III. ERDVĖS ANALIZINĖ GEOMETRIJA

Turime šią lygčių sistemą išspręsti, nes susikirtimo taško koordinatės turi tenkinti ir tiesės, ir
plokštumos lygtis.
Sudarome duotosios tiesės parametrinę lygtį. Pažymime
Iš čia gauname
− 1 1 .
x x
l
y − y1
z − z
= = = t
m n
⎧x
= x1
+ lt,
⎪
⎨ y = y1
+ mt ,
⎪
⎩z
= z1
+ nt.
Reiškinį (2) įrašome į duotąją plokštumos lygtį ir gauname
Iš čia apskaičiuojame
1
1
( Al + Bm + ) = 0
Ax + By + Cz + D + t Cn .
© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Analizinė geometrija 47
1
Ax1
+ By1
+ Cz1
+ D
t = −
, (3)
Al + Bm + Cn
kurį įrašome į (2) lygtį randame susikirtimo taško koordinates.
Galimi trys atvejai:
1. Al + Bm + Cn ≠ 0 , tuomet iš lygties (3) gauname konkrečią t reikšmę, o tai reiškia, kad
tiesė ir plokštuma susikerta viename taške.
2. Al + Bm + Cn = 0 , bet Ax 1 + By1
+ Cz1
+ D ≠ 0 . Šiuo atveju tiesė ir plokštuma yra
lygiagrečios, (nes Al + Bm + Cn = 0 ), bet taškas M 1(
x1
, y1
, z1
) , per kurį eina tiesė, nepriklauso
plokštumai (nes Ax + By + Cz + D ≠ 0 ), taigi, tiesė yra šalia plokštumos ir su ja nesusiketa.
1
1
1
3. Al + Bm + Cn = 0 ir Ax 1 + By1
+ Cz1
+ D = 0 . Šiuo atveju tiesė ir plokštuma taip pat yra
M x , y , z priklauso plokštumai, taigi, tiesė guli plokštumoje.
lygiagrečios ir taškas ( )
2
t 1
1
1
1
1
1
13. DVIEJŲ TIESIŲ SUSIKIRTIMO SĄLYGA
Jei dvi tiesės yra vienoje plokštumoje, tai jos būtinai susikerta, todėl nagrinėjama sąlyga, kada
r1 r
O
M 1
{ x − x , y − y , z z }
2
1
2
t 1
r r
r − r
r − r =
−
r r
2
t 2
t 2
r2 r
1
1
2
M 2
42 pav.
1
(2)
dvi tiesės yra vienoje plokštumoje yra ir jų susikirtimo
sąlyga. Tegul turime dvi tieses, duotas jų kanoninėmis
lygtimis
x − x1
y − y1
z − z1
= =
l1
m1
n1
x − x2
y − y2
z − z
ir = =
l m n
2
Pirmoji iš šių tiesių eina per tašką M 1(
x1
, y1
, z1
) ,
antroji per M 2 ( x2
, y2
, z2
)
r
Užrašykime spindulius vektorius r 1 = { x1
, y1
, z1}
r
= { x , y , z } . (42 pav.) Tada vektorius
2
2
2
2
turi gulėti toje pačioje plokštumoje, kaip ir duotosios tiesės.
2
2
2
.