xn) (i 1,2......... k),Y?hl)(t, Yv) ^ x f hl)(t, X„) cos [Xfp (t, XX,Ү7ҢІ. Y0) - X?hll(t, X0) sin [XfPit, X 0)l( / = n f 1, n + 2,..., 3n).(4 .4 .6 )Переменные (4.4.6) как функции времени Iç^R. являются ус-■зно-пернодическими функциями в области (4.2.13). МножествоУ ус.ювпо-пернодических функций (4.4.6) состоит из конечногочисла элемент i» и, следовательно, компактно в метрическимпространстве С и с метрикой, аданной через норму |41]| / й’Ц— max \f(i) — g (/)|,tCRiгде функции /, feC .»,.Пусть .Y*— преобразование, обратное (4.4.6), переводящееканонические переменные У- ! в переменные X. Оно представляетсобой непрерывное отображение множества переменных У,'0на множество переменных лУ*’, т. е.у'Ра, к0)-"-х

. . . .V, и их непрерывность приводится в (8].) Тогда преобразование,определяющее последовательное применение преобразованийЛ’в, iVs, Л',. непрерывно отображает функции и множествоУ переменных (4.4.4) в множество элементов Делоне. Какизвестно, при помощи двух непрерывных последовательных преобразованийот элементов Делоне можно перейти к прямоугольнымгелиоцентрическим координатам X/, Z{ материальныхточек VI, (i —2.........п). Обозначим это результирующее преобразованиечере з Л'..Соіласно Предложению 3.8 решение Y (/, У„) устойчиво поЛагранжу. Поэтому декартовы прямоугольные гелиоцентрическиекоординаты Л /, >V. Z ’ материальных точек М, и их производныено времени X /, Ÿ,', непрерывные функции независимойпеременной ге/?. и они ограничены, т. е. принадлежат пространствуC(R,). Рассматривая множество функций X /, У/. Z{и X /, V’/, t ! как некоторое метрическое пространство 5, получим,что отображение .V, непрерывно переводит компакт М в метрическоепространство S. Поэтому отображение Y.s равномернонепрерывно. Тогда, согласно теореме о суперпозиции почти периодическихфункций [18, 48. 49], в результате равномерно непрерывногоотображения Л'к почти периодическая вектор-функцияУ(/, У ) переходит в почти периодическую вектор-функцию независимейпеременной /. Компонентами этой вектор-функции являютсяпеременные Х\, У'4, Z', и X/, V /, 1 ' ( г = 2, 3........ п).Таким образом, если относительное движение плаиетипй системыусловно-периодическое, то прямоугольные координатытел ЛІ. (/ = 2, 3........ п) относительно центрального тела ЛІ, и ихпервые производные но времени представляют собой почти периодически*функции времени t в области /?,.С учетом изложенного из выражений (4.3.16) следует, чтоf.г. /у, fг почти периодические функции переменной /. Тогда иопределяемый равенством (4.3.15) модуль /С(/) киі пическотомомента вращения Земли представляет собой почти периодическуюфункцию переменной I. Это влечет почти периодичность составляющих(4.3.6) вектора К (t). Поэтому согласно теор< ле обинтеграле от почти периодической функции (см. Приложение)из равенств (4.3.5) следует ограниченность интегралов:tI Л'л ( 0 ---Кхо I - Qx (t) dt oc.\қү (t) — Луо !Qv(t)di< oc,(4.4.7)\Kz(Q-Kz*\Qz (t) dt< o o ,где Kxt—Kx(t), A V r ^ v f U . Кгозадачи.Kz(te) — начальные данные164

Система (4.4.7) приводит к очевидным оценкам:Qÿ(t)di< op,\Q-Z(l)diи< ос.Qx (0 dt< ’О,( Qy (0 dt 0 , i?{r} — rrp> 0 . (4.4.11)Здесь использованы с отношения (4.1.Л4).Найдем значения Х{р}. !2 \q) величин p(t) и q(t) осреднениемуравнения (4.3.4) по определению (4.4.10):u+t.1 Iim— •— — ( С — В) lim — \q(t)r(i)dt -/-•SO tt -.в» t JU*i,|г.‘Г т ,f [('SUd*fdU — cosdtf165àU(4.1.12;

B lim ^ 3 t 4 - (A - C ) lifii 1 f P (D r (h illВ силу неравенства (4.4.9) и почти периодичности функцийp(l). q(i) и г(1) и из соотношений (4.4.12) имеемinf г (0 | lim— q (t) dt rM {q}' ^О ,inf r (/) ljm-^- f p (t) dt ~r,„i S ’{p} |(/) и q(t). т. с.? {p) = 0, S ’ {

Он постоянен как в пространстве, так и в теле Земли. Болетого, нн один вектор, отличный от (4.4.17), с компонентой r(t)'> 0 не обладает указанным свойством. Следовательно, в со-прідельном множестве ©-предельное состояние (4.4.17) вращеииЗемли является единственным ш-предельным вектором, постоя»ным как в пространстве, так н в теле Земли.Оценим правую часть последнего равенства (4.3.7) с учетоі(1.3.1) и (4.4.8):'CQ (0К(1) diMnf*f Q y(t)dtОтсюда следует, что угол нутации ti'(t) оси 02 являетепочти периодической функцией и поэтому ограничен:| в ' ( 0 1 < о \В силу основных свойств почти периодических функций уго.нутации ()(/) оси инерции Ог Земли относительно системы координ.м OXYZ, выражаемый формулойсо. 10(01 з С - ~ г - Л г 1 , (4.4.1ÎКО) ктакже представлен почти периодической функцией.Рассмотрим переменные Андуайе /С, А, 0 ' и вычислим их продел для последовательности (4.4.16). Предел функции К(і) дліэтой последовательностиНшЛ'(/п)П—cvJ Сгъ.Исходя из представления (4.4.18) угла 0 (/), имеемlim 0 (/«)=. 0 .Аналогично определяетсяос.(4.4.11(4.4.2СІІП1 0' (tn) - 0«, Ох > 0. (4.4.21Как известно, в последних трех уравнениях (4.3.8) возмущеьня. вносимые силовой функцией Ü механической системы

удовлетворяют неравенствамқ / stn«^(Q с‘« Ч « ) \ К (О ^ A'i. f > qI А В ) В - ВК U) cos 0 (0 ( ± - Ü ü l p . - ^ қ ( 0 C0S ө (0л - С ^АСдля всех /е /? ,.( Поэтому эти функции соответственно имеют положительноеи отрицательное средние значения. Следовательно, правые частидифференциальных уравнений для переменных ÿ(t) и tf (/) пред*ставимы n видеdÿfdt - Г {»)’} /, (/), d4 dt - 3?{ч) - /, (0, (4.4.22)где /■,(/) ;j /,(/) почти периодические функции времени /е /? ,с ограниченными неопределенными интегралами, a и& {(|} средние учения углов ij-(/) и ф (0 . причем2 ’ {^ )}> 0 , 5 ? {ч }< 0 . (4.4.23)Интегрируя выражения (1.4.22). получим4 ( 0 % 4- 2 { І } / 4 - V ( / ) tЧ ^ {'! } t 4- Ф (0 .(4.4.24)где и ф0 — начальные значения переменных ү (7) н ф(t), а'V(l) и Ф(t) почти периодические функции.И (4.4.24) следует, что угол преыссии ij-(/) согласно неравенствам(4.1.23) по все время движения Земли неограниченновозрастает, а угол собственного вращения ф(/) неограниченноубывает. Это говорит о том, что прецессия земной оси относительносистемы ОХУ?., связанной с вектором К кинетическогомомента вращение Земли, является обратной.Рассмотрим главную часть выражения dUjdQ', выделив слагаемыевидаk~ 1 _ __ _— 3 2 М/П/г* (cos* tf sin* S'— со ;* Ө), (4.4.25)f.-aгдеСО

Окончательно получаем следующее структурное решение заіачІ((4.3.23). Дифференциальные уравнения движения тел Солнечнойсистемы относительно переменных (4.3.23) допускают условно-периодическоерешение. Положения и скорости движениятел механической системы (1п п гелиоцентрических координатахи переменные Андуайе К(1), 0 '(/) и (•(/) представляютсяпочти пери0диче£кими функциями времени, а другие переменныеАндуайе ip'(/), тр(/) и ц. (О — суммой линейных и почти периодическихфункций.Пусть f угол между осью вращения «> и наименьшей главнойцентральной осью инерции Ог Земли. Тогда у определяется_ргвенством (4.1.25). Последнее согласно соотношениям (4.4.20)для последовательности (4.4.16) имеет предел1іш ү (/п) - 0 .Это означает, что полюс Земли для последовательности(4.4.16) моментов времени ta R, испытывает вековое движение,стрем* к положению полюса инерции. По свойствам почти периоднчіской функции получим, что еслн равенство (4.4.26) выполненох гя бы для одной последовательности моментов времени(4.4.16), то оно имеет место для бесконечного числа ш-после, m>ваі ель пост ей моментов времени.Таким образом, в пределах рассматриваемой Солнечной сист(tn)>r„ и с выходом на ю-цредел&ныЙ ре-,м (4.4.17) Земля испытывает и вековое замедление.169

5. Периодические вария)іии элементоввращательного движения ЗемлиНо данным наблюдений, движение полюса Земли имеет покрайней мере годовую и чандлеровскую составляющие, имеющиепериоды соответственно в один год л 430 435 средних солнечныхсуток. В последние годы большое внимание уделяется свободномуоколосуточному движению полюса нутационного характера(22, 54]. Особенно интенсивно изучаются периодические колебанияпродолжительности суток, что стало возможным с вве-•дением атомных стандартов времени. Наблюдаются различныеклассы периодических вариаций элементов вращательного івижеиияЗемли. Возникав: необходимость специального теоретическогоисследования вопроса о существовании периодическихвариаций движения полюса и продолжительности суток.Рассмотрим модуль «(f) угл вой скорости вращения Земли иего компоненты p(t). q(t) и r(t). Как установлено выше, эти величиныпредставляют собой почти периодические функции независимойпеременной /е /? ,, причем имеют средние значения

(1^ tiro — І ÿ (0 exp(— іЛл/>Л,(4.5.4anp = lim-|- \ p (t) cxp (— iKpt) dtІ J0совпадут с коэффициентами Фурье функций м ( / ) , r(0, P(t)q(i) соотвстстпешю.Следовательно, коэффициенты «, я rt,r, соответствующие п

Напомним, что множество показателей Фурье почти периодическойфункции не более чем счетно. Известно также, что каждоесчетное множество действительных чисел имеет базис, содержащийсяв этом множестве. Поэтому, не нарушая общности, можносчитать, что показателии >.Г.Р являются базисными.Напишем первые два выражения (4.5.2):*N (t) ‘’>сР+ 2 üxP (*'п/)'гр—2INrNr (0 =■ гср 4- ^ 2 показатели Л* и /..., не равны нулю. Следовательно,функции cxpw'Â,./) и ехр(Д„гО имеют действительные периодыл » = 2 я /|Я я |, л „ ,= 2 л /|/^ г|. (4.5.7)Так как и двух последних соотношениях (1.5.2) каждый и|. (4.5.8)Таким образом, функции (/). r(t), q(t) и р(1) имеют действительныепериоды (4.5.7) и (4.5.8). Величины л„ :•>сражаютпериоды колебания продолжительности суток, так как полиномN(t) приближает функцию ©(î) с точностью до г согласно оценкам(4.5.3).Угол у(1) между осыо вращения и наименьшей осью центральногоэллипсоида инерции Земли выражается формулой(4.1.25), следовательно, периоды его колебаний с ;очноетью м>f могут быть получены нз выражений (4.5.7). Так как угол уопределяет колебание полюса Земли, то аналогичное утверждениесправедливо относительно движения самого лплюса. В частности.угол 7 имеет период r,.p

dÿ/di - dH/d'V,dW/di = — dH/d^f,dtf dt - дН/дф, dO/dt üll/дң,dB/di - dH/d&,dft.'dt -= — dH/d0,где канонические импульсы имеют ізнлгУГ dxi mЩ dt ’i * 1 ,2 , . . . , k,'К дТ /ді$ - Ар sin

Пусть иверциальная система O’X'Y'Z* имеет начало к центремасс системы Земля Луна. Тогда инвариантные соотношениядифференциальных уравнений движения имеют видЛ'Ш + = О,r О,f — О,М кик Ь Mk~xUk~i ==>0,Mtvk + Л һ ~ 0 ,MkWtt + Л\к~ tWk-i —0 .(4.6.4)Из этих соотношений выразим координаты и компоненты. скорости центра масс Земли:% = —b “ —ЛІ s-1 -мM*-1Mk3 = Lrl'kAfMA-lMbAfЛ—IM.H*-Подставляя (4.6.1) и (4.6.5) в выражение (4.6.3),V^*-*(*4 -i + 1’* i 4- twf._j) 4 — ~ (w*~i p* i 4 “ «'*Af,■Vк—Л.к = Л*получим4*(4.6.6)Рассмотрим предел левой части выражения (4.6.6) для носледовательности(4.4.15)АЬ. ЛІ*“ («1-1.» 4 d - i.- Ь ^ - . . « ) 4 - Г „ л- У Г-м th,где1!П1 6*-! (/„) =» «л-I,ОС, lim (/„) ÜA-I.cc,Я-WuЯ-ххlimn-v»~ зд—i,»*(4.6.7)Здесь учтено, что правая часть выражения (4.6.6) представляетсобой постоянную величину. Согласно (4.6.2) разностьТ„ Тпр— 7-„ > 0 и эта часть кинетической энергии вращ енияЗемли затрачивается на динамику эволюции системы Земля—— Луна. Из (4.6.7) следует, что часть Т, кинетической энергииможет переходить либо в потенциальную энергию V*-,. *■системы Земля— Луна, либо в кинетическую энергию поступательногодвижения Луны, умноженную на отношение полной массыА1»_,+/И» к массе Земли, либо, наконец, распределяется междуэтими видами энергии. Покажем, что на самом деле и м е е т ме-174

•то переход энергии Т как в кинетическую энергию постунательногодвижения Луны, так и в потенциальную.рассмотрим указанные случаи.Случай 1. Пусть кинетическая энергия, высвобожденная г?результате эволюции системы Земля— Луна, полностью переходитв энергию относительного поступательного движения Луны,т f. величина квадрата скорости этого движения возрастает:и'ь-l Г ÊV-1 "Г К'*—1 1.» ■*' I,оо 4* &'*-!,№• (4.6.8)Тогда центробежная сила, возрастая вместе с левой частьювыражі ия (4.6.*). вызывает увеличение радиуса-вектора rk_j(/).По-лому іля м-последовательности (4.4.16) величина радиусазекторн"/\_, іентра месс Луны возрастает:г» ,( / .) < / • » - . .- (4.6.9)где i,ap - lim rк i (in)-Таким образом, переход кинетической энергии Т. в кинетическуюэнергию Луны приводит к удалению последней от Земли,чт1 ныражает неравенство (4.6.9). Заметим, что при этом Лунаудаляйся лишь на некоторое конечное расстояние, согласованноес : .освобожденной кинетической энергией Г„, которая ограничена.С уметом (4.6.9) рассмотрим выражение силовой функцииl.\-, х и его предел для последовательности моментов времени(4.4.15) при п-*-оо. В выражение Ь\ величина гК , входит ввиде обратного расстояния rjj*, . Следовательно,гдеV ^ .k> V Z iM (4.6.10)U 1. 1.»lirn (7*.,.* (tn).п ->00Как известно, потенциальная энергия системы Земля- -Луна равнаг/*-*,». (4.6.11)Обозначим через V*”0 предел при п-*-оо потенциальной энергиисистемы Земля— Луна для последовательности (4.4.15), т. е.К = lim Vk(tn). (4 .6 . 12)Я—x v .Сравнивая (4.6.10) и (4.6.11) с учетом (4.6.12), получимV? « _ Нп, и м (tn) = _ U ttA> - U k tA, (4.6.13)Л->а»• e- удаление Луны от Земли обусловливает также возрастание'’тенцнальной энергии самой механической системы Земля—Уна. Это означает, что часть кинетической энергии Т0 этой си­175

стемы должна переходить в потенциальную энергию. Такое утверждениенротиві і|ч i и г допущению, что кинетическая энергия7’0 переходит полностью в кинетическую энергию Луны.Случай 2. Пусть кинетическая энергия J„, высвобожденнаяв результате эволюции движения системы Земля— Луна,полностью переходит в потенциальную энергию 1'* и имеет местонеравенство (4.6.13).Рост потенциальной энергии Г» (4.6.11) обусловливает уменьшениезначения силовой функции Ь\ с течением времени tдля ш-иоследовательностн (4.4.16). Это видно из формулы• (4.6.10). В свою очередь, соотношение (4.6.10) означает, что силоваяфункция убывает для ю-носледовательности моментоввремени (4.4.16). Как известно, при постоянстве масс взаимнопритягивающихся тел закон Ньютона зависит лишь от однойпеременной -расстояния между этими телами. Следовательно,соотношение (4.6.10) влечет .ta собой неравенство (4.6.9), т. е.покіі ;ывает удаление Луны от Земли.Коли и н е т место неравенство (4.6.9), то вместе с радиусомвекторім г, (0 возрастает и скорость движения. Это приведет кнеравенств) (4.6.8). Тогда одновременно с потенциальной энергиейV* возрастает н кинетическая энергия Луны. Но ни противоречитдопущению о полном переходе кинетической энергии Т,к потпщиальную энергию системы Земля Луна.Из рассмотренных случаев следует, что потенциальная энергиясистемы Земля Луна и кинетическая энергия .Туп : нчяимосвя- : i и изменение любой нз них непременно обус.: .вливаетизменение другой.Таким бразом, часть Т0 кинетической энергии вращенияЗемли, высвобожденная в результате векового замедления еевращеьня. переходит как в потенциальную энергию системыЗемля Луна, гак и в кинетическую энергию Луны. В результа т переноса энергии порождается вековое удаление Луны отЗемли. При этом Луна удаляется на расстояние, зависящее отвеличины в освобожденной энергии вращательного движенияЗемли и.і-. л векового замедления ее вращения.7. Механизм сближения плоскости орбит гелСолнечной системы с ее неизменяемой плоскостью ЛапласаРассмотрим первые интегралы дифференциальных уравненийдвижения тел Солнечной системы в абсолютных координатахO'X'Y'Z':kk2 МіЩ — û], —(X\i hi,/=-0 i*=>0кk^ М м ~ сц. ^ Milu +i t- ot*= о176

2 Vf,К', = ая, 2 Лһ& = °Я( 1 &3.

Рассмотрим в абсолютном пространстве кинетический моментСолнечной системысг, Cj), (4.7,6)где с,. Сг, cs постоянные площадей.Запишем уравнение плоскости, проходящей через центр массСолнечной системы ортогонально сс кинетическому моменту относительноточки 0 ‘:

Обратимся к (4.7.1) с учетом предельных соотношений^1.4.7). Последние выражают постоянство вектора К кинетическоюмомента вращения Земли относительно центра масс » абсолютнойсистемеКх = Кхоо, Кх«, = cons/,Ку = /Су», AV« = cons/, (4.7.10)K z = K'loLtKzca = COnst.Т;>гда при n-*-cc для интегралов (4.7.1) имеют место соотношениякUni У Mf (Tîit»/ liVi) (t„) КХк,kI im Y Mi {but - 1,й,и) (Q = - Ky„, (4.7.11 >*! ini V. 7И/ (s/ü/ — ii,Ui) (/„) — — /(г».а-х» . Ô=>0Заметим, что по виду они совпадают с выражениями иитегра-.: площадей в планетной системе материальных точек ЛЬ (/-^= 0, 1........ k).Запишем также предельное выражение для интеграла энергии,соответствующее последовательности (4.4.16)yjiml V Mt {aï + vï I wh(in)-Ü(in)I — h — C tL , (4.7.12)я L" . Jгде(4-7 -J3>" /

Заметим,чтоК \х --- lim К (W sin if' (/„) sin Ө' (/„) = Л \ sin 0* lim sin t|/ (/„),П-УОО/Су «о = — 1ini Л' (М cos sin 0' = — A'v sin 0« I ini cos if’ cos 0' /С*, cos Ө».Л“**>Как известно, синус и косинус для значений их аргументов,стремящихся к бесконечности, не стремятся ни к каким конечнымпределам. Следовательно, равенства (4.7.16) имеют смысллишь при ()а /= 0, так как установлено, что величины А\-,существуют. Тогда/Сх» = 0, Л г » = 0 , К/.х, == К. (4./.17)Отсюда видно, что кинетический момент вращения Земли относительноее центра масс с течением времени стремится к положению,коллннеарному с кинетическим моментом Солнечной системы.Плоскость, проходящая через центр масс О Земли, ортогональнавектору (4.7.17). Относительно абсолютной системы0 '|t)Ç уравнение плоскости имеет видАГх-(8- Ь ) + /С ,.(л ri») + K*-(Ç t») = 0 (4.7.18)или согласно равенствам (.4.7.171(4.7.19)где r)*, Çt — абсолютные координаты точки О*.Плоскость, определяемая уравнениями (4.7.18) или (4.7.19),сохраняет неизменную ориентацию относительно абсолютныхосей и вместе с тем ортогональна вектору (4.7.6).Рассмотрим барицентрическую систему O'.Y'V’Z*, отличающуюсяот абсолютной системы тем, что она совершает посту нагельноеперемещение вдоль прямой (4.7.9) с постоянной скоростью.Следовательно, система O'X'Y’Z* инерциальна и относя*телыю нее уравнение неизменяемой плоскости Лапласа имеетвидГ = 0. (4.7.20)Предположим, что координатная ось 0*| совмещена с прямой(4.7.9). Запишем формулы перехода от системы кО'Х‘У‘7.’:| = Г + Г . ц = Г, t ~ Z \ (4.7.21)Тогда абсолютные координаты тел Солнечной системы будутсвязаны соотношениямиЬ = * ; + Г. JU = YÎ, b = # (‘ - 0 , 1 ... k). (4.7.22)180

Согласно (4.7.21) и (4.7.22) плоскость (4.7.19) в барицентрич,,;■ и! системе описывается выражениемг - Z U . (4.7.23)Как было доказано, переменные X', У", Z' для всех i—= 0, 1. •••> ^ являются почти периодическими функциями времениt. Следовательно, переменные Л7, У,', Z' также являютсяпочти периодическими функциями времени, так как каждая и зних определена разностью двух почти периодических функций.Л му плоскость (4.7.23), сохраняя ориентацию, может перемещатьсявдоль оси O'Z* (а также вдоль 0 ‘£). Такое движениеи -i нствителыюсти невозможно, ибо согласно выражениям первыхдвух интегралов движения центра масс в барицентрическихкоординатахdZ'/dt=0,т. e. Z* =- const.Как следствие имеемdZJdt = 0. (4.7.24)= I in, — (/„) - 0. (4.7.25)ill n-ко dtОтсюда следуетZl» 1ini Z* (/) -=» const. (4.7.26)t *00Il елііо, что при поступательном перемещении Земли ок>ло С олнца она «пронизывает» неизменяемую плоскость Лапласа.иначе говоря, согласно наблюдениям существуют моментывр< м. ни и ......../т, при которыхZ\(U) О (І-0.1....... m). (4.7.27)Исходя из свойств почти периодических функциипо. le ; іательность моментов временинайдетсяΕ ■ Іг, ■• •, F», . •• (4.7.28)таких, что Iim7„ = oo, иЛ—X»lim Z*(7„) - 0. (4.7.29)rt-*ооСравнивая (4.7.26) и (4.7.29), получимZL -О. (4.7.30)И : (4.7.30) видно, что для последовательности моментов вре-М( 11 ного движения Земли около Солппастремится к положению плоскости Лапласа, ибо ее Z -коордннатапрн оо стремится к нулю.181

Рассмотрим модель Солнечной системы, состоящую из центральноготела (материальной точки) и больших планет. Пустьодна из больших планет принята за абсолютно твердое тело, аостальные являются материальными точками. Отнесем к этомутелу О, все рассуждения, проведенные относительно Земли. Цу'.этому каждое из тел Ot (i— 1, 2........ к— 1) Солнечной системы,подобно Земле, выходит к «-предельному режиму, состоящемунз: а) «-предельного режима орбиты поступательного движениятела О/ вокруг Солнца, который является плоской кривой, лежащейна неизменяемой плоскости Лапласа, и существует «-послслова тел ьн ост ь моментов времени {?„}. при которых этот режимбудет притягивать траекторию тела О,: б) «-предельногорежима вращения тела О, относительно своего центра масс,представляющего собой равномерное вращение вокруг неизменнойпо направлению оси.При этом имеет место соотношениеЬТл |Q f(k )| = 0, /=1,2,...,*, (4.7.31)где Qi(i) — главный момент всех приложенных к телу О, внешнихсил относительно его центра масс.Центральное тело принадлежит одновременно всем плоскостяморбит каждого из тел М,. Поэтому «-предельный режим«а» для всей системы определяется совокупностью трех уравнений,полученных из (4.7.31):Q(x-=0. QtT. = 0 , = 0 (f=l, 2........ к). (4.7.32)li рассуждениях мы без оговорки перешли к модели Солнечнойсистемы, состоящей из материальной точки— Солнц;; и кбольших планет системы, каждая нз которых рассматриваетсякак абсолютно твердое тело.Левые части выражений (4.7.32) равны:(4.7.33)где і[\, (|;. ()г—углы Эйлера, определяющие взаимное располож е­ние собственной системы 0 {х'ц 'г1 іела М, ( / = 1 ,2 ........ к) и клерикальнойсистемы V'X'Y'Z’, являющейся гелиоцентрической, ибоее координатные оси параллельны осям О'Х', ОТ*, O'Z'.Б выражениях (4.7.33) силовая функция U имеет вид (4.2.1)»но слагаемые Uti («'=2, 3........ k) — вид ряда (4.2.3), a U(} (ІФІ^— I. 2, .... А-) представляют собой произведение двух рядов вида(4.2.3). Общий вид силовой функции притяжения двух матери­

альных тел и его разложение по сферическим функциям даны[•" Н Дубоишным [24].Укажем схему распространения алгоритма исследованияцп.пцсния Земли относительно центра масс, и котором рассматрИ»а.н'ь модель Солнечной системы при одном абсолютно твердомтеле — Земле, на исследование поступательно-вращательногдвижения модели Солнечной системы, состоящей из к абсолютнотвердых тел больших планет. Подобная схема строитсяследующей последовательности.1. Допустим, что необходимо исследовать поступательно-вращательноедвижение t-го тела Af, (/=1,2........ к). Тогда силовуюфункцию каждого из оставшихся тел Mt ( / = 1. 2 , Z— 1) сзаданной степенью точности г аппроксимируем силовой функциейсистемы конечного числа материальных точек Л,;, . . .., .1. . жестко связанных между собой и фиксированных на поверчути соответствующей сферы S}. При этом получим модельС . ■ ii системы, состоящую нз (к 1>/ : 1 материальных точеки ' дноп) абсолютно твердого тела с 3 (/— 2) (k— 1) аналитическимисвязями. Исследование поступательно-вращательногодвижения такой модели Солнечной системы укладывается в схемуКЛМ-теорни.2 Рассматривается процесс предельного перехода при е-»-0И силу равномерности примененного алгоритма аппроксимацииси.: . : функций процесс предельного перехода при ?-»■() равномерносходится n дает картину поступательно-вращательногодл; кения модели Солнечной системы из к абсолютно твердыхтел, где отдельно рассматривается Вращение тела Af, (/— фиксированныйиндекс) относительно центра масс.І. Указанный в первых двух пунктах алгоритм последовательно применяется ко всем телам.Заметим, что согласно выражениям (4.7.32) каждый из вектороҚ / , где К і -вектор кинетического момента вращения телотносительно центра масс, с течением времени становится постоянным,т. е.lini К, (t) — = const.п->ооСледовательно, векторQ = 2 К* (/)iпри /n—voo имеет своим пределом постоянный вектор £i„, т. е.klim Ü, (in) = V К ,, = Qfc. (4.7.34)n-KO(*=iОчевидно, одного соотношения (4.7.34) недостаточно для определенияпредельного положения каждого из векторов К, приОднако соотношения (4.7.32) и (4.7.33) показывают, что183

каждое им тел Vf при 1 -> сс избирает такой режим движения,при котором его вращение относительно центра масс будет нево;.м\щенными совпадает с вращением по Эйлеру— Пуансо.Для больших значений времени модель Солнечной системысодержащая к абсолютно твердых тел— больших планет в рамкахпоступательного движения каждого из тел -ведет себя каксистема точечных планет. При этом все тела будут расположенына неизменяемой плоскости Лапласа и иметь начальные условиядвижения, отличные от начальных данных исходной системы.Нан мним, что поступательное движение тел реальной Солнечной.истомы с большой степенью точности описывается уравнениямидвижения системы точечных планет. Связь между поступательнымии вращательным движениями гел Солнечной системыv >жеі быть полезной при анализе особенностей эволюциидвижения Солнечной системы, чяких, как выход ка «..-предельныйрежим н др.Отметим в заключение основные результаты изложенногоиодх-.да исследовании вращения Земли и эволюции С лнечнойсистемы.С лисиная система, состоящая из Земли, рассматриваемойкак абсолютно твердое тело, и материальных очек Солнца*больших плане; и Луны -позииляо: исследовать вековые ванзциi ‘лементов вращения Земли. В пределах постановки задачио взаимосвязанней n ступательне.-вращательном дв- кенииг

С ф у кпрнов решение дифференциальных уравнений движениятел Солнечной системы позволяет построить полную карти-Hv жолюиии вращения Земли как выход па предельный режимцп;иці-ння. Вопрос о существовании и единственности п;к-дельлого режима вращения Земли решен путем исследования кор-„ек : i : ‘’ •и постановки модельной задачи о движении тел С.олиечi-iiCTCКорректность поста новки ладами включая -: единстненность решения задачи Коши, непрерывную зависимость решенияпт начальных данных и правых частей соответствующих1нф(Ь;;р