III. ERDVĖS ANALIZINĖ GEOMETRIJA

Kaip jau pastebėjome, plokštumos atveju iš bendrojo plokštumos lygties pavidalo galime
gauti jos ašinį pavidalą. Plokštumos lygties bendrąjį pavidalą Ax + By + Cz + D = 0 pertvarkome
Ax + By + Cz = −D
| : − D
x y z
+ + = 1 .
− D − D − D
A B C
D D D
Pažymime a = − , b = − , c = − ir gauname plokštumos lygties ašinį pavidalą
A B C
x
a
+
y
b
© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Analizinė geometrija 49
+
z
c
Šis plokštumos lygties ašinis pavidalas yra naudingas, kai norime rasti atkarpas a , b ir c (42
pav.), kurias koordinatų ašyje Ox, Oy ir Oz, atitinkamai, atkerta duotoji plokštuma.
Iš plokštumos lygties ašinio pavidalo galime gauti tiesės lygties ašinį pavidalą
x y
+ = 1
(5)
a b
x y z
nes lygtis (5) yra tiesė, kurią gauname, kai susikerta plokštumos + + = 1 ir z = 0 .
a b c
Ir šiuo atveju a ir b reiškia atkarpas, kurias ši tiesė atkerta koordinačių ašyse Ox ir Oy,
atitinkamai.
O
= 1
2. TAŠKO ATSTUMAS NUO TIESĖS
Tegul turime tiesę, gulinčią plokštumoje xOy, užrašytą bendruoju pavidalu
y
n0 r
Ax + By+
D = 0
p
43 pav.
M
1
( x , y )
d
1
1
x
(4)
Ax + By + D = 0 . (1)
Kaip plokštumos atveju, šiai tiesei galime suteikti
normalinį
daugiklį
pavidalą. Tam apskaičiuojame normuojantį
M = ±
1
2 2
A + B
. (2)
Parenkame jo ženklą, priešingą D ženklui ir iš šio
daugiklio M padauginame (1) lygtį. Gauname normalinę
tiesės lygtį
x cos α + y cos β − p = 0 , (3)
kurioje cos α ir cos β yra vienetinio vektoriaus n0 r , statmeno duotajai tiesei, projekcijos, o p šios
tiesės atstumas nuo koordinačių pradžios (43 pav.).
Taško M 1(
x1
, y1
) atstumą nuo tiesės apibrėšime panašiai, kaip ir taško atstumą nuo
plokštumos, t.y.
d = x α + y cos β − p
1 cos 1
(4)