III. ERDVĖS ANALIZINĖ GEOMETRIJA

Kai sąlygos (4) yra patenkintos, tai lygtis (1) turės pavidalą
2
b 4ac
− b
e = − ir d = . (4)
2a
4a
( ) 2
x
y ′ = a ′ . (5)
2
Lygtis (5) yra žinoma parabolės lygtis, todėl ir lygtis ax + bx + c = 0 reiškia parabolę. Šios
parabolės viršūnės centro koordinatės yra taške O′ (e,d) , t.y. naujosios koordinačių sistemos
koordinačių pradžios taške O′ (e,d) . Be to, ašis O ′ y′
yra šios parabolės simetrijos ašis.
0
čia α = 45 . Tada
12. LYGIAAŠĖS HIPERBOLĖS LYGTIES SUVEDIMAS Į PAVIDALĄ x ′ y′
= a1
2 2 2
y′ x − y = a x′
y
54 pav.
O
⎧ 2
⎪x
= x′
−
⎪ 2
⎨
⎪ x′
+ y′
y = .
⎪⎩
2
Tegul turime lygiaašę hiperbolę
© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Analizinė geometrija 58
2 2 2
− y a .
x =
(1)
Senąją koordinačių sistemą pasukime kampu
0
α = 45 , t.y. tiek, kad ji sutaptų su hiperbolės
asimptotėmis. Žinome, kad lygiaašės hiperbolės
asimptotės yra statmenos ir koordinatinius kampus
dalija pusiau.
Naudojame formules
⎧x
= x′
cosα
− y′
sinα
,
⎨
⎩ y = x′
sinα
+ y′
cosα
,
2
2
y′
=
Šias reikšmes (2) įrašome į (1) lygtį ir gauname
Pakeliame kvadratu, sutvarkome ir gauname
2
Pažymime a1
α
a
−
2
= , tada
x ′ y′
= a arba
1
2
2
2
( x′
− y′
)
⎛ x′
− y′
⎞ ⎛ x′
+ y′
⎞ 2
⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = a .
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
yra asimptotinė lygiaašės hiperbolės lygtis (55, 56 pav.).
x
2
2
a
x′ y′
= − .
2
x′
− y′
= ,
2
(2)
a1
y′
=
(3)
x′